导数的工具价值

2024-08-28

导数的工具价值（精选5篇）

导数的工具价值篇1

函数、不等式与解析几何是高中数学的重点内容, 用导数去解决函数、不等式与解析几何的一些问题比用初等方法要方便得多, 特别是在判定函数单调性方面, 导数已成为中学教学中解决此类问题的一个有力工具.下面例谈一下导数在此方面的应用.

一、函数中应用

1.求函数的单调区间

例1试确定函数y=-ln (x+1) 的单调区间.

解:定义域为 (-1, 0) ∪ (0, +∞) .

由y′>0解得x<-1 (舍去) , 由y′<0解得x>-1.

所以函数无递增区间, 函数的递减区间为 (-1, 0) 和 (0, +∞)

评注:求函数单调区间的步骤是:

(1) 确定定义域D

(3) 求不等式组的交集来确定递增区间;求不等式组的交集来确定递减区间.

2.求函数的极值与最值

例2求函数的极值

评注:求可导函数的极值的步骤是:

(1) 求f′ (x) ;

(2) 求方程f′ (x) =0的根;

(3) 列表检查f′ (x) =0根的左右值符号;左正右负为极大值, 左负右正为极小值.

例3已知f (x) =ax3-6ax2+b在[-1, 2]上最大值是3, 最小值是-29, 求a、b的值.

解:显然a≠0, 否则f (x) =b, 不可能有最大值为3, 最小值-29.

f′ (x) =3ax2-12ax=3ax (x-4) , 解f′ (x) =0得:x1=0, x2=4 (舍去) .

当a>0时

因为b-16a

所以[f (x) ]最大值=f (0) =b=3

[f (x) ]最小值=f (2) =b-16a=-29.

解得a=2, b=3.

当a<0时, 同理可求得a=-2, b=-29.

评注:若函数f (x) 在[a, b]上连续, (a, b) 内可导, 求f (x) 在[a, b]上最值步骤是:

(1) 求f (x) 在 (a, b) 内极值;

(2) 比较各极值与端点值f (a) , f (b) 的大小, 最大的一个为最大值, 最小的一个为最小值.

3.求函数的值域

例4求函数的值域.

所以函数的定义域为[-2, +∞) .

又f (-2) =-1, 所以值域为[-1, +∞) .

评注:求函数的值域没有通性通法, 只能依据函数解析式的结构特征来确定相应的方法, 其中求区间上的连续函数的值域可考虑用单调性来解决.

二、不等式中的应用

证明不等式

例5已知x>1, 求证:不等式x>ln (1+x)

证明:构造f (x) =x-ln (1+x) (x>1)

因为x>1, 所以f′ (x) >0.

所以f (x) 在 (1, +∞) 上是增函数, 所以f (x) >f (1) .

又f (1) =1-ln2>1-lne=0,

所以f (x) >0, 所以x>ln (1+x) .

评注:利用函数单调性证不等式, 关键在于构造好相应函数, 然后在相应区间上用导数知识判定其单调性, 再得到所证不等式.

三、方程中的应用

求有关方程根的问题

例6求证:方程x-sinx=0只有一个根.

证明:构造函数

因为

所以f (x) 在R上单调递增.

又f (0) =0.所以曲线f (x) 与x轴只有一个交点 (0, 0) , 即方程x-sinx=0有惟一的根x=0.

四、解析几何中的应用

1.求切线方程

例7求过曲线y=x2++5上一点P (2, 19) 的切线方程.

所以切线斜率k=所以切线方程为

即15x-4y+8=0.

评注:函数y=f (x) 在点x0处的导数的几何意义就是曲线y=f (x) 在点 (x0, f (x0) ) 处的切线斜率, 即k=f′ (x0) .

2.求解析式

例8设函数y=f (x) =ax3+bx2+cx+d的图像与y轴的交点为P, 且曲线在P点处的切线方程为24x+y-12=0.若函数在x=2处取得极值-16, 试求函数解析式, 并确定函数的单调递减区间.

解:切线方程为y=-24x+12, 与y轴的交点即为P (0, 12) .将P (0, 12) 代入f (x) =ax3+bx2+cx+d得d=12.f′ (x) =3ax2+2bx+c, 所以k切线=f′ (0) =c=-24.

所以f (x) =ax3+bx2-24x+12, 又因为在x=2处取得极值-16,

所以f (x) =x+3x-24x+12, f′ (x) =3x2+6x-24.

