非线性相关（精选8篇）
非线性相关 篇1
近年来, 由于非线性编辑系统的出现, 我国电视节目的制作与播出系统在数字化方面有了一个飞越发展。非线性编辑系统融合了多媒体和计算机这两个二十一世纪最先进领域的前端技术, 集多项编辑功能于一体, 改变了人们按时间顺序剪辑素材的传统概念, 克服了录象带多版合成、复制图象质量劣化的缺点, 大大提高了编辑效率, 并为编辑者的艺术创作开辟了广阔的天地, 因而受到普遍关注。
1 非线性编辑系统的优越性和局限性
1.1 非线性编辑系统的优越性
2011年我院电视节目制作教室组建了由十三台单机组成的非线性编辑系统。其中十二台学生机, 一台教师机。单机的非线性编辑系统是在一台配备相应的视音频处理卡的计算机 (PC机) 上, 安装了非线性编辑软件, 对存储在大容量硬盘中经过压缩的数字视音频素材进行非线性编辑及特技制作。这一系统的优势在于可以对存储在硬盘中的素材进行随意快速的剪辑, 多通道的特技制作且图象质量不受损失, 并可运用第三方软件进行复杂的特技制作。
现在以磁盘存储为基础的非线性编辑系统克服了传统的线性编辑的缺点。在低端 (学生机) , 以PC为核心的多媒体技术日趋成熟, 这类多媒体技术是以PC作为硬件平台运行合成的软件, 如SOFTIMAGE/DS、PREMIERE、EDIT等。对于划像、叠画、飞像等一些简单特技可以实时生成, 在制作复杂特技时则需要CPU运算生成。因此, 在剪接合成方面有了很大的便利: (1) 可以不考虑镜头的先后次序, 先把素材采集到阵列硬盘中, 然后再挑选每一个镜头, 决定镜头的长短。 (2) 挑选后的镜头可以在时间线上任意调换先后次序。 (3) 接下来的工作就是在镜头与镜头之间制作特技效果, 叠加字幕等, 其效果声、音乐和语言则在声音轨上进行合成。 (4) 在生成音视工程文件, 输出节目时, 素材节目的存储方式, 可以选择有损压缩或是无损压缩。
在高端 (教师机) , 以S G I工作站为硬件平台, 运行F L A M E、SMOKE等高档的多媒体软件。其制作节目的方法与低挡的多媒体软件基本相似, 但其强大的特效功能, 接近于实时的生成速度却是一般多媒体软件所不能比拟的。
另外, 由于非线性编辑制作实际上是学生在一台计算机上进行的, 所以我们使用计算机网络将十二台单机 (学生机) 连接起来, 与一台拥有大容量存储器的数据服务器 (教师机代理) 联接在一起。数据服务器与可以用几倍速进行数字视音频数据输出输入的数字录象机相连, 集中进行视音频数据的输入输出处理。各台非线性编辑制作单机 (学生机) 通过高速以太网从服务器读取所需的素材, 完成各自的制作任务。或者几台非线性编辑制作单机 (学生机) 可以读取同一素材, 进行协同制作, 实现资源共享, 形成规模效应, 提高使用效率。
1.2 非线性编辑系统的局限性
虽然非线性编辑系统给电视制作和教学带来了极大的变革, 改变了电子编辑的传统理念, 但同时我们在教学中发现, 它也还有许多不尽人意的地方。
(1) 由于不同档次的多媒体所基于的软硬件平台不同, 阻碍了图象文件在不同档次多媒体之间的传输。这里主要指单机 (学生机) 信息传输。 (2) 由于网络传输速度不够快, 目前还不能做到视频数据的实时传输, 或者传输的费用过于昂贵。 (3) 虽然多媒体都有中文的字幕软件, 但是, 当需要制作大量中文字幕时, 制作的效率无法与传统制作方式相比。 (4) 低档多媒体的工作状况还不稳定, 死机、系统崩溃的现象时有发生。
2 非线性编辑系统的相关技术及应用
由于非线性编辑系统存在的上述局限性, 我们在组建教室时对其相关的技术进行了详细地分析和选择, 以克服其不足。现在经过了两年多的运行使用, 我们的非线性编辑系统工作稳定安全, 其教室已对全校开放。
2.1 合理选择传输媒体
传输媒体指数据在网络中传输的介质, 常用的通信介质有:双绞线、同轴电缆和光缆。在我院的非线性编辑系统视频网络中, 是双绞线和光缆的结合使用。双绞线用于学生机间10/100Mbps以太网的连接, 光缆用于服务器 (教师机代理) 与以太网的连接。
如果非线性编辑系统联接了多个教室, 在100Mbps以太网中传输距离超过了100m, 传输媒体应使用光缆, 而不能使用双绞线。在光缆的两端使用光收发器, 再通过较短的双绞线, 连接到网卡和Hub或Switch上。
使用Fibre Channel网络时, 当传输距离超过500m时, 需使用单模光纤或由另一个Switch作为中继设备, 从而达到延长站点距离的目的。
2.2 网络的稳定性和安全性的考虑
通常有如下几个方面的因素对系统的稳定性和安全性有比较大的影响。 (1) 单机的稳定性。指网络中单机 (学生机、教师机) 的安全性。在主机或主板、软件、网络的稳定性方面要进行很严格和长时间的测试。 (2) 共享硬盘的稳定性。共享素材硬盘是网络的核心, 共享硬盘的损坏意味着音视频素材的丢失。与共享硬盘阵列安全性相关的因素有阵列的容错功能、阵列控制器的质量、硬盘的质量以及阵列的设计工艺包括电源、风扇、机箱工艺、防震特性等。在节目制作网络中, 其系统对硬盘的速度、容量要求比较高, 可考虑使用非容错硬盘阵列。而在节目输出网络中, 考虑更多的是安全性, 所以通常会考虑使用容错硬盘阵列。 (3) _服务器数据的安全性。服务器负责的是网络系统的管理, 包括素材、节目、栏目、操作人员权限、生产、文稿等管理以及高压缩比素材存储, 所用的数据库都存放在服务器上, 所以一旦服务器崩溃, 整个系统的管理信息将会丢失。因此, 在安全性要求极高的系统中, 将采用服务器双机备份方案。
参考文献
[1]詹青龙.《非线性编辑网络的设计》, 中国电化教育.2012年第4期.
