二阶线性微分方程

2024-11-11

二阶线性微分方程（精选9篇）

二阶线性微分方程篇1

微分方程的解析解不仅在理论上很关键，而且在工程技术上尤其显示其重要性．二阶线性微分方程是研究者常常碰到的一类方程，对于其解法，《高等数学》给出了二阶线性微分方程解的结构定理．然而，对于由二阶非齐次线性微分方程的解如何构造对应二阶齐次线性微分方程的解，学生们往往不易给出结论．因此，本文详细介绍二阶线性微分方程解的几种构造方法，并且阐明二阶非齐次线性微分方程与对应齐次线性微分方程的解的关系及构造法．

本文中，记二阶线性微分方程为

其中，p(x),q(x)和f(x)都是关于x的一元函数．若(1)中f(x)≠0，则称方程(1)为二阶非齐次线性微分方程;否则，称方程(1)为二阶齐次线性微分方程．

定理1设函数y*1=y*1(x)是y″+p(x)y'+q(x)y=f1(x)的解，函数y*2=y*2(x)是y″+p(x)y'+q(x)y=f2(x)的解，则函数y=k1y*1+k2y*2是

的解，其中k1,k2∈R.

由定理1，本文给出如下结论．

推论1设函数y*i=y*i(x)是y″+p(x)y'+q(x)y=fi(x)的解，i=1，…，l．则函数是方程的解，其中k1，…，kl∈R.

证明由题设知，对任意i∈{1，…，l}，有

于是，

由微分方程解的定义知，的解．

推论2设函数y*i=y*i(x)是方程(1)的解，则函数y=∑l i=1kiy*i(x)也是方程(1)的解，其中k1，…，kl∈R.

推论3设函数y*i=y*i(x)是方程(1)的解，则函数是方程y″+p(x)y'+q(x)y=0的解，其中k1，…，kl∈R.

推论2指出，由微分方程(1)的有限个解可构造方程(1)的新解;推论3指出，由微分方程(1)的有限个解可构造与(1)对应齐次线性微分方程的解．特别地，函数y=y*1-y*2是方程y″+p(x)y'+q(x)y=0的解．

定理2设y=y1(x)与y=y2(x)是方程y″+p(x)y'+q(x)y=0的解，y1(x)与y2(x)线性无关，则y=c1y1(x)+c2y2(x)是y″+p(x)y'+q(x)y=0的通解，其中c1,c2∈R.

定理3设y=y1(x)是方程y″+p(x)y'+q(x)y=0的通解，y=y*(x)是方程(1)的特解，则y=y1(x)+y*(x)是方程(1)的通解．

例1设函数y=ex、y=sinx与y=cosx是y″+p(x)y'+q(x)y=f(x)的解，试给出方程y″+p(x)y'+q(x)y=0的通解，并且给出y″+p(x)y'+q(x)y=f(x)的通解．

解由推论3知，函数y=ex-sinx、y=ex-cosx都是y″+p(x)y'+q(x)y=0的解．由定理2知，y=c1(ex-sinx)+c2(ex-cosx)是方程y″+p(x)y'+q(x)y=0的通解．由定理3及推论2知，是y″+p(x)y'+q(x)y=f(x)的通解．

参考文献

[1]周义仓,靳祯,秦军林.常微分方程及其应用.科学出版社,2010(2).

[2]同济大学数学系.高等数学(第六版上册).高等教育出版社,2007(4).

二阶线性微分方程篇2

二阶变系数线性微分方程的一个可积类型

对变系数线性微分方程进行了研究, 通过函数变换, 将满足一定条件的`二阶变系数线性微分方程转化为可积的线性微分方程进而求其通解. 从而找到了二阶变系数线性微分方程的一个新的可积类型.

作者：胡劲松 HU Jin-song 作者单位：西华大学数学与计算机学院,四川成都,610039刊名：西南民族大学学报(自然科学版) ISTIC英文刊名：JOURNAL OF SOUTHWEST UNIVERSITY FOR NATIONALITIES(NATURAL SCIENCE EDITION)年，卷(期)：200834(5)分类号：P642关键词：二阶变系数线性微分方程函数变换通解

关于二阶微分线性方程的教学篇3

其中p (x) , q (x) 均为已知函数.

函数y=y0称为方程 (1) 的解, 如果它使得下式成立

1 解的存在性

引理1在区间[a, b]上, 如果方程 (1) 中函数p (x) 连续可导, 而函数q (x) 连续, 则该方程存在解.

证作函数

设区域

其中d是正的常数.则在区域D内, 有

可见函数f (x, u) 满足Lipschitz条件, 于是由常一阶微分方程解的存在性定理知, 方程

存在连续可微解u=u (x) .令

则由上式得

再令r2 (x) =p (x) -r1 (x) , 则有

现在作如下两个方程

由引理1知, 它们均存在解, 设它们的解依次为y1=y1 (x) , y=y (x) 则得

所以这个y=y (x) 也是方程 (1) 的解, 证毕现在考察非齐次二阶微分线性方程, y"+p (x) y'+q (x) y=f (x) , (2)

其中中p (x) , q (x) 均为已知函数, f (x) 是非零连续函数。

方程 (1) 也称为方程 (2) 所对应的齐次线性方程。

函数y=y0 (x) 称为方程 (2) 的解, 如果它使得下式成立

定理1如果齐次二阶微分线性方程 (1) 存在两个线性无关的解

则非齐次二阶微分线性方程 (2) 的通解可以写为

其中C1, C2均为常数, 不定积分上标x表示积分结果中的自变数s换为x.

