脉冲函数

2024-11-07

脉冲函数（精选6篇）

脉冲函数篇1

摘要：在现代战场上, 电子设备体制及工作模式日益复杂、多变, 新体制脉冲信号的大量使用, 使得现代电磁信号侦察接收机面临的电磁环境日益密集、复杂。因此, 复杂信号条件下脉冲信号检测识别技术成为现代侦察接收机中一项亟待解决的关键技术。从电子侦察的视角, 借助时频分析理论, 提出基于脉冲信号的分量分离和各分量的模糊函数检测方法, 以其本质性的特征对电磁信号侦察进行分析讨论, 并进行了仿真评估, 验证了该方法指标性能的先进性。

关键词：时频分析,模糊函数,距离度量,模式识别

0引言

时频变换作为一种信号处理手段, 具有优良的时频域分辨特性, 能够满足时、频二维对信号的分离, 有一定多信号处理的能力, 作为时频支撑集而具有聚集性, 此外还有其他很多优点。

广大研究人员对威格纳崴利 (WVD) 进行了深入分析和讨论。比如在二次型分布对于非平稳信号的检测性能、WVD对线性调频脉冲信号的分析性能、时频分析的脉内调试识别、多信号分量的二次型分析、核函数滤波[1]等都取得了许多的研究成果。但一般对于Cohen类[2]的模糊函数在电子侦察领域关注得较少, 而模糊函数研究也都是传统雷达信号处理中的匹配信号处理思路对其展开研究, WVD对白噪声中的信号具有良好的检测能力。由于二次型分布具有表现信号瞬时功率谱密度的能力, 因此在二次型分布中讨论信号的检测与识别, 很大程度是对信号的瞬时功率谱密度的特性分析。根据物理能量准则, 依据信号和噪声能量在特定时频域中强弱分布的先验知识, 有效地分离噪声和感兴趣的信号, 从而再进行信号检测, 无疑是一种趋于最优的方法。

1模糊函数基本理论

1.1时频分析原理

在信号分析领域中, 时间和频率是最基本、最常用、最方便的度量子空间, 信号的相关函数和功率谱是这2个子空间中最常用的物理测度。在非平稳信号分析中, 传统的傅里叶变换受到了限制, 因为非平稳信号的频率成分是时变的, 相关函数和功率谱等统计量也是时变函数, 这时只了解信号的全局特性是远远不够的, 需要获得信号的频谱随时间变化的特征以及信号的时频局部化特征, 所以分析非平稳信号要用时间和频率的联合函数来表示。虽然认为信号本身是全局非平稳的, 但是在具体局部域却是近似平稳的。这种表示称为信号的时频表示, 基于信号时频表示的信号分析称为信号的时频分析。

1.2脉冲信号的模糊函数

在脉冲信号处理中, 模糊函数是一种信号分析与设计的重要工具。当目标被视为“点”目标时, 回波信号的波形与发射波形相同, 但有不同的时延τ和ξ不同的频偏 (多普勒频率) , 此时的输出脉冲模糊函数为该信号匹配滤波输出对τ、ξ的二维响应。

在非平稳信号处理中, 模糊函数采用不同的定义:对瞬时自相关函数做关于t的傅里叶反变换而不是傅里叶变换。即定义为:

$χ_{x} (τ, ξ) = \int^{\infty}_{_{_{- \infty}}} x (t + \frac{τ}{2}) x^{*} (t - \frac{τ}{2}) e^{j 2 π ξ t} d t$ 。 (1)

模糊函数也可以用信号的傅里叶变换X (f) 定义为:

$χ_{x} (τ, ξ) = \int^{\infty}_{_{_{- \infty}}} X^{*} (f + \frac{ζ}{2}) X (f - \frac{ζ}{2}) e^{j 2 π f τ} d t$ 。 (2)

脉冲信号具有多种多样的功能和用途, 与之相对应的有各不相同的信号形式 (不同的模糊函数特征) 。随着综合射频技术及体制的发展, 根据不同用途和功能出现了类型繁多、特征各异的综合射频脉冲信号, 如从频率域的信号形式来看, 基本可以将这类信号分为:单频脉冲信号、调频脉冲信号、调相脉冲信号、频率编码脉冲信号和频率分集脉冲信号等[3]。

2模糊距离空间

如果将截获的脉冲信号时频截段投入到L2空间 (L2是线性空间) 中, 若使用内积定义, 设 $\vec{x} = (x_{1}, y_{1}) ‚ \vec{y} = (x_{2}, y_{2})$ 均为单位矢量, 是空间内的任意2个向量, 定义:

$〈 \vec{x}, \vec{y} 〉 =$ ∫∫ (x1+y1) * (x2+y2) dxdy。 (3)

显然式 (2) 满足内积公理[4,5], 则可成内积空间。由模糊函数的共轭对称性质可推知, 当 $\vec{x}, \vec{y}$ 为模糊函数时, 内积 $〈 \vec{x}, \vec{y} 〉$ 为实数, 则有 $| 〈 \vec{x}, \vec{y} 〉 | \geq 0$ 。可知此时信号内积空间同时满足距离的定义, 即

$d (\vec{x}, \vec{y}) = 1 - \frac{| 〈 \vec{x}, \vec{y} 〉 |}{| 〈 \vec{x}, \vec{x} 〉 |^{1 / 2} | 〈 \vec{y}, \vec{y} 〉 |^{1 / 2}} ‚$

构成距离空间。

基于投影定理 (Projection Theorem) [6]得到内积 $〈 \vec{x}, \vec{y} 〉$ 是信号 $\vec{x}$ 在 $\vec{y}$ 上的投影值。使用上面的结论, 投影值此时也是2个信号之间的距离的一种表象, 其物理概念为在标准笛卡尔正交基下, 2个信号模糊函数的相关性度量 (相关性越好, 距离越小) 。

对于本文的应用来说, 模糊域内时延τ和频移ξ构成了L2空间的一组正交基。噪声、各种脉冲信号都具有各自特征的模糊函数, 根据截获的信号时频截段而产生的模糊函数与特征模糊函数之间是可以通过相关性 (距离) 的比对进行判决的。

白噪声模糊函数如图1所示, 从图1可以看出二次型分布对于局部平稳的噪声检测具有良好的适应性。在模糊域, 对于带内的高斯白噪声, 模糊函数有极好的非周期相关性。

白噪声的模糊函数集中在坐标原点 (0, 0) 及周围, 而在广大的平面内少有分布。类似于WVD中的分析, 对于某随机信号x (t) =s (t) +n (t) , 其中s (t) 为解析的确定信号, n (t) 是一平稳零均值有色噪声。可知加性噪声下确定信号的模糊函数有:

$χ_{x} (τ, ξ) = χ (τ, ξ) + χ_{n} (τ, ξ) + 2 Re [χ_{s, n} (τ, ξ)]$ 。 (4)

式中,

χx (τ, ξ) =∫∞-∞s (t+τ/2) n* (t-τ/2) ej2πξtdt=

∫∫∞-∞S (f+υ/2) N* (f-υ/2) ej2πτfdf。

可以证明:χx (τ, ξ) =χs (τ, ξ) +χn (τ, ξ) 。χn (τ, ξ) 代表平稳噪声n (t) 的模糊函数。若假定噪声是带限白噪声, 则上式变为:

χx (τ, ξ) =χs (τ, ξ) +σ $_{n}^{2}$ δ (τ, ξ) 。 (5)

