几何概念（精选12篇）
几何概念 篇1
摘要：立体几何概念是中职教学的重点也是难点, 在教学中, 教师要引导中职生充分利用几何图形来感知立体几何概念.比如:要让学生清楚空间图形与平面图形的区别, 让学生过画图识图关, 用好立体几何的百宝箱——正方体, 等等.
关键词：几何直观,立体几何概念,中职生
17世纪的捷克教育家夸美纽斯把直观理解为利用一切感觉器官，更好地、更鲜明地、更牢固地掌握事物.徐利治先生说:“在数学中，我宁愿把‘直观’一词解释为借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物直接的感知或认识.”
数学的研究对象是数量关系和空间形式，数学直观有与此相应的特点.徐利治先生又说过:“借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知，即可称为‘几何直观’.有作为的数学工作者与教师都应重视数学直观力的培养与训练.”图形在立体几何学习中具有重要的作用，图形就是语言，它是从“形”的方面刻画事物，揭示事物的本质，表示位置关系和几何体的形态外貌，立体几何概念的学习自始至终离不开图形.
根据奥苏伯尔的观点，立体几何概念直观在教学中是引导性材料，它在立体几何概念学习中起到了先行组织者的作用.
从加涅的观点来看，建立几何直观实际上是对立体几何概念的一个加工过程，它可以让学生的感官受到刺激，直观所达到的学习效果的强弱，可以根据学生的学习状况来推断.
一、清楚空间图形与平面图形的区别
能够画图、识图，首要的一点就是要清楚空间图形与平面图形的本质区别.
平面几何里的图形可以把实际图形真实地反映出来，而立体几何的图形就不能.比如长方体，是由六个矩形构成，画图时就不能画六个矩形，而有的面画成平行四边形.这时要“以假乱真”，把平行四边形想象成矩形，把锐角想象成直角，等等.
同样的图形在平面几何和立体几何中就代表不同的含义，因而要注意细心分别.比如平面几何中的平行四边形，在立体几何中表示平面、正方形、矩形，在几何体中又是某一个侧面，这本身就容易造成混淆.
二、过画图、识图关
画图、识图的实质，也是一种空间想象能力的再现.加强识图和画图的训练是培养空间想象能力的重要手段，这是因为识图是人们通过对某一个空间图形的直观图和视图的观察、分析、想象，在头脑里保留建立其表象、认识其特征、完成对该空间图形的想象过程;画图是人们根据对某个空间图形的语言或符号的表达，在头脑中想象、策划出该空间图形，并按照画图规则画出某一图形的过程.识图与画图训练，有着实物和模型不能替代的作用.
1. 由图达义
就是要能迅速看懂直观图所反映的真实形象.观察立体图形时，要引导学生从上、下、左、右、前、后几个方向，甚至“钻进、钻出”地去观察，以获取对图形不同视线方向的认识.如图1能判定打开的书本的位置;图2依次表示平面的判定、直线与平面平行的判定、直线与平面平行的性质、直线与平面垂直的性质.
2. 将文字符号转换为图形
画图就是能画出文字符号所反映的立体图形，是从感性认识上升到理性认识，图画得好坏将直接影响对所论证的图形的理解是否正确.比如:
教师要高度重视作图教学，从最基本的空间图形的直观图入手，做好示范，严格要求，不可由着中职生随手乱画.对于立体图形，教师可以画出范例，让中职生模仿，然后告诉学生哪些画法可以，哪些画法不对.如图4表示直线与平面相交，图5表示两平面相交.
有一道习题为:如图6，空间四边形ABCD, AB⊥CD, AD⊥BC，求证:AC⊥BD.
从图形分析:作出A点在底面BCD上的射影O，连接BO, DO, BO⊥CD, DO⊥BC，易知O为垂心，再连接CO，则CO⊥BD，最后问题得证.此题基本上是通过作图，研究图形组成的元素，深刻理解内部结构和特性，从而找出相互关系，连辅助线，找出证明思路的.
3. 画图时要注意“增添”和“裁剪”
如画异面直线时，我们往往会把一条直线所在的平面画出，加以衬托，给人以异面直线的清晰印象，如图7.“衬托”增加了图形的立体感，但在有些情况下去掉一些线条甚至平面反而能增加立体感.
4. 画移出图
在较复杂的图形中，某些重要平面上的图形的视觉印象严重失真，“不识庐山真面目，只缘身在此山中”，大大增加了中职生对图形的理解难度，此时，应画出它的移出图，进行平面化的处理，将新的问题纳入到原有的认知结构中去.如图8与图9，平面图形ABC是立体图形三棱锥P-ABC的底面移出图 (其中H是P在底面上的射影) .
三、利用立体几何的“百宝箱”——正方体
正方体是立体几何中最常见的几何体，立体几何中的许多概念，都可以用正方体中的点、线、面的关系说明，它也成为考查立体几何知识的主要载体，素有“百宝箱”的美称.为此，可设计下面的表格，让中职生以一变应万变，轻松解决立体几何概念中的有关平行问题、垂直问题、距离问题、角的问题.
表1是对正方体内的28条线之间关系的总结.例如，在格 (2) 内要填写上，从12条面对角线和12条棱中各取1条 (不共面) 求它们之间成角如何?异面直线之间的距离是多少?其余5个格内的填写要求一样.
表2中的底面是指正方体的底面或侧面，把由首尾相连的三条面对角线所确定的正方体的截面记为α平面 (见图10) .
填写表2是让中职生研究、讨论正方体内28条线与20个平面之间的各种线面关系.如对表2中的格 (9) 的填写要求是，在8个α平面和4条体对角线中，任取一个平面和一条直线，如果相交，则求所成角的大小;如果平行，则求它们之间的距离.
表3中，如格 (6) 的填写，在8个α平面中任取两个平面，如果它们平行，则求它们的距离;如果它们相交，则求二面角的大小.
正方体这个“模型”是空间的几何图形中为中职生最熟悉，也最典型的一个图形，在填写三个表的过程中，需要从各个角度观察，直线与直线的关系、直线与平面的关系以及平面与平面的关系，这个“先行组织者”能有效地帮助中职生培养和提高空间想象力，进而融会贯通.
四、准确识别变式图形
图形的变式往往最让人迷惑不解，如果不深入细致地观察、深入地理解，就容易判断出错.
案例1异面直线
图11是利用不同的图形变式，作为直观材料与抽象概念之间的过渡，使中职生原有的感性经验从具体直观上升到图形直观，进而掌握概念图形的基本特征.
案例2斜线在平面上的射影
在学习平面的斜线，斜线在平面内的射影时，教材中给出的图形都是斜线自上而下在平面内的射影，虽然便于中职生接受，但不利于他们对概念的理解和对概念的灵活运用.因此，应尽量多地使用图形变式，使中职生多角度感知射影的特征.如:给出斜线在平面内的射影的概念后，要充分发挥中职生的主体作用，可以给出正方体AC1，让学生找出对角线BD1在正方体六个面上的射影，使学生感受在各个方向上的射影情况，形成正确的射影概念.
案例3直线与平面所成的角
在教学中分三种情况讲清概念，如图12，再给出图12的变式图13，揭示概念的实质是直线l和它在平面α上的射影所成的锐角.
案例4垂直
三垂线定理中的三种垂直关系，若是在图14中很容易找出来.在图15中，已知AB⊥平面β，A'B'为AB在平面α上的射影，β∩α=CD，则CD⊥A'B'，也是应用三垂线定理，比较图14就不那么容易看出来了.
图16中，已知PA⊥平面α，PB⊥平面β，α∩β=a, BC⊥a于C，求证:PC⊥a.
图17中，已知PA垂直于圆O所在的平面，AB为直径，C为圆上不同于A, B的任一点，求证:PC⊥CB.
图18中，PA⊥面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PC于E, AF⊥PB于F，则EF⊥PC.
此三个图中都有图15的变式图.通过图形的变式训练，而非直接灌输、就题论题，既让中职生理解了定理的含义，又丰富了有关内容的空间形式. (以上图形的识别，若能辅以多媒体技术，让图转起来，效果更佳.)
案例5二面角的平面角
在学习二面角时，课本中反映概念的图形通常是以标准位置给出，这种特殊性和一贯性，使学生形成思维定式，在遇到具体问题时抽象不出二面角及其平面角的位置形状，造成问题解决障碍.
在给出二面角及其平面角概念时，应尽可能利用图形变式，突出二面角及其平面角的内涵特征，帮助学生克服这一抽象性难点.如图19所示.
通过以上对二面角概念的图形变式，不仅锻炼了学生看图、识图的能力，而且归纳出了求二面角平面角的几种方法:定义法如 (1) (2) ，三垂线法如 (3) (4) ，射影面积法如图 (5) ，做垂面法如图 (6) .
参考文献
[1]毛京中.高等数学概念教学的一些思考[J].数学教育学报, 2003 (2) :84.
[2]王春灿.建构观下的立体几何教学研究[D].硕士学位论文, 华东师范大学, 2001.
[3]张素玲, 吴维煊.立体几何入门要过“四关”[J].新课程, 2005 (9) :39.
[4]东秀珍.激活学生思维, 教活立体几何[J].青海教育, 2007 (3) :45.
[5]钟善基.教学思想录 (中学数学卷) [M].南京:江苏教育出版社, 1997:170-171.
[6]石志明.关于立体几何开展探究性学习的研究[D].硕士学位论文, 西北师范大学, 2006.
