二阶相关

二阶相关（精选7篇）

二阶相关 篇1

摘要：提出了一种基于vine copula函数的二阶可靠性分析方法(VC-SORM),为存在复杂多维相关性的结构可靠性分析提供了有效手段。通过vine copula函数将随机向量多维概率分布函数转换为多个二维copula函数,基于极大似然估计法和AIC信息准则对各二维copula函数进行最优化选择,从而构建出联合概率分布函数,并进行一阶可靠性分析;在一阶可靠性分析的基础上,对功能函数进行二阶近似,获得精度更高的可靠性分析结果。最后通过两个数值算例验证了该方法的有效性。

关键词：结构可靠性,vine copula函数,二阶可靠性分析方法,参数相关性

0 引言

在结构可靠性分析领域,通常使用概率模型描述载荷、材料属性、结构尺寸等存在的不确定性。基于概率模型,已发展出了一系列有效的可靠性分析方法,如一次二阶矩法(first order reliability method,FORM)[1]、二次二阶矩法(second order reliability method,SORM)[2]、体系可靠性分析[3]、响应面法[4]、蒙特卡罗(Monte Carlo)方法[5]等。现有可靠性方法很多时候假设各随机变量相互独立,并转换到标准正态空间进行求解。然而,在很多实际工程问题中,随机变量间具有相关性[6],且变量间的相关性可能对可靠性分析结果产生很大影响。目前处理相关性的可靠性方法主要有Nataf变换[7]和Rosenblatt变换[8]。Nataf变换用边缘分布和相关系数矩阵将多维相关非正态变量转换为标准独立正态变量进行处理,在可靠性领域已经得到广泛应用[9,10]。然而Nataf变换仅考虑了变量间的线性相关性,只能在某些特定样本分布的情况下较好地度量变量间相关性;当很多样本分布类型或者变量间的联合分布函数不服从高斯分布时,该方法可能存在较大误差[11]。理论上,Rosenblatt变换是一种精确的相关性处理方法,它对输入随机变量取条件将原相关变量转换为标准独立正态变量,但是,Rosenblatt变换必须基于精确的联合概率分布函数,而实际工程中多维随机变量的联合概率分布函数通常是未知的,所以其实际应用受到较大限制。

近年来,在不确定性分析领域已出现了一种处理随机变量相关性的有效数学工具,即copula函数。copula函数最早由Sklar[12]提出,它可以被视为一种边缘分布和联合分布之间的连接函数[13],可用于建立具有相关性的随机向量的联合分布函数。copula函数已经在金融和水文等领域得到大量应用[14,15],因为其在处理随机相关性方面的强大功能,近年来被逐渐引入结构可靠性领域。Lebrun等[11,16]证明了在可靠性领域常用的Nataf变换可等效为Gaussian copula函数,并比较了在二维copula情况下Nataf变换和Rosenblatt变换对计算结果的不同影响。Noh等[17]利用Gaussian copula函数求解了RBDO问题。Tang等[18]研究了不同copula函数对两变量相关模型可靠性分析结果的影响。Jiang等[19]提出了一种基于copula函数的证据理论模型,并构建了相应的结构可靠性分析方法。上述研究为copula函数在结构可靠性中的拓展和应用作出了有价值的探索和尝试,使相关工作成为近年来结构可靠性分析领域的前沿性和重要性研究方向。然而,这些工作在考虑参数相关性的同时主要是基于一阶可靠性方法进行分析的,即将原功能函数进行一阶泰勒展开并计算近似可靠性。该处理方式对于很多非线性程度不高的功能函数具有理想的分析精度,但是当功能函数非线性程度较高时,该类方法存在传统FORM的不足,即可能造成较大的可靠性分析误差,难以满足工程需要。为减小一阶可靠性方法线性化展开造成的误差,建立一种基于copula函数的精度更高的高阶可靠性分析方法,对于copula函数在结构可靠性领域的更深入拓展以及实际复杂结构适用能力的提升都具有重要的理论意义和工程意义。

本文基于不确定性分析领域近年来发展出的一种处理随机变量相关性的新型数学模型———vine copula函数[20],并在笔者现有研究[21]的基础上提出了一种结构二阶可靠性分析方法(vine copula based second order reliability method,VC-SORM),为存在复杂多维相关性的结构可靠性问题提供了一种高精度的分析方法。

1 vine copula函数基本原理

copula函数可视为一维边缘分布与多维联合分布间的连接函数。由Sklar定理[12],若n维连续随机向量x=(x1,x2,…,xn)的边缘分布为F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn),则存在唯一copula函数C,使得

其中,F(x1,x2,…,xn)为随机向量x的联合概率分布函数。对式(1)求导可得x的概率密度函数:

其中,fi(xi)为边缘概率密度函数,c为copula函数C的密度函数:

目前常用的几类二维copula函数见表1[13],表1中θ为copula函数中的相关性参数。这类函数只能较好处地理二维变量间的相关性,但难以完整描述多个变量间的耦合相关关系。

对于多维相关性问题,近年来不确定性分析领域出现了一种更为灵活的数学工具———vine copula函数[20,22?24]。vine copula函数的核心思想是通过对多维随机变量的联合概率密度函数进行分解,将其转换为若干个关于原变量或其条件变量的二维copula函数进行处理。对于随机向量x,按照传统方法,可通过Rosenblatt变换[14]将其联合概率密度函数f(x1,x2,…,xn)进行分解:

其中,fk|1,2,…,k-1(xk|x1,x2,…,xk-1)为条件概率密度函数,k=2,3,…,n。对于两变量情况,由式(2)有:

其中,c12为变量x1、x2之间的copula密度函数。对于三变量情况,有

由式(6)~式(8),三维概率密度函数f(x1,x2,x3)可作如下分解:

上述分解过程用到了条件分布函数式(7)和式(8),为表述方便,引入以下h方程来表示二元条件分布:

对于四维以上概率密度函数,上述分解过程存在多种方式,为方便将多维联合分布函数分解为二维分布,Bedford等[22,23]引入了一种树结构图———vine模型来描述不同的分解方式。常用的vine模型有canonical vine和D-vine,为简化问题,本文仅考虑D-vine模型。D-vine模型由若干个树结构组成,对于n维D-vine模型,含n-1层树结构Tj,j=1,2,…,n-1,树Tj有n-j+1个节点和n-j条边,每条边代表一个二维copula密度函数,例如14|23表示copula密度函数ci,j+1,i=1,2,…,m-1,树l(2≤l≤m)中的copula函数对为ci,i+l|i+1,i+2,…,j+l-1,i=1,2,…,n-l。一般地,随机向量x的概率密度函数f(x1,x2,…,xm)对应的D-vine模型如下[24]:

