高考数学题

2024-07-20

高考数学题（共12篇）

高考数学题篇1

透视云南省2009年高考数学试题(全国卷Ⅱ)，理科试题增加了起点低而灵活，但计算量大且繁难的(解析几何)题。题目立足于现行高中数学教材，重视数学基础知识，突出考查数学核心能力，较好地考查了考生的数学实际水平和数学素养，有利于高校选拔新生。分析2009年高考试题特点，有利于我们及时调整复习。

一、理科与文科的试题在难度上有明显区分度

理科稳中有变。出题的背景和内容与文科的相似，不过在此基础上增加了思维量、运算量，考查难度文、理有明显区分度。首先体现在今年的文科试题起点较理科要低，正常学习了高中数学的考生应该都能完成常规题。其次，全卷对文理科安排了有部分差异的姊妹3题，全然不同的8题，完全相同的11题。

文、理20姊妹概率题独具风格，能充分体现文理科试题难易程度，文易理难在情理中，体现在试题设计条件不同、对考查点要求不同。试题中注意用分层抽样为前提，要注意各小题之间的约束条件：文理(Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数;文理(Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;文(Ⅲ)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率、理(Ⅲ)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望(注意ξ的取值)。

设计探究拓宽学生视野的文科第16题和理科(15)相关球问题。

文、理加大逆向思维量，如文19理18立体几何题第二问“二面角A-BD-C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小”借助法向量、向量夹角公式求解。都可以用综合几何、空间向量两种方法去求解，把立体几何的知识和函数知识结合了起来，既考察了学生的空间想象能力和对函数概念的认识程度，具有一定综合性。理解图形的过程中要把这个图形的数量特征体现得非常明确，这样才能进行正确的计算。既考了立体几何最基本的概念和计算公式，而更重要的是通过学生的空间想象来体现思维能力和水平。

二、强调概念性突出思辩能力考查

考查概念是高考数学明显特征，强调概念性是数学学科的一个最基本特点。要认真理解数学概念，准确运用数学知识，进行严格的数学推导，才能正确有效地解答数学问题。强制记忆基本概念是根本，要准确掌握基本概念的内涵外延，才能进行思考和辨别并用合理的判断进行正确推理。

三、以函数为主线突出主干知识考查

文理试题都是以集合、函数开篇以函数、不等式压轴。一个原则就是“在知识网络的交汇处设计试题”，从数学知识的整体高度立意。通过“收缩复习”、“强化记忆”，可以重温重点，强化主干。

主干知识就是函数、三角函数、数列及其应用、不等式、概率与统计、导数、直线与平面、圆锥曲线。

如文第17理19题考对等差数列概念的理解与数列求和的常用方法的掌握，找出关键词，是不难解决的。

文科第18理科17题主要考灵活运用诱导公式、正余弦定理的能力。

文理第10题排列组合题可以用直接法也可以用间接法求解。

理科(11)题、(22)题、文科(22)题可以直接计算向量、定比分点、通过三角形的中线性质转化。

文科的第22题同理科的第21题，在这道题的考察当中要正确地运用抛物线的定义，也就是抛物线上面每一个点都具有到焦点和准线等距离的性质，直线方程与抛物线的交点问题。

文科21理科第22题都是通过函数、求导、不等式知识交叉的题目，第一问很好入手，稳中趋难，推理繁、计算量大是符合理科数学教学要求和理科学生新生选拔的特点。在现有高中数学的基础上，结合了高等数学背景，结合导数、不等式、集合考查学生阅读理解及推理论证能力，有利于考查考生进一步学习高等数学的能力及数学潜质。

四、探索高考数学复习方法

1.

抓课堂教学，挖教材抓考点、思变式考逆向、重模型练真题。

2. 回归基础、梳理考点、查漏补缺。

以教材为本，要熟悉解题技巧和得分点。

3. 错题分析、反复纠正、积累信心。

重做错题保持良好心态，审题要从字到词再到句，避免“猜”、“漏”，演算工整有序绕开难题。

4. 关注真题、分析技巧。

考生可重点关注历年真题，对真题中做错的题目要提高警惕。

5. 限时训练，提高效率。

在做题训练时，不妨用限时的方法来提高效率。当堂内完成12道选择题和4道填空题或解答题，高度集中思维，全身心地投入解题，有意识训练书写、运算、画图速度。

6. 克服误区，主动复习。

保持演练才能使考生在真正高考时不感到手生。

7. 加强模拟、感受高考。

“月考+周考”控制时间，答题认真，训练心理承受力，总结错漏得失。

高考试题源于教材高于教材，2009年文科有10题理科有11题都是从教材改编而来，正确导向教学有利于纠正2010年高三复习中片面追求“新、奇、怪”的现象;有利于防止高三复习中脱离教材以教辅资料代替高三复习的片面做法，确实减轻学生课余负担。

高考数学题篇2

高考的试题的原创性是百分之百的，它的构造体现出数学学科的本质、体现思维的灵活性等多种基本原点。只要掌握数学高考题的命制试题，就能在高考中运筹帷幄、决胜千里。这就要求同学们必须具有较高的数学素养和回归到原点的性质。

所以，在高考最后的复习阶段，重要的不是你做了多少训练题，而是从原点出发。复习的时候要以不变应万变，有效地总结问题的解决方法与经验，数学的成绩才会得到提高。

2、确保基本得分

高考数学分数的高低往往取决于基本问题的得分能力，并不是把难点完全突破。我们要正确理解高考的重点和难点，平时的模拟试卷不论简单的还是困难的考点，只要是考点，哪怕是容易题的考点也必须重点关注。

高考复习最后阶段着重点应该放在中等题的得分上，高考不怕第一题做错，就怕容易题丢分。高考数学成功的标志是确保基本得分，不要只盯着最后两道大题，只要确保了基本得分，才会有超水平的发挥。

3、把握良好节奏

高考最后阶段都是以复习为主，合理安排复习时间是非常重要的。建议适当安排完整的模拟训练，每天复习好一个章节，及时进行查漏补缺，扩大自己的得分空间。

如何复习高考数学篇3

数学学科在高考体系中的重要性毋庸置疑，但是每年高考中，一些平时数学基础不错的学生，却不一定能考出理想的成绩。学生在数学分数上很难拉开距离，这告诉我们一个信息：数学分数只能尽量的高，不能低，否则就很被动。那么对于数学学科，应该如何复习呢？

一、我们要正视几个现实问题

笔者一年来分析了400多位学生的试卷。在试卷分析中，以及在实际教学中，笔者看到了学生数学学习的不足。以下所列举的问题，不是个别学生会遇到，而是涉及到众多的学生。那么现实中学生们在数学学习中会遇到哪些问题呢？

1.学生数学学科很脆弱，只要题目稍微加大难度，就直接导致很多学生不适应。原因就是在平时的学习中，学生对题型的总结不全面、训练不合理，特别是对各种试卷的适应能力没有到达一定的程度。

2.半数学生答题时间不够用。

3.四分之三的学生在解析几何、函数与导数问题计算不彻底，也就是不能计算出最终结果，整体计算能力欠缺。

4.对于选择题、填空题把握性不强。有的学生由于性格原因，粗心大意直接导致一些题目会而不对；还有更多的学生，对那些稍微难一点的填空、选择题驾驭力不足，在这类题上花费很多时间，直接导致整个考试时间不够用，甚至影响考试心态。

以上这些都是笔者的学生乃至全国学生在数学学科备考中存在的不足。如果学生想得到145分以上的高分，那么上面的几个问题就要避免，除了上面问题之外，还有很多事情需要学生去做。

二、考前如何训练最有效

对于笔者班上的学生，题型总结全了，解题方法也基本涵盖了，但是训练还没有停止，笔者认为应一直训练到高考前一天，因此在训练上笔者也给出了明确的建议。

1.在训练中对题型进行总结

数学学科虽然包涵了46个基本概念、公式，涵盖了18个规律和推论，可是题型终究有限，因此学生不能掉进题海中，平时做题一定要注重质量，不要盲目追求数量。在考试之前，对题型的把握还是有必要的，对相关的题型进行合理的训练也是有必要的。例如数学压轴题部分，如数列综合题、解析几何综合题等，学生在平时已对其专项训练了，那么在考试中，对这些题型的把握能力就增强了很多。学生在题型上可以这样归纳：

解析几何部分：曲线的方程与性质；解析几何中的几种探究性问题；最值问题；定点、定值问题；与其它知识交汇性的问题。

数列部分：求通项（一般常见的情况有6种）；求和（一般常见的情况有7种）；数列与不等式的综合运用（一般常见的题型有5种）。

高考中，所有相关的题型，一般都不会超出上述的范围。题型是有限的，我们在训练中如果对每种题型都熟悉了，解题思路也就熟悉了，当看到某块知识点或者某个问题时，马上就明白该题目的知识点是什么，题型是什么，有什么样的基本解题思路，得分点把握如何等，在头脑里会马上构建出解题体系。这就是训练的效果。在考前，学生们也不必再去做更多新的试卷，而应该把之前做过的试卷重新整理，对相关的题型做一次总结，再一次熟悉每种题型的解题思路，这样复习效果肯定不错。一方面，直接把平时训练的收获集中起来；另一方面，增强了自己的解题信心。这些题目可能都做过了，但就是没有总结到位或者归纳到位，那么在考前如果学生这样尝试，效率应该很高。

