非线性稳定（精选10篇）
非线性稳定 篇1
摘要：首先阐述了高层钢结构稳定性概念, 总结分析了稳定性分析的理论基础, 并以一实际自立式输电塔为实例, 对其结构整体稳定性进行了非线性的分析。
关键词：输电塔,非线性,稳定
稳定性是钢结构的一个突出问题。在各种类型的钢结构中, 都会遇到稳定问题, 对这个问题处理不好, 将造成不应有的损失, 送电线路铁塔出现过多次失稳事故。为了确保人民生命线工程的安全, 开展输电塔结构稳定性方面的研究非常必要。
1 高层钢结构稳定性概况
建筑结构用的钢材具有很大的塑性变形能力, 当结构因抗拉强度不足而破坏时, 破坏前呈现较大变形。但是当结构因受压稳定性不足时, 其破坏具有突发性, 不能由变形发展的征兆及时防止, 为脆性破坏, 所以比塑性破坏危险。国家标准《建筑结构设计统一标准》规定脆性破坏时安全等级提高一级, 即安全等级为二级的构件刀值由3.2提高到3.7, 但是目前钢结构设计、施工规定及送电线路杆塔技术规定对此都还没有反映。虽然高强钢的应用在受强度控制以及长细比较小的杆件中能取得一定的经济效益, 但是随着材料强度的逐级增加其稳定承载力却有所下降, 这样就不能发挥高强钢的优势, 因此对高强钢进行稳定承载力的研究相当重要。
高耸结构输电塔是有空间杆系结构, 是应用传统形式的高耸结构形式之一, 它只有经线和纬线杆件, 大部交差支撑。与同样高度的其它空间结构类型相比高耸结构侧向刚度较小, 在风荷载等非对称荷载的作用下, 结构的力学行为非常复杂, 但因为其具有杆件数量较少、布置较规整、外形清爽美观等优点, 它在实际工程应用中也较为常见在风荷载作用下会引起失稳的问题。结构的稳定性可以由其荷载一位移全过程曲线来进行分析, 而这种全过程曲线要通过非线性分析来得到。目前, 随着计算机技术的广泛应用和非线性有限元分析方法的发展, 完全可以对高耸结构进行较精确的全过程路径跟踪。随着计算机的日益发展和广泛应用非线行有限元分析方法兴起, 并逐渐成为结构稳定性分析中的强有力的工具。
2 稳定性分析的理论基础
稳定性分析有2种, 一种是特征值稳定分析, 也称欧拉稳定分析, 或线性稳定分析, 另一种为非线性稳定分析。
2.1 特征值屈曲分析
特征值屈曲分析求解得到的是线弹性结构的理论屈曲强度, 如果用此种方法分析一结构, 将得到结构的欧拉临界荷载。特征值屈曲分析考虑了应力强化效应, 这种效应会导致结构在随压力后, 抵抗横向荷载的能力降低。特征值屈曲分析不考虑结构变形的影响, 也忽略初应力和应变高阶量的作用, 能量准则是常用的判断结构稳定性的准则。
由于实际结构中存在缺陷和非线性, 因而, 一般达不到理论稳定强度。对实际工程来讲, 特征值稳定分析对工程设计人员说是不安全解, 一般不可直接用于指导结构设计;非线性稳定分析通常是一种较精确的分析方法, 可用于指导工程设计和评估结构稳定性, 它考虑结构非线性的静态分析方法, 通过渐增荷载来寻求结构失稳时的临界荷载。它可考虑结构非线性 (几何非线性和材料非线性) , 因而是一种较为接近实际情况的分析方法。通过非线性稳定分析, 可跟踪结构后屈曲全过程。
2.2 非线性分析
高耸结构材料的使用一般只限于弹性阶段, 所以只考虑高耸结构的小应变、大位移, 即几何非线性。可是当高耸结构刚度很强的时候, 有可能先不发生失稳破坏, 而是发生强度破坏而引起整个结构的倾倒破坏, 应该考虑材料非线性。目前, 常用于结构非线性分析的方法主要有2种, 即基于梁-柱理论的矩阵位移法和非线性有限单元法。前者考虑几何非线性是通过坐标的变动;后者考虑非线性是通过应变-变形关系中的高阶量。采用后一种方法, 既非线性有限单元法。考虑几何非线性后, 结构的总平衡方程可写为
undefined
式中, [K0]为小位移弹性刚度矩阵;[KL]为初位移矩阵;[Kσ]为初应力刚度矩阵;{d}为节点位移;{F}为等效节点荷载;[KL]和[Kσ]是{d}的函数, 所以式 (1) 为非线性方程组。
为了求解上叙非线性方程, 需要采用非线性方法进行求解。在进行空间结构的稳定分析时, 我们关心完整路径, 宜采用增量迭代组合法。如果在每一个增量步内使用牛顿迭代, 则称为增量NR迭代法。该方法具有很好的收敛性, 也能得到各加载步的响应, 其缺点是得不到下降段。如果在每个增量步内迭代计算时, 只计算一次刚度, 则称为增量修正NR迭代法。此法计算工作量小, 但是为了达到平衡需要更多的迭代次数。
3 自立式输电塔非线性稳定的实例分析
如图1所示, 输电塔采用自立式猫头塔, 塔体总高为107.8 m, 其形状和尺寸如图1所示, 输电塔的构件主要采用角钢, 角钢与节点板之间通过螺栓连接。高耸塔架结构一般为空间杆系结构, 由于实际结构只能感在斜杆交叉处及竖杆联结处, 均有可能是构件并非只受轴力作用, 故采用空间梁系模型更接近实际情况。以导线和绝缘子有足够的强度要求, 在分析中没有考虑导线和绝缘子脱离工作的情况。按稳定性分析理论中的非线性分析方法对该塔进行了稳定分析。分析中首先将自重荷载加在结构上, 然后分别在整个塔的第一振型 向加节点荷载, 并且按比例逐渐增加荷载。根据弹塑性分析理论, 当荷载位移曲线出现拐点的时刻, 结构失去稳定, 达到破坏。对于大型塔架结构而言, 风荷载为主要控制荷载, 考虑平均风速和塔顶位移曲线来观察塔结构的整体稳定性能。
针对大跨越输电塔 向 (顺导线方向) 风荷载非线性稳定分析, 利用增量迭代组合法计算, 得到如下的塔头节点位移变化图2和塔系单元轴向压应力变化图3。
从图2, 图3中可以很清楚的看出当参考风速数值小于78时候, 整个结构处于弹性阶段;当参考风速数值达到78之后, 塔身受压侧上部的钢管首先进入塑性状态, 整个结构刚度开始退化, 输电塔塔头节点Y向位移有的较大的位移突变, 单元的最大应力达到了钢管的屈服强度310 MPa, 钢管进入塑性区域, 先达到屈服强度的单元节点会发生Y向的位移突变, 以后产生输电塔的较大位移突变;当参考风速数值达到80时, 由于塔身受压侧的钢管进入全塑性区已经贯通, 而且进入塑性的杆件数目逐渐增多, 整个结构刚度退化很快, 使的输电塔局部变为机构而发生平面内Y向的巨大位移变化, 结构出现过度的塑性变形, 而不适于继续承载。所以在参考风速数值为80时, 达到输电塔Y向极限强度承载风速。
4 结 论
采用数值仿真分析的方法, 对自立式输电塔非线性稳定性进行了分析, 得到如下结论:
a.自立式输电塔非线性稳定性计算的2种方法中, 基于非线性分析的计算更为精确可靠。
b.自立式输电塔非线性稳定性与外加荷载存在一定的对应关系, 具体的结构进行具体的计算。
参考文献
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[2]龚景海, 刘锡良.网壳结构稳定分析程序[J].工程力学增刊, 1998.
