几何处理

2024-10-12

几何处理（共8篇）

几何处理篇1

经过几年来的教学, 我发现对于初中学生来说, 学习几何最难的就是平面几何的入门, 许多成绩较好的同学在刚刚学习平面几何证明时往往会感到题意难以理解、无从入手, 从而产生恐惧感.这是由于学生在初步掌握有关论证推理的方法后, 往往会受到三种阻碍思维发展的因素影响: (1) 没有主动地感知题意所供的信息, 使思维停滞. (2) 思维混乱. (3) 缺少经验和概括能力.为了帮助他们克服这些困难, 我认为他们在学习过程中应注意信息在以下三个环节的处理.

一、仔细审题、斟酌图形, 揭示关系

最大限度地抽取对解题有用的信息, 是完成平面几何证明的一个基本前提.许多初学者看到题目常常不知所措, 无从下手, 他们不善于感知或意识到题目中隐蔽着的关系, 甚至一些十分明确的量也会被他们丢失.根据这种状况, 在平时应要求学生论证习题时, 首先回答五个“是否”, 以便思维正常发展.

1. 图形是否正确

证明几何题, 总强调先画出尽可能正确的图形.正确的图形能够在视觉上提供一个客观的形象, 便于提出假设.比如, 正确的图形常常能提示出三角形全等, 线段相等, 特殊四边形是矩形还是菱形, 以及轴对称或中心对称图形等信息;或一些否定的信息, 如这四边形不可能是正方形, 某两个角不可能相等也会在正确的图形中反映出来.反之, 不正确的图形却是一个直接的干扰, 甚至给结论设置障碍.当然, 图形的正确性必须包含合理性的要求, 如画平行四边形就不能画成矩形或菱形, 题意中没有要求是等腰三角形或直角三角形就不能画成特殊三角形.

2. 已知、求证是否要化简转换

若题意中有冗长的叙述, 要力求化成简单的关系和量.如求证三条线段相交于一点, 可先证其中两条相交于一点, 然后证这点也在第三条线段上.

3. 给出的关系和量是否充分展开

就是对已知、求证的信息一个个加以思考, 然后根据有关定义、公理、定理把已知条件性质化, 延伸出尽可能多的信息, 要避免忽视或遗漏较弱的信息.

4. 是否存在隐藏的条件

审题时还常常需要对提供的信息, 结合图形, 按照一般规律经验发掘题目中的隐藏条件.添置辅助线就是寻找隐藏条件一种常用的方法.

5. 基本图形是否存在

有些几何图形过于复杂, 有些则过于简单, 不能直接看出各信息之间的关系, 应认真辨别出基本图形, 找出实质性的关系, 简化思维过程.例1:已知:∠ACB=3∠B, ∠1=∠2, CD⊥AD于D, 求证:AB-AC=2CD.

由已知所提的信息若能想到作辅助线, 即延长CD交AB于E, 这个基本图形就能把全等三角形的性质呈现出来, 于是就得到AE=AC, ED=CD的新信息.其中, 主要通过辅助线把隐蔽条件显示出来.

结合以上五点, 并经一定的训练和练习, 我认为大部分学生的思维可以得到充分发展, 从而增强他们论证的信心.

二、分析综合, 加工信息, 接通回路

大多数平面几何初学者的思维往往杂乱无章, 他们无法收集较多的信息, 对于一个稍微复杂的过程就会晕头转向为了解决这一问题, 在实际论证教学中, 教师不只要教会他们分析和综合两种方法, 还要让他们把这两种方法有机结合起来形成回路, 使学生对证明的探求过程有序可循, 而不至于停留在盲目的尝试错误阶段上.

加工处理信息实际上就是交替运用综合与分析.它要求, 抓住一系列信息, 结合图形, 按照学过的定义、公理、定理及有关经验, 在“分析—综合”的活动中, 经过反复地加工, 筛选多余的信息, 逐步缩短已知到求证的距离, 从而接通证明的回路.例2:已知:AB=AE, AC=AD, AC⊥AD, AB⊥AE, 求证:ED⊥BC.回路分析图所示:

分析法:根据本例的“已知”难于发现与结论有关的“可知”, 由“未知”难于探求与题设有直接联系的“需知”, 因此可以把两者通过“综合—分析”法有机结合起来形成回路, 这样整个证明过程就有序可循了.

三、整理表述、总结经验、提取精华

联系回路接通后, 还需对加工过程进行归纳、筛选, 然后按综合法整理出完整的逻辑表达式.这过程要求初学者必须重视训练.

由于初中学生普遍不太注重论证后的小结, 认为表述以后就完事了.事实上, 数学能力较强的学生, 他们在表述的同时, 就立刻将证明的模式、原则等精华贮存在记忆中.因此, 在学习过程中要求学生做到以下几个方面.

1. 寻求简洁、合理、最优的论证

大多数的几何证明题都有几种不同的证明方法.寻求多种渠道, 一题多解, 特别是比较证题思路, 选择简洁、合理、最优的论证是发展智力, 培养论证思维能力的有效方法.

2. 记忆实用的基本联系

找出图中的基本图形, 想想用了哪些性质, 这对于识别基本图形, 把握基本图形的组合, 考察知识点间的常见联系, 积累解题经验是很重要的.

3. 失败的原因不可忽视

有些学生在证明两线段相等时, 仅认为归结为证两个三角形全等或证明等腰三角形, 却忘了还可以通过第三条线段来过渡, 因此失败了, 像这些失败的原因应该懂得归纳, 以便今后不再出现类似的错误.

