概周期微分方程

2024-12-19

概周期微分方程（通用5篇）

概周期微分方程篇1

最近,一些研究工作已经研究过具时滞差分系统的概周期解的存在[1,2,3,4,5,6,7,8,9]。宋和田[10]利用有界解的稳定性研究了非线性Voltenra差分方程的周期和概周期解的存在。Hamaya根据有界解的稳定性研究了具无限时滞泛函差分方程概周期解的存在。夏和程利用全局拟一致渐近稳定性研究了差分方程概周期解的存在。在本文中,我们将利用有界解的完全稳定性讨论具无界时滞非线性Volterra差分方程的概周期和渐近概周期解的存在。

1 预备知识

设Rm表示m维欧几里得空间,Z是整数集合,Z+是非负整数集,|·|表示Rm的欧氏范数。在任意区间ICZ:=(-∞,∞),我们用BS(I)表示所有有界函数从I映射到Rm,且。对任意函数x:(-∞,a)→Rm和n

设BS具有上确界范数:且是从Z-映射到Rm的实线性函数空间。我们讨论一个概周期函数f(n,x):Z×D→Rm,D是Rm中的开集。

定义1如果对任意ε>0和在D内任意紧集K,对所有n∈Z、x∈K存在一正整数L*(ε,k),使得任意L*(ε,k)长度的区间包含一整数τ满足|f(n+τ,x)-f(n,x)|,则称f(n,x)对于x∈D在n一致为概周期,上述不等式中的数τ称做f(n,x)的ε平移数。

定义2如果概周期函数p(n)和定义在I*=[0,∞)上的函数p(n),其中nk→∞时q(n)→0之和为u(n),即u(n)=p(n)+q(n),则称u(n)是渐进概周期的。u(n)是渐进概周期的当且仅当对任意序列{nk}使得当k→∞,nk→∞,存在一个序列{nk}对于在0≤n≤∞,u(n+nk)一致收敛。

我们考虑Voherra差分方程系统

其中在第二变量x∈Rm,f:Z×Rm→Rm是连续的并且定义在n∈Z,s∈(-∞,0],x∈Rm上的F(n,s,x)对于x∈Rm是连续的。

关于方程(1)我们给出如下假设:①对于在n是一致概周期的且对于,在n是一致概周期的,即对于任意ε>0和任意紧集k*,存在一个整数使得任意长度为L*的区间包含τ,对全体n∈Z和(s,x)∈k*满足|。②对任意ε>0和任意r>0,存在M=M(ε,r)>0使得对全体ε。③方程(1)有一个有界解u(n),其中u(n)经过且定义在[0,∞)上,即和u0∈BS。对于任意θ,ψ∈BS,我们设,其中,明显,当n→∞时,;当且仅当n→∞时,在(-∞,0]的任意紧子集上。我们用(BS,ρ)表示具有度量ρ有界函数空间Φ:(-∞,0]→Rm。设K是在Rm上紧集使得对全体n∈Z有u(n)∈k,其中对n≤0有u(n)=Φ0(n)。

定义3方程(1)的有界解U(n)称为完全稳定(简称TS)。若对于任意ε>0存在一个δ(ε)>0,使得当n0≥0,和h(n)是一个函数且满足|h(n)|<δ(ε),对全体n≥n0有,其中x(n)是方程x,对于全体s≤0有。

2 主要结论

定理1假设从①-③的条件下,若(1)的有界解u(n)是TS,那么u(n)是渐近概周期的。

证明:设{nk}是一个序列使得当k→∞,nk→∞。若我们设,k=1,2,…,uk(n)是x(n+1)=f(n+nk,x(n)的解且uk(n)∈K。由于u(n)是完全稳定,uk(n)对于u(n)也是具有相同(ε,δ)的完全稳定的。

对于给定的ε>0,存在一个正整数k1(ε)使得若k,m≥k1(e),则。假设当k→∞,uk(n)一致收敛到在(-∞,0]上的任意紧集。则um(n)=u(n+nm)是h(n))的解且对所有n∈Z,有um(n)∈K,其中

接下来我们将证明存在一个正整数k2(ε),使得若k,m≥k2(e),则对于n≥0有|h(n)|<δ(ε)。注意到存在c>0使得对所有x∈K,有|x|≤c。因此对n∈Z于所有|uk(n)|≤c有|um(n)|和≤c。通过条件②,存在一个M=M(c,ε)>0使得:

由于f(n,x)和F(n,s,x)是概周期的,因此存在一正整数kk2(ε)≥k1 (ε)使得若k,m≥k2(ε),则有对所有n∈Z和一M+1≤s≤0;|f(n+nm,um (n+s))-f(n+nk,um(n+s))|<δ(ε)/4M对所有n∈Z

