非线性动态特性（通用8篇）
非线性动态特性 篇1
0 引言
液压悬置是国外20世纪80年代初发展起来的一种新型的减振元件, 它利用液体阻尼从根本上克服了橡胶悬置低频阻尼小、高频出现动态硬化的局限性, 更好地满足了汽车减振的要求[1]。液压悬置具有低频阻尼大、高频动刚度低等减振降噪更为理想的特点, 可有效衰减动力总成振动, 降低车室共鸣声[2]。但是液压悬置的动态特性十分复杂, 因此如何简洁、正确地建立液压悬置数学模型, 以便进一步地研究悬置系统在整车隔振中的作用, 显得尤为重要。本文基于流体动力学理论及液压原理, 计算分析液压悬置的动态力学行为, 非常接近实际工作情况。
1 物理模型的建立
本文研究的目标液压悬置属于惯性通道解耦盘式液压悬置, 其三维结构剖面图如图1所示。
1.动力总成连接螺栓 2.金属骨架 3.橡胶主簧 4.上液室 5.解耦盘 6.惯性通道 7.下液室 8.橡胶底盘 9.底座
为了分析其动态特性, 需建立描述其本质特征的力学模型, 以便进一步建立非线性数学方程, 进行数值分析与仿真。实验显示, 液压悬置中的流体部分只对悬置垂向 (Z向) 的动特性有比较大的影响, 对侧向 (X、Y向) 动特性基本上没有什么影响[3,4], 因此本文仅建立液压悬置的垂向力学模型,
并对建模过程进行了合理的简化和假设, 简化的力学模型如图2所示。该液压悬置具有两个液室:上液室和下液室;上下液室的体积弹性特征视为线性, 用体积刚度C1、C2表征。kr和br是橡胶主簧的静刚度和阻尼, 橡胶主簧具有类似于活塞的泵吸液体作用, 设Ap为等效活塞面积, If为惯性通道内液体的惯性。液体通过惯性通道的体积流量和随解耦盘运动液体的体积流量分别为qv和qvd, 两个液室的平均压力分别为p1 (t) 和p2 (t) , Δd为解耦盘与上、下限位盘之间的间隙。F (t) 为液压悬置传给车架的力;X1 (t) 为橡胶主簧上端面的位移输入;X2 (t) 为解耦盘及其附加液体质量的振动位移响应。
2 非线性数学模型的建立
2.1 橡胶主簧模型
橡胶主簧是液压悬置的基本弹性元件, 它不但承受发动机的静载和大部分动载, 而且在高频激振时还要起到主要的减振作用。将橡胶主簧假设为“质量一弹簧一阻尼”系统, 且其质量与悬置的承载共有一个位移, 输入力一部分传给主簧, 另一部分通过以橡胶主簧的等效面积为活塞传递至上液室。橡胶主簧的复刚度表达式可写为
K (ω) =kr+jω br (1)
式中, ω为激振频率;br为黏滞阻尼系数;kr为橡胶主簧的静刚度。
2.2 惯性通道模型
液体在沿惯性通道流动时会产生能量损失, 这种能量损失主要表现为压力损失, 包括惯性阻尼损失, 沿程压力损失和局部压力损失。由于悬置惯性通道的结构不同, 又可将局部压力损失分为弯管压力损失和液体流动截面突然变化引起的收缩局部损失[5]。根据液压原理及流体动力学的相关定律[6], 并考虑振荡流对能量损失的影响来建立惯性通道的动态方程。
2.2.1 沿程压力损失Δp1
沿程能量损失是液体黏性作用的结果, 假设液体从入口到出口流经的等效总长度为lf, 液体流动为层流, 有
式中, ρ为悬置内液体的密度;lf为惯性通道长度;Af为惯性通道孔等效横截面积;ζ1为沿层阻力系数, 当液体为层流时, ζ1 =64/Re;Re为液体的雷诺数;df为通道当量直径。
当横截面为矩形时, 通道直径为
式中, a为矩形长边;b为矩形短边。
2.2.2 入口局部压损失Δp2
由于流体的惯性作用, 流体经突然收缩的截面时, 流线光滑收缩, 在前方形成最小收缩截面, 然后, 再扩散附壁, 存在压力损失:
式中, ζ2为截面突然收缩局部阻力系数。
2.2.3 出口局部压力损失Δp3
流体通过管道截面突然扩大处的流动能量损失可表示为
式中, ζ3为突然扩大局部阻力系数。
2.2.4 弯管效应形成的压力损失Δp4
惯性通道内液体螺旋状的流动非常复杂。魏斯巴赫通过实验总结出弯管阻力系数的经验公式如下[6]:
式中, R为惯性通道弯管轴心线的曲率半径;α为惯性通道的转弯角度。
此时, Δp4可表示为
则液体流经惯性通道时, 受到的总压力损失为
通过惯性通道的流量为
式中, μ为液体的黏性系数。
2.3 解耦盘模型
根据液压悬置的结构及其活动解耦盘的运动过程的变化[5], 可建立解耦盘的运动微分方程式如下:
式中, md、kd为解耦盘及其附加液体的质量、刚度;Am为解耦盘面积;e为状态系数。
在仿真计算过程中, 为了保证系统运动的连续性和计算过程的稳定性, 将解耦盘的上下限位板视作刚度很大的弹性元件, 当发生接触时可以产生很大的支撑反力。这样需要在方程中加入一个状态判断系数:
其中, n值根据仿真过程的收敛性和经验选取。
当解耦盘不到达限位位置时, 油液经过解耦盘的流动可以简化为环形缝隙流动, 理想情况下是同心环形缝隙, 实际工作过程中多为偏心环形缝隙。根据文献[6]可得偏心环形缝隙的体积流量公式, 也即解耦盘周围液体的运动微分方程为
式中, ε为相对偏心率;d为圆形解耦盘直径;h0为同心缝隙值;ld为解耦盘厚度。
2.4 液压悬置非线性数学模型
根据上述橡胶主簧模型和流体模型, 设液压悬置承受的预负载为F0, 液体初始压力为p0, 液压悬置初始位移X0, 可得目标液压悬置的非线性数学模型如下:
式中, xω为激励振幅。
则振动经过液压悬置元件传到车架端的响应力可表示为
3 动态特性仿真
根据液压悬置的非线性数学模型, 利用MATLAB软件编制相应的仿真程序, 确定相关参数值, 选定合适的积分方法、积分精度、积分步长, 给定激励信号的幅值和频率, 如果数值收敛, 就可以求得各变量的时间历程, 得到各变量响应的幅值和相位角, 为动特性分析提供依据。
3.1 参数获取
本文仿真参数 (表1) 主要由汽车厂配套企业提供, 部分系数来源于文献[6]的推荐值。
3.2 特性仿真
由于液压悬置的动特性具有强烈的非线性, 不仅与激励信号的频率有关, 而且与激励信号的幅值有关, 可定义液压悬置在频率为ω的正弦位移信号Xm=Xωsin ω t激励下的复刚度为
K* (ω, Xm) =K (ω, Xm) exp (jϕ (ω, Xm) ) =
K*cos ϕ (ω, Xm) +jK*sin ϕ (ω, Xm) =
K′ (ω, Xm) +jK″ (ω, Xm) (15)
其中, ϕ (ω, Xm) 为液压悬置在频率为ω的正弦位移信号Xm=Xωsin ω t的激励下的阻尼滞后角;
K′ (ω, Xm) 为复刚度的实部, 即弹性部分;K″ (ω, Xm) 为复刚度的虚部, 反映液压悬置的阻尼特性, 则液压悬置的动刚度K可定义为
即复刚度的模, 指一定频率下激振力与响应位移的幅值之比。滞后角表达式为
ϕ (ω, Xm) =arctan (K″ (ω, Xm) /K′ (ω, Xm) ) (17)
即一定频率下响应位移与激振力之间的相位差, 即复刚度的相角, 表征元件阻尼的大小。
动态特性评价指标采用液阻悬置特性研究常用的动刚度和滞后角[3,4], 另外通常把液阻悬置在5～50Hz范围内、振幅为1mm的振动视作典型的低频大振幅振动, 而把50～200Hz范围内、振幅为0.2mm的振动视作典型的高频小振幅振动。课题组分别针对这两种典型工况进行了液压悬置的动特性仿真, 并与实验测试结果做了对比分析, 仿真与实验的对比曲线见图3、图4所示。
3.3 结果及误差分析
由图3、图4可见, 仿真结果和实验结果比较接近, 相对误差保持在10%～30%范围内, 能够满足工程应用要求, 也证明了所建模型是正确的、可用的。高频小振幅激励时, 动刚度仿真与实验曲线有较好的相似性, 且在高频区域, 动刚度只稍有增大, 没有出现高频硬化现象, 拓宽了悬置在高频时的使用性能。低频大振幅激励情况下仿真数据与实验数据的吻合情况相
(b) 滞后角曲线
(b) 滞后角曲线
对来说不如高频小振幅激励工况, 这可能与橡胶主簧的简化有关, 实际上它是橡胶和金属骨架的耦合体, 其非线性特性更复杂。由此可推断, 虽然橡胶主簧对液压悬置的频动特性有一定影响, 但与其内部的液体阻尼机构 (惯性通道及活动解耦盘) 的影响相比, 其量值较小;低频大振幅工况, 悬置的减振作用主要依赖于液体流过惯性通道的阻尼, 而在高频小振幅激励下, 惯性通道和活动解耦盘共同工作, 活动解耦盘在液室内波动为主要振动, 抑制了悬置动刚度的上升。
仿真计算结果与实验测试结果之间的差别主要来自于建模过程中的各种简化, 因为实际的液压悬置结构比所建的力学模型复杂得多。例如其内部液体压力并非均匀分布、上液室内液体的复杂流动在高频段对悬置动特性会有明显的影响、液室间的泄漏现象在高频段不能忽略;在计算悬置上、下液室压力差时, 只考虑了沿程阻尼损失系数、局部收缩系数和局部扩大系数, 而对于螺旋形惯性通道而言, 入口和出口的轴线夹角所引起的弯管损失没有考虑等。液压悬置内的液体也并非纯净的液压油液, 本身会混有一定数量的不溶解气体[7], 在振动过程中, 当悬置处于拉伸状态时, 上液室的液体压力会显著降低, 甚至远低于外界大气压, 直接影响着悬置上液室的体积变化。
4 结论
随着液压悬置的结构越来越复杂, 寻求一种简单而有效的建模方法以适应快节奏的研发工作是一个很棘手的问题。本文运用机械和流体混合列平衡方程的方法并结合流体动力学理论和液压原理推导建立液压悬置元件的非线性数学模型。该方法利用悬置元件的本身结构参数建立悬置模型, 而不必进行细致的仿真参数识别实验, 降低了研究难度, 所建立的非线性模型通用性较好, 可直接用于悬置其他特性的预测和汽车动力总成悬置系统的匹配选型、优化分析及整车的振动性能研究, 有利于提高产品设计质量、缩短开发周期。
参考文献
[1]Lee Y W, Lee C W.Dynamic Analysis and Controlof an Active Engine Mount System[J].AutomobileEngineering, 2002, 216:921-931.
