导数的概念

导数的概念（共8篇）

导数的概念 篇1

一、引 言

函数是高中数学教学和学习的重中之重, 因为它几乎贯穿了整个高中阶段的数学教学, 教学大纲中也对“导数在研究函数中的应用”前几年有很大的侧重, 使其成为高考每年必考的内容, 虽然近两年浙江省调整为IB模块选考内容, 不论是直接还是间接考查, 都占有很大的分值. 正因为它有如此重要的意义, 因此成为高中数学解题的必备工具和要素. 导数与函数有着莫大的关联, 导数的教学又要在函数之后, 因此可以认为函数是理解导数的基础, 没有函数就不可能理解导数; 反过来, 导数的教学又可以丰富和深化我们对函数的理解和认识, 使我们对函数的理解能够得到升华, 也更有利于导数的学习, 这在高中阶段是十分重要的.

二、导数教学中对函数概念的再认识

导数, 即导函数, 它的引出和定义始终贯穿着函数思想, 为什么这么说呢? 首先要看一下高中数学中对导数的定义. 我们首先定义一个函数y = f ( x) 在点x0处可导, 且x0处有唯一的导数f ( x0) , 然后定义函数y = f ( x) 在开区间 ( a, b) 内可导, 因而对于开区间 ( a, b) 内每一个确定的值, 都对应着一个确定的导数f ( x0) . 根据函数定义, 在开区间 ( a, b) 内就构成了一个新函数, 这个新函数就是导数. 此处提到了根据函数的定义, 那么函数的定义或者说函数的概念又是什么呢? 这样, 在教授导数的定义的时候, 会不自觉地引出函数的概念.

函数是数学中的一种对应关系, 是从非空数集A到实数集B的对应. 精确地说, 设X是一个非空集合, Y是非空数集, f是个对应法则, 若对X中的每个x, 按对应法则f, 使Y中存在唯一的一个元素y与之对应, 就称对应法则f是X上的一个函数, 记作y = f ( x) , 称X为函数f ( x) 的定义域, 集合{ y| y = f ( x) , x∈R} 为其值域 ( 值域是Y的子集) , x叫作自变量, y叫作因变量, 习惯上也说y是x的函数. 对应法则和定义域是函数的两个要素.

由于函数的学习在高中阶段要远早于导数, 因此这样旧话重提, 不但是一种对函数概念简单的复习, 而且结合着导数的定义, 我们对函数的概念又有了新的认识. 因为学习函数的时候, 我们已经习惯了将函数的定义域局限于一个集合里面, 定义域中的任意数都对应着它的唯一值, 而没有想到过, 当将定义域缩小到某一个连续可导的区间时, 会产生一个全新的函数, 而且这个全新的函数拥有函数的一切特性, 也遵循着一一对应的法则. 通过这种定义层面的对比与教学, 我们在导数的教学过程之中就实现了对函数概念的再认识.

三、导数教学中对函数性质的再教学

1. 导数与函数的图像

导数在物理上有着应用价值, 在几何上同样有意义: 函数y = f ( x) 在点x0处的导数f ( x0) , 就是曲线y = f ( x) 在点P ( x0, f ( x0) ) 处的切线的斜率k, 即: k = tanα = f ( x0) , 相应的切线方程为y - y0= f ( x0) ( x - x0) . 这就将导数与函数的图像联系了起来, 导数在有关函数图像解题上的运用, 既丰富了函数的解题方法, 也深化了我们对导数与函数相互关系的理解.

2. 导数与函数的单调性

用导数来确定函数的增减区间相对于学习函数单调性时所采用的定义法和图形法, 更为直接, 更为简便, 导数的引入, 使函数的单调性在另一个层面得到了体现, 也为我们判断函数的单调性提供了一个更加快捷的途径, 也便于我们更好地理解函数的性质. 函数的单调性也称为函数的增减性. 通常的在某个区间 ( a, b) 内, 如果f ' ( x) > 0, 那么函数y = f ( x) 在这个区间内单调递增; 如果f ' ( x) < 0, 那么函数y = f ( x) 在这个区间内单调递减; 如果在某个区间内恒有f' ( x) = 0, 则f ( x) 是常数函数. 一般地, 求解可导函数y =f ( x) 的单调区间, 可以分为以下四个步骤: ( 1) 确定函数y =f ( x) 的定义域; ( 2) 求导数y' = f' ( x) ; ( 3) 解不等式f' ( x) > 0, 解集在定义域内的部分为增区间; ( 4) 解不等式f' ( x) < 0, 解集在定义域内的部分为减区间.

