几何意义

几何意义（精选11篇）

几何意义 篇1

摘要：本文从高等几何的课程地位和新大纲背景下对中职初等几何教学要求的角度, 探讨高等几何对初等几何教学的指导意义。

关键词：高等几何,初等几何,指导意义

引言

高等几何是高等师范院校数学教育专业的主干课程之一, 不少学者将它与数学分析、高等代数并称为数学教育基础课程的“三高”, 其重要性不言而喻。但现实教学工作中, 教师可能会因为感受不到高等几何与初等几何知识之间的直接联系, 忽视高等几何而造成了初等几何与高等几何知识的脱节, 无法构建起较为完整的几何知识体系。

事实上, 无论是数学的哪一个分支, 都遵循由浅及深的发展规律。高等几何是初等几何的承接, 在知识上是初等几何的因袭和扩张, 在观念上是初等几何的深化与发展[1]。在高等几何中贯穿着大量的现代数学的思想、方法和观点, 不仅能扩展几何知识领域, 开阔几何视野, 提高个人的数学素养, 还能加深教师对初等几何的理解, 进而站在更高的层次灵活引导学生处理初等几何问题, 这对于教师从事的数学教学工作有着极其重要而深远的影响。

高等几何对初等几何的指导意义这个论题有着非常广阔而丰富的研究空间, 多年来有不少的国内外学者潜心钻研在这一问题上, 而且也得到了许多精彩的结论。本文笔者借鉴前人的研究成果, 尝试从高等几何课程地位和新大纲背景下对中职初等几何教学要求的角度来认识高等几何与初等几何的关系, 浅谈高等几何学习对丰富初等几何研讨方法和拓宽初等几何解题途径的指导意义。

1 高等几何对初等几何教学的指导意义

1.1 高等几何和初等几何的界定与联系

在探讨高等几何对初等几何解题研究的指导作用之前, 首先就本文所涉及到的高等几何和初等几何这两个概念所涵盖的范围加以限定, 并简单了解其内容特点以及在克莱因群论观点下存在的内在联系, 明确高等几何与初等几何之间并不是相互孤立的:初等几何是高等几何的基础, 而高等几何是初等几何的延伸和拓展。

习惯上, 我们把小学和中学阶段所接触的几何知识都纳入初等几何范围。初等几何以欧氏几何为理论基础, 是几何学中最为基础的部分, 包括空间与图形、平面解析几何、立体几何等等。初等几何所涉及的思想方法具有较强的针对性, 内容相对直观, 学生可以先直接采用观察、测量等实验手段了解几何图形, 发现其中规律, 再根据实际认知水平逐步抽象思维, 完成逻辑演绎证明。而我们所说的“高等几何”通常是指在19世纪初期产生的另一几何学重要分支———射影几何。它的开辟和盛行, 一方面是由于它有巨大的美学魅力, 另一方面是由于它把几何作为一个整体来研究时所获得的明显效果以及它与非欧几何的紧密联系[2]。高等几何主要以克莱因的几何学群论观点为指导, 他提出采用变换群对几何学进行分类, 重点突出变换不变性的基本数学思想, 这在几何学不同的理论体系中具有一定的普适性。结合克莱因的群论观点, 我们可以这样概括:欧氏几何涵盖于射影几何, 欧氏几何是射影几何的一个特例。

1.2 高等几何和初等几何的课程地位

初等几何一直都是中等职业院校数学教育的重要组成部分之一, 而高等几何是高等师范院校数学教育专业的基础课程之一, 初等几何与高等几何的课程开设都具有其必要性和重要性。研究高等几何知识体系的构建对中职数学教学工作产生的影响, 有必要关注高等几何课程的教学目的和新大纲背景下对初等几何教学的要求。

1.2.1 高等几何的教学目的

培养具有现代数学思想, 并能应用现代数学思想指导教学的数学教师, 是高等师范院校数学教育的培养方向。高等几何作为高师数学专业的重要专业课程之一, 是数学教育任务的重要组成部分, 其课程的开设一般是安排在学习了解析几何和高等代数之后, 目的是在具备一定的初等几何、解析几何和高等代数知识的基础上, 系统地学习射影几何知识, 引入变换群观点, 抓住变换和不变性的基本数学思想。高等几何涵盖了大量现代数学思想、方法、理论、应用等, 对于发展空间概念, 丰富高层次的几何知识, 提高数学专业素养, 培养数学逻辑推理和合情推理能力具有重要作用。不仅能更深入地认识几何学, 为进一步的学习微分几何、画法几何或者其他高等数学知识做好准备, 还训练了抽象思维, 增强了数学审美意识, 加强了数学修养, 提高了从师能力, 为数学教学工作打下坚实的基础。

1.2.2 新教学大纲对初等几何的要求

清华大学萧树铁教授说, 在我国的传统文化中, 逻辑思维一直比较薄弱, 数学, 尤其是欧氏几何, 在这方面的训练是大有可为的。著名数学家陈省身在2002年接受采访时更是强调, 中学一定要讲欧氏几何, 几何推理的部分不能取消, 整个数学就是建立在推理之上的。2009年重新修订的《中等职业学校数学教学大纲》就是在教育形势的发展和教学改革的不断深入的大环境下应运而生的, 它明确了“以服务为宗旨, 以就业为导向, 以提高质量为重点”的办学方针, 提出本课程的任务是:使学生掌握必要的数学基础知识, 具备必需的相关技能与能力, 为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础。新大纲将数学课程划分为基础模块、职业模块和拓展模块, 在各模块间进行知识组合, 在各学科间进行知识渗透。在新大纲下, 培养目标已经由重点培养逻辑思维能力转向培养几何直观能力和空间想象能力, 这要求教师调整教学观念和教学方法, “注意突出几何的本质, 引导学生经历直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索与研究几何问题的过程, 发展学生的空间观念和几何直觉”。[3]几何学的教育价值不容小觑, 欧氏几何长期以来作为训练逻辑推理的素材的地位不可取代, 几何对学生多种能力的塑造和培养有着至关重要的影响。

1.3 丰富初等几何研讨方法, 拓宽初等几何解题途径

明确了高等几何与初等几何的关联, 将有利于我们把高等几何中获得的观点、体会反馈于初等几何。事实上, 将高等数学知识下放到初等数学教材中的成分越来越多, 我们所熟悉的初等几何中有部分内容是需要以高等几何为理论依据的, 例如平面几何的平移、旋转是在正交变换群下的合同变换;立体几何直观图的画法、截面图的作法分别是以透视仿射对应性质及笛沙格定理的理论为作图依据[4]。前苏联几何学家亚格龙曾经指出:“在初等几何中……, 包含了两个重要的有普遍意义的思想, 它们构成了几何学的一切进一步发展的基础, 其重要性远远超出了几何学的界限。其中之一是演绎法和几何学的公理基础;另一个是几何的变换和几何学的群论基础。”可见, 学生在学习初等几何的过程中, 实际上也是接受高等几何数学意识和思想方法渗透的过程。利用这一特点, 我们可以考虑用高等几何理论来解决部分初等几何问题, 从而为初等几何研究探讨和解题方法寻求更广泛的途径[5]。另一方面, 由于许多高等几何定理、命题可以给出初等几何的证明或解答, 因此也可以将此类高等几何问题进行改编, 创作出初等几何中的提高题、压轴题等, 这无疑为教师们探索初等几何的教学和科研指明了方向。