其中,fk(xk)表示随机变量的边缘概率密度函数,k=1,2,…,m,下标j表示树Tj,下标i表示树Tj中的边。

2 结构二阶可靠性分析方法

假设结构中含n维随机向量x,其功能函数g为

则极限状态面g(x1,x2,…,xn)=0将变量空间划分为可靠域ΩR={x|g(x)>0}和失效域ΩF={x|g(x)≤0}。设x的联合概率密度函数为f(x1,x2,…,xn),则结构失效概率Pf可表示为

结构可靠度R=1-Pf。而实际工程中,存在着大量的多维相关性问题,即多个随机变量(超过两个)之间具有复杂的相互影响关系。文献[21]针对上述多维相关性问题提出了一阶可靠性分析方法(VC-F ORM),对于很多非线性程度不高的功能函数具有理想的精度。在该方法的基础上,进一步构建一二阶可靠性分析方法(VC-S ORM),对于非线性程度较大且存在多维相关性随机变量的功能函数可靠性问题也能达到理想的精度,从而为复杂结构的可靠性分析提供一种潜在计算工具。

2.1 多维联合概率密度函数构建

对于多维相关问题,可基于vine copula将多维分布转换为边缘分布与多个二维copula函数的乘积,如式(11)所示。各随机变量的边缘分布在实际工程问题中通常较易获得,为此联合分布函数的建立将最终归结为多个二维copula函数的构建问题。对于两变量问题,通常需要基于样本选择最优的copula函数来保证相关性分析的精度。下面基于极大似然估计法[25]和AIC准则(Akaike information criterion)[26]对随机变量的样本进行统计推断,从而对变量间的最优copula函数进行选择并估计相应的相关性参数。

针对随机向量x中的任一对随机变量x1、x2,其边缘累积分布函数分别为F1(x1)、F2(x2),样本集为{x1i,x2i},i=1,2,…,m,其中m为样本总数。为选择其最优copula函数,可对任一备选copula函数C,建立似然对数函数如下:

其中,c为C的密度函数,θ为copula函数中的相关性参数。则θ的估计值可由极大似然估计法求得:

t copula函数中的自由度v可用同样方法获得。对所有备选copula函数进行上述分析,获得参数θ(和v)后,可用AIC信息准则[26]选择最优copula函数:

其中,k为copula函数中参数数目(本文中,对于t copula函数有θ和v有两个参数,其他copula函数只有θ一个参数)。AIC值越小,则该copula对样本数据的拟合程度越好。综上所述,联合概率密度函数的构建流程如下:

(1)基于vine copula,将联合概率密度函数分解为若干个二维copula函数及边缘概率密度函数的乘积。

(2)基于随机变量的样本数据,利用MLE方法估计树1中各备选copula函数的参数,并由AIC准则选出各最优copula函数。

(3)利用h方程将样本数据转换为树2所需数据,并由MLE方法及AIC准则选择出树2中的各最优copula函数。

(4)选出树n-1中的各最优copula函数。

(5)基于式(11),获得多维联合概率密度函数。

2.2 可靠性计算

首先,进行如下等概率变换[8]:

其中,y=(y1,y2,…,yn)为独立标准正态向量,Φ为标准正态分布函数。则X空间中的点(x1,x2,…,xn)可通过如下迭代转换至y空间中的点(y1,y2,…,yn)。

迭代1:

令u1=F1(x1),u2=F2(x2),…,un=Fn(xn);

令s1=u1,则y1=Φ-1(s1);

得到y空间中的点(y1,y2,…,yn)。

在y空间中定义以下一阶可靠性指标[1]:

其中,G表示标准正态空间中的功能函数,最优解y*称为最可能失效点(most probable point,MPP),β为可靠度指标。

本文采用改进的HL-RF算法(improved HL-RF algorithm,i HL-RF)搜索MPP,研究结果表明i HL-RF算法在求解式(18)中的优化问题时具有较高的计算效率及稳健的收敛性[27]。i HL-RF由一系列迭代完成,第k迭代步算法可描述为

其中,∇G表示功能函数对于随机向量的梯度。搜索方向dk为

通过求解以下优化问题确定步长t:

式中,c为一常数。

上述求解过程需要求解功能函数的梯度∇G(yk),本文采用差分法求解:

其中,∇yki为差分步长,i=1,2,…,n;和G(yk)可由迭代1的逆变换解得xk后由原功能函数获得。

采用传统二阶可靠性方法(S ORM)的分析思路,在标准正态空间中,对功能函数G(y)在MPP点y*处进行二阶泰勒展开:

其中,α、B、βF为一阶可靠性指标。

MPP点处功能函数主曲率为

其中,bjj为B的对角元素。则式(24)中的功能函数可进一步表示为[28]

其中,R为二次曲面平均主曲率半径:

式(26)对应的二阶经验可靠度指标为[28]

综上所述,本文所提出的VC-S ORM算法流程如下:

(1)运用D-vine模型将联合概率密度函数分解为若干个二维copula函数及边缘概率密度函数的乘积;

(2)由随机变量的样本推断出各最优二维copula函数类型及其相关性参数;

(3)建立多维随机变量的联合概率密度函数;

(4)给定初始迭代点x0和迭代步k=0;

(5)用迭代1将随机向量xk转换为标准独立正态向量yk;

(6)由式(23)计算梯度∇G(y);

(7)令k←k+1,由式(20)得到yk+1;

(8)基于迭代1,反推得到yk+1在原空间上的点xk+1;

(9)如果‖xk+1-xk‖≤ε(ε为容差),则程序终止,否则转到步骤(6);

(10)计算一阶可靠度指标βF=‖yk+1‖。

(11)由式(28)计算二阶可靠度指标βS和失效概率Pf=Φ(-βS)。

3 算例分析与应用

3.1 算例一

考虑如下功能函数[29]:

其中,g0为常数;x1服从对数正态分布;x2服从极值Ⅰ型分布;x3服从Weibull分布,其均值和标准差分别为ux1=1,σx1=0.16,ux2=20,σx2=2,ux3=48,σx1=3。

