几何非线性（精选9篇）
几何非线性 篇1
一、建筑学与几何学的关系
几何学作为建筑设计的核心,从最初的找形到最终实施的各个阶段无所不在。几何学在建筑设计中不仅可实现形体生成、尺度控制等,还可以作为审美法则和文化观念,同时还融于材料及结构而成为建造实践的基础。
几何学最早可追溯到古埃及、古印度以及古巴比伦,作为一种关于长度、角度、面积和体积的法则被应用于测绘、建筑、天文等领域。最早基于几何学的建筑实践者当是伊母赫特普—公元前2468年在埃及设计并建造了阶梯金字塔的建筑师与工程师。古希腊、古罗马时期,欧式几何诞生后,几何学成为一门系统科学并直接指导建筑设计。这个时期的学者致力于数与美的融合,认为建筑的美是由不同的建筑元素按照数的比例关系所形成的和谐。中世纪哥特教堂的建造者们就依据结构与材料的几何特性实现了连续上升的尖拱、尖券,并以此征服了世人。文艺复兴时期,几何学成为一种文化观念,建筑内外各个部分再次融合到数学比例中,其时建筑装饰中最基本的几何图形就是圆、方以及三角形,在永恒、绝对、秩序等逻辑之下的完美形式成为这个时代的审美趋向。
随着科技发展,钢结构的出现推动建筑进入机器大生产时代,而推崇功能至上、形式简洁的现代主义建筑开始起步。解析几何和画法几何成为这一时期建筑几何学操作的基础,并对之后的建筑发展产生深远影响。在刚刚过去的20世纪,现代主义逐步发展完善了基于网格、轴线、模数等基本几何逻辑方法,以及平面、立面、剖面、轴测图与透视图的表达方式。
二、建筑几何学的困境与超越
事实上,基于图形及比例的欧氏几何关系以及石头的材料特性构形的古典建筑,无论在美学取向还是建造实践上都已至臻至善,而现代建筑则是将几何学还原为最直接高效的操作置于功能与空间之下,并将其作为一种抽象艺术。尽管现代建筑之后,包括路易·康、贝聿铭以及安藤忠雄等引入更多的几何操作作为形式语言和秩序支撑设计,但建筑几何学实质上并未因此发展。这些建筑师本身也已局限于传统几何学明确与稳定的秩序之中,建筑完全成为人类法则的体现,以一种井然的秩序与自然拉开了距离。
时至今日,建筑几何学的发展迎来新的超越。自然生物形态和物理数学模型以及计算机算法为建筑构形方法带来启发。愈来愈多的先锋建筑师和建筑院校对非线性逻辑、参数化技术、数字建构及新结构、新材料的探索和实践投入了极大的热情。而在欧氏几何、解析几何之后,标志着复杂性的非线性几何(包括拓扑几何、分形几何、微分几何、黎曼几何等)仿佛催化剂一般在这场热烈的建筑反应中发挥着重要作用,不仅引发建筑师重新思考建筑与几何之间的古老关系,同时基于科学合理的构形思维,还使突破传统的设计图景更符合建造施工而成为现实。因而当代建筑没有重回经典欧式几何,而是随着自然科学、计算机技术以及新材料、新技术的发展,再次实现技术与艺术的完美结合,并融入了设计师及工程师的激情与想象。
扎哈事务所合伙人Cristiano Ceccato在概括当前建筑几何学的新进展时提出了两种模式—先理性几何(pre-rationalised geometries)和后理性几何(post-rationalised geometries)(1)。前者是一个基于合理科学的逻辑进行形态生成的过程,后者则是一个将自由形式优化为合理的替代模型的过程。以非线性逻辑为基础,这两种过程同样都利用高级几何的策略结合计算机技术实现复杂形体的生成和控制,有别于当前许多复杂炫目的计算机图像效果表达在视觉追求背后暗含的建造逻辑的缺失。
先理性方式旨在利用高级几何规则和方法生成可建造的形式,这些规则也将受到诸如结构受力、材料特性、功能需求以及造价控制等内容标志参数的影响,最终建筑形式将呈现为一个自组织过程的表达而非以往设计师自上而下的主观操作方法。而沉醉于规则自身涌现出的形式美学之中的建筑师的职责就是挖掘并试验这些可适应的高级几何规则以面向建造实施。诸多设计公司的研究部门如奥雅纳公司的高级几何部门(AGU)与福斯特事务所的特殊模型组(Specialist Modeling Group)以及一些建筑院校如ETH、MIT等在此方面进行了大量的研究与实验。而盖里的实践属于后理性的过程—探索、挖掘一种可建造策略来实现先前艺术思维下的自由形态。这一结果生成过程中并没有预设的可建造规则进行调控,因而在后续的优化过程中,可展开曲面等数学概念便被引入辅助计算机参数化信息模型的建立,并最终指导施工。无论哪种方式,都已经将建筑几何学的范畴和内涵大大向前推进,并在已有研究成果的基础上迈入建造实践的进程。
三、塞西尔·巴尔蒙德的非线性几何构形研究
数学家和物理学家早已开始了非线性几何的探讨,但建筑领域之内,绝大多数建筑师还在沿用19世纪或(某种程度上说是)文艺复兴时期的思考方式。“塞西尔则是将概念性的动态以一种我们能够想象的方式引入建筑学的第一人(2)”,日本建筑师伊东丰雄如此评价。身为奥雅纳公司结构工程师的塞西尔·巴尔蒙德还是音乐家和作家,其著作《Informal》在建筑界引起巨大反响。书中提出的基于异规哲学的非线性设计方法促使人们从新的视角审视复杂建筑体的可实施性。
巴尔蒙德对自然界种种图案投入极大兴趣,并从中发现几何构形法则。他对几何的理解完全不同于20世纪建筑几何学的构想—一种清晰明确的方式独立于自然。相反,他追求以一种与自然体系近似的方式—一种动态不确定的复杂性接近建筑。正如库哈斯在《Informal》的序中所说,“他动摇甚至颠覆了笛卡尔学说的传统稳定性—这些系统变得沉重而突兀……他设计的结构不是固化且固定的,而是表达了疑惑、任意、神秘甚至神秘主义(3)。”巴尔蒙德早在2000年就成立了高级几何部门(Advanced Geometry Unit),致力于各种非线性几何操作的研究,同时还在宾西法尼亚大学负责非线性系统研究机构(NLSO)的教学。NLSO横跨多个学科的开放领域,以材料结构设计为依托,探索非线性算法法则,并将这些理论性的科学技术转化为应用设计艺术,借助大众力量进行推广。基于这些高级研究部门,巴尔蒙德的想法得以生根发芽并在与诸多建筑师合作的过程中逐步取得了丰硕的成果。
下文是笔者对巴尔蒙德的相关研究和案例的一些新的理解和阐述,尝试呈现建筑在非线性建筑几何学的思维下被解放的过程。巴尔蒙德的构形不仅是利用结构生成形式或为形式赋予结构的双向思维过程,同时包含了采用非线性几何实现合理结构及建造逻辑的过程。这一过程也就是Cristiano Ceccato所说的先理性几何逻辑。结合巴尔蒙德的实践案例,下文从点、线、面以及空间这几个最基本的几何概念之间的层级关系切入,通过与传统建筑几何学操作的对比,力求在几何概念的本质上揭示非线性思维下建筑几何学的操作方法及其优势。
1. 从点到线—网格生成系统
现代建筑的网格是从线到点生成柱网体系的过程,匀质的网格虽然带来了功能及建造的便利,但同时也将枯燥与乏味引入空间。恒定的结构体系已成为一种消极的思维定势,限制了设计师的自由发挥。相反,非线性思维下的网格成为一种真正从点到线最终生成结构网格的过程,其关注的是一种灵活且动态的网格节点的设计。当无数个彼此关联的精妙节点交织形成空间网架时,这套结构体系也因此有了一种强适应性的生命力。这种生成的逻辑使建构的内涵具有了一种复杂性的意味,同时带来了结构与空间的诗意。
(1)互承节点与森林公园展廊