下文将通过仿射变换寻找初等几何命题解题思路。

在高等几何中, 只要经过适当的仿射变换, 任意一个三角形、平行四边形、梯形或椭圆可对应变为特殊的正三角形、正方形、等腰梯形或圆形。如果所给命题在这些特殊的图形中结论成立, 则根据仿射变换保持同素性、结合性、平行性、共线三点的单比不变、封闭图形的面积之比不变等性质即可推出在原命题中结论也成立[4]。

例如:将任意三角形每一顶点与对边上的三等分点相连得六条直线, 求证这六条直线所围成的六边形三双对顶点的连线共点。

由于点线的结合性在仿射变换上都不变, 所以可以利用仿射变换将任意三角形ΔA'B'C' (图1) 变成正三角形ABC (图2) , 且各边的三等分点及中点对应变成正三角形各边的三等分点和中点, 因而本题就正三角形的情况证之。

因此, 上述命题等价于:设L1、M1、N1 (i=1, 2) 分别为正三角形ABC三边上的三等分点, 由六条直线围成六边形P1R2Q1P2R1Q2, 求证三双对顶点的连线P1P2, R1R2, Q1Q2共点。

显然, 运用高等几何的知识来处理上述题目时解法相当简单。当然这种高等解法不能直接进入中职数学课堂, 但仍具有重要的参考价值, 为教师思考问题指明方向, 在一定程度上起到启发和诱导的作用。高等几何让我们处于更高的立足点, 以更远的视野、更丰富的知识, 从几何学的全局和整体来理解和把握初等几何。面对初等几何题目, 我们的思路不再单一, 可以尝试站在另一种角度去思考、分析和理解初等问题, 以寻求更为简捷的处理方法, 在不断的探索中不仅丰富了初等几何解题的途径, 还可以创新初等几何问题, 充分发挥高等几何对初等几何的指导作用。

参考文献

[1]关丽娟.高等几何与初等几何的相融性[J].高师理科学刊, 2007, 9:76.

[2]R·柯朗、H·罗宾.什么是数学[M].上海:复旦大学出版社, 1995.

[3]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准 (实验) [M].北京:人民教育出版社, 2003.

[4]李恩凤.高等几何与初等几何的关系[J].青海师专学报, 2001, 6:53.

[5]刘德金, 张全信.试论高等几何对初等几何的指导作用[J].德州师专学报, 1997.

[6]张初荣.试谈高等几何对中学几何教学的指导作用[J].零陵师专学报, 1989 (第3期) .

几何意义 篇2

(一)问题探索

问题1：复数z的几何意义？设复平面内点Z表示复数z= a+bi（a，b∈R），连结OZ，则点Z，复数z= a+bi（a，b∈R）之间具有一一对应关系。

直角坐标系中的点Z(a,b)

复数z=a+bi一一对应 一一对应 向量O Z

问题2：∣z∣的几何意义？若复数z= a+bi（a，b∈R）对应的向量是，则向量是22的模叫做复数z= a+bi（a，b∈R）的模，ab（a，b∈R）。

问题3：∣z1-z2∣的几何意义？两个复数的差z1z2z所对应的向量就是连结Z1Z2并且方向指向（被减数向量）的向量,dz1z2(x1x2)2(y1y2)

2(二)探索研究

根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程：

1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

设Z(x,y)以Z0(x0,y0)为圆心，r(r0)为半径的圆上任意一点,则ZZ0r(r0)

（1）该圆向量形式的方程是什么?r(r0)

（2）该圆复数形式的方程是什么?zz0r(r0)

（3）该圆代数形式的方程是什么?(xx0)2(yy0)2r2(r0)

12．椭圆的定义:平面内与两定点Z1，Z2的距离的和等于常数(大于Z1Z2)的点的集合(轨迹)

设Z(x,y)是以Z1(x1,y2)Z2(x2,y2)为焦点，2a为长轴长的椭圆的上任意一点, 则ZZ1ZZ22a(2aZ1Z2)

（1）该椭圆向量形式的方程是什么

? 2a(2aZ1Z2)

（2）该椭圆复数形式的方程是什么? zz1zz22a(2aZ1Z2)变式:以Z1(x1,y2)Z2(x2,y2)为端点的线段

（1）向量形式的方程是什么

? 2a(2aZ1Z2)

（2）复数形式的方程是什么? zz1zz22a(2aZ1Z2)

3．双曲线的定义:平面内与两定点Z1，Z2的距离的差的绝对值等于

常数(小于Z1Z2)的点的集合(轨迹)

设Z(x,y)是以Z1(x1,y2)Z2(x2,y2)为焦点，2a为实轴长的双曲线的上

任意一点, 则ZZ1ZZ22a(2aZ1Z2)

（1）该双曲线向量形式的方程是什么

? 2a(2aZ1Z2)

（2）该椭圆复数形式的方程是什么? zz1zz22a(2aZ1Z2)变式:射线

（1）向量形式的方程是什么?

2a(2aZ1Z2)

（2）复数形式的方程是什么?zz1zz22a(2aZ1Z2)

变式：以Z1(x1,y2)Z2(x2,y2)为端点的线段的垂直平分线

（1）该线段向量形式的方程是什么

? 2a(2a

0)（2）该线段复数形式的方程是什么? zz1zz22a(2a0)即

zz1zz2

（三）应用举例

例1．复数 z 满足条件∣z+2∣-∣z-2∣=4，则复数z 所对应的点 Z 的轨迹是（）

（A）双曲线（B）双曲线的右支

（C）线段（D）射线

答案：（D）一条射线

变式探究：

（1）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是两条射线，复数 z 应满足什么条件？

（2）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是线段，复数 z 应满足什么条件？

（3）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是双曲线的右支，复数 z 应满足什么条件？

（4）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是双曲线，复数 z 应满足什么条件？

（5）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是椭圆，复数 z 应满足什么条件？

（6）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是线段的垂直平分线，复数 z 应满足什么条件？ 例2．若复数z满足条件z1，求z2i的最值。

解法1：（数形结合法）由z1可知，z对应于单位圆上的点Z；

z2i表示单位圆上的点Z到点P（0，2）的距离。

由图可知，当点Z运动到A（0，1）点时，z2imin1,此时z=i；

当点Z运动到B（0，-1）点时，z2imax3, 此时z=-i。

解法2：（不等式法）z1z2z1z2z1z2

z2iz2iz2i

z1,2i2，1z2i

3解法3：（代数法）设zxyi(x,yR)，则x2y21

z2ixyi2ix2(y2)24yy1，即1y1

当y1，即zi时，z2imin1；

当y1，即zi时，z2imax3=3,解法4：（性质法）z2i2(z2i)(z2i)(z2i)(z2i)(z2i)(z2i)zz2(zz)i454yi y1，即1y1

