非线性切换系统（共4篇）
非线性切换系统 篇1
切换系统是一类重要的混杂系统的, 在实际应用中具有广泛代表性。稳定性是切换系统正常工作的先决条件。80年代末, Sontag等人利用比较函数法提出了非线性控制系统的输入对状态稳定性概念, 从而成为研究的一项重要内容, 取得了丰富的成果。文献[2]基于平均驻留时间研究了切换系统输入对状态稳定的问题, 文献[3]研究了一类含有扰动的非线性切换系统鲁棒稳定性问题。而关于非线性切换系统的输入对状态稳定性研究成果还不多。本文基于平均驻留时间的方法针对一类非线性切换系统在含有结构不确定情况下的输入对状态稳定性问题。
问题描述及预备知识:
考虑不确定非线性切换系统
其中σ:[0, +∞) →I={1, 2LN}为切换规则, 是右连续的分段常值函数。x∈Rn是状态, d∈Rm为扰动输入, f i (⋅) , pi (⋅) 是已知的光滑函数, gi (⋅) 光滑且非奇异, δi (⋅) 是未知的光滑函数且满足:
ei是正实数, i∈I。
引理1考虑非线性切换系统
其中:x∈Rn是状态, d∈Rm为扰动输入, fi:Rn×Rm→R是关于x的局部Lipchitz函数, σ:[0, +∞) →I={1, 2LN}是右连续的分段常值函数.如果存在一组连续可微的正定函数iV (x) , i∈I和K∞类函数α1, α2与γ, 并且存在常数µ≥1, λ>0, 对∀x∈Rn, d∈Rm和∀p, q∈I满足:
若切换规则满足平均驻留时间, 则系统 (3) 关于d是输入对状态稳定的.
主要结果:
定理1对于系统 (1) , 存在一组连续可微的正定函数iV (x) , i∈I, 和K∞类函数α1, α2与ρ, 以及常数µ≥1, λ>0, 对∀x∈Rn, d∈Rm和∀p, q∈I满足:
则存在状态反馈控制器
在满足平均驻留时间的切换规则下, 闭环系统 (1) 关于d是输入对状态稳定的。
将iu的表达式代入上式得:
当时, 对于系统 (1) 的每一个子系统在
取并且切换规则满足平均驻留时间, 因此由引理1可得此结论成立。
摘要：本文针对一类含有结构不确定的非线性切换系统基于平均驻留时间的方法设计状态反馈控制器使得闭环系统是输入对状态稳定的。
关键词：非线性切换系统,不确定性,平均驻留时间,输入对状态稳定
参考文献
[1]张霞, 高岩, 夏尊铨.切换线性系统稳定性研究进展.控制与决策.Vol.25, No.10, Oct.2010.
[2]L.Vu*, D.Chatterjee, D.Liberzon.Input-to-state stability ofswitched systems and switching adaptive control.Automatica 43 (2007) 639-646.
[3]向峥嵘, 向伟铭, 陈庆伟.一类含扰动的非线性切换系统稳定性分析.控制与决策.Vol.23, No.1, 2008.
[4]Wenxiang Xie, Changyun Wen, Zhengguo Li.Input-to-stateStabilization of Switched Nonlinear Systems.IEEE Transactions onAutomatic Control, Vol.46, No.7, July 2001.