式中, σ $_{n}^{2}$ 为白噪声n (t) 的方差。式 (5) 说明模糊函数也具有用于检测白噪声中的信号的能力。

前面提到的空间内积距离的方法原则上是具有检测的能力, 但由于噪声具有随机特性, 对于使用的噪声模糊函数模板 (某特定时间段内的噪声模糊函数) 与实际噪声之间的模糊函数相关性, 是检验信号检测算法的重要考量。

3仿真分析

3.1判决距离仿真分析

通过Matlab仿真工具软件, 模拟独立的100次噪声数据截断, 与标准噪声模糊函数模板做内积距离估计, 得到蒙特卡洛试验结果如图2 (a) 所示。

从图2 (a) 可以看出, 内积距离结果基本在 (0.993, 1) 区间以内, 而相同的噪声模糊函数模板与简单脉冲信号模糊函数之间的内积距离值为0.999 240, 二者十分接近。这种结果与预想情况是有明显差距的, 究其原因是在内积运算中使用的是复数形式的模糊函数内积。而噪声在独立条件时, 其模糊函数的相位是独立的, 这反映了噪声的高阶非相关性。所以从内积的结果来看, 并没有预想的那样二者内积很小 (相似度很高) 。这就要对信号检测算法进行改进, 以适应噪声的这种特征。

由于模糊函数本身具有体积不变的特征, 而噪声的模糊函数主要集中于原点附近。于是可以提出基于模糊函数绝对值的内积估计方法, 即

使用绝对值后模糊函数对于相位信息不在敏感, 能够对于噪声高阶不平稳性进行一定的滤除。以上面例子中的噪声模拟实验为例, 完全相同的数据经过绝对值内积估计后测量值如图2 (b) 所示, 而此时简单脉冲信号与噪声模板模糊函数的绝对值内积估计为0.839 203 (典型值) 、线性调频为0.846 2 (典型值) 、二相编码为0.687 9 (典型值) , 显然这种测算方法优势明显。

3.2信号检测仿真分析

信号的检测的另一重要考量内容是信号检测所能适应的信噪比, 需要考察检测方法受信噪比下降的影响程度, 以确定算法处理信号的灵敏度。

对于简单脉冲信号引入加性白噪声 (此时噪声可认为是极窄带内或同频噪声) , 设置与数据截段长度相适应的噪声信号, 控制带内信噪比可得如图3 (a) 所示绝对值内积距离仿真测量结果。当信噪比大于-10 dB时, 信号满足一般门限检测条件。

对相位编码脉冲信号引入加性白噪声 (此时噪声可认为是信号带内噪声) , 设置与数据截段长度相适应的噪声信号, 控制带内信噪比可得如图3 (b) 所示绝对值内积距离仿真测量结果。当信噪比大于-3 dB时, 信号满足一般门限检测条件。

对于线性调频脉冲信号引入加性白噪声 (此时噪声可认为是信号带内噪声) , 设置与数据截段长度相适应的噪声信号, 控制带内信噪比可得如图3 (c) 所示绝对值内积距离仿真测量结果。当信噪比大于-11 dB时, 信号满足一般门限检测条件。

以上分析说明取得这种效果的根本原因是利用了噪声在能量域中的二阶统计特征, 这是在常规处理中一般难以取得的。

对于本文的分析来说, 噪声、各种脉冲信号都具有各自特征的模糊函数, 根据截获的信号时频片段而产生的模糊函数与特征模糊函数之间是可以通过相关性 (距离) 的比对进行判决的。这种处理思路有2点理论上的缺陷:

① 由于样本空间的非稠密性而使得空间不具有完备性, 距离不具有绝对的收敛性。简而言之是信号模糊样本不具有针对空间截获信号截段的全部本质表达, 存在漏项, 因而依据距离的判断归类是不严格准确的。

② 由于模糊函数是对信号二阶统计量 (相关函数) 的处理, 对于二阶统计不平稳的信号, 如加性噪声等敏感。所以处理算法对于这类信号也存在缺陷。

这2种缺陷主要表现为处理方法理论上的不完备性, 对实际的工程应用影响不大。

4结束语

从以上的理论推导以及仿真结果来看, 基于模糊域的绝对值内积距离信号检测方法可以在带内或同频噪声中有效地检测微弱信号。对于简单脉冲、相位编码脉冲和线性调频脉冲等信号可分别在信噪比-10 d B、-3 dB和-11 dB条件下实现信号的检测, 该性能指标优于一般处理方法, 具有较好的工程应用潜力。在后续开发中需要关注该方法的计算量优化和硬件设计实现等技术。

参考文献

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[6]SERGIOS T.模式识别[M].李晶姣, 译.北京:电子工业出版社, 2006:1-41.

脉冲函数篇2

基于脉冲函数电流模型对闪电回击电磁场的计算

基于一种新的描述回击通道底部电流的`脉冲函数模型,利用偶极子法对距离回击通道底部不同距离处的LEMP进行了计算.把几种闪电回击的工程模型的计算结果与实测结果进行了比较,表明MTLL模型能够与实际结果更为吻合.

作者：陈亚洲刘尚合张飞舟魏明伍小蓉作者单位：陈亚洲,刘尚合,张飞舟,魏明(军械工程学院静电与电磁防护研究所,河北,石家庄,050003)

伍小蓉(空军后勤学院研究生队,江苏,徐州,221000)

刊名：电波科学学报 ISTIC EI PKU英文刊名：CHINESE JOURNAL OF RADIO SCIENCE 年，卷(期)：2002 17(2) 分类号：P427 关键词：闪电底部电流模型回击模型电磁脉冲场偶极子法

脉冲函数篇3

在经济学的实证分析中, 脉冲响应分析具有重要地位。脉冲响应函数描述经济系统中某个变量在一个时刻受到的冲击对系统中所有变量当期和未来值的影响, 如研究货币政策冲击对国内生产总值 (GDP) 、失业和物价水平等的影响。通常情况下, 脉冲响应分析在向量模型中进行。其基本思想是假定某几个经济变量的数据生成过程可以由向量自回归 (VAR) 模型描述, 然后利用样本数据估计VAR模型的参数, 最后根据这些参数值计算脉冲响应函数。但很多情形下, 也希望知道一元时间序列模型的脉冲响应函数, 比如货币政策的某次变动对汇率数据的影响。然而在做脉冲响应分析时, 仅仅计算脉冲响应函数的值是不够的, 因为脉冲响应函数没有给出统计上的显著水平, 见Runkle (1987) 。脉冲响应分析的正确做法是要在计算出脉冲响应函数的同时, 构造出脉冲响应函数的置信区间。本文关注如何构造脉冲响应函数的置信区间。

考虑模型

$B (L) z_{t} = e_{t}$

其中, et是iid (0, σ2) , B (L) 是p阶的自回归多项式。假定yt=zt (无确定趋势情形) , yt=μ+zt (有漂移项情形) 或yt=μ+δt+zt (有漂移项和时间趋势项情形) 。yt是可观测到的时间序列。hl (θ) 表示超前l期的脉冲响应函数, 含义是在et上发生的大小为σ的冲击对yt+l的影响, 其中θ是B (L) 和σ2中所含参数组成的向量。通常, hl (θ) 的点估计量是hl ( $\hat{θ}$ ) , 其中 $\hat{θ}$ 是θ的普通最小二乘估计。本文关注如何构造hl (θ) 的置信区间。同这方面的大多数研究一样 (如Runkle (1987) , Lütkepohl (1990) 和Kilian (1998) 等) , 本文关注的也是点置信区间, 即对于一些单个超前期l的置信区间。这是同目前多数应用文献中对脉冲响应的使用方式相一致的。