由于我们有:

由于uk(m)是完全稳定的,则如果k,m≥k2(ε)对所有n≥0,我们有。这就蕴含对所有ε≤1/4和n≥0,若k,m≥k2(ε)则有。因此我们可知对任意序列{nk}使得当k→∞,有nk→∞,存在{nk}中的一序列{nkj},有当j→∞,u(n+nkj)在[0,∞)上一致收敛。这就证明了u(n)在n是渐近概周期解的。

定理2假设从①-③的条件下,如果方程(1)的有界解x(n)是渐近概周期,那么方程(1)有概周期解。

证明:由于x(n)是渐近概周期的,且可分解为x(n)=p(n)+q(n)。其中p(n)在n是概周期的且当n→∞有q(n)→∞。设序列{nk}当k→∞有nk→∞、p(n+nk)→p*(n),且p*(n)也是概周期的。接下来,我们将证明对于n≥1,p*(n)是方程(1)的解。根据概周期性质在Z×C上f(n+nk,x)一致收敛于f*(n,x)其中C是在Rn上的紧集且在Z×K*上F(n+nk,n+nk+s,x)一致收敛于F*(n,n+s,s),其中K*是在Z*=Z-×Rn×Rn上的紧子集。

设kk(n)=x(n+nk),n+nk≥0,那么可得:

这表明xk是的一个解。对于n≤0,p*(n)∈K,由于而且对于任意n∈Z,存在一个k0>0使得对所有k≥k0有n+nk≥1。因此当k→∞且k≥k0可得xk(n)=因此可得xk。现在证明当k→∞时,p*(s))对于c>0,n∈Z,k≥1,有。根据条件②,对于任意ε>0,存在一个整数M>0使得。那么有

由于对于x,y∈Rn,F(n,s,x)是连续的,且当k→∞时在[n-M,n](M>0)上,xk(n)→p*则有。当k→∞时由f(n,x)的连续性可得

因此对于n≥1,p*(n)是方程(1)的概周期解。

摘要：在Volterra的研究工作当中,许多工作者都已经研究过具有时滞性差分系统的该周期性的存在。对于具有无界时滞的非线性Volterra差分方程,通过有界解的完全稳定性刻划了解非线性Volterra差分方程概周期和渐近概周期性的存在。

关键词：Volterra差分方程,概周期解,完全稳定性

参考文献

[1]Hamaya Y.On the existence of almost periodic solutions of a nonlinear Volterra difference equation[J].International Journal of Difference Equations(IJDE),2007,2(2):187-196.

[2]Zhang S,Liu P,Gopalsamy K.Almost periodic solutions of nonautonomous linear difference equations[J].Applicable Analysis,2002,81(2):281-301.

[3]Agarwal RP,O'regan D,Wong PJY.Constant-sign periodic and almost periodic solutions of a system of difference equations[J].Computers&Mathematics with Applications,2005,50(10):1725-1754.

[4]Ignatyev AO,Ignatyev OA.On the stability in periodic and almost periodic difference systems[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2006,313(2):678-688.

[5]Sung Kyu C,Namjip K.Almost periodic solutions of nonlinear discrete Volterra equations with unbounded delay[J].Advances in Difference Equations,2008,(2008):52.

[6]Choi SK,Coo YH,Im DM,et al.Total Stability in Nonlinear Discrete Valterra Equations with Unbounded Delay[J]Abstract and Applied Analysis.Hindawi Publishing Corporation,2009,(2009):157.

[7]Song Y.Almost periodic solutions of discrete Volterra equations[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2006,314(1):174-194.

[8]Song Y,Tian H.Periodic and almost periodic solutions of nonlinear discrete Volterra equations with unbounded delay[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2007,205(2):859-870.

[9]Song Y.Asymptotically almost periodic solutions of nonlinear Volterra difference equations with unbounded delay[J].Journal of Difference Equations and Applications,2008,14(9):971-986.

[10]Wu ZH.Existence of asymptotically almost periodic solutions and stability properties for functional difference equations[J].Journal of Chongqing University(English Edition),2012,11(2):97-102.

概周期微分方程篇2

一类高阶时滞微分方程周期解的存在定理

考虑一类高阶时滞微分方程ax(2n)(t)+f[x′(t)]+bx(t)+g[x(t－?]=p(t),利用重合度理论,获得了此类方程至少存在一个T-周期解的充分条件.

