脉冲时滞切换系统

2024-10-04

脉冲时滞切换系统（精选4篇）

脉冲时滞切换系统篇1

切换系统一般包括一组有限 (或无限) 个子系统和一个描述子系统之间如何切换的切换规则, 是一种重要的混合动态系统, 在自动化控制等各领域, 具有广泛的应用背景。近年来, 切换系统的研究越来越热, 在切换系统的稳定性和切换规则的设计方面得到了许多的研究成果[1,2]。

在实践中, 脉冲、时滞和切换会不可避免地同时存在。如何控制好这些因素, 使得事物发展按既定目标进行, 是一个值得探讨的问题, 但对这类系统的研究还很少[2,3]。已有成果的主要研究方法是Lyapunov泛函及Razumikhin技巧[3]。本文从摄动的观点出发, 采用变分Lyapunov函数方法和Razumikhin技巧, 建立了脉冲时滞切换系统的充分比较原理, 推广了右端函数不含切换时的情形, 得到了该系统一致渐近稳定的比较结果。

1 预备知识

考虑脉冲时滞切换系统

与相应的不含时滞的脉冲切换系统

y′ (t) =fk-1 (t, y (t) ) , t∈[tk-1, tk) ,

y (tk) =Jk (t-k, y (t-k) ) , k∈N+,

y (t0) =x0, t≥t0 (2)

(1) 式中Fk-1 (t, xt) =fk-1 (t, x ( (t) ) +Rk-1 (t, xt) , Ik (t, x) =Jk (t, x) +Qk (t, x) , Rk-1 (t, xt) 与Qk (t, x) 均为摄动项;x′ (t) , y′ (t) 表示x (t) , y (t) 在t处的右导数;xt (θ) =x (t+θ) , θ∈[-τ, 0];t0表示初始时刻, tk (k∈N+) 表示切换时刻, 对任给的t0, y (t0) =x0=φ (0) ;Fk-1∈C ([tk-1, tk) ×PC[-r, 0], Rn) , fk-1∈C ([tk-1, tk) ×Rn, Rn) ;Ik, Jk∈C (R+×Rn, Rn) , 其中PC[a, b]={φ:[a, b]→Rn}φ在[a, b]上除至多有限个第一类间断点t外连续, 且φ (t+) =φ (t) }。

本文总假定Fk-1, fk-1, Jk, Jk满足某些条件[2], 以保证系统 (1) 式, (2) 式的零解整体存在且唯一。引入记号:K={a∈C (R+, R+) :a (0) =0且a (s) 关于s严格单增};S (ρ) ={x:|x|<ρ}。

定义1.1 称函数V:[-r, +∞) ×PC[-r, 0]→R+属于ν0 (·) 类函数, 若如下条件满足:

(A1) V在每一个集合[tk-1, tk) ×PC[-r, 0]上连续且 $\lim_{(t, ψ) \to (t_{k}^{-}, ψ)} V (t, ψ) = V (t_{k}^{-}, ψ)$ 存在;

(A2) V (t, x) 关于x满足局部Lipschitz条件, 且V (t, 0) ≡0。

定义1.2 设V∈ν0, 对任给的 (s, x) ∈[tk-1, tk) ×S (ρ) , t0≤s≤t, V (s, y (t, s, x) ) 沿系统 (1) 解的右上导数定义为:

$D^{+} V (s, y (t, s, x)) = \underset{h \to 0^{+}}{\lim \sup} \frac{1}{h} [V (s + h, y (t, s + h, x + h F_{k - 1} (s, x_{s}))) - V (t, y (t, s, x))]$ 。

定义1.3 设x (t) =x (t, t0, φ) 为系统 (1) 的任一解, 称系统 (1) 的零解

(S1) 稳定:若∀ϵ>0, ∀t0∈R+, 存在常数δ=δ (t0, ϵ) >0, 满足当‖φ‖<δ时, 有|x (t) |<ϵ, ∀t≥t0;

(S2) 吸引:若对∀t0∈R+, ϵ>0, 存在正常数δ=δ (t0) >0, T=T (t0, ϵ) >0, 满足当‖φ‖<δ时, 有|x (t) |<ϵ, t≥t0+T;

(S3) 一致稳定:若 (S1) 中δ与t0无关;

(S4) 一致吸引:若 (S2) 中δ, T与t0无关;

(S5) 渐近稳定:若 (S1) 与 (S3) 同时成立;

