非线性弹性地基（共7篇）
非线性弹性地基 篇1
引言
非线性波动的研究对于解决物理学、化学、生物学和地球物理学中遇到的复杂现象和问题有着极其重要的意义.孤立子理论的建立是非线性波动理论发展中的一项重大成就.在非线性物理许多领域,已经发现一大批非线性演化方程具有孤立子解.孤立子的典型特征是在其传播过程中伴随有能量的集聚,且孤立子间相互作用时表现出犹如粒子弹性碰撞一样的行为.这些特征在流体动力学、光纤通讯、等离子体及生物学等领域已开始获得了一些应用[1].近年来,对于固体结构中的应变孤立波的研究也取得了某些进展[2,3].本文将研究涉及固液耦合作用的埋置于弹性地基内的充液压力管道中非线性波的传播,寻找其孤立波解.
充液管中波的传播一直是一个十分活跃的研究领域,管壁的膨胀性和流体的压缩性可导致压力波沿管的轴向传播.依管的刚度和流体的可压缩性不同,所涉及问题大致可分为两类.如果管壁是刚性的,且流体的压缩性是不可忽略的,这类问题构成了水锤理论的基础,它在化工、核电等工业部门有着重要的作用.如果管壁刚性相对较弱,而流体几乎不可压缩时,这类问题相应于诸如血管中和输油管中脉冲传播的力学模型.本项研究属于后一类问题.充液管中压力波的传播研究至少有两百年的历史,较早的研究只能处理线性问题,如充液弹性薄壁管中波的传播速度和周期波的传播以及预应力管、黏弹性管和变截面管中波的传播问题.20世纪80年代以后,由于非线性科学发展的推动,开始了充液管中的非线性波、特别是孤立波的研究.过去二十多年中,根据所关心的问题不同,考虑不同效应的耦合,采用不同的力学模型,得到了一批有意义的成果.文献[4]是最早研究充液弹性薄管中非线性压力波的文献之一,基于曲面理论,借助张量工具导出了管壁运动方程.另外,特别值得一提的是H.Demiray及其合作者在这一领域发表了大量论文[5,6,7,8],在他们的模型中,大多数是假定管壁中有预加应力.
本文研究埋置于弹性地基内充液压力管道中的非线性波,对模拟地下输运管线或包裹在肌肉内的血管中的血液流动等有潜在的应用背景.本研究中,假设流体为不可压缩理想流体,管外地基反力采用Winkler模型,认为地基每单位面积的反力Pe与管壁的法向位移ω成正比,即Pe=kw.对于管壁的分析,使用了类似于文献[4,9,10]在充液管中压力波的研究中所采用的一个假定,即不计轴向应力的影响.正如文献[4]评述的那样,这个假定对于描述某种现象可能不够充分,然而对血管中脉冲波传播的绝大多数特性均能从这个模型得到合理的解释.另外,还假设管壁是橡胶类材料或软组织材料,在其变形过程中考虑了半径和壁厚的变化,从而导致壁厚运动方程是非线性的.初始时,假定在内压P0的作用下,管壁和流体均处于静止平衡状态;管壁中的动力位移场及流体流速和压力的变化是叠加在这个平衡状态上的微小扰动.在长波近似条件下,流体的压力和速度沿半径方向进行平均,仅沿轴向是变化的,即流体流动是一维的.基于该物理模型,建立其非线性数学模型,并利用约化摄动法求解该模型.
1 控制方程
1.1 管内流体的质量守恒方程
考虑一维流动,管中流体的质量守恒方程为
式中,ρf为流体密度,A为管内横截面积,V为流体轴向流动速度,x和t分别为轴向坐标和时间坐标.若流体是不可压缩的,则式(1)变为
1.2 管内流体的动量守恒方程
考虑沿x方向的流体动量守恒,对于理想流体有
式中,Pi是管内流体压力,Pi和截面积A之间的关系可以是相当复杂的,为了简单起见,引入一个简化假定[9],即认为面积A仅依赖于过剩压力Pi-Pe,即
其中,Pe为管壁外部压力.
1.3 管壁的法向运动方程
为清楚起见,将管壁的状态或构形分为3种情况(如图1).当Pi=0时,从而Pe=0,管处于无应力自然状态,称其为原始构形,此时管的半径和厚度分别记作R0和H0;当内压Pi=P0时,管壁的法向位移为w0,地基反力为Pe=kw0,此时的管半径和厚度分别记作r0和h0,流体速度V=0,这是一个静力平衡状态,称其为中间构形,或参考构形;从t=0时刻开始,系统进入扰动状态,我们称此后时刻t的构形为瞬时构形或现实构形.在瞬时构形中,内压Pi=Pi(x,t),Pi=Pi-P0为内压的扰动,流体速度为V(x,t),管的半径为R,厚度为h,法向挠度为w0+w,w=w(x,t)为从参考构形算起的挠度,地基反力为Pe(x,t)=k(w0+w).对于软组织材料,认为管壁不可压缩,则有R0H0=r0h0=Rh.根据这3种构形,容易得到
以原始构形为基准度量环向应变,于是有
式中,和εθ分别为中间构形和瞬时构形中的环向应变,为中间构形的环向伸长比.相应的环向应力为
Δσθ为从中间构形到现实构形环向应力增量,E为弹性模量.
在图2所示的现实构形中,考虑动力平衡,有
式中,P=Pi,ρω是管壁的密度.利用几何关系(6)和弹性关系(7),经适当整理后,式(8)可写成
式(9)是关于半径R为变量的运动方程.在中间构形上w=0,R=r0,式(9)退化
这正是参考构形的静力平衡方程(Laplace定律).