证将表达式为式 (3) 的函数y代入方程 (2) 验证, 可知其为解;而方程 (2) 的任何两个解之差是方程 (1) 的解, 所以表达式为式 (3) 的函数y是方程 (2) 的通解, 证毕

下面介绍通解表达式 (3) 的求得方法, 用常数变易法, 由条件, 得方程 (1) 的通解为

其中c1, c2均为常数, 设方程 (2) 的解为

其中c1 (x) , c2 (x) 均为待定函数, 为了便于计算, 令

则

用以上四个等式, 得

从而得

于是, 由式 (5) 与上式解得

将上面两式积分, 得

将这两式代入式 (4) , 整理即可得式 (3) .

参考文献

[1]S.G.Mikhlin.Linear Equations of Mathematical Physics[M].Holt, Rinehart and Winston, NewYork, 1967:12

[2]I.Stakgold.Boundary Value Problems of Mathematical Physics[M].Macmillan, New York, 1967:123

[3]U.E.Boyce, R.C.Diprima, Elementary Differential Equations andBoundary Value Problems[M].John Wiley&Sons, inc.1986:32

[4]U.T.Myin, L.Debnarh.Partial Differential Equations for Scientistsfor Engineers (Third edition) [M].Prentice Hall, Englewood, Nj, 1987:24

二阶线性微分方程篇4

一类二阶非线性泛函微分方程的振动性

考虑一类二阶非线性泛函微分方程,得到了方程的`解的导数振动的一个充分条件,推广和改进了Lee和Yeh的相关结论.

作者：郭建敏姚美萍 GUO Jian-min YAO Mei-ping 作者单位：郭建敏,GUO Jian-min(山西大学,数学科学学院,太原,030006;大同大学,数学与计算机科学学院,大同,037008)

姚美萍,YAO Mei-ping(山西大学,数学科学学院,太原,030006)

刊名：数学的实践与认识 ISTIC PKU英文刊名：MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY 年，卷(期)： 37(17) 分类号：O1 关键词：泛函微分方程非线性振动

二阶线性微分方程篇5

在《高等数学》课程中, 常微分方程的基本解法是课程的重要部分, 这部分内容的难点集中在二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法[1,2]. 笔者在教学中发现很多学生对这种方程的特解公式难以掌握, 又由于计算量较大, 许多学生即使掌握了求特解的公式, 但在计算待定系数时错误仍然较多. 例如求系数的代数方程列错, 或代数方程列对, 但结果求错.

本文介绍二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法, 归纳记忆特解公式的几个原则, 并提出求待定系数的简化公式法. 利用简化公式法, 更容易得到待定系数的代数方程.

2. 特解公式及其记忆原则

二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为

其中p, q为常数, f ( x) 为非齐次项, 或称为自由项, 不恒等于0. 下面介绍f ( x) 为多项式、指数函数 ( 以e为底) 、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法.

其解法是先求对应齐次方程y″ + py' + qy = 0 的通解Y, 再求方程 ( 2. 1) 的一个特解y* , 则 ( 2. 1) 的通解为y = Y +y* . 对于齐次方程的通解Y的求法, 本文不作介绍. 我们只介绍 ( 2. 1) 的特解y* 的求法.

对于f ( x) = Pm ( x) ekx的二阶常系数非齐次线性微分方程 ( 2. 1) , 可设特解为y* = xsQm ( x) ekx, 其中Qm ( x) 是和Pm ( x) 同次 ( m次) 的系数待定的多项式, s的取值为

对于f ( x) = eαx[Pm1 ( x) cosβx + Pm2 ( x) sinβx], 同样用待定系数法, 可设 ( 2. 1) 的一个特解为y* = xseαx[Ql ( x) cosβx + Rl ( x) sinβx],

其中l = max{ m1, m2} , Ql ( x) , Rl ( x) 为l次系数待定的多项式, s的取值为

求特解y* 的关键是如何正确设出y* 的形式. 初学者常常设错, 为此我们归纳设y* 的几个基本原则.

原则一: 与自由项形式相同原则

该原则是指, 当k或 α ± βi不是方程的特征根, 则所设特解y* 与自由项f ( x) 的形式相同.

例如, 若0 不是方程的特征根且f ( x) = x3+ 1, 则设y*=Ax3+Bx2+Cx+D;

若5不是方程的特征根且f (x) =4e5x, 则设y*=Ae5x;

若2不是方程的特征根且f (x) =e2x (x2-1) , 应设y*=e2x (Ax2+Bx+C) ;

若 ± 4i不是方程的特征根且f ( x) = sin4x, 应设y* =Acos4x + Bsin4x; 等等.

原则二: 乘以x或x2的原则

若k或 α ± βi为方程的单特征根, 则所设的特解中除了包含与自由项形式相同的部分, 还应乘以x; 若k或 α ± βi为方程的二重特征根, 则所设的特解中除了包含与自由项形式相同的部分, 还应乘以x2.

原则三: 叠加原理求特解原则

该原则是指: 若自由项较为复杂, 应将自由项拆成若干Pm ( x) ekx和eαx[Pm1 ( x) cosβx + Pm2 ( x) sinβx]的形式和, 从而将方程拆成若干个简单 ( 即自由项为以上两种情况) 的二阶常系数非齐次线性微分方程, 每个简单方程分别求出特解, 则原方程的特解即为这些简单方程特解的和.