[3]吕烈武.钢结构构件稳定理论[M].北京:中国建筑工业出版社, 2004.
非线性稳定 篇2
1、模型――主要是结构刚度的大小。对于某些结构，从概念的角度看，可以认为它是几何不变的稳定体系。但如果结构相近的几个主要构件刚度相差悬殊，在数值计算中就可能导致数值计算的较大误差，严重的可能会导致结构的几何可变性――忽略小刚度构件的刚度贡献。如出现上述的结构，要分析它，就得降低刚度很大的构件单元的刚度，可以加细网格划分，或着改用高阶单元（BEAM->SHELL,SHELL->SOLID)。构件的连接形式（刚接或铰接）等也可能影响到结构的刚度。
2、线性算法（求解器）。ANSYS中的非线性算法主要有：稀疏矩阵法(SPARSE DIRECT SOLVER)、预共轭梯度法(PCG SOLVER)和波前法(FRONT DIRECT SLOVER)。稀疏矩阵法是性能很强大的算法，一般默认即为稀疏矩阵法（除了子结构计算默认波前法外）。预共轭梯度法对于3-D实体结构而言是最优的算法，但当结构刚度呈现病态时，迭代不易收敛。为此推荐以下算法：
1）BEAM单元结构，SHELL单元结构，或以此为主的含3-D SOLID的结构，用稀疏矩阵法；
2）3-D SOLID的结构，用预共轭梯度法；
3）当你的结构可能出现病态时，用稀疏矩阵法；
4）当你不知道用什么时，可用稀疏矩阵法。
3、非线性逼近技术。在ANSYS里还是牛顿－拉普森法和弧长法。牛顿－拉普森法是常用的方法，收敛速度较快，但也和结构特点和步长有关。弧长法常被某些人推崇备至，它能算出力加载和位移加载下的响应峰值和下降响应曲线。但也发现：在峰值点，弧长法仍可能失效，甚至在非线性计算的线性阶段，它也可能会无法收敛。为此，尽量不要从开始即激活弧长法，还是让程序自己激活为好（否则出现莫名其妙的问题）。子步（时间步）的步长还是应适当，自动时间步长也是很有必要的。
4、加快计算速度
在大规模结构计算中，计算速度是一个非常重要的问题。下面就如何提高计算速度作一些建议：
1)充分利用ANSYS MAP分网和SWEEP分网技术，尽可能获得六面体网格，这一方面减小解题规模，另一方面提高计算精度。在生成四面体网格时，用四面体单元而不要用退化的四面体单元。比如95号单元有20节点，可以退化为10节点四面体单元，而92号单元为10节点单元，在此情况下用92号单元将优于95号单元。
2)选择正确的求解器。对大规模问题，建议采用PCG法。此法比波前法计算速度要快10倍以上（前提是您的计算机内存较大）。对于工程问题，可将ANSYS缺省的求解精度从1E-8改为1E-4或1E-5即可。
5、荷载步的设置直接影响到收敛。应该注意以下几点：
1)设置足够大的荷载步（将MAXMIUM SUBSTEP=1000000），可以更容易收敛，避免发散的出现(nsub,nsbstp,nsbmx,nsbmn)；
2)设置足够大的平衡迭代步数，默认为25，可以放大到很大(100)(eqit,eqit)；
3)将收敛准则调整，以位移控制时调整为0.05，以力控制为0.01(CNVTOL,lab,value,toler,norm,minref)。
4)对于线性单元和无中间节点的单元（SOLID65和SOLID45），关闭EXTRA DISPLACEMENTS OPTIONS（在OPTIONS中）。
非线性稳定 篇3
摘 要：本文研究了线性切换系统ε-集合实用稳定性，其中切换系统没有共同平衡点，并且每个子系统都是指数稳定的。本文通过找到一个固定的切换序列，依照这个切换序列选定一个固定集合，在给定的切换法则和集合下，证明了线性切换系统的ε-集合实用稳定性；最后给出了仿真结果，说明结论的正确性。
关键词：ε-集合实用稳定；切换法则；全局指数渐进稳定
1 概述
随着人类对各类控制系统精度需求的不断提高，对切换系统的研究也越来越受到更多科学家的关注。事实上，过去人们更多的关注有共同平衡点的切换系统，其中大部分都使用的是Lyapunov函数方法，可是找出Lyapunov函数并不容易。近些年，人们研究发现尽管这类子系统没有共同的平衡点，但是在给定合理的切换法则条件下，系统的轨线仍然能够表现出以前传统稳定系统类似的有趣的轨线行为，他们把这种行为定义为实用稳定性，同时也依赖能量函数在特定条件下给出了实用稳定性的一些充分条件。X. Xu给出了在给定切换法则条件下系统关于原点的ε-实用稳定性的定义。本文给出了在给定的切换法则条件下系统关于给定集合的ε-集合实用稳定性的定义，并给出了线性切换系统在特定条件下的ε-集合实用稳定性的一些充分条件。
2 实用稳定性和概念（Practical stability and some notions）
考虑线性切换系统
=Aix+bi，i∈I=1，2，···，m， （2.1）
这里Ai∈Rn×n是一个非奇异的矩阵，bi∈Rn，x∈Rn，m∈N是子系统的个数。令xi是第i子系统的平衡点。在本文中，我们总是假设：
（H1） 切换法则S是固定的，即切换序列是固定的；
（H2） 若Г[∩]Rn，x∈Rn，那么x与集合Г的距离被定义为ρ（x，Г）：
ρ（x，Г）=‖z-x‖，这里‖x‖代表向量x的范数
（H3） 存在α>0，M≥1， 使得对所有的i∈I，
‖e‖≤Me-αt，t≥0 （2.2）
定义2.1 （ε-集合实用稳定性）：假设对系统（2.1）给定切换法则S*和集合Г。给定ε>0，系统 （2.1）是在切换法则S*下关于Г集合是ε-集合实用稳定的，若对任意的t0≥0，这里都存在δ=δ（t0，ε）>0，使得当ρ（x（t0），Г）<δ时，对所有的t≥t0，都能得到ρ（x，Г）≤ε成立；
本文中，我们将研究系统（2.1）关于集合Г的ε-实用稳定性。
=Aix+bi，