4. 老师小结的内容, 更要牢牢记住

师在教学过程中, 往往都会对所授的内容做个小结, 以便学生对本节课内容的掌握有所侧重, 同时也为以后找出证明的突破口积累经验.

最后要指出的是, 论证思维的一般过程仅仅是学好平面几何证明的必要条件, 而反复多次地、由浅入深地让学生自己实践, 才是学好证明的关键.

几何处理篇2

一、用向量处理角的问题

例1在直三棱柱ABOA1B1O1中，OO14，OA4，OB3，AOB90，P是侧棱

BB1上的一点，D为A1B1的中点，若OPBD，求OP与底面AOB所成角的正切值。

1A1 P

平面OAB，OOB例2如图，三棱柱OABO1A1B1，平面OBBO60，AOB90，111

且OBOO1

2，OA 求：（1）二面角O1ABO的余弦值；（2）异面直线A与AO1所成角的余弦值。1B

例3如图，已知ABCD是连长为4的正方形，E、F分别是AD、AB的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。

AB4，AD3，AA12，M、N分别为DC、BB1例4在长方体ABCDA1BC11D1，的中点，求异面直线MN与A1B的距离。

三、用向量处理平行问题例5如图，已知四边形ABCD，ABEF为两个正方形，MN分别在其对角线BF、AC上，且FM=AN。

求证：MN//平面EBC。

B A

例6 在正方体ABCDA1BC11D1中，求证：平面A1BD//平面CB1D1。

EFBD的中点，例7在正方体ABCDA求证： A1F平面BDE。1BC11D1中，、分别是CC1、例8如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰三角形，AC2，E为B1C的中点。BB12，D为AC11的中点，（1）求直线BE与DC所成的角；

（2）在线段AA1上是否存在点F，使CF平面B1DF，若存在，求出AF的长；若不存在，请说明理由；

（3）若F为AA1的中点，求C到平面B1DF的距离。

1A1

五、高考题回顾

1.(2003年全国高考题)如图在直三棱柱ABCA1B1C1,底面是等腰直角三角形,ACB900,侧棱AA12,D,E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.()求A1B与平面ABD所成角的余弦值;()求点A1到平面AED的距离.A2.(2004年高考题)如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB900,AA11,侧面AA1B1B的两条对角线交点为D,B1C1的中点为M.()求证CD平面BDM;

()求面B1BD与面CBD所成二面角的余弦值.B

六、方法小结

1、求点到平面的距离



如图，已知点P（x0，y0，z0），A（x1，y1，z1），平面一个法向量n。

1C1

nAP由nAP|n||AP|cos，其中n,AP，可知|AP|cos

|n|



而|AP|cos的绝对值就是点P到平面的距离。

2、求异面直线的距离、夹角

ab|EFn|d；cosa,b

|n||a||b|

3、求二面角



如图:二面角l,平面的法向量为n1,平面的法向量为n2,若n1,n2,则二面角l为或.4、用空间向量证明“平行”，包括线面平行和面面平行。

nm0

几何处理篇3

在建库过程中,除了要满足几何精度要求之外,地籍要素还应满足数据结构正确、几何关系正确、拓扑关系正确、图属一致性和剖分性的要求。作为数据库建设的一个重要步骤,数据检查和处理的好坏直接关系数据库质量的好坏,因此非常重要。

在山东省第二次土地调查城镇地籍数据库建库过程中,遇到了一个很棘手的问题:土地权属要素中ZD层(宗地层)与FW层(房屋层)[2]的几何地物存在相交的现象。在处理过程中容易走很多弯路,浪费大量的时间,增加入库的工作量,影响工程的进度。笔者将介绍一种在城镇地籍建库过程中,如何有效处理宗地层与房屋层几何地物相交,从而避免增加入库工作量的有效方法。

1 解决思路

在数据处理过程中,外业数据的采集顺序是先采集地形数据,再根据地形数据进行权属测量,得到有关房屋和宗地的地籍图,见图1。

单从数据外观看房屋与宗地之间的关系都很合理,但是经过山东省第二次土地调查城镇数据库成果检查软件的质检,就会出现大量的ZD层与FW层几何地物相交的现象,见图2。

从图2可以看出,在数据还原放大的情况下,就能看到房屋与宗地之间存在多处缝隙,这些缝隙在质检时就会导致报出大量的错误,在数据缺陷分级中属于数据重缺陷,会严重影响建库质量,所以这些缝隙是一定要处理掉的。试想一个城镇全测区一般都能达到几十万个房屋,经过检查也会出现至少几万个错误,要把这些错误完全处理好,没有一个快捷的工作方法是不行的。

经过多次实验,笔者总结了一个比较快捷的方法:不能单纯只在MapGIS中进行编辑处理,而要灵活结合多个应用软件,利用不同软件的特性,就能缩短处理时间,提高工作效率。

2 实现方法

2.1 数据分层

打开MAPSUV城镇地籍数据采集系统,把采集好的数据根据模板分层输出,就能得到需要处理的FW和ZD数据。

2.2 修改数据结构

在MapGIS编辑平台中把FW.WP和ZD.WP数据的属性结构中“变更日期”这个字段去掉,以免影响后续的操作,见图3。

2.3 输出MapInfo格式

再到MapGIS转换平台中把WP(区文件)的文件格式输出成MapInfo格式,转换后就形成两个文件,分别是FW.MIF和ZD.MIF,见图4。

2.4 生成SHP文件

再到FME UNIVERSAL VIEWER程序中,把FW.MIF和ZD.MIF另存为SHP文件,见图5。

2.5 在ARCGIS中调整

把转换过程产生的*.PRJ文件删除,进入AR-CCATALOG程序中,用ARCGIS处理数据。其原理是给一个参数,这个参数也是一个限差,在这个限差范围中,地物可以为满足质检要求进行调整。ZD数据是每个国土局现场测量的已定数据,所以FW数据要以ZD数据为准进行调整。在这个限差范围内FW数据可以直接贴合ZD数据,这样就减少大量的缝隙,进一步提高数据的质量。