例如, 若f ( x) = f1 ( x) + f2 ( x) 且f1 ( x) , f2 ( x) 都是Pm ( x) ekx或eαx[Pm1 ( x) cosβx + Pm2 ( x) sinβx]的形式, 则先分别对f1 ( x) , f2 ( x) 求出特解y1*, y2*. 利用叠加原理, 其和y1*+ y2*为f ( x) 的特解.

原则一和原则二说明, 方程 ( 2. 1) 的一个特解的形式常从自由项f ( x) 的形式推出. 从本质上讲, 这整个工作只不过是作一种巧妙的猜测, 其中包含足够多的待定系数供调配, 以适合各类函数的要求.

3. 求待定系数的简化公式法

设非齐次方程的特解y*的形式掌握后, 剩下的就是计算问题. 但由于计算量较大, 初学者错误较多, 一般错误集中在求系数的代数方程列错. 下面我们提出求待定系数的简化公式法, 利用该方法, 可更为便捷地计算待定系数.

假设方程 ( 2. 1) 的自由项f ( x) = G ( x) ekx, 其中G ( x) 是没有指数形式的x的函数. 设y*= H ( x) ekx为方程 ( 2. 1) 的一个特解, 其中H ( x) 是x的待定函数.

将y*= H ( x) ekx代入方程 ( 2. 1) 进行计算并消去ekx≠0, 得

要得到原方程的特解y*, 即要求出H ( x) , 而这只需比较 ( 3. 1) 左右两端的系数.

因此, 当我们设好了特解y*, 无须把y*代入原方程, 只要确定了y*中的H ( x) , 将H ( x) 直接代入 ( 3. 1) 式即可. 用公式 ( 3. 1) 的优点在于, 不需要把y*中的指数函数ekx代入原方程求导, 这极大简化了中间计算过程. 而且当k是方程的特征根, 还可以更加简单. 在计算时, 按照k可以分成三种情况:

( 1) 如果k是方程的二重特征根, 那么k2+ pk + q = 0 且2k + p = 0, 此时 ( 3. 1) 式简化为H″ ( x) = G ( x) .

( 2) 如果k是方程的单重特征根, 那么k2+ pk + q = 0, 但2k + p≠0, 此时 ( 3. 1) 式简化为H″ ( x) + ( 2k + p) H' ( x) =G ( x) .

( 3) 如果k不是方程的特征根, 那么k2+ pk + q ≠0 且2k + p≠0, 此时 ( 3. 1) 式不能简化.

例3 求微分方程y″ + 4y' + 3y = xe- 3x的通解.

一般解法: 特征方程r2+ 4r + 3 = 0, 解得r1= - 1, r2=- 3, 所以原方程对应的齐次方程通解为Y = C1e- x+ C2e- 3x.再求原方程的一个特解y*. 因为原方程自由项为f ( x) =xe- 3x, 而- 3 是特征方程的单根, 故可设特解形式为y*=xe- 3x ( Ax + B) , 其中A, B为待定系数. 将y*= xe- 3x ( Ax + B) 代入原方程. 为此, 需先计算

再将 ( y*) '和 ( y*) ″代入原方程, 得

化简, 得e-3x (-4Ax-2B+2A) =xe-3x,

亦即-4Ax-2B+2A=x.

由2A - 2B = 0, - 4A = 1, 得

所以原方程的通解为

可以看到, 设好特解y*后, 求 ( y*) '和 ( y*) ″的计算量很大. 下面我们利用公式 ( 3. 1) 的方法来进行计算.

简化公式法: 求对应齐次方程的通解Y和设原方程的一个特解y*= xe- 3x ( Ax + B) 与一般解法一样, 我们此处不再赘述. 下面我们来计算A和B. 为利用公式 ( 3. 1) , 先找出G ( x) = x, H ( x) = Ax2+ Bx, k = - 3, p = 4, q = 3. 因为k =- 3 是特征方程的单根, 故公式 ( 3. 1) 为H″ ( x) + ( 2k + p) H' ( x) = G ( x) ,

即2A+ (-6+4) (2Ax+B) =x,

亦即-4Ax+2A-2B=x.

接下来的解法与一般方法一样, 通过比较系数求得, 从而.所以原方程的通解为

4. 结论

从第3 节例子可以看到, 一般解法中将y*代入原方程的计算量往往非常大. 大部分学生都只能设出特解, 解不出待定系数或解出的结果有误.

利用简化公式法, 可以避开求 ( y*) '和 ( y*) ″的过程, 而是计算更简单的H″ ( x) , H' ( x) , 这将使计算量大为减少.在教学中我们发现, 采用简化公式 ( 3. 1) , 大部分学生都能算正确结果.

参考文献

[1]张效成, 刘克勤, 孙凤芝.高等数学 (下) [M].北京:北京邮电大学出版社, 2012:242-248.

[2]陈新明, 胡新姣.常系数线性非齐次微分方程的简单解法[J].大学数学2008, 3:156-159.

[3]赵志勇, 薛运华.高等数学习题课讲义 (下) [M].天津:南开大学出版社, 2008:190-194.

二阶线性微分方程篇6

关键词：脉冲,时滞,非线性

一、引言

二、主要结论

引理1假设

其中p, q∈C (R+, R) , dk≥0, dk, bk是实常数, 则下列不等式成立

注:如果不等式 (3) , (4) 中的不等号反向, 则不等式 (5) 中的不等号也反向。

引理2令方程 (1) 的解为x (t) , 假设存在T≥t0, 对于t≥T-τ有x (t) >0, 且满足以下条件: (i) 前言中的假设条件H1, H2, H3成立;

则x′ (tk) ≥0, x′ (t) ≥0, t∈[tk, tk+1], tk≥T.