为了与方程(9)相协调,方程(2)也应变成关于R的方程,为此将A=πR[2]代入方程(2),可得
2 方程的综合及其求解
综合方程(3),(9)和(11),经适当整理可得关于埋置于弹性地基内充液压力管道中非线性波的动力学方程组
其中,第2式中用P代替了Pi.方程(12)是关于3个变量P,V和R的方程组.除了流体的对流项引起的非线性,上式第3个方程表明管壁方程也是非线性的.线性化表明,方程组(12)具有弱弥散性,应用约化摄动法求解.为此,采用以下G-M变换[11]
相应地,有
将式(14)作用于方程组(12),得到
假定方程中的各场量可以表达为如下渐进展开
式中ε为小参数,将式(16)代入到(15),得到关于ε的一阶、二阶方程组.O(ε)阶的方程为
O(ε[2])阶的方程为
对式(17)进行直接积分,取积分常数为零(由于ξ→∞,V1=R1=P1=0),可得
可以看出,一阶摄动得到了R1,P1和V1之间的关系,同时也给出了c0的表达式,要c0为实数,则要求β>0.将式(20)代入到二阶的方程(18),有
其中,.从式(21)中消去P2,R2,V2,得到
其中,.式中左边第1项为非定常项,第2项为非线性项,第3项为弥散项,α为非线性系数,γ为弥散系数.若令u=αU,则可得以下标准形式的KdV方程
u和U只是幅值相差α倍.KdV方程(22)有如下形式的孤立波解
可以看出,波速c与波的幅值有关,这是非线性波的特点.若要求c>0,则γ>0.
3 结论与讨论
(1)本文在长波近似情况下,研究了埋置于弹性地基内充液压力管中非线性波的传播,借助约化摄动法从流固耦合的动力学方程组中得到了KdV方程.结果表明,该流固耦合系统在一定条件下会有孤立波解存在.由于孤立波有许多重要特性,因此得到的结果会在生物医学工程或其它工业部门的相关问题研究中有一定参考价值.
(2)从解的表达式(24)看出,方程(22)中的参数α和γ对孤立波的形成与传播有重要作用.α与波的幅值成反比,波的宽度与γ的平方根成正比.显然,α和γ的值越小,波就会越陡峻(steeping)和峰化(peaking),这些现象应该是孤立波应用的重要指标.另外,波的幅值与波的传播速度成正比,这是非线性波的基本特征.如在G-M变换中取c0>0,则方程(21)中的a>0,从而有γ>0,α和γ同号就要求,进一步分析可得孤立波存在的条件是
在上式令k=0,并利用式(10),可以给出
式(26)为无弹性地基存在时的孤立波存在的条件.分析式(25)可以看出,弹性地基的存在,扩大了式(26)对ω0的要求范围.顺便指出,地基系数k过大,相当于大大增加了管壁的刚度,当其到达一定程度时,流体压缩性便不可略去,此种情况已不是本文研究所关心的问题.
(3)在已有相关研究中,描述管内流体运动的方程基本相同,大都是一维流动,至多再引入流体的黏性.对于描述管壁的模型,类型就比较多.一般认为管壁有软材料制成而不计其弯曲刚度,又考虑到周围基体的轴向束缚,认为轴向位移x=0.本文主要考虑基体法向束缚而引入了弹性地基,对管壁采用了类似于文献[4,9,10]的处理,略去了轴向膜应力作用,而考虑到软材料的特性,通过考虑半径和壁厚的变化引入了非线性.
摘要：研究了埋置于弹性地基内充液压力管道中非线性波的传播.假设管壁是线弹性的,地基反力采用Winkler线性地基模型,管中流体为不可压缩理想流体.假定系统初始处于内压为PO的静力平衡状态,动态的位移场及内压和流速的变化是叠加在静力平衡状态上的扰动.基于质量守恒和动量定理,建立了管壁和流体耦合作用的非线性运动方程组;进而用约化摄动法,在长波近似情况下得到了KdV方程,表征着系统有孤立波解.
关键词：弹性地基,充液圆管,约化摄动法,孤立波
参考文献
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[11]刘式适,刘式达,谭本馗编著.非线性大气动力学.北京:国防工业出版社,1996
浅谈弹性地基模型的发展 篇2
1 弹性地基模型
1.1 Winkler理论简介
Winkler地基模型是一种最简单的线弹性地基模型。Winkler理论实质上是将地基假定为互相独立的弹簧, 认为地基土体不连续。它假设地基土任意点所在位置的沉降w和该点承担的压力强度p (x, y) 成正比。其特征是:地基变形只发生在基础范围内, 某点的变形仅与该点的荷载有关。Winkler理论只适合于力学性质与水相近的软弱地基。
1.2 半无限弹性假定 (简称弹性理论法)
该法依据弹性理论来求解弹性地基梁板。假定地基为一均质的半无限直线变形体, 利用弹性理论中的布辛奈斯克 (Boussinesq) 公式, 依据地基挠度跟地基变形相等的原则, 来求解地基反力。许多试验与实测资料都证明, 按半无限弹性体假定求解地基变形时, 计算结果要比实际大。根据弹性半无限体假定提出的地基梁的近似解法主要有以下两种。
1.2.1 幂级数法
假设地基为半无限弹性体, 地基梁的基本微分方程式为:
将地基反力p (x) 近似地表示为有限项的幂级数, 并代入上式 (1) 得到地基上任一点的沉降函数的多项式表达式。另外由梁的静力平衡以及梁上任一点处的力矩平衡, 又可以得到两个含有基本未知量的方程。当幂级数法所取的级数项数较多时, 结果的准确性比较好。
1.2.2 差分法
1.3 双参数弹性地基模型简介