2.在训练中学会合理分配时间

笔者是这样来训练班上学生的解题速度的，例如一个小时之内，给他们三份试卷的选择题、填空题，让他们完成，如果完成不了，再重新规范。在这之前，统计一下，学生在什么方面存在不足，比如题型把握不到位、思路不明确、计算慢、知识不熟悉等。然后根据大家的实际情况再次训练，例如遇到比较大小这样的选择题，看到这样的题目我们马上就知道这个题目属于不等式范围的，不等式范围内的题目，属于比较大小的题型以及方法共有8种，分别是作差法、作商法、中间值法、数形结合法、单调性法等，马上在头脑里过一下这些方法，判断面前的题目属于哪一种，那么很快就能得出答案了，因为熟悉答题方法，所用的时间就少，正确率也高。

这样练得多了，大家遇到选择或者填空的时候，甚至能一眼看出来多数题目的答案。笔者相信这样训练出来的学生，在考试中时间不够的可能性不大。也就是说，与众不同的训练，才能让学生考出与众不同的成绩。试卷前面题目做好了，正确率高，用的时间少，就直接为后面压轴题提供了信心、时间上的保证，加上平时对压轴题的训练，那么相信学生对试卷的适应能力会很强，数学成绩肯定不差。运用上面的方法进行尝试时，注意一定要有章法，不能盲目做题。

3.在训练中积累解题思路

对于解题思路，上面已经提到一些，笔者觉得在训练中，特别是根据对以往题目的总结，可以总结出一些解题思路，例如在解函数与导数题目中恒成立的问题有几种思路，数形结合思想适用于什么样的题目，换元法一般都什么时候用等。同时在训练中，把一些解题工具用熟练，例如说一些定理、函数的关键词（单调性、奇偶性、最值等），这些都是常用的工具，把这些工具用好，再加上合理的材料辅助，就能在短时间内打造“豪华宫殿”。

4.成套的题目训练

在考试的时间段，例如每天下午15:00—17:00，仔细地做一份试卷，然后根据标准答案判分，检查还有哪些不足。然后再针对性地做出弥补，同时，要看是否对试卷中每一道题目都有思路，这样既达到训练效果，又在整体上熟悉了做题的思路。当然不一定要把面前的试卷做完，有的试卷是用来做的，有的则是用来“看”的，只要你看出思路即可。

三、树立信心

如何解答高考数学题篇4

一、解题思维的理论依据

美国著名的数学教育家波利亚的名著《怎样解题》里, 把数学解题的一般思维过程划分为:弄清题意→拟定计划→实现计划→回顾。这是数学解题的有力武器, 对怎样解答高考数学题有直接的指导意义.

二、解题思维的实践案例

例1.已知函数f (x) =sinx+tanx, 项数为27的等差数列{an}满足an∈ () 且公差d≠0, 若f (a1) +f (a2) +f (a3) +……+f (a27) , 则当k等于何值时, f (ak) =0.

【思维过程】:

第一步:弄清题目条件是什么, 解题目标是什么?

第二步:探究问题已知和未知, 条件与目标之间的联系, 构思解题的过程.

第三步:形成书面的解题程序、书写规范的解题过程.

【反思与回顾】

第四步:反思解题思维过程的入手点、关键点、易错点, 用到的数学思想方法, 以及考查的知识、技巧、基本活动经验等.

例2.若cosα+2sinα=, 则tanα= ( )

解:∵ (cosα+2sinα) 2=5, 即

例3.求函数的最大值和最小值

解法一:有界性

解法二:数形结合, 如图, 图中直线PA的斜率, AQ的斜率为式子的最值

例4.x, y, z∈R+, x-2y+3z=0, 则的最小值为 ()

解析:基本不等式法

思维导图:消y得x、z的代数式变换为能够使用基本不等式的形式, 由

当且仅当即x=3z时, 取等号.

例5.定义在R上的函数f (x) 满足f (x+y) =f (x) +f (y) +2xy (x, y∈R) , f (1) =2则

解析:令y=1, x=n, 得f (n+1) -f (n) =2n+2→叠加法求出f (n)

以上各式相加得f (n) =n (n+1)

用裂项相消法求和, 故

例6. (2008全国1理10) 若直线通过点M (cosα, sinα) , 则 ()

解析:点M (cosα, sinα) 在圆x2+y2=1上, 直线过M点意味着直线和圆有公共点, 即

例7. (2009全国1理22) 在数列{an}中,

(2) 求数列{an}的前n项和

解析: (1) 由

(2) 由 (1) 知:

例8.焦点为F1、F2, 点Q为双曲线左支上除顶点外的任意一点, 过F1作∠F1QF2的平分线的垂线, 垂足为P, 则点P的轨迹是 ( )

A.椭圆的一部分

B.双曲线的一部分

C.抛物线的一部分

D.圆的一部分

解析:如图

延长F1P交QF2于R, 则

∴P点的轨迹是圆的一部分

三、解题思维中的通性通法

数学是关于数与形的科学, 数与形的有机结合是数学解题的基本思想.数学是关于模式的科学, 这反映了在数学解题时, 需要进行“模式识别”, 需要构建标准的模型.往往遇到的问题是标准模型里的参数是需要待定的, 这说明待定系数法属于解题的通性通法.数学是一种符号, 引入符号可以将自然语言转换为符号语言, 通过中间量的代换, 就能将复杂问题简单化.数学解题就是一系列连续的化归与转化, 将复杂问题简单化、陌生问题熟悉化, 其消元、减少参变元的个数是常用的方法.在代数式的变形中, 则往往要分离出非负的量, 配方技术是经常使用且很奏效的方法.

高考数学题篇5

教育部考试中心函件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用。比如，在数学中增加数学文化的内容”。因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读

考|题|统|计

卷别

题型

题号

考查角度

2018年全国卷Ⅰ

选择题

10题

几何概型

2018年全国卷Ⅱ

选择题

8题

古典概型

2018年全国卷Ⅲ

选择题

3题

三视图

2018年北京高考

选择题

4题

等比数列

预测1：古代数学书籍《九章算术》《数书九章》等书为背景的数学文化类题目。

预测2：与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数。

预测3：以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制、割圆术、阿氏圆等。

预测4：以中外一些经典的数学问题为背景的题目，如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题。

考向一

数列中的数学文化

【例1】(2018·安徽模拟)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗。羊主曰：“我羊食半马。”马主曰：“我马食半牛。”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟。羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半。”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半。”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是()

A．a，b，c成公比为2的等比数列，且a＝

B．a，b，c成公比为2的等比数列，且c＝

C．a，b，c成公比为的等比数列，且a＝

D．a，b，c成公比为的等比数列，且c＝

【解析】　由题意可得，a，b，c成公比为的等比数列，b＝a，c＝b，三者之和为50升，故4c＋2c＋c＝50，解得c＝。故选D。

【答案】　D

本题以《九章算术》为背景考查我国优秀的传统文化，意在考查考生的阅读理解能力和解决实际问题的能力。

【美题尝试1】(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()

A．1盏

B．3盏

C．5盏

D．9盏

解析　由题意知由上到下各层灯数组成一个等比数列，该数列前7项和S7＝381，公比q＝2。设塔顶层的灯的盏数为a1，则有S7＝＝381，解得a1＝3。故选B。

答案　B

考向二

三角函数中的数学文化

【例2】　在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积。若三角形的三边分别为a，b，c，则其面积S＝，这里p＝。已知在△ABC中，BC＝6，AB＝2AC，则当△ABC的面积最大时，sinA＝________。

【解析】　设AC＝x，AB＝2x，则由海伦公式得

S＝

＝

≤·＝12，当且仅当x2－4＝36－x2，即x＝2，即AC＝2，AB＝4时不等式取等号。所以△ABC的面积的最大值为12，此时由余弦定理得cosA＝＝，故sinA＝＝。

【答案】

本题具有一定的综合性，考查的知识点较多，涉及基本不等式、余弦定理以及同角三角函数的基本关系。求解本题的关键是在“设元”的基础上，根据所给三角形面积的计算公式写出△ABC的面积的表达式，并利用基本不等式确定最值。

【美题尝试2】(2017·浙江高考)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年。“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________。

解析　如图，连接正六边形的对角线，将正六边形分成六个边长为1的正三角形，从而S6＝6××12×sin60°＝。

答案

考向三

算法中的数学文化

【例3】(2018·贵阳监测)我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的n的值为()

A．20

B．25

C．30

D．35

【解析】　解法一：执行程序框图，n＝20，m＝80，S＝60＋＝86≠100；n＝21，m＝79，S＝63＋＝89≠100；n＝22，m＝78，S＝66＋＝92≠100；n＝23，m＝77，S＝69＋＝94≠100；n＝24，m＝76，S＝72＋＝97≠100；n＝25，m＝75，S＝75＋＝100，退出循环。所以输出的n＝25。

