线性系统稳定性的判断

2024-06-02

线性系统稳定性的判断（通用7篇）

线性系统稳定性的判断篇1

引言

系统稳定是系统能够正常运行的重要保证, 而对系统进行稳定性判断是自动控制理论分析中的基本任务之一。为了通过系统的开环传递函数快速判断系统是否稳定, 本文从时域和频域两个角度讨论了三种方法, 比较得出三种方法各自的优越性以及不足。

1 劳斯—赫尔维茨稳定判据

(1) 赫尔维茨判据

设线性系统的特征方程为

则使系统稳定的必要条件是:在特征方程中, 各项系数为正数。

(2) 劳斯判据

劳斯表的前两行由特征方程的系数直接构成。第一行由特征方程的第一、三、五, …项系数组成;第二行由第二、四、六, …项系数组成。

线性系统稳定的充分必要条件是:劳斯表的第一列各值为正。

2 根轨迹法

根轨迹是指当系统的某个参数 (如开环增益K) 由零连续变化到无穷大时, 闭环特征根在复平面上运动的轨迹。若闭环极点全部为s左半平面, 即根轨迹分布在s左半平面, 则系统一定是稳定的。

3 奈奎斯特稳定判据

在复平面上用一条曲线Γ表示ω由0→∞时的频率特性, 即用矢量G (jω) 的端点轨迹形成的图形, 就叫做奈奎斯特曲线。反馈控制系统稳定的充分必要条件是半闭合曲线ΓGH (由闭合曲线Γ沿实轴负方向平移一个单位长度获得) 不穿过 (-1, j0) 点, 且逆时针包围临界点 (-1, j0) 点的圈数R等于开环传递函数的正实部极点数P。

下面将结合具体实例分别对这三种判据进行说明。

例:系统的开环传递函数如下, 试判断该系统的稳定性:

解一:由系统的开环传递函数可得特征方程

, 可选择劳斯—赫尔维茨稳定判据进行判别, 过程如下:

该系统的劳斯表为

由于劳斯表的第一列系数全为正, 故该系统稳定。

解二:已知系统的开环传递函数, 可以用开环函数对闭环特性进行研究, 即根轨迹法。

, 利用MATLAB画出以K为参数的根轨迹。

MATLAB编程为:

rlocus (G) ;

可以从绘制出的图中看出, 根轨迹存在于复平面的左半平面, 那么当K=30时, 对应的根也在左半平面, 所以得出该系统是稳定的。

解三:根据开环传递函数可以画出奈奎斯特曲线。

MATLAB编程为:

由奈奎斯特曲线可以看出, 它不穿过 (-1, j0) 点, 且逆时针包围临界点 (-1, j0) 点的圈数R为0, 等于开环传递函数的正实部极点数P。满足奈奎斯特稳定判据, 因此也可以得出该系统稳定。

由以上三种解法可以得出劳斯—赫尔维茨稳定判据在已知系统特征方程时简单可行;根轨迹法在多回路系统分析时较为方便;奈奎斯特稳定判据在频域研究时使用方便。根轨迹法和奈奎斯特稳定判据在有些情况下较难得出曲线, 但是可以运用MATLAB辅助判断。实践应用中可根据系统情况适当选择方法, 准确快速地对系统稳定性进行判断。

4 结语

本文把劳斯—赫尔维茨稳定判据、根轨迹法、奈奎斯特稳定判据放在一起进行比较, 使系统的稳定性判断更加清晰, 并提供了MATLAB求解的方法。

参考文献

[1]胡寿松.自动控制原理 (第五版) .科学出版社, 2007年6月

[2]吴麒.自动控制原理 (上、下册) .清华大学出版社, 2006年10月

线性系统稳定性的判断篇2

应用精度高、速度快的非线性油膜力数据库方法及非线性动力系统的稳定性和分叉理论对转子-轴承系统进行了分析.数值计算得到了转子-轴承系统发生倍周期分叉时的分叉点及分叉图.揭示了不平衡转子-轴承系统从同步周期运动分叉发生一系列倍周期运动、最后导致混沌运动的`过程.采用Floquet理论对转子-轴承系统周期运动的稳定性进行了分析,并给出了某些转速下的轴心轨迹和Poincare映射图.结果表明:系统在特定参数范围内存在1-T周期运动、2-T倍周期运动、K-T周期解及混沌运动;当系统发生倍周期分叉时至少有一个Floquet乘子经过点(-1,0)穿出单位圆.该分析方法为进一步对多自由度非线性转子-轴承系统的动力学特性进行研究打下了基础.