几何概念 篇2
大洪山风景区长岗镇小 胡云全
提高数学课堂效率是一个老话题了，而如何提高数学课堂效率，至今还没有圆满的答案．我校在2010年申报了提高几何概念教学的有效性研究课题，在这一年的探索中，我将自己的粗浅认识介绍给大家：
一、内容要讲到点子上
课堂教学是学生在校期间学习文化科学知识的主阵地，也是对学生进行思想品德教育的主渠道．在当今新课程改革中，数学的课时减少，而内容方法并没有太多删减，这就给原来教熟了的老套路、老方法提出了挑战．在40分钟内教学生相应更多的内容，那么每句话都要说到点子上，讲练得精，尽量在有限的时间里，出色地完成教学任务．每一堂课都要有一个重点，而整堂的教学都是围绕着这个重点来逐步展开的．为了让学生明确本堂课的重点、难点，教师在上课开始时，可以在黑板的一角将这些内容简短地写出来，以便引起学生的重视．讲授重点内容，是整堂课的教学高潮．教师要通过声音、手势、板书等的变化或应用模型、投影仪等直观教具，刺激学生的大脑，使学生能够兴奋起来，对所学内容在大脑中刻下强烈的印象，激发学生的学习兴趣，提高学生对新知识的接受能力．
二、时间要用在刀口上
“效率”的含义，就是指单位时间完成的工作量和取得的收获．衡量一堂课的教学效率如何，主要看有效教学时间，即在教与学活动过程中学生学习知识、习得技能、形成能力和提高认识真正起作用的时间．因此，教师在课堂上必须千方百计地提高40分钟的利用率．
三、着力点要放在能力训练上
1．选择恰当的教学方法，是培养学生能力的重点
每一堂课都有每一堂课的教学任务，目标要求．教师能随着教学内容的变化，教学对象的变化，教学设备的变化，灵活应用教学方法．数学教学的方法很多，对于新授课，我们往往采用讲授法来向学生传授新知识．我们还可以结合课堂内容，灵活采用谈话、读书指导、作业、练习等多种教学方法．有时，在一堂课上，要同时使用多种教学方法．俗话说：“教无定法，贵要得法”．只要能激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性，有助于学生思维能力的培养，有利于所学知识的掌握和运用，都是好的教学方法．
2．要精讲例题是培养学生能力的关键
根据课堂教学内容的要求，教师要精选例题，可以按照例题的难度、结构特征、思维方法等各个角度进行全面剖析，不片面追求例题的数量，而要重视例题的质量．解答过程视具体情况，可以由教师完完整整写出，也可部分写出，或者请学生写出．关键是讲解例题的时候，要能让学生也参与进去，而不是由教师一个人承包，对学生进行满堂灌．教师应腾出时间，让学生思考教师提出的问题，或解答学生的提问，以进一步强化本堂课的教学内容．若课堂内容相对轻松，也可以指导学生进行预习，提出适当的要求，为下一次课作准备．
四、功夫要下在备课上
1．优化本节课的教学目标，重难点是备课的基础
因为备好课是搞好教学的基础之基础，根本之根本．教师只有深入钻研教材，精心设计课堂教学，才能取得良好的教学效果．备课的要求是多方面的，但至少要做到掌握本课的重难点．只有知道学生该学什么，才能弄清自己该教什么，否则，闭着眼睛捉麻雀，大抵是无效劳动而已．教学目标决定课堂教学的方向．课前准备是否充分直接影响课堂教学的效率，就是指应该把握教材，明确目的，联系学生实际，重点、难点出示及时，教学中紧紧抓住学生不会的，抓住思维的主线，教具准备充分，板书设计清晰．抓住难点展开教学．可以有效地克服教学中的随意性和盲目性，加强教学的针对性．抓教学重点问题，前文已经论及，但需要一提的是，有些内容，只有认真备课，深钻教材，才能准确把握，深刻理解．
2．备课时要注意引入，激发学生的学习兴趣
巧妙设疑，唤起学生的注意力．讲课时，恰当地设疑可以给抽象的语言增添催化剂，唤起有意注意和无意注意，刺激大脑兴奋中枢，使学生处于兴奋状态．我认为，课堂提问的目的，一是启发学生围绕目标积极思考，有疑即问；二是唤起学生的注意力，促使他们认真听讲．所以教师要恰到好处地设疑——把问题设在关键处、疑难处、转折处及规律的探寻中，让学生带着问题通过自己对教材的感知、理解、比较、分析、综合等思维活动，主动掌握知识．好的备课设计问题要能激发学习兴趣，培养学生对所学内容有兴趣，学起来就会精神愉快、注意力集中、越学越爱学；相反，如果对所学内容不感兴趣，就会感到学习是一种负担，表现在课堂上：无精打采、注意力分散，最终导致对数学厌烦、放弃．数学是一门抽象性很强的学科，如果教师讲课平铺直叙，容易引起学生的厌烦情绪．这就要求我们在授课时不能一味讲、满堂灌，而是通过各实际中的例子，把学生吸引到数学在生活中的重要作用中去，促使他们对数学产生浓厚兴趣，从而转为乐学．
五、善于应用现代化教学手段
随着科学技术的飞速发展，三机一幕进入了寻常教室．对教师来说，掌握现代化的教学手段显得尤为重要和迫切．现代化教学手段，其显著的特点，一是能有效地增大每一堂课的课容量，从而把原来四十分钟的内容在三十分钟中就加以解决；二是减轻教师板书的工作量，使教师能有精力讲深讲透所举例子，提高讲解效率；三是直观性强，容易激发起学生的学习兴趣，有利于提高学生的学习主动性．四是有利于对整堂课所学内容进行回顾和小结．在课临近结束时，教师引导学生总结本堂课的内容，学习的重点和难点．同时通过投影仪，同步地将内容在瞬间跃然“幕”上，使学生进一步理解和掌握本堂课的内容．在课堂教学中，对于板演量大的内容，如一些简单但数量较多的小问答题、文字量较多应用题，复习课中章节内容的总结、选择题的训练等等都可以借助于投影仪来完成．
总之，在新课改的今年，一定要努力学习和探索新的教学方法，使学生在理解知识的同时掌握技能和发展能力．由于学生在知识、技能、能力方面的发展和志趣、特长不尽相同，学生之间存在着个体差异，教师要创设条件，因材施教，使每个学生都得到不同程度的发展和提高．在教学中教师要精心设计，创设情境，充分调动学生学习的积极性，让每个学生都参与教学的全过程，在教师的启发诱导下积极思考并提出问题、解决问题，使学生的智慧潜能得到开发，提到数学课堂教学的有效性．
世博概念股价值几何 篇3
距离上海世博会开幕——2010年5月1日只有不到一个月了,世博会的筹办工作已经进入最后的冲刺阶段。随着世博会日趋临近,世博各项活动都将陆续举行,世博主题在资本市场关注度会越来越大。作为经济领域的奥林匹克盛会,世博会既是一个综合展览盛会,也是一场消费与投资的盛宴。
历史经验表明,世博会的召开会明显拉动旅游、零售等消费类行业。数据显示,1992年热那亚世博会期间的旅游收入相当于前期投资的11倍之多,1998年里斯本世博会也为当年葡萄牙创造了66亿美元的旅游收入。同时世博会带来的旅游业的兴旺也为零售、娱乐和服务产业创造了机会。1970年大阪世博会会场内外的个人消费、协会及展览馆的运营费等达4400亿日元,而以零售、娱乐和服务业为主的个人消费达到3300亿日元,占比75%。
对于本次上海世博会,业内人士预计最终参观人数可能远超世博局先前预测的7000万人次,乐观预测甚至可超过1亿人次,这将带来巨大的消费拉动。此外,世博会期间还有2万多场国内国际活动在上海举行,这将对上海本地的旅游酒店、零售、餐饮、物流等行业产生巨大的拉动作用。
据分析测算,上海世博会将直接拉动消费600～1000亿元,其中对酒店业影响最大,受益程度达34.3%,其他依次为航空业、零售业、餐饮业、市内交通业,受益程度分别为26.1%、14.8%、14.2%、10.1%。
随着世博会开幕的临近,世博概念股将再度升温,相关板块的投资热情将再次被点燃。作为今年最具意义的主题投资机会,一些受益面广、业绩弹性大的公司值得重点关注。
东方明珠:★★★★☆
行业类别:综合类
催化因素:世博旅游第一股
东方明珠被誉为具有长期核心竞争力的“世博旅游第一股”。作为上海地区唯一的无线广播电视传播经营者,公司垄断了上海地区的广播电视信号无线发射业务,经营收入长期稳定。当前公司依托文广集团的整体优势,确立了以新媒体产业为主导的战略发展方向,移动电视业务日趋成熟,发展前景看好。
随着2010年世博会的日益临近,由此带来的世博效应将日益明显。东方明珠参与合作经营的世博演艺中心项目将为公司进一步分享世博会商机,给旅游、媒体产业带来很好的机会。
业绩报告:2009年报预约披露时间: 2010-04-22
风险提示:上海环球金融中心的开业对东方明珠塔的旅游业将带来一定的压力。
锦江股份:★★★★☆
行业类别:旅游业
催化因素:经济型酒店领跑者
锦江股份的主要利润来源有三大块:锦江之星经济型酒店持续稳定的收入增长、公司持42%股份的上海肯德基、持股8%的苏州、无锡、杭州肯德基的稳定的投资收益和持有券商、银行等股份的投资收益。
世博会期间,游客数量的大增必定会给锦江之星带来源源不断的客源,预计2010年公司上海和华东地区门店平均入住率将分别有望达到95%和90%,平均房价提升10%以上,4家肯德基公司投资收益增加30%左右。
业绩报告:2009年报预约披露时间:2010-04-16
风险提示:短期来看,预计重组议案将使2010年业绩下降18%。
百联股份:★★★★☆
行业类别:日用百货零售业
催化因素:百货龙头优势尽显
作为华东地区的百货业龙头,百联股份在上海地区的百货零售业中有较高的市场占有率。目前公司拥有11家都市型百货公司,参股虹桥友谊,拥有4家老字号百货公司、3家社区型百货公司、1家奥特莱斯名品折扣店。未来公司将布局长三角,逐步开拓区域空间。
据资料测算,世博会期间,“百货+超市”购物将带来210亿元至330亿元的销售收入。按照百联股份占上海市百货零售公司30%的销售份额来估计,世博会将为百联股份带来63～99亿元的销售收入。
业绩报告:2009年营业收入102.7亿元,归属于母公司所有者净利润4.04亿元,基本每股收益0.37元。