广播传输监测及智能切换系统设计 篇2
关键词：广播信源监测；传输节点监测；智能切换
中图分类号： TN011 文献标识码： A 文章编号： 1673-1069（2016）16-167-2
0 引言
近年来，广播电视网络不断创新发展，广播电视技术的数字化、网络化、智能化不断提高。随着国家“十三五”规划加强对农村广播电视数字化的覆盖要求。
各级电视台对发射台建设重视程度不断增加，萧县广播电视台立足于国家广电总局对数字化覆盖的补贴及县相关部门对萧县广播电视台的大力支持，萧县广播电视台着眼与未来广电技术与网络融合的发展，构建发射台FM广播传输系统及监测系统。此系统构建必须满足广播电视技术未来发展的需要，充分结合其他地方台构建系统的经验；充分利用新技术不断地创新；充分符合国家广电总局对我台的技术要求与指导；充分满足广电网新融合发展的需要。
数字化方面全面构建全数字信源传输预留高清通道，网络化方面基于IP传输架构光纤网络传输方式，智能化方面构建基于IP网络架构的智能切换及远程数据查询。监测系统可以实现故障预警、信源丢失等故障报警，FM音频监测动态电平大小、峰值电平等参数。
1 FM广播监测系统
此系统必须考虑传输安全稳定可靠，通过监测技术手段监看、预警信源故障，能自动实现主备切换，达到高效应急、缩短故障延时积极有效的避免带来的停播、劣播影响安全播出。系统能实现安全、可靠、便捷、高效、可控的智能化平台，系统满足日常的安全播出、发射需求，要求各个环节均数字化，流程化，无带化，为提高节目音频数字化质量。系统主要对FM广播信源中断、过大、过小及电平动态范围值、峰值电平等参数进行故障报警。系统预留地面数字广播监测系统接口，可监测1个频点中的8套FM信源指标故障，同时系统可以对本地人员非法入侵及发射机房周围环境实时监测，监测的实时数据上传到服务器中保存，所有音源监测信息以动态音量柱实时显示在监看大屏幕上，音频FM广播监测系统如图1所示。
系统可实现对各个频率的各个节点的音频的实时采集监测，可以对监测音频节点进行选择性监听或循环监听，循环监听采用多路循环监听监看器，可对其需要监听的所有频道在1-90s范围内设置循环，同时也可以监看到当前监听频道的动态音量柱。可实现对监测节点出现静音及劣播等故障进行报警等功能，专业监测切换装置，信源自动切换；内置DSP处理，音频相位可控，支持对监测信源录音，可按时段定制录音，也可全频段录制。机房环境通过对温湿度传感器，电流传感器，电压传感器，水浸，烟感，人感等设备的采集，可实现对发射机房温湿度、电压、电流、火情、水情等环境的监测；支持巡机数据导入，方便对巡机情况进行查询，有效地
保证了日常巡机工作的执行质量。监测到异态时可通过声音、光电、短信等方式实时本地或远程报警；具备完善的统计分析及日志管理等，可查询发射设备、电源、机房环境等主要运行数据以及查询通讯中断、机房入侵、重要操作、报警等事件数据；支持Internet广域网远程监视、值日管理、参数设置等。
2 音频信源传输及智能切换播出系统
萧县发射台位于海拔280米高的灵山之上，距离山下电视台直线距离7公里左右。电视台制作后的信号源通过光纤网络上传到发射台经行播出发射，虽两地距离较短但传输敷设光纤的环境比较复杂（穿过新老城区及山上居民区），为此我台技术人员根据实际需要敷设两路光缆作为主备同时预留无线微波传输系统，信源传输利用数字光端机具有IP数据双向传输功能技术，可以传输音频AES信源同时传输双向控制数据，对系统传输经行切换。系统所采用的设备都具有SNMP网络管理功能，系统提供设备工作状态、参数、设备接口信息等。系统还可以提供远程控制、远程定时开关机、自动开启备、自动切换等功能。音频传输智能切换播出系统如图2所示。