双参数模型又称为改进的Winkler地基模型。双参数地基模型是由两个弹性参数来表示的, 所以称为双参数模型。双参数弹性地基模型是经两个不同途径发展起来的。其一是在Winkler地基模型中引入能传递剪力的假想介质以消除其不连续性。其二是开始于弹性连续介质模型, 将约束引入或者将位移的分布和关于应力的某些假定进行简化。这就使得此类模型在保持连续性的同时, 又具有原模型简单的优点。Filonenko-Borodieh[2]假想在Winkler地基表面有一张力为常数T的弹性薄膜, 以使Winkler地基的挠度获得连续性。由此得到地基表面的挠度与荷载的关系如下:
帕斯卡纳克Pasternak[3]假设各弹簧间存在着剪切的相互作用, 这一点通过将弹簧与一层只能产生横向剪切变形的却不可压缩的剪切层相连接来实现, 因此可以得出地基表面的挠度与荷载关系为:
符拉索夫Vlazov[4]从弹性力学空间问题的基本方程出发, 对于平面位移沿竖向按某一设定的函数关系变化。通过虚位移原理得到,
双参数地基模型不同于传统的地基模型, 它的优越性已经被许多研究者所证实。双参数弹性地基梁板已取得了很大进步, 但是要想在工程实际中有很好的应用, 还需要做大量的工作。
2 结语
弹性地基梁的研究涉及地基土的模型和求解计算方法, 而它的理论分析和计算方法是在实践中不断完善和创新的。因此, 建筑工程中应选择合理的地基模型加以运用并进一步的完善和发展。
摘要：本文通过介绍几种弹性地基模型及其优缺点, 给出了基于Boussinesq地基模型和双参数地基模型的一些计算方法, 指出了弹性地基梁的理论分析和计算方法的重要性。
关键词：弹性地基梁,Boussinesq地基模型,双参数地基模型
参考文献
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非线性弹性地基 篇3
1 方程的建立
在连续介质力学中, 有两种描述方法, 即Lagrange和Euler描述。由于在Lagrange描述下的运动方程比较简单, 所以, 采用Lagrange描述。为了方便, 假定x为Lagrange坐标轴, σ和ε和分别为Lagrange描述下的纵向应力、应变。对于均等的等截面圆杆, 由动量守恒定律可得在Lagrange描述下的不计体力的纵向运动方程为:
其中ρ为杆的材料密度, u为纵向位移。在文献[5]中取材料的本结构关系为:
得到了广义Kdv-Burgers-Kuramoto方程。假定材料的本结构关系为:
其中ε (x, t) =ux (x, t) 为应变, E为材料弹性模量, an和n为材料常数, an<0为软非线性材料, an>0为硬非线性材料, η为粘性系数, ν为泊松比, K为截面极回转半径, μ为不稳定系数。把 (2) 式带入 (1) 式中, 整理后可得用位移表示的弹性杆的纵向运动方程为:
其中c02=E/ρ0是线弹性纵波波速的平方, α′=ann, β′=η/ρ0, γ′=ν2K 2, λ′=μ/ρ0, 做变换
考虑到本构方程后四项与第一项相比为一阶小量, 则将 (4) 式带入 (3) 式, 略去二阶以上小量, (3) 式可变为:
若令
将 (6) 式带入 (5) 式可得
其中α=-2β′/c03α′, β=4γ′/c02α′, γ=-8λ′/c04α′。 (7) 式中当材料常数n=2时, 就得到了弹性杆纵向运动的Kdv-Burgers-Kuramoto方程:
该方程包含非定常项、非线性项、耗散项、频散项和不稳定项, 其中ανξξ和γνξξξξ为耗散项或不稳定项 (当α<0和γ<0时, ανξξ表示耗散项, γνξξξξ表示不稳定项, α和γ分别称为耗散系数和不稳定系数;当α>0和γ>0时, γνξξξξ表示耗散项, ανξξ表示不稳定项, α和γ分别称为不稳定系数和耗散系数) , βνξξξ为频散项 (β>0称为正频散, β<0称为负频散, β称为频散系数) [7,8]。
当β=γ=0时, (8) 式化为Burgers方程;当β=0时, (8) 式化为Kuramoto方程 (或称为KS方程) ;当α=γ=0时, (8) 式化为KdV方程, 对于非线性弹性杆中的Burgers方程和KdV方程文献[1,2]进行了求解与讨论得到了冲击波解和孤立波解
2 方程的求解
对于 (8) 式采用推广的Tanh函数法[9,10]进行求解。Tanh函数法的思想是为偏微分方程:
寻找形式解:
其中, ω=tanh (kz) , z=x+ct, m可通过平衡方程 (9) 的非线性项和最高阶导数项得到。而推广的Tanh函数法是利用一个带参数的Riccati方程:
将 (11式、 (10) 式带入 (9) 并令ωi的系数为零可得到关于ai (i=0, 1, …, m) , b, c的代数方程组, 从而将这些系数确定下来。由于 (11) 式可以随b的符号不同而得到不同形式的解:
因此, 可以借助于b的变化得到 (9) 式不同形式的解析解。
按照这种方法要求解 (8) 式, 需要做变换:
将 (17) 式代入 (8) 式可得:
将 (19) 式代入 (18) 式可得关于a0, a1, a2, a3, b, c0的代数方程组:
解此方程组 (20-27) 式可得:
从 (28) 式可以看出, 当αγ>0时, b<0, (8) 式的解为:
当α=0时, b=0, (8) 式解为:
当αγ<0时, b>0 (8) 式解为:
对于 (8) 式, 文献[7]在定性分析的基础上的到了冲击波解和孤立波解。而这里采用推广的Tanh函数法求得的解更加丰富。
参考文献
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非线性弹性地基 篇4
岩石物理实验在当今的地球物理勘探和地震资料解释中越来越凸显其举足轻重的地位, 对于岩石物理这一基础学科的研究有助于从根本上了解岩石本身性质及其内部结构, 对地震波速度异常的解释具有十分重要的作用, 实验作为岩石物理基础内容, 对其研究也就有了现实指导意义。
按照胡克定律, 我们可知岩石体应变与体应力之间的关系:σ=Eε, 也即是体应变与体应力之间存在线性关系。非线性弹性[1], 即是指在实际岩石物理实验中, 宏观表现上体应变和体应力之间不是线性关系, 这种非线性弹性关系存在使得岩石物理实验存在诸多变数。对岩石的非线性弹性的研究将有助于提高岩石物理测定精度和操作规范性。对该类问题的研究主要从两个方面着手: (1) 是岩石内部的空隙, 岩石内部普遍存在诸多空隙, 这些空隙按照加压后的“反应”分为两类, 第一类是加压后就逐渐闭合的空隙, 称之为“软空隙”, 第二类是加压后 (本实验取30Mpa) 不易闭合的空隙, 称之为“硬空隙”。[2]这些空隙的存在是岩石非线性弹性的根本原因, 在本实验中, 测试对象致密砂岩的声波速度主要与空隙相关, 对其声波速度的测试能直观反映空隙的变化情况; (2) 滞后效应[3], 是指事物的发展需要经历由微到著, 由潜到显的变化过程, 致使在复杂事物的因果链条中, 事物的发生原因与事物发生的实际响应存在一定时间的间隔, 我们将这种延迟了较长时间的现象称为滞后效应。滞后效应在岩石物理实验中具体表现为压力已到达目标值, 岩石样品内部压力未达到目标值从而使得宏观表现滞后于压力的变化。由于滞后效应的存在, 导致了实践结果的多样性与不确定性。
1 实验及结果分析
在目前的岩石物理实验中, 测定岩石在不同压力情况下岩石速度实验极为常见, 在此实验中, 滞后效应的影响不容忽视, 它作为岩石的一种重要性质, 对滞后效应的研究对岩石物理实验具有十分现实的意义。本文所选用的实验对象为来自CQ地区的一批致密砂岩, 实验前均将实验样品至于80°干燥箱中干燥24小时, 确保足够干燥状态, 此外, 本实验仪器选用的是SCMS-E高温高压岩心多参数测试仪, 实验采用的是脉冲穿透法, 纵波发射频率为700KHZ, 按照5mpa为梯度, 实验获取不同压力 (0-60MPA) 下岩石的纵波速度。
实验结果图:
实验结果分析:
图1是选取CQ地区的9快致密砂岩样品测试成果图, 不同的岩石样品纵波速度随压力变化趋势图;图2则是一块岩石样品的压力-纵波速度曲线图, 在本图中, 分段拟合了30Mpa前和30Mpa后的变化趋势, 从图中我们可以看到: (1) 0-30MPA实验结果拟合成指数曲线, 即纵波速度与压力的增加不呈线性关系, 而是表现为非线性关系, 岩石物理性质上表现为非线性弹性; (2) 对30-60MPA的实验结果进行拟合, 发现可以用线性直线很好的拟合实验结果, 即表现为线性关系, 在岩石物理性质上为线性弹性; (3) 实验等待稳压的时间越长, 实验结果与拟合曲线更为相近。
岩石内部空隙的“软空隙”在0-30MPA阶段, 随着压力的增加, 逐渐由“开”变为“关”, 随着压力的增加, 关闭的速率逐渐放慢, 可关闭的“软空隙”越来越少, 岩石等效密度逐渐变大, 变大速率逐渐变小, 岩石的速度也随着逐渐变大, 变大速率逐渐变小;在30-60MPA阶段, 此时“软空隙”已全部关系, 由“硬空隙”和岩石基质骨架组成的部分变现出线性弹性性质, 即遵循胡克定律中应变与应力关系:σ=Eε, 此时岩石等效密度与应力也呈线性关系, 宏观变现为岩石速度与压力呈现线性增加关系。对比同一块岩石不同稳压等待时间可以看到, 随着等待时间的增长, 岩石速度与围压的关系更加符合拟合结果, 这表明等待稳压的时间越久, 岩石声波速度测定的精度越高。
2 意见和建议
岩石的非线性弹性性质是一种极为常见的岩石特征, 特别是对于岩石物理实验这一类高精度实验项目而言, 更是一个不可忽略的因素, 因此, 作者就此对岩石物理实验提出几点建议和改进意见: (1) 岩石物理实验需本着实事求是的精神, 认真记录每一次观测到的实验结果, 确保第一手资料的真实可靠; (2) 岩石物理测试过程中, 不同的测试人员需统一标准, 特别是在选取初至的时候, 统一选择某一个特征清晰明显的起跳点作为初至点, 一次实验过程和全部实验过程都保持这一标准, 可尽可能使得测试的结果准确, 避免人为的误差; (3) 岩石物理实验的加压和泄压过程都是一个动态的过程, 因为滞后效应的存在, 从而使得在该动态过程中, 在压力达到某一个测试目标压力值附近时, 在实际情况允许范围内尽可能选择长的等待稳定时间, 且保证每次等待时间大致相同, 尽量减少滞后效应对每单次测量结果的影响; (4) 建立滞后效应模板, 对某一沉积稳定, 岩性稳定的区域, 可以选择进行岩石样品的长时间滞后效应观测试验, 结合地震和实际录井资料, 绘制滞后效应模板图, 从而对以后测得的岩石速度值进行校正。
参考文献
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非线性弹性地基 篇5