证明:因为t≥T-τ时x (t) >0, 所以t≥T时有x- (t-τ) >0.首先, 对于tk≥T有x′ (tk) ≥0, 否则存在某个-j, tj≥T有x′ (tj) <0.

有方程 (1) 和假设条件H3, 可得

令x′ (t) j=α, (α>0) , 由假设条件H2知

‘因此, 在区间[tj+i-1, tj+i) 上, (i=1, 2, …) , 函数单调递减, 则

考虑脉冲微分不等式

令, 则上式可以转化为

由引理1可知:

又因为

再次由引理1可得,

由方程 (1) 和前言中的假设条件H1, H2可得,

由引理1知,

当时, 则

当t2-t1>τ时, 可以得到不等式

同理, 由数学归纳法可知

参考文献

[1]杨甲山.具有正负系数的二阶中立型方程的振动性定理[J].华东师范大学学报 (自然科学版) , 2011, (02) .

[2]程祥凤, 孙一冰, 刘雪艳, 等.二阶具混合非线性时滞微分方程的振动性[J].聊城大学学报 (自然科学版) , 2011, (02) .

[3]孙一冰, 韩振来, 李同兴.二阶拟线性中立型动力方程振动准则[J].济南大学学报 (自然科学版) , 2010, (03) .

[4]张全信, 高丽, 俞元洪.偶阶半线性中立型分布时滞微分方程的振动性[J].应用数学学报, 2011, (05) .

二阶非线性阻尼差分方程的振动性篇7

近年来,差分方程解的振动性的研究发展相当迅速,其中以二阶非线性差分方程最受人们关注,并得到了一些很好的结果,参见文[1-9].本文主要是讨论二阶非线性差分方程

其中n=0,1,2,…,τ,σ,是非负整数,γ是两个正奇数之商,Δ表示向前差分算子,Δ(xn)xn-1-xn.

下面是方程(1)的一些特殊形式

方程(2)-(4)振动准则可见[8,9,3],但对于方程(1)振动性质,目前这方面的结果还很少.本文主要是研究方程(1)的振动性,借助于Riccati变换以及求和均值方法得到了方程(1)振动性的充分条件,推广了现有的许多结果。

定义1方程(1)的一个非平凡解是指这样的一个实数列,其中N=max{τ,σ},它满足方程(1),对所有的m≥-N成立。

定义2方程(1)的一个非平凡解称为非振动的,若它最终为正或最终为负,否则称它为振动的。方程(1)称为振动的,如果它的每个解都是振动的。

2主要结果

在这部分我们总假设an,bn,pn为实数列,满足下列条件:

(H2)f(n,u):Z×R→R,f(n,u)关于u∈R是连续函数,uf(n,u)>0,存在qn>0,使得f(n,u)≥qnuγ.

引理1假设条件(H1)和(H2)成立,xn是方程(1)的一个非振动解,那么存在n1≥n0∈N,使得znΔzn>0,n≥0,n≥n1.

证明不失一般性,不妨设xn是方程(1)的最终正解.我们可设对所有的成立。令zn=xn+pnxn-τ,则zn>0,n≥n0.我们断定Δzn为最终正的,若不然,则存在n1≥n0使得Δzn1<0或者Δzn1=0.若Δzn1<0,由方程(1)和(H2)可得Δ(an1(Δzn1+1)γ)=-bn1(Δzn1)γ-f(n1,xn1-σ)≤-bn1(Δzn1)γ,进而an1+1(Δzn1+1)γ-an1(Δzn1)γ≤-bn1(Δzn1)γ,an1+1(Δzn1+1)γ≤(an1-bn1)(Δzn1)γ.

我们可得Δzn1+1<0,由数学归纳法可得Δzn<0,n≥n1.

若,由方程(1)可得,同理可得Δzn<0,n≥n1.无论是还是,我们都可以得到Δzn<0,n≥n1.令un=-an(Δzn)γ,n≥n2≥n1,则,由上式可得,即

对(5)式从n2到n-1求和,可得,根据条件(H1)可得zn→-∞,n→∞,此与zn>0矛盾,所以Δzn>0.类似地可以证明xn为最终负解的情形,证毕。

定理1假设(H1)和(H2)成立,并且存在两个正的实数列{ρn} 和{φn},对某个n0>0,使得,

其中,Δ+φn=max{0,Δφn},Δ+ρn=max{0,Δρn},则方程(1)是振动的。

证明不妨设xn是方程(1)的一个非振动解,不失一般性,可以假设xn>0,xn-τ>0,xn-σ>0,对所有的n≥n0>0成立.令zn=xn+PnXn-τ,则,zn>0,n≥n0.由引理1,存在n1≥n0∈N,使得znΔzn>0,n≥n1.

由(7)和(8)可得,

根据(10)—(12)可得,

根据积分中值定理,存在ξ∈(zn-σ,zn+1-σ),使得

由(9),(12)和(13),可得

其中λ=(γ+1)γ,(15)式两边同乘以φn,可得

对(16)式从n1到m-1求和可得

由(17)和(18)可得

,这与条件(6)矛盾,故假设不成立,我们完成了定理1的证明。

如果我们选取,则我们可以得到下面的判别标准:

推论1假设(H1)和(H2)成立,存在一个正的实数列ρnλn,对某个n0>0,使得,

其中Δ+ρn同定理1的定义,则方程(1)是振动的。

注1:显然,当bn=0,定理1和推论1即化为文[3]中的定理2.1和推论2.1.