在圣路易市公园展廊的设计中,坂茂希望尝试层压竹板这一新材料,巴尔蒙德配合他创造了新的建构法则来超越传统做法。为了打破传统正方形网格的限制,他将每个方形单元四边单向延长形成风车形状,而后将四边彼此分离并互相搭接成为一套互承体系。这些节点进一步彼此搭接形成了大小正方形编织的网格体系。由于每个节点并非固定的框架而是一种动态的组织关系,因而整个曲面可以产生起伏,进行可适应的变化。这点类似于非线性思维下的集群效应,每个单元按照相同的规则构建但时刻追随外界环境发生微妙的变化,最终在彼此关联的限制下涌现出一种自组织的形态(图1,图2)。
(2)榫卯节点与蛇形画廊(2005)
肯辛顿公园的蛇形画廊是巴尔蒙德与西扎在2005年合作设计的。画廊呈现为一个被弯曲异化的盒状空间网架,墙体向内凹进,屋顶向外凸出(图3,图4)。设计之初,西扎希望采用简单的木井格梁结构,然而这种线性逻辑下的网格过于匀质而缺乏活力和吸引力。于是巴尔蒙德将传统井格打散,将一个维度上的木板分成两块并交错榫卯在垂直维度上的木板的豁口之内。各个木板由于受力彼此紧密咬合。再通过数控技术将每一个构件加工出来,并按照规则组合成为完整的建筑。从最终效果来看,榫卯的做法意外地为整个结构带来了本土化工艺的意味。
(3)编织节点与梅斯蓬皮杜中心
梅斯蓬皮杜中心由坂茂和巴尔蒙德合作设计,其仿若漂浮着的轻盈而精巧的表皮再次向世人呈现出一个全新的图景,一种西方技术包裹着的东方风韵的编织手法巧妙地融合于设计中(图5,图6)。最初,设计者设想用固定在柱子上的垂帘曲面作为屋顶,但是这对结构的曲率有更高的要求。巴尔蒙德直接将屋面拉伸到地面,从而摆脱了传统的支撑体系的束缚,三角形与六边形的编织系统下相互交叠的杆件适应了高曲率的曲面,巧妙解决了自由曲面的建造难题。
2. 从线到面—母线生成系统
简单的直线勾勒出的现代建筑作为人类创造的秩序,与自然的复杂多样截然对立,而非线性思维下的曲线则是由自然中连绵、盘旋、折叠抑或弯曲的形态抽象而来。母线(generative line)在巴尔蒙德的图解过程中,并不是简单的一个轮廓抑或控制线,这种空间上连续翻转的母线携带着一种不可预料,其最终聚集而成的曲面呈现出一种流动、连续且模糊的特质。母线作为一种深层逻辑控制着全局连续的结构网络到空间形态的生成过程,打破了现代建筑框架结构体系的局限和面对复杂问题的无力局面。
(1)蜿蜒母线与阿纳姆中央车站
面对阿纳姆中央车站设计中的核心问题—确立一个高效的结构体系,解决位于不同水平层功能模块(办公、车站大厅与地下停车场等)对结构网络的不同需求,巴尔蒙德完全将现代建筑的柱网体系颠覆,抛弃了在不同水平层设置不同结构进而最终拼凑的被动做法。他用一根连续的空间母线在垂直及水平方向上蜿蜒贯穿所有的功能层,最终交织的曲线生成一个折叠的、可同时作为墙体和楼板的无缝界面。这个界面不仅高度适应并连接了所有功能,更成为承担累积荷载的结构体系(图7,图8)。
(2)螺旋母线与伦敦蛇形画廊2001
这个被称为V&A螺旋体的展馆由巴尔蒙德与里伯斯金合作完成。在设计中,一条打破建筑不同方位围合构件(屋盖、地面与墙身)界限的螺旋线与地面若即若离,并弯折成极具意趣的新形式(图9,图10)。这条母线生成的折面将内外空间模糊,真正将公众体验与欣赏完全纳入。在进行建造时,数字加工技术也充分发挥了面对复杂形体的优势—结构即为建筑与形式,这也是巴尔蒙德构形思维的核心。
(3)跳跃母线与查维斯公园
在查维斯公园包含购物中心、400m长、150m宽的空间里,对底层干扰最小的大跨结构是设计面临的最大挑战。按照传统的设计思路会采用张拉屋顶结构,巴尔蒙德为了实现纵向的跨越结构则进行了更大胆的尝试—他采用一条环绕的母线跳跃着覆盖了整个场地。基于算法,整个曲面系统以母线为依托生成,最终形成的屋顶通过几个结构落地点实现了跳跃式的纵向跨越,从而保证了商业空间的完整性(图11,图12)。
3. 从面到空间—算法生成系统
非线性思维下的空间形态已经打破欧几里德的传统空间概念,呈现为一种“动态运动中时空共存的流动空间(4)”。而这种空间源于界面的折叠与展开,超越了传统笛卡尔坐标系下的简单围合。这种生成空间的方式强调了时空上的动态和变化,同时将内外边界模糊,也将传统意义上各个建筑构件(包括结构,楼板、天花以及表皮)的界限模糊。塞西尔·巴尔蒙德的空间生成尝试也是如此,借助算法下的高级几何规则不仅可以实现高级且复杂的空间分隔和一体化的建筑形态,同时过程设计中的参数变化可生成多种可能以满足需求。而这正是这种自下而上的构形过程的优势所在。
(1)极小曲面与台中大都会歌剧院
极小曲面是平均曲率为零的曲面,也是一条封闭曲线上形成的面积最小的曲面,在建筑设计及建造过程中有着极大的发展潜力。德国建筑师费雷·奥托早年致力于极小曲面的研究来实现以最少的材料建造合理的屋顶和覆盖结构。在巴尔蒙德与伊东丰雄合作的被喻为“声音的涵洞”的台中大都会歌剧院设计中,引入了极小曲面的算法生成法则。通过数学公式运算生成的这种模糊内外边界的自然形态,打破了传统建筑空间模式,建筑的结构、空间、形式裹挟着功能成为一个完整的有机体,如同自然生物一样系统完善而具有生命力(图13,图14)。
(2)准晶体与巴特西发电站改造
准晶体由美国物理学家谢克特曼于1984年发现,它在不同空间维度上呈现出不同形态,二维和三维形态上分别可用最少的几何图形及几何体无缝且无周期性填充。作为巴特西发电站整个建筑焦点的剧院大厅成为新的实验场所,巴尔蒙德将整个剧场的规划建立在准晶体结构衍生出的三维空间关系上,从而实现高效的空间划分及表面装饰的肌理性(图15,图16)。该准晶体由14个模数化的实体拼贴单元非周期性填充形成,呈现出复杂且精美的空间效果的同时又在致密的数理逻辑控制之下。
四、展望
正如查尔斯·詹克斯所说,建筑的变革正是源于专业领域间角色的转化,从雕塑家、绘画艺术家、机械师直到当今的生物学家、数学家、工程师、计算机学者等。巴尔蒙德以多重角色挑战了行业背后的陈规和框架,改变了学科间的边界(3),正在引入一场全新的、具有浪漫和神秘气质的建筑变革。非线性建筑几何学不仅仅处于建筑学以及应用几何学的交集,其研究领域更是融合了自然科学、计算机科学、工程与数学、艺术设计等理论,在具体实践中又会涉及到材料科学、结构设计等领域,因此在多专业通力合作的基础上必将有着更强的适应性。其自身蕴含的高度建造逻辑和可实施性将保证当前全新的建筑实验成为现实。■
参考文献
[1]参见:Ceccato C.,Hesselgren L.,Pauly M.,Pottmann H.,Wallner J.,Advances in Architectural Geometry2010.Springer Vienna Architectyer,2010:11
[2]参见:《建筑与都市》中文版编辑部.塞西尔.巴尔蒙德.北京:中国电力出版社,2008:175
[3]参见:塞西尔.巴尔蒙德.Informal.李寒松译.北京:中国建筑工业出版社,2008:358
[4]参见:徐卫国.非线性体—表现复杂性.世界建筑,2006(12):118
几何非线性 篇2
Linear Algebra and Analytic Geometry A
课程编码：09A00110
学分：3.课程类别：专业基础课（必修课）计划学时：56
其中讲课：56
实验或实践：0