作者：陈照波焦映厚陈明夏松波黄文虎作者单位：陈照波,焦映厚,陈明(哈尔滨工业大学机电工程学院,黑龙江,哈尔滨,150001)

夏松波(哈尔滨工业大学能源科学与工程学院,黑龙江哈尔滨,150001)

黄文虎(哈尔滨工业大学航天学院,黑龙江,哈尔滨,150001)

线性系统稳定性的判断篇3

关键词PID；时滞；极值；稳定性

中图分类号TP文献标识码A文章编号1673-9671-(2011)081-0211-01

在过程控制系统中，按误差信号的比例，积分和微分进行控制的调节器，简称PID调节器。理论和实践证明了在连续控制系统中，对象为一阶或二阶惯性环节，同时带有滞后时间不大的滞后环节，PID控制显现出算法简单、鲁棒性好和可靠性高的优点。本文从庞德里亚金极值定理出发，推演出任意阶被控对象均可适用的控制算法。

1递推公式

图1给出了反馈结构的系统框图，在K是被控稳对象态增益，Ti和Zi是被控对象时间常数，L是确切被控对象的时滞环节，Kp， Ki及 Kd 是PID控制器参数的情况下给出了相应处理器的传函P（s）和控制器的传函

C（s）。

图1单位反馈控制系统框图

要完成对一阶被控对象稳定区域的确切描绘可以借助由旁德里亚金定理衍生出的Hermite-Biehler定理，奈奎斯特判据及根轨迹的方法得到。此外二阶被控对象可以用图解的方法得到，同样也有正确结果，但稳定性却不见得全是明晰的，也没有指定的有限计算步数。所以，任意阶被控对象的研究还是用奈奎斯特判据，但要分别考虑给定Kp的P和PID控制器，以及保证稳定的过程参数的阶数。通过控制器调节图的引入强调了确切表示出稳定区域边界的重要性。下式给出系统的闭环传函：

依据庞德里亚金的研究，对于正实部的稳定性而言T（s）必须要有限定的极点个数。这就意味着是否分母的主函数apqspeqs与函数xp(s)共有的系数sp在左半平面具有所有的零点。

T（s）的分母除以pn(s)/L，因此分母可以寫成：

闭环传函T（s）的所有极点都是H（s）的零点，系统的稳定条件在于T（S）右半平面没有极点，H（s）的右半平面没有零点。

为了得到有别于实参的等式，设被控对象的时滞为L，无穷小量σ，其间关系为σ=Ls，推出：ti=Ti /L，zi=Zi /L，h=KKp，h=KKp，hd=KKd /L。可将上式改造为：

此外，设 pd（jy/L）=A（y）+jB（y）以及pn（jy/L）=C（y）+jD（y），H（σ）的实部F（y），虚部G（y），计算σ=jy，可写出：

F（y）=he-F1（y）（6）

G（y）=y |h-G1（y）| （7）

2无零点的过程传函

过程传函中没有零点时，函数H（σ）是一个标准多项式，庞德里亚金的结果完全适用。为了使整个系统确保稳定，必须分别满足以下两种情况：

1）考虑到H（σ）的主项是σn+1eσ，设H（jy）=F（y）+jG（y），ε为一个合适的常量以至于G（y）中的系数yn+1在y∈ε时仍然存在。为保证在-2rπ+ε≤y≤2rπ+ε区间G（y）的实根数Nr足够大，应有：

Nr = 4r+n+1。

2）对于函数G（y）的所有零点y=y0而言，必须保证不等式

G'（y0）F（y0）-G（y0）F'（y0）>0

F1（y）与G1（y）的典型函数，按照G（y）= y |h-G1（y）| ，在y=0时，

G（y）有根，此根既是纵轴等于给定h的水平线与G1（y）的每个交点。

3具有零点的过程传函

H（σ）的极点数就是过程传函的零点数。

H（σ）的所有零点都位于虚轴的左侧的条件为：

（a）向量w= H（jy）对实数y而言以正方向从-∞向+∞行进，也就是说G（y）的每个根都要满足不等式：

G（y0）F（y0）<0

（b）在-2πr+ε≤y≤ 2πr+ε区间，G（y）的根的数目Nr满足：

Nr=4r+n+1-m+2mp

4结论

在此论文中，考察了稳定与不稳定条件下的任意阶无延迟被控对象，以及一次时延与PID控制器。借助庞德里亚金极值定理确定相应的过程与控制器参数空间的稳定域。提出了通过有限步数便可以精确表达出控制参数稳定域范围。此项结果可作为一种实用工具来设计并维系控制系统。

参考文献

[1]历风满.数字PID控制算法的研究[J].辽宁大学学报.