(S6) 一致渐近稳定:若 (S2) 与 (S4) 同时成立。

2 主要结果

引理2.1 假设x (t) 为系统 (1) 的任意解, 使得如下条件满足

(i) V∈ν0, 对∀ (t, x) ∈[t0, +∞) ×S (ρ) , s∈[tk-1, tk) ∩[t0, t]。

当V (s+θ, y (t, s+θ, x (s+θ) ) ) ≤V (s, y (t, s, x (s) ) ) , θ∈[-r, 0]时

D+V (s, y (t, s, x (s) ) ) ≤gk-1 (s, V (s, y (t, s, x (s) ) ) ) 。

其中gk-1∈C ([tk-1, tk) ×R+, R+) , gk-1 (t, 0) ≡0, ∀t≥0, k∈N+。

(ii) 对∀k∈N+, ∃ψk∈K, ψ (s) ≥s, ψ单调不减, 使得

V (tk, y (t, tk, x (tk) ) ) ≤ψk (V (t-k, y (t, t-k, x (t-k) ) ) ) 。

(iii) r (t) =r (t, t0, u0) 是如下纯量脉冲切换系统

在[t0, +∞) 上的最大解;则当 $\max_{t_{0} - r \leq s \leq t_{0}} V (s, y (t, s, x (s))) \leq u_{0}$ 时, 有

V (t, x (t) ) ≤r (t, t0, u0) , t≥t0 (2.1)

证明设x (t) =x (t, t0, φ) 为系统 (I) 过 (t0, φ) 的解, 下面用数学归纳法给出 (2.1) 式的证明, 为表述简便, 记m (s) =V (s, y (t, s, x (s) ) ) , ∀t0≤s≤t。

首先证明

V (t, x (t) ) ≤r0 (t, t0, u0) , t∈[t0, t1) (2.2)

(2.2) 式中r0 (t, t0, u0) 为方程u′ (t) =g0 (t, u (t) ) , u (t0) =u0在区间[t0, t1) 上的最大解。注意到y (t, t, x (t) ) =x (t) , 欲证 (2.2) 式成立, 只需证

V (s, y (t, s, x (s) ) ) =m (s) ≤r0 (s, t0, u0) ,

s∈[t0, t], t∈[t0, t1) (2.3)

若不然∃t*∈[t0, t1) , 使得

下面推导矛盾。当t0≤s≤t≤t1时, 由m (s+h) -m (s) =V (s+h, y (t, s+h, x (s+h) ) ) -V (s+h, y (t, s+h, x (s) +hF0 (s, xs) ) ) +V (s+h, y (t, s+h, x (s) +hF0 (s, xs) ) ) -V (s, y (t, s, x (s) ) ) 。

根据V∈ν0和右上导数定义, D+m (s) ≤D+V (s, y (t, s, x (s) ) ) , s∈[t0, t]t∈[t0, t1) 。

又当s∈[t*-r, t*]∩[t0-r, t0]时

m (s) =V (s, y (t, s, x (s) ) ) ≤u0≤r0 (t*, t0, u0) ,

当s∈[t*-r, t*]∩[t0, t*]时, 注意到g0 (t) ≥0, t∈[t0, t1) , 有

m (s) =V (s, y (t, s, x (s) ) ) ≤r0 (s, t0, u0) ≤r0 (t*, t0, u0) ,

因此 m (s) =V (s, y (t, s, x (s) ) ) ≤r0 (t*, t0, u0) =m (t*) =V (t*, y (t, t*, x (t*) ) ) , s∈[t*-r, t*]。

根据条件 (i) 有

D+m (t*) ≤D+V (t*, y (t, t*, x (t*) ) ) ≤g0 (t*, m (t*) ) (2.5)

(2.5) 式与 (2.4) 式矛盾, 从而 (2.3) 式成立, 令s=t, 即得 (2.2) 式。

当t=t1时, 由条件 (ii)

V (t1, y (t, t1, x (t1) ) ) ≤ψ1 (V (t-1, y (t, t-1, x (t-1) ) ) ) =ψ1 (m (t-1) ) ≤ψ1 (r0 (t-1, t0, u0) ) 。

令r0 (t-1, t0, u0) =u1, 显然u1≥0。且为系统 (III) 当t=t1时的解。

一般地, 设当t∈[tm-1, tm) 时,

V (t, x (t) ) ≤rj (t, tj, uj) , 0≤j≤m-1,

其中uj=ψj (rj-1 (t-j, tj-1, uj-1) ) (2.6)

rj-1 (t, tj-1, uj-1) 为方程u′=gj-1 (t, u) ,

u (tj-1) =uj-1在[tj-1, tj) 上的最大解。

下证当t∈[tm, tm+1) 时,

V (t, x (t) ) ≤rj (t, tj, uj) , 0≤j≤m,

且um+1=ψm+1 (rm (t-m+1, tm, um) ) (2.7)

欲证 (2.7) 式第一式成立, 同样只需证明对任给的s∈[t0, t],

V (s, y (t, s, x (s) ) ) =m (s) ≤rj (s, tj, uj) ,

s∈[tj, tj+1) , 0≤j≤m (2.8)