令f′ (x) <0得-4

评注:若函数y=f (x) 在x0取得极值m, 则必有

五、在实际应用问题中的应用

例9 (2000年高考) 用总长14.8m的钢条做一个长方体容器的框架, 如果所做容器的底面的一边比另一边长0.5m, 那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容器.

:xm, (x+0.5) m, 高为=3.2-2x, 由3.2-2x>0和x>0 0

ym, y=x (x+0.5) (3.2-2x) (0

即y=-2x+2.2x+1.6x, 令y′=0有-6x2+4.4x+1.6=0.

即15x-11x-4=0 x1=1, x2=- (舍去) .

所以当x=1时,

=1.5×1.2=1.8 (m 3) .

评注:在实际问题中, 有时会遇到函数在某区间内只有一个极值点, 那么可不与端点值比较即可判定该极值为最值

六、在相关学科内的应用

例10如图1, 有一杠杆的支点在它的一端, 而在距支点1m挂一个490kg的物体, 同时加力于杆的另一端使杠杆保持水平.若杠杆本身每米重为5kg, 求最省力的杆长.

5中点D即为重力作用点.由杠杆原理知:Fx=490+5x·, 所以

令F′x=0, 得x=14.

答:杆长为米时最省力.

导数的工具价值篇2

终极价值观工具价值观

舒适的生活（富足的生活）雄心勃勃（辛勤工作、奋发向上）振奋的生活（刺激的、积极的生活）心胸开阔（开放）

成就感（持续的贡献）能干（有能力、有效率）和平的世界（没有冲突和战争）欢乐（轻松愉快）

美丽的世界（艺术与自然的美）清洁（卫生、整洁）

平等（兄弟情意、机会均等）勇敢（坚持自己的信仰）家庭安全（照顾自己所爱的人）宽容（谅解他人）

自由（独立、自主选择）助人为乐（为他人的福利工作）幸福（满足）正直（真挚、诚实）

内在和谐（没有内心冲突）富于想象（大胆、有创造性）成熟的爱（性和精神上的亲密）独立（自力更生、自给自足）国家安全（免遭攻击）智慧（有知识的、善思考的）快乐（快乐的、闲暇的生活）符合逻辑（理性的）

就世（就世的、永恒的生活）博爱（温情的、温柔的）自尊（自重）顺从（有责任感、尊重的）社会承认（尊重、赞赏）礼貌（有礼的、性情好）真挚的友谊（亲密关系）负责（可靠的）

浅谈导数在解题中的工具地位篇3

一、利用导数解决恒成立问题

恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m≥f（x）（或m≤f（x））恒成立，于是m大于f（x）的最大值（或m小于f（x）的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题。因此，利用导数求函数最值是解决恒成立问题的一种重要方法。

例1：已知函数

二、利用导数证明不等式

众所周知，函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性，然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。

例2：已知：a，b∈R，b>a>e，求证：ab>ba（e为自然对数的底）。

证：要证ab>ba只需证lnab>lnba，即证：blna-alnb>0

三、用导数求函数的最值（或值域）

导数的另一个作用是求函数的最值，因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式成立。从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。

例3：求证：n∈N*，n≥3时，2n>2n+1

证明：要证原式，即需证：2n-2n-1>0，n≥3时成立

设f（x）=2x-2x-1（x≥3），则f'（x）=2xln2-2（x≥3），

∵x≥3，∴f'（x）≥23ln3-2>0

∴f（x）在[3，+∞）上是增函数，

∴f（x）的最小值为f（3）=23-2×3-1=1>0

所以，n∈N*，n≥3时，f（n）≥f（3）>0，即n≥3时，2n-2n-1>0成立。

四、利用导数解不等式

五、导数与实际生活问题

利用导数解决实际问题的一般步骤是：①分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y=f（x）；②求函数的导数f'（x），解方程f'（x）=0；③比较函数在区间端点和使f'（x）=0

例5：某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市的某一段所用的时间为y分钟与车辆进入该路段的时间t之间的函

求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻。

解析：按所给出的分段函数求导:

（1）当6≤t＜9时，

当6≤t＜8时，y'＞0，8＜t＜9时，y'＜0，所以，当t=8时，ymax=18.75（分钟）。

（2）当9≤t≤10时，是增函数，所以，当t=10，ymax =15（分钟）。

（3）当10＜t≤12时，y=-3（t-11）2+8。

综上所述，上午8时，通过该路段用时最多，为18.75（分钟）。

回顾：本例直接按分段函数求导，探求最值，然后确定从上午6点到中午12点车辆通过该路段用时最多的时刻。

导数的工具价值篇4

(1) 求a的最大值, 使函数f (x) 在 (0, +∞) 内是单调函数;

(2) 若对于任意的x∈ (0, +∞) , 总有f (x) ≤0, 求a的取值范围.