[2]王魁源.《实验用网络化非线性编辑系统的搭建》, 实验室研究与探索.2011年第2期.
[3]《计算机世界》2013年1月-5月网络版.
非线性相关 篇2
聚集数据线性模型参数估计的相对效率与广义相关系数
对于聚集数据的`线性模型,本文给出了Peter-Karsten估计相对于最佳线性无偏估计的一个相对效率,得到了相对效率的下界,讨论了该相对效率与广义相关系数的关系.
作 者：周永正 ZHOU Yong-zheng 作者单位：景德镇陶瓷学院,信息工程学院,江西,333403 刊 名：大学数学 PKU英文刊名：COLLEGE MATHEMATICS 年，卷(期)： 25(2) 分类号：O212.1 关键词：聚集数据 相对效率 线性模型 Peter-Karsten估计
非线性相关 篇3
变量间的相关性度量是进行系统结构与功能分析的基础。但以往的研究如简单相关、典范相关[1]和广义相关[2]等,均是建立在线性相关[3]的基础上,或者是造成了原有变异信息的损失[4],或者是计算复杂[5],它们反映了两个(组)变量之间的线性相关程度,但不能反映两个(组)变量之间的非线性相关程度[6]。现就自己定义的计算简单、无信息损失的非线性广义相关系数的计算过程,使用R语言编写了该广义相关系数的函数包,便于应用工作者使用,并且丰富了多元统计学的知识和R语言中的函数包。
1 非线性广义相关系数的定义
假设2个多维变量分别为[7]:X=(x1,x2,…,xm)T~Nm(μx,Σx),Y=(y1,y2,…,yp)T~Np(μy,Σy),其中μx=(μx1,μx2,…,μxm)T是X的均值向量,Σx为X的离差阵;μy=(μy1,μy2,…,μyp)T是Y的均值向量,Σy为Y的离差阵,Σx和Σy均是对称正定矩阵。设ΣXY是X,Y的协差阵。X,Y的相关阵分别记为:RX=(ρXij)m×m,RY=(ρYij)p×p。令
定义假设变量X的四阶中心矩为(μ4)i[8],四阶混合矩为(μ4)ij,(i,j=1,2,...,m;且i≠j),变量Y的四阶中心矩为(ν4)i,四阶混合矩为(ν4)ij,(i,j=1,2,...,p;i≠j),变量X,Y的四阶混合矩为(μν)4 ij,(i=1,2,...,m;j=1,2,...,p),并假设
则称
为变量X,Y的广义相关系数。
其中:(μ4)ij=E(Xi-μxi)2(Xj-μxj)2,i,j=1,2,...,m;
因为变量的四阶中心矩与其四阶混合矩组成矩阵中的每个元素,和相关阵的每个元素平方后所得的矩阵中每个元素相差3倍。
故定义2中的式(2)与下式是等价的,即:当
显然,当m=p=1时,X,Y的相关系数是其简单相关系数,即:r2(2)XY=ρ2。
对于任意的变量X,Y之间的广义相关系数有如下的性质[9]:
(1)对称性,即:r(2)XY=r(2)YX;
(2)相同的变量之间的相关系数是1,即:r(2)XX=r(2)YY=1;
(3)广义相关系数值在0与1之间,其中当X与Y相互独立时,r(2)XY=0;
(4)广义相关系数r(2)XY是非线性的。
2 非线性广义相关系数的R语言实现[10]
将变量X和Y之间的非线性广义相关系数用R语言编写的函数程序包generalized.correlation如下:
在R程序中,输入变量X和Y的原始数据值,再运行generalized.correlation(X,Y),就可直接得到变量X和Y的非线性广义相关系数值。
3 结论
本文就计算简单、无信息损失的非线性广义相关系数的计算过程,使用R语言编写了该广义相关系数的函数包,便于应用工作者使用,并且丰富了多元统计学的知识和扩充了R语言中的函数包
摘要：为了克服以往的相关性指标所存在的线性相关性和信息损失的问题,以期为实际应用工作提供一种新的多变量间的非线性相关分析方法。本文采用四阶矩法,提出一种用于描述变量间或向量间的相关性程度的广义相关系数,且该广义相关系数计算简单,无信息损失,并能度量变量之间的非线性相关性。并用R语言编写该函数包,便于应用工作者使用,且丰富了R语言中的函数包。
关键词：广义相关系数,非线性相关,信息损失,R语言
参考文献
[1]张尧庭.广义相关系数及其应用.应用数学学报,1978;(4):33—39
[2]胡永宏.一种广义相关系数.统计与信息论坛,1997;(1):20—23
[3]张尧庭.关于度量变量之间的相关程度.上海财经大学学报,1999;(2):60—63
[4]Nelsen N B.An introduction to copulas,lectures notes in statistics.New York:Spring Verlag,1998:139—142
[5]Kullback S.Information theory and statistics.[s.n.]:John Wiley&Sons Inc,1959
[6]刘垂玗.作物数量性状的遗传相关信息及其可加性.安徽农业科学,1981;(S1):52—57