[2]上官文斌, 吕振华.液阻型橡胶隔振器非线性特性仿真分析[J].振动工程学报, 2003, 16 (4) :393-398.
[3]张云侠, 张建武, 上官文斌, 等.直接解耦盘式液阻悬置的动力学研究[J].上海交通大学学报, 2007, 41 (9) :1406-1410.
[4]吕振华, 上官文斌, 梁伟, 等.液阻型橡胶隔振器动态特性实验方法及实测分析[J].中国机械工程, 2004, 15 (2) :182-186.
[5]鲍宁.动力总成液压悬置的参数化设计[D].长春:吉林大学, 2007.
[6]《机械设计手册》编委会.机械设计手册———液压传动与控制[M].北京:机械工业出版社, 2007.
[7]时培成, 王幼民, 王立涛.液压油液数字建模与仿真[J].农业机械学报, 2007, 38 (12) :148-151.
非线性动态特性 篇2
滑动轴承-裂纹转子系统非线性动力学特性分析
在裂纹转子非线性动力学特性分析中考虑了非线性油膜力的影响,在此基础上建立了单盘Jeffcott裂纹转子的非线性动力学模型,裂纹模型采用非线性涡动模型,菲线性油膜力通过数据库方法获得.利用数值计算方法分析了裂纹转子系统随转速w/w0、相对刚度减小量△kε等参数变化的动力学特性和动力学行为.结果表明:在非线性油膜力的作用下,△kε较小时,响应中出现不可公约的.谐波分量导致系统在亚临界转速区出现概周期运动,△kε较大时,系统产生丰富的非线性动力学行为;在不同转速下,系统出现多种形式的周期运动、分岔、概周期运动和混沌运动.
作 者：焦映厚 李海峰 陈照波 李明章 Jiao Yinghou Li Haifeng Chen Zhaobo Li Mingzhang 作者单位：哈尔滨工业大学机电学院,哈尔滨,150001刊 名：振动工程学报 ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF VIBRATION ENGINEERING年，卷(期)：200417(z1)分类号：O322 TH133关键词：裂纹转子 非线性油膜力 非线性动力学特性
非线性动态特性 篇3
人眼视觉范围指人眼所能感知的亮度范围,从10- 6cd / m2( 注: 1 cd/m2= 1 nt) 到了108cd / m[1,2],范围( 亮度比值) 达到了1014( 即1014∶ 1 ) ,而典型的景物亮度大致在105范围。当人眼适应了某一环境亮度后,其瞬时视觉范围可达到104( 即同一瞳孔开度下可辨别的亮度范围) 。现今的电视显示器对比度范围大致能做到2 000∶ 1,远小于人眼的感知范围。所以,人们从电视上所看到的仅仅是一个屏幕表现,而非真实世界景色的再现。图1 真实世界中,人眼可感知的亮度范围从暗处的2 cd /m2到明亮处的10 000 cd/m2,其亮度分辨率能力远高于目前的任何显示设备。
传统显示器CRT曾长期占据显示屏的统治地位,CRT能提供的最高亮度不超过100 cd / m2。现代的视频显示器,比CRT显示器提供更高的性能。特别是可提供更明亮的图像和更深的黑色。换句话说,现代显示器可提供比CRT显示器更高的动态范围。现今消费级液晶显示器亮度可达到400 cd/m2,高质量产品可达到1 000 cd /m2,某些专门用途的商用产品则可实现4 000~5 000 cd / m2的高亮度。
目前以CRT为基础的光电转换特性标准限制了新型显示器表现真实景物亮度范围的能力,单方面提高显示器件的亮度范围仍无法实现高动态范围景物显示。本文介绍了杜比Vision和英国广播公司BBC提出的HDR( 高动态范围) 显示方案,二者从HDR需求出发,提出了新型的光电转换特性,可实现高达10 000cd / m2的亮度,有效扩展了显示器的动态范围。
2 电视系统的非线性光电变换
电视中的非线性最初来自使不同亮度等级上获得一致的噪声效果的理念。CIE规定了一个亮度的函数,使之尽可能接近人眼对亮度的响应,这函数关系大致是幂指数0. 42。对于线性电视系统,同样的噪声量级,在暗区表现明显而在亮区则很弱。因此,模拟电视系统用非线性变换使主观视觉在不同亮度区看上去噪声处于相同的水平。在摄像机输出端,把信号用幂指数0. 42 加以压缩,而在显示器端把信号扩展,使整个系统的亮度传输基本线性,而视频噪声则在不同亮度区趋于一致。早期电视工程师利用CRT电- 光转换的非线性来实现噪声均匀性要求,CRT的转换幂率为2. 4( 2. 4 大约是0. 42 的倒数) 。
实际操作中,用于摄像机变换的预校正指数平均值为0. 5,由ITU BT. 709 标准化。通过与显示器的2. 4结合,整个系统的伽马值为1. 2,即图2 表示的系统伽马值。这种对前端信号的预校正补偿称为意图再现( rendering intent) ,是人眼在室内较暗环境观看图像较为适宜的变换值,它较好地反映了人眼视觉系统对真实世界景物的客观响应。
视频信号数字化后,量化比特成为图像噪声的主要来源。量化级数直接影响动态范围,而且是图像中亮度差的重要体现,量化比特不足会在图像的平滑区域引入不规则的边界,这种现象被称为“条带”、“轮廓”或量化误差,图3 表示一种极端的轮廓效应。BBC在1974 年的研究表明[3],对于100∶ 1动态范围,8 bit已经使图像足够平滑,几乎看不出“轮廓”。
电视演播室中常用10 bit视频,但实际中,使用BT.709的变换值,对增加动态范围几无贡献,因为多出来的2 bit用于最低有效位,指望提高暗区分辨率,可以降低最小黑电平,但不能增加屏幕的最高亮度。类似的情况,ITU BT.2020中提出的12 bit也不能增加屏幕的最高亮度。
BT. 709 规定从景物亮度到电信号的光- 电转换关系,称为OETF。摄像机制造商希望能支持更高的动态范围,但BT. 709 只提供100∶ 1动态范围而无法实现。目前的摄像机甚至可支持16 bit视频动态范围,达到105量级。为规避BT. 709 限制,摄像机制造商在OETF曲线中加入一个“膝盖”状拐点,来延伸亮度范围,使信号不至于饱和[3],见图4。
采用不同的OETF可增加视频信号的动态范围。BT. 709 规定的伽马曲线设计目的,在于不同亮度下产生均匀的视频噪声,由此设计出近似于人眼视觉的主观亮度曲线。但是,视频信号数字化以后,视频信号量化的目标是避免产生量化的轮廓噪声,而不是提供均匀的感知噪声。所以,量化视频信号时,重点放在展现人类视觉系统的亮度范围感知能力,以及能够区分亮度差的能力。
3 人眼视觉系统特性
量化视频信号希望避免轮廓,即相邻点的量化电平差。研究人眼视觉系统的韦伯定律指出,人眼可察觉的物理亮度差与亮度成正比。也就是说,在可察觉亮度差的边界上,韦伯分数( ΔL/L) 趋于一个常数。研究表明,人眼锥细胞的韦伯分数在2% ~ 3% 之间,表示受试者能可靠地检测出物理亮度在2% 到3% 的变化[4,5]。
韦伯定律表明,对数关系的OETF将提供最大的动态范围,同时再现图像中察觉不到的量化轮廓。韦伯分数为2% 表示可以获得100∶ 1的动态范围。使用233级量化电平,即709 中的8 bit,没有可感知的轮廓。
这也就是说,人眼瞬时的亮度动态范围在104,这并非量化级要达到214= 16 384 才能满足分辨要求。例如亮度从0. 1 cd/m2到1 000 cd /m2,动态范围104,而人眼随亮度增加,在100 cd /m2处分辨率只有1 cd/m2而不是0. 1 cd/m2,亮度越高可分辨的亮度差越大,维持 ΔL/L基本不变,所以并不需要按最小亮度均匀量化。只要按照某种适合人眼视觉特性的变换关系,就可以用1 000 个量化级实现亮度动态范围104,甚至更大,如杜比Vision用12 bit实现107的亮度动态范围。
Barten根据人眼视觉系统规律,并经过大量试验得出复杂的Barten模型,是图像研究领域公认的基础,成为图像显示中人眼最小亮度差分辨率阈值理论依据。ITU BT. 2246 中给出Schreiber和Barten模型曲线,见图5[6]。
BT. 1886 根据CRT的Gamma特性,规定幂指数为2. 4 的电- 光转换特性。图5 中给出3 种12 bit量化的BT. 1886 随亮度范围变化的最小对比度特性,在高亮度区,BT. 1886 量化误差小于人眼对比度阈值,但低亮度区则高于人眼对比度阈值,表明对高动态范围显示的高亮度区,BT. 1886 量化浪费了过多的比特,而低亮度区则比特量化太粗,比特数不足。
4 支持HDR的光电转换特性
为摆脱以CRT为基础的光电转换特性束缚,实现高动态范围( HDR) 显示,现已有杜比、BBC、NHK和Philips向ITU提出4 个HDR标准化建议,其中杜比Vision提出的感知量化( Perceptual Quantizer,PQ ) 成为SMPTE ST2084 标准,可实现10 000 cd / m2屏幕亮度,BBC提出的10 bit HDR建议,支持超过1 000 cd / m2的HDR显示。图6 给出几种光电转换特性的比较,其中BT. 709 只有100 cd / m2亮度范围,DICOM是医学数字成像和通信领域的标准,规定医学图像质量,10 bit可实现5 000 cd/m2以上的高亮度,杜比Vision则有107高动态范围,支持10 000 cd/m2亮度。
4. 1 系统级光电转换特性
电视传播信号链如图7 所示,信号的变换包括摄像端和显示端的非线性特性。摄像机非线性特性称为光- 电转换特性( OETF) ,显示端则称为电- 光转换特性( EOTF) 。常规电视通常把这两者混为一谈而统称为“伽马校正”。整个信号链为适应人眼视觉系统而呈现非线性,是光- 光的系统转换特性( OOTF) 或系统伽马。系统伽马用来补偿人眼在不同观看环境的心理视觉效果,适合的系统伽马值能更好地完成景物真实再现( rendering intent) 。电影业选择系统伽马值为1. 6 ~1. 8,适合黑暗环境下观看,电视在室内较暗环境观看,系统伽马值为1. 2,计算机从业者偏爱系统伽马值为1,因为它适合在室内较亮环境下观看图像。
BBC对系统伽马值进行了主观测试,测试的室内照度10 lx,一台参考显示器显示亮度为600 cd/m2的参考图像,另一台测试显示器显示9 个不同伽马值( 1. 0~2. 4) 的测试图像,测试图像亮度从68 cd /m2到5 200 cd / m2变化,参试者从中选出与参考图像匹配最好的测试图像。测试结果中得出优选的系统伽马值如图8 所示,并得到如下经验公式[8]