3 结束语

随着GIS的飞速发展,城镇地籍数据库得到越来越多的关注,与其他方面联系也越来越密切[3],所以,在数据库建设中应充分考虑各项技术的发展趋势和数据应用的诸多方面,使数据库具有较强的扩展性,能够适应现代信息技术的高速发展。这就需要在数据建库的过程中不断探索提高建库的方法和流程,从而提高数据库的质量。笔者结合工作实际探索出了一种处理宗地层与房屋层几何地物相交的有效方法,通过实践证明,该工作流程能将错误减至最低,大大缩减了建库时间,具有较强的可操作性。

参考文献

[1]邬伦,刘渝.地理信息系统原理、方法和应用[M].北京:科学出版社,2000.

[2]中华人民共和国国土资源部.TD/T1015—2007城镇地籍数据库标准[S].北京:中国标准出版社,2008.

几何处理篇4

关键词：动态几何图形,自动作图,不等式约束,符号和数值计算,生成式作图,三角分解,量词消去

0 引言

近35年来,动态几何作图软件得到了广泛的研究和开发。这些作图软件所绘制的几何图形不再是静态的图片,而是动态的。所谓静态图是满足特定约束关系(如平行、垂直等)的位置固定的几何元素所构成的图形,是不可改变的。而动态图是根据一组可移动的几何元素以及这些元素之间的约束关系等信息所编写的一段程序。动态图可以通过鼠标点击拖拽图形中的自由元素而改变图形,并在图形变化中动态地保持几何关系不变。移动动态图是产生一系列连续的静态图,并在计算机屏幕上以动画的形式展现出来。在大多数情况下,定义动态图的几何元素及其约束条件可以转化为包含等式和不等式的参数半代数系统,而生成动态图等价于编写能够求解对应半代数系统的程序。当参数值发生改变时,该程序能快速计算出系统的一组实解,从而确定所有几何元素的位置,画出几何图形。动态图具有准确刻画效果及良好的交互性、智能性和实时性。我们可以通过观察动态图形的变化,更直观地了解图形中各个元素之间的关系,甚至可以由此发现新的几何定理,使几何的学习和研究进入了一个新时代。

目前已有大量的动态几何作图软件,其中大部分所提供的作图方法都是构造式的,即几何图形的生成需要按照次序一步一步地执行相应的作图指令,每一步构造都要依赖上一步的结果,如Cinderella[1],GCLC[2],GeoGebra[3],超级几何画板[4]等;也有部分软件是生成式的,即先对几何构型所蕴含的约束关系进行求解,然后根据确定坐标值的几何元素生成图形,如GEOTHER[5],Geometry Expressions[6],JGEX[7]等。这些软件所采用的作图方法可以分为基于数值计算,基于符号计算和基于符号与数值混合计算三类。值得注意的是,目前几乎所有的作图软件能处理的平面几何问题都只包含等式约束,这主要是因为加入不等式约束会大大增加计算难度及复杂性,同时还要耗费大量的计算时间和空间。然而在很多几何问题中都需要用不等式来描述元素之间的约束关系,例如圆的内切外切,三角形的内角外角等,因此需要研究可以有效处理不等式几何约束的求解方法。

Hoon Hong及其合作者最早提出了一种求解含不等式的几何约束的方法(名为HLLW方法)[8],并在GEOTHER中实现。笔者及其合作者对该方法进行了改进和加强[9,10],并设计和实现了一个完全独立于GEOTHER的初级版本的动态几何作图软件GeoDraw。该软件实现了改进的HLLW方法,可用于自动生成含有不等式约束的动态几何图形,主要应用于几何教学与研究。本文主要从功能特点、核心算法与实现和应用举例三个方面介绍GeoDraw动态几何作图软件。

1 GeoDraw的功能与特点

GeoDraw是首款可处理含不等式约束的几何作图软件,并且所作的图形是动态的,即可通过鼠标拖拽图中的自由点来移动整个图形,同时保持图形中所有几何元素之间的约束条件不变。GeoDraw同时提供构造式和生成式两种作图方式,其内部的作图方法是基于符号与数值混合计算的。

GeoDraw的图形用户界面为用户提供了一个友好的操作平台(见图1所示)。通过这个界面,用户可以完成很多操作,例如输入作图命令,查看图形信息,通过鼠标移动图形等。图形界面共包含以下四个窗口:

1) 输入窗口(左下),用户可以根据需要输入作图命令。如果采用构造式作图则直接输入命令;如果采用生成式作图则需要使用关键字Define,Constrain和Display,其中Display部分也可执行构造式作图的命令,用户可以利用Display部分补充添加不需要参与符号运算的几何元素;

2) 命令提示窗口(右下),显示软件中实现的所有命令,可直接点击添加到输入窗口;

3) 输出窗口(左上),显示图形。按下工具栏中的箭头按钮,所作图形中的自由点变为绿色,此时图形处于可移动状态,即用鼠标拖动自由点时,整个图形将实时快速地重新绘制并依然保持其中的几何约束关系;

4) 信息窗口(右上),显示所作图形中的自由元素和约束元素,并显示所有参量和变量的当前取值。注意当图形变化时,取值也将相应改变。

值得一提的是针对生成式作图在图形第一次生成过程中需要复杂耗时的符号计算的特点,我们增加了导入和导出的功能,即可以把一个具体的作图实例导出为包含脚本和计算公式的XML文件,下次作图时只需导入相应的文件,不用再重新进行符号计算。

