离散变量（共8篇）
离散变量 篇1
离散型随机变量的综合应用主要涉及到分布列、期望、方差,其难点是在具体问题中,如何确立随机变量,解题的关键和主要过程是运用已经学过的排列、组合和概率知识,建立起随机变量的分布列,再解决相关的题型.
一.离散型随机变量的概率分布
例1从装有6个白球,4个黑球和2个黄球的箱子中随机地取出两个球,规定每取出一个黑球赢2元,而每取出一个白球输1元,取出黄球无输赢,以X表示赢得的钱数,随机变量X可以取哪些值呢?求X的概率分布.
思路点拨:先分析取两个球可能出现的所有情况,再用随机变量表示,最后由古典概型的概率计算公式求出概率,写出概率分布.
解:从箱子中取两个球的情形有以下六种:2白,1白1黄,1白1黑,2黄,1黑1黄,2黑,
当取到2白时,结果输2元,随机变量X=-2;
当取到1白1黄时,输1元,随机变量X=-1;
当取到1白1黑时,随机变量X=1;当取到2黄时,随机变量X=0;当取到1黑1黄时,随机变量X=2;
当取到2黑时,随机变量X=4.
则X的可能取值为-2、-1、0、1、2、4.
因为
则得到X的概率分布如表1.
点评:求概率分布的关键是准确写出随机变量的取值及其每个值的概率,而求变量取值的概率的关键是理解清楚变量取每个值所对应的随机事件是什么,另外求出随机变量的概率分布后可以用概率分布的相关性质对结果进行检验.
二、离散型随机变量概率分布性质的应用例2设随机变量X的概率分布P(X=
例2设随机变量X的概率分布P(X=(k=1,2,3,4,5),(1)求常数a的值;(2)求P().
思路点拨:根据概率分布的第二条性质可以求出a,再根据随机变量取值表示的事件是互斥事件求出·
解:(1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得到;
(2)因为只有满足,所以
点评:概率分布的有关性质是对所求概率分布进行检验或者对有关参数进行求值的依据.,
三、离散型随机变量的均值
例3某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为
商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润,(2)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);(2)求η的分布列及期望Eη.
思路点拨:(1)“至少有1位采用1期付款”的对立事件为“全部都不采用1期付款”,由相互独立的概率公式可求.(2)η的取值为200,250,300,P(η=200)=P(ξ=1)=0.4,P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3);P(η=300)=P(ξ=4)+P(ξ=5).
解析:(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”,知A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”.
P()=(1-0.4)2=0.216,P(A)=1-P()=1-0.216=0.784.
(2)η的可能取值为200元,250元,300元.
η的分布列为
所以Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2.
点评:解答这类问题时,应该首先把实际问题概率模型化,然后利用有关概率知识去分析相应各事件可能性的大小,并列出概率分布,最后利用公式求出相应的概率.
四、离散型变量的概率、方差的综合应用
例4甲、乙两人射击,甲射击1次中靶的概率是P1,乙射击1次中靶的概率是P2,且,是方程x2-5x+6=0的两个实根,已知甲射击5次,中靶次数的方差是,(1)求P1、P2的值;(2)若两人各射击2次,至少中靶3次就算完成目的,则完成目的的概率是多少?(3)若两人各射击1次,至少中.靶1次就算完成目的,则完成目的的概率是多少?
思路点拨:(1)由于射击5次是相互独立的,故甲中靶次数X甲～B(5,P1),从而由,可以求出P1的值,然后利用根与系数的关系把P求出;(2)中靶3次包含甲中2次,乙中1次以及甲中1次,乙中2次两种情况,显然这两类事件互斥;(3)“至少”的对立面为“最多”,故用对立事件比较容易完成本题.
解:(1)根据题意知道X甲～B(5,P1),所以,所以,解得,所以P2=
(2)两类情况:共击中3次的概率为
点评:解答此类问题的关键在于正确分析事件间的关系,是互斥、对立还是独立重复,然后结合事件间的关系,选择相应的运算公式,在解答过程中应该注意知识间的融合形式,以简化解题过程,提高解题能力.
离散变量 篇2
有这样一个问题：一名工人要看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照顾的概率对于第一台是0.9,第二台是0.8，第三台是0.85.求在一小时内机床不需要工人照顾的机床的台数ξ的数学期望.