若不然存在t*不满足 (2.8) 式, 不防设t*∈[tl, t1+1) , 1≤l≤m使得

下面推导矛盾。当t1≤s≤s+h≤tl+1时, 由m (s+h) -m (s) =V (s+h, y (t, s+h, x (s+h) ) ) -V (s+h, y (t, s+h, x (s) +hFl (s, xs) ) ) +V (s+h, y (t, s+h, x (s) +hFl (s, xs) ) ) -V (s, y (t, s, x (s) ) ) 。

根据V∈ν0和右上导数定义, D+m (s) ≤D+V (s, y (t, s, x (s) ) ) , s∈[tl, t]。

由gk≥0及uj的取法, rj (t, tj, uj) 在[tj, tj-1) 上单调递增, 于是类似可得

m (s) =V (s, y (t, s, x (s) ) ) ≤rl (t*, t0, u0) =m (t*) =V (t*, y (t, t*, x (t*) ) ) , s∈[t*-r, t*]。

结合条件 (i) 有

D+m (t*) ≤D+V (t*, y (t, t*, x (t*) ) ) ≤gl (t*, m (t*) ) (2.10)

(2.10) 式与 (2.9) 式矛盾, 从而 (2.8) 式成立, 令s=t, 即得 (2.7) 式第一式。

当t=tm+1时, 由条件 (ii)

V (tm+1, y (t, tm+1, x (tm+1) ) ) ≤ψm+1 (V (t-m+1, y (t, t-m+1, x (t-m+1) ) ) ) ≤ψm+1 (rm (t-m+1, tm, um) ) 。

令ψm+1 (rm (t-m+1, tm, um) ) =um+1, 显然um+1为系统 (III) 当t=tm+1时的解, 并且使得 (2.7) 第二式成立。于是由数学归纳法

V (t, x (t) ) ≤rj (t, tj, uj) , j=0, 1, 2, 3, … (2.11)

一般地, 令

$r (t, t_{0}, u_{0}) = {\begin{matrix} r_{0} (t, t_{0}, u_{0}) & t \in [t_{0}, t_{1}) \\ r_{1} (t, t_{1}, u_{1}) & t \in [t_{1}, t_{2}) \\ ⋮ & ⋮ \\ r_{k} (t, t_{k}, u_{k}) & t \in [t_{k}, t_{k + 1}) \\ ⋮ & ⋮ \end{matrix}$

其中uj, rj (t, tj, uj) 的定义如 (2.6) 所示, 由uj, rj (t, tj, uj) 的取法, 知r (t, t0, u0) 是系统 (III) 的解且是其最大解, 注意到 (2.11) 式, 知 (2.1) 成立, 引理证毕。

利用引理2.1, 易证下述定理成立:

定理2.1 假设引理2.1的条件 (i) (ii) 成立, 且如下条件满足

(iv) 存在V∈ν0, a, b∈K, 使得b (|x|) ≤V (t, x) ≤a (|x|) , (t, x) ∈[t0, +∞) ×S (ρ) ;

(v) 对每一个 (t, s) , ‖y (t, s, x) ‖关于x满足局部Lipschitz条件;

(vi) 存在ρ0∈ (0, ρ) , 满足当x (t-k) ∈S (ρ0) 时, 有x (tk) ∈S (ρ) 。

则由系统 (II) 零解的稳定性和系统 (III) 零解的 (渐近) 稳定性, 可以得到系统 (I) 零解的 (渐近) 稳定性。

定理2.2 假设定理2.1的条件满足, 则由系统 (II) 零解的一致稳定性和系统 (III) 零解的一致 (渐近) 稳定性, 可以得到系统 (I) 零解的一致 (渐近) 稳定性。

参考文献

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[3] Liu Y, Feng W.Razumikhin-Lyapunov functional method for the sta-bility of impulsive switched systems with time delay.Mathematicaland Computer Modelling, 2008

[4] Kou Chunhai.Variational Lyapunov method and stability analysis for impulsive delay differential equations.Computers and Mathematics with Applications, 2003;46:1761—1777

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一类时滞切换系统的稳定性研究篇2

混杂系统是一类比较复杂的系统, 它主要根据连续时间动力学和离散事件动力学的相互作用的结果, 这种系统在实际生活中具有重要的研究价值及意义。在混杂系统中, 切换系统是其中比较特殊的一类系统, 在该系统内部结构构造上, 它的动态行为远远比其它类系统要更为复杂化。造成这一局面的主要原因就是, 切换系统不但同时拥有具备着其它系统都有的不确定性和时滞现象, 更重要的是其特有的切换机制, 在这种切换机制的带动之下, 它能够最大效应的与上述提到的现象之间相互作用, 进而致使整个切换系统的运行机制更加复杂化。

