切换系统稳定性

2024-07-15

切换系统稳定性（共10篇）

切换系统稳定性篇1

0、引言

混杂系统是一类比较复杂的系统, 它主要根据连续时间动力学和离散事件动力学的相互作用的结果, 这种系统在实际生活中具有重要的研究价值及意义。在混杂系统中, 切换系统是其中比较特殊的一类系统, 在该系统内部结构构造上, 它的动态行为远远比其它类系统要更为复杂化。造成这一局面的主要原因就是, 切换系统不但同时拥有具备着其它系统都有的不确定性和时滞现象, 更重要的是其特有的切换机制, 在这种切换机制的带动之下, 它能够最大效应的与上述提到的现象之间相互作用, 进而致使整个切换系统的运行机制更加复杂化。

切换系统主要是由一个系列的连续或者离散状态下的子系统, 以及协调这些子系统之间所起到的切换效果规则的混合系统。子系统的稳定性并不能代表整个系统的稳定性, 如果采用不同的切换序列, 会出现不同的结果。要想保证整个切换系统的稳定性, 需要对切换序列做出一定的限制, 切换序列的选择不当, 会使得整个系统不稳定。即使整个切换系统处于稳定状态, 但是其子系统也有可能是不稳定的。

1、时滞切换系统的稳定性分析

稳定性是切换系统研究的重点, 因为稳定性是系统正常运行的基础条件, 对于切换系统而言, 其运行过程比较复杂。在研究切换系统时, 应注意切换方法的选择。

在切换机制不太了解或较复杂的情况下, 需要对不同的切换信号分析, 找出确保系统稳定的条件, 这个问题的研究具有重要的意义。在其他情况下, 如部分或全部子系统都是稳定的, 接下来主要的任务就是分析使得系统趋于稳定的信号。如果全部的子系统都不稳定, 则需要构建使得系统稳定的切换信号, 对于这个问题有一定的难度, 目前, 切换信号的构造方式不多, 有时间依赖切换信号的构造, 有状态依赖切换信号的构造, 还有就是结合两者的切换信号的构造。

2、问题描述

本文要研究的系统描述为:

其中i (k) 为系统的第i个子系统, s表示切换方案, d>0是滞后时间, Ai是第i个子系统的常数矩阵。

3、结果分析

定理1:对于系统 (1) , 若满足条件

其中i=1, 2, …, m

对于不同的切换方案, 均可以保证系统的稳定性。

证明:假设存在对称正定阵满足条件 (2)

那么V (k) 是正定的。

因此, 满足△V (k) <0的充分条件为

其中i=1, 2, …, m

在i=1, 2, …, m的条件下, 不等式 (2) 均成立, 说明对于任意不同的切换方案, 都能满足△V (k) <0, 由此分析, 系统 (1) 是趋于稳定的。

定理2:基于系统 (1) , 如果存在对称正定矩阵P1, …, Pm, S∈Rm×n满足下述条件:

对于任意方案, 均可以保证系统渐进稳定。

证明:假设条件成立满足不等式 (3) , 定义一个函数V (k) :

则有:

满足△V (k) <0的一个充分条件为:

在条件 (i, j) ∈M×M下, 矩阵不等式 (3) 均成立, 表明对于任意的切换方案, 都满足△V (k) <0, 证明系统 (1) 是渐进稳定的。

定理3:基于系统 (1) , 如果存在δ∈R, 对称正定矩阵P, S∈Rm×n满足下述条件:δ>0且

则存在切换方案s可以保证系统渐进稳定。

求得各不等式的加权和

由结果分析, 假设不成立, 则不存在条件满足以上的不等式。

4、仿真算例

例1:两个不稳定子系统组成的离散时滞切换系统

由下图分析, 系统状态变量的轨迹在切换信号的作用下逐渐趋于原点。

5、结语

本文主要讨论了时滞切换系统的稳定性, 在任意切换信号的情况下, 定理1和定理2给出了保证系统渐进稳定的条件, 在条件满足的情况下, 即所有的都相等时, 定理1与定理2是定价的, 定理2的条件范围较定理1大, 定理1是定理2的特殊情况。定理3给出了系统渐进稳定的凸显条件, 以及切换信号的选取方法。

摘要：本文首先给出所要研究的时滞切换系统的模型, 然后提出该时滞切换系统稳定性的条件, 并加以证明, 最后通过仿真算例证实该理论的有效性。

关键词：时滞,切换系统,稳定性

参考文献

[1]杨冬梅, 孟新全.不确定时滞离散切换广义系统的鲁棒H∞控制[J].东北大学学报 (自然科学版) , 2014, 35 (3) :309-313.

[2]连捷, 牟春伟, 冯智等.一类离散切换时滞系统的鲁棒无源控制[J].大连理工大学学报, 2013, 53 (2) :273-280.

[3]曲袁超.时滞切换系统的稳定性分析[D].沈阳:沈阳师范大学, 2012.

[4]张亚婷, 闻继伟, 彭力等.基于N步不变集的时滞切换系统的饱和控制[J].计算机与应用化学, 2014, (09) :1085-1090

[5]毛北行, 李巧利, 卜春霞等.一类离散的时滞脉冲切换系统的H∞二次稳定性[J].数学的实践与认识, 2011, 41 (1) :209-213.

[6]肖会敏, 赵林, 王春花等, 不确定时滞切换系统的鲁棒滑模控制[J].控制理论与应用, 2011, 28 (11) :1621-1626.

切换系统稳定性篇2

新国库支付系统上线切换方案

为保障新版中央国库支付管理系统（以下简称新国库支付系统）上线运行，支持中央国库集中支付电子化管理工作顺利开展，第一批试点中央部门平稳切换，按照安全、稳妥、积极、简易的原则，以系统顺利上线和预算单位正常开展业务为目标，我们制定了年中系统上线方案。

一、整体思路

整体思路上，新国库支付系统上线采取“余额导入”的方式，确保试点部门所有预算单位的全部业务同时迁移到新国库支付系统办理，即将试点部门的指标余额（指标-支出）、额度余额（计划-支出）、可报计划指标余额（指标-计划）、非税收入收缴账套信息（用于以收定支）等信息导入新国库支付系统，作为试点部门在新国库支付系统开展业务的初始数据，支付明细信息、用款计划明细信息以及除非税收入收缴账套以外的账套信息等历史数据暂不导入新国库支付系统。系统切换期间暂停试点部门的国库集中支付业务（含非税收入退付），清理、核对、调整、迁移数据。一是在旧国

库支付系统中清理核对业务数据保证相关口径不超预算。二是旧国库支付系统按照相关口径计算出试点预算单位预算指标的已用金额，将相关口径指标已用金额按照一定规则扣减到每条预算指标上，将每条预算指标的总额和剩余金额导入新国库支付系统，用于新国库支付系统支付指令的指标控制；三是旧国库支付系统计算出试点预算单位剩余额度，按照新国库支付系统额度口径（不分项目）生成后导入新国库支付系统，作为新国库支付系统额度控制依据；四是旧国库支付系统计算出试点预算单位可报计划指标金额（预算指标-已下达额度的用款计划）导入新国库支付系统，用于新国库支付系统用款计划的指标控制依据；五是旧国库支付系统将非税收入账套信息导入新国库支付系统，用于非税退付用款计划和请款单以收定支的控制。

代理银行将试点单位的剩余额度按照新国库支付系统口径（不分项目）自行计算并与财政核对一致后导入新国库支付系统。

人民银行将试点部门的剩余汇总清算额度导入新国库支付系统。

系统切换完成后,预算单位恢复办理国库支付业务。执行指标、用款计划、资金支付等日常业务全部在新国库支付系统中办理；总预算会计在旧国库支付系统中处理完整账务信息，在新国库支付系统同步记录试点部门的支出账务信息和非税退付账务信息；对于查询报表，在新国库支付系统中暂无法查询到切换前的支付明细、计划明细等数据信息和审核流程情况，需要在旧国库支付系统中查询，按口径汇总计算类的报表不受影响。

系统切换过程预计要耗时4天（自旧国库支付系统停用至新国库支付系统启用），在此期间试点部门单位应抓紧完成人员、公用经费拆分等工作，如确实无法按时完成，则可先迁移至新国库支付系统再做调整。

二、具体方案

（一）基础数据。

1．单位基础数据。新国库支付系统国库执行单位的单位

名称、预算码以预算编制单位为准，组织机构代码经预算系统和国库系统核对一致后使用，核对不一致需查找原因，修改预算系统或国库系统组织机构代码信息。零余额账户名称、账号等信息以旧国库支付系统为准。

2．新国库支付系统数据分类和码表按照统一后的基础数据设定。

（二）业务清理。

对旧国库支付系统中试点部门业务数据进行核对。由于新旧国库支付系统业务模式不一致，在旧国库支付系统中核对和调整业务数据的目标为：保证指标、计划和支出各阶段相关口径不存在超预算的情况。具体核对口径如下：

1.计划是否超指标。按照部门、基层预算单位、预算来源、资金性质、收支管理（基本/项目）、功能分类、项目口径核对计划是否超指标。

2.支出是否超计划。按照部门、基层预算单位、预算来源、资金性质、收支管理（基本/项目）、功能分类、支付方式口径核对支出是否超计划。

3.支出是否超指标。按照部门、基层预算单位、预算来源、资金性质、收支管理、功能分类、项目、政府经济分类（类级）口径核对支出是否超指标。

（三）预算指标。

1．在途业务处理。指标系统停止发送试点部门的预算指标，确保临时指标都被替换成正式指标。旧国库支付系统确保试点部门所有预算指标处理完成，即没有待接收或接收失败的预算指标，有问题的预算指标进行退回处理，已接收的预算指标需完成下达，年初国库集中支付结余指标需完成下达。

2．预算指标导入。新国库支付系统从指标系统中间区导入已接收成功的试点部门的正式预算指标（当年预算指标和结余调整指标，不导入“二上”预算数），作为新国库支付系统指标业务数据，并设置为下达状态。新国库支付系统从旧国库支付系统导入集中支付结余指标并置为下达状态。

3．已用指标计算、导入。旧国库支付系统根据总预算会计支出账务信息按照资金性质、预算单位、功能分类科目、预算来源、收支管理（基本支出、项目支出）、预算项目、经济分类科目（类级科目）口径生成支出金额信息，系统自动按照以上要素信息与原始预算指标进行匹配，对应到相应预算指标上，作为该条原始预算指标的已用金额。对应规则是：项目支出，相同要素按照先年初预算后调整预算、金额从小到大的顺序;基本支出，由于基本支出预算指标区分人员和公用，支出金额信息不区分人员和公用，需要预算单位将基本支出的支出金额信息拆分到人员和公用。拆分方式是：财政生成《指标余额表》（附1）发给部门，部门拆分后报送财政导入新国库支付系统，导入过程中需进行校验，校验要素和金额等信息是否与下发的《指标余额表》一致，确保部门只能在同一科目下的人员和公用间调剂。对于政府经济分类类级科目支出超预算的情况，先在旧国库支付系统中调整支出，保证在类级政府经济分类口径下无超支，再将支出导入新国库支付系统与指标挂接。由于指标是明细到政府经济分类款级科目，因此支出挂接指标时以特定大类下的款级按顺序、不超支为默认规则进行逐条挂接。如预算指标的类级政府经济分类、收支管理（如人员、公用）等信息需要进行调整,部门应履行预算指标调整程序,财政部部门预算管理司局在系统中登录调整指标。