上机：0 适用专业：信息科学与工程、机械工程、自动化与电气控制、土木建筑、资源与环境、物理科学与技术等学院理工类各专业
推荐教材：于朝霞 张苏梅 苗丽安主编.线性代数与空间解析几何(第二版).北京：高等教育出版社，2016.参考书目：
1、郑宝东主编.线性代数与空间解析几何(第三版).北京：高等教育出版社，2015.2、马柏林等主编.线性代数与解析几何.北京：科学出版社，2001.3、黄廷祝，成孝予主编.线性代数与空间解析几何(第三版).北京：高等教育出版社，2014.4、冯良贵等编著.线性代数与解析几何.北京：科学出版社，2013.5、龚冬保等主编.线性代数与空间解析几何要点与解题.西安：西安交通大学出版社，2006.6、黄廷祝，余时伟主编.线性代数与空间解析几何学习指导教程.北京：高等教育出版社，2005.课程的教学目的与任务
线性代数与空间解析几何具有较强的抽象性与逻辑性，所介绍的方法广泛地应用于各个学科，是高等学校本科各专业的一门重要的基础理论课。
通过本课程的教学，使得学生系统地获取线性代数与空间解析几何的基本知识、基本理论与基本方法，了解代数与几何的相互渗透关系，会用代数理论去解决几何方面的问题，具有较熟练的运算能力。通过本课程的学习使学生初步熟悉和了解抽象的、严格的代数证明方法，理解具体与抽象、特殊与一般的辩证关系，提高空间想象、抽象思维、逻辑推理的能力。学会理性的数学思维技术和模式，培养学生的创新意识和能力，能运用所获取的知识去分析和解决问题，并为后继课程的学习和进一步深造打下良好的基础。
课程的基本要求
通过本课程的学习，要求学生达到以下要求：
1.了解行列式的概念，熟记行列式的性质，掌握行列式的基本计算方法。2.掌握矩阵的基本运算，理解矩阵秩的概念及初等矩阵与初等变换的关系性质。
3.理解线性相关性、向量组的秩的概念，掌握线性相关性的性质及判定定理、三秩相等定理。4.掌握平面、直线、二次曲面的方程及方程所表示的曲面形状。
5.理解线性方程组解的存在定理、解的结构定理，掌握其在讨论空间平面位置关系中的应用。6.理解特征值、特征向量的概念。掌握方阵可相似对角化的条件及方法，正交变换化二次型为标准形的方法。掌握二次型理论在判别三元二次方程所表示的几何形状的应用。7.借助矩阵的初等行变换熟练掌握各类线性问题解的刻画及求解方法步骤。8.掌握线性方程组理论及二次型理论在几何上的应用。
各章节授课内容、教学方法及学时分配建议
本课程的内容按教学要求的不同，分为两个层次.其中，概念、理论用“理解”一词表述的，方法、运算用“掌握”一词表述的，属较高要求，必须使学生深入理解，牢固掌握，熟练应用；概念、理论用“了解”一 词表述的，方法、运算用“会”或“了解”表述的，也是教学中必不可少的，只是在要求上低于前者。第一章： 行列式
建议学时：8 [教学目的与要求]
1．理解n阶行列式的定义。
2．理解行列式的性质，掌握行列式的计算。3.了解克拉默(Cramer)法则。
[教学重点与难点] 行列式的性质，行列式的计算。
[授
课
方
法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授
课
内
容] 1.1 二阶与三阶行列式 1.1.1 二阶行列式 1.1.2 三阶行列式
1.2 n阶行列式的定义 1.2.1 排列与逆序数 1.2.2 n阶行列式的定义 1.3 行列式的性质与计算
1.3.1 行列式的性质 1.3.2 行列式的计算 1.4 克拉默法则习题课
第二章：矩阵及其运算
建议学时：10 [教学目的与要求]
1．理解矩阵的概念，知道某些特殊矩阵的定义及性质。2．熟练掌握矩阵的线性运算，乘法运算，转置及相关运算性质。
3．理解伴随阵概念及性质，理解逆矩阵的概念和性质、矩阵可逆充要条件。4．理解矩阵秩的概念，知道满秩矩阵及其性质。
5．理解矩阵的初等变换，熟练地用初等行变换求逆矩阵、求矩阵的秩、解矩阵方程。6．了解分块矩阵的运算，掌握准对角矩阵的运算性质。[教学重点与难点]
重点：矩阵、逆矩阵、矩阵的秩及矩阵的初等变换的概念。矩阵的各类运算及运算性质。矩阵可逆的充要条件。初等矩阵与初等变换的关系性质，用初等变换求逆矩阵、矩阵的秩、矩阵方程的解的方法。
难点：矩阵秩的概念，有关矩阵秩的性质的应用问题。
[授
课
方
法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授
课
内
容]
2.1 矩阵及其运算 2.1.1 矩阵的概念 2.1.2 矩阵的运算 2.2 逆矩阵 2.2.1逆矩阵的定义 2.2.2 方阵可逆的充要条件 2.3 分块矩阵及其运算 2.3.1 分块矩阵的概念 2.3.2 分块矩阵的运算
2.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩 2.4.1 矩阵的初等变换 2.4.2 矩阵秩的概念与求法 2.5 初等矩阵
2.5.1 初等矩阵及其性质 2.5.2 用初等变换求逆矩阵习题课
第三章：向量与向量空间
建议学时：10 [教学目的与要求]
1.了解空间直角坐标系、几何向量的坐标表示及运算。
2.理解n维向量的概念、理解线性相关性概念。会判别向量组的线性相关性。
3.理解向量组的最大无关组、秩的概念，理解三秩相等定理。掌握用矩阵的初等变换求向量组的最大无关组及秩的方法。
4.理解n维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念，会求向量空间的基、维数。
[教学重点与难点]
重点：向量组的线性相关性的概念及性质，向量组的线性相关性的矩阵判别法及其推论以及上述结论的应用；向量组的最大无关组与秩的概念与求法；三秩相等定理及应用；向量空间、基底及维数的概念。
难点：向量组的线性相关性、向量组的最大无关组与秩及相关证明题。[授
课
方
法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授
课
内
容] 3.1 几何向量及其线性运算 3.1.1 几何向量的基本概念 3.1.2 几何向量的线性运算 3.2 空间直角坐标系 3.2.1 空间直角坐标系 3.2.2 几何向量的坐标表示 3.2.3 用坐标进行向量运算
3.3 n维向量及其线性运算 3.3.1 n维向量的概念 3.3.2 n维向量的线性运算 3.4 向量组的线性相关性 3.4.1 向量组及其线性组合 3.4.2 线性相关与线性无关的概念 3.4.3 线性相关性的性质 3.4.4 线性相关性的判定 3.5 向量组的秩
3.5.1 最大线性无关组 3.5.2 向量组的秩
3.5.3 矩阵的秩与向量组的秩的关系 3.6 向量空间
3.6.1 向量空间的概念 3.6.2 坐标变换习题课
第四章：欧氏空间
建议学时：8 [教学目的与要求]
1.理解向量的内积、长度、夹角等概念及性质；理解标准正交基、正交矩阵;会求几何向量的内积和外积。
2.掌握空间直线的标准式方程与平面的点法式、一般式方程。3.理解空间曲面、空间曲线的概念，会求空间曲线在坐标面上的投影。4.知道二次曲面方程及其所表示图形的形状。
[教学重点与难点] 标准正交基；直线与平面方程、曲面方程。
[授
课
方
法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授