图8 表明,HDR系统伽马值随显示器峰值亮度而改变,例如室内常用环境亮度10 lx下,相当于背景亮度10 cd /m2,亮度为1 000 cd/m2显示器系统伽马值优选为1. 4,而数千坎德拉每平方米亮度的显示器,则系统伽马值宜取1. 5。为此,BBC的研究报告建议,厂商根据显示器亮度不同而采用不同的系统伽马值,可获得最佳观看效果。
4. 2 杜比Vision
杜比实验室提出一种用于显示器的电信号到屏幕光输出的非线性变换,即电- 光转换特性EOTF,也称感知量化( Perceptual Quantizer,PQ) ,其商业名称为杜比Vision。杜比PQ根据Barten对比度敏感特性,构造显示端非线性变换EOTF,使量化误差形成小于Barten对比度阈值的PQ曲线。
Barten模型给出对比度敏感函数CSF公式,表示在给定观测条件下,CSF对不同空间频率的图像分辨能力,CSF是可察觉亮度差与亮度的比值[6]
对不同类型的图像,人眼视觉敏感度不同,以不同空间频率的图像( 图像呈现不同距离的光栅) 作为敏感度的测试。图9 中画出不同亮度下的敏感度CSF曲线,找到每个亮度下CSF最大值,也就是指该亮度下人眼对此光栅图像最为敏感,所谓的图像勾边效应,而此时的亮度差作为人眼可察觉的最小亮度差阈值。将这些亮度差阈值连成随亮度变化的一条曲线,即得到Barten最小可觉差( Just Noticeable Difference,JND) 曲线,如图10 表示[7]。
图10 中虚线表示的折线段为Schreiber可觉差阈值曲线,在1 ~ 10 000 cd/m2亮度范围,呈对数关系,而在0. 01 ~ 1 cd/m2范围为1 /2 幂指数关系。另一条虚线表示的弯曲线段即从Barten模型公式中得出的可觉差阈值曲线,该曲线下方即为不同亮度下不可察觉的亮度差值,也就是量化阶梯的取值范围。沿着这条阈值曲线构造的变换特性,便可用最少的量化比特获得最佳量化效果。
杜比实验室按照Barten阈值曲线做出3 条12 bit量化曲线,分别是0. 46JND,100 cd /m2; 0. 68JND,1 000 cd / m2; 0. 9JND,10 000 cd/m2。分别对应不同的量化误差和最大亮度。误差最小的是0. 46JND,位于最下方。
以0. 9JND,10 000 cd /m2曲线为基础,得到杜比PQ。杜比PQ用了不同的函数规律来逼近Barten阈值曲线,低亮度区为平方根关系( 斜率- 1 /2) ,高亮度区是斜率接近0 的对数关系,低亮度和高亮度之间的中间区域,则为变化的斜率,中间区斜率平均值表现为BT. 1886 的变换斜率。杜比PQ提出的EOTF由下式表示[7]
其中:Y是屏幕亮度;V是视频信号值,0≤V≤1;L0=10 000;m=78.843 8;n=0.159 3;c1=0.835 9;c2=18.851 6;c3=18.687 5。
根据杜比PQ曲线,屏幕亮度为
反过来得到视频信号
经过导数运算,写成对比度敏感形式
式中: ΔV是数字量化的最小单位,12 bit时,ΔV =1 /4 060。
按照式( 10) ,画出12 bit,10 000 cd/m2时的PQ曲线见图11,可见杜比PQ构造的EOTF亮度范围从0. 001 cd / m2到10 000 cd/m2,动态范围107,整条曲线在不同亮度区量化阈值均小于Barten阈值。同样是12bit量化的BT. 1886 EOTF,最高亮度1 000 cd / m2,在小于2 cd / m2的低亮度区,量化阈值高于Barten阈值,表明杜比PQ比BT. 1886 量化效率更高。
杜比PQ是显示端的非线性变换特性EOTF,与摄像端不发生关系,只考虑了信号量化和人眼亮度分辨率的关系,认为若视频信号从摄像机获取,则摄像机端信号与景物亮度呈线性关系。换句话说,若摄像端存在类似BT. 709 给出非线性变换,则需要去除这种非线性,才能正确显示所摄取的景物亮度。因此,杜比PQ是作为表现视频信号特征的视频监视器角色出现,而非指定从景物到显示屏整个系统的变换关系。
4. 3 BBC建议的HDR光电变换特性
BBC的HDR建议考虑电视信号的产生到显示整条信号链,提出OETF和EOTF。从信号产生端看,在图像的较亮部分符合韦伯定律,即感知亮度差和亮度的比值近似恒定。这意味着对数规律的OETF在给定的量化深度下将提供最大动态范围。例如现今专有的摄像机OETFs,如S-LOG,Panalog和Log C等已获得广泛使用。但对数变换在低亮度区域分辨率很差,会出现可察觉的量化误差。低亮度区人眼视觉感知阈值符合De Vries-Rose规律,很凑巧的是,传统的指数型OETF特性与De Vries-Rose规律匹配很好。这种传统的伽玛曲线当初就是为低亮度表现的CRT所设计。因此,理想的OETF应在低亮区符合指数规律,在高亮区符合对数规律。
BBC提出混合型OETF如下式表示[8]
式中: E是代表景物线性亮度的摄像机各彩色通道( R,G,B) 信号值。E'是非线性变换信号,归一化范围0~1。r = 0. 5 是白电平参考值。
固定常数a = 0. 178 832 77,b = 0. 284 668 92,c =0. 559 910 73。对应这组常数,相对亮度为12 时,信号值E' = 1。
图12 表示按照log-Gamma规律的组合型OETF变换,其中虚线为BT. 709 的伽马预校正,实线为适合HDR的OETF,相对亮度从1 扩大到12,避免了高亮度区的信号饱和。这种log-Gamma规律的组合为提高量化效率埋下伏笔。
BBC建议的显示器非线性变换EOTF如下[8]
式中: Yd为像素表示的屏幕亮度; Ys是景物亮度; α =LP- LB,表示屏幕亮度最大值; β = LB; γ 为系统级光电转换特性。LP是峰值白(对应Ys=1),LB是黑亮度(Ys=0)。
EOTF实际计算过程见图12。EOTF把线性景物亮度Ys映射到屏幕亮度Yd。与常规动态范围SDR不同,EOTF将变换施加到景物亮度Ys,而不是加到每个颜色通道,来防止颜色变换的不一致。
Ys可通过预校正信号E'来获得
E是线性景物亮度的每个彩色分量RGB分量表示,可得到
显示亮度Yd确定之后,显示器每个像素的显示值Rd,Gd和Bd由下式决定
计算量化误差曲线,取 α = 2 000,β = 0. 01,γ =1. 5。按10 bit量化有 ΔE' = 1 /1 020,得到BBC EOTF量化误差曲线如图13 所示,图中3 种EOTF均为10 bit量化,杜比PQ是最接近Schreiber阈值的EOTF,支持亮度到10 000 cd /m2。BBC和1886 传统Gamma支持2 000 cd / m2亮度,但1886 在中低亮度区已经超过Schreiber阈值,量化误差为可察觉。BBC EOTF结合了Gamma和对数转换特性,量化误差正好在阈值之内,表现出较好的量化效率。需要指出的是,按照本文的推导计算曲线,与BBC研究报告给出的曲线略有差别,尚未找到原因。BBC研究报告误差曲线如图14 所示。
BBC HDR转换特性首先从摄像端入手进行非线性预校正,低亮度区采用BT. 709Gamma特性,在高亮度区采用对数特性,这样充分发挥摄像机已具备的高亮度景物摄取能力,同时将人眼视觉亮度差阈值与量化级相适配。其次,对于显示端,按照观看环境亮度和显示器峰值亮度参数选择系统级Gamma值,从整个亮度观看全过程适应人眼视觉特性。BBC HDR方案与现有的电视伽玛特性标准在低亮度区域有一定兼容性,转换特性产生的量化误差对大多数自然景物图像而言不易察觉,转换特性没有杜比PQ那么复杂,因此,日本已将其作为扩展图像动态范围电视( EIDRTV) 系统的ARIB国家标准。
5 结束语
本文以杜比感知量化和BBC摄像端和显示端分开考虑的转换特性入手,介绍HDR电视系统光电转换特性原理和设计实现。这两种HDR方案均基于人眼视觉系统的感知特性,以最少的量化比特实现高动态范围显示要求。杜比方案基于显示器屏幕亮度,以人眼视觉感知阈值来确定电- 光转换特性,使量化误差正好小于视觉阈值,形成精确复杂的高亮度转换特性。BBC方案在摄像端采用扩大景物亮度范围非线性预校正,在显示端以适合观看环境的系统级伽玛数设计电- 光转换特性,同样以较少的量化比特实现高动态范围显示。HDR电视系统将传统基于CRT特性,亮度范围在100 cd/m2以内的常规显示扩展到2 000 ~10 000 cd / m2高亮度,适应新型显示器的发展现状,为用户提供更加绚丽多彩的真实世界再现。
参考文献
[1]DENTON E J,PIRENNE M H.The absolute sensitivity and functional stability of the human eye[J].The journal of physiollogy,1954,123(3):417-442.
[2]NARISADA K,SCHREUDER D.Light pollution handbook[M].[S.l.]:Springer Science&Business Media,2004.
[3]BORER T.Non-linear opto-electrical transfer functions for high dynamic range television[EB/OL].[2015-11-01].http://downloads.bbc.co.uk/rd/pubs/whp/whp-pdffiles/WHP283.pdf.
[4]STEVENS S S.On the psychophysical law[J].Psychological review,1957,64(3):153-181.
[5]DAVSON H.Physiology of the eye[M].5th ed.London:Macmillan Academic and Professional Ltd.,1990.
[6]BARTEN P G J.Formula for the contrast sensitivity of the human eye[C]//Proc.SPIE-IS&T.San Jose,CA:[s.n.],2004,5294:231-238.DOI:10.1117/12.537476.
[7]SCOTT M.Perceptual signal coding for more efficient usage of bit codes[J].Motion imaging journal,2013,122(4):52-59.DOI:10.5594/j18290.