车轮是轨道交通车辆的关键零部件, 在各种复杂运营工况下, 车轮受到疲劳载荷作用而导致材料出现疲劳损伤和破坏, 需要对车轮进行疲劳强度校核[1], 以保证车辆的安全行驶。
1 弹性车轮结构
图1所示为常州南车铁马科技实业有限公司最新研发的采用块状橡胶的弹性车轮结构分解图, 其主要部件包括轮箍、轮心、压环、橡胶块以及紧固连接件。组装时将轮心固定, 通过组装压力设备对压环施加压力, 从而使橡胶块发生挤压变形, 并带动轮箍向下运动, 直至压环上表面与轮箍上表面平齐, 最后用紧固连接件进行连接。
2 橡胶材料本构模型
碳黑填充硫化橡胶是广泛应用的减振、隔振工程材料, 具有复杂的力学特性 (大变形、不可压、动态刚度阻尼、大应力幅值软化Mullin效应等) 。Mooney-Rivlin模型、neo-hookean模型、yeoh模型是较为常用的唯象本构模型。唯象本构模型采用多项式形式描述应变能密度函数, 如式 (1) 所示[2]:
式中, Ci, j, k为Rivlin系数, I1, I2, I3分别为第1、第2、第3 Green应变不变量, 表达式如下:
式中, λ1、λ2、λ3分别为3个主伸长率。对于不可压缩、碳黑填充天然橡胶材料, I2、I3关联性较小, (1) 式可改写为:
C30系数主要控制高应变率条件下的材料响应, 准静态分析采用的Mooney-Rivlin本构模型忽略该参数的影响, 上式改写为:
3 弹性车轮有限元模型
3.1 有限元模型
首先通过三维造型软件Pro/E进行建模, 依据经验对螺栓孔及工艺圆孔进行简化, 得到实体模型。采用通用的X-T格式导入ABAQUS软件中。图2所示为通过ABAQUS软件建立的有限元分析模型, 由于橡胶块分布以及加载位置不具有对称性, 为了真实反映弹性车轮整体的应力情况, 选取整个弹性车轮作为分析对象。轮心、轮箍和压环采用八节点线性六面体C3D8H单元, 杨氏模量E为2.1e5MPa, 泊松比λ为0.3。橡胶块采用八节点线性六面体C3D8IH单元, 橡胶生产厂家提供的Mooney-Rivlin常数C10=1.0 MPa, C20=0.25 MPa。
接触对即弹性车轮部件 (轮心、轮辋、橡胶块及压环) 在压装过程中所有可能的接触关系, 接触关系如图3所示。接触对的设置首先要保证计算过程中接触状态演化尽量平滑以满足收敛稳定性要求。接触属性定义包含法向与切向两方面内容, 查机械设计手册可知:钢与橡胶摩擦因数为0.05, 刚度缩放系数0.1, 钢与钢之间的摩擦因数为0.1, 刚度缩放系数0.1。
3.2 计算工况及边界条件
为了考察弹性车轮在压装结束后的应力分布状态及其在运行工况下的应力情况, 结合实际情况并根据UIC510-5标准[3]考虑了以下5种工况进行分析:
工况1为压装过程, 由于弹性车轮各部件存在过盈配合, 车轮装配状态存在较大的预应力, 这个预应力可视为车轮运动状态下动应力的平均应力状态, 约束轮心端面, 在压环上侧施加位移载荷, 压环带动轮箍、橡胶块向下运动至完全装配状态, 模拟压装过程;工况2~5为车辆运营工况, 载荷值定义如表1所示, 载荷作用位置如图4所示, 约束施加在轮心孔内侧面。
注:表中P0为轮重, 此处取P0=60 k N。α为系数, 保险起见此处取α=1。
4 静强度计算
在ABAQUS软件中按照上节的载荷及边界条件进行设置计算, 得到弹性车轮静强度计算结果 (见表2) , 压装过程结束后应力最大值位于压环内侧面, 直线工况、曲线工况和道岔工况应力最大值均位于轮轨接触点位置, 在各工况中轮箍与轮心均未发生干涉, 如图5所示。由表2还可以看出, 各部件最大应力均未超过其材料的许用应力, 且超常载荷下轮箍与压环之间无干涉, 弹性车轮结构设计合理。
5 疲劳强度评定
参照国际铁路联盟组织的UIC510-5标准[3]和欧洲联盟标准的BS EN 13979-1标准[4], 采用单轴疲劳破坏准则对弹性车轮进行疲劳强度评定。首先确定车轮在不同载荷工况作用下的主应力值和方向;将所有载荷工况作用下的最大主应力方向确定为基本应力分布方向, 其值为计算最大主应力σmax, 计算其与结构基准 (节点位置与车轮轴线组成的平面) 的夹角α。将在其他载荷工况作用下的主应力投影到基本应力分布方向上, 其投影值最小的应力值确定为最小主应力σmin, 如图6所示。由该位置的最大和最小主应力值计算平均应力σm和应力幅σa;用修正的Smith形式Goodman疲劳曲线或Haigh形式Goodman的疲劳曲线评定车轮的疲劳强度。
根据计算确定的最大和最小主应力, 按下式计算平均应力和应力幅:
弹性车轮初始压装应力状态即为平均应力水平。用修正的Haigh形式Goodman疲劳曲线评定车轮的疲劳强度。提取各节点的最大主应力、最小主应力计算应力均值和应力幅值, 然后绘制Haigh形式Goodman疲劳曲线, 对弹性车轮各部件有限元计算结果进行疲劳强度评估。在寿命评估时, 为模拟车轮旋转1周时其应力交替变化情况, 采用对称施加载荷的方式进行疲劳强度计算, 然后提取2种计算工况下危险截面的节点应力进行评估, 载荷施加方式及危险截面选取如图7所示。
通过计算并编制程序对危险截面边缘节点进行处理并绘制Haigh形式的Goodman疲劳曲线 (见图8) 。从图8中可以看出, 所有点都落在Goodman曲线之内, 表明车轮的疲劳强度满足要求, 并且安全裕量较大。
6 结论
(1) 弹性车轮在压装过程中及压装结束后, 以及在线路运营工况中各部件当量应力均在屈服极限范围内, 静强度均满足要求。