[7]袁志发,周静芋.多元统计分析.北京:科学出版社,2002:172—180,241—256
[8]陈希孺.概率论与数理统计.安徽:科学出版社,2002:126—140
[9]董晓萌,曹彬婕,罗凤娟,等。一种度量生物性状非线性相关性的广义相关系数.西北农林科技大学学报,自然科学版,2008;(5):191—195
[10]汤银才.R语言与统计分析.北京:高等教育出版社,2008:27—67
线性相关性的应用 篇4
关键词：向量组,线性相关,线性无关
一、引言
向量组的线性相关性在许多领域中占有举足轻重的地位。它与行列式、矩阵、线性方程组的求解、二次型、线性变换、欧式空间以及社会生活实践等都有着密不可分的联系。因此, 通过判断向量组的线性相关性的方法解决了线性代数、几何以及社会实践当中一些难题。
二、判断向量线性相关性的方法
1. 用定义判断向量的线性相关性。
设α1, α2, …, αr是向量空间V的r个向量。如果存在F中不全为零的数a1, a2, …, αr使得a1α2+a2α2+…arαr=0 (1)
那么就说α1, α2, …, αr线性相关, 如果式 (1) 当且仅当a1=a2=…=ar=0时成立, 那么就说向量α1, α2, …, αr线性无关。
2. 用行列式判断向量的线性相关性。
若α1= (a11, a21, …an1) , α2 (a12, a22, …an2) , …, αn= (a1n, a2n, …, anm) , 则
α1, α2, …, αn线性相关的充要条件是|A|=0;α1, α2, …, αn线性无关的充要条件是|A|≠0。
3. 用向量组的秩来判断。
4. 用线性方程组来判断。
若α1, α2, …, αn为系数向量的齐次线性方程组x1a1+x2a2+…+xnan=0, (2) 非齐次线性方程组x1a1+x2a2+…+xnan=bi (i=1, 2, …, n) (3)
当方程组 (2) , (3) 有无穷多组解向量组α1, α2, …, αn线性相关;
当方程组 (2) , (3) 有唯一解, 方程组 (2) 只有零解向量组α1, α2, …, αn线性无关。
三、应用
1. 线性相关性在线性代数中的应用。
例1.设向量组α1, α2, …, αn线性无关, 向量β1可由这向量组线性表示, 而β2不能由这向量组线性表示, 试讨论:α1, α2, …, αn, sβ1+tβ2的线性相关性 (s, t是不为0的常数) 。
解:假设α1, α2, …, αn, sβ1+tβ2的线性相关, 则存在一组数不全为零的数k1, k2, …, kn+1, 使得k1α1, k2α2, …, kn+ (1sβ1+tβ2) =0 (1)
由于β1可由α1, α2, …, αn线性表示, 设存在一组数不全为零的数l1, l2, …, ln, 使得β1+l1α1+l2α2+…+lnαn (2)
将 (2) 式代入 (1) 式, 在整理得 (k1+skn+1l1) α1+…+ (kn+skn+1ln) αn+kn+1tβ2=0,
因为α1, α2, …, αn, β2线性无关。
即证α1, α2, …, αn, sβ1+tβ2线性无关。
2. 线性相关性在平面几何中的应用。
例2.已知平面上三条不同直线的方程为l1:ax+2by+3c=0, l2:bx+2cy+3a=0, l3:cx+2ay+3b=0, 试证:这三条直线交于一点的充要条件是a+b+c=0。
解:“必要性”:设这三条直线交于一点 (x0, y0) , 则 (x0, y0, 1) T是Ax=0的非零解, 其中
“充分性”:将直线l1, l2加到l3上且由a+b+c=0可知, 方程组等价于.,
3. 线性相关性在社会生活实践中的应用。
例3.某机械厂用5种零件 (A-E) , 根据不同的比例配制成了4种产品, 各用量成分见表1。
问能否生产成新产品?
解:把每一种新产品看成一个五维列向量, 则α1= (1, 1, 2, 5, 7) , α2= (1, 2, 3, 7, 10) , α3= (1, 3, 4, 9, 13) , α4= (1, 4, 5, 11, 16) , 在此令矩阵A= (α1, α2, α3, α4) , 因为R (A) =2, 故向量组线性相关, 其中向量组 (α1, α2) 为其极大无关组, 并且α3=α1+α2, α4=2α1+α2, α5=4α1+3α2, 因此, 可以生产新产品3号、4号和5号。
例4.线性相关性在化学中的相关应用。
化学方程式的配平:
确定x1, x2, x3, x4, x5, x6, 使两边原子数相等, 方程为:
解得:x1=3, x2=6, x3=1, x4=3, x5=1, x6=3。
故原化学方程式为:
参考文献
[1]张禾瑞, 郝鈵新.高等代数[M].北京:高等教育出版社, 2007.
[2]艾春瑞, 李娟.线性相关性在线性代数中的作用[J].牡丹江师范学报 (自然科学版) , 2011, (2) :11-12.
