几何规划

2024-10-23

几何规划（精选4篇）

几何规划篇1

1982年, 曼德布罗特出版了《自然界的分维几何》一书, 短短几十年引起了许多学科的关注。分形几何作为一种新的概念和方法, 开始运用于许多领域。而标志着分形城市这一概念的产生则是1991年的《作为分形的城市模拟生长与形态》这一文章。第二年, 李后强、艾南山的论文《具有黄金分割特征和分形性质的市场网络》标志着国内学者开始讨论和研究“分形城市”。上文根据Clark模型的特性讨论了城市人口空间的分布特征。学者陈颜光和刘继生在依据城市体系分形理论的演绎推理中, 讨论了城市道路交通网络的分析特性。

分形的特性是具有原有形态上分化的自相似性和立体时空分形性, 而分形几何图形则是来源于数学映射运算中的反复迭代关系, 其图形具有丰富性、多样性。分形几何学不仅仅在理论上具有丰富的数学逻辑内涵, 并且在实际生活中, 它也具有很高的艺术研究价值和广阔的应用前景。在该文中主要研究了分形理论在城市规划中起到的作用, 通过对分形几何知识的逐步了解, 展现分形集之美, 阐释其如何形成与一些分形集与分形树的基本知识。以此为基本范围, 在初步了解分形几何之后引入实际的分形城市作为案例, 与分形理论相结合分析这些实际案例, 得出分形几何在城市规划中起到的作用以及其对城市规划的重要性。

1 分形的特征与自相似性

分形是分形几何学科的简称, 其研究的对象都是自然界中的不规则几何体。在我们的自然生存环境中不规则的物体和现象占绝大部分。所以, 分形学又被称为是表述自然的几何学。分形几何学科创立之后, 在学术界和工业界都引起了广泛的关注, 其不仅具有理论价值, 更具有很高的实用价值。自相似性是分形的重要特征, 即:分形物体的局部总能和其整体以某种方式相似, 而分形物体的整体却不随测量尺度的变化而变化。所谓自相似性, 通俗地说, 也就是:我们把几何图形的某一局部放大后, 其形状和总体形状是相似的。无论图形中多小的部分, 若把它放大到适当的大小, 一定能得到和原来的图形相似, 这一特性称为标度不变性。例如:从不同角度去拍海岸线照片时, 我们发现, 尽管视野不同, 但依然得到相似的海岸线图形。分形几何学理论正是运用这种自相似性和标度不变性把复杂的图形处理得简单化, 使分形图形成为我们认识复杂图形的新途径。

2 城市规划中的分形

“城市规划”是一个复杂的概念, 城市规划这一概念从古代开始就已经出现, 并不是什么现代才出现的新东西[1]。城市规划学科是建筑设计科学中分离出来的一个分支学科, 进而发展成为一门跨学科。城市规划可以定义为“对一定时期内城市的经济和社会发展、土地利用、空间布局以及各项建设的综合部署、具体安排和实施管理”。在保证城市空间资源的合理有效配置与土地利用的可持续发展上, 依据城市规划进行城市建设和城市管理, 可以实现城市经济合理快速地发展。

城市的功能同样能够轻易且明显地体现出一个城市整体与局部间自相似的分形特征。一个城市有着它自己独有的体系, 城市中的各个区域也同样有着自己的体系, 各个小区域中同样也有自身的体系。城市中的每个层次中心如市中心、区中心、镇中心, 在它们自身的功能上、服务上、规模上、形态上都具有着没有规律可循的自相似的特征。另外, 在城市道路中主干道、次干道等在空间心态上也是具有自相似的特征, 城市复杂的交通能够通过完整的、严谨的、科学的道路体系来实现。通过这些方面我们能够看到, 城市中部分与整体之间的自相似是人们对城市进行系统地规划和分析的重要手段, 分形几何在城市的规划中起到举足轻重的作用。举一个例子, 比如澳大利亚首都堪培拉, 堪培拉城依山傍水, 周围是茂密的森林, 堪培拉城由中心城和多个卫星城构建而成, 是典型的“田园城市”规划设计案例。田园城市的形状则是一个个圆形, 中心是公园, 由一条条的主要道路从中心向着外部发散, 核心是公共区域而外围则是工业使用, 如图1。在规划中把自然景色与城市景观紧密的联系起来, 建立城市的轴线, 通过多边的集合图形和向外发散的道路使得城市中的建筑和自然生态结合成和谐的一体。堪培拉城市规划有这样一些特点。

(1) 具有非常明显的城市中轴线。

通过中轴线统御整个堪培拉城的规划方式。整个中心轴线长约2 km, 在中心轴上使用了对称、自相似、对比、分形几何等构造的方式。在中国, 这种中轴线的设计也有非常多的例子, 比如北京城中的故宫, 同样是依靠中轴线进行了左右对称的设计, 北京留存至今的南北中轴线, 也是非常典型的代表[2]。设计者格里芬对堪培拉中轴线的使用相当得当, 不仅将南北两大区域的物理空间形成紧密的联系, 并且若是于首都山眺望中轴北部建于山下的建筑物还有非常好的对景效果。

