2018高考数学函数周期

2018高考数学函数周期（通用8篇）

2018高考数学函数周期 篇1

高中数学函数知识点总结 1.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)2.求函数的定义域有哪些常见类型？

x4x例：函数

y的定义域是（答：0，22，33，4）2lgx3

函数定义域求法： 分式中的分母不为零； 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数

ytanxxR,且xk,k

2,且xxR,kk余切函数

ycotx反三角函数的定义域

函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1]，值域是，函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1]，值域是 [0, π]，函数y＝arctgx的定义域是 R，值域是.，函数y＝arcctgx的定义域是 R，值域是(0, π).当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。3.如何求复合函数的定义域？  如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)(fx)(f)x的定义域是_____________。（答：a，a）,nymfg(x)复合函数定义域的求法：已知的定义域为，求的定义域，可由解y(xf)m(gx)ny(x)出fgx的范围，即为的定义域。

1(logfx)例

若函数的定义域为，则的定义域为。,2y(xf) 22 111y(logxf)分析：由函数的定义域为可知：；所以中有。logx2x2,2y(fx)

222221解：依题意知： logx2 22 2x4 解之，得

 f(logx)∴ 的定义域为 x|2x244、函数值域的求法

1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。1例 求函数y=的值域

x2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。2例、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。x

3、判别式法 对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面 下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂 b型：直接用不等式性质a.y 2k+xbxb.y型,先化简，再用均值不等式 2xmxnx11 例：y

1221+xx+ x2xmxn c..y型 通常用判别式 2xmxn2xmxnd.y型

xn 法一：用判别式

法二：用换元法，把分母替换掉22xx1（x+1）（x+1）+1 1

例：y（x+1）121

x11x1x、反函数法14 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。3x4例 求函数y=值域。5x6

5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。xe12sin12sin例 1求函数y=，的值域。yy x1sin1cose 1 xeyxye1

12sin

|sin|

||

1, xyeyy11sin

22sin

2sin

1yyy

(12cos)



yyy1

cos

2sin

cos

yxy即xy4sin（）

1,sin（）

1y又由x知y解不

sin（）

124等式，求出y，就是要求的答案

6、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容

logx5 2例求函数y=（2≤x≤10）的值域 x1

7、换元法 通过简单

3的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。22例：已知点P（x.y）在圆x+y=1上，y的取值范围(1)x(2)y-2x的取值范

2例 求函数y=x+的值域。x1 8 围y 解:(1)令k则ykx是,（2),一条过(-2,0)的直线.x dRd

2(为圆心到直线的距离,R为半径)(2)令y-2xb,即y2

xb0,也是直线d dR 22（x2)（x8)

例求函数y=+的值域。解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点P在线段AB上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞）22xx例求函数

y=+ 的值域

6x134x 2222(x3)(02)(x2)(0解：原函数可变形为：1)y=+  上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当

22(32)(2 1)

点P为线段与x轴的交点时，y=∣AB∣==，43min 故所求函数的值域为[，+∞）。43注：求两距离之和时，要将函数 9、不等式法  R

53abc利用基本不等式a+b≥2，a+b+c≥3（a，b，c∈），求函数的最值，其题型特征解析ab式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。2例： 2x(x0)x 111122=x3x 

xxxx33

3(应用公式a+b+c3abc时，注意使3者的乘积变成常数）

2x(3-2x)(0

x2例 求函数y=的值域

x3

2018高考数学函数周期 篇2

一、夯实基础, 领会思想

基础知识、基本技能是解决问题的基础, 数学思想是解决问题的灵魂。2007广东试题充分体现了高中数学教学要使学生“获得必要的数学基础知识和基本技能, 理解基本的数学概念、数学结论的本质, 了解概念、结论等产生的背景、应用, 体会其中所蕴涵的数学思想和方法, 以及它们在后续学习中的作用。”这一课程目标。

【试题1】已知集合M=x|<1+x>0, , 则MIN= ()

简析:M= (-1, +∞) , N= (-∞, 1) , MIN= (-1, 1) , 故选 (C) 。此题关注函数定义域及集合知识的考查。

【试题3】若函数f (x) =x3 (x∈R) , 则函数y=f (-x) 在其定义域上是 ()

A.单调递减的偶函数

B.单调递减的奇函数

C.单调递增的偶函数

D.单调递增的奇函数

简析:函数v=f (-x) =-x3单调递减且为奇函数, 选 (B) 。

【试题12】函数f (x) =xlnx (x>0) 的单调递增区间是_________。

简析:由f′ (x) =lnx+1>0可得。答案:。

后面两题是对函数单调性、奇偶性的考查。其解题思路是从其定义出发得到结论, 试卷突出了对函数单调性、奇偶性这一重要特征的考查。

【试题10】如图, 是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件。在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件, 但调整只能在相邻维修点之间进行。那么要完成上述调整, 最少的调动件次 (n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n) 为 ( )

A.18 B.17 C.16 D.15

简析:很多同学根据题意发现n=16可行, 排除A, B。但对于C, D却难以选择。实际上, 这是一道运筹问题, 用函数的最值即可解决。

设A→B的件数为x1 (规定:当x1<0时, 则B调整了件给A, 下同) , B→C的件数为x2, C→D的件数为x3, D→A的件数为x4, 依题意可得x4+50-x1=40, x1+50-x2=45, x2+50-x3=54, x3+50-x4=61, 从而x2=x1+5, x3=x1+1, x4=x1-10, 调动件次, 画出图象 (或绝对值的几何意义) 可得最小值为16, 故选 (C) 。此题重在考查函数的值域问题及转化的思想方法。

以上四题, 重点考查学生对函数定义域、值域、单调性、奇偶性等基础知识、基本技能的理解及运用, 重点考查了转化思想。

二、重在应用, 力求创新

数学贴近生活, 贴近实际, 是一门应用性很广的学科。2007广东试卷在对函数内容的试题命制时注重了这方面的考查, 体现了“发展数学应用意识和创新意识, 力求对现实世界中蕴涵的数学模式进行思考和作出判断”这一高中数学课程目标。请看下面两题:

【试题5】客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地, 在乙地停留了半小时, 然后以80km/h的速度匀速行驶t小时到达丙地。下列描述客车从甲地出发, 经过乙地, 最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中, 正确的是 ( )