风险提示:2010年世界经济不稳定、不确定因素依然存在,这些都将继续给零售行业带来冲击。
新世界:★★★☆☆
行业类别:零售业
催化因素:酒店业绩有望创新高
新世界主营业务为商业、酒店服务。新世界近10万平方米的百货门店位于南京路和人民广场交汇处,是上海的最中心地带,日均客流量可达10万人次。
世博会期间,南京路有望成为客流最为密集的商业圈,而借助世博轨道网络建设,新世界正在变成一个提供吃喝玩乐一站式服务的购物中心,2010年有望实现30%以上的销售增长,并为其公司贡献亿元以上的净利润。
业绩报告:2009年报预约披露时间:2010-04-18
风险提示:主要为世博对大消费概念的带动低于预期以及公司资产注入预期面临较大不确定性。
豫园商城:★★★☆☆
行业类别:零售业
催化因素:客流或爆发式增长
作为一家上海老字号,豫园商城可谓家喻户晓。上海世博会的召开将使老字号焕发青春,公司多项业务将更上一层楼,销售收入、利润都将有所增长。
公司先后竞标获得世博园区美食广场3块标段区域,经营面积8830平方米,占园区总餐饮面积的10.4%。官方预计,世博会期间的餐饮消费可能达到18亿元,按照经营面积均摊,豫园有望实现1亿多元的收入。仅此一部分就为公司餐饮业务带来22.7%的销售收入增长。
业绩报告:2009年报预约披露时间:2010-04-16
风险提示:公司的黄金业务受国际金价的影响,不确定因素较多。
申通地铁:★★★☆☆
行业类别:市内公共交通业
催化因素:需求爆发性增长
作为上海轨道交通中唯一的上市公司,申通地铁目前上市资产仅为地铁一号线的一部分,只占上市总资产的20%,其主营收入全部来自于一号线票务收入。
一号线是上海市客流量最大、运营状况最好的线路。目前一号线延伸段、二号线、四号线等路段的开通连接,为一号线带来了大量的换乘客流,随着轨道网络的逐步形成,换乘客流会有进一步的增长。且随着沪杭磁悬浮重启预期,未来上海地铁轨道交通需求将爆发性增长,而在这方面具备垄断稀缺优势的申通地铁无疑将成为市场新的龙头。
业绩报告:2009年主营收入8.41亿元,归属于母公司所有者净利润1.02亿元,基本每股收益0.21元。
风险提示:目前主要资产是地铁一号线经营权,由于票价收入增速放缓,平均票价水平有所下降,这块资产的盈利增长并不乐观。
上海机场:★★★☆☆
行业类别:机场及航空运输辅助业
催化因素:航空市场复苏带来机会
上海机场也是交运行业中受益世博比较明显的公司。公司2009年业务量增速前低后高,呈逐步复苏趋势。
有分析预计,2010年上海机场业务量将有30%的增长。按照2009年3171万人次的基数计算,预计世博会将带来25%左右的增速,加上正常10%的业务量增长,并考虑世博会对正常增速的挤出效应和重复效应,预计2010年公司浦东机场旅客吞吐量将超过4100万,增速超过30%。
业绩报告:2009年主营收入33.38亿元,归属于母公司所有者净利润7.06亿元,基本每股收益0.37元。
风险提示:航油公司投资收益是公司业绩的补充,但航油公司业绩取决于进口油成本和国内油销售的价差,未来国际油价波动使得公司这块投资收益并不稳定。
大众交通:★★★☆☆
行业类别:公共设施服务业
催化因素:隐蔽资产有望增值
受益于出租车业务的大众交通也是非常有看点的公司,除了其自身的出租车业务有望受世博提振(包括人流量增加和车辆增加)以外,其另一大亮点在于拥有很多隐蔽资产。
这些隐蔽资产主要包括:一、牌照价值重估,例如品牌价值或专利权,出租车公司牌照;二、土地及物业价值重估,主要涉及到经营物业开发、物业出租以及拥有土地储备的上市公司;三、股权投资价值的重估。
同时大众交通持有相当多股权,包括申银万国、江苏银行、上海银行、国泰君安、光大证券和大众保险的股权。最近又发起成立了上海徐汇大众小额贷款股份有限公司,其投资涉及多个领域,增值空间巨大。
业绩报告:2009年主营收入34.33亿元,归属于母公司所有者净利润6.11亿元,基本每股收益0.39元。
风险提示:由于公交行业属于公益性行业,受政策影响较大,从经营业绩来看,仍不容乐观。
交通银行:★★★☆☆
行业类别:银行业
催化因素:受惠世博且估值便宜
从世博角度看,交行将受惠上海举行世博及打造为金融中心的政策。交行是世博的环球银行伙伴,同时国务院宣布打造上海为国际金融中心,也将令交行受惠。
不过对投资者来说,目前交行最大的亮点还是在于估值便宜,按照2009年盈利来看,市盈率仅10倍有余,几乎是银行股历史上估值最便宜的阶段,一旦进入加息周期,银行股更将受益,值得关注。
业绩报告:2009年主营收入809.37亿元,净利润300.75亿元,基本每股收益0.61元。
儿童几何概念之形成 篇4
几何在我们生活周遭中处处随手可得, 如建筑物、艺术、地图与路标等.几何帮助人们用有条理的方式, 表现和描述生活的世界.事实上, 人们所创造出来的每一项事物, 几乎都是由几何形态的元素所构成的.所以几何是提供我们如何去阐释与反映外在物理环境的一种方法, 并且可作为学习其他数学和科学题材的工具, 加强几何的空间思考, 有助于高层次的数学创造思考.美国数学教师协会指出数学教育的主要目标是要发展儿童的数学推理及思考能力, 使其能够应用所学的数学知识和技能来解决在实际的生活中所遭遇的问题情境.而其中几何教学的目的是要协助学生学习了解以及运用几何的性质和关系, 并且发展学生的空间感.
小学学童在学习的过程中, 可透过皮亚杰的学习理论模式的观点进一步来解说.皮亚杰从认知发展的角度来看待儿童的几何概念发展阶段, 他认为儿童的几何概念系由简单的具体的形象表征, 再进一步到抽象概念的认知.另外是荷兰数学教育家Van Hiele夫妇, 他们将几何思考的模式区分成五个发展的层次, 每一个层次都有其发展的特征, Van Hiele也积极主张学习者思考层次的提升是经由教导, 而非经由个体年龄的成长而发展, 因此几何概念的教学活动扮演着相当重要的角色.于是Van Hiele在1986年提出了“五阶段的教学模式”, 教师借由学生几何层次的分类, 可以从中获得许多学生学习几何的讯息, 以作为教材准备及补救教学的回馈.
本文将分为三个部分来作讨论, 分别是几何图形概念、皮亚杰的空间概念理论与Van Hiele几何思考理论.
几何图形概念
美国数学教师协会提出:几何乃研究空间中的形状和空间关系, 几何可帮助人们用有条理的方式, 表现和描述生活的世界.几何是一门探讨空间关系与逻辑推理的数学.刘秋木 (1996) 在研讨几何概念的意义中也提到, 人类生存于世界便需要认识世界的种种性质, 人们透过知觉运动与世界互动中, 发现有些东西是可以滚, 有些是可堆栈的, 于是加以分析归纳, 分别出平的与曲的两种属性, 形成平面与曲面的概念.在这种探索中人们分析出许多有用的属性, 如形状、大小、方向, 等等.依据这些属性, 几何学家建立了他们的几何学问, 而产生一些几何系统.上述皆是针对几何学的说明, 虽然表面叙述的形式有所不同, 但是都强调几何是在研究空间中物体间的变化、转换及其相互关系, 因此所指的内涵都是相同的.
图形是为了明确地表现实物的形状、大小、位置而产生的一种概念, 从图1中, 我们可以进一步知道几何图形概念是经“理想化”或“抽象化”的过程而得到的概念 (吴贞祥, 1990) .例如:“四边形”概念的形成, 是生活中看到各种不同的四边形实物, 像书本、桌子、冰箱, 等等, 这些四边形的实物经过观察、思考、归纳、统整后, 发现一个共同特征, 即均由四条线段所围成的封闭图形, 由此呈现“形”的本质.
在几何图形概念中, 刘好 (1998) 曾做以下描述:图形并非实际存在的东西, 它是附着于具体存在的物体上, 从具体实物中摒弃其颜色、气味、材质、轻重、硬度、厚度、大小等特性之抽象结果.特性均可由肉眼具体明确地观察, 唯有此物体的“形状”对儿童而言是较为抽象的, 它必须摒弃此物体各种不相干的属性, 它不因物体的颜色, 或大小, 或摆放的位置而改变它.简单地说, 它仅是实物外观的样子.我们最常接触的是立体的图形, 平面图形是将具体物的表面拓印出来的结果, 通常透过立体图形的面来辨识.综合以上描述几何图形的概念可知, 日常生活中经常与几何息息相关, 而建立空间的概念与图形间的察觉、辨识、发现性质与关系是有相互关联的.
皮亚杰的空间概念理论
皮亚杰等人 (1960) 研究儿童的几何概念发展, 随着儿童年龄的成长对于空间知觉能力的进展, 所呈现出的几何性质 (geometrical properties) 有拓扑性 (topological) 、投影性 (projective) 、欧几里得性 (Euclidean) .儿童几何概念之形成即依上述三个阶段之顺序, 在4岁以前为拓扑几何概念, 依据图形是否封闭或开放而定, 完全忽视有关边长、角度、大小等欧氏几何关系, 完全是属于基本拓扑几何概念;4～7岁为投影性空间概念;一直到7岁开始才有欧氏几何概念.以下将叙述这三种几何体系:
一、拓扑学概念阶段 (4岁以前)
此一阶段的儿童与运思前期认知发展阶段有关, 仅能掌握拓扑学的图形概念, 即只注意到图形的内或外, 对于直线与曲线, 尚未具有严格区分的能力.同时, 对于长度或角的差异, 也不能做详细观察.例如要求儿童仿画正方形或长方形, 则往往会画成浑圆的形状, 或各边中间画成凹凸不直, 甚至画成近乎圆的形状.此外, 儿童对左右位置的变换也感到茫然, 他们并非不能感觉左右或曲直的不同, 而是他们在认知上无法了解构成左右或曲直的差异因素罢了.他们只能从接近、分离、包围、顺序、连续等观点来考虑事物的性质.例如:圆或四边形都是一个连续的简单封闭图形, 然而, 这阶段的儿童却不能区分两者的差异.他们对于物体的形状、大小、角度等要素都不会加以留意.
