导数的重要应用

导数的重要应用（共12篇）

导数的重要应用 篇1

一、结论的引入

高中数学第三册(选修II)第127页中，通过观察二次函数切线斜率的正负，即函数导数的正负与函数的单调性的关系，得到如下结论：

一般的，设函数y=f (x) 在某区间内可导，如果f′ (x) >0，则f (x) 为增函数;如果f′ (x) <0，则f (x) 为减函数;如果恒有f′ (x) =0，则f (x) 为常数。

上述结论表明，导函数在某区间上的正负，反映原函数在该区间上的单调性。用同样的方法，考察所学函数 (如y=f (x) =x3) 的导函数在某区间上的单调性与原函数凹凸性的关系，还可以得到另一个非常实用的重要结论：

一般的，设函数y=f (x) 在某区间内可导，如果f′ (x) 为增函数，则f (x) 为下凹函数;如果f′ (x) 为减函数，则f (x) 为上凸函数;如果f′ (x) 恒为常数，则f (x) 为直线型函数。

也就是说，导函数(变化率)在某区间上的单调性，反映原函数在该区间上函数图像的凹凸性。

二、结论的应用

题型一：由变化率的增减性确定凹凸性

例1： (2008全国)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是 (%%) 。

解析：当汽车经过启动、加速行驶时，s随时间t的变化率递增，所以图像下凹;当汽车匀速行驶时，变化率为正常数，所以函数递增且图像为线段;当汽车减速行驶之后停车时，变化率递减，所以图像上凸。故答案选A。

例2： (2006重庆) 如图1所示，单位圆中AB的长为x, f (x) 表示AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y=f (x) 的图像是 (%%) 。

解析：由已知，y随x变化时，变化率先增后减，所以y=f (x) 的图像先下凹后上凸，故答案选D。

题型二：由导函数的单调性确定凹凸性

例3： (2008福建) 已知函数y=f (x) ，y=g (x) 的导函数的图像如图2，那么y=f (x) ，y=g (x) 的图像可能是 (%%) 。

解析：因为y=f′ (x) 为减函数，y=g′ (x) 为增函数，所以y=f (x) 的图像上凸，y=g (x) 的图像下凹，排除A, C;又因为y=f′ (x) 与y=g′ (x) 的图像交于x0处，所以y=f (x) 与y=g (x) 的图像在x0处的切线平行，排除B。故答案选D。

例4： (2006江西模拟) f′ (x) 是f (x) 的导数，f′ (x) 的图像如图3所示，则f (x) 的图像可能是 (%%) 。

解析：由f′ (x) 的图像可知，f′ (x) 在区间 (a, b) 上先增后减，所以f (x) 的图像先下凹后上凸。故答案选D。

由此可见，该结论在解决图像识别问题中，既生动形象又简便快捷，是一个非常实用的重要结论。

导数的重要应用 篇2

导数是新课程教材中重要内容，是进一步刻画、研究函数的重要工具，为运用函数思想简捷地解决实际问题提供了广阔的前景。纵观这几年的高考，考察的力度逐年加大，因此在高三复习中必须引起足够的重视。

在中学数学的新课程中，导数单元作为初等数学和高等数学重要的衔接点，显得格外引人瞩目。导数的思想及其内涵丰富了对函数等问题的研究方法，已经成为近几年高考数学的一大热点。另外，导数又具有很强的知识交汇功能，以其为载体的问题情景很多，给师生在复习内容和方法上的选择带来困惑。从这个意义上说，高三师生采取什么样的策略复习，复习的重点落在何处?显得至关重要。

1、教材分析与考点分析

在教材中，导数处于一种特殊的地位。一方面它是沟通初、高等数学知识的重要衔接点，渗透和加强了对学生由有限到无限的辩证思想的教育，突破了许多初等数学在思想和方法上的障碍，拓宽、优化和丰富了许多数学问题解决的思路、方法和技巧;另一方面它具有很强的知识交汇功能，可以联系多个章节内容，如常与函数、数列、三角、向量、不等式、解析几何等内容交叉渗透，并成为解决相关问题的重要工具。

从高考关于导数单元的考查情况来看，以下两个特点非常明显：

(1) 循序渐进：从总体上看，高考考查导数的有关知识是循序渐进的过程。导数的内容刚进入高考数学新课程卷时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，分析近几年的高考试题，可以看出高考对导数考查的思路已基本成熟。考查的基本原则是重点考查导数的概念与应用。

这部分内容的考查一般分为三个层次：

第一层次：主要考查导数的概念、求导公式、求导法则和与实际背景有关的问题(如瞬时速度，边际成本，加速度、切线的斜率)

第二层次：主要考查导数的.简单应用，包括求函数的极值、最值，求函数的单调区间，证明函数的单调性等。

第三层次：综合考查，将导数内容和传统内容中有关函数、三角、数列、不等式和解析几何等有机地结合在一块，设计综合题(包括应用题)。这是学生感到困难和疑惑的主要部分。

(2) 与时俱进：高考关于导数部分的命题的第二个特点是与时俱进。由于利用导数这个有效的工具，突破了许多初等数学在思想和方法上的障碍，拓宽了许多数学问题解决得思路，优化和丰富了解题的方法和技巧，大大提高了学生运用数学思想方法去分析、解决数学问题和实际问题的能力，因而越来越多地受到高考命题专家的青睐，加之高考命题专家一般都有高等数学的背景，对导数的内涵和价值的认识比较深刻，导数的应用是命题的热点。

2、导数单元的复习策略和重点

从导数本身的重要性和高考命题的趋势看，我们应该高度重视导数单元的复习。

首先课标明确指出：通过导数及其应用部分的教学，理解导数的含义，体会导数的思想及其内涵;掌握导数在研究函数的单调性、极值等性质及其在实际中的作用;感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用以及变量数学的思想方法，提高学生运用导数的知识和函数的思想方法，解决数学问题和实际问题的能力。

其次，从近几年全国高考新课程卷的命题重点来看，利用导数研究函数性质的数学试题有上升的趋势。在这类试题中，导数只不过是一种工具，是创设这类题的一种取向，求导的过程并不难，它不是这类试题的最后落脚点，最后落脚点是考查函数的性质及等价转化，数形结合、归纳类比和分类讨论等重要的思想和方法。