例1考虑二阶非线性差分方程

摘要：研究了一类含有中立项和阻尼项二阶非线性差分方程,运用Riccati变换,获得了该方程一切解均为振动的若干新的振动准则,推广和改进了文[3]和[8]的主要结果。

关键词：振动性,二阶,差分方程

参考文献

[1]J.Jianchu,Oscillation criteria for second-order quasilinear neutral delay difference equations[J].Appl.Math.Comput,2002,(125):287-293.

[2]J.Jiang,Oscillation criteria for second-order nonlinear neutral delay difference equations,[J].Appl.Math.Comput,2003,(125):791-801.

[3]Y.G.Sun,New Oscillation criteria for second-order nonlinear neutral delay differenceequations[J].Appl.Math.Comput,2005,(163):909-918.

[4]B.G.Zhang,G.D.Chen,Oscillation of certain second order nonlinear difference equations[J].J.Math.Annal.Appl,1998,(199):872-883.

[5]S.H.Saker,New oscillation criteria for second-order nonlinear neutral delay differenceequations[J].Appl.Math.Comput,2003,(142):99-111.

[6]S.H.Saker,New oscillation criteria for second-order nonlinearneutral delay difference equations[J].Appl.Math.Comput,2003,(144):305-324.

[7]S.H.Saker,S.S.Cheng,Oscillation of second-order nonlinearneutral delay difference equations[J].Bull.Korean.Math.Soc,2003,(40):9489-501.

[8]S.H.Saker,S.S.Cheng,Oscillation criteria for difference equations with damping terms[J].Appl.Math.Comput,2004,(148):421-442.

二阶线性微分方程篇8

这里, 利用Leray-Schauder不动点定理考虑一类非线性项可变号的带一般微分算子的非线性带二阶周期边值问题 ( 3) - ( 4) 正解的存在性.

1. 预备知识及引理

假定:

( A1) g: [0, T]→ R连续;

( A2) f: (0, + ∞) → [0, + ∞) 连续;

( A3) 存在常数k > 1, 使得对任意的t ∈[0, T],

其中

g+ ( t) = max{ g ( t) , 0} , g- ( t) = max{ - g ( t) , 0} .

记C[0, 1]为[0, T]上全体连续函数构成的Banach空间, 对任意的u∈C[0, 1], 定义范数

引理1 ( Leray-Schauder不动点定理[2])

设E是Banach空间, 算子A: E → E全连续. 如果集合{ ‖u‖ | u ∈ E, u = θAu, 0 < θ < 1} 是有界的, 则算子A在E中的闭球T中必有不动点, 这里

T ={u u ∈ E, ‖u‖ ≤R},

R = sup {‖u‖ u = θAu, 0 < θ <1 }.

引理2设0 < δ < 1. 则存在> 0, 使得对任意的0 <λ <, 奇异边值问题

证明定义算子T: C[0, 1]→ C[0, 1]如下:

易证, 算子T是全连续的, 且T的非零不动点就是 ( 5) , ( 6) 的正解. 下面将利用Leray-Schauder不动点定理来证明: 当 λ 充分小时. 算子T至少存在一个不动点.

因f ( 0) > 0 且f连续, 所以存在 ε > 0, 使得

设u ∈ C[0, T]是同伦族方程u = θTu的解, 其中 θ ∈ ( 0, 1) . 则

因此 ‖u‖ ≠ Λλ. 注意到: 当 λ → 0 时, 利用Leray-Schauder不动点定理, T存在一个不动点-uλ满足‖u‖ ≤ Λλ< ε. 进而, 由

2. 主要结果的证明

定理1 假定 ( A1) , ( A2) , ( A3) 成立, 则存在 λ*> 0 使得: 当0 < λ < λ*时, 问题 ( 3) - ( 4) 至少存在一个正解.

证明由 ( A3) 可知, 存在正常数 α, γ ∈ ( 0, 1) 使得对任意的s ∈ [0, α], t ∈[0, T]有

取 δ∈ (γ, 1) , 则一定存在 λ*∈ (0, ) , 使得当 λ < λ*时, 有以下两条件同时成立:

(1) ‖‖+λδf (0) ‖η+‖≤α, 其中是 (5) (6) 的一个正解;

(2) 对任意的x, y ∈ [- α, α], x - y ≤ λ*δf ( 0) ‖η+‖, 有 ( 7) .

当λ<λ*时, 设问题 (3) - (4) 有形如+vλ的解uλ.则vλ必须满足

定义算子T: C[0, 1]→ C[0, 1],

易证 Γ 是全连续的. 设v ∈ C[0, T]同伦族方程v = θΓv的任意一个可能解, 其中 θ ∈ ( 0, 1) . 则有下证 ‖v‖ ≠λδf ( 0) ‖η+‖. 反设 ‖v‖ = λδf ( 0) ‖η+‖. 则有

且

在结合 ( 8) 和 ( 13) 可得

特别地

由用Leray-Schauder不动点定理可得, 算子 Γ 有一个不动点vλ, 且 ‖v ( t) ‖ ≤ λδf ( 0) ‖η+ ( t) ‖.

由引理3. 1 和 ( 14) 可知, 对任意的t ∈[0, T]

因此, uλ是问题 ( 3) - ( 4) 的一个正解.

摘要：利用Leray-Schauder不动点定理, 研究了一类非线性项可变号的带一般微分算子的非线性带二阶周期边值问题正解的存在性.