二、投影几何学阶段 (4～7岁)
此一阶段的儿童相当于运思前期到具体运思期认知发展阶段.皮亚杰等人 (1960) 认为这个阶段的儿童对外界的认知, 自己本身所在观点的视觉比其他的条件占较优越的地位, 凡是经过视觉所承认的事物, 他们才认为是真实的存在, 而蕴藏在视觉之外的事物都不真实, 他们深信各种形状都会原本照着视觉的感受而变化.例如:本来已确认是正方形的颜色纸, 若一旦拿开, 放在相隔一段距离的远处, 在儿童的心目中则认为变成了菱形或梯形, 而且也变小了.如果再把它拿回原来的位置, 儿童却又认为形状和大小都会回复到原来的样子.又例如:平行的火车轨道, 因随着距离的远离, 看起来其宽度会逐渐变狭窄, 看同一物体时会因相隔愈远而显得愈小, 这种情形在小孩来说, 并不是轨道的宽度看起来变狭窄, 或是物体的形状看起来较小, 而是认为真的变狭窄或形状真的变小.
总之, 这时期的儿童对外界的认知, 视觉要比其他条件占优势, 深信形或量都会原原本本照着视觉的感觉而变化.
三、欧几里得几何学阶段 (7, 8～11, 12岁)
由于欧几里得几何学涉及测量工作者, 与距离、角度、并行线、直线等的保留有关, 就欧几里得几何学的概念建构而言, 长度保留与距离保留二者是较为基本的.儿童获得长度及距离保留能力, 特别是长度保留能力之后, 自然能发展出测量的概念, 儿童最初是以最靠近自己的、本身最熟悉的工具 (自己的手或躯体) 来测量, 皮亚杰将此种策略称为“手的迁移”及“躯干迁移”;以后随着认知的发展, 儿童渐会使用量尺工具以补助测量.此外, 面积保留概念约在本阶段发展.在小学, 儿童的图形概念大部分都已发展到欧几里得几何学概念阶段, 所以根据皮亚杰的说法, 在本阶段的儿童应该都具备有关于线段长短、角度大小或面的大小的意识.
从以上的说明可知:皮亚杰理论的研究重点在于儿童发展几何概念的思考模式, 探讨几何概念形成的运思程序, 从最初发展的拓扑关系, 到投影再到欧几里得关系, 是属于年龄取向的阶段论, 注重发展的过程.
Van Hiele几何思考理论
Van Hiele几何思维层次
Van Hiele夫妇于1959年开始研究几何思维发展与设计几何教学课程, 并且很快地受到苏联教育家的注意.这个模式的最显著特色是将空间思维的了解分为五个层次, 这五个层次分别叙述了对几何事件的思考过程特征.
一、第0层次:可视化 (Visualization)
学生对图形的辨识与命名是根据其整体外观的, 也就是说图形的视觉特征——看起来像是什么形状.在这个层次中, 学生可以操作、测量, 甚至讨论形状的性质.但是, 这些性质并不是我们所认为的那么明确, 这只是学生对这个图形外表所下的定义.一个正方形就是一个正方形 (因为它看起来就像是一个正方形) .在这个层次中, 是以外观为优势取向, 它甚至能取代图形的性质意义.例如:一个正方形如果被旋转45度后摆放, 那么对一个处于第0层次思维的孩子来说, 这就不是一个正方形了.这个层次的孩子对图形的区别及分类, 还是深受视觉外观的影响 (我把它们放在一起, 因为分一分以后看起来都一样) .由此说明此一阶段的活动, 宜多安排感官操作之活动, 让儿童透过视觉进行分类、造型、堆栈、描绘、着色等活动获得概念.
二、第1层次:分析 (Analysis)
在分析这个层次的学生能够考虑一整组的形状, 而不是只对单一的图形有认识.他们不只能讨论这个矩形, 他们还可能去讨论所有的矩形.透过一整组的图形来看, 学生可以去思考怎样去制造一个矩形, 使它能成为一个矩形 (有4个边、对边平行且等长、4个角是直角、对角线会全等……) .在这个层次中, 学生开始会去欣赏图形的集合, 并且能把拥有同性质的图形聚集在一起.对单独形状的想法会慢慢地一般化到同一类的图形中, 而且能适用到其他的类别里.在第1层次中操作的学生, 可以列出所有正方形、长方形、平行四边形的性质, 但是还无法看出它们彼此之间的包含关系, 像正方形是包含于长方形, 而长方形则是包含于平行四边形.
三、第2层次:非形式演译 (Informal deduction)
当学生开始能够不受制于特别物体的约束而去思考几何对象的性质时, 他们就是已经具备发展对性质关系了解的能力了. (如果4个角都是直角, 那这个图形就是长方形.如果一个图形是正方形, 那么它所有的角就必须都是直角.所以, 一个正方形也一定是一个长方形.) 在这个层次中, 比较大的能力发展是“如果……那么”的推论, 图形通常可以从最小的特征来做分类.举例来说, 4边等长而且至少有一个直角的条件就足以定义一个正方形;而长方形则是一个具有直角的平行四边形.他们能由性质中的关系来做观察, 并且能聚焦在对于这些性质的逻辑论述.处于第2层次思维的学生, 已经能够遵循并且体会这种关于图形性质的非形式推论讨论了.不过, 他们对正式推理系统的公理结构的体会能力还是停留在很表层的.
四、第3层次:形式演译 (Deduction)
在第3层次中, 学生已经有能力去检验图形的性质了.当非形式论述的分析发生了, 那么公理、定义、理论、推论及假设的系统架构就要开始发展, 这也正是建立几何真理的必要过程.在这个层次中, 学生开始体会到逻辑系统的需要, 并且会仰赖一些来自于不同真理的最小假设.这个层次的学生已经有能力对几何性质做抽象性的叙述, 并且能够减少依赖直观的方式就能作出一些合乎逻辑的推论.第3层次的学生在操作中可以观察得到一个长方形的两条对角线彼此是对分的, 这就像是一个在较低思维层次的学生能做到的一样.但是, 对处于第3层次的学生而言, 他们还能够体会到要如何地去从论述的推论中来证明这件事的必要性.第2层次的思维者和他们比较起来就只能去做到遵循论述的结果, 却无法体会其中“为什么”的重要性了.
五、第4层次:严密性 (Rigor)
在Van Hiele思考层级的最高层次中, 是要理解公理系统间的关系, 而不是只在一个系统中做推论.而要能理解不同系统中的差异及关系, 这几乎是相当于一个从事几何研究的数学专家一样了.
在各层次中, 叙述了学童是如何思考, 以及他所思考的几何概念形式为何, 而不是指他拥有了多少的知识.当学童要从一个层次进入到另一个层次时, 他的几何思维就会有所改变.因此几何概念的发展, 在上述五个层次有其次序性, 学习者必须具备前一层次的先备知识后, 教师才能依据该能力, 进行更高层次的教学活动.
Van Hiele几何思考层次的特征
根据Crowley (1987) 对于Van Hiele几何思考层次的特性的描述, 他提出了五个特性, 兹将这五个特性分述如下:
1.次序性 (Sequential)
在Van Hiele几何思考的发展层次中, 学习者的发展层次一定是循序渐进, 在任何一个层次要成功的发展, 则必须拥有前一层次的各项概念与策略.
2.增强性或加深加广性 (Advancement)
从一个层次进阶到另一个更高的层次, 受到教学的影响比因年龄因素的影响来得大, 教师适当的教学与引导可以提升学童的几何思考概念, 但是没有一种教学方法能使学生跳过某一层次, 而直接进入到下一层次.这些方法或许能够增强过程发展, 但也有一些过程会阻碍各层次间的转换.
Van Hiele指出:如果教导程度较高的学童超过他实际层次的其他能力, 亦是可行的.如几何的实例, 包括面积公式的记忆或如正方形是长方形的一种集合关系, 像这些关系, 当讨论主题已降到较低层次而学童仍不能了解时, 即表示其成熟度不够, 学习终将无法达成, 亦不宜强迫灌输.
3.内因性与外因性 (Intrinsic and Extrinsic)
在某一层次的性质是属于内在的性质, 到了下一个层次, 此一性质就有可能成为外显的性质.例如:在层次一中, 仅由图形的外观来辨认图形, 但到了第二层次, 则是发现由图形的特征和组成要素来进行分析.
4.语言性 (Linguistics)
在每一层次中, 均有属于自己的符号语言和这些符号的相互关联系统, 因此, 在某一层次中属于正确的概念, 到了另一个层次时这个概念就必须加以修正.如:正方形可称为长方形, 又可以称为平行四边形, 在第二层次的学生可能无法将上述观念概念化, 但到了第三层次即可能理解其间的关联性.
5.不配合性 (Mismatch)
处于不同思考层次的人, 彼此间不能相互地沟通、了解.学童无法了解或解决超过他们层次的教材或是问题.假若学童是属于第一层次, 而老师的教学又是在另一个层次, 那么期望的学习历程或是教学效果就不可能会发生, 尤其是教师的教学过程、教材内容、教具的选择、教具的准备和语汇的应用, 均是属于较高的层次, 学童是无法完全理解其过程与结果.
Van Hiele的五个教学阶段
如前所述, Van Hiele认为各层次间的成长过程主要是倚靠指导, 而非由于不同年龄的成熟度, 因此教学的组织与方法、教材的选择与使用是非常重要的.基于以上的理念, Van Hiele也提出从一个层次要进阶到下一个层次的几何教学可分为五个阶段, 透过这五个阶段的学习之后, 使学生的思考层次能进阶到下一个层次, 兹将此五个教学阶段简要介绍如下 (谭宁君, 1993;吴德邦, 1998) :
1.第一阶段:学前咨询 (information)
在此阶段, 教师与学生双向讨论即将要教的主题, 老师作观察并发问, 借此了解学生的旧知识, 学生也得知即将学习的方向.
2.第二阶段:引导方向 (bound orientation)
此阶段之教学是让学生活跃地探索、操作, 教师的角色则是引导学生做合宜的探索活动——亦即当学生在操作形体时, 教师有结构、有顺序、一步步地引导其了解设定的概念与几何程序.