课
内
容] 4.1 向量的内积
欧氏空间 4.1.1 R3中向量的内积
4.1.2 n维向量的内积
欧氏空间 4.2 标准正交基
4.3 R3中向量的外积和混合积
4.3.1 向量的外积 4.4 R3中的直线与平面 4.4.1平面及其方程 4.4.2 空间直线及其方程 4.4.3 位置关系 4.5 空间曲面及其方程
4.5.1 球面 4.5.2 旋转曲面 4.5.3 柱面
4.6 空间曲线及其方程 4.6.1 空间曲线的一般方程 4.6.2 空间曲线的参数方程 4.6.3 空间曲线在坐标面上的投影 4.7 二次曲面 4.7.1 椭球面 4.7.2 抛物面 4.7.3 双曲面 4.7.4 二次锥面习题课
第五章：线性方程组
建议学时：6 [教学目的与要求]
1．理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件。2．理解齐次线性方程组的基础解系，线性方程组的通解的概念及解的结构。3．熟练掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。
4.掌握线性方程组解的理论在向量组的线性相关性和在几何上的应用。
[教学重点与难点] 齐次线性方程组有非零解的判断及基础解系的概念；非齐次线性方程组有解的判 断及通解结构；用矩阵的初等行变换求解线性方程组；线性方程组解的理论在几何上的应用。[授
课
方
法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授
课
内
容] 5.1 线性方程组有解的充要条件 5.2 线性方程组解的结构 5.2.1 齐次线性方程组解的结构 5.2.2 非齐次线性方程组解的结构
5.3 用初等变换解线性方程组及线性方程组的应用 5.3.1 用矩阵的初等行变换求解线性方程组
5.3.2 线性方程组应用举例（只介绍在几何中的应用）习题课
第六章：特征值、特征向量及相似矩阵
建议学时：8 [教学目的与要求]
1．理解矩阵的特征值与特征向量的概念并掌握其求法。
2．理解相似矩阵的概念与性质，理解矩阵可相似对角化的充要条件。
[教学重点与难点]
重点：矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及求法；实对称矩阵的相似对角化。
难点：矩阵可相似对角化的条件及相关问题。
[授
课
方
法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授
课
内
容] 6.1 特征值与特征向量 6.1.1 特征值与特征向量的概念 6.1.2 特征值与特征向量的性质 6.2相似矩阵
6.2.1 相似矩阵的概念及性质 6.2.2 方阵的相似对角化问题 6.3 实对称矩阵及其对角化
6.3.1 实对称矩阵的特征值与特征向量 6.3.2 实对称矩阵的正交相似对角化习题课
第七章：二次型
建议学时：6 [教学目的与要求]
1.了解二次型及其矩阵表示、二次型的秩及二次型的标准形等概念。
2.掌握用正交变换将二次型化为标准形的方法,会用配方法化二次型为标准形。3.会用二次型理论讨论讨论一般二次曲面的形状。[教学重点与难点] 用正交变换化二次型为标准型。
[授
课
方
法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授
课
内
容] 7.1 二次型
7.1.1 二次型的定义及其矩阵 7.1.2 矩阵的合同 7.2 化二次型为标准形
7.2.1 用正交变换化二次型为标准形 7.2.2 用配方法化二次型为标准形 7.3 正定二次型 7.3.1 二次型的惯性定理 7.3.2 正定二次型
7.4 二次型在研究二次曲面中的应用 7.4.2 二次曲面方程化标准形
习题课
撰稿人：张苏梅
几何非线性 篇3
关键词： 线性代数 充要条件 线性相关性 特征值与特征向量
一、引言
“线性代数与空间解析几何”这门学科的教学目的是培养学生的能力，比如空间联想、抽象思维、创造性思维、逻辑思维和自学等，而培养这些能力的前提条件是先让学生理解基本概念和掌握基本理论，学会分析问题、解决问题的基本方法；最主要的是能够充分了解各部分知识的结构及其内在联系；充分利用所学基础恰当地进行推理证明，快速计算；充分将所学知识运用到解决简单的实际问题中.但是在教学过程中，经常有学生反映“线性代数与空间解析几何”这门学科内容的层次太多，学起来比较难，找不到内容的核心，更不能将所学知识联系起来.为了解决这一问题，下面我们将结合教学经验，阐述“线性代数与空间解析几何”这门学科中常见的问题，针对这些问题给出几点建议.
二、知识体系
“线性代数与空间解析几何”这门课程的知识网络是：行列式，矩阵及相应的运算，向量、向量空间及欧式空间，线性方程组（分为齐次线性方程组和非齐次线性方程组），特征值和特征向量的相关内容，相似矩阵，二次型等.这门课程实际上是将代数与几何融为一体，具有数形结合的特点，代数为几何做铺垫.与此同时，代数又在原有几何空间的基础上进行了拓展，课程重点在“线性代数”上.“线性代数”研究的核心内容是讨论线性方程组何时有解；若有解，讨论其解是否唯一；若解不唯一，那么讨论其解的结构并研究方程组的解法.这门学科中之所以包含其他内容，是因为其他内容为解方程组提供了便利.行列式作为常用的数学工具，为解方程组做了铺垫——克拉默法则，但是克拉默法则本身又具有一定的局限性：它只能解决含有n个方程n个未知数的线性方程组解的问题.为了能更好地解决线性方程组的有关问题，我们又引入了矩阵的知识，进而了解了矩阵的初等变换，而矩阵的初等变换为解决线性方程组提供了非常便利的条件.那么在教学过程中，对于“线性代数与空间解析几何”这门学科来说具体有哪些问题呢？下面将一一列举.
三、“线性代数与空间解析几何”中常见的问题
1.定理中“充要条件”的深入理解
数学学习过程中，“充要条件”经常会出现在各种题型中，尤其是在一些证明题中.“充要条件”包含了两层含义，一个是充分性，一个是必要性，“充要条件”的证明实际上是一个双向证明的过程，这对大多数学生来说并不难理解，但是，由于对这一定义理解得不够透彻，导致学生在证明“充要条件”的过程中容易混淆充分性及必要性的证明方向.本文将从定义、证明、性质及其对应的应用等方面阐述“充要条件”的深层含义.
四、结论
本文重点介绍了“线性代数与空间解析几何”教学中遇到的几个常见的问题，主要集中在三个方面：对定理中出现的“充要条件”字眼的深入理解；对向量组的线性相关性的讨论；特征值与特征向量的概念及其性质的灵活应用.“线性代数与空间解析几何”是一门基础学科，在各种代数分支中占据首要地位.由于这门学科比较抽象，学生普遍抓不住重点，多数同学只是掌握了代数方面的计算方法，却忽略了这门学科的基础概念和性质的应用，以及它们的内在联系和用途.要想真正学好数学，对定义和定理的深入剖析至关重要.
参考文献：
[1]于朝霞，张苏梅等.线性代数与空间解析几何（第二版）.北京：高等教育出版社，2016.
[2]徐荣.《线性代数》课程学习技巧探讨.中国教创新导刊，2011（2）：27-28.
[3]马柏林，邓爱珍.线性代数与解析几何.科学出版社，2001.