智能自动控制系统：
采用智能自动控制系统可以通过子系统数据控制端口实现实时自动切换，系统可以实现对4路本地信源AES或模拟立体声L/R与4路网络音频（可以从网络接收实时传输音频信号作为信号源）自动监测切换播出，系统具有强大的DSP处理功能，可以对输入输出信号的电平和相位进行在线调整，同时具备音频信号智能监测报警功能，可以对所有输入输出信号的参数进行在线检测。采用先进的帧检测技术，保证音频信号的帧切换，实现各路音频通道间无噪音切换。可以对所有输入输出信号进行实时检测，做智能化故障判断，并对输入音频信号故障做蜂鸣器鸣叫提醒，对输出信号做报警或应急自动切换处理。监测到故障自动切换后，将根据事先设置好的是否允许回切参数，决定是否自动回切到主通道。
3 小结
非线性切换系统 篇3
随着电力电子技术的飞速发展,电力电子设备广泛应用在电力系统中。但是电力电子装置的非线性特性会带来严重的谐波污染问题,与电力用户对电能质量要求不断提高的发展趋势严重不符。有源电力滤波器可以有效抑制电网中幅值和频率实时变化的谐波[1,2,3,4,5],在实际中有广泛应用。
APF通过检测电网电流中的谐波成分,计算得到和该成分大小相等、方向相反的补偿电流参考值,然后把跟踪该参考值的补偿电流输送到电网中,起到补偿谐波的作用。在这个过程中,APF补偿电流能否精确快速地跟踪补偿电流参考值,是APF能否精确补偿谐波的关键。近几年,诸多学者研究APF的控制方法:文献[6]中提到了三种单相APF控制方法,都是使用APF闭环系统的线性PI控制;文献[7]将APF模型简化为典型Ⅰ型系统和典型Ⅱ型系统,根据典型Ⅰ型系统和典型Ⅱ型系统的控制指标,设计PI调节器对APF进行控制;文献[8]通过等效有源电力滤波器模型得到APF闭环系统的传递函数,在此基础上设计周期离散PI控制器,实现对直流侧电容电压的线性化控制;文献[9]建立了APF低频简化模型,设计电压外环PI控制器和电流内环模糊PI复合控制器。上述文献研究的APF控制方法,都是从APF交流侧出发,考虑其理想等效模型。这样考虑有利于APF模型的解耦,实现其线性控制,但是由于对APF强非线性本质缺乏深入的研究,大大影响了APF的补偿精度和稳定运行。
随着APF的深入研究,基于理想等效模型设计得到的控制策略严重影响了系统的控制精度。文献[10]使用了APF切换系统的H∞控制,该方法虽然考虑了APF开关特性,从非线性出发建立了APF的切换系统模型,但是没有使用该模型设计非线性控制策略,而是在平衡流形邻域近似线性化该模型,通过线性化模型设计了H∞鲁棒控制器。同样,文献[11]得到单相APF混杂系统模型后,在平衡点处对该模型进行线性化,得到该模型的线性等效离散模型,并设计二次最优控制器。
综上所述,现有的APF控制策略基本都是建立在APF的线性模型基础上的。虽然[10-11]考虑建立APF的分段线性切换系统模型,但是对模型的线性化又没有在根本上消除传统控制策略的弊端,从而影响了APF的补偿精度。本文从APF非线性特性出发,建立APF的切换系统模型,并在此基础上转化为APF的切换系统误差模型,将APF的控制问题转变为系统的镇定问题。然后设计使APF切换系统渐近稳定的切换路径,将该路径作为APF的控制输入,使系统误差状态变量趋于零,精确补偿电网中的谐波电流。
1 单相APF非线性模型的建立
精确的数学模型对于系统稳定分析或控制设计的重要意义不言而喻。通过上述分析可知,现有单相APF控制策略的研究,基本上都是建立在APF简化模型基础上的。由于这些数学模型本身就不能真实地反映APF的实际特性,因此也就不能寄希望于基于简化模型设计出的控制策略可以使APF精确补偿谐波。本节将建立单相APF切换系统模型,进而得到APF切换系统误差模型。