(2) 巧妙的道路网构造。

在堪培拉城市的道路规划中将网格形、环形放射与六边形道路等许多几何形式结合分形几何中的自相似、自组织等理论知识, 非常巧妙地将区域内的山、水、地形、城市功能区域合理且巧妙地构造成一个非常完整的城市道路网体系, 这样的道路网体系不仅非常严谨、科学还非常的合理整洁。这也是科学与自然碰撞而产生的美。

(3) 城市构造之美。

堪培拉城市的构造之美, 一方面体现在城市道路方网格形、环形放射与六边形道路等许多几何形式的结合应用上, 这样的道路体系既包含着丰富的变化, 又非常的严密且秩序和谐;另一方面则是体现在城市内区域使用性质的安排上, 每个区域的功能安排明确在主次的安排上也非常得当, 还有就是体现在城市空间序列的分布上, 分布中空间的层次分明, 主客分明;最后是体现在城市道路和区域的疏密度上, 从中也能够看出整个城市的疏密分布得当不会显得太拥挤也不会显得太过疏远。这样的城市规划是非常科学的, 优美的, 在设计与规划上是超前的[3]。

大学是社会的缩影, 是城市规划中的一部分。上海电力学院新校区的规划设计就如同一个微型的城市一般, 在新校区的规划设计中我们也能随处看到分形所带来的美, 如图2。我们可以从新校区规划的2号方案的中间位置看到4次Koch曲线的影子, 所谓4次Koch曲线就是将一条欧式长度为主的直线进行4等分, 保留两端的两个小段, 而中间的两段改成一个向上, 另一个向下的小段, 使得和原来的两小段构成两个小正方形。

3 结语

城市经过近千年或者百年的发展而形成的分形几何特征, 是人和自然共同推进的结果。合理的城市形态才有利于人自身的发展。分形几何理论在城市规划理论中的研究可使人们重新认识了人与自然的本质联系。而现代城市强调对自然的征服和对机械的依赖是不利于城市发展的可持续性。分形几何学对城市规划设计工作具有非常重要的现实意义。城市规划设计的过程是一个“由上及下”的过程, 在对一个城市的土地进行规划的时候, 首先应该利用分析层次理论判断出该土地和其周边的环境之间存在的“大联系”, 之后才能对这块用地采取内部的规划设计工作。城市规划理论中引入分形几何元素, 可揭示现代城市问题产生的根源, 有利于未来城市形态的可持续发展。

摘要：分形几何是研究不规则图形的一种新方法, 以人类社会活动的空间结构与综合发展为研究客体, 其面对的繁杂现象和图形用传统量化工具处理十分困难。该文探讨将分形概念引入城市规划领域的必要性以及在城市规划研究中建立分形观念的意义。

关键词：分形几何,城市规划,必要性,意义

参考文献

[1]吴越, 王冉然.分形与城市规划[J].现代城市研究, 2004 (4) :53-57.

[2]凌贻清.探索分形学在城市规划设计方面的应用[J].南昌教育学院学报, 2012 (7) :78-80.

[3]殷韬, 朱荣.浅谈分形理论在城市规划中的应用[J].大众文艺, 2013 (5) :97.

非线性几何规划的几种算法篇2

几何规划算法(Geometric Programming,GP)是近几十年发展起来的最优化算法之一,是非线性规划的一类分支,也是特殊的一类非线性规划。几何规划算法最初的研究始于1961年,其理论基础是哈代的平均理论。

几何规划是一类具有特殊形式的非线性规划最优化问题,其目标函数和约束条件都有特殊的形式要求,即目标函数和约束条件都由广义多项式构成。几何规划在各领域已得到广泛应用[3,4,5,6,7,8,9,10]。

1 非线性规划及罚函数内点法

非线性规划问题的一般形式如下

${\begin{cases} \min F (x) \\ s . t . g_{u} (x) \geq 0, u = 1, 2, \dots, p \\ h_{v} (x) = 0, v = 1, 2, \dots, q \end{cases} (1)$

其中,x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn,F,gu,hv是定义在区间Rn内的实函数,定义F是所要求的目标函数,gu和hv是求解目标函数的约束条件函数。

其中,一般情况下gu和hv为关于自变量x的一元或多元单项式函数或多项式函数。自变量x为一元或多元。

内点法首先要构造如下罚函数

$ϕ (x, r^{(k)}, m^{(k)}) = F (x) + r^{(k)} \sum_{u = 1}^{p} \frac{1}{g_{u} (x)} (2)$

或

$ϕ (x, r^{(k)}, m^{(k)}) = F (x) - r^{(k)} \sum_{u = 1}^{p} \ln g_{u} (x) (3)$

算法流程一般为

(1)先构造出内点罚函数 $ϕ (x, r^{(k)}) = F (x) + r^{(k)} \sum_{u = 1}^{p} (1 / g_{u} (x))$ 。