随机向量x具有500组样本,其分布如图1所示。由图1可知,各变量之间具有较强的相关性,且x2与x3之间具有明显的下尾部相关性。

采用本文方法对该问题进行分析,即使用vine copula函数将多维概率分布分解为多个二维copula函数,并基于变量样本对各二维copula函数类型进行最优选择及参数估计。由样本可计算出随机变量之间各备选copula函数的AIC值,见表2。因为AIC越小表示样本拟合越好,故可知x1与x2,x2与x3,x1|x2与x3|x2对应的最优copula函数类型分别为t copula、Clayton copula、Frank copula,其相应的参数估计值在表2最后两列中给出。

不同常数g0下,使用本文二次二阶矩法(VC-S ORM)方法和蒙特卡罗方法(VC-MCS)[21]、一次二阶矩法(VC-F ORM)[21]三种算法可靠性分析结果见表3。由结果可知,随着g0的增大,结构的失效概率逐渐增大,同时与蒙特卡罗方法相比,不同常数g0下,本文提出的VC-S ORM方法误差均小于VC-F ORM方法误差。如当g0=0时,VC-F ORM方法相对于VC-MCS的误差为19.35%,而VC-S ORM方法相对误差仅为3.23%。同时也分析了不同的变量相关性对可靠性结果的影响,分析过程中常数g0设置为4。假定二维变量间的Kendall相关系数τ相同,并且沿用上一步分析中的最优copula函数类型,令τ从0.1到0.9变化并使用不同方法进行分析,结果见表4。首先,由结果可发现,在不同的相关系数下本文提出的VC-S ORM方法误差均小于VC-F ORM方法误差。在所有9种情况中,VC-F ORM的最大误差达到56.44%,发生在τ=0.1时;VC-F ORM的最大误差仅为16.59%,发生在τ=0.3时。另外,对于该问题,随着Kendall相关系数的变大,失效概率整体上也呈现衰减趋势。如τ=0.9时,VC-MCS方法得到的失效概率为0.001 89,而τ=0.1时失效概率变为0.007 76,后者是前者的4.1倍。这表明,对于该问题,随机变量相关性对可靠性结果的影响较为显著,如果单纯将其假设为独立变量进行处理,有可能造成较大的可靠性分析误差。

3.2 算例二

近年来,人们对车身耐撞性的设计要求不断提升。在侧碰工况下,B柱最大加速度是衡量车身耐撞性的重要指标。考虑图2所示的汽车侧碰问题,可移动壁障以50km/h的速度从侧面撞向车身。影响车身耐撞性的因素较多,Hou等[30]运用因子筛选法(factor screening method)筛选出图2所示的4个车身板厚作为关键设计变量t=(t1,t2,t3,t4)进行分析。为满足侧碰耐撞性要求,B柱最大加速度a不能超过许可值a0,则可建立以下功能函数:

因为制造误差t1,t2,t3,t4均为随机变量,其均值分别为μt1=0.9mm,μt2=2.1mm,μt3=1.0mm,μt4=1.4mm,变异系数均为0.1,且均服从正态分布。通过实验设计,运用最优拉丁超立方设计方法在设计空间选取41个样本点,并调用有限元模型(FEM)进行分析,在此基础上构建出最大加速度a的响应面函数[30]:

对4个厚度变量的样本进行统计推断,可确定各变量间的最优copula函数类型及相关性参数,见表5。利用本文的VC-S ORM方法及现有的VC-MCS、VC-F ORM方法分别对上述问题进行可靠性分析,分析过程中调用式(31)中的响应面函数而非原FEM模型,从而大大提高了计算效率,计算结果见表6。由结果可知,当B柱最大侵入量许可值设定为一个较严格的指标a0=19.50g时,侧碰失效概率超过90%,该情况下车身耐撞性存在较大失效风险,说明该车身结构难以满足给定的最大加速度设计指标。当a0由19.50g增加到19.90g时,车身侧碰失效概率均迅速降低;而当a0达到19.90g时,失效概率已经降低到10-3数量级,说明在该最大加速度的设计指标下车身结构可满足车身侧碰耐撞性的可靠性要求。另外,在不同a0值下,本文提出的VC-SORM算法精度均高于VC-FORM算法精度。当侧碰失效概率较大时,VC-FORM和VC-SORM所得失效概率误差均较小,如当a0=19.50g时,两种方法的误差分别仅为2.15%和1.05%;失效概率较小时,VC-SORM方法误差明显小于VC-FORM方法误差,如当a0=19.50g时,VC-FORM方法误差达到118.21%,而VC-SORM方法误差仅为16.28%,前者是后者的7.26倍。

4 结语

本文基于vine copula函数,提出了一种处理多维相关性的结构二阶可靠性分析方法。基于D-vine模型,可将多维随机分布转换为多个二维copula函数的乘积,从而最终转换为常规的二维copula函数构建问题;进行一阶可靠性分析,并在此基础上对功能函数进行二阶近似,获得精度更高的可靠性分析结果。数值算例分析结果表明:与现有的一阶可靠性分析方法VC-FORM方法相比,本文方法具有更高的精度,更适用于处理功能结构函数非线性程度较高的可靠性分析问题。

二阶导数的几何意义 篇2

关键词：二阶导数,等价定义,凹率,二次切线,几何意义

1. 引言

函数f( x) 在x0处的导数f'( x0) 有明确的几何意义,就是曲线f( x) 在点( x0,f( x0))处切线的斜率,切线是曲线上两点割线的极限位置,切线方程为y = f'( x0) ( x - x0) + f( x0) .

函数f( x) 在x0处的二阶导数f″( x0) 是导函数y = f'( x) 在x0处的导数,即

对于二阶导数的几何意义,数学教材未见明确,仅定性给出二阶导数的正负可判定曲线的凹凸性. 至今尚未发现二阶导数的简明几何意义,为填补这一空白,本文从导数的几何意义出发,提出二阶导数的几何表达及等价定义,引入凹率概念,建立了二次切线的定义和方程,发现了二阶导数与二次切线( 抛物线) 焦准距的关系,对二阶导数作出全新的几何认识和理解,也是对导数理论的有益补充和完善.

本文在平面直角坐标系中讨论,涉及的所有抛物线均为纵向开口,为叙述方便,将 Δx替换为 δ.

