脉冲周期

2024-09-08

脉冲周期（共3篇）

脉冲周期篇1

(一) 引言

直流电源激励下的动态电路分析一般为大家所熟知, 周期脉冲激励下的动态电路的稳态响应分析也有不少论述, 但周期脉冲激励下动态电路的过渡过程分析被忽略了。因此, 周期脉冲激励下的动态电路的过渡过程需要进行讨论。

图1 (a) 所示的电路, 该电路的激励us (t) 如图1 (b) 所示的方波周期脉冲信号。

已知t=0时激励tu) (S开始以1U和2U按周期交替出现, 1U的持续时间为1t, 1U的持续时间为2t, 周期21+=tt T, 电容初始电压为0U, 这里着重分析电容电压tu) (C的变化规律。

(二) 分析计算方法之一

设nTt=和1+=tnTt时电容电压分别为) (1nuC和) (2nuC (n=0, 1, 2, 3, …) , 可得电容电压Ctu) (的表达式

(三) 分析计算方法之二

图1 (a) 电路的微分方程为

设其电源激励) (Stu在第一个周期内为) (S0tu, 则

由于电路为线性非时变的, 所以电路的响应即电容电压

(四) 举例

如图2所示为方波脉冲信号激励下的一阶RC电路的电容电压tu) (C和电阻电压tu) (R的响应曲线, 其电路参数如下:R=1KΩ, C=1μF, 0) 0 (UuC==3V, 1U=2V, 2U=-1V, 1t=1ms, 2t=2ms。

从图2可以看出, 从t=0开始, 电容电压tu) (C在包络线1和包络线2之间交替变化, 电阻电压tu) (R在包络线3、包络线4、包络线5和包络线6之间交替变化, 经过短暂的几个个时间常数τ=RC后它们便进入了稳态响应。

(五) 结束语

脉冲激励下动态电路的过渡过程分析方法有时域解析分析、频域解析分析和数值分析等方法。本文主要采用了时域解析分析的方法, 对方波脉冲激励下一阶RC动态电路的过渡过程作了详细的分析。

参考文献

[1]李瀚荪.电路分析基础 (中册) [M].北京:高等教育出版社, 1983.

脉冲周期篇2

${\begin{cases} \ddot{u} (t) = \nabla F (t, u (t)), a . e . t \in [0, Τ], \\ \dot{u} (0) — \dot{u} (Τ) = 0, \\ u (0) — u (Τ) = 0 。 \end{cases} (1)$

满足函数和导数脉冲条件

u (t+j) -u (t-j) =Aju (t-j) , j=1, 2, …, p, (2)

Δ $\dot{u}$ i (tj) :

$\begin{array}{l} = \dot{u}_{i} (t_{j}^{+}) - \dot{u}_{i} (t_{j}^{-}) = B_{j} \dot{u}_{i} (t_{j}^{-}) + \\ Ι_{i j} (u_{i} (t_{j}^{-})) 。 (3) \end{array}$

$0 = t_{0} < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{p} < t_{p + 1} = Τ, i = 1, 2, \dots, Ν, j = 1, 2, \dots, p, {A_{j}}, {B_{j}}$ 是实数列, Bj= (1+Aj) -1-1, F: $[0, Τ] \times R^{Ν}, F$ 关于第一个变量t是T周期的, Iij:R→R, i=1, 2, …, N, j=1, 2, …, p, 并且满足下列条件。

(A) F (t, x) 对所有的x∈RN关于t是可测的, 对 $a . e . t \in [0, Τ], F (t, x)$ 关于x连续可微, 且存在 $a \in C (R^{+}, R^{+}), b \in L^{1} ([0, Τ], R^{+})$ , 使得

$\begin{array}{l} | F (t, x) | \leq a (| x |) b (t), \\ | \nabla F (t, x) | \leq a (| x |) b (t), \forall x \in R^{Ν}, a . e . t \in [0, Τ] 。 \end{array}$

(B) 存在常数aij≥0, bij≥0, γij∈[0, 1) , i=1, 2, …, N, j=1, 2, …p, 使得 |Iij (s) |≤aij+bij|s|γij, ∀s∈R。