线性互补问题相关的矩阵研究 篇5
记为Lcp(M,q)。
线性互补问题在经济学,对策论和数学规划领域中有广泛的应用。线性互补问题由Dantzing和Cottle于1963年首先提出,之后引起了许多学者的关注,其中Kuhn,Tucker,Murty等在理论与算法方面做出了很大贡献。线性互补问题无论是解的存在性,唯一性还是算法的收敛性都与矩阵M的结构有着密切关系。Cottle等[1]定义了两类矩阵:设M∈Rn×n,如果对于任意的q∈Rn,Lcp(M,q)都有解,则称M为Q-矩阵;如果对于给定的使得Lcp(M,q)可行的q,Lcp(M,q)有解,则称M为Q0-矩阵。本文记所有的Q-矩阵组成的集合为(Q)矩阵类,所有的Q0-矩阵组成的集合为(Q0)矩阵类。
Berman和Plemmons[2],Murty[3]研究了(Q)矩阵类的一些性质,指出并不存在简单的判定(Q)矩阵类的充要条件,但(Q),(Q0)矩阵类的某些子矩阵类已经得到了研究。Murty[4]证明了,如果M=(mij)∈Rn×n, M≥0(即M为非负矩阵),那么M∈(Q)⇔mii>0;i=1,...,n。 Sameson, Thrall和Wesler[5]给出了一类特殊的矩阵类,(P)类矩阵,并证明了(P)⊂(Q),且M∈(P)⇔Lcp(M,q)有唯一解。Cottle, Lemke证明(D0)⊂(Q0)且如果M∈(D0),Lcp(M,q)可行,则Lcp(M,q)有唯一的解。关于子矩阵类的进一步的研究还可参阅文献[6,7,8]等。
本文主要从与线性互补问题密切相关的特殊矩阵入手,定义了新的矩阵类,对现有特殊矩阵类的性质及其相互关系给出了透彻的研究。
1 预备知识和约定
定理1.1 (简记为H-S定理)[6]:设M∈Rn×n,D⊆Rn是紧凸集,则∀q∈Rn,存在x*∈D,使
这一定理是本文线性互补问题解的存在定理的基础。
定理1.2[9] 设M∈Rn×n,‖·‖是Rn上的任意向量范数,q∈Rn,如果存在u∈Rn+和常数r>‖u‖,使
则Lcp(M,q)有解x*且undefined
定理1.3[9] 设M∈Rn×n,q∈Rn,如果存在u∈Rn+和常数undefined,使
undefined:undefined。
则Lcp(M,q)有解x*且undefined。
定理1.4[9] 设M=(mij)∈Rn×n是对角占优矩阵,则对于给定的使得Lcp(M,q)可行的q,Lcp(M,q)有解。
本文约定:
Lcp(M,q)的可行集记为:
F(M,q)={x∈Rn+:Mx+q≥0}。
如果F≠φ,则称Lcp(M,q)可行;如果F≠φ且存在x0∈F使Mx0+q>0,则称Lcp(M,q)严格可行。
Lcp(M,q)的解集记为:
S(M,q)={x∈F(M,q):xT(Mx+q)=0}。
2 特殊矩阵类及相互关系
下面对于Lcp(M,q)中的特殊矩阵M的一些性质给出研究,在前人的基础上定义了新的矩阵类,并对这些矩阵类的相互关系给与了研究。
2.1 特殊矩阵类令
(Q)={M:对所有q,S(q,M)≠φ}。
(Q0)={M:当F(q,M)≠φ时,都有S(q,M)≠φ}。
并记undefined-矩阵,如果M的所有主子矩阵都是Q0类。
几年来(Q)及(Q0)的一些子矩阵类型得到广泛研究,与Lcp(M,q)的可行性密切相关。
定义2.1.1[6] 如果对所有X∈Rn,都有XTMX≥0,则称M为D0-矩阵;如果M∈(D0)且XTMX=0时当且仅当X=0,则称M为D-矩阵。
D0-矩阵类记为(D0),D-矩阵类记为(D)。
注:以下同样,矩阵类用小括号标注。
由(D0)及(D)的定义知(D0)包括零矩阵,自反矩阵,半正定矩阵,但注意到M∈(D0),M不一定是对称的,(D)包括所有的正定矩阵。事实上(D0)⊂(Q0),即给定M∈(D0),对所有使得Lcp(M,q)非退化的q,Lcp(M,q)有唯一解;(D)⊂(Q)。
定义2.1.2[10] 如果M的所有主子式非负,则称M为P0-矩阵;如果M的所有主子式为正,则称M为P-矩阵。
Samelson,Thrall,和 wesler[11]给出了(P)类矩阵的显著特性即:M∈(P)当且仅当S(q,M)≠φ且解唯一。
由此可见(P)⊂(Q)。
定义2.1.3[12] 如果存在0≠x≥0,使Mx≥0,则称M为S0-矩阵;如果存在0≠X≥0,使Mx>0,则称M为S-矩阵。
显然(S)⊂(S0),此类矩阵是由Fiedler和Ptak给出的,对此类矩阵Ville[13]给出了重要性质:
对任意矩阵M,有M∈(S0)或者-MT∈(S)。
定理2.1.1M∈(S)⇔F(q,M)≠φ。
证明 "⇒"由M∈(S)知存在0≠x≥0,使得Mx>0,对任意q∈Rn,总存在足够大的n∈N,使得0≠nx≥0 ,nMx+q=M(nx)+q≥0。
从而F(q,M)≠φ;
"⇐" 如果F(q,M)≠φ,对任意的q∈Rn,必存在0≠x≥0,使Mx+q≥0,又由q的任意性,不妨设q<0,知Mx>0,从而M∈(S)。
定义2.1.4[6] Cottle, Dantzing和Eaves给出了此类矩阵:
如果M的所有主子矩阵undefined,则称M为E0-矩阵;如果M的所有主子矩阵undefined,则称M为E-矩阵。
又有如下性质(也可以做为另一个定义方法):
(1) M∈(E0)当且仅当对所有q>0,Lcp有唯一解z=0。
(2)M∈(E)当且仅当对所有q≥0,Lcp有唯一解z=0。
容易看出(E)⊂(Q);(P0),(D0)⊂(E0);(P),(D)⊂(E)。
定义2.1.5[6] 如果对所有x≥0,xTMx≥0,则称M为C0-矩阵;如果M∈(C0)且对所有x≥0,xTMx=0可以推出
(M+MT)x=0。
则称M为C-矩阵。
