离散时变时滞系统

2024-07-03

离散时变时滞系统（精选5篇）

离散时变时滞系统篇1

0 引言

给定一个能量有界的系统噪声输入信号, 如果我们能够使得滤波误差系统传递函数的H∞范数小于给定值, 那么我们便完成了滤波器的设计。而近年来H∞滤波理论的研究之所以得到大大关注, 和H∞控制理论的发展密不可分。在此类系统的设计中, 我们的主要依赖于两种手段, 一是利用代数Riccati, 二是利用线性矩阵不等式, 目前主要采用线形矩阵不等式来解决相关问题。

在实际工程中我们到处可以看到时滞的发生, 而它的危害更是不言而喻, 系统不稳定, 系统性能降低以及系统出现混沌这些都有可能是系统时滞引起的, 所以对时滞系统进行研究不仅具有理论意义, 而且对工程应用也有着积极影响。因此, 近年来, 时滞系统的分析与综合成为了广大学者关注的对象。过去控制器的设计, 获得了大量的有效的结果, 但是对于滤波器的设计相对有较少的关注, 仍然有很多地方有待于研究, 尤其是不确定和时变时滞离散时间系统这方面。

鲁棒H∞滤波其实很简单, 主要有两点, 一是满足H∞性能准则, 二是满足模型参数不确定性。当遇到参数不确定的系统时, 通常的作法会使结果具有较大的保守性, 这主要是因为要想找到一个统一的Lyapunov函数使所有允许的不确定参数得到满足是非常困难的。而有一种方法可以大大降低保守性, 那就是寻找一个Lyapunov函数使得它和系统的不确定性相关联即可。这样的方法不仅可以在不确定系统中得到应用, 在滤波设计中也应该可以使用, 这一课题的研究价值很大。

此文中, 一个新的鲁棒稳定性条件被提出了, 并且作者给出了满足这一条件的鲁棒H∞滤波设计方法, 在该方法的提出中解决了凸优化问题, 并且给出了具体算例对所提出的算法进行了验证。

1 问题描述

首先, 我们假设不确定离散系统满足下面的一些条件:

其中x (k) ∈Rn为状态变量, y (k) ∈Rm为测量输出, z (k) ∈Rp为要估计的信号, ω (k) ∈Rq为噪声输入, h (k) 为时变时滞, 假设满足hm≤h (k) ≤hM, 且定义h=hM-hm其中mh, Mh为正整数。ϕ (k) , k=-hM, -hM+1, L, 0为已知的初始条件。A, 1A, 1B, C, 1C, L, 1L, 3B可以用其它已知矩阵的凸组合来表示出来, 而且其均为不确定矩阵。比如, 以下的写法是合理的:

其中 (A i, A1i, B1i, C i, C1i, B2i, L i, L1i, B3i) (i=1, 2, L, p) 称为顶点矩阵。 (2)

构造全阶滤波器:

其中, AF∈Rn×n, BF∈Rn×m, CF∈RP×n, DF∈Rp×m是待确定的滤波参数。

则滤波误差系统的状态方程为:

I为适当维数的单位矩阵。

本文的目的是为系统 (1) 设计一个如同 (3) 形式的滤波器, 并且满足如下两个条件:

<1>当ω (k) =0时, 滤波误差系统 (4) 是渐近稳定的;

<2>滤波误差系统 (4) 的增益H∞不超过给定的常数γ, 即在零初始条件下,

其中

满足以上两个条件的滤波器称为H∞滤波器。

2 H∞性能分析

定理1考虑系统 (1) , 设χ∈ℜ为任意确定性常值矩阵, 则滤波误差系统 (3) 渐近稳定且满足H∞性能γ的充分条件为存在矩P>0, Q>0, R>0, M:=[M1M2], M3, W满足下面的线性矩阵不等式。

证明:首先我们定义两个向量ζ (k) :=ξT (k) ξT (k-h (k) ) ETωT (k) T

选择的Lyapunov函数为:

定义∆V (k) =V (k+1) -V (k)

结合以上各式我们得到:

这里利用Schur补引理, 考虑上式, 我们可得到在ω (k) =0时, ∆V (k) <0, 即系统在ω (k) =0时是渐进稳定的。

下面我们考虑在零初始条件下, 对任意的非零ω∈l2, 有成立。

如果 (5) 成立, 利用Schur补引理, 我们可得到∆V (k) <λ2ωT (k) ω (k) -eT (k) e (k) , 在V (k) =0条件下, 不等式两边求和可得到证毕。

下面我们引进两个变量T1, T2采用参数依赖的Lyapunov函数处理多胞型不确定性。

定理2如果存在合适维数的实矩阵Pi>0, Qi>0, Ri>0, M1i, M2i, M3i, W i, T 1, T2满足下面的不等式成立, 那么系统 (4) 对所有满足 (2) 的不确定性是渐进稳定的。

其中, Θ1i=MT E+ET Mi-Pi+ (h+1) ET Qi E, Θ2i=-MiT+ET M3i, Θ3i=-MT3i-M3i-Qi, Mi:=[M1iM2i]。

3 H∞滤波设计

这一部分, 我们根据以上定理, 给出滤波器存在的充分条件。

定理3如果存在合适维数的矩阵

P1i, P2i, P3i, Ri>0, Q i, M1i, M3i, G i, T 1, V 1, V 2, A, B, C, W i, DF对于i=1, 2, L, p满足下面的不等式, 那么满足条件的滤波器是存在的。

证明:令T2=X3X4X1X2, 因X4+X4T>0, X4可逆, 我们定义:J1=I00X2 X4-1

J2=diag{J 1, I, I, I, I, I, J 1}, J 2Φ1iJ2T=Φ2i, i=1, 2Lp, 接下来我们定义变量:

于是可得到滤波器的参数Af=AV2-1, Bf=B, Cf=CV2-1, Df=DF, 证毕。

4 数值算例

考虑如下不确定离散时变时滞系统:

利用Matlab软件中的LMI求解器, 我们得到滤波器矩阵

5 结论

本文研究了一类不确定性离散时变时滞系统的状态滤波问题, 主要是根据H∞性能指标, 利用线性矩阵不等式的方法来设计鲁棒滤波, 给出滤波器存在的充分条件, 通过Matlab中的LMI工具箱, 很容易地设计出了系统的滤波器。最后给出实例证明该方法的有效性。

摘要：本文主要是将H∞性能指标引入到凸多面体不确定离散时变时滞系统中, 并研究基于这一指标的滤波器设计问题。在此系统中, 通过构造Lyapunov-Kra-sovkii函数, 利用Schur补性质, 基于线性矩阵不等式, 得到了渐进稳定的H∞滤波器滤波误差动态系统。在此类不确定系统的鲁棒H∞滤波器设计中, 我们给出了滤波器存在的充分条件, 而这一过程中求解凸优化的问题是关键。如果外界扰动信号能量有界, 我们能保证所设计的滤波误差系统的H∞性能指标小于一定值。数值算例验证了所提出算法的可行性和有效性。

关键词：离散时变时滞系统,鲁棒滤波,线性矩阵不等式,H∞性能,凸优化

参考文献

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离散时变时滞系统篇2

随着社会的发展,人们对电力的需求日益增加,导致系统的规模、复杂度也随之不断增加[1]。广域测量系统为大型互联电力系统实现分布式同步测量和稳定控制提供了可能[2]。在广域控制中,时滞的存在有可能会使控制器的性能发生改变,从而影响电力系统的动态行为[3,4]。因此,研究时滞电力系统稳定性和寻求有效的时滞稳定控制手段具有十分重要的现实意义[5,6,7]。

目前对电力系统时滞稳定分析主要为直接法,即基于Lyapunov稳定性理论进行分析,但该方法只能给出系统稳定的充分条件,且结果具有一定保守性。因此,近年来围绕直接法的研究多集中在降低方法的保守性上[8,9,10,11,12,13,14]。文献[12]通过在单时滞系统稳定判据推导过程中加入松弛项,使得方法的保守性有所降低,但计算效率也随之降低。文献[15]通过引入必要的松弛项,使得判据的保守性进一步降低,同时计算效率有所提高。文献 [16]在文献[15]的基础上,推导了含不确定性扰动项的定常时滞系统鲁棒稳定判据。

本文通过构造新型Lyapunov泛函,进行时变时滞电力系统的鲁棒稳定性分析,在去掉对时变时滞可微性限制的同时,也无需满足的条件,从而降低了分析结果的保守性。最后,通过算例测试,验证本文方法的有效性。

1时变时滞电力系统模型

1.1单时变时滞电力系统模型

考虑时滞因素的影响[16],不失一般性,可得时变时滞电力系统模型(1):

