线性参数变化系统

2024-06-08

线性参数变化系统（精选3篇）

线性参数变化系统篇1

非线性模型参数估计一直是控制领域研究的重要问题。目前常用的控制系统参数优化方法有最小二乘法、极大似然法、神经网络法、遗传算法等[1,2,3]。最小二乘法和极大似然法都是基于估计目标函数对优化变量的梯度信息进行优化的, 要求优化模型具有连续、可导等特性。而对非线性控制系统参数优化问题, 由于控制系统具有非线性特性, 使用梯度信息的局部搜索方法就不容易找到全局最优解。利用神经网络进行系统参数辨识虽然具有以任意精度逼近非线性函数的能力, 但是在实际应用中, 只有选择了合适的网络结构, 才能获得好的结果, 而选择合适的网络结构往往是非常困难的。利用遗传算法对模型参数进行估计时, 复制、交叉和变异功能以及群体寻优的方式可避免陷入局部最优解, 但要涉及繁琐的编码、解码过程, 并且算法结构比较复杂, 影响其执行效率。

微粒群优化算法 (Particle Swarm Optimization, PSO) 是Kennedy和Eberhart于1995年提出的一种全局优化算法。PSO算法同遗传算法、蚁群算法等大多数进化计算算法一样, 也是一类基于群智能的随机优化算法。与其它进化算法相比, PSO算法具有搜索能力强、收敛速度快、设置参数少、程序实现异常简洁、具有深刻的智能背景等特点, 既适合科学研究, 又特别适合工程应用, 故陆克中等人把PSO算法用于非线性控制系统参数估计, 得到了较好的结果, 但误差还是偏大。因此本文提出非线性控制系统参数估计的改进微粒群算法 (IPSO) [4]。文中将IPSO用于3个典型的非线性系统模型参数估计中, 仿真结果表明该优化算法优化效率高、参数估计精度优, 是一种有效的非线性系统模型参数估计方法。

1 问题描述

非线性模型的一般描述形式为:

y=f (x, θ) +e, e～N (0, δ2) (1)

式 (1) 中x为系统输入, y为系统输出, θ为待估计的模型参数, e是均值为0、方差为δ2的白噪声。非线性模型参数的估计问题就是在模型结构已确定的情况下, 根据已知的输入输出观测数据对 (xi, yi) , i=1, 2, …, n, 求解偏差平方和

$J (θ) = \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - f (x_{i}, θ))^{2}$ (2)

为最小的θ值。可以看到其实质就是将模型参数估计问题转化为非线性函数优化问题, 采用传统的优化方法难以求解。采用标准PSO算法可以求出其解, 但是后期收敛速度较慢、精度不高, PSO算法需改进。

2 改进微粒群算法

2.1 标准微粒群算法

微粒群算法 (PSO) 作为一种演化算法, 也是基于群体的。每个优化问题的潜在解都是搜索空间中的一个“微粒”, 每个微粒都有一个速度决定他们的飞翔方向和距离, 然后微粒就追随当前的最优微粒在解空间中搜索。PSO算法初始化为一群随机微粒, 在搜索空间中以一定的速度飞行, 然后通过迭代找到最优解。在每一次的迭代中, 粒子通过跟踪两个极值来更新自己, 一个是微粒本身找到的最优解, 另一个是整个种群目前找到的最优解。

令n表示搜索空间的维数, xi= (xi1, xi2, …, xin) 表示微粒i当前的位置, Pi= (pi1, pi2, …, pin) 表示微粒i曾经达到的最好位置。种群中最优微粒的序号用g表示, 微粒i的速度用Vi= (vi1, vi2, …, viD) 表示。每个微粒根据 (3) 式来更新自己的速度和位置:

${\begin{cases} v_{i}^{k + 1} = ω_{i}^{k} v_{i}^{k} + c_{1} r a n d (\cdot) (p_{i}^{k} - x_{i}^{k}) + \\ c_{2} R a n d (\cdot) (Ρ_{g} - x_{i}^{k}) \\ x_{i}^{k + 1} = x_{i}^{k} + v_{i}^{k + 1} \end{cases} (3)$

式 (3) 中:k表示迭代次数, c1, c2为学习因子, rand (·) , Rand (·) 是[0, 1]区间的随机数, ω $_{i}^{k}$ 为惯性权重。