在条件 (A) 及适当的条件下, 文献[1]利用鞍点定理证明了问题 (1) 周期解的存在性。最近文献[2]利用临界点理论研究了二阶脉冲微分方程两点边值问题解的存在性, 但该文仅仅考虑了在脉冲条件下单个方程的问题, 而没有考虑方程组的情形。现利用鞍点定理研究脉冲问题式 (1) —式 (3) 。

1 变分结构

令 $Γ_{j} = [t_{j}, t_{j + 1}]$ , 并且

$\begin{array}{l} f_{Γ_{j}} (t) : = {\begin{cases} f (t), t \in (t_{j}, t_{j + 1}], \\ f (t_{j}^{+}), t = t_{j}, \end{cases} \\ j = 0, 1, 2, \dots, p \end{array}$

。考虑空间H{f : $[0, Τ] \to R^{Ν} | f$ 在每个tj点上左连续, f (t+j) 存在, fΓj在Γj上绝对连续, fΓj的弱导数属于L2 (Γj) , f满足条件式 (2) 且f (tj+1) =f (t+j) , j=0, 1, 2, …, p, f (0+) =f (0) =f (T) }。

内积定义如下,

$\begin{array}{l} (f, g)_{Η} : = \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{z t_{}_{j + 1}} f_{Γ_{j}} (t) g_{Γ_{j}} (t) d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} \dot{f}_{Γ_{j}} (t) \dot{g}_{Γ_{j}} (t) d t ； \forall f, g \in Η ； \end{array}$

其诱导的范数为:

$\begin{array}{l} | f |_{Η} = (\sum_{j = 0}^{p} \int_{j}^{j + 1} | f_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{j}^{j + 1} | f_{Γ_{j}} | f_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{1}{2}} ； \forall f \in Η 。 \end{array}$

易证H是Hilbert空间。

定义φ:H→R如下

$φ (u) = \frac{1}{2} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | \dot{u}_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t + \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} F (t, u_{Γ_{j}} (t)) d t + \sum_{i = 1}^{Ν} \sum_{j = 1}^{p} \int_{0}^{u_{i} (t_{j}^{—})} (1 + A_{j}) Ι_{i j} (s) d s$ 。

对于任意的u∈H, 易证φ是连续可微的且有

$\begin{array}{l} (φ^{'} (u), v) = \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} \dot{u}_{Γ_{j}} (t) \dot{v}_{Γ_{j}} (t) d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} (\nabla F (t, u_{Γ_{j}} (t)), \\ v_{Γ_{j}} (t)) d t + \sum_{i = 1}^{Ν} \sum_{j = 1}^{p} (1 + A_{j}) \\ Ι_{i j} (u_{i} (t_{j})) (v_{i})_{Γ_{j}} (t_{j}), \forall u, v \in Η 。 \end{array}$

2 主要结果及证明

定理假设 (B) 成立, F (t, x) =G (x) +H (t, x) 满足 (A) 及下列条件

(ⅰ) 存在 $0 < r < \frac{4 π^{2} — 8 Τ^{2}}{7 Τ^{2}}, 0 < Τ < \frac{\sqrt{2} π}{2}$ , 使得

(ᐁG (x) -ᐁG (y) , x-y) ≥-r|x-y|2,

∀x, y∈RN;

(ⅱ) 存在f, g∈C (0, T;R+) , α∈[0, 1) 使得

|ᐁH (t, x) |≤f (t) |x|α+g (t) ,

∀x∈RN, a.e. t∈[0, T];

(ⅲ) 当|x|→∞时,

$| x |^{— 2 α} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} F (t, \prod_{k = 0}^{j} (1 + A_{k}) x) d t \to - \infty$ ;

(ⅳ) 存在M≥0, N≥0使得

|ᐁG (x) -ᐁG (y) |≤M|x-y|α+N, ∀x, y∈RN;

(ⅴ) 当|x|→∞时,

$\int_{0}^{Τ} F (t, x) d t + \sum_{i = 1}^{Ν} \sum_{j = 1}^{p} \int_{0}^{x_{i}} (1 + A_{j}) Ι_{i j} (s) d s \to - \infty$ 。