式中:x(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T∈Rn为状态向量;τ(t)为连续时变时滞函数,满足0≤τ(t)≤τ。

若存在不确定参数扰动,系统(1)将变为系统(2):

假设:[ΔA,ΔB]=WF0[Ea,Eb]为系统参数扰动项,W,Ea,Eb为已知维数的常数矩阵,F0为变化的矩阵,满足如下条件:

1.2双时变时滞电力系统模型

若系统(2)变为含有2个时滞扰动环节的系统(4),将具有如下形式:

式中:τ=max(τ1,τ2)。

下面的引理将用来证明系统的鲁棒稳定性。

引理1[17]:给定具有适当维数的矩阵Q=QT,H,E以及0<R=RT,有:

对所有满足FTF≤R的F,当且仅当λ>0,有:

2电力系统的鲁棒稳定性分析

首先讨论系统(1)的稳定性。

定理1:当且仅当存在正定矩阵0<P =PT,0<R=RT,以及任意矩阵E,F使得线性矩阵不等式(7)成立,则系统(1)是稳定的。

式中:Σ11=PA+ATP+E+ET,Σ12=PB+F-E,Σ22=-F-FT。具体证明过程见附录A。

同时,根据定理1,可推导出系统(2)的鲁棒稳定性判据。

定理2:当且仅当存在标量ρ1>0,同时存在正定矩阵0<P=PT,0<R=RT,以及任意矩阵E,F使得线性矩阵不等式(8)成立,则系统(2)是鲁棒稳定的。

式中:Ψ11=PA+ATP+E+ET,Ψ12=PB+F-E,Ψ22=-F-FT。具体证明过程见附录B[20]。

下面,讨论系统(4)的鲁棒稳定性。

定理3:假设τ1≥τ2,当且仅当存在标量β1>0,同时,存在正定矩阵0<P=PT,0<R=RT,0<Q=QT,0<W=WT以及任意矩阵Ei和Fi(i=1,2,3)使得线性矩阵不等式(9)成立,则系统(4)是鲁棒稳定的。

3算例分析

3.1单机无穷大系统算例

本文采用如图1所示单机无穷大系统作为测试系统,该系统参数取值参见文献[18-19],假定系统只存在单一时滞,其时滞系统对应的参数如下。

假设励磁放大系数存在随机扰动,则考虑扰动影响后的实际系数为:

式中:r为一标量,反映对励磁放大系数的扰动;KA为励磁放大系数整定值。

假设0≤r≤10,以0.5为步长,逐渐增大r的取值,求出其对应的系统最大允许时滞。矩阵W,Ea,Eb的取值分别为:

借助于MATLAB中的线性矩阵不等式(LMI)工具箱,可获得满足条件(7)的可行解。限于篇幅,此处仅列出r=1时P,R,E,F的可行解:

由定理1可知,该系统是鲁棒稳定的。

表1给出了系统内部存在参数变化时部分时滞稳定裕度结果,并与文献[16]的结果进行了比较。

由表1中数据及图2可见,随着励磁放大系数中随机扰动项r的增大,系统时滞稳定裕度逐渐变小。与文献[16]相比,本文提出的改进鲁棒稳定判据求得的时滞稳定裕度保守性较小。

图2中紫线为通过时域仿真法求解的不同r值下系统的最大允许时滞曲线。为进一步验证本文方法的有效性,附录D给出了WSCC3机9节点系统算例结果,系统模型参数参见文献[16]。

4结语

本文研究了时变时滞电力系统鲁棒稳定性问题,通过构造新型Lyapunov泛函,并引入一些必要的自由权矩阵,去掉了对时变时滞可微性及导数的限制,得到了改进的系统鲁棒稳定性判据,降低了结果的保守性。借助单机无穷大系统,WSCC3机9节点系统,讨论了发电机励磁放大系数存在扰动情况下对系统稳定性的影响,验证了本文方法的有效性和优越性。

多时滞离散系统的反馈控制器设计篇3

实际控制系统中产生的不确定性和时滞将导致系统的不稳定性指标下降。近十年,不确定时滞系统鲁棒控制研究倍受关注[1,2,3],不确定离散多时滞系统的稳定性研究取得新的成果[4,5]。使用线性矩阵不等式(LMI)成为研究不确定系统稳定性的有效技术,文献[6]解决了一类带有输入输出时滞不确定系统的保成本控制,文献[7]获得了两类不确定PWA系统稳定性标准。然而,基于LMI的不确定多时滞离散系统稳定性研究较少。最近,文献[8]给出了一类不确定离散多时滞系统的鲁棒稳定性充分条件。本文推广了这一系统,改进了相应结果中的非线性项 ,获得了判定系统稳定性的新LMI方法。

1 问题的描述和引理

考虑如下不确定多时滞系统:

$x (k + 1) = \bar{A}_{0} x (k) + \sum_{i = 1}^{n} \bar{A}_{i} x (k - d_{i}) (1)$

式(1)中 $\bar{A}_{0} = A_{0} + Δ A_{0}, \bar{A}_{i} = A_{i} + Δ A_{i}$ 。x(k)∈Rn是系统的状态向量,di是时滞常数, A0,Ai是常数矩阵, ΔA0,ΔAi 表示时变参数不确定的实值矩阵。推广文献[8]系统中的时变参数矩阵,假设ΔAi(k)=DFEi(i=0,…,n),其中,D,Ei是实值矩阵,F满足FTF≤I。各矩阵均维数适当。

给出正定矩阵P>0,Qj>0选取Lyapunov函数为

$\begin{array}{l} V (x (k)) = x^{Τ} (k) Ρ x (k) + \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} x^{Τ} (k - \\ d_{i}) Q_{j} x (k - d_{i}) (2) \end{array}$

引理1.1 给定矩阵D,E 和维数适当的对称矩阵 G,对满足FTF≤I的矩阵F,不等式G+DFE+ETFTDT<0成立的充要条件是存在实数ε>0 使得G+εDDT+ε-1ETE<0。

引理1.2 (Schur 补)[3]。给定常数矩阵Ω1,Ω2,Ω3, 若Ω1=Ω $_{1}^{Τ}$ and Ω2=Ω $_{2}^{Τ}$ >0,则Ω1+Ω $_{3}^{Τ}$ Ω $_{2}^{- 1}$ Ω3<0当且仅当

2 时滞稳定性标准

引入以下记号。[Ai]=(A1,…,An),{Φi}=diag(Φ1,…,Φn)。

定理2.1 假设存在矩阵P>0,Qi>0,使得下面的矩阵不等式成立

$(\begin{matrix} - Ρ & Ρ \bar{A}_{0} & Ρ [\bar{A}_{i}] \\ * & - Ρ + \sum_{i = 1}^{n} Q_{i} & 0 \\ * & * & - {Q_{i}} \end{matrix}) < 0 (3)$

则系统式(1)是渐进稳定的。

证明:应用Schur 补,不等式(3)可以写成

$(\begin{matrix} - Ρ + \sum_{i = 1}^{n} Q_{i} & 0 \\ 0 & - {Q_{i}} \end{matrix}) + (\begin{matrix} \bar{A}_{0}^{Τ} Ρ \\ [\bar{A}_{i}]^{Τ} Ρ \end{matrix}) Ρ^{- 1} (Ρ \bar{A}_{0}, Ρ [\bar{A_{i}}]) < 0 (4)$

记 $η (k) = (x^{Τ} (k), [x^{Τ} (k - d_{i})])^{Τ}, Γ (k) = (\bar{A}_{0}, [\bar{A}_{i}]$ 。那么, 由式(2)定义的Lyapunov函数V(x(k))沿系统式(1)任意轨线的向前差分为

$\begin{array}{l} Δ V (k) = V (k + 1) - V (k) = x^{Τ} (k + 1) Ρ x (k + 1) - x^{Τ} (k) Ρ x (k) + x^{Τ} (k) \sum_{i = 1}^{n} Q_{i} x (k) - \sum_{i = 1}^{n} x^{Τ} (k - d_{i}) Q_{i} (k - d_{i}) = η^{Τ} (k) Γ (k)^{Τ} Ρ Γ (k) η (k) - x^{Τ} (k) Ρ x (k) + \\ x^{Τ} (k) \sum_{i = 1}^{n} Q_{i} x (k) - \sum_{i = 1}^{n} x^{Τ} (k - d_{i}) Q_{i} (k - d_{i}) = \\ η^{Τ} (k) (\begin{matrix} \bar{A}_{0}^{Τ} Ρ \bar{A}_{0} - Ρ + \sum_{i = 1}^{n} Q_{i} & \bar{A}_{0}^{Τ} Ρ [\bar{A}_{i}] \\ * & [\bar{A}_{i}]^{Τ} Ρ [\bar{A}_{i}] - {Q_{i}} \end{matrix}) η (k) 。 \end{array}$