3. 导数与函数的极值

函数的极值, 即函数的极大值与极小值, 通常对应着函数图像的对称轴. 在导数引入之前的求解之中, 一般是首先确定函数的单调性与单调区间, 然后利用数形结合的方法求解函数的极值. 导数引入之后, 函数极值的求解被很大地简化, 一般步骤是: ( 1) 确定函数的定义域; ( 2) 求导数; ( 3) 在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点, 即求方程的所有实根; ( 4) 检查在驻点左右的符号, 如果左正右负, 那么f ( x) 在这个根处取得极大值; 如果左负右正, 那么f ( x) 在这个根处取得极小值. 将函数极值的求解归结到导数的求算, 利用的是在函数的图像中, 极大值与极小值处切线的斜率为0. 这一点实现了函数性质与导数几何意义的完美对接. 通常情况下, 利用导数求解函数的极值通常与不等式和取值范围联系在一起, 使求解过程变得比较复杂.

四、结束语

通过以上的论述, 我们可以看到导数在函数的求解之中有着广泛的运用, 同时也可以看出, 作为一种特殊的函数, 导数与函数有着很多一致的地方. 对导数的教学可以深化对函数概念和性质的理解, 使我们对函数有更加全面的把握, 这种交互性的关系, 使得导数和函数可以相辅相成, 和谐共生, 在解决具体的问题时发挥最大的效用.

导数的概念 篇2

本节课的难点的函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件，虽然在教学中占用了较长的时间解释，但是学生理解程度的并不理想，还需在课后多加跟踪训练。

通过课后教学测试反馈的主要问题是求极值过程的书写格式不规范，为了打下牢固的基础，减少失误，我要求学生采用列表的方式，通过几道题的练习，学生逐渐接受了这种方式，也发现了这种方式的简便性。

通过这节课，让我对以下几点思考有了更加深刻的感受：

1不论哪一个成绩段的学生，基础都是最重要的。尤其在新课讲授的第一课时中，要对基础知识重点讲解。

2.“好好备课，慢慢讲课。”把课堂尽量还给学生，尽可能多的给学生“想”和“说”的时间。

把握导数概念 篇3

关键词：导数；单调性；极值；误区

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2011）09-057-02

导数是高中数学的新增内容，它是中学数学与高等数学的衔接点。导数有着其它高中数学内容无法替代的作用，对于高中学生进入大学深造有着极其重要的意义。但是从学生学习导数的过程和近年的高考试卷分析来看，相当一部分的学生对导数的有关概念理解不透，产生了一些导数应用方面的误区，本文偿试就几个误区产生的原因加以剖析。

误区一：对导数的定义理解不透彻

例1.已知函数 =logax+1则 ____.

误解故原式= 。

剖析关于导数的定义，我们应注意增量 的形式是多种多样的，但不论 选择哪一种形式，相应 中也必须选择对应的形式；本题 中的 的增量为2 ，则分母也应为2 .

正解原式

误区二：不能正确把握导数存在的条件

例2. 设 ，其中 在x=a处连续，求 .

误解 ， 令x=a，得 .

剖析 仅在x=a处连续，在x=a处未必可导，即 未必存在，因而 在x=a处是否可导难以断定，故上述解法不能成立。

正解利用导数的定义， .

误区三：混淆了曲线“在某点处”与“过某点处”的切线

例3. 求过点M(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程。

误解 ， ，所以切线方程为 ，即 .

剖析导数的几何意义指出：函数在某点处的切线斜率即为函数在该点处的导数值，在利用导数的几何意义求曲线的切线方程时，要注意对“函数在某点处的切线”的理解，注意“在点处”与“过点处”的区别，其中“在点处”的点必为切点，“过点处”的点不一定是切点。此题中(3,5)不在曲线上不是切点，应先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求解.

正解设切点坐标为 ，由导数几何意义知：切线斜率为 ，所以 = ------(1)，又点 在曲线上，故 -----(2)，由(1)(2)联立解之得： =1或5，所以切点坐标为(1,1)或(5,5)，所以切线方程为 或 .