则问题式 (1) —式 (3) 在H上至少有一个弱解。

证明令 $\tilde{u}_{Γ_{j}} (t) = u_{Γ_{j}} (t) - u (t_{j}^{+}), t \in [t_{j}, t_{j + 1}]$ 。则 $\tilde{u}_{Γ_{j}} (t_{j}) = \tilde{u}_{Γ_{j}} (t_{j + 1}) = 0, u (t_{j}^{+}) = \prod_{k = 0}^{j} (1 + A_{k}) u (0), j = 0, 1, \dots, p, A_{0} = 0$ 。先证φ满足 (PS) 条件, 假设 (un) 是φ的一个 (PS) 序列;由Poincaré不等式得

$\begin{array}{l} (\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{1}{2}} \leq ∥ \tilde{u}_{n} ∥_{Η} \leq \\ (1 + \frac{Τ^{2}}{π^{2}})^{\frac{1}{2}} (\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{1}{2}} (4) \end{array}$

由 (ⅱ) , H $\ddot{o}$ lder及Poincaré不等式得

$\begin{array}{l} | \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} (\nabla Η (t, (u_{n})_{Γ_{j}} (t)), (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t)) d t | \leq \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} f (t) | (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) + u_{n} (t_{j}^{+}) |^{α} | (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) | d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} g (t) | (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) | d t \leq \\ 2 \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} f (t) | u_{n} (t_{j}^{+}) |^{α} | (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) | d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} g (t) | (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) | d t + \\ 2 \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} f (t) | (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{α + 1} d t \leq \\ C_{1} | u_{n} (0) |^{2 α} + C_{2} [\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t]^{\frac{α + 1}{2}} + \\ C_{3} [\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t]^{\frac{1}{2}} + \\ \frac{4 π^{2} - r Τ^{2}}{16 π^{2}} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t (5) \end{array}$

式 (5) 中C1, C2, C3>0。

由 (ⅳ) 及Poincaré不等式得

$\begin{array}{l} | \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} (\nabla G (u_{n} (t_{j}^{+})), (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t)) d t | \leq \\ \frac{1}{2} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} (| \nabla G (u_{n} (t_{j}^{+})) |^{2} + | (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2}) d t \leq \\ \frac{Τ^{2}}{2 π^{2}} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t + C_{4} | u_{n} (0) |^{2 α} + \\ C_{5} | u_{n} (0) |^{α} + C_{6} (6) \end{array}$

其中C4, C5, C6>0。

由 (ⅰ) , 式 (6) 及Poincaré不等式

$\begin{array}{l} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} (\nabla G ((u_{n})_{Γ_{j}} (t)), (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t)) d t = \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} (\nabla G ((u_{n})_{Γ_{j}} (t)) - \nabla G (u_{n} (t_{j}^{+})), (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t)) d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} (\nabla G (u_{n} (t_{j}^{+})), (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t)) d t \geq \\ - \frac{(2 r + 1) Τ^{2}}{2 π^{2}} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t - \\ C_{4} | u_{n} (0) |^{2 α} - C_{5} | u_{n} (0) |^{α} - C_{6}, (7) \end{array}$

因此对于充分大的n有

$\begin{array}{l} ∥ \tilde{u}_{n} ∥ \geq 〈 \dot{φ} (u_{n}), \tilde{u}_{n} 〉 = \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} (\nabla G ((u_{n})_{Γ_{j}} (t)), (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t)) d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} (\nabla G (u_{n} (t_{j}^{+})), (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t)) d t \geq \\ \frac{12 π^{2} - (15 r + 8) Τ^{2}}{16 π^{2}} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t - \\ (C_{1} + C_{4}) | u_{n} (0) |^{2 α} - C_{5} | u_{n} (0) |^{α} - C_{6} - \\ C_{2} [\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t]^{\frac{α + 1}{2}} - \\ C_{3} [\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t]^{\frac{1}{2}} (8) \end{array}$

由式 (4) , 式 (8) 可知, 对于充分大的n有

$C | u_{n} (0) |^{α} \geq (\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{1}{2}} - C_{7} (9)$