x（t0）=x0 （2.3）
它很容易得到：对任意固定的i∈I，系统（2.3）的初值问题的解，
x（t）=e（x（t0）-xi）+xi （2.4）
这里xi是ith系统的平衡点。
令t时刻刚好切入i子系统，即当t∈[t，t）时，i子系统是被激活的子系统，对给定的ε>0，任意t∈[t，t]，定义切换法则如下：t满足
S1：t≥t，T≤t-t<+∞，k=1，2，···，m=1，2，··· （2.5）
且 Tl=max
-
ln
，，l=1，2，···。那么对任意的t∈[tk，tk+1]，k∈N，可得x（t）=e（x（t）-x）+x，t∈[t，tk+1），
由曲线 x（t）和y（t）的性质可得
ρ（x（t），Γ）=inf‖x（t）-e（x-x）-x）‖=‖x（t）-y（t）‖
令Γ1=
y（t） t∈
[t，tk+1）
y（t） t∈[tk+m，tk+m+1），m=1，2，...， （2.6）
其中y（t）=e （ x-x）+x ，y（t）=e（x-x）+x 。
引理2.1 对给定ε>0和切换法则S1，[∨] t， δ（ε）>0，使ρ（x（t），Γ）<δ时满足
‖x（tk+m）-x ‖<，k=0，1，2，···，m=1，2，··· （2.7）
证明：对给定的ε>0，令δ=，由于ρ（x（t），Γ）<δ，可得
‖x（t）-y（t）‖<δ。
当m=1时，可得
‖x（tk+1）-x‖=‖e（x（t）-x）‖=‖e（x（t）-y（t）+y（t）-x）‖≤Me‖x（t）-y（t）‖+Me‖x-x‖<。
當m=n时，假设式（2.7） 成立，即‖x（tk+n）-x‖<，k=0，1，2，···。
那么，当m=n+1时，我们有‖x（tk+n+1）-x‖=‖e（x（t）-x）‖≤Me‖x（tk+n）-x‖+Me‖x-x‖<+=。
注2.1 从系统（2.2）全局指数渐进稳定性的性质和t ≥tk+m以及引理2.1中可得：对给定的ε>0， δ（ε）>0，使得当ρ（x（t），Γ）<δ时，满足
‖x（ t）-x‖<，k=0，1，2，··· （2.8）
3 主要结论（Main Results）
定理 3.1 对给定的ε>0和集合Γ1，切换系统（2.1） 在切换法则S1下关于集合Γ1是ε-集合实用稳定的。
证明： 当t∈[t，t），m=0，1，2，···，时， i（k∈N）子系统被激活，于是切换系统（2.1）在切换法则S1下的解为
x（t）=e
（x（
t）-
x）
+x， t∈[
t，
t），
e
（x（
t）-
x）+
x， t∈[
t，
t ） （3.1）
a 當t∈[t，t）时，由于t≥tk+1，我们可以分两个区间来研究。
当t∈[t，t）时，可得
ρ（x，Γ）=inf ‖x（t）-y（t）‖≤‖e（x（t）-x）-e（y（t）-x）‖≤Me‖x（t）-y（t）‖<ε。
当t∈[t，t ）时，可得
ρ（x，Γ）≤inf‖x（t）-y（z）‖≤‖x（t）-x‖≤‖e（x（tk+1）-x）‖≤Me‖x（tk+1）-x‖<ε。
b当t∈[t，t）时，由于t-t≥tk+m+1-tk+m，那么我们也同样分成两个区间研究，这里m=1，2，...。
当t∈[t ，t+ tk+m+1-tk+m ）时，可得
ρ（x（t），Γ）≤inf ‖e（x（t）-x）-e（x-x）‖
通过自治系统的平移性，轨线沿t轴向左平移t-tk+m单位，可得
ρ（x（t），Γ）≤inf‖e（x（t）-x）- e（x-x）‖≤
inf‖e（x（t）-x）- e（x-x）‖≤‖e（x（t）-x）‖≤Me‖x（t）-x‖<ε。
当t∈[ t+tk+m+1-tk+m，t）时，
ρ（x（t），Γ）=inf z∈[0，+∞）‖x（t）-y（z）‖≤inf‖e（x（t）-x）+x-y（z）‖≤Me ‖（x（t）-x）‖+ Me‖x-x‖<≤ε。
综合a和b，定理得证。
4 仿真结果（Simulation）
例 考虑下面这个切换系统
=Aix+bi，i=1，2，3， （4.1）
其中 A1=-1 1
0 -2 ，A2=-3 0
-2 -1 ，A3=-2 1
1 -2 ，b1=（-5，3）T，b2=（2，-4）T，b3=（3，1）T。
定义x1，x2，x3为子系统1，子系统2，子系统3的平衡点。易得 x1=（-1.1429，3.7143）T，x2=（-1.2857，-2.4286）T，x3=（1.1538，-1.2308）T。
令M=2，α=1.6，ε=0.1，k=1，则δ=0.0125，假设初始时t0=0，初始状态为x（t0）=（-1.1，3.7）T，并且初始子系统为子系统1。这里我们取t =2∈[t1，t2）， 则x（t）=（-0.353，-2.11）T，根据定理3.1，算出切换时间序列并且选取集合Γ。为方便，选取
t1=1，t2=5.5，t3=9，t4=12.5，t5=15.5，t6=19.5，···；
t=2，t=6，t=11，t=15，t=19，t=24，···。
参考文献：
[1] Michael M. Stability analysis of switched systems using variatio-nal principles：An introduction[J]. Automatica， 2006：（42） 2059-2077.
[2] X Xu ， P J Ansaklis. Stabilization of second-order LTI switched systems ISIS Technical Report isis-99-001[R]. Department of Elect-
rical Engineering， University of Notre Dame. 1999.