GeoDraw区别于其它作图软件的特点是:

1) 能处理包含不等式约束的动态几何作图问题,这是本软件最大的优势特点,众所周知加入不等式的计算都是非常复杂繁琐的,因而一般软件都不具备处理不等式的能力;

2) 构造式作图和生成式作图相结合,可灵活地选择作图方式,提高作图效率;

3) 符号计算与数值计算相结合,利用计算机代数系统进行符号计算,可以生成比较复杂的动态图。

2 GeoDraw的核心算法与实现

2.1 核心算法

所有几何作图问题都可以形式化地描述为:给定平面上的n个点P1,…,Pn和这些点之间的一组几何约束关系,自动生成满足这组约束关系的几何图形。令x1,…,xm为点Pk的坐标,这些约束关系可以等价描述为包含等式和不等式的半代数系统:

${\begin{cases} f_{1} (x_{1}, \dots, x_{m}) = 0 \\ \dots \dots \\ f_{s} (x_{1}, \dots, x_{m}) = 0 \\ g_{1} (x_{1}, \dots, x_{m}) \propto 0 \\ \dots \dots \\ g_{t} (x_{1}, \dots, x_{m}) \propto 0 \end{cases}$

(1)

其中f1,…,fs,g1,…,gt是关于x1,…,xm的多项式,而∝则代表不等式符号>,≥,<,≤,≠中的一个。一般的软件都只能处理含等式的几何作图问题,而GeoDraw能处理带不等式的情形。作图的关键步骤是求解几何约束关系对应的半代数系统(1),即找到满足所有等式和不等式的x1,…,xm的一组实解。

GeoDraw内部算法为改进的HLLW方法,该方法用于求解包含次数不高于5次的等式多项式和任意次数的不等式多项式的参数半代数系统。对等式多项式次数进行限制的原因有两个:一是绝大多数平面几何问题所涉及的等式多项式都是低次的(目前大部分几何作图软件仅能处理不高于2次的方程),并且若不限制等式的次数,那么加入不等式计算时很容易溢出;二是根据阿贝尔定理,低于5次的方程解具有根式表达式,计算方便快速,使得更新图形时实时高效。

我们简单介绍一下改进的HLLW方法,详细内容请参见文献[8,9,10]。对于满足条件的半代数系统,首先把等式集合[f1,…,fs]分解为有限多个不可约的三角列,然后对于每个加入不等式约束的三角列,通过实量词消去的方法将参数空间分解为有限多个区域,使得每个区域中的变量都可以表示为关于参量的根式表达式。半代数系统式(1)的实解集就等价于这有限多个区域实解的并集。同时利用三角列中的等式多项式把不等式约束中的约束变量一一消去。任意给定参量的一组值,如果满足某些区域中的不等式条件,那么变量的值可以通过直接计算相应的根式表达式迅速得到。

运用改进的HLLW方法,自动生成含有不等式约束的动态几何图形的过程可以分解为以下几步:

1) 为几何元素中的点Pk赋坐标xj并引入其它必要的变量,将几何元素之间的约束关系转化为一个包含等式和不等式的半代数系统式(1);

2) 运用改进的HLLW方法,将半代数系统式(1)分解为有限多个具有根式表达式的区域;

3) 通过区分x1,…,xm中的参量和变量,确定自由点和半自由点(自由点的两个坐标都为参量,半自由点一个坐标为参量另一个坐标为变量);

4) 为参量任意选取一组满足条件的实值,计算根式表达式,求出相应变量的值;

5) 检查所有点当前的坐标取值是否都在显示窗口的取值范围内,并且任意两点之间的距离不会太近,如果不满足,则转回第4)步;

6) 根据变量的当前取值画出所有几何元素并标注相应的字母,生成一个或多个静态图;

动态更新一个已生成静态图的步骤如下:

7) 通过鼠标点击拖拽自由点或半自由点,重新选取参量的值,并计算相应变量的值;

8) 根据新的参量和变量的值,重新画出几何元素并标注相应的字母。

运用改进的HLLW方法自动生成动态几何图形的过程可以总结为两个部分:预处理部分和更新部分。预处理部分通过大量繁琐的符号计算得到相应半代数系统解的根式表达式,只执行一次。更新部分直接根据给定参量的实值通过根式表达式计算变量的值,可以重复执行,只包含数值计算,具有良好的交互性和实时性。

2.2 实现方法

HLLW方法的计算过程涉及大量的代数计算,在实现的过程中如果能使用一些已经成熟的计算机代数软件,就可提高作图效率,因而选择适合的编程软件至关重要。GeoDraw是在Linux环境下,应用面向对象的程序设计语言Java、计算机代数系统Maple[11]和量词消去系统QEPCAD[12]等开发工具实现的动态几何作图软件。

软件的主体部分由Java编写,因为Java具有稳定、与平台无关、多线程、动态等特点,对图形图像、多媒体和网络等方面提供了更多支持。根据用户输入命令的不同,系统自动判断作图方式。如果是构造式作图,则只需数值计算,根据约束关系依次计算出所有几何元素中点的坐标值,并画出相应的图形。如果是生成式作图,那么所有的作图命令会被解析成一个或多个包含等式和不等式的含参半代数系统,这个过程在Java中完成。