[2]王永初.自动调节系统工程设计[M].北京:机械工业出版社,1983.

[3]陶永华,尹怡欣,葛芦生.新型PID控制及其应用[M].北京:机械工业出版社,1998.

线性控制系统的稳定性判据综述篇4

关键词：稳定性判据,经典判据,现代判据

0引言

一般的控制系统分为线性系统和非线性系统。对于线性系统,所谓稳定性是指原来处于平衡状态的系统在扰动作用消失后,经过一段过渡过程后能否回复到原来的平衡状态或足够准确地回复到原来的平衡状态的性能[1]。这种能力是系统的固有特性,线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构参数,与外作用及初始条件无关。然而对于非线性系统,可能存在多个平衡状态,系统在某些平衡状态却可能是不稳定的,因此,不存在系统是否稳定的笼统概念。在系统自身特性和控制精度允许的条件下,通常把非线性系统近似为线性系统来简化分析和设计过程,所以我们这里只讨论线性系统的稳定性判据。

一般情况下确定线性系统稳定性的方法分为基于经典控制理论和基于现代控制理论的方法。经典控制论中,以传递函数或频率特性的形式来描述控制系统,稳定判据有:劳斯稳定判据,根轨迹法和奈奎斯特稳定判据等;现代控制理论通过运用状态空间方法描述系统输入,状态变量和输出间的因果关系,常用的稳定判据是李雅普诺夫稳定性判据。本文对上述稳定判据作一综述。

1基于经典控制理论的稳定性判据

线性系统稳定的充分必要条件是:闭环系统特征方程的所有根均具有负实部;或者说,闭环传递函数的极点均位于s左半平面[1]。基于经典控制理论的稳定性判据,以确定特征根所在区域为目的,由此判断系统的稳定性。

1.1劳斯稳定判据

劳斯稳定判据根据线性控制系统的闭环传递函数的分母多项式(即特征方程)的系数来判断系统的稳定性。使用劳斯判据判断系统稳定性的步骤为:

(1)列出系统特征方程

(2)按系统的特征方程式列写劳斯表,如表1所列。劳斯表中的第1行由特征方程的第1,3,5…项系数组成;第2行由第2,4,6…项系数组成。劳斯表中以后各行的数值,需逐行计算,具体计算方法如表1所示。

(3)按照劳斯稳定判据,线性系统稳定的充分必要条件是:劳斯表中第1列各值为正。如果劳斯表第一列出现小于零的数值,系统就不稳定,且第一列各系数符号的改变次数,代表特征方程式正实部根的数目。

此种方法需要系统建立模型,并利用复杂的求解方法得到系统的闭环传递函数,进而进行稳定性判断。劳斯稳定判据不仅可以判断系统的稳定性,还可以得到特征根的位置分布情况。然而,如果系统不稳定,系统并不能直接指出使系统稳定的方法;如果系统稳定,则劳斯判据也不能保证系统具备满意的动态性能。

1.2奈奎斯特稳定判据

奈奎斯特判据是一种利用奈奎斯特曲线的图解法。

完整的奈奎斯特判据是:如果开环传递函数为G(s)H(s)的系统,其s平面上的奈奎斯特围线(包括围绕系统在虚轴上的各个极点的小半圆以及半径无穷大的一个右半圆,包围整个右半平面)包围的区域内有P个极点。令当s沿着顺时针方向绕奈奎斯特围线Γ一周时,G(s)H(s)沿着顺时针环绕-1点的净圈数为N,那么闭环系统在右半平面的极点个数为Z=N+P[2]。如果G(s)H(s)在右半平面有P个极点,那么若使系统稳定,则G(s)H(s)的奈奎斯特曲线应该逆时针环绕-1点N次,以使N=-P。

奈奎斯特稳定判据的理论基础是幅角原理,即s平面上形成一条不通过F(s)的任一极零点的闭合路径Γ,映射到F(s)平面,都是包围原点的轨迹ΓF。当s沿路径Γ顺时针移动一周时,若包围在路径中的是零点,则ΓF绕原点顺时针转动;当包围在路径中的是极点时,ΓF绕原点逆时针转动[3]。所以利用这个定理,只需选择一个恰当的闭合区域,通过映射之后计算环绕圈数就可以确定零点和极点的数目差。