当y1，即zi时，z2imin1；

当y1，即zi时，z2imax3,变式探究：

（1）zimin，zimax；0；2

（2）z1113izi；, 222min2max

（3z22iminz22imax21;221

（4z1i

min12111z1i2;2 222max

例3．已知z1、z2∈C，且z11，若z1z22i，则z1z2的最大值是（）

（A）６（B）５（C）４（D）３

解法1：z1z2z1(2iz1)2z1i z1imax2z1z2的最大值是4

解法2：z1z22i,z12iz2

z112iz21,即z22i1z11表示以原点为圆心，以1为半径的圆；z22i1表示以（0，2）为圆心，以1为半径的圆。z1z2的最大值为两圆上距离最大的两点间的距离为4。

(四)反馈演练：

1． 复数z满足条件∣z+i∣+∣z-i∣=２，则∣z+i-1∣的最大值是________

最小值是__________.1

2． 复数z满足条件∣z-2∣+∣z+i∣=5，则∣z∣的取值范围是（B）252,,2(A)5(B)5

(C)1,(D)1,2



xy503． 已知实数x,y满足条件xy0，zxyi(i为虚数单位），x3

导数的几何意义及运用解密 篇3

基础运用——切线斜率

例1 设曲线[C：y=x3]，点[P（1，1）]，直线[l：y=-x+1].

（1）求曲线[C]在点[P]处的切线[m]的方程，并求切线[m]与[C]的公共点的坐标;

（2）曲线在哪个点处的切线与[l]垂直？

解析 （1）由[C：y=x3]得曲线[C]在点[P]的切线斜率为[y=3x2x=1=][3]，

依点斜式知切线[m：y-1=3（x-1）]，即[m：y=3x-2]，

再由[y=3x-2，y=x3]得，[x3=3x-2]，

即[（x-1）2（x+2）=0]，从而[x1=1或x2=-2].

所以切线[m]与[C]的公共点的坐标为[（1，1）和（-2，-8）].

（2）切线与直线[l：y=-x+1]垂直，则切线斜率为1.

设切点为[（x0，x03）]，由[y=3x2]得，[3x02=1]，

则[x0=±33]，从而切点为[（33，39）]或[（-33，-39）].

点拨 “求切线，定切点”，包括给出的点在或不在已知曲线上两类情况，求切线方程的难点在于分清“过点[（x0，y0）]的切线”与“点[（x0，y0）]处的切线”的差异. 突破这个难点的关键是理解这两种切线的不同之处：在过点[（x0，y0）]的切线中，点[（x0，y0）]不一定是切点;而点[（x0，y0）]处的切线，必以点[（x0，y0）]为切点，故此时切线的方程才是[y-y0=f（x0）（x-x0）].

引申运用——割线斜率

例2 在下列四个函数中，满足性质：“对于区间[（1，2）]上的任意[x1，x2]（[x1≠x2]），[f（x1）-f（x2）

A. [f（x）=x] B. [f（x）=1x]

C. [f（x）=x2] D. [f（x）=2x]

解析 [f（x1）-f（x2）

答案 B

点拨 函数[y=f（x）]在图象上任意两点[M（a，f（a）），N（b，f（b））]连线的斜率（存在的话）[k=f（b）-f（a）b-a]的取值范围就是函数图象上任意一点切线的斜率（如果存在的话）范围，即导函数的值域，运用这一点，可以解决一些有关割线斜率的棘手问题.

拓展运用——公切线

例3 已知抛物线[C1：y=x2+2x]和[C2：y=-x2+a]，如果直线[l]同时是[C1，C2]的切线，称[l]是[C1，C2]的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段 .

（1）[a]取什么值时，[C1，C2]有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程;

（2）若[C1，C2]有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.

解析 （1）函数[y=x2+2x]的导数[y=2x+2]，曲线[C1]在点[P（x1，x12+2x1）]的切线方程是：

[y-（x12+2x1）=（2x1+2）（x-x1）]，

即[y=（2x1+2）x-x12.] ①

同理，函数[y=-x2+a]的导数[y=-2x]，曲线[C2]在点[Q（x2，-x22+a）]的切线方程是

[y-（-x22+a）=（-2x2）（x-x2）]，

即[y=-2x2x+x22+a.] ②

如果直线[l]是过[P]和[Q]的公切线，则①和②是同一直线方程.

所以[x1+1=-x2，且-x12=x22+a]，

消元得[2x12+2x1+1+a=0]，

若[Δ=4-4×2（1+a）=0].

则[a=-12]，解得[x1=-12]，此时点[P]与[Q]重合.

即当[a=-12]时，[C1，C2]有且仅有一条公切线.

由①得公切线方程为[y=x-14].

（2）证明：由（1）可知，当[a<-12]时，[C1，C2]有两条公切线.

设一条公切线上切点为[P（x1，y1），Q（x2，y2）]，其中[P]在[C1]上，[Q]在[C2]上，

则[x1+x2=-1]，

[y1+y2=x12+2x1+（-x22+a）=x12+2x1-（x1+1）2+a=a-1.]

则线段[PQ]的中点为[（-12，a-12）.]

同理，[C1，C2]另一条公切线段[PQ]的中点也是[（-12，a-12）]，

所以公切线段[PQ]与[PQ]互相平分.

点拨 凡遇公切线，先设两切点，然后由导数计算切线斜率，再由点斜式写出两曲线的切线，最后利用两切线重合列方程组求解.

综合运用——化归转化

例4 已知[l：y=3x-13]，在抛物线[C：y=x2+x-2]上找一点[P]，使[P]到直线[l]的距离最短并求此最短距离.

解析 如上图，运用运动变化的观念可知，与已知直线[l]平行且与抛物线[C]相切的直线的切点[P]到直线[l]的距离最短.

设切点[P（x0，x02+x0-2）]，由抛物线[C：y=x2+x-2]得，

[y=2x+1]，

则[2x0+1=3]，故[x0=1].

则切点[P（1，0）]，此时最短距离[d=3×1-1310=10].

点拨 本题属于“非圆类曲线上的动点到与之相离的定直线距离的最值”，解答此类问题，求曲线的切线方程是基础，而转化是关键（将曲线上的动点[P]到定直线[l]的距离最值转化为直线[l]与平行于[l]的抛物线[C]的切线之距）.当然本题也可以设[P（x0，x02+x0-2）]，用点到直线距离公式及配方法求解.

借助几何意义解题 篇4

已知倾斜角为α的直线l经过定点M0 (x0, y0) , 则直线l的标准式参数方程为

若直线l与曲线C相交于M1, M2两点, 且点M1, M2对应的参数分别为t1, t2, 则有如下结论成立:

(3) 若定点M0 (x0, y0) 为弦M1M2的中点, 则t1+t2=0.

(1) 求线段AB的中点M的极坐标;

(2) 求|PA|+|PB|的值.