由此可见，在导数单元的复习中我们要防止仅仅将导数作为一种规则和步骤来学习和复习，而忽视它的思想和价值，在复习中应该突出导数的工具价值。

导数的应用 篇3

【关键词】导数 边际 边际分析

考虑经济问题时，成本、价格、利润、收入等经济量是必须要考虑的因素，一个企业最关心的问题是如何把握最佳产量，从而获利最高，在经济学中这些问题常用边际概念进行分析，这些概念都可用导数进行描述，本文讨论导数在这些经济问题中的应用。

一、“边际”概念

如果一个经济指标y是另一个经济指标x的函数y=f（x），那么当自变量在x处有一个单位的改动量时，所对应的函数改变量为该函数所表示的经济指标在x处的边际量。设x的改变量为 ，经济变量y的改变量为 ，则y的平均变化率是 ，有边际的概念，在上式中取 或者 就可得到边际量的表达式。在经济理论研究中，总是用导数 表示经济变量y的边际量。

二、边际成本

厂家生产Q件产品的成本分C（Q）为两部分，一部分是“固定成本C0”，例如场地、固定设备、基本人员工资等。一部分是“可变成本C1（Q）”，与生产数量密切相关，例如消耗的材质、能源、计件工资等，成本函数为C（Q）= C0+ C1（Q）

例 某企业生产一种产品，固定成本为900元，每做Q件产品的可变成本为400Q-Q2元，求成本函数，并分别计算Q=10，20，30时的平均成本，和边际成本。

解：平均成本函数记为 ， 元/件， 元/件， 元/件。可见当生产不同数量产品时，平均成本并不相同。生产10件 产品时的成本是4800元，平均成本是480元。如果再多生产一件，即 ，总成本是多少？很容易计算 元。这时总成本增加量 元，这个成本增量成为“边际成本”，它既不等于 元/件，又不等于 元/件。此时计算 。 元/件。和前面的结果很接近。在实际经济量化分析问题中，经常将产量为Q时的边际成本 和此时已花费的平均成本 做比较，由两者的意义知道，如果边际成本小于平均成本，则可以再增加产量以降低平均成本，上面例子中， ，说明可以增加产量。反之，如果边际成本大于平均成本，可以考虑削减产量以降低平均成本；当边际成本等于平均成本时可使产品的平均成本最低。

三、边际收入和边际利润

在经济学中，类似的可以定义边际收入和边际利润，在价格P水平上销售Q件商品所得款项称为“收入”，即 ，边际收入记为 。利润函数为 ，边际利润记为 。

例 某企业生产家用电器，设成本函数为 ，需求函数为 ，求收入函数和边际收入，并分别计算 件时的成本、平均成本、收入和边际收入。

解 ， ， ，知 是唯一驻点， 元是最大利润。

注意，最大利润和最大平均利润不是一回事。本例中，可求出平均利润的最大值点是 ，平均利润的最大值为每件产品获利2.7元；但此时总利润仅为7168元 元。而 件时，平均利润为每件 元/件 元/件。在经济学中还经常用到边际效用、边际产量、边际劳动生产率等概率，它和边际成本、边际收入、边际利润的经济解释方法大同小异，在此不再累赘。

以上是本人关于导数在经济中边际分析，由此可见导数在經济学中应用广泛，通过边际问题的分析，对于企业的决策者作出正确的决策起了十分重要的作用！

【参考文献】

[1]向隆万 数学赏析 上海交通大学出版社 2012年4月

[2]王兰林 导数在经济学中的应用 河南财政税务高等专科学校学报 2011年12月

导数的应用 篇4

分析在导数定义中, 增量Δx的形式是多种多样, 但不论Δx选择哪种形式, Δy也必须选择相对应的形式.

二、利用求导、积分公式化简

方法解析:有时函数的导函数具有比原函数简单得多的形式, 并且它容易通过积分而求得所需要的变换, 因此可以把某代数式先定义为某一变量的函数, 对此变量求其导函数, 再对此变量求积分, 从而由已知确定积分常数.

例2化简: (a+b) 3+ (b+c) 3+ (c+a) 3-3 (a+b) (b+c) (c+a) .

解令f (a) = (a+b) 3+ (b+c) 3+ (c+a) 3-3 (a+b) (b+c) (c+a) , 视b, c为常量, 对a求导, 得:

再对a积分, 得f (a) =2a3-6abc+C.

当a=0时, C=f (0) =b3+ (b+c) 3+c3-3bc (b+c) =2b3+2c3.

因此:f (a) =2 (a3+b3+c3-3abc) .

三、利用导数的几何意义求切线方程

导数的几何意义:函数y=f (x) 在点x0处的导数就是曲线y=f (x) 在点P (x0, f (x0) ) 处的切线斜率k, 故求过点P (x0, f (x0) ) 的曲线y=f (x) 的切线方程时, 应先判断P (x0, f (x0) ) 是否是切点, 如果是, 根据导数的几何意义得切线方程为y-y0=f' (x0) (x-x0) ;若点P (x0, f (x0) ) 不是切点, 则应设切点为 (x1, y1) , 求出 (x1, y1) , 再求切线方程.

例3已知曲线f (x) =x3上一点P (2, 8) , 求在点P处的切线方程.

大多数学生能套用上面的公式得到结果:12x-y-16=0.

例4已知曲线f (x) =x3上一点P (2, 8) , 求过点P的切线方程.

解设切点为M (x0, f (x0) ) , 则切线的方程为y-y0=f' (x0) (x-x0) , 由点P在切线上, 代入切线方程8-x03=3x03 (2-x0) , 整理得 (x0-2) 2 (x0+1) =0, 所以x0=-1或x0=2, 则切线方程为3x-y+2=0或12x-y-16=0.

要注意区分“在点处”与“过点处”求切线方程时的区别, 其中在点处的点必为切点, 过点处的点不一定是切点, 在解题时要注意审题.

四、利用导数研究函数性质

(一) 利用导数求函数的单调性

1. 判断方法

(1) 设f (x) 在区间I上可导, 则f (x) 在I上递增 (减) 的充要条件是:f' (x) ≥0 (≤0) ;

(2) 设函数在区间I上可微, 若f' (x) >0 (f' (x) <0) , 则f在I上严格递增 (严格递减) .

2. 求解函数单调性的一般步骤 (1) 确定函数的定义域;

(2) 求出使函数f' (x) =0和f' (x) 不存在的点, 并以这些点为分界点, 将定义域分成若干个子区间;

(3) 确定f' (x) 在各个子区间的符号, 从而确定f (x) 的单调区间.

例5证明不等式ex>1+x, x≠0.

证明设f (x) =ex-1-x, 则f' (x) =ex-1.故当x>0时, f' (x) >0, f严格递增;当x<0时, f' (x) <0, f严格递减.又由于f在x=0处连续, 则当x≠0时, f (x) >f (0) =0, 从而证得ex>1+x, x≠0.