特别的(C0)包括所有的非负矩阵,自反矩阵。又(C0)⊂(E0)且(C)⊂(E)。
定义2.1.6[11] 如果对i≠j,mij≤0; i,j=1,2,…,n,则称M为Z-矩阵。
在求解Lcp(M,q)时,一般如M是n×n阶矩阵,转轴变换的次数与n没有明显的联系,但如M∈(Z),则对任意q,转轴变换的次数不会超过n次。
定义2.1.7[11] 如果不等式组
undefined
(2.1)
不相容,则称M为R-矩阵(正则矩阵),其中 e=e(n)=(1,1,...,1)T∈Rn
说明 事实上,t≥0可等价的替换为t∈{0,1},这是因为(只须说明t>0情形),如果t>0,且t≠1,只需在(2.1)式的两边同除以undefined即可。
2.2 相互关系
定理2.2.1 设M∈Rn×n是半正定的S-矩阵,则M是Q-矩阵。
证明 已知M是S-矩阵,即存在0≠x0≥0,使Mx0>0,则
∀q∈Rn,必存在u∈Rn+,使
f(u)=Mu+q>0。
记undefined,并取undefined。
则∀x∈Rn+:‖x‖∞=r,有
undefined>=
undefined。
根据定理1.2知 M∈(Q)。
定理2.2.2 设M=(mij)∈Rn×n是对角占优的S-矩阵,则M是Q-矩阵。
证明 已知M是S-矩阵,则设∀q∈Rn,必存在u∈Rn+,使
f(u)=Mu+q≥0。
令undefined,则∀x∈Rn+且undefined,有x≠u,令
undefined。
由定理1.3知,(xk-uk)[M(x-u)]k≥0,从而
(xk-uk)(Mx+q)k≥(xk-uk)(Mu+q)k
于是
undefined。
根据定理1.3,Lcp(M,q)有解,因此M是Q-矩阵。
定理2.2.3 设是M=(mij)∈Rn×n对角占优矩阵,则M是P0-矩阵。
证明 因为对角占优矩阵的任何主子矩阵还是对角占优矩阵,所以只需证明:若M是对角占优矩阵,则undefined即可。
否则M必有负的特征值λ,设其对应的特征向量是
x=(x1,x2,…,xn)T,且undefined,由于Mx=λx,所以
undefined。
上式左边为
undefined。
而右边为λ<0,矛盾。故M的特征值要么是非负数,要么是成对出现的共轭复数,因此undefined。
用同样的方法可以证明M的所有主子式均非负,从而M是P0-矩阵。
推论2.2.1 设M=(mij)∈Rn×n是严格对角占优矩阵,则M是P-矩阵。
证明 显然。
以下引入新矩阵类:真C0-矩阵和真半正定矩阵。
定义2.2.2 设M=(mij)∈Rn×n是C0-矩阵,且不等式组
undefined
(3.2)
不相容,则称M是真C0-矩阵。
定义2.2.3 设M=(mij)∈Rn×n是半正定矩阵且不等式组(2.2)不相容,则M是真半正定矩阵。
定理2.2.4 设M=(mij)∈Rn×n是真C0-矩阵,则M是S-矩阵。
证明 令Dr={x∈Rn+|
由于
且
注意到∀u∈Rn+,u≠0,有undefined,将x代入上式,有
从而Mxr≥0,但是不等式组(2.2)不相容,于是
由(2.3)式和(2.4)式有
重复上面的证明过程,有
从而Mxr>0,即M是S-矩阵。
推论2.2.3 设M=(mij)∈Rn×n是真半正定矩阵,则M是Q-矩阵。
证明 已知M是真半正定矩阵,则M是真C0-矩阵,根据定理3.2.4,M是S-矩阵。再根据定理2.2.2,M是Q-矩阵。
定理2.2.5 设M=(mij)∈Rn×n是真C0-矩阵,则M是正则矩阵。
证明 只需证明不等式组
Mx+e≥0, xT(Mx+e)=0, 0≠x≥0。
不相容即可。否则,必存在x≥0, x≠0,使
Mx+e≥0且xT(Mx+e)=0。
另一方面,由于M是C0-矩阵且x≥0,x≠0,所以
xT(Mx+e)=xTMx+xTe>0。
矛盾。注意到M是真C0-矩阵,所以不等式组
Mx≥0, xTMx=0, 0≠x≥0。
不相容,于是M是正则矩阵。
定理2.2.6[3] 如果M∈(R),则M∈(Q)。
定理2.2.7 设M=(M1,M2,…,Mn)∈Rn×n,如果对
∀q∈{M1,M2,…,Mn,e} ,Lcp(q,M)有唯一解,则M∈(Q)。
分两步证明。
(1)证明 如果∀q∈{M1,M2,…,Mn},Lcp(q,M)有唯一的解,则不等式组
undefined
(2.5)
不相容。否则,不等式组有解x*≠0,不妨设
x*=(x*1,x*2,…,x*k,0,…,0)T,x*i>0; 1≤i≤k。
y*=Mx*=(0,…,0,y*k+1,…,y*n); 0≤y*i; k+1≤i≤n。
进一步可设x*1=1,令
undefined,
undefined。
则undefined,undefined是Lcp(M,M1)的两个不同的解,与假设矛盾。
(2)证明 如果∀q∈{M1,M2,…,Mn,e},Lcp(M,q)有唯一的解,则M∈(R)。
由于x=0是Lcp(M,e)的唯一解,所以不等式组
undefined
(2.6)
不相容。
(2.5)式和(2.6)式表明,不等式组
undefined
不相容,即M∈(R),所以M∈(Q)。
定理2.2.8 如果M∈(Z)∩(S),则M∈(Q)。
证明 因M∈(S),所以F(q,M)≠φ。
又 对∀u,v∈Rn+:u≥v,取uk=vk,取ek=(0,…,1,0,…,0)T∈Rn。
则 ek∩(u-v)=0。
由于M∈(Z),所以ekTM(u-v)≤0,[M(u-v)]k≤0。
即 (Mu+q)k≤(Mv+q)k。
因此由定理2.4知M∈(Q)。
向量组线性相关性的判定 篇6
1.从预备知识中我们已经知道了线性相关性的定义, 下面我就引入例题, 用定义法来直接判断向量组的线性相关性.