现将直线l的参数方程代入整理, 得

t2-6t+7=0.

所以该方程有两个不相等的实数根.

设为t1, t2, 由韦达定理得

(1) 因为线段AB的中点M对应的参数

2.借助极坐标方程中极径ρ的几何意义解题

在极坐标系中, 以O为起点的线段长均可写成ρ的形式, 这正是极径ρ的几何意义, 即ρ值对应以O为起点的线段长.

例2已知圆C:x2+y2=4, 直线l:x+y=2, 以O为极点, x轴的正半轴为极轴, 取相同单位长度建立极坐标系.

(1) 将圆C和直线l的方程化为极坐标方程;

(2) 点P是l上的点, 射线OP交圆C于点R, 又点Q在OP上满足|OQ|·|OP|=|OR|2, 当点P在l上移动时, 求点Q轨迹的极坐标方程.

解 (1) 将x=ρcosθ, y=ρsinθ代入圆C和直线l的直角坐标方程得极坐标方程分别为圆C:ρ=2, 直线l:ρ (cosθ+sinθ) =2.

(2) 设P, Q, R的极坐标分别为

故点Q轨迹的极坐标方程为

OBD爆点背后的产业意义几何？ 篇5

这段类似行为艺术的表演被很多艺术家所认同，他们觉得演奏者引导听众们去关注了他们的内心，关注心跳，关注周遭不为人所留心的声音，甚至关注寂静。但是，也有人觉得，这就是扯淡。

这种截然相反的意见在现实中，特别是车载设备领域中会存在吗？是的，会存在，甚至针尖对麦芒。7月3日，AutoLab在北京展开一场关于OBD设备应该看多还是看空的讨论，事实上，当我在与很多人沟通OBD时，看空派和看多派都希望向中间来靠。

看空派说：“长期看空啊，短期说不定还有机会”；看多派说：“这个多是有条件的多，必须让OBD供应商与整车厂梳理好关系，形成利益共同体”。

如果审视汽车，把它当作一台电脑，现在整个互联网界都在做一件事，寻找类似USB的通用接口。进入他们视野的有三个：点烟器、AUX（音频接口）、OBD（英文On-Board Diagnostic的缩写，中文为“车载诊断系统”）。其中，前两个接口很快被放弃，它们并没有数据流出，行业的目光集中在OBD上。

逻辑是这么建立的，OBD是唯一可以较全面读出车辆数据的地方，配以一定的联网技术，不管云端也好，用户也好，他们都能迅速了解汽车到底处于什么状况，顺带了解驾驶汽车的人有什么习惯和喜好，例如是否开车很猛，是否总是往郊区跑，是否老车震（不知道能识别出来不？）。

这个看似美好的用户驾驶行为挖掘的故事，正在被投资界、汽车界和互联网界所看好，并一再演绎。你可以想象，如果汽车真存在USB这样的接口，如此的标准化，那么它将给产业带来多么大的想象空间。我们可以开发USB的鼠标、USB的小音箱、USB的风扇、USB+任何玩意。

那么同样的，关于OBD也是如此。在汽车界与互联网界交叉地带，好像就是为OBD特设的风口，你分不清OBD是风口上的猪，还是与OBD有关的设备和应用是风口上的猪，反正都面临着被吹起来的可能性。

也许一个巨大的外设市场就诞生了，我们可以呼唤它另一个名字“车载硬件”。在7月3日这天，AutoLab在北京进行了第三场活动，讨论了OBD。吸引了很多人，原因就在于此。

硬件们现在远远不是硬件本身，他们都被赋予了联网的概念。OBD厂商们都用2G、3G把小盒子武装了起来，数据被迅速传输到手机、传输到云端。一和数据沾边，可供挖掘的概念就繁盛起来。比如社交、工具、电商等等。

如果说整个汽车世界是厂商占据有绝对统治力的中原，那么OBD似乎给塞外觊觎已久的匈奴们打开了一个通道。

这个通道对于汽车厂商来说很不感冒，OBD装置监测多个系统和部件，包括发动机、催化转化器、颗粒捕集器、氧传感器、排放控制系统、 燃油系统、EGR等。它被厂商用来维修检测，所以，对于一个维修时采用的接口，厂商顾虑两件事。

首先，他们不希望这个接口在接通了其他外设后，变得不安全了，特别是破解了厂家的私有协议后，汽车的很多功能（如远程启动之类）是厂家非常不愿看到的；其次，厂家更不希望汽车的各种信息呈现在消费者面前后，产生误导。

不过，信息越来越趋向对称是必须的。就以前不久的关于汽车保养、维修领域的“零整比”讨论来看，一台拆散零卖比整车要贵12倍的汽车，在赔付过程中，几乎就是保险公司和用户为4S店和整车厂买了单。

而OBD厂商希望自己能在这一方面提供帮助。所以，在国外，几乎所有OBD厂商在描述自己的商业逻辑时，都会附带上保险商。用户的驾驶行为与车辆状况，似乎天生就是服务于保险公司的。在国内，所有OBD厂商也习惯于复制这个故事。

然而问题远远不是这么简单，已经有数据显示，美国保险市场OBD并没有降低整个保险业的理赔金额，也没有改善整体的驾驶行为，唯一带来的结果是，改变了保险公司之间的格局，即重新划分了市场份额，先用UBI的保险公司获益，等所有保险公司都用了，OBD的价值就没有了。

因此，OBD厂商如果说目前提供了价值，并不在用户端，而在B端；在B端的价值中，也仅限于，他们完全打乱了厂家部署车联网产品的节奏。按照厂家慢条斯理的玩法，猴年马月才会让用户以高昂的代价来享受车联网产品，但是现在，因为门口的野蛮人来了，他们纷纷布局。

这大概就是OBD童话传播开来后，目前能看到的好处吧。好像一首没有音符的钢琴曲一样，有点让人费解。

巧用几何意义解代数问题 篇6

一、转化为斜率

如果题目中出现分式的话, 我们就要考虑能不能通过化解把分式转化为研究两点连线的斜率, 然后结合图像来研究斜率的变化, 下面我们来看这样一个例子。

例:设P (x, y) 为函数图像上一点, 记m=, 则当m最小时, 点P的坐标为__________

解析:在这个表达式里我们看到了两个分式, 要把它看成斜率, 那首先要对分子进行一个处理, 分离变量。

令, 结合图像K∈ (0, +∞) , 此时当且仅当k=1时m取到最小值8, 此时点P的坐标为 (2, 3)

解这道题的关键就是首先要挖掘分式的几何意义 (斜率) , 再结合基本不等式或者对勾函数的图像来处理。

二、转化为两曲线上点之间的距离

若a、b、c、d满足的最小值为_______bd

解析:首先结论要转化为点 (a, b) 与点 (c, d) 之间的距离的平方

由题意 (a, b) 是曲线y=x2-2 l n x上一动点, (c, d) 是y=3x-4上一动点

接下来就变成了研究直线上一点与曲线上一点的距离的最小值问题

将y=3x-4平移至与y=x2-2ln x相切, 易求得切点坐标为 (2, 4-2ln2)