下一步需要把每个半代数系统中的等式多项式分解为不可约的三角列,这涉及大量的多项式计算,如代数扩域上的因式分解等,难以在Java中一一实现。因此,需要利用外部的计算机代数系统(这些系统关于多项式的基本计算已经很完善)来完成这些工作。选择Maple的主要原因是提供多种三角分解算法的Epsilon library[13]是用Maple开发实现的。Java主程序中会自动生成一段Maple代码,并调用Maple系统来执行它。这段代码的主要工作是调用Epsilon的ics函数把半代数系统中的等式多项式集合分解为一个或多个不可约的三角列,然后对每个三角列调用QEPCAD一一消去不等式中的变量,给出相应变量的实根求解公式,并将所得结果写入文件。QEPCAD是用C语言编写的基于柱形代数分解算法的实量词消去工具,在含有不等式和存在量词的判定和计算问题方面有着广泛的应用。用于量词消去的工具很多,如REDLOG[14],QEQUAD[15]和SturmHabicht[16]等。但是通过一些几何自动作图例子计算结果的对比,我们发现QEPCAD的计算效率更高,得到的结果更简单。

Java主程序自动接收Maple返回的文件并解析,选择参量的一组满足约束条件的实值,并计算出所有变量的值,从而确定几何元素中所有点的坐标,画出相应的静态图。当用户用鼠标移动自由点的位置时,参量的值相应改变,此时程序会重新计算变量的值,并重新画图。

通过Java中的接口调用Maple和QEPCAD的作图过程是完全自动的,用户只需输入作图命令,按下执行键,系统便会自动计算并画出相应的动态几何图形。

2.3 系统结构

根据前文对动态几何自动作图方法和实现过程的介绍,整个作图过程包括符号计算和数值计算两部分,只要处理好这两部分之间的关系就能提高作图效率。

GeoDraw的总体结构分为三个层次和五个模块。三个层次分别为用户层,调度层和运算层;五个模块分别为绘图命令编辑模块,图形输出模块,绘图命令解析模块,图形构造模块和半代数系统求解模块(见图2所示)。

用户层包含绘图命令编辑和图形输出两个模块,这一层为用户提供一个图形界面,接受用户的各种操作。调度层包含绘图命令解析和图形构造两个模块,解析用户输入的作图命令,判断作图方式,通过得到的表达式作简单的数值计算,构建图形框架,并实时与用户层交流,根据用户提供的新数据重构图形。运算层是选择执行的,由解析模块判断是否需要符号计算,它的功能是处理并输出相应半代数系统的所有由参数系数表示的解析解。

3 应用举例

本节通过两个典型的例子来展示GeoDraw的作图方式及功能。

例1 (Steiner定理)任给一个三角形ABC,以其三边为边向外(或向内)构造三个等边三角形ABC1、ACB1和BCA1,则线段AA1、BB1和CC1共点。

这个定理中若要确保所作的等边三角形都是向外(或向内)的,需要加入不等式约束,因此采用生成式作图法。图3可通过输入如下作图命令得到,其中equidistance命令对应一个等式约束,pointondiffside命令对应一个不等式约束。

# 构造图形

其中点C是自由点,用户可通过鼠标任意移动拖拽C点来改变图形,并且图形的更新过程中所有的等式和不等式约束关系保持不变,即三个等边三角形一直在三角形ABC的外部。而一般的作图软件在图形更新的过程中不能始终保持在外部这个要求。

例2 (Thébault-Taylor定理)任给一个三角形ABC和线段BC上的一点D,分别作三角形ABC的外接圆O,内切圆I以及与线段AD,线段BC和外接圆都相切的两个圆,圆O1和圆O2,则I,O1和O2三点共线。

为了简化问题,我们假设点D是A点关于线段BC的垂点。因为作内切圆圆心I时要用到三角形的内角平分线,需要用不等式约束,同时我们希望用不等式约束来控制圆O1和圆O2的位置,所以需要采用生成式作图方式,作图命令如下所示。

# 构造图形

所作图形请参见文献[9]中的图4,其中点C是半自由点,可在x轴上移动。注意此例中我们分三个部分生成图形,因为这三部分基本上是完全独立,分开后每个部分处理的等式和不等式约束都减少了,提高了作图效率。在x86_64计算机Linux 2.6.18操作系统下,采用分三部分生成的方式作图用时67.943秒,而合在一起生成图形的用时大于3600秒。

读者如果有兴趣了解更多例子,以及例子中所涉及的具体计算步骤请参见文献[8,9]。

4 结语

本文主要介绍了可处理不等式约束的动态几何作图软件GeoDraw的功能特点、核心算法及实现的方法,并举例说明。今后的研究工作主要包括两个方面:一方面是逐步改进GeoDraw的设计,使其功能更完善,结构更合理,作图方式更简单;另一方面是继续完善用于处理不等式约束的HLLW算法,考虑包含更高次等式方程的半代数系统,以及更有效的量词消去法,进一步提高作图效率。

攀登几何之峰——几何画板篇5

在学习函数的时候，各种问题就已经把我们难得团团转了，这反比例函数可是更令人烦恼了！但在几何画板的帮助下，一个个难题就如同破竹般迎刃而解了.接下来就让我们一起征服这些反比例函数吧！

的图像随k值变换情况算是最基本的反比例函数问题了.首先，在几何画板中建立一个平面直角坐标系.然后制作变量k，在横坐标内选择一点A，选中A点与变量k，在计算框内输入的式子，即可得.由A点和y值绘制平面直角坐标系上的A′点，作出A′点的轨迹，没错，这就是的图像！最后一步，选中变量k，在后面的数值框内输入适当的数值或者按住“shift”和“+”键，就可以观察到函数变化的图像了！

随着时间的推移，我们的学业会更加繁重，但学习方法却是最重要的，几何画板的探索还可以解决更多的问题，把几何推向更高的山峰！

利用平面几何解决解析几何问题篇6

一、求斜率

例1已知直线与抛物线C:相交于A、B两点, F为C的焦点, 若| FA | = 2 | FB | , 则k= .