3.第三阶段:解释说明 (explication)
此阶段学生在其直觉知识基础上, 已开始注意并理解几何关系.教师带领学生以他们自己的语言讨论正在学习的主题, 并将几何概念与关系提升至明显理解的层次.一旦学生表现已理解正在学习中的主题, 而且也用自己的语言讨论, 教师就开始介绍相关的术语.
4.第四阶段:自由探索 (free orientation)
教师在这个阶段的角色是选择适当的教材和几何题目, 鼓励学生运用所学到的概念去省思并解答这些几何题目, 且容许不同的解题方法.
5.第五阶段:整合 (integration)
最后阶段学生乃将所学的作一总结, 将几何概念与程序统整成一个可述说、可运用的网络, 最后组织成认知基模.教师之角色是鼓励学生去省思与巩固其几何知识.
学童在某一个几何思考层次, 经过这五阶段学习后, 会发展到下一个新的几何思考层次.新的几何思考范围也会取代旧的几何思考范围, 而学生也将进入更高的层次, 再开始重复上述这五个阶段的历程.透过教师适当的教学、引导活动, 使学生进阶到下一层次能变得更容易, 学生不会因为年龄的增长而进阶到下一个层次.
数学专家学者曾提出几何课程的设计及教学与Van Hiele几何思考层次有密切关联, 如刘好 (1998) 曾说明由于几何教材内容属性的差异, 会影响学习者落入不同层次中, 小学低年级学童大都在层次一的视觉期, 故其对几何图形的了解须借由实物的操作、观察、描述与比较, 经过无数次具体经验, 使其在视觉层次具备丰富经验后, 才能渐进地达到较高层次.中年级学童大约可以达到层次二, 宜安排一些制作及检验的活动, 使学童从制作与检验中获得图形的性质.高年级学童大约在层次二至层次三的过渡时期, 可经由适当的观察学习及实际验证的方法, 分析图形构成要素及图形的性质 (吴德邦, 1998) .
从Van Hiele几何思考理论观点, 层次一的重点在于以视觉认识图形, 层次二的重点在于分析图形的构成要素与其间关系, 层次三的重点在于图形的定义及其间关系的推理, 前三层次是属小学、初中的学习内容.层次四则是几何概念的演绎推理, 层次五的重点在于了解抽象推理几何, 此两个层次应属于高中、大学以上或专家的学习内容.台湾数学学习领域课程深受Van Hiele的层次论影响.由此可知几何教材内容安排是合乎Van Hiele夫妇的几何思考发展层次.
小学几何教材可分为平面图形与立体空间两部分, 图形与空间的学习, 应该从学生的生活经验中所熟悉的形体入手, 发现形体的组成要素及形体间的关系, 进而能确立空间的基本概念, 教材的设计应透过学生所熟悉的生活情境来发展概念, 并安排适当的活动, 让学生获得足够的具体经验, 进而抽象到形式化的数学结果.小学的几何教学, 可以参考几何历史发展的轨迹与学童认知发展阶段, 尽量让学童发挥、拓展其几何直觉, 在操作中, 认识各种简单几何形体与其性质, 再慢慢加入简单的推理性质与彼此之间的关系, 为以后衔接中学几何的教学打下良好的基础.
参考文献
[1]吴贞祥.幼儿的量与空间概念的发展.国教月刊, 1990, 37 (1, 2) , 1-10.
[2]吴德邦:Van Hiele几何思考层次之研究.台北:许氏美术印刷有限公司印行, 1998.
[3]刘秋木.国小数学科教学研究.台北:五南书局, 1996.
[4]刘好.平面图形教材之处理.台湾省国民学校教师研习会编印, 1998:195-196.
[5]谭宁君.儿童的几何观——从Van Hiele几何思考的发展模式谈起.国民教育, 1993, 33 (5, 6) , 12-17.
National Council of Teachers of Mathematics (2000) .Principles and standards for school mathematics.Reston.VA:National Council of Teachers of Mathematics, Inc.
Crowley, M.L. (1987) .The Van Hiele model of thedevelopment of geometric thought.In M.Lindquist&A.P.Shulte (Eds.) , Learning and teaching geometry, k-12, (1987Yearbook of the National Council of Teachers ofMathematics) (pp.1-16) .Reston, VA:NCTM.
Piaget, J., Inhelder, B.&Szeminska, A. (1960) .Thechild's conception of geometry.London:Routledge and KeganPaul.
Piaget, J., &Inhelder, B. (1967) .The child'sconception of space (F.J.Langdon&J.L.Lunzer, Trans) .New York:W.W.Norton.
导数的概念及其几何意义3导学案 篇5
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三大段
一中心
五环节
高效课堂—导学案
制作人：张平安
修改人：
审核人：
班级：
姓名：
组名：
课题
第六课时
导数的几何意义
（二）学习
目标
掌握切线斜率由割线斜率的无限逼近而得，掌握切线斜率的求法
学习
重点
（1）能体会曲线上一点附近的“局部以直代曲”的核心思想方法；（2）会求曲线上一点处的切线斜率．
学习
难点
（1）能体会曲线上一点附近的“局部以直代曲”的核心思想方法；（2）会求曲线上一点处的切线斜率．
学法
指导
探析归纳，讲练结合 学习
过
程
一
自主学习
．情境：设是曲线上的一点，将点附近的曲线放大、再放大，则点附近将逼近一条确定
的直线．
2．问题：怎样找到在曲线上的一点处最逼曲线的直线呢？
如上图直线为经过曲线上一点的两条直线．
（1）判断哪一条直线在点附近更加逼近曲线．
（2）在点附近能作出一条比更加逼近曲线
的直线吗？
（3）在点附近能作出一条比更加逼近曲线的直线吗？
3.归纳
（1）．割线及其斜率：连结曲线上的两点的直线叫曲线的割线，设曲线上的一点，过点的一条割线交曲线于另一点，则割线的斜率为
．
（2）．切线的定义：随着点沿着曲线向点运动，割线在点附近越来越逼近曲线。当点无限逼近点时，直线最终就成为在点处最逼近曲线的直线，这条直线也称为曲线在点处的切线；
（3）．切线的斜率：当点沿着曲线向点运动，并无限靠近点时，割线逼近点处的切线，从而割线的斜率逼近切线的斜率，即当无限趋近于时，无限趋近于点处的切线的斜率．
二
师生互动
例1．已知曲线，（1）判断曲线在点处是否有切线，如果有，求切线的斜率，然后写出切线的方程．
（2）求曲线在处的切线斜率。
分析：（1）若是曲线上点附近的一点，当沿着曲线无限接近点时，割线的斜率是否无限接近于一个常数．若有，则这个常数是曲线在点处的切线的斜率；（2）为求得过点的切线斜率，我们从经过点的任意一点直线（割线）入手。
例2．已知，求曲线在处的切线的斜率．
分析：为了求过点的切线的斜率，要从经过点的任意一条割线入手．
例3．已知曲线方程，求曲线在处的切线方程．
三、自我检测
练习第1，2，3题；
习题2-2A组中第3题
四、课堂反思、这节课我们学到哪些知识？学到什么新的方法？
2、你觉得哪些知识，哪些知识
还需要课后继续加深理解？
五、拓展提高、补充：判断曲线在点处是否有切线？如果有，求出切线的方程．
统计命题立体几何的有关概念 篇6
中位数 一组有序的数的中间数.如果没有中间数（因为有偶数个项），那么中位数是两个中间数的平均.例如，组2，3，7，11，12的中位数是7；而3，4， 7，9，11，13的中位数是8（7和9）.
mode The element that appears most frequently in a given group. For example， the mode of the group 0， 0，9，9，9，12，87，87 is 9（Not all groups have modes）.
As a statistic， the mode is used commercially to decide which sector of the community should be the target of advertising. For example， if it were found that the modal age range of people buying a washing machine was 25~30， the advertisements for washing machines would all feature people of that age.
众数 在一个给定的组中出现次数最多的元素.例如，组0，0，9，9，9，12，87，87的众数是9（不是所有的组都有众数）.
作为一个统计量，众数常用于在商业上决定把公众的那一部分作为广告的目标.比如说，发现购洗衣机人群的众数的年龄范围是25~30，则洗衣机广告就全把这种年龄段的人放在显著地位.
random numbers A sequence of figures in which all figures within a certain range have an equal chance of occurring at equal frequencies over a given period. Many calculators have a random?鄄number button which can be used instead of a dice in games of chance. Computers also have a capacity to produce random numbers.
随机数 一列数字，其中所有在一定范围内的数字在给定的周期上以相同的频率等可能地出现.许多计算器都有随机数按钮，它可被用来代替偶然性游戏中的骰子.计算机也可以产生随机数.
mathematics Science of spatial and numerical relationships. The main divisions of pure mathematics include geometry， arithmetic， algebra， calculus， and trigonometry. Mechanics， statistics， numerical analysis， computing， the mathematical theories of astronomy， electricity， optics， thermodynamics， and atomic studies come under the heading of applied mathematics.
数学 关于空间和数量关系的科学.纯数学的主要分支包括几何、算术、代数、微积分和三角学.力学、统计学、数值分析、计算以及天文学、电学、光学、热力学和原子学说的数学理论归于应用数学的范围.
mathematical sentence Any mathematical phrase that includes any of the following symbols：＜，≤，＞，≥，=，≠. For example， 3x+y≤15，7＜x＜12，-3×（-3）=9 are each a mathematical sentence. Any mathematical sentence with an equals sign， such as -3×（-3）=9， is specifically called an EQUATION.
数学语句 包括下列任何符号的任意数学用语：＜，≤，＞，≥，=，≠.例如，3x+y≤15，7＜x＜12，-3x-3=9都是数学语句.任何带等号的数学语句，如-3x-3=9，被特别地称为方程.
theorem Mathematical proposition that can be deduced by logic from a set of axioms（basic facts that are taken to be true without proof）. Advanced mathematics consists almost entirely of theorems and proofs， but even at a simple level theorems are important.
定理 能用逻辑从一组公理（不用证明而认为成立的基本事实）推导出的数学命题.高级的数学几乎全由定理和证明组成，但是即使是在低水平上，定理也是重要的.
conjecture To hypothesize about a conclusion without enough evidence to prove it.
猜想 假设一个结论成立，但尚没有足够的证据证明之.
deduce〓To arrive at a conclusion through logic by working from a given statement to its necessary consequence.