黄土的非线性强度特性 篇4
1 广义非线性强度理论
广义强度理论认为, 材料的破坏受八面体上的应力控制, 即其上的静水压力和剪应力的函数达到某一值时, 材料开始破坏。其数学描述为:
每一项代表含义参考相关文献[1]。
2 黄土非线性强度特性
黄土由于其较强的的结构性, 具有不同于一般黏土的强度特性, 黄土强度研究一直以来备受关注。邢义川等通过直接改变π平面上形状函数讨论了黄土的三维强度特性。而广义强度理论则利用4个相互独立的材料参数σ0、Mf、n、α来描述各种材料在复杂应力状态下的强度规律[1]。以下将分别从π平面和子午面两个方面来讨论黄土的非线性强度特征。
2.1 π平面
广义强度理论认为π平面上的破坏函数为介于SMP准则和Mises准则之间的光滑曲线。骆亚生等做了非饱和黄土的不排气不排水真三轴实验。土取自陕西杨凌渭河二级阶地, 比重为2.71, 干密度为1.26g/cm3, 含水量为22.6%, 试样为88.9×88.9×35.56mm的长方体, 围压σ3=150kPa, 试验采用应变式加载, 分别做了b=0、0.2、0.4、0.6、0.8、1.0时的剪切实验。分析试验结果, 取参考应力pr=100kPa, 确定其强度参数分别为:σ0=0kPa, Mf=1.57, n=0.81, α=0.27。π平面上广义强度理论预测结果和试验结果比较如图1所示, 几个点分别是不同b值试验时的破坏点, 可见广义强度理论可以较好地描述黄土π平面上的强度特性。
2.2 压缩子午面
广义强度理论在三轴压缩子午面上的破坏曲线为幂函数形式, 参数σ0、Mf、n可由不同围压下常规三轴实验确定。
笔者做了不同围压下原状和重塑黄土的三轴压缩CD实验。试样取自西安南郊, 比重为2.71, 天然干密度为1.41g/cm3, 天然含水量为17.88%。根据试验结果整理的广义强度理论强度参数分别为:原状黄土参考应力pr=100kPa, σ0=0kPa, Mf=1.49, n=0.61;重塑黄土参数为pr=100kPa, σ0=0kPa, Mf=1.14, n=0.87。原状黄土和重塑黄土强度预测结果和试验结果对比分别如图2, 图3所示。图中虚线为在主应力空间按围压30kPa确定的直线强度包线, 与实际强度规律差别较大, 而利用广义强度理论可以合理地描述黄土在三轴压缩子午面上的破坏规律。
李雯霞等做了兰州原状和重塑黄土的三轴压缩CD实验, 试样尺寸为Φ101mm×20mm。取参考应力pr=100kPa, 确定原状黄土强度参数为:σ0=0kPa, Mf=2.36, n=0.87;重塑黄土强度参数为σ0=0kPa, Mf=208, n=0.96。
比较上述原状和重塑黄土的强度参数, 可发现:
(1) 同一性状黄土, 取相同参考应力, 重塑土的强度参数Mf比原状的小, 而n则比原状的大。由于原状土具有强结构性以及先期固结压力的影响, 围压较小时的破坏应力比重塑土的大, 重塑土Mf自然就小, 还比较显著。而静水压力变化对重塑黄土强度的影响显然比原状土要强一些, n值自然就大一些。
(2) 在子午面上, 广义强度理论可以合理地描述具有强结构性的黄土的强度特征, 不用再单独考虑黄土的结构性。
3 结语
黄土由于具有较强的结构性, 其强度特性比一般黏土有较大差异。而黄土的工程应用又比较广泛, 对黄土强度的研究就比较重要。本文通过黄土的真三轴和普通三轴试验分别验证了在π平面和压缩子午面上用广义强度理论可以比较好的模拟黄土的强度特性。而且几个参数通过普通三轴压缩和拉伸实验就可以求出, 应用起来也比较方便。
参考文献
[1]姚仰平, 路德春, 周安楠等.广义非线性强度理论及其变换应力空间[J].中国科学 (E辑) , 2004, 34 (11) :1283-1299.
[2]邢义川, 刘祖典, 郑颖人.黄土的破坏条件[J].水利学报, 1992年第1期.
非线性负荷电气特性分析与研究 篇5
随着工业技术的快速发展,电力系统负荷结构发生了较大变化,例如电气化机车负荷[1,2]、冶炼负荷和电力电子能源转换负荷等一大批非线性负荷接入电网[3]。与此同时,目前传统农网负荷结构也发生了较大变化,例如各类节能型家用电器接入农村供电网,使得本已脆弱的公共连接点电磁环境更加复杂,谐波、间谐波、闪变、不平衡度、电压暂降、电压暂升和电压短时中断等低频传导干扰更加丰富,这些干扰在电网中传输,不仅增加系统网损,严重影响电气设备安全运行[4],还对以计算机等信息工业设备控制的工业负荷、家用电器等的安全运行产生较大威胁。
在负荷电气特性发生变化的同时,发电领域也在进行着一场深刻的革命。随着大规模太阳能风力发电迅速发展,使得传统的“理想电源”一跃成为非线性“污染源”。不仅如此,在配电网领域,分布式太阳能、风力发电也逐步接入电网[5],使得原来的“完全受电型配电网”变为所谓的“有源配电网”,也像其他非线性负荷一样,产生低频传导干扰,例如谐波群、间谐波群等高频分量。
关于非线性负荷产生的低频传导干扰引起的电力事故国内外均有报道[6],如图1所示为我国某城际高铁运行后出现的高次间谐波谐振现象[7],可见其问题的严重性。不仅如此,作为典型的不可忽视的低频传导干扰源,非线性负荷造成的计量损失也已广受关注[7];当然,电力市场环境下非线性负荷造成的电能质量污染也是目前普遍关注的问题之一[8]。
综上所述,非线性干扰负荷产生的低频传导干扰不仅是一个技术问题,更重要的也是一个经济问题,应该引起电力系统、电力用户、政府相关职能部门的共同关注。在此背景下,面向系统中存在的大量非线性负荷,有必要开展非线性负荷电气特征方面较深入的研究,面向需求侧分析其产生的低频传导干扰基本特征,把握需求侧敏感负荷对电能质量的苛刻要求,向电力供用环节提供电能质量技术支持。同时,需进一步加强对用户非线性负荷污染源的技术监督管理,提升电能质量监管水平。
2 非线性负荷及其电气特性
2.1 非线性负荷
正常情况下,对于一个线性负荷Z∠φ(Z=常数,Φ=常数),若施加供电电压为纯正弦量,例如ut=A×sinωt,则it=(A/Z)sin (ωt-Φ),其中电流幅值A/Z为常量,相位差φ恒定。因此,ut、it具有相同的波形形状,仅幅值、相位上存在差异。此时,电流波形为完全的正弦波,其从电网吸收的功率也恒定,不存在冲击现象。
若1个纯正弦电压供电给非线性负荷Z(t)∠φ(t),即负荷等值阻抗大小、角度都随时间在变化,这样,i1=(A/Z(t)sin(ω-Φ)(t)=g(t)sin(ωt-φ(t)),可见其负荷电流瞬时值已不再与所施加的正弦波电压瞬时值成比例,其电流波形与供电电压波形存在较大差异,亦即电流的波形发生了畸变,如图2所示。根据傅里叶变换理论,在近似认为其具有周期性(1小段时间内)特点的情况下(当然也满足狄里赫利条件),其电流波形便分解为基波与一系列谐波的组合,如图3所示。
2.2 现有非线性负荷电气特性分析方法回顾
总体而言,非线性负荷大致可分为3类:1)电力电子装置的应用所致;2)负荷用电的冲击性所致,例如交流电弧炉、轧机等;3)为综合性非线性负荷,即由前2类负荷混合构成。
针对电力电子非线性负荷,由于其运行控制的原理清晰,因此,其电气特性模型容易建立。一般来说,可考虑的电气模型包括:频域模型、时域模型、时频域混合模型。最简单的电流源注入模型[9]根据负荷用电特点或经验估算、现场监测手段,采用固定频谱的谐波电流源注入模式。该方法的优点在于简单、明了,但是无法准确模拟换流器与系统的相互作用、无法考虑非特征谐波、三相的不平衡问题。文献[10,11]也介绍了基于时域或频谱的诺顿等效电路模型、谐波耦合矩阵模型等。目前,EMTP、ATP、E MTDC等应用程序多采用开关函数表示的时域模型,依据变流器的运行特点,采用开关函数模拟变流器运行,从而模拟系统稳态运行的谐波源特征。当然,对于电力电子换流器,基于换流器运行特征,结合网络谐波模型的时域、频域模型是比较精确的方法。该模型中,1)考虑换流器连接系参数及换流器运行实际情况,换流器用一系列微分方程表示,从而得到时域的电流实际波形;2)采用FFT方法得到其频域内频谱特征;3)将获得的谐波电流注入到所连接的电网,计算该谐波电流下的节点的谐波电压,该谐波电压又用来修正由微分方程决定的电流波形,如此迭代,直到收敛为止。
在众多非线性负载中,交流电弧炉属于最复杂、变化随机性最强的一种污染源,它产生连续频谱的谐波,谐波大小与电弧炉的吨位、冶炼的时段(溶化期、精练期)、电弧炉的控制系统、炉体本身的制造水平以及炉料的随即倒塌等诸多因素有关。因此,建立较为精确的交流电弧炉电气特性模型是比较困难的,目前还没有一种较为理想的电弧炉数学模型,一般只能依靠实际连续测量的方式获取其频谱分布规律。目前,广泛应用的交流电弧炉的时域模型一般从电弧的物理特性出发,考察电弧电流电压的伏安特性。实际测试的某一电弧炉的V-I曲线如图4所示。由图4可知,电弧电压电流特性类似实际的磁化曲线,表现出“剩磁”现象。一般工程分析中,可用图5的线性化方法简化图4的实际V-I曲线[12],在电弧起始时电压迅速上升到Vig,即电弧的起弧电压;然后下降到Vex,即灭弧电压;在半周结束时电压又上升,然后很快下降到0。
当然,电力系统公共连接点负荷多表现为综合非线性负荷特征,即它不是由单一特征的非线性负荷构成的,可能包括各类电力电子及各类冲击性非线性负荷,在这种情况下,想要建立较为精确的分析综合非线性负荷的电气特性模型是比较困难的,一般只有采用实测的方法。
3 基于V-I特性曲线的综合非线性负荷电气特性
综合性非线性负荷(包括交流电弧炉)是很难建模的。特别是电力系统PCC点的综合谐波源特征,由于不知道其到底由哪些类型的谐波源负荷共同作用,也不知道各自谐波水平的大小及其变化。因此,理论上建立综合谐波源模型几乎是不可能的,需要考虑其他实用性的建模思路。
3.1 非线性负荷伏安特性
图6为非线性负荷的伏安特性,图7为其对应的瞬时值关系。
由图6、图7可见,由于其非线性伏安特性,使得即使纯正弦电压供电,其负荷电流的形状已经与正弦波差异较大,电流波形发生了畸变,谐波就此产生。因此,正是非线性负荷的伏安特性决定了电流的谐波效应。
3.2 基于V-I特性曲线的建模思路
由3.1节分析可知,非线性负荷的伏安特性代表了非线性负荷的典型电气特征,知道了其伏安特性,也就能够依据该电气特性进行谐波建模。因此,可以考虑:1)针对非线性负荷(综合负荷),实测其瞬时电压、电流波形,依据欧姆定理,得到其伏安特性(可考虑多次测量求平均的办法);2)通过基波潮流计算,得到负荷供电点的供电电压,此时也可考虑将背景谐波电压叠加进去;3)根据已知的伏安特性及供电电压,采样得到负荷电流波形;最后,对该电流采样值进行FFT,得到谐波电流的各次分量比例。
3.3 基于V-I特性曲线的非线性负荷电气特性分析实现方法
设供电电压:u(t)=sin(ωt),ω=2πf,f=50 Hz;负荷电流:i(t)=0.8sin(ωt+π/2)+0.1sin(2ωt)+0.3sin(5ωt+π/2)+0.2sin(7ωt+3π/2)。图8为电压电流实时采样波形,图9为对应该电压电流波形的V-I特性曲线。
得到图9 V-I特性曲线后,将正弦波电压施加于该曲线所代表的非线性负荷,得到对应的电流波形及其FFT分析结果如图10、图1 1和表1所示。对比图11与表1可知,其结果非常吻合。
同样,该方法对于供电电压含有谐波的情况也完全适用。设供电电压u(t)=sin(wt)+0.03sin(3ωt+pi/6)+0.02×sin(5ωt),w=2πf,f=50 Hz;负荷电流:i(t)=0.8sin (ωt+π/2)+0.1sin (2ωt)+0.3sin (5ωt+π/2)+0.2sin(7ωt+3π/2),其对应的分析结果如图12、图13所示。
4 结语
本文分析了非线性负荷及其通用的电气特性分析方法。针对PCC点综合性非线性负荷难以建模的现状,提出了基于V-I特性曲线的综合非线性负荷建模方法。仿真结果表明了该方法的正确性。
参考文献
[1]景德炎.电气化铁路负荷特性分析及供电方案相关问题的建议:第四届电能质量(国际)研讨会论文集[C].北京:中国电力出版社,2008.