解: 过A、B分别作抛物线的准线l的垂线, 垂足为M, N, 由已知, | AM | = 2 | BN | , 点B为AP中点. 则| OB | =1/2| AF | , 所以| OB | = | BF | , 故B点, 所以

二、求离心率

例2已知双曲线C的右焦点为F且斜率为31/2的直线交C于A、B两点, 若, 则 C的离心率为 .

解: 设双曲线的右准线为l, 过A、B分别作l垂线, 垂足M, N, 作BD⊥AM于D, 则∠BAD = 60°, , 由双曲线定义得

三、证明恒等式

例3已知F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, 抛物线C以坐标原点为顶点, 以F2为焦点, 自F1引直线l交曲线C于P, Q两个不同的交点, 点P关于x轴的对称点为M,

( 1) 求曲线C的方程

( 2) 证明:

解: ( 1)

四、定点问题

例4已知定点A ( - 1, 0) , F ( 2, 0) , 定直线l, 不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍. 设点P的轨迹为E, 过点F的直线交E于B、C两点, 直线AB、AC分别交l于点M、N

( Ⅰ) 求E的方程;

( Ⅱ) 试判断以线段MN为直径的圆是否过点F, 并说明理由.

几何处理篇7

欧氏几何与非欧几何的显著区别之一就是欧氏几何的计算和证明不能避开直观的几何图形进行纯逻辑推理, 必须以直观图形为载体.在几何计算和证明的实践活动中, 图形往往是纷繁复杂、千变万化的, 从而使学生在解题过程中难以抓住图形的本质和重点, 对题目所给信息不能正确提取和重组, 找不到解决问题的突破口而无从下手或者思维混乱.这是造成学生觉得几何难学的主要原因.但是, 任何一个复杂的几何图形都是由相关的基本图形所构建、整合而成的, 也就是说一个几何题往往是多个知识点的有机整合.因此, 对复杂图形进行合理分解从中分离出基本图形, 然后根据基本图形去联想由图所对应的概念、公理或定理所需的条件以达到对题目所给条件的正确组合, 可以为学生寻找解题的突破口提供线索.这种“模块化”的思维方式, 可以有效防止无关信息干扰, 快速凸显解题突破口, 提高思维的敏捷性.所以在平面几何的教学中应该重视基本几何图形的提炼与应用.

有调查表明:83%的学生认为“几何较难”, 其中因为几何概念多、定理和性质容易混淆的占31%.几何的入门学习中概念的学习尤其重要, 因为他们是定理学习的基础准确地识记概念和熟练地运用定理, 这是“双基”的要求在抓好“双基”的基础上, 要努力培养学生解决问题的能力, 培养创新精神.实践表明, 运用几何基本图形教学, 建立知识点和基本图形对应关系, 由定理 (或概念) 联想图形, 由图形联想定理 (或概念) , 实现直观与抽象的有机转换, 促进学生几何思维能力和解题经验的发展, 是提高几何教学质量的有效措施.

1. 重视概念, 夯实基础, 利用基本图形理解和记忆概念

几何的学习是从概念开始的, 与定义、概念相对应的图形称为概念型基本图形.如下表1:

几何概念和代数概念的显著区别就在于几何概念以陈述性概念为主, 且它的定义必须以直观图形为基础.所以, 几何概念教学尤其要重视概念理解与基本图形的认知相结合, 可以按如下步骤进行:画图;揭露本质;图形变式.

案例1邻补角的概念教学

第一步:给出相关情境, 让学生从中感受邻补角;

第二步:从情境中提炼出基本图形, 并让学生自己动手画出如下图3:

第三步:结合基本图形, 揭露概念的本质;

第四步:图形变式, 辨别真伪, 如下图4:

学生通过情境感受邻补角, 经历了画邻补角的过程, 在交流中理解邻补角的概念, 在变式中领悟和提炼基本图形, 实现了图与概念的统一, 也就能从复杂图形中识别出邻补角.

2. 立足定理, 重视能力, 利用基本图形破解解题思路

公理和定理的运用在推理中起决定性作用, 与公理或定理相对应的图形称为定理型基本图形.例如:

(1) 角平分线上的点到角的两边的距离相等, 角的内部到两边距离相等的点在角的平分线上.如图5.

(2) 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等, 到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上如图6.

(3) 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.如图7.

定理型基本图形较概念型基本图形要复杂得多, 往往是多个概念性基本图形的有机整合.如果再把图形又置于复杂的几何综合题中, 学生很难避开干扰图形看到问题的本质, 导致解题困难.所以, 定理型基本图形的提炼和反复操练十分重要.

案例2探究垂径定理

第一步:提供问题情境, 如何将圆形纸片的一条弦平分 (不借助工具) , 见图8.

第二步:在活动中, 让学生开动脑筋, 思考起来, 做起来, 理解“折叠”的过程.

第三步:在交流中, 老师与学生共同探讨“折痕”的本质, 画出图形, 如图9, 并证明.

第四步:例题与练习, 引导学生去发现计算和证明真正起决定作用的图形, 如图10.

第五步:在练习的基础上进行经验总结, 提炼出两种基本图形, 如图9和图10.

提炼定理型基本图形建立了定理与图形的对应关系, 定理图形化便于记忆, 减少了记忆单元, 便于从复杂图形中联想解决问题的相关知识点, 利于复杂图形分解, 打开解题思路.