切换系统主要是由一个系列的连续或者离散状态下的子系统, 以及协调这些子系统之间所起到的切换效果规则的混合系统。子系统的稳定性并不能代表整个系统的稳定性, 如果采用不同的切换序列, 会出现不同的结果。要想保证整个切换系统的稳定性, 需要对切换序列做出一定的限制, 切换序列的选择不当, 会使得整个系统不稳定。即使整个切换系统处于稳定状态, 但是其子系统也有可能是不稳定的。

1、时滞切换系统的稳定性分析

稳定性是切换系统研究的重点, 因为稳定性是系统正常运行的基础条件, 对于切换系统而言, 其运行过程比较复杂。在研究切换系统时, 应注意切换方法的选择。

在切换机制不太了解或较复杂的情况下, 需要对不同的切换信号分析, 找出确保系统稳定的条件, 这个问题的研究具有重要的意义。在其他情况下, 如部分或全部子系统都是稳定的, 接下来主要的任务就是分析使得系统趋于稳定的信号。如果全部的子系统都不稳定, 则需要构建使得系统稳定的切换信号, 对于这个问题有一定的难度, 目前, 切换信号的构造方式不多, 有时间依赖切换信号的构造, 有状态依赖切换信号的构造, 还有就是结合两者的切换信号的构造。

2、问题描述

本文要研究的系统描述为:

其中i (k) 为系统的第i个子系统, s表示切换方案, d>0是滞后时间, Ai是第i个子系统的常数矩阵。

3、结果分析

定理1:对于系统 (1) , 若满足条件

其中i=1, 2, …, m

对于不同的切换方案, 均可以保证系统的稳定性。

证明:假设存在对称正定阵满足条件 (2)

那么V (k) 是正定的。

因此, 满足△V (k) <0的充分条件为

其中i=1, 2, …, m

在i=1, 2, …, m的条件下, 不等式 (2) 均成立, 说明对于任意不同的切换方案, 都能满足△V (k) <0, 由此分析, 系统 (1) 是趋于稳定的。

定理2:基于系统 (1) , 如果存在对称正定矩阵P1, …, Pm, S∈Rm×n满足下述条件:

对于任意方案, 均可以保证系统渐进稳定。

证明:假设条件成立满足不等式 (3) , 定义一个函数V (k) :

则有:

满足△V (k) <0的一个充分条件为:

在条件 (i, j) ∈M×M下, 矩阵不等式 (3) 均成立, 表明对于任意的切换方案, 都满足△V (k) <0, 证明系统 (1) 是渐进稳定的。

定理3:基于系统 (1) , 如果存在δ∈R, 对称正定矩阵P, S∈Rm×n满足下述条件:δ>0且

则存在切换方案s可以保证系统渐进稳定。

求得各不等式的加权和

由结果分析, 假设不成立, 则不存在条件满足以上的不等式。

4、仿真算例

例1:两个不稳定子系统组成的离散时滞切换系统

由下图分析, 系统状态变量的轨迹在切换信号的作用下逐渐趋于原点。

5、结语

本文主要讨论了时滞切换系统的稳定性, 在任意切换信号的情况下, 定理1和定理2给出了保证系统渐进稳定的条件, 在条件满足的情况下, 即所有的都相等时, 定理1与定理2是定价的, 定理2的条件范围较定理1大, 定理1是定理2的特殊情况。定理3给出了系统渐进稳定的凸显条件, 以及切换信号的选取方法。

摘要：本文首先给出所要研究的时滞切换系统的模型, 然后提出该时滞切换系统稳定性的条件, 并加以证明, 最后通过仿真算例证实该理论的有效性。

关键词：时滞,切换系统,稳定性

参考文献

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[3]曲袁超.时滞切换系统的稳定性分析[D].沈阳:沈阳师范大学, 2012.

[4]张亚婷, 闻继伟, 彭力等.基于N步不变集的时滞切换系统的饱和控制[J].计算机与应用化学, 2014, (09) :1085-1090

[5]毛北行, 李巧利, 卜春霞等.一类离散的时滞脉冲切换系统的H∞二次稳定性[J].数学的实践与认识, 2011, 41 (1) :209-213.