误区四：将函数的驻点等同于函数的极值点

例4. 已知函数 在x=1处有极值10，求a、b的值。

误解 ，因为函数 在x=1处有极值10，所以，

解得a=-3， b=3或a=4，b=-11.

剖析我们知道，对于满足 的点 称为驻点， 是 为 的极大(小)值点的必要不充分条件。对于可导函数而言，函数在某处取得极值，则函数在此处导数必等于0；反之，若函数在某处导数值为零，则函数在该点不一定取得极值，还需进一步检验 在该点的左右两边的符号是否有变化。以上解法忽略了这样一个细节， 只能说明 是 的驻点，而不能说明 就是 的极值点。对求出的a、b的两组值还需代入 中进行检验，看 在 x=1的两边符号是否有变化。

正解同上。当a=-3，b=3时， 对x>1及x<1均为正，此时x=1不是函数的极值点，应舍去；当a=4，b=-11时 在x=1的两边符号有变化，符合题意。故a=4，b=-11.

关于导数概念教学中的常见问题 篇4

1导数定义式的理解

问题1:已知f′ (x0) 存在, 根据导数的定义求:

问题2:设f (x) 在x0的某邻域内有定义, 则f (x) 在x0处可导的充分条件是?

2分段函数分段点处可导性的讨论

求分段函数在分断点处的导数, 往往由于初学者对导数的概念理解不够深入, 加之分段函数在不同的定义域内有不同的对应关系, 使得计算中经常犯下一些错误, 需要及时更正。

1) 在分段点的左右两侧函数表达式不同的分段函数。

错解产生的原因, 对导数的概念理解不够深入, 根据导数的定义, 函数在某一点处的导数指的是函数在该点处的变化率问题, 这里重点有“变化”两个字, 所以, 一点处的导数不是孤立的, 而是与这点附近的函数关系有关。根据导数定义式的左、右极限, 先求出该点处的左、右导数, 再确定该点处的导数。具体判断:若左、右导数存在且相等则函数在分段点处可导, 若左、右导数至少一个不存在, 则函数在分段点处不可导。

2) 在分断点的左右两侧函数的表达式相同的分段函数。

由于此种情况下分断点左右两侧函数的对应关系没有变化, 所以不用分左右导数了, 可直接应用导数的定义式求解。

3导数的运算法则与导数的定义的区别

从以上讨论中可以看出熟练掌握导数定义式, 对研究函数的导数的求解问题至关重要, 希望通过以上的讨论能够促进学生对导数基本概念的理解, 提高高职数学微积分课堂教学的实效性。

摘要：本文针对导数的概念这部分在教学中常见的问题, 进行了详尽的阐述, 深入剖析了导数概念学习中的突出问题, 并且给出解决有关导数问题的解题方法和解题技巧。

导数的概念第一课时教案 篇5

课题 导数的概念第一课时

授课人

康玉梅

学校

三河市第二中学

1、知识目标：掌握数学归纳法的定义，理解数学归纳法原理的两个步骤，教学目标： 会用数学归纳法证明简单的与自然数有关的等式

2、能力目标：培养学生的观察能力、理解能力和分析能力。

3、情感目标：从理解学习数学归纳法的必要性和重要性激发学生的求知欲

教学重点 教学难点 教学方法 教师活动

1、复习引入 明确数学归纳法的两个原理缺一不可 对原理的准确理解 讲练结合

教

学

过

程

学

生活动

回顾 理解 记忆 记笔记

思考并回答问题

教具：多媒体

问题圆的切线与圆的关系

问题

2能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该

点的切线？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例。

问题

3为什么与抛物线对称轴平行的直线不是抛物线的切线？ 11111n12121223n(n1)n1

三、布置作业。练习册 P337.338

《导数的概念》的信息化教学设计 篇6

关键词： 信息化 导数 教学设计

信息化教学是随着信息化时代到来应运而生的一种新的教学模式。信息化教学以现代教育思想和理念为指导，利用现代信息技术和信息资源，科学安排教学过程的各个要素和环节，以实现教学过程的优化。本文以导数概念为例，给出其信息化教学设计。

一、教学题目：导数的概念

二、概述

《高等数学》是我校面向各个专业学生开设的一门公共基础课，教授对象是高职一年级学生。“导数的概念”是《高等数学》中的基本概念，包括引例、导数的概念、利用导数的定义求函数的导数及导数的几何意义和物理意义等内容，需要2课时完成。导数的概念是学习微分学的基础，为后续求导公式的推导、高阶导数、函数的微分等知识学习奠定基础，更是我们研究函数单调性、极值、最值和解决生活中优化问题的有力工具，其地位不容忽视。