2. 切线斜率的变化率

据导数的几何意义,二阶导数按( 1) 式可直接理解为曲线的 切线斜率 的变化率,也就是切线斜率的平均变化率的极限情形. 若函数相邻点的导数f'( x0+ δ) ≠f' ( x0) ( δ≠ 0) ,则曲线两点处的切线斜率不同,两切线必相交,在函数y = f( x) ( f″( x) ≠0) 曲线上取定点M和动点N( 图1) ,分别作切线交于R,M的切线与N的纵线交于P; 设N与M的横坐标差为 δ,N与R的横坐标差为d,N与P的纵坐标差为h,则两切线斜率的增量为

则两切线斜率的平均变化率为

其中

在N→M时的极限处,( 3) 式右端的极限就是M点处切线斜率变化率的几何表述,即

由( 2) 和( 4) 有

令N→M,将 δ 作为变量用洛必达法则对上式求极限可有

将( 6) 代入( 5) 式右端即有

便得到( 5) 的等价式

注意到( 7) 式右端与变化量d无关,在f' ( x0+ δ) = f'( x0) ( h = 0) 时也成立,故( 7) 式就全面描述了曲线在M点处切线斜率的变化率,也就是函数y = f( x) 在x0处二阶导数的几何表达.

3. 二阶导数的等价定义

定理二阶导数等价定理: 一般地,函数f( x) 在某区间内x0处的二阶导数f″( x0) 可等价表达为

证明因f″( x0) 存在,故f'( x0) 必存在且函数f'( x) 在x0处连续,则由导数定义有

由定义式( 1) 即得结论,证毕. 当f'( x0+ δ) ≠f' ( x0) 时, 即可推得( 6) 式.

( 8) 式就是二阶导数的等价定义! 在几何上,二阶导数则可由下式完全等价表达( 如图2) ,即

4. 二阶导数的几何本质 - 凹率

据曲线的凹凸性,f″( a) > 0时,曲线在a点上凹; f″( a) < 0时,曲线在a点下凹. 如果规定曲线在a点上凹为正,下凹为负( 以下均如此设定) ,则凹向的正负就与f″( a) 的正负一致,f″( a) 的正负就表示曲线在a点上凹的正负.

进一步分析二阶导数的几何表达式( 9) ,如图2,h是曲线纵向偏离切线的距离,当h > 0时向上偏离,当h < 0时向下偏离. h与f″( x0) 同号, 式( 9) 就包括了曲线在点M处上凹的正负性.

在几何上,二阶导数f″( x0) 的值就表示函数曲线f( x) 在点( x0,f( x0) ) 处的凹率大小,即f″( x0) = C.

5. 抛物线的凹率与焦准距

特殊地,对于抛物线

其导函数为y' = 2ax + b,二阶导函数为y″ = 2a.

由平均凹率的概念,抛物线( 10) 上任意弧段的平均凹率

这表明,抛物线( 10) 上任一点的凹率C = 2a都相同,称2a为整个抛物线( 10) 的凹率.

抛物线( 10) 经平移可得原点为顶点的标准抛物线,参数a不变,标准抛物线方程y =x2/2p,其中p为焦准距,定义焦准距为焦点与准线的纵坐标差,则抛物线( 10) 的焦准距p =1/2a,显然可得,抛物线的凹率是其焦准距的倒数,即C = 2a =1/p.

取任意非顶点A作抛物线( 10) 的切线和法线,与对称轴围成Rt△ABC( 图3) ,称作A点的抛物线三角形,作AD⊥BC,易证: 顶点E是切线段AC的轴投影DC的中点; 焦准距长︱p︱等于法线段AB的轴投影BD的长; 焦点F是的轴线段BC的中点.

6. 曲线的切割抛物线和二次切线

显然两曲线在M点相切,又在N点相割,称抛物线 ( 11) 为曲线f( x) 在切点M和割点N上的切割抛物线,其凹 )率即曲线f( x) 弧的平均凹率珔C.

同时,曲线f( x) 在N点的切线斜率f'( x0+ δ) 的极限也为f'( x0) ,于是N→M时两曲线在N点的两条切线斜率趋于相等,两切线趋于重合,两曲线因在N点趋于有公切线而趋于相切,即有

由二阶导数等价定理即等价式( 9) 知,δ→0( N→M) 时上式为

此时,切割抛物线( 11) 的割点N与切点M趋于重合, 切割抛物线与曲线在M点处第二次相切,又因抛物线属二次曲线,故可称极限处的切割抛物线( 12) 为曲线f( x) 在M点处的二 次切线,式 ( 12 ) 就是曲线f ( x ) 在点M(x0,f(x0))的二次切线方程.

二次切线的几何定义: 曲线上两点的切割抛物线( 纵向开口) 的极限位置.

二次切线的图形可由M点的抛物线三角形确定顶点焦点方便地作出. 抛物线的二次切线是其本身.

7. 二阶导数的几何意义

其中p是二次切线的焦准距( 焦点与准线的纵坐标差) ,其长度︱p︱等于法线段在对称轴上的投影长.

曲线f( x) 在点M( x0,f( x0) ) 处的二次切线方程为

特别地,当f″( x0) = 0时,曲线在x0处及其二次切线的凹率均为0,二次切线退化为切线.

8. 结论

低层钢框架结构二阶效应分析 篇3

关键词：低层,钢框架,二阶效应,有限元分析

1 钢框架的分析方法

随着我国人工费用的不断上涨,钢结构工业化程度高、省人工、建设周期短等优势越发明显,钢结构的应用也越来越广泛。可以预计,大量低层商业和住宅建筑采用钢结构会成为人们的共识。低层钢结构中的主要结构形式为框架结构。

钢结构因其材料强度高,其构件和截面均为细长薄壁。因此,与混凝土结构框架不同,钢框架的稳定问题较为突出,对其分析理应采用二阶分析的方法,即应基于已变形形态下结构的平衡进行分析以考虑变形对外力效应的影响[1]。但目前各国规范一般仍基于一阶分析采用计算长度系数法来分析框架,这在很多情况下将导致分析结果大大偏离实际情况,不是过于保守,就是偏于不安全。