作者：唐文玲陈新一 TANG Wenling CHEN Xin-yi 作者单位：唐文玲,TANG Wenling(甘肃省商业学校,兰州,730060)

陈新一,CHEN Xin-yi(西北民族大学中华民族信息技术研究院,兰州,730030)

刊名：科学技术与工程 ISTIC英文刊名：SCIENCE TECHNOLOGY AND ENGINEERING 年，卷(期)：2009 9(2) 分类号：O175.14 关键词：高阶微分方程周期解重合度

一类高阶微分方程周期解的存在性篇3

undefined

的周期解的存在性,(1)式中g,p都是定义在R上的实连续函数,b≠0,τ≥0,p以T为周期,且

∫undefinedp(x)dx=0。本文利用重合度理论获得了(1)式至少存在一个T-周期解的充分条件,其结果是如下定理.

定理如果下列条件成立:

(ⅰ)存在正常数M,使得g(x)≤M,∀x∈R;

(ⅱ)undefined;

则方程(1)至少存在一个T(T>0)周期解。

证明考察方程

undefined

这里λ∈(0,1),设x(t)是方程(2)的任一T-周期解,将方程(2)两边同时从0到T积分得

undefined

因此存在t0∈(0,T),使得 bx(t0)+g(x(t0-τ))=0,从而有

undefined

于是

undefined

因为

undefined

k为正整数,

于是方程(2)两边同乘以x(t),再从0到T积分得

undefined

因此

undefined

(4)式中undefined|。

因为x(0)=x(T),则存在t1∈[0,T],使得x′(t1)=0,有

undefined

同理x′(0)=x′(T),存在t2∈[0,T],使得x″(t2)=0,有

undefined

从而∫undefined|x′(t)|dt≤T∫undefined|x″(t)|dt≤…≤Tn-1×

∫undefined|x(n)(t)|dt。所以不等式(4)成为

undefined

因此由条件(ⅱ)及上式知,存在与λ无关的数R1>0,使得

undefined

进而可得存在与λ无关的数R2>0,使得

undefined

从而由方程(2)有

undefined

由(5)式及(7)式知必存在与λ无关的数rj>0(j=1,2,…,2n-1),使得

undefined

取undefined,令X={x(t)∈C(R,R)|x(t+T)=x(t)},undefined,Nx(t)=-cx′-bx-g(x(t-τ))+p(t)。这时有Ker L=R,同时定义投影算子为

P:undefined。Q:X→X/lmundefined。

则Ker L=lm P,Ker Q=lm L,即L是指标为零的Fredholm算子,且可证明N在undefined⊂X上L-紧。方程(2)即为算子方程Lx=λNx,λ∈(0,1)。根据对(2)式周期解界的估计及已知条件,有

1)Lx≠λNx,∀x∈Ker L∩∂Ω,还需证明

2) QNx≠0,∀x∈Ker L∩∂Ω;

3) deg(QN,Ω∩Ker L,0)≠0。

事实上,当x∈Ker L∩∂Ω时,x为常数且

undefined,有

undefined

即QNx≠0,于是2)成立;作变换:F(x,μ)=μbx+(1-μ)[bx+g(x(t-τ))],对任意x∈Ker L∩∂Ω,μ∈[0,1],x为常数且undefined。

undefined

。所以当undefined时,F(x,μ)≠0,同理可证当undefined时,F(x,μ)≠0,因而F(x,μ)为同伦变换,因此

deg{QN,Ω∩Ker L,0}=deg{-bx-g(x(t-τ)),Ω∩Ker L,0}=deg{-bx,Ω∩Ker L,0}≠0。

故3)成立,由重合度理论知,方程(1)至少有一个T(T>0)周期解。

文献[1]的结果是本文定理的简单推论。事实上,只要在本文的方程(1)中取n=1即明。在本文的方程(1)中取n=1,c=0,即可得到文献[2]的结果。

摘要：考虑一类高阶微分方程ax(2n)(t)+cx′(t)+bx(t)+g[x(t-τ)]=p(t),利用重合度理论,获得了此类方程至少存在一个T-周期解的充分条件。

关键词：高阶微分方程,周期解,重合度

参考文献

[1]唐美兰,刘心歌,刘心笔,等.一类时滞Duffing型方程周期解的存在性.上饶师范学院学报,2004;24(6):12—15

概周期微分方程篇4

关键词：常微分方程,周期边值问题,解的符号

常微分方程初值问题是大学《常微分方程》[1]课程中基础而重要的组成部分.通过运用常数变易法, 可以求得一阶线性微分方程初值问题

u′ (t) +a (t) u=h (t) , (1)

u (0) =m (2)

(其中a, h:[0, ∞) →ℝ均为连续函数) 的解为

u (t) =me-∫t0a (s) ds

+∫ $_{0}^{t}$ h (s) e∫sta (τ) dτds. (3)

近年来, 关于一阶微分方程周期初值问题

u′ (t) =f (t, u (t) ) , t∈ (0, T) , (4)

u (0) =u (T) (5)