该点到直线y=3 x-4的距离就是我们要求的最小值,

三、转化为直线上一动点到两定点的距离之和

平面直角坐标系中, 已知点A (1, -2) , B (4, 0) , P (a, 1) , N (a+1, 1) , 当四边形PABN的周长最小时, 过三点A, P, N的圆的圆心坐标是__________

解析:设四边形PABN的周长为l, 则

设B (a, 0) , C (3, 1) , D (1, -3) 则l这样问题就变为在x轴上找一点到C (3, 1) , D (1, -3) 的距离之和最小, 只要将点B平移至B、C、D三点共线, 此时BC+BD达到最小值。

此时, 代入计算得圆心坐标为

这个题目的原型就是研究直线上一动点到两定点的距离之和, 关键看这两个点在直线的同侧还是两侧。

四、转化为两圆位置关系

已知圆M∶ (x-1) 2+ (y-3) 2=4, 过x轴上点P (a, 0) 存在一直线与圆M相交, 交点为A、B, 且满足PA=PB, 则点P的横坐标a的取值范围为_________

解析:设A (x0, y0) ∵PA=PB∴B (2x0-a, 2y0) ∵A、B在圆上

如果从方程角度入手的话很难处理, 但如果先将 (2) 这个方程化解成

由 (1) (3) 就可以转化为两个圆有交点

这样的话这个问题就转化为两圆的位置关系问题,

这种做法应该说非常的巧妙, 可以快速的解出该题, 而这个问题的本质实际上就是阿波罗尼斯圆, 我们今年江苏省高考试卷的第17题考的正是这个内容, 做法一样。

通过上述几个例子, 我们发现有些题目看起来难度很大, 但如果赋予相应的几何意义, 那问题就迎刃而解, 所以解代数问题时, 如果常规方法不行或者可以做但比较困难的话, 我们可以尝试将代数问题几何化。

为了让学生更好地掌握这一思想, 并灵活应用, 那作为老师来讲, 在平时的教学中就要经常贯彻。在新授课的教学中, 特别是讲到解析几何的时候, 要积极主动地引导学生用几何意义来解题, 刚开始可以从简单的开始, 比如斜率, 两点间距离地转化, 然后慢慢深入, 研究复杂一些的。等进入高三后再单独开一堂专题课, 题目就叫“巧用几何意义解代数问题”然后通过课后的练习加以巩固。

摘要：在高中数学的学习过程中, 数形结合是非常重要的数学思想, 是高考重点考察的内容, 它常能使复杂的问题简单化。但学生在实际解题的过程中, 往往只注重题目的代数形式, 不善于去挖掘题目的几何意义, 不会在数与形之间进行转化。因此老师在平时的教学中怎么样去引导学生挖掘题目的几何意义, 进入更深层次的研究就显得尤为重要。而学生一旦掌握了这一技巧, 无疑会在今后的高考中增加一个有力的武器。

关键词：几何意义,数形结合

参考文献

[1]郎文敏.挖掘几何意义.灵活构造图形解题.数学学习与研究

几何意义 篇7

一、模型教学的应用是课程改革发展的内在需要

初中几何的教学工作是数学教学中的重点内容, 同时也是教学的难点。由于几何的学习需要一定的空间想象能力, 这对学生能力的要求又提升了一个档次, 所以很多学生在几何学习的过程中遇到了困难。教育工作者也在不断地对几何教学的方法进行探索和创新, 随着课程改革的推进, 几何教学的内容也在不断地做调整和更新, 需要采取全新的教学模式才能够适应几何教学的不断发展。素质教育的内容要遵循教学理论的要求, 有了教学理论的正确指导, 才能够保证教育工作的顺利开展。模型教学是近年来涌现出来的新的教学方法, 在内容和形式上进行了创新, 符合发展和创新的课程改革要求, 这不仅对几何教学的质量有着重要的提升作用, 同时也是数学理论教学得到全新发展的内在需求。

二、模型教学能够有效地提升几何教学的教学质量

教学效果的好坏在一定程度上是取决于教学方法的, 教育工作者之所以在不断地进行教学方式的探索和研究, 就是为了能够以全新的形式来吸引学生的注意力, 激发学生的学习兴趣, 进而有效地提升教学的质量。几何作为数学学科重要的组成成分, 采用具有创新性的模型教学形式, 能够在一定程度上吸引学生的注意力。在传统教学中, 课堂教学的主体一般都是教师, 学生处于一种被动的听讲状态, 学生的课堂参与积极程度不高, 整个课堂教学的气氛显得沉闷枯燥。学生只是在进行机械地学习, 教师也只是通过讲课的方式来灌输知识, 这样的教学方式很难让学生参与到教学的各个环节当中去, 学生逐渐会对几何教学失去兴趣, 甚至产生厌倦的心理, 这严重地阻碍了学生创造性思维的发展以及数学学习能力的提升。采用模型教学的方式, 教师可以保留课堂讲解的形式, 只是要留出一定的时间来进行模型的展示, 通过构建几何模型的方式, 教师能够为学生进行更加直观的展示, 通过数学模型的构建, 学生能够体会到几何学习的乐趣, 能够有效地提升学生的参与程度, 提高学习的积极性, 再加上教师的适当鼓励, 学生能够积极地发表自己的意见和想法。比如, 在几何教学的过程中, 当学习一些特殊图形的面积的时候, 学生在学习的过程中可能对这样的特殊图形的概念比较陌生, 通过直接求解的方式又很难得到正确的答案。这时教师可以利用模式教学, 将这样的特殊模型呈现出来, 然后进行图形的分割, 将不规则的图形分割或者是补充成几个学过的规则图形, 然后再利用各个图形之间的面积和或者是面积差来进行求解, 建立特殊图形模型的方式能够帮助学生轻松地解决数学难题, 提升数学解题的效率。另外, 模型教学的应用, 是初中几何教学中教学理念以及教学方式的一种创新, 全新的尝试能够带来不一样的教学效果, 成为提高教学质量的有效方式。

三、模型教学贯彻落实了新课程改革的需要

新课程改革的推进, 对初中几何教学有了更严格的要求, 在教学的内容以及形式上要进行全面的改革。教育工作者也在不断地进行创新和改革, 争取让学生成为教学的主体, 提高学生的课堂参与程度, 在课堂教学中, 提升学生的学习积极性, 让学生能够在几何学习中获得乐趣。模型教学的形式能够使抽象的数学知识更加形象化, 在教学的过程中以全新的形式带给学生不一样的学习体验, 让学生能够充分地发挥自身的主观能动性, 在几何教学中有效地培养学生思维能力的发展。这样的教学效果正是教育改革的要求, 模型教学的方式能够达到这样的教学效果, 所以说, 模型教学有效地贯彻和落实了新课程改革的需要。