（四）计划和额度。

1.在途业务处理。旧国库支付系统不再接收部门报送的用款计划，确保试点部门的用款计划全部处理完成，确保当月及以前月份应下达的财政授权支付额度全部下达给代理银行，确保没有在途处理的财政授权支付额度。旧国库支付系统未下达额度的财政授权支付用款计划（不管是否批复）全部失效，不再导入新国库支付系统，试点预算单位需在新国库支付系统中按照新口径重新报送。对于直接支付用款计划，以财政批复的用款计划为准计算余额，切换至新国库支付系统。结余计划全部恢复并将额度下达代理银行。

2.剩余额度计算、导入。旧国库支付系统根据已下达的财政授权支付额度和总预算会计支出账务信息按照新国库支付系统口径（预算单位、基本支出或项目支出、预算来源、功能分类科目，不区分项目），计算出财政授权支付剩余额度导入新国库支付系统，作为新国库支付系统可用财政授权支付月度用款计划额度，用于财政授权支付的控制。已批复但未下达额度的授权支付用款计划，由预算单位在新国

库支付系统重新申报。旧国库支付系统根据已批复的财政直接支付用款计划和总预算会计支出账务信息按照新国库支付系统口径（预算单位、基本支出或项目支出、预算来源、功能分类科目，不区分项目），计算出财政直接支付剩余额度导入新国库支付系统，作为新国库支付系统可用财政直接支付月度用款计划额度，用于财政直接支付申请的控制。

3.剩余可报计划指标计算、导入。旧国库支付系统根据原始预算指标和已下达财政授权支付额度计算出计划可用指标余额表，旧国库支付系统根据原始指标和已批复直接支付计划计算出计划可用指标余额表，导入新国库支付系统，作为月度用款计划可用指标余额，用于月度用款计划的控制。

4.代理银行额度处理。代理银行将旧国库支付系统中试点预算单位已下达的额度按照新的额度控制口径（预算单位+预算来源+基本支出/项目支出+支出功能分类）生成，与财政核对一致后，迁移到新国库支付系统作为试点预算单位的

剩余额度，用于预算单位财政授权支付的控制。

5.人民银行汇总清算额度处理。人民银行将试点部门的已下达汇总清算额度和已清算额度信息直接迁移到新国库支付系统，用于代理银行额度清算控制。

6.全年用款计划处理。试点预算单位不在新国库支付系统中报送2017年全年用款计划，全年用款计划从2018年起编报。

（五）财政直接支付。

1．在途业务处理。确保所有在途财政直接支付业务处理完成。专员办提前不再接收预算单位提交的中央基层预算单位直接支付申请书，已接收的中央基层预算单位直接支付申请书需处理完成（审核通过或退回），已经过专员办审核的财政直接支付申请，部门应提前生成财政直接支付汇总申请书报送财政部。旧国库支付系统不再接收部门报送的财政直接支付汇总申请书，财政部确保所有接收进系统的财政直接支付汇总申请书处理完成（生成财政直接支付凭证发送代

理银行或取消），财政直接支付工资统发支付申请已全部生成计划。代理银行确保试点单位财政直接支付凭证全部处理完成。

2．专员办审核信息补录。预算单位需要在新国库支付系统中补录专员办财政直接支付审核材料。

3．财政直接支付明细信息不导入新国库支付系统。

（六）财政授权支付。

1．在途业务处理。代理银行不再接收办理预算单位的财政授权支付业务，已接收的财政授权支付业务处理完成。代理银行将上一工作日试点部门的财政授权支付明细回单信息发送财政旧国库支付系统后，不再向财政旧国库支付系统发送试点部门的财政授权支付明细信息。财政旧国库支付系统停止接收试点部门的财政授权支付明细回单信息。

2．公务卡信息处理。代理银行将试点预算单位所有公务卡卡信息和系统切换前两个月的公务卡消费信息发送到新国库支付系统。预算单位确保在代理银行公务卡系统已报销的消费信息完成公务卡还款。代理银行停止试点预算单位

使用公务卡支持系统办理零余额账户还款业务。

3．财政授权支付明细信息不导入新国库支付系统。

（七）结余核定表。

1．在途业务处理。确保旧国库支付系统中试点部门的结余核定表已经下达并生成正式结余指标。

2.因结余指标不带人员、公用、政府经济分类信息，需在新国库支付系统依据此类指标进行支付时，需人工填入人员、公用信息及政府经济分类科目信息。

（八）账务。

1．在途业务处理。系统切换之日上午前，代理银行将所有直接支付回单、授权支付明细、授权支付日报、汇总业务清单等信息发送财政旧国库支付系统，人民银行将清算回单发送财政旧国库支付系统，财政部确保旧国库支付系统中试点预算单位的支出账务和非税收入收缴账务处理完成。

2．试点部门的非税收入收缴账套信息导入新国库支付系统，作为非税收入退付以收定支的依据，其他账套的信息

（预算内账套、预算内集中缴库明细账套、财政专户账套、地方债账套、社保基金账套）不导入新国库支付系统。

附: 1.指标余额表

应急切换在播出系统中的应用篇3

应急切换的根本目的就是在最短时间内由故障设备转向正常设备播出，确保节目不间断播出，在切换过程中尽量避免对用户的影响。为此，应急切换配置应该满足以下条件：

1、操作简单

最简单的操作就是没有操作，所以对于应急配置来说如果播出设备出现故障最好能够自动切换到备份设备。随着计算机控制的广泛应用，很容易实现多种情况下的自动切换功能。这样的功能降低了播出对人的依赖，对降低播出事故起到了关键作用。

从实际值班的角度出发，系统也需要个“一键切换”的手动按钮，按下这个按钮会切换到备份系统，故障就会避开，这样的按钮相比计算机上的手动操作要简便的多，在自动切换失效的情况下，这个按钮显的尤其重要。无论采用什么样的方法，应急操作总是越简单越好，步骤越少越好，指望应急操作中有条不紊、一步一步进行是不现实的，也是不合理的。

2、尽量避免对播出系统产生影响

应急切换是播出系统的补充，是为播出系统服务的，在配置选型中尽量减低对播出链路的影响。一是，应急切换系统的损耗尽量低。二是，应急切换系统出现故障时候不会对播出系统产生影响。三是，应急切换系统要容易从播出系统中剥离。总之，无论是在播出中还是在检修中，应急切换应该相对独立于播出系统。

3、应急切换设备自身安全

选型中应该考虑到设备自身的安全，故障率低，更换方便。首先设备应该是双电源，使用中，要切实使用两路电源。其次最好是板卡形式的，更换方便。再次，最好用专业矩阵厂家的产品，前期在自己系统中进行试用，试验其在频发故障下的反应。

4、满足不同条件下的自动切换

应急切换系统应该尽可能对其前面所有设备的故障都能够自动应急和手动应急，对于设备本身硬件故障和信号故障都能进行自动和手动应急，这和系统设备、切换设备都有关系，在选择中要认真考虑。

总之应急切换系统最好能够做到，只要出现故障，不管是哪里的故障都能自动采取措施。

应急切换系统的组成

应急切换系统的通用配置如图1所示，切换控制单元检测播出设备A及其备份设备A'的状态，如果A状态异常而A'正常，则控制切换器进行切换，切换至播出设备A'播出。图示为“二选一”的情况，实际中用的最多，当然在1：N系统中，1个设备备份多个设备的情况与此类似。

通过图上可以看出，应急切换系统包括切换控制单元和切换器两部分，根据播出设备通信方式的区别，切换控制单元有所不同，可以利用网口、串口通信再加上计算机程序对播出设备监看判断，然后给切换器发出相应指令信号，也可以利用根据播出设备的GPI接口状态，对切换器进行控制。利用计算机软件控制，更容易对多个设备、不同情况进行分析，实现更加复杂的操作。

根据信号的不同，切换器也有所不同，对于射频信号采用同轴开关，中频信号或数字信号采用继电器或集成电路控制。

一般情况下，切换控制单元和切换器装在机柜上，而远控面板放在控制台上，可以在控制台上查看控制状态，进行手动操作。

应急切换在播出系统中的应用

1、信号源的应急切换

信号源的切换设备已经非常成熟，产品也非常多，通用的方式如图2所示。

切换设备通过对信号源特征的分析，来判断信号源是否正常，如果信号源不正常，则进行切换。切换设备是独立的，和前后设备都没有联系。

模拟电视信号主要根据行同步信号的有无、平均图像电平来判断信号有无、黑场、静帧。根据判断结果来控制信号切换，实际中通常为一个U的设备，控制单元和切换器都在一起。

由于数字信号种类比较多，所以判断也各有不同。下面就地球站使用的ASI切换器为例作一说明。ASI信号中含有河北卫视和多个广播，进入设置界面后，选择信号丢失和PID丢失项，然后自动侦测PID，显示不同节目的PID，如HEB TV PID 为0086HEX，选中监测该PID，则当发现该PID丢失或者出现错误时就会进行切换，对于其它节目的PID不进行监测，当然也可以选定监测。使用该切换器等于覆盖复用器、DS3/ASI适配器的故障，当这些设备出现问题导致信号不能正常传输时，都会采取措施。

2、编码切换

这里的编码包括信源编码和信道编码，地球站中包括中频切换和上变频切换。电视、调频、中波发射中的激励器切换，均属于编码切换范畴。值得一提的是，随着数字传输的普及，用信源编码后的传输流（通常为ASI信号）作为信源的情况越来越多，这种情况归属到了信源切换。

对于这部分的切换，主要根据设备的状态来判断是否进行切换，主要针对的是设备故障，在地球站的实际配置中，调制器和上变频分开备份，都是已调信号但是频率不同。随着技术的发展，有些厂家将备份切换做到设备里面，如COMTECH公司的上变频器，采用自己设置的菊花链，便于1:N的实现，由于菜单设置较深，手动切换反而显得有些繁琐。

电视、调频、中波的的切换如图3，激励器互相备份，这部分一般也由发射机厂家直接配置好，根据激励器的状态进行自动切换，有的有远控面板，例如东芝发射机可以通过远程软件实现激励器的切换控制。吉兆调频发射机的激励器也可以自动切换，根据用户要求不同，单激励器的发射机还是比较多的。

由于电视、调频、中波激励器、功放都做到一个柜子里面，统称为发射机，这样我们一般看不到相应的切换单元。而且由于激励器性能比较稳定，实际中激励器的倒换还是比较少的，但是检修时要注意这部分的检修、试验。