考虑单相APF的拓扑结构如图1所示。图中Us和is分别是电源电压和电流,iL是非线性负载电流,ic是APF的补偿电流。L是APF交流侧电感,r是APF交流侧电阻,C是APF直流侧电容,Udc是直流侧电压。S1~S4代表4个IGBT。
由图1可以建立单相APF电压电流方程:
因此APF切换系统模型为:
其中,s是APF的开关函数,当1S和S4导通时,s的值是1;当S2和S3导通时,s的值是-1。
当APF在工作在平衡点处,即APF补偿电流完全等于其参考值时,APF切换系统模型为:
其中:Ud*c是APF直流侧电压的参考值;ic*是补偿电流的参考值,可以通过下述过程计算求得[12],假设当APF补偿电流完全等于参考值时,补偿后的电网电流应满足
式中:是电网电流参考值,其幅值Im可以通过APF直流侧电压及其参考值之间的误差经过PI调节器确定:
其中,Kp和Ki分别是PI调节器的P参数和I参数。当补偿后电网电流参考值确定后,将可以得到APF补偿电流的参考值:
考虑将系统的状态变量转化为状态变量的误差,式(2)和式(3)相减,可以得到APF切换系统误差模型为:
2 切换控制策略
本节将从模型(7)出发,研究APF切换系统误差模型的渐近稳定问题,把APF的控制问题,转化为系统的镇定问题,通过设计切换路径,使系统渐近稳定,误差状态变量趋于零,实现APF的精确补偿。从APF切换系统误差模型(7)可以看出,该系统是一个分段线性自治的切换系统:
其中,Aσ(t)∈{A1,A2}。当切换发生时,σ(t)=i变为σ(t)=j(i≠j=1,2),系统将从子系统iA切换到Aj。本系统有两个子系统,分别对应于APF开关函数的值为1和-1时的情况。切换控制设计的目标是,找到式(8)的控制输入:
使系统(8)渐近稳定[13]。
为此,引入切换系统子系统的李亚谱诺夫函数定义[14]:
如果存在正定连续函数Wσ(t),满足:
则一个正定连续可导的函数Vσ(t)就是子系统所对应的李亚谱诺夫函数。
由于切换系统是分段线性的,因此可以采用线性系统理论的方法,求解子系统的李亚谱诺夫函数。如果能够找到某正定的对称阵P,满足:
其中,Q也为正定对称阵。则由P构成的函数Vσ(x,t)=xT(t)Pσx(t)就是子系统的二次李亚谱诺夫函数。
下面考虑系统在切换点处的情况。由于切换系统的运动轨迹是在子系统轨迹之间来回切换,使得切换系统的李亚谱诺夫函数是由子系统的李亚谱诺夫函数组合而成,因此切换系统的李亚谱诺夫函数在切换时刻是不可导的。这就给使用李亚谱诺夫函数研究系统全局渐近稳定造成了难题。一个简单的解决方法是考虑李亚谱诺夫函数的单调性,仅仅需要研究合适区域内李亚谱诺夫函数沿着相应子系统解的单调性,而不需要切换系统的李亚谱诺夫函数是处处可导的。
利用求得的子系统二次李亚谱诺夫函数,设计使切换系统(8)渐近稳定的切换控制,从而确定子系统之间的切换次序。首先定义区域:
从式(12)可以看出,如果系统(8)在区域(12)内运动,则说明由此产生的二次李亚谱诺夫函数σV(x,t)沿着对应子系统的解是下降的。此时系统应该切换到运动在区域(12)内的子系统上,系统的控制输入是:
其次,如果两个子系统均运动在区域(12)内,说明此时两个子系统都是收敛的,为了保证系统的收敛速度,系统将切换到收敛较快的子系统上,因此切换系统控制输入为:
在控制输入式(14)的作用下,在保证李亚谱诺夫函数下降速度的同时,可以使系统x=Aσx的轨迹在两个子系统轨迹上切换,使系统渐近稳定[15,16,17,18]。
3 例子
为了验证上述切换控制策略的正确性,观察APF的补偿效果,建立单相APF切换控制仿真系统。控制系统的总体结构图如图2所示。