数值分析尤其是有限元分析是进行钢框架二阶精确分析的可靠而有效的方法。以前这方面的应用受到编程难度大、技术要求高等因素的影响,很难为广大设计人员所掌握。现在借助于通用性很强的有限元分析软件,相关分析已非难事。而掌握这种精确分析方法,对人们在设计中更好地理解结构受力性能和进行稳定分析都提供了很好的途径。

《钢结构设计规范》GB 50017-2003[2]规定:“框架结构可采用一阶弹性分析”。同时,基于数值分析的结果,GB 50017也规定对满足下式的钢框架“宜”采用二阶分析的结果:

式中:∑N——所计算楼层各柱轴力之和;

△u——按一阶弹性分析求得的所计算楼层的层间侧移;

∑H——产生层间侧移△u的所计算楼层及以上各层的水平力之和;

h——所计算楼层的高度。

需要引起注意的是,有些设计人员没有注意到GB 50017还规定在进行二阶弹性分析的同时,不论是精确计算还是近似计算,必须在每层柱顶附加考虑假象水平力Hni,用来考虑结构和构件的各种缺陷(如柱子的初倾斜、初偏心和残余应力等)对框架内力的影响,并采用下式进行计算:

式中:Qi——第i楼层的总重力荷载设计值;

ns——框架总层数,且当时取此根号值为1.0;

αy——钢材强度影响系数,Q235钢为1.0,Q345钢为1.1,Q390钢为1.2,Q420钢为1.25。

对于无支撑的纯框架结构,当采用二阶弹性分析时,GB50017规定各杆件杆端的弯矩MII可用下列近似公式进行计算:

式中:MIb——假定框架无侧移时按一阶弹性分析求得的各杆件端弯矩;

MIs——框架各节点侧移时按一阶弹性分析求得的各杆件端弯矩;

α2i——考虑二阶效应第i层杆件的侧移弯矩增大系数。

显然,式(3)中二阶弯矩MII完全是根据钢框架一阶分析的结果间接得到的二阶分析的近似结果。本文拟针对有限元分析得到的二阶分析精确结果与GB 50017给出的二阶分析近似结果进行比较分析,并对分析结果进行深入的探讨。

2 有限元分析

本文采用大型通用有限元程序ANSYS对低层钢框架结构的二阶效应进行数值分析,其一阶和二阶的分析结果均可作为框架内力计算的精确结果。

分析采用ANSYS自带梁单元BEAM189。该单元适合于分析细长薄壁的构件,为3维3节点等参梁单元,每个节点具有6个自由度。其模型如图1所示。

梁单元BEAM189用来进行大变形的二阶分析具有很高的精度,此时应打开NLGEOM选项。如果关闭NLGEOM选项,则可以得到一阶分析结果。

本文的研究对象是低层钢框架结构,分析采用的算例包括单跨单层框架、单跨两层框架和两跨两层框架共三种。底层框架柱柱脚与基础、框架柱与横梁均为刚性连接。出于分析的需要,框架上作用的荷载主要包括每层柱顶的水平集中力和横梁上的均布荷载,如图2所示。

钢材弹性模量为206GPa,泊松比为0.3。因为分析只考虑了几何非线性,而没有考虑材料非线性,因此分析时采用了线弹性本构关系,但分析中出现的最大拉(压)应力均未超过235MPa。各算例中的框架柱均采用热轧H型钢HM 300×200,横梁均采用热轧H型钢HN 600×200,详细的截面属性见表1[3]。

由于∑N·△u/(∑H·h)≤0.1时框架的二阶效应影响很小,出于分析的需要,算例的情况均满足∑N·△u/(∑H·h)>0.1。另外,算例均满足GB 50017规定的结构或构件的变形容许值要求,即横梁挠度不大于跨度l的1/400,框架结构层间相对位移不大于层高h的1/400,柱顶位移不大于框架结构总高H的1/500。为达到上述目的,进行了试算,发现横梁上的均布荷载(即重力荷载)需要较大,水平集中力需要比较小,框架抗侧移刚度(即框架柱刚度相对于横梁)需要较小,这样二阶效应才较为显著,且结构或构件才满足变形要求。

3 精确分析结果与近似分析结果的比较

各算例的相关参数的计算结果见表2。表中的α2i和Hni分别由式(4)和式(2)算得。

各算例的精确分析结果与近似分析结果的比较见表3、表4和表5。表中杆件两端节点的编号规则为:J节点的x(y)向坐标大于I节点。表中的近似二阶弯矩MII由式(3)算得。

从表2可以看出,对于只有一层的钢框架结构,需要层高很大,∑N·△u/(∑H·h)才会大于0.1;所以,对于层高一般的情况,单跨单层框架的二阶效应较小。而对于两层的钢框架,底层的∑N·△u/(∑H·h)比第二层的大很多,这主要是因为底层柱承受的重力荷载较大,其二阶效应更为突出。

侧移弯矩增大系数α2i也有类似的规律,而且两跨两层框架的α2i要大于单跨两层框架的,反映了跨数增多(即各层重力荷载增加)会加剧二阶效应对框架内力的影响。

当水平集中力不大时,各层柱顶附加的假象水平力Hni对框架侧移的影响会加大。框架层数越多,Hni的影响会减小;但跨数增多(即各层重力荷载增加)又会加大Hni的影响。

通过表3、表4和表5可以发现,水平集中力作用处的底层框架柱(即单元(1))受二阶效应的影响最大;由于这些框架柱上的杆端弯矩绝对值相对较小,显得一阶分析结果较之二阶分析结果的偏差更为可观。而第二层框架柱受二阶效应的影响很小、可以忽视。再联系到表2,第二层处的∑N·△u/(∑H·h)往往小于0.1,证明此处完全可以采用一阶分析结果来进行构件设计。

这就解决了设计人员有时存在的困扰,即整个框架只有底部的∑N·△u/(∑H·h)大于0.1,是否需要所有构件都按照二阶分析结果进行设计?从上述分析可以看出,此时框架上部∑N·△u/(∑H·h)小于0.1的不必也按照二阶分析结果进行设计,完全可以采用一阶分析结果来进行设计。算例3的单元(5)是个例外,这主要是由于两跨两层框架第二层中柱的弯矩绝对值较小,从而导致偏差被放大。

通过二阶近似分析结果与二阶精确分析结果的比较,发现两者在底层框架柱单元(1)处有着最大的偏差,此处也是整个框架中二阶效应最为显著的地方。其他地方的二阶效应均较小,二阶近似分析结果与二阶精确分析结果的差别也均很小。

