一类非线性差分方程平衡解的稳定性及二周期解的存在性

一类非线性差分方程平衡解的稳定性及二周期解的存在性（精选4篇）

一类非线性差分方程平衡解的稳定性及二周期解的存在性 篇1

研究了非线性差分方程xn+1=(xnxn-1+xn-2+α)/(xn-1+xnxn-2+β),n=1,2,3,…的正平衡解存在性及渐近稳定性,并对其二周期解的.存在性进行了探讨,其中α,β∈[0,+∞),初值x-2,x-1,x0∈(0,+∞).

作 者：包泉鳌 BAO Quan-ao 作者单位：宁波教育学院,数学系,浙江,宁波,315010刊 名：四川师范大学学报(自然科学版) ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF SICHUAN NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE)年，卷(期)：30(6)分类号：O241.84关键词：差分方程 渐近稳定性 正平衡解 周期解

一类非线性差分方程平衡解的稳定性及二周期解的存在性 篇2

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的周期解的存在性,(1)式中g,p都是定义在R上的实连续函数,b≠0,τ≥0,p以T为周期,且

∫undefinedp(x)dx=0。本文利用重合度理论获得了(1)式至少存在一个T-周期解的充分条件,其结果是如下定理.

定理 如果下列条件成立:

(ⅰ)存在正常数M,使得g(x)≤M,∀x∈R;

(ⅱ)undefined;

则方程(1)至少存在一个T(T>0)周期解。

证明 考察方程

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这里λ∈(0,1),设x(t)是方程(2)的任一T-周期解,将方程(2)两边同时从0到T积分得

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因此存在t0∈(0,T),使得 bx(t0)+g(x(t0-τ))=0,从而有

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于是

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因为

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k为正整数,

于是方程(2)两边同乘以x(t),再从0到T积分得

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因此

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(4)式中undefined|。

因为x(0)=x(T),则存在t1∈[0,T],使得x′(t1)=0,有

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同理x′(0)=x′(T),存在t2∈[0,T],使得x″(t2)=0,有

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从而∫undefined|x′(t)|dt≤T∫undefined|x″(t)|dt≤…≤Tn-1×

∫undefined|x(n)(t)|dt。所以不等式(4)成为

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因此由条件(ⅱ)及上式知,存在与λ无关的数R1>0,使得

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进而可得存在与λ无关的数R2>0,使得

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从而由方程(2)有

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由(5)式及(7)式知必存在与λ无关的数rj>0(j=1,2,…,2n-1),使得

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取undefined,令X={x(t)∈C(R,R)|x(t+T)=x(t)},undefined,Nx(t)=-cx′-bx-g(x(t-τ))+p(t)。这时有Ker L=R,同时定义投影算子为

P:undefined。Q:X→X/lmundefined。

则Ker L=lm P,Ker Q=lm L,即L是指标为零的Fredholm算子,且可证明N在undefined⊂X上L-紧。方程(2)即为算子方程Lx=λNx,λ∈(0,1)。根据对(2)式周期解界的估计及已知条件,有

1)Lx≠λNx,∀x∈Ker L∩∂Ω,还需证明

2) QNx≠0,∀x∈Ker L∩∂Ω;

3) deg(QN,Ω∩Ker L,0)≠0。

事实上,当x∈Ker L∩∂Ω时,x为常数且

undefined,有

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即QNx≠0,于是2)成立;作变换:F(x,μ)=μbx+(1-μ)[bx+g(x(t-τ))],对任意x∈Ker L∩∂Ω,μ∈[0,1],x为常数且undefined。

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。所以当undefined时,F(x,μ)≠0,同理可证当undefined时,F(x,μ)≠0,因而F(x,μ)为同伦变换,因此

deg{QN,Ω∩Ker L,0}=deg{-bx-g(x(t-τ)),Ω∩Ker L,0}=deg{-bx,Ω∩Ker L,0}≠0。

故3)成立,由重合度理论知,方程(1)至少有一个T(T>0)周期解。

文献[1]的结果是本文定理的简单推论。事实上,只要在本文的方程(1)中取n=1即明。在本文的方程(1)中取n=1,c=0,即可得到文献[2]的结果。

摘要：考虑一类高阶微分方程ax(2n)(t)+cx′(t)+bx(t)+g[x(t-τ)]=p(t),利用重合度理论,获得了此类方程至少存在一个T-周期解的充分条件。

关键词：高阶微分方程,周期解,重合度

参考文献

[1]唐美兰,刘心歌,刘心笔,等.一类时滞Duffing型方程周期解的存在性.上饶师范学院学报,2004;24(6):12—15

一类非线性差分方程平衡解的稳定性及二周期解的存在性 篇3

一类奇异非线性边值问题多解的存在性

主要研究加权Sobolev空间中一类奇异非线性边值问题多解的.存在性问题,并用Ekeland变分原理和山路引理证明了这类奇异问题两个解的存在性.

作 者：王莉 WANG Li 作者单位：华中师范大学,数学与统计学学院,武汉,430079刊 名：华中师范大学学报(自然科学版) ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF CENTRAL CHINA NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCES)年，卷(期)：42(3)分类号：O175.8关键词：变分法 奇异边值问题 多解

一类非线性差分方程平衡解的稳定性及二周期解的存在性 篇4

在RN上的拟线性椭圆型方程正解的存在性

研究了以下非线性Dirichlet问题在一定条件下的弱正解的存在性:-div(|(△)u|p-2(△)u)+a(x)up-1=h(x)uq+up*-1,x∈RN,u≥0,u?0,∫RN?a(x)*|u|pdx＜+∞.其中,a:RN→R是连续非负函数,h:RN→R是某类可积函数,2≤p＜N且p2≤N,0＜q＜(p2(p-1))/(N-p)-1,p*=(Np)/(N-p).从而在更弱的.条件下将p=2或次临界指数的情形推广到P-Laplacian及临界指数的情形,同时推广了a(x)=0时的某些结果.

作 者：傅红卓 姚仰新 沈尧天  作者单位：华南理工大学,应用数学系,广东,广州,510640 刊 名：华南理工大学学报(自然科学版)  ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF SOUTH CHINA UNIVERSITY OF TECHNOLOGY(NATURAL SCIENCE EDITION) 年，卷(期)： 31(3) 分类号：O175.25 关键词：临界指数   集中紧原理   山路几何   正解