(2) 通过单轴疲劳破坏准则, 绘制危险截面边缘节点Haigh形式的Goodman曲线, 所有点均落在Goodman曲线内, 表明车轮疲劳强度满足要求且有较大的安全裕量。
(3) 在超常载荷工况下, 轮箍与压环之间无干涉, 说明此种弹性车轮结构设计合理, 安全可靠。
摘要：采用ABAQUS软件建立橡胶的mooney-rivlin本构模型以及整个弹性车轮的有限元模型, 对弹性车轮在运营过程各工况下的应力情况和疲劳强度进行分析、校核, 结果表明, 各部件在运营组合工况下危险界面点均落在Goodman曲线内, 且裕量充足, 这种采用块状橡胶结构的弹性车轮结构设计合理, 满足轻轨车辆的使用要求。
关键词：弹性车轮,非线性有限元,疲劳强度,橡胶
参考文献
浅谈弹性地基梁的计算方法 篇6
地基梁和地基相互作用问题属于接触问题范畴, 如果假设地基是弹性的, 这类基础梁就称为弹性地基梁。在计算弹性地基梁时, 重要的问题是如何确定地基反力与地基沉降之间的关系, 即如何选取地基模型的问题。
1 地基模型的分类
从历史发展上看, 在选取地基模型方面, 经历了一个由粗到精的过程。
1) 反力直线分布。
最古老的一种算法是假设地基梁与地基之间的压力按直线分布, 这样, 地基梁的问题就成为静定问题, 计算大为简化。但该假设完全没有考虑地基梁与地基之间的相对弹性, 在一般情况下, 计算所得的结果, 是不能令人满意的。
2) Winkler模型。
1867年提出的Winkler地基模型是一种最简单的线弹性地基模型。它假定地基土界面上任一点处的沉降仅取决于作用于该点的压力, 而与其他点上的压力无关。
浮式结构 (浮桥、冰层受弯等) 是严格符合Winkler地基模型的, 力学性质与液体性质相近的地基比较符合该假定。另外, 厚度不超过基底短边之半的薄压缩层地基因压力面积较大, 剪应力较小, 也与Winkler地基模型接近。
Winkler模型的最大缺陷是没有反映土介质的变形连续性。针对这个缺陷, 一些学者提出了一系列改进的Winkler地基模型——双参数模型和三参数模型, 它们考虑了地基中的剪应力。
3) 半无限体模型。
分为无限大半平面体和无限大半空间体两种类型。Boussinesq地基模型是无限大半空间体弹性地基模型中最简单的情况。该模型假设地基土是连续的、完全弹性的、各向同性的、均质的线性变形体, 而且在深度和水平方向上都是无限延伸的, 即把地基看成是均质的线性变形半空间体, 其力学特性用弹性模量E和泊松比μ来表征。
若P作用于坐标原点, 则表面任意点处的竖向位移为:
其中,
Boussinesq模型考虑了压力的扩散作用, 比Winkler模型合理些, 但该模型的应力扩散往往超过了地基的实际情况, 计算得到的变形和沉降往往较实测结果大。另外, 它没有能考虑到地基的分层特性、非均质性以及土体应力应变关系的非线性等重要因素。
2 弹性地基梁的算法
计算弹性地基梁时, 不论基于何种地基模型假定, 都要满足以下两个基本求解条件:
1) 地基和地基梁之间的变形协调条件, 即地基和地基梁在计算前后必须保持接触, 不得出现分离的现象;
2) 满足静力平衡条件, 即地基梁在外荷载和基底反力共同作用下必须处于静力平衡状态。
2.1 基于Winkler模型
1) 初参数法[1]。
选取梁的一个初始截面, 该截面的4个物理量, 即挠度w、转角θ、弯矩M、剪力Q被称为初参数, 利用地基梁的挠度方程和4个物理量之间的微分关系, 将挠度方程中的4个参数用上述4个物理量来表示, 称为初参数法。该方法可以使积分常数具有明确的物理意义, 还可以根据参数的物理意义简化一些计算。
2) 有限差分法[2]。
将弹性地基梁等分为n段, 设每段的反力pi为均匀分布, 合力Ri在每段的中点处。用差分表达式近似替换微分方程和边界条件, 用离散的挠度表示各个截面的外力, 然后结合边界条件求解线性方程组, 可解出各个离散点的挠度值。
Winkler模型下弹性地基梁的解法还有残值法、变基床系数法、修正刚度矩阵法等。
2.2 基于半无限体模型
1) 郭氏法[3]。
将地基反力p (x) 近似地表示为有限项的幂级数, 即:
p (x) =a0+a1x+a2x2+…+anxn (2)
其中, n+1个待定系数ai为所求的基本未知量。
将式 (2) 代入式 (1) 积分, 得到梁上任一点挠度的多项式表达式;再将式 (2) 代入地基梁的平衡微分方程积分, 得到地基上任一点的沉降函数的多项式表达式;然后根据梁挠度和地基沉降之间的变形相等的协调条件, 令这两式中的x的同次幂取相同系数, 就获得一组关于ai的方程解。另外, 由梁的静力平衡条件, 即竖向力平衡以及对梁上的一点取力矩平衡, 又可得到两个含有基本未知量的方程。解出待定系数就确定了地基反力函数, 从而解决问题。当郭氏法中所取级数项数较多时, 结果的准确性较好。
2) 链杆法[4]。
把连续支承于地基上的梁简化为有限个等距离的弹性支座上的连续梁, 使本来无穷多次超静定结构简化为有限多次超静定结构;以悬臂梁为基本体系, 固定端的竖向变位w0和角变位θ0为未知数。假定地基反力在每一分段内是均匀的, 接触面位移协调条件是靠位于各段中心处铰接的刚性链杆来实现的, 第i根链杆的内力代表第i分段地基反力的合力。