多主体时滞网络系统的脉冲一致性篇3

近年来复杂多主体 (或智能体) 网络系统 (Multi-Agent Networked Systems) 的合作与协调控制已成为当今国际上一项极其重要且富有挑战性的前沿研究领域之一, 这主要是因为它在诸如无人航天器、编队控制[1]、群集[2,3]、分布式传感器网络和通信网络的拥塞控制等许多工程技术领域中广泛应用而引起的。在过去的十几年里, 许多学者从不同的角度入手对一致性问题进行了深入的研究, 并得到了很多有趣的结果[1,2]。Vicsek等人提出了一个由N个自治的主体组成的的离散时间系统模型[2]。Jadbabaie等人研究了Vicsek模型中的线性化角度更新方程, 并引入了由所有主体的位置形成的邻居图序列, 这些图都是无向图。Olfati-Saber和Murray讨论了三种复杂多主体网络系统的一致性问题:1) 具有固定拓扑的有向网络, 2) 具有切换拓扑的有向网络, 3) 具有时滞和固定拓扑的无向网络。结果表明, 连通性在一致性问题中起着非常重要的作用。

在许多进化系统中通常会产生两种常见的现象:时滞和脉冲效应。在过去的几年, 具有时滞的复杂多主体网络系统的一致性问题引起了越来越多的关注。Olfati-Saber等人就具有时滞的复杂多主体无向网络的一致性问题进行了研究。Sun等人讨论了具有变时滞的复杂多主体有向网络的一致性问题。另一方面, 现实世界中的许多网络, 尤其是生物网络, 如生物神经网络和病理学中的突触律动模型, 还有经济学中的最优控制模型, 调频信号处理系统以及飞行器装置等系统的共同特点是在某些时刻状态产生一个突变, 这就是通常所说的脉冲现象。然而, 据我们所知, 至今为止涉及到脉冲效应对复杂多主体时滞网络系统一致性的影响的工作还不多见。因此, 研究具有时滞和脉冲效应的复杂多主体网络系统的一致性问题, 有助于深刻地理解真实世界中大多数复杂多主体网络系统的演化规律, 具有重要科学意义及广阔应用前景。

一、一致性问题的描述

假设把多主体系统中的每个主体看成一个有向图中的一个节点, 每条边 (vj, vi) ∈ε (G (t) ) 对应于在时刻t从主体i到主体j的一条信息链, 信息从节点vj到节点vi通过边 (vi, vj) 的时滞为0<τ (t) ≤τ, 且每个主体通过与邻居主体间的信息交换来更新它当今的状态。假设通讯拓扑G是强连通的和平衡的。xi表示第i个主体的状态, 假设每个主体的动力学如下:

其中ui (t) 为时刻t的控制输入 (协议) 。为了解决一致性问题, 我们提出下面的一致性协议:

其中D表示分布导数, wi:J=[t0, +∞) →R是右连续的且在J的任意紧的子区间有界变差函数, Dwi描述在网络的拓扑结构中脉冲的效应。

在一致性协议 (2) 下, 系统 (1) 可以写成下面的形式:

其中δ (t) 狄拉克脉冲函数, 系统 (3) 在时刻tm发生跳跃。对于脉冲泛函微分方程 (3) , 其初值为xi (t) =φi (t) ∈PC ([t0-τ, t0], Rn) .对于初始条件, 我们总是假定方程 (3) 有唯一解。很显然, 如果μm=0, 则模型 (3) 变为具有时滞的连续一致性方案:

方程 (3) 可以写成矩阵形式

如果图G是强连通的, 则其拉普拉斯矩阵满足: (i) rank (L) =n-1, (ii) 0为矩阵L的一个特征值, 1n= (1, L, 1) T为对应的特征向量, 即L1n=0, (iii) 其余的n-1个特征值具有正实部, 特别地, 如果G是无向图, 这n-1个特征值为正实的。

因为L是平衡矩阵, 则有1TL=0, 即∑ix&i=0。因此, α= (∑ixi (0) ) /n=Ave (x) 为不变量。用不变量Ave (x) 去分解x, 则有

其中δ= (δ1, L, δn) T∈Rn满足1Tδ=0。这里我们称δ

二、多主体时滞有向网络系统的一致性问题

1、网络具有固定拓扑

定理1.矩阵sL的特征值可以写成

2、网络具有切换拓扑

由于网络中的节点不是静态的, 不难想象由于某些节点之间存在障碍物而使得这些节点之间的通讯连失效。同样可产生相反的情况, 原来无连接的某些节点可能会生成新的连接。在这里, 我们所关注的是网络中的拓扑结构是切换的, 它能否达到一致。考虑下面的系统:

其中Lk=L (Gk) 是图Gk= (V, εk, Ak) 的拉普拉斯矩阵, 且属于集合Γ.集合ΙΓ⊆{1, 2, L, n (n-1) } (n (n-1) 表示所有可能的有向图总数) 。映射s (t) :R→ΙΓ是一个切换信号, 它决定了网络的拓扑G.这里假设通讯拓扑kG是强连通且平衡的。如果s (t) 是常数, 则对应的拓扑是固定的。类似于定理1, 我们有下面的结果:

定理2.矩阵Ls的特征值可以写成

则时滞动力系统 (9) 可以指数地达到平均一致。

摘要：本文主要讨论具有脉冲拓扑切换的复杂多主体时滞网络系统的一致性问题。基于时滞动力系统的脉冲控制理论, 给出了在通讯时滞环境中具有脉冲拓扑切换的有向网络一致性协议, 并在具有固定拓扑和切换拓扑两种情形下得到了相应的一致性收敛准则。本文的主要贡献在于给出的这种一致性协议能够使得整个网络指数地达到平均一致。所获得结果表明, 网络通讯拓扑的脉冲效应在网络的平均一致中起着非常重要的作用。

关键词：一致性问题,多主体时滞网络系统,脉冲拓扑切换,一致性协议

参考文献

[1]Fax J A, Murray R M.Information flow and cooperative control of vehicle formations.IEEE Trans.Autom.Contr., 2004, 49 (9) :1465～1476

[2]Vicsek T, Czirok A, Jacob E B, Cohen I, Schochet O.Novel type of phase transition in a system of self-driven particles.Phys.Rev.Lett., 1995, 75 (6) :1226～1129

脉冲时滞切换系统篇4

切换系统是一种重要的混合系统, 由一组有限 (无限) 的子系统组成, 并按照某种切换规则在各个子系统之间切换的动力系统。近年来, 切换系统的研究越来越热, 并且取得了一些成果[1]。在实践中, 脉冲、时滞和切换不可避免的同时进行, 如何控制好这些因素, 是一个值得探讨的问题[2,3,4]。本文主要利用Lyapunov 函数方法和Razumikhin 技巧, 研究具有有界滞量的脉冲切换系统, 运用了比较方法, 得到了系统零解的严格一致稳定性的比较结果。

1 预备知识

考虑如下时滞脉冲切换系统

记PC (I) ={φ:I→Rn, 是除去点列tk的连续函数, 在这些点处φ (t+k) 与φ (t-k) 存在且φ (t+k) =φ (t-k) }。K={a∈C (R+, R+) :a (0) =0, a (s) >0, s>0且a在[0, +∞) 上单调递增}, $| φ |_{1} = s u \underset{- h \leq s \leq 0}{p} | φ (s) |, | φ |_{2} = \inf_{- h \leq s \leq 0} | φ (s) |$ 。 $Ρ C_{Η} (Ι) = {φ \in Ρ C (Ι), | φ |_{1} \leq Η}, Ρ C_{J} (Ι) = {φ \in Ρ C (Ι), | φ |_{2} \geq J},$

定义1 设V (t, xt) 沿系统 (1) 解的右上导数为

$D^{+} V (t, x_{t}) = \lim_{h \to 0^{+}} \sup \frac{1}{h} [V (t + h, x_{t + h} (t, x_{t})) - V (t, x_{t})]$ 。

定义2 称系统 (1) 的零解x (t, t0, φ) 为:

(H1) 严格稳定的: 如果对于任意的ε1>0, 存在δ′=δ′ (t0, ε1) >0, 使得当‖φ‖1<δ′时有|x (t) |<ε1, t≥t0;任意的δ″:0<δ″<δ′, 存在ε2:0<ε2<δ″, 使得当‖φ‖2>δ″时有|x (t) |>ε2, t≥t0。

(H2) 严格一致稳定的: 如果 (H1) 中的δ′, δ″与t0及ε2无关。

2 主要结果

定理1 假设如下条件成立:

(1) a1 (|x|) ≤V1 (t, x) ≤b1 (|x|) , 0≤V2 (t, φ) ≤c1 (‖φ‖1) , 其中t≥t0, x∈Rn, φ∈PCH ([-h, 0], Rn) , a1, b1, c1∈k。

(2) V (t, xt) ≤ (1+dk) V (t-k, xt-k) , 其中

V (t, xt) =V1 (t, x (t) ) +V2 (t, xt) , dk>0。

(3) φ∈PCH ([-h, 0], Rn) , 当t∈[t0, t0+ h) ∩[tk-1, tk) 时, $V (t, x_{t} (t_{0}, φ)) \geq λ_{1} [b_{1} (| φ (0) |) + c_{1} | φ |_{1}], λ_{1} \geq 1$ 。

当t∈[t0, t0+h) ∩[tk-1, tk) 时,

V (t, xt (t0, φ) ) ≥V (t+θ, xt+θ (t0, φ) ) ,

θ∈[-h, 0],

则

V′≤G $_{k - 1}^{1}$ (t, V (t, xt) ) 。

其中G $_{k - 1}^{1}$ :R+×R+→R+, 是连续的, 并且G $_{k - 1}^{1}$ (t, 0) =0, 对所有的t≥t0都成立。

$\begin{array}{l} (4) \frac{1}{2} a_{2} (| x |) \geq V_{τ 1} (t, x) \geq b_{2} (| x |), \\ \frac{1}{2} a_{2} (| x |) \geq V_{τ 2} (t, φ) \geq c_{2} (∥ φ ∥_{2}) \end{array}$