非线性稳定 篇4
关键词：边坡稳定性,非线性分析,广义正切法,破坏准则
0 引言
边坡稳定性分析方法可以概括为四类:1)极限平衡法,如库仑方法,Terzaghi和Peck方法;2)特征线法;3)极限分析法,包括上下限分析方法;4)有限元法和有限差分法;5)模糊综合评判法和BP网络法;6)条分法,包括垂直条分法和斜条分法;7)正交分析法。边坡稳定性分析方法中的条分法是一种常用的传统方法,是从静力平衡角度出发,且不考虑岩土的应力应变关系,因此,不管做何种巧妙的假定,都不可能对计算结果有很大的改进。因此,Nash(1987年)提出,将边坡分为N条时,有6N-2个未知量,可用摩尔—库仑Mohr-Coulomb(MC)破坏准则的N等式和3N静态平衡方程。本文提出一种改进方法即广义正切法,该方法用正切线代替实际的非线性破坏准则来计算功和能量消散。
1 广义正切法
目前的分析中,非线性变形标准中,点M处的正切线见图1,同一条件下,正切线的强度不小于非线性破坏准则的强度,因此,正切线给出的线性变形标准可以作为材料实际加载的上限。
线性MC破坏准则可表示为:
(σx-σy)2+(2τxy)2=[2ccosφ-(σx+σy)sinφ]2 (1)
非线性破坏准则表达式为:
τ=c0(1+σn/σt)1/m (2)
其中,σn,τ分别为变形表面的法向应力和剪切应力;参数c0,σt和m由实验确定。m=1时,式(2)变为线性MC破坏准则。当应力向量从0开始变化到(σn,τ)时,图1中正切点M处的正切线表达式为:
τ=ct+σntanφt (3)
其中,φt为正切摩擦角;ct为直线在τ轴的截矩;σn为法向应力;τ为剪应力;点M的ct和φt由式(4)确定:
在式(4)中,应力σM为图1中的正切点M的法向应力,为了保证正切线总在曲线外,m>1;广义正切法采用式(5)的线性MC破坏准则,计算外功率和能量耗散率。稳定系数是目标函数关于正切点位置和滑动体中心位置的最小值,从而得到边坡稳定系数的上限值。
1.1 外功率和能量耗散率
如图2所示,BAC区域作为刚体绕旋转中心O旋转,内部能量只沿对数螺线滑动表面耗散,而外功率由BAC区域和滑动面边界的土体量确定,外力的功率由式(6)确定:
Wext=γ∫AVdA (6)
其中,A为土体量在变形表面上的相交部分面积;γ为土体量的单位自身权重;V为沿对数螺线变形表面的速度转移向量。沿速度间断面的内部能量耗散率由式(7)确定:
Dint=∫L(τVcosφt-σnVsinφt)dL (7)
其中,L为速度间断面的长度,对线性MC变形条件,式(7)变为:
Dint=∫LccosφVdL (8)
式(8)中,c为粘聚力;φ为土的内摩擦角,式(8)不适应于非线性破坏准则。当非线性破坏准则的正切线作为线性MC变形标准时,式(8)是正确的。
1.2 边坡稳定系数
由式(6)和式(7)可以得到:
H=ctf(θh,θ0,φt)/γ (9)
这里函数f(θh,θ0,φt)为:
式(10)中,函数f1-f2由几何参数θh,θ0和正切线角φt决定。
式(9)给出了高度的上限,函数H(θh,θ0,φt)在θh,θ0和φt满足
1.3 系数m的影响
图3表示m对边坡稳定系数Ns的影响,很明显,随m的增大,稳定系数呈曲线下降趋势(图3中,c0=90 kPa,σt=247.3 kPa,α=0°,n=1,β=90°)。
1.4 应力σt的影响
由图4可以看出,c0=90 kPa,σt=247.3 kPa,α=5°,m=1.6,β=90°时,σt从50 kPa到200 kPa边坡稳定性系数的变化很明显,随σt的增大,稳定性系数减小。
1.5 起始粘聚力c0的影响
如图5所示,在c0=90 kPa,σt=247.3 kPa,α=5°,m=1.6,β=90°时,稳定系数与起始粘聚力c0成线性关系,随稳定性系数的增大而增大。
2 结语
广义正切法估算非线性变形标准的方法是基于塑性上边界理论来分析边坡稳定性。结果显示,系数m,应力σt,起始粘聚力c0和边坡角α对边坡稳定性有很大影响:1)随m的增大,稳定系数呈曲线下降趋势;2)随σt的增大,稳定性系数减小;3)稳定系数与起始粘聚力c0成线性关系,随稳定性系数的增大而增大。
参考文献
[1]马崇武,武生智,苗天德.对非线性破坏准则下边坡稳定性分析的线性简化[J].兰州大学学报,1999(3):64-65.
[2]许年春.边坡稳定性分析与滑裂面的确定[J].地下空间,2002(12):22-23.
[3]陈祖煜.土力学经典问题的极限分析上、下限解[J].岩土工程学报,2002(1):40-41.
[4]Xiao-Li Yang,Jian-Hua Yin.Slope Stability Analysis with Non-linear Failure Criterion,JOURNAL OF ENGINEERING ME-CHANICS,ASCE/MARCH,2004.
非线性稳定 篇5
一类非线性反应-扩散方程有限差分格式的稳定性研究
In the article,the fully discrete finite difference scheme for a type of nonlinear reaction-diffusion equation is established.Then the new function space is introduced and the stability problem for the finite difference scheme is discussed by means of variational approximation method in this function space.The approach used is of a simple characteristic in gaining the stability condition of the scheme.