的研究受到一定的关注[2].但在现有的文献中, 并没有对一阶线性微分方程周期边值问题

u′ (t) +a (t) u=h (t) , (6)

u (0) =u (T) . (7)

的可解性及解的性质作深入地研究.由于线性问题 (6) , (7) 的性质是研究非线性问题 (4) , (5) 的重要基础, 因此本文将证明有关线性问题 (6) , (7) 的如下性质

定理1 设a, h:[0, T]→ℝ为连续函数.则

(a) 问题 (6) , (7) 对每一个h∈C[0, 1]均有解的充分必要条件是∫ $_{0}^{Τ}$ a (s) ds≠0;

(b) 若h (t) ≥0且h (t) 0于[0, T], 则u (t) ∫ $_{0}^{Τ}$ a (t) dt>0;

证明 (a) 若 (6) , (7) 对每一个h均有解u, 则由 (3) 知

u (0) =m,

u (T) =me-∫T0a (s) ds+∫ $_{0}^{Τ}$ h (s) e∫sTa (τ) dτds.

由 (7) 可推知

m (1-e-∫T0a (s) ds) =∫ $_{0}^{Τ}$ h (s) e∫sTa (τ) dτds (8)

对任意h∈C[0, T]均成立.

反设∫ $_{0}^{Τ}$ a (s) ds=0, 则当在 (8) 中特取h (t) ≡1时会出现矛盾!故∫ $_{0}^{Τ}$ a (s) ds≠0.

反过来, 设∫ $_{0}^{Τ}$ h (s) ds≠0.则由 (8) 可以求出唯一的m*:

m*= (1-e-∫T0a (s) ds) -1∫ $_{0}^{Τ}$ h (s) e∫sTa (τ) dτds. (9)

将此m*带入 (3) , 便可得到问题 (6) , (7) 的一个解.

(b) 由于h (t) ≥0且h (t) 0于[0, T], 故由 (a) 的结论知: (6) , (7) 存在一个解u.我们宣称:u在[0, T]上没有零点.

反设u (t0) =0对某t0∈[0, T]成立, 则由常数变易法可推得

u (t) =e-∫tt0a (s) ds[u (t0)

+∫ $_{t_{0}}^{t}$ h (s) e∫st0a (τ) dτds], (10)

进而

u (0) =e-∫0t0a (s) ds[∫ $_{t_{0}}^{0}$ h (s) e∫st0a (τ) dτds], (11)

u (T) =e-∫Tt0a (s) ds[∫ $_{t_{0}}^{Τ}$ h (s) e∫st0a (τ) dτds]. (12)

由于h (s) e∫st0a (τ) dτds≥0且h (s) e∫st0a (τ) dτds0于[0, T], 因此, (11) 和 (12) 蕴含u (0) ≠u (T) .这与 (7) 矛盾!故

u (t) ≠0, ∀t∈[0, T]. (13)

现在, 由 (6) ,

$\frac{u^{'} (t)}{u (t)} + a (t) = \frac{h (t)}{u (t)} ‚ t \in (0 ‚ Τ)$ . (14)

上式两边从0到T积分, 得

$\begin{array}{l} \ln | u (t) | |_{0}^{Τ} + \int_{0}^{Τ} a (t) d t \\ = \int_{0}^{Τ} \frac{h (t)}{u (t)} d t . (15) \end{array}$

(7) 和 (15) 连同题设条件h (t) ≥0且h (t) 0于[0, T]蕴含:u (t) 与∫ $_{0}^{Τ}$ a (t) dt同号.

参考文献

[1]东北师范大学微分方程教研室.常微分方程[M].北京:高等教育出版社, 2007.

概周期微分方程篇5

${\begin{cases} \ddot{u} (t) = \nabla F (t, u (t)), a . e . t \in [0, Τ], \\ \dot{u} (0) — \dot{u} (Τ) = 0, \\ u (0) — u (Τ) = 0 。 \end{cases} (1)$

满足函数和导数脉冲条件

u (t+j) -u (t-j) =Aju (t-j) , j=1, 2, …, p, (2)

Δ $\dot{u}$ i (tj) :

$\begin{array}{l} = \dot{u}_{i} (t_{j}^{+}) - \dot{u}_{i} (t_{j}^{-}) = B_{j} \dot{u}_{i} (t_{j}^{-}) + \\ Ι_{i j} (u_{i} (t_{j}^{-})) 。 (3) \end{array}$

$0 = t_{0} < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{p} < t_{p + 1} = Τ, i = 1, 2, \dots, Ν, j = 1, 2, \dots, p, {A_{j}}, {B_{j}}$ 是实数列, Bj= (1+Aj) -1-1, F: $[0, Τ] \times R^{Ν}, F$ 关于第一个变量t是T周期的, Iij:R→R, i=1, 2, …, N, j=1, 2, …, p, 并且满足下列条件。