(二) 利用导数求函数的极值、最值

对于可导的函数而言, 函数在某处取得极值, 则函数在此处导数必等于0;反之, 若导数在某处值为零, 则函数在该驻点不一定取得极值, 还需进一步检验导函数在驻点左右两边的符号变化, 即要理解可导函数的极值点必为驻点, 但驻点却不一定为极值点的含义.

主要方法步骤:

(1) 根据求导法则求出函数y=f (x) 的导数f' (x) .

(2) 再求方程f' (x) =0的根, 得到驻点.

(3) 分区间讨论, 得出函数的单调区间.

(4) 判断极值点.考查f' (x) 在f' (x) =0的根 (驻点) 左右近旁值的符号, 如果左正右负, 则y=f (x) 在驻点处取得极大值;如果左负右正, 则y=f (x) 在驻点处取得极小值.

(5) 求最值.比较函数在所有极值点、不可导点和区间端点上的函数值, 从中找到函数在闭区间上的最大 (小) 值.

例6设函数f (x) =2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.

(1) 求a, b的值;

(2) 若对于任意的x∈[1, 3], 都有f (x)

解 (1) f' (x) =6x2+6ax+3b, 因为函数在x=1及x=2时取得极值, 则有f' (1) =0, f' (2) =0,

解得a=-3, b=4.

得驻点x=1, x=2.

当x∈ (0, 1) 时, f' (x) >0;

当x∈ (1, 2) 时, f' (x) <0;

当x∈ (2, 3) 时, f' (x) >0.

所以当x=1时, f (x) 取得极大值f (1) =5+8c.

则当x∈[0, 3]时, f (x) 的最大值为f (3) =9+8c.

由题意x∈[0, 3], 有f (x)

所以9+8c9.

因此c∈ (-∞, -1) ∪ (9, +∞) .

五、利用导数证明不等式

(一) 利用函数的单调性证明不等式

许多不等式直接或整理后与函数相关, 我们可以先用导数证明函数的单调性, 再用函数单调性去证明不等式.

令g' (x) =0, 得x=0.

当x∈ (-1, 0) 时, g' (x) <0, g (x) 在此区间上是减函数;

当x∈ (0, +∞) 时, g' (x) >0, g (x) 在此区间上是增函数.

所以当x>-1时, g (x) ≥g (0) =0.

(二) 利用Lagrange中值定理证明不等式

主要方法步骤:

(1) 分析要证明的不等式, 通过适当的变形后, 选取辅助函数f (x) 和区间[a, b].

(2) 根据Lagrange中值定理得到

(3) 根据导函数在[a, b]上的单调性, 把f' (c) 适当放大或缩小, 从而推证要证明的不等式.

例8证明不等式.

证明设f (x) =lnx, 则f (x) 在[a, b]上满足Lagrange中值定理的条件, 所以c∈ (a, b) , 使得, 由, 得.

六、导数在经济分析中的应用

导数是函数关于自变量的变化率, 在经济工作中, 也存在变化率的问题, 著名的边际分析就是用求函数导数的方法解决边际变化问题的.在经济学中, 如果某经济指标与影响指标的因素之间成立函数关系y=f (x) , 那么称导数y=f' (x) 为f (x) 的边际函数.对于企业经营来说, 进行边际分析是非常重要的, 企业如果离开边际分析而盲目生产, 就会造成资源的巨大浪费.导数作为边际分析的重要工具, 可以给企业决策者提供客观、准确的依据, 从而作出合理的决策.在经济活动中利用导数工具涉及的边际变化有:边际成本、边际收益、边际利润等.下面以边际利润为例说明导数在经济分析中的作用.

例9某企业加工某产品的总成本函数为C (x) =100+4x+0.03x2, 总收入函数为R (x) =10x+0.02x2, 求边际利润函数和当日产量分别为200公斤、300公斤和400公斤时的边际利润, 并且说明经济意义.

解 (1) 总利润函数为L (x) =R (x) -C (x) =6x-100-0.01x2, 则根据定义, 边际利润函数为L' (x) =6-0.02x.

(2) 当日产量分别为200公斤、300公斤和400公斤时的边际利润分别为L' (200) =2, L' (300) =0, L' (400) =-2.

其经济意义为:当日产量为200公斤时, 再增加1公斤, 则总利润可增加2元;当日产量为300公斤时, 再增加1公斤, 则总利润无增加;当日产量为400公斤时, 再增加1公斤, 则反而亏损2元.

结论:当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的驻点L' (x) =0时, 反而使企业无利润.

摘要：导数是一个知识独特、应用广泛, 与初、高等数学衔接紧密的重要内容, 是近代数学的重要基础, 它的引入为解决数学问题提供了新的视野, 是求解析几何中曲线的切线、证明不等式、研究函数性质、探求函数的极值及最值和解决一些实际问题等等的有力工具.本文拟就导数的应用, 谈一点个人的认识, 希望学生学会怎样依据问题本身所提供的信息, 利用动态思维, 寻找和选择有利于问题解决的变换途径和方法, 从而加强对导数的理解和应用.

关键词：导数,函数的单调性,极值,最值,不等式

参考文献

[1]李国华.导数的应用.牡丹江教育学院学报, 2011 (2) .

导数的应用4—恒成立问题 篇5

高中数学中的恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,考查综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型:1.一次函数型;2.二次函数型;3.变量分离型;4.根据函数的奇偶性、周期性等性质;5.直接根据函数的图象;6.利用导数求解。

“恒成立”的含义，一定是比“比最大的还大”或“比最小的还小”。因此恒成立问题往往又可以转化为求函数最值的问题。A组：

1．（1）实数k为何值时不等式ex

kx对任意xR恒成立？（2）实数k为何值时关于x的不等式lnxkx

恒成立？

2．已知函数f(x)x3ax2x1,aR，若函数f(x)在区间23,1

3

内是减函数.求a的取值范围.3．已知函数f(x)＝－ax3－x2＋x(a∈R)，当x≥1

时，f(x)≤ax恒成立，求实数a的取值范围．

4．设函数f(x)＝ex－e－

x，若对任意的x≥0都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．

5．若关于x的方程x2

2alnx2ax（a＞0）有唯一解，求实数a的值．

6．已知f(x)ln(x1)，g(x)11

x1，试证：对任意的x＞0，都有f(x)g(x)成立．

7．已知函数f(x)ex

kx，xR。

（Ⅰ）若ke，试确定函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若k0，且对于任意xR，f(x)0恒成立，试确定实数k的取值范围；