(2)根据准则选取可行初始点x(0)、初始惩罚因子r(0)、惩罚因子降低系数C、收敛精度ε1和ε2,设置k←0;其中r(k)=Cr(k-1),0<C<1。

(3)求解无约束最优化问题,minϕ(x,r(k))的最优化点x*k。

(4)当k=0时,转算法步骤(5),否则转步骤(6)。

(5)设置k←k+1,rk=cr(k-1),x*k←x $_{k + 1}^{(0)}$ ,并转步骤(3)。

(6)根据终止准则,如果满足,则转步骤(7),不满足转步骤(5)。

(7)x*k←x*,F(x*k)←F*,得出最优化解(x*,F*)。

参数一般选择的准则为:

(1)两种方法确定r(0)的取值:取r(0)=1,根据计算结果,对r(0)的值进行适当的增加或者减小;根据经验公式 $r^{(0)} = | \frac{F (x^{(0)})}{\sum_{u = 1}^{p} \frac{1}{g_{u} (x^{(0)})}} |$ 。

(2)C的值一般取0.1～0.5。

2 几何规划及内点路径跟踪法

几何规划的标准形式如下

${\begin{cases} \min F_{0} (x) \\ s . t . F_{i} (x) \leq 1, i = 1, 2, \dots, m \\ G_{u} (x) = 1, u = 1, 2, \dots, p \end{cases} (4)$

定义目标函数和约束条件F0(x),Fi(x)是正项式的几何规划形式称为正项式几何规划,该类是在工程中运用较为广泛的几何规划形式。

可见正项式几何规划有两类约束条件:第一类:自然约束条件x>0;第二类:强迫约束条件Fi(x)≤1。显然,如正项式几何规划中没有强迫约束条件,那么,该问题就转化为无约束正项式几何规划问题。

2.1 对偶理论

如下的正项式几何规划形式

${\begin{cases} \min F_{0} (x) \\ s . t . F_{i} (x) \leq 1, i = 1, 2, \dots, m \\ x ＞ 0 \end{cases} (5)$

若

$F_{i} (x) = \sum_{t = 1}^{Τ_{i}} U_{i t} (x) = \sum_{t = 1}^{Τ_{i}} c_{i t} \prod_{n = 1}^{Ν} x_{n}^{α_{i} t_{n}}$

设一个T行、N列的矩阵A为正项式几何规划(P)的指数矩阵,其中A的第n列元素是由变量xn,1≤n≤N在优化问题的目标函数F0(x)和各约束条件函数Fi(x),1≤i≤m各项的指数构成,如式(6)所示

$A = (\begin{matrix} α_{011} & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & α_{01 Ν} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ α_{0 Τ_{0} 1} & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & α_{0 Τ_{0} Ν} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ α_{m 11} & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & α_{m 1 Ν} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ α_{m Τ_{m} 1} & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & α_{m Τ_{m} Ν} \end{matrix})_{Τ \times Ν} (6)$

式中,N是目标函数中变量xn的个数;T是所有约束函数Fi(x),(1≤i≤m)中项数的总和。即T=T0+T1+,…,+Tm。

此时,记

$d (β) \prod_{i = 0}^{m} \prod_{t = 1}^{Τ_{i}} (\frac{c_{i t}}{β_{i t}})^{β_{i t}} \prod_{i = 1}^{m} (β_{i 0})^{β_{i 0}} (7)$

称D

${\begin{cases} \max d (β) \\ s . t . β_{00} = 1 \\ A^{Τ} β = 0 \\ β \geq 0 \end{cases} (8)$

为原正项式规划P的对偶规划。

其中,β是T维向量

β=(β01,…,β0T,…,βm1,…,βmTm)T

若β*是对偶规划的最优化解,则原正项式几何规划的可行解只要满足

${\begin{cases} \sum_{n = 1}^{Ν} α_{0 t n} l o g x_{n} = \log [β_{0 t} d (β^{*}) / c_{0 t}], 1 \leq t \leq Τ_{0} \\ \sum_{n = 1}^{Ν} α_{i t n} l o g x_{n} = \log [β_{i 0}^{*} (β_{i t}^{*} c_{i t}), 1 \leq t \leq Τ_{i} \\ 1 \leq i \leq m, β_{i 0}^{*} \neq 0 \end{cases} (9)$

那么其就是原正项式几何规划的最优化解。

2.2 内点路径跟踪法算法流程

首先构造出正项式几何规划的对偶规划

$D = \max \prod_{u = 1}^{n_{m}} (\frac{c_{u}}{x_{u}})^{x_{u}} \prod_{i = 1}^{m} (β_{i})^{β_{i}} (10)$

设G(x)表示对偶规划问题的目标函数取对数后的值

$G (x) = \sum_{[0]} x_{u} \ln (\frac{x_{u}}{c_{u}}) + \sum_{i = 1}^{m} \sum_{[i]} x_{u} \ln (\frac{x_{u}}{c_{u} β_{i}}) (11)$

可以得出,原目标函数变换后的对偶规划函数是凸规划的问题结构

${\begin{cases} \min G (x) \\ s . t . A x = b, x \geq 0 \end{cases} (12)$

此时,在引入问题P的对偶规划问题D

${\begin{cases} \max b^{Τ} y - x^{Τ} \nabla g (x) + g (x) \\ s . t . A^{Τ} y - \nabla g (x) + z = 0 \\ x ＞ 0, z \geq 0 \end{cases} (13)$