解法二：设大和尚有x个，小和尚有y个，则解得根据程序框图可知，n的值即大和尚的人数，所以n＝25。

【答案】　B

《算法统宗》是我国古代一部数学巨著，本题通过“僧人分馒头”体现了方程思想，也折射出古代人民的智慧，增强了我们的民族自豪感。

【美题尝试3】　秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州安岳(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4,3，则输出v的值为()

A．20　　　B．61

C．183

D．548

解析　初始值n，x的值分别为4,3，程序运行过程如下：v＝1，i＝3≥0，v＝1×3＋3＝6，i＝2≥0；v＝6×3＋2＝20，i＝1≥0；v＝20×3＋1＝61，i＝0≥0；v＝61×3＋0＝183，i＝－1<0，跳出循环，输出v的值为183。故选C。

答案　C

考向四

立体几何中的数学文化

【例4】(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来。构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头。若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()

A　　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　　D

【解析】　由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A。

【答案】　A

本题通过三视图考查了古代建筑的木件结构。如果考生对木件结构没有一定的认识，缺乏常见的生活常识，想象不出木件结构的构成就很难答对本题，这也体现了高考对考生社会实践能力不断提高要求的趋势。

【美题尝试4】　祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个等高的几何体，若在等高处截面的面积恒相等，则体积相等。已知某不规则几何体与如下三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为()

A．4－

B．8－

C．8－π

D．8－2π

解析　由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等。根据题设所给的三视图，可知题图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为23＝8，半圆柱的体积为×(π×12)×2＝π，因此该不规则几何体的体积为8－π，故选C。

答案　C

考向五

概率中的数学文化

【例5】(2018·全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC。△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()

A．p1＝p2

B．p1＝p3

C．p2＝p3

D．p1＝p2＋p3

【解析】　解法一：设直角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2，则区域Ⅰ的面积为S1＝bc，区域Ⅱ的面积S2＝π×2＋π×2－＝π(c2＋b2－a2)＋bc＝bc，所以S1＝S2，由几何概型的知识知p1＝p2，故选A。

解法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，则BC＝2，所以区域Ⅰ的面积为S1＝×2×2＝2，区域Ⅱ的面积S2＝π×12－＝2，区域Ⅲ的面积S3＝－2＝π－2。根据几何概型的概率计算公式，得p1＝p2＝，p3＝，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选A。

【答案】　A

从中国古代文学作品中选取素材考查数学问题，丰富了数学文化题的取材途径。试题插图的创新是本题的一个亮点，其一，增强了数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际；其二，有利于考生分析问题和解决问题，这对稳定考生在考试中的情绪和心态起到了较好的效果；其三，探索了数学试题插图的新形式，给出了如何将抽象的数学问题直观化的范例。

【美题尝试5】　一种电子计时器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定的全等矩形“显示池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域“”组成。已知在一个显示数字8的显示池中随机取一点A，点A落在深色区域内的概率为，若在一个显示数字0的显示池中随机取一点B，则点B落在深色区域内的概率为()

A．

B．

C．

D．

解析　由于数字“8”是由7个深色区域组成，由P(A)＝，得整个矩形显示池的面积为14个深色区域的面积，而数字“0”是由6个深色区域组成，则P(B)＝＝。故选C。

答案　C

考向六

现代科技中的数学文化

【例6】(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动。这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是

20，21，22，依此类推。求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是()

A．440

B．330

C．220

D．110

【解析】　分段考虑数列1；1,2；1,2,4；…；1,2，…，2k－1；…该数列的前1＋2＋…＋k＝项的和为S＝1＋(1＋2)＋…＋(1＋2＋…＋2k－1)＝(20－1)＋(21－1)＋…＋(2k－1)＝2k＋1－k－2。要使得>100，又k∈N，则有k≥14，此时k＋2<2k＋1，所以k＋2是之后的等比数列1,2，…，2k＋1的部分和，也即k＋2＝1＋2＋…＋2s－1＝2s－1，所以k＝2s－3≥14，满足题意的最小的s＝5，此时k＝25－3＝29，对应最小的满足条件的N为＋5＝440。

【答案】　A

本题以大学生创业为背景设计一道具有时代意义的试题，将归纳推理和演绎推理有机地结合在了一起，考查了学生分析问题、解决问题的能力。

【美题尝试6】　根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080。则下列各数中与最接近的是()

(参考数据：lg3≈0.48)

A．1033

B．1053

C．1073

D．1093

解析　因为＝>0，所以lg＝lg＝lg3361－lg1080＝361lg3－80≈93.28。所以≈1093。故选D。

小议高考数学复习篇6

關键词高考数学复习针对性实效性

一、资料的选择和处理

我们的数学复习资料只有一套,而且是由高三的数学老师集体研究后定的,选择标准是既简单又比较全面系统。在利用复习资料复习时。我们根据各班学生的实际情况,在讲解时可进行适当的补充和删减。

二、复习步骤和目标

(一)基础复习(第一年的9月到第二年的3月)。

以复习基础知识为主,对每一个知识点都做到不放过,复习透,复习精。做好相应的巩固练习,开发学生的思维,使他们养成良好的学习习惯,同时,培养学生形成一定的解题思维。掌握一定的解题技能技巧,使他们学会找解题的突破口。

(二)专题复习(第二年的4月)。

题目的难度较第一轮略有上升。先是分章节的综合训练,教师主要是评讲卷子,针对卷子中学生暴露的问题一一点评;然后是针对学生应试能力的训练。第二轮主要安排:选择题、填空题、函数与导数、数列、三角、解析几何、立体几何、概率与统计八个专题。目的是提高学生的分析问题、解决问题和综合应试能力。

(三)综合复习(第二的年的5月)。

根据各地的高考信息选择好冲刺训练的模拟试卷,通过规范训练,发现平时复习的薄弱点和思维的易错点,提高实践能力,走近高考。这时候是高强度的训练。训练考试技巧和学生的应试心理,并注意非智力因素的训练。5月底6月初,回归课本,查缺补漏,再现知识点。树立信心,轻松应考。

三、复习措施

(一)认真阅读考试说明,减少无用功。在未进入高三复习之前,我们几个上高三的老师首先认真对考试说明进行学习领会,体会说明对知识点是如何考查的,了解说明对每个知识的要求,做到重点内容重点复习。

(二)加强高三老师的协作,发挥集体智慧。使大家心往一处想,劲往一处使,针对复习中存在的突出问题,加强集体备课(每周一次),共同研究寻找对策,加强互相交流,互相学习,精心筛选各类高考信息。

(三)注重对学生学习兴趣与习惯的指导。在学习兴趣方面我们采用1.鼓励学生,2.帮助学生(多辅导)3.抓基础降难度等方法。经常指导和帮助学生,要求他们养成良好的学习习惯;培养自学能力。

(四)夯实基础,强化通性通法。高考对基础知识考查既全面又突出重点。因此我们在复习中很重视对概念、公式、法则、定理的理解与应用。在选题时都选用常规方法解决的题。

(五)抓住重点内容,注重能力培养。高中数学主体内容是支撑整个高中数学最重要的部分,也是进入大学必须掌握的内容,这些内容都是每年必考且重点考察的内容。象函数,三角函数、平面向量、直线和圆锥曲线、立体几何的三大角度、数列、概率、导数等,把它们作为复习中的重中之重来处理,一个一个专题去落实,要通过对这些专题的复习向其他知识点辐射。

(六)切实抓训练,在高三第一学期坚持每两周考一次考试,用单元题和综合题考,第二学期每周考一次考试,主要用综合题考。在试题的选择上,立足于中、低档题目,注重知识的巩固和滚动,并要求做到批改、讲评及时、到位。除了正常的考后试卷分析,我们对每次考试、都要分析学生知识点的得分情况,分析各次考试学生的得分点是否有变化、有提高,并采取相应措施。把能够得分的题型通过练习、讲评,让学生一一突破。有目的解决学生中存在的一些突出问题。

(七)抓好解题指导。合理选择解题方法,优化运算途径,这不仅是迅速运算的需要,也是运算准确性的需要。运算的步骤越多,难度就越大,出错的可能性就会增大。因而根据问题的条件和要求合理地选择解题方法、优化运算途径不但是提高运算能力的关键,也是提高其他数学能力的有效途径。因而我们在复习中特别注意解题方法指导,收到了一定的效果。

(八)细心审题、耐心答题,规范准确,减少失误。我们在数学复习时,除抓好知识、题型、方法等方面的教学外,还通过各种方式、提高学生的审题能力、运算能力和逻辑推理能力,同时要求学生规范书写。

(九)抓思维易错点,突出典型问题分析。由于学生知识水平、能力的不同,在应用概念、性质、定理、公式解题时常忽略存在条件,忽略挖掘问题的隐含条件而造成解题失误,在教学时我们在这些方面认真讲解,反复练习,并要求学生每人准备一本数学改错本,对错误作记录。同时要求学生去反思错解原因。