其中C>0, C7>0。令 $v_{n}^{j} = u_{n} (t_{j}^{+}) + s (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t)$ , 由 (ⅳ) , 和式 (6) , Cauchy-Schwarz不等式及Poincaré不等式可知, 对于所有的n有:

$\begin{array}{l} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} [G ((u_{n})_{Γ_{j}} (t)) - G (u_{n} (t_{j}^{+}))] d t = \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} \int_{0}^{1} (\nabla G (v_{n}^{j}) - \nabla G (u_{n} (t_{j}^{+})), (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t)) d s d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} (\nabla G (u_{n} (t_{j}^{+})), (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t)) d t \leq \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} \int_{0}^{1} s^{α} Μ | (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{α + 1} d s d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} \int_{0}^{1} Ν | (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) | d s d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} (\nabla G (u_{n} (t_{j}^{+})), (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t)) d t \leq \\ \frac{Μ Τ^{\frac{1 - α}{2}}}{α + 1} [\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t]^{\frac{α + 1}{2}} + \\ Ν (p + 1) \sqrt{Τ} (\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{1}{2}} + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} (\nabla G (u_{n} (t_{j}^{+})), (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t)) d t \leq \\ \frac{Τ^{2}}{2 π^{2}} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t + \\ \frac{Μ Τ^{\frac{α + 3}{2}}}{(α + 1) π^{α + 1}} [\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\tilde{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t]^{\frac{α + 1}{2}} + \\ \frac{Ν (p + 1) Τ \sqrt{Τ}}{π} (\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{1}{2}} + \\ C_{4} | u_{n} (0) |^{2 α} + C_{5} | u_{n} (0) |^{α} + C_{6} (10) \end{array}$

类似可得

$\begin{array}{l} | \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} [Η (t, (u_{n})_{Γ_{j}} (t)) - Η (t, u_{n} (t_{j}^{+}))] d t | \leq \\ \frac{4 π^{2} - r Τ^{2}}{16 π^{2}} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t + C_{1} | u_{n} (0) |^{2 α} + \\ C_{2} (\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{α + 1}{2}} + \\ C_{3} (\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{1}{2}} (11) \end{array}$

对于u= (u1, …, uN) ∈H, 令

$| u (0) |$ : $= (\sum_{i = 1}^{Ν} | u_{i} (0) |^{2})^{\frac{1}{2}}$ 。则有

|ui (t-j) |=|ui (t+j-1) |=|Π $_{k = 0}^{j - 1}$ (1+Ak) ui (0) |≤

|∏ $_{k = 0}^{j - 1}$ (1+Ak) ||u (0) |, (12)

|ui (t-j) |γij+1≤|∏ $_{k = 0}^{j - 1}$ (1+Ak) |γij+1|u (0) |γij+1。 (13)

由条件 (B) , 式 (12) 和式 (13) 知, 对于所有u∈H有

$\begin{array}{l} | \sum_{i = 1}^{Ν} \sum_{j = 1}^{p} \int_{0}^{u_{i} (t_{j}^{-})} (1 + A_{j}) Ι_{i j} (s) d s | \leq \\ \sum_{i = 1}^{Ν} \sum_{j = 1}^{p} \int_{\min {0, u_{i} (t_{j}^{-})}}^{\max {0, u_{i} (t_{j}^{-})}} | (1 + A_{j}) Ι_{i j} (s) | d s \leq \\ \sum_{i = 1}^{Ν} \sum_{j = 1}^{p} b_{i j} | 1 + A_{j} | | Π_{k = 0}^{j - 1} (1 + A_{k}) |^{γ_{i j} + 1} | u (0) |^{γ_{i j} + 1} + \\ \sum_{i = 1}^{Ν} \sum_{j = 1}^{p} a_{i j} | Π_{k = 0}^{j} (1 + A_{k}) | | u (0) | (14) \end{array}$