为了找出系统右半平面的极点数目,需要观察F(s)=1+G(s)H(s)环绕的圈数。环绕圈数可以很容易地用奈奎斯特曲线图来确定,但由于F(s)是G(s)H(s)位移后的结果,因此奈奎斯特稳定判据可视为G(s)H(s)对-1点的环绕。由开环传递函数的有理分式形式和闭环传递函数可知,系统闭环极点数等于开环传递函数的极点和零点之和。所以为了保证系统稳定,就是使N=-P。

奈奎斯特判据所能做的不只限于判断一个系统是否稳定,由于奈奎斯特曲线容易绘制且告诉我们控制器参数的变化会如何影响一个系统,那么便可以通过改变奈奎斯特曲线来改变系统的稳定性。更有利的是,它还通过定义稳定裕度,为我们提供了一种稳定性测度来描述系统的稳定程度以及对扰动的鲁棒性。

1.3对数稳定判据

对数频率稳定判据,就是将奈奎斯特稳定判据由奈奎斯特图推广到伯德图上,即用开环对数频率特性曲线确定N。由于绘制开环对数频率特性曲线比较容易,同时,对数频率特性曲线还便于对系统进行设计和校正,因此对数频率稳定判据应用更广。

开环系统的极坐标图(奈氏图)和对数坐标图(伯德图)有如下对应关系:

(1)奈氏图上单位圆对应于对数坐标图上的零分贝线。

(2)奈氏图上的负实轴对应于对数坐标图上的180°相位线。

对数频率稳定判据:系统的闭环右半平面极点数Z=2N+P,N是相频特性曲线(当所对应的对数幅频特性曲线在ω轴之上时)对φ=-180°线穿越的次数,若Z=0,则系统稳定[1]。这里规定,在A(w)>1范围内,当w增加时,相频特性曲线从下向上穿过-180°相位线称为正穿越。反之为负穿越。

2基于现代控制理论的稳定性判据

李雅普诺夫稳定判据是基于状态空间描述的概念。它分为李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二法。李雅普诺夫第一法是利用状态方程的解的性质来判断系统的稳定性的方法;李雅普诺夫第二法的特点是不必求系统的微分方程式或系统特征值,而是通过定义一个叫做李雅普诺夫函数的标量函数,直接分析判断系统的稳定性,而且给出的稳定信息是非近似的。这里将介绍李雅普诺夫第二法在线性定常系统中的应用。

李雅普诺夫第二法的基本思想就是用能量变化的观点分析系统的稳定性。若系统储存的能量在运动过程中随时间的推移逐渐减少,则系统就能稳定;反之,若系统在运动过程中,不断地从外界吸收能量,系统就不能稳定。

根据能量总大于0的物理意义,能量函数应该总是一个正定函数,记V(x,t)。能量衰减特性用·V(x,t)表示。李雅普诺夫第二方法就是根据·V(x,t)的正负来判断系统的稳定性。因此,称V是系统的一个李雅普诺夫函数。

若系统的标量函数V(x,t)正定,并且

(1)负定或半负定,且在非零状态不恒为0,则原点是渐进稳定的。

(2)恒为0,则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。

(3)正定,则原点是不稳定的。

这里所指的李雅普诺夫意义下的稳定是设系统初始状态x0位于平衡状态xe为球心,半径为δ的闭球域S(δ)内,即初始状态满足‖x0-xe‖≤δ。如果系统稳定,则状态方程的解x(t;x0,t0)在t→∞的过程中,都位于以xe为球心,任意小的ε>0为半径的闭球域S(ε)内,即系统运动轨迹满足limt→∞‖x(t;x0,t0)-xe‖≤ε,则称该平衡状态xe是李雅普诺夫意义下稳定的。若limt→∞‖x(t;x0,t0)-xe‖→0,则称为渐进稳定的[2]。

然而,李雅普诺夫函数不是容易找到的,并且不是唯一的。在线性定常系统6)x=Ax中,为了找到系统的李雅普诺夫函数,可取正定二次型函数V=xTPx。根据李雅普诺夫方程:

可以求得,A为系统状态方程。为了找到线性系统的李雅普诺夫函数,只需选定一个Q>0,并求解李雅普诺夫方程就足够了。

一般取Q为单位矩阵,再计算P并校验其定号性。根据线性定常系统6)x=Ax的原点平衡状态为渐进稳定的充要条件:对于任意给定的一个正定实对称矩阵Q,存在唯一的正定实对称矩阵使得式(3)成立。即,当P正定时,系统渐进稳定;负定时,不稳定;不定时,可断定为非渐进稳定。

例判断系统的稳定性。

解:令对称矩阵为,取矩阵Q为单位阵,则由式(3)得解方程组得,所以p是正定的,故系统在原点处是渐进稳定的。

相对于经典控制理论中,我们常用的奈奎斯特判据等来判断线性定常系统的稳定性,李雅普诺夫稳定性理论不仅可用来分析线性定常系统,还可用来研究时变系统,非线性系统,甚至离散时间系统,离散事件动态系统等复杂动力学系统的稳定性。遗憾的是至今仍未形成构造李雅普诺夫函数的通用方法,需要凭经验与技巧。

3结论

稳定性判据用来判断控制系统的稳定性。经典控制论中,利用系统的闭环和开环特性对系统进行稳定性判据。此类判据一般只被用在线性系统或近似线性系统之中。在现代控制论中,系统的状态方程成了稳定判据的关键因素。由于这种稳定判据满足以多变量,非线性,时变为特征的现代控制系统对稳定性分析的要求,从而应用更为广泛。然而,虽然几种稳定判据被沿用多年,但仍存在一些不能直观给出判断、需要经验和技巧的地方,如劳斯判定在处理特殊情况的时候,需要采用无穷小的替代值;李雅普诺夫第二法的李雅普诺夫函数在一般情况下需要靠经验获得。

参考文献

[1]陈复扬.自动控制原理[M].北京:国防工业出版社,2010.

[2]尹华杰.自动控制多学科视角[M].北京:人民邮电出版社,2010.

线性系统稳定性的判断篇5

中立型延迟微分方程一般线性方法的非线性稳定性

本文研究一类非线性中立型延迟微分方程一般线性方法的数值稳定性.证明了一般线性方法为(k,p,O)-代数稳定时,在一定的`约束条件下,其数值解保持微分方程理论解的稳定性质,特别是证明了在约束网格情形代数靛的-般线性方法能无条件保持解析解的稳定性.

作者：李超群 LI CHAOQUN 作者单位：中国地质大学数学系,武汉,430074刊名：应用数学学报 ISTIC PKU英文刊名：ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA年，卷(期)：31(2)分类号：O241.8关键词：中立型延迟微分方程一般线性方法 (k,P,O)-代数稳定代数稳定

线性系统稳定性的判断篇6

1. 线性移不变系统

线性系统指的是同时满足可加性和比例性的系统。

如系统, 要判断它的线性性, 则设

当输入为时, 得到的输出为

所以该系统为线性系统。

2. 移不变系统

若系统响应与激励加于系统的时刻无关, 也就是说, 输入输出的运算关系不随时间而变化, 则称为移不变系统。即若输入产生输出为, 则输入产生输出为, 也就是说输入移动任意位, 其输出也移动这么多位, 而幅值却保持不变。还以上面的系统为例, , 当输入为时, 输入为, 所以该系统不是移不变系统。

3. 因果系统

因果系统是指某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前时刻的输入的系统。

3.1 因果系统的判定方法

常用的判断系统的因果性的方法有: (1) 定义法; (2) 线性移不变系统是因果系统的充分必要条件为:; (3) 收敛域, 线性移不变系统系统函数的收敛域在模值最大的有限极点所在圆之外, 且在处是收敛的。如, 系统y (n) =4x (n) +6, 适合用第一种方法来判断, 此时刻的输出只取决于此时刻的输入, 所以为因果系统。又如, 已知某线性时不变系统的单位样值响应, 要判断其系统的因果性, 用第二种方法就比较合适。当n<0时, , 所以该系统为非因果系统。再如, 某线性移不变系统的系统函数, 收敛域为, 要判断该系统的因果性就应该采用第三种方法较好。其系统函数的收敛域是半径为2的圆外部分, 且在处也是收敛的, 所以该系统为因果系统。

3.2 容易出现的错误

在判断系统的因果性时, 有些比较容易犯的错误。如判断系统的因果性, 有采用将输入换成单位冲激信号, 求出该系统的单位样值响应后, 再利用充要条件进行判断, 当时, , 所以该系统为因果系统, 这种判断结果与用定义法判断的结果是一样的, 但其实这种方法是错误的。因为系统通过前面介绍的线性和移不变系统的判断方法得出结果为非线性移不变系统, 而非线性移不变系统是不能运用充要条件的, 这是比较容易犯错的地方, 像这种系统就只能用定义来判断。