[2]肖红霞,范瑞祥,彭汐单.浙赣电铁电能质量监测数据分析及其典型治理方案研究[J].高压电器2010,46(4):43-46.
[3]范建磊,刘君,张峰,等.微电网电能质量监测系统研究及设计[J].陕西电力,2013,41(9):16-19.
[4]付伟,韩翔宇.并联电容器装置在谐波环境中的应用[J].电力电容器与无功补偿,2012,33(6):17-21.
[5]韩民晓.分布式电源并网相关规范制定探讨:第四届电能质量(国际)研讨会论文集[C].北京:中国电力出版社,2008.
[6]薛军,汪鸿,华峰,等.非线性负荷及其对电力系统的影响[J].高压电器,2001,37(6):21-23.
[7]刘军成.电能质量分析方法[M].北京:中国电力出版社,2011.
[8]焦莉,刘军成.电力市场与电能质量监测评估策略[J].陕西电力,2004,32(1):4-6.
[9]HATZIADONIUU C J.Time Domain Methods for the Calculation of Harmonic Propagation and Distortion[J].Information Technology&Libraries,1998,17(2):82-82.
[10]XU W.DRAKOS J E.MANSOUR Y,et al.A Three-Phase Converter Model for Harmonic Analysis of HVDC Systems[J].IEEE Transactions on Power Delivery,1994,9(3):1724-1731.
[11]XU W,MARTI J R.DOMMEL H W.A Multiphase Harmonic Load Flow Solution Technique[J].IEEE Power Engineering Review,2011,11(2):174-182.
非线性动态特性 篇6
关键词：有机材料,分子链长,取代基,共轭骨架
自20世纪80年代以来,非线性光学材料的研究日益活跃,其早期研究主要集中于无机材料。近年来人们对有机材料进行了广泛的研究,发现它们相对无机材料而言具有更大的非线性极化率(超极化率、非线性光学系数),使有机材料成为更有发展潜力的非线性光学材料。该学科领域旨在开发非线性极化率大、响应速度快且具备足够可塑性的材料和器件[1]。
有机材料的非线性光学响应来源于它的分子在光场作用下的极化,而这种极化作用是通过非定域的π电子产生的。由于π电子在分子内部易于移动、不易受晶格振动的影响,因而有机材料不仅非线性光学效应比无机材料大,而且响应速度也快得多。
另外,有机及聚合物材料的光学非线性源于材料的电子特性。有机晶体和聚合物是分子单元通过范德瓦尔斯分子力键合组成。分子内共价键链的相互作用比分子间范德瓦尔斯力的相互作用强很多,因此每个分子的电子结构与其它分子只存在极弱的耦合作用。每个分子基本上可看作一个独立的非线性极化源,近邻分子的耦合主要通过局域场作用来实现,所以也把有机及聚合物材料称作分子材料。分子材料的这一性质使它们的宏观光学非线性与组成它们的单个分子的微观非线性之间可以建立一个确定的等价关系。因此,与无机材料相比,有机非线性材料最突出特点是能在分子水平上进行结构设计,以期取得最佳的光学非线性响应和其他特定的光电性质[2]。
1 有机分子二阶非线性极化率的确定方法
确定有机分子二阶非线性极化率的方法很多,有理论计算方法如从头计算和半经验方法、密度泛函等,实验测量方法如超瑞利散射技术、溶致变色法、电场诱导二次谐波(EFISHG)、全光极化。
1.1 从头计算和半经验方法
有机分子一阶超极化率的定量计算需要借助于量子化学的方法。首先要确定分子的哈密顿量基函数进行分子构型优化和分子轨道计算,并且给出具体的计算方法。而哈密顿量的确定,对于量子化学体系是重要的起点。哈密顿量可采用2种类型,即从头计算法和半经验方法。前者的任意性小,可调参数也少,而后者的计算要少得多,且易于从化学的角度给予解释。确定哈密顿量和基函数后,还要确定几何构型。几何构型会对计算结果产生很大的影响。确定分子构型主要有3种方法:完全采用实验数据;采用计算优化的分子构型;采用分子结构片段的实验值搭建的理想构型。对于小尺度的分子,只要条件许可尽量采用实验数据,而对于比较复杂的分子则混合使用后2种方法。如果分子构型需要额外优化,则非线性极化率的精度很大程度上取决于能量优化的精度。从头算通常在6～31G基函数上优化分子构型,而半经验则主要使用AM1、PM3等哈密顿算符优化分子几何构型[2]。
哈密顿量和基函数确定后即有2种基本的方法来计算β,一种是非耦合法,即计算时应用基本的时间依赖的微扰理论,其中最常用的方法为全态加和(SOS)。在计算分子非线性响应时,这种方法还是较为精确的。全态加和法也可结合半经验模型来计算分子的非线性响应性质,常用的方法有INDO-SOS[3]、ZNDO-SOS[4]等。从头计算也可结合SOS进行计算,但是由于SOS计算存在计算精确度的局限性,很少有人使用这种算法。另一种是耦合法,把对光场的处理包含在哈密顿量之中,一般又称为FF法或CPHF法。在从头计算模型哈密顿算符的基础上用CPHF[5]法或FF[6]法是目前计算分子二阶非线性响应系数β的较为精确的方法,HONDO软件使用的是CPHF法,GUSSIAN使用的则是FF法。另外CPHF、FF法也可应用于半经验模型中,如FF-AM1[7]、FF-PM3[8]等。
1.2 密度泛函和含时密度泛函
密度泛函理论使得复杂的波函数及其对应的薛定谔方程转化为简单的电子密度函数及其对应的体系。
现代密度泛函理论(DFT)是在Thomas-Fermi-Dirac模型以及Slater在量子化学方面的工作和Hohenberg-Kohn理论的基础上形成的。
分子总能量泛函拆分为E=Eγ+ET+EJ+EXC,其中ET是动能项, Eγ为势能项,EJ为电子排斥项,EXC为交换相关项。一般将EXC分成交换和相关项:undefined。交换和相关函数有3种:局域(Local)、梯度(Gra-dient)、杂化(Hybrid)。Local函数如SlaterXα函数;Gradient交换函数如Becke88函数。Local相关函数如Vosko-Wilk-Nusair(VWN)函数;Gradient相关函数如Perdew86和PW91及LYP函数等。杂化交换和相关函数指的是定义交换函数HF、局域和梯度相关函数交换函数的相关组合,再配以一个局域或梯度相关的相关函数,如B3LYP和B3PW91。含时密度泛函是通过在含时Kohn-Sham方程中引入微扰部分以求解体系的各种线性和非线性性质。
在密度泛函和含时泛函理论的基础上对分子构型如6-31G[9],然后根据不同的条件采用耦合或非耦合计算方法对材料的一阶超极化率β进行计算,如HF-FF[10]、HF-CPHF[11]。
在量子化学理论中,另一种比较重要的方法就是分子轨道图像,即由许多原子或基团构成的一个分子可以用由原子轨道等组成的分子轨道来描述,而轨道之间的跃迁通常用构形相互作用的混合函数CCI来描述。
1.3 超瑞利散射技术
超瑞利散射是一种测量溶液或气体中分子的二阶非线性极化率的有效工具,是均匀介质在强激光的照射下而产生的二阶非线性散射,是一种非相干的弹性非线性散射过程,散射光的频率恰好是入射光频率的2倍。它的发生机理为:强激光的照射引起中心不对称分子的电荷分布、极化态以及分子取向的改变,从而诱导出偶极子作为二次波源,同时由于分子的浓度涨落及热涨落,改变了分子局部环境的对称性,破坏了谐波的相干性,最终形成非相干的二次散射。如果介质是各向同性的并且介质中的分子是绝对的随机和均匀分布,那么因为分子环境局部的宏观对称性,将不会出现二次谐波。通过检测以入射光为基频的二次非线性散射光信号强度可以计算出分子在溶液中的二阶非线性极化率[12]。
1.4 电场诱导二次谐波法
分子在液态或溶液状态时杂乱无章地随机排列,即使分子本身具有非中心对称的结构,其偶次极化效应相互抵消,系统的平均值仍然为零。如果在体系中加一个高压静电场,由于分子的固有偶极矩使其在外加电场的作用下定向排列,从而产生可供测量的宏观倍频效应,根据倍频信号计算出单个分子的二阶非线性极化率。电场诱导二次谐波法(EFISH)是测量分子二阶非线性极化率的最为准确和有效的方法。根据倍频信号计算出分子的二阶非线性极化率[13]。
1.5 全光极化法
Fabrice Charra等[16]用六波混频实验装置证实了在染料溶液中光致瞬态非中心对称的可能性。之后不久,他们用同样的方法在偶氮掺杂的聚合物薄膜中实现了有机分子的光致有极排列,即全光极化。进一步的分析表明,全光极化的物理过程可概括为偶氮分子的取向烧孔和异构取向。具体地说,在频率为ω的基频光和倍频光的同时作用下,偶氮分子通过单光子和双光子的相干吸收形成分子的有极激发(取向烧孔),这个过程伴随着偶氮分子的trans-cis-trans异构循环形成了分子的有极取向,最后介质的中心对称被打破,并由此产生了一个非零的二阶极化率。
2 分子结构对其二阶非线性极化率的影响
2.1 分子结构
实验和理论研究都表明,有机非线性光学材料通常由共轭分子组成,有2种取代基,一种是电子给体(D),一种是电子受体(A),对于二阶非线性光学材料来说,分子的π电子体系是聚合链的两端分别接上施主和受主取代基形成的电荷转移体[2]。
凡是能通过强的共轭极化作用而发生电荷转移的有机分子,具有较大的β值。对于经典的双能级模型,一阶的分子超极化率β值由2部分组成:β=βadd +βCT。βadd为取代基效应的加合,涉及到取代基引起的电荷不对称分布;βCT为分子内电荷转移的贡献(即电荷转移项),两者相对的贡献取决于取代基的特征。在许多有机分子中,βCT的贡献是主要的,电荷转移效率越大,β值就越大。非线性光学材料是激光技术的重要物质基础,是高技术领域的一个组成部分。
2.2 共轭分子链长对二阶非线性极化率的影响
有机共轭分子的链长与二阶极化率有密切的关系。大量研究表明,共轭长度的增加,共轭体系的扩展,有利于电子在更大范围内发生转移,偶极矩变化更大,对增大非线性极化率有利[17]。
Raque等[18]通过二次谐波产生的方法对不同长度的共轭链分子进行研究,发现随着链长的增加,其非线性也增强。随着共轭长度的增加,π-π*跃迁能降低,电荷在分子内的离域程度增大,所以β值增大。具有螺旋共轭结构的有机分子也可以产生非线性光学效应[19],这类分子一般存在2个互相垂直的分子片段,由螺原子连接,只要满足一定的对称性,这两部分π轨道之间可以发生正重叠,从而产生螺旋共轭效应。螺旋共轭效应是在2个近似垂直的平面间发生的共轭作用,必然会使这类分子产生有别于平面共轭分子的独特性质。
J. K. Feng等[20,21]用AM1和INDO/CI的方法计算了螺旋共轭化合物,从理论上认为以螺旋共轭的方式增加“共轭链”长度,非线性光学系数可望有较大的增加,并以此为参考研究了另外2种不同共轭骨架的非线性值,可以看出共轭骨架的类型以及共轭骨架的链长对其二阶非线性都有极大的影响。