(十)很抓数学思维方法的训练。数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象力以及运用所学知识分析问题、解决问题的重任,它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性与广泛的适用性,对能力的要求较高。数学能力只有在数学思想方法不断地运用中才能培养。

(十一)统一讲评与个别辅导相结合。课堂教学中我们以落实基础、熟悉方法、培养能力、规范要求为目的。在第二轮、三轮复习中,学生学习程度的差异将会充分地显示出来。为此,我们注意“同步”与“异步”相结合,“统一讲评”与“个别辅导”相结合。

(十二)多讲应试原则:做高考题的原则是先易后难,先做简单题,再做复杂题,无须拘泥于题号次序。先熟后生,先做那些题型结构和内容比较熟悉的题,后做那些题型、内容甚至语言比较陌生的题。碰到似曾相识的题目,更要注意彼此的区别;万一有偏难题,要及时自我安慰,对别人可能会更难。坚持“先易后难、先熟后生、先同后异、先小后大、”的基本原则。

(十三)对应试心理进行指导。对学生进行心理教育,为学生减压,使他们平时感到有希望,考时不觉心理有压力,高考时保持最佳状态。

九种方法解一道高考数学题篇7

( Ⅰ) 求数列{ an} 的通项公式;

我们重点讲第二问的证明,显然本问的重点是求和,但是由通项公式可知,不是常见的求和类型,直接求和暂不可解. 所以考虑放缩求和、裂项求和或者类倍差求和.

一、通过缩小分母构造等比数列求和

所以从第五项开始放大比较好,在试验之前,谁都不知道应该从第几项开始放大比较合适,数学学习就是要经历“动脑猜想、修正猜想、验证猜想、严格证明、拓展探究”的数学问题解决、发展的全过程. 数学在其自身的发展过程中,充满了合情推理和演绎推理的过程,充满了数学实验的过程,如何在数学学习中,受到数学文化的熏陶,体验数学思想方法的美妙,就是我们学习的重点与难点.

二、利用分数性质放缩,构造等比数列求和

三、通过裂项求和

方法5: 利用分数性质构造裂项

四、类比倍差法求和构造放缩

五、加强命题

高考数学题篇8

考题再现: 已知抛物线的顶点为原点, 其焦点F (0, c) (c>0) 到直线l:x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点 , 过点P作抛物线C的两条切线PA, PB, 其中A, B为切点.

(1) 求抛物线C的方程;

(2) 当点P (x0, y0) 为直线l上的定点时, 求直线AB的方程;

(3) 当点P在直线l上移动时, 求|AF|·|BF|的最小值.

1.研究试题的立意

数学命题坚持原创试题, 坚持能力立意, 一方面是公平的要求, 另一方面是选拔人才的要求.以能力立意命题就是首先确定试题在能力方面的考查目的, 然后根据能力考查要求, 选择适当的考查内容, 设计恰当的设问方式, 能力立意的试题以基础知识、基本技能和基本思想方法为载体, 体现考试的目的和内容.

本题以抛物线为载体, 考查抛物线的标准方程, 考查利用导数研究曲线的切线方程, 抛物线的定义, 涉及用函数思想求最值, 考查计算能力, 有一定的综合性.该题在解析几何基础知识、基本技能和基本思想方法交汇处命题, 要求考生运算合理准确, 能综合运用代数方法和几何性质进行转化, 对考生具有较强的甄别功能.

2.研究试题的解法

试题的解法要倡导通性通法, 是历年来高考数学命题的一个出发点, 即试题命制时充分考虑了解题方法的大众化与常规化, 不在冷僻的技巧上设置问题, 不搞独门技巧, 着力于通性通法.试题不偏不怪, 以通法为主, 解法多样, 既有常规思路又有巧妙简洁的方法。这样既可培养学生的学习兴趣, 又可甄别考生的数学素养.

解决本题的知识涉及抛物线的定义、韦达定理、中点坐标公式、点差法等, 还涉及函数思想及解决解析几何的常规法, 过程体现了转化与化归的思想.

3.研究试题的背景

研究高考试题的背景, 对于高中数学教学具有十分重要的意义, 高考数学试题设计的背景是通过不同的载体实现和依托不同的方式呈现的, 比如:以教材为背景, 以历年高考试题为背景, 以国外考题为背景, 以数学竞赛试题为背景, 以经典数学命题为背景, 以生活中的数学常识为背景, 以高等数学知识为背景, 等等.

本题的背景来自于2000多年前的阿基米德三角形, 我们把抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形, 称为阿基米德三角形.作为国内的高考试题, 最早可追溯到2005年江西高考卷理科第22问, 还有2006年全国卷Ⅱ理科第21题, 2007年江苏卷理科第19题, 以及2012年江西卷理科第20题, 此处不再引述.

4.研究试题的推广

研究试题的推广就是将试题进行变式、重组、引申、拓展. 前苏联数学教育家奥家涅相说:“必须重视, 很多习题存在着进一步拓展其教学功能、发展功能和教育功能的可能性.”不少数学问题本身似乎平淡无奇, 但若能对条件进行适当改变, 则常常会有意想不到的收获.

结合几何画板, 开展对本题的拓展研究, 可以得到很多性质, 本文取其两个供大家欣赏.

性质1:设过点P的任意一条直线与抛物线的两个交点为E、F, 与抛物线的切点弦AB的交点为Q, 则.反之亦然.

性质2:设过点P的任意一条直线与抛物线的两个交点为E、F, 与抛物线的切点弦AB的交点为Q, 则 (|PQ|/|PE| ) + (|PQ|/|PF|) 为定值.

5.研究试题的导向

一道试题的编制并不在于它的新颖别致, 而在于它的导向功能。在“高考指挥棒”的指引下, 试题设计时要充分考虑到高考试题对高中数学教学的导向作用. 教师在高三复习中要关注以下几点: (1) 高中数学教学应在核心知识、核心概念上下工夫. (2) 高中数学教学应该关注本质. (3) 关注研究历年考题. (4) 关注探究性学习.

6.研究试题的评价

研究试题的评价就是研究一道试题在试卷中点地位和作用, 考查“四度” (即难度、信度、效度、区分度) 测量的指标是否达到预期的目标, 了解高考后师生对该题的满意度.

高考数学题篇9

业内人士常用“题眼”这个术语, 有人认为这个词是由围棋中的“棋眼”衍生而来, 《汉语大词典》中对“棋眼”的解释是“围棋一方子所留的空格, 为对方不能下子处”, 而“题眼”的概念却大都含有“试题主要落点”或“解题”的关键处之意.棋有棋眼, 文有文眼, 题有题眼.如何在高考数学题中找到题眼, 理解题眼, 破解题眼, 则有事半功倍, 四两拨千斤的作用.

1 理解结论中的题眼, 破解题目本质

在高考数学解答题中, 基本上蕴藏有这一思想, 找到这种思想就等于找到解决的方法.而找的过程或需要经验或需要题眼.

1.1 数列中“消”字的破解

数列是高中的一个重要知识点, 也是高考必考的大题, 而解决此类问题的关键在于“消”, 如何消则看题眼而定.

例1 已知a1=2, 点 (an, an+1) 在函数f (x) =x2+2x的图像上, 其中n=1, 2, 3, …

(Ⅰ) 证明数列{lg (1+an) }是等比数列;

(Ⅱ) 设Tn= (1+a1) (1+a2) … (1+an) , 求Tn及数列{an}的通项;

$△ A D F ∽ △ G C F ‚ \frac{F G}{A F} = \frac{C F}{D F} = \frac{2}{3}$ ,

即 $F G = \frac{2}{3} \times A F = \frac{2}{3} \times (5 + 3) = \frac{16}{3} .$

试题3 如图9, ⊙O, ⊙Q外切于A, 半径分别为r1和r2;PB, PC分别为两圆的切线, B, C为切点; $\frac{Ρ B}{Ρ C} = \frac{r_{1}}{r_{2}}$ ;又PA交⊙Q于E点.求证:△PAB∽△PEC. (1985年全国初中数学竞赛试题第4题) .

思路如图10, 要证△PAB∽△PEC, 只要证 $∠ B Ρ A = ∠ C Ρ A ‚ \frac{Ρ B}{Ρ C} = \frac{Ρ A}{Ρ E}$ .而△PBO∽△PCQ是显然的, 所以 $\frac{Ρ Ο}{Ρ Q} = \frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{A Ο}{Q A}$ , 由三角形角平分线定理的逆定理得∠OPA=∠QPA, 进而有∠BPA=∠CPA;而 $\frac{Ρ B}{Ρ C} = \frac{Ρ A}{Ρ E}$ , 可由△POA∽△PQE得以证明.

证明如图10, 连OA, OB, PO, PQ, QA, QC, QE, 则O, A, Q三点共线.