由{φ (un) }有界, 由式 (10) , 式 (11) 及式 (14) 可知, 对充分大的n及某个常数C8有

$\begin{array}{l} C_{8} \leq φ (u_{n}) = \frac{1}{2} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} [G ((u_{n})_{Γ_{j}} (t)) - G (u_{n} (t_{j}^{+}))] d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} [Η (t, (u_{n})_{Γ_{j}} (t)) - Η (t, u_{n} (t_{j}^{+}))] d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} F (t, u_{n} (t_{j}^{+})) d t + \\ \sum_{i = 1}^{Ν} \sum_{j = 1}^{p} \int_{0}^{(u_{n} (t_{j}^{-}))_{i}} (1 + A_{j}) Ι_{i j} (s) d s \leq \\ \frac{12 π^{2} + (8 - r) Τ^{2}}{16 π^{2}} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t + \\ (C_{1} + C_{4}) | u_{n} (0) |^{2 α} + C_{5} | u_{n} (0) |^{α} + C_{6} + \\ (C_{2} + \frac{Μ Τ^{\frac{α + 3}{2}}}{(α + 1) π^{α + 1}}) (\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{α + 1}{2}} + \\ \frac{Ν (p + 1) Τ \sqrt{Τ} + C_{3} π}{π} (\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | (\dot{u}_{n})_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{1}{2}} + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} F (t, Π_{k = 0}^{j} (1 + A_{k}) u_{n} (0)) d t + \\ \sum_{i = 1}^{Ν} \sum_{j = 1}^{p} a_{i j} | Π_{k = 0}^{j} (1 + A_{k}) | | u_{n} (0) | + \\ \sum_{i = 1}^{Ν} \sum_{j = 1}^{p} b_{i j} | 1 + A_{j} | | Π_{k = 0}^{j - 1} (1 + A_{k}) |^{γ_{i j} + 1} | u_{n} (0) |^{γ_{i j} + 1} 。 \end{array}$

由上式及 (ⅲ) 知|un (0) |有界。事实上, 不失一般性, 假设|un (0) |→∞, n→∞, 则由式 (9) 和上式有

$\underset{n \to \infty}{liminf} \frac{\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} F (t, Π_{k = 0}^{j} (1 + A_{k}) u_{n} (0)) d t}{| u_{n} (0) |^{2 α}} > - (C_{1} + C_{4}),$

而这与 (ⅲ) 矛盾, 因此 (|un (0) |) 有界。由式 (4) 和式 (9) 知 (un) 有界。用类似于文献[3]性质4.1的证明方法可推出 (PS) 条件成立。

下证φ满足鞍点定理 (文献[3]定理4.6) 的其它条件。

令 $\tilde{Η} = {u \in Η | u (0) = 0}$ , 则当|u|→∞时有

φ (u) →+∞ (15)

事实上, 由 (ⅰ) 和式 (6) , 易证

$\begin{array}{l} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} [G (u_{Γ_{j}} (t)) - G (0)] d t \geq - \frac{(r + 1) Τ^{2}}{2 π^{2}} \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | \dot{u}_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t - C_{6} 。 \end{array}$

由式 (11) 可知, 对所有的u∈ $\tilde{Η}$ 有

$\begin{array}{l} | \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} [Η (t, u_{Γ_{j}} (t)) - Η (t, 0)] d t | \leq \\ \frac{4 π^{2} - r Τ^{2}}{16 π^{2}} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | \dot{u}_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t + \\ C_{2} (\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | \dot{u}_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{α + 1}{2}} + \\ C_{3} (\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | \dot{u}_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{1}{2}} 。 \end{array}$

因此

$\begin{array}{l} φ (u) - \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} F (t, 0) d t = \frac{1}{2} \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | \dot{u}_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t + \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} [F (t, u_{Γ_{j}} (t)) - \\ F (t, 0)] d t + \\ \sum_{i = 1}^{Ν} \sum_{j = 1}^{p} \int_{0}^{u_{i} (t_{j}^{-})} (1 + \\ A_{j}) Ι_{i j} (s) d s \geq \\ \frac{4 π^{2} - (7 r + 8) Τ^{2}}{16 π^{2}} \times \\ \sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | \dot{u}_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t - \\ C_{6} - C_{2} \times \\ (\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | \dot{u}_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{α + 1}{2}} - \\ C_{3} (\sum_{j = 0}^{p} \int_{t_{j}}^{t_{j + 1}} | \dot{u}_{Γ_{j}} (t) |^{2} d t)^{\frac{1}{2}} 。 \end{array}$