B组：

1．设函数f(x)

sinx

2cosx

．

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范围．

2．设函数f(x)

lnx

1x

lnxln(x1)．（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式f(x)≥a的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．

3．设函数f(x)

xlnx

(x0且x1)。1（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）已知2x

xa对任意x(0,1)成立，求实数a的取值范围。

(x)=ln2

(1+x)-x24．已知函数f1x

.(I)求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若不等式(1

1n)na

e对任意的nN*都成立（其中e是自然对数的底数），求的最大值.5．设函数f(x)x2bln(x1)，其中b0．

（Ⅰ）当b

时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数f(x)的极值点；

（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式ln111n1n2n

3都成立．

6．已知Ax

n(an，bn)（nN*）是曲线ye上的点，a1a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足

S22

n3n2anSn1，an0，n2，3，4，…．（I）证明：数列

bn2

（n≤2）是常数数列； bn

（II）确定a的取值集合M，使aM时，数列{an}是单调递增数列；

（III）证明：当aM时，弦AnAn1（nN*）的斜率随n的增大而单调递增．

7．已知函数f(x)x2

|x1|,g(x)x3ax(a0)，若x1[1,2],x2[2,3]，使得

f(x1)x1

新课程下导数的应用 篇6

关键词：导数；新课程；应用

导数是高中数学的重要知识，它紧密联系高等数学与初等数学，是解决相关问题的重要工具。本文探讨的这一部分导数知识，在新课程中有重要的意义。研究导数在中学数学解题中的应用，目的在于提高学生的能力，培养高中学生的数学素养。

一、导数在高中数学新课程中的地位

在新课程下的高中数学教材中，导数有极其重要的地位，在学生进入高中阶段学习函数时，一般难以理解函数的性质，函数的这些性质如果通过函数的图像来反映，就一目了然，非常容易学习。高中数学的导数知识，提供了研究函数问题的方法。

（一）有利于学生更好地理解函数

在高中阶段学习函数时，学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等。函数的性质可以通过函数的图像表示出来，作出函数的图像，函数的性质就容易掌握。

简单的函数，一般可以采用描点法作出图像。复杂的函数，可以利用函数的一阶导数和函数的二阶导数判定函数的凹凸区间、拐点，由此作出函数的图像。

（二）有利于学生更好地掌握函数思想

一些中学数学上用一般方法不好处理的、难以解决的问题，可以考虑函数思想。如果用导数来解决这些问题，往往方法简洁明了，步骤清楚，容易了解。

（三）有利于学生弄清曲线的切线问题

学生学习立体几何时，往往认为曲线的切线，只能是与曲线有一个公共点的直线，等到高中接触到导数的几何意义后，就知道了函数f在点x0的导数f（x0）是曲线y=f（x）在点（x0，y0）处的切线斜率。

（四）有利于学生学好其他学科

新课程下的高中课程，大多与数学有内在联系，导数与物理、化学、生物等高中学科都有着深刻的逻辑关系。导数f（x）在高中物理中，可以很好地解释做变速直线运动物体的运动方程：s=st，根据公式可以方便地算出物体的瞬时速度：V（t）=■，可以计算瞬时加速度：A（t）=■；高中化学中的反应速度，酶的催化反应，以及冷却速度等问题，也都可以通过微积分的方法来解决。

（五）有利于发展学生的思维能力

高中数学学习导数，学生接触到从平均变化到瞬时变化，了解、领悟和运用这种思想，对学生的逻辑思维能力是一次提高。可以树立由整体到局部的思想方法，逐步体会有限与无限、直与曲的对立与统一。

二、导数在解题中的应用

导数成为新教材高考试题的热点。导数与传统内容相结合，试题贴近生活。举例说明导数的应用。

（一）利用导数解决函数问题

1.利用导数求函数的解析式

可以用解析式表示函数关系，也可以利用导数求函数的解析式。

2.利用导数求函数的值域

采用导数来求函数的值域，较为容易。

3.利用导数求函数的最（极）值

用导数解决函数的最（极）值，解题过程简化，容易掌握。

一般的，函数f（x）在闭区间[a，b]上可导，则f（x）在[a，b]上的最值求法：

（1）求函数的极值点；

（2）计算在极值点和端点的函数值；

（3）比较在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值。

4.利用导数求函数的单调区间

函数的单调性，是研究函数时经常要用到的。利用导数的几何意义，只需考虑正负即可，当满足什么条件时，函数单调递增；当满足什么条件时，函数单调递减。

（二）利用导数解决切线问题

1.求过某一点的切线方程

切线方程的几何意义就是曲线在某点处切线的斜率，就是过某点的切线方程。

2.求两曲线切线方程

（三）利用导数解决不等式问题

在处理不等式问题时，根据函数的性质，我们就可以利用导数，作为工具很便捷地解决不等式问题。

（四）利用导数解决数列问题

数列是自变量为正整数的函数，可以运用导数来处理数列求和的相关问题。

（五）利用导数解决实际问题

导数有着丰富的实际背景，我们可以把几个变量转化成函数关系式，进而可以想方法去构造函数，然后用导数来解决问题，简洁有效。

综合以上内容，学习导数及其应用，拓展了解决中学数学问题的新视野。导数进入新教材后，显示出强大的生命力，具有深刻的意义。

参考文献：

李秋凤.导数在函数问题中的应用[J].中国科技信息，2006（03）.

聚焦导数的应用 篇7

一、导数的直接应用

1.利用导数的定义求极限

例1 求undefined

解:令 f (x) =ex, 则

f ′ (x) =ex, f (0) =1.

undefined

例2 设函数 f (x) 在 x=a 处可导, 且

f ′ (a) =A, 求极限undefined

解:原式

undefined

点评:要准确理解导数的定义, 若undefined, 且当 x≠x0 时, g (x) ≠0, f (x) 在 x=a 处可导, 则undefined

2.利用导数证明不等式

例3 若 f (x) =x3+bx2+cx+d 在 (-∞, 0) 上是增函数, 在 (0, 2) 上是减函数, f (2) =0, 求证:f (1) ≥2.

证明:f ′ (x) =3x2+2bx+c,

由 f ′ (0) =0, 得 c=0.

由 f (2) =0, 得 d=-4b-8.

所以undefined

当 x<0时, f ′ (x) >0, 则undefined.当 0

undefined

, 则undefined.综上, 恒有 b≤-3.