简析:依题意的关键句“以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地”用函数的观点进行分析, 结合函数图象, 应用数形结合思想可选得答案 (C) 。

【试题9】已知简谐运动的图象经过点 (0, 1) , 则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为 ( )

简析:依题意2sinφ=1, 结合可得, 易得T=6, 故选 (A) 。

以上两题都是具体的实际问题, 考查了学生的数学应用意识和数形结合思想, 即要通过应用函数的思想去思考, 去分析, 去解决问题。因此在数学教学中, 教师应把培养学生的应用意识作为基础教育阶段数学教育的重要目标之一。

三、灵活多变, 融会贯通

近年来, 各地都把考查学生灵活运用数学知识解决问题作为重点, 毫不例外, 广东试卷也注意到了函数与其他知识点及新增知识的结合, 对考生进行综合能力的考查, 体现了新课程中培养和发展学生数学素养的总目标。

【试题20】已知函数f (x) =x2+x-1, α, β是方程f (x) =0的两个根 (α>β) , f′ (x) 是f (x) 的导数, 设a1=1, (n=1, 2, 3, …L) 。 (1) 求α, β的值; (2) 已知对任意的正整数n有an>α, 记 (n=1, 2, 3, …L) , 求数列bn<<的前n项和Sn。

简析: (1) 由求根公式得

∴数列是首项, 公比为q=2的等比数列

本题作为大题, 仍然关注函数与方程思想等基本数学思想的应用及数列基础知识的考查, 其中重点考查了学生灵活运用知识的能力, 不失为一道考查学生数学素养高下的好题。

【试题21】已知a是实数, 函数f (x) =2ax2+2x-3-a。如果函数y=f (x) 在区间上有零点, 求a的取值范围。

简析:若a=0, 则f (x) =2x-3, 令, 不符题意, 故a≠0。

当f (x) 在上有一个零点时, 此时或f (-1) ·f (1) ≤0,

解得或-1≤a≤5。

当f (x) 在-1姨, 1姨上有两个零点时, 则

综上, 实数的取值范围为

(别解:2ax2+2x-3-a=0⇔ (2x2-1) a=3-2x, 题意转化为知, 求的值域, 令得转化为函数问题。)

作为压轴题, 本题并不算难, 虽然二次函数的零点是新增内容, 但用数形结合、分类讨论、函数与方程思想便能迎刃而解。因此, 该题启示我们, 在平时教学中, 应注重基础知识、基本技能的学习及培养, 注重通性、通法的教学。

著名数学家克莱因说过:“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考。”函数思想是数学的重要思想方法之一, 它是用运动、变化、联系、对应的观点来分析数学和实际生活中的数量关系;动中求静、静中思动, 不少数学问题只要站在函数的高度来认识, 用函数的思想去分析, 就能抓住问题的本质, 使问题得到圆满的解决。因此, 在平时的教学中, 要深刻领会课程思想, 依据新课标要求, 扎扎实实地搞好函数知识的教学, 真正提升学生的数学素养, 增强学生的创新能力, 这就是2007广东数学试题给我的有益启示。

参考文献

谈高考中的周期函数 篇3

一、定义

函数f（x）定义在数集A上，如果存在正数T，对任意x∈A有x+T∈A，且f（x+T）=f（x），称函数f（x）是周期函数，T称为函数f（x）的一个周期。

二、几点注意事项

1.如果T是函数f（x）的周期，则2T也是它的周期

事实上，f（x+2T）=f（x+T+T）=…=f（x）=f（x-2T）.显然，如果T是函数f（x）的周期，则nT（n是整数）也是它的周期。如果函数f（x）有最小的正周期，通常将这个最小正周期称为函数f（x）的周期。

2.周期函数不一定有最小正周期

对一般函数而言，都可求出最小正周期。这一规律从图象上看更为直观，且图象还具有一定的对称性。但一些特殊周期函数并没有最小正周期。

如：f（x）=a（a为常数）或D（x）=0 x∈R-Q1 x∈Q；

再如：函数f（x）=sinx，x∈（-∞，0），是周期函数，其最大负周期为-2π；

3.周期函数的定义域至少一端趋向∞

由周期函数的定义可知，若x∈M，只需x+T∈M，当然有（x+T）+T∈M，…，x+kT∈M。因此，周期函数的定义域一定是无限集，即定义域与区间的一端无界，但不要求定义域两端无界。

4.几个重要结论

（1）f（x+a）=-f（x），则最小正周期为|2a|；

（2）f（x+a）=+1/f（x），则最小正周期为|2a|；

（3）f（a+x）=f（a-x），f（b+x）=f（b-x），则最小正周期为2|a-b|

三、最小正周期的求法

⒈定义法

例1.求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期。

解：∵=|sinx|+|cosx|

=|-sinx|+|cosx|

=|cos（x+π/2）|+|sin（x+π/2）|

=|sin（x+π/2）|+|cos（x+π/2）|

=f（x+π/2）

对定义域内的每一个x，当x增加到x+π/2时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是π/2.

2.公式法

这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求。其中Asin（ωx+？渍）、Acosωx+？渍正余弦型函数求最小正周期的公式为T=2π/|ω|，Aant（ωx+？渍）正切型函数T=π/|ω|.y=f（kx+b）型类似正切型函数。若y=f（x）最小正周期为T，则y=f（kx+b）最小正周期为T/|k|.

例2.求函数y=cotx-tanx的最小正周期。

解：y=1/tanx-tanx=（1-tanx^2）/tanx=2*（1-tanx^2）/（2tanx）=2cot2x

∴T=π/2

3.最小公倍数法

设f（x）与g（x）是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1≠T2，则f（x）±g（x）的最小正周期T1、T2的最小公倍数。

例3.求函数y=sin3x+cos5x的最小正周期。

解：设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则T1=2π/3，T2=2π/5，所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π.

四、图象法

例4.求y=|sinx|的最小正周期。

解：由y=|sinx|的图象

可知y=|sinx|的周期T=π.