四、模型教学为课程改革的发展提供了借鉴意义

教育改革面向的对象不仅仅是数学这一学科, 在其他专业或是学科中也同样在进行改革, 教育改革的全面发展是推动教学质量的有效手段。只有进行不断的改革创新, 才能够迎来新的发展。教育工作者只有不断地致力于教学方式的探索, 进行有效的改革才能够达到最终的教学目的。改革首先要考虑的就是学生的发展需求, 要根据学生的实际情况, 在课程设置上进行改革和创新, 结合大量的教学实践和经验, 在教学的理念和方式上不断地进行创新。模式教学的应用对课程改革的发展有了全新的启示, 提高学生课堂参与程度的教学方式对于整体的教学效果有着重要的影响, 所以说在今后的课程改革中将改革的重点内容放在提高学生积极性的方面, 模型教学对几何教学的新课程改革有着借鉴意义。一方面, 模型教学的应用, 可以取得良好的教学效果, 能够促进教育改革的发展, 提高人们的重视程度;另一方面, 模型教学的方式还可以引入到其他学科的教学中去, 促进教育改革的全面发展。

几何意义 篇8

关键词：模型教学,初中几何数学,意义

近年来, 模型教学引起了不少教育工作者的重视, 这一教学方式被广泛运用到了各门学科。在初中几何数学教学工作中, 也有一些教育工作者把模型教学运用到工作中去, 取得了较好的教学效果。由此可见, 模型教学对初中几何数学教学产生了重大影响。基于这一认识, 本文试图分析模型教学对于初中几何数学教学的重要意义。

一、模型教学的应用是初中几何数学教学理论新发展的内在需求

长期以来, 不少教育工作者致力于初中几何数学教学理论的研究工作中, 并取得了很大的成就。在新时期, 初中几何数学出现了各种各样的特点, 面对新情况, 只有进一步探究全新的教学模式, 才能更好的促进初中几何数学教育的不断发展和进步。

模型教学产生于教学理论发展的新时代, 作为新的教学理论, 它是指导学科教学的重要的理论基础, 提供的是进一步搞好教学研究工作的出发点和研究方法, 因此, 只有不断的促进教学理论的发展, 才能更好的适应初中几何数学教学中出现的各种新情况, 新问题。同时, 模型教学作为一个新的教学方法, 只有自身得到不断的创新和发展, 才能开辟自身发展的道路。这不仅是模型教学自身发展的应有之义, 也是促进初中几何数学教学理论发展的题中之义。因此, 模型教学的应用不仅对于模型教学本身的发展有重要的意义, 而且也对于新的教学理论发展具有重大的实用价值。所以, 模型教学的应用是初中几何数学教学理论新发展的内在需求。

二、是有效提升初中几何数学教学的重要策略

在以往的教学工作中, 不少教育工作者始终注意发挥教学方法的作用。实际上, 一门学科的教学方法有很多, 几何数学也是如此, 教育工作者们在具体的教学工作实践中, 创造性的提出了模型教学方法, 这对于提升几何数学教学产生了重大的影响。

一方面, 模型教学有效的提高了初中几何数学的教学效果;从现有的教学效果来看, 以往的教学大多数采取的是教师讲授、学生听讲的教学方法, 虽然教育工作者也探究了新的教学方法, 但是有少部分学生的参与热情不高, 始终难以做到让学生全面的参与到教学环节中去, 而采取了模型教学之后, 在保持原有的教师讲授的教学特点基础之上, 教师在整个课堂环节中通过构建几何模型、数学模型的方式, 使得学生从不同角度体验到了几何数学学习的兴趣, 因而参与的积极性大大提高, 学生的发言率高了, 学习效果也得到了显著的提升。

另一方面, 模型教学创新了教学方法。传统以来, 广大教育工作者不断尝试, 提出了多种类型的教学方法, 这对于充实初中几何数学教学的理论具有重要的作用。目前, 教育工作者又提出了模型教学这一先进的教学理念和教学方法, 不仅进一步增加了教学方法的深刻内容, 也丰富了教学的具体实践, 不仅是教学方法的深度总结, 也是教学实践的具体尝试, 得到了广大教育工作者的青睐, 成为加强和改进初中几何数学教学的强有力的武器。

三、是贯彻和落实初中几何数学新课标的必然要求

在新时期, 初中几何数学新课标对教学目标、教学内容等方面进行了全面的改革, 并做出了详细的要求。毋庸置疑, 在新课标背景下, 原有的教学模式已然不能适应新的教学要求, 面对这一变化, 教育工作者只有不断的创新教学方法, 根据新课标的要求去培养学生的基本能力, 才是加强初中几何数学课程改革的正确道路。

新课标对初中数学明显的提出了四基, 即基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。原有的教学模式已经不能满足培养学生“四基”的基本要求, 而在这种情况下, 模型教学就是满足培养学生具备“四基”能力的重要的教学模式。原因在于, 在初中几何数学中采取模型教学的方式, 可以广泛的调动学生参与学习的积极性, 学生在具体的活动和抽象的思维中完成了对基本知识的学习, 因此可以看出, 学生在积极参与和具体的活动的过程中提升了自己的基本活动经验, 在抽象思维中完成了思维训练, 养成了良好的思维习惯, 这就提升了学生的思维能力。最终学习到了几何数学的相关知识, 这也就具备了基本知识。因此, 在初中几何数学教学中采取模型教学, 做到了培养学生具备“四基”的基本要求, 是完全符合新课标的基本要求的新型的教学模式。

四、为加强初中几何数学课程改革提供了有意的借鉴

近年来, 课程改革已经在教育行业的各个专业、各门学科逐渐兴起, 成为学校发展, 提高教学质量的必然路径。对于初中几何数学教学来说, 也需要进行课程改革, 只有改革才能进一步提升教学效果, 才能提高教学质量。那么, 究竟采取何种途径的改革才能更好的达到上述目的呢?教育工作者进行了积极的探索, 有的在教学方法上进行探索, 有的在课程设置上进行探索, 有的从学生的角度进行探索, 取得了较多了经验。从模型教学的基本特点来看, 模型教学就是在教学方法上进行的有益探索, 但是这一教学模式在教学方法进行探索的同时, 也始终注意积极调动学生参与课堂学习的积极性, 因而对于促进课程改革, 提升教学效果发挥了不可估量的作用。所以, 从这一意义上来看, 模型教学对于初中几何数学课程改革带来一定的借鉴作用。一方面, 在模型教学模式的引导下, 初中几何数学教学的课程改革不仅要重视教学方法的改革, 还要重视充分调动学生的积极性。另一方面, 模型教学也可以充分的运用到其他各学科、各专业的课程改革中去。因此, 学校要真正的重视模型教学, 并不断的对其进行发展创新, 更好的运用到各学科的教学改革中去。

总之, 模型教学对于初中几何数学发挥着重要的影响, 广大教育工作者不仅要善于运用这一教学模式, 而且还要充分的发挥出其在提升初中几何数学教学效果, 加强初中几何数学课程改革等方面中的重要作用。

参考文献

几何意义 篇9

过去,教师大多是采用传统的教学方法,即课堂上以老师讲学生听为主. 笔者认为,这样教学,一些问题虽然交待清楚了,但由于学生处于被动地位,仅仅是一听了之,容易使学生在获取知识、学习能力等方面养成依赖性,因而,不同程度地影响了教学效果及对学生探求知识能力方面的培养. 为了改变上述状况,促使学生真正做到动脑、动手、动口,积极主动地学习,笔者采取了让学生先预习教材,课堂上教师提出问题,大家共同讨论,边议、边讲、边练习的做法,目的是指导学生深化对教材的理解,从而提高他们解决问题的能力. 下面就笔者在复数几何意义教学中向学生提出的问题叙述如下.