2.线性相关性的定义常用于理论证明, 把相关性问题转化为向量方程 (即方程组) 有无非零解的问题则更常用.如果有非零解, 则向量组线性相关;如果没有非零解 (只有零解) , 则向量线性无关.
二、用线性相关性的有关结论、定理判别
1.设矩阵A的列向量组为A:α1, α2, …, αm, 矩阵B的列向量组为B:β1, β2, …, βm, 其中矩阵B是通过对矩阵A做行初等变换后得到的.我们有以下定理:
定理1向量组A与向量组B有相同的线性相关性.
定理2向量组α1, α2, …, αm (m≥2) 线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由其余m-1个向量线性表示.
定理3如果向量组α1, α2, …, αr线性相关, 那么α1, α2, …, αr, αr+1, …αm也线性相关.
推论1线性无关向量组的任意一个非空部分组仍是线性无关向量组.
推论2 r维向量组的每一个向量添加n-r个分量成为n维向量.如果r维向量组线性无关, 那么, n维向量组也线性无关.反言之, 如果n维向量组线性相关, 那么, r维向量组也线性相关.
三、用矩阵的子式判别
1.用矩阵的子式判别首先就要知道什么叫矩阵的子式, 下面介绍什么叫矩阵的子式:
定义k阶子式:在m×n型的矩阵A中, 任取k行k列 (k≤m, k≤n) , 位于这些行列交叉处的k2个元素, 不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶矩阵行列式, 称为矩A的k阶子式.m×n型矩阵A的k阶子式共有个.
定理4设n维向量组A:α1, α2, …, αr (r≤n) 构成矩阵
则向量组A线性无关的充分必要条件是矩阵A中存在一个不等于零的r阶子式.
我们可以进一步得出, 设α1, α2, …, αm是n维行 (或列) 向量 (m≤n) , 将其按行 (或列) 排成m×n (或n×m) 矩阵A, 若A的所有m阶子式都为零, 则α1, α2, …, αm线性相关;若A中由一个m阶子式都不为零, 则α1, α2, …, αm线性无关.
四、用向量组的秩判别
用向量组的秩判别 (向量组的秩可以转化为求矩阵的秩) , 设向量组R (α1, α2, …, αm) =r, 则当r
推论3 n个n维向量组线性无关的充分必要条件是它们所构成的n阶矩阵的行列式不等于零.
推论4当m>n时, m个n维向量α1, α2, …, αm必线性相关.
以上四种方法选择哪一种则要因题而异, 如果是简单的理论证明则选第一种方法, 如果向量组组成的矩阵数比较简单则可用子式来判别.
参考文献
[1]张禾瑞, 郝炳新.高等代数.第四版.高等教育出版社.
[2]陈芳, 徐仲, 等.高等代数.第三版.西北工业大学出版社.
[3]数学教育网.
判定向量组线性相关性的若干方法 篇7
一、对向量坐标已知的向量组
设向量组为α1=[a11, a12, …, a1n, ], α2=[a21, a22, …, a2n, ], ……αs=[as1, as2, …, asn].
要判断其相关性, 分以下两种情形:
1. 当向量个数=向量维数, 即s=n时, 设A=[α1, α2, …, αs]T.
(1) 行列式法
计算|A|, 若|A|=0, 则向量组α1, α2, …, αs线性相关;若|A|≠0, 则向量组α1, α2, …, αs线性无关。
(2) 初等变换法 (求秩法)
将向量α1, α2, …, αs组排成矩阵A, 即A=[α1, α2, …, αs]T (若αi是列向量时, 将其排成列, 构成矩阵A, 即A=[α1, α2, …, αs]) , 再求矩阵A的秩.具体地, 若R (A) <s, 则向量组α1, α2, …, αs线性相关;若R (A) <s, 则向量组α1, α2, …, αs线性无关。
以上情形很简单, 不再举例。
2. 当向量个数向量维数, 即s≠n时, 只须初等变换法 (求秩法) 即可。
例1判断下列向量组是否线性相关。
注:由于向量组的秩不会超过向量组中向量的维数, 所以有如下结论:一个向量组, 当其向量的维数小于向量的个数时, 该向量组一定线性相关.本例的 (1) 题就是这种情形.而当其向量的维数大于向量的个数时, 情况就比较复杂, 要用初等变换法 (求秩法) , 如本例的 (2) 题。
二、当向量坐标为未知时
此时用定义进行判断.从等式k1α1+k2α2+…ksαs=0出发, 解出k1, k2, …, ks, 若k1=k2=…=ks=0, 则向量组α1, α2, …, αs线性无关;若k1, k2, …, ks不全为0, 则向量组α1, α2, …, αs线性相关。
例2%设向量组α1, α2, …, αs线性无关, β1=α1-α2+2α3, β2=α2-α3, β3=2α1-α2+3α3, 判断向量组β1, β2, β3的线性相关性。
解:用定义法.设存在数k1, k2, …, ks, 使k1β1+, k2β2+k3β3=0,
将β1, β2, β3代入并整理得
因, 故齐次线性方程组有非零解, 从而存在不全为零的数k1, k2, k3, 使k1β1+k2β2+k3β3=0, 从而向量组β1, β2, β3线性相关。
事实上, 此题可用以下方法。
三、相关定理或结论
用相关定理或结论判定向量组的线性相关性, 也是很重要的方法, 这要求熟记很多相关定理或结论。这里给出一个很有用的结论:
若一组向量可以写成另一组线性无关向量的线性组合, 且两个向量组向量个数相等, 可计算其表示系数的行列式。若这个行列式等于零, 则线性相关;否则线性无关。
例3已知α1, α2, …, α3, α4线性无关, 判断下列向量组的相关性。
注:此题中, 已知的线性无关向量组α1, α2, …, α3, α4和考察的向量组β1, β2, β3, β4, 这两个向量组向量个数必须相等。若所考察的向量组β1, β2, …, βr与已知的线性无关向量组α1, α2, …, αs向量个数不相等, 即时r≠s, 此方法显然行不通, 此时要用定义法。
以上介绍了判定向量组线性相关性的一些常用的方法, 在应用时, 要看清问题中向量组给出的形式及其他条件, 有针对性的选用方法, 才能准确、快速地解决问题。
参考文献
[1]上海交通大学数学系.工程数学-线性代数 (第四版) [M].北京:高等教育出版社, 2005.