因为 $\frac{Ρ B}{Ρ C} = \frac{r_{1}}{r_{2}} ‚ ∠ Ρ B Ο = ∠ Ρ C Q = 90 °$ , 所以

RT△PBO∽RT△PCQ,

$∠ B Ρ Ο = ∠ C Ρ Q ‚ \frac{Ρ Ο}{Ρ Q} = \frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{Ο A}{Q A} .$

所以PA是∠OPQ的平分线, 即

∠OPA=∠QPA.

又QA=QE, ∠QAE=∠QEA,

∠OAP=∠QEP,

所以 $△ A Ο Ρ ∽ △ E Q Ρ ‚ \frac{Ρ A}{Ρ E} = \frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{Ρ B}{Ρ C} .$

又由∠OPB=∠QPC, ∠OPA=∠QPE, 得

∠BPA=∠CPE.

故△PAB∽△PEC.

因此, 如果我们对历年来的全国初中数学竞赛试题进行研究分析, 不难看出其中有许多竞赛题直接或间接来自于课本.命题者一般将课本中的例习题进行适当的引申与深化, 提炼出隐含在例习题中深刻的数学思想和方法, 或将例习题中的重要结论应用到新的问题情景中等方法编制出一道道构思精巧, 思维缜密的竞赛题.由此可见, 理解课本中例习题的逻辑结构与变化, 分析它的解题思路和途径, 及挖掘出隐藏在其中的数学思想方法, 是提高解竞赛题能力的较为有效手段之一.Ⅲ) 记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{a_{n} + 2}$ , 求{bn}数列的前n项和Sn, 并证明 $S_{n} + \frac{2}{3 Τ_{n} - 1} = 1 .$

本人在实际的教学过程中发现第 (Ⅲ) 小题对很多学生来说有难度, 没有头绪, 无从下手.以下是课堂教学片断.

师:同学们, 在数列求和过程中主要手段是什么?

生:用错位相减、裂项相消等方法消项.

师:非常好, 主要是消.那如何才能消呢?

生:一般好象连续的才能消, 比如Sn= (a1-a2) + (a2-a3) + (a3-a4) +…+ (an-1-an) .

师:我们发现 (Ⅲ) 中 $\frac{1}{a_{n}}$ 和 $\frac{1}{a_{n} + 2}$ 不连续不能相消.应该怎么处理呢?

生:让 $\frac{1}{a_{n} + 2}$ 消失, 出现连续就可以了.

师:对, $\frac{1}{a_{n} + 2}$ 是本题的题眼, 是解决本题的关键, 怎么消失, 怎么出现呢?

生:因为an+1=a $_{n}^{2}$ +2an, 所以an+1=an (an+2) ,

即 $\frac{1}{a_{n + 1}} = \frac{1}{2} (\frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{a_{n} + 2}) ‚ \frac{1}{a_{n} + 2} = \frac{1}{a_{n}} - \frac{2}{a_{n + 1}} .$

师:好, 出现了连续项了.

生:又 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{a_{n} + 2}$ , 故 $b_{n} = 2 (\frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{a_{n + 1}}) .$

$\begin{array}{l} 所以 S_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} \\ = 2 (\frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{2}} - \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{a_{n + 1}}) \\ = 2 (\frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{a_{n + 1}}) . \end{array}$

因为an=32n-1-1, a1=2, an+1=32n-1,

所以 $S_{n} = 1 - \frac{2}{3^{2^{n}} - 1} .$

又Tn=32n-1, 故 $S_{n} + \frac{2}{3 Τ_{n} - 1} = 1 .$

例2 设数列{an}满足条件:a1=a (a>2) , 且 $a_{n + 1} = \frac{a_{n}^{2}}{2 (a_{n} - 1)} (n \in Ν^{*}) .$

(Ⅰ) 证明an>2;

(Ⅱ) 证明a1+a2+…+an<2 (n+a-2) .

对于第 (Ⅱ) 小题, 直接证明非常困难, 于是试着让学生寻找题眼, 结果很多学生发现右边有个“2n”, 本人追问如何才能“2n”.学生回答因为右边有“2n”, 而左边是a1+a2+…+an.所以要把左边的每一项和2比较方能得到这样的效果, 于是由 $a_{n + 1} = \frac{a_{n}^{2}}{2 (a_{n} - 1)}$ , 得 $a_{n} = \frac{a_{n - 1}^{2}}{2 (a_{n - 1} - 1)} (n \geq 2)$ .又

$\begin{array}{l} a_{n} - 2 = \frac{a_{n - 1} - 2}{2} \cdot \frac{a_{n - 1} - 2}{a_{n - 1} - 1} ‚ \\ \frac{a_{n - 1} - 2}{a_{n - 1} - 1} - 1 = \frac{- 1}{a_{n - 1} - 1} ＜ 0 . \end{array}$

$\begin{array}{l} 所以 \frac{a_{n - 1} - 2}{a_{n - 1} - 1} ＜ 1 ‚ \\ a_{n} - 2 = \frac{a_{n - 1} - 2}{2} \cdot \frac{a_{n - 1} - 2}{a_{n - 1} - 1} ＜ \frac{a_{n - 1} - 2}{2} . \end{array}$

所以 $a_{n} - 2 ＜ \frac{a_{n - 1} - 2}{2} ＜ \frac{a_{n - 2} - 2}{2^{2}} ＜ \dots ＜ \frac{a_{1} - 2}{2^{n - 1}} (n \geq 2) ‚$

$\begin{array}{l} 即 (a_{1} - 2) + (a_{2} - 2) + \dots + (a_{n} - 2) \\ \leq (a - 2) (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^{n - 1}}) \\ = (a - 2) \cdot \frac{1 - \frac{1}{2^{n}}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 (a - 2) (1 - \frac{1}{2^{n}}) ＜ 2 (a - 2) ‚ \\ a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} ＜ 2 (n + a - 2) . \end{array}$

类似还有很多高考题目需要找题眼才能找到捷径.

1.2 函数中“恒”字的破解

“恒”问题是数学中常见的问题, 经常与参数的范围联系在一起, 在高考中频频出现, 是高考中的一个难点问题.“恒”的理解:对于变量在某个区间的任意值都成立.“恒”的破解:转化以后求函数在区间的最值, 函数与方程方法, 利用不等式与函数和方程之间的联系, 将问题转化成二次方程的根的情况的研究.分离参数法, 将含参数的恒成立式子中的参数分离出来, 化成形如:a=f (x) 或a>f (x) 或a<f (x) 恒成立的形式.则a=f (x) ⇔a的范围是f (x) 的值域.a<f (x) 恒成立⇔a<f (x) min;a>f (x) 恒成立⇔a>f (x) max.

例3 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + a}{x} ‚ x \in [1 ‚ + \infty) .$

(Ⅰ) 当 $a = \frac{1}{2}$ 时, 求函数f (x) 的最小值;

(Ⅱ) 若对任意的x∈[1, +∞) , f (x) >0恒成立, 试求a的取值范围.

解法1 (分离参数) f (x) >0在x∈[1, +∞) 恒成立, 即x2+2x+a>0在[1, +∞) 恒成立, 有

a> (-x2-2x) max=-3, 即a>-3.

解法2 (根的分布) 令h (x) =x2+2x+a, 则

(ⅰ) Δ=4-4a<0, 得a>1.

$(ⅱ) {\begin{cases} Δ = 4 - 4 a \geq 0 ‚ \\ h (1) ＞ 0 ‚ \end{cases}$

得-3<a≤1.

综上, a>-3.

解法3 数形结合.x2+2x>-a, 令M (x) =x2+2x, N (x) =-a, M (x) >N (x) 即表明当x∈[1, +∞) 时, M (x) 图像恒在N (x) 上方, 所以a>-3.

“恒成立”问题的题眼是“恒”, 解决此类问题主要是运用等价转化的数学思想.类似的还有恒有解, 恒相等等.

2 理解信息中的题眼, 破解出题者的本意

对于一道高考题, 命题者往往事先准备好考什么, 用什么的载体考, 而这些思想不经意的暴露在题目的表面, 如果考生能捕捉到这些题眼, 对解题是决定性的.

例4 这是一个计算机程序的操作说明:

(1) 初始值为x=1, y=1, z=0, n=0;

(2) n=n+1 (将当前n+1的值赋予新的n) ;

(3) x=x+2 (将当前x+2的值赋予新的x) ;

(4) y=2y (将当前2y的值赋予新的y) ;

(5) z=z+xy (将当前z+xy的值赋予新的z) ;

(6) 如果z>7000, 则执行语句 (7) , 否则回语句 (2) 继续进行;

(7) 打印n, z;

(8) 程序终止.

由语句 (7) 打印出的数值为____, .

请写出计算过程.

分析出题者的意图是什么呢?我们不难看出, 问题是一个循环、迭代的过程.所谓程序, 就是一步一步的操作.因此, 为了更好的理解题意, 我们不妨按照这个程序操作几次, 如表1所示.

就此操作下去, 并不难得出答案, 这也是本题的一种计算方法.