由式(4)可知,ΔV(k)<0。故系统式(1)是渐进稳定的。

定理2.2 假设存在矩阵 $\bar{Ρ} > 0, \bar{Q}_{i} > 0 (i = 1, 2, \dots, n), G$ ,实数ε>0,使得下面的矩阵不等式(6)成立。

$(\begin{matrix} - \bar{Ρ} + ε D D^{Τ} & A_{0} G & [A_{i} G] & 0 & 0 \\ * & \bar{Ρ} - G^{Τ} - G & 0 & G^{Τ} E_{0}^{Τ} & [G^{Τ}] \\ * & * & {\bar{Q}_{i} - G^{Τ} - G} & G^{Τ} [E_{i}^{}]^{Τ} & 0 \\ * & * & * & - ε Ι & 0 \\ * & * & * & * & - {\bar{Q}_{i}} \end{matrix}) < 0 (5)$

则系统式(1)是渐进稳定的。

证明考虑系统(1)中的范数有界时变矩阵,不等式(3)可以表示为

$\begin{array}{l} (\begin{matrix} - Ρ & Ρ A_{0} & Ρ [A_{i}] \\ * & - Ρ + \sum_{i = 1}^{n} Q_{i} & 0 \\ * & * & - {Q_{i}} \end{matrix}) + Ψ F Σ + \\ (Ψ F Σ)^{Τ} < 0 (6) \end{array}$

式(6)中

$Σ = (\begin{matrix} Ρ D \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), Ψ = (0, E_{0}, [E_{i}])$

。

根据引理1.1,式(6)等价于

$(\begin{matrix} - Ρ + ε Ρ D D^{Τ} Ρ & Ρ A_{0} & Ρ [A_{i}] & 0 \\ * & - Ρ + \sum_{i = 1}^{n} Q_{i} & 0 & E_{0}^{Τ} \\ * & * & {- Q_{i}} & [E_{i}]^{Τ} \\ * & * & * & - ε Ι \end{matrix}) < 0 (7)$

前后乘diag(P-1,I,I,I),得到

$(\begin{matrix} - Ρ^{- 1} + ε D D^{Τ} & A_{0} & [A_{i}] & 0 \\ * & - Ρ + \sum_{i = 1}^{n} Q_{i} & 0 & E_{0}^{Τ} \\ * & * & {- Q_{i}} & [E_{i}^{}]^{Τ} \\ * & * & * & - ε Ι \end{matrix}) < 0 (8)$

将式(8)前乘和后乘diag(I,GT,GT,I)及其转置,式(8)等价于

$(\begin{matrix} - Ρ^{- 1} + ε D D^{Τ} & A_{0} G & [A_{i} G] & 0 \\ * & - G^{Τ} Ρ G + \sum_{i = 1}^{n} G^{Τ} Q_{i} G & 0 & G^{Τ} E_{0}^{Τ} \\ * & * & {- G^{Τ} Q_{i} G} & G^{Τ} [E_{i}]^{Τ} \\ * & * & * & - ε Ι \end{matrix}) < 0$

。

继续使用Schur 补,上式写成

$(\begin{matrix} - Ρ^{- 1} + ε D D^{Τ} & A_{0} G & [A_{i} G] & 0 & 0 \\ * & - G^{Τ} Ρ G & 0 & G^{Τ} E_{0}^{Τ} & [G^{Τ}] \\ * & * & {- G^{Τ} Q_{i} G} & G^{Τ} [E_{i}]^{Τ} & 0 \\ * & * & * & - ε Ι & 0 \\ * & * & * & * & - {Q_{i}^{- 1}} \end{matrix}) < 0 (9)$

注意到矩阵P>0,由文献[9]知-GTPG≤-GT-G+P-1成立,进而(9)成立的一个充分条件是

$(\begin{matrix} - Ρ^{- 1} + ε D D^{Τ} & A_{0} G & [A_{i} G] & 0 & 0 \\ * & Ρ^{- 1} - G^{Τ} - G & 0 & G^{Τ} E_{0}^{Τ} & [G^{Τ}] \\ * & * & {Q_{i}^{- 1} - G^{Τ} - G} & G^{Τ} [E_{i}]^{Τ} & 0 \\ * & * & * & - ε Ι & 0 \\ * & * & * & * & - {Q_{i}^{- 1}} \end{matrix}) < 0 (10)$

令 $\bar{Ρ} = Ρ^{- 1}, \bar{Q}_{i} = Q_{i}^{- 1}$ ,式(10)就写成不等式(5)。结合定理2.1可知,则系统式(1)是渐进稳定的。

注:定理2.2提供了系统式(1)稳定性的严格LMI判定条件。可以用matlab 中的LMI工具箱求解。而且,满足线性矩阵不等式(5)的变量矩阵个数为n+1个,而文献[8]定理1中的矩阵不等式变量为n+2个,并且含有非线性项。因此,应用定理2.2求解时提高了解的质量,具有较少的保守性。

3 鲁棒控制器设计

考虑如下不确定多时滞系统:

$x (k + 1) = (A_{0} + Δ A_{0}) x (k) + \sum_{i = 1}^{n} (A_{i} + Δ A_{i}) x (k - d_{i}) + (B_{0} + Δ B_{0}) u (k) (11)$

式(11)中 ΔB0=DFE $_{0}^{b}$ , 其他矩阵符号定义同系统式(1)。

令 $\tilde{A}_{0} = A_{0} + B_{0} Κ, Δ \tilde{A}_{0} = D F (E_{0} + E_{0}^{b} Κ)$ 。

设计一个状态反馈控制器u(k)=Kx(k),闭环系统为

$x (k + 1) = (\tilde{A}_{0} + Δ \tilde{A}_{0}) x (k) + \sum_{i = 1}^{n} (A_{i} + Δ A_{i}) x (k - d_{i}) (12)$

定理3.1 如果存在矩阵 $\bar{Ρ} > 0, \bar{Q}_{i} > 0, R, G$ 以及正数ε>0,满足下面的线性矩阵不等式:

$(\begin{matrix} \bar{Λ}_{0} & A_{0} G + B_{0} R & [A_{i} G] & 0 & 0 \\ * & \bar{Λ}_{1} & 0 & G^{Τ} E_{0}^{Τ} + R^{Τ} (E_{0}^{b})^{Τ} & [G^{Τ}] \\ * & * & \bar{Λ}_{i} & G^{Τ} [E_{i}]^{Τ} & 0 \\ * & * & * & - ε Ι & 0 \\ * & * & * & * & - {\bar{Q}_{i}} \end{matrix}) < 0 (13)$

式(13)中, $\bar{Λ}_{0} = - \bar{Ρ} + ε D^{Τ} D ‚ \bar{Λ}_{1} = \bar{Ρ} - G^{Τ} - G ‚ \bar{Λ}_{i} = {\bar{Q}_{i} - G^{Τ} - G}$ ,则闭环系统式(12)渐进稳定。

证明:在定理2.2式(5)中,用A0+B0K替换A0,E0+E $_{0}^{b}$ K替换E0,并令R=KG,即可得式(13)。证明完毕。

注:相对文献[8]之定理3,定理3.1是一个严格LMI形式,不含有非线性项,矩阵变量数量没有增加,方便了用LMI工具箱求解。这是对文献[8]之定理3的一个较大改进。

4 算例

考虑不确定时滞系统式(11),矩阵参数如下:

应用 Matlab中的LMI工具箱求解线性矩阵不等式(13),得可行解:

反馈控制器增益为

5 结束语

本文利用Lyapunov方法,对一类范数有界不确定离散多时滞系统,进行了渐进稳定性分析,获得了闭环系统渐进稳定的严格LMI充分条件,设计了时滞无关状态反馈控制器,该控制器完全基于线性矩阵不等式,无非线性项,且变量矩阵数量较少。仿真算例表明该方法的有效性。

参考文献

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离散时变时滞系统篇4

关键词：离散广义系统,凸多面体不确定性,参数依赖Lyapunov函数,时滞相关,线性矩阵不等式

1 引言

时滞现象普遍存在于工业控制系统中, 如通信、化工过程、冶金过程、环境、电力系统等, 时滞的存在常常是系统不稳定和系统性能变差的重要原因.作为时滞系统分析和综合的基本问题, 其稳定性分析受到越来越多的国内外学者的关注, 并取得了许多有价值的成果, 包括时滞无关的结论和时滞相关的结论.一般来说, 时滞无关的条件由于对任意大的时滞系统都成立, 要求条件较强, 较时滞相关的条件保守性大.因此, 人们更加倾向于对时滞相关稳定性条件的研究, 并得到很多重要的结论[1,2,3].这些稳定性条件也有被推广到参数不确定的时滞系统中, 如范数有界不确定性和凸多面体不确定性时滞系统.

