概周期函数（共3篇）
概周期函数 篇1
抽象函数能有效地反映学生对知识的掌握、理解、应用及迁移的能力, 对培养和提高学生的发散思维和创造性思维等能力有很好的促进作用。因此, 这类问题在高中数学的各类考试中经常出现, 它涉及函数、方程、不等式等多方面的知识, 它渗透着换元、递推、赋值、猜想、数形结合、一般到特殊等思想方法, 综合性强, 体现了高考加大对理性思维能力考查的命题思想。本文结合例题说明抽象函数的应用。
一、抽象函数在求解定义域方面的应用
求抽象函数的定义域一般表现为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域, 有三种常见题型:
例1:若函数y=f (x) 的定义域为[-1, 1], 则函数y=f (2x-1) 的定义域为————。
例2:若函数y=f (2x-1) 的定义域为[-1, 1], 则函数y=f (x) 的定义域为————。
例3:若函数y=f (x2-2) 的定义域为[1, 3], 则y=f (3x+2) 定义域为————。
解:1.∵f (x) 的定义域为[-1, 1], ∴-1≤2x-1≤1, 解得0≤x≤1。
∴f (2x-1) 的定义域为[0, 1]。
2.∵f (2x-1) 的定义域为[-1, 1], ∴-1≤x≤1, ∴-3≤2x-1≤1∴f (x) 的定义域为[-3, 1]。
3.∵f (x2-2) 的定义域为[1, 3], ∴1≤x≤3, 1≤x2≤9.∴-1≤x2-2≤7,
∴-1≤3x+2≤7, ∴f (3x+2) 的定义域为。
解决好这类问题关键抓好两点:一是明确函数的定义域是指自变量的范围;二通俗地讲就是“谁占了谁的地方, 原本的地方大小不变”。
二、抽象函数在求解值域方面的应用
求函数的值域是函数教学的重点和难点, 与抽象函数结合其解法更显灵活, 而且体现了“换元”法的运用。
抓住求值域即求y的范围的本质, 换元法把f (x) 看做一个整体, 运用“整体性”思想, 把问题转化为熟悉的二次函数来解决, 降低了难度。
三、抽象函数在求解析式方面的应用
抽象函数没有具体的解析式, 而它在与解析式的综合方面体现了由抽象到具体的思想, 通过“赋值法”把抽象的与具体的联系起来。
例5:设f (x) 满足f (0) =1, f (x-y) =f (x) -y (2xy+1) , 求f (x) 解析式。
(法一) ∵f (0) =1, 令x-y=0得f (0) =f (x) -x
(2x-x+1)
∴f (x) =x2+x+1
(法二) ∵f (0) =1, 令x=0得f (-y) =f (0) -y (-y+1)
∴f (-y) =1-y (-y+1)
用x代替-y, 得f (x) =1+x (x+1)
即f (x) =x2+x+1
利用已知条件, 合理赋值 (赋具体值或代数式) 是解决抽象函数问题的基本方法。
四、抽象函数在考查函数性质方面的应用
函数的单调性、周期性、奇偶性是函数的重要性质, 也是函数的“核心”。抽象函数是只给出了一些体现函数特征的一类函数, 由于抽象函数表现形式的抽象性, 使得这类问题是函数内容的难点之一, 其性质常常是隐而不漏, 但一般情况下以学过的常见函数的背景对函数性质通过代数表述给出。
例6:已知函数f (x) 定义域为实数集R, 满足对任意x, y∈R都有f (xy) =f (x) f (y) 且f (-1) =1。当0≤x<1时f (x) ∈[0, 1) 。
(1) 判断f (x) 的奇偶性。
(2) 判断f (x) 在[0, ∞) 上的单调性。
解: (1) 令y=-1, 则f (-x) =f (x) f (-1)
∵f (-1) =1∴f (-x) =f (x)
∴f (x) 为偶函数。
∴f (x1) <f (x2) ∴f (x) 在[0, ∞) 上单调递增。
函数单调性的证明方法有导数法和定义法。由于抽象函数没有具体的解析式, 所以只能用定义法, 由已知条件变形出符合单调性定义的式子, 从而得出结论。
以上介绍了抽象函数在函数问题方面的几种应用, 要想解决好抽象函数问题要注意以下几点:1.加深对函数概念、性质的理解;2.熟练掌握与抽象函数有关的解题方法和技巧;3.紧密联系与所给题目有关的知识, 掌握综合题的解题通法和技巧。
概周期函数 篇2
具有反馈控制和功能性反应的两种群竞争系统的概周期解
研究了具有反馈控制和功能性反应的.两种群竞争系统.通过构造适当的Lyapunov函数,得到了系统存在全局渐进稳定的概周期解的充分性条件.