(A) F (t, x) 对所有的x∈RN关于t是可测的, 对 $a . e . t \in [0, Τ], F (t, x)$ 关于x连续可微, 且存在 $a \in C (R^{+}, R^{+}), b \in L^{1} ([0, Τ], R^{+})$ , 使得

$\begin{array}{l} | F (t, x) | \leq a (| x |) b (t), \\ | \nabla F (t, x) | \leq a (| x |) b (t), \forall x \in R^{Ν}, a . e . t \in [0, Τ] 。 \end{array}$

(B) 存在常数aij≥0, bij≥0, γij∈[0, 1) , i=1, 2, …, N, j=1, 2, …p, 使得 |Iij (s) |≤aij+bij|s|γij, ∀s∈R。

在条件 (A) 及适当的条件下, 文献[1]利用鞍点定理证明了问题 (1) 周期解的存在性。最近文献[2]利用临界点理论研究了二阶脉冲微分方程两点边值问题解的存在性, 但该文仅仅考虑了在脉冲条件下单个方程的问题, 而没有考虑方程组的情形。现利用鞍点定理研究脉冲问题式 (1) —式 (3) 。

1 变分结构

令 $Γ_{j} = [t_{j}, t_{j + 1}]$ , 并且

$\begin{array}{l} f_{Γ_{j}} (t) : = {\begin{cases} f (t), t \in (t_{j}, t_{j + 1}], \\ f (t_{j}^{+}), t = t_{j}, \end{cases} \\ j = 0, 1, 2, \dots, p \end{array}$

。考虑空间H{f : $[0, Τ] \to R^{Ν} | f$ 在每个tj点上左连续, f (t+j) 存在, fΓj在Γj上绝对连续, fΓj的弱导数属于L2 (Γj) , f满足条件式 (2) 且f (tj+1) =f (t+j) , j=0, 1, 2, …, p, f (0+) =f (0) =f (T) }。

内积定义如下,

$\begin{array}{l} (f, g)_{Η} : = \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{z t_{}_{j + 1}} f_{Γ_{j}} (t) g_{Γ_{j}} (t) d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} \dot{f}_{Γ_{j}} (t) \dot{g}_{Γ_{j}} (t) d t ； \forall f, g \in Η ； \end{array}$

其诱导的范数为:

$\begin{array}{l} | f |_{Η} = (\sum_{j = 0}^{p} \int_{j}^{j + 1} | f_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{j}^{j + 1} | f_{Γ_{j}} | f_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{1}{2}} ； \forall f \in Η 。 \end{array}$

易证H是Hilbert空间。

定义φ:H→R如下

$φ (u) = \frac{1}{2} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | \dot{u}_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t + \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} F (t, u_{Γ_{j}} (t)) d t + \sum_{i = 1}^{Ν} \sum_{j = 1}^{p} \int_{0}^{u_{i} (t_{j}^{—})} (1 + A_{j}) Ι_{i j} (s) d s$ 。

对于任意的u∈H, 易证φ是连续可微的且有

$\begin{array}{l} (φ^{'} (u), v) = \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} \dot{u}_{Γ_{j}} (t) \dot{v}_{Γ_{j}} (t) d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} (\nabla F (t, u_{Γ_{j}} (t)), \\ v_{Γ_{j}} (t)) d t + \sum_{i = 1}^{Ν} \sum_{j = 1}^{p} (1 + A_{j}) \\ Ι_{i j} (u_{i} (t_{j})) (v_{i})_{Γ_{j}} (t_{j}), \forall u, v \in Η 。 \end{array}$

2 主要结果及证明

定理假设 (B) 成立, F (t, x) =G (x) +H (t, x) 满足 (A) 及下列条件

(ⅰ) 存在 $0 < r < \frac{4 π^{2} — 8 Τ^{2}}{7 Τ^{2}}, 0 < Τ < \frac{\sqrt{2} π}{2}$ , 使得

(ᐁG (x) -ᐁG (y) , x-y) ≥-r|x-y|2,

∀x, y∈RN;

(ⅱ) 存在f, g∈C (0, T;R+) , α∈[0, 1) 使得

|ᐁH (t, x) |≤f (t) |x|α+g (t) ,

∀x∈RN, a.e. t∈[0, T];

(ⅲ) 当|x|→∞时,

$| x |^{— 2 α} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} F (t, \prod_{k = 0}^{j} (1 + A_{k}) x) d t \to - \infty$ ;

(ⅳ) 存在M≥0, N≥0使得

|ᐁG (x) -ᐁG (y) |≤M|x-y|α+N, ∀x, y∈RN;