由式 (4) 及 $0 < r < \frac{4 π^{2} - 8 Τ^{2}}{7 Τ^{2}}, 0 < Τ < \frac{\sqrt{2} π}{2}$ , 得式 (15) 成立。

由 (ⅴ) 可知, 当|u|→∞, u∈RN时有

φ (u) →-∞。 (16)

由式 (15) , 和式 (16) 及鞍点定理 (文献[3], 定理4.6) 便知定理结论成立。

摘要：利用鞍点定理建立了具有函数脉冲及导数脉冲的二阶非自治微分方程组存在周期解的一个简明判据, 推广了相关结果。

关键词：周期解,鞍点定理,脉冲

参考文献

[1] Ma Jian, Tang Chunlei.Periodic solutions for some nonautonomoussecond-order systems.Journal of Mathematical Analysis and Applica-tions, 2002;275 (2) :482—494

[2] Nieto Juan J, O′Regan Donal.Variational approach to impulsive dif-ferential equations.Nonlinear Analysis:Real World Applications, 2009;10 (2) :680—690

脉冲周期篇3

微波开关是采用波束障碍原理, 测量物位的智能传感器。当微波信号从发射调制模块传送到接收解调模块, 接收解调模块对接收到的微波信号进行滤波、放大, 然后传输给主控制模块, 主控制模块识别接收解调模块的解调信号的状态并判断微波束通道的畅通/阻断, 从而可以给PLC, DCS或SCADA系统提供控制信号, 实现物位的监测或直接控制电机等给料或停止供料[1]。微波开关的接收解调模块的基本结构框图如图1所示[2]。

微波开关将接收到的微波信号解调出三种信号:微波幅值信号、高频信号和低频信号。其中, 低频信号为窄脉冲周期信号, 频率由三位拨码开关控制分8级可调, 可避免系统间相互干扰。所设计的低频信号8级频率如表1所示[3]。微波开关对微波信号的时域分析法, 是在微波束通路无障碍时进行校准, 得到无障碍时的微波幅值最大值、低频频率、高频脉宽, 分别称为微波校准幅值最大值、校准低频频率、校准高频脉宽, 由这三个校准值得到三种信号的标称值。然后分别测量微波幅值、低频频率、高频脉宽, 将测量值分别与校准值进行比较, 判断微波幅值、微波低频、微波高频信号是否正常。由三个判决结果表决判断微波束通路的畅通/阻断, 实现微波信号的识别[4]。

当只有一对微波开关时, 时域分析方法可以准确地测量出微波信号的幅值、低频频率和高频频率, 识别微波信号。但工作现场比较近的范围内, 通常会存在多对微波开关。对低频频率的测量产生影响, 时域分析方法识别正确的传感器信号就存在困难, 拟对时域信号采样, 然后进行快速傅里叶变换, 在频域识别出微波信号[5]。

但是FFT固有的频率分辨率与计算量之间的矛盾, 使这两个参数必需选择适当。频率分辨率表示频谱中能够分辨的两个频率分量的最小间隔, 频率间隔Δf可用下式表示:

由上式可见, 要提高FFT的频率分辨率, 只能通过以下两种途径来实现:

(1) 降低采样频率fs, 这会使频率分析范围缩小, 其降低的幅度受到采样定律的限制;

(2) 需要增加分析的采样点数N, 这意味着计算机的存储量和计算量大大增加, 由于实际系统软、硬件方面的限制, 这样做并不总是可行的。可以看出以上两种方法提高频率分辨率的能力有限且灵活性差。

1 微波信号的特点

解调出的微波低频频率为38~52 Hz (分8级可调) , 幅值信号的最大幅值为1.7~2.9 V, 高频信号的频率为21 k Hz±1.05 k Hz, 用示波器测得的微波幅值信号与低频信号时序图如图2所示。图中微波信号频率为38.32 Hz, 周期为26.1 ms, 脉宽约为300μs, 占空比为1.3%。可知微波信号为低频窄脉冲周期信号。