推断，演绎 通过逻辑从给定的命题推进到它必然的结果以获得某一结论.
coplanar In geometry， describing lines or points that all lie in the same plane.
共面的 几何述语，描述线或点落在同一平面上.
dimension In geometry， the number of measures needed to specify the size of a figure. A point is considered to have zero dimension， a line to have one dimension， a plane figure to have two， and a solid body to have three.
学好几何的关键是理解概念 篇7
几何学是一座建立在一系列的概念和公理、定理之上的“高楼大厦”。课本的开头部分概念很多,掌握好这些概念就像给这座大厦打好地基一样重要。学习几何概念要注意理解它的实质,千万不要只是死记硬背,理解其意。具体地说,学习的每一个概念都应该做到以下几个方面。
一、要会描述
学生要先弄清概念的三个方面:(1)定义———对概念的判断;(2)图形———对定义的直观形象描绘;(3)表达方法———对定义本质属性的反映。学生要注意概念间的联系和区别,在理解的基础上记住公理、定理、法则、性质。就是能正确地叙述概念的定义。几何概念是几何图形本质属性的思维形式。概念和词语是密切联系着的,词语是概念的语言形式,概念是词语的思想内容,两者紧密联系、不可分割,但是,概念和词语之间并不是一一对应的。这是因为不是所有的词语都能表达概念的(如虚词);同一个概念可以用不同的词语表达(如“等边三角形”和“正三角形”表示的是同一个概念)。我们要在掌握概念本质含义的前提下,去对它下定义、去表达它,切不可死记硬背书本上或老师给出的叙述性语句,而应该用我们自己的语言去准确地表述。当然,课本上所给出的定义,通常是准确而简洁的,对这些内容要努力将其吸收转化成自己的语言。
二、会画图
学生要学好几何语言。几何语言又分为文字语言和符号语言,几何语言总是和图形相联系。如文字语言:∠1和∠2互为补角,符号语言:∠1+∠2=180°或∠1=180°-∠2,或∠2=180°-∠1。就是能画出表示概念的图形(包括变式图形),熟练地掌握概念的标注和读法,平面几何是研究平面图形的科学,学习平面几何当然离不开几何图形。所画的图形应十分准确,才能客观地反映概念所揭示的本质含义,才便于我们去探索论证。对概念的标注的读法,要规范。一些约定俗成的“规矩”,我们必须严格遵循(如标注点,要用大写的英文字母,等等)。
三、会识图
因为“看”是吸引,“说”是表达,看是说的基础,只有看得清楚,才会理解得透,看懂已知条件和结论的关系。几何的证明重在根据图形的特点结合已知条件和要达到的目的进行推理。学生通过直观思维,可以根据书上的图形,动手动脑用硬纸板、竹片等做些图形,详细进行观察分析。这样既可帮助学生加深对书本定理、性质的理解,进行直观思维,又可逐步培养观察力,能在复杂图形中正确地识别表示某个概念的那部分基本图形,也能把几个简单图形组合成一个较复杂的图形。
四、会翻译
学生要富于想象。有的问题既要凭借图形,又要进行抽象思维。比如,几何中的“点”没有大小,只有位置。现实生活中的点和实际画出来的点就有大小。所以说,几何中的“点”只存在于大脑思维中。“直线”也是如此,直线可以无限延伸,谁能把直线画到火星、再画到银河系、再画到广阔的宇宙中去呢?直线也只存在于人们的大脑思维中就是能对概念的文字语言与结合图形的数学语言进行互译,几何语言非常精炼、严谨,逻辑性很强,每一句话都有相应的“图”与“式”,语、图、式三者之间要根据需要相互转化。
五、会应用
学生要边学习、边总结、边提高。几何较之其他学科,系统性更强,学生要把自己学过的知识进行归纳、整理、概括、总结。比如证明两条直线平行,除了利用定义证明外,还有哪些证明方法?两条直线平行后,又具备什么性质?在现实生活中,哪些地方利用了平行线?只要细心观察,不难发现,教室墙壁两边边缘,门框、桌、凳、玻璃板、书页、火柴盒,大部分包装盒……处处存在着平行线。学生要能运用概念进行简单的判断、推理和计算。要牢固地掌握概念,一靠理解,二靠运用。要在运用中强化和巩固概念,进而形成概念系统。
例如,解答“已知一个等腰三角形两条边的长分别是5和8,求这个三角形的周长”这一问题时,学生首先要明确“有两条边相等的三角形叫等腰三角形”这一概念,在此基础上再进行分类:当腰长为5,底为8时三角形的周长为5×2+8=18;当腰长为8,底为5时三角形的周长为8×2+5=21。学生通过这样的运用,不仅能牢固掌握概念,而且能丰富和完善想象,提高分析问题和解决问题的能力。又如,我们要证明两条线段相等,可以归纳出来以下途径:(1)利用全等三角形;(2)利用等腰三角形的性质;(3)利用平行线等分线段定理的推论;(4)利用直角三角形斜边中点的性质;(5)利用垂直平分线上的点的性质;(6)角平分线的性质;(7)利用平行四边形、矩形、菱形、正方形等性质的运用。
小学数学几何概念的教学策略 篇8
有效的几何概念教学, 必须遵循概念形成的规律, 符合学生认知发展的规律, 经历由浅入深, 由具体到抽象再到具体应用的过程, 只有抓住概念的本质属性进行教学, 才能有效促进学生思维的发展。
一、采用支架式教学方法
教师依据几何概念教学内容的需要, 如“圆的周长”的教学, 可采用这样的教学模式组织教学:创设问题情境→提出问题激发探究欲→操作材料, 运用观察、测量方法等方法展开研究→归纳概括几何图形特征→建立对应的几何概念框架。这其实就是在采用建构主义的理论下的支架式的教学方法, 将学生置身于积极探究的氛围中, 随着对“如何求圆的周长”探究活动的不断深入, 一步步将学生的智力从一个水平升到另一个新的更高水平。
二、充分运用直观手段
小学数学教学中的直观教学就是指教师积极的在教学过程中充分的运用实物、模型、挂图、多媒体课件等教具和学具, 让学生通过实际的操作、观察、比较等探究活动, 帮助他们理解和掌握蕴含其中的数学规律, 促进他们的思维发展。
如在“正方体的认识”一节教学中, 为了让学生认识正方体除具有长方体的特征外, 还具有其特性。教学时, 可制作一个活动的长方体框架模型, 通过长方体转化为正方体的演示, 使学生认识到长方体和正方体之间的联系和区别, 加深学生对“正方体是一种特殊的长方体”这一概念的理解。教师在选择教具时, 应根据教学内容进行选择, 所选教具应形象、生动、鲜明, 并为儿童所熟悉。
在教学中, 教师应多给学生用学具摆一摆、拼一拼、分一分等动手操作的机会, 使学生在动手操作中感知新知, 获得表象, 理解和掌握有关概念的本质特征。如在教学中, 可让学生通过动手画、量、折叠、剪拼几何图形, 做一些立方体模型, 使学生感知几何形体的形成过程、特征和数量关系。如学生在用圆规画圆时, 通过固定一点、确定不变距离、旋转一周等操作, 对圆心、圆的半径和圆的特征, 怎样画圆就会有较深刻的感性认识。
三、在多媒体环境下实施新型教学模式的教学
小学生生活知识面窄, 感性知识少, 抽象思维能力较弱, 运用信息技术能直观形象地把整个过程显示出来, 可以给学生身临其境的感觉, 为他们学习数学知识架设一座由形象思维到抽象思维过渡的桥梁, 帮助他们理解知识。采用多媒体课件动态图像演示, 借助其丰富的媒体不仅能把高度抽象的知识直观显示出来, 而且其突出的较强的刺激作用, 有助于学生理解概念的本质属性, 促进学生“建构”。
如《线段、射线、直线》的教学, 我们可以先在屏幕上显示一组图形, 让学生辨认直线和线段, 然后, 将线段向右边似光线射出一样地匀速延伸形成射线, 使学生看后悟出射线是怎么形成的。多媒体课件还能把复杂信息分解为简单的连续信息, 以利于学生对复杂信息的识别。如在《圆的画法》的教学中, 可先让学生观察一条线段绕一个端点 (定点) 顺时针旋转, 直至另一端点扫出一个圆, 让学生初步感知圆的形成过程。接下来, 将画圆的步骤分解展示给学生, 使学生获得“画圆”的完整信息。这样, 学生就会牢牢记住画圆的每一个步骤和要领。借助多媒体课件还能将那些看似静止的、孤立的事物活动起来, 从而使学生较容易地找出事物之间的联系, 促进对知识的理解。
四、鼓励学生大胆猜测, 认真实践, 敢于创新
数学知识蕴含着诸多概念、规律、法则。而这些知识对于理性思维偏弱、空间想象力较差的小学生来说, 单纯的文字逻辑性的学习是枯燥乏味的, 也必定是低效的。此时, 不妨先让学生大胆猜测, 然后将这些概念、规律、法则物化于学具的实践操作中, 让学生在做一做、想一想中感悟、理解、运用知识。
(案例) 在教学《周长》一课后, 教师都会让学生解决这样一个问题:比一比哪个图形的周长更长?