从另一个角度考虑, 本题中我们比较难以理解的是这样的语句:“n=n+1;x=x+2;…”, 虽然题目中已经给出很好的解释, 但是, 按照我们通常的认识, 应该用不同的符号来分别表达新值与旧值, 如何从数学上较好的体现新值与旧值之间的不同, 以及它们之间的联系呢?事实上, 注意到在整个计算的过程中, 我们发现题眼从转化的过程中找到了等差、等比数列.一方面, n的值似乎只起到一个计算第几轮的作用, 另一方面, 随着n的变化, x, y, z的值随之变化.从这一个角度, 不难想到, 数列是一种较好的表示方法.

设n=i时, x, y, z的值分别为xi, yi, zi.

依题意, x0=1, xn=xn-1+2.即数列{xn}是等差数列, 且xn=2n+1.

y0=1, yn=2yn-1.即数列{yn}是等比数列, 且yn=2n.

z0=0, zn=zn-1+xnyn.

zn=x1y1+x2y2+…+xnyn

=3·2+5·22+7·23+…+ (2n+1) ·2n,

2zn=3·22+5·23+7·24+…

+ (2n+1) ·2n+1.

得 zn=-3·2-2·22-2·23-…

-2·2n+ (2n+1) ·2n+1

=-2n+2+2+ (2n+1) ·2n+1

= (2n-1) ·2n+1+2.

依题意, 程序终止时, zn>7000, zn-1≤7000,

即

${\begin{cases} (2 n - 1) \cdot 2^{n + 1} + 2 ＞ 7000 ‚ \\ (2 n - 3) \cdot 2^{n} + 2 \leq 7000 . \end{cases}$

从而, 可以求得n=8, z=7682.

抓住了题眼——转化的过程其实是等差和等比数列.把不熟悉的问题转化为熟悉的问题, 是解决问题的基本途径.浏览全文捕捉命题者的意图, 找到最佳解决方法.

3 理解题型中的题眼, 破解统一解法

在高考中不仅重视基本的方法和能力, 还重视基本的题型, 不同的题型有着不同的方法, 而不同的题型有不同的题眼, 找到了题眼等于找到了方法, 才能做到“到什么山唱什么歌”.

3.1 立体几何中“折”字的破解

例5 如图2, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中, $A B = B C = \sqrt{2} ‚ B B_{1} = 2 ‚ ∠ A B C = 90 ° ‚ E ‚ F$ 分别为AA1, C1B1的中点, 沿棱柱的表面从E到F的两点的最短路径的长度为___.

题眼化折为平, 从几何体的表面连线的最小值问题, 不可能从内部直接连接, 只有设法转化到平面中来解决, 对多面体, 将其表面展开放平, 旋转体的曲面则展开拉平.

分析将直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面沿侧棱AA1展开 (如图3) , 问题转化为在平面图形中, 求E, F连线的最小值.根据平面几何知识, 连接EF的线中直线段最短, 在直角三角形EA1F中,

$\begin{array}{l} | E F | = \sqrt{A_{1} E^{2} + A_{1} F^{2}} \\ = \sqrt{1 + (\frac{3 \sqrt{2}}{2})^{2}} = \frac{\sqrt{22}}{2} . \end{array}$

3.2 解析几何中“最”字的破解

最值问题常见的解法有两种:代数法和几何法.若条件和结论能明显体现几何特征及意义, 则考虑利用图形性质来解决, 这就是几何法.若题目的条件和结论能明显一种明确的函数关系, 则可首先建立起目标函数, 再求这个函数的最值.求函数最值常用的方法有配方法、判别式法、函数的单调性、三角函数的有界性、基本不等式等, 这些方法叫代数法.

例6 已知抛物线以y轴为准线且过点A (3, -3) , 其顶点坐标为 $(\frac{a}{2} ‚ b)$ , 求a+b的最大值.

解析由抛物线的定义可得焦点F (a, b) , 进而得 (a-3) 2+ (b+3) 2=9.

方法1 (三角代换法) 设

a-3=3cos θ, b+3=3sin θ,

则 $a + b = 3 \cos θ + 3 \sin θ = 3 \sqrt{2} \sin (θ + \frac{π}{4}) .$

故 $(a + b)_{\max} = 3 \sqrt{2} .$

方法2 (基本不等式) 因为

(a+b) 2=[ (a-3) + (b+3) ]2

= (a-3) 2+2 (a-3) (b+3) + (b+3) 2

≤2[ (a-3) 2+ (b+3) 2]=18.

所以 $| a + b | \leq 3 \sqrt{2}$ , 故 $(a + b)_{\max} = 3 \sqrt{2} .$

方法3 (判别式法) 设a+b=m, 则b=m-a, 代入 (a-3) 2+ (b+3) 2=9, 可得

2a2-2 (6+m) a+ (m+3) 2=0.

由Δ=[-2 (6+m) ]2-8 (m+3) 2≥0,

得 $- 3 \sqrt{2} \leq m \leq 3 \sqrt{2} .$

故 $(a + b)_{\max} = 3 \sqrt{2} .$

方法4 (向量法) 设p= (a-3, b+3) , q= (1, 1) , 由pq≤|p||q|, 得 $(a - 3) + (b + 3) \leq 3 \sqrt{2}$ .即

$(a + b)_{\max} = 3 \sqrt{2} .$

方法5 (线性规划法) 设z=x+y, 由 (x-3) 2+ (y+3) 2=9所表示的平面区域如图4所示.作直线l:x+y=0, 把直线l向右上方平移至l′位置时, 直线经过可行域上的点M, 此时z=x+y取得最大值.易求得 $Μ (\frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3 ‚ \frac{3 \sqrt{2}}{2} - 3) ‚$ 可得 $(x + y)_{\max} = 3 \sqrt{2}$ , 则 $(a + b)_{\max} = 3 \sqrt{2} .$

乔治·波利亚 (George Polya, 1887-1985) 为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题, 他专门研究了解题的思维过程, 并把研究所得写成《怎样解题》一书.这本书的核心是他分解解题的思维过程得到一张《怎样解题表》.在解答高考数学题的时候, 需要最初的想法, 我们常常追求“为什么能想到”, “怎么想到”, 而这些问题的本质就是题眼的寻找和破解.而这些就是提高解题能力的关键, 我们的先辈数学家们, 已经为我们创造出了很多的数学思想方法, 我们应该很好地体会它, 理解它, 并且要灵活地应用它.

参考文献

[1]肖传芳.解答高考数学题应学会捕捉“题眼”[J].数学通讯, 2000, (1) .

聚集高考数学题中的合情推理篇10

著名数学教育家波利亚认为“合情推理是数学发现与创造的源泉”.教育观念悄然发生变革的今天, 合情推理已走进了高中数学新课程, 合情推理已作为一个专题内容——“推理与证明”纳入高中数学新课程教材中 (选修系列1-2和选修系列2-2) .《普通高中数学课程标准 (实验) 》指出:“合情推理是根据已有的事实和正确的结论、实验和实践的结果, 以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程, 归纳、类比是合情推理常用的思维方法.在解决问题的过程中, 合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用, 有利于创新意识的培养.”因此, 对合情推理能力的考查, 是近年高考数学试题的一个新特点.本文结合近几年高考数学中的合情推理有关问题进行分类解析, 供大家复习参考.

1 函数中的合情推理问题

例1 (2011年山东高考题) 设函数 $f (x) = \frac{x}{x + 2} (x > 0)$ , 观察:

根据以上事实, 由归纳推理可知:当n∈N+, 且n≥2时, fn (x) =f (fn-1 (x) ) =____.

解析观察知:4个等式等号右边的分母为x+2, 3x+4, 7x+8, 15x+16, 即 (2-1) x+2, (4-1) x+4, (8-1) x+8, (16-1) x+16, 所以归纳出fn (x) =f (xn-1 (x) ) 的分母为 (2n-1) x+2n, 故当n∈N+且n≥2时,

$f_{n} (x) = f (f_{n - 1} (x)) = \frac{x}{(2^{n} - 1) x + 2^{n}} .$

评注归纳就是从特殊到一般的过程, 是由小见大, 即从许多小的特殊的现实中总结出大的一般的原理.能否完成归纳, 关键在于通过思考后, 能否发现载体表面、题设条件或变化过程中所隐含在现象背后的规律.该试题以函数为载体借助归纳与概括来考查考生的合情推理能力.

例2 (2010年福建高考题) (Ⅰ) 已知函数f (x) =x3-x, 其图像记为曲线C.

(ⅰ) 求函数f (x) 的单调区间;

(ⅱ) 证明:若对于任意非零实数x1, 曲线C与其在点P1 (x1, f (x1) ) 处的切线交于另一点P2 (x2, f (x2) ) , 曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3 (x3, f (x3) ) , 线段P1P2, P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1, S2, 则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 为定值.

(Ⅱ) 对于一般的三次函数g (x) =ax3+bx2+cx+d (a≠0) , 请给出类似于 (Ⅰ) (ⅱ) 的正确命题, 并予以证明.

解析 (Ⅰ) 略.