由表1可以看出, 两个频率的最小间隔为2 Hz。即要求所设计的测试系统对频率的分辨率要优于2 Hz。同时由于所用系统的存储容量限制, 采样点数N最大不能超过512点。

2 频域分析方法

为了排除多个发射器所发射信号的干扰, 采用FFT将时域信号转换到频域进行分析, 在所感兴趣的30 Hz到60 Hz频域范围内, 分析是否有与校准频率相等的频率信号存在, 即可正确识别信号、排除干扰。

首先对时域信号采样, 由于微波信号为低频窄脉冲周期信号, 按照采样定律确定的采样频率在时域采样时会漏采该窄脉冲。为此采用窗口法, 每16个点为一个窗口, 在该窗口内采用高采样频率, 确保能采到该窄脉冲。对一个窗口内的数据可以采用最大值法、二值比较法和平均值法等, 为简化使用汇编语言编程的程序, 在一个窗口内选择平均值法, 求得一个采样点, 即为二次采样。16个数求和后, 使用4次移位指令即可求得平均值。然后按上述方法编写程序下载到微波开关硬件系统中[6], 即MSP430F149中, 将单片机所得数据回传至上位机, 用上位机软件查询实时波形得到相应数据。针对微波数据的特点编写Matlab程序, 对得到的数据进行处理, 可得微波幅值信号波形, 对其作傅里叶变换可得频谱图, 由频谱图判断是否有与校准频率相等的频率信号存在, 即可准确识别信号、排除干扰。

频率分辨率是指将两个相邻谱峰分开的能力。在实际应用中是指分辨两个不同频率信号的最小间隔。频率分辨率Δf=fsN (fs为采样频率, N为采样点数) 。考虑到单片机运算速度和存储量, FFT点数不能过多。在采样点数一定时, 如果频率分辨率过低, 会漏采窄脉冲, 难以分辨八级不同频率信号;如果频率分辨率过高, 可以准确分辨不同频率信号, 采样点数一定时需降低采样频率, 降低采样频率则会漏采窄脉冲。采用上述窗口法, 实现局部高采样频率, 确保采到窄脉冲信号的同时, 提高了频率分辨率。

窄脉冲的脉宽约为340μs, 采样定律要求采样频率大于等于原信号频率的2倍, 可得窗口内采样周期最大为170μs, 另一方面, 微波低频频率为38~52 Hz (分8级可调) , 频域分析中为了可以准确区分8级频率信号, 取频率分辨率应小于 (52 Hz-38 Hz) 7=2 Hz。综上, 窗口内采样周期小于170μs, 频率分辨率则应大于2 Hz。

3 实验

基于上述思想, 将FFT的思想编写程序, 植入MSP430F149单片机中[7,8]。由于所用系统的存储容量限制, 采样点数N取128点。多次调整确定窗口内采样周期T1=156μs, 每32个点为1个窗口, 在1个窗口内用平均值法, 求得一个采样点, 即为二次采样, 其采样周期T2=32T1N=639 ms。而采样频率fs=204.8 Hz, 频率分辨率Δf=fsN=1.6 Hz。采样结束后, 对采样点进行频域抽取法FFT, 该算法的特点是输入序列为自然顺序, 而输出为倒序排列;特别是前一级的旋转因子刚好是后一级上一半蝶形计算的旋转因子, 且顺序不变。而程序中旋转因子的计算采用查表法。FFT结果分实部和虚部两部分, 由于输出为倒序排列, 将实部和虚部求平方和, 用查表法对平方和进行倒序, 得到128点FFT频域顺序序列。由于所得值均为归一化频率, 用查表法分别将其乘以频率分辨率, 结果即为相应的频率值。为了直接由单片机输出频率值, 并判断微波状态是否正常, 对感兴趣范围内的频率值进行排序, 找出较大的3个频率值, 分别与校准值进行比较, 如果存在与校准值相差±2 Hz的频率值, 则认为微波低频频率正常。

3.1 单发射器实验

微波信号频率f=38 Hz时, 将单片机得到的频域顺序序列作图, 并展开20~40 h, 即32~64 Hz部分, 可得微波幅值信号频域图形及部分展开图, 分别如图3所示, 频域波形的峰峰值对应的横坐标为26 h, 转换为十进制得低频频率为38 Hz。