此外,还可以发现,由式(3)算得的近似二阶弯矩MⅡ相较于精确二阶弯矩M'Ⅱ多为偏大,显示采用式(3)进行设计一般会偏于安全。当设计人员进行二阶精确分析较为困难时,对于低层纯框架结构,式(3)仍是一个不错的选择。

4 结论

低层钢框架结构在工程实践中越来越常见,其二阶效应的影响需要引起设计人员更多的关注。本文对典型的低层钢框架进行了有限元分析和二阶效应影响的研究,得到了以下结论:

(1)对于层高和荷载一般的情况,单跨单层框架的二阶效应不太显著;但两层框架的底层框架柱的二阶效应非常突出。

(2)附加假象水平力Hni对框架侧移的影响对于低层钢框架较为显著,且对于多跨框架较之单跨框架更为明显。

(3)二阶近似分析结果与二阶精确分析结果在水平集中力作用处的底层框架柱处有着最大的偏差,此处也是整个框架中二阶效应最为显著的地方。

(4)框架上部若∑N·△u/(∑H·h)小于0.1则不必进行二阶分析,完全可以按一阶分析来进行设计。

(5)对于低层纯框架结构,采用式(3)进行设计一般会偏于安全;但如果能掌握二阶精确分析方法,则能使构件设计更为准确、安全。

参考文献

[1]陈绍蕃.钢结构稳定设计指南.中国建筑工业出版社,2004.

[2]GB50017-2003,钢结构设计规范

关于二阶微分线性方程的教学 篇4

其中p (x) , q (x) 均为已知函数.

函数y=y0称为方程 (1) 的解, 如果它使得下式成立

1 解的存在性

引理1在区间[a, b]上, 如果方程 (1) 中函数p (x) 连续可导, 而函数q (x) 连续, 则该方程存在解.

证作函数

设区域

其中d是正的常数.则在区域D内, 有

可见函数f (x, u) 满足Lipschitz条件, 于是由常一阶微分方程解的存在性定理知, 方程

存在连续可微解u=u (x) .令

则由上式得

再令r2 (x) =p (x) -r1 (x) , 则有

现在作如下两个方程

由引理1知, 它们均存在解, 设它们的解依次为y1=y1 (x) , y=y (x) 则得

所以这个y=y (x) 也是方程 (1) 的解, 证毕现在考察非齐次二阶微分线性方程, y"+p (x) y'+q (x) y=f (x) , (2)

其中中p (x) , q (x) 均为已知函数, f (x) 是非零连续函数。

方程 (1) 也称为方程 (2) 所对应的齐次线性方程。

函数y=y0 (x) 称为方程 (2) 的解, 如果它使得下式成立

定理1如果齐次二阶微分线性方程 (1) 存在两个线性无关的解

则非齐次二阶微分线性方程 (2) 的通解可以写为

其中C1, C2均为常数, 不定积分上标x表示积分结果中的自变数s换为x.

证将表达式为式 (3) 的函数y代入方程 (2) 验证, 可知其为解;而方程 (2) 的任何两个解之差是方程 (1) 的解, 所以表达式为式 (3) 的函数y是方程 (2) 的通解, 证毕

下面介绍通解表达式 (3) 的求得方法, 用常数变易法, 由条件, 得方程 (1) 的通解为

其中c1, c2均为常数, 设方程 (2) 的解为

其中c1 (x) , c2 (x) 均为待定函数, 为了便于计算, 令

则

用以上四个等式, 得

从而得

于是, 由式 (5) 与上式解得

将上面两式积分, 得

将这两式代入式 (4) , 整理即可得式 (3) .

参考文献

[1]S.G.Mikhlin.Linear Equations of Mathematical Physics[M].Holt, Rinehart and Winston, NewYork, 1967:12

[2]I.Stakgold.Boundary Value Problems of Mathematical Physics[M].Macmillan, New York, 1967:123

[3]U.E.Boyce, R.C.Diprima, Elementary Differential Equations andBoundary Value Problems[M].John Wiley&Sons, inc.1986:32

[4]U.T.Myin, L.Debnarh.Partial Differential Equations for Scientistsfor Engineers (Third edition) [M].Prentice Hall, Englewood, Nj, 1987:24

二阶相关 篇5

一、PSPICE简介及其仿真步骤

PSPICE是较早出现的EDA (Electronic Design Automatic, 电路设计自动化) 软件之一，也是当今世界上著名的电路仿真标准工具之一。它是由Spice (Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis) 发展而来的、面向PC机的通用电路模拟分析软件，在众多的计算机辅助设计工具软件中，是精度最高、最受欢迎的软件工具。

PSPICE软件具有强大的电路图绘制功能、电路模拟仿真功能、图形后处理功能和元器件符号制作功能，它不仅可以对模拟电路、数字电路、数/模混合电路等进行直流、交流、瞬态等基本电路特性的分析，而且可以进行蒙托卡诺统计分析，最坏情况 (Worst Case) 分析、优化设计等复杂的电路特性分析，具有设计周期短、设计费用低、设计质量高、数据处理能力强，设计资源可以共享等特点。

本文介绍的是目前广泛使用的PSPICE 9.2, 他能进行模拟电路分析、数字电路分析、数字/模拟电路混合电路分析。PSPICE 9.2使用的是高精确度的元器件模型, 因而他的分析和仿真精度是很高的, 这也是很多同类软件与他的差距所在。PSPICE 9.2的基本界面如图1所示。

1. PSPICE 9.2中常用电子元器件

PSPICE 9.2中常用电子元器件的约定如表1所示。

以上电子元器件在PSPICE 9.2中的模型如图2所示。

2.信号源及电源

在电路描述中, 信号源和电源是必不可少的。实际上, 电源可以看作是一种特殊的信号源。在PSPICE 9.2中, 信号源被分为两类:独立源和受控源。表2给出了几种主要的独立源。

3. 仿真步骤

(1) 新建一个项目, 由给定电路结构和元器件参数创建电路原理图, 即建立电路的输入文件。

(2) 确定电路的分析内容和仿真类型, 如瞬态分析, 交流特性分析等。

(3) 运行仿真程序, 并对仿真结果进行分析, 与理论分析结果进行比较, 判断是否符合要求。若符合要求则仿真结束；若不符合要求则要修改电路结构或元器件参数, 重新进行仿真。如图3所示。