(ⅴ) 当|x|→∞时,

$\int_{0}^{Τ} F (t, x) d t + \sum_{i = 1}^{Ν} \sum_{j = 1}^{p} \int_{0}^{x_{i}} (1 + A_{j}) Ι_{i j} (s) d s \to - \infty$ 。

则问题式 (1) —式 (3) 在H上至少有一个弱解。

证明令 $\tilde{u}_{Γ_{j}} (t) = u_{Γ_{j}} (t) - u (t_{j}^{+}), t \in [t_{j}, t_{j + 1}]$ 。则 $\tilde{u}_{Γ_{j}} (t_{j}) = \tilde{u}_{Γ_{j}} (t_{j + 1}) = 0, u (t_{j}^{+}) = \prod_{k = 0}^{j} (1 + A_{k}) u (0), j = 0, 1, \dots, p, A_{0} = 0$ 。先证φ满足 (PS) 条件, 假设 (un) 是φ的一个 (PS) 序列;由Poincaré不等式得

$\begin{array}{l} (\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{1}{2}} \leq ∥ \tilde{u}_{n} ∥_{Η} \leq \\ (1 + \frac{Τ^{2}}{π^{2}})^{\frac{1}{2}} (\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{1}{2}} (4) \end{array}$

由 (ⅱ) , H $\ddot{o}$ lder及Poincaré不等式得

$\begin{array}{l} | \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} (\nabla Η (t, (u_{n})_{Γ_{j}} (t)), (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t)) d t | \leq \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} f (t) | (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) + u_{n} (t_{j}^{+}) |^{α} | (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) | d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} g (t) | (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) | d t \leq \\ 2 \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} f (t) | u_{n} (t_{j}^{+}) |^{α} | (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) | d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} g (t) | (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) | d t + \\ 2 \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} f (t) | (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{α + 1} d t \leq \\ C_{1} | u_{n} (0) |^{2 α} + C_{2} [\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t]^{\frac{α + 1}{2}} + \\ C_{3} [\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t]^{\frac{1}{2}} + \\ \frac{4 π^{2} - r Τ^{2}}{16 π^{2}} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t (5) \end{array}$

式 (5) 中C1, C2, C3>0。

由 (ⅳ) 及Poincaré不等式得

$\begin{array}{l} | \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} (\nabla G (u_{n} (t_{j}^{+})), (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t)) d t | \leq \\ \frac{1}{2} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} (| \nabla G (u_{n} (t_{j}^{+})) |^{2} + | (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2}) d t \leq \\ \frac{Τ^{2}}{2 π^{2}} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t + C_{4} | u_{n} (0) |^{2 α} + \\ C_{5} | u_{n} (0) |^{α} + C_{6} (6) \end{array}$

其中C4, C5, C6>0。

由 (ⅰ) , 式 (6) 及Poincaré不等式

$\begin{array}{l} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} (\nabla G ((u_{n})_{Γ_{j}} (t)), (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t)) d t = \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} (\nabla G ((u_{n})_{Γ_{j}} (t)) - \nabla G (u_{n} (t_{j}^{+})), (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t)) d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} (\nabla G (u_{n} (t_{j}^{+})), (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t)) d t \geq \\ - \frac{(2 r + 1) Τ^{2}}{2 π^{2}} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t - \\ C_{4} | u_{n} (0) |^{2 α} - C_{5} | u_{n} (0) |^{α} - C_{6}, (7) \end{array}$

因此对于充分大的n有

$\begin{array}{l} ∥ \tilde{u}_{n} ∥ \geq 〈 \dot{φ} (u_{n}), \tilde{u}_{n} 〉 = \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} (\nabla G ((u_{n})_{Γ_{j}} (t)), (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t)) d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} (\nabla G (u_{n} (t_{j}^{+})), (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t)) d t \geq \\ \frac{12 π^{2} - (15 r + 8) Τ^{2}}{16 π^{2}} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t - \\ (C_{1} + C_{4}) | u_{n} (0) |^{2 α} - C_{5} | u_{n} (0) |^{α} - C_{6} - \\ C_{2} [\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t]^{\frac{α + 1}{2}} - \\ C_{3} [\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t]^{\frac{1}{2}} (8) \end{array}$

由式 (4) , 式 (8) 可知, 对于充分大的n有

$C | u_{n} (0) |^{α} \geq (\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{1}{2}} - C_{7} (9)$

其中C>0, C7>0。令 $v_{n}^{j} = u_{n} (t_{j}^{+}) + s (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t)$ , 由 (ⅳ) , 和式 (6) , Cauchy-Schwarz不等式及Poincaré不等式可知, 对于所有的n有:

$\begin{array}{l} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} [G ((u_{n})_{Γ_{j}} (t)) - G (u_{n} (t_{j}^{+}))] d t = \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} \int_{0}^{1} (\nabla G (v_{n}^{j}) - \nabla G (u_{n} (t_{j}^{+})), (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t)) d s d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} (\nabla G (u_{n} (t_{j}^{+})), (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t)) d t \leq \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} \int_{0}^{1} s^{α} Μ | (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{α + 1} d s d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} \int_{0}^{1} Ν | (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) | d s d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} (\nabla G (u_{n} (t_{j}^{+})), (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t)) d t \leq \\ \frac{Μ Τ^{\frac{1 - α}{2}}}{α + 1} [\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t]^{\frac{α + 1}{2}} + \\ Ν (p + 1) \sqrt{Τ} (\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{1}{2}} + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} (\nabla G (u_{n} (t_{j}^{+})), (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t)) d t \leq \\ \frac{Τ^{2}}{2 π^{2}} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t + \\ \frac{Μ Τ^{\frac{α + 3}{2}}}{(α + 1) π^{α + 1}} [\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t]^{\frac{α + 1}{2}} + \\ \frac{Ν (p + 1) Τ \sqrt{Τ}}{π} (\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{1}{2}} + \\ C_{4} | u_{n} (0) |^{2 α} + C_{5} | u_{n} (0) |^{α} + C_{6} (10) \end{array}$

类似可得

$\begin{array}{l} | \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} [Η (t, (u_{n})_{Γ_{j}} (t)) - Η (t, u_{n} (t_{j}^{+}))] d t | \leq \\ \frac{4 π^{2} - r Τ^{2}}{16 π^{2}} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t + C_{1} | u_{n} (0) |^{2 α} + \\ C_{2} (\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{α + 1}{2}} + \\ C_{3} (\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{1}{2}} (11) \end{array}$

对于u= (u1, …, uN) ∈H, 令

$| u (0) |$ : $= (\sum_{i = 1}^{Ν} | u_{i} (0) |^{2})^{\frac{1}{2}}$ 。则有

|ui (t-j) |=|ui (t+j-1) |=|Π $_{k = 0}^{j - 1}$ (1+Ak) ui (0) |≤

|∏ $_{k = 0}^{j - 1}$ (1+Ak) ||u (0) |, (12)

|ui (t-j) |γij+1≤|∏ $_{k = 0}^{j - 1}$ (1+Ak) |γij+1|u (0) |γij+1。 (13)

由条件 (B) , 式 (12) 和式 (13) 知, 对于所有u∈H有

$\begin{array}{l} | \sum_{i = 1}^{Ν} \sum_{j = 1}^{p} \int_{0}^{u_{i} (t_{j}^{-})} (1 + A_{j}) Ι_{i j} (s) d s | \leq \\ \sum_{i = 1}^{Ν} \sum_{j = 1}^{p} \int_{\min {0, u_{i} (t_{j}^{-})}}^{\max {0, u_{i} (t_{j}^{-})}} | (1 + A_{j}) Ι_{i j} (s) | d s \leq \\ \sum_{i = 1}^{Ν} \sum_{j = 1}^{p} b_{i j} | 1 + A_{j} | | Π_{k = 0}^{j - 1} (1 + A_{k}) |^{γ_{i j} + 1} | u (0) |^{γ_{i j} + 1} + \\ \sum_{i = 1}^{Ν} \sum_{j = 1}^{p} a_{i j} | Π_{k = 0}^{j} (1 + A_{k}) | | u (0) | (14) \end{array}$

由{φ (un) }有界, 由式 (10) , 式 (11) 及式 (14) 可知, 对充分大的n及某个常数C8有

$\begin{array}{l} C_{8} \leq φ (u_{n}) = \frac{1}{2} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} [G ((u_{n})_{Γ_{j}} (t)) - G (u_{n} (t_{j}^{+}))] d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} [Η (t, (u_{n})_{Γ_{j}} (t)) - Η (t, u_{n} (t_{j}^{+}))] d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} F (t, u_{n} (t_{j}^{+})) d t + \\ \sum_{i = 1}^{Ν} \sum_{j = 1}^{p} \int_{0}^{(u_{n} (t_{j}^{-}))_{i}} (1 + A_{j}) Ι_{i j} (s) d s \leq \\ \frac{12 π^{2} + (8 - r) Τ^{2}}{16 π^{2}} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t + \\ (C_{1} + C_{4}) | u_{n} (0) |^{2 α} + C_{5} | u_{n} (0) |^{α} + C_{6} + \\ (C_{2} + \frac{Μ Τ^{\frac{α + 3}{2}}}{(α + 1) π^{α + 1}}) (\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{α + 1}{2}} + \\ \frac{Ν (p + 1) Τ \sqrt{Τ} + C_{3} π}{π} (\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{1}{2}} + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} F (t, Π_{k = 0}^{j} (1 + A_{k}) u_{n} (0)) d t + \\ \sum_{i = 1}^{Ν} \sum_{j = 1}^{p} a_{i j} | Π_{k = 0}^{j} (1 + A_{k}) | | u_{n} (0) | + \\ \sum_{i = 1}^{Ν} \sum_{j = 1}^{p} b_{i j} | 1 + A_{j} | | Π_{k = 0}^{j - 1} (1 + A_{k}) |^{γ_{i j} + 1} | u_{n} (0) |^{γ_{i j} + 1} 。 \end{array}$