针对具有凸多面体不确定性的时滞系统, 为了降低二次稳定性所带来的保守性, 参数依赖且时滞相关的稳定性条件被提了出来[4,5,6].文献[4,5]通过构造一个参数依赖的L y a p u n o v泛函, 并引入自由矩阵解除了Lyapunov矩阵与系统矩阵之间的耦合, 得到了保守性较小的参数依赖的稳定性条件, 但其所引入的自由矩阵是固定不变的;针对这种情形, 文献[6,7]通过使自由矩阵参数依赖, 得到了保守性更小的稳定性条件.另一方面, 由于广义系统能比正常系统更好地描述实际物理过程的动态, 所以自1974年广义系统被首次提出以来, 就引起了人们广泛的关注[8,9].目前, 大多数关于不确定广义时滞系统的时滞相关型稳定性结论, 是关于连续时间的广义时滞系统的[10,11].对离散时间的广义时滞系统, 这方面的研究成果还很少见报道[12], 特别是参数依赖且时滞相关的稳定性结论更少见报道.

受文献[6,7]思想的启发, 本文研究了具有凸多面体不确定性的离散时滞广义系统的稳定性问题.利用线性矩阵不等式方法, 得到了使系统正则、因果和鲁棒稳定的充分条件, 并且该稳定性条件是时滞相关且参数依赖的.最后的数值算例验证了本文方法的有效性.

2 问题描述

考虑如下具有凸多面体不确定性的离散时滞广义自治系统

其中, x (k) ∈Rn是状态变量;正整数d是未知常数时滞, 满足00是一已知正整数常量;ϕ (k) 为适当维数的向量初值函数;矩阵E∈Rn×n满足rank (E) =r≤n;矩阵Aα, Adα为不确定矩阵, 属于如下凸多面体不确定集合

其中, Ai, Adi∈Rn×n, i=1, Ls, 为已知矩阵.

定义1对任意给定的α, 如果存在常数z, 使得det (z E-Aα) ≠0, 则称 (E, Aα) 是正则的.

定义2对任意给定的α,

如果deg det (zE-Aα) =rank (E) , 则称 (E, Aα) 是因果的.

定义3对于任意的正整数d (0

3 主要结果

对任意的矩阵X, 令sym (X) =X+XT.以下定理基于线性矩阵不等式的方法给出了系统 (1) 鲁棒稳定的时滞相关的充分条件.

定理1对于任意的正整数d (0

则具有凸多面体不确定性 (2) 的离散时滞广义系统 (1) 是正则、因果且稳定的.其中

Hi=Pi+WS iWT, W∈Rn× (n-r) 为满足TEW=0的列满秩矩阵.

证明首先来证明其稳定性.选取如下参数依赖的Lyapunov-Krasovskii泛函:

其中

以下等式成立:

另外, 由系统方程可知, 对任意矩阵

以下等式成立:

令则有

因此, 沿系统 (1) 求V (k, α) 的前向差分得

其中

可知不等式 (1 2) 的最后一项是小于0的, 则如果Πα<0, ∆V (k, α) <0成立.接下来就要证明线性矩阵不等式 (3) 和 (4) 可推得Πα<0.

首先, 注意到

另一方面, 不等式 (3) 可等价为

所以由 (13) - (15) , 我们有

其中, ςT=[α1Iα2I LαsI]T, 并且Ξ由式 (4) 给出.则由不等式 (4) 和式 (2) 可推得Πα<0, 进而∆V (k, α) <0, 稳定性得证.

最后来证明其正则性和因果性.由Πα<0可以得到

对不等式 (16) 左乘以矩阵

及右乘以其转置可得

其中

◊为相应矩阵, 与下面的证明无关.因为Qα, Zα>0, 则由不等式 (17) 可得

另一方面, 因为rank (E) =r≤n, 则必存在非奇异矩阵U和V, 使得

并记

根据式 (11) 知ET HαE≥0, 对其两边分别左乘以VT及右乘以V, 可知Hα11≥0.又Hα为对称矩阵, 则有Hα12=HTα21, Hα22=HTα22.另外, 对不等式 (18) 两端分别左乘以VT及右乘以V, 可以得到

其中, ◊为相应矩阵, 与下面的证明无关,

由Hα11≥0知sym (M) <0,

所以是可逆的, 进而Aα22可逆, 则 (E, Aα) 是正则且因果的, 从而系统 (1) 是正则且因果的.证毕.

注如果给定时滞上界h, 可以通过求解线性矩阵不等式 (3) 和 (4) 的可行问题来判断系统 (1) 是否正则、因果且稳定;否则可以通过求解如下优化问题

求得使系统 (1) 正则、因果且稳定的最大时滞上界.

特别地, 在定理1中, 分别令N1i=N2i=0, Zi=εI h (ε→0) , (i=1, L, s) , 可以得到系统 (1) 的一个时滞无关的结论.

推论1对于任意的正整数d (0

则具有凸多面体不确定性 (2) 的离散时滞广义系统 (1) 是正则、因果且稳定的.其中

Hi=Pi+WS iWT, W∈Rn× (n-r) 为满足TE W=0的列满秩矩阵.

4 数值算例

考虑不确定离散时滞广义系统 (1) , 已知

在本例中取W=[0 1]T, 当给定时滞上界h=3时, 通过求解线性矩阵不等式 (3) 和 (4) 的可行问题可知该系统是正则、因果且稳定的, 并且可求得相应的Lyapunov矩阵如下:

选定不确定参数为α1=0.4, α2=0.3, α3=0.3, 可以得出系统在随机给定初始条件下, d=3时的状态x1和x2的曲线, 如图1所示.

若时滞上界未知, 则通过求解优化问题 (21) , 可得出使该系统正则、因果且稳定的最大时滞上界h=6.图2则表示了当d=6、不确定参数为α1=0.3, α2=0.5, α3=0.2时, 系统在随机给定初始条件下的状态x1和x2的曲线.

5 结束语

本文针对一类具有凸多面体不确定性的离散时滞广义系统, 基于参数依赖Lyapunov函数方法推导了其鲁棒稳定的时滞相关型充分条件, 该条件是以严格线性矩阵不等式的形式给出, 便于用M A T L A B的L M I工具箱直接求解.

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离散时变时滞系统篇5

随着现代工业生产的迅速发展,系统的可靠性日益重要和复杂。不确定性和时滞现象广泛存在于复杂的控制系统中,它们是造成闭环系统性能指标下降或系统不稳定的主要因素。因此,考虑系统部件可能发生故障的情形,研究不确定时滞系统的可靠控制更有实际意义且得到越来越多的学者关注[1,2]。但关于控制器增益变化的时滞系统的可靠控制的研究还很少见。目前大部分时滞系统的控制器设计都是只考虑系统参数的不确定性, 而未考虑控制器增益存在摄动[3,4,5]。然而,在实际系统中,控制器在实现过程中由于软件误差和硬件不确定性以及控制器本身所需的附加调整等各方面因素的存在,使得控制器增益不可避免地存在一定的误差[6],可能造成系统不再能够保持稳定或某些性能指标变差。因此,设计控制器时能将控制器参数的不确定性考虑进去,允许控制器增益在一定范围内变化是很有现实意义的[7]。

本文主要讨论在执行器故障情况下,具有控制器增益变化的离散时滞系统鲁棒H∞可靠控制问题。分别对控制器增益具有乘法式摄动和加法式摄动两种情况进行讨论。在系统模型和控制器同时存在不确定性的情况下,设计了一种状态反馈可靠控制器,使得闭环系统是渐进稳定的,且满足H∞性能指标约束。

1 问题描述

考虑不确定离散时滞系统

${\begin{cases} x (k + 1) = \bar{A} x (k) + \bar{A_{d}} x (k - d_{1}) + \bar{B} u (k) + \\ \bar{B_{d}} u (k - d_{2}) + \bar{B_{w}} w (k) \\ z (k) = \bar{C} x (k) + \bar{C_{d}} x (k - d_{1}) + \bar{D} u (k) + \\ \bar{D_{d}} u (k - d_{2}) + \bar{D_{w}} w (k) \end{cases} (1)$

式(1)中:

$\begin{array}{l} \bar{A} = A + Δ A, \bar{A_{d}} = A_{d} + Δ A_{d}, \bar{B} = B + Δ B, \bar{B_{d}} = \\ B_{d} + Δ B_{d} ； \end{array}$

$\bar{B_{w}} = B_{w} + Δ B_{w}, \bar{C} = C + Δ C, \bar{C_{d}} = C_{d} + Δ C_{d}$ ;

$\bar{D} = D + Δ D, \bar{D_{d}} = D_{d} + Δ D_{d}, \bar{D_{w}} = D_{w} + Δ D_{w}$ 。

式中:x(k)∈Rn是状态向量,u(k)∈Rm为控制向量;w(k)∈Rl为干扰信号;z(k)∈Rp为被控输出;A,Ad,B,Bd,Bw,C,Cd,D,Dd,Dw为适当维数的已知矩阵;d1>0,d2>0分别为系统的状态时滞和输入时滞,ΔA,ΔAd,ΔB,ΔBd,ΔBw,ΔC,ΔCd,ΔD,ΔDd,ΔDw为系统的参数不确定性,且满足如下匹配条件:

${\begin{cases} [Δ A Δ A_{d} Δ B Δ B_{d} Δ B_{w}] = G_{1} F_{1} (k) [E_{1} E_{2} E_{3} E_{4} E_{5}] \\ [Δ C Δ C_{d} Δ D Δ D_{d} Δ D_{w}] = G_{2} F_{2} (k) [Η_{1} Η_{2} Η_{3} Η_{4} Η_{5}] \end{cases} (2)$

式(2)中G1,G2,Ei,Hi(i=1,2,…,5)为已知适维常数矩阵,表示系统不确定性的结构信息。F1(k)和F2(k)为未知时变实函数矩阵,且满足FTj(k)Fj(k)≤I,(j=1,2),I为单位矩阵。系统初始条件为x(t)=0,k<0;x(0)=x0。

本文考虑设计如下状态反馈控制器

$u (k) = (Κ + Δ Κ) x (k) (3)$

式(3)中:K为控制器的增益,ΔK为控制器摄动。

本文将考虑如下两种形式的控制器增益摄动:

1)ΔK是范数有界的乘性摄动,即

ΔK=GaFa(k)EaK, FaT(k)Fa(k)≤I (4)

2)ΔK是范数有界的加性摄动,即

ΔK=GbFb(k)Eb,FbT(k)Fb(k)≤I (5)

式(5)中:Ga,Gb,Ea,Eb是适维常数矩阵。Fa(k)和Fb(k)为未知时变实函数矩阵。

考虑执行器可能失效情况,引入表示执行器连续故障的矩阵M,其形式为

M=diag(m1,m2,…,mp)。

其中:0≤mil≤mi≤miu。显然,当mi=0时,表示第i个执行器完全失效;当mi=1时,表示第i个执行器正常工作;当0≤mil≤mi≤miu且mi≠1时,第i个执行器部分失效;引入如下矩阵: M0=diag(m01,m02,…,m0p),J=diag(j1,j2,…,jp),

L=diag(l1,l2,…,lp),

$| L | = d i a g$ $(| l_{1} |, | l_{2} |, \dots, | l_{p} |)$ 。

其中:

$m_{0 i} = \frac{(m_{i l} + m_{i u})}{2}, j_{i} = \frac{m_{i u} - m_{i l}}{m_{i u} + m_{i l}}, l_{i} = \frac{m_{i} - m_{0 i}}{m_{0 i}} (i = 1, 2, \dots, p)$

由此可知 M=M0(I+L); $| L | \leq J \leq Ι (6)$

则含执行器故障的闭环系统可表示为

${\begin{cases} x (k + 1) = (\bar{A} + \bar{B} Μ \bar{Κ_{}}) x (k) + \bar{A_{d}} x (k - d_{1}) + \\ \bar{B_{d}} Μ \bar{Κ_{}} x (k - d_{2}) + \bar{B_{w}} w (k) \\ z (k) = (\bar{C} + \bar{D} Μ \bar{Κ_{}}) x (k) + \bar{C_{d}} x (k - d_{1}) + \\ \bar{D_{d}} Μ \bar{Κ_{}} x (k - d_{2}) + \bar{D_{w}} w (k) \end{cases} (7)$

式(7)中: $\bar{Κ} = Κ + Δ Κ$ 。

引理1[5] 设,A,B,K,E为适当维数的矩阵,矩阵KTK≤I,P是满足下式的正定对称矩阵

P-1-ηBBT>0, η>0,则有

(A+BKE)TP(A+BKE)≤AT(P-1-ηBBT)-1A+

ε-1ETE。

引理2[8] 设,X,Y为适当维数的矩阵,Q为任意实对称矩阵,则存在满足(X+Y)TP(X+Y)+Q<0的正定对称矩阵P的充分必要条件是存在正常数β>0,使得 β-1I-P>0,

XTPX+XTP(β-1I-P)-1PX+ε-1YTY+Q<0。

引理 3[9] 给定适当维数的矩阵S1,S2为适当维数常值矩阵,F为任意对称实矩阵,H(t)维数时变对角矩阵,且满足 $| Η (t) | \leq U$ ,U为正定对角矩阵,则

F+S1HS2+S1THTS2T<0 成立的充要条件是存在一个常数ζ>0,使得

F+ξS1US2+ξ-1S1TUTS2T<0。

引理4[10] 给定适当维数的矩阵X,F,Y,其中F是对称的,则 F+XHY+YTHTXT<0。

对所有满足HTH≤I矩阵H成立,当且仅当存在一个常数ε>0,使得 F+εXXT+ε-1YTY<0。

2 系统稳定性分析

为对于含执行器故障的不确定系统(7),考虑控制器增益分别存在式(4)、式(5)两种形式的摄动时,寻求状态反馈控制律K,在无外部扰动输入时,闭环故障系统(7)渐进稳定。

定理1 考虑同时具有状态和输入时滞的不确定离散系统(1),在无外界扰动输入时,当控制器增益存在乘性摄动时,若存在矩阵W和正定对称矩阵X,使得下面线性矩阵不等式成立

$[\begin{matrix} - X + Ν_{1} + Ν_{2} & 0 & 0 & X A + W^{Τ} Μ_{0} B^{Τ} & X E_{1} + W^{Τ} Μ_{0} E_{3}^{Τ} \\ \dots & - Ν_{1} & 0 & X A_{d}^{Τ} & X E_{2}^{Τ} \\ \dots & \dots & - Ν_{2} & W^{Τ} Μ_{0} B_{d}^{Τ} & W^{Τ} Μ_{0} E_{4}^{Τ} \\ \dots & \dots & \dots & ψ_{1 a} & ψ_{2 a} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & ψ_{3 a} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \end{matrix}$

$\begin{matrix} W^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & W^{Τ} E_{a}^{Τ} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & W^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & W^{Τ} E_{a}^{Τ} \\ ε_{4} B Μ_{0} G_{a} G_{a}^{Τ} J^{1 / 2} & ε_{5} B_{d} Μ_{0} G_{a} G_{a}^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & 0 \\ ε_{4} E_{3} Μ_{0} G_{a} G_{a}^{Τ} J^{1 / 2} & ε_{5} E_{4} Μ_{0} G_{a} G_{a}^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & 0 \\ - ε_{2} Ι + ε_{4} J^{1 / 2} G_{a} G_{a}^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - ε_{3} Ι + ε_{5} J^{1 / 2} G_{a} G_{a}^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & 0 \\ \dots & \dots & - ε_{4} Ι & 0 \\ \dots & \dots & \dots & - ε_{5} Ι \end{matrix}] < 0 (8)$

式(8)中:

ψ1a=-X+ε1G1GT1+ε2BM0JM0BT+ε3BdM0JM0BTd+

ε4BM0GaGTaM0BT+ε5BdM0GaGTaM0BTd;

ψ2a=ε2BM0JM0ET3+ε3BdM0JM0ET4+ε4BM0GaGTaM0ET3+

ε5BdM0GaGaTM0ET4;

ψ3a=-ε1I+ε2E3M0JM0ET3+ε3E4M0JM0ET4+

ε4E3M0GaGTaM0ET3+ε5E4M0GaGTaM0ET4。

则含执行器故障的闭环系统式(7)是渐进稳定的,其状态反馈增益矩阵为K=WX-1。

证明对闭环故障系统式(7),取Lyapunov函数为

$\begin{array}{l} V (x (k), k) = x^{Τ} (k) Ρ x (k) + \\ \sum_{i_{1} = 1}^{d_{1}} x^{Τ} (k - i_{1}) R_{1} x (k - i_{1}) + \\ \sum_{i_{2} = 1}^{d_{2}} x^{Τ} (k - i_{2}) R_{2} x (k - i_{2}) (9) \end{array}$