非线性相关 篇8
基于CBIR系统的医学图像检索包括特征提取、相似性度量、相关反馈等步骤[2]。特征提取是医学图像检索的基础,主要有纹理、颜色、形状等图像特征,传统单一特征不能全面描述图像信息,经常把不相关图像当作检索结果[3]。为解决弥补该缺陷,有学者提出了多特征的医学图像检索算法,通过多特征进行融合,进行特征之间的互补,图像检索效果得以提高[4]。然而简单地将多种图像特征进行组合,导致特征集中存在大量的冗余特征,使后续医学图像检索计算复杂度过高,影响图像的检索准确率和检索率[5]。局部线性嵌入( Local Linear Embedding, LLE) 算法是一种较好的特征组合、降维处理方法[6]。由于用户视觉感知与底层图像特征间存在着“语义鸿沟”, 对图像检索结果不利影响,难以获得令用户满意的检索结果。近年来,出现相关反馈( Relevance Feedback,RF) 算法解决“语义鸿沟”问题[7 - 8]。相关反馈技术通过对用户检索需求进行实时跟踪,使得检索结果更符合用户的要求[9]。最小二乘支持向量机( LSSVM) 将支持向量机的不等式约束转化为等式约束,采用最小二乘线性系统作为损失函数代替支持向量机所采用的二次规划,运算速度加快,更加适合于实时要求高的医学图像检索[10]。
为了提高医学图像检索准确率,提出一种局部线性嵌入算法和相关反馈相融合的医学图像检索方法( LLE - RF) ,首先通过提取颜色特征和纹理特征,描述图像空间、 结构信息,然后通过LLE算法对特征进行组合和降维处理,较好地消除特征中冗余信息,并采用欧式距离进行初步检索,最后引入用户反馈信息,利用LSSVM对初步检索结果进行相关反馈,并采用医学图像数据进行仿真实验, 以验证算法的有效性。
1提取图像特征
1. 1提取颜色特征
1) 对于一幅M × N的医学图像I,以单元格m × m将其划分为互不重叠的子块图像。
2) 对于每个子块,计算RGB颜色分量的均值,按照方块编码的思想,将子块内像素值大于均值的编码为1, 反之编码为0。以R颜色分量为例,其定义为
式中: R( x,y) 表示( x,y) 处的像素值; μR为子块内的像素灰度均值。
3) 对于每个方块c,提取 μRH和 μRL两个统计量作为颜色特征的描述,具体如下
4) 为减小图像尺度变化的影响,分别对 μRH和 μRL进行归一化处理,具体为
式中: C为图像划分的子块数。
在此基础上,采用式( 4) 求取归一化后的信息熵作为图像的颜色特征。
5) 重复上述步骤,依次求出G分量的EGH和EGL, 以及B分量的EBH和EBL。
6) 构造颜色特征矢量E = ( ERH,ERL,EGH,EGL, EBH,EBL) 。
1. 2提取图像纹理特征
纹理反映了物体表面或结构的性,为了有效提取图像的纹理特征,首先将彩色图像转化为灰度图像
采用滑动窗口的办法逐点分块来计算灰度的矩特性。设灰度图像I在坐标( x,y) 处像素点的灰度值为f ( x,y) ,该像素点K × K邻域的一阶、二阶中心矩分别为
式中: l = ( K -1) /2。
一阶矩是刻画该邻域内的平均灰度,而二阶中心矩刻画的是该邻域内灰度同平均值的偏差程度,可以描述反映出医学图像的纹理特征,但二阶矩分析图像所包含的图像整体信息较少,为此提出了邻域统计矩共生矩阵。
对于图像中任一区域V,定义S为V中具有特定空间联系的像素对的集合,则可得到归一化的共生矩阵
邻域统计矩共生矩阵描述的是在 θ 方向上,距离为d的一对像素的值分别为 μ1和 μ2以及 σ1和 σ2出现的概率。
分别对每个共生矩阵提取能量W1、对比度W2、相关性W3和同质性W4等4个统计量,其定义分别如下
构造特征矢量W = ( W(θi，μ),W(θi，σ)) ,则共得到32维特征矢量,其中i = 1,2,3,4 ,θ = 0°,45°,90°,135° 。
1. 3图像特征降维处理
设医学图像特征集为X = { x1,x2,…,xn} ,LLE算法在保持数据映射前后局部几何结构不变的同时,获得低维数数据集X = { y1,y2,…,yn} 。具体步骤如下:
1) 确定邻域点个数k,采用欧式距离法计算出xi最近的k个近邻点。
2) 设wij表示数据点xj对x的重构贡献,那么权重矩阵W通式( 13) 求得。
3) 通过式( 14) 求得低维向量yi
2医学图像相似性度量及相关反馈
2. 1图像相似性度量
对图像颜色特征相似性采用平均距离度量
式中: Q为图像库图偈; P为待检索图像。
对于图像的纹理特征,先对特征进行内部归一化,归一化后特征矢量为,然后采用欧式距离计算相似度。
由于Dcol和Dtex取值范围不同,在结合二者进行检索时需要对其进行“外部归一化”处理,处理方法如下
式中: σcol和 μcol,σtex和 μtex分别表示Dcol和Dtex的标准差和均值。
两幅图像间的距离可表示为
式中: w1和w2分别为颜色和纹理特征的权重,并且满足w1+ w2= 1 。
2. 2 LSSVM的反馈步骤
1) 利用图像检索算法对医学图像进行初步检索。
2) 对检索结果的前N幅医学图像进行标记,相关图像为正样本( I+) 和无关图像为负样本( I-) 。