, 其中t≥t0, x∈Rn, φ∈PCJ ([-h, 0], Rn) , a2、b2、c2∈k。

(5) Vτ (t, xt) ≥ (1-ek) Vτ (t-k, xt-k) , 其中Vτ (t, xt) =Vτ1 (t, x (t) ) +Vτ2 (t, xt) , 1>ek>0。

(6) φ∈PCJ ([-h, 0], Rn) , 当t∈[t0, t0+ h) ∩[tk-1, tk) 时, Vτ (t, xt (t0, φ) ) ≤λ2[b2 (|φ (0) |) +c1‖φ‖2], 0≤λ2≤1。

当t∈[t0, t0+h) ∩[tk-1, tk) 时,

Vτ (t, xt (t0, φ) ) ≥V (t+θ, xt+θ (t0, φ) ) ,

θ∈[-h, 0],

则

V′τ≤G $_{k - 1}^{2}$ (t, Vτ (t, xt) ) 。

其中G $_{k - 1}^{2}$ :R+×R+→R-, 是连续的, 并且G $_{k - 1}^{2}$ (t, 0) =0, 对所有的t≥t0都成立。

(7) 系统

的零解是严格一致稳定的, 则系统 (1) 的零解是严格一致稳定的。

证明设y (t) =y (t, t0, y0) 为系统 (2.1) 的解, 选择δ>0, 使得λ1 (b1 (δ) +c1 (δ) ) ≤y0, δ≤y0。对任何t0≥0, φ∈PCH ([-h, 0], Rn) , 通过条件 (4) 我们可以得到

设系统

的解为yn (t) =yn (t, t0, y0) 。

我们首先证明V (t, xt) ≤yn (t) , t∈[t0, t0+h) 。对于

V (t, xt) ≤yn (t) , t∈[t0, t1) (4)

如果式 (4) 不正确, 一定存在t*∈ (t0, t1) 使得

V (t*, xt*) =yn (t*) , V′ (t*, xt*) ≥y′n (t*) 。

所以V (t*, xt*) ≥λ1 (b1 (|φ (0) |) ) +c1 (‖φ‖1) 。

从定理1的条件 (3) , 可以得到V′ (t*, xt*) <y′n (t*) , 与上式矛盾, 即式 (4) 成立。

通过定理1的条件 (2) 我们可以到

V (t1, xt1) ≤yn (t1) 。

由数学归纳法我们可以得到: V (t, xt) ≤yn (t) , t∈[tk1-1, tk1) , V (tk1, xtk1) ≤yn (tk1) , 如果t0+h=tk1, V (t0+h, xt0+h) ≤yn (t0+h) ;如果t0+h∈ (tk1, tk1+1) , V (t, xt) ≤yn (t) , t∈[tk1, t0+h) 。因V (t, xt) ≤yn (t) , t∈[t0, t0+h) 。

接下来证明

V (t, xt) ≤yn (t) , t∈[t0+h, tk1+1) (5)

如果式 (5) 不正确, 一定存在t*∈ (t0+h, tk1+1) 使得

V (t*, xt*) =yn (t*) , V′ (t*, xt*) ≥y′n (t*) 。

则通过本文条件可得

V (t*, xt*) ≥V (t*+θ, xt*+θ) , θ∈[-h, 0]。通过定理1的条件 (3) 我们可以得到V′ (t*, xt*) <y′n (t*) , 所以式 (5) 正确。同理可证V (t, xt) ≤yn (t) , V (tk, xtk) ≤yn (tk) 其中t∈[tk, tk+1) , k=k1+1, k1+2, …。

所以V (t, xt) ≤yn (t) , t≥t0。

通过文献[5]可知, 当n→∞时yn (t) 一致收敛于y (t) 。所以当n→∞时, V (t, xt) ≤y (t) , t≥t0, 由系统 (2) 的严格一致稳定性定义可知对任意的ε>0, 存在δ1:0<δ<δ1, y0<δ1时, y (t) <a1 (ε) , t≥t0。结合以上证明可以得知, ‖φ‖1<δ1时, V (t, xt) ≤a1 (ε) , t≥t0。由定理的条件 (1) 可知 $| x (t) | \leq ε, t \geq t_{0}$ 。