这些杆中的反力X1, X2, X3, …, Xn, 构成求解问题的基本未知量, 梁自由端处的实际位移和转角为附加未知量。根据刚性杆与半无限体地基之间位移的连续性, 可得n个方程:
其中,
再结合两个静力平衡条件:
有n+2个方程可以解出上述所有未知量。
链杆法应用广泛, 不论地基的性质、荷载种类和杆件截面变化情况均可应用。链杆数量越多, 所得解答越精确, 但工作量愈大, 一般情况下取6个～10个链杆就可以达到工程所需要的精度要求。
3) 蔡四维法[5]。
是应用地基梁与地基之间的变形协调条件, 即它们在变形后仍应相互接触的条件来确定地基反力。
将地基梁n等份, 每段长为b, 假设各分段上地基反力均匀分布, 则地基梁下地基反力呈阶梯形分布。令各分段地基反力强度为p1, p2, …, pn。地基在这些反力作用下, 各点均产生沉降。令各分段中点处的沉降以w1, w2, …, wn表示。根据地基和地基梁的变形协调条件, 这些沉陷应等于地基梁上相应点的挠度。用差分形式写出梁的基本方程式为:
其中, i为第i号分段中心;Mi为i截面的弯矩。
根据分段数目n, 把方程式右边沉降都用式 (1) 列为p1, p2, …, pn的函数, 方程式左边的Mi是外荷载和地基反力的函数, 可以直接写出来。由式 (5) 可列出n-2个方程式, 再加上2个平衡方程式∑Fy=0和∑M=0, 就可以确定n个p的值。
其他的解法, 如有限单元法、三角级数法、分布基底反力法等可参阅相关文献。
3 结语
地基上梁的分析系经典课题, 由于新的地基模型、分析方法和计算手段陆续出现, 该课题至今仍在发展之中。弹性地基梁的理论分析和计算方法, 是建筑工程上非常重要而且还需要进一步完善解决的问题。
摘要：介绍了三种地基模型及其优缺点, 并给出了基于Winkler地基模型和Boussinesq地基模型弹性地基梁的一些计算方法, 指出弹性地基梁的理论分析和计算方法的重要性。
关键词：弹性地基梁,Winkler地基模型,Boussinesq地基模型
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非线性弹性地基 篇7
高空长航时无人机(全球鹰等)为了追求更长的巡航时间、更大的航程,要求升阻比大、结构轻质的机翼,大展弦比的复合材料机翼往往是其首选。这种细长的机翼具有较大的柔性,在气动载荷作用下会产生显著的弹性变形,并且有明显的几何非线性效应。此外,复合材料的各向异性也增加了气弹分析难度。但是,通过合理设计复合材料结构的刚度分布,就可以充分利用气动弹性效应,达到减轻结构重量、提高飞行性能的目的。为此,就需要建立简单、精确的机翼气弹模型和高效的气弹优化方法。
气动弹性优化涉及结构、气动、优化等多个领域。1990年以来,国内外学者在这些领域进行了大量研究工作。在结构建模方面,以Patil为代表的一些国外学者将大展弦比复合材料机翼模拟成低阶、精确的梁模型;这些模型从早期的线性模型[1,2]发展到考虑大变形的非线性模型[3,4]。在气动建模方面,基于升力面理论的偶极子网格模型被广泛应用[3,5];这种模型比早期基于片条理论的模型精度更高,而计算量远远小于CFD方法。复合材料机翼的剪裁优化主要通过各种优化方法对复合材料的铺层厚度、角度以及铺层数进行调整以达到减小机翼质量或提高气弹性能(发散速度、颤振速度)的目标[5,6]。优化方法主要有数学规划法和准则法。数学规划法寻优过程复杂,在处理多学科耦合的气弹优化问题时计算耗时,令人难以接受;而准则法的收敛速度快,更适用于气弹工程优化。
鉴于问题的复杂性,从工程设计的角度考虑,要求在保证合理精度的前提下尽量减小计算量。因此,选择的结构模型、气动模型及优化方法需要简单、精确,并且在复杂程度和计算耗费上相匹配。
1 气弹分析及优化方法
本文采用一种非线性盒形梁模型和偶极子网格法相结合的气弹模型,使用均匀导数优化准则法对大展弦比复合材料机翼进行气弹优化剪裁。
1.1 气弹分析方法
机翼被模拟成小应变中等变形的几何非线性盒形梁结构。应用Hamilton变分原理,在变形后坐标系下建立机翼运动平衡方程,机翼变形前后坐标系如图1。
式(1)中δU、 δT、 δW分别是机翼的应变能变分、动能变分和外力虚功。
考虑截面翘曲和剪切变形,位移和应变的几何非线性关系[7]:
其中λT是截面的翘曲函数。
由于结构是小应变,本构方程还是线性关系:
将以上控制方程组转换到变形前坐标系,采用有限元离散求解,最终得到机翼离散方程:
式(6)中M是机翼质量矩阵,其非线性影响很小,视作常值;K(q)是和结构位移向量q相关的刚度矩阵,它包含了几何非线性的影响;Faero是移置到节点上的气动载荷向量,它也与结构变形有关。
机翼梁单元的划分方法如图2,每个梁单元有5个节点,共19个自由度,其中两端节点各有8个自由度,3个内节点各一个自由度。
u—轴向位移, v—横向弯曲挠度, v″—横向弯曲转角, w—垂向弯曲挠度,w″—垂向弯曲转角,
首先求解机翼静气弹响应,忽略方程(6)的前一项,并将刚度项的非线性部分提出,作为等效非线性载荷:
将FNL进行一阶泰勒展开,保留其中的线性项:
式(8)中∂FNL/∂q是非线性几何关系确定的Jacobian矩阵。对于线性气动模型:
式(9)中A是气动系数矩阵。将式(8)、式(9)代入式(7),采用牛顿-拉弗森算法:
迭代得到收敛的静响应q。