关键词：周期边值问题,正解,Leray-Schauder不动点定理

参考文献

[1]马如云.非线性微分方程非局部问题[M].北京:科学出版社, 2004.

[2]LI X, ZHONG Z.periodic solutions for differential equation with a weak repulsive sigularity[J].Nonlinear.Analysis, 2009, 70:2395-2399.

[3]MA R.Existence of Positive solutions of a fourth-order boundary value problem[J].Comput.Appl.Math, 2005, 168:1219-1231.

[4]HENDERSON J, WANG H.Positive solutions for nonlinear eigenalue problems[J].Math.Anal.Appl, 1997, 208:252-259.

[5]JIANG D.On the existence of positive solutions to second order periodic BVPs[J].Acta.Math.Scientia.1998, 18:31-35.

[6]GRAEF J, KONG L, WANG H.Existence, multiplicity, and dependence on a parameter for a periodic boundary value problems[J].Diff.Eqns.2008, 245:1185-1197.

[7]XU J, MA R.Bifurcation from interval and positive solutions for second order periodic boundary value problem[J].Comput.Appl.Math.2010, 16:2463-2471.

一类二阶振动矩阵方程的求解篇9

在大柔性结构空间、地震工程、机器人、航空航天等很多工程应用领域, 经常会遇到处理二阶动力学系统的振动控制问题[1,2,3], 该系统的动态方程可记为

$\ddot{q} + A \dot{q} + C q = B u$ (1)

式 (1) 中A, C∈Rn×n 和 B∈Rn×r是系统参数矩阵;q∈Rn, $\dot{q} \in R^{n}$ 和 $\ddot{q} \in R^{n}$ 分别是系统的相对位移、速度和加速度向量;u∈Rr是系统的输入向量。

而二阶动力学系统 (1) 的许多基本控制问题, 如观测器、极点配置及特征结构配置[4,5,6,7,8,9,10,11,12,13]等控制问题均与式 (2) 有关:

VJ2+AVJ+CV=BW (2)

式 (2) 中A, C∈Rn×n 和 B∈Rn×r如前述;J∈Cm×m为已知矩阵;V∈Cn×m 和 W∈Cr×m待求。本文中方程 (2) 称为二阶振动矩阵方程。

本文约定, 任何向量 xi∈Cn, i=1, 2, …, m, 可简记为 ${x_{i}}$ , 且记按下述方式构成的矩阵为X=[xi]n×m:

$X = [\begin{matrix} x_{1} & x_{2} & \dots & x_{m} \end{matrix}]$ (3)

1 方程求解

本文考虑的主要问题是求解二阶振动矩阵方程式 (2) 。不失一般性, 仅考虑方程式 (2) 中J为若当对角标准型的情形。当J为一般矩阵时, 总可以通过适当变换将其化为若当对角标准型, 不妨记矩阵J的特征值为si, i=1, 2, …, m。

当二阶动力学系统式 (1) 完全可控时[4], 即

rank[s2I+sA+CB]=n, ∀s∈C (4)

成立, 则称矩阵组 (A, B, C) 为可控。当条件式 (4) 满足时, 则存在单模阵P (s) ∈Rn×n和Q (s) ∈R (n+r) × (n+r) 使得式 (5) 成立:

$Ρ (s) [s^{2} Ι + s A + C B] Q (s) = [\begin{matrix} 0 & Ι \end{matrix}]$ , ∀s∈C (5)

对矩阵Q (s) 如下分块:

$Q (s) = [\begin{matrix} Q_{11} (s) & Q_{12} (s) \\ Q_{21} (s) & Q_{22} (s) \end{matrix}] ‚$

Q11 (s) ∈Rn×r, Q21 (s) ∈Rr×r (6)

定理1 假设矩阵组 (A, B, C) 可控, 则二阶振动矩阵方程式 (2) 的全部解由V=[vi]n×m和W=[wi]r×m给出, 其中 ${v_{i}}$ 和 ${w_{i}}$ 由式 (7) 给出:

$[\begin{matrix} v_{i} \\ w_{i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} Q_{11} (s_{i}) \\ - Q_{21} (s_{i}) \end{matrix}] f_{i}$

, i=1, 2, …, m (7)

式 (7) 中{fi}∈Cr是一组自由参量。

证明将矩阵方程式 (2) 写成如下等价形式

(s2iI+Asi+C) vi-Bwi=0, i=1, 2, …, m (8)

首先证明式 (7) 中vi和wi是方程式 (2) 的解。由式 (7) 和式 (8) 可得

$(s_{i}^{2} Ι + A s_{i} + C) v_{i} - B w_{i} = [s_{i}^{2} Ι + A s_{i} + C B] [\begin{matrix} v_{i} \\ - w_{i} \end{matrix}] =$

$\begin{array}{l} p^{- 1} (s_{i}) [0 Ι] Q^{- 1} (s_{i}) [\begin{matrix} v_{i} \\ - w_{i} \end{matrix}] = \\ p^{- 1} (s_{i}) [0 Ι] Q^{- 1} (s_{i}) Q (s_{i}) [\begin{array}{l} f_{i} \\ 0 \end{array}] = \end{array}$

$p^{- 1} (s_{i}) [0 Ι] [\begin{array}{l} f_{i} \\ 0 \end{array}] = 0$

。

也即式 (7) 成立。

下面证明方程式 (8) 的解均可由式 (7) 给出, 即完备性证明。

在式 (8) 两端分别左乘P (si) , 可得

$Ρ (s_{i}) [s_{i}^{2} Ι + A s_{i} + C B] [\begin{matrix} v_{i} \\ - w_{i} \end{matrix}] = 0$