解: (1) 当a≤0时, f (x) 在 (0, +∞) 内单调递增.当a>0时,

方程-2ax2+x+1=0判别式Δ=1+8a>0, 它有两个不等实根x1、x2 (x1<x2) , 因为x1x2=-<0, 所以x1<0<x2.

当x∈ (0, x2) 时, f' (x) >0;当x∈ (x2, +∞) 时, f' (x) <0, f (x) 在 (0, +∞) 内不是单调函数。

综上, a的最大值为0.

(2) 由f (1) =1-a知, 当a<1时, f (x) ≤0不恒成立.当a≥1时, 由f' (x2) =0, 知ax22,

因为f' (1) =2 (1-a) ≤0, 由 (Ⅰ) 知x2≤1, 且f (x2) 是f (x) 的最大值,

因此, a的取值范围是[1, +∞) .

观察点:问所给函数是三个函数lnx、-ax2、x的和函数, 其中lnx和x在f (x) 的定义域内都是增函数, 当a≤0时-ax2是增函数 (其中当a<0时ax2是严格递增的) , 可见a=0是讨论分界点。

根据第 (1) 问, 当a≤0时, f (x) 在 (0, +∞) 内单调递增, 如果能找到一个x0, 使得f (x0) >0, 那么f (x) ≤0就不可能恒成立, 于是我们尝试取x0=1, 显然f (1) =2 (1-a) >0, 不仅如此, 只要a<1就有f (1) >0, 这大大地减轻了解题负担!

二、观察函数与导数式子结构, 透视变化规律, 策划解题布局

【例2】 (2006年高考·全国卷Ⅰ) 已知函数

(1) 设a>0, 讨论y=f (x) 的单调性;

(2) 若对任意x∈ (0, 1) 恒有f (x) >1, 求a的取值范围.

解: (1) f (x) 的定义域为 (-∞, 1) ∪ (1, +∞) .对f (x) 求导数得

其中 (1-x) 2>0, e-ax>0.

(ⅰ) 当0<a≤2时, ax2+2-a≥0 (当且仅当a=2且x=0时取“=”号) , 所以f (x) 在 (-∞, 1) , (1, +∞) 为增函数。

(ⅱ) 当a>2时, , 令f' (x) =0得.

当x变化时, f' (x) 和f (x) 的变化情况如下表:

f (x) 在 (-∞, x1) , (x2, 1) , (1, +∞) 为增函数;f (x) 在 (x1, x2) 为减函数.

(2) (ⅰ) 当0<a≤2时, 由 (1) 知, 对任意x∈ (0, 1) 恒有 (x) >f (0) =1.

(ⅱ) 当a>2时, 取x0=x2∈ (0, 1) , 则由 (1) 知, f (x0) <f (0) =1.

(ⅲ) 当a≤0时, 对任意x∈ (0, 1) , 恒有且e-ax≥1, 得

综上当且仅当a∈ (-∞, 2]时, 对任意x∈ (0, 1) , 恒有f (x) >1

观察点:本题所给函数有一个间断点x=1, 这是需要注意的.在求f (x) 的单调区间时, 充分观察到f' (x) 的分子恒为非负, 且至多有一个x0使得f' (x0) =0的条件, 这就保证了f (x) 在一个区间上的严格单调性。第 (1) 问研究了当a>0时函数的单调性, 这为第 (2) 问提供了一个解题环境, 对于a≤0的情形期待通过观察解决。

三、数形结合观察, 利用图象走向, 探求解题途径

【例3】 (2008年高考·全国卷Ⅱ) 设函数

(1) 求f (x) 的单调区间;

(2) 如果对任何x≥0, 都有f (x) ≤ax, 求a的取值范围.

因此f (x) 在每一个区间 () (k∈Z) 是增函数,

f (x) 在每一个区间是减函数.

(2) 令g (x) =ax-f (x) , 则

故当时, g' (x) ≥0, 又g (0) =0, 所以当x≥0时, g (x) ≥g (0) =0, 即f (x) ≤ax.

当a≤0时, 有

当0<a<时, 在区间 (0, π) 内, 2+cosx<3, sinx>0, 则

令

故当x∈[0, arccos3a) 时, h' (x) >0.因此h (x) 在[0, arccos3a时上单调增加.