三、学习目标与任务

1.学习目标

（1）知识与技能

理解导数的概念，了解用定义求导数的方法，掌握函数求导公式，掌握导数的几何意义并领会导数思想；

（2）过程与方法

通过导数概念的形成过程，让学生掌握从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法；领会极限思想和函数思想；

（3）情感态度与价值观

通过合作交流，让学生在探索中感受数学的乐趣，体会数学的严谨；培养学生正确认识静与动、量变和质变等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观。

2.学习任务

思考瞬时速度的求法，上网搜集圆形餐桌玻璃的制作方法，总结曲线与其切线的关系，观察割线变切线的过程，合作讨论切线斜率的求法。结合两个实例，抽象归纳导数的定义，体会导数的物理意义与几何意义。培养学生获取信息、应用信息的能力，注重学生的探索性操作。

3.学习重难点

（1）重点：导数概念的形成过程；

（2）难点：对导数概念的理解。

四、学习者特征分析

高职学生的特点是数学基础薄弱，学习态度较差。虽然其在高中已接触过导数计算，但对导数的概念并不了解。学习障碍是对概念的理解存在较大困难，特别对概念蕴含的思想和方法，短时间内无法真正掌握。学生刚学完极限概念，两个实例与学生专业相贴合，新知识教学有较好的基础。

五、学习环境资源与情境创设

1.学习环境选择：多媒体网络教室，安装几何画板软件，

2.学习资源类型：多媒体课件、网络精品课、多媒体资料库、题库；

3.学习情境：主要采用问题性情境，利用网络资源、多媒体课件等教学用具，创设情境，以问题为驱动，在教学环节启发学生探究、思考、提升。

六、教学活动过程

七、学习评价设计

采用课堂提问、小组比拼及课后作业等形式，对学生的学习成果进行评价。在课堂提问时，由学生点评，教师进行鼓励性评价。在小组讨论完成时，小组成员之间相互评价各人协作学习时对本组的贡献。在小组比拼中，小组之间相互评价，各组派代表展示本组成果，其他组给这组打分。课后作业布置网络题库中的练习题，学生自主完成，对照本节课知识点，自我评价。

八、设计反思

本节课遵循新课改理念，以学生为本，采用问题驱动模式，在协助学习中培养学生的能力。借助几何画板等多媒体手段，将抽象的事物形象化，突破难点，合理利用网络进行探究学习。不足之处是学生参与度不高，在调动学生积极性、增强趣味性等方面仍须进一步努力。

参考文献：

[1]吉耀武.高等数学[M].西安：西安电子科技大学出版社，2012.

[2]鬲淑芳.信息化教学研究[M].北京：科学出版社，2005.

导数的概念 篇7

一、正确把握原认知结构, 采用有效的教学对策

所谓原认知结构就是指学习者在接触新知识之前已具备的认知结构。皮亚杰的发生认识论表明, 认知结构发展的基本条件是主客体的相互作用。在数学教学中, 主体表现为学生头脑中原有的数学认知结构, 客体表现为要学习的新数学知识。教师必须正确把握学生的原认知结构, 才能制定有效的教学对策。

学生在学习导数之前, 已具有极限和连续等基本知识。根据这一情况, 笔者从研究学生所熟悉的实际问题入手, 循序渐进、逐步深入地引出导数定义。

求物体的运动速度是日常生活中最普通的问题。匀速直线运动物体的速度学生一般都会运算, 即v=s/t。困难在于, 如何求变速直线运动物体的速度即瞬时速度?