3、射频信号的切换

射频信号与信号源和编码切换最明显的区别在于射频信号的功率比较大，是功放输出的末端，是上发射天线前的信号。电视、调频、中波信号用的是同轴开关，地球站用的是波导开关，当功放设备或天馈出现故障时，进行应急切换。射频信号的切换在操作步骤上首先应该退掉功率，再进行操作。

结束语

切换系统稳定性篇4

切换系统一般包括一组有限 (或无限) 个子系统和一个描述子系统之间如何切换的切换规则, 是一种重要的混合动态系统, 在自动化控制等各领域, 具有广泛的应用背景。近年来, 切换系统的研究越来越热, 在切换系统的稳定性和切换规则的设计方面得到了许多的研究成果[1,2]。

在实践中, 脉冲、时滞和切换会不可避免地同时存在。如何控制好这些因素, 使得事物发展按既定目标进行, 是一个值得探讨的问题, 但对这类系统的研究还很少[2,3]。已有成果的主要研究方法是Lyapunov泛函及Razumikhin技巧[3]。本文从摄动的观点出发, 采用变分Lyapunov函数方法和Razumikhin技巧, 建立了脉冲时滞切换系统的充分比较原理, 推广了右端函数不含切换时的情形, 得到了该系统一致渐近稳定的比较结果。

1 预备知识

考虑脉冲时滞切换系统

与相应的不含时滞的脉冲切换系统

y′ (t) =fk-1 (t, y (t) ) , t∈[tk-1, tk) ,

y (tk) =Jk (t-k, y (t-k) ) , k∈N+,

y (t0) =x0, t≥t0 (2)

(1) 式中Fk-1 (t, xt) =fk-1 (t, x ( (t) ) +Rk-1 (t, xt) , Ik (t, x) =Jk (t, x) +Qk (t, x) , Rk-1 (t, xt) 与Qk (t, x) 均为摄动项;x′ (t) , y′ (t) 表示x (t) , y (t) 在t处的右导数;xt (θ) =x (t+θ) , θ∈[-τ, 0];t0表示初始时刻, tk (k∈N+) 表示切换时刻, 对任给的t0, y (t0) =x0=φ (0) ;Fk-1∈C ([tk-1, tk) ×PC[-r, 0], Rn) , fk-1∈C ([tk-1, tk) ×Rn, Rn) ;Ik, Jk∈C (R+×Rn, Rn) , 其中PC[a, b]={φ:[a, b]→Rn}φ在[a, b]上除至多有限个第一类间断点t外连续, 且φ (t+) =φ (t) }。

本文总假定Fk-1, fk-1, Jk, Jk满足某些条件[2], 以保证系统 (1) 式, (2) 式的零解整体存在且唯一。引入记号:K={a∈C (R+, R+) :a (0) =0且a (s) 关于s严格单增};S (ρ) ={x:|x|<ρ}。

定义1.1 称函数V:[-r, +∞) ×PC[-r, 0]→R+属于ν0 (·) 类函数, 若如下条件满足:

(A1) V在每一个集合[tk-1, tk) ×PC[-r, 0]上连续且 $\lim_{(t, ψ) \to (t_{k}^{-}, ψ)} V (t, ψ) = V (t_{k}^{-}, ψ)$ 存在;

(A2) V (t, x) 关于x满足局部Lipschitz条件, 且V (t, 0) ≡0。

定义1.2 设V∈ν0, 对任给的 (s, x) ∈[tk-1, tk) ×S (ρ) , t0≤s≤t, V (s, y (t, s, x) ) 沿系统 (1) 解的右上导数定义为:

$D^{+} V (s, y (t, s, x)) = \underset{h \to 0^{+}}{\lim \sup} \frac{1}{h} [V (s + h, y (t, s + h, x + h F_{k - 1} (s, x_{s}))) - V (t, y (t, s, x))]$ 。

定义1.3 设x (t) =x (t, t0, φ) 为系统 (1) 的任一解, 称系统 (1) 的零解

(S1) 稳定:若∀ϵ>0, ∀t0∈R+, 存在常数δ=δ (t0, ϵ) >0, 满足当‖φ‖<δ时, 有|x (t) |<ϵ, ∀t≥t0;

(S2) 吸引:若对∀t0∈R+, ϵ>0, 存在正常数δ=δ (t0) >0, T=T (t0, ϵ) >0, 满足当‖φ‖<δ时, 有|x (t) |<ϵ, t≥t0+T;

(S3) 一致稳定:若 (S1) 中δ与t0无关;

(S4) 一致吸引:若 (S2) 中δ, T与t0无关;

(S5) 渐近稳定:若 (S1) 与 (S3) 同时成立;

(S6) 一致渐近稳定:若 (S2) 与 (S4) 同时成立。

2 主要结果

引理2.1 假设x (t) 为系统 (1) 的任意解, 使得如下条件满足

(i) V∈ν0, 对∀ (t, x) ∈[t0, +∞) ×S (ρ) , s∈[tk-1, tk) ∩[t0, t]。

当V (s+θ, y (t, s+θ, x (s+θ) ) ) ≤V (s, y (t, s, x (s) ) ) , θ∈[-r, 0]时

D+V (s, y (t, s, x (s) ) ) ≤gk-1 (s, V (s, y (t, s, x (s) ) ) ) 。

其中gk-1∈C ([tk-1, tk) ×R+, R+) , gk-1 (t, 0) ≡0, ∀t≥0, k∈N+。

(ii) 对∀k∈N+, ∃ψk∈K, ψ (s) ≥s, ψ单调不减, 使得

V (tk, y (t, tk, x (tk) ) ) ≤ψk (V (t-k, y (t, t-k, x (t-k) ) ) ) 。

(iii) r (t) =r (t, t0, u0) 是如下纯量脉冲切换系统

在[t0, +∞) 上的最大解;则当 $\max_{t_{0} - r \leq s \leq t_{0}} V (s, y (t, s, x (s))) \leq u_{0}$ 时, 有

V (t, x (t) ) ≤r (t, t0, u0) , t≥t0 (2.1)

证明设x (t) =x (t, t0, φ) 为系统 (I) 过 (t0, φ) 的解, 下面用数学归纳法给出 (2.1) 式的证明, 为表述简便, 记m (s) =V (s, y (t, s, x (s) ) ) , ∀t0≤s≤t。

首先证明

V (t, x (t) ) ≤r0 (t, t0, u0) , t∈[t0, t1) (2.2)

(2.2) 式中r0 (t, t0, u0) 为方程u′ (t) =g0 (t, u (t) ) , u (t0) =u0在区间[t0, t1) 上的最大解。注意到y (t, t, x (t) ) =x (t) , 欲证 (2.2) 式成立, 只需证

V (s, y (t, s, x (s) ) ) =m (s) ≤r0 (s, t0, u0) ,

s∈[t0, t], t∈[t0, t1) (2.3)

若不然∃t*∈[t0, t1) , 使得

下面推导矛盾。当t0≤s≤t≤t1时, 由m (s+h) -m (s) =V (s+h, y (t, s+h, x (s+h) ) ) -V (s+h, y (t, s+h, x (s) +hF0 (s, xs) ) ) +V (s+h, y (t, s+h, x (s) +hF0 (s, xs) ) ) -V (s, y (t, s, x (s) ) ) 。

根据V∈ν0和右上导数定义, D+m (s) ≤D+V (s, y (t, s, x (s) ) ) , s∈[t0, t]t∈[t0, t1) 。

又当s∈[t*-r, t*]∩[t0-r, t0]时

m (s) =V (s, y (t, s, x (s) ) ) ≤u0≤r0 (t*, t0, u0) ,

当s∈[t*-r, t*]∩[t0, t*]时, 注意到g0 (t) ≥0, t∈[t0, t1) , 有

m (s) =V (s, y (t, s, x (s) ) ) ≤r0 (s, t0, u0) ≤r0 (t*, t0, u0) ,

因此 m (s) =V (s, y (t, s, x (s) ) ) ≤r0 (t*, t0, u0) =m (t*) =V (t*, y (t, t*, x (t*) ) ) , s∈[t*-r, t*]。

根据条件 (i) 有

D+m (t*) ≤D+V (t*, y (t, t*, x (t*) ) ) ≤g0 (t*, m (t*) ) (2.5)

(2.5) 式与 (2.4) 式矛盾, 从而 (2.3) 式成立, 令s=t, 即得 (2.2) 式。

当t=t1时, 由条件 (ii)

V (t1, y (t, t1, x (t1) ) ) ≤ψ1 (V (t-1, y (t, t-1, x (t-1) ) ) ) =ψ1 (m (t-1) ) ≤ψ1 (r0 (t-1, t0, u0) ) 。

令r0 (t-1, t0, u0) =u1, 显然u1≥0。且为系统 (III) 当t=t1时的解。

一般地, 设当t∈[tm-1, tm) 时,

V (t, x (t) ) ≤rj (t, tj, uj) , 0≤j≤m-1,

其中uj=ψj (rj-1 (t-j, tj-1, uj-1) ) (2.6)

rj-1 (t, tj-1, uj-1) 为方程u′=gj-1 (t, u) ,

u (tj-1) =uj-1在[tj-1, tj) 上的最大解。

下证当t∈[tm, tm+1) 时,

V (t, x (t) ) ≤rj (t, tj, uj) , 0≤j≤m,

且um+1=ψm+1 (rm (t-m+1, tm, um) ) (2.7)

欲证 (2.7) 式第一式成立, 同样只需证明对任给的s∈[t0, t],

V (s, y (t, s, x (s) ) ) =m (s) ≤rj (s, tj, uj) ,

s∈[tj, tj+1) , 0≤j≤m (2.8)

若不然存在t*不满足 (2.8) 式, 不防设t*∈[tl, t1+1) , 1≤l≤m使得

下面推导矛盾。当t1≤s≤s+h≤tl+1时, 由m (s+h) -m (s) =V (s+h, y (t, s+h, x (s+h) ) ) -V (s+h, y (t, s+h, x (s) +hFl (s, xs) ) ) +V (s+h, y (t, s+h, x (s) +hFl (s, xs) ) ) -V (s, y (t, s, x (s) ) ) 。

根据V∈ν0和右上导数定义, D+m (s) ≤D+V (s, y (t, s, x (s) ) ) , s∈[tl, t]。

由gk≥0及uj的取法, rj (t, tj, uj) 在[tj, tj-1) 上单调递增, 于是类似可得

m (s) =V (s, y (t, s, x (s) ) ) ≤rl (t*, t0, u0) =m (t*) =V (t*, y (t, t*, x (t*) ) ) , s∈[t*-r, t*]。

结合条件 (i) 有

D+m (t*) ≤D+V (t*, y (t, t*, x (t*) ) ) ≤gl (t*, m (t*) ) (2.10)

(2.10) 式与 (2.9) 式矛盾, 从而 (2.8) 式成立, 令s=t, 即得 (2.7) 式第一式。

当t=tm+1时, 由条件 (ii)