(Ⅱ) 记函数g (x) =ax3+bx2+cx+d (a≠0) 的图像为曲线C′, 类似于 (Ⅰ) (ⅱ) 的正确命题为:若对于任意不等于 $- \frac{b}{3 a}$ 的实数x1, 曲线C′与其在点P1 (x1, g (x1) ) 处的切线交于另一点P2 (x2, g (x2) ) , 曲线C′与其在点P2处的切线交于另一点P3 (x3, g (x3) ) , 线段P1P2, P2P3与曲线C′所围成的封闭图形的面积分别为S1, S2, 则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 为定值.

证法1 因为平移变换不改变面积的大小, 故可将曲线y=g (x) 的对称中心 $(- \frac{b}{3 a}, g (- \frac{b}{3 a}))$ 平移至坐标原点, 因而不妨设g (x) =ax3+hx, 且x1≠0.

类似 (Ⅰ) (ⅱ) 的计算可得

$S_{1} = \frac{27}{4} a x_{1}^{4}, S_{2} = \frac{27 \times 16}{4} a x_{1}^{4} \neq 0 .$

故 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{16} .$

证法2 由

g (x) =ax3+bx2+cx+d (a≠0) ,

得 g′ (x) =3ax2+2bx+c,

故曲线C′在点 (x1, g (x1) ) 处的切线方程为

y= (3ax $_{1}^{2}$ +2bx1+c) x-2ax $_{1}^{3}$ -bx $_{1}^{2}$ +d.

由

得 (x-x1) 2[a (x+2x1) +b]=0,

所以 x=x1或 $x = - \frac{b}{a} - 2 x_{1},$

即 $x_{2} = - \frac{b}{a} - 2 x_{1},$

用x2代替x1, 重复上述计算过程, 可得

$x_{3} = - \frac{b}{a} - 2 x_{2}, S_{2} = \frac{(3 a x_{2} + b)^{4}}{12 a^{3}} .$

又 $x_{2} = - \frac{b}{a} - 2 x_{1}$ 且 $x_{1} \neq - \frac{b}{3 a}$ , 所以

$\begin{array}{l} S_{2} = \frac{(3 a x_{2} + b)^{4}}{12 a^{3}} = \frac{(- 6 a x_{1} - 2 b)^{4}}{12 a^{3}} \\ = \frac{16 (3 a x_{1} + b)^{4}}{12 a^{3}} \neq 0 . \end{array}$

故 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{16} .$

评注本试题为类比研究题, 在设问形式上创新, 联系高等数学背景, 揭示数学的发生、发展过程.考查考生探索、研究及理性思维、合情推理, 综合应用.该试题的第 (Ⅱ) 题先用类比写出类似于 (Ⅰ) (ⅱ) 的命题, 再加以推理证明, 能较好地考查考生的合情推理能力.

2 三角函数中的合情推理问题

例3 (2010年福建高考题) 观察下列等式:

可以推测, m-n+p______.

解析因为2=21, 8=23, 32=25, 128=27, 所以m=29=512;观察可得p=50;把α=0代入⑤得cos 0=512cos 0-128cos 0+1120cos 0+ncos 0+50cos 0-1, 得n=-400.所以m-n+p=962.

评注本试题以考生所学的三角函数、数列知识为背景, 巧妙地设置了试题, 既考查三角变换、数列的性质, 又考查了合情推理、归纳, 关注对考生的探究与发现的考查.

3 数列中的合情推理问题

例4 (2005年湖南高考题) 自然状态下的鱼类是一种可再生的资源, 为持续利用这一资源, 需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用xn表示某鱼群在第n年年初的总量, n∈N*, 且x1>0.不考虑其它因素, 设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比, 死亡量与x $_{n}^{2}$ 成正比, 这些比例系数依次为正常数a, b, c.

(Ⅰ) 求xn+1与xn的关系式;

(Ⅱ) 猜测:当且仅当x1, a, b, c满足什么条件时, 每年年初鱼群的总量保持不变? (不要求证明)

(Ⅲ) 设a=2, c=1, 为保证对任意x1∈ (0, 2) , 都有xn>0, n∈N*, 则捕捞强度b的最大允许值是多少?证明你的结论.

解析 (Ⅰ) 从第n年初到第n+1年初, 鱼群的繁殖量为axn, 被捕捞量为bxn, 死亡量为cx $_{n}^{2}$ , 因此

即 xn+1=xn (a-b+1-cxn) , n∈N*.

(Ⅱ) 若每年年初鱼群总量保持不变, 则xn恒等于x1, n∈N*, 从而由 (*) 式得xn (a-b-cxn) 恒等于0, n∈N*, 所以

a-b-cx1=0,

即 $x_{1} = \frac{a - b}{c} .$

因为x1>0, 所以a>b.

猜测:当且仅当a>b, 且 $x_{1} = \frac{a - b}{c}$ 时, 每年年初鱼群的总量保持不变.

(Ⅲ) 若b的值使得xn>0, n∈N*.

由xn+1=xn (3-b-xn) , n∈N*, 知

0<xn<3-b, n∈N*,

特别地, 有0<x1<3-b, 即0<b<3-x1.

而x1∈ (0, 2) , 所以b∈ (0, 1]

由此猜测b的最大允许值是1.

下证:当x1∈ (0, 2) , b=1时, 都有xn∈ (0, 2) , n∈N*.

(ⅰ) 当n=1时, 结论显然成立.

(ⅱ) 假设当n=k时结论成立, 即xk∈ (0, 2) , 则当n=k+1时,

xk+1=xk (2-xk) >0.

又因为

所以xk+1∈ (0, 2) , 故n=k+1时结论也成立.

由 (ⅰ) , (ⅱ) 可知, 对于任意n∈N*, 都有xn∈ (0, 2) .

综上所述, 为保证对任意x1∈ (0, 2) , 都有xn>0, n∈N*, 则捕捞强度b的最大允许值是1.

评注该题以数列应用为背景考查考生的合情推理与演绎推理能力, 充分显示了数学的归纳性和演绎性两个方面.

例5 (2008年江苏高考题) 将全体正整数排成三角形数阵:

根据以上的排列规律, 第n (n≥3) 行从左向右第3个数是____.

解析该数阵的第1行有1个数, 第2行有2个数, …, 第n行有n个数, 则第n-1 (n≥3) 行的最后一个数为

则第n行的第3个数为 $\frac{n^{2}}{2} - \frac{n}{2} + 3 (n \geq 3) .$

评注数表其实是数列的一种分拆, 不同的分拆方式就会产生不同的数表, 本题中的数阵是对正整数数列的一种重排, 只要找出其排列规律便不难求得答案, 本试题以三角形数表为载体, 考查了学生观察、归纳、猜想的思维能力.源于杨辉三角的数表蕴含着丰富的性质, 数表型试题在各地高考试卷中屡见不鲜, 如2008年山东高考试卷第19题.

4 立体几何中的合情推理问题

例6 (2003年全国高考题) 在平面几何里, 有勾股定理:“设△ABC的两边AB, AC互相垂直, 则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间, 类比平面几何的勾股定理, 研究棱锥的侧面面积与底面面积间的关系, 可以得出的正确结论是:“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC, ACD, ADB两两相互垂直, 则____.”

解析与△ABC相对应的, 是三棱锥A-BCD;与Rt△ABC的两条边交成1个直角相对应的, 是三棱锥A-BCD的三个侧面ABC, ACD, ADB在一个顶点处构成3个直二面角;与Rt△ABC的直边AB, AC的长度相对应的, 是三棱锥A-BCD的三个侧面ABC, ACD, ADB的面积S△ABC, S△ACD, S△ADB;与Rt△ABC的斜边BC的长度相对应的, 是三棱锥A-BCD的底面BCD的面积S△BCD;类比平面几何的勾股定理AB2+AC2=BC2, 在三棱锥A-BCD中有S $_{△ A B C}^{2}$ +S $_{△ A C D}^{2}$ +S $_{△ A D B}^{2}$ =S $_{△ B C D}^{2}$ .

评注类比的思想方法, 就是将生疏的问题和熟知的问题进行比较, 对生疏的问题作出猜想, 并由此寻求问题的解决途径或结论.它是中学数学中重要的思想方法之一.在立体几何的试题中, 类比的思想方法广泛存在.由平面上直线a//b, b//c, a//c, 可类比出空间内的平面α//β, β//γ, α//γ;与平行四边形类比可得到平行六面体的不少类似性质;球与圆类比可推出两球相切等球的有关性质;“面面垂直”与“线线垂直”, 四面体与三角形均有较多的类比性质等, 都是类比的思想方法获得运用的体现与展示.在平时的学习过程中, 应注意将空间问题和数量关系、位置结构相似的平面问题进行类比, 这样可以开拓思路, 诱发灵感, 增强数学发现能力, 同时还可以沟通知识间的联系.

5 解析几何中的合情推理问题

例7 (2003年上海高考题) 设F1, F2分别为椭圆C: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点, 已知椭圆具有性质:若M, N是椭圆C上关于原点对称的两个点, 点P是椭圆上任意一点, 当直线PM, PN的斜率都存在, 并记为kPM, kPN时, 那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的值.试对双曲线C: $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , 写出具有的类似的性质, 并加以证明.