将式 (6) 代入上式, 则有

$[\begin{matrix} 0 & Ι \end{matrix}] Q^{- 1} (s_{i}) [\begin{matrix} v_{i} \\ - w_{i} \end{matrix}] = 0$

。

记

$[\begin{matrix} f_{i} \\ e_{i} \end{matrix}] = Q^{- 1} (s_{i}) [\begin{matrix} v_{i} \\ - w_{i} \end{matrix}]$

(9)

则式 (9) 等价于

$[\begin{matrix} 0 & Ι \end{matrix}] [\begin{matrix} f_{i} \\ e_{i} \end{matrix}] = 0$

故有

ei=0。

从而式 (9) 等价于

$[\begin{matrix} f_{i} \\ 0 \end{matrix}] = Q^{- 1} (s_{i}) [\begin{matrix} v_{i} \\ - w_{i} \end{matrix}]$

。

将上式两端同乘以Q (s) , 则有

$[\begin{matrix} v_{i} \\ - w_{i} \end{matrix}] = Q (s_{i}) [\begin{matrix} f_{i} \\ 0 \end{matrix}]$

。

并将式 (6) 代入上式, 则有

$[\begin{matrix} v_{i} \\ - w_{i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} Q_{11} (s) & Q_{12} (s) \\ Q_{21} (s) & Q_{22} (s) \end{matrix}] [\begin{matrix} f_{i} \\ 0 \end{matrix}]$

。

将上式展开, 可知式 (7) 成立。通过上述两方面的证明, 该定理证毕。

当矩阵组 (A, B, C) 可控时, 存在单模阵P (s) 和Q (s) 满足式 (5) , 不妨对矩阵Q (s) 的分块如下标记:

$Q (s) = [\begin{matrix} Ν_{1} (s) & Ν_{2} (s) \\ D_{1} (s) & D_{2} (s) \end{matrix}]$

其中

N1 (s) ∈Cn×r, N2 (s) ∈Cn×n,

D1 (s) ∈Cr×r, D2 (s) ∈Cr×n,

则式 (5) 等价于

$[s^{2} Ι + s A + C B] [\begin{matrix} Ν_{1} (s) & Ν_{2} (s) \\ D_{1} (s) & D_{2} (s) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & Ρ^{- 1} (s) \end{matrix}]$

显然下式成立

(s2I+sA+C) N1 (s) -B (-D1 (s) ) =0,

(s2I+sA+C) N2 (s) +BD2 (s) =P-1 (s) ,

从而可得到满足下述右互质分解表达式

(s2I+sA+C) -1B=N (s) D (s) -1, ∀s∈C

(10)

的互素矩阵N (s) 和D (s) 分别为

N (s) =N1 (s) , D (s) =-D1 (s) (11)

通过引入右互质分解, 由定理可推导出下述推论。

推论1 假设矩阵组 (A, B, C) 可控, 则二阶振动矩阵方程 (2) 的全部解由V=[vi]n×m和W=[wi]r×m给出, 其中 ${v_{i}}$ 和 ${w_{i}}$ 由式 (12) 给出:

$[\begin{matrix} v_{i} \\ w_{i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} Ν (s_{i}) \\ D (s_{i}) \end{matrix}] f_{i}$

(12)

式 (12) 中{fi}∈Cr是一组自由参量。

定理1和推论1均给出了二阶振动矩阵方程式 (2) 解的参数化表达式, 针对该解作如下说明:

说明1:自由参量组{fi}∈Cr代表了方程式 (2) 的解矩阵V和W中的全部自由度, 其个数为m×r。通过适当选取 ${f_{i}}$ , 可以得到方程式 (2) 的具有某些特殊性质的解。

说明2:利用定理1求解二阶振动矩阵方程式 (2) 时, 只需利用矩阵初等变换求解满足 (5) 的单模阵P (s) 和Q (s) , 然后由公式 (7) 便可以给出矩阵V和W的各列。

说明3:利用推论1求解二阶振动矩阵方程式 (2) 时, 只需求解满足式 (3) 的右互素矩阵N (s) 和D (s) , 然后由公式 (12) 便可以直接给出矩阵V和W的各列。

2 求解算法

根据定理1, 可得二阶振动矩阵方程式 (2) 的求解算法, 简记为算法1, 其对应各步骤如下。

1) 计算矩阵[s2I+sA+CB]的秩是否满足条件式 (4) , 即验证系统的可控性。如果系统可控, 继续下述各步骤;

2) 计算满足式 (5) 的单模阵P (s) ∈Rn×n和Q (s) ∈R (n+r) × (n+r) ;

3) 对步骤2) 所得矩阵Q (s) 进行分块, 形如式 (6) ;

4) 给出向量fi∈Cr, i=1, 2, …, m的数值或参量表示;

5) 利用式 (7) 分别计算矩阵列向量vi和wi, i=1, 2, …, m;

6) 将步骤5) 中的矩阵列向量写成矩阵形式, 便得矩阵V和 W。

根据推论1, 可得二阶振动矩阵方程的另外一种求解算法, 简记为算法2, 其对应各步骤如下。

1) 计算矩阵[s2I+sA+CB]的秩是否满足条件 (4) , 即验证系统的可控性。如果系统可控, 继续下述各步骤;