定义令(x,y,z)∈Rn+×Rp×Rn+,则原目标函数和其对偶函数之间的可行残差分别为

γP(x)=b-Ax

γD(x,y,z)=∇g(x)-ATy-z

补偿残差为

μ(x,z)=xTz/n

P和D之间的对偶间隙为

xT∇g(x)-bTy

令X=diag(x),e是Rn上的单位矢量,一般可以选取初始点为x0=e,y0=0,z0=e,有X0z0=μ0e,那么该问题的初始残差为μ0=μ(x0,z0),γ $_{Ρ}^{0}$ =γp(x0),γ $_{D}^{0}$ =γD(x0,y0,z0)。

步骤1 设置g(x)的海森矩阵H←∇2g(x)。

步骤2 设γ=0,η=1,通过下式计算仿射方向(δ $_{x}^{φ}$ ,δ $_{y}^{φ}$ ,δ $_{z}^{φ}$ )

$[\begin{matrix} 0 & A & 0 \\ A^{Τ} & - Η & 1 \\ 0 & Ζ & X \end{matrix}] [\begin{matrix} δ_{y} \\ δ_{x} \\ δ_{z} \end{matrix}] = [\begin{matrix} η_{γ_{p}} \\ γ_{γ_{D}} \\ γ_{μ e} - X z \end{matrix}] (14)$

步骤3 对步长φ进行选择。

首先选择φR=min(φx,φz),其中

φx=max{-xj/(δx)j∶(δx)j<0}

φz=max{-zj/(δz)j∶(δ2)j<0}

选择φC,使得(x(φC),y(φC),z(φC))满足

$X z \leq σ μ, | X z - σ e | \leq ϕ μ$

一般取σ=1×10-8,ϕ=1×103。

选择φC,使得(x(φC),y(φC),z(φC))满足

$θ_{Ρ} x^{Τ} z \geq | γ_{p} |, θ_{D} x^{Τ} z \geq | γ_{D} |$

其中

$θ_{Ρ} = 10^{2} \times \frac{| γ_{Ρ}^{0} |_{1}}{(x^{0})^{Τ} z^{0}}, θ_{D} = 10^{4} \times \frac{| γ_{D}^{0} |_{1}}{(x^{0})^{Τ} z^{0}}$

最后选择步长φ=min(factor×φR,φN,φC),其中安全因子factor=0.999 5。

步骤4 刷新解

x←x(φ)=x+φδx

y←y(φ)=y+φδy

z←z(φ)=z+φδz

步骤5 算法终止依据为

$\frac{| γ_{Ρ} |_{1}}{1 + | x |_{1}} ＜ ε_{Ρ}, \frac{| γ_{D} |_{1}}{1 + | z |_{1}} ＜ ε_{D}, \frac{x^{Τ} z}{1 + | x |_{1} + | z |_{1}} ＜ ε_{C}$

式中,εC,εD,εP分别是相关的补偿容限,一般取εP=10-8,εD=10-8,εC=10-12。

3 序列二次规划法

序列二次规划法的一般流程为:

步骤1 根据正项式几何规划问题构造出相应的对偶规划问题D

${\begin{cases} \max d (β) \\ s . t . d_{m} (β) = 0, 1 \leq m \leq Ν + 1 \\ β_{j} \geq 0, 1 \leq j \leq Τ \end{cases} (15)$

步骤2 根据对偶规划问题(D)构造出相应的对数对偶规划问题 $\tilde{D}$

$\tilde{D}$ :

${\begin{cases} \max \tilde{d} (β) = \log d (β) \\ s . t . d_{m} (β) = 0, 1 \leq m \leq Ν + 1 \\ β_{j} \geq 0, 1 \leq j \leq Τ \end{cases} (16)$

步骤3 选取初始值β0,并确定需要的计算精度ε;

步骤4 计算梯度值∇d(β0),海森矩阵∇2d(β0),构造出二次规划问题D′

D′:

${\begin{cases} \max \begin{array}{l} \tilde{d} (β) = \tilde{d} (β^{0}) + [\nabla d (β^{0})]^{Τ} (β - β^{0}) + \\ \frac{1}{2} (β - β^{0})^{Τ} [\nabla^{2} \tilde{d} (β^{0})]^{Τ} (β - β^{0}) \end{array} \\ s . t . d_{m} (β) = 0, 1 \leq m \leq Ν + 1 \\ β_{j} \geq 0, 1 \leq j \leq Τ \end{cases} (17)$

步骤5 求解出D′,常规求最值方法得到最优化解β*。

步骤6 判别最优化解β*和初始值β0的关系是否满足: $| β^{0} - β^{*} | ＜ ε$ 。若满足,则停止迭代,转向步骤7;若不满足,则继续令β*=β0,并转向步骤4继续计算。