一、复数的几何表示

( 一) 用复平面内的点来表示复数

( 1) 复数Z = a + bi与复平面内的点() 对应? 复平面内的点( a,b) 对应复数Z = ?

( 2) 什么叫做复平面? 复平面与原来所学的直角坐标平面有什么相同之处? 不同之处?

( 3) 复数能用复平面内的点来表示的依据是什么? 复数与复平面内的点有什么关系?

( 二) 用复平面内的向量来表示复数

( 1) 什么叫做向量? 如何表示? 什么叫做零向量? 它有无确定方向?

( 2) 两向量具备什么条件就相等? 相等的两向量与向量的起点有无关系?

( 3) 相等的两向量对应的两复数有何关系?

( 4) 什么叫做复数的模? 如何计算? 复数的模是实数还是虚数? 能否比较大小?

( 5) 图1中Z1与Z2表示的复数有何关系?

( 6) 如何用几何方法求图2中所表示的复数?

二、复数加、减法的几何意义

复数加、减的几何意义应该以加法的几何意义为基础,因为加法的几何意义弄清楚了,减法的几何意义也就容易解决了. 同时,学生在应用几何意义解决几何问题时又特别容易混淆复数的和( 差) 与复数和( 差) 的模的概念. 所以,在学生对复数加( 减) 法的几何定义有了一定的认识后,教师可以再提出如下问题进行强化:

( 1) 图3中的OZ对应什么? | OZ |对应什么?

( 2) 已知复数Z1= 5 + 3i,Z2= - 2 +4i对应向量OZ1、OZ2,那么Z1Z2和Z2Z1表示的复数各是什么? | Z1Z2|和| Z2Z1| 有何关系?

三、复数乘、除法的几何意义

( 一) 复数的三角形式

( 1) 复数的三角形式是什么? 式中r、θ表示什么? 什么叫做复数的模、幅角、幅角的主值?

( 2) 复数的三角形式与代数形式的互化公式是什么?

( 3) 两个复数相等的模与幅角有什么关系?

( 4) 1 r( cosθ - isinθ) ; 2 - r( cosθ + isinθ) ; 3r( sinθ +icosθ)

123是不是复数的三角形式? 若不是,你会把它们化成复数的三角形式吗?

( 二) 复数乘、除法的几何意义

( 1) 利用数的三角形式进行乘法、除法运算的法则是什么乘法、除法的几何定义是什么?

( 2) 计算2( cos60° + isin60°) ( cos90° + isin90°) ,并说明其几何意义是什么?

( 3) 图3中OZ在其模不变的情况下,绕O点逆时针( 顺时针) 旋转θ角,到达OZ1,OZ1对应的复数Z1与OZ对应的复数Z有何关系?

( 4) 图4中MZ1绕M点逆( 顺) 时针旋转θ角到达MZ2,那么MZ2对应的复数与MZ1对应的复数有何关系?

上述问题的设计,目的是为了使学生明确一个向量MZ1绕着起点M旋转θ角得到MZ2,不论起点是不是原点,MZ2对应的复数与MZ1对应的复数有以下关系: 若MZ1绕M点逆( 顺) 时针旋转θ角到达MZ2,则MZ2对应的复数应为MZ1对应的复数乘( 除) 以一个模为1的复数cosθ + isinθ.

上述问题学完后,为引起学生兴趣,调动学习的积极性,提高学生综合应用、解决问题的能力,特引进“荒岛探宝”这个典型题目,作为复数加、减、乘、除几何意义的综合练习. 有个名叫皮克的青年,在他曾祖父的遗物中,发现了—张羊皮纸,上面记载了关于宝藏的话: 乘船至北纬×× ,西经×× ,即可找到一座荒岛. 岛的北岸有一大片草地,草地上有一棵松树. 从松树P向左前方走一段路,你会遇到一块红石头A,并记住走了多少步;从红石头处向左拐个直角,再走同样长的一段路,到达荒岛上一点,在这里打下第一根桩A'; 然后回到松树P,再向右前方走一段路,你会遇到一块白石头B,记住从P到B走了多少步; 到了白石头向右拐个直角,再走同样长的一段路,到达一点B',在这里立下第二根桩B'; 只要在两根木桩A'和B'正中挖下去,就能找到那个藏有奇珍异宝的宝库. 因为,宝库的位置写得很明确,于是,这个青年就乘船来到那个荒岛上,找到了白石头和红石头,遗憾的是那棵松树却不见了. 因此,他只好狂乱地在草地上挖起来. 由于荒岛太大,一切都是白费力气,他只好两手空空地回去了,你能帮助他找到那个宝库吗?

我们可以这样来求解: 建立复平面,以过A、B的直线作实轴,过AB的中点O作垂直于AB的直线作虚轴( 见图5) .

设 A( - 1,0) ,B( 1,0) ,P( a,b) ,则 OA = - 1,OB = 1,OP = a + bi.

由复数乘法的几何意义知: AP = ( a + bi) + 1,BP = ( a + bi)- 1.

由复数乘法的几何意义知: AA' = AP× ( - i) = ( a + 1 + bi)× ( - i) = b - ( a + 1) i,BB' = BP×i = ( a - 1 + bi) i = - b + ( a 1) i.

由复数加法的几何意义知: OA' = OA + AA' = - 1 + b - ( a +1) i = ( b - 1) - ( a + 1) i,OB' = OB + BB' = 1 + [- b + ( a - 1) i]= ( 1 - b) + ( a - 1) i.

即 A'( b - 1,- a - 1) ,B'( 1 - b,a - 1) ,M( 0,- 1) .

若P在红、白石头的另一边,M( 0,- 1) .

即不管松树位置如何,宝藏的位置是一定的.