所以 f (1) =1+2b+d=-7-3b≥2.

3.研究方程根的问题

例4 若 a>3, 试判断关于 x 的方程 x3-ax2+1=0在[0, 2]上的实数根的个数, 并说明理由.

解:设 f (x) =x3-ax2+1, 则

undefined

因为 a>3, 所以undefined, 则当 x∈ (0, 2) 时, f ′ (x) <0, 所以 f (x) 在 (0, 2) 上单调递减.

又 f (x) 在 x=0和 x=2处均连续, 且 f (0) =1>0, f (2) =9-4a<0, 所以关于 x 的方程 x3-ax2+1=0在[0, 2]上有且只有一个实数根.

点评:由点 (0, f (0) ) 、 (2, f (2) ) 分别在 x 轴的上方与下方, 且 f (x) 在 (0, 2) 上连续单调, 可判断 y=f (x) 在[0, 2]上的图象与 x 轴有且仅有一个交点, 则得结论.

4.处理不等式恒成立问题

例5 设函数undefined

(1) 若 a=1, 点P为曲线 y=f (x) 上一个动点, 求以P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程;

(2) 若 x∈[0, 3a]时, f (x) ≥0恒成立, 求 a 的取值范围.

解: (1) 设切线的斜率为 k, 则

k=f ′ (x) =x2-2x-3.

可见当 x=1时, k 有最小值-4.

又undefined, 所以切线方程为undefined, 即 12x+3y+8=0.

(2) 由 k=f ′ (x) =x2-2x-3>0, k=f ′ (x) =x2-2x-3<0, 得 f (x) 在 (-∞, -1) 和 (3, +∞) 上为增函数, 在 (-1, 3) 上为减函数.

若 x∈[a, 3a]时, f (x) ≥0恒成立, 则

undefined

或

undefined

或

undefined

①, ②无解, 由③得 a≥6.

所以 a 的取值范围为[6, +∞) .

点评:恒成立有“a≤f (x) 恒成立”和“a≥f (x) 恒成立”两种类型, 基本方法是求 f (x) 的最小值 m 或最大值M, 将问题转化为“a≤m”, 或“a≥M”.本题中“f (x) ≥0恒成立”即 [f (x) ]min≥0.

5.利用导数求数列和

例6 求undefined

解:undefined

而undefined, 两边求导有undefined

取undefined, 则有undefined

又undefined, 所以undefined

6.利用导数证明恒等式

例7 当 n∈N*, 且 n≥2时, 求证Cundefined+3Cundefined+5Cundefined+…=2Cundefined+4Cundefined+6Cundefined+….

证明:因为 (1+x) n=Cundefined+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn, 两边求导, 则 n (1+x) n-1=Cundefined+2C2nx+3C3nx2+…+nCnnxn-1.取 x=-1, 得

0=Cundefined-2Cundefined+3Cundefined-4Cundefined+….

所以Cundefined+3Cundefined+5Cundefined+…=2Cundefined+4Cundefined+6Cundefined+….

二、导数的综合应用

1.巧用导数比较大小

例8 已知2≤m

解:设undefined, 则

undefined

当 x∈[2, +∞) 时,

undefined,

所以 f ′ (x) <0, 故 f (x) 在[2, +∞) 上为减函数.

又2≤mf (n) , 即

undefined,

所以 (1+m) n> (1+n) m.

2.导数与数列的综合

例9 已知函数 f (x) =e-x (cosx+sinx) , 将满足 f ′ (x) =0的所有正数 x 从小到大排列成数列{xn}, 求证数列{f (xn) }为等比数列.

证明:f ′ (x) =-e-x (sinx+sinx) +

e-x (-sinx+cosx) =-2e-xsinx.由 f ′ (x) =0, 有-2e-xsinx=0, 得 x=nπ (n∈Z) .所以

undefined

因此数列{f (xn) }是公比为 q=-e-π的等比数列, 且首项为 f (x1) =-e-π.

3.导数与集合、函数的综合

例10 设函数undefined, 集合M={x|f (x) <0}, P={x|f ′ (x) >0}.若M⊆P, 则实数 a 的取值范围是__.

解:undefined

此时undefined

又undefined,

在 (1, +∞) 上是增函数, 满足 f ′ (x) >0且 f (x) <0的解集 (1, a) 是 (1, +∞) 的子集, 满足条件M⊆P.所以 a 的取值范围是 a>1.

点评:本题以集合为载体, 考查了函数、不等式问题与导数方法的运用, 也考查了集合间的包含关系.

4.导数与平面向量的综合

例11 已知平面向量 a= (x2, x+1) , b= (1-x, t) , 若函数 f (x) =a·b, 在区间 (-1, 1) 上是增函数, 求 t 的取值范围.

解:f (x) =x2 (1-x) +t (x+1)

=-x3+x2+tx+t,

则 f ′ (x) =-3x2+2x+t.

当 x∈ (-1, 1) 时, 应有-3x2+2x+t>0成立, 所以 f ′ (-1) ≥0且 f ′ (1) ≥0, 即

undefined

所以 t 的取值范围是[5, +∞) .

5.导数与函数、解析几何的综合

例12 已知曲线段OMB是抛物线 x2=y 在0

(1) 试用 t 表示切线PQ的方程;

(2) 试用 g (t) 表示S△QAP, 若函数 g (t) 在区间 (m, n) 上单调递减, 试求出 m 的最小值;

(3) 若undefined, 试求出点P横坐标的取值范围.

解: (1) 设点M (t, t2) .因为 f ′ (x) =2x, 所以过点M的切线PQ的斜率 k=2t, 所以切线PQ的方程为 y=2tx-t2.

(2) 由 (1) 可求得undefined

undefined

则 4

得 4

(3) 由 (2) 知 g (t) 在 (4, 6) 上递减, 所以S△QAP∈ (54, 64) .令 g′ (t) >0, 则 0

所以 g (t) 在区间 (0, 4) 上递增, 此时S△QAP∈ (0, 64) .

又 g (4) =64, 所以 g (t) ∈ (0, 64].

由undefined, 得

undefined

所以点P的横坐标取值范围是undefined

导数的应用种种 篇8

应用一、研究函数的单调性、极值

例1研究函数f (x) = (x2-2) 3+3的单调区间与极值.

列出f′ (x) 、f (x) 随x的变化情况如表1.

故函数f (x) 在 (-∞, 0) 上单调递减, 在 (0, +∞) 上单调递增, 函数f (x) 的极小值为f (0) =-5.