步骤7 对数对偶规划问题 $\tilde{D}$ 的最优化解是β*,因此β*也是对偶规划问题D的最优化解。

最后通过对偶关系表达式(9),求出原正项式几何规划问题的最优化解X*和最优化值F0(X*)。

4 算法比较

通过举例,用以上算法分别解答:

例1 min F(x)=x $_{1}^{2}$ +x $_{1}^{2}$ -x1x2-10x1-4x2+60

s.t. g(x)=x1+x2-8≤0

可以看出,数学模型运用SUMT内点法进行求解,解得最优化值为17.001,变量值为(4.999 8,2.999 8),迭代步数为4步。运用内点路径跟踪法同样对该问题进行求解,解得的最优化值为8,变量值为(8,6),迭代步数为7步。运用序列二次规划算法进行求解,解得的最优化值为8,变量值为(8,6),迭代步数为5步。

例2 min F(x)=x $_{1}^{2}$ +x $_{2}^{2}$

s.t. g1(x)=x $_{1}^{2}$ +x $_{2}^{2}$ ≤4

g2(x)=x1+2x2=3

可以看出,首先用内点路径跟踪算法对例二进行求解,解得的最优化值为1.8,变量值为(0.6,1.2),迭代步数为5步。

然后用序列二次规划算法进行求解,解得的最优化值为1.8,变量值为(0.6,1.2),迭代步数为2步。

例3 max F(x)=10x1+4.4x $_{2}^{2}$ +2x3

s.t. g1(x)=0.5x $_{3}^{2}$ +x $_{2}^{2}$ ≥3

g2(x)=x1+4x2+5x3≤32

g3(x)=x1+3x2+2x3≤29

x1≥0,x2≥0,x3≥0

由于例中求F(x)的最大值,故在软件实现中,可以令F′(x)=-F(x),这样就可以通过求F′(x)的最小值,最终求得的最大值。

首先用内点路径跟踪法对例3进行求解,解得的最优化值为251.385,变量值为(23.803 8,1.732 1,0),迭代步数为19步。然后用序列二次规划算法进行求解,解得的最优化值为281.6,变量值为(0,8,0),迭代步数为4步。

5 结束语

通过以上例子,可以看出,在解决以上3个问题时,分别运用了介绍的罚函数内点法、内点跟踪路径法和序列二次规划法,无论是迭代步数,或是运行的最终最优化解,序列二次规划法都是优于前两者。

摘要：介绍了非线性规划的数学模型(即具有不等式约束条件的求解目标函数最优化解的一类优化问题)以及现今求解这类非线性规划问题时,运用最为广泛的罚函数内点算法,同时介绍了解决几何规划问题的两种算法,内点路经跟踪法和序列二次规划法。通过实例,对比了文中所介绍的内点路径跟踪法和序列二次规划法的运算结果,最终给出结论。

关键词：非线性规划,罚函数法,几何规划,内点法,序列二次规划法

参考文献

[1]刘宝光.非线性规划[M].北京:北京理工大学出版社,1988.

[2]于春田,李法朝.运筹学[M].北京:科学出版社,2006.

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[4]AVRIEL M,WILDE D J.Optimal condenser design by geo-metric programming[J].I&EC Process Design and Develop-ment,1967(6):256-263.

[5]RIJCKAERT M J,MARTENS X M.Analysis and optimization of the Williams-Otto process by geometric programming[J].AIChe Journal,1974,20(4):742-750.

[6]SOESILO D,MIN K J.Inventory model with variable levels of quality attributes via geometric programming[J].Interna-tional Journal of Systems Science,1996,27(4):379-386.

[7]BALACHANDRAN V,GENSCH D.Solving the marketing-mix problem using geometric programming[J].Management Science,1974(21):160-171.

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[9]GUPTA R,BATRA J L,LAL G K.Profit rate maximization in multipass turning with constraints:a geometric programming approach[J].International Journal of Production Research,1994,32(7):1557-l569.

几何规划篇3

装配序列规划 (ASP) 经过多年研究, 已取得了不少研究成果, 建立了相对成熟的装配序列规划体系。然而, 现实的产品装配规划是个极其复杂的问题, 多数研究者在进行装配序列规划时会对该问题进行一些简化, 也即传统的装配序列规划问题只考虑简化的单调装配序列规划问题, 其特点是: (1) 规划零件为顺序装配, 每次完成两个零件或子装配体间的装配; (2) 零件间的所有装配关系一次建立, 且在装配过程中保持不变。

单调装配序列规划忽略了在装配过程中存在的拆装混合、反复试装等非单调情况。为了弥补传统单调装配序列规划算法的不足, 专家学者进行了研究:文献[1]针对虚拟装配中装配过程模型信息表达不完整的问题, 提出了一种基于层次链的产品装配过程建模方法, 对复杂的装配过程进行表示;文献[2]在分析装配单元、装配过程在产品装配过程中引入和退出装配环境的优先关系基础上, 提出基于有向图和无向图的连接图模型, 建立了集成装配过程信息的装配模型;文献[3]提出了虚拟环境下评价装配模型好坏的依据, 并给出了一种分层装配序列规划方法;文献[4]针对自动装配规划和交互式规划都存在不足的情况, 将虚拟现实和仿生算法结合起来, 提出一种生成优化装配序列的新方法;文献[5]针对卫星装配工艺特点, 分析了包含拆装混合信息的装配序列规划问题。上述研究工作都开始涉及到装配序列规划中的非单调情况, 但对非单调装配信息模型表达和序列规划技术研究不成体系, 没有对非单调的情况做详细分析, 所建模型不能很好地辅助生成装配序列, 这些都会影响非单调装配序列规划的有效性和实用性。