截至目前, 已有的脉冲响应函数置信区间的构造方法主要有两类:一类是解析方法, 另一类是数值方法。在解析方法方面, Lütkepohl (1990) 提出delta方法。由于解析方法的效果非常不好, 学者们提出了较多的数值方法。在数值方法方面, Kilian (1998) 采用二次自举方法, Sims和Zha (1999) 提出蒙特卡罗方法, Wright (2000) 、Gospodinov (2004) 和Oscar (2005) 等学者也提出了不同的方法。下面简要介绍计量经济软件中常用的几种方法。

当B (L) 的根都严格位于单位圆外时, $Τ^{\frac{1}{2}} (\hat{θ} - θ) \Rightarrow Ν (0, Ω) ‚$ 其中Ω是非奇异的协方差矩阵。因此, 依据delta方法, 由

$Τ^{\frac{1}{2}} (h_{l} (\hat{θ}) - h_{l} (θ)) \Rightarrow Ν (0, \frac{d h_{l} (θ)}{d θ} \begin{array}{l} ´ \end{array} Ω \frac{d h_{l} (θ)}{d θ})$

可得到hl (θ) 的置信区间 (Runkle (1987) 和Lütkepohl (1990) ) 。这就是构造脉冲响应函数置信区间的delta方法。

在有限样本下, delta方法的效果不好。尤其当时间序列中存在单位根或近似单位根时, delta方法构造出的置信区间的实际覆盖率可能会远低于其名义置信水平。即使在大样本时delta方法也不是渐近可用的。比如在有单位根的情形下, delta方法所基于的假定是自回归系数估计量渐近服从正态分布。而实际上自回归系数估计量在这种情形下的渐近分布是高度非正态的, 见Dickey等 (1979) , 这自然导致delta方法的效果不尽人意。

Kilian (1998) 提出偏差修正自举方法 (二次自举方法) , 第一次自举尝试解决模型参数估计的有偏问题, 在进行偏差调整过程中要做适当的校正以防止自回归参数中出现爆炸根。第二次自举构造置信区间。当真实数据过程中没有单位根或近似单位根时, 该方法的效果很好。但是当真实数据过程有单位根或近似单位根时, Kilian (1998) 方法的效果虽然优于delta方法, 但实际覆盖率仍低于名义置信水平, 而且该方法的运算量很大。

Sims和Zha (1999) 利用蒙特卡罗积分构造脉冲响应的等尾贝叶斯置信区间。本文称为蒙特卡罗方法。该方法首先模拟hl (θ) 的后验分布, 然后取该分布的第 $\frac{α}{2}$ 和 $1 - \frac{α}{2}$ 分位数构造脉冲响应函数的100 (1-α) %置信区间。Sims和Zha (1999) 方法的效果也优于delta方法, 但是仍然会发生实际覆盖率低于名义置信水平的情况。

评价脉冲响应函数置信区间优劣的标准有实际覆盖率和平均长度。置信区间的实际覆盖率越接近名义置信水平越好。在这一标准下, 其平均长度越短越好。已有的构造脉冲响应函数置信区间方法的不足主要表现在, 当真实数据过程是非平稳或接近非平稳时, 会出现实际覆盖率低于名义置信水平的情况。这是因为在这种情况下, 模型参数估计量的有偏问题会更严重。但是在实际中, 有意义的情形多数都是非平稳或接近非平稳的, 因此对这种情形的研究是更为重要的。本文提出的构造脉冲响应函数置信区间的新方法, 可以在这种情形下得到明显优于已有方法的表现。

造成已有的构造脉冲响应函数置信区间的方法效果不够理想的原因有两个。第一, 在有限样本下, 模型参数的估计量是有偏和不对称的。第二, 脉冲响应函数是模型参数的非线性函数, 这会进一步扭曲脉冲响应函数的分布, 见Kilian (1998) 。本文提出的新方法主要从解决第一个问题入手来构造置信区间, 从而得到优于已有方法的表现。其做法分为两步, 第一步基于Andrews和Chen (1994) 提出的近似中位数无偏估计方法构造模型参数的偏差修正估计量;第二步利用标准自举方法构造脉冲响应函数的置信区间。通过对新方法和已有方法进行蒙特卡罗模拟表明, 新方法在小样本时的表现要明显优于已有的方法。

2 计算方法

考虑带有漂移项和时间趋势项的标准p阶自回归过程

$y_{t} = μ + β t + γ_{1} y_{t - 1} + γ_{2} y_{t - 2} + \dots γ_{p} y_{t - p} + e_{t} (1)$

该模型可以改写为下面的增广Dickey-Fuller形式

$y_{t} = μ + β t + α y_{t - 1} + φ_{1} Δ y_{t - 1} + \dots φ_{p - 1} Δ y_{t - p + 1} + e_{t} (2)$

其中, 系数α=γ1+γ2+…+γp, φj=- (γj+1+…+γp) , j=1, 2, …, p-1。

下面给出中位数无偏估计的定义。如果 $Ρ (X \geq m) \geq \frac{1}{2}$ 且 $Ρ (X \leq m) \geq \frac{1}{2}$ , 则称数m是随机变量X的中位数。令 $\hat{α}$ 是参数α的估计量。如果对于参数空间中的每一个α值, $\hat{α}$ 的中位数都等于参数α的真实值, 则称 $\hat{α}$ 是α的中位数无偏估计 (MU) 。

对于一阶自回归过程, 可以按下述方法得到参数的精确中位数无偏估计。假定估计量 $\hat{α}$ 的中位数函数m (α) 有唯一定义, 只依赖于α, 且在参数空间 (-1, 1]上是严格单增的。则α的中位无偏估计 $\hat{α}$ U为

$\hat{α}_{U} = {\begin{cases} 1, \\ m^{- 1} (\hat{α}), \\ 1, \end{cases} \begin{array}{l} \hat{α} > m (1) \\ m (- 1) < \hat{α} \leq m (1) \\ \hat{α} \leq m (- 1) \end{array} (3)$

其中, $m (- 1) = \lim_{α \to - 1} m (α) ‚ m^{- 1}$ : (m (-1) , m (1) ]→ (-1, 1]是m (·) 的反函数, 通常取 $\hat{α}$ 为α的普通最小二乘估计 (OLS) 。

对于p阶自回归过程, 采用迭代方法得到参数的近似中位无偏估计。第一步, 用yt对 (yt-1, …, Δyt-p+1, 1, t) 回归, 得 (α, φ1, …, φp-1, μ, β) 的OLS为 ( $\hat{α}$ LS1, $\hat{φ}$ 1, LS1, …, $\hat{φ}$ p-1, LS1, $\hat{μ}$ LS1, $\hat{β}$ LS1) 。第二步, 把 ( $\hat{φ}$ 1, LS1, …, $\hat{φ}$ p-1, LS1) 看做 (φ1, …, φp-1) 的真实值, 用式 (3) 的方法计算α的中位无偏估计 $\hat{α}$ U1. 第三步, 把 $\hat{α}$ U1看作α的真实值, 用 $y_{t} - \hat{α}_{U 1} y_{t - 1}$ 对 (Δyt-1, …, Δyt-p+1, 1, t) 回归得到 (φ1, …, φp-1) 的第二轮OLS, 记为 ( $\hat{φ}$ 1, LS2, …, $\hat{φ}$ p-1, LS2) 。接下来, 把 ( $\hat{φ}$ 1, LS2, …, $\hat{φ}$ p-1, LS2) 看做 (φ1, …, φp-1) 的真实值来生成α的第二轮中位无偏估计 $\hat{α}$ U2. 按此方法迭代直至收敛或达到某一迭代次数。如果 $\hat{α}$ Uj是α的最后估计, 则 ( $\hat{φ}$ 1, LSj+1, …, $\hat{φ}$ p-1, LSj+1, $\hat{μ}$ LSj+1, $\hat{β}$ LSj+1) 是 (φ1, …, φp-1, μ, β) 的最后估计, 且它们也分别为模型参数最终的中位无偏估计。