悬索桥几何非线性分析方法 篇4
悬索桥结构的特性为几何非线性, 主要可分为三个部分:1) 结构的恒载影响。2) 结构的大位移。3) 主缆自重垂度的影响。
人们对悬索桥结构特性的认识是有一个发展的过程, 在这个过程中产生了弹性理论, 挠度理论及有限位移理论。
1 几何非线性分析基本原理
结构分析的目的, 就是要计算出结构在外荷载作用下处于平衡状态时的位移和内力, 这个平衡状态是已经发生了变形的状态而不是变形前的状态。结构几何非线性分析的实质就是要求出结构变形之后的平衡状态, 然后求出这个状态下结构的内力。
根据虚位移原理, 即外力在虚位移上所做的功等于结构因虚应变所产生的内力虚功, 建立有限元几何非线性平衡方程得:
∫δ{ε}T{σ}dv-δ{u}T{f}=0 (1)
其中, {σ}为单元的应力向量;{f}为单元的杆端力向量;δ{u}为虚位移;δ{ε}为虚应变。
位移—应变关系用非线性形式表示为:
δ{ε}=[B]δ{u} (2)
消去δ{u}T, 得非线性问题的平衡方程为:
∫[B]T{σ}dv-{f}=0 (3)
式 (3) 的意义就是结构在外荷载作用下的平衡状态为结构内力与外荷载平衡时的状态, 平衡条件建立在变形之后的位形上。当结构在弹性范围内工作时, 这最终的平衡状态是唯一确定的。
在非线性问题下, 应变与位移的关系是非线性的, 应变矩阵[B]是位移{ε}的函数。其可分为与杆端位移无关的线性应变矩阵[BO]和与杆端位移有关的非线性应变矩阵[BL]两部分, 即:
[B]=[BO]+[BL] (4)
考虑初应力{σO}和初应变{εO}时, 单元应力—应变关系可表示为:
{σ}=[D] ({ε}-{εO}) +{σO} (5)
其中, [D]为材料的弹性矩阵。
在几何非线性分析中, 按全量列式法得到的单元刚度矩阵和结构刚度矩阵往往是非对称的, 对求解不利。因此, 多采用增量列式法, 将式 (3) 写成微分形式:
∫d[B]T{σ}dv+∫[B]Td{σ}dv=d{f} (6)
由式 (2) , 式 (5) 得:
d{σ}=[D][B]d{δ} (7)
再根据式 (4) 有:
d[B]=d ([BO]+[BL]) =d[BL] (8)
令: ∫d[B]T{σ}dv+∫[B]Td{σ}dv=[K]d{δ} (9)
则式 (6) 变为:
[K]d{δ}={f} (10)
[
其中, [KO]=∫[BO]T[D][BO]dv;[KL]=∫[BO]T[D][BL]dv+∫[BL]T[D][BO]dv+∫[BL]T[D][BL]dv;[Kσ]=
式 (10) 即是增量形式的单元平衡方程, 它表示了荷载增量与位移增量之间的关系, 它所表达的意义即一定的结构位形的改变相当于一定的外荷载的改变。其中, [K]为单元的切线刚度矩阵;[KO]为单元线性刚度矩阵;[KL]为单元初位移刚度矩阵 (或称大位移刚度矩阵) ;[Kσ]为单元初应力刚度矩阵 (或称几何刚度矩阵) 。
2 几何非线性分析的基本方法
几何非线性指的是大位移问题。在大多数的大位移问题中, 结构内部的应变是微小的。实际上, 只有在材料出现塑性变形时或在结构上应用较少的类似于橡胶那样的材料才会遇到大的应变。对于像斜拉索这样的钢材, 在设计荷载作用下不会出现很大的应变。因此, 斜拉桥的几何非线性问题属于大位移小应变问题。
当荷载作用在斜拉桥结构的某个点上, 该结点将发生位移, 荷载也随之移动。这种位移不仅改变了荷载相对于该结点相连接的杆件的作用方向, 而且改变了荷载对结构上其他结点产生的弯矩。如果位移量大, 就会严重地影响荷载对结构产生的效应, 即考虑几何非线性的影响对斜拉桥结构分析是十分必要的。
几何非线性的近似计算方法有以下几种:
1) 增量法。
增量法是指荷载以增量的形式逐级加上去, 在每个荷载增量作用过程中假定结构的刚度是不变的, 在任一荷载增量区间内结点位移和杆端力都由区间起点处的结构刚度算出, 然后利用求得的结点位移和杆端力求出相对于增量区间终点变形后位置上的结构刚度, 作为下一个荷载增量的起点刚度。在任一荷载增量i级作用下的平衡方程为:
[K]i·{ΔD}i={ΔW}i。
其中, [K]i为荷载增量区间起点处的结构整体刚度矩阵;{ΔD}i为该荷载增量引起的结点变化量;{ΔW}i为结点荷载增量的大小。
荷载增量区间终点处的结点位移为起点处位移与位移增量{ΔD}i之和。可见结构的几何状态在每个荷载增量后要进行调整。
2) 迭代法。
迭代法是将整个外荷载一次性加到结构上, 结点位移用结构变形前的切线刚度求得, 然后根据变形后的结构计算结构刚度求得杆端力。由于变形前后的结构刚度不同, 产生结点不平衡荷载, 为了满足结点平衡, 将这些不平衡荷载作为结点荷载作用在结点上, 计算出相对于变形后的结点位移量, 反复这一迭代过程, 直至不平衡荷载小于准许值为止。
[K]i·{Δδ}i+1={ΔP}。
{Δδ}i+1={Δδ}i+{Δδ}i-1。
其中, [K]i为结构的单元刚度矩阵;{Δδ}i+1为第i级迭代时由结点不平衡荷载引起的位移增量;{ΔP}为第i级迭代时的结点不平衡荷载;{Δδ}i-1, {Δδ}i分别为第i级荷载加载始、末的结点位移。
迭代法就是用总荷载作用下的不平衡荷载的线性解去逼近平衡的非线性解, 迭代过程就是消除结点不平衡力的过程。
3) 混合法。
混合法结合了荷载增量法和迭代法的优点, 混合法中初始荷载和每次循环后的不平衡荷载都是以增量的形式施加, 在每个荷载增量后对刚度作一次调整, 这样可以加快收敛速度, 对于斜拉桥这种迭代次数要求较高的结构是很适宜的。
摘要：简述了悬索桥的组成, 分析了悬索桥几何非线性分析的基本原理, 详细介绍了悬索桥几何非线性分析的基本方法, 包括增量法、迭代法和混合法, 以提高人们对悬索桥结构特性的认识, 积累悬索桥设计的经验。
关键词：悬索桥,几何非线性,基本原理,方法
参考文献
[1]华孝良, 徐光辉.桥梁结构非线性分析[M].北京:人民交通出版社, 1997.
[2]严国敏.现代悬索桥[M].北京:人民交通出版社, 2002.
[3]王解军, 杨文华, 李光栋.大跨径悬索桥几何非线性分析[J].湖南大学学报, 1998, 25 (3) :20-21.
[4]傅强.悬索桥空间非线性分析[J].同济大学学报, 1997, 25 (3) :15-16.