作 者：徐琛梅 XU Chen-mei 作者单位：College of Mathematics and Information Science,Henan University,Kaifeng 475001,China刊 名：数学季刊(英文版) ISTIC PKU英文刊名：CHINESE QUARTERLY JOURNAL OF MATHEMATICS年，卷(期)：23(2)分类号：O241.84关键词：reaction-diffusion equation finite difference scheme stability research variational approximation method
非线性稳定 篇6
1 主要定义定理说明
其中状态变量x∈Rn, 控制u∈Rm, ω是一个独立r的维维纳过程, f是连续可微, 并对于u满足局部一致Lipschitz条件, y表示输出变量。
定义1[1]:系统是随机输入到状态稳定的, 简称为SISS, 如果对于任意给定的ε>0, 存在一个KL函数β (⋅, ⋅) , 一个K函数γ使得
定义2[1]:一个函数V (x) 是SISS-Lyapunov函数, 如果对于系统 (1) 存在K∞函数α1, α2, α, χ使得下面两式成立:
引理1[1]:如果系统 (1) 存在一个SISS-Lyapunov函数, 那么此系统是随机输入到状态稳定的, 即SISS的。
定义3:系统 (1) 是SIOS的, 如果对于系统的一个输入输出算子F, 存在一个KL函数β, 一个K函数γ使得对于每一个时间对0≤T≤t下式成立:
2 主要结论
如果系统 (1) 是随机输入到状态稳定的, 那么此系统一定是随机输入输出稳定的。
证明:如果系统 (1) 是随机输入到状态稳定的, 则有定义
当t≥T时, 由uT的定义,
当初始值固定, 存在一个K函数γ1使得x (T) ≤γ1 (uT)
令KL函数β1 (s, t) =β0 (γ1 (s) , t) , 则上述几式可得到
由于y (t) =h (x (t) ) , h是K有界函数, 所以存在一个K函数χ使得h (⋅) ≤χ (⋅) 即
由K函数的性质α (a+b) ≤α (2a) +α (2b)
令β (s, t) =χ (2β1 (s, t) ) , γ (s) =χ (2γ0 (s) ) , 由此我们可知
结论证明完毕。
3 结语
讨论了随机非线性系统中的随机输入到状态稳定与随机输入输出稳定性之间的关系, 这种讨论是十分有用的, 此结果为以后讨论随机非线性系统中有关输出反馈稳定将会带来一定的作用, 也为输出反馈设计起到关键的作用。
参考文献
非线性稳定 篇7
本文结合高阳大桥实例,对反拱式钢筋混凝土拱桥稳定性非线性进行分析。
高阳大桥位于湖北省兴山县高阳镇香溪河的拦沙堰下游约80m处,连接香溪河右岸陈家湾移民小区与耿家河左岸移民区。桥梁为总长192.0m的反拱式钢管混凝土拱桥(见图1),主拱计算跨径为129.5m,计算矢高为37.0m。设计荷载等级:公路-Ⅱ级,人群2.5kN/m2,设计行车速度:40km/h;桥面宽度:人行道2.25m(含栏杆)+分隔带2m+行车道9m+分隔带2m+人行道2.25m(含栏杆)=17.5m。
桥面以上部分采用钢管混凝土空间四肢式桁架结构,拱肋宽1.55m,跨中拱肋高2.5m,肋间中距11.0m。主拱为拱轴系数m=1.543的悬链线,下弦管从拱脚向上到1/8L处横向用钢板将钢管平联成哑铃型;副拱为悬链线与反拱圆曲线的组合曲线,其中悬链线部分与主拱轴线平行,圆曲线部分伸入边孔,在桥台处与边孔轴线汇交,半径R=84.794m。副拱、主拱弦管分别为φ351mm×12mm和φ351mm×16mm的16Mn钢管,其内部灌注C50微膨胀混凝土。边孔为计算跨径23.8m,计算矢高8.5m的悬链线半拱,拱轴系数m=1.167,钢筋混凝土箱形截面,箱高1.2m,宽2.0m,拱顶腹板厚25cm,顶底板厚25cm,截面由拱脚附近立柱处向拱脚处腹板厚度由25cm直线渐变到50cm,顶底板由25cm渐变到60cm。吊杆处上、下平联均为两个25号16Mn槽钢和两个20mm厚16Mn钢板相焊接的组合截面,其余所有平联和腹杆均为φ152mm×8mm的16Mn空钢管,在边孔处分离的主拱、副拱弦管通过支撑杆相联,支撑杆采用φ152mm×8mm的16Mn钢管,内灌水泥砂浆,外包成30cm×30cm的矩形。两条拱肋间共设置7道一字钢管风撑,间距14.4m。桥面以下的拱肋外包混凝土,边孔采用钢筋混凝土箱形截面的半孔双肋拱桥,顶端支承于桥台处。反拱部分弦管的支撑杆锚固在混凝土墩帽的预埋钢板上,上弦管锚固在边孔拱肋的台口处。
吊杆处横梁为预制预应力钢筋混凝土工字梁,高120cm,翼板宽80cm,腹板厚35cm;边孔腹孔墩帽梁为现浇钢筋混凝土T形梁,高120cm,翼板宽80cm,腹板厚50cm。
吊杆纵向间距为7.2m。吊杆采用19根φs15.2mm的柔性拉杆。
行车道板采用预制钢筋混凝土T形梁。
2 分析模型
2.1 有限元分析模型的建立
从钢管混凝土拱桥的建造过程来看,钢管混凝土拱桥中的稳定问题可分为施工过程中的稳定问题和成桥后使用阶段的稳定问题。钢管混凝土拱桥的施工一般是先架设空钢管,然后再灌注混凝土,在主拱浇注混凝土的施工过程中,结构体系不断变化,主拱截面逐渐形成,刚度和强度均未达到设计值,且浇注的混凝土数量大,技术要求高,结构行为变化复杂,故浇注混凝土时的稳定问题是施工关键所在,施工中的稳定性问题以单片拱的稳定性问题为主,而成桥后的使用阶段,则主要考虑整体稳定性问题。目前,对于钢管混凝土拱桥的稳定性分析,多数是理论分析和试验相结合,在理论上,因拱结构的线形多样且为超静定结构,故很难得到精确解,一般是借助于有限单元法求其数值解。
2.2 线弹性稳定分析[5]
线弹性稳定分析(即特征值屈曲分析)属于第一类稳定问题,实在忽略应力和变形对结构刚度的影响,近似的认为材料的应力应变曲线为线性的条件下进行的稳定分析。第一类稳定问题可归结为求特征值问题,求解相对容易,且所求得的荷载是第二类稳定问题的极值点荷载的上限;特征值屈曲的失稳模态可以作为施加初始缺陷或扰动荷载的根据,所以线弹性稳定分析无论在理论分析中还是在工程应用中都占有重要地位。
2.3 非线性稳定分析[10]