2.2 选取惯性权重的信赖域法

惯性权重ω是控制以前速度对当前速度影响的系数, 在PSO算法中, 探索与开发之间的平衡是由ω所决定的:若ω较大, 会加速算法对新区域的探索能力, 当然, ω过大也会导致微粒群爆炸现象;若ω较小, 则会增强算法对当前区域的搜索能力。所以, 适当的控制惯性权重ω的值, 可使算法在全局搜索能力与局部搜索能力两者之间取得平衡, 在准确有效寻找最优解中是非常重要的。

数值试验表明, 行之有效的方法是在ω初始化时, 取较大的值以加快全局搜索, 随后将ω逐代减小以获得更精细的结果。但是, 何时取得较大, 何时取得较小才能达到探索与开发之间的平衡, 并使之较快地达到最优解, 在PSO的文献中并没有说明。现提出一种比较简单的惯性权重的修正方法—信赖域法。

设第i个微粒在前k-1, k次迭代的目标函数的最小值分别为f $_{b i}^{k - 1}$ , f $_{b i}^{k}$ , 第k次迭代的目标函数值为f $_{i}^{k}$ , 全体微粒前k次迭代的目标函数的最小值为f $_{g}^{k}$ 。

(1) 若 $f_{b i}^{k - 1} - f_{b i}^{k} > \frac{3}{4} (f_{i}^{k} - f_{g}^{k})$ 时, 说明微粒在原有的方向上使目标函数值有比较好的下降, 为加速算法在新区域的搜索能力, 应使惯性权重ω取得较大。即:若2ω $_{i}^{k}$ ≥ωmax , 取ω $_{i}^{k + 1}$ =ωmax ;若2ω $_{i}^{k}$ <ωmax , 取ω $_{i}^{k + 1}$ =2ω $_{i}^{k}$ 。

(2) 若 $f_{b i}^{k - 1} - f_{b i}^{k} < \frac{1}{10} (f_{i}^{k} - f_{g}^{k})$ 时, 相反地, 为了增强算法对当前区域的搜索能力, 应使惯性权重ω取得较小。即:若 $\frac{1}{2} ω_{i}^{k} \leq ω_{\min}$ , 取ω $_{i}^{k + 1}$ =ωmin ;若 $\frac{1}{2} ω_{i}^{k} > ω_{\min}$ , 取 $ω_{i}^{k + 1} = \frac{1}{2} ω_{i}^{k}$ 。

(3) 若 $\frac{1}{10} (f_{i}^{k} - f_{g}^{k}) \leq_{b i}^{k - 1} - f_{b i}^{k} \leq \frac{3}{4} (f_{i}^{k} - f_{g}^{k})$ 时, 说明原有的惯性权重使算法在全局搜索能力与局部搜索能力两者之间取得平衡, 取ω $_{i}^{k + 1}$ =ω $_{i}^{k}$ 。

综上所述, 惯性权重的修正公式为

$\begin{array}{l} ω_{i}^{k + 1} = \\ {\begin{cases} ω_{\max}, f_{b i}^{k - 1} - f_{b i}^{k} > \frac{3}{4} (f_{i}^{k} - f_{g}^{k}) 且 2 ω_{i}^{k} \geq ω_{\max} \\ 2 ω_{i}^{k}, f_{b i}^{k - 1} - f_{b i}^{k} > \frac{3}{4} (f_{i}^{k} - f_{g}^{k}) 且 2 ω_{i}^{k} < ω_{\max} \\ ω_{\min}, f_{b i}^{k - 1} - f_{b i}^{k} < \frac{1}{10} (f_{i}^{k} - f_{g}^{k}) 且 \frac{1}{2} ω_{i}^{k} \leq ω_{\min} \\ \frac{1}{2} ω_{i}^{k}, f_{b i}^{k - 1} - f_{b i}^{k} < \frac{1}{10} (f_{i}^{k} - f_{g}^{k}) 且 \frac{1}{2} ω_{i}^{k} > ω_{\min} \\ ω_{i}^{k}, \frac{1}{10} (f_{i}^{k} - f_{g}^{k}) \leq 1_{b i}^{k - 1} - f_{b i}^{k} \leq \frac{3}{4} (f_{i}^{k} - f_{g}^{k}) \end{cases} (4) \end{array}$