在进行颤振分析时,认为机翼是在静平衡位置附近做小扰动。根据静响应结果得到机翼静变形状态下的刚度矩阵,采用模态法近似节点位移,将系统响应方程转换到广义模态空间;采用偶极子网格法求解非定常气动载荷。应用p-k法进行颤振分析,这种方法无需对马赫数进行迭代,比V-g法更适合于优化计算,其颤振平衡方程为:
方程中,MG、KG为广义质量和刚度矩阵;
求解颤振方程(12),得到不同速度下各阶模态自激振动频率和衰减率,绘出V-γ和V-ω图,V-γ曲线和横坐标的交点就是颤振发生点[8]。
1.2 优化方法
优化设计常用的方法有非线性数学规划法和优化准则法。非线性规划法通用性好,但方法复杂,计算耗时长;优化准则法基于工程经验获得的优化设计所必须满足的准则[9],方法简单,计算量小,适用于一些特定问题。常见的优化准则有满应力准则、位移准则、均匀导数准则等。本文使用均匀导数准则对机翼复合材料铺层进行优化剪裁,流程如图3所示。
以颤振速度Vf为约束条件,复合材料各铺层厚度tj为设计变量,优化机翼质量。由于优化目标是机翼质量而优化变量是铺层厚度,所以首先要将设计变量转换为铺层质量mj,它们组成了机翼的总质量。Vf对各设计变量的偏导数∂Vf/∂mj称为敏度。当Vf对各变量的敏度不相等时,应增大敏度大的变量,同时减小敏度小的变量,从而在Vf不变的情况下减轻结构总重。当Vf对各变量敏度相等时,优化计算收敛,我们就认为获得了最优的设计。优化递推公式[10]如下:
式(13)中,mjN是新的mj值,ND是设计变量的总数,ΔVf是希望经过优化后获得的Vf增量。本文使用数值差分来近似获得颤振速度对设计变量的敏度。对以下两组设计变量:
所以差分法计算敏度可得:
式(14)中,Vf (m″)和Vf (m″)为p-k法求得的颤振速度。
2 算例分析
2.1 气弹模型验证
盒形梁机翼一端悬臂固支,如图4所示。复合材料对称铺层,铺层角为 [0/±45/90]s。结构的几何尺寸和复合材料特性如表1所示。采用1.1节的方法将机翼离散为10个梁单元,共41个节点,118个自由度。
机翼气动面沿弦向2等分,展向40等分,共80个气动网格(图5)。
对以上机翼模型进行初始分析,选取包括一阶扭转在内的前五阶模态进行颤振分析,计算结果如图6所示。计算结果显示,扭转模态是机翼颤振的危险模态,因此结构的扭转刚度对颤振速度影响很大。优化的关键在于保证结构刚度的前提下寻求质量最轻的设计方案。
为验证模型正确性,采用Nastran软件建立机翼壳单元结构模型(包含240个单元,246个节点和1230个自由度),并进行颤振计算。两种模型的计算结果如表2所示,机翼临界颤振速度和颤振频率的误差均小于10%,发生颤振的都是一阶扭转模态,颤振形式是一阶扭转和三阶弯曲耦合颤振。由于本文模型的单元数目和复杂程度都要远远小于Nastran壳单元模型,所以在保证了计算准确性的前提下大大提高了计算效率。
2.2 气弹剪裁
复合材料铺层结构如图7所示。通过调整各方向铺层的厚度t0、t45和t90,使得机翼在满足颤振速度约束条件下,达到质量最轻。机翼飞行条件如表3所示。颤振速度下限200 m/s,使用均匀颤振速度导数准则进行优化,优化初始值如表4。
由于优化目标是机翼质量而优化变量是铺层厚度,所以首先要将优化变量转换为0o、45o和90o铺层的质量。机翼由这三个质量部件组成,其优化过程及结果如图8～图11所示。
在使用均匀颤振速度导数准则迭代了四轮以后,对迭代收敛条件进行判定,如表5所示。此时颤振速度处于约束边界上,对各部件质量敏度误差小于5%,基本相等。所以认为优化计算已经收敛。
最终的优化结果如表6所示,机翼质量从0.695 2 kg降低到了0.444 6 kg,下降了36%。45o铺层的厚度增加以保证扭转刚度,使结构满足颤振速度约束条件;0o和90o铺层由于对结构刚度贡献较小,所以减小其厚度以减轻结构总质量,其中90o铺层厚度减小最多,0o铺层次之。优化前后结构固有频率如表7所示,可以发现一阶扭转频率显著增加,而弯曲频率均有所降低。机翼依旧在一阶扭转分支发生颤振。
3 结论
本文将大展弦比复合材料机翼模拟成非线性盒形梁结构进行气弹分析,并使用优化准则法对机翼复合材料进行了气动弹性优化剪裁,得到以下结论:
(1)本文的气弹模型可以模拟柔性机翼的非线性气弹特性,具有精度好,计算量小的特点,适用于气弹分析及其优化的工程计算。
(2)对于本文研究的盒形梁复合材料机翼,随着速度的增加,一阶扭转模态总是首先失去稳定,导致颤振发生。优化计算中发现,颤振速度对复合材料±45o铺层的敏度最大,0o铺层次之,90o铺层最小;所以增大±45o铺层保证结构扭转刚度以满足约束条件,减小0o和90o铺层优化机翼质量。
(3)均匀导数准则法进行气弹优化具有方法简单,计算效率高的优点。
摘要：将复合材料机翼模拟成盒形梁。考虑变形的几何非线性,建立简单、精确的气弹模型进行优化裁剪研究。以颤振速度为约束条件,运用均匀导数准则对复合材料各铺层厚度进行优化,以获得质量最轻的设计。研究表明:机翼一阶扭转模态是颤振危险模态。颤振速度对复合材料45o铺层敏度最大。优化结果中增加了45o铺层厚度以增加结构扭转刚度,减小了0o和90o铺层厚度以优化质量。将低阶非线性梁模型与均匀导数准则相结合的方法具有精度合理、收敛快的优点,适用于复合材料机翼的气弹工程优化。
关键词：非线性梁,复合材料机翼,气弹优化,均匀导数准则
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