V (tm+1, y (t, tm+1, x (tm+1) ) ) ≤ψm+1 (V (t-m+1, y (t, t-m+1, x (t-m+1) ) ) ) ≤ψm+1 (rm (t-m+1, tm, um) ) 。

令ψm+1 (rm (t-m+1, tm, um) ) =um+1, 显然um+1为系统 (III) 当t=tm+1时的解, 并且使得 (2.7) 第二式成立。于是由数学归纳法

V (t, x (t) ) ≤rj (t, tj, uj) , j=0, 1, 2, 3, … (2.11)

一般地, 令

$r (t, t_{0}, u_{0}) = {\begin{matrix} r_{0} (t, t_{0}, u_{0}) & t \in [t_{0}, t_{1}) \\ r_{1} (t, t_{1}, u_{1}) & t \in [t_{1}, t_{2}) \\ ⋮ & ⋮ \\ r_{k} (t, t_{k}, u_{k}) & t \in [t_{k}, t_{k + 1}) \\ ⋮ & ⋮ \end{matrix}$

其中uj, rj (t, tj, uj) 的定义如 (2.6) 所示, 由uj, rj (t, tj, uj) 的取法, 知r (t, t0, u0) 是系统 (III) 的解且是其最大解, 注意到 (2.11) 式, 知 (2.1) 成立, 引理证毕。

利用引理2.1, 易证下述定理成立:

定理2.1 假设引理2.1的条件 (i) (ii) 成立, 且如下条件满足

(iv) 存在V∈ν0, a, b∈K, 使得b (|x|) ≤V (t, x) ≤a (|x|) , (t, x) ∈[t0, +∞) ×S (ρ) ;

(v) 对每一个 (t, s) , ‖y (t, s, x) ‖关于x满足局部Lipschitz条件;

(vi) 存在ρ0∈ (0, ρ) , 满足当x (t-k) ∈S (ρ0) 时, 有x (tk) ∈S (ρ) 。

则由系统 (II) 零解的稳定性和系统 (III) 零解的 (渐近) 稳定性, 可以得到系统 (I) 零解的 (渐近) 稳定性。

定理2.2 假设定理2.1的条件满足, 则由系统 (II) 零解的一致稳定性和系统 (III) 零解的一致 (渐近) 稳定性, 可以得到系统 (I) 零解的一致 (渐近) 稳定性。

参考文献

[1] Liberzon D, Morse A S.Basic problems in stability and design of switched systems.IEEE Control Systems, 1999;59—70

[2] Sun Ye, Michel A N, Zhai Guisheng.Stability of discontinuous retard-ed functional differential equations with applications.IEEE Transac-tions on Automatic Control, 2005;5:1090—1105

[3] Liu Y, Feng W.Razumikhin-Lyapunov functional method for the sta-bility of impulsive switched systems with time delay.Mathematicaland Computer Modelling, 2008

[4] Kou Chunhai.Variational Lyapunov method and stability analysis for impulsive delay differential equations.Computers and Mathematics with Applications, 2003;46:1761—1777

切换系统稳定性篇5

2、单击“第二屏幕”

3、系统提供了四种模式：仅电脑屏幕、复制、扩展和仅第二屏幕。用户可以根据需要选择，

四种模式

·仅电脑屏幕：当连接有外部设备时，仅在主屏幕接收信号显示，外接设备不显示。

·复制：当连接有外部设备时，外接设备显示内容与主屏幕显示内容相同。

·扩展：当连接有外部设备时，外接设备显示的内容与主屏幕显示的内容共同组成完整的显示内容。

·仅第二屏幕：当连接有外部设备时，主屏幕无信号不显示，外接设备接收信号显示内容。

切换系统稳定性篇6

切换系统是一种重要的混合系统, 由一组有限 (无限) 的子系统组成, 并按照某种切换规则在各个子系统之间切换的动力系统。近年来, 切换系统的研究越来越热, 并且取得了一些成果[1]。在实践中, 脉冲、时滞和切换不可避免的同时进行, 如何控制好这些因素, 是一个值得探讨的问题[2,3,4]。本文主要利用Lyapunov 函数方法和Razumikhin 技巧, 研究具有有界滞量的脉冲切换系统, 运用了比较方法, 得到了系统零解的严格一致稳定性的比较结果。

1 预备知识

考虑如下时滞脉冲切换系统

记PC (I) ={φ:I→Rn, 是除去点列tk的连续函数, 在这些点处φ (t+k) 与φ (t-k) 存在且φ (t+k) =φ (t-k) }。K={a∈C (R+, R+) :a (0) =0, a (s) >0, s>0且a在[0, +∞) 上单调递增}, $| φ |_{1} = s u \underset{- h \leq s \leq 0}{p} | φ (s) |, | φ |_{2} = \inf_{- h \leq s \leq 0} | φ (s) |$ 。 $Ρ C_{Η} (Ι) = {φ \in Ρ C (Ι), | φ |_{1} \leq Η}, Ρ C_{J} (Ι) = {φ \in Ρ C (Ι), | φ |_{2} \geq J},$

定义1 设V (t, xt) 沿系统 (1) 解的右上导数为

$D^{+} V (t, x_{t}) = \lim_{h \to 0^{+}} \sup \frac{1}{h} [V (t + h, x_{t + h} (t, x_{t})) - V (t, x_{t})]$ 。

定义2 称系统 (1) 的零解x (t, t0, φ) 为:

(H1) 严格稳定的: 如果对于任意的ε1>0, 存在δ′=δ′ (t0, ε1) >0, 使得当‖φ‖1<δ′时有|x (t) |<ε1, t≥t0;任意的δ″:0<δ″<δ′, 存在ε2:0<ε2<δ″, 使得当‖φ‖2>δ″时有|x (t) |>ε2, t≥t0。

(H2) 严格一致稳定的: 如果 (H1) 中的δ′, δ″与t0及ε2无关。

2 主要结果

定理1 假设如下条件成立:

(1) a1 (|x|) ≤V1 (t, x) ≤b1 (|x|) , 0≤V2 (t, φ) ≤c1 (‖φ‖1) , 其中t≥t0, x∈Rn, φ∈PCH ([-h, 0], Rn) , a1, b1, c1∈k。

(2) V (t, xt) ≤ (1+dk) V (t-k, xt-k) , 其中

V (t, xt) =V1 (t, x (t) ) +V2 (t, xt) , dk>0。

(3) φ∈PCH ([-h, 0], Rn) , 当t∈[t0, t0+ h) ∩[tk-1, tk) 时, $V (t, x_{t} (t_{0}, φ)) \geq λ_{1} [b_{1} (| φ (0) |) + c_{1} | φ |_{1}], λ_{1} \geq 1$ 。

当t∈[t0, t0+h) ∩[tk-1, tk) 时,

V (t, xt (t0, φ) ) ≥V (t+θ, xt+θ (t0, φ) ) ,

θ∈[-h, 0],

则

V′≤G $_{k - 1}^{1}$ (t, V (t, xt) ) 。

其中G $_{k - 1}^{1}$ :R+×R+→R+, 是连续的, 并且G $_{k - 1}^{1}$ (t, 0) =0, 对所有的t≥t0都成立。

$\begin{array}{l} (4) \frac{1}{2} a_{2} (| x |) \geq V_{τ 1} (t, x) \geq b_{2} (| x |), \\ \frac{1}{2} a_{2} (| x |) \geq V_{τ 2} (t, φ) \geq c_{2} (∥ φ ∥_{2}) \end{array}$

, 其中t≥t0, x∈Rn, φ∈PCJ ([-h, 0], Rn) , a2、b2、c2∈k。

(5) Vτ (t, xt) ≥ (1-ek) Vτ (t-k, xt-k) , 其中Vτ (t, xt) =Vτ1 (t, x (t) ) +Vτ2 (t, xt) , 1>ek>0。

(6) φ∈PCJ ([-h, 0], Rn) , 当t∈[t0, t0+ h) ∩[tk-1, tk) 时, Vτ (t, xt (t0, φ) ) ≤λ2[b2 (|φ (0) |) +c1‖φ‖2], 0≤λ2≤1。

当t∈[t0, t0+h) ∩[tk-1, tk) 时,

Vτ (t, xt (t0, φ) ) ≥V (t+θ, xt+θ (t0, φ) ) ,

θ∈[-h, 0],

则

V′τ≤G $_{k - 1}^{2}$ (t, Vτ (t, xt) ) 。

其中G $_{k - 1}^{2}$ :R+×R+→R-, 是连续的, 并且G $_{k - 1}^{2}$ (t, 0) =0, 对所有的t≥t0都成立。

(7) 系统

的零解是严格一致稳定的, 则系统 (1) 的零解是严格一致稳定的。

证明设y (t) =y (t, t0, y0) 为系统 (2.1) 的解, 选择δ>0, 使得λ1 (b1 (δ) +c1 (δ) ) ≤y0, δ≤y0。对任何t0≥0, φ∈PCH ([-h, 0], Rn) , 通过条件 (4) 我们可以得到

设系统

的解为yn (t) =yn (t, t0, y0) 。

我们首先证明V (t, xt) ≤yn (t) , t∈[t0, t0+h) 。对于

V (t, xt) ≤yn (t) , t∈[t0, t1) (4)

如果式 (4) 不正确, 一定存在t*∈ (t0, t1) 使得

V (t*, xt*) =yn (t*) , V′ (t*, xt*) ≥y′n (t*) 。

所以V (t*, xt*) ≥λ1 (b1 (|φ (0) |) ) +c1 (‖φ‖1) 。

从定理1的条件 (3) , 可以得到V′ (t*, xt*) <y′n (t*) , 与上式矛盾, 即式 (4) 成立。

通过定理1的条件 (2) 我们可以到

V (t1, xt1) ≤yn (t1) 。

由数学归纳法我们可以得到: V (t, xt) ≤yn (t) , t∈[tk1-1, tk1) , V (tk1, xtk1) ≤yn (tk1) , 如果t0+h=tk1, V (t0+h, xt0+h) ≤yn (t0+h) ;如果t0+h∈ (tk1, tk1+1) , V (t, xt) ≤yn (t) , t∈[tk1, t0+h) 。因V (t, xt) ≤yn (t) , t∈[t0, t0+h) 。

接下来证明

V (t, xt) ≤yn (t) , t∈[t0+h, tk1+1) (5)

如果式 (5) 不正确, 一定存在t*∈ (t0+h, tk1+1) 使得

V (t*, xt*) =yn (t*) , V′ (t*, xt*) ≥y′n (t*) 。

则通过本文条件可得

V (t*, xt*) ≥V (t*+θ, xt*+θ) , θ∈[-h, 0]。通过定理1的条件 (3) 我们可以得到V′ (t*, xt*) <y′n (t*) , 所以式 (5) 正确。同理可证V (t, xt) ≤yn (t) , V (tk, xtk) ≤yn (tk) 其中t∈[tk, tk+1) , k=k1+1, k1+2, …。