钢结构几何非线性分析研究综述 篇5
由于钢框架结构构件的柔性特征明显,为了准确地获得其变形特征,通常需要进行几何非线性分析,我国高钢规程(JGJ 99—98)[1]第5.2.11条规定,对于有侧移结构,应按能反应P-Δ效应和梁柱效应的二阶分析方法进行计算。学术和工程界对钢框架结构几何非线性分析进行了全面地研究,建立了杆系结构非线性分析的理论框架。当前通常借助计算机,利用专业软件进行分析。分析时将结构划分为有限数量并通过节点相连的单元,以节点自由度作为基本未知量,把各单元的贡献组装成整体形式的矩阵和向量,建立结构整体刚度方程,利用数值方法对节点自由度进行求解,即可获得单元变形、内力等其他量,从而评估结构性能。
几何非线性分析中,结构刚度不仅取决于构件材料、几何尺寸和截面尺寸,而且很大程度上取决于结构荷载作用下构件的初应力分布、结构位移、作用在结构上的荷载条件。杆系结构的几何非线性主要包括单元之间的P-Δ效应和单元内部的P-δ效应,单元之间的P-Δ效应在分析过程中可通过实时更新节点坐标进行考虑,而单元内部的P-δ效应则需在单元公式中进行考虑。因此,钢框架结构几何非线性分析有两种主要不同方法,即梁柱法和有限元法。
2 梁柱理论
梁柱法基于梁柱理论,通过求解梁柱单元的平衡微分方程获得单元变形挠曲线,再结合单元边界条件推导单元的转角位移方程,得出稳定函数对结构进行二阶弹性分析方法。稳定函数可考虑轴力引起的P-δ效应对单元弯曲刚度的影响。对转角位移方程进行微分操作可推导出单元切线刚度矩阵[2]。通过建立增量节点位移与增量节点力之间的切线刚度方程,在一系列增量荷载作用下,可描述杆件和结构的几何非线性过程。采用稳定函数的梁柱单元,进行二阶非弹性分析时,每个构件仅使用一个单元就能精确求解。可以这样讲,梁柱理论法是钢框架进行几何非线性分析的一个有效和经济的方法。
3 有限单元法
有限单元法利用连续介质力学的能量原理建立虚功方程,通过选择合适的应力应变张量和运动描述方式,再经过方程线性化、变分等处理可得到关于位移增量(或内力增量)的线性方程组。只要合适地考虑应变中的非线性项,有限单元法很容易把问题从线性分析扩展到复杂的非线性分析中。通过插值函数将单元内部位移(或内力)表示为节点位移(或节点力),代入上述线性方程组后可得到包含初始应力影响的关于单元节点位移(或节点力)增量的单元刚度(或柔度)方程。
Argyris[3]基于有限元法,使用线性增量方法显示表达的几何刚度矩阵,对钢框架进行了几何非线性分析。有限单元法通常采用三次或五次多项式插值函数单元,不如基于稳定函数的梁柱单元精确。基于多项式插值函数的平面单元,比较容易发展为空间几何非线性分析中,并且能反映轴向、弯曲和扭转变形之间的耦合效应[4]。只是由于精度问题,需要多个单元来模拟才能达到要求,而且二阶非弹性分析方法中,较难考虑残余应力等初始缺陷的影响;稳定函数能反映梁柱构件变形的真实状态,基于稳定函数的梁柱单元仅需采用一个单元就能精确地求解通常的二阶弹性问题,并能方便地考虑残余应力等缺陷,但由平面单元发展到空间单元时,容易丢失考虑侧扭变形影响的重要耦合项,由此而引起很明显的的误差。
有限单元法的基本思路是“化整为零”,即将连续体离散化,视为由有限多个有限大小的单元所构成,各单元之间则
耐火电缆是指在规定温度和时间的火焰燃烧下仍能保持线路完整性的电线电缆。它指通过《在火焰条件下电缆或光缆的线路完整性试验第21部分:试验步骤和要求——额定电压0.6/1.0 kV及以下电缆》(GB/T 19216.21—2003,等效IEC60331-21:1999)试验合格的电线电缆,有机耐火电缆(NH-VV,NH-YJV)不是不燃或难燃电缆,它是靠缠包在铜导体上的云母耐火带保护而继续通电一段时间。
防火电缆是采用无机矿物绝缘材料制作的电缆,如氧化镁矿物绝缘电缆。防火电缆在火焰中具有不燃性能和无烟无毒,由于绝缘材料氧化镁的熔点高达2 800℃,铜的熔点为1 083℃,即只要低于铜的熔化温度,矿物绝缘电缆就不会破坏。
4 消防用电设备配电线路施工中的监控重点
我们都知道,消防用电设备在火灾发生时起着重要的作用。作为监理工程师,对消防用电设备配电线路的施工要把握以下监控重点:
1)是否符合设计图纸对消防用电设备线路的敷设要求。
2)消防用电设备是否满足在火灾发生期间最小持续供电时间要求,重点检查消防用电设备的产品合格证、检验报告等。
3)消防用电设备所采用的电线电缆的型号规格是否满足设计图纸要求,重点检查电线电缆的产品合格证、检验报告等。
参考文献
[1] 高层民用建筑钢结构技术规程.JGJ 99-98． 北京:中国建筑工业出版社,1998
[2] 陈骥.钢结构稳定理论与设计.北京:科学出版社,2001
[3] J.Argyris et al.Finite element analysis of two-dimensional and three-dimensional elasto-plastic frame-the natural approach.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,1982,35:221-48
几何非线性 篇6
关键词：体外预应力,几何非线性分析,分析方法,影响因素
0 引言
钢筋混凝土体外预应力结构因其建造简便、便于检修和维护等优点而被广泛应用。与钢筋混凝土斜拉桥相似,体外预应力结构非线性主要包括:由混凝土、普通钢筋、体外预应力筋等引起的材料非线性;在跨度较大或钢筋混凝土梁较薄的情况下,由几何大变形引起的预应力筋的偏心距损失,由受压梁引起的二次效应及由体外预应力钢筋自重作用下产生的垂度等引起的几何非线性;同时,转向块的摩擦滑移导致预应力筋长度方向有效预应力分布的变化等,都是体外预应力混凝土结构非线性过程分析的典型特点[1]。钢筋混凝土体外预应力结构的材料非线性性能对结构的影响较易引起研究者的注意,牛斌进行了一批体外预应力混凝土梁非线性全过程试验[2,3],利用试验结果,归纳出了体外预应力混凝土梁的抗弯和抗剪强度计算公式并编制了相对应的计算程序;Nihal等[4]对体内无粘结和体外预应力混凝土梁进行了直到破坏的全过程非线性分析,并用来自Tan等[5]的试验结果进行了验证,精度很理想。
然而,由于体外预应力结构构件受力的特殊性,几何非线性影响也可能对结构的预应力损失产生重要影响。例如:预应力钢筋变形与梁挠度不一致,产生偏心距损失[6];多束预应力钢筋产生垂度效应;位移变化产生二次内力不能忽略,荷载—变形关系为非线性,叠加原理不再适用,只能根据数值方法求解[1]。
本文分析研究了钢筋混凝土体外预应力梁几何非线性影响的成因,建立了与之相对应的计算模型。将几何非线性分析理论引入体外预应力结构,并结合钢筋混凝土体外预应力的特点,考虑转向块的摩擦滑移导致预应力筋长度方向有效预应力分布的变化,对设置双转向架的钢筋混凝土体外预应力梁进行了几何非线性分析,并与试验结果进行了分析比较,同时,分析研究了影响体外预应力梁几何非线性的各种因素,编制了相应的计算程序。
1 几何非线性的成因
本文认为钢筋混凝土体外预应力结构的几何非线性主要包括以下几方面:
1)钢筋混凝土体外预应力结构,在体外预应力的作用下,钢筋混凝土梁除承受原有的弯曲作用以外,还要承受巨大的轴向压力,与之相应产生的二次弯曲效应;2)体外预应力筋在自重作用下产生的垂度;3)当跨度较大或虽然跨度不大,但混凝土梁厚度较小时,结构产生大位移的影响;4)转向块的摩擦滑移导致预应力筋长度方向有效预应力分布的变化。
2 算例及分析
2.1 双转向块体外预应力梁
综合考虑上述四类因素,计算分析双转向块体外预应力梁的极限承载力。采用文献[3]的试件及参数,文献[3]中共完成了10片体外预应力混凝土梁的试验,本文选取标号为A3-2梁数据进行计算分析。试件A3-2的预应力钢筋为折线布置,试件外形尺寸及预应力钢筋布置如图1所示,试验梁混凝土采用C50级弹性模量约为3.4E4 MPa。表1列出了试件的各项设计参数。
计算结果如图2所示。由图2可以看出:A3-2体外预应力梁考虑几何非线性效应对结构最大挠度的影响达到了7.1%,即(非线性计算数据-线性计算数据)/线性计算数据的均值得到。同时可以看出:本文的计算结果与试验结果及ANSYS分析结果吻合较好。
2.2 几何非线性计算验证
为了进一步考察研究跨度对体外预应力梁的几何非线性影响,应用文献中的试件T3D的截面数据,假设体外预应力简支梁在极限应力状态内,跨度逐步增大的情况下进行计算。
计算T形梁,在跨度为3 m,4 m,5 m,6 m,7 m的跨度下,在三分点处施加150/2 k N集中力,计算其跨中最大挠度,计算结果列于表2。计算工况如下:1)线性条件计算;2)综合考虑非线性影响效应计算;3)只考虑大变形非线性影响效应计算;4)只考虑受压二次效应非线性计算;5)只考虑体外预应力垂度效应计算;6)只考虑转向块摩擦效应计算。最后运用ANSYS中提供的空间8节点块体单元Solid65模拟混凝土梁单元,三维杆单元Link10模拟体外预应力钢筋进行非线性计算,与本文计算结果进行比较。
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由表3可以看出:跨度越大,结构的几何非线性越大。当跨度为3 m时,几何非线性为6.9%,而当跨度为7 m时,几何非线性达到24.9%。在引起结构几何非线性的各种因素中,当跨度较小时,轴力所产生的二次效应是体外预应力结构几何非线性的最主要因素,当跨度为3 m时,其所引起的几何非线性占结构总的几何非线性的72.6%;随着跨度的增大,轴力所产生的二次效应逐步减小,而转向块的摩擦效应及体外预应力筋的垂度所产生的几何非线性影响逐步增大,当跨度达到7 m时,轴力所产生的二次效应影响下降到22.1%,而转向块的摩擦效应和体外预应力筋垂度的影响则分别达到26.1%和30.9%,同时大位移所产生的几何非线性影响也随着结构跨度的增大而增大。同时得出本文计算结果与通用软件ANSYS计算结果吻合良好,另外由于本文算例采用的是简支梁,虽然在位移分析中存在着明显的几何非线性,但这种几何非线性对结构的内力影响却很小,影响比例在±4%区间内(由于篇幅限制内力结果本文没有列出),因此在实际工程计算中可以忽略。
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3 结语
由计算分析,可以得出如下结论:
1)钢筋混凝土体外预应力结构有明显的几何非线性。这种几何非线性由多种因素组成,而且它们的大小及各因素的影响程度与结构的跨度或高跨比密切相关;忽略几何非线性影响的计算结果是体外预应力两极限承载力的上限。
2)利用斜拉桥几何非线性分析理论对体外预应力混凝土梁进行几何非线性分析是有效可行的。
参考文献
[1]熊学玉.体外预应力结构设计[M].北京:中国建筑工业出版社,2005.