大跨度钢管混凝土施工过程比较复杂,在混凝土的灌制过程中,由管内混凝土的灌注所产生的偏载以及刚度的变化等对其稳定性有很大的影响。所以其稳定性分析必须按第二类稳定问题进行空间分析,即计入几何非线性和材料非线性的影响。
2.3.1 模型建立
该桥的非线性稳定计算采用大型通用有限元计算软件ANSYSR,建立了该桥空间有限元分析模型,共有节点1044个,划分各类单元2 790个。本文的钢管混凝土拱桥模型较大,计算模型中的三维双重非线性梁单元均采用beam188单元。Beam188单元适合于分析从细长到中等粗短的梁结构,包含了剪切变形的影响。该单元是节点梁单元,每个节点有6个或者7个自由度,非常适合线性,大转动问题及非线性大应变问题,而且该单元能分析弯曲、横向及扭转问题,不仅可用于特征值屈曲分析,而且也可以通过弧长法来分析倒塌问题,并能自定义横截面,支持弹性、塑性、徐变模型,可将横截面定义为两种不
同的材料。本文的钢管及钢管混凝土构件均采用beam188单元,平联、腹杆及支撑杆采用杆单元link8模拟,吊杆采用杆单元link10模拟。
该桥计算模型如图2所示。
2.3.2 阶段划分
1)在结构建模时,本桥施工过程主要划分为4个阶段:
(1)空钢骨架阶段:吊装合拢钢桁架、横撑并支架浇注边孔;计入结构自重作用。
(2)管内混凝土浇筑阶段:全桥对称浇注管内混凝土;计入混凝土湿重及施工荷载作用。
(3)横梁吊装阶段:现浇下弦管拱脚混凝土、肋间横梁,对称安装吊杆、横梁及桥面系;计入所加构件自重作用,计入二期恒载。
(4)成桥阶段:成桥运营5a;计入活载、温度及基础变位作用。
2)使用阶段下主要分为2个工况研究:
(1)恒载+两列车道荷载半桥满布。
(2)恒载+两列车道荷载全桥满布。
计算温度荷载时,成桥运营阶段按整体升温25℃,整体降温25℃考虑,不计入桥面上下拱肋,由于温差产生的非线性温度影响;计算拱脚变位时,按单侧主墩向外发生1cm水平位移和0.5cm的竖向位移考虑;计算时只考虑了主拱外包混凝土段、边拱及边孔帽梁混凝土的收缩徐变,未计入钢管内混凝土的收缩徐变;活载按公路Ⅱ级计算。
3 计算结果及分析
3.1 线弹性稳定性
计算得到各阶段线弹性稳定安全系数及失稳模态(见图3),取其一阶失稳为研究对象,得到结果如表1。
3.2 非线性稳定性
在计算非线性影响的时候,取其一阶失稳为研究对象,得到结果如下。
3.2.1 施工阶段
不同施工阶段稳定安全系数见表2。
由表2可以看出,几何非线性对稳定性影响相对材料非线性较小,对于反拱式钢管混凝土拱桥来说,考虑几何非线性后,稳定系数较线性值下降了5%左右;考虑几何和材料双重非线性后稳定系数下降了25%～30%左右;所以可以得出,要得到比较接近实际的稳定安全系数,应该考虑几何和材料双重非线性的影响。
3.2.2 使用阶段
使用阶段不同工况稳定安全系数见表3。
由表3可以看出,在考虑到几何非线性因素后,相对线弹性分析的稳定安全系数略有下降,折减在5%左右,说明几何非线性因素对全桥使用阶段稳定性影响不大。在考虑材料非线性因素后,稳定安全系数有较大的折减,折减率达到25%～30%,说明材料非线性因素对结构稳定性影响很大,所以在工程实际计算稳定问题时,应采用相应合理的本构关系模型进行双重非线性分析,才能得到较为接近实际的稳定安全系数,同时验证了施工阶段的计算结果。
4 结论
1)反拱式钢管混凝土拱桥在浇筑管内混凝土阶段时稳定安全系数最小,说明此阶段最容易产生失稳现象。这是由于浇筑管内混凝土时,混凝土并未参与实际受力,钢管不但要承受其自重,还要承担混凝土的湿重。故在浇筑管内混凝土阶段尤其要注意反拱式钢管混凝土的稳定性。
2)反拱式钢管混凝土拱桥在使用阶段的第一阶失稳模态为面外失稳。由此说明,反拱式钢管混凝土拱桥的面内刚度远远大于其面外刚度,随着钢管混凝土跨径的不断增大,其横向联系也更加简洁明快,这样减弱了横桥向的刚度。故面外刚度对其稳定性的影响不容忽视。
3)通过对反拱式钢管混凝土拱桥施工及使用阶段进行稳定分析,得出了各工况下的稳定安全系数及失稳模态,并分析了几何非线性和材料非线性对稳定性的影响。最后得出结论,如果单以线弹性稳定分析计算结果是偏不安全的,材料非线性是影响稳定的重要因素,所以,在反拱式钢管混凝土拱桥设计中应采用双重非线性理论分析稳定性。
参考文献
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非线性稳定 篇8
问题描述及预备知识:
考虑不确定非线性切换系统
其中σ:[0, +∞) →I={1, 2LN}为切换规则, 是右连续的分段常值函数。x∈Rn是状态, d∈Rm为扰动输入, f i (⋅) , pi (⋅) 是已知的光滑函数, gi (⋅) 光滑且非奇异, δi (⋅) 是未知的光滑函数且满足:
ei是正实数, i∈I。
引理1考虑非线性切换系统
其中:x∈Rn是状态, d∈Rm为扰动输入, fi:Rn×Rm→R是关于x的局部Lipchitz函数, σ:[0, +∞) →I={1, 2LN}是右连续的分段常值函数.如果存在一组连续可微的正定函数iV (x) , i∈I和K∞类函数α1, α2与γ, 并且存在常数µ≥1, λ>0, 对∀x∈Rn, d∈Rm和∀p, q∈I满足:
若切换规则满足平均驻留时间, 则系统 (3) 关于d是输入对状态稳定的.
主要结果:
定理1对于系统 (1) , 存在一组连续可微的正定函数iV (x) , i∈I, 和K∞类函数α1, α2与ρ, 以及常数µ≥1, λ>0, 对∀x∈Rn, d∈Rm和∀p, q∈I满足:
则存在状态反馈控制器
在满足平均驻留时间的切换规则下, 闭环系统 (1) 关于d是输入对状态稳定的。
将iu的表达式代入上式得:
当时, 对于系统 (1) 的每一个子系统在
取并且切换规则满足平均驻留时间, 因此由引理1可得此结论成立。
摘要：本文针对一类含有结构不确定的非线性切换系统基于平均驻留时间的方法设计状态反馈控制器使得闭环系统是输入对状态稳定的。
关键词：非线性切换系统,不确定性,平均驻留时间,输入对状态稳定
参考文献
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非线性稳定 篇9