所以V (t, xt) ≤yn (t) , t≥t0。

通过文献[5]可知, 当n→∞时yn (t) 一致收敛于y (t) 。所以当n→∞时, V (t, xt) ≤y (t) , t≥t0, 由系统 (2) 的严格一致稳定性定义可知对任意的ε>0, 存在δ1:0<δ<δ1, y0<δ1时, y (t) <a1 (ε) , t≥t0。结合以上证明可以得知, ‖φ‖1<δ1时, V (t, xt) ≤a1 (ε) , t≥t0。由定理的条件 (1) 可知 $| x (t) | \leq ε, t \geq t_{0}$ 。

ω (t, t0, ω0) 为系统式 (2.2) 的解, 选取δ′>0, 使得λ2 (b2 (δ′) +c2 (δ′) ) ≥ω0, δ′≥ω0, 对任何t0≥0, φ∈PCJ ([-h, 0], Rn) , 通过条件 (4) 我们可以得到

b2 (|x (t) |) +c2 (‖xt‖2) ≤Vτ (t, xt) ≤a2 (|x (t) |) , t≥t0, Vτ (t, xt) ≥b2 (|φ (0) |) +c2 (‖φ‖2) ≥b2 (δ′) +c2 (δ′) ≥ω0, t∈[t0-h, t0]。

设系统

的解为ωn (t) =ωn (t, t0, ω0) 。

我们首先证明

Vτ (t, xt) ≥ωn (t) , t∈[t0, t0+h) 。对于

Vτ (t, xt) ≥ωn (t) , t∈[t0, t1) (7)

如果式 (7) 不正确, 一定存在t*∈ (t0, t1) 使得

Vτ (t*, xt*) =ωn (t*) , V′τ (t*, xt*) ≤ω′n (t*) 。

所以Vτ (t*, xt*) ≤b2 (|φ (0) |) +c2 (‖φ‖2) 。

从定理1的条件 (6) , 可以得到V′τ (t*, xt*) >ω′n (t*) 。与上式矛盾, 即式 (7) 成立。通过定理1的条件 (5) 我们可以得到Vτ (t1, xt1) ≥ωn (t1) 。

由数学归纳法, 我们可以得出 Vτ (t, xt) ≥ωn (t) , t∈[tk1-1, tk1) , Vτ (tk1, xtk1) ≥ωn (tk1) 。如果t0+h=tk1, Vτ (t0+h, xt0+h) ≥ωn (t0+h) , 如果

t0+h∈ (tk1, tk1+1) , Vτ (t, xt) ≥ωn (t) , t∈[tk1, t0+h) 。

所以Vτ (t, xt) ≥ωn (t) , t∈[t0, t0+h) 。

接下来证明

Vτ (t, xt) ≥ωn (t) , t∈[t0+h, tk1+1) (8)

如果式 (8) 不正确, 一定存在t*∈ (t0+h, tk1+1) 使得

Vτ (t*, xt*) =ωn (t*) , V′τ (t*, xt*) ≤ω′n (t*) 。

所以V′τ (t*, xt*) ≤V (t*+θ, xt*+θ) , θ∈[-h, 0]。通过定理1的条件 (6) 我们可以得到V′τ (t*, xt*) >ω′n (t*) , 所以式 (8) 式正确。

同理得到Vτ (tk1+1, xtk1+1) ≤ωn (tk1+1) , 其中t∈[tk, tk+1) , k=k1+2, k1+3, …,

所以Vτ (t, xt) ≥ωn (t) , t≥t0。

通过文献[5]可知, 当n→∞时ωn (t) 一致收敛于ω (t) 。所以当n→∞时, Vτ (t, xt) ≥ω (t) , t≥t0, 由系统 (2) 的严格一致稳定性定义可知对任意的ε′>0, 存在δ″1 :0 < ε′ < δ″, ω0 < δ″时, ω (t) >a (ε′) , t≥t0。通过以上证明可以得知, $| φ |_{2} \geq δ^{″}$ 时, Vτ (t, xt) ≥a2 (ε′) , t≥t0, 结合以上证明可知|x (t) |>ε′, t≥t0, 由定义2可知, 系统 (1) 的零解是严格一致稳定的.

推论1 把定理1中的条件 (3) V′≤G $_{k - 1}^{1}$ (t, V (t, xt) ) 以及条件 (6) 中V′τ≥G $_{k - 1}^{2}$ (t, Vτ (t, xt) ) 分别改为V′≤0, V′τ≥0, 则定理1的结论仍然成立。

摘要：主要利用Lyapunov函数方法和Razumikhin技巧, 研究具有有界滞量的脉冲切换系统, 得到了系统零解的严格一致稳定性的比较结果。

关键词：有界滞量,脉冲切换系统,Lyapunov函数,Razumikhin技巧,严格一致稳定性,比较结果

参考文献

[1]Liberzon D, Morse A S.Basic problems in stability and design of switched systems.IEEE Control Systems, 1999:59—70

[2]Fu Xilin, Li Xiaodi.Razumikhin-type theorems on exponential stabili-ty of impulsive infnite delay differential systems.Journal of Computa-tional and Applied Mathematics, 2009;224:1—10

[3]傅希林, 阎宝强, 刘衍胜.脉冲微分系统引论.北京:科学出版社, 2005

[4]Liu Y, Feng W.Razumikhin-Lyapunov functional method for the sta-bility of impulsive switched systems with time delay.Mathematical and Computer Modelling, 2009;49:249—264

切换系统稳定性篇7

1 汽车动力学模型

图1所示为本文采用的车辆模型

$\begin{array}{l} 图 1 车辆模型 Ι_{z} \dot{ω} = a F_{x f} \sin δ + a F_{y f} \cos δ - b F_{y r} + \\ \frac{d}{2} (F_{x f r} - F_{x f l}) \cos δ + \frac{d}{2} (F_{x r r} - F_{x r 1}) . (3) \end{array}$

式中:m为整车质量;Fxfl、Fxfr、Fxrl、Fxrr、Fyfl、Fyfr、Fyrl、Fyrr分别为沿x、y轴的前左、前右、后左和后右轮胎力分量;a、b为车辆质心到前、后轴的距离;d为左、右车轮轮距 (假设前后车轮轮距相等);Iz为车辆绕z轴的横摆转动惯量;u、v分别为汽车纵向与横向速度,ω为横摆角速度,δ为前轮转角,Cf、Cr为前后轮胎侧偏刚度。

2 控制器设计

为提高车辆的操纵稳定性,本文设计了一个模糊滑模控制器,其控制目标是使实际的车身侧偏角β和横摆角速度ω跟踪期望的质心侧偏角βd和横摆角速度ωd,以保证车辆良好的行驶轨迹和横向稳定性。车辆横摆稳定性控制的总体设计方案如图2所示。通过汽车模型可求得理想质心侧偏角βd和横摆角速度ωd与输入量的关系,根据质心侧偏角和横摆角速度的组合误差建立切换函数s,根据滑模控制器得到控制汽车稳定性的横摆力矩M。利用模糊控制器调节切换增益K。

2.1理想车身侧偏角和横摆角速度

根据车辆模型可求得理想车身侧偏角βd和理想横摆角速ωd,即

$\min {| \frac{v}{(a + b) \cdot (1 + Κ u^{2})} \cdot δ |, | \frac{μ \cdot g}{u} | \cdot sgn (δ)} . (5)$ 式中:μ为路面附着系数;g为重力加速度;K为车辆的不足转向系数,K=2×10-3。

2.2质心侧偏角估计

横摆角速度ω可以直接进行测量,而车身侧偏角β难以实际测量,可根据车辆动力学模型估计。由二自由度车辆模型,可得其横向加速度ay为

则车身侧偏角可通过对横向加速度、横摆角速度、纵向速度等状态变量直接进行积分运算得到

2.3滑模控制器设计

滑模变结构控制实际就是预先设计出一个能保证系统稳定的滑模面,再根据运动点在空间中的位置给出控制量,使得运动点最终稳定于滑模面。汽车稳定性控制系统的控制目的是使汽车横摆角速度ω和车身侧偏角能迅速、准确地跟踪当前设定值的任意变化,为此,定义滑模控制的切换函数为

式中:ξ为常数。

对s求导得

当调节系统控制输入使其保持在滑模面上运动时,系统趋于稳定,此时s=6)s=0,即

如果系统参数无变化且无负载扰动,由式(3)、式(16)可得系统稳定时的理想控制输入Meq。

由于转向角较小,可忽略式(3)中的aFxfsin(δ)项。其次,由于前后轮的制动力矩分配比例是固定的,因此,假设

k由前、后轮制动比例决定。

式(3)可化简为

对于小侧偏角,侧向力Fyf、Frf可由下式求出

前、后轮的平均侧偏角αf,αr可分别表示为

d由于差动制动控制的横摆力矩,代入上式并化简得

将代入式(16)

可求得理想控制横摆力矩输入Meq

$\begin{array}{l} Μ_{e q} Μ_{e q} = - \frac{a}{k + \cos δ} F_{y f} \cos δ + \frac{b}{k + \cos δ} F_{y r} + \\ \frac{Ι_{Ζ}}{k + \cos δ} (\dot{ω}_{d} - ξ (\dot{β} - \dot{β}_{d})) . (18) \end{array}$

但当系统参数变化或出现负载扰动时,若仅用理想控制输入Meq,控制系统将出现较大偏差,从而偏离滑模面运动。为使系统仍能快速准确回到滑模面上运动,根据文献可知,切换项应为

式中:K为切换系数,其值足够大。综上可知系统总控制输入为

2.4模糊滑模控制器设计

切换增益K(t)是系统克服摄动及外干扰的主要参数。一般而言,系统抖振幅度与K(t)成正比。若能自适应调节K(t),在趋近滑模面的地方采用较小值,远离滑模面的地方采用较大值,一定可以大大减轻抖振。采用模糊规则,可根据滑模到达条件对进行有效的估计,并利用切换增益消除干扰项,从而消除抖振。

滑模存在条件为

当系统到达滑模面后,将会保持在滑模面上。K(t)为保证系统运动得以到达滑模面的增益,其值必须足以消除不确定项的影响。

模糊规则如下:如果,则K(t)应增大;如果,则K(t)应减小。

由式(a)和式(b)可设计关于和ΔK(t)之间关系的模糊系统,在该系统中,为输入,ΔK(t)为输出。系统输入输出的模糊集分别定义如下

其中NB为负大,NM为负中,ZO为0,PM为正中,PB为正大。

模糊系统的输入输出隶属函数如图3和图4所示。

选择如下模糊规则

R1:IF $\dot{s}$ s is PB THEN ΔKis PB,

R2:IF $\dot{s}$ s is PM THEN ΔKis PM,

R3:IF $\dot{s}$ s is ZO THEN ΔKis ZO,

R4:IF $\dot{s}$ s is NM THEN ΔKis NM,

R5:IF $\dot{s}$ s is NB THEN ΔKis NB。

采用积分的方法对 $\hat{Κ}$ (t)的上界进行估计

其中,G为比例系数,G>0。

用 $\hat{Κ}$ (t)代替式(24)的K(t),则控制律变为

3仿真结果分析

为了验证所提出的控制器的有效性,本文在Matlab/Simulink软件环境下进行一系列仿真研究,分析在有无控制器作用下车辆的响应特性。图5～图8为汽车在路面附着系数为0.8,以20 m/s速度变换车道工况时仿真结果。图5为前轮转角δ输入曲线,图6为滑模控制器输出的制动力矩MZ,图7与图8分别为想横摆角速度与车身侧偏角响应曲线,从图中可以看出,在稳定性控制器起作用时,车辆可以准确的跟踪理想横摆角速度,把车身侧偏角控制在稳定行驶范围内,汽车前轮转向跟随驾驶员控制。