几何意义 篇10

一、借助于平面向量的数量积解一类线性规划问题

形如z=ax+by的目标函数,可以把它看成平面内的向量=(a,b)与向量=(x,y)的数量积即z=•=•cosθ,因为为定值,所以z的最值主要由cosθ决定的,即向量在向量方向上的投影。

例1.(2005年山东卷15)设x、y满足约束条件x+y≤5,3x+2y≤12,0≤x≤3,0≤y≤4则使得目标函数z=6x+5y的值最大的点(x,y)是_______。

图1

解析:作出可行域如图1,设N(x,y)为可行域内的任意一点,M(6,5),则z=•=•cos∠MON,由数量积的几何意义(如图所示)得,当N(x,y)在A(2,3)时,在上的投影最大,即z=6x+5y取得最大值,zmax=27。

二、借助于两点间的距离解一类线性规划问题

形如z=(x-a)2+(y-b)2的目标函数,可以把它看成点M(a,b)与点N(x,y)间距离的平方,即z=MN2,问题转化为研究M、N两点间距离平方的最值,又M为定点,所以z的最值主要由可行域内N点位置决定。

例2.已知2x+y-2≥0,x-2y+4≥0,3x-y-3≤0求z=x2+y2的最值,并求出z取得最值时x、y的值。

图2

解析:作出满足约束条件的可行域如图2。

设P(x,y)为可行域内任意一点,目标函数z可视为O、P两点间的距离的平方,问题转化为研究距离平方的取值范围,由图易知可行域内,点C到原点O的距离最远,即:zmax=OC2=13,此时x=2,y=3。

又过O作直线AB:2x+y-2=0的垂线,垂足D(,),可知点D到原点的距离最近,即zmin=OD2=。

例3.已知实数x、y满足2x+y≥1,求z=x2+y2+4x-2y的最小值。

图3

解析:作出满足约束条件的可行域如图3。

注意到目标函数的结构特点,容易想到配方变形:z=(x+2)2+(y-1)2-5,显然,(x+2)2+(y-1)2表示点P(x,y)与定点A(-2,1)的距离的平方,于是问题转化为求定点A(-2,1)到区域G的最近距离,由图知,点A到直线l的距离为A到区域G中点的距离的最小值d==,所以d2=,即zmin=d2-5=-。

三、借助于直线的斜率解一类线性规划问题

形如z=的目标函数,可以把它视为过点M(a,b)与N(x,y)的直线的斜率,M为定点,问题转化为寻找可行域内点N的临界位置。

例4.(2005年江西卷14)设实数x、y满足x-y-2≤0,x+2y-4≥0,2y-3≤0则的最大值是_____。

解析:作出满足约束条件的可行域如图4。

图4

设P(x,y)为可行域内任意一點,定点O(0,0),目标函数z可视为过O、P两点所在直线的斜率,即z=kOP,由图可知,zmax=kOA=,故当P与A重合,即x=1,y=时,z取得最大值。

例5.已知实数x、y满足0

解析:作出满足约束条件的可行域如图5

图5

目标函数z可视为两点所在直线的斜率,其中定点A(-1,-3),点P(x,y)在由方程y=确定的半圆面上,目标函数z=kPA,其中x≠-1因而问题转化为研究直线PA斜率的取值范围,设定点B(-3,0),C(3,0),则kAB=-,kAC=,由数形结合可知,目标函数z的范围是:z≤-或z≥。

总之,通过对目标函数几何意义的研究,可使我们站在系统的高度领略其多姿多彩的风貌,把握其中规律,有效实现转化,使解题迅速、便捷,有助于学生加深对数学知识的理解,提高学生驾驭数学知识的能力。

几何意义 篇11

向量是近代数学中最重要和最基本的数学概念之一,是沟通代数和几何的一种工具.本节课内容选自普通高中课程标准实验教科书必修4(人教A版)第80—84页,是在学习平面向量基本概念之后的一节比较重要的课,因为引入一个新的量后,考察它的运算及运算律是数学研究中的基本问题.类比数的运算,向量是否能够进行运算呢?向量的工具作用如何发挥呢?这是学生认知冲突的地方,这一冲突正是激发学生进一步探究数学新知的契机.这一节内容更是后续学习的铺垫,平面向量的减法运算、数乘向量运算都以加法运算为基础,减法运算、数乘向量运算都可以归结为加法运算.这一节内容初步展现了向量所具有的优良运算通性,为后面学习向量的其它知识奠定了基础;同时,加法法则又是解决物理学、工程技术中有关问题的重要方法之一,体现了数学来源于实践,又应用于实践.

2 教学目标设置

见表1.

3 学生学情分析

1)学生在上节课中学习了向量的定义及表示方法、相等向量、平行向量等概念,知道向量可以自由移动,这是学习本节内容的基础.

2)学生对数的运算了如指掌,并且在物理中学过位移的合成和力的合成等矢量的加法,所以向量的加法可通过类比数的加法、以所学的物理模型为背景引入,这样做有利于学生更好地理解向量加法的意义,准确把握两个加法法则的特点.

4 教学策略设计

1)本节课应充分的让学生参与教学,师生互动探究、同桌之间合作探究,实现本节课的三维目标.

2)在进行向量加法运算的教学时,要让学生认真回忆物理中关于位移、力的合成的知识,并给以适当的操作机会,使学生形成对向量加法运算的充分感知.注意向量加法的三角形法则和平行四边形法则所对应的物理模型.另外,使学生体会两种加法法则在本质上是一致的.

3)与数的运算律类比,通过探究让学生自己画图验证向量加法运算的交换律和结合律.同时指出,实数中的运算性质在向量中不一定适用,必须验证正确才可以使用.否则容易出错.

4)教学中要充分利用多媒体和计算机教学,增加教学的直观性,增强教学效果,注重“数形结合”、“类比”等数学思想方法的渗透.

5 教学过程设计

见表2.

6 板书设计

7 教学反思

以上是我参加2016年兰州市教学新秀比赛初赛所做的教学设计,教学设计用类比启发学生的思维,在学生原有的知识体系上,一步步引导学生从物理学中矢量的合成向向量加法运算过程发现两者之间的内在联系,并通过数的加法运算律类比猜想向量加法的运算律.

在教学过程中用从西北师大附中到兰化一中的公交线路中的位移合成作引例,从课堂效果来看,这是非常成功的引入,拉近了师生间的心理距离,吸引了学生的课堂注意力,激发了学生学习本节课的兴趣.我和学生一起总结了三角形法则和平行四边形法则的几何意义为:首尾相接首到尾,起点相同对角线.用对联的形式把几何意义呈现出来,让学生对向量加法法则有了更加直观的认识.在合作探究中引导学生同桌之间互相合作探究,效果较好.

本节课的不足之处:

第一,板书问题.虽然上课之前板书设计了好多次,但是到了真正讲课的时候,还是出现了小问题.一开始先是在放PPT,没有注意到板书,直到讲完向量加法的定义后才记起写板书,这时候才把前面的课题以及加法的定义写成板书,后面就正常了.

第二,细节的设计.在备课中意识到这个问题,要好好地设计两个向量,尽量使作图比较方便.可是真正到了上课时发现:例1中已知的两个向量在PPT上,而我要示范画法,必须在黑板上完成,画出来的向量和课件上的有出入,导致例1的讲解不够严谨.

第三,时间的合理安排.本节课在讲例2的时候可用时间太短,只能简略加以说明.

总之,在实际讲课过程中,教学环节与教学设计中预设的教学环节是有出入的.一方面是因为本教学设计有诸多不足之处,没有考虑周全;另一方面,是因为课堂是千变万化的,受到了多种因素的影响.