作 者：陈超 黄振坤 CHEN Chao HUANG Zhen-kun 作者单位：集美大学,理学院,福建,厦门,361021刊 名：生物数学学报 ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF BIOMATHEMATICS年，卷(期)：200621(4)分类号：Q145关键词：概周期解 反馈控制 功能性反应 全局渐进稳定 Almost periodic solution Feedback control Functional response Global asymptotic stability
概周期函数 篇3
1 预备知识
设Rm表示m维欧几里得空间,Z是整数集合,Z+是非负整数集,|·|表示Rm的欧氏范数。在任意区间ICZ:=(-∞,∞),我们用BS(I)表示所有有界函数从I映射到Rm,且。对任意函数x:(-∞,a)→Rm和n
设BS具有上确界范数:且是从Z-映射到Rm的实线性函数空间。我们讨论一个概周期函数f(n,x):Z×D→Rm,D是Rm中的开集。
定义1如果对任意ε>0和在D内任意紧集K,对所有n∈Z、x∈K存在一正整数L*(ε,k),使得任意L*(ε,k)长度的区间包含一整数τ满足|f(n+τ,x)-f(n,x)|,则称f(n,x)对于x∈D在n一致为概周期,上述不等式中的数τ称做f(n,x)的ε平移数。
定义2如果概周期函数p(n)和定义在I*=[0,∞)上的函数p(n),其中nk→∞时q(n)→0之和为u(n),即u(n)=p(n)+q(n),则称u(n)是渐进概周期的。u(n)是渐进概周期的当且仅当对任意序列{nk}使得当k→∞,nk→∞,存在一个序列{nk}对于在0≤n≤∞,u(n+nk)一致收敛。
我们考虑Voherra差分方程系统
其中在第二变量x∈Rm,f:Z×Rm→Rm是连续的并且定义在n∈Z,s∈(-∞,0],x∈Rm上的F(n,s,x)对于x∈Rm是连续的。
关于方程(1)我们给出如下假设:①对于在n是一致概周期的且对于,在n是一致概周期的,即对于任意ε>0和任意紧集k*,存在一个整数使得任意长度为L*的区间包含τ,对全体n∈Z和(s,x)∈k*满足|。②对任意ε>0和任意r>0,存在M=M(ε,r)>0使得对全体ε。③方程(1)有一个有界解u(n),其中u(n)经过且定义在[0,∞)上,即和u0∈BS。对于任意θ,ψ∈BS,我们设,其中,明显,当n→∞时,;当且仅当n→∞时,在(-∞,0]的任意紧子集上。我们用(BS,ρ)表示具有度量ρ有界函数空间Φ:(-∞,0]→Rm。设K是在Rm上紧集使得对全体n∈Z有u(n)∈k,其中对n≤0有u(n)=Φ0(n)。
定义3方程(1)的有界解U(n)称为完全稳定(简称TS)。若对于任意ε>0存在一个δ(ε)>0,使得当n0≥0,和h(n)是一个函数且满足|h(n)|<δ(ε),对全体n≥n0有,其中x(n)是方程x,对于全体s≤0有。
2 主要结论
定理1假设从①-③的条件下,若(1)的有界解u(n)是TS,那么u(n)是渐近概周期的。
证明:设{nk}是一个序列使得当k→∞,nk→∞。若我们设,k=1,2,…,uk(n)是x(n+1)=f(n+nk,x(n)的解且uk(n)∈K。由于u(n)是完全稳定,uk(n)对于u(n)也是具有相同(ε,δ)的完全稳定的。
对于给定的ε>0,存在一个正整数k1(ε)使得若k,m≥k1(e),则。假设当k→∞,uk(n)一致收敛到在(-∞,0]上的任意紧集。则um(n)=u(n+nm)是h(n))的解且对所有n∈Z,有um(n)∈K,其中
接下来我们将证明存在一个正整数k2(ε),使得若k,m≥k2(e),则对于n≥0有|h(n)|<δ(ε)。注意到存在c>0使得对所有x∈K,有|x|≤c。因此对n∈Z于所有|uk(n)|≤c有|um(n)|和≤c。通过条件②,存在一个M=M(c,ε)>0使得:
由于f(n,x)和F(n,s,x)是概周期的,因此存在一正整数kk2(ε)≥k1 (ε)使得若k,m≥k2(ε),则有对所有n∈Z和一M+1≤s≤0;|f(n+nm,um (n+s))-f(n+nk,um(n+s))|<δ(ε)/4M对所有n∈Z
由于我们有:
由于uk(m)是完全稳定的,则如果k,m≥k2(ε)对所有n≥0,我们有。这就蕴含对所有ε≤1/4和n≥0,若k,m≥k2(ε)则有。因此我们可知对任意序列{nk}使得当k→∞,有nk→∞,存在{nk}中的一序列{nkj},有当j→∞,u(n+nkj)在[0,∞)上一致收敛。这就证明了u(n)在n是渐近概周期解的。
定理2假设从①-③的条件下,如果方程(1)的有界解x(n)是渐近概周期,那么方程(1)有概周期解。
证明:由于x(n)是渐近概周期的,且可分解为x(n)=p(n)+q(n)。其中p(n)在n是概周期的且当n→∞有q(n)→∞。设序列{nk}当k→∞有nk→∞、p(n+nk)→p*(n),且p*(n)也是概周期的。接下来,我们将证明对于n≥1,p*(n)是方程(1)的解。根据概周期性质在Z×C上f(n+nk,x)一致收敛于f*(n,x)其中C是在Rn上的紧集且在Z×K*上F(n+nk,n+nk+s,x)一致收敛于F*(n,n+s,s),其中K*是在Z*=Z-×Rn×Rn上的紧子集。
设kk(n)=x(n+nk),n+nk≥0,那么可得:
这表明xk是的一个解。对于n≤0,p*(n)∈K,由于而且对于任意n∈Z,存在一个k0>0使得对所有k≥k0有n+nk≥1。因此当k→∞且k≥k0可得xk(n)=因此可得xk。现在证明当k→∞时,p*(s))对于c>0,n∈Z,k≥1,有。根据条件②,对于任意ε>0,存在一个整数M>0使得。那么有
由于对于x,y∈Rn,F(n,s,x)是连续的,且当k→∞时在[n-M,n](M>0)上,xk(n)→p*则有。当k→∞时由f(n,x)的连续性可得
因此对于n≥1,p*(n)是方程(1)的概周期解。
摘要：在Volterra的研究工作当中,许多工作者都已经研究过具有时滞性差分系统的该周期性的存在。对于具有无界时滞的非线性Volterra差分方程,通过有界解的完全稳定性刻划了解非线性Volterra差分方程概周期和渐近概周期性的存在。
关键词：Volterra差分方程,概周期解,完全稳定性
参考文献
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