仿真选取的某典型轿车参数为:a=1.09 m,b=1.53 m,d =1.44 m, m=1 764 kg, Iz=2 400 kg·m2,Cf=64.5 kN·m/rad,Cr=49.1 kN·m/rad, k=1。

4 结束语

本文运用滑模控制理论,以车辆横摆角速度和车身侧偏角与相应的理想横摆角速度和车身侧偏角之差,作为车辆控制系统的两类控制输入变量,设计了联合模糊滑模控制器。仿真结果表明,控制器作用下的车辆与无控制器作用的车辆相比具有更好的响应特性:实际的横摆角速度和车身侧偏角能很好地跟踪期望值,从而提高了车辆横摆稳定性。

参考文献

[1]K. Yi, T. Chung, J. Kim and S. Yi.An Investigation into Differential Braking Strategies for Vehicle Stability Control [C].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part D: Journal of Automobile Engineering, 2003, 217( 12) :1081-1094.

[2]D.M.Bevly,R.Daily,and W.Travis.Estimation ofcritical tire parameters using GPS based sideslip measure-ments[C],in Proc.SAE Dynamics,Stability,and Con-trols Conf.,Novi,MI.2006,(2):87-94.

[3]Ryu J,Gerdes J C.Integrating inertial sensors with glob-al positioning system(GPS)for vehicle dynamics control[J].Journal of Dynamic Systems,Measurement,andControl,2004(12):243-254.

[4]Kirstin L.Rock;Beiker,Sven A.;Laws,Shad;Ger-des,J.Christian.Validating GPS based measurementsfor vehicle control.American Society of Mechanical En-gineers[J].Dynamic Systems and Control Division(Publication)DSC,v 74DSC,n 1PART A,Proceed-ings of the ASME Dynamic Systems and Control Division2005:583-592.

[5]Anderson,R.,Bevly,D.M..Estimation of Tire Corne-ring Stiffness Using GPS to Improve Model Based Esti-mation of Vehicle States[C].Proceedings of the 2005IEEE Intelligent Vehicle Conference.801-806.

切换系统稳定性篇8

全向轮是轮式移动机器人运动的主要机构[1-2]。目前, 全向轮按照轮毂与辊子轴线所成的角度主要分为Mecanum轮和连续切换轮两种。Mecanum轮的轮毂和辊子轴线夹角为45°[3], 辊子之间存在间隙, 而且辊子在垂直方向的负荷下会发生变形, 使得轮子在转动的过程中同地面接触点的高度不断变化, 易导致车体振动或打滑[4]。另外, Mecanum轮结构复杂, 加工也较困难[5]。连续!切换轮的轮毂和辊子的轴线是相互垂直的, 可分为双排[6]和单排2 种结构。在轮缘考虑用辊子是很自然的, 但由于辊子需要支撑 ( 包括轴承) 不能使辊子连续 ( 全向轮圆周方向连续) , 所以出现了双排结构辊子, 其结构相对较大, 接触点交替, 对路面的平整度要求较高。若要在单排中实现连续, 必须嵌套, 我们提出的单排连续切换轮在轮缘上采用大小辊子, 小辊子嵌套在大辊子中, 都可以绕与轮毂垂直的轴转动, 且具有公共的切面方向, 这样就保证了在轮毂滚动时同地面的接触高度不变, 此方案已获得发明专利[7]。

基于单排全向轮的移动机器人在平面上可实现具有3 个自由度的运动, 即前后、左右和自转运动, 但与轮数和全向轮的布局方式有关。另外, 以往很少有文献考虑到移动机器人在突然启动、紧急减速和做圆周运动时会发生倾翻、侧翻等现象。尤其是对于重心偏高的移动装置, 如轮椅、叉车等, 研究这方面的问题具有实际意义。

为此, 本文首先给出单排连续切换全向轮的结构, 并在其基础上探讨了全向轮布局方式与机器人系统运动自由度的关系; 然后, 通过建立系统斜坡运动时的动力学方程, 计算和分析了车体在斜坡上运动时发生倾翻和侧翻的临界条件。

1 单排连续切换全向轮的结构

典型的Mecanum轮和双排切换轮的结构如图1、图2 所示。

单排连续切换全向轮的轮缘采用大小辊子间隔分布, 小辊子嵌套在大辊子中, 大小辊子的轴线是全向轮上的弦。该轮不仅具有绕自身轴向前滚动的能力, 同时在外力的作用下也能左右平动, 具有2 个自由度。

单排连续切换全向轮的结构如图3 所示, 大辊子两端有个内锥面, 让出空间给小辊子轴, 通过Y形支架实现, Y形支架两端既有安装小辊子的孔, 也有安装大辊子的轴孔。Y形支架的中间安装小辊子, 同时在2 个Y形支架之间安装大辊子, 大小辊子交替分布在轮子整个轮缘上, 形成其外形轮廓圆。若干个Y形支架形成一个完整的全向轮, 安装时先各完成半个轮, 合起来嵌套成一轮, 把各个Y形支架下方的弧形底座插在轮毂上。最后在轮毂中端安装滚动轴承, 完成整体万向轮构造。

研制的单排连续切换全向轮样机具有运转灵活、结构简单和装配方便等特点。大小辊子的安装角度、数量等问题, Byun等[8]进行了详细的推导与求解, 这里不再赘述。

2 单排连续切换全向轮移动机器人的布局方式

2. 1 全向轮与系统速度的映射关系

以轮i为例说明, OXMYM为固定于移动机器人车体中心的坐标系, oix'y' 为固定于轮子i中心的坐标系, ( lcos βi, lsin βi, αi) 表示oix'y' 对OXMYM的位姿, l为轮子中心到车体中心的距离, 如图4 所示。

设 ( vx', vy', ω) 为车体中心在OXMYM中的速度, ( vi'x', vi'y', ωi') 为轮子中心oi在oix'y' 中的速度, ( vix', viy', ωi) 为oi在OXMYM中的速度, 设·φi为轮子i的旋转速度, ·γi为辊子的速度, θ、ω 分别为车体绕O点的转角和角速度, ri为轮子i的半径, rr为辊子的半径。据上述条件可得如下关系表达式[9-10]:

将vi'x= - rr·γi和vi'y= ri·φi同时代入式 ( 1) 和式 ( 2) 中, 消去 ( vix', viy', ωi) , 可得车体速度与轮子速度的关系表达式:

因为轮子速度是可控的, 辊子的速度是不可控的, 考虑其双方速度关系建立的系统逆运动学方程为

式中, n为车体中轮子的数量; R为逆运动学矩阵。

2. 2 多轮驱动的轮子布局选择

由机器人运动学原理可得: 当系统逆运动学雅可比矩阵不满秩时, 系统存在奇异位形, 系统运动自由度减少[9]。Jefri等[10]和Xu[11]从实验上对基于Mecanum轮的四轮移动机器人进行了分析, 王一治等[12]则从理论上证明了该类机器人能实现全方位运动四轮的布局方式。同理, 本系统实现全方位运动的必要条件是雅可比矩阵R列满秩。

为了消除移动机器人X、Y方向运动的差异性, 可假设各个轮子沿着机器人的底盘均匀分布, 其表达式为

式中, i为轮子编号, i ∈ ( 2 ~ n) 。

图5 所示为常见的三轮对称分布的2 种排布方式。三轮排布方式中轮子与车体中心的几何关系如表1 所示。

计算2 种三轮排布方式的雅可比矩阵的秩, 第1 种方式列满秩, 满足全方位运动的条件。第2种排布方式列不满秩, 不能实现原地旋转。图6所示为常见的四轮对称分布的几种排列方式。4种排布方式中轮子与车体中心的几何关系如表2所示。

计算4 种情况下逆运动学矩阵R的秩, 第1种、第4 种排布方式的R列不满秩, 不满足全方位运动的条件, 第1 种排布方式不能实现X方向上的运动, 第4 种排布方式不能实现原地旋转。第2种、第3 种的列满秩, 满足全方位运动的条件。其中, 第3种排布方式可以由第2种排布方式通过坐标旋转得到, 所以第2 种、第3 种排布方式本质上是相同的。

四轮的车体系统相对于三轮系统来说, 增加了一个驱动轮, 强化了系统的稳定性, 同时减小了每个轮子垂直方向的载荷。由于平面运动只有3个自由度, 当设计的轮子的数量大于4 时, 显然在增强系统稳定性的同时, 会增加整个系统的冗余。综合考虑上述因素, 故在本文研制的实际车体中采用了四轮的第2 种排布方式, 样机如图7。

3运动稳定性分析

为考虑问题全面起见, 以车体在斜坡运动的稳定性着手来研究二者之间的关系。当斜坡的倾斜角度为0° 时, 即是平面, 故本文所建立的模型适用于车体在平面的运动情况。

3. 1斜坡运动时的动力学方程

取广义坐标q1为车体的XM方向上的位移Sx', q2为车体YM方向上的位移Sy', q3为车体的回转角度 θ0, q4~ q7为轮子的旋转角度 φ1~ φ4, 如图8 所示。J表示车体的转动惯量, Jω为轮子的转动惯量, 车体坐标系OXMYM与斜面坐标系OXY之间的夹角为 ψ。

根据运动学关系, 假设轮子在接触处满足纯滚动约束条件, 则轮子在轮子平面内的各运动分量与轮子的线速度相等[13], 据此可得到以下约束关系式:

轮1:

轮2:

轮3:

轮4:

将上述关系式对时间求导, 可得到车体的加速度和轮子的加速度, 其关系表达式为

由轮子和车体的约束方程可知, 车体的速度与轮子的速度存在不可解耦的关系, 车体系统受到的约束不能通过积分的方法表示成位姿空间的约束形式, 所以车体系统属于非完整约束, 根据非完整系统的劳斯方程[14], 其动力学方程可表示为

式中, qj、Fqj分别为广义坐标与广义力; T为车体的动能;λk为待定的拉格朗日乘子; Bkj为由约束决定的系数。

车体的动能包括车体的平动动能、转动动能和4 个轮子的转动动能, 设车体总的质量为m ( 包括车架、减振器以及4 个轮子的质量) 。车体动能可以表示为[15]