在按照上述方法得到模型参数的中位无偏估计后, 进一步采用标准自举方法构造脉冲响应函数的置信区间。具体步骤为:第一步:计算式 (2) 中参数的中位无偏估计;第二步:从式 (2) 的残差中有放回的抽取多组残差数据 (称为自举数据集) ;第三步:用每一组自举数据集、式 (2) 和参数的中位无偏估计值构造时间序列数据{yt′}, 并重新估计式 (2) 的中位无偏估计和计算相应的脉冲响应函数。由此得到hl (θ) 的自举分布;第四步:取该分布的第 $\frac{α}{2}$ 和 $1 - \frac{α}{2}$ 分位数构造hl (θ) 的100 (1-α) %置信区间。

3 模拟结果

下面分别对一阶和二阶自回归过程, 利用蒙特卡洛模拟给出delta方法、蒙特卡罗方法以及新方法在小样本时的表现。delta方法和蒙特卡罗方法在计量经济学软件中都有提供。

考虑的模型形式为yt=μ+δt+zt, 其中 (1-aL) (1-bL) zt=et和et～NI (0, σ2) 。模拟过程中假定σ2=1。上述模型当b=0时对应的是一阶自回归情形, 当b≠0时对应的是二阶自回归情形。对一阶自回归过程分别模拟了当a=1.0, 0.97, 0.95和0.9时的情况。对二阶自回归过程分别模拟了当b=-0.1, a=1.0, 0.97, 0.95和0.9时的情况。参数的这些取值代表了相应的自回归过程中具有一个单位根或近似单位根的情形。这类自回归过程会表现出较强的持续性或长记忆性, 是经济序列中经常遇到的情形。

用蒙特卡罗模拟对上述三种方法进行评价的步骤如下。第一步, 利用上述模型和参数a和b的每一组值分别生成5000组样本容量为100的样本数据, 在生成样本数据时模型中的漂移项和趋势项设定为0。第二步, 对每一组样本数据估计上述模型, 在估计时不施加漂移项和趋势项为0的约束, 并假定模型的滞后期数已知。第三步, 用delta方法、蒙特卡罗方法和新方法分别构造超前期为1～15期的脉冲响应函数的名义置信水平为90%的置信区间, 其中新方法的自举次数和蒙特卡罗方法的抽样次数都设定为5000次。

对这三种构造脉冲响应函数置信区间方法的优劣进行比较的标准有两个。一个是按上述三种方法构造出的名义90%置信区间的实际覆盖率;另一个是这些区间的平均长度。实际覆盖率是构造出的名义90%置信区间包含真实脉冲响应值的频率。

在一阶自回归过程下三种方法的模拟情况见图1和图2。图1是当a=1.0, 0.97, 0.95和0.9时三种方法构造的名义90%水平置信区间的实际覆盖率。图2是相应的置信区间的平均长度。

注:带圆圈的线是delta方法, 带星的线是蒙特卡罗方法, 实线是新方法 (下同) 。纵轴表示覆盖率, 横轴表示超前期。

从图1可以看出, 当a=1.0, 0.97, 0.95和0.9时新方法所构造置信区间的实际覆盖率都达到或接近名义置信水平。而delta方法和蒙特卡罗方法的实际覆盖率要低于名义置信水平很多。当a的值大于0.95时, delta方法和蒙特卡罗方法构造出的名义置信水平为90%的置信区间的实际覆盖率还不能达到60%。而且随着a的值接近于1, delta方法和蒙特卡罗方法的实际覆盖率变得越来越差。这是由于对自回归系数的估计是有偏的, 而且这种偏倚程度随着a的值接近于1而变大。而delta方法和蒙特卡罗方法在构造置信区间时没有考虑这种偏性, 从而导致了它们较低的实际覆盖率。蒙特卡罗方法的实际覆盖率要优于delta方法。

从图2可以看出, 新方法构造的置信区间的平均长度要略长于另外两种方法。置信区间的长度较长通常意味着其精度低。但是由于另外两种方法的实际覆盖率很低, 新方法相对于其他方法的优越性是主要的。这正如在做假设检验时, 要求检验方法在把1类错误控制在一定水平的前提下, 尽量控制2类错误发生的概率。同假设检验类似, 在构造脉冲响应的置信区间时, 也应当要求所构造出的置信区间的实际覆盖率在尽量达到名义置信水平的前提下, 其长度也尽量短。二者之中, 达到名义置信水平是对置信区间的首要要求。本文采用的新方法的实际覆盖率优于其他已有的方法。

注: 纵轴表示平均长度, 横轴表示超前期。

二阶自回归过程下三种方法的模拟结果见图3和图4。图3是当b=-0.1, a=1.0, 0.97, 0.95和0.9时三种方法构造的置信区间的实际覆盖率。图4是相应的置信区间的平均长度。从图3可以看出, 新方法所构造的置信区间的实际覆盖率仍然优于其他已有的方法。delta方法的实际覆盖效果还是最差的。蒙特卡罗方法的效果较一阶情形有较大改进, 在超前期数大于10时会有好的表现, 但是在超前期数低于10时, 其实际覆盖率仍然低于名义置信水平。另一方面, 值得注意的是, 三种方法在二阶情形下的表现均要优于它们咱一阶情形时的表现, 实际覆盖率有提高, 置信区间的长度也更短。

综合上述模拟表现, 新方法在所考虑的各种情形下的实际覆盖率均超过其他已有的方法。新方法的这种优越性随着自回归过程的特征根接近于1会变得越来越明显。

4 总结

进一步的研究可以从以下两个方面进行。一是把该种方法推广到向量情形。由于在向量情形下还没有相应的中位无偏估计的结果, 要得到向量模型参数的中位无偏估计鄙较困难, 置信区间的构造难度也会较大。二是采用不同于标准自举方法的其他自举方法, 选用能把模型参数估计量的偏性考虑进来的自举方法, 应该可以得到精度更高的置信区间。

参考文献

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[11]Runkle D E.Vector autoregressions and reality[J].Journal of Business&Economic Statistics, 1987, 5:437~432.