解析类似的性质:若M, N是双曲线C上关于原点对称的两个点, 点P是双曲线上任意一点, 当直线PM, PN的斜率都存在, 并记为kPM, kPN时, 那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的值.

证明设点M坐标为 (m, n) , 则点N的坐标为 (-m, -n) , 其中 $\frac{m^{2}}{a^{2}} - \frac{n^{2}}{b^{2}} = 1 .$

又设点P的坐标为 (x, y) , 则

$\begin{array}{l} k_{Ρ Μ} = \frac{y - n}{x - m}, k_{Ρ Ν} = \frac{y + n}{x + m}, \\ k_{Ρ Μ} \cdot k_{Ρ Ν} = \frac{y - n}{x - m} \cdot \frac{y + n}{x + m} = \frac{y^{2} - m^{2}}{x^{2} - m^{2}} . \end{array}$

将 $y^{2} = \frac{b^{2}}{a^{2}} x^{2} - b^{2}, n^{2} = \frac{b^{2}}{a^{2}} m^{2} - b^{2}$ 代入, 得 $k_{Ρ Μ} \cdot k_{Ρ Ν} = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ 为定值, 故类比猜想成立.

评注此题是一道典型的考查类比能力的试题, 题目要求考生通过椭圆具有的性质类比推理出双曲线所具有的性质, 并加以证明.该试题主要考查思想方法上的类比, 它显示出类比是形成猜想, 获得新认识的一条重要途径.但需要区分的是, 类比并不是完完全全的照搬.关键是要将条件、过程或结果进行恰当的类比, 寻找到“类比点”.

6 等式中的合情推理问题

例8 (2011年陕西高考题) 观察下列等式:

照此规律, 第n个等式为_____.

解析把已知等式与行数对应起来, 则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n, 加数的个数是2n-1;等式右边都是完全平方数:

所以

即 n+ (n+1) +…+ (3n-2) = (2n-1) 2.

评注归纳总结时, 看符号左边式子的变化规律, 右边结果的特点, 然后归纳出一般结论.行数、项数及其变化规律是解答本题的关键.

7 进位制中的合情推理问题

例9 (2011年湖南高考题) 对于n∈N*, 将n表示为

n=a0×2k+a1×2k-1+a2×2k-2

+…+ak-1×21+ak×20,

当i=0时, ai=1, 当1≤i≤k时, ai为0或1.记I (n) 为上述表示中ai为0的个数 (例如1=1×20, 4=1×22+0×21+0×20, 故I (1) =0, I (4) =2) , 则

(Ⅰ) I (12) =____;

(Ⅱ)

解析 (Ⅰ) 因为

故 I (12) =2;

(Ⅱ) 在2进制的k (k≥2) 位数中, 没有0的有1个, 有1个0的有C $_{k - 1}^{1}$ 个, 有2个0的有C $_{k - 1}^{2}$ 个, ……有m个0的有C $_{k - 1}^{m}$ 个, ……有k-1个0的有C $_{k - 1}^{k - 1}$ =1个.故对所有2进制为k位数的数n, 在所求式中的2I (n) 的和为:

1·20+C $_{k - 1}^{1}$ ·21+C $_{k - 1}^{2}$ ·22

+…+C $_{k - 1}^{k - 1}$ ·2k-1=3k-1.

又127=27-1恰为2进制的最大7位数, 所以

$\sum_{n = 1}^{127} 2^{Ι (n)} = 2^{0} + \sum_{k = 2}^{7} 3^{k - 1} = 1093 .$

评注该试题以进位制为载体, 由特殊到一般地考查二进制与十进制的相互转化, 通过观察、归纳得出一般的规律, 本试题能较好地考查考生的归纳推理能力和运算能力.

8 幂指数运算中的合情推理问题

例10 (2011年江西高考题) 观察下列各式:55=3125, 56=15625, 57=78125, …, 则52011的末四位数字为 ( ) .

(A) 3125 (B) 5625

解析观察发现幂指数是奇数的, 结果后三位数字为125, 故排除B, C选项;而52011>3125, 故A也不正确, 所以选D.

评注该试题考查考生对“数”和“式”的归纳, 发现隐藏的规律.这种考查方式的重点是要求考生用“慧眼”洞察出数或式与自然数n的内在联系, 从而归纳得出普遍的结论.

9 图形中的合情推理问题

例11 (2009年湖北高考题) 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数, 比如:

他们研究地图1中的1, 3, 6, 10, …, 由于这些数能够表示成三角形, 将其称为三角形数;类似的, 称图2中的1, 4, 9, 16, …这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是 () .

(A) 289 (B) 1024

解析通过观察图形得, 三角形数的一般形式是正方形数的一般形式是m2, 从4个选项选一个同时满足两式的数, 因为故答案应选C.

评注此试题以古希腊毕达哥拉斯学派研究的多边形为背景, 考查考生的直觉观察、归纳推理等思维能力和运算能力, 同时也让考生在解题时领略到博大精深的数学文化.

从以上的试题解析可以看出, 合情推理的考题不仅存在于不同的题型中, 也存在于初、高中不同模块知识内容之中.由于它包含了观察、归纳、抽象、概括、类比、猜想等基本的思维活动, 因此容易考查学生对基本的数学思想方法的理解程度, 也有助于促进教师的教学方式和学生的学习方式的改进及完善, 所以, 在中学数学教学中应引起广大教师的重视.

高考数学题篇11

留学家长比孩子积极

免费讲座安排在学校的家长会后,不少家长还没有开完家长会就在位于高新西区的市实验外国语学校(西区)多功能会议室将管卫东团团围住,希望能获取“秘方”。据了解,参加讲座的以高一、高二的学生和家长为主,甚至还有不少初中学生家长。

家长们最关心的是SAT的复习、考试、美国大学的选择、如何申请才能增加成功的可能性,以及在美国读书的费用等情况,甚至有的家长还“细而又细”、“不厌其烦”地一边咨询一边做笔记。与家长形成对比的是孩子,他们中有的无动于衷地站在一旁,有的学生甚至还不停地催着父母“快点,走了”。

数学读懂题就得满分

管卫东说,SAT考试分为两部分,SAT的I的部分满分为2400分,是必考部分,主要考查学生的智力,包括逻辑能力、分析能力和写作能力。分为阅读、数学和写作三个模块。SAT的II的部分,除了学校有特别要求,可以不考试。

管卫东建议正在复习准备参考的学生要好好复习英语,“数学管都不用管!”他说:“中国学生参加SAT,数学简直没问题。从历年考试题目来看,无论是代数还是几何,对中国学生而言都很简单,只相当于初中、甚至小学的水平,即使数学成绩一般的学生也没问题。”但是题目是用英语出的,考生必须能读懂题目,读不懂就完了。“只要读懂了题,基本上都能得满分。”

考试美国强调思维能力

“根据我的留学经验,美国教育和中国教育有很大的差别,中国特别强调对课本知识的掌握,而美国则强调对知识的思维。所以美国高考和中国高考有本质区别,中国高考主要考查对知识的掌握,而美国高考考查对知识的思维能力。”

据管卫东介绍,中国学生在考试的时候,精力都集中在“这个题该是什么答案”这个问题上。他特别提醒考生,考试时尽可能不用中国的传统思维方式,最好思考自己在模拟状态下第一次会怎么做这个题目,千万不要去研究“这个题该是什么答案！”

建议最好不去上预科

“现在相当一部分家长和学生,喜欢让孩子在大学以后出去留学,或者是到国外先读一到两年的预科,我个人坚决反对……”针对目前比较热门的这两类留学方式,管卫东提出了自己的看法。他认为,到美国留学,高中比大学容易,家长和孩子如果选定了出国留学,最好不要等到读了大学以后。“每年高中学生参加美国高考、申请留学的学生人数虽然增多,但是就考试难度、竞争情况、申请通过率等来说,高中申请出国留学的容易度比大学申请出国留学的容易度要大许多。”

高考数学小窍门篇12

参考书上例题不能看一下就过去了, 因为看时往往觉得什么都懂, 其实自己并没有理解透彻。所以, 在看例题时, 把解答盖住, 自己去做, 做完或做不出时再去看, 这时要想一想, 自己做的哪里与解答不同, 哪里没想到, 该注意什么, 哪一种方法更好, 还有没有另外的解法。经过上面的训练, 自己的思维空间扩展了, 看问题也全面了。如果把题目的来源搞清了, 在题后加上几个批注, 说明此题的“题眼”及巧妙之处, 收益将更大。

研究每题都考什么

数学能力的提高离不开做题, “熟能生巧”这个简单的道理大家都懂。但做题不是搞题海战术, 要通过一题联想到很多题。你要着重研究解题的思维过程, 弄清基本数学知识和基本数学思想在解题中的意义和作用, 研究运用不同的思维方法解决同一数学问题的多条途径, 在分析解决问题的过程中既构建知识的横向联系又养成多角度思考问题的习惯。

答题少费时多办事

【高考数学题】推荐阅读：

数学高考09-21

高考数学文化08-11

高考数学总结05-26