分别测量八级频率可得相应微波幅值信号频域图形的部分展开图, 分析各图结果如表2所示。由表2可见, 对低频频率识别的误差, 即测量值与校准值的差值控制在±2 Hz。因此在只有一个发射器时, 该方法可以较准确地识别低频窄脉冲微波信号。

3.2 多发射器情况下实验

(1) 存在两个不同的发射器时, 发射的低频信号频率分别为38 Hz, 52 Hz, 接收器的校准低频频率为38 Hz, 低频频率为52 Hz的微波信号则为干扰信号。微波幅值信号频域图形及部分展开图, 如图4所示, 频域波形中纵坐标较大的对应的横坐标分别为27 h, 35 h, 转换为十进制得频率分别为39 Hz, 53 Hz, 与校准低频频率值比较可以识别信号, 排除干扰。

(2) 存在三个不同的发射器时, 发射的低频信号频率分别为38 Hz, 46 Hz, 52 Hz, 接收器的校准低频频率为38 Hz, 低频频率为46 Hz, 52 Hz的微波信号则为干扰信号。微波幅值信号频域图形的部分展开图, 如图5所示, 频域波形中纵坐标较大的对应的横坐标分别为27 h, 33 h, 35 h, 转换为十进制得频率分别为39 Hz, 51 Hz, 53 Hz, 与校准低频频率值比较可以识别信号, 排除干扰。

4 结语

实验结果表明, 该频域分析方法中, 频率分辨率较高, 对微波信号低频频率识别的误差, 即测量值与校准值的差值控制在±2 Hz, 可以较准确地识别微波信号, 同时可以准确地区分原信号和干扰信号, 达到了信号识别, 排除干扰的目的。对其他需要处理低频窄脉冲周期信号的应用方面有一定的参考价值。显然, 仅用FFT方法频率识别准确性不高, 必须综合采用ZFFT[9]或MUSIC[10]等现代谱分析技术, 才能进一步提高频率识别准确性, 这正是需要进一步研究的内容。

摘要：对某基于MSP430F149的传感器的低频窄脉冲周期信号识别时, 若依据采样定律对该低频信号确定的采样率采样则会漏掉该窄脉冲;若提高采样率, 频域处理时点数又太多。为此时域采样采用窗口内高采样率, 对每个窗口用重采样作为一个采样点。采用快速傅里叶变换 (FFT) 将时域信号转换为频域信号, 分析感兴趣频域范围内的信号。实验结果表明基于MSP430F149的频域识别方法, 能准确地识别出与接收器相匹配的传感器信号, 达到信号识别、排除干扰的目的。对其他需要处理低频窄脉冲周期信号的应用领域有一定的参考价值。

关键词：MSP430F149,窄脉冲,周期信号,FFT,信号识别

参考文献

[1]李周利, 黄天录.一种智能微波开关.中国, CN2024885753U[P].2012-10-10.

[2]任阿龙, 胡文麒.一种新型微波开关的设计与实现[J].电子测试, 2011 (4) :102-104.

[3]李周利, 赵学敏, 黄天录.微波信号调制电路设计与实现[J].电子测试, 2012 (5) :89-92.

[4]李周利, 何方, 黄天录.智能微波开关微波信号识别方法[J].仪表技术与传感器, 2012 (2) :97-99.

[5]王力, 张冰, 徐伟.基于Matlab复调制ZOOM2FFT算法的分析和实现[J].舰船电子工程, 2006, 26 (4) :119-121.

[6]许镕淏, 王焱, 李晓梅.精确识别地铁ASK信号低频频率的新方法[J].铁路计算机应用, 2010 (5) :51-53.

[7]沈建军, 杨艳琴.MSP430F149系列16位超低功耗单片机原理与实践[M].北京:航天航空大学出版社, 2008.

[8]胡大可.MSP430系列超低功耗16位单片机原理与应用[M].北京:北京航空航天大学出版社, 2000.

[9]YIP P C Y.Some aspects of the zoom transform[J].IEEE Transactions on Computers, 1976, 25 (3) :287-296.

【脉冲周期】推荐阅读：