脉冲函数篇4

切换系统一般包括一组有限 (或无限) 个子系统和一个描述子系统之间如何切换的切换规则, 是一种重要的混合动态系统, 在自动化控制等各领域, 具有广泛的应用背景。近年来, 切换系统的研究越来越热, 在切换系统的稳定性和切换规则的设计方面得到了许多的研究成果[1,2]。

在实践中, 脉冲、时滞和切换会不可避免地同时存在。如何控制好这些因素, 使得事物发展按既定目标进行, 是一个值得探讨的问题, 但对这类系统的研究还很少[2,3]。已有成果的主要研究方法是Lyapunov泛函及Razumikhin技巧[3]。本文从摄动的观点出发, 采用变分Lyapunov函数方法和Razumikhin技巧, 建立了脉冲时滞切换系统的充分比较原理, 推广了右端函数不含切换时的情形, 得到了该系统一致渐近稳定的比较结果。

1 预备知识

考虑脉冲时滞切换系统

与相应的不含时滞的脉冲切换系统

y′ (t) =fk-1 (t, y (t) ) , t∈[tk-1, tk) ,

y (tk) =Jk (t-k, y (t-k) ) , k∈N+,

y (t0) =x0, t≥t0 (2)

(1) 式中Fk-1 (t, xt) =fk-1 (t, x ( (t) ) +Rk-1 (t, xt) , Ik (t, x) =Jk (t, x) +Qk (t, x) , Rk-1 (t, xt) 与Qk (t, x) 均为摄动项;x′ (t) , y′ (t) 表示x (t) , y (t) 在t处的右导数;xt (θ) =x (t+θ) , θ∈[-τ, 0];t0表示初始时刻, tk (k∈N+) 表示切换时刻, 对任给的t0, y (t0) =x0=φ (0) ;Fk-1∈C ([tk-1, tk) ×PC[-r, 0], Rn) , fk-1∈C ([tk-1, tk) ×Rn, Rn) ;Ik, Jk∈C (R+×Rn, Rn) , 其中PC[a, b]={φ:[a, b]→Rn}φ在[a, b]上除至多有限个第一类间断点t外连续, 且φ (t+) =φ (t) }。

本文总假定Fk-1, fk-1, Jk, Jk满足某些条件[2], 以保证系统 (1) 式, (2) 式的零解整体存在且唯一。引入记号:K={a∈C (R+, R+) :a (0) =0且a (s) 关于s严格单增};S (ρ) ={x:|x|<ρ}。

定义1.1 称函数V:[-r, +∞) ×PC[-r, 0]→R+属于ν0 (·) 类函数, 若如下条件满足:

(A1) V在每一个集合[tk-1, tk) ×PC[-r, 0]上连续且 $\lim_{(t, ψ) \to (t_{k}^{-}, ψ)} V (t, ψ) = V (t_{k}^{-}, ψ)$ 存在;

(A2) V (t, x) 关于x满足局部Lipschitz条件, 且V (t, 0) ≡0。

定义1.2 设V∈ν0, 对任给的 (s, x) ∈[tk-1, tk) ×S (ρ) , t0≤s≤t, V (s, y (t, s, x) ) 沿系统 (1) 解的右上导数定义为:

$D^{+} V (s, y (t, s, x)) = \underset{h \to 0^{+}}{\lim \sup} \frac{1}{h} [V (s + h, y (t, s + h, x + h F_{k - 1} (s, x_{s}))) - V (t, y (t, s, x))]$ 。

定义1.3 设x (t) =x (t, t0, φ) 为系统 (1) 的任一解, 称系统 (1) 的零解

(S1) 稳定:若∀ϵ>0, ∀t0∈R+, 存在常数δ=δ (t0, ϵ) >0, 满足当‖φ‖<δ时, 有|x (t) |<ϵ, ∀t≥t0;

(S2) 吸引:若对∀t0∈R+, ϵ>0, 存在正常数δ=δ (t0) >0, T=T (t0, ϵ) >0, 满足当‖φ‖<δ时, 有|x (t) |<ϵ, t≥t0+T;

(S3) 一致稳定:若 (S1) 中δ与t0无关;

(S4) 一致吸引:若 (S2) 中δ, T与t0无关;

(S5) 渐近稳定:若 (S1) 与 (S3) 同时成立;

(S6) 一致渐近稳定:若 (S2) 与 (S4) 同时成立。

2 主要结果

引理2.1 假设x (t) 为系统 (1) 的任意解, 使得如下条件满足

(i) V∈ν0, 对∀ (t, x) ∈[t0, +∞) ×S (ρ) , s∈[tk-1, tk) ∩[t0, t]。

当V (s+θ, y (t, s+θ, x (s+θ) ) ) ≤V (s, y (t, s, x (s) ) ) , θ∈[-r, 0]时

D+V (s, y (t, s, x (s) ) ) ≤gk-1 (s, V (s, y (t, s, x (s) ) ) ) 。

其中gk-1∈C ([tk-1, tk) ×R+, R+) , gk-1 (t, 0) ≡0, ∀t≥0, k∈N+。

(ii) 对∀k∈N+, ∃ψk∈K, ψ (s) ≥s, ψ单调不减, 使得

V (tk, y (t, tk, x (tk) ) ) ≤ψk (V (t-k, y (t, t-k, x (t-k) ) ) ) 。

(iii) r (t) =r (t, t0, u0) 是如下纯量脉冲切换系统

在[t0, +∞) 上的最大解;则当 $\max_{t_{0} - r \leq s \leq t_{0}} V (s, y (t, s, x (s))) \leq u_{0}$ 时, 有

V (t, x (t) ) ≤r (t, t0, u0) , t≥t0 (2.1)

证明设x (t) =x (t, t0, φ) 为系统 (I) 过 (t0, φ) 的解, 下面用数学归纳法给出 (2.1) 式的证明, 为表述简便, 记m (s) =V (s, y (t, s, x (s) ) ) , ∀t0≤s≤t。

首先证明

V (t, x (t) ) ≤r0 (t, t0, u0) , t∈[t0, t1) (2.2)

(2.2) 式中r0 (t, t0, u0) 为方程u′ (t) =g0 (t, u (t) ) , u (t0) =u0在区间[t0, t1) 上的最大解。注意到y (t, t, x (t) ) =x (t) , 欲证 (2.2) 式成立, 只需证

V (s, y (t, s, x (s) ) ) =m (s) ≤r0 (s, t0, u0) ,

s∈[t0, t], t∈[t0, t1) (2.3)

若不然∃t*∈[t0, t1) , 使得

下面推导矛盾。当t0≤s≤t≤t1时, 由m (s+h) -m (s) =V (s+h, y (t, s+h, x (s+h) ) ) -V (s+h, y (t, s+h, x (s) +hF0 (s, xs) ) ) +V (s+h, y (t, s+h, x (s) +hF0 (s, xs) ) ) -V (s, y (t, s, x (s) ) ) 。

根据V∈ν0和右上导数定义, D+m (s) ≤D+V (s, y (t, s, x (s) ) ) , s∈[t0, t]t∈[t0, t1) 。

又当s∈[t*-r, t*]∩[t0-r, t0]时

m (s) =V (s, y (t, s, x (s) ) ) ≤u0≤r0 (t*, t0, u0) ,

当s∈[t*-r, t*]∩[t0, t*]时, 注意到g0 (t) ≥0, t∈[t0, t1) , 有

m (s) =V (s, y (t, s, x (s) ) ) ≤r0 (s, t0, u0) ≤r0 (t*, t0, u0) ,

因此 m (s) =V (s, y (t, s, x (s) ) ) ≤r0 (t*, t0, u0) =m (t*) =V (t*, y (t, t*, x (t*) ) ) , s∈[t*-r, t*]。

根据条件 (i) 有

D+m (t*) ≤D+V (t*, y (t, t*, x (t*) ) ) ≤g0 (t*, m (t*) ) (2.5)

(2.5) 式与 (2.4) 式矛盾, 从而 (2.3) 式成立, 令s=t, 即得 (2.2) 式。

当t=t1时, 由条件 (ii)