学生通过想象、分析、变换容易得出三个图形的周长是一样的。他们的方法基本是通过改变缺角边的位置, 将它们的周长转化成正方形的周长。不过在一节公开课上, 有学生提出也可以通过折的方法得出这三个图形的周长是相同的。但因受小学生语言表达能力及空间想象力的限制, 其他同学都很难理解这位同学找到的规律。此时, 我随手找出一张正反面不同色的正方形纸片, 让这位学生折一折。就这么一折, 个中规律跃然眼前。其余学生触类旁通, 纷纷总结:不管有多少个“阶梯”都能用这种方法证明这样的图形的周长跟正方形的周长是一样的。就简单的一张操作纸, 既解释了为什么折也能证明这三个图形的周长是相等的, 又让学生在折、想的过程中丰富了空间想象力。
这样, 我们在教学中以“猜想→验证→归纳”几个环节为主线, 展开对几何形体知识的探讨, 做到以参与求体验, 以创新求发展。
总之, 从学生认知特点和现实起点出发, 运用各种有效的教学方法、策略, 以发展观念开展教学, 紧扣概念本质, 敢于实践, 锐意创新, 已经收到了良好的教学效果。
摘要：有效的几何概念教学, 必须遵循概念形成的规律, 符合学生认知发展的规律, 由浅入深、由具体到抽象再到具体应用的过程, 只有抓住概念的本质属性进行教学, 才能有效促进学生思维的发展。
初中数学几何概念和定理教学探析 篇9
一、重视概念和定理的引入方法
首先, 教师要在课堂教学中抓准时机, 将几何概念和定理自然地引出来, 进一步揭示其产生的基础和背景, 使学生能够在充分理解的基础上掌握和运用几何概念和定理。由于几何概念和定理是前人从生活中抽象出来的精辟的理性认知, 单纯让学生死记硬背, 教学效率必然不会理想。因此, 数学教师要选择恰当的时机来引入概念和定理, 并引导和帮助学生完成从感性认识到理性认识的过渡。而这就要求教师在课前做好充足的准备工作, 为学生提供丰富的直观资料。比如, 在平行线概念的教学中, 教师可以利用铁路两条笔直平行的铁轨、汽车行驶后留下的车轮印等来引出这一概念。在课堂的一开始, 教师可以先让学生观察铁轨和车轮印有什么共同之处, 并对其特点进行分析, 在此基础上引出平行线的概念, 最后让学生根据自己对概念的理解列举更多的实例, 巩固对知识的掌握。在引入几何概念和定理的过程中, 教师要注意, 生活实例并不是几何概念和定理, 有的生活实例遗漏了概念和定理的某些本质属性, 有的包括了非本质属性, 这就要求教师做好引导部分的教学, 防止学生对概念和定理的曲解, 走向另一个极端。
其次, 初中几何的各部分知识虽然是独立的, 但教材也遵循着循序渐进、逐步深入的原则来安排教学内容, 而且这些内容是具有系统性、联系性的。因此, 在几何概念和定理教学中, 教师不能生硬地灌输给学生, 而要在他们已经掌握了某些概念和定理的基础上引入新的学习内容, 让学生认识到新旧知识间的联系, 同时要揭示新旧知识间的矛盾, 使他们认识到学习新概念和定理的必要性。而这就要求初中数学教师在备课环节全面深入地分析新的几何概念和定理在整个系统中的位置和作用。
二、探索多种定理证明方法
几何是集思维和方法于一体的知识, 一个定理的证明往往有多种方法, 这些方法又常常涉及到许多数学知识。因此, 定理教学中不仅要考虑到定理证明的分析和综合, 还要考虑到其他可能的证法, 要有效地抓住定理教学的机会, 使学生综合运用所学知识, 同时培养他们的数学思维、渗透数学学习方法。具体的教学中, 首先, 教师要善于通过自己的行为影响、带动学生。如果教师在思想上十分重视定理证明的多样化, 必然在平时教学中表现出来, 学生受其影响在解决问题的时候就会从多个角度加以思考。事实上, 有些数学教师不会耐心引导学生去探究方法, 而是简单地讲解定理的意思或者选择一种最简单的证明方法传授给学生, 虽然从某种意义上讲达到了让学生易于理解的目的, 但是却使学生的思维被禁锢, 无法得到多方面的发展。久而久之, 必然导致学生觉得几何定理枯燥乏味, 加之几何定理学习本身具有抽象性, 就会使学生失去对几何定理学习的信心和耐心。其次, 在定理教学时, 教师要注意引导、启发学生去探索定理的其他证法, 这样既有利于加深学生对定理的理解, 又有利于培养学生综合运用知识的能力。此外, 教师还必须注意可能出现的错误证法, 究其错误原因, 防止或减少错误的发生。比如, 在讲三角形内角和定理的证明时, 我先启发学生发现第一种证明方法中蕴含的思想和方法, 然后给学生充分的时间去积极思考, 热烈讨论, 探索其他方法, 学生在探索的过程中不断体会本节课的中心数学思想——转化思想, 同时积极讨论使课堂气氛达到了高潮, 学生都争先恐后地表达自己的想法, 极大地带动了中下层学生课堂参与性。最令我高兴的是学生找到了六种证明方法, 还有一些学生找到的方法超出我的预料, 虽然是错误的但也带给无数的惊喜, 使我感叹学生的创造力和想象力。
三、抓住概念和定理的本质, 促进学生理解
几何定理是我们对研究对象的本质属性的概括, 措辞更是精炼, 每个字词都有其重要的作用。为了深刻领会概念和定理的含义, 教师不仅要注意对概念和定理论述时用词的严密性和准确性, 还要及时纠正学生用词不当及概念和定理认识上的错误, 这有利于培养学生严密的逻辑思维习惯, 使他们逐步养成对定义的深入钻研, 逐字逐句加以分析, 认真推敲的良好习惯。例如, 在讲解等腰三角形概念时, 一定要强调概念中的有两条边相等的“有”字, 而不是只有两条边相等的“只有”二字。前面的有两条边相等包括了两种情况:一是只有两条边相等的等腰三角形, 即腰与底不相等的等腰三角形;二是三条边相等的等腰三角形又叫等边三角形, 而后面的仅仅涉及到一种情况, 排除了等边三角形也是等腰三角形的这一特殊情况。又如, 不在同一直线上的三点确定一个圆, 若改写成三点确定一个圆, 得出一个新命题, 它既包括了三点在同一直线上又包括了三点不在同一直线上的两种情形, 而在同一直线上的三点不可能确定一个圆, 即圆上任意三点都不在同一直线上。所以将不在同一直线上三点确定一个圆写成三点确定一个圆是不成立的。因此, 在讲述此概念时应突出“不在同一直线上”这句话。
概念和定理是几何证明的基础, 有效的定理教学有助于学生对证明全面的理解;有利于教师使用较规范的数学语言表达证明过程, 有利于教师清晰而有条理地表述自己思想, 有利于激发学生对数学证明的兴趣心。新的教学理念对教师提出更高的要求, 作为教育工作者, 我们只有在教育教学的实践中多总结、多反思、大胆创新, 才能跟上时代的步伐!
摘要：随着初中新课程的改革, 初中数学的教学内容和方法也发生了很大的变化, 几何与代数成为初中数学教学内容的重要组成部分。不同于代数知识内容的简单性, 几何内容十分丰富, 涉及面广, 理论性强的原理、公式也较多, 证明过程复杂, 这就对学生的立体思维能力和想象能力提出了很高的要求, 也给教师的教学工作增加了难度。因此, 加强对初中数学几何概念和定理的研究, 探索有效的教学策略, 值得每一位数学教育工作者重视。
关键词：初中数学,几何定理,教学效率
参考文献
[1]朱宁.浅谈初中几何教学[J].教育教学论坛, 2011 (16) .
几何概念 篇10
善于解剖概念,强调概念中的关键词语,从中透彻理解其内涵——概念中对象的本质属性,它是概念质的方面,以及其外延——概念的适应范围,它是概念的量的方面.
几何概型是中学数学在概率部分新增的内容,怎样深刻理解几何概型的内涵,使解几何概型问题正确化与简单化,从而不致引入误区?几何概型在苏教版《数学3》(必修)第101页上作了详细的定义,据此,几何概型的内涵是事件的等可能性和无限性,笔者认为这里的“等可能性”是指基本事件出现的机会可能性相等,“无限性”是指基本事件有无限多个,它并不是解决几何概型问题的关键,而主要是用来判断该事件到底是几何概型还是古典概型.同时在苏教版《数学3》(必修)第104页中指出:“由此可见,背景相似的问题,当等可能的角度不同时,其概率是不一样的.”话虽然不错,但给人的感觉好像是解决几何概型问题要从基本事件出现等可能的角度去解决.我认为这是完全没有必要的,可以说是把一个简单问题复杂化,将解决几何概型问题引入误区,解决几何概型问题关键仍然是抓好“事件”并将其“几何化”,这就是概念的本质.先来看苏教版《数学3》(必修)第102页例3:如图,在等腰直角三角形ABC中,在斜边AB上任取一点M,求AM小于AC的概率.这里的一个基本事件是在斜边AB上取一个点M,它符合几何概型定义,所以区域D是线段AB,其测度为线段AB的长度,区域d为线段AC'(AC'=AC),其测度为AC'的长度,所以该事件的概率为.
下面看苏教版《数学3》(必修)第104页第6题:如图,在等腰直角三角形ABC中,过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AM
应用一个新的定义去解决问题时,只要抓住定义的本质,弄清它的内涵及外延,深刻理解定义中每句话的含义,对难理解的语句,可以通过实例不断帮助学生理解.如几何概型定义“……事件A发生的概率与区域d的测度(长度、面积、体积等)成正比,与d的形状和位置无关……”,这里的“与形状和位置无关”,学生不易理解,我们可以举下面的例题:甲乙两人各自在田径场上400米长的跑道上跑步,求在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米(弯道时指跑道上曲线长度)的概率.很显然这是一个几何概型问题,一个基本事件是甲乙两人在跑道上的位置,记“两人在跑道上的距离不大于50米”的事件为A,而事件A发生是甲乙两人在跑道上的距离差不超过50米,可作如下两种角度思考:思考一,先假设甲在跑道上C处(C的位置是任意的),如图1,事件A发生,乙只要在甲前后50米之内,这种思考方法D的测度为400米,d的测度为100米,∴.思考二,为方便计算甲乙之间的距离,我们不妨以跑道上O为起点,与0逆时针方向计算距离,设甲与0的距离为x米,乙与O的距离为y米,事件A发生就是x,y满足
如图2.这种思考方法是将区域D视为正方形,测度是正方形的面积4002 m2,而事件A发生是指落在满足条件不等式组(1)或(2)的区域d内,由线性规划知识,易知区域d是图中阴影部分,其测度为
面的两个思考方法说明解决同一个几何概型问题,思考角度不同,区域D(d)也会有所不同,从而说明事件发生的概率与d的形状和位置无关,只与d的测度成正比.