4. 稳定系统

稳定系统是指有界输入产生有界输出的系统。

4.1 稳定系统的判定方法

常用的判断系统的稳定性的方法有: (1) 定义法; (2) 线性移不变系统是稳定系统的充分必要条件:; (3) 收敛域, 线性移不变因果稳定系统的系统函数的收敛域应包含单位圆[2]。如, 系统, 适合用第一种方法来判断, 设, 则, 所以为稳定系统。又如, 已知某线性时不变系统的单位样值响应, 要判断其系统的稳定性, 用第二种方法就比较合适。, 所以该系统为稳定系统。再如, 某线性移不变因果系统的系统函数, 收敛域为, 要判断该系统的稳定性就应该采用第三种方法较好。其系统函数的收敛域包含单位圆, 所以该系统为稳定系统。

4.2 容易出现的错误

在判断系统的稳定性时, 比较容易犯和因果性判断一样的错误。如判断系统的稳定性, 先将输入换成单位冲激信号, 求出该系统的单位样值响应后, 再利用充要条件进行判断, , 所以该系统为稳定系统, 用定义法判断的结果也是一样的, 但其实这样判断也是错误的。原因也是一样的, 非线性移不变系统是不能运用充要条件来判断稳定性的, 也应采用定义来判断。

5. 结论

在判断系统的因果和稳定性时, 有多种方法可以采用, 可根据系统的情况选择最合适的判断方法, 准确而快速的判断出其因果和稳定性, 而且要注意避免判断时很容易出现的错误, 在利用充要条件判断时, 要先考虑系统的线性和移不变性, 如果是线性移不变系统, 就可以采用充要条件来判断, 若不是, 就只能采用定义来判断。

摘要：数字信号处理中主要讨论线性移不变、因果、稳定系统, 因此需要掌握如何判断一个系统的因果和稳定性。本文采用多种方法来判断系统的因果和稳定性, 介绍了每种判断方法所适用的情况, 并对容易发生错误的判断方法进行了分析。通过这些方法, 我们可以快速而准确的判断系统的因果和稳定性。

关键词：数字信号处理,线性,移不变,因果,稳定

参考文献

[1]程佩清.数字信号处理教程[M].北京:清华大学出版社, 2007:1-30.

线性系统稳定性的判断篇7

问题描述及预备知识:

考虑不确定非线性切换系统

其中σ:[0, +∞) →I={1, 2LN}为切换规则, 是右连续的分段常值函数。x∈Rn是状态, d∈Rm为扰动输入, f i (⋅) , pi (⋅) 是已知的光滑函数, gi (⋅) 光滑且非奇异, δi (⋅) 是未知的光滑函数且满足:

ei是正实数, i∈I。

引理1考虑非线性切换系统

其中:x∈Rn是状态, d∈Rm为扰动输入, fi:Rn×Rm→R是关于x的局部Lipchitz函数, σ:[0, +∞) →I={1, 2LN}是右连续的分段常值函数.如果存在一组连续可微的正定函数iV (x) , i∈I和K∞类函数α1, α2与γ, 并且存在常数µ≥1, λ>0, 对∀x∈Rn, d∈Rm和∀p, q∈I满足:

若切换规则满足平均驻留时间, 则系统 (3) 关于d是输入对状态稳定的.

主要结果:

定理1对于系统 (1) , 存在一组连续可微的正定函数iV (x) , i∈I, 和K∞类函数α1, α2与ρ, 以及常数µ≥1, λ>0, 对∀x∈Rn, d∈Rm和∀p, q∈I满足:

则存在状态反馈控制器

在满足平均驻留时间的切换规则下, 闭环系统 (1) 关于d是输入对状态稳定的。

将iu的表达式代入上式得:

当时, 对于系统 (1) 的每一个子系统在

取并且切换规则满足平均驻留时间, 因此由引理1可得此结论成立。

摘要：本文针对一类含有结构不确定的非线性切换系统基于平均驻留时间的方法设计状态反馈控制器使得闭环系统是输入对状态稳定的。

关键词：非线性切换系统,不确定性,平均驻留时间,输入对状态稳定

参考文献

[1]张霞, 高岩, 夏尊铨.切换线性系统稳定性研究进展.控制与决策.Vol.25, No.10, Oct.2010.