选择电源电压Us是峰值为16 V的50 Hz交流电压,负载是单相不可控整流电路,其直流侧是22Ω电阻和1 100μF电容并联后串联6 m H电感的组合电路。选择APF参数为:APF交流侧电感L为8 m H,交流侧电阻r为0.5Ω,直流侧电容C是1 100μF,直流侧电压参考值U*dc是20 V。PI调节器参数为:P=0.378 83,I=0.022 165。采样周期是0.02/512s。
3.1 控制器设计
选定上述参数,根据式(7)计算APF切换系统误差模型系数矩阵为:
根据式(11),选择正定的对称矩阵为单位阵,即Q1=Q2=I,计算系统(8)两个子系统的二次李亚谱诺夫函数,确定正定对称矩阵为:
在求出每个子系统的二次李亚谱诺夫函数之后,需要根据每个采样点的系统误差状态变量判断此时系统是否运动在区域(12)内,只有当系统运动在该区域,才能保证此时子系统的二次李亚谱诺夫函数是递减的。最后将运动在区域(12)内的系统误差状态变量代入到式(13)和式(14)确定系统的控制输入,设计切换系统的切换次序。在该控制输入作用下,系统的相图如图3所示,图中“·”表示子系统之间发生切换。
从图中可以看出,在控制输入的作用下,系统的轨迹在两个子系统轨迹之间来回切换,最后趋于原点。同时,系统误差状态变量随时间变化的轨迹如图4所示。从图中可以看出,误差状态变量从初始点出发,30 ms后趋于零。
3.2 仿真结果分析
针对系统实际的物理意义,定义系统误差状态变量:Δic是实际补偿电流ic减去式(6)计算得到的补偿电流参考值ic*;ΔUdc是实际的直流侧电压减去电压参考值20 V。然后在每个采样点计算系统的控制输入式(13)和(14),确定系统的切换路径。最后在系统控制输入的作用下,控制相应的子系统运动:当u(t)=1时,子系统1运动,对应APF的IGBT1和IGBT4导通;当u(t)=2时,子系统2运动,对应IGBT2和IGBT3导通,仿真结果如下。
在没有APF补偿时,由于非线性负载的存在,电网电流波形如图5(a)所示。从图中可以看出,非线性负载的存在严重污染了电网电流,使电网电流发生畸变。其电流谐波含量如图5(b)所示,此时电流谐波总含量高达54.67%。经过APF补偿后,电网中的谐波电流已经基本滤除,电网电流基本为正弦波,如图6(a)所示。补偿后电网电流谐波含量降低为7.30%,如图6(b)所示。
考虑本文提出的控制策略对系统动态特性的影响。在5 s时,电网的负载发生突变,负载电阻由22Ω变为11Ω,如图5(a)所示。此时补偿电流参考信号也将随之发生变化,观察APF补偿后电网电流,如图6(a)所示。从图中可以看出,尽管负载发生突变,但是APF的切换控制仍然能使补偿电流迅速跟踪其参考信号的变化补偿电网中的谐波电流,准确补偿电网中的谐波,控制策略具有良好的动态性能。
3.3 控制方法的比较
下面通过和传统控制策略的比较,观察不同控制策略之间控制性能的不同。因为文献[6]中的控制方法是APF的线性电压控制,和本文提出的控制方法在电压环控制上有相似之处,故使用该文献中的控制方法作为传统控制策略。选取相同的参数,使用传统控制方法对图5(a)所示的相同非线性负载进行补偿,得到补偿后电网电流如图7(a)所示。从图中可以看出,APF仅能补偿电网电流中的部分谐波,补偿效果较差。补偿后电网电流谐波含量只降低到17.81%,如图7(b)所示。当系统负载在5 s发生突变时,APF需要1个周期以上的调整才能再次稳定,如图7(a)所示,说明传统控制方法的动态性能较差。