Mar等[22]研究了一种新型的共轭给体受体发色团,以TTF作为主体的衍生物,采用二次谐波产生的方法对其非线性进行了研究,其分子结构式如图1所示,发现n=2的衍生物的μβ=1350×10-48,而n=1的衍生物μβ=700×10-48。
2.3 取代基对二阶非线性极化率的影响
取代基的给电子或受电子能力对分子的一阶超极化率β值有很大的影响(β值由该分子组成的聚合物的宏观二阶非线性极化率χ2决定)。如果取代基有高的已占有π轨道(HOMO),它就与共轭分子共享某些电子电荷而属于电子给体;反之,如果取代基有低空π轨道(LUMO),它就可以从共轭分子吸引电子,属于电子受体。对于具有电子给体-受体共轭结构的分子,给体的给电子能力和受体的吸电子能力越强,越有利于体系形成电荷转移的共振态,扩大π电子的流动范围,使分子在外场中更易发生分子内电荷转移而有利于增强分子的微观倍频效应[2]。
Bryan K等[23]研究了三芳基氨基酸发色团材料,发现这些发色团能很好地溶于一般的有机溶剂,并且在358℃的高温条件下能保持较好的稳定性,并通过超瑞利散射测得在1064nm处不同材料的β值,最大值为20000×10-30,最小值为1000×10-30。Bong Rae等[24]合成了含不同受体的2-双(对二乙氨基苯基乙烯基)呋喃衍生物,用超瑞利散射在1560nm处对其一阶超极化率进行测量,得出不同材料的β值增加是由于受体吸电子能力增强。Aleksandra等[25]也通过全光极化研究了芴的衍生物,发现取代基不同,其对应的吸收谱大不相同,二阶非线性极化率也有很大差别。
2.4 共轭骨架对二阶非线性极化率的影响
长期以来[26],有机二阶非线性光学生色团的分子设计主要是以电荷转移理论和双能级模型为基础,研究集中于具有D-π-A型结构的有机化合物。分子内取代基之间的电荷转移量和电荷转移效率几率是决定生色团非线性光学性质的最基本因素,不同的共轭桥如芳基烯类、芳基炔类、芳香偶氮类、芳基Schiff碱类、芳基烯酮类等化合物具有不同的离域效率,这几类化合物的共同特点是具有给体-受体型共轭结构,由不饱和键C=C、N=N、C=N、C=O与芳环共轭构建成发生分子内电荷转移的有效电子通道。
钱鹰等[13,26]设计并合成了6种具有D-π-A和D-π-A-π-D型共轭结构的双羟乙胺基给体-硝基受体型偶氮化合物,用溶致变色法测算了分子的二阶非线性极化率,结果表明具有D-π-A-π-D二维共轭结构的化合物,包含2条从给体到受体的共轭链,二阶非线性极化率较高,透明性好,光损耗也最小。他们还研究了二茂铁的二阶非线性,发现在二茂铁类金属有机化合物中由于金属中心与π共轭体系不在同一平面上,降低了二茂铁基的给电子能力,若能使金属中心与体系共面,增强金属原子与有机骨架的相互作用,将使分子二阶非线性极化率大为增加。
另外对于顺、反式异构体来说,顺式结构由于基团的位阻效应,削弱了体系的共平面程度,不能有效实现分子内部的电荷转移,因而顺式结构的β值比反式结构的β值要小。
大量的实验数据表明[27],提高给体、受体的强度和延长共轭桥长度可以增大其β值,但常常伴随着最大吸收波长(λmax)红移,从而导致透明范围变窄。因此,不少的研究者通过采用特殊的具有不同共轭程度的共轭桥来协调β和λ的矛盾。
Elke等[28]研究了不同取代基以及不同共轭骨架的偶氮-聚酰亚胺薄膜,发现具有相同取代基不同共轭骨架的薄膜其d33值也不相同,含有C=C骨架的薄膜比含有N=N骨架的薄膜d33值大。
3 应用
二阶非线性光学聚合物材料及波导可在电光调制方面应用[29],与光学信号处理和光计算有关,光调制器件可以被用于光束控制和光记录。光调制的机制是调制输出光束信号的电场或光场相对输入光束传递所引起的相位移,运用这一现象去改变光强、偏振和频率。相位移φ可以用公式φ=2πΔnl/λ=πnundefinedγEl/λ来表示,其中γ是材料的电光系数,E是电场,l为在非线性介质中的传递长度,n0是材料的线性折射率,λ是光的波长。
在二阶效应的情况下,用外加交变电场产生折射率可以有效地控制光,用来作光开关。
绿(G)、蓝(M)[2]激光光源有很广阔的应用前景,如科学研究和光电子工业技术方面。而为数不多的蓝绿波段激光器设备昂贵,蓝绿波段的光倍频器正好弥补了这一空缺。
采用制膜技术将具有高二阶非线性材料直接沉积在普通光纤的纤芯上,可方便地制成有机环形光纤。研究表明有机环形光纤是产生光波非线性互作用的理想结构,可进一步研制非线性光纤元件。另外还可利用二次谐波产生技术研究物质表面及界面特性[30,31]。
4 结语
步进电机速度饱和非线性特性分析 篇7
步进电机以结构紧凑、输出力矩与重量比大、位置速度开环数字元可控等优点而被广泛应用。步进电机转子按步进方式工作,输出角位移与激励旋转磁场角速度一致,可实现转子位置精确控制。但在步进电机启动阶段或正常运行时,由于转子摩擦阻力或所带负载原因,当激励磁场的角速度过快时,步进电机转子可能跟不上,出现速度饱和非线性,发生丢步现象[1]。
步进电机丢步对系统跟踪性能影响非常大,许多文献对各种步进电机控制结构及其算法进行了研究。文献[2]采用死循环位置控制方法提高步进电机跟踪速度以防止丢步。文献[3]采用约束伺服补偿器实现了步进电机参数不完全已知情况下的跟踪性能。文献[4,5]研究了球形步进电机建模及智能控制算法。文献[6]研究了步进电机的频率响应特性,通过调整通电时间的长短实现连续跟踪。对于步进电机速度饱和非线性对输出频率特性的影响,尚没有文献进行详细研究。本文在文献[1]的基础上,利用描述函数法分析步进电机在不同激励频率下的输出频率特性,并用仿真验证了分析的有效性。
1 步进电机的速度饱和非线性描述
步进电机按照励磁方式可以分为反应式、永磁式和混合式。无论那种形式,步进电机都以步进方式工作,即在一个激励电脉冲作用下转子转过一个步矩角。当相邻激励电脉冲的时间间隔小于步进电机与所带负载的过渡过程时间时,步进电机表现为连续工作状态。当步进电机实现连续跟踪控制时,连续的激励电脉冲表现为激励磁场角位移,该角位移由控制器给出。由步进电机失调角特性可知,当满足下式时才能保证转子输出角位移与激励磁场角位移同步,否则将发生丢步现象:
Z|θm-θr|≤π (1)
式中,Z为转子齿数;θm为激励磁场角位移;θr为最大磁导转角。
假设步进电机控制器输入控制信号为
u(t)=Asinω t
式中,A为幅值,V;ω为角频率,rad/s。
经过功率放大后得到步进电机旋转激励磁场的角位移信号
θm(t)=K u(t)
式中,K为功率放大倍数,为便于分析,取K=1。
为防止步进电机发生丢步现象,必须对旋转磁场角位移信号θm(t)的最大值做限定。假设相邻电脉冲的最大时间限值为θv,相邻电脉冲时间间隔为T,则当
当控制信号u(t)=Asin ω t的幅值A增大或者角频率ω增大时,出现λ>1V·s的情况,则θm(t)不能完全跟踪正弦信号u(t),在信号变化速率快的区域,速度将大于θv/T,率先出现失真,θ*m(t)与u*(t)的关系如图2所示。
取θm(t)刚出现失真时刻的角位移为-α,失真结束时刻的角位移为β,那么在区域(-α,β)内即为不能跟踪的失真非线性区域。随着A ω的进一步增大,λ进一步增大,(-α,β)区域进一步扩大。当β>π/2时即λ>1.38V·s时,旋转磁场角位移信号θm(t)最大值开始小于控制输入。
当A ω继续增大,使得α+β=π成立时,则旋转磁场角位移信号θm(t)在整个周期偏离正弦信号,此时θm(t)为一个相位滞后的三角波,θ*m(t)与u*(t)的关系如图3所示。当A ω继续增大,α+β=π仍然成立,但是θm(t)为三角波,斜率绝对值越来越小。
假设刚刚出现三角波时的λ=A ω T/θv为λc,此时三角波的正反直线仍旧与正弦波在交点处相切。根据几何关系可知,三角波在正负两边幅值大小相等,有下面等式成立:
sin β+sin α=πcos α
不难得到
那么当1V·s<λ<λc时,输出在部分区域跟踪失真。当λ>λc时,输出在整个区域完全失真。
根据λ取值不同,得到正弦输入下旋转磁场信号的波形。
当λ≤1V·s时,旋转磁场信号θm(t)=Asinωt。
当1V·s<λ≤1.862V·s时:
其中,
sin β+sin α=cos α(β+α) (3)
当λ>1.862V·s时:
其中,
2 步进电机速度饱和非线性的描述函数分析
描述函数法是用于分析非线性特性的常用方法,其实质是频率线性化方法,通过分析基波分量的幅值特性和相角特性,可以直观地分析其频率特性[7]。
利用描述函数法对步进电机速度饱和非线性特性进行分析,当λ≤1V·s时,输出为Asin ω t,基波幅值为A,基波相角差为零。
当1V·s<λ≤1.862V·s时,对式(2)进行傅里叶变换,取其基波分量系数a1、b1为
根据式(3),用计算机数值计算方法得到α、β间的对应关系如图4所示。
当1V·s<λ≤1.862V·s时,0<α≤1。将α、β的值代入式(5)、式(6)得到幅值和相角特性。
当λ>1.862V·s时,对输出三角波进行傅里叶变换,取其基波分量系数a1、b1为
描述函数由基波分量的幅值|N(A)|和相角∠N(A)给出:
∠N(A)=arctan(a1/b1)
通过数值计算得到幅值|N(A)|和相角与不同λ值之间的关系,得到幅值特性如图5所示,相角特性如图6所示。可以看出,该特性类似于一阶惯性环节的幅频特性和相频特性。
根据幅值特性和相角特性得到Nyquist图-1/N(A)与λ的关系如图7所示。
随着λ增大,负倒数-1/N(A)从复平面坐标(-1,0)点向第三象限的(-1.2337,-∞)移动。
综合上述分析,步进电机速度饱和非线性的频率响应能力不仅与旋转磁场角位移速率最大限值有关,还与λ即输入控制信号幅值和频率有关,幅值越小,频率响应能力越强。
3 数字元伺服阀速度饱和非线性频率特性
步进电机速度饱和非线性是由于对励磁旋转磁场角位移的最大变化速率进行限制而引起的,速度饱和非线性在所有步进电机控制系统中都存在。步进电机数字伺服阀[8]利用步进电机连接弹性弓,驱动阀芯运动,实现伺服阀开闭控制,数字伺服阀的频率特性是其重要指标。
步进电机具有速度饱和非线性特性,不难写出数字伺服阀的状态方程[1]:
式中,M为输出力矩;r为电机力矩输出轴半径;m为转子负载综合质量;B为黏性阻力系数;θ为转子转角;Ff b为液动力和摩擦力之和。
步进电机力矩方程为
M=Misin(Zi(θm-θ)) (11)
式中,Mi为静转矩;Zi为电机转子齿数;θm-θ为机械失调角,即定子旋转磁场向量与转子位置的夹角。
仿真所采用的步进电动机型号为FL42ST47-1684,步进电机参数如表1所示。
取速度饱和非线性限值10,输入不同频率和幅值正弦信号,得到输出仿真结果如图8所示。
由图8分析,当输入信号的变化速率大于限值时,输出信号就会出现幅值和角度的滞后,图8b中频率和图8c中幅值对输出频率特性具有相同影响作用。
4 结语
当步进电机控制电压最快变化速度超过步进电机的激励磁场最大跟踪速度时,输出就会出现速度饱和非线性失真。采用描述函数法对步进电机跟踪控制的非线性特性进行了分析,结果显示,随着旋转激励磁场幅值或频率的增大,步进电机的频率特性变差,幅值和频率对步进电机的速度饱和非线性特性具有相同影响。
参考文献
[1]阮健着.电液(气)直接数字控制技术[M].杭州:浙江大学出版社,1996.