式(9)中P为正定矩阵,R1,R2为待定半正定矩阵。当干扰输入为零时,对闭环系统式(7)求差分得

ΔV(x(k),k)=V(x(k+1),(k+1))-V(x(k),k)=

$\begin{array}{l} [(\bar{A} + \bar{B} Μ Κ \bar{_{}}) x (k) + \bar{A_{d}} x (k - d_{1}) + \\ \bar{B_{d}} Μ \bar{Κ} x (k - d_{2})]^{Τ} Ρ [(\bar{A} + \bar{B} Μ \bar{Κ_{}}) x (k) + \\ \bar{A_{d}} x (k - d_{1}) + \bar{B_{d}} Μ \bar{Κ_{}} x (k - d_{2})] - \end{array}$

xT(k)Px(k)+xT(k)(R1+R2)x(k)-

xT(k-d1)R1x(k-d1)-xT(k-d2)

R2x(k-d2) (10)

因为[ΔAΔAdΔBΔBd]=G1F1(k)[E1E2E3E4 ],F1T(k)F1(k)≤I,应用引理1和引理2,有

ΔV(x(k),k)≤

[xT(k)xT(k-d1)xT(k-d2)]∑[xT(k)xT(k-

d1)xT(k-d2)]T <0 (11)

则故障闭环系统式(7)是鲁棒渐进稳定。

式(11)中

$\begin{array}{l} \sum = [\begin{matrix} (A + B Μ \bar{Κ_{}})^{Τ} \\ A_{d}^{Τ} \\ (B_{d} Μ \bar{Κ_{}})^{Τ} \end{matrix}] (Ρ^{- 1} - ε_{1} G_{1} G_{1}^{Τ})^{- 1} [\begin{matrix} (A + B Μ \bar{Κ_{}})^{Τ} \\ A_{d}^{Τ} \\ (B_{d} Μ \bar{Κ_{}})^{Τ} \end{matrix}]^{Τ} + \\ ε_{1}^{- 1} [\begin{matrix} (E_{1} + E_{3} Μ \bar{Κ_{}})^{Τ} \\ E_{2}^{Τ} \\ (E_{4} Μ \bar{Κ_{}})^{Τ} \end{matrix}] [\begin{matrix} (E_{1} + E_{3} Μ \bar{Κ_{}})^{Τ} \\ E_{2}^{Τ} \\ (E_{4} Μ \bar{Κ_{}})^{Τ} \end{matrix}]^{Τ} + \\ [\begin{matrix} - Ρ + R_{1} + R_{2} & 0 & 0 \\ 0 & - R_{1} & 0 \\ 0 & 0 & - R_{2} \end{matrix}] (12) \end{array}$

式(11)成立等价于

$[\begin{matrix} - Ρ + R_{1} + R_{2} & 0 & 0 & (A + B Μ \bar{Κ})^{Τ} & (E_{1} + E_{3} Μ \bar{Κ})^{Τ} \\ \dots & - R_{1} & 0 & A_{d}^{Τ} & E_{2}^{Τ} \\ \dots & \dots & - R_{2} & (B_{d} Μ \bar{Κ})^{Τ} & (E_{4} Μ \bar{Κ})^{Τ} \\ \dots & \dots & \dots & - Ρ^{- 1} + ε_{1} G_{1} G_{1}^{Τ} & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & - ε_{1} Ι \end{matrix}] < 0 (13)$

将执行器故障M=M0(I+L)和控制器 $\bar{Κ} = Κ + Δ Κ ‚ Δ Κ = G_{a} F_{a} (k) E_{a} Κ$ 代入式(13),并先后运用引理3、引理4和Schur 补定理,可知存在ε2>0,ε3>0,ε4>0,ε5>0使得

$\begin{array}{l} [\begin{matrix} - Ρ + R_{1} + R_{2} & 0 & 0 & (A + B Μ_{0} Κ)^{Τ} & (E_{1} + E_{3} Μ_{0} Κ)^{Τ} \\ \dots & - R_{1} & 0 & A_{d}^{Τ} & E_{2}^{Τ} \\ \dots & \dots & - R_{2} & (B_{d} Μ_{0} \bar{Κ})^{Τ} & (E_{4} Μ_{0} \bar{Κ})^{Τ} \\ \dots & \dots & \dots & ψ_{1} & ψ_{2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & ψ_{3} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \end{matrix} \\ \begin{matrix} Κ^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & Κ^{Τ} E_{a}^{Τ} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & Κ^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & Κ^{Τ} E_{a}^{Τ} \\ ε_{4} B Μ_{0} G_{a} G_{a}^{Τ} J^{1 / 2} & ε_{5} B_{d} Μ_{0} G_{a} G_{a}^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & 0 \\ ε_{4} E_{3} Μ_{0} G_{a} G_{a}^{Τ} J^{1 / 2} & ε_{5} E_{4} Μ_{0} G_{a} G_{a}^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & 0 \\ - ε_{2} Ι + ε_{4} J^{1 / 2} G_{a} G_{a}^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & 0 & 0 \\ \dots & - ε_{3} Ι + ε_{5} J^{1 / 2} G_{a} G_{a}^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & 0 \\ \dots & \dots & - ε_{4} Ι & 0 \\ \dots & \dots & \dots & - ε_{5} Ι \end{matrix}] < 0 (14) \end{array}$

式(14)中:

ψ1=-P-1+ε1G1GT1+ε2BM0JM0BT+ε3BdM0JM0BTd+

ε4BM0GaGTaM0BT+ε5BdM0GaGTaM0BTd;

ψ2=ε2BM0JM0ET3+ε3BdM0JM0ET4+ε4BM0GaGTaM0ET3+

ε5BdM0GaGaTM0ET4;

ψ3=-ε1I+ε2E3M0JM0ET3+ε3E4M0JM0ET4+

ε4E3M0GaGTaM0ET3+ε5E4M0GaGTaM0ET4。

对式(14)分别左乘右乘diag(P-1,P-1,P-1,I,I,I,I,I,I),并令X=P-1,W=KX,N1=P-1R1P-1,N2=P-1R2P-1, 整理后即可得到矩阵不等式(8)。定理1得证。

推论1 考虑同时具有状态和输入时滞的不确定离散系统式(1),在无外界扰动输入时,当控制器增益存在加性摄动时,若存在矩阵W和正定对称矩阵X,使得下面线性矩阵不等式成立,

$\begin{matrix} [\begin{matrix} - X + Ν_{1} + Ν_{2} & 0 & 0 & X A + W^{Τ} Μ_{0} B^{Τ} & X E_{1} + W^{Τ} Μ_{0} E_{3}^{Τ} \\ \dots & - Ν_{1} & 0 & X A_{d}^{Τ} & X E_{2}^{Τ} \\ \dots & \dots & - Ν_{2} & W^{Τ} Μ_{0} B_{d}^{Τ} & W^{Τ} Μ_{0} E_{4}^{Τ} \\ \dots & \dots & \dots & ψ_{1 b} & ψ_{2 b} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & ψ_{3 b} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \end{matrix} \\ \begin{matrix} W^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & X E_{b}^{Τ} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & W^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & X E_{b}^{Τ} \\ ε_{4} B Μ_{0} G_{b} G_{b}^{Τ} J^{1 / 2} & ε_{5} B_{d} Μ_{0} G_{b} G_{b}^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & 0 \\ ε_{4} E_{3} Μ_{0} G_{b} G_{b}^{Τ} J^{1 / 2} & ε_{5} E_{4} Μ_{0} G_{b} G_{b}^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & 0 \\ - ε_{2} Ι + ε_{4} J^{1 / 2} G_{b} G_{b}^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & 0 & 0 \\ \dots & - ε_{3} Ι + ε_{5} J^{1 / 2} G_{b} G_{b}^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & 0 \\ \dots & \dots & - ε_{4} Ι & 0 \\ \dots & \dots & \dots & - ε_{5} Ι \end{matrix}] < 0 \end{matrix} (15)$

式(15)中:

ψ1b=-X+ε1G1GT1+ε2BM0JM $_{0}^{}$ BT+ε3BdM0JM $_{0}^{}$ BTd+

ε4BM0GbGTbM $_{0}^{}$ BT+ε5BdM0GbGTbM $_{0}^{}$ BTd;

ψ2b=ε2BM0JM $_{0}^{}$ ET3+ε3BdM0JM $_{0}^{}$ ET4+ε4BM0GbGTbM $_{0}^{}$ ET3+

ε5BdM0GbGTbM $_{0}^{}$ ET4;