汽车行驶过程中，轮胎处于非线性状态，但在汽车转向稳定性分析的实际过程中，由于非线性模型计算量大，故常把非线性问题进行线性化处理[1,2]。轮胎非线性特性一直是学者们研究的热点。文献[3]应用考虑轮胎非线性特性的车辆模型设计了质心侧偏角观测器；文献[4]研究了高速转弯工况侧倾载荷转移及轮胎的非线性特性对整车操纵稳定性的影响；文献[5]基于轮胎非线性侧偏特性模型研究了汽车的操纵动力学问题；文献[6]在设计汽车状态的非线性观测器时考虑了轮胎侧向力非线性特性。
在转向过程中，汽车运动状态参数（如质心侧偏角、车身侧倾角等）会发生变化，而这些状态量是汽车稳定性控制系统中的重要控制变量。汽车高速转向行驶时轮胎力学特性处于强非线性状态，此时若将问题进行线性化处理会失去实际意义[7,8,9]。为分析转向盘力输入下轮胎侧向力对汽车高速转向稳定性的影响，本文建立了包括侧向运动、横摆运动、侧倾运动和转向系统转动的四自由度整车模型和非线性轮胎侧向力模型，并通过ADAMS和实车试验进行了验证。
1 整车动力学模型
针对转向盘力输入工况下的整车模型，本文作如下假设：(1)以小转角行驶，忽略内外车轮转角差别；(2)悬架特性在线性范围内；(3)不计空气阻力。取固定于汽车上的相对坐标系统，以静止时的重心铅垂线与前后侧倾中心连线的交点为坐标原点，以汽车纵向水平轴为X轴，方向向前，Y轴过原点垂直于X轴，且在水平面内以汽车左侧方向为正，Z轴过原点垂直于XY平面，坐标系符合右手定则，具体如图1所示。图中，vX为汽车质心纵向速度；vY为汽车质心侧向速度；aY为汽车质心加速度在Y轴上的投影。转向系统简图如图2所示。
根据达朗贝尔原理，列出车辆系统各平衡方程[10]。绕X轴的力矩平衡方程为
沿Y轴方向力平衡方程为
绕Z轴力矩平衡方程为
绕主销力矩平衡方程为
式中，IZ为整车绕Z轴的转动惯量；IX为悬架上质量绕X轴的转动惯量；IXZ为悬架上质量绕X、Z轴的惯性积；m为整车质量；ms为悬架上质量；v为汽车行驶速度；ω为汽车质心横摆角速度；为汽车车身侧倾角；β为汽车质心侧偏角；δ为汽车前轮转角；βf、βr分别为前后车轮侧偏角；a、b为整车质心至前后轴的距离；L为轴距；h为侧倾力臂；Kf、Kr分别为前后轮侧偏刚度；Cf、Cr分别为前后侧倾角刚性；Df、Dr分别为前后悬架侧倾角阻尼；Ef、Er分别为前后悬架侧倾转向系数；i为转向系总传动比；Dw为前轮回正力臂；Is为转向盘转动惯量；Iw为两前轮绕主销的转动惯量；ks为转向系统当量刚度；Cs为转向系统当量阻力系数；α为转向柱与Z轴的夹角；T为转向盘上的输入力矩。
2 非线性轮胎侧向力模型
对汽车转向稳定性的分析涉及复杂的轮胎多向受力运动特性，若要仿真大离心加速度下的操纵运动，必须考虑轮胎非线性特性[10]。轮胎侧向力是车轮发生侧向滑动时抵抗侧滑的反作用力，它是汽车实现独立运动所依赖的重要作用力，且轮胎侧向力对汽车转向行驶稳定性有着重要影响。
汽车正常行驶时，侧向加速度小于0.4g(g为重力加速度），侧偏角在较小范围内，可认为轮胎侧向力（FYf、FYr）与侧偏角（βf、βr）成线性关系[11]:
式中，kf、kr分别为线性轮胎侧向力模型时前后轮胎侧偏刚度。
汽车行驶过程中存在着弯道及倾斜路面，为避免因侧滑而产生交通事故，轮胎应提供足够的侧向力。设汽车以侧向加速度aY做圆周运动，则整车离心力为maY，且
式中，ρ为圆周运动半径。
假设同轴左右轮胎侧向力相等，则前后轴轮胎侧向力分别为
根据Fiala轮胎侧偏特性公式，设侧向力以地面附着力μmg（μ为路面附着系数）为饱和状态，以侧偏角的二次式近似表示轮胎侧向力[12?13]:
由此求得转向状态下单位侧偏角的侧向力，即非线性轮胎侧向力模型时前后轮胎侧偏刚度为
可得非线性轮胎侧向力为
将式（1）～式（4）整车系统转向行驶方程组中的Kf、Kr分别用kf和kr代替，可得到线性轮胎侧向力对汽车转向稳定性的影响。
3 数值仿真与虚拟样机试验验证
对汽车高速转向稳定性进行实车试验存在着较高的危险性，为验证分析结果的正确性，本节采用ADAMS仿真软件对样车进行虚拟试验验证，样车参数如表1所示。轮胎模型采用ADAMS中自带的Fiala轮胎模型。
首先对样车建立悬架、车身、转向等子系统模型；然后建立各子系统之间及各子系统与AD-AMS提供的实验台之间相互交换信息的输入、输出信号器“Communicator”；最后按系统组装成整车虚拟样机试验模型，如图3所示。
为分析轮胎侧向力对汽车转向行驶稳定性的影响，给转向盘一个iT=530N·m的力阶跃输入以模拟汽车转向行驶，取质心侧偏角、车身侧倾角和前轮转角为待求解状态变量。运用MAT-LAB对整车系统转向行驶方程组（式（1）～式（4））进行求解，以获得在线性轮胎侧向力模型和非线性轮胎侧向力模型下转向汽车各运动状态的仿真结果，并与ADAMS虚拟试验结果相比较。图4和图5分别是车速为60km/h和120km/h时转向汽车各运动状态的仿真结果及虚拟试验结果。图中，仿真结果Ⅰ为线性轮胎侧向力模型下所得结果，仿真结果Ⅱ为非线性轮胎侧向力模型下所得结果。
由图4和图5可看出，随着车速的提高，各运动状态响应幅度增大，波动剧烈，稳定时间变长，轮胎表现出的非线性愈明显，不同轮胎侧向力模型下仿真结果差别很大。且非线性轮胎侧向力模型下仿真结果与ADAMS虚拟试验结果吻合程度较好，说明采用非线性轮胎侧向力模型，特别是高速时能获得更准确的汽车运动状态分析结果。
为了更加直观地比较汽车转向时应用不同轮胎侧向力模型对汽车转向稳定性的影响，定量比较两种轮胎模型（分别简称为线性模型和非线性模型）下分析结果的准确性，本文给出了仿真结果相对于虚拟试验结果的平均绝对误差和均方根误差，如表2和表3所示。
表2和表3结果表明，在同等条件下，采用非线性轮胎侧向力模型时仿真结果的平均绝对误差都能控制在状态幅值的10%以内，精确度高于采用简化线性模型时的相应仿真结果，特别是在高速转向工况下。由以上对比结果可知：非线性轮胎侧向力模型能更准确地反映出高速转向行驶运动状态，采用非线性轮胎侧向力模型分析和设计汽车转向稳定控制系统更具有实际应用价值。
4 实车试验验证
为验证仿真分析结果进行了蛇形线实车试验，并将试验结果与非线性轮胎侧向力模型下的仿真结果进行了对比。在试验车上安装角速度垂直陀螺仪用以测定汽车横摆角速度、侧向加速度和车身侧倾角，安装非接触式速度传感器（其连接方式见文献[14]）用以测量汽车纵向速度、侧向速度。高速下进行蛇形试验不仅对驾驶员的技术要求比较高，而且具有一定的危险性，根据试验规定最高蛇形试验车速不得高于80km/h，本试验中车速为50km/h。图6中分别给出了汽车质心侧偏角、车身侧倾角和前轮转角仿真结果和试验结果的对比。