[2]Khemissi Y,Amrani A.Control Using Sliding Modeof Two Phase Stepper Motor[C]//2010ICCEA.Ba-li Island,Indonesia,2010:42-47.
[3]Seshagiri S.Position Control of Permanent MagnetStepper Motors Using Conditional Servocompensa-tors[J].IET Control Theory Appl.,2009,3(9):1196-1208.
[4]Li Zheng,Wang Qunjing,Liu Chaoying.Research onModeling and Robust Adaptive Control of a NovelPermanent Magnet Spherical Stepper Motor[C]//Proceedings of the 7th World Congress on Intelli-gent Control and Automation.Chongqing,2008:8946-8951.
[5]Li Zheng.Intelligent Control for Permanent MagnetSpherical Stepper Motor[C]//Proceedings of theIEEE International Conference on Automation andLogistics.Qingdao,China,2008:1807-1812.
[6]杨继隆,李胜,阮健,等.实时连续跟踪控制下的步进电机的动特性研究[J].浙江工业大学学报,2001,29(3):235-249.
[7]Slotine J-J E,Li Weiping.应用非线性控制[M].北京:机械工业出版社,2006.
非线性动态特性 篇8
气动元件是组成气动系统的基本单元, 因此, 准确测定组成气动系统各种元件的流量特性参数十分重要。根据国际标准ISO6358, 在非线性流量特性公式的基础上, 可用最小二乘法来辨识气动元件的声速流导C、临界压力比b等流量特性参数[1]。不过, 随着气动元件的复杂化和小型化, ISO6358规定的测试方法及其所依据的气动流量特性公式已难以准确地测定不同类型气动元件的流量特性了。因而, 人们在ISO6358原有公式的基础上, 用扩展后的流量特性公式来描述气动元件的流量特性[2], 甚至提出用等温容器在新的流量公式的基础上测试的标准[3,4]。至此, 气动元件流量特性的测试精度有了较大的提高。但是, 经过试验和研究发现, 尽管上述方法对气动元件的声速流导测量还比较准确, 但有些气动元件的临界压力比和亚声速指数ms的测量值却并不是很稳定。如在同一测试环境下对同一个元件进行重复测量, 基于各次的测试数据应用非线性最小二乘优化算法进行参数辨识, 各次的参数辨识结果相差还是很大的。一般认为, 有两个方面的原因造成临界压力b和亚声速指数ms测试不稳定。一是认为不同元件具有不同结构和不同材料, 因此, 气体流过元件时的流态 (层流或紊流假设) 、热力学状态 (绝热或等温假设) 和产生的摩擦不确定性等因素是造成测试结果不稳定的原因。另一观点认为由于ISO6358标准所规定的方法对测试硬件条件要求高, 如流量计测试量程、测量管径与被测元件不匹配, 上下游压力变化大等因素都会造成测试值较大变化。这两个观点可以解释不同元件测试精度不同的原因, 但是却不能解释在同一测试条件用同一测试方法对同一气动元件进行多次测量和参数辨识, 有些气动元件的参数测量值重复性好, 另一些元件的参数测量值重复性差的现象。
本文针对气动流量特性扩展后的非线性模型, 根据ISO6358法实测的五个气动元件的测量数据, 从微分几何的角度出发, 在非线性回归分析的基础上, 对流量特性模型的非线性强度进行了分析和计算;给出了气动元件流量特性公式的固有曲率、参数效应曲率和参数置信区间, 分析了气动元件参数测量值重复性差的问题, 为更准确地测量气动元件的流量特性参数和刻画流量特性做了基础研究。
1 ISO6358测试系统和方法
ISO6358试验硬件系统如图1所示。图1中试验的气源部分由空压机、储气罐、过滤器、冷冻式干燥机、两级油雾分离器和减压阀构成, 其中上下游测压管的尺寸及压力表测量位置符合ISO6358规定。这里所用压力传感器的精度为±0.5%, 质量流量计精度为±0.3%, 符合ISO6358中规定的A级标准。根据ISO6358, 固定被测元件的上游压力和调节节流阀, 首先得到最大的质量流量, 即壅塞流量, 计算得到声速流导C;然后找到流量开始减小的点, 记录这些点的上下游压力、温度和流量。这些点采集完之后, 根据基于ISO6358标准的扩展公式, 用最小二乘法算出被测电磁阀的临界压力比b和亚声速指数ms。其中, ISO6358标准的扩展公式为
1.压缩气源和过滤器2.调节阀3.截止阀4.测温管5.热电偶6.上游测压管7.被测元件8.下游测压管9.上游压力表10.压差表11.节流阀12.流量计13.消声器
式中, q为气体流量;ρ0为初始气体密度;P2为上游压力;P3为下游压力;T0为初始气体温度;T为气体温度;b为临界压力比。
2 参数测值的统计分析
用图1所示的测试系统, 依据ISO6358方法对五个不同的气动元件各重复做了10次试验。表1为各元件的某一次测试的数据。为了便于比较, 五个元件都采用SMC公司的产品, 其中A为SY3140-5LOZD型电磁阀, B为SY7140-5D-02型电磁阀, C为VX2110-02-3D型电磁阀, D为SV1000型电磁阀, E为VXZ22/23型电磁阀。
图2为对应表1测量值的流量特性曲线, 其Y轴为根据式 (1) 归一化的质量流量比:
结合表1和图2可以看出, 各元件流量特性曲线有较大差别。其中元件C和元件E的流量特性曲线很相近, 元件A的流量特性曲线变化最为平缓, 而元件B的流量特性曲线显示其流量在压力比值较大时, 其流量率比值r才以较快速度下降。
如表2所示, 基于各个元件的各次测试数据, 借助SPSS统计软件中基于高斯—牛顿算法的非线性回归程序辨识流量特性参数, 按照各次辨识结果中临界压力比b的最小值、中间值和最大值, 选择其中的3次参数辨识结果, 分别表示为表2中的测试1、测试2和测试3。
从表2可以看出, 所有元件流量特性参数b和ms的95%置信区间都是关于参数估值对称的, 表明SPSS软件的非线性回归程序中关于参数推断域的算法是在线性近似的基础上得到的。以表1所示元件A的一次测试数据为基础, 通过统计分析可知由式 (2) 计算的归一化流量r及其残差符合正态分布。综合以上分析可以看出:
(1) 元件B的b值最大, 元件D次之, 元件C和E的b值接近, 元件A的b值最小, 这与图2中各元件流量特性曲线的变化趋势一致。由于元件A的b值小, 在较小的压力比阶段其流量就进入亚声速阶段, 然后流量特性比值以较平缓的趋势下降;元件B的b值最大, 与元件A正好相反, 其流量特性比值在较高的压力比阶段以较大的梯度下降。
(2) 从表2中的残差分析来看, 元件A的残差最小, 元件B的残差最大。这是由于元件B的b值大, 在较短的时间和较少的测试点数内, 就完成了从声速阶段到亚声速阶段的变化, 测试值的方差大;元件A的b值小, 亚声速阶段的点数多, 测试值的方差小。A元件参数 (包括b和ms) 的置信区间的长度在5个元件的相应值中最小, 相对而言, 元件B的参数 (包括b和ms) 的置信区间的长度最大。
(3) 元件B的流量特性参数的三个辨识结果最为接近, b值的标准值为0.367, 三个辨识结果最大相对误差小于1%, 其测量的重复性相对其他元件而言最好。元件A的三个辨识结果差异最大, 其b值从测试1的0.196到测试3的0.235, 相对误差达20%, 其测量重复性最差。
3 流量特性公式非线性强度分析
由于ISO6358界定的气动元件流量特性参数的最小二乘辨识算法本质上是基于局部线性近似的高斯—牛顿算法, 从表2计算结果可以看出, 有些气动元件的测试数据经最小二乘辨识后能得到令人满意的结果, 有些则不能。这是因为不同的非线性模型具有不同的非线性强度, 非线性模型的非线性强度直接影响了基于线性近似迭代法的可靠性。为了分析气动流量特性扩展公式的非线性强度, 要计算这一模型的固有曲率指标和参数曲率指标。
3.1 非线性强度固有曲率指标和参数曲率指标的计算
文献[5]从微分几何的观点出发, 提出了表征非线性强度的固有曲率和参数效应曲率的概念, 并提出了表征非线性强度的度量指标:非线性模型的最大固有曲率ГN和最大参数效应曲率ГT。一般形式的非线性回归模型的输入输出可以表示为
式中, f (xn, θ) 为期望函数;Yn为样本第n个输出的响应变量, 本文为第n次测得的质量流量比rn;xn为信号输入, 本文为第n次调定的压力比值Pn;θ为待辨识的参数向量, 本文包括临界压力比b和亚声速指数ms;Zn为残差, 是随机部分。
假设非线性回归模型 (式 (3) ) 关于参数θ存在二阶以上偏导数, 则非线性模型公式f (x, θ) 关于θ的一阶偏导数和二阶偏导数矩阵分别为
其中, , 而, 是立体阵C的第k面、第i行、第j列的元素。参数空间中过θ0以h为方向的一条直线为
其中, t为几何参数, 这条直线在解轨迹上产生一条曲线被称为“提升线” (lifted line) , 其方程为
提升线在t=0的切线和加速度分别为
因此, 提升线的速度向量ηh是向量的线性组合, 提升线的加速度向量是由模型参数决定的向量的线性组合。作为提升线的加速度向量, 它可以分解为两个分量, 即垂直于切平面的法分量和切平面内的切分量。为了准确度量非线性模型的非线性强度还需要计算相对曲率, 即解轨迹的固有曲率KNh和参数效应曲率KTh。设由矩阵B生成的投影矩阵记为ST, 并记SN=I-ST, ST及SN可由下式表达:
非线性回归模型 (式 (3) ) 沿h方向在θ0处的固有曲率KhT和参数效应曲率KhT分别为
固有曲率KhN反映了解轨迹的性质, 是非线性模型本身的固有性质。而参数效应曲率KhT不仅由模型本身决定, 而且依赖于参数的选择, 所以在非线性模型的参数辨识过程中, KhT有着重要的意义。为了便于计算KhN和KhT, 对B的列向量进行QR分解:
式中, Q为θ0处切空间的一组p列标准正交基;N的列向量为法空间的n-p列的标准正交基;R为非退化上三角阵。
这个正交化过程实际上相当于对参数进行变换:
因此, Q的列向量又可视为切空间关于新坐标β的一组标准正交基, 则非线性模型 (式 (3) ) 关于β和θ的二阶偏导数之间的关系可以表示为
式中, A为新的立体阵。
由于在新坐标系下, , 则固有曲率可以重新写为
其中, d为单位向量, 即式 (3) 中的固有曲率可以借助固有曲率立体阵I计算, 参数效应曲率可以通过参数效应立体阵P计算, 其中I和P可以用方括号算法定义为[6]
根据式 (14) , 可以求得KdN和KdT, 通过最优化递归算法可以计算得到最大固有曲率KN和最大参数效应曲率KT[7]。分别将表2中的各元件的流量特性测试值代入上述计算过程中, 可以求得式 (3) 所表达的气动元件流量特性曲线在流量特性参数不同时的最大固有曲率KN和最大参数效应曲率KT, 其计算结果如表3所示。
由表3和表2可以看出, 各个元件的参数辨识结果和其参数效应曲率有一定的内在联系。仅从表3可以看出, 所有被测五个元件的最大固有曲率KN都在51~61之间, 数值差别不大, 这是由气动流量特性模型固有曲率的本质所决定的, 即所有被测元件流量特性曲线数学模型都由式 (1) 描述, 其数值的差异是由实际测量误差引起的。而参数效应曲率数值的变化范围都大于固有曲率变化范围, 其中元件A的参数效应曲率最小, B的参数效应曲率最大。元件C和元件E的参数效应曲率相近。由于扩展的气动元件流量公式 (式 (2) ) 类似于指数公式, 参数b和ms在参数空间的位置决定了其辨识的稳定性和难易程度。因此, 单纯用最小二乘法来辨识气动元件的流量特性参数, 虽然简单, 却难以保证辨识的精度。
3.2 非线性模型可线性近似的容许曲率的计算
根据文献[6], 如果所辨识的非线性模型的固有参数曲率大于线性化容许曲率, 那么参数的辨识及推断域的分析将难以用线性的方法处理, 非线性模型的解轨迹η=f (x) 可线性近似化的容许曲率的大小可表示为[7]
式中, t为未知参数的个数;为样本方差σ2的估值。
通过比较最大固有曲率指标ГN和最大参数曲率指标ГT与容许曲率KF的大小, 可以判断一个非线性模型是否可以近似线性化, 还可以分析非线性模型非线性强度的大小。
查F分布表可以得到F0.05 (2, 4) =6.9443, F0.1 (2, 4) =4.32214。通过计算表2中各个测试数据集方差的估值, 代入式 (16) 可以计算出各元件分别在置信水平为95%和90%时, 可以线性近似的容许曲率。计算结果如表4所示。
对照表3和表4的数值, 可以看出表3中不论是最大固有曲率还是最大参数效应曲率, 都明显地大于表4中的容许曲率的大小, 表明流量特性曲线的非线性强度很大。对于这种固有曲率和参数曲率都很大的非线性模型, 可借助参数的近似推断域或某个重要参数的边缘推断区间来描述被辨识参数的变化情况[8,9]。
4 流量特性曲线参数辨识的置信区间
当非线性模型的非线性强度很大时, 可用截面t图来描述参数的置信区间, 从而刻画某个参数的变化趋势[10]。对于一个线性模型的某一个参数θp的1-α边缘区间可以通过参数学生化表示为
其中, t (n-p;α/2) 是自由度为n-p的学生化t分布的上侧α/2分点, 而是参数估计量的标准差, 其中为样本方差, 而[ (BTB) -1]PP是矩阵 (BTB) -1的对角线上第P个元素。
由于学生化参数同时可表示为
而为子集平方和函数, 为θ-p对应于θp的条件最小二乘估计, 故记号表示元素为的向量。
用相同的记号来定义非线性模型某参数截面t函数:
参数θp的额定值为1-α的似然区间, 可以定义为所有满足下式的θp组成的集合:
截面t函数的图像给出了单参数的精确置信区间, 并揭示了非线性模型的非线性强度。图3形象地反映了式 (17) 和式 (19) 的关系, 即当模型的是线性时, τ (θp) 和δ (θp) 的图像是一条通过原点的斜率为1的直线。当模型的是非线性时, τ (θp) 和δ (θp) 的图像是一条实曲线, 其相对于虚线的弯曲程度反映了模型的非线性强度。图3~图7通过各子图右轴95%水平点画两条平行虚线, 其通过弯曲截面t图对应的参数推断域示于各个子图的上端。以图3的两个参数截面t图为例, 元件A的参数b和ms的截面t图分别反映了这两个参数的非线性强度。相对图4~图7而言, 元件A参数b的实曲线弯曲程度都要小于其他元件的实曲线弯曲程度, 而元件B的参数b的实曲线弯曲程度最大, 这点和表3计算所得的各元件的参数效应曲率的大小是一致的。从图3中的各子图可以看出, 对于截面t图弯曲程度大的元件, 如元件B, 其参数b的推断域间距为0.16, 长于其他元件的参数推断域间距;元件A的参数曲率最小, 其参数推断域间距为0.06, 也是所有元件参数b的推断间距最小的。其他元件的截面t图和参数曲率的关系也联系紧密, 即截面t图的弯曲程度越大, 参数效应曲率也越大。
综合上述分析可以看出, 截面t图可以判断非线性模型参数效益曲率的大小。一般而言, 截面t图弯曲程度大, 则非线性模型参数效应曲率大。参数曲率大的非线性模型其参数测量及优化辨识结果的稳定性好。但是, 参数曲率大的非线性模型的参数推断域大, 参数曲率小的模型参数推断域小。
5 结语
在ISO6358原有公式的基础上, 用加入亚声速指数后的流量特性公式来描述气动元件的流量特性时, 对大多数气动元件流量特性的测试精度有了较大的改进。但是应用ISO6358测试系统测试某些元件时, 常会出现测量值不稳定现象。针对这一现象, 本文对气动流量特性公式及其非线性强度进行了分析。在ISO6358法测试数据的基础上, 计算了五个气动元件的流量特性公式的非线性固有曲率及参数效应曲率。并绘制了不同元件基于线性近似和基于截面t图的参数推断域。通过分析和计算可知, 气动元件流量参数的辨识经常出现的辨识值不稳定的现象不仅与元件的结构和材料及ISO6358标准所规定的方法有关, 而且还与流量特性非线性公式本身, 即非线性强度有关。被测元件的流量特性参数曲线的参数效应曲率越大, 则该元件临界压力比和亚声速指数测试稳定性越好, 但是参数置信区间也越大;反之, 当被测元件的流量特性参数曲线的参数效应曲率越小, 则该元件临界压力比和亚声速指数测试稳定性越差, 但是参数置信区间变小。
用截图t图的方法, 不仅可以分析气动元件流量特性曲线的非线性强度, 辨识其流量特性参数, 还可以计算单个参数的置信区间, 这种方法对某些特别重要的气动元件流量特性的参数辨识提供了新途径。
参考文献
[1]International Organization for Standardization.ISO6358.Pneumatic Fluid Power—using Compressible Fluids—determination of Flow-rate Characteristics[S].Switzerland:ISO/TC 131Fluid Power Systems, 1989.
[2]腾燕, 李小宁.针对ISO6358标准的气动元件流量特性表示式的研究[J].液压与气动, 2004 (2) :6-9.Teng Yan, Li Xiaoning.Study on 6358Flow-rate Characteristics Standard of Pneumatic Components[J].Chinese Hydraulics&Pneumatics, 2004 (2) :6-9.
[3]Kagawa T, Cai M, Kawashima K, et al.Extended Representation of Flow-rate Characteristics for Pneumatic Components and its Measurement Using Isothermal Discharge[C]//Bath Workshop on Power Transmission and Motion Control, PTMC 2004.New York:Professional Engineering Publishing, 2004:271-282.
[4]International Organization for Standardization.ISO/DIS6358-3.Pneumatic Fluid Power—determination of Flow-rate Characteristics of Components Using Compressible Fluids—Part3:Alternative Test Methods—discharge Test[S].Swizerland:ISO/TC 131Fluid Power Systems, 2008.
[5]Bates D M.非线性回归分析及其应用[M].北京:中国统计出版社, 1988.
[6]王新洲.非线性模型参数估计理论与应用[M].武汉:武汉大学出版社, 2002.
[7]Bates D M, Hamilton D C.Calculation of Intrinsic and Parameter-effects Curvatures for Nonlinear Regression Models[J].Commun.Statist-Simula.Computa., 1983, 12 (4) :469-477.
[8]Clarke G P Y.Marginal Curvatures and Their Usefulness in the Analysis of Nonlinear Models[J].Journal of the American Statistical Association, 1987, 82 (399) :844-850.
[9]Cook R D, Weisberg S.Confidence Curves in Nonlinear Regression[J].Journal of the American Statistical Association, 1990, 85 (410) :544-551.