3 仿真实验

为了验证利用IPSO算法进行非线性模型参数估计的有效性, 这里采用了文献[2]中的3个典型的仿真模型为例进行仿真研究, 仿真实验时对模型的处理与文献[2]相同。

在仿真实验中, 选取种群规模M=20;ω=0.9～0.4, 表示惯性权重从0.9衰减到0.4;学习因子取c1=c2=2;3个模型的粒子维数S分别为3、4、5;最大迭代次数为1000;适应度函数ffitness采用偏差平方和形式 (见式 (2) ) 。仿真结果如表1、表2和表3所示, 其中GA估计值和PSO的估计值来自文献[2]。

表1、表2、表3的仿真结果以比较表明, 对于传递函数模型, 状态空间模型、Hammerstein模型这三种不同模型的非线性系统, IPSO算法对参数的估计结果明显好于GA算法和PSO算法, 用IPSO算法建立的模型与实际系统模型非常接近, 达到了无偏估计的要求, 可见将IPSO算法用于非线性模型参数估计是有效的, 可行的。

参考文献

[1]Giannakis G B, Serpedin E.A bibliography on nonlinear system identification.Signal Processing, 2001;81 (3) :533—580

[2]陆克中, 吴璞, 王汝传.基于粒子群优化算法的非线性系统模型参数估计.计算机技术与发展, 2008;18 (6) :57—59

[3]姜波, 汪秉文.基于遗传算法的非线性系统模型参数估计.控制理论与应用, 2000;17 (1) :150—152

[4]刘国志, 赵晓颖.一个与信赖域搜索技术相结合的微粒群算法.江西师范大学学报, 2007;31 (5) :463—466

线性参数变化系统篇2

带有参数的三阶非线性差分系统正解的存在性

研究三阶差分系统边值问题Δ 3ui(k)+λhi(k)fi(u1(k),u2(k),…, un(k))=0, k∈[0,T],ui(0)=ui(1)=ui(T+3)=0,i=1,2,… ,n.若令f0 =∑ni=1lim‖u‖→0(fi(u))/(‖u‖)且 f∞ =∑ni=1lim‖u‖→∞(fi(u))/(‖u‖),则在f0=0 且 f∞ =∞,或者 f0=∞且 f∞=0的.情况下,运用不动点指数理论证明对于所有的 λ>0 ,上述系统存在一个正解.

作者：赵亚红 ZHAO Ya-hong 作者单位：兰州理工大学,理学院,甘肃,兰州730050刊名：兰州理工大学学报 ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF LANZHOU UNIVERSITY OF TECHNOLOGY年，卷(期)：34(3)分类号：O175关键词：离散边值问题正解存在性

线性参数变化系统篇3

考虑一类通过比例微分控制来解决其特征结构配置问题的二阶线性变参系统:

其中,q(t)是状态向量,q(t)∈Rn;u(t)是输入向量,u(t)∈Rr;θ(t)为时变参数向量,θ(t)=[θ1(t),θ2(t),…,θN(t)]T∈RN;A(θ)、B(θ)和C(θ)均为θ(t)的显函数,A(θ)∈Rn×n,B(θ)∈Rn×r,C(θ)∈Rn×n,B(θ)为关于θ(t)的满秩矩阵。

假设1[A(θ)B(θ)]关于θ(t)为能控。

假设2 q(t)和θi(t)在线可测,其中。

通过矩阵变换可以将二阶线性变参系统(1)等效成一个一阶线性变参系统:

但是这不可避免地涉及到2n维矩阵的操作从而导致计算较为繁琐,因此如何减少计算量,提出一个更为简洁有效的方法成为了研究学者迫切需要解决的问题。①

在矩阵对[A(θ)B(θ)]能控的前提下,笔者提供了一个通过比例微分反馈来解决二阶线性变参系统特征结构配置问题的简洁完整的参数化方法以及基于闭环特征值和一组参数向量的针对闭环特征向量和反馈增益的简洁完整的参数化表达式。上述闭环特征值和参数是根据该闭环系统的各种需要所选取的。笔者提出的方法之所以简洁是因为该方法的计算量主要集中在两个多项式矩阵的化简或者两组在事先选取合适闭环特征值前提下的奇异值分解,而且只是直接利用原有系统的系数A(θ)、B(θ)和C(θ),所涉及到的操作仅仅针对n维矩阵。

1 问题描述

比例微分控制律为:

将式(4)应用到系统(1)或(2)中,即可获得如下形式的闭环系统:

其中,

基于一般情形考虑,进行如下推导。

令Γ(θ)={si(θ),si(θ)∈C,i=1,2,…,n',1≤n'≤2n}为矩阵Ac(θ)的一组特征值,并且该组特征值关于实轴对称(共轭复数)。设上述特征值si(θ)的代数重数和几何重数分别为mi和qi,则在矩阵Ac(θ)的Jordan标准型F(θ)中有qi个与特征值si(θ)相关的Jordan块。若记这些Jordan块的阶数为pij,j=1,2,…,qi,则有:

设矩阵Ac(θ)与第i个特征值si(θ)相关的特征向量链为vkij(θ),k=1,2,…,pij,j=1,2,…,qi,则可以得到:

其中满足式(7)的Γ(θ)和pij,qi,mi,i=1,2,…,n',j=1,2,…,qi,可以描述成如下形式:

E(θ)={(V(θ),K(θ))|V(θ)={vkij(θ)}∈R2n×2n,K(θ)∈R2r×2n满足式(8)且det(V(θ))≠0}

将式(8)转换成如下参数化形式:

其中F(θ)∈R2n×2n为Ac(θ)的Jordan形式。

综上所述,通过比例微分控制律(4)来解决二阶线性变参系统(1)的特征结构配置问题(ESA)描述如下:

给出矩阵A(θ)、C(θ)∈Rn×n、B(θ)∈Rn×r和一系列共轭复数si,i=1,2,…,2n,找到所有满足式(9)的矩阵K(θ)∈Rr×2n和V(θ)∈C2n×2n,其中det(V(θ))≠0且矩阵A'(θ)和B'(θ)均由式(3)构成。

笔者的主要目的就是在矩阵对[A(θ)B(θ)]能控的情况下,为解决二阶线性变参系统(1)的特征结构配置问题提供一个操作过程直接针对原系统系数A(θ)、B(θ)和C(θ)的简洁方法。

2 初步分析

众所周知,当且仅当下式成立的前提下矩阵对[A(θ)B(θ)]才可以保证能控:

rank[A(θ)-s I B(θ)]=n,s∈C(10)

当式(10)成立时,则存在一对幺模矩阵P(θ,s)和Q(θ,s)满足:

对Q(θ,s)进行如下分块:

将K(θ)=W(θ)V-1(θ)代入到式(9)中得到如下Sylvester方程:

因此二阶线性变参系统的特征结构配置问题就转化成了Sylvester方程(13)的求解问题,其中矩阵V(θ)∈Cn×p和W(θ)∈Cr×p即为所求。

引理1令[A(θ)B(θ)]为能控,则式(13)所有的解决方案可以归纳为如下形式:

或者等效为:

其中fi(θ)∈Cr,i=1,2,…,p为一组任意参数向量。

构建一组能控的矩阵对[A'(θ)B'(θ)],则下述结论成立。

引理2若[A(θ)B(θ)]为能控,则所构建的矩阵对[A'(θ)B'(θ)]也是能控的,当且仅当如下条件满足时:

同时式(16)也可以等效为存在一组幺模矩阵H(θ,s)和L(θ,s),满足:

并将式(17)中的多项式矩阵L(θ,s)分块成如下形式:

然后引出下面的定理。

引理3假设式(17)对于幺模矩阵H(θ,s)和L(θ,s)均成立,则存在所有向量y(θ)和z(θ)满足:

其中y(θ)、z(θ)满足如下条件:

且g(θ)∈Cr为任意参数向量。

3 ESA问题的解决方案

设

则式(9)可以被分解为如下形式:

由此可得式(23)符合式(13)形式,根据引理1得:

式(22)可以等效写成如下形式:

式(24)和式(26)联立可得:

由于式(27)符合式(19)的形式,则根据引理3可得:

其中gi(θ)∈Cr,i=1,2,…,2n为一组任意参数向量。

将式(28)代入式(26)中可得:

此外,将式(28)、(29)代入式(25)中,可以得到向量wi(θ),i=1,2,…,2n和参数向量gi(θ),i=1,2,…,2n的表达式。因此,可以获得如下定理来求解该系统的ESA问题。

定理1若[A(θ)B(θ)]和[A(θ)'B'(θ)]均为能控,则综合上述推理可以得到该系统特征结构配置问题的求解方案:

其中矩阵W(θ)由wi(θ)构成:

且gi(θ)∈Cr(i=1,2,…,2n)是一组满足下述约束条件的参数向量:

约束条件C1

约束条件C2 det[V]≠0

上述定理中的约束条件C1是为了保证式(21)或式(32)中的矩阵K(θ)为实。

4数值算例

参考一个在文献[8]中提供的航天器在轨加油的一般过程,该航天器在轨加油的姿态动力学模型可以表示成如下形式:

其中φ(t)、Φ(t)、ψ(t)表示航天器的俯仰角、滚动角、偏航角;ω0表示轨道角速度;Ix(t)、Iy(t)、Iz(t)表示航天器的转动惯量I(t)在坐标系下的各轴分量;Ux、Uy、Uz表示航天器在坐标系各轴上的力矩分量。

先通过矩阵变换求得模型(34)满足式(1)的参数矩阵:

q=[φ(t)Φ(t)ψ(t)]T为状态向量,u=[UxUyUz]T为输入向量,而θ=[Ix(t)Iy(t)Iz(t)]T为时变参数向量。矩阵对[A(θ)B(θ)]和[A'(θ)B'(θ)](由式(3)定义)在该系统中均为能控。

通过计算易得一组满足式(11)的幺模矩阵P(θ,s)和Q(θ,s):

同时还可以获得一组满足式(17)的幺模矩阵H(θ,s)和L(θ,s):

设,然后根据式(31)可以获得如下闭环特征向量:

进一步由式(33)可以求得矩阵W(θ,s):

众所周知,如果一个矩阵的Jordan型是一个对角矩阵,那么该矩阵的特征值对于矩阵中的参数扰动并不敏感。因此,出于鲁棒性和减少对参数扰动敏感性的考虑,选取不同的闭环系统特征值如下:

其中上述特征值满足(i=2k+1,k=0,1,2)。再选取合适的自由参量并联立K(θ)=W(θ)V-1,其中K(θ)=[K0(θ)K1(θ)],可以获得一个二阶线性变参比例微分控制律:

其中由式(35)给出的aij和bij均为关于时变参数向量θ[Ix(t)Iy(t)Iz(t)]T的函数。

将所设计的状态反馈控制器(42)应用到航天器在轨加油姿态控制系统模型(34)当中去。假设该航天器的姿态角速度均为0°/s(即0rad/s),初始姿态角均为1°(即0.0175rad),在初始状态下,x(0)=[0 0.0175 0 0.0175 0 0.0175]T闭环系统3个姿态角的初始值响应和仿真结果如图1所示。从图中可以看出,3个姿态角的时间响应变化迅速且稳态误差最终趋于0。

仿真结果表明:所获得的比例微分控制律保证了所设计的闭环系统的稳定性,同时也验证了前文推导出的算法的有效性和实用性。

5 结束语

解决了一类基于比例微分控制律的二阶线性变参系统的特征结构配置问题,并提出了两个分别针对闭环特征向量矩阵和反馈增益的简洁完整的参数化表达式。上述主要的操作过程在于两组初等矩阵的变换或者两组奇异值分解,计算量仅仅涉及到n维矩阵。然后选取合适的自由参量和闭环特征值来获得满足系统要求的比例微分控制律。最终通过一个航天器在轨加油姿态控制系统模型来验证所推导出的线性变参控制方法的实用性和有效性,同时从仿真结果中可以得出上述线性变参控制律保证了所设计闭环系统的稳定性并提供了良好的性能。

参考文献

[1]韩明君,李有堂,朱丽,等.干气密封系统轴向非线性动力稳定性[J].化工机械,2012,39(3):308~312.

[2]高德欣,杨晓燕.受扰动非线性系统的反馈线性化最优控制[J].化工自动化及仪表,2010,37(8):19~22.

[3]赵艳东,任宪勇,张兴隆,等.基于阶跃模型的非线性模糊PID控制算法研究[J].化工自动化及仪表,2010,37(7):28~31.

[4]周硕.一类非线性不确定时滞系统鲁棒预测控制[J].化工自动化及仪表,2011,38(2):149~152.

[5]张燕,申森.基于快速正交搜索算法的非线性预测控制[J].化工自动化及仪表,2014,41(11):1226~1244.

[6]Rugh W J,Shamma J S.Research on Gain Scheduling[J].Automatica,2000,36(10):1401~1425.

[7]Leith D J,Leithead W E.Survey of Gain-scheduling Analysis and Design[J].International Journal of Control,2000,73(11):1001~1025.

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