因此, 教师在几何定理教学中要让学生结合基本图形来掌握定理, 加深学生对基本图形的认知, 帮助学生建立图形与定理的密切联系.在引导学生对复杂图形进行拆积木式的分解过程中, 能训练学生的识图能力, 有利于能力的迁移, 有利于在复杂图形中快速找到解题的思路.

3. 精练习题, 总结经验, 利用基本图形寻找解题规律

《数学课程标准》过程性目标要求:“学生在特定的数学活动中, 获得一些初步的经验;参与特定的数学活动, 在具体情境中初步认识对象的特征, 获得一些经验……”学生在几何解题过程中, 要善于去发现问题的共性, 及时总结形成自己的经验.

在书本例题、习题和平时考试中经常出现的建立在同一图形结构上的几何题, 他们所包含的部分几何图形的本质完全相同, 称具有共同本质而出现频率较高的图形为经验型基本图形.例如:被删掉的射影定理及面积相等法, 如图11所示;一对有用的相似三角形△ABC∽△CDE, 如图12所示.

几何问题是千变万化的, 但是“万变不离其宗”!“熟能生巧”是几何学习的一条很有用的规律, 巧的实质是理解其“宗”.所以, 教师要在解题中不断引导学生进行解题回顾与反思, 总结通法, 明确算法流程, 提炼解题所需的基本图形, 有效促进解题思维定式的正迁移, 从而提高解题效益.

几何处理篇8

关键词：高等几何,初等几何,指导意义

引言

高等几何是高等师范院校数学教育专业的主干课程之一, 不少学者将它与数学分析、高等代数并称为数学教育基础课程的“三高”, 其重要性不言而喻。但现实教学工作中, 教师可能会因为感受不到高等几何与初等几何知识之间的直接联系, 忽视高等几何而造成了初等几何与高等几何知识的脱节, 无法构建起较为完整的几何知识体系。

事实上, 无论是数学的哪一个分支, 都遵循由浅及深的发展规律。高等几何是初等几何的承接, 在知识上是初等几何的因袭和扩张, 在观念上是初等几何的深化与发展[1]。在高等几何中贯穿着大量的现代数学的思想、方法和观点, 不仅能扩展几何知识领域, 开阔几何视野, 提高个人的数学素养, 还能加深教师对初等几何的理解, 进而站在更高的层次灵活引导学生处理初等几何问题, 这对于教师从事的数学教学工作有着极其重要而深远的影响。

高等几何对初等几何的指导意义这个论题有着非常广阔而丰富的研究空间, 多年来有不少的国内外学者潜心钻研在这一问题上, 而且也得到了许多精彩的结论。本文笔者借鉴前人的研究成果, 尝试从高等几何课程地位和新大纲背景下对中职初等几何教学要求的角度来认识高等几何与初等几何的关系, 浅谈高等几何学习对丰富初等几何研讨方法和拓宽初等几何解题途径的指导意义。

1 高等几何对初等几何教学的指导意义

1.1 高等几何和初等几何的界定与联系

在探讨高等几何对初等几何解题研究的指导作用之前, 首先就本文所涉及到的高等几何和初等几何这两个概念所涵盖的范围加以限定, 并简单了解其内容特点以及在克莱因群论观点下存在的内在联系, 明确高等几何与初等几何之间并不是相互孤立的:初等几何是高等几何的基础, 而高等几何是初等几何的延伸和拓展。

习惯上, 我们把小学和中学阶段所接触的几何知识都纳入初等几何范围。初等几何以欧氏几何为理论基础, 是几何学中最为基础的部分, 包括空间与图形、平面解析几何、立体几何等等。初等几何所涉及的思想方法具有较强的针对性, 内容相对直观, 学生可以先直接采用观察、测量等实验手段了解几何图形, 发现其中规律, 再根据实际认知水平逐步抽象思维, 完成逻辑演绎证明。而我们所说的“高等几何”通常是指在19世纪初期产生的另一几何学重要分支———射影几何。它的开辟和盛行, 一方面是由于它有巨大的美学魅力, 另一方面是由于它把几何作为一个整体来研究时所获得的明显效果以及它与非欧几何的紧密联系[2]。高等几何主要以克莱因的几何学群论观点为指导, 他提出采用变换群对几何学进行分类, 重点突出变换不变性的基本数学思想, 这在几何学不同的理论体系中具有一定的普适性。结合克莱因的群论观点, 我们可以这样概括:欧氏几何涵盖于射影几何, 欧氏几何是射影几何的一个特例。

1.2 高等几何和初等几何的课程地位

初等几何一直都是中等职业院校数学教育的重要组成部分之一, 而高等几何是高等师范院校数学教育专业的基础课程之一, 初等几何与高等几何的课程开设都具有其必要性和重要性。研究高等几何知识体系的构建对中职数学教学工作产生的影响, 有必要关注高等几何课程的教学目的和新大纲背景下对初等几何教学的要求。

1.2.1 高等几何的教学目的

培养具有现代数学思想, 并能应用现代数学思想指导教学的数学教师, 是高等师范院校数学教育的培养方向。高等几何作为高师数学专业的重要专业课程之一, 是数学教育任务的重要组成部分, 其课程的开设一般是安排在学习了解析几何和高等代数之后, 目的是在具备一定的初等几何、解析几何和高等代数知识的基础上, 系统地学习射影几何知识, 引入变换群观点, 抓住变换和不变性的基本数学思想。高等几何涵盖了大量现代数学思想、方法、理论、应用等, 对于发展空间概念, 丰富高层次的几何知识, 提高数学专业素养, 培养数学逻辑推理和合情推理能力具有重要作用。不仅能更深入地认识几何学, 为进一步的学习微分几何、画法几何或者其他高等数学知识做好准备, 还训练了抽象思维, 增强了数学审美意识, 加强了数学修养, 提高了从师能力, 为数学教学工作打下坚实的基础。