例如, 自由落体的运动规律为现要研究t=2秒时落体的瞬时速度。

笔者让学生自己先算出t在2秒到3、2.1、2.01、2.001秒各段时间内落体的平均速度并引导学生观察表中结果 (表略) 得出如下认识:

以上每个平均速度都不能作为T=2秒时瞬时速度;当△很小时, 在[2, 2+△t]时间内速度变化不大, 平均速度近似于2秒时的瞬时速度, △t越小近似程度越高。当△t→0时

进而让学生头脑中产生如下思想:把当△t→0时, V的极限定义为t=2秒时的瞬时速度是合情合理的。即

在这基础上, 笔者又进一步引导学生从中总结出计算方法:第一, 求路程增量△S;第二, 求平均速度第三, 求极限就得到瞬时速度。

自由落体的速度问题解决以后, 再用同样的方法讨论一般变速直线运动的速度和非恒定电流的电流强度问题。这样, 由浅入深, 从特殊到一般, 学生就比较容易理解和接受。最后再抽象概括, 得出导数定义。

从数学上来看, 解决上述两个实际问题的思想方法是一样的, 抛开它们的实际意义, 即可看出它们都是函数的增量与自变量增量之比的极限。

二、突出思想方法, 培养学生分析和解决问题的能力

著名的数学教育家波利亚说:“思想要让学生在自己的头脑里形成, 教师只是助产士。”我们在教学过程中, 必须引导学生自己去观察、分析, 进而发现。

例如, 在解决变速直线运动的速度问题时, 首先, 在很短的时间内将速度看成是不变的, 求出平均速度然后, 用平均速度来近似地代替t0时刻的瞬时速度;最后, 令△t→0, 的极限值就是所求的瞬时速度。

再如, 求非恒定电流的电流强度。首先, 将在很短的时间内的电流强度看成是恒定的, 求出平均电流强度;然后, 用平均电流强度来近似地代替t0时刻的电流强度I (t0) ;最后, 令△t→0, 的极限值就是t0时刻的电流强度。

通过以上引导、分析, 解决上述问题的思想方法便自然而然地在学生头脑中产生, 即:在小范围内以不变代变, 用近似代替准确, 然后取极限, 使近似转化为准确。这是微积分的一个基本思想方法——极限法, 学生掌握了这一思想方法, 学会用辩证的观点看问题, 这对于提高他们分析问题、解决问题的能力大有好处。

三、剖析定义结构, 引导学生主动构建

导数概念是用构造法引进的, 它的结构复杂、层次多, 学生初次见到这些结构式总感到“抽象”难以理解。因此, 教师必须引导学生对此进行结构分析, 这不仅是导数概念教学的需要, 也是为后面定积分概念的教学奠定基础。为此, 笔者提出以下几个问题, 让学生讨论:

1) 结构式共由几个层次构成?2) 每一层的结构是怎样的?3) 有什么实际意义?

明确这些问题后, 便可得出求导数的三个步骤:1) 求函数增量△y, 2) 算比值3) 取极限。接着按上述步骤做几道求导练习, 导数定义结构便可在学生的头脑中留下深刻印象。

四、充分借助直观, 深化导数概念的理解

微积分的起源之一就是研究曲线的切线。弄清导数的几何意义除能加深理解导数概念外, 还有助于今后运用数形结合来分析问题、解决问题。

为了用运动、变化的观点来阐述切线概念的形成过程, 我们可利用现代化教学手段——多媒体, 生动、形象地演示其变化过程。具体做法是:在《几何画板》中画出图形, 使用其动画功能让动点沿曲线运动到切点, 这时割线就运动到它的极限位置。这里要特别说明, 并非与曲线只有一个交点的直线都是切线, 如y轴与抛物线y=x2只有一个交点, 但不是切线, 切线是割线的极限位置。割线的倾斜角→切线的倾斜角, 切线的斜率是割线斜率的极限。从而得到函数y=f (x) 在点x的导数f' (x) 在几何上表示曲线y=f (x) , 在点M (x, y) 处的切线斜率。应强调点M (x, y) 是在曲线上, 而不是在曲线外。

以上是笔者运用建构主义思想指导教学实践的初步尝试。实践证明, 这样做, 能提高学生主动建构的积极性, 获得较好的教学效果, 不失为一种良好的教学方法。

摘要：将建构主义的观点运用到导数概念的教学中, 把握学生的认知特点和认知结构, 教学中引导学生主动构建, 掌握数学思想方法, 深化导数概念的理解, 提高教学效果。

关键词：建构主义,导数,认知结构

参考文献

[1]郑毓信, 梁贯成.认知科学、建构主义与数学教育[M].上海:上海教育出版社, 1998.