ψ3b=-ε1I+ε2E3M0JM $_{0}^{}$ ET3+ε3E4M0JM $_{0}^{}$ ET4+

ε4E3M0GbGTbM $_{0}^{}$ ET3+ε5E4M0GbGTbM $_{0}^{}$ ET4。

则含执行器故障的闭环系统式(7)是渐进稳定的,其状态反馈增益矩阵为K=WX-1。

3 鲁棒H∞可靠控制器设计

对于闭环故障系统式(7),考虑控制器增益分别存在式(4)、式(5)两种形式的摄动时,寻求状态反馈控制律K,在外部扰动输入不为零时,从干扰输入到被控输出的传递函数Twz(γ)的H∞范数满足‖Twz(γ)‖∞≤γ1。

定理2 考虑不确定时滞闭环系统式(7),外部干扰输入不为零,当控制器增益存在乘性摄动时,对于给定的干扰衰减指标γ1>0,若存在矩阵W和正定对称矩阵X,满足

$[\begin{matrix} Φ & 0 & 0 & 0 & X A + W^{Τ} Μ_{0} B^{Τ} & X C + W^{Τ} Μ_{0} D^{Τ} & X E_{1} + W^{Τ} Μ_{0} E_{3}^{Τ} \\ \dots & - Ν_{1} & 0 & 0 & X A_{d}^{Τ} & X C_{d}^{Τ} & X E_{2}^{Τ} \\ \dots & \dots & - Ν_{2} & 0 & W^{Τ} Μ_{0} B_{d}^{Τ} & W^{Τ} Μ_{0} D_{d}^{Τ} & W^{Τ} Μ_{0} E_{4}^{Τ} \\ \dots & \dots & \dots & - γ^{2} Ι & B_{w}^{Τ} & D_{w}^{Τ} & E_{5}^{Τ} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & Λ_{1 a} & Λ_{2 a} & Λ_{3 a} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & Λ_{5 a} & Λ_{6 a} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & Λ_{8 a} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \end{matrix}$

$\begin{matrix} X Η_{1} + W^{Τ} Μ_{0} Η_{3}^{Τ} & W^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & W^{Τ} E_{a}^{Τ} & 0 \\ X Η_{2}^{Τ} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ W^{Τ} Μ_{0} Η_{4}^{Τ} & 0 & W^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & W^{Τ} E_{a}^{Τ} \\ Η_{5}^{Τ} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ Λ_{4 a} & ε_{5} B Μ_{0} G_{a} G_{a}^{Τ} J^{1 / 2} & ε_{6} B_{d} Μ_{0} G_{a} G_{a}^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & 0 \\ Λ_{7 a} & ε_{5} D Μ_{0} G_{a} G_{a}^{Τ} J^{1 / 2} & ε_{6} D_{d} Μ_{0} G_{a} G_{a}^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & 0 \\ Λ_{9 a} & ε_{5} E_{3}^{} Μ_{0} G_{a} G_{a}^{Τ} J^{1 / 2} & ε_{6} E_{4}^{} Μ_{0} G_{a} G_{a}^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & 0 \\ Λ_{10 a} & ε_{5} Η_{3}^{} Μ_{0} G_{a} G_{a}^{Τ} J^{1 / 2} & ε_{6} Η_{4}^{} Μ_{0} G_{a} G_{a}^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & 0 \\ \dots & - ε_{3} Ι + ε_{5} J^{1 / 2} G_{a} G_{a}^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & 0 & 0 \\ \dots & \dots & - ε_{4} Ι + ε_{6} J^{1 / 2} G_{a} G_{a}^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & - ε_{5} Ι & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & - ε_{6} Ι \end{matrix}] < 0 (16)$

式(16)中:Φ=-X+N1+N2;

Λ1a=-X+ε1G1GT1+ε3BM0JM $_{0}^{}$ BT+ε4BdM0JM $_{0}^{}$ BTd+

ε5BM0GaGTaM $_{0}^{}$ BT+ε6BdM0GaGTaM $_{0}^{}$ BTd;

Λ2a=ε3BM0JM $_{0}^{}$ DT+ε4BdM0JM $_{0}^{}$ DTd+ε5BM0GaGTaM $_{0}^{}$ DT+

ε6BdM0GaGTaM $_{0}^{}$ DTd;

Λ3a=ε3BM0JM $_{0}^{}$ ET3+ε4BdM0JM $_{0}^{}$ ET4+ε5BM0GaGTaM $_{0}^{}$ ET3+

ε6BdM0GaGTaM $_{0}^{}$ ET4;

Λ4a=ε3BM0JM $_{0}^{}$ HT3+ε4BdM0JM $_{0}^{}$ HT4+ε5BM0GaGTaM $_{0}^{}$ HT3+

ε6BdM0GaGTaM $_{0}^{}$ HT4;

Λ5a=-I+ε2G2GT2+ε3DM0JM $_{0}^{}$ DT+ε4DdM0JM $_{0}^{}$ DTd+

ε5DM0GaGTaM $_{0}^{}$ DT+ε6DdM0GaGTaM $_{0}^{}$ DTd;

Λ6a=ε3DM0JM $_{0}^{}$ ET3+ε4DdM0JM $_{0}^{}$ ET4+ε5DM0GaGTaM $_{0}^{}$ ET3+

ε6DdM0GaGTaM $_{0}^{}$ ET4,

Λ7a=ε3DM0JM $_{0}^{}$ HT3+ε4DdM0JM $_{0}^{}$ HT4+ε5DM0GaGTaM $_{0}^{}$ HT3+

ε6DdM0GaGTaM $_{0}^{}$ HT4;

Λ8a=-ε1I+ε3E3M0JM $_{0}^{}$ ET3+ε4E4M0JM $_{0}^{}$ ET4+

ε5E $_{3}^{}$ M0GaGTaM $_{0}^{}$ ET3+ε6E $_{4}^{}$ M0GaGTaM $_{0}^{}$ ET4;

Λ9a=ε3E3M0JM $_{0}^{}$ HT3+ε4E4M0JM $_{0}^{}$ HT4+ε5E $_{3}^{}$ M0GaGTaM $_{0}^{}$ HT3+

ε6E $_{4}^{}$ M0GaGTaM $_{0}^{}$ HT4;

Λ10a=-ε2I+ε3H3M0JM $_{0}^{}$ HT3+ε4H4M0JM $_{0}^{}$ HT4+

ε5H $_{3}^{}$ M0GaGTaM $_{0}^{}$ HT3+ε6H $_{4}^{}$ M0GaGTaM $_{0}^{}$ HT4。

则存在H∞可靠控制器使得闭环系统(7)渐进稳定,且满足‖Twz(γ)‖∞≤γ1的约束。其控制器为K=WX-1。

证明引入和定理1相同的Lyapunov函数,在零初始条件和存在外部扰动输入时,若有

$\sum_{k = 0}^{\infty} [z^{Τ} (k) z (k) - γ_{1}^{2} w^{Τ} (k) w (k) + Δ V (x (k), k)] < 0 (17)$

则闭环系统不仅鲁棒渐进稳定,且满足H∞性能指标约束。即只需要

zT(k)z(k)-γ12wT(k)w(k)+ΔV(x(k),k)<0 (18)