2) 计算满足式 (5) 的单模阵P (s) ∈Rn×n和Q (s) ∈R (n+r) × (n+r) ;

3) 对步骤2) 所得矩阵Q (s) 进行分块, 形如式 (6) ;

4) 标记Q (s) 的分块矩阵, 形如式 (11) ;

5) 给出向量fi∈Cr, i=1, 2, …, m的数值或参量表示;

6) 利用式 (12) 分别计算矩阵列向量vi和 wi, i=1, 2, …, m;

7) 将步骤6) 中的矩阵列向量写成矩阵形式, 便得矩阵V和 W。

3 数值算例

研究如图1所示的三级质量弹簧系统[4], 其对应的二阶振动矩阵方程 (2) 中的参数矩阵为

$A = [\begin{matrix} - 2.5 & 0.5 & 0 \\ 0.5 & - 2.5 & 2 \\ 0 & 2 & - 2 \end{matrix}]$

$C = [\begin{matrix} - 10 & 5 & 0 \\ 5 & - 25 & 20 \\ 0 & 20 & - 20 \end{matrix}]$

$B = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]$

。

容易验证矩阵组 (A, B, C) 可控;利用矩阵初等变换求得满足式 (5) 的单模阵P (s) =I3和

$\begin{array}{l} Q (s) = \\ \begin{matrix} [\begin{matrix} \frac{1}{4} - \frac{1}{40} s + \frac{1}{100} s^{2} & - 4 & 0 & \frac{1}{4} - \frac{1}{50} s & 0 \\ \frac{1}{200} s - \frac{1}{20} & 0 & 0 & \frac{1}{100} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ α & β & 1 & γ & 0 \\ \frac{1}{100} (s + 10)^{2} & s^{2} + 2 s + 20 & 0 & \frac{1}{50} s - \frac{1}{5} & 1 \end{matrix}] \end{matrix} \end{array}$

其中: $α = - \frac{1}{100} s^{4} + \frac{1}{20} s^{3} + \frac{29}{100} s^{2} - \frac{33}{40} s - \frac{9}{4}, β = 4 s^{2} - 10 s - 40, γ = \frac{1}{50} s^{3} - \frac{3}{10} s^{2} + \frac{21}{50} s + \frac{49}{20}$

从而由式 (11) 可知满足式 (10) 的既约分解矩阵为

$Ν (s) = [\begin{matrix} \frac{1}{4} - \frac{1}{40} s + \frac{1}{100} s^{2} & - 4 \\ \frac{1}{200} s - \frac{1}{20} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$

和

$D (s) = [\begin{matrix} A & - 4 s^{2} + 10 s + 40 \\ - \frac{1}{100} (s + 10)^{2} & - s^{2} - 2 s - 20 \end{matrix}]$

。

式中 $A = \frac{1}{100} s^{4} - \frac{1}{20} s^{3} - \frac{29}{100} s^{2} + \frac{33}{40} s + \frac{9}{4}$

假设矩阵J的特征值分别为

s1=-2, s2=-3, s3=-4, s4=-5,

此时矩阵J阵为下述若当对角标准型:

J=diag $(\begin{matrix} - 2 ‚ & - 3 ‚ & - 4 ‚ & - 5 \end{matrix})$ 。

由算法2可知, 此时方程式 (2) 的解矩阵为

$V = [\begin{matrix} Ν (s_{1}) f_{1} & Ν (s_{2}) f_{2} & Ν (s_{3}) f_{3} & Ν (s_{4}) f_{4} \end{matrix}]$ ,

和

$W = [\begin{matrix} D (s_{1}) f_{1} & D (s_{2}) f_{2} & D (s_{3}) f_{3} & D (s_{4}) f_{4} \end{matrix}]$ 。

记

$f_{1} = [\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \end{matrix}]$

$f_{2} = [\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \end{matrix}]$

$f_{3} = [\begin{matrix} x_{3} \\ y_{3} \end{matrix}]$

$f_{4} = [\begin{matrix} x_{4} \\ y_{4} \end{matrix}]$

。

则方程式 (2) 的矩阵通解为

$V = [\begin{matrix} A 1 \\ - \frac{1}{25} x_{1} \\ y_{1} \end{matrix} \begin{matrix} A 2 & A 3 & A 4 \\ - \frac{7}{200} x_{2} & - \frac{3}{100} x_{3} & \frac{1}{40} x_{4} \\ y_{2} & y_{3} & y_{4} \end{matrix}]$

。

式中 $A 1 = - \frac{4}{25} x_{1} - 4 y_{1} ‚ A 2 = - \frac{17}{200} x_{2} - 4 y_{2} ‚ A 3 = \frac{1}{100} x_{3} - 4 y_{3} ‚ A 4 = \frac{1}{8} x_{4} - 4 y_{4}$ 。

和

$W = [\begin{matrix} 4 y_{1} & B 2 & B 3 & B 4 \\ C 1 & C 2 & C 3 & C 4 \end{matrix}]$

。

式中 $B 2 = - \frac{27}{40} x_{2} - 26 y_{2} ‚ B 3 = \frac{7}{100} x_{3} - 64 y_{3} ‚ B 4 = \frac{27}{8} x_{4} - 110 y_{4} ‚ C 1 = - \frac{16}{25} x_{1} - 20 y_{1} ‚ C 2 = - \frac{49}{100} x_{2} - 23 y_{2} ‚ C 3 = - \frac{9}{25} x_{3} - 28 y_{3} ‚ C 4 = - \frac{1}{4} x_{4} - 35 y_{4}$ 。