浅释中学数学核心概念中的导数 篇8

1. 概括实验教材内容

选修2—2 (人教A版教材) 第一章导数及其应用的第一节的内容有以下几点。

1.1 变化率与导数

1.1.1 变化率问题

问题1:气球膨胀率;问题2:高台跳水;函数的平均变化率及其几何意义。

1.1.2 导数的概念

高台跳水中瞬时速度问题 (从平均速度到瞬时速度, 通过数值计算来逼近) ;瞬时速度的物理学说法;极限的描述性说法及记号;函数在某一点的导数的概念 (瞬时变化率) 及记号。如例1:油温的瞬时变化率 (求函数在某一点的导数, 通过解析式计算来得出) 。

1.1.3 导数的几何意义

曲线的切线 (从割线到切线, 通过直观观察得到) ;导数的几何意义 (切线的斜率) 。如例2:高台跳水不同时刻的瞬时速度比较 (从切线来观察) ;例3:人体血管药物浓度的瞬时变化率 (从切线利用网格来估算) ;导函数的概念 (简称导数) 。

看得出, 教材遵循了《课标》的要求, 还在导数的几何意义部分渗透了“以直代曲”的逼近思想。其中, 教材为我们呈现了“由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程”的三种方式: (1) 数值逼近; (2) 解析式抽象; (3) 几何直观感受。正是这三种不同的方式, 强化了导数的思想和内涵, 是导数概念学习的核心。我认为这是教材最成功的地方。

1.1.3. 1 数值逼近

对于给定的函数f (x) 和点x0, 在x0附近取xi (i=1, 2, 3, …) , 使|xi+1-x0|<|xi-x0|, 依次计算平均变化率观察:当|xi-x0|越来越小时, ki的数值趋向。

1.1.3. 2 解析式抽象

对于给定的函数f (x) 和点x0, 形式化地取自变量的增量Δx=x-x0, 计算函数的增量Δy=f (x0+Δx) -f (x0) , 计算平均变化率进行抽象观察:当Δx→0时, g (Δx) →? (多数情况等同于取Δx≈0来进行求值g (0) ≈?)

1.1.3. 3 几何直观感受

给定函数y=f (x) 的图像和图像上的定点P0, 在点P0的附近形式化地取函数图像上的动点P, 观察:当点P越来越靠近点P0时, 直线P0P的位置变化趋势。定义曲线 (函数的图像) 的割线与切线。

2.《普通高中数学课程标准》要求

2.1 导数概念及其几何意义

2.1.1 通过对大量实例的分析, 经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程, 了解导数概念的实际背景, 知道瞬时变化率就是导数, 体会导数的思想及其内涵 (参见例2、例3) 。

2.1.2 通过函数图像直观地理解导数的几何意义

从表面来看, 这一段文字似乎已将高中学生如何学习导数概念说得很全面了, 不仅阐述了“学什么”, 而且规定了“怎么学”。但仔细想想却有些迷惑:导数的思想及其内涵是什么?

从课标所给的例2 (企业治污效果:平均变化率的比较) 、例3 (高台跳水瞬时速度:从平均变化率到瞬时变化率) 来看, 这两个例子并不是回答“什么是导数的思想及其内涵”的。从上下文联系来看, 既然“瞬时变化率就是导数”, 那么导数问题就是瞬时变化率的问题。但是, 瞬时变化率的思想及其内涵又是什么呢?

其实, 我们不用去猜这个谜语。既然“导数就是瞬时变化率”, 那就追问:瞬时变化率是什么?我们还可以追问:“由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程”是怎样的?这样追问下去, 谜底自然是:瞬时变化率是平均变化率的极限。我们可以这么说:函数的变化率和极限的思想及其内涵就是导数的思想及其内涵, 而由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程就是一个无限逼近的极限过程。

3. 纠正教学认识上的偏见

偏见之一:跳过极限学导数。

一个简单问题:中学数学中有极限吗?由于课标中强调不讲极限 (数列极限与函数极限) 概念, 特别是不讲极限的严格定义 (ε-N) , 或者说新课标将这些内容删去了, 所以就有人认为:中学数学现在不学极限了, 不学极限, 直接学导数了。但仔细阅读教材后可以发现, 实际上并不是“不学极限学导数”。教材尽管是“不讲极限概念”, 但那只是“不讲极限的严格定义 (ε-N) ”, 而类似于“无限趋向于”这样的极限描述性语言还是在使用的。就导数概念的学习, 拿“本质”这个流行的词来说, “数值逼近”的本质是数列极限, “解析式抽象”的本质是函数极限, “几何直观感受”的本质是图形的“无限逼近”, 显然也是极限。因此不但没有跳过极限学导数, 相反正因为没有专门学极限, 所以在导数概念教学中需要让学生重点体验“极限的过程和思想”。