本文提出了一种基于知识规则与几何推理的非单调装配序列规划方法, 通过对非单调装配过程及其特点进行详细分析, 采用包含状态信息的层次关联图及装配知识规则两种方式对非单调装配信息进行表达, 基于该装配信息进行非单调装配序列的生成。该方法集几何推理的数学严谨性与装配经验知识的灵活性一体, 能有效解决非单调装配序列规划问题。

1 非单调装配过程分析

针对非单调装配过程的特点, 给出如下定义。

非单调装配顺序定义:对于一个装配顺序, 如果每个零件的装配是一次到位的, 即对于任一零件, 该零件安装后与之前已装配零件之间的相对位置始终保持不变, 不被后继的装配操作所更改, 则称此装配顺序是单调的。反之, 则称此装配顺序是非单调的。如图1所示的装配过程便是非单调装配顺序, 因为最后一步的操作改变了子装配1-2的原有结构。

对于非单调装配过程中存在的零部件状态不唯一的问题, 传统的以零部件为节点的装配模型无法如实反映。为了完整的表达产品的非单调装配模型, 我们引入粗粒度的装配任务类型 (Assembly Task, AT) 和细粒度的装配状态信息 (Assembly State, AS) , 对非单调装配过程进行表达。

装配任务AT:装配任务类型 (Assembly Task, AT) 是指为完成一个或多个零部件 (文中的零部件是指装配过程中的当前操作对象, 既可以是子部件, 也可以是零件) 的装调所需实施的连续过程。通过对不同形式的非单调装配过程进行分析, 总结归纳非单调装配过程可能包含的结构形式, 我们将非单调装配的装配任务类型分为组装任务、调整任务、拆卸任务。其中组装任务即传统单调装配任务, 调整任务和拆卸任务为非单调装配任务。

装配单元AU:一个完整的产品装配流程即将不同的零件或部件按照指定的约束顺序组装成总装配体的过程, 其中的零件或部件即称为装配过程中的装配单元 (Assembly Unit, Unit) 。由概念可知, 装配单元节点不严格区分零件和部件, 而将零件或部件统一看作其上一级装配体的结构成员。

基于非单调装配过程中装配任务的类型划分, 本文对非单调装配过程装配单元 (AU) 划分为关键节点、组装单元、关联关系组。其中关键节点即包含状态变化信息的非单调节点, 关键节点及其状态变化所对应的组装单元构成关联关系组。

装配状态AS:装配过程中零部件状态信息不唯一是非单调装配过程区别与传统装配过程的关键, 而装配状态 (Assembly State, AS) 是非单调装配过程中关键节点在某个时间点的状态表现, 它是装配过程中的零件属性信息。以拆卸任务为例, 在一个完整的拆卸任务中, 每个拆装节点至少包括“装、拆、装”三个状态变迁过程。同时, 零件装配状态的变化也对应装配过程的不断完善。

2 非单调装配信息模型的表达

2.1 包含状态信息的层次关联图

对于如卫星装配等结构复杂、零部件种类多的装配体, 用传统的装配模型表示会形成组合爆炸的问题, 使装配序列规划变得非常复杂。结合前文对于非单调装配过程所做的分析, 基于装配任务类型AT和装配状态信息AS, 丰富传统层次关联模型的内涵, 建立了一个集成零部件状态信息的层次表示模型。在该装配层次模型中, 产品的装配模型由装配任务-装配单元-装配状态三个层次。通过装配工艺知识确定子装配体、关联关系组, 简化装配层次模型, 并生成简化的层次关联图, 为后续的序列规划奠定基础。

由分析可知, 非单调装配多是由于装配作业是面向工艺组织而产生的, 其非单调节点定义在相应零件设计阶段、装配工艺规划之前, 故关键节点的状态信息及其对应的关联关系组也为已知条件。状态信息层很好地利用了装配过程中的已知信息, 丰富了非单调装配体的层次关系树的信息。

2.2 装配知识规则

层次联接关系图从图形角度为装配序列规划提供了完整、清晰的装配体信息。但装配序列规划是数字化装配系统中一个复杂的问题, 现如今的单纯的推理算法无法考虑装配过程中出现的拆装混合、重复试装等非单调问题。充分利用装配经验知识, 简化装配规划模型, 将一些已有的、常见的、符合习惯的装配部件的装配顺序按照一定的描述规范来建立一个规则库, 在装配序列生成推理时, 将装配体中的任一独立装配单元的联接关系图以及结构的相关装配工艺信息输入规则库中搜索与之相匹配的装配部件, 如果结构、功能类似则自动生成装配序列。该方法能在装配序列生成阶段剔除不符合装配工艺的装配序列, 提高装配序列规划的效率。