3) 构建支持向量机的训练集( xi,yi) ,xi∈ I+∪ I-示相关图像和不相关图像的特征,则有
4) 利用支持向量机对图像训练集进行学习,并建立图像分类器
5) 对于图像库中每一幅图像X,计算score ( Ii) = f( xi) 。
6) 计算待检索图像的core( Iq) = f( xq) ,并同时计算待检索图像与图像库中每一幅图像之间的相似度。
7) 根据得到的相似度值按从小到大进行排序,并返回医学图像结果。
3仿真实验
3. 1数据来源
数据来源于某医院的胸部CT图像、脑MRI图像、肺部CT图像、头部CT图像、胃镜图像、脊椎CT图像等6类图像,每类图像50幅,共包括300幅图像。从每类图像中随机选择45幅图像作为训练集,剩余5幅图像组成验证集。在AMD Athlon Dual Core 3. 8 GHz CPU,4 Gbyte RAM,Windows 2000操作系统的计算机上,采用VC + + 编程实现。
3. 2对比算法及评价标准
为了使LLE - RF算法的检索结果具有可比性,采用检索准确率作为算法性能评价标准。准确率定义如下
式中: r表示查询结果中与查询图像相关的目标图像数; a代表检索结果返回的图像总数。
3. 3结果与分析
3. 3. 1滑动窗口的大小K确定
对于邻域灰度共生矩阵特征,滑动窗口的尺寸大小K的选择十分关键,从K = 3开始,逐步增加,得到的检索结果如图1所示。从图1可知,K = 5时图像的检索效果最好,因此将其作为最优滑动窗口的大小。
3. 3. 2灰度共生矩阵改进前后的检索结果对比
为了评价对灰度共生矩阵改进效果,采用改进前后的灰度共生矩阵进行对比实验,图像的初步检索结果如图2所示。从图2可知,相对于传统灰度其生矩阵,邻域灰度共生矩阵算法可以更加有效地提取医学图像的纹理特征,提高了图像的检索精度,主要是由于邻域灰度共生矩阵不仅可以提取医学图像的局部邻域特征,同时融合了医学图像的统计信息和空间结构特征。
3. 3. 3不同特征检索结果对比
采用全部原始特征、颜色特征、纹理特征以及LLE算法降维处理后的特征进行对比实验,得到平均检索正确率,如图3所示 。
对图3的结果进行分析可以得到如下结论:
1) 相对于单一特征( 颜色或纹理特征) ,组合特征的检索结果更优,这表明单一特征的信息量不够,仅有图像部分信息,无法全面、准确地描述图像内容,而且组合特征可以从多个方面对图像内容进行描述,并达到了信息互补,从而使图像检索正确率得以提高。
2) 通过LLE算法对特征进行降维处理后,医学图像检索正确率要高于原始组合特征,这表明原始组合特征中存在一些冗余特征,这些冗余特征对医学图像检索结果会产生不利影响,导致分类器的计算复杂度增大,然而通过LLE算法降维处理后,较好地消除了冗余特征,提高了医学图像检索正确率和检索效率。
3. 3. 4反馈前后的检索结果对比
对于脑MRI图像,采用欧式距离相似性度模型得到的其初步检索结果,具体如图4所示,从图4可知,虽然取得较好的检索结果,但是有2幅不相关图像,因此通过用户反馈对训练样本进行标记,并通过LSSVM学习得到图像检索分类器,得到反馈后的检索结果,具体如图5所示。 从图5可知,经过LSSVM反馈检索,可以得到更优的图像检索结果。
对于所有医学图像,反馈前后算法检索结果如图6所示。从图6可知,相对于没有反馈算法,LLE-RF算法检索准确率可以满足医学图像检索要求,对比结果表明, LLE-RF算法首先对灰度共生矩阵提取纹理特征算法进行改进,可以获得更优的原始医学图像特征,并充分考虑医学图像的颜色,达到了医学图像特征之间的互补,然后采用LLE算法对特征进行降维处理,消除了原始特征中的冗余信息,最后引入了用户的反馈信息,采用非线性学习能力强的LSSVM对初步检索结果进行修正,进一步提高了查全率与查准率,结果表明,LLE-RF是一种有效的医学图像检索算法。
3. 3. 5与文献[11]算法的性能对比
为了进一步让LLE-MF的结果具有说服力,与文献[11]的方法进行对比实验,两种方法的查全率如图7所示。从图7可知,相对于文献[11]的算法,LLE-MF的医学图像查全率略有提高,这表面LLE-MF与文献[11]均采用流形学习和相关反馈,但是LLE-MF采用非线性学习能力强的LSSVM算法建立图像检索分类器,得到的检索结果更优 。
4结束语
针对医学图像检索过程中的特征提取 、 相关反馈问题,提出一种局部线性嵌入算法和相关反馈相融合的医学图像检索方法( LLE-MF ) 。 仿真结果验证了LLE-MF的有效性和优越性,可以获得更好的医学图像检索结果 。
摘要：为了提高医学图像检索的正确率,提出一种局部线性嵌入算法和相关反馈相融合的医学图像检索方法(LLE-MF)。首先根据方块编码的思想提取颜色分量的信息熵,并利用邻域灰度共生矩阵提取纹理特征;然后采用局部线性嵌入算法对颜色和纹理特征进行组合、降维处理,并采用欧式距离相似度量模型对图像初步进行检索,最后采用最小二乘支持向量机对初步检索结果进行相关反馈,并进行仿真测试。结果表明,相对于其他医学检索算法,LLE-MF不仅提高了医学图像的检索准确率,而且提高了医学图像的检索效率,可以准确地找到用户所需的图像。