联想、思考:进入新课程,对概念教学还采用老的“一个定义,几项注意”的方式是很不够的,应给学生提供充分的概括本质特征的机会,明确概念所反映的对象具有什么本质特征,只有对概念的内涵和外延都有了准确的了解,才能说明已经明确了概念.当然一个概念的学习,对概念的理解与掌握,还需在概念课的后继课中不断反复应用,不断加深理解,从根本上改变概念课教学中“单调乏味”及“死记硬背”的错误倾向,引导学生自主发现,归纳总结,正如波利亚指出的“学习最好的途径是自己去发现”.只有这样,才能使学生分析问题和解决问题的能力不断提高.
几何概念 篇11
关键词：初中数学；几何直观意识；空间概念
教学实践证明，在初中数学中要培养学生的几何直观能力必须从培养初中生的几何直观意识开始。因此，在教学过程中教师要帮助学生通过画图来提高学生的数学分析意识，并且能利用图形进行数学语言与符号的表达，从而实现直观与空间概念的转换。这样，就可以让学生初步获得数形结合思想方法，从而提高课堂教学的有效性。
一、重视直观教学，培养几何直观能力
捷克教育家夸美纽斯说过，直观教学法是最能引起学生接受外在信息的教学方法。在初中数学教学中，教师要重视直观教学手段，把复杂的数学问题变得更加简明、形象。这样，才能有助于学生解决数学问题。
例如，在教学“相似三角形”这一内容时，教师可就生活中熟悉的投影现象与概念进行直观理解。投影是学生生活实际中熟悉的现象，投影大小学生是容易理解的。比和比例的概念学生在小学数学中已经接触过，要理解相似的概念还需要进一步进行直觀。投影其实际就是一个物体和它的投影之间的关系，阳光可以看成是平行的投影，灯光则可以看成是中心投影，这个点光源就是中心投影。因为太阳离我们太远，它发射过来的太阳光，可以看成是平行光。这些概念，实际上学生很容易理解。在空间思维中，三维物体与二维物体之间存在着一定的关系。相似三角形的条件是有一定规律的，然而在你脑子里面想出来的相似条件，其实也是一个不断地投影的压缩过程。如果把这个过程按照一定规律进行检验，那么相似条件就肯定变得直观了。
二、开展自主探究，培养学生空间观念
《义务教育数学课程标准》中强调：“在数学教学中要培养学生的观察能力、动手能力、操作能力等综合实践能力，从而加深学生对数学知识的认识，在实践过程中逐步形成空间观念。”概念的形成需要实践活动的支持，在教学过程中教师应引导学生开展观察、操作等活动，从而让学生对实物进行直接的感知。这样，学生就会在动手、动脑、动口的过程中感知数学知识。初中数学教学中很多几何知识需要引导学生开展“摆一摆”“拼一拼”“比一比”等实践活动，使学生形成几何形体的空间表象，从中获得空间的概念。
例如，在教学“轴对称图形”这一内容时，可以让学生开展 “剪一剪”操作活动，把课前就准备好的纸质衣服图案发给每个学生，从折叠的形状中看看这是什么图形。学生通过交流，认识到轴对称图形具有的特征。学生在对折后完全重合，知道这个折叠的线就是对称轴。这样，概念的获得是通过动手操作中领悟的。因此，这样的教学活动有利于学生空间概念的形成。
三、利用模型实物，培养学生的直观认识
数学教学理论指出：数学教学活动要引导学生经历观察—分析—操作—想象—概括的过程。对于培养学生的几何直观意识，必须从培养学生的综合实践能力出发。我们在数学教学中常常利用一些实物或数学模型让学生观察，而这种观察的过程就是把现实与几何图形联系到一起的过程。因此，为了培养学生的直观意识教师就应多让学生动手去画一画、量一量、拼一拼等，力争把几何体转化为几何图形，进而培养学生的空间想象能力。所以，我们在教学过程中应该利用模型培养学生的直观感觉能力。
例如，利用在阳光下测量旗杆的高度来测量建筑物的高度。同样，在阳光下一棵小树与一棵大树之间的距离通过测量影子即可得到最短距离等。构造数学模型，画出与之相关的几何图形，从而把生活中实际问题转化为模型，这样不仅培养了学生的几何直观能力，还使学生掌握了如何把实际问题转化为几何图形，从而培养了学生认知能力。在教学中老师还应指出，不管是空间概念意识还是几何直观能力，都要强调相互之间的变换。
四、强化几何直观，将抽象概念形象化
著名的数学家希尔伯特说：“数学符号是写下来的图形，几何图形是画下来的公式。”这充分地说明几何直观在数学学科的直观运用，因此，用图形直观的办法可以把数学知识形象地描述出来，从而让学生更容易理解数学概念。
例如，在教学“计算多边形面积”这一内容时，可以通过直观的方法来阐明数与数之间的关系，从而把抽象的数学概念与数量之间的关系形象化。与此同时，也实现了代数问题与几何图形之间的互相转化。在教学“反比例函数”这一内容时，就给出几个自变量不同的值，来比较函数值的大小。不少学生把自变量的值代到解析式中来计算。然而，我们不妨借助图象使这个过程变得更加直接。在数学教学中，几何直观对于理解函数的性质有着非常大的作用。因此，利用图形解释数学现象是空间观念的体现。例如，在扇形统计图中，可以直观而感性地知道哪一部分所占的比重大。教学实践证明，若能用直观的方式来描述数学中的现象，那么，空间概念就初步形成了。
总之，在初中数学中应该培养学生的几何直观意识，进而发展学生的空间概念。因此，在教学过程中教师引导学生通过理性认知与感性操作来获取空间概念。培养学生的几何直观意识则需要在教学过程中潜移默化地进行，只有坚持不懈，才能取得理想的效果。
参考文献：
[1]洪武.从图形入手，培养几何直观能力[J].数学学习与研究，2015（20）.
[2]朱洪霞.几何直观在小学数学教学中的运用[J].新课程（教研版），2014（1）.
[3]卫华.优化设计数学实验培养学生数学素养[J].中国数学教育，2015（11）.
几何概念 篇12
一、几何概念教学概述
概念教学是小学几何教学活动有序展开的基础,如果概念理解不透彻,在辨别非标准图形等方面将会犯迷糊,进而不利于解决几何问题。数学概念教学中,有的教师认为概念的学习就是学好定义,而有的教师则认为定义的学习只是数学概念学习的一部分,概念的学习还包括性质、判定、区别、发展和演变等,也就是由定义而延伸的知识点。
这两种不同的认识造就了两种不同的教学方式,第一种就是死记硬背概念,第二种则不只是熟记数学概念,还有结合其他形式来用符号语言表示出来概念,将概念具体化,然后分析概念的发展和变化,通过不同的方式使得学生加深对概念的理解。
当然,这两种不同的教学方式也会产生不同的教学效果,无疑后者能收到更好的效果。因此,概念教学不能只是生搬硬套地要求学生熟记数学概念,而是通过形象的讲解和直观图形的结合来进行概念教学。这样学生在理解概念的基础上,才能透过概念看到本质,学会使用几何概念解决数学问题。
二、几何概念教学现状
1. 教学脱离生活
几何概念来源于生产、生活实践,和人们日常生活息息相关。但是现在大多数的课堂教学都脱离了实际生活,将几何概念架空,使得学生们有种几何图形高高在上、触不可及的感觉。小学生在数学概念的认知上,自身能力就不是很强,空间想象能力也不能够达到,尤其是对抽象的概念。
2. 概念理解不清
很多教师忽视对定义的教学,在课堂上只是一笔带过,让学生们死记硬背这些概念,而不是逐字逐句地为学生们讲解、分析,这样即使学生们记住了概念,但是却不是透彻地理解了概念,可能会对不同的概念产生混淆。
3. 生活术语和几何概念混淆
很多时候数学学习中,很多学生容易受生活中常见的具体几何实体的影响,然后思维被约束,不能进行发散性的思维,产生局限。
4. 语言和图形转换困难
有很多学生概念背得滚瓜烂熟,但是不能和实际的几何图形相联系起来,这就是存在语言和图形间互译困难的问题。教师在教学过程中,忽视了这方面的指导。将语言和图形分离开来,单独地去阐述,造成学生在口述知识方面的能力也有所欠缺。
三、如何在变化发展中进行几何概念教学
1. 教学联系实际生活
小学几何概念教学中,很多常见的概念都能从生活中找到实例,因此教师要注重这方面的挖掘,使学生能从具体实例中去加深对抽象概念的理解。
2. 建立数学模型
图形和数学模型是最直观反映几何概念的方式,所以在概念教学中,要注重对图形和数学模型的使用。使用过程中要注意不能单单用这些图形和模型去证明某个概念的存在,而是要借助这个图形或者模型来对这个概念进行分析,找出其特征,然后对抽象的概念进行具体的概括,进行知识的延伸,从而加深学生们对概念的理解,更重要的是了解概念的适用范围。
3. 多举例进行分析
在几何概念的学习过程中,学生需要使用不同的感官去感知感念,不仅要听教师的讲解,还要通过阅读文字和符号去加深印象,通过实际操作而进行巩固,最后才能对概念的特点熟悉,从而将所有感知到的信息进行汇总,然后产生对概念的初步印象。
小学生的思维方式较为简单,在概念的讲解过程中,要列举一些直观形象的材料进行辅助教学,使他们能够联想到自己已经认知的事物的性质,进而更好地去理解概念。提供多个例子进行分析,使学生们通过观察和比较来找出不同几何概念之间的共性,进而让其去理解不同的概念。
4. 构建几何概念结构网络
各个几何概念之间都是有联系的,教师在教学过程中要让学生掌握它们之间的逻辑从属关系,进而构建几何概念结构网络,区分它们之间的不同,更利于以后的学习,充分发掘各个几何概念之间的内在联系和共性,使学生养成通过概念的联系来判断图形性质的习惯。
新课程标准鼓励学生参加更多的自主和实践活动,成为教学活动的主体,这对教师提出了更高的要求,指导教师在变化发展中进行概念教学时,不仅要让学生透彻地掌握概念的本质,更应该通过不同的教学方式,让学生从不同的角度去认识几何概念,学会全面地、发展地、联系地去解决以后学习中遇到的问题。
摘要：如今新课程标准的要求下,几何概念教学要在变化发展中合理展开,进而促进学生数学能力的培养和发展。本文分析了几何概念教学的现状,并列举了相应的措施,指导几何概念教学在变化发展中进行。