由上式及 (ⅲ) 知|un (0) |有界。事实上, 不失一般性, 假设|un (0) |→∞, n→∞, 则由式 (9) 和上式有

$\underset{n \to \infty}{liminf} \frac{\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} F (t, Π_{k = 0}^{j} (1 + A_{k}) u_{n} (0)) d t}{| u_{n} (0) |^{2 α}} > - (C_{1} + C_{4}),$

而这与 (ⅲ) 矛盾, 因此 (|un (0) |) 有界。由式 (4) 和式 (9) 知 (un) 有界。用类似于文献[3]性质4.1的证明方法可推出 (PS) 条件成立。

下证φ满足鞍点定理 (文献[3]定理4.6) 的其它条件。

令 $\tilde{Η} = {u \in Η | u (0) = 0}$ , 则当|u|→∞时有

φ (u) →+∞ (15)

事实上, 由 (ⅰ) 和式 (6) , 易证

$\begin{array}{l} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} [G (u_{Γ_{j}} (t)) - G (0)] d t \geq - \frac{(r + 1) Τ^{2}}{2 π^{2}} \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | \dot{u}_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t - C_{6} 。 \end{array}$

由式 (11) 可知, 对所有的u∈ $\tilde{Η}$ 有

$\begin{array}{l} | \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} [Η (t, u_{Γ_{j}} (t)) - Η (t, 0)] d t | \leq \\ \frac{4 π^{2} - r Τ^{2}}{16 π^{2}} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | \dot{u}_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t + \\ C_{2} (\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | \dot{u}_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{α + 1}{2}} + \\ C_{3} (\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | \dot{u}_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{1}{2}} 。 \end{array}$

因此

$\begin{array}{l} φ (u) - \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} F (t, 0) d t = \frac{1}{2} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | \dot{u}_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} [F (t, u_{Γ_{j}} (t)) - \\ F (t, 0)] d t + \\ \sum_{i = 1}^{Ν} \sum_{j = 1}^{p} \int_{0}^{u_{i} (t_{j}^{-})} (1 + \\ A_{j}) Ι_{i j} (s) d s \geq \\ \frac{4 π^{2} - (7 r + 8) Τ^{2}}{16 π^{2}} \times \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | \dot{u}_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t - \\ C_{6} - C_{2} \times \\ (\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | \dot{u}_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{α + 1}{2}} - \\ C_{3} (\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | \dot{u}_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{1}{2}} 。 \end{array}$

由式 (4) 及 $0 < r < \frac{4 π^{2} - 8 Τ^{2}}{7 Τ^{2}}, 0 < Τ < \frac{\sqrt{2} π}{2}$ , 得式 (15) 成立。

由 (ⅴ) 可知, 当|u|→∞, u∈RN时有

φ (u) →-∞。 (16)

由式 (15) , 和式 (16) 及鞍点定理 (文献[3], 定理4.6) 便知定理结论成立。

摘要：利用鞍点定理建立了具有函数脉冲及导数脉冲的二阶非自治微分方程组存在周期解的一个简明判据, 推广了相关结果。

关键词：周期解,鞍点定理,脉冲

参考文献

[1] Ma Jian, Tang Chunlei.Periodic solutions for some nonautonomoussecond-order systems.Journal of Mathematical Analysis and Applica-tions, 2002;275 (2) :482—494

[2] Nieto Juan J, O′Regan Donal.Variational approach to impulsive dif-ferential equations.Nonlinear Analysis:Real World Applications, 2009;10 (2) :680—690

【概周期微分方程】推荐阅读：

Banach空间中非线性积分微分方程周期边值问题的一种拟上下解法10-16

概周期函数09-24

一类非线性差分方程平衡解的稳定性及二周期解的存在性01-18

微分方程09-14

高阶微分方程05-17

积-微分方程06-08

控制微分方程06-18

线性微分方程06-30

微分方程模型07-31

求解微分方程09-13

>> 查看更多相关文档