二、二阶电路理论分析

在图4所示R、L、C电路中，uC (0) =0，在t=0时开关S闭合，电压方程为：

这是一个二阶常系数非齐次微分方程，电源电压U为激励信号, 电容两端电压uC为响应信号。根据微分方程理论, uC包含两个分量：暂态分量和稳态分量, 即=+, 具体解与电路参数R, L, C有关。

1. 当满足时

其中，衰减系数, 衰减时间常数；振荡频率，振荡周期变化曲线如图5 (a) 所示，uC的变化处在衰减振荡状态，由于电阻R比较小，又称为欠阻尼状态。

2. 当满足时，uC的变化处在过阻尼状态，由于电阻R比较大，电路中的能量被电阻很快消耗掉，uC无法振荡，变化曲线如图5 (b) 所示。

3. 当满足时，uC的变化处在临界阻尼状态，变化曲线如图5 (c) 所示。

三、PSPICE仿真

以RLC二阶电路的零状态响应为例，利用PSPICE对电路进行仿真研究，查看电容电压波形。

1. 用Capture绘制电路图

(1) 新建设计项目。具体操作如下：调用Capture软件，进入Capture操作环境；在Capture启动窗口下选择File/New/Project，屏幕上将出现New Project对话框；在这个对话框中给将要分析的实验二阶电路零状态响应起名为erjie，并选定设计项目类型“Analog or Mixed Signal Circuit”。

(2) 载入仿真元件库。在New Project对话框完成新建文件设置后，点击OK，进入元器件符号库设置框；在这里完成元器件符号库的配置，点击“完成”按钮，屏幕上出现电路图编辑窗口。

(3) 取放元器件。在电路图编辑窗口下，启动Place/Part命令，出现元器件符号选择框，在Libraries列表框点击元器件符号所在库名, 在元器件符号列表框选择所需要的电阻、电容、电感、等，放置在电路图中适当位置；开关在ANL-MISC库中选择Sw＿tClose；电源VDC在Source库中选择，接地符号启用Place/Ground命令，在Source库中选择。再选取Place/Wire命令，连接线路。

(4) 元器件属性参数编辑。Capture自动为元器件设置元件名和参数值，双击各元件，对元器件属性进行编辑，更改相应名称和参数。选中电容和电感，在E d i t菜单中选择properties命令，在打开的窗口中找到IC项, 设置IC=0.生成的电路如图6所示。

2. 输出仿真波形

(1) 建立仿真文件。在电路图编辑窗口下, 点击PSP ICE/New Simulation Profile命令, 出现新建仿真项目对话框, 在Name栏键入仿真类型组名称, 如可取名为Time。

(2) 设置分析类型为瞬态分析。在Analysistype栏中选“Time Domain (Transient) ”；在Op tion栏中选“General Setings”；在瞬态分析终止栏Runto栏中填入“20 s”；在起始时间栏中添0 s。

(3) 运行PSP ICE查看分析结果，运用示波器双探头查看电容电压波形。启动PSP ICE/Run命令, 在Probe窗口中, 显示电容波形如图7所示，电路参数中R=0.5Ω, 使系统呈现为欠阻尼状态。

3. 改变R数值观察其对阶跃响应的影响

(1) 更改电路参数R=2.8Ω, 使系统呈现为临界阻尼状态。可重新输出波形如图8所示, 观察参数变化对二阶系统动态特性的影响。

(2) 更改电路参数R=8Ω, 使系统呈现为过阻尼状态。可重新输出波形如图9所示, 观察参数变化对二阶系统动态特性的影响。通过以上分析可以看出, 仿真的结果与理论分析的情况是一致的。

四、结束语

通过PSPICE进行仿真电子电路实验, 实验过程接近实际操作效果, 元器件选择范围广, 参数修改方便, 电路调试方便、快捷, 能应用在自控原理及其他电子电路课程实验中。尤其可进行电子电路设计与分析, 大大提高电子电路实验教学的工作效率和质量。

摘要：传统的实物实验内容受硬件电路限制, 更新缓慢, 不利于学生创新能力的培养。以软件为载体的计算机仿真可根据课程内容随时更新实验内容, 提高实验教学效果。本文简要介绍了PSPICE实现电子电路仿真的步骤, 详细阐述了利用PSPICE对二阶电路进行仿真研究的方法, 为电子电路仿真实验的设计和开发提供了新的平台。

关键词：PSPICE软件,仿真实验,二阶电路

参考文献

[1]范爱平.电子电路实验与虚拟技术[M].山东:山东科学技术出版社, 2002

[2]贾新章.OrCAD/PSPICE9实用教程[M].陕西:西安电子科技大学出版社, 2003

二阶时滞方程的调和解存在性分析 篇6

对于含有参数激励的非线性动力系统是振动理论中的一类经典系统,对它的研究是极其丰富而又复杂的动力学行为,对此已经有了大量的研究.然而,对于含有参数激励的非线性时滞动力系统的研究,相关的文献较少,仅限于文献等少量工作.

本文用某些承受周期激励的地震波和具有时滞弹性地基作用的结构为背景,因为地基具有一定的长度,当弹性力在特定的时刻作用在物体上时没有让物体马上导致活动状态,而是必须经过固定的时间距离,在物体的加速度达到均衡状态的时候,物体初步活动.在这个阶段一定包含着时间滞后,同时,在处理相关实际难点的体系开展探索时,滞量是必须重视的.所以,去掉滞量就不能使精确度准确,严重的能引起体系紊乱,数学模型为:

其中K=εL,L=1,2,3,…ε是一个小参数.Ω≈2ω,t为时间,τ为时滞量,t>0,τ>0.本文主要是研究在该系统存在Hopf分支的情况下,外加周期参数扰动时,是否存在调和解的问题.本文主要运用多尺度分析的方法讨论(1)中介绍的地震波方程在周期参数扰动下,仍然存在周期解的问题.

二、调和解的存在性分析

令Ω≈2ω,取L=1,即K=ε,Ω=2ω+εσ.