ω (t, t0, ω0) 为系统式 (2.2) 的解, 选取δ′>0, 使得λ2 (b2 (δ′) +c2 (δ′) ) ≥ω0, δ′≥ω0, 对任何t0≥0, φ∈PCJ ([-h, 0], Rn) , 通过条件 (4) 我们可以得到

b2 (|x (t) |) +c2 (‖xt‖2) ≤Vτ (t, xt) ≤a2 (|x (t) |) , t≥t0, Vτ (t, xt) ≥b2 (|φ (0) |) +c2 (‖φ‖2) ≥b2 (δ′) +c2 (δ′) ≥ω0, t∈[t0-h, t0]。

设系统

的解为ωn (t) =ωn (t, t0, ω0) 。

我们首先证明

Vτ (t, xt) ≥ωn (t) , t∈[t0, t0+h) 。对于

Vτ (t, xt) ≥ωn (t) , t∈[t0, t1) (7)

如果式 (7) 不正确, 一定存在t*∈ (t0, t1) 使得

Vτ (t*, xt*) =ωn (t*) , V′τ (t*, xt*) ≤ω′n (t*) 。

所以Vτ (t*, xt*) ≤b2 (|φ (0) |) +c2 (‖φ‖2) 。

从定理1的条件 (6) , 可以得到V′τ (t*, xt*) >ω′n (t*) 。与上式矛盾, 即式 (7) 成立。通过定理1的条件 (5) 我们可以得到Vτ (t1, xt1) ≥ωn (t1) 。

由数学归纳法, 我们可以得出 Vτ (t, xt) ≥ωn (t) , t∈[tk1-1, tk1) , Vτ (tk1, xtk1) ≥ωn (tk1) 。如果t0+h=tk1, Vτ (t0+h, xt0+h) ≥ωn (t0+h) , 如果

t0+h∈ (tk1, tk1+1) , Vτ (t, xt) ≥ωn (t) , t∈[tk1, t0+h) 。

所以Vτ (t, xt) ≥ωn (t) , t∈[t0, t0+h) 。

接下来证明

Vτ (t, xt) ≥ωn (t) , t∈[t0+h, tk1+1) (8)

如果式 (8) 不正确, 一定存在t*∈ (t0+h, tk1+1) 使得

Vτ (t*, xt*) =ωn (t*) , V′τ (t*, xt*) ≤ω′n (t*) 。

所以V′τ (t*, xt*) ≤V (t*+θ, xt*+θ) , θ∈[-h, 0]。通过定理1的条件 (6) 我们可以得到V′τ (t*, xt*) >ω′n (t*) , 所以式 (8) 式正确。

同理得到Vτ (tk1+1, xtk1+1) ≤ωn (tk1+1) , 其中t∈[tk, tk+1) , k=k1+2, k1+3, …,

所以Vτ (t, xt) ≥ωn (t) , t≥t0。

通过文献[5]可知, 当n→∞时ωn (t) 一致收敛于ω (t) 。所以当n→∞时, Vτ (t, xt) ≥ω (t) , t≥t0, 由系统 (2) 的严格一致稳定性定义可知对任意的ε′>0, 存在δ″1 :0 < ε′ < δ″, ω0 < δ″时, ω (t) >a (ε′) , t≥t0。通过以上证明可以得知, $| φ |_{2} \geq δ^{″}$ 时, Vτ (t, xt) ≥a2 (ε′) , t≥t0, 结合以上证明可知|x (t) |>ε′, t≥t0, 由定义2可知, 系统 (1) 的零解是严格一致稳定的.

推论1 把定理1中的条件 (3) V′≤G $_{k - 1}^{1}$ (t, V (t, xt) ) 以及条件 (6) 中V′τ≥G $_{k - 1}^{2}$ (t, Vτ (t, xt) ) 分别改为V′≤0, V′τ≥0, 则定理1的结论仍然成立。

摘要：主要利用Lyapunov函数方法和Razumikhin技巧, 研究具有有界滞量的脉冲切换系统, 得到了系统零解的严格一致稳定性的比较结果。

关键词：有界滞量,脉冲切换系统,Lyapunov函数,Razumikhin技巧,严格一致稳定性,比较结果

参考文献

[1]Liberzon D, Morse A S.Basic problems in stability and design of switched systems.IEEE Control Systems, 1999:59—70

[2]Fu Xilin, Li Xiaodi.Razumikhin-type theorems on exponential stabili-ty of impulsive infnite delay differential systems.Journal of Computa-tional and Applied Mathematics, 2009;224:1—10

[3]傅希林, 阎宝强, 刘衍胜.脉冲微分系统引论.北京:科学出版社, 2005

[4]Liu Y, Feng W.Razumikhin-Lyapunov functional method for the sta-bility of impulsive switched systems with time delay.Mathematical and Computer Modelling, 2009;49:249—264

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