通过比较可以看出,使用文献[6]中的控制方法,APF补偿后电网电流并不是一个理想的正弦波,毛刺较多,而且APF动态性能较差。这时由于文献[6]忽略APF的非线性特性,直接对APF采用线性控制造成的。而本文的控制方法,可以完成对各次谐波和总谐波含量的衰减,有效地改善电网电流中的谐波含量。
4 结论
传统APF控制方法一般从APF简化线性系统模型出发,利用线性系统控制理论,设计APF控制策略,理论结果往往无法准确反映APF的实际特性。本文利用非线性动力学,建立APF切换系统模型,进而得到APF切换系统误差模型,使用切换系统理论设计使APF误差模型渐近稳定的切换路径,将该路径作为切换系统控制输入,使系统误差状态变量趋于零,控制补偿电流精确跟踪其参考值,实现谐波电流的补偿。通过仿真比较可以看出,本文方法具有较好的补偿效果和动态特性。
摘要：针对线性控制策略造成的有源电力滤波器(Active Power Filter,APF)补偿误差,利用非线性动力学的切换系统理论,提出了一种APF切换控制的新方法。首先建立APF切换系统精确模型,然后利用APF平衡状态推导出APF切换系统误差模型,在此基础上设计合理的切换路径作为系统的控制输入。该输入可以使系统渐近稳定,系统的误差状态变量趋于零,实现APF精确补偿。通过与传统线性电压控制策略进行仿真比较,结果验证了该方法的合理性和有效性。
非线性切换系统 篇4
关键词：切换正系统,切换次序参数化,最优控制
1 引言
在自然界或人造系统中都存在一类能量, 它们总取非负值, 比如物理中的绝对温度、物质密度、位移、电位, 化学中的浓度, 生物中的生物数量, 社会学中的人口数量等, 这些变量都是可以用非负量来描述, 相应的动力学系统就可以应用正系统来描述。当初始条件和输入是非负的, 系统的状态和输出也是非负的, 则称系统是正系统[1,2]。正系统理论在生物, 通信[3,4], 经济等领域有相关应用。
最优控制研究的一个主要问题是根据建立被控对象的数学模型, 选择一个容许控制律, 被控对象按给定要求运行, 使得给定的某一性能指标达到最优值。而对于切换系统的最优控制问题是要设计切换序列及找出最优控制输入, 一个合适的切换序列直接影响整个系统的性能。切换序列包括切换次序, 切换时刻及切换总次数, 一些学者针对不同的切换序列情况进行了分析研究。2002 年, 尹增山[5]利用分段梯度下降法分析了切换系统的优化问题。2006 年, Xu[6]针对切换次序和切换次数固定、切换时刻可变情况, 提出两阶段法研究最优控制问题, 两阶段法为切换系统的最优问题研究构建了基本框架。2008年, 向峥嵘[7,8]利用离散动态规划法, 给出满足切换系统最优控制的条件等相关证明, 并利用遗传算法讨论了含有阶跃干扰的切换系统最优控制。2011年, 方志明[9]对一类切换系统的输入输出稳定性和最优控制问题进行研究。
目前, 关于切换正系统最优控制的研究成果比较少。2010年, Zappavigna[10]讨论了连续线性切换自治正系统的稳定性, 并讨论线性切换正系统的最优控制问题, 给出最优切换序列的满足条件。2011年, Najson[11]讨论了切换正系统的状态反馈指数稳定性, 基于状态反馈指数稳定, 进一步讨论了切换正系统的最优控制问题。上述关于切换正系统的最优控制问题是基于稳定性分析, 从而得出最优控制理论证明, 没有给出求解优化序列的有效方法。本文将切换次序参数化作为离散控制输入, 研究一类时滞线性自治切换正系统的最优控制问题。
本文主要符号记法:表示矩阵A的所有元素是非负的 (非正的) ; A f0 (p0) 表示矩阵A的所有元素是正的 (负的) ;λ (A) 表示矩阵A的特征值; µ (A) 表示矩阵A的所有特征值的最大实部分; ρ (A) 表示矩阵A的谱半径;akl表示矩阵A的第k行第l列元素。