则(1)式变为

应用多尺度法:

x(t)=x0(T0,T1)+εx1(T0,T1)+o(ε2),其中Tn=εnt,n=0,1,2,…

x(t-τ)=x0(T0-τ,T1-ετ)+εx1(T0-τ,T1-ετ)+o(ε2)=x0(T0-τ,T1)+ε[x1(T0-τ,T1)-τD1x0(T0-τ,T1]+o(ε2)

令β=β1ε,γ=γ1ε,则(1.1)式转化为

整理ε的同次幂得:

其中

(cc表示前面各项的共轭)

将(1.4)式代入到(1.3b)得

令(1.5)式中的永年项为零,即

整理(1.6)式得

则

其中

于是将(1.8)式代入到(1.7)式得:

分离实部、虚部得:

三、对于系统(1.1),分情况讨论其调和解的存在

令b=0,

则方程组(1.9)有

即D1a=D1b=0有解,

由代数方程的根的孤立性和对参数的连续相依性,方程组(1.9)一定存在a=a01>0,b=b'01>0的解.

由代数方程的根的孤立性和对参数的连续相依性,方程组(1.9)一定存在a=a02>0,b=b'02>0的解.

由代数方程的根的孤立性和对参数的连续相依性,方程组(1.9c)一定存在a=a03=a01>0,b=b03=b'01>0的解.

四、结论

本文应用多尺度分析方法,对于承受周期激励的地震波和具有时滞弹性地基作用的结构的简化后的数学模型,加以周期参数扰动的情况进行研究分析.得到了系统(1)经过参数激励后仍然存在调和解的结论.结论如下:

定理1.1

ⅰ.当τγ1-β1>0,ατ-2>0,1-2σω>0时,系统(3.1)存在调和解.

此时a=a01

ⅱ.当ατ-1=0且τγ1-β1=0,且(1-2σω)(τα-2)同号时,系统(3.1)存在调和解.

此时a=a02

ⅲ.当1-2σω<0,ατ-2>0,τγ1-β1>0时,系统(3.1)存在调和解.

此时a=a03=a01>0,b=b03=b'01>0.

参考文献

[1]K Gopalsamy.Stability and Oscillations in Delay Differenlial Equations of Population Dynamics[M].Kluwer Academic Publishers,1992.

[2]马知恩.种群生态学的数学建模与研究[M].合肥:安徽教育出版社,1996.

[3]白萍.一类中立型时滞系统的周期运动的近似解[J].数学的实践与认识,2008,38(16):163-168.

[4]戴护军,徐鉴.时滞对于参数激励系统周期运动的影响[J].力学季刊,2004(9):367-37.

[5]岳锡亭.一类二阶时滞神经网络系统稳定区域的划分及Hopf分支分析[J].黑龙江大学自然科学学报,2006(4):236-240

一类二阶常微分方程组的解 篇7

求解常系数线性微分方程 (组) 的解在常微分方程课程中是一项重要内容.由线性非齐次微分方程 (组) 解的结构定理可知, 线性非齐次微分方程 (组) 的通解等于对应的齐次方程 (组) 的通解加上非齐次微分方程 (组) 的一个特解[1,2].到目前为止, 关于常微分方程组解的研究已经取得了丰硕的成果.例如, 可以采用初等变换法、消去法、递推公式、矩阵解法等求解一阶线性微分方程组[3,4,5,6,7].在常系数微分方程 (组) 中, 当非齐次项是某种相对较特殊的形式时, 我们可以用待定系数法求出非齐次微分方程 (组) 的一个特解.文献[8]给出了非齐次项为n次多项式的通解, 文献[9]给出了非齐次项为二次多项式与三角函数乘积的通解.本文中, 我们将给出非齐次项为n次多项式与三角函数乘积时的通解.

1.主要结果

本文讨论如下常微分方程组的通解:

其中fi=fi (x) , i=1, 2, 3是关于x的函数, ti (x) , i=1, 2, 3 是关于x的n次多项式与三角函数的乘积, aij, bij, (i, j=1, 2, 3) 是常数.将方程组 (1) 写成矩阵形式:

记, 将 (2) 式整理后可以得到

其中

2.方程组的通解

2.1齐次方程组的通解

方程组 (3) 对应的齐次方程组为

则方程组 (4) 的通解为f=V[exp (Λx) C1+exp (-Λx) C2], 其中, Λ=diag (λ1, λ2, λ3) , 而λi (i=1, 2, 3) 是矩阵C的特征值, V是矩阵C的列特征向量, C1, C2是常数向量.

2.2非齐次方程组的通解

对方程组 (3) , 设

其中Lni, L (n-1) i, …, Loi, Mni, Mni, M (n-1) i, …, M0i (i=1, 2, 3) 是常数.

由待定系数法, 可设方程组 (3) 的一个特解是

其中Ln, Ln-1, …, L0, Mn, Mn-1, …, M0是3×3阶矩阵.代入方程 (3) , 经过化简, 由和相同三角函数的系数相同, 可以得到2n+2个等式,

可以将Ln, Ln-1, … , L0, Mn, Mn-1, … , M0解出, 那么特解ft就能够求出.故得到 (3) 的通解为f*=V[exp (Λx) C1+exp (-Λx) C2]+ft

3.算例

故可以得到方程组的一个特解是

结语

本文用待定系数法求解非齐次线性微分方程组的通解, 将文献的结论进行了进一步的推广, 将二次多项式推广到了任意次多项式.由算例看到, 随着多项式次数的提高, 运算会越加繁琐.因此, 如果工程中遇到此类问题时, 可以通过编程实现求解, 使得其运用范围更加广泛.

参考文献

[1]王高雄, 周之铭, 朱思铭, 等.常微分方程[M].3版.北京:高等教育出版社, 2006.

[2]丁同仁, 李承志.常微分方程教程[M].2版.北京:高等教育出版社, 2004.

[3]宋燕.常系数齐次线性微分方程组的初等变换解法[J].辽宁师范大学学报 (自然科学版) , 1995, 18 (1) :76-81.

[4]汤光宋.对用消去法解常系数线性方程组的注记[J].抚州师范学报, 1994 (3) :17-21.

[5]戴中林.常见线性齐次微分方程组的递推公式解法[J].四川师范学院学报 (自然科学版) , 1995, 16 (2) :158-160.

[6]曹玉平.一阶线性常系数微分方程组的矩阵解法[J].河北理工学院学报, 2004, 26 (1) :104-107.

[7]唐烁.常系数线性非齐次微分方程组的初等解法[J].安徽教育学院学报, 2005, 23 (6) :15-17.