注意：（1）一个函数的周期通常是指最小正周期。

（2）常值函数是周期函数，但没有最小正周期。

五、高考题欣赏

例1.（2013山东理10）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f（x）=x3-x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为

（A）6 （B）7 （C）8 （D）9

【答案】A

例2.（2013陕西理3）设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x+2）=f（x），则函数y=f（x）的图像是 （ ）

■

■

【答案】B

例3.（2013全国新课标理11）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ω x+φ）（ω>0，|φ|<）■的最小正周期为π，且f（-x）=f（x）则

（A）y=f（x）在（0，■）单调递减 （B）y=f（x）在（■，■）单调递减

（C）y=f（x）在（0，■）单调递增 （D）y=f（x）在（■，■）单调递增

【答案】A

例4.（2013全国大纲卷12）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中正确的是

（A）y=f（x）的图像关于（π，0）中心对称

（B）y=f（x）的图像关于x=■对称

（C）f（x）的最值为■

（D）f（x）既是奇函数，又是周期函数

答案：D

周期性是函数的一个重要性质，也是高考中每年必考的知识。掌握到何种程度，才能在高考中游刃有余呢？对此，笔者就自己的一点认识与大家共勉。

一、定义

函数f（x）定义在数集A上，如果存在正数T，对任意x∈A有x+T∈A，且f（x+T）=f（x），称函数f（x）是周期函数，T称为函数f（x）的一个周期。

二、几点注意事项

1.如果T是函数f（x）的周期，则2T也是它的周期

事实上，f（x+2T）=f（x+T+T）=…=f（x）=f（x-2T）.显然，如果T是函数f（x）的周期，则nT（n是整数）也是它的周期。如果函数f（x）有最小的正周期，通常将这个最小正周期称为函数f（x）的周期。

2.周期函数不一定有最小正周期

对一般函数而言，都可求出最小正周期。这一规律从图象上看更为直观，且图象还具有一定的对称性。但一些特殊周期函数并没有最小正周期。

如：f（x）=a（a为常数）或D（x）=0 x∈R-Q1 x∈Q；

再如：函数f（x）=sinx，x∈（-∞，0），是周期函数，其最大负周期为-2π；

3.周期函数的定义域至少一端趋向∞

由周期函数的定义可知，若x∈M，只需x+T∈M，当然有（x+T）+T∈M，…，x+kT∈M。因此，周期函数的定义域一定是无限集，即定义域与区间的一端无界，但不要求定义域两端无界。

4.几个重要结论

（1）f（x+a）=-f（x），则最小正周期为|2a|；

（2）f（x+a）=+1/f（x），则最小正周期为|2a|；

（3）f（a+x）=f（a-x），f（b+x）=f（b-x），则最小正周期为2|a-b|

三、最小正周期的求法

⒈定义法

例1.求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期。

解：∵=|sinx|+|cosx|

=|-sinx|+|cosx|

=|cos（x+π/2）|+|sin（x+π/2）|

=|sin（x+π/2）|+|cos（x+π/2）|

=f（x+π/2）

对定义域内的每一个x，当x增加到x+π/2时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是π/2.

2.公式法

这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求。其中Asin（ωx+？渍）、Acosωx+？渍正余弦型函数求最小正周期的公式为T=2π/|ω|，Aant（ωx+？渍）正切型函数T=π/|ω|.y=f（kx+b）型类似正切型函数。若y=f（x）最小正周期为T，则y=f（kx+b）最小正周期为T/|k|.

例2.求函数y=cotx-tanx的最小正周期。

解：y=1/tanx-tanx=（1-tanx^2）/tanx=2*（1-tanx^2）/（2tanx）=2cot2x

∴T=π/2

3.最小公倍数法

设f（x）与g（x）是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1≠T2，则f（x）±g（x）的最小正周期T1、T2的最小公倍数。

例3.求函数y=sin3x+cos5x的最小正周期。

解：设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则T1=2π/3，T2=2π/5，所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π.

四、图象法

例4.求y=|sinx|的最小正周期。

解：由y=|sinx|的图象

可知y=|sinx|的周期T=π.

注意：（1）一个函数的周期通常是指最小正周期。

（2）常值函数是周期函数，但没有最小正周期。

五、高考题欣赏

例1.（2013山东理10）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f（x）=x3-x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为

（A）6 （B）7 （C）8 （D）9

【答案】A

例2.（2013陕西理3）设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x+2）=f（x），则函数y=f（x）的图像是 （ ）

■

■

【答案】B

例3.（2013全国新课标理11）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ω x+φ）（ω>0，|φ|<）■的最小正周期为π，且f（-x）=f（x）则

（A）y=f（x）在（0，■）单调递减 （B）y=f（x）在（■，■）单调递减

（C）y=f（x）在（0，■）单调递增 （D）y=f（x）在（■，■）单调递增

【答案】A

例4.（2013全国大纲卷12）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中正确的是

（A）y=f（x）的图像关于（π，0）中心对称

（B）y=f（x）的图像关于x=■对称

（C）f（x）的最值为■

（D）f（x）既是奇函数，又是周期函数

答案：D

周期性是函数的一个重要性质，也是高考中每年必考的知识。掌握到何种程度，才能在高考中游刃有余呢？对此，笔者就自己的一点认识与大家共勉。

一、定义

函数f（x）定义在数集A上，如果存在正数T，对任意x∈A有x+T∈A，且f（x+T）=f（x），称函数f（x）是周期函数，T称为函数f（x）的一个周期。

二、几点注意事项

1.如果T是函数f（x）的周期，则2T也是它的周期

事实上，f（x+2T）=f（x+T+T）=…=f（x）=f（x-2T）.显然，如果T是函数f（x）的周期，则nT（n是整数）也是它的周期。如果函数f（x）有最小的正周期，通常将这个最小正周期称为函数f（x）的周期。

2.周期函数不一定有最小正周期

对一般函数而言，都可求出最小正周期。这一规律从图象上看更为直观，且图象还具有一定的对称性。但一些特殊周期函数并没有最小正周期。

如：f（x）=a（a为常数）或D（x）=0 x∈R-Q1 x∈Q；

再如：函数f（x）=sinx，x∈（-∞，0），是周期函数，其最大负周期为-2π；

3.周期函数的定义域至少一端趋向∞

由周期函数的定义可知，若x∈M，只需x+T∈M，当然有（x+T）+T∈M，…，x+kT∈M。因此，周期函数的定义域一定是无限集，即定义域与区间的一端无界，但不要求定义域两端无界。

4.几个重要结论

（1）f（x+a）=-f（x），则最小正周期为|2a|；

（2）f（x+a）=+1/f（x），则最小正周期为|2a|；

（3）f（a+x）=f（a-x），f（b+x）=f（b-x），则最小正周期为2|a-b|

三、最小正周期的求法

⒈定义法

例1.求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期。

解：∵=|sinx|+|cosx|

=|-sinx|+|cosx|

=|cos（x+π/2）|+|sin（x+π/2）|

=|sin（x+π/2）|+|cos（x+π/2）|

=f（x+π/2）

对定义域内的每一个x，当x增加到x+π/2时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是π/2.