评注: (1) 用传统数学教材中的知识与方法往往难以研究像例1这种函数问题的单调性, 导数无疑为这类问题的解决提供了简便快捷的方法. (2) 当方程f′ (x) =0的根较多时, “列表法”简明快捷. (3) 可导函数f (x) 在x=x0处有极值的必要条件是f′ (x0) =0.

应用二、求过某点曲线的切线方程

例2求过点 (2, 0) 且与曲线相切的直线方程.

解:设切点为P (x0, y0) , 由y

所以所求切线方程为x+y-2=0.

评注:若点P (x0, y0) 在曲线y=f (x) 上, 则过点P的切线方程为y-y0=f′ (x0) (x-x0) .

想一想:若点P (x0, y0) 不在曲线y=f (x) 上, 如何求过点P的切线方程?

应用三、比较大小

例3比较20072008与20082007的大小.

解:先证明命题:若eba.

要证ab>ba, 只须证b·lna>a·lnb, 即须证

又ef (b) , 故命题得证.

根据上面命题, 显然有20072008>20082007.

评注:“特殊”※“一般”, 为导数法创造了条件.

应用四、解不等式

例4解关于x的不等式

评注:导数在这类问题中的应用往往是隐性的, 关键是创造条件、去模拟结构引入辅助函数.

应用五、证明不等式

例5已知函数f (x) =lnx.求证:当x>a>0时, 恒有

所以函数h (t) 在 (1, +∞) 上单调递增, 所以h (t) >h (1) =0, 故原不等式得证.

评注:近年来, 一些用传统方法难以证明的不等式问题逐渐融入高考, 导数为这类问题的研究和解决提供了新途径, 同时也充分展示了导数的思维价值和应用价值

应用六、探求高次方程或超越方程实根的个数

例6已知方程x-a=ln (1+x) 2在区间[0, 2]上恰有两个相异实根, 求实数a的取值范围.

所以g (x) 在[0, 1]单调递减, 在[1, 2]单调增, 如图1所示.

评注:高次方程或超越方程实根的个数问题, 通常是构造相应函数, 利用导数研究函数性态, 分析函数图象的整体形象, 并利用图形的直观性来探求.

应用七、处理恒成立问题

所以g (x) 在 (0, +∞) 上单调递增, 又g (2) =1-ln3<0, g (3) =2-2ln2>0,

所以方程g (x) =0存在唯一实根a, 且满足a∈ (2, 3) , a=1+ln (a+1) .

因为当x>a时, g (x) >0, h′ (x) >0, 函数h (x) 单调递增;当0

故正整数k的最大值为3.

评注:分离参数, 揭示函数关系, 为导数法解决问题创造了条件.

应用八、化简求值

例8若 (x2+1) (x-2) 9=a0+a1 (x-1) +a2 (x-1) 2+…+a11 (x-1) 11, 则 (a1+3a3+…+11a11) 2- (2a2+4a4+…+10a10) 2= (用数字作答) .

分析:首先求出a1, a2, a3, …, a10, 这种方法朴素, 但误入了歧途, 运算烦琐.

解:由 (x2+1) (x-2) 9=a0+a1 (x-1) +a2 (x-1) 2+…+a11 (x-1) 11, 两边求导得2x (x-2) 9+9 (x2+1) (x-2) 8=a1+2a2 (x-1) +3a3 (x-1) 2+…+11a11 (x-1) 10, 令x=2, 得a1+2a2+3a3+…+10a10+11a11=0.

应用九、处理数列问题

例9若数列{an}满足a1=c∈ (0, 1) 且an+1=ln (2-an) +an (n∈N*) , 求证:0

(1) 由题设知a1=c∈ (0, 1) .

(2) 假设0

当x∈ (0, 1) 时, f′ (x) >0, 故f (x) =ln (2-x) +x在 (0, 1) 上是增函数.

因此, 当n=k+1时, ak+1=ln (2-ak) +a>ln (2-0) +0>0,

且ak+1=ln (2-ak) +ak

综上 (1) , (2) 得n∈N*时, 0

又因为an+1-an=ln (2-an) >0, 所以0

评注:本题函数、不等式、数列、数学归纳法、导数有机结合、交互渗透, 恰符合近年来在知识网络交汇处设计试题的高考命题思想应当引起重视.

应用十、求解应用题

例10某汽车启动阶段的位移函数是s (t) =t3-t2, 求t=2秒时汽车的加速度.

解:因为v (t) =s′ (t) =3t2-2t, 所以α (t) =v′ (t) =6t-2,

所以当t=2时, α (t) =10, 即t=2秒时, 汽车的加速度为10.

评注: (1) 设s=s (t) 是位移函数, 则s′ (t0) 表示物体在t=t0时刻的瞬时速度;

(2) 设v=v (t) 是速度函数, 则v′ (t0) 表示物体在t=t0时刻的加速度.

例11如图2, 假设河的一条岸边为直线MN, AC⊥MN于C, 点B、D在MN上, 现将货物从A地经陆地AD和水路DB运往B地.已知AC=10km, BC=30km, 又陆地单位距离的运价是水路单位距离运价的2倍, 为使运费最少, D点应选在距C点多远处?

解:根据题意知, 设D点选在距C点xkm处, 则, 设水路每km的运费为1, 则运费y=30-x+

故D点应选在距km时运费最少.

例谈导数的应用 篇9

一、利用导数定义求极限

例1求极限.

解令.

二、利用导数证明不等式

例2当时, 求证:.

即f′ (x) 在内递增.

又f (0) =0,

∴当时, f (x) >0, 即.

点评本例中涉及三角函数, 一般的解答方法将会比较复杂, 这里用导数来解决, 似有“四两拨千斤”的作用.

三、利用导数解决恒成立时的参数问题

例3已知f (x) =-x3+ax, 其中在 (0, 1]上恒成立, 求实数a的取值范围.

解设,

f (x) 0在 (0, 1]上恒成立.

即在 (0, 1]上恒成立.

即在 (0, 1]上恒成立.

下面求在 (0, 1]上的最小值.

令,

∴p (x) 在 (0, 1]上为单调增函数.

点评本题是求恒成立的无理不等式中参数的取值范围, 在短时间内往往难以很快寻得正确的解题思路.从导数入手, 解题十分流畅, 令人耳目一新.

四、利用导数求函数的值域

例4求函数的值域.

解设, 则x=2-t2,

故函数y=f (t) 的最小值为4, 无最大值, 即所求函数的值域是[4, +∞) .

点评利用函数的单调性是讨论函数值域的重要方法本题直接求导计算繁杂, 通过换元, 将问题转化为求函数y=t4-4t2+4t+4在[0, +∞) 上的值域.