V (t1, y (t, t1, x (t1) ) ) ≤ψ1 (V (t-1, y (t, t-1, x (t-1) ) ) ) =ψ1 (m (t-1) ) ≤ψ1 (r0 (t-1, t0, u0) ) 。

令r0 (t-1, t0, u0) =u1, 显然u1≥0。且为系统 (III) 当t=t1时的解。

一般地, 设当t∈[tm-1, tm) 时,

V (t, x (t) ) ≤rj (t, tj, uj) , 0≤j≤m-1,

其中uj=ψj (rj-1 (t-j, tj-1, uj-1) ) (2.6)

rj-1 (t, tj-1, uj-1) 为方程u′=gj-1 (t, u) ,

u (tj-1) =uj-1在[tj-1, tj) 上的最大解。

下证当t∈[tm, tm+1) 时,

V (t, x (t) ) ≤rj (t, tj, uj) , 0≤j≤m,

且um+1=ψm+1 (rm (t-m+1, tm, um) ) (2.7)

欲证 (2.7) 式第一式成立, 同样只需证明对任给的s∈[t0, t],

V (s, y (t, s, x (s) ) ) =m (s) ≤rj (s, tj, uj) ,

s∈[tj, tj+1) , 0≤j≤m (2.8)

若不然存在t*不满足 (2.8) 式, 不防设t*∈[tl, t1+1) , 1≤l≤m使得

下面推导矛盾。当t1≤s≤s+h≤tl+1时, 由m (s+h) -m (s) =V (s+h, y (t, s+h, x (s+h) ) ) -V (s+h, y (t, s+h, x (s) +hFl (s, xs) ) ) +V (s+h, y (t, s+h, x (s) +hFl (s, xs) ) ) -V (s, y (t, s, x (s) ) ) 。

根据V∈ν0和右上导数定义, D+m (s) ≤D+V (s, y (t, s, x (s) ) ) , s∈[tl, t]。

由gk≥0及uj的取法, rj (t, tj, uj) 在[tj, tj-1) 上单调递增, 于是类似可得

m (s) =V (s, y (t, s, x (s) ) ) ≤rl (t*, t0, u0) =m (t*) =V (t*, y (t, t*, x (t*) ) ) , s∈[t*-r, t*]。

结合条件 (i) 有

D+m (t*) ≤D+V (t*, y (t, t*, x (t*) ) ) ≤gl (t*, m (t*) ) (2.10)

(2.10) 式与 (2.9) 式矛盾, 从而 (2.8) 式成立, 令s=t, 即得 (2.7) 式第一式。

当t=tm+1时, 由条件 (ii)

V (tm+1, y (t, tm+1, x (tm+1) ) ) ≤ψm+1 (V (t-m+1, y (t, t-m+1, x (t-m+1) ) ) ) ≤ψm+1 (rm (t-m+1, tm, um) ) 。

令ψm+1 (rm (t-m+1, tm, um) ) =um+1, 显然um+1为系统 (III) 当t=tm+1时的解, 并且使得 (2.7) 第二式成立。于是由数学归纳法

V (t, x (t) ) ≤rj (t, tj, uj) , j=0, 1, 2, 3, … (2.11)

一般地, 令

$r (t, t_{0}, u_{0}) = {\begin{matrix} r_{0} (t, t_{0}, u_{0}) & t \in [t_{0}, t_{1}) \\ r_{1} (t, t_{1}, u_{1}) & t \in [t_{1}, t_{2}) \\ ⋮ & ⋮ \\ r_{k} (t, t_{k}, u_{k}) & t \in [t_{k}, t_{k + 1}) \\ ⋮ & ⋮ \end{matrix}$

其中uj, rj (t, tj, uj) 的定义如 (2.6) 所示, 由uj, rj (t, tj, uj) 的取法, 知r (t, t0, u0) 是系统 (III) 的解且是其最大解, 注意到 (2.11) 式, 知 (2.1) 成立, 引理证毕。

利用引理2.1, 易证下述定理成立:

定理2.1 假设引理2.1的条件 (i) (ii) 成立, 且如下条件满足

(iv) 存在V∈ν0, a, b∈K, 使得b (|x|) ≤V (t, x) ≤a (|x|) , (t, x) ∈[t0, +∞) ×S (ρ) ;

(v) 对每一个 (t, s) , ‖y (t, s, x) ‖关于x满足局部Lipschitz条件;

(vi) 存在ρ0∈ (0, ρ) , 满足当x (t-k) ∈S (ρ0) 时, 有x (tk) ∈S (ρ) 。

则由系统 (II) 零解的稳定性和系统 (III) 零解的 (渐近) 稳定性, 可以得到系统 (I) 零解的 (渐近) 稳定性。

定理2.2 假设定理2.1的条件满足, 则由系统 (II) 零解的一致稳定性和系统 (III) 零解的一致 (渐近) 稳定性, 可以得到系统 (I) 零解的一致 (渐近) 稳定性。

参考文献

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脉冲函数篇5

本文主要针对系统 (1) , 研究在脉冲状态下平衡点的稳定性与系统的持久性:

其中, Δx (t) =x (t+) -x (t) , Δy (t) =y (t+) -y (t) , p>0, T是脉冲效应的周期, n∈Z+。

1 预备知识

记R+=[0, ∞) , R2+={x∈R2:x≥0}, Ω=intR2+, N为非负整数集, V0={V:R+×R2+aR+, 在 (nT, (n+1) T]×R2+上连续, 且undefined存在}。

定义1.1 设函数V:R+×R2+aR+, 则V∈V0是指:

(1) V在 (nT, (n+1) T]×R2+上连续, 且undefined存在;

(2) V关于x满足Lipschitz条件。

并定义V (t, x) 在undefined的右上导数为

引理1.1 设undefined为系统 (1) 满足初始值X (0+) ≥0的解, 则X (t) ≥0, 对所有的t≥0, 进一步的, 若X (0+) >0, 则X (t) >0, 对所有的t≥0。

定义1.2 系统 (1) 称为永久持续的, 是指存在常数M≥m>0, 使得undefined, 对所有的t都成立, 其中x (t) , y (t) 为系统 (1) 的任意解。

注:设函数g:R+×R2+aR+满足

(H) g在undefined上连续, 且对任意的undefined存在。

引理1.2 (比较原理) 设V∈V0, 且

其中函数g:R+×R2+aR+满足条件 (H) , ψn:R+aR+为单调不减的。如果r (t) 是下面纯量脉冲微分系统:

定义在undefined上的最大解, 那么若V (0+, X0) ≤u0, 则有 V (t, X (t) ) ≤r (t) , t≥0,

其中undefined为系统 (1) 定义在undefined上的任意解。

引理1.3 (Floquet判断定理) 如果周期系数线性系统的特征方程的根, 即系统的特征乘数的模均小于1, 则系统是渐进稳定的;若特征乘数中至少有一个模大于1, 则系统不稳地;若模为1的特征乘数只有一个, 而其余的模均小于1, 则系统稳定;若模为1的特征乘数的个数大于1, 而其余的模均小于1, 则当模为1的特征乘数的代数重数都等于其几何重数时, 则系统稳定, 否则, 系统不稳定。

2 平衡点的全局稳定性

定理2.1 当undefined时, 系统 (1) 的平衡点 (0, y* (t) ) 是全局稳定的, 其中, undefined。

证明先考虑系统 (1) 的子系统

显然, 对系统 (2) 的第一个等式进行从nT到t积分, 可得y (t) =y (nT) exp (-dt+dnT) , 代入第二个等式, 便得子系统 (2) 的平衡点undefined, 从而系统 (2) 的正周期解为