2 切换正系统描述
考虑离散线性切换系统:
和连续线性切换系统:
其中x ( k ) , x (t ) ∈Rn是切换系统状态变量, Ad, Ac分别表示系统矩阵, 式 (1) 和式 (2) 分别含有m, n个子系统。
定义1[2,12]已知矩阵A , 当且仅当akl≥0, k ≠l, k, l =1, 2, L , n, 则称矩阵A是Metzler矩阵;当且仅当 µ (A) <0 , 则称矩阵A是Hurwitz矩阵;当且仅当ρ (A) <1 , 则称矩阵A是Schur矩阵。
定义2[1]如果, 且有, k ∈ ¥ , 则称系统 (1) 是正的。
定义3[1]如果, 且有, t >0 , 则称系统 (2) 是正的。
引理1[13]已知系统 (1) , 当且仅当, 则称系统 (2.1) 是正的。
引理2[14]已知系统 (2) , 当且仅当Ac, i =1, 2, L, m是Metzler矩阵, 则称系统 (2) 是正的。
上述给出了线性切换正系统的模型及满足切换正系统的相关定义和引理, 对于切换正系统的稳定性, 主要应用共同线性余正Lyapunov函数法进行分析, 文献[10, 12 , 14]给出了相关理论成果。由于干扰, 元件老化, 信息传输等问题, 时滞现象是经常出现的, 下面将分析一类含时滞的切换正系统最优控制问题。
3 切换正系统最优控制
考虑由M个时滞离散线性正系统[15]组成的切换正系统:
其中, L , M , x (0) =x0, k∈ ¥+, d为常时滞参数。
由于系统 (3) 为时滞离散自治切换正系统, 而系统 (3) 在任意一个时间段内有且只有一个正子系统活动, 其余正子系统是不活动的, 根据文献[9]研究切换系统序列优化设计的研究方法, 将时滞切换正系统 (3) 的切换次序参数化作为离散输入, 将系统 (3) 转换如下等价模型:
式中u1, u2, L , uM是关于时滞切换正系统 (3) 的活动次序, 令U =[u1u2LuM]T作为系统 (3) 的离散输入, 且满
由式 (5) 知, 若第i子系统活动, 则相对应有ui=1 , 否则ui=0 ;且在任意时刻有且只有一个子正系统活动。
例如由3 个时滞离散正子系统组成的切换正系统 (3) , 将其转化为模型 (4) 有
可以利用U =[u1, u2, u3]T来表示各子系统的切换顺序, 如U取值为:
则表示切换正系统切换2 次, 离散切换正系统 (6) 的活动次序依次为正子系统3, 正子系统1, 正子系统2。
考虑时滞线性离散切换正系统 (4) 的最优控制问题, 寻找最优切换次序U*, 使性能指标:
达到最小, 其中Q为定常矩阵。
若要找到时线性滞离散切换正系统 (3) 的最优切换次序使性能指标 (7) 达到最小, 即找到u1, u2, L , uM的活动次序。但不能直接应用基本最优控制理论方法进行分析, 需将系统 (3) 等价转换成系统 (4) , 则最优控制问题等价转换为:
考虑时滞线性离散正系统 (4) , 找到最优控制输入U*, 使性能指标 (7) 达到最小。
当研究时滞线性离散切换正系统 (3) 在固定时刻、固定切换次数情况下, 找到最优切换序列U*, 使目标函数 (7) 达到最小, 因为U作为系统的控制输入, 取值只为1 或0, 因此可以应用离散动态规划方法求解上述最优控制问题。
当时滞线性离散切换正系统 (3) 的切换次数不确定时, 下面给出关于时滞线性离散切换正系统的最优切换次序定理。
定理1 对于时滞线性离散正系统 (4) , 如果控制输入参数ui满足:
则系统 (4) 的性能指标 (7) 达到最小, 其中p (k) 是下列方程的解:
边界条件p (N) =0 .