假设车体在倾角为 θ 的斜面上运动, 其势能V ≠ 0, 对应于q1的广义力Fq1为

式中, g为加速度。

同理可得

设Ta1、Ta2、Ta3、Ta4分别表示4 个轮子的有效驱动力矩, 则有

由轮子与地面的约束关系可知劳斯方程 ( 式 ( 8) ) 中由约束决定的系数为

先解式 ( 8) , 再由式 ( 12) 可求得待定的拉格朗日乘子:

将式 ( 7) 、式 ( 10) ~ 式 ( 13) 代入式 ( 8) , 整理可得移动机器人在斜坡上的动力学方程表达式:

本文中采用拉格朗日方法求解的车体动力学方程与笔者用牛顿法求解的车体动力学方程结果相同。

3. 2斜坡运动时的稳定性分析

当停止于斜坡上的车体突然启动向上运动时, 易向后倾, 向下运动紧急减速时易向前倾。图9 所示为车体发生倾翻时的通用受力模型。

图9 中, F1N、F2N、F3N、F4N分别表示4 个轮子受到的斜面支持力。α 表示加速度方向与XM方向的夹角, ma表示引入的惯性力。设轮子的半径为r, 车体重心离地面的距离为h。4 个轮子与地面的接触点分别为A、B、C、D。

由于车体在垂直于斜面方向上的力是平衡的, 故可得

又因A、C轮与B、D轮的交点在车体的中心位置, 故有

以绕B点与AC平行的线为转动轴, 则可得力矩平衡关系式:

将式 ( 18) 化简可得

由式 ( 17) 及式 ( 19) 可得

同理, F1N、F3N可表示为

当车体在斜面上突然启动向后倾翻的临界条件为F1N, F4N= 0 时, 有 ψ, α = 0, 按式 ( 19) 、式 ( 21) 计算的车体向下的加速度需满足的条件为

车体在斜坡上突然启动, 其沿XM运动的加速度是由电机提供的, 将式 ( 14) 代入式 ( 23) , 可得电机输出力矩所需满足的条件为

同时, 由车体为0, 可得

移动机器人车体的实际参数值如下: 车体质量m为25 kg, 轮子的安装位置为300 mm × 300mm, 轮子中心到车体中心的距离l为212 mm, 轮子的质量ml为0. 5 kg, 轮子的半径r为50 mm, 车体的转动惯量J为0. 28 kg·m2, 轮子的转动惯量Jω为6. 25 × 10-4kg·m2。

由式 ( 24) 、式 ( 25) 可得在不同的车体重心高度h ( 0. 1 m ~ 0. 4 m) 及斜面倾斜角度 ( 0 ~ π/4) 发生车体向前倾翻的临界条件。电机1 的输出转矩值如图10 所示。

在实际控制中, 电机的输出转矩值应该控制在曲面的下方。同理, 根据式 ( 25) 可得电机2、3、4 的转矩输出值与重心高度和斜面倾角的关系。

为了验证模型的正确性, 本文运用ADAMS软件进行仿真分析。首先, 把PROE中的移动机器人三维模型导入到ADAMS中; 然后在大小辊子及轮子与支架轴间添加旋转运动副, 再定义辊子与地面间的接触; 最后在轮子的旋转方向上添加驱动力矩。为了模拟车体的质量, 模拟过程中用一个大的质量块代其进行。在ADAMS中建立的模型如图11 所示。

首先, 将车体的重心高度固定为0. 115m, 改变斜面的倾斜角度, 可以得到图12a所示的仿真数据; 然后将斜面的倾角固定为15°, 改变车体的重心高度, 又可以得到图12b所示的仿真数据。仿真值略大于计算值, 主要因ADAMS软件计算轮子与地面接触时考虑了轮子的变形情况, 即便如此, 最后的仿真结果也能反映前述模型的正确性。在实际的车体控制中, 为了使用的安全性, 操控应以理论计算值为依据。

同理, 当车体向下运动突然减速时, 易发生向前倾翻的情况, 此时加速度方向向上, 计算方法与前述类似。

当车体在斜坡上绕半径为L的圆周运动时, 若侧向速度过大或转弯半径过小时, 容易发生侧翻。车体在斜坡上圆周运动的受力如图13 所示, 图中的虚线圆弧表示车体重心P的运动轨迹。

当车体发生侧翻时的临界条件为F2N, F3N= 0时, 为了安全行驶, 车体在斜坡上绕半径为L的圆

做圆周运动时, 需要满足的条件为

根据车体的动力学方程 ( 式 ( 14) ) 可得

将式 ( 27) 代入式 ( 26) 可得

车体在斜面上作圆周运动时, 其发生侧翻主要与以下因素有关: 车体的侧向速度vy'、转弯半径L以及斜坡倾斜角度 θ。图14 所示为车体在不同斜坡倾斜角度发生侧翻的临界情况下的车体的速度和转弯半径的关系, 其包含理论计算值与ADAMS软件仿真结果。

由图14 可知, 转弯半径越大, 车体在安全的情况下可以达到的最大侧向速度越大。车体在实际的运行过程中, 应当尽量避免出现急转弯的情况。同时, 随着斜面倾斜角的增大, 车体在相同半径下的最大速度会随之增大。故在实际的公路转弯中, 为了防止车体发生侧翻事故, 会预留一定范围的倾斜角度。

4 结论

( 1) 提出的单排连续切换全向轮具有结构简单、运动灵活和接触点连续等优点。对于同样尺寸全向轮, 相对承重较双排全向轮低。

( 2) 给出了三轮和四轮移动机器人实现全方位运动的几种全向轮布局方式。

( 3) 给出了移动机器人在斜坡上运动时的动力学方程, 推导出移动机器人上行突启时向后倾翻、急弯时侧翻的条件, 并用ADAMS软件进行了仿真验证, 为实际移动机器人本体设计和控制提供了理论依据。

切换系统稳定性篇9

关键词：切换正系统,切换次序参数化,最优控制

1 引言

在自然界或人造系统中都存在一类能量, 它们总取非负值, 比如物理中的绝对温度、物质密度、位移、电位, 化学中的浓度, 生物中的生物数量, 社会学中的人口数量等, 这些变量都是可以用非负量来描述, 相应的动力学系统就可以应用正系统来描述。当初始条件和输入是非负的, 系统的状态和输出也是非负的, 则称系统是正系统[1,2]。正系统理论在生物, 通信[3,4], 经济等领域有相关应用。

最优控制研究的一个主要问题是根据建立被控对象的数学模型, 选择一个容许控制律, 被控对象按给定要求运行, 使得给定的某一性能指标达到最优值。而对于切换系统的最优控制问题是要设计切换序列及找出最优控制输入, 一个合适的切换序列直接影响整个系统的性能。切换序列包括切换次序, 切换时刻及切换总次数, 一些学者针对不同的切换序列情况进行了分析研究。2002 年, 尹增山[5]利用分段梯度下降法分析了切换系统的优化问题。2006 年, Xu[6]针对切换次序和切换次数固定、切换时刻可变情况, 提出两阶段法研究最优控制问题, 两阶段法为切换系统的最优问题研究构建了基本框架。2008年, 向峥嵘[7,8]利用离散动态规划法, 给出满足切换系统最优控制的条件等相关证明, 并利用遗传算法讨论了含有阶跃干扰的切换系统最优控制。2011年, 方志明[9]对一类切换系统的输入输出稳定性和最优控制问题进行研究。

目前, 关于切换正系统最优控制的研究成果比较少。2010年, Zappavigna[10]讨论了连续线性切换自治正系统的稳定性, 并讨论线性切换正系统的最优控制问题, 给出最优切换序列的满足条件。2011年, Najson[11]讨论了切换正系统的状态反馈指数稳定性, 基于状态反馈指数稳定, 进一步讨论了切换正系统的最优控制问题。上述关于切换正系统的最优控制问题是基于稳定性分析, 从而得出最优控制理论证明, 没有给出求解优化序列的有效方法。本文将切换次序参数化作为离散控制输入, 研究一类时滞线性自治切换正系统的最优控制问题。

本文主要符号记法:表示矩阵A的所有元素是非负的 (非正的) ; A f0 (p0) 表示矩阵A的所有元素是正的 (负的) ;λ (A) 表示矩阵A的特征值; µ (A) 表示矩阵A的所有特征值的最大实部分; ρ (A) 表示矩阵A的谱半径;akl表示矩阵A的第k行第l列元素。

2 切换正系统描述

考虑离散线性切换系统:

和连续线性切换系统:

其中x ( k ) , x (t ) ∈Rn是切换系统状态变量, Ad, Ac分别表示系统矩阵, 式 (1) 和式 (2) 分别含有m, n个子系统。

定义1[2,12]已知矩阵A , 当且仅当akl≥0, k ≠l, k, l =1, 2, L , n, 则称矩阵A是Metzler矩阵;当且仅当 µ (A) <0 , 则称矩阵A是Hurwitz矩阵;当且仅当ρ (A) <1 , 则称矩阵A是Schur矩阵。

定义2[1]如果, 且有, k ∈ ¥ , 则称系统 (1) 是正的。

定义3[1]如果, 且有, t >0 , 则称系统 (2) 是正的。

引理1[13]已知系统 (1) , 当且仅当, 则称系统 (2.1) 是正的。

引理2[14]已知系统 (2) , 当且仅当Ac, i =1, 2, L, m是Metzler矩阵, 则称系统 (2) 是正的。

上述给出了线性切换正系统的模型及满足切换正系统的相关定义和引理, 对于切换正系统的稳定性, 主要应用共同线性余正Lyapunov函数法进行分析, 文献[10, 12 , 14]给出了相关理论成果。由于干扰, 元件老化, 信息传输等问题, 时滞现象是经常出现的, 下面将分析一类含时滞的切换正系统最优控制问题。

3 切换正系统最优控制

考虑由M个时滞离散线性正系统[15]组成的切换正系统:

其中, L , M , x (0) =x0, k∈ ¥+, d为常时滞参数。

由于系统 (3) 为时滞离散自治切换正系统, 而系统 (3) 在任意一个时间段内有且只有一个正子系统活动, 其余正子系统是不活动的, 根据文献[9]研究切换系统序列优化设计的研究方法, 将时滞切换正系统 (3) 的切换次序参数化作为离散输入, 将系统 (3) 转换如下等价模型:

式中u1, u2, L , uM是关于时滞切换正系统 (3) 的活动次序, 令U =[u1u2LuM]T作为系统 (3) 的离散输入, 且满

由式 (5) 知, 若第i子系统活动, 则相对应有ui=1 , 否则ui=0 ;且在任意时刻有且只有一个子正系统活动。

例如由3 个时滞离散正子系统组成的切换正系统 (3) , 将其转化为模型 (4) 有

可以利用U =[u1, u2, u3]T来表示各子系统的切换顺序, 如U取值为:

则表示切换正系统切换2 次, 离散切换正系统 (6) 的活动次序依次为正子系统3, 正子系统1, 正子系统2。

考虑时滞线性离散切换正系统 (4) 的最优控制问题, 寻找最优切换次序U*, 使性能指标:

达到最小, 其中Q为定常矩阵。

若要找到时线性滞离散切换正系统 (3) 的最优切换次序使性能指标 (7) 达到最小, 即找到u1, u2, L , uM的活动次序。但不能直接应用基本最优控制理论方法进行分析, 需将系统 (3) 等价转换成系统 (4) , 则最优控制问题等价转换为:

考虑时滞线性离散正系统 (4) , 找到最优控制输入U*, 使性能指标 (7) 达到最小。

当研究时滞线性离散切换正系统 (3) 在固定时刻、固定切换次数情况下, 找到最优切换序列U*, 使目标函数 (7) 达到最小, 因为U作为系统的控制输入, 取值只为1 或0, 因此可以应用离散动态规划方法求解上述最优控制问题。

当时滞线性离散切换正系统 (3) 的切换次数不确定时, 下面给出关于时滞线性离散切换正系统的最优切换次序定理。

定理1 对于时滞线性离散正系统 (4) , 如果控制输入参数ui满足:

则系统 (4) 的性能指标 (7) 达到最小, 其中p (k) 是下列方程的解:

边界条件p (N) =0 .