从而系统 (2) 满足初始条件y0≥0的解可表示为

显然, 对系统 (2) 的任意一个解y (t) , 有undefined。

从而我们可以得到主要目的为消灭食饵的系统 (1) 的周期解为 (0, y* (t) ) 。

下面讨论 (0, y* (t) ) 的稳定性。

定义 x (t) =u (t) , y (t) =v (t) +y* (t) 。

即

其中Φ (t) 满足

且Φ (0) =I, I为单位矩阵。

将系统 (1) 中的第三个、第四个方程进行线性化, 得到

从而由 (0, y* (t) ) 确定的特征方程为

从而得到特征值

由Floquet定理可知, 当undefined时, (0, y* (t) ) 为局部渐进稳定的。

即

下面证明是否为全局稳定

由undefined, 且比较原理可知, ∀ε>0, ∃T′>0, 当t>T′时, 有

y (t) >y* (t) -ε (3)

记undefined。

又undefined, 所以

∴∀ε1>0, ∃T1>0, 使得0

从而undefined

又由系统

可得

由比较原理得, ∀ε2>0, ∃T2>0, 使得

y (t) ≤z* (t) +ε2, t>T2 (4)

令ε1→0, 则z* (t) →y* (t) , 故取undefined, 当t>T″时, 由 (3) (4) 知

y* (t) -ε′

故y (t) →y* (t) , t→∞.即 (0, y* (t) ) 为全局稳定。

3 系统的持久性

定理3.1 当undefined时, 系统 (1) 是永久持续的。

证明 (1) 先证明∃M>0, 使得x (t)

设x (t) , y (t) 为系统 (1) 的任意解, 令

取0

从而可知D+V (t) +lV (t) 有界, 不仿设上界为K.取适当的l0, 则D+V (t) +l0V (t) ≤K。

计算系统

得

故

由比较原理得

, 即V (t) 是有上界的, 从而由V (t) 的定义可得, ∃M>0, 使得当t足够大时, 有x (t)

(2) 证明∃m0>0, 使得x (t) ≥m0, y (t) ≥m0, ∀x (t) , y (t) 为系统 (1) 的解。

由等式 (3) 可知, 必存在m1>0, T0>0, 使得当t>T0时, 有y (t) ≥m1.下面主要证明存在m2>0, T1>0, 使得当t>T1时, 有x (t) ≥m2。

假设不存在这样的T1, 即对任意的m′2>0, ∀t>0, 都有x (t) ≤m′2.又undefined, 所以对任意的m′2>0, ∀ε>0, 有undefined。

从而

考虑系统

从而y (t) ≤z (t) ≤z* (t) +ε, 对上述的ε>0。

undefined, 矛盾。

故必∃m2>0, t1>0, 使得x (t1) ≥m2。

若对所有的t>t1, 均有x (t) ≥m2, 则显然得证.若不成立, 记undefined, 则

undefined, 又x (t) 是连续的, 所以x (t*) =m2。

假设undefined, 选择适当的n2, n3∈N, 使得undefined。

令T′=n2T+n3T, 故必存在undefined, 使得x (t2) ≥m2。

若不然, 对所有的undefined, 都有x (t)

又

故

所以undefined。

由第一步可知undefined

又

undefined

在undefined上两边积分, 得

undefined

从而

undefined, 矛盾。

记undefined, 所以undefined。

从而当undefined时, 有undefined, 所以当t≥t1时, 有x (t) ≥m3。

取undefined, 当t>t″时, 有x (t) ≥m″, y (t) ≥m″, 从而得到当undefined时, 系统 (1) 是永久持续的。

4 结语

本章讨论了具Holling-iv型功能反应函数的脉冲系统的稳定性与持久性, 以为参数, 利用稳定性理论和脉冲理论, 得到了系统稳定与持久的条件。

参考文献

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脉冲函数篇6

经济的发展与资源的耗竭、环境污染一直是颇为争议的话题。经济的高速增长与环境保护向来是两难的选择。经济的高速增长伴随着工业产业污染物的排放, 资源的过度开采, 必然带来环境的恶化, 同时, 资源的稀少与环境的恶化也限制了经济的可持续增长。甘肃作为一个典型的欠发达地区, 由于本身地理条件和资源的限制, 经济的增长长期是以第二产业拉动, 导致污染物的排放逐年加剧, 环境保护迫在眉睫。因此在甘肃经济转型跨越的关键时期, 去研究经济增长与环境污染二者之间的动态关系尤为重要。

从国内文献来看, 研究经济增长与环境污染主要集中在验证环境库茨涅茨曲线“倒U形”的假说, 即经济增长的初期环境恶化, 越过临界点后, 经济增长反而使环境得到改善。马树才 (2006) , 通过对数据分析, 发现我国存在“倒U形”曲线, 彭水军 (2006) 研究发现“倒U形”曲线的存在与否主要依赖于污染指标的选取和估计方法的选择, 孟红明 (2007) 、苏伟 (2007) 通过对具体省份的研究却否认了“倒U形”曲线的存在。大多数学者进行的研究却很少涉及经济增长与环境污染之间的动态联系。鉴于此, 本文采用VAR模型对甘肃省近年来经济增长与环境污染二者动态关联进行分析。

2 模型建立

2.1 指标选取说明

按照通常研究经济增长与环境污染的惯例, 本文选取甘肃省1991~2011年人均实际gdp (以1991年为基期进行平减) 作为经济增长指标, 选择工业固体废物排放量、工业液体废物排放量、工业气体废物排放量来衡量环境污染, 具体指标见表1, 为消除数据波动性, 本文对所有数据进行取对数处理, 具体数据来源为各年《甘肃省发展年鉴》, 个别缺失数据由中经网数据库进行补充。

2.2 实证方法

本文主要采用向量自回归模型 (VAR) 来研究甘肃省近20年经济增长与环境污染的双向反馈机制。VAR模型是将系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型, 从而将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的向量自回归模型, 从而为研究变量间的长期动态关系提供了便利, 并在此基础上可以进一步进行Granger因果检验、脉冲响应函数、方差分解分析。

本文主要在VAR模型的基础上进行广义脉冲响应函数、方差分解来分析甘肃省经济增长与环境污染长期双向反馈机制。

VAR模型的数学一般表达式为:

其中:yt是k维内生变量列向量, xt是d维外生变量列向量, p是滞后阶数, T是样本个数。k×k维矩阵1, …, p和k×d维矩阵H是待估计的系数矩阵, δt是k维扰动列向量。

3 VAR模型的估计及分析

3.1 变量的单位根检验

由于VAR模型建立的条件在于变量的平稳性, 如果变量平稳, 则可直接建立无约束的VAR模型;如果变量不满足平稳条件, 需进行协整检验, 然后建立误差修正模型 (ECM) 来考察变量间的短期动态关系;如果变量既不是平稳且变量间不具有协整关系, 可考虑对变量进行差分, 进而建立无约束的VAR模型。基于此, 本文首先对变量lngdp、lnso2、lnwater、lngas、lnsolid采用ADF进行平稳性检验, 检验结果见表2。