2.公式法

这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求。其中Asin（ωx+？渍）、Acosωx+？渍正余弦型函数求最小正周期的公式为T=2π/|ω|，Aant（ωx+？渍）正切型函数T=π/|ω|.y=f（kx+b）型类似正切型函数。若y=f（x）最小正周期为T，则y=f（kx+b）最小正周期为T/|k|.

例2.求函数y=cotx-tanx的最小正周期。

解：y=1/tanx-tanx=（1-tanx^2）/tanx=2*（1-tanx^2）/（2tanx）=2cot2x

∴T=π/2

3.最小公倍数法

设f（x）与g（x）是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1≠T2，则f（x）±g（x）的最小正周期T1、T2的最小公倍数。

例3.求函数y=sin3x+cos5x的最小正周期。

解：设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则T1=2π/3，T2=2π/5，所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π.

四、图象法

例4.求y=|sinx|的最小正周期。

解：由y=|sinx|的图象

可知y=|sinx|的周期T=π.

注意：（1）一个函数的周期通常是指最小正周期。

（2）常值函数是周期函数，但没有最小正周期。

五、高考题欣赏

例1.（2013山东理10）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f（x）=x3-x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为

（A）6 （B）7 （C）8 （D）9

【答案】A

例2.（2013陕西理3）设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x+2）=f（x），则函数y=f（x）的图像是 （ ）

■

■

【答案】B

例3.（2013全国新课标理11）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ω x+φ）（ω>0，|φ|<）■的最小正周期为π，且f（-x）=f（x）则

（A）y=f（x）在（0，■）单调递减 （B）y=f（x）在（■，■）单调递减

（C）y=f（x）在（0，■）单调递增 （D）y=f（x）在（■，■）单调递增

【答案】A

例4.（2013全国大纲卷12）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中正确的是

（A）y=f（x）的图像关于（π，0）中心对称

（B）y=f（x）的图像关于x=■对称

（C）f（x）的最值为■

（D）f（x）既是奇函数，又是周期函数

2018高一数学知识点之幂函数 篇4

知识点是关键，为了能够使同学们在数学方面有所建树，小编特此整理了高一数学知识点之幂函数，以供大家参考。

定义：

形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域：

当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域

性质：

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数;

排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能是偶数;

排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：

如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;

如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域。

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.可以看到：

(1)所有的图形都通过(1，1)这点。

(2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。

(3)当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。

(4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。

(5)a大于0，函数过(0，0);a小于0，函数不过(0，0)点。

2018高考数学函数周期 篇5

【知识与技能】

1.理解反比例函数的意义.2.能够根据已知条件确定反比例函数的解析式.【过程与方法】

经历从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程中，体会反比例函数来源于生活实际，并确定其解析式.【情感态度】

经历反比例函数的形成过程，体验函数是描述变量关系的重要数学模型，培养学生合作交流意识和探索能力.【教学重点】

理解反比例函数的意义，确定反比例函数的解析式 【教学难点】

反比例函数解析式的确定.一、情境导入，初步认识

问题 京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t(单位：h)随该次列车平均速度v(单位：km/h)的变化而变化,速度v和时间t的对应关系可用怎样的函数式表示？

【教学说明】教师提出问题，学生思考、交流，予以回答.教师应关注学生能否正确理解路程一定时，运行时间与运行速度两个变量之间的对应关系，能否正确列出函数关系式，对有困难的同学教师应及时予以指导.二、思考探究，获取新知

问题1 某住宅小区要种植一个面积为1000 m2的长方形草坪，草坪的长为y(单位：m)随宽x(单位：m)的变化而变化，你能确定y与x之间的函数关系式吗？

问题2 已知北京市的总面积为1.68 ×104平方千米，人均占有的土地面积S(单位平方千米/人）随全市人口 n(单位:人）的变化而变化，则S与n的关系式如何？说说你的理由.思考 观察你列出的三个函数关系式，它们有何特征，不妨说说看看.【教学说明】学生相互交流，探寻三个问题中的三个函数关系式，教师再引导学生分析三个函数的特征，找出其共性，引入新知.k反比例函数：形如y =(k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，xy是x的函数,自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.试一试

下列问题中，变量间的对应关系，可用怎样的函数解析式表示？

(1)一个游泳池的容积为2000m3，注满游泳池所用的时间t(单位:h)随注水速度v(单位: m3/h)的变化而变化；

(2)某长方体的体积为1000cm3，长方体的高h(单位：cm)随底面积S(单位：2 cm)的变化而变化.(3)—个物体重100牛，物体对地面的压强 P随物体与地面的接触面积S的变化而变化.【教学说明】学生独立完成（1)、（2)、（3)题，教师巡视，关注学生完成情况，肯定他们的成绩，提出个别同学问题，帮助学生加深对构建反比例函数模型的理解.三、典例精析，掌握新知