即可。将闭环故障系统式(7)带入式(18)并进行化简即可得到式(16),具体证明过程同定理1。

推论2 考虑不确定时滞闭环系统式(7),外部干扰输入不为零,当控制器增益存在加性摄动时,对于给定的干扰衰减指标γ1>0,若存在矩阵W和正定对称矩阵X,满足

$\begin{array}{l} [\begin{matrix} Φ & 0 & 0 & 0 & X A + W^{Τ} Μ_{0} B^{Τ} & X C + W^{Τ} Μ_{0} D^{Τ} & X E_{1} + W^{Τ} Μ_{0} E_{3}^{Τ} \\ \dots & - Ν_{1} & 0 & 0 & X A_{d}^{Τ} & X C_{d}^{Τ} & X E_{2}^{Τ} \\ \dots & \dots & - Ν_{2} & 0 & W^{Τ} Μ_{0} B_{d}^{Τ} & D_{w}^{Τ} & W^{Τ} Μ_{0} E_{4}^{Τ} \\ \dots & \dots & \dots & - γ^{2} Ι & B_{w}^{Τ} & Λ_{2 b} & E_{5}^{Τ} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & Λ_{1 b} & Λ_{5 b} & Λ_{3 b} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & Λ_{6 b} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & Λ_{8 b} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \end{matrix} \\ \begin{matrix} X Η_{1} + W^{Τ} Μ_{0} Η_{3}^{Τ} & W^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & X E_{b}^{Τ} & 0 \\ X Η_{2}^{Τ} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ W^{Τ} Μ_{0} Η_{4}^{Τ} & 0 & W^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & X E_{b}^{Τ} \\ Η_{5}^{Τ} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ Λ_{4 b} & ε_{5} B Μ_{0} G_{b} G_{b}^{Τ} J^{1 / 2} & ε_{6} B_{d} Μ_{0} G_{b} G_{b}^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & 0 \\ Λ_{7 b} & ε_{5} D Μ_{0} G_{b} G_{b}^{Τ} J^{1 / 2} & ε_{6} D_{d} Μ_{0} G_{b} G_{b}^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & 0 \\ Λ_{9 b} & ε_{5} E_{3}^{} Μ_{0} G_{b} G_{b}^{Τ} J^{1 / 2} & ε_{6} E_{4}^{} Μ_{0} G_{b} G_{b}^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & 0 \\ Λ_{10 b} & ε_{5} Η_{3}^{} Μ_{0} G_{b} G_{b}^{Τ} J^{1 / 2} & ε_{6} Η_{4}^{} Μ_{0} G_{b} G_{b}^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & 0 \\ \dots & - ε_{3} Ι + ε_{5} J^{1 / 2} G_{b} G_{b}^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & 0 & 0 \\ \dots & \dots & - ε_{4} Ι + ε_{6} J^{1 / 2} G_{b} G_{b}^{Τ} J^{1 / 2} & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & - ε_{5} Ι & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & - ε_{6} Ι \end{matrix}] < 0 (19) \end{array}$

式(19)中:

Λ1b=-X+ε1G1GT1+ε3BM0JM $_{0}^{}$ BT+ε4BdM0JM $_{0}^{}$ BTd+

ε5BM0GbGTbM $_{0}^{}$ BT+ε6BdM0GbGTbM $_{0}^{}$ BTd;

Λ2b=ε3BM0JM $_{0}^{}$ DT+ε4BdM0JM $_{0}^{}$ DTd+ε5BM0GbGTbM $_{0}^{}$ DT+

ε6BdM0GbGTbM $_{0}^{}$ DTd;

Λ3b=ε3BM0JM $_{0}^{}$ ET3+ε4BdM0JM $_{0}^{}$ ET4+ε5BM0GbGTbM $_{0}^{}$ ET3+

ε6BdM0GbGTbM $_{0}^{}$ ET4;

Λ4b=ε3BM0JM $_{0}^{}$ HT3+ε4BdM0JM $_{0}^{}$ HT4+ε5BM0GbGTbM $_{0}^{}$ HT3+

ε6BdM0GbGTbM $_{0}^{}$ HT4;

Λ5b=-I+ε2G2GT2+ε3DM0JM $_{0}^{}$ DT+ε4DdM0JM $_{0}^{}$ DTd+

ε5DM0GbGTbM $_{0}^{}$ DT+ε6DdM0GbGTbM $_{0}^{}$ DTd;

Λ6b=ε3DM0JM $_{0}^{}$ ET3+ε4DdM0JM $_{0}^{}$ ET4+ε5DM0GbGTbM $_{0}^{}$ ET3+

ε6DdM0GbGTbM $_{0}^{}$ ET4;

Λ7b=ε3DM0JM $_{0}^{}$ HT3+ε4DdM0JM $_{0}^{}$ HT4+ε5DM0GbGTbM $_{0}^{}$ HT3+

ε6DdM0GbGTbM $_{0}^{}$ HT4;

Λ8b=-ε1I+ε3E3M0JM $_{0}^{}$ ET3+ε4E4M0JM $_{0}^{}$ ET4+

ε5E $_{3}^{}$ M0GbGTbM $_{0}^{}$ ET3+ε6E $_{4}^{}$ M0GbGTbM $_{0}^{}$ ET4;

Λ9b=ε3E3M0JM $_{0}^{}$ HT3+ε4E4M0JM $_{0}^{}$ HT4+

ε5E $_{3}^{}$ M0GbGTbM $_{0}^{}$ HT3+ε6E $_{4}^{}$ M0GbGTbM $_{0}^{}$ HT4;

Λ10b=-ε2I+ε3H3M0JM $_{0}^{}$ HT3+ε4H4M0JM $_{0}^{}$ HT4+

ε5H $_{3}^{}$ M0GbGTbM $_{0}^{}$ HT3+ε6H $_{4}^{}$ M0GbGTbM $_{0}^{}$ HT4。

则存在H∞可靠控制器使得闭环系统(7)渐进稳定,且满足‖Twz(γ)‖∞≤γ1的约束。其控制器为K=WX-1。

4 仿真实例

考虑不确定时滞系统式(1),其系统模型参数为

Ad=diag ${\begin{matrix} 0.06 & 0.02 \end{matrix}}$ , Bd=diag ${\begin{matrix} 0.03 & 0.04 \end{matrix}}$ ,Cd=diag ${\begin{matrix} 0.02 & 0.02 \end{matrix}}$ ,Dd=diag ${\begin{matrix} 0.01 & 0.01 \end{matrix}}$ ,Bw=diag ${\begin{matrix} 0.03 & 0.01 \end{matrix}}$ , Dw=diag ${\begin{matrix} 0.02 & 0.06 \end{matrix}}$ 。系统的不确定参数矩阵为

$G_{1} = d i a g {\begin{matrix} 0.01 & 0.02 \end{matrix}}$ , $G_{2} = d i a g {\begin{matrix} 0.03 & 0.04 \end{matrix}}$ , $E_{1} = d i a g {\begin{matrix} 0.12 & 0.13 \end{matrix}}$ , $E_{2} = d i a g {\begin{matrix} 0.14 & 0.12 \end{matrix}}$ , $E_{3} = d i a g {\begin{matrix} 0.05 & 0.01 \end{matrix}}$ , $E_{4} = d i a g {\begin{matrix} 0.01 & 0.15 \end{matrix}}$ , $E_{5} = d i a g {\begin{matrix} 0.11 & 0.02 \end{matrix}}$ , $Η_{1} = d i a g {\begin{matrix} 0.22 & 0.21 \end{matrix}}$ , $Η_{2} = d i a g {\begin{matrix} 0.11 & 0.22 \end{matrix}}$ , $Η_{3} = d i a g {\begin{matrix} 0.05 & 0.11 \end{matrix}}$ , $Η_{4} = d i a g {\begin{matrix} 0.21 & 0.07 \end{matrix}}$ , $Η_{5} = d i a g {\begin{matrix} 0.13 & 0.06 \end{matrix}}$ ,Ga=Gb=diag ${\begin{matrix} 0.12 & 0.11 \end{matrix}}$ ,Ea=diag ${\begin{matrix} 0.06 & 0.05 \end{matrix}}$ ,Eb=diag ${\begin{matrix} 0.16 & 0.15 \end{matrix}}$ 。

执行器故障模型取为

ML=diag ${\begin{matrix} 0.9 & 0.85 \end{matrix}}$ ,MU=diag ${\begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix}}$ 。

通过计算可得

$Μ_{0} = d i a g {\begin{matrix} 0.95 & 0.925 \end{matrix}}$ ,J=diag ${\begin{matrix} 0.052 6 & 0.081 1 \end{matrix}}$ 。

当外界有干扰输入时,取干扰衰减指数为γ1=1.5,

(1)当增益矩阵存在乘性摄动时,由定理2可得H∞可靠控制器为

$Κ = [\begin{matrix} - 0.558 6 & 0.479 2 \\ - 1.525 3 & 1.174 2 \end{matrix}];$

(2)当增益矩阵存在加性摄动时,由推论2可得H∞可靠控制器为

5 结论

本文研究了当系统模型和控制器增益同时存在摄动时离散时滞系统的H∞可靠控制器的设计问题。充分考虑到实际系统中控制器增益经常存在的不确定性情况,分别给出了控制器增益存在加性摄动和乘性摄动时H∞可靠控制器存在的充分条件,得到的控制器不仅能够保持系统稳定,而且能够满足H∞范数界约束。本文的方法可推广到传感器故障情形。

摘要：研究了具有控制器增益变化的离散时滞系统鲁棒H∞可靠控制问题。在考虑更一般、更实际的执行器连续故障模型的基础上,分别给出了系统控制器具有乘性摄动和加性摄动时的H∞可靠控制器存在的充分条件;设计的可靠控制器不仅能够保证系统稳定,且满足H∞性能约束。最后仿真实例说明了方法的有效性。

关键词：可靠控制,时滞系统,增益摄动,鲁棒控制,H∞控制

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