由表2可知, 各变量只有进行一阶差分后才满足平稳性, 继续把各个污染指标与人均GDP进行JJ协整检验, 发现lngap与lngo2、lnwate、lngas、lnsolid均不存在协整关系, 由于检验结果与本文后面分析关联不大, 正文不再列出。因此, 我们把所有变量进行一次差分来构建无约的VAR模型, 两两变量VAR模型中滞后长度的选择主要根据FPE、AIC、SC、HQ准则和单位根是否在圆内来选取。

3.2 基于VAR模型的广义脉冲响应函数分析

脉冲响应函数法是分析当一个误差项发生变化, 或者说模型受到某种冲击时对系统的动态影响, VAR模型的动态分析一般采用“正交”脉冲响应函数来实现, 而正交化通常采用Cholesky分解完成, 但是Cholesky分解结果严格依赖模型中变量的顺序。由Koop (1996) 提出的广义脉冲响应函数法克服了上述缺点。因此本文采用广义脉冲响应函数法分析经济增长与各环境污染指标动态关系。响应期选取为8期, 分析结果如下:

3.2.1 四个污染指标对经济增长的脉冲响应函数结果分析

从图和表可以看出, 给经济增长 (dlngdp) 一个标准差新息的冲击, 四类污染指标 (dlnso2、dlnwater、dlngas、dlnsolid) 在当期产生一个为正的较大冲击, 随后逐渐成收敛性地波动。这就验证了经济增长是导致环境污染物排放的主要原因。从二氧化硫对经济增长的冲击响应结果来看, 其对经济增长的冲击响应值1期为 (0.054579) , 且到第二期达到最大 (0.062341) , 然后才相继波动下降, 由此说明了甘肃省的经济增长很大程度上导致了二氧化硫的大量排放, 这和重化工业在甘肃省工业经济中一直占据着主导地位有关。甘肃省现不仅成为中国的重化工基地, 而且重化工业也成为甘肃省工业经济的主体。特别是自1985年以来, 重化工业在甘肃省工业产业中所占比例一直维持的70%以上;2006年以后, 这一比例甚至高达85%以上。

二氧化硫对经济增长冲击的响应曲线在前三期基本呈现“倒U型”, 从而在一定程度上验证了环境库茨涅茨曲线的“倒U型”特征, 而其他三条曲线 (dlnwater、dlngas、dlnsolid) 对经济增长冲击的相应结果来看, 并没有呈现环境———收入的“倒U型”, 从而也说明了环境———收入二者之间的关系与指标的选取存在很大的相关性。

3.2.2 经济增长对四个环境污染指标的脉冲响应函数结果分析

从图和表来看, 经济增长对四类污染指标的一个标准差新息的冲击后, 在其连续八期响应期内, 经济增长对二氧化硫冲击在第六期达到最小 (-0.002567) , 对废水冲击在第四期达到最小 (-0.007481) , 对固体废弃物冲击在第三期达到最小 (-0.001920) , 对废气冲击在第三期达到最小 (-0.007303) 。从累计响应值来看, 除dlngdp对dlnwater的一个单位冲击后累计响应值为负 (-0.000771) 外, 经济增长对二氧化硫、固体废弃物、废气三类污染指标的冲击均为正。这说明了甘肃省近年来经济发展过程中, 污染物的排放对经济增长的限制最用较弱, 且存在明显的滞后效应, 这可能是因为人们对环境质量需求具有刚性, 环境政策实施的外部时滞等原因造成, 总体来看经济增长对环境污染的影响要远远大于环境污染对经济增长的限制作用。具体来看, 废水排放在很大程度上限制了甘肃省的经济增长, 这与甘肃省长期水资源匮乏是分不开的, 同时大量的矿产资源的开采, 石油化工, 金属冶炼行业的废水的排放, 又进一步加剧水资源的污染, 缺水和水质已经成为制约甘肃省经济可持续发展的一个重要因素。

3.3 方差分解

与脉冲响应函数不同, 方差分解是通过分析一个结构冲击对内生变量变化的贡献度, 进一步评价不同结构冲击的重要性, 给出对VAR模型中的变量产生影响的每个随机扰动的相对重要的信息。

四类污染指标与经济增长的方差结果如表5。由表可以看出, 从总体来看, 经济增长对各个污染指标方差分解的贡献度较大, 也就是起到了很好的预测作用, 而各个污染指标对解释经济增长的预测方差作用较小。从各个污染指标来看, 经济增长对二氧化硫平均误差解释的贡献度最大, 为61.89%, 对废水、废气的贡献度为20%左右, 对固体废弃物解释度最小6.33%, 甘肃省近年来的经济增长主要带来了二氧化硫的大量排放, 固体废弃物相对较小。与此相反, 二氧化碳、废水、固体废弃物对经济增长预测方差的贡献度较小, 分别为7.44%、10.90%、1.12%, 而废弃的贡献度相对较大, 为33.64%。

由此一方面说明了甘肃省近20年的经济增长主要由工业产业的拉动, 相继带来了对资源品、能源品的过度开采, 环境污染日益加重, 环境保护的压力逐渐加大;另一方面也说明了甘肃省长期的经济增长主要还是由物质和人力资本积累、劳动力增加、全要素生产率的提高, 对外贸易来促进的, 相比较而言, 环境质量的变化, 资源的有限对经济增长的作用相对较小, 而且无论从全国还是从甘肃省来看, 并没有形成一个资源品合理配置和环境污染外部性的交易市场, 从而不能使污染外部性内部化, 给微观厂商的投资及生产决策施加压力。

单位:%

4 结论

本文在基于VAR模型基础上, 使用广义脉冲响应函数法和方差分解法, 对甘肃省1991———2011年间经济增长与四类环境污染指标之间关系进行了动态考察。

广义脉冲响应函数结果表明, 四类环境污染指标对经济增长的一个标准差新息的冲击后, 即期都产生一个正的较大响应值, 由此说明甘肃省经济增长是导致环境污染的重要因素, 但是环境———收入的“倒U型”库茨涅茨曲线的存在与污染指标的选取有关。四类污染指标中只有工业废水对经济增长的限制作用较强, 从而甘肃省在今后的经济发展过程中, 应加强对水资源的保护, 废水的及时高效处理, 应减轻对重化工的依赖, 着力培育一些新兴“低耗能、低排放”的产业。

方差分解的结果表明, 甘肃省经济增长对环境环境污染预测方差的贡献度加大, 相反环境污染对经济增长预测方差的作用较小。一方面, 我们要给予经济增长导致大量污染物的排放这个不争的事实充分关注;另一方面, 甘肃省境内甚至在全国范围内都要逐步建立污染权排放交易市场, 明晰地鉴定环境污染的外部性, 以充分发挥资源约束和环境污染对企业的生产、投资的约束作用。

摘要：以VAR模型为基础, 运用广义脉冲响应函数法和方差分解法, 考察了甘肃省1991-2011年间经济增长与各类污染指标之间的动态关系。结果表明:甘肃省经济增长是导致环境污染的重要原因, 但是环境污染对经济增长的反作用较小且存在明显的滞后响应。

关键词：经济增长,环境污染,广义脉冲响应函数法

参考文献

[1]彭水军, 包群.中国经济增长与环境污染——基于广义脉冲响应函数法的实证研究[J].中国工业经济, 2006, (5) .

[2]彭水军, 包群.中国经济增长与环境污染——基于时序数据的经验分析 (1985-2003) [J].当代财经, 2006, (7) .

[3]高铁梅.计量经济分析方法与建模[M].北京:清华大学出版, 2009, (5) .

[4]Dinda S.Environment Kuznets Curve Hypothesis:A Survey[J].Ecological Economics, 2004, (49) .

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