本文将该规则库定义为装配知识规则库。装配知识规则库主要是一系列成熟的装配知识按照一定的描述规范组建成的规则库, 而装配知识是指装配工艺人员在长期的日常生产实践中整理、挑选、总结出的装配经验。它由特定领域的描述、关系和过程组成。按照装配知识的特点划分, 将其分为两大类。

事实型知识:主要来源于具体产品的装配工艺事实, 主要用于同层子装配体之间、稳定的子装配体中所有零件之间装配顺序的判定以及子装配体和基础件的判定。事实型装配知识包括装配基础件判定知识、装配单元的判定知识。

经验型知识:即装配经验型知识, 指装配工艺人员在长期日常生产实践中总结出的用于判定独立装配单元中所有零件之间装配顺序的装配经验。经验型装配知识包括装配状态稳定性知识、装配操作方便性知识等。

根据基于装配知识特点的分类建立装配知识规则表, 如表1所示。

3 基于知识规则与几何推理的序列生成

根据以上分析, 提出一种基于知识规则与几何推理的装配序列分段规划方法来解决非单调装配序列生成难题。该方法基本思路是:在数字化预装配平台上, 以设计阶段产生的产品层次模型为基础, 根据实际需要, 由工艺人员依据装配知识规则对层次结构树直接进行调整与重构, 从而完成面向装配规划的产品子装配体再划分以及装配序列的初步划分;同时在子装配体划分的基础上, 采用几何推理的方法完成子装配体的装配规划, 最后完成非单调装配序列的规划。

非单调装配序列分段生成方法总体思路如下, 如图3所示。

(1) 首先输入装配模型信息, 包括层次关系模型、装配信息模型, 基于层次装配模型中的联接关系图进行装配基础件定义、子装配体提取;

(2) 参考装配工艺信息丰富层次关联图, 添加关键节点的状态信息及其对应的关联关系组;

(3) 比对装配知识规则库, 进一步提取装配信息, 构造整个装配体及各子装配体的联接关系图, 并将子装配体对应的超结点进行压缩得到层次联接关系图;

(4) 基于简化的整体联接关联图及零部件状态信息, 进行装配序列生成。参考装配知识规则库, 如果存在结构、功能类似的部分则可以直接运用装配经验知识正向推理生成装配序列;如果在装配知识规则库中没有搜索到与之相匹配的装配部件, 则利用拆卸法生成各子装配体装配序列;

(5) 正逆向序列结合得到总体装配序列, 并采用层次链装配过程模型对装配过程进行记录。

3.1 基于装配知识规则的推理

装配知识推理实质是一个装配序列专家系统, 在这个系统中主要是由两个相互独立的装配知识规则库和推理机组成。装配知识规则库中存放着依次按照条件规则标识号、条件表述、适用条件、条件标识号以及相对应的结论规则标识号、结论表述、结论可信度、结论标识号的装配经验知识。推理机主要的功能是实现事实与规则是否匹配的推理决策过程。黑板则主要是用来临时记录条件规则标识号, 条件标识号以及结论规则标识号、结论标识号等的有效工具。

在推理装配序列时, 首先将装配体中的任一子装配体的装配约束信息以及装配工艺信息确定事实输入装配知识规则库中搜索与之相匹配的装配部件, 如果结构、功能类似的规则, 则可以计算每一条规则的可信度CF值 (一般取值为0.5~1.0之间) 并且CF值最大的规则直接输出装配序列;如果在装配知识规则库中没有搜索到与之相匹配的装配部件则推理结束。整个装配知识推理的流程如图4所示。

基于上述的基于规则推理的装配序列生成的方法以及前文的装配知识规则库, 可针对某些具体和特定条件, 快速实现装配序列规划, 从而有效解决非单调装配序列规划问题, 提高装配序列规划的效率。

3.2 基于优先约束表生成可行序列

对于装配经验知识不能解决的问题, 则釆用基于优先约束的几何推理来生成子装配体的装配序列。

产品的装配顺序是由优先约束关系决定的, 包括硬约束和软约束两方面。只有满足优先约束的装配顺序才是可行的。采用虚拟环境下人机交互式拆卸的方法生成优先约束。将每个零件的拆卸操作定义为一个拆卸任务, 每个拆卸任务记录该零件的拆卸路径、拆卸方向和拆卸工具等信息。虚拟拆卸过程中, 根据零件之间的碰撞干涉信息生成硬约束, 根据人的经验和知识生成软约束。

定义优先约束表来记录和表达零件之间的优先约束关系。优先约束表来源于产品的装配关联图, 是一个n行n列的二维表格, 行标题Pi (1<i<n) 和列标题Pj (1<j<n) 分别表示产品的n个零件。表中的每一个元素Pij表示装配行元素Pi和列元素Pj间的优先约束关系集合。