浅谈导数的应用 篇10

一、导数在切线方程中的应用

曲线y=f(x)在点p0(x0,f(x0))处的切线斜率,即是k=f'(x0),就是导数的几何意义.

例1 求曲线在点(1,2)处的切线斜率,并把此点的法线方程和切线方程写出来.

解:所得的切线斜率是k,=y'|x=1.由,所以.

求得的法线方程的斜率为

求得的法线方程为,即为3x+2y-7=0.

所求的切线方程即为,即为2x-3y+4=0.

二、导数在求函数的单调性中的应用

设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,

(1)如果在区间(a,b)内f'(x)>0,那么函数y=f(x)在(a,b)上单调增加;

(2)如果在区间(a,b)内,f'(x)<0,那么函数y=f(x)在(a,b)上单调减少;

(3)如果在区间(a,b)内f'(x)=0,那么y=f(x)在(a,b)上为常函数.

例2 求函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间.

解:此函数的定义域为(-∞,+∞),求这个函数的导数,

求方程f'(x)=0的解,即解方程6(x-1)(x-2)=0,求得x1=1,x2=2.定义域被这两个根分为三个子区间:(-∞,1),(1,2),(2,+∞),列表如表1所示.

由表1可知:函数f(x)的单调增加区间为(-∞,1),(2,+∞),减少区间为(1,2).

三、导数在求函数极值中的应用

判定极值的方法:设函数f(x)在点x0处连续,而且在点x0的某一邻域内可导(除去点x0),在该邻域内若

(1)当x0;当x>x0时,存在f'(x)<0,那么函数f(x)在点x0处产生极大值f(x),f(x)的极大值点为x0;

(2)当xx0时,存在f'(x)>0,那么函数f(x)在点x0处产生极小值f(x0),f(x)的极小值点为x0;

(3)若在点x0的左右两侧近旁,f'(x)的符号相同,则函数f'(x)在点x0处不存在极值.

例3 设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a,求函数f(x)的极值.

解:令f'(x)=3x2-2x-1=0可得,x2=1.

又因当时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以函数f(x)的极大值与极小值点分别为,x2=1.

因此函数f(x)的极大值为;函数f(x)的极小值为f(1)=a-1.

四、导数在研究函数的凹凸性和拐点中的应用

相关定理:设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内存在一阶导数和二阶导数,则

(1)在(a,b)内,若f"(x)>0,那么f(x)在[a,b]上的图形是凹的;

导数在函数中的应用 篇11

关键词：导数 切线 单调性 极值 最值

随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐提高，近年很多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题。新课程利用导数求曲线的切线，判断或论证函数的单调性、函数的极值和最值。下面笔者结合教学实践，就导数在函数中的应用作一个初步探究。

一、用导数求函数的切线

例1.已知曲线y=x3-3x2-1，过点(1,-3)作其切线，求切线方程。

解：y′=3x2-6x，当x=1时y′=-3，即所求切线的斜率为-3。故所求切线的方程为y+3=-3(x-1)，即为：y=-3x。

点评：函数y=f(x)在点x。处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点p(x。,f﹙xo﹚)处的切线的斜率。即曲线y=f(x)在点p(x。,f﹙xo﹚)处的切线的斜率是f′(x。)，相应的切线方程为：y-f(xo)=f′(xo)(x-xo)。

二、用导数判断函数的单调性

例2.求函数y=x3-3x2-1的单调区间。

分析：求出导数y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范围即可。

解：y′=3x2-6x，由y′>0，解得x<0或x>2；由y′<0，解得0

故所求单调增区间为(-∞,0)和(2,+∞)，单调减区间为(0,2)。

点评：利用导数判断函数的单调性的步骤是：①确定f(x)的定义域；②求导数f′(x。)；③在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x。)>0和f′(x。)<0；④确定f(x)的单调区间。若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论。

关于高中导数应用教学的思考 篇12

随着新课程改革的进一步深入, 高中数学的教学目标也越来越突出知识的简洁性和实用性.而导数在研究曲线的切线方面有着广泛的作用, 可以解决较为实际的问题, 并且也为函数的单调性、部分不等式的证明以及数列知识提供了求解的捷径, 因此本文就从学生对于导数概念的误解着手, 分析导数在数学教学中的应用.

一、学生对导数概念的错误理解

(一) 对平均变化率的错误理解

平均值、平均速度对于学生来说非常熟悉, 但这些概念对于导数概念的理解反而产生了负影响.虽然课堂上老师会大量列举平均变化率概念的相关例子, 但是学生由于先入为主观念的影响, 脑海中最深刻的仍然是平均值、平均速度的概念.而且学生在学习了平均变化率的概念后, 呈现出一定的记忆暂时性以及理解的不稳定性, 学生会依赖过去所学的知识和经验, 在理解概念中的“平均”和“变化”时会由词面意义进行片面的突出.另外, 虽然有些学生可以正确的理解“平均变化率”为“变化量的比值”, 并且也熟悉平均变化率的计算规则, 但是一旦把概念和斜率联系在一起, 那么就会表现出要么不记得、要么要花大量时间去思考的现象.

(二) 对瞬时变化率的错误理解

学生可以直观地理解瞬时变化率, 但是却不能完全理解求切线的过程, 就形式而言就是理解程度不够.其实要从切线的数量化定义去理解导数相对来说是比较困难.一般来说, 学生对于推导过程都只停留在规则的记忆这一层面, 并没有深入地理解其根本含义, 只是单纯默认了这种求法.再一个就是对曲线上外切线的错误理解, 很多学生会认为图像与图像的切线只有一个交点, 就是切点.由于学生头脑中初中学习圆时切线的概念先入为主, 经过圆上一点的切线只有一条, 与圆的交点也只有一个, 所以学生就会形成这样的认识:曲线的切线与曲线也只有一个交点.在求解切线方程时的错误比较常见的是漏解, “过一点的切线”学生就默认为是切点, 并且采用初中时处理圆锥曲线和直线相切的办法去求解.一旦碰到三次函数曲线切线问题, 得到三次方程, 无法用判别法求解, 这时就要采用导数的方法.