例1 已知y是x的反比例函数，当x=2 时,y = 6.(1)写出y与x之间的函数解析式；(2)当x=4时，求y的值.k【分析】由于y是x的反比例函数，故可说其表达式为y =，只须把x=2，x12y=6代入，求出k值，即可得y =，再把x=4代入可求出 y=3.x【教学说明】本例展示了确定反比例函数表达式的方程，教师在评讲时应予以强调.在评讲前，仍应让学生自主探究，完成解答，锻炼学生分析问题，解决问题的能力.例2 如果y是z的反比例函数，z是x的 正比例函数，且x≠0，那么y与x是怎样的函数关系？

k【分析】 因为y是z的反比例函数，故可设y =1(K1≠0)，又z是x的z正比例函数，则可设 z = k2x(k2≠0) x≠0， y =

k1.k2xk10,k20,k1k0, 故y =1是y关于x的反比例函数.k2k2x【教学说明】本例仍可让学生先独立思考，然后相互交流探索结论.最后教

k师予以评讲，针对学生可能出现的问题（如设：y =，z=kx时没有区分比例系

x数）予以强调，并对题中x≠0的条件的重要性加以解释，帮助学生加深对反比例函数意义的理解.四、运用新知，深化理解

1.下列哪个等式中y是x的反比例函数? yy = 4x, = 3, y=6x+1,xy=123.x22.已知y与x成反比例，并且当x= 3时,y=4.(1)写出y和x之间的函数关系式,y是x 的反比例函数吗？(2)求出当x =1.5时y的值.【教学说明】让学生通过对上述两道题的探究，加深对反比例函数意义的理解，增强确定反比例函数表达式的解题技能，教师巡视，再给出答案并解决易错点.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.【答案】1.只有等式xy=123中,y是x 的反比例函数.k2.解：（1)由题知可设y =y2,x3时y=4， k= 4×9 = 36，x36即 y = 2，y 不是 x 的反比例函数.x3636(2)y=2，x=1.5 时，y= =16.1.51.5x

五、师生互动，课堂小结 1.知识回顾.2.谈谈这节课你有哪些收获？

2018高考数学函数周期 篇6

难点15 三角函数的图象和性质

三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用.●难点磁场

(★★★★)已知α、β为锐角，且x(α+β－＜2对一切非零实数都成立.●案例探究

［例1］设z1=m+(2－m2)i,z2=cosθ+(λ+sinθ)i,其中m,λ,θ∈R，已知z1=2z2，求λ的取值范围.命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用，属★★★★★级题目.知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决.错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题.技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.解法一：∵z1=2z2，m2cos∴m+(2－m)i=2cosθ+(2λ+2sinθ)i,∴ 22m22sin

22)＞0,试证不等式f(x)=(cossin)(xcossin)x∴λ=1－2cos2θ－sinθ=2sin2θ－sinθ－1=2(sinθ－当sinθ=1414)2－

98.时λ取最小值－

98，当sinθ=－1时，λ取最大值2.m2cos解法二：∵z1=2z2

∴ 22m22sinmcos2∴, 2sin2m22∴m42(2m2)422=1.∴m4－(3－4λ)m2+4λ2－8λ=0,设t=m2,则0≤t≤4，0344022令f(t)=t－(3－4λ)t+4λ－8λ,则或f(0)·f(4)≤0 2f(0)0f(4)0京翰教育http:///

高考网 http:/// ∴549834或02 2或0∴－98≤λ≤0或0≤λ≤2.98∴λ的取值范围是［－，2］.［例2］如右图，一滑雪运动员自h=50m高处A点滑至O点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O点保持速率v0不为，并以倾角θ起跳，落至B点，令OB=L，试问，α=30°时，L的最大值为多少？当L取最大值时，θ为多大？ 命题意图：本题是一道综合性题目，主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题.错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活.技巧与方法：首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题.解：由已知条件列出从O点飞出后的运动方程：

SLcosv0tcos12 hLsinv04singt2① ②

Lsint12gt.由①②整理得：v0cosθ=14Lcost,v0sin14Lt2∴v0+gLsinα=2gt+22

Lt22≥2gt222=gL

12运动员从A点滑至O点，机械守恒有:mgh=

v02mv02, ∴v0=2gh,∴L≤2g(1sin)1422ghg(1sin)2=200(m)即Lmax=200(m),又gt=

Sht2Lt22.∴t2Lg,SLcosv0tcos2gh2Lgcos

得cosθ=cosα,∴θ=α=30°∴L最大值为200米，当L最大时，起跳仰角为30°.［例3］如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.(1)求这段时间的最大温差.京翰教育http:///

高考网 http:///(2)写出这段曲线的函数解析式.命题意图：本题以应用题的形式考查备考中的热点题型，要求考生把所学的三角函数知识与实际问题结合起来分析、思考，充分体现了“以能力立意”的命题原则.属★★★★级题目.知识依托：依据图象正确写出解析式.错解分析：不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母.技巧与方法：数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式.解：(1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；

(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象.∴

1112=14－6,解得ω=,由图示A=(30－10)=10，b=(30+10)=20，这时2228y=10sin(348x+φ)+20,将x=6,y=10代入上式可取φ=

34π.综上所求的解析式为y=10sin（8x+ π)+20,x∈［6,14］.●锦囊妙计

本难点所涉及的问题及解决的方法主要有： 1.考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用.2.三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.3.三角函数与实际问题的综合应用.此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用.●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)函数y=－x·cosx的部分图象是（）

2.(★★★★)函数f(x)=cos2x+sin(A.非奇非偶函数

2+x)是（）

B.仅有最小值的奇函数

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高考网 http:/// C.仅有最大值的偶函数

二、填空题

3.(★★★★)函数f(x)=（1D.既有最大值又有最小值的偶函数)｜cosx｜在［－π，π］上的单调减区间为_________.4.(★★★★★)设ω＞0，若函数f(x)=2sinωx在［－范围是_________.］上单调递增，则ω的取值,，3

4三、解答题

5.(★★★★)设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知不论α、β为何实数恒有f(sinα)≥0和f(2+cosβ)≤0.(1)求证：b+c=－1；(2)求证c≥3；

(3)若函数f(sinα)的最大值为8，求b，c的值.6.(★★★★★)用一块长为a，宽为b(a＞b)的矩形木板，在二面角为α的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓，试问应怎样围才能使谷仓的容积最大？并求出谷仓容积的最大值.7.(★★★★★)有一块半径为R，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值.8.(★★★★)设－6≤x≤

4，求函数y=log2(1+sinx)+log2(1－sinx)的最大值和最小值.589.(★★★★★)是否存在实数a，使得函数y=sin2x+a·cosx+

a－

32在闭区间［0，2］上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由.参考答案

难点磁场

证明：若x＞0，则α+β＞∴0＜sin(cosαsin22∵α、β为锐角，∴0＜

2－α＜β＜

2;0＜

2－β＜

2,2－α)＜sinβ.0＜sin(cossin－β)＜sinα，∴0＜cosα＜sinβ,0＜cosβ＜sinα,∴0＜

2＜1,0＜＜1,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减，∴f(x)＜f(0)=2.若x＜0,α+β＜2,∵α、β为锐角，0＜β＜α,0＜sinα＜sin(2－α＜