1.2.2 新教学大纲对初等几何的要求

清华大学萧树铁教授说, 在我国的传统文化中, 逻辑思维一直比较薄弱, 数学, 尤其是欧氏几何, 在这方面的训练是大有可为的。著名数学家陈省身在2002年接受采访时更是强调, 中学一定要讲欧氏几何, 几何推理的部分不能取消, 整个数学就是建立在推理之上的。2009年重新修订的《中等职业学校数学教学大纲》就是在教育形势的发展和教学改革的不断深入的大环境下应运而生的, 它明确了“以服务为宗旨, 以就业为导向, 以提高质量为重点”的办学方针, 提出本课程的任务是:使学生掌握必要的数学基础知识, 具备必需的相关技能与能力, 为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础。新大纲将数学课程划分为基础模块、职业模块和拓展模块, 在各模块间进行知识组合, 在各学科间进行知识渗透。在新大纲下, 培养目标已经由重点培养逻辑思维能力转向培养几何直观能力和空间想象能力, 这要求教师调整教学观念和教学方法, “注意突出几何的本质, 引导学生经历直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索与研究几何问题的过程, 发展学生的空间观念和几何直觉”。[3]几何学的教育价值不容小觑, 欧氏几何长期以来作为训练逻辑推理的素材的地位不可取代, 几何对学生多种能力的塑造和培养有着至关重要的影响。

1.3 丰富初等几何研讨方法, 拓宽初等几何解题途径

明确了高等几何与初等几何的关联, 将有利于我们把高等几何中获得的观点、体会反馈于初等几何。事实上, 将高等数学知识下放到初等数学教材中的成分越来越多, 我们所熟悉的初等几何中有部分内容是需要以高等几何为理论依据的, 例如平面几何的平移、旋转是在正交变换群下的合同变换;立体几何直观图的画法、截面图的作法分别是以透视仿射对应性质及笛沙格定理的理论为作图依据[4]。前苏联几何学家亚格龙曾经指出:“在初等几何中……, 包含了两个重要的有普遍意义的思想, 它们构成了几何学的一切进一步发展的基础, 其重要性远远超出了几何学的界限。其中之一是演绎法和几何学的公理基础;另一个是几何的变换和几何学的群论基础。”可见, 学生在学习初等几何的过程中, 实际上也是接受高等几何数学意识和思想方法渗透的过程。利用这一特点, 我们可以考虑用高等几何理论来解决部分初等几何问题, 从而为初等几何研究探讨和解题方法寻求更广泛的途径[5]。另一方面, 由于许多高等几何定理、命题可以给出初等几何的证明或解答, 因此也可以将此类高等几何问题进行改编, 创作出初等几何中的提高题、压轴题等, 这无疑为教师们探索初等几何的教学和科研指明了方向。

下文将通过仿射变换寻找初等几何命题解题思路。

在高等几何中, 只要经过适当的仿射变换, 任意一个三角形、平行四边形、梯形或椭圆可对应变为特殊的正三角形、正方形、等腰梯形或圆形。如果所给命题在这些特殊的图形中结论成立, 则根据仿射变换保持同素性、结合性、平行性、共线三点的单比不变、封闭图形的面积之比不变等性质即可推出在原命题中结论也成立[4]。

例如:将任意三角形每一顶点与对边上的三等分点相连得六条直线, 求证这六条直线所围成的六边形三双对顶点的连线共点。

由于点线的结合性在仿射变换上都不变, 所以可以利用仿射变换将任意三角形ΔA'B'C' (图1) 变成正三角形ABC (图2) , 且各边的三等分点及中点对应变成正三角形各边的三等分点和中点, 因而本题就正三角形的情况证之。

因此, 上述命题等价于:设L1、M1、N1 (i=1, 2) 分别为正三角形ABC三边上的三等分点, 由六条直线围成六边形P1R2Q1P2R1Q2, 求证三双对顶点的连线P1P2, R1R2, Q1Q2共点。

显然, 运用高等几何的知识来处理上述题目时解法相当简单。当然这种高等解法不能直接进入中职数学课堂, 但仍具有重要的参考价值, 为教师思考问题指明方向, 在一定程度上起到启发和诱导的作用。高等几何让我们处于更高的立足点, 以更远的视野、更丰富的知识, 从几何学的全局和整体来理解和把握初等几何。面对初等几何题目, 我们的思路不再单一, 可以尝试站在另一种角度去思考、分析和理解初等问题, 以寻求更为简捷的处理方法, 在不断的探索中不仅丰富了初等几何解题的途径, 还可以创新初等几何问题, 充分发挥高等几何对初等几何的指导作用。

参考文献

[1]关丽娟.高等几何与初等几何的相融性[J].高师理科学刊, 2007, 9:76.

[2]R·柯朗、H·罗宾.什么是数学[M].上海:复旦大学出版社, 1995.

[3]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准 (实验) [M].北京:人民教育出版社, 2003.

[4]李恩凤.高等几何与初等几何的关系[J].青海师专学报, 2001, 6:53.

[5]刘德金, 张全信.试论高等几何对初等几何的指导作用[J].德州师专学报, 1997.

【几何处理】推荐阅读：

几何概念10-21

几何特征05-08

几何思维05-11

几何曲线06-23

几何角度07-05