定义1如果Pij的值为0, 它表示Pi和Pj之间不存在装配联接关系。

定义2如果Pij的值为1, 它表示Pi和Pj之间存在装配联接关系。

定义3如果Pij的值为1, 它表示Pi可以作为第一个装配的基准件。

定义4如果Pij的值包含优先约束算子“>xi”, 它表示Pi和Pj之间的装配必须先于引用联接xi所对应零件之间的装配。

定义5引用联接“xi”是为了方便表达零件之间的优先约束关系而定义的一个标记。根据需要, 任何两个零件之间的装配关系都可定义为引用联接。

基于优先约束列表的子装配体可行序列生成流程如图5所示。

4 结语

本文对非单调装配过程及其特点进行了分析, 采用包含状态信息的层次关联图及装配知识规则两种方式对非单调装配信息进行表达。最后提出了基于知识规则与几何推理相结合的非单调装配序列生成方法, 有效解决了包含拆装混合信息的大型、结构复杂装配体的装配序列生成问题。

摘要：针对传统装配序列规划不考虑非单调因素的问题, 提出一种基于知识规则与几何推理的非单调装配序列规划方法。首先, 对非单调装配过程及其特点进行了分析, 并采用包含状态信息的层次关联图及装配知识规则两种方式对非单调装配过程信息进行表达。最后依据所建立的装配信息模型, 采用基于知识规则与几何推理相结合的非单调装配序列生成方法, 实现非单调装配序列的规划。

关键词：制造业信息化,非单调装配,序列规划,知识规则

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几何规划篇4

关键词：城市广场,城市形象,景观设计

作为城市广场,首先不仅要体现其集会功能;其次还要有一定的观赏性和休闲性;能够充分的反映城市的历史和文化特色;广场作为城市空间在现代都市人的生活中,有许多属性,其中包含开放性,公共性和实用性,它必需充满时尚现代感,因此广场体现的是一个时代主题。

一、设计总体设计说明

(一)设计风格

现代景观设计在形式上寻求简化、客观、抽象,设计过程当中遵循“最少干预”的设计原则,以最少的元素实现人与自然的和谐同一。设计灵感来源于蒙德里安简单的线条构成,通过反复的线条拼接重组得出的几何图形来划分整个区域,在通过不同的材质组合规划空间功能布局。

(二)方案设计介绍

广场由西北面主入口最高的太阳能几何雕塑,整体升高,在视觉上形成修视效果,从入口看去,更能感受到一种恢弘的气势,以形式美体现思想性的精神面貌,以简约的,概括的现代手法为主,以做工精细的刻画简单而又不失细节,突出景观的观赏性和时代性。在设计上,相对注重垂直绿化,平面的绿化层次适当减少,整体绿化处理的手法上将以开阔、简练为主。在小品的设计上以功能和景观兼容为目的,使其不但能满足使用功能,也能达到景观修饰的效果。

以粗中有细、在传统上进行创新的手法给人一种新鲜的即视感。

前广场区域主要以简易几何图形拼接,几何广场里的太阳能照明雕塑,高大的体量,极具冲击力和渲染力。在植物的设计上,以看似对称而又不对称的方式进行划分,着重于平面效果和立面效果的结合。整个广场平面以大面积不规则的几何线条进行划分,看似随意而又整体的斜面草坪,不加以任何的修饰,视觉上体现空旷的感觉,而置身其中却又能感受到斜面草坪带来的空间趣味感。在广场周围分别种植高大的乔木,将整个广场包围起来,打造一个比较安静的环境供人们休闲、健身之用,体现本次设计以人为本的主题。厦门杏林属亚热带海洋性气候,光照充足,所以在广场各处分别布置各类太阳能景观照明灯,既有装饰效果,同时又满足夜间照明使用,增强夜间装饰效果。

(三)设计核心理念

本设计的核心思想是使人与自然,人与人,人与建筑,建筑与自然达到理想,人性的互动关系。创造出一个真正意义上的人文生态,时尚和谐的城市广场。

二、从场地研究到最终呈现完整效果的步骤

(一)场地业态研究

1. 设计条件

基地位于厦门市杏林区,杏林区位于厦门岛的西北面,九龙江出海口,区内有杏林。

杏林属亚热带海洋性气候,气候宜人,海滩宽阔。

(1)基地位于厦门市杏林区内,靠近郊区,按照后期城市往郊区扩散规律,该地后期价值将大大提升。(2)周边配套设施较为齐全,人口较为密集,整体属于待发展状态。(3)基地总规划面积6300㎡。(4)用地预备性质:城市广场。

2. 场地优势

(1)区位优势:项目位于城市边缘区,为未来集中开发区域。为场地的未来发展提供了良好的政策环境。(2)交通优势:用地周边城市道路系统发达,交通便利。(3)地形优势:整个项目用地平坦开阔,为项目的开发建设提供了良好的用地基础。

3. 场地形态及预发展状况

基地北面跨过城市主干道为8M高沿街商业,东面为12M企业中心,西南面为未开发区域,拟建生活广场A建筑坐北朝南,高约10M(太高会对生活广场照成压迫感),整个场地光照充足,将来西南面未开发区域开发也不会对基地环境照成太大影响,反倒能解决西晒问题。