2,0＜α＜

2－β＜

cossin2,0＜sinβ＜sin（cossin2－α),∴sinβ＜cos－β),∴sinα＜cosβ,∴＞1, ＞1, ∵f(x)在(－∞,0）上单调递增，∴f(x)＜f(0)=2,∴结论成立.歼灭难点训练

一、1.解析：函数y=－xcosx是奇函数，图象不可能是A和C，又当x∈(0, y＜0.答案：D 2.解析：f(x)=cos2x+sin（2

22)时，+x)=2cosx－1+cosx

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高考网 http:/// =2［(cosx+答案：D 122)218］－1.二、3.解：在［－π,π］上，y=｜cosx｜的单调递增区间是［－f(x)依｜cosx｜取值的递增而递减,故［－4.解：由－222,0］及［

2,π］.而,0］及［

2,π］为f(x)的递减区间.2≤ωx≤

2，得f(x)的递增区间为［－,2］，由题设得

3323[,][,], 解得:,0.3422222

4三、5.解：(1)∵－1≤sinα≤1且f(sinα)≥0恒成立，∴f(1)≥0 ∵1≤2+cosβ≤3,且f(2+cosβ)≤0恒成立.∴f(1)≤0.从而知f(1)=0∴b+c+1=0.(2)由f(2+cosβ)≤0,知f(3)≤0,∴9+3b+c≤0.又因为b+c=－1,∴c≥3.(3)∵f(sinα)=sin2α+(－1－c)sinα+c=(sinα－

1c21c2)2+c－(())，2当sinα=－1时，［f(sinα)］max=8,由1bc81bc0解得b=－4,c=3.6.解：如图，设矩形木板的长边AB着地，并设OA=x，OB=y，则a2=x2+y2－2xycosα≥2xy－2xycosα=2xy(1－cosα).∵0＜α＜π,∴1－cosα＞0,∴xy≤

a22(1cos)absin2(当且仅当x=y时取“=”号)，故此时谷仓的容积的最大值V1=（12xysinα)b=

144(1cos)14abcos22.同理，若木板短边着地时，谷仓的容积V的最大值V2=∵a＞b,∴V1＞V2

ab2cos

2, 从而当木板的长边着地，并且谷仓的底面是以a为底边的等腰三角形时，谷仓的容积最大，其最大值为14abcos2

2.7.解：如下图，扇形AOB的内接矩形是MNPQ，连OP，则OP=R，设∠AOP=θ，则

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高考网 http:/// ∠QOP=45°－θ，NP=Rsinθ,在△PQO中，PQsin(45)Rsin135，∴PQ=2Rsin(45°－θ).S矩形MNPQ=QP·NP=2R2sinθsin(45°－θ)=θ－45°)－2222R2·［cos(2］≤212212R，当且仅当cos(2θ－45°)=1,即θ=22.5°时，S矩形MNPQ的值

2最大且最大值为R2.工人师傅是这样选点的，记扇形为AOB，以扇形一半径OA为一边，在扇形上作角AOP且使∠AOP=22.5°，P为边与扇形弧的交点，自P作PN⊥OA于N，PQ∥OA交OB于Q，并作OM⊥OA于M，则矩形MNPQ为面积最大的矩形，面积最大值为8.解：∵在［－

212R2.,］上，1+sinx＞0和1－sinx＞0恒成立，∴原函数可化为y= 6464log2(1－sin2x)=log2cos2x，又cosx＞0在［－,x∈［ －2≤cosx≤1.,］上，264］上恒成立，∴原函数即是y=2log2cosx,在∴log2ymin=－1.22≤log2cosx≤log21，即－1≤y≤0，也就是在x∈［－

,］上，ymax=0, 649.解:y1cosxacosx当0x若a22时,0cosx1.258a32(cosxa2)2a2458a12.1时,即a2,则当cosx1时,ymaxa2013a2322(舍去),a258a321a若0a若a2

时,ymaxa21,即0a2,则当cosx或a40(舍去).458a1210,即a0,则当cosx0时,ymax58a121a125(舍去).综合上述知，存在a32符合题设.京翰教育http:///

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2018高考数学函数周期 篇7

本文主要介绍构造法中构造两组基本初等函数的方法, 先阐述两组基本初等函数的性质, 让读者遇到相关问题时能联想到熟悉的函数, 以此构造出解决问题的函数模型.这类问题往往是近些年高考的压轴, 希望此文对读者有所帮助.

一、知识储备

二、知识应用

三、结语

在数学解题过程中, 要瞄准最终目标, 用最小的“代价”获取最大的“成果”.利用构造法解题正是这一价值的具体体现, 把握这一原则, 在解题时就会产生许多巧思妙想, 令人耳目一新.在解题过程中渗透这一原则, 对提高分析问题和解决问题的能力是非常有益的. 构造法体现了数学发现的思维特点, “构造”不是“胡思乱想”, 不是凭空“臆造”, 而是要以所掌握的知识为背景, 以具备的能力为基础, 以观察为先导, 以分析为武器, 通过仔细地观察、分析, 发现问题的各个环节及其联系, 从而为寻求解法创造条件.

摘要：本文总结归纳两组基本初等函数的性质, 提供使用构造函数方法的途径.

关键词：构造法,初等函数,高考数学难点问题

参考文献

[1]李明振.数学方法与解题研究 (第二版) [M].上海:上海科技教育出版社, 2002.7.