证明考虑系统 (4) , 令

目标函数为式 (7) , 令Hamiltonian函数为:

从上式可以得出状态方程和协态方程, 然后根据离散系统的极小值原理分析过程和参考文献[16]中定理的分析方法, 当存在常时滞d时, 可以逐步推导得出条件 (8) , 得证。

注由于系统 (3) 等价系统 (4) , 因此对于系统 (3) 的离散控制输入U亦满足条件 (8) 。且控制输入参数的取值受时滞d的影响, 对最优切换时刻是有影响的, 同时p (k) 是关于时滞方程的解, 对性能指标的最优值是有影响的, 下面数值例子将分析时滞对切换时刻和性能指标的影响情况。

上述分析了时滞离散切换正系统最优切换次序满足的条件, 根据离散系统的方法, 考虑时滞连续切换正系统的最优切换次序问题。

考虑由N个时滞线性连续正系统组成的切换正系统:

其中x (0) =x0, t ≥0 , Ai, i =1, L, N是Metzler矩阵, h为常时滞参数。

考虑系统 (9) , 找到N个时滞线性连续正系统的最优切换顺序, 使性能指标达

达到最小, 其中Q为定常矩阵。

首先, 根据时滞离散线性切换正系统的等价转换方法, 将系统 (9) 进行如下等价转换:

式中u1, u2, L , uN是系统 ( 9 ) 的活动次序, 令U =[u1u2LuN]作为系统 (9) 的控制输入, 并满足条件 (5) 。

下面将给出时滞连续线性系统 (11) 满足的最优切换条件定理。由于控制输入U是离散的, 取值只为0 或1, 无法直接应用连续系统极小值原理进分析。为此, 假设控制输入U是在[0, 1] 区间的连续输入, 即ui在[0, 1] 上连续, 然后再分析这种假设是可行的。

由性能指标 (10) 及根据连续系统的极小值原理和定理3.1 的分析方法, 易得出如下定理。

定理2 对于系统 (11) 的最优切换次序问题, 如果控制输入ui满足:

则系统 (11) 的性能指标 (10) 的最优值为

其中λ (t) 是如下方程的解:

边界条件 λ (tf) =0 .

在定理2 证明中, 假设了控制输入U是在[0, 1] 区间是连续输入, 由于控制参数ui={0, 1}, 显然可知ui∈[0, 1], 且在任意时刻有且只有一个子正系统活动, 在证明过程中这种假设是成立的。同时, 文献[16]和文献[17]在讨论连续切换系统的最优控制问题时, 也是假设离散控制输入在区间内连续的方法进行分析。

当分析时滞离散切换正系统的最优切换次序时, 可采用离散动态规划或判断条件 (8) 分析切换次序;当分析时滞连续切换正系统的最优切换次序时, 可以将系统的变化区间进行离散化, 可以应用数学规划法就行分析求解。定理1 和定理2 基于切换次数参数化方法, 分析了时滞切换正系统的最优切换次序问题, 下面将给出时滞连续切换正系统最优切换次序的数值例子。

4 数值例子

例1 考虑由2 个时滞线性连续正系统组成的切换正系统:

其中系统参数如下:

初始值t =[0, 2] , h为常时滞参数。

考虑时滞切换正系统 (13) , 找到最优切换次序, 使最优切换序列使性能指标:

达到最小。

根据定理2, 将时滞切换正系统 (13) 转换成如下等价系统:

其中协态方程和边界条件:

最优切换次序u*满足:

在t =[0, 2] 内, 时滞切换正系统 (13) 只切换1 次, 通过仿真分析得出常时滞h的变化对最优切换时刻和性能指标 (14) 的影响较大, 对比情况如下表所示。

当取不同时滞项时, 系统的状态曲线不一样, 如下图所示的系统状态轨迹。

由图1 可知, 在多次切换条件下, 不同时滞切换正系统 (13) 的状态是渐近稳定的。

5 结束语

冗余系统远程异地切换的探索篇10

关键词：冗余,远程,控制系统

1 概述

冗余控制系统,做为近年来比较可靠的技术广泛应用于大量系统中,为保障生产的连续及可靠运行起到了极为重要的作用。在我们所接触和应用的系统当中,绝大部分冗余系统的冗余主要体现在了控制器、网络、电源等方面,尤其是控制器的冗余,是冗余系统的核心。因此如何做好冗余,并保证系统的稳定性、可靠性,一直是生产厂家与最终用户极为关心的课题。尤其是故障下对冗余系统的处理及应急策略,做为使用与维护人员,我们对现场运行的冗余系统的稳定与可靠性做了大量研究,以ABB的冗余系统为基础,初步应用远程异地切换的方式,实施系统核心软硬件的切换与故障处理,并初见成效。本文就是针对这项应用,以ABB的AC800F系统为例,介绍一下开发与应用体会。

2 现有冗余系统的一般组成

在现有使用的系统中,以ABB公司的AC800F为例,所涉及到的冗余包括控制器、电源、以太网,Profibus网络,所有的设备均安装在本地,并集中安装在一台DCS柜当中。网络简图如图1所示。

3 存在的缺点

本地冗余控制系统的使用,在莱钢是始于2003年,主要的应用基本上是在高炉鼓风机的控制,冗余系统的应用,为生产的稳定、连续运行提供了坚实的技术与设备保障,尤其是在故障下实现自动切换,避免了风机放风和非计划停机的频率,整体故障率有所降低。但是,我们在使用过程中也发现了一些技术上的难题。比如,正常生产过程中,如果一台控制器或一路网络出现故障,系统完成自动无扰切换以后,仍然能保证系统的运行,对于用户来说,整个系统是没有故障的,但对自动化专业来说,形势就已经非常严峻,如果正在运行的控制器或网络再出现故障,将直接导致控制系统失去对现场的控制,最终将导致停产,因此,在冗余设备或网络出现故障并成功切换后,必须尽快查明原因,分析危害程度,并寻找机会在最短的时间内处理完毕。但在生产过程中,故障的检查、确认、处理一般情况下是非常困难甚至根本不能进行的,否则还会导致故障扩大化,甚至会带来更大的事故,得不偿失。退一步讲,即使公司给出检修时间,由于很难判断故障原因,在本系统中根本没有参照设备或系统,处理的时间不允许太长。因此,必须找出一种更便捷的方法,甚至在无法处理的情况下,尤其是控制器出现故障,能有一套备用的冗余控制器就可以应急,保证生产运行。正是出于此种考虑,远程冗余系统的切换才纳入开发序列。

4 远程冗余异地切换的组成及网络结构

远程冗余异地切换是建立在网络协议与传输媒体二次转换的基础上的一种探索,由于生产要求与技术上的限制,所开发的系统暂时只能在离线情况下实现切换。系统的组成包括两套冗余系统,四个冗余的控制器、电源、以太网卡以及Profibus网卡,而且每一种类型的卡件是完全相同的设备。两套光纤传输媒体、四个网络协议转换器及其它附件。其中网络协议转换器的作用完成Profibus协议与以太网协议之间协议转换的编码与解码,实现远程数据的传输,保证网络与数据的畅通。在这个系统中,I/O模块是同一套,安装于生产现场,与本地控制器在同一个机柜当中,而实际运行过程中,控制站分别在不同的时间受不同的控制器控制,新的系统网络简图如图2

数据的传输过程是这样的。异地运行时,首先运行数据从控制器以太网卡传输到工程师站和操作员站,通过PROFIBUS网卡传到从站,网卡通过连接器,分不同的网络,将相同的数据传输到从站主模块,从站主模块再传输到各个I/O模块,反之亦然,冗余数据也是通过另外一组以太网卡传输到热备的控制器当中。当远程运行时,远程冗余系统的数据首先传输到PROFIBUS网卡,再通过网卡传输到连接器,通过连接器再到协议转换器,由PROFIBUS协议转换为以太网协议,通过光纤传输到解码器,由以太网协议转换为PROFIBUS协议,由解码器传到从站主模块,再传送到相应的I/O模块。

5 实现的功能

新的系统可以实现远程切换、快速诊断与处理等功能.必要时可以做为一种很好的培训平台使用。具体如下。

5.1 实现远程切换功能

当原冗余系统出现故障时,即两个控制器在实现内部切换的情况下仍然不能保证运行时,可以迅速切换到远程的冗余系统当中,由于远程异地的冗余系统与现场正在运行的系统所有配置、程序、卡件完全相同,相当于整个系统中的核心控制实现了转移,实施异地控制,因此对于底层的模件与网络不会造成任何技术上的影响,完全可以保证系统的正常运行。但这种方式受技术与操作的限制,只能是极为短暂的运行或者是做为应急处理办法,

5.2 实现诊断与处理功能

由于原冗余系统只有一对控制器,存在于一个单独的冗余系统当中,当冗余出现问题时,如互相切换不成功,两台控制器中止工作、冗余网络故障等,绝大部分故障在短时间内是无法得到解决的,同时,由于生产与检修时间的严格限制,又必须立即处理,这种情况下,远程冗余系统可以做为一个参照系统,被引入到故障分析当中,做为一个有效的测试工具,对故障系统进行全方位分析,分析的内容包括了程序运行情况、以太网负载情况、冗余网络负载情况、控制器内存占用比等参数,可以有效的查找故障原因,及时恢复系统运行。

5.3 实现有效的培训

由于远程控制器直接与现场的设备相连,在培训过程中,可以利用设备停机状态时做一些很有针对性的实验,比如停机、开机、操作模拟,工艺模拟等试验,相对于比较单纯的课堂培训和理论上模拟更为实际、有效一些,对培训职工的操作能力有很大的帮助,培训的效果和效率上大为改观。

6 效果及需要解决的问题

【切换系统稳定性】推荐阅读：

电源切换系统09-01

双系统启动实现Ubuntu/Android随意切换05-23

问题切换05-15

切换方案05-25