偏见之二:照搬教材设计教学。

在“1.1变化率与导数”中, 教科书给出了“1.1.1变化率问题”、“1.1.2导数的概念”、“1.1.3导数的几何意义”三小节内容, 教师用书提供了3个课时参考, 人们就自然认为每个小节的内容教学1个课时。第1课时的主题是“平均变化率”。这节课的内容平淡、单薄, 教学中很难出新、出奇、出彩。于是, 教学也就设计成“通过大量实例”来不厌其烦地讲一个“函数的平均变化率”。难道我们真舍得用一课时让学生在平均变化率这一个点上去“充分体验”吗?毋庸讳言, 教科书很难与教学设计完全一致。上文已经说到, 导数概念的核心是由平均变化率到瞬时变化率的极限思想与过程, 那么我们还有什么理由不让学生去重点体验它呢?因此, 由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程就是一个无限逼近的极限过程, 应该是第一课时的重点和难点。

4. 我的教学设计方案

针对材第一节教的内容, 我设计了一个用3课时完成的教学方案。

第1课时:变化率

主要内容:1.平均变化率的概念;2.从平均变化率到瞬时变化率。

过程方法:数值逼近。

关键表述语:越来越接近于。

第2课时:导数

主要内容:1.极限概念;2.导数概念;3.导函数概念。

过程方法:解析式抽象。

关键表述语:趋向于。

第3课时:导数的几何意义

主要内容:1.割线与切线的概念;2.变化率的几何意义。

过程方法:几何直观感受。

关键表述语:趋向于、无限接近于。

这3节课的内容是紧密联系着的, 在实际教学中可以将导数的几何意义结合在前两课时中教学, 这样会使内容呈现的顺序更自然些。重点体验由平均变化率过渡到瞬时变化率所体现的极限的过程和思想以及导数的几何意义所体现的数形结合的思想。

5. 教学中应注意的几个问题

5.1 注重概念的形成过程

导数概念的建立是基于“无限趋近”的过程, 这与初等数学所涉及的思想方法有本质的不同。为此, 在教学中教师应注意以下两点:第一, 要根据学生的生活经验, 通过实际背景创设丰富的情境;第二, 要通过“问题串”引导学生用心体会“无限趋近”所蕴涵的“量变到质变”、“近似与精确”的哲学原理, 不要急于得出形式化的定义, 应努力追求水到渠成的教学效果。同时要注意对概念的教学不要用极限理论, 以免涉及过多的极限知识而冲淡或干扰对概念本质的理解。

5.2 加强数学建模能力的培养

数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程。它是数学学习的一种新的方式, 有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用, 体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程, 增强应用意识。导数在解决实际问题中有着广泛的应用。导数是描述事物变化的数学模型, 任何与变化率有关的问题一般都可以用导数加以解决。教师在教学中应注重选取一些生活中与变化率有关的问题, 设计教学活动, 引导学生运用导数思想、方法和相关知识加以解决, 从而培养学生的应用意识和数学建模能力。

5.3 加强数学思想方法的教学

“知识是数学的躯体, 问题是数学的心脏, 数学思想方法则是数学的灵魂”, 加强数学思想方法教学的重要性是不言而喻的。“无限趋近”的本质是极限的思想。在导数概念的形成、导数的几何意义的探究中, 运用“无限趋近”来描述其本质形象直观, 容易理解。“无限趋近”在以往的数学学习中没有涉及, 在教学中, 教师要注重让学生体会和感受这种思想的实际意义和作用。数形结合能使抽象的知识直观化。导数和定积分的教学, 几何意义的探究, 导数与函数的关系研究, 以及微积分基本定理的给出, 都是数形结合的经典范例。在教学中, 教师要充分运用“数”与“形”的有机结合, 让学生直观去认识和感受。这样既可以简化严格的推导过程, 减少学生学习的困难, 又可以使抽象枯燥的数学教学充满活力。

参考文献

[1]教育部.普通高中数学课程标准 (实验) [M].湖南出版集团出版中心, 2007.3.

[2]章建跃.对高中数学新课标教学的建议[J].中学数学教学参考, 2007, (3) .