[2]牛斌.体外预应力混凝土梁弯曲性能分析[J].土木工程学报,1999,32(4):37-44.
[3]牛斌.体外预应力混凝土梁极限状态分析[J].土木工程学报,2000,33(3):7-15.
[4]Nihal Ariyawardena,Amin Ghali,F.ASCE.Prestressing with Un-bonded Internal or External Tendons:Analysis and ComputerModel[J].Journal of Structural Engineering,2002,128(12):1493-1501.
[5]Tan Kiang-Hwee,Ng Chee-Khoon.Effects of deviators and ten-don configuration on behavior of externally prestressed beams[J].ACI Structural Journal,1997,94(4):13-22.
几何非线性 篇7
关键词：斜拉桥,几何非线性,静力分析,正装分析法
超大跨度桥梁结构的非线性研究主要涉及材料非线性和几何非线性两方面的内容。对于正常使用阶段的大跨度桥梁结构,一般不允许出现塑性变形,并且由于超大跨度斜拉桥是高次超静定的柔性结构,在施工过程和正常使用阶段,结构体系均在几何非线性状态下工作,因此对苏通大桥主桥的非线性静力分析主要从几何非线性的角度进行研究[1]。为了精确分析苏通大桥主桥在各种荷载下的静力响应,本文用MIDAS程序按有限位移理论分析计算,主要考虑的非线性因素有:大位移、P—Δ效应和斜拉索垂度[2],其间采用斜拉桥的“正装分析法”进行桥梁施工控制的全过程非线性模拟计算,包括结构从施工过程到成桥阶段的内力、应力、变形、索力等,综合研究了几何非线性因素对结构受力的影响。
1 工程背景
苏通大桥位于长江下游,临近长江入海口,是目前世界上最大跨度双塔双索面斜拉桥,主桥跨径为1 088 m。大桥桥位区江面宽约6 km,大桥全长8 206 m。主桥钢箱梁共分为17种类型(A～O)、141个梁段,节段标准长度16 m、边跨尾索区节段标准长度12 m。标准梁段最大起吊重量约450 t;钢箱梁全宽41 m。塔柱采用倒Y形结构,分为下塔肢、中塔肢、上塔肢和横梁四部分。其中中、下塔肢为钢筋混凝土结构,上塔肢为钢锚箱—混凝土组合结构。钢锚箱分为A,B,C三种类型,共30节。索塔高300.4 m。斜拉索为7平行钢丝体系,全桥共34×8=272根斜拉索。
2 全桥空间结构的几何非线性静力分析
用大型通用软件MIDAS对苏通大桥进行建模[3],采用“正装分析法”进行施工控制全过程的非线性模拟计算,包括结构从施工过程到成桥阶段的内力、应力、变形等。建模时,主桥按施工流程划分为301个施工阶段,其中一些典型的施工工况,包括最大双悬臂(第95个施工工况)、最大单悬臂(第294个施工工况)状态下的施工阶段(见图1,图2),以及二期恒载阶段(第300个施工工况)。
2.1 几何非线性下典型施工阶段的受力分析
施工过程(阶段1～阶段299)内力最大值、应力最大值分别列于表1～表4。
通过分析以上计算结果可知:在全桥的施工计算过程中(指阶段1～阶段299),主桥桥塔的应力变化范围为(正值为压应力,负值为拉应力)-1.35 MPa～12.89 MPa(因计算中没有考虑下横梁上的预应力钢筋和普通钢筋,故此处没考虑下横梁的应力状态);主梁(钢箱梁)的应力变化范围为(正值为拉应力,负值为压应力)-133.49 MPa～49.17 MPa;施工过程的结构应力满足要求。
2.2 几何非线性下成桥阶段的受力分析
成桥阶段(阶段300)指二期恒载施工结束阶段(见图3),此阶段主塔、主梁及斜拉索的主要计算结果的最大值分析见表5～表9。
通过分析以上计算结果可知:成桥时,两主塔塔顶各自向岸侧的纵桥向偏位量为10.0 mm;主桥桥塔的应力变化范围为(正值为压应力,负值为拉应力)0.17 MPa～11.24 MPa(因计算中没有考虑下横梁上的预应力钢筋和普通钢筋,故此处没考虑下横梁的应力状态)。主梁(钢箱梁)的应力变化范围为(正值为拉应力,负值为压应力)-100.66 MPa～14.99 MPa;成桥阶段计算所得斜拉索的平均应力(指同一根索中所有钢丝的平均应力)最大值为567 MPa;成桥恒载状态索塔未出现拉应力。恒载状态下,主梁弯矩较小,分布均匀,受力状态比较理想;索塔弯矩较小,斜拉索索力分布相对均匀;结构各构件的截面应力均满足要求。
3 结语
本文以苏通大桥为工程背景,应用大型通用软件MIDAS对其进行了施工过程和正常使用阶段的几何非线性静力分析,通过对计算结果的分析比较,发现结构在几何非线性因素的影响下,苏通大桥受力状态比较理想,所有结构的内力和应力均满足规范要求,通过对计算过程中内力、应力、变形等相关数据的分析,可以为此类桥梁的安全运营和管理提供依据和保障。
参考文献
[1]西南交通大学.苏通长江公路大桥主桥施工控制结构计算非线性分析报告[R].2006.
[2]刘士林,侯金龙.斜拉桥[M].北京:人民交通出版社,2002.