证明考虑系统 (4) , 令
目标函数为式 (7) , 令Hamiltonian函数为:
从上式可以得出状态方程和协态方程, 然后根据离散系统的极小值原理分析过程和参考文献[16]中定理的分析方法, 当存在常时滞d时, 可以逐步推导得出条件 (8) , 得证。
注由于系统 (3) 等价系统 (4) , 因此对于系统 (3) 的离散控制输入U亦满足条件 (8) 。且控制输入参数的取值受时滞d的影响, 对最优切换时刻是有影响的, 同时p (k) 是关于时滞方程的解, 对性能指标的最优值是有影响的, 下面数值例子将分析时滞对切换时刻和性能指标的影响情况。
上述分析了时滞离散切换正系统最优切换次序满足的条件, 根据离散系统的方法, 考虑时滞连续切换正系统的最优切换次序问题。
考虑由N个时滞线性连续正系统组成的切换正系统:
其中x (0) =x0, t ≥0 , Ai, i =1, L, N是Metzler矩阵, h为常时滞参数。
考虑系统 (9) , 找到N个时滞线性连续正系统的最优切换顺序, 使性能指标达
达到最小, 其中Q为定常矩阵。
首先, 根据时滞离散线性切换正系统的等价转换方法, 将系统 (9) 进行如下等价转换:
式中u1, u2, L , uN是系统 ( 9 ) 的活动次序, 令U =[u1u2LuN]作为系统 (9) 的控制输入, 并满足条件 (5) 。
下面将给出时滞连续线性系统 (11) 满足的最优切换条件定理。由于控制输入U是离散的, 取值只为0 或1, 无法直接应用连续系统极小值原理进分析。为此, 假设控制输入U是在[0, 1] 区间的连续输入, 即ui在[0, 1] 上连续, 然后再分析这种假设是可行的。
由性能指标 (10) 及根据连续系统的极小值原理和定理3.1 的分析方法, 易得出如下定理。
定理2 对于系统 (11) 的最优切换次序问题, 如果控制输入ui满足:
则系统 (11) 的性能指标 (10) 的最优值为
其中λ (t) 是如下方程的解:
边界条件 λ (tf) =0 .
在定理2 证明中, 假设了控制输入U是在[0, 1] 区间是连续输入, 由于控制参数ui={0, 1}, 显然可知ui∈[0, 1], 且在任意时刻有且只有一个子正系统活动, 在证明过程中这种假设是成立的。同时, 文献[16]和文献[17]在讨论连续切换系统的最优控制问题时, 也是假设离散控制输入在区间内连续的方法进行分析。
当分析时滞离散切换正系统的最优切换次序时, 可采用离散动态规划或判断条件 (8) 分析切换次序;当分析时滞连续切换正系统的最优切换次序时, 可以将系统的变化区间进行离散化, 可以应用数学规划法就行分析求解。定理1 和定理2 基于切换次数参数化方法, 分析了时滞切换正系统的最优切换次序问题, 下面将给出时滞连续切换正系统最优切换次序的数值例子。
4 数值例子
例1 考虑由2 个时滞线性连续正系统组成的切换正系统:
其中系统参数如下:
初始值t =[0, 2] , h为常时滞参数。
考虑时滞切换正系统 (13) , 找到最优切换次序, 使最优切换序列使性能指标:
达到最小。
根据定理2, 将时滞切换正系统 (13) 转换成如下等价系统:
其中协态方程和边界条件:
最优切换次序u*满足:
在t =[0, 2] 内, 时滞切换正系统 (13) 只切换1 次, 通过仿真分析得出常时滞h的变化对最优切换时刻和性能指标 (14) 的影响较大, 对比情况如下表所示。
当取不同时滞项时, 系统的状态曲线不一样, 如下图所示的系统状态轨迹。
由图1 可知, 在多次切换条件下, 不同时滞切换正系统 (13) 的状态是渐近稳定的。
5 结束语