2018高考数学函数周期 篇8

三角函数二轮复习建议

金陵中学张松年

一、考试要求

二、命题走向

近几年高考以基础知识、基本方法为主，降低了对三角恒等变形的考查要求，难度较小，位置靠前，重点突出．

三、考试要求

1．理解任意角的概念、弧度的意义．能正确地进行弧度与角度的换算．

2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义．掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．

3．了解周期函数与最小正周期的意义．了解奇函数、偶函数的意义． 4．掌握两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式．

5．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明． 6．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画形如y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)的函数的简图，理解A，ω的物理意义．

7．掌握正弦定理、余弦定理，并运用它们解决三角形中的计算、判定、证明问题．

四、复习目标：

1．清楚角与终边、三角函数的定义域、值域、符号、最值、奇偶性、单调性与周期性． 2．会求简单三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调区间及其周期． 3．会结合三角函数线、三角函数图像的的对称性，解决一些问题． 4．会用三角恒等变换公式化简三角函数式．

(1)三角函数同角关系，平方关系的运用中，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定角的范围，并进行定号”．

(2)三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限．(3)三角函数变换主要是：角、函数名、次数、系数(常值)的变换，其核心是“角的变换”．(4)角的变形主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换．

ｏｏｏｏ

(5)会求：sin15，cos15，sin75，cos75的值．

(6)三角式变形主要有：三角函数名互化(切化弦)、三角函数次数的降升(降次、升次)、运算结构的转化(和式与积式的互化)．解题时本着“三看”的基本原则来进行：“看角、看函数、看特征”，基本的技巧有：角的线性组合，公式变形使用，化切为弦，用倍角公式将高次降次．

注意：和(差)角的函数结构与符号特征；余弦倍角公式的三种形式选用；降次(升次)公式中的符号特征．“正余弦三个量sinx±cosx，sinx·cosx的内在联系”．

5．清楚三角形中的三角函数．

(1)内角和定理：三角形三角和为π，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方．

(2)正弦定理：abc＝2R(R为三角形外接圆的半径)． sinAsinBsinC

注意：已知三角形两边及一角，若运用正弦定理解三角形，可能有两解．

b2＋c2－a2(b＋c)2－a

2(3)余弦定理：a＝b＋c－2bccosA，cosA＝－1等，常选用余弦2bc2bc222

定理判定三角形的形状．

11abc(4)面积公式：S＝aha＝sinC＝． 224R

五、高考考点分析

高考中三角部分所占分值在20分左右，主要以填空题和解答题的形式出现．主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：

第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题．如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性、单调区间等．

第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用．如辅助角公式、切化弦等． 第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题．如分段函数值，求复合函数值域等．

六、基本题型与策略：

基本题型一：三角函数基础知识题，以考查三角函数的基本性质(符号、奇偶性、单调性、周期性、图像的对称性)为主．

例1计算：tan2010°＝___________．

说明：利用商数关系、正弦、余弦的诱导公式、商数关系化为tan30°，或直接利用正切函数的周期性化为tan30°．

例2若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是___________象限．

说明：利用正弦的倍角公式化为cosθ＞0，sinθ＜0．

5π2π2π例3设a＝sinb＝c＝tan，则a，b，c的大小关系是____________． 777

2π2π2π说明：利用诱导公式化为a＝sinb＝cos，c＝tan777

π例4(1)函数f(x)＝sin(πx－－1的最小正周期为___________；

3ππ(2)若函数f(x)＝cos(x－＞0)＝____________． 6

5说明：直接利用周期公式．课本只给出了函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，＞0，0≤φ＜2π)的周期公式．

π例5函数f(x)＝sin(2x－)－1在区间[0，π]上的单调增区间为___________； 3

ππ说明：将2xt，求出t的范围，结合t＝2x－x单调增函数，求y＝33

sint的单调增区间与t的值域的交集．

基本策略：(1)诱导公式的特点是“奇变偶不变，符号看象限”；判定一个角的位置，要用这个角的两个三角函数值的符号来判定；(3)比较几个三角函数值的大小，常常化为锐角的同名三角函数值比较大小，或化为同一个锐角的三角函数值比较大小，找一个中间量，如π(4)利用周期公式求函数的最小正周期时，要掌握掌握正弦、余弦、正切的4周期；(5)要能熟练地写出正弦、余弦、正切函数的单调区间．

基本题型二：经过简单的三角恒等变形、化简后，求值、研究性质．

例6计算：tan70ocos10o＋3sin10otan70o－2cos40o＝________________．

说明：提取tan70o，利用辅助角公式．

π12π例7若sin(－α)＝，则cos(2α)＝___________． 63

3ππ2π说明：设α＝β，则α＝β，从而＋2α＝π－2β．利用倍角公式． 663

π例8函数f(x)＝sin(πx－)－1的奇偶性为___________；

2说明：f(x)＝－cosx－1．

基本策略：(1)切化弦，和差公式的逆应用；(2)已知组合角的三角函数值，求另一个组合角的三角函数值，常常用对用已知值的角线性表示未知值的角；(3)对于与三角函数有关的函数奇偶性的判别，一般先化简，再结合正弦、余弦函数的奇偶性进行判别．

基本题型三：综合考查三角恒等变形和三角函数的基本性质．

π1例9(1)已知tan(＋α)＝2，求 42sinαcosα＋cosα

sin2α－cos2απ1(2)已知α)＝(Ⅰ)求tanα的值；(Ⅱ)求 421＋cos2α

π1说明：(1)由tan(＋α)＝2，求出tanα＝从而cosα＝3sinα．又cos2α＋sin2α＝1，得sin2α

4313＝2sinαcosα＋cos2α＝6sin2α＋9sin2α＝15sin2α＝． 10

2ππ例10已知6sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝0，α∈[，π]，求sin(2α＋)的值． 43

3π说明：cosα＝2sinα或cosα＝－sinα．因为α∈[，π]，所以sinα＞0，cosα＞0，所以24

1π13cosα＝2sinα．又cos2α＋sin2α＝1，得sin2α＝，从而sin(2α＋＝αcos2α＝sinαcosα5322

＋3313(1－2sin2α)＝sin2α＋＝． 2252

ππ例11函数f(x)＝sin2(x＋－sin2(x－)的最小正周期是_______，奇偶性是______． 44

πππππ说明：f(x)＝sin2(x＋)－sin2(x－＝cos2(x－sin2(x－)＝cos2(x－)＝－cos2x． 44444

例12求函数y＝sin4x＋3sinxcosx－cos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．