二、导数在高中数学中的应用

(一) 利用导数求函数最值

高中数学的一个重点、也是难点就是函数的最值问题.以往没有引入导数之前, 高中数学课程有很多函数最值的求解办法, 但是导数引入后不仅多了一种解题思路和方法, 它还成为最简便、最有效的方法之一.因为二次函数的最值比较典型, 所以我们就以求二次函数的最值为例.在历届的高考题目中, 二次函数的区间最值指的是二次函数在某个特定区间的最大值或者最小值, 一般都有参数, 因此是高考的难点也是热点.利用数形结合的思想来解决的话比较麻烦, 但利用导数解决则非常简捷明了.以下为例:

f (x) =ln (1+x) -x为已知函数, 求f (x) 最大值.

解 f (x) 的定义域为x∈ (-1, -∞)

求导得$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x+1}-1.$

令f′ (x) =0, 得x=0.

当-1<x<0时, f′ (x) >0;当x>0时f′ (x) <0.又 f (0) =0,

故当且仅当x=0时, f (x) 有最大值, 即f (0) =0.

这种比较特殊的复合函数求最值, 如果用其他的办法一般很难找到突破口, 方法也相对复杂, 如果像例题中运用导数求解, 则相对简单, 不过要注意这类函数求最值要先求出其定义域.

(二) 利用导数判断函数的单调性

函数最基本的性质之一就是函数的单调性, 它是研究函数的基础知识, 用单调性定义来解决单调性问题有比较强的技巧性, 且不易掌握, 但是如果用导数来判断的话则快捷而简单.

例1 f (x) =x2eax (a≤0) 为已知函数, 讨论f (x) 的单调性.

f′ (x) =x (ax+2) ex.

解1 当a=0时, f′ (x) =0, 得x=0.

如x>0, f′ (x) >0, 则f (x) 在 (0, +∞) 单调递增.

如x<0, f′ (x) <0, 则f (x) 在 (-∞, 0) 单调递减.

解2 当a<0时, f′ (x) =0, 得x=0或$x=-\frac{2}{a}.$

如x<0, f′ (x) <0, 则f (x) 在 (-∞, 0) 单调递减.

如$0<x<-\frac{2}{a}‚f^{\prime }(x)>0$, 则f (x) 在$\left(0,-\frac{2}{a}\right)$上单调递增;

如$x>-\frac{2}{a}‚f^{\prime }(x)<0$, 则f (x) 在 (0, +∞) 单调递减.

运用导数来判断函数单调性的基本原理, 就是针对一个函数f (x) , 如果其导数f′ (x) 在[a, b]区间上大于0, 则函数f (x) 为单调递增, 反之则是单调递减.在解答本类题目时要注意:掌握常见函数导数的求法为前提, 特别是复合函数导数的求法, 并且说明函数单调性质时要说明其区间以及有什么样的单调性.

(三) 利用导数解不等式

例2 已知a>0, n为正整数.

1.设y= (x-a) n, 证明:

y′=n (x-a) n-1.

2.设fn (x) =xn- (x-a) n, 对任意n≥a, 证明f′n+1 (n+1) > (n+1) f′n (n)

解1 ∵ (x-a) n=${\displaystyle \sum _{k=0}^n}$C${}_n^k$ (-a) n-kxk,

∴y′=kC${}_n^k$ (-a) n-kxk-1=${\displaystyle \sum _{k=1}^n}$nC${}_{n-1}^{k-1}$ (-a) n-kxk-1

=n (x-a) n-1.

解2 对fn (x) =xn- (x-a) n.

求导:f′n (x) =nxn-1-n (x-a) n-1.

∴f′n (n) =n[nn-1- (n-a) n-1].

当x≥a>0, f′n (x) >0, 则fn (x) =xn- (x-a) n是增函数;

当n≥a, (n+1) n- (n+1-a) n>nn- (n-a) n.

∴f′n+1 (n+1) = (n+1) [ (n+1) n- (n+1-a) n]> (n+1) [nn- (n-a) n].

该题目运用了导数与函数单调性的关系, 用导数来证明不等式, 对于学生全面分析问题、解决问题的能力是一个有效的考查.应该说本题的知识点不多, 但是如果学生没有用导数证明不等的思想方法, 那么这道题就比较复杂.

(四) 利用导数求解数列

例3 求和:4C${}_n^1$+5C${}_n^2$+…+ (n+3) C${}_n^n$.

解 由x3 (1+x) n=x3 (C${}_n^0$+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn) ,

可得x3 (1+x) n=C0nx3+C1nx4+C2nx5+…+Cnnxn+3.

两边同时对x求导,

可得3x2 (1+x) n+x3·n (1+x) n-1=3C0nx2+4C1nx3+5C2nx4+…+ (n+3) Cnnxn+2.

令x=1, 得

3·2n+n·2n-1=3C${}_n^0$+4C${}_n^1$+5C${}_n^2$+…+ (n+3) C${}_n^n$.

∴原式= (n+6) 2n-1-3.

如果将本题当做数列求和, 采用传统的方法进行求解, 则要求较高的技巧性, 而运用导数工具通过构造二项式来求解, 则显得新颖而别出心裁.

三、高中数学导数应用要注意的问题

(一) 突出教学模型思想

呈现教学内容时, 要遵循反映数学发展的规律以及学生的认知规律, 按照从特殊到一般、由具象到抽象顺序来领悟数学知识的发生和发展.

(二) 以问题为中心

通过提问教学法帮助学生构建理性思维模式, 充分发挥学生的学习主体性, 将老师的功能回归到“学习引导者”的地位上来.通过老师提问以及学生释疑的过程, 揭示出数学知识与思维过程的内在联系.

(三) 章节之间的呼应

因为导数涉及多个与其相关的知识, 所以要注意教材中各个章节之间的呼应和铺垫, 在内容上承前启后, 而方法则多种并用, 以达到精确与近似的互相转化、曲与直的对立统一、数与形的有机结合的境界.

总之, 导数引入中学数学教材后, 给传统的中学数学内容注入了新的生机与活力, 如何更好地利用导数这一工具来重新认识原中学课程中的有关问题并为解题提供新的途径和方法已经成为当今中学数学教学要面对的崭新课题.导数作为高中数学的重要内容, 近几年的高考试题每年都设置了一道导数解答题和客观题, 考查的重点是导数的应用, 我们对导数在数学解题中的运用做一个梳理和归纳无疑是必要的.

参考文献

[1]陈昌平.数学教育比较与研究[M].上海:华东师范大学出版社, 2002

[2]卢三国.从一道竞赛题谈导数在高中数学中的应用[J].数学教学通讯, 2005 (3)

[3]蒲永录.从高考命题看高中数学导数教学[J].青海师专学报, 2009 (2)

[4]刘明波.浅谈导数在高中数学中的应用[J].科技创新与节能减排, 2005 (7)