几何非线性 篇8
随着拱桥跨径的增大,拱桥几何非线性的影响也将不容忽视,而在进行极限承载力计算时应当考虑材料非线性的影响。目前常用的桥梁通用程序大都采用弹性理论计算,很少考虑这些非线性的影响;而对于有的大型通用有限元结构分析程序,因为不是专门为桥梁工程设计的,虽然考虑了几何非线性、材料非线性、边界非线性等因素,但在适用桥梁分析的本构关系选择以及施工全过程模型简化等方面都较困难。本文用ANSYS有限元程序对变线形参数的拱桥有限元模型进行线性和非线性分析,并对其进行比较分析,研究拱桥线形参数对几何非线性挠度的影响。
1 有限元分析简介
1.1 有限元分析理论
按照挠度理论有单元在局部坐标系中的刚度方程(即单元的节点位移矩阵与相应的节点力矩阵之间的关系)为:
([K]
其中,[K]
进一步将单元在局部坐标系中的刚度矩阵进行坐标变换,并按直接刚度化集成刚度矩阵,则可建立整个结构的刚度方程:
([K]E+[K]σ+[K]G){D}={P} (2)
当引入边界条件后,即可应用Newton-Raphson Formulation进行非线性分析[1]。
1.2 有限元离散
本文研究的拱桥所采用线性为悬链线,设定参数有:跨径L、矢跨比f/L和拱轴线系数m。使用ANSYS对其变参计算弹性和非线性在重力下的作用,以此得出非线性影响关系。截面形式采用箱形截面,按照劲性骨架钢管混凝土拱桥的特点,采用钢管混凝土做骨架,拱箱采用混凝土结构;计算模型采用空间有限元单元,钢管和钢管混凝土采用Beam单元,拱箱采用Shell单元。
2 拱桥非线性影响
2.1 拱轴线对非线性的影响
通过图1和图2可看出:
1)非线性影响系数对挠度的影响在跨径约L/4～L/2的区域是相对稳定,非线性影响系数由0逐渐正值增大,称为正影响区域;
2)在正影响区域内,同截面的非线性影响系数随着拱轴线系数的增大而增大,近似成直线关系;
3)非线性影响系数对挠度的影响在跨径约L/4至拱脚的区域是相对不稳定,非线性影响系数由0逐渐负值减小,称为负影响区域;
4)在负影响区域内,同截面的非线性影响系数随着拱轴线系数的增大而急剧减小,当非线性影响系数趋向于负无穷时,将突变为正影响;
5)在同一拱轴线系数不同跨径情况下,随着跨中非线性影响系数的增大,非线性影响系数零截面(非线性影响系数为零的截面)将向跨中移动,但范围减小。
2.2 拱桥挠度非线性规律分析
拱桥结构在恒载荷载的作用下挠度规律与直线梁桥在弯矩(相应于拱桥的)和自重共同作用下挠度的规律相似;直线桥在竖向力作用下不会产生二次力从而也不会产生二次挠度,故非线性对其无影响;直线桥在弯矩作用下的挠度会产生二次弯矩进而产生二次挠度,故非线性对其有影响。拱桥弯矩的反弯点在L/4左右,非线性影响系数在挠度方面的影响也在L/4左右分为正负影响区域2个部分。
从非线性影响系数、挠度和拱轴线系数的分析,可以看出随着拱轴线系数的增大,挠度在L/4至跨中之间为增大趋势,相应非线性影响系数增大;挠度在拱脚至L/4之间为减小趋势,相应非线性影响系数绝对值却增大。但如果我们将挠度曲线中拱脚—L/4—跨中连成一条折线,我们会发现随着拱轴线系数的增大,挠度曲线偏离该折线越来越大,即弯矩对其影响越来越大,因二次弯矩而影响的非线性影响系数的绝对值也将增大。
3结语
针对目前拱桥非线性研究现状,对钢管混凝土劲性骨架拱桥改变其参数的1 000多个模型进行线性和非线性分析,得出以下结论:
1)非线性对挠度的影响,在跨径约L/4～L/2的区域是相对稳定的正影响,在拱脚至跨径L/4区域是相对不稳定的负影响,在L/4左右的零截面位置较为稳定;但在刚度较小的拱桥上,若拱轴线系数小且矢跨比大的情况下,会出现拱脚至跨径L/4左右的区域为正影响,跨径约L/4～L/2的区域为负影响的现象;对于正影响区域一般小于20%,负影响区域有超过-100%的现象;
2),,在正影响区域内基本呈直线增长,在负影响区域内呈指数增长;
3)为了减小非线性对拱桥挠度的正影响,可以选择小拱轴线系数和大矢跨比,为拱桥初步设计时主拱圈参数选择提供依据。
摘要：针对目前拱桥非线性研究现状,对钢管混凝土劲性骨架拱桥改变其参数的1 000多个模型,用ANSYS有限元程序进行线性和非线性分析,并进行比较分析,得出拱桥的拱轴线参数对几何非线性的影响,为此类桥型设计提供经验。
关键词：拱桥,非线性分析,挠度,线形参数
参考文献
[1]顾安邦,王荣,刘湘江.大跨径钢管混凝土劲性骨架肋拱桥的稳定性研究[A].中国公路学会桥梁和结构工程学会2000年桥梁学术年会论文集[C].北京:人民交通出版社,2000:782-787.
[2]吕和祥,蒋和洋.非线性有限元[M].北京:化学工业出版社,1992.
让线性代数教学渗透几何直观 篇9
一、基本概念的几何解释
1. 行列式的几何解释
γ= (c1, c2, c3) , 两个向量的向量积可以用行列式写为:
向量都垂直且成右手系的向量。
三个向量的混合积可以用行列式表示为:
对值等于以它们3个向量为相邻棱所作的平行六面体的体积。
(x2, y2) 的直线方程。
点 (xi, yi, zi) (i=1, 2, 3) 的平面方程。
2. 矩阵的几何解释
或缩小, 这是压缩拉伸变换。
是反射变换。
3. 线性相关 (无关) 的几何解释
在R2中, 两个向量线性相关, 在几何上表示两个从原点出发的有向线段是共线的;两个向量线性无关, 在几何上表示两个从原点出发的有向线段是不共线的。三个向量线性相关, 在几何上表示三个从原点出发的有向线段共面;三个向量线性无关, 在几何上表示三个从原点出发的有向线段不共面。在维数大于3的空间中, 四个向量线性相关, 意味着四个从原点出发的有向线段共体 (三维体) ;四个向量线性无关, 意味着四个从原点出发的有向线段不共体。
4. 线性变换、正交变换的几何解释
可逆变换对应于仿射坐标系的变换, 正交变换对应于直角坐标系的变换 (右手系或左手系) , 正交变换保持向量长度和角度不变, 因而几何图形不变。在讨论二次方程决定的图形时, 必须用正交变换;如果只考虑它所属类型时, 可以用可逆变换 (当然包括正交变换) 。正交变换包含两类: (1) 正交阵的行列式为1, 是旋转变换; (2) 正交阵的行列式为-1, 为镜面反射变换。它们分别对应于右手系或左手系的直角坐标系的变换。
二、定理结论的几何应用
1. 线性方程组解的结构的几何应用
利用线性代数中的线性方程组解的结构理论来判别直线、平面的位置关系, 以下通过例子来说明。
例如:三元线性方程组
其中每一个方程在空间代表一个平面, 设方程组的系数矩阵为A, 增广矩阵为Ā, 下面讨论方程组的解和平面之间的位置的关系。
(1) 当R (A) =R (Ā) 时, 方程组有解, 三个平面有公共点;当R (A) =R (Ā) =3时, 方程组有唯一解, 三个平面交于一点;当R (A) =R (Ā) =2时, 方程组有无穷多个解, 三个平面交于一条直线;当R (A) =R (Ā) =1时, 三个平面重合。
(2) 当R (A) ≠R (Ā) 时, 方程组无解, 三个平面没有公共点。 (i) 当R (A) =2, R (Ā) =3性无关, 则三个平面两两相交, 形成一个三棱柱;如果存在αi, αj (i≠j) (假设αi, αj) 线性相关, 则第一个平面和第二个平面平行不重合, 第三个平面分别和这两个平面相交于一条直线。 (ii) 当R (A) =1, R (Ā) =2时, 如果αi, αj (i, j=1, 2, 3;i≠j) 线性无关, 则三个平面互相平行, 但均不重合;如果存在αi, αj (i≠j) (假设αi, αj) 线性相关, 则第一个平面和第二个平面重合, 第三个平面分别和这两个平面平行。
2. 二次型理论的几何应用
二次型的理论将二次曲面方程化为标准方程, 从而可以决定二次曲面的形状。
研究二次曲面a11x12+a22x22+a33x32+2a12x1x2+2a13x13+2a23x2x3+b1x1+b2x2+b3x3+c=0的形状, 可以利用矩阵运算, 把方程写为f (x1, x2, x3) =ZTAZ+BTZ+c。其中, Z= (x1, x2, x3) T,
再利用对称矩阵可以相似对角化, 有正
ZTAZ=λ1y12+λ2y22+λ3y32, 相应地, BTZ= (BTφ) γ=b'1y1+b'2y2+b'3y3, 这样, 二次曲面化为
由于正交变换对应坐标原点不动的坐标轴的变换, 因此, 方程中的常数项不变, 于是就可以用解析几何讨论图形的形状。