说明：先化简，y＝sin4x－cos4x＋3sinxcosx＝(sin2x－cos2x)(sin2x＋cos2x)＋23sinxcosx

π＝3sin2x－cos2x＝2sin(2x－)，在分别求最小正周期、最小值以及在[0，π]上的单调递增

3区间．

基本策略：(1)单角的“切”给出了“弦”的比例关系，是“明线”，而“弦”的平方关系是“暗线”，利用这两个关系，可以求出单角“弦”的平方，从而求出倍角的“弦”；(2)利用恒等变形，化为“一个角的一个三角函数的一次式y＝Asin(ωx＋φ)＋k(＞0，0≤φ＜2π)”是研究复杂三角函数式性质的基本方法．其中，对于函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(＞0，0≤φ＜2π)的单调性，要用整体化的观点，将ωx＋φ看作是一个角的大小，结合y＝sinx的单调区间和ωx＋φ关于x的单调性进行判断．

基本题型四：三角函数的图像变换与解析式．

π例13把函数y＝sinx，x∈R的图象上所有的点向左平行移动3

1图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是_____．

2π1π说明：sinx→sin(x→sin(x)． 323

π例14将函数y＝sin(2x＋)的图象按向量a＝(m，0)(其中|m|≤π)平移后所得的图象关3

π于点(－，0)中心对称，则m＝____________． 12

πππππ说明：y＝sin(2x＋→y＝sin[2(x－m)＋]＝sin(2x＋2m)．令2×(－＋2m＝kπ，333123

11πk∈Z，得m＝(k)π，k∈Z．由于|m|≤π，所以k＝0，从而m＝． 2612

πππ方法二：函数y＝sin(2x＋的周期是π，图象的一个对称中心为(－0)，从而m＝． 3612

例15若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(＞0，0≤φ＜2π)的图象(部

分)如图所示，则ω＝_________，φ＝_________． 2ππ说明：方法一由图知T＝4×(－＝2π，所以ω＝1，33

2πππ11π从而＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝2kπ－，k∈Z．因为0≤φ＜2π，所以φ＝． 3266

2ππ方法二由图知T＝4×(－)]＝2π，所以ω＝1，所以f(x)的图像可以看作是sinx33

π11π11π的图像向右移了个单位，．因为0≤φ＜2π，所以φ＝． 666

基本策略：根据函数的图像先确定振幅A，再确定周期T．利用周期求出角速度ω，最后利用峰(谷)点的坐标求出φ的值．一般不用平衡点(零点)来确定．三角函数图像的变换，每一次变换前，应先将“已知”函数一般化，写成f(x)的形式，再分别按照f(x)→f(x－a)，f(x)→f(ωx)，f(x)→f(x)＋k，f(x)→Af(x)的变化特征写出变换后的函数解析式．

基本题型五：三角形中的三角函数与正弦定理、余弦定理的应用．

1例16(1)在ΔABC中，“A＞30º”是“sinA___________条件．

2(2)在ΔABC中，已知BC＝12，A＝60o，B＝45o，则AC＝___________．

说明：(1)必要不充分条件；(2)利用正弦定理，先求出AC，再利用正弦定理或余弦定理求出．

3例17设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB－bcosA＝c．

5(Ⅰ)求tanAcotB的值；(Ⅱ)求tan(A－B)的最大值．

说明：利用正弦定理转化为三角函数的等式．

例18(08上海)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120o的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一

条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）．

说明

例19(07海南·宁夏)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得CD＝s，BCD

θ ＝α，CDB＝β，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB．

说明先在△BCD中求出BC，再在△ABC中求出AB．

基本策略：条件中给出了三角形中的边角关系，应利用正弦定理或余弦定理将条件统一到边或统一到角．在三角应用题中，应根据已知条件构造确定的三角形，构造的依据是全等三角形的条件．

基本题型六：三角知识与向量、数列、不等式等知识的综合应用．

3311π例20已知向量a＝(cos，sin)，b＝(cosx，－sinx)，且x∈[0，． 2222

23(Ⅰ)求a·b及|a＋b|；(Ⅱ)若f()＝a·b－2λ|a＋b|λ的值． 2

3131π说明(Ⅰ)a·b＝xx－sinx＝cos2x，x∈[0，]． 22222

3131因为a＋b＝(cosx＋x，sinx－sinx)，所以 2222

π|a＋b|＝(a＋b)＝2＋2cos2x＝2|cosx|＝2cosx，x∈[0，]． 2

(Ⅱ)f()＝a·b－2λ|a＋b|＝cos2x－4λcosx＝2cos2x－4λcosx－1＝2(cosx－λ)2－2λ2－1．

π因为x∈[0，所以cosx∈[0，1]，以下分类讨论． 2

基本策略：先根据向量的运算建立目标函数，转化为三角函数式，或基本初等函数Ⅰ对三角函数的复合函数，综合利用恒等变形、变量代换、基本不等式、导数等知识解决问题．

基本题型七：三角函数性质的一般化．

例21已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0，6)内解的个数的最小值是________________．

说明因为f(2)＝0 f(2－3)＝0 f(1)＝0，所以f(x)＝0在区间(0，3)内至少有2个解，在区间(0，6)内至少有4个解．

例22已知f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0，6)内解的个数的最小值是________________．

说明由f(2)＝0 f(5)＝0．由f(x)是奇函数f(0)＝0f(3)＝f(0)＝0，又f(4)＝f(1)＝f(1－3)＝f(－2)＝－f(2)＝0，f(1.5)＝f(1.5－3)＝f(－1.5)＝－f(1.5)，所以 f(1.5)＝0，f(4.5)＝f(1.5)＝0，综上，1，2，3，4，5，1.5，4.5都是f(x)＝0的解． 基本策略：以三角函数为模型，抽象出：如果一个定义在R上的函数f(x)满足f(a－x)＝±f(a＋x)，且f(b－x)＝±f(b＋x)，其中a≠b，那么这个函数一定是周期函数．

七、复习重点：

1．三角公式：诱导公式、两角和与差的公式、二倍角公式．

2．三角函数的图象和性质：对称性、单调性、周期性和图象的变换．

3．解三角形：以三角形为载体，求三角函数的值，求三角形的内角或边，综合运用三角、平面向量、数列及函数、导数等知识．

八、二轮复习建议

在复习过程中，应注重

1．三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性等性质以及图像的对称性．

2．三角知识的操作性，落实化简、求值、解三角形等重点内容的程式化操作．

3．三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系．