从图6可看出两者之间趋势一致性较好，略有偏差存在；产生偏差的原因主要在于所用整车模型及非线性轮胎侧向力模型在模拟汽车受力及轮胎力学特性时与实际状况有一定的差异。
5 结束语
为分析轮胎侧向力对汽车转向稳定性的影响，采用四自由度整车动力学模型及非线性轮胎侧向力模型进行了仿真研究，并通过虚拟试验和实车试验进行了验证。研究结果表明，基于非线性轮胎侧向力模型的仿真结果与试验结果较为相近，且趋势一致性较好，能更真实地反映各运动状态响应。随着车速的提高，线性轮胎侧向力模型仿真结果偏离虚拟试验结果程度愈加明显，特别是高速行驶时。研究结果为重型商用车转向行驶安全控制系统的设计和分析提供了理论依据和研究方法。
摘要：为分析轮胎侧向力对汽车转向稳定性的影响,建立了非线性轮胎侧向力模型并通过四自由度整车动力学模型计算了不同车速下汽车质心侧偏角、车身侧倾角和前轮转角响应。基于ADAMS的虚拟试验和实车试验结果表明:汽车高速转向行驶时,非线性轮胎侧向力模型能更准确地反映出汽车运动状态的响应,各状态响应的平均绝对误差能控制在相应状态幅值的10%以内。研究结果对汽车稳定性控制系统的设计具有理论指导意义。
非线性稳定 篇10
1 非线性稳定分析的基本原理
非线性稳定分析方法是通过逐步施加荷载增量来求得使结构开始失稳的临界荷载,一般来说,特征值屈曲荷载(弹性分析方法)是预期的非线性屈曲荷载的上限,可作为非线性屈曲分析的初始给定荷载,在逐步加载到此荷载前,非线性求解应发散,非线性求解发散的临界荷载即为非线性稳定荷载。
1.1 几何非线性稳定分析
拱桥的几何非线性主要是指在荷载的作用下,拱轴线与荷载压力线的偏离问题,这种偏离是不可避免的。施工阶段,压力线随架设过程的不断变化、施工预拱度的设置、各种施工偏差、拱轴线的弹性压缩等的变化而发生变化。拱的几何非线性属于弹性大变形, 拱桥结构的非线性平衡方程为
式中:[K0]为小位移弹性刚度矩阵;[KL]为大位移矩阵;[Kσ]为初应力矩阵;{F}为等效节点荷载;{δ}为节点位移。
[KL]、[Kσ]是{δ}的函数,所以(1)为非线性方程组。 非线性方程组的求解方法采用荷载增量法。荷载从0开始,按照某种增量形式逐步增大到λi[F]。{δ}开始发散时的λi[F]即为拱桥稳定极限承载力,其非线性方程组形式为
式中:λ为荷载因子。
可以有如下假定
实际钢管混凝土拱桥达到极限承载力时的稳定系数一般不大于10,为保险起见,可设λ=100。对式(2)按照不同的方法进行线性化分析时,采用自修正Euler法求解。结构的极限承载力应在开始发散时的荷载和在此前一级已收敛的荷载之间。如荷载增量分得较细,可以偏于安全地认为是前一级荷载,而避免更加复杂的计算。
1.2 材料非线性稳定分析
钢管混凝土拱桥的侧向失稳大部分是发生在弹塑性变形范围,即拱发生侧向屈曲时结构的应力大于材料的弹性极限,这时按弹性理论计算的拱桥侧倾稳定安全系数就有可能大大超过实际值。因而需要用弹塑性理论重新计算结构的稳定安全系数,即需要考虑材料非线性,材料非线性分析主要问题是材料本构关系的选取。
1.2.1 钢材的三维本构关系
一般把钢材变形分为弹性、弹塑性、塑性、强化以及二次塑流等几个阶段,分别给出其本构关系。
1) 弹性阶段(σi≤fp)。
在此阶段,钢材的应力-应变关系为线性,可写为如下的增量形式
2) 弹塑性阶段(fp<σi≤fy)。
在此阶段,钢材的切线模量E
弹塑性阶段的泊松比μ
该阶段的应力-应变关系写成如下的增量形式
3) 塑性、强化以及二次塑流阶段。
根据经典力学,此阶段屈服应力与塑性应变的关系为
该阶段的应力-应变关系写成如下的增量形式
1.2.2 混凝土的三维本构关系
混凝土破坏曲面具有以下特征:①破坏曲面的横截面曲线是光滑的;②横截面曲线是凸的;③对于拉应力区和较小的压应力区,破坏曲面与偏平面相交后得到的横截面曲线形状接近三角形,而对于较高的压应力区,破坏曲面的形状越来越接近圆形。
Willam-Warnke三参数模型[7]适用于受拉、高压应力区和低压应力区,在工程上得到广泛应用。
三参数模型的一般表达式(r-θ坐标下)为
式中:平均剪应力
1.2.3 钢管混凝土的轴压应力-应变曲线
采用三维混凝土的本构关系和钢材的本构关系,建立钢管混凝土的空间分析模型,如图1所示,从而求得淳安南浦大桥钢管混凝土拱肋的轴压应力-应变曲线,如图2所示。
2 淳安南浦大桥稳定性分析
2.1 桥梁概况
淳安南浦大桥为中承式钢管混凝土桁式拱桥,拱轴系数为1.167,大桥总设计长度为330 m,净跨径308 m,净矢高为60 m,矢跨比1/5.5,桥面净宽12 m,拱肋外侧间距15.55 m,宽跨比1/19.81,其规模在国内同类桥梁中居第3位。南浦大桥的主拱肋由4根直径850 mm、壁厚12 mm的钢管构成,钢管由腹杆和剪刀撑连接形成劲性骨架,钢管内灌注C50高强混凝土,全桥共设13道双K形横撑。南浦大桥的总体布置见图3。
2.2 稳定分析模型
三维稳定分析有限元模型见图4。
2.3 稳定分析结果
为了同时分析风荷载对稳定系数的影响,同时分析1倍、2倍、3倍风荷载作用下的稳定系数。表1列出了稳定系数的计算结果。
3 结 论
1)风荷载对钢管混凝土桥的稳定性影响很小,对弹性稳定的分析结果表明风荷载对稳定系数无影响,在双重非线性稳定下风荷载影响最大,但数值较小,3倍风荷载的稳定系数为1倍风荷载的96.8%,仅下降了3.2%。
2)几何非线性对钢管混凝土拱桥的稳定性影响也较小,考虑几何非线性的影响,桥梁的稳定系数仅下降11.2%左右。
3)同时考虑材料非线性和几何非线性对钢管混凝土拱桥的稳定系数影响很大,稳定系数约为弹性分析的38.5%,表明材料非线性对钢管混凝土拱桥稳定性的影响较大。
摘要：大跨度钢管混凝土拱桥的宽跨比较小,拱肋的横向稳定成为桥梁安全的关键问题。目前对钢管混凝土拱桥的稳定分析主要采用弹性理论,同时选用较大的稳定系数来保证桥梁安全。介绍同时考虑材料非线性和几何非线性的钢管混凝土拱桥稳定性分析方法,并采用该方法对南浦大桥的稳定性进行分析,结果表明几何非线性对该桥稳定性影响较小,而材料非线性对该桥稳定性影响较大。提出在分析钢管混凝土拱桥稳定性同时应考虑几何非线性和材料非线性的结论。
关键词：钢管混凝土,拱桥,稳定分析,非线性
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