一般解法如下：设三台机床在一小时内不需要照顾分别为事件A、B、C，则P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85. 可计算出：P（ξ=0)=0.003,P（ξ=1)=0.056,P（ξ=2)=0.329,P（ξ=3)=0.612,所以Eξ=0·P(ξ=0)+1·P(ξ=1)+2·P(ξ=2)+3·P(ξ=3)=2.55
我们发现：0.9+0.8+0.85=2.55,即随机变量ξ的数学期望等于每个事件单独发生的概率之和！这是一种巧合，还是一种必然？
为了探求一般性结论，我们设P（A）=a,P(B)=b,P(C)=c. 分别可求：
P（ξ=0）=P（）·P（）·P（）=（1-a)(1-b)(1-c)
P（ξ=1）=P（A）·P（）·P（）+P（）·P(B)·P（）+P（）·P（）·P（C）=a（1-b)(1-c)+b(1-a)(1-c)+c(1-a)(1-b)
P（ξ=2）=P（A）·P（B）·P（）+P（A）·P()·P（C）+P（）·P（B）·P（C）=ab（1-c)+ac(1-b)+bc(1-a)
P（ξ=3）=P（A）·P（B）·P（C）=abc
进而求得Eξ=0·P(ξ=0)+1·P(ξ=1)+2·P(ξ=2)+3·P(ξ=3)=a+b+c.
从以上推导的结论可看出，前述“随机变量ξ的数学期望等于每个事件单独发生的概率之和”是一种必然结果！
2 期望公式及证明
通过进一步的研究，我们可以得到更一般的结论，下面以定理的形式给出：
3 本文定理与服从二项分布的随机变量的期望的关系
可见，n次独立重复试验是本文定理中所述试验的特例，那么，服从二项分布的随机变量的期望公式是本文定理中所述期望公式的特例，反过来，本文定理中所述期望公式是服从二项分布的随机变量的期望公式更一般的情形.
4 定理的应用举例
本文定理内容所述试验是一类常见试验，故定理的结论具有广泛的应用性.下面举几例.
例1 若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为23，乙解出该题的概率为45，设解出该题的人数为ξ，求Eξ.
例3 （2005年高考福建卷）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与25，投中得1分，投不中得0分.甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望.
解 因为投中得1分，投不中得0分，所以两人得分之和ξ就是投中的次数.根据本文定理，Eξ=12+25=910=0.9（次）
例4 （2003年高考辽宁卷）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3.按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率A1对B12313A2对B22535A3对B32535现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后总分分别为ξ、η.
（1）求ξ、η的概率分布；
（2）求Eξ、Eη.
解 （1）略；（2）因为每场胜队得1分，负队得0分，所以A队最后总分ξ即为A队胜的次数.根据本文定理，Eξ=23+25+25=2215（分）；同理可求Eη=13+35+35=2315(分).
作者简介 曾令刚，男，37岁，中学数学高级教师.曾主讲研究课《高考创新试题探究》，并有多篇论文在省级刊物上发表.
感受离散型随机变量问题新题型 篇3
一、以函数图象为载体求随机变量分布
例1 (2013年高考北京卷 (理) ) 图1是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图, 空气质量指数小于100表示空气质量优良, 空气质量指数大于200表示空气重度污染, 某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市, 并停留2天.
(Ⅰ) 求此人到达当日空气重度污染的概率;
(Ⅱ) 设X是此人停留期间空气质量优良的天数, 求X的分布列与数学期望;
(Ⅲ) 由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大? (结论不要求证明)
(Ⅰ) 设B为事件“此人到达当日空气重度污染”, 则B=A5∪A8, 所以
(Ⅲ) 从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
点评:借助函数图象 (散点图) , 求出事件的概率, 把随机变量用事件表示出来, 求出随机变量相应的概率, 完成分布列.
二、以平面图形为载体求随机变量分布
例2 (2013年高考湖南卷 (理) ) 某人在如图2所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点 (指纵、横的交叉点以及三角形的顶点) 处都种了一株相同品种的作物, 根据历年的种植经验, 一株该种作物的年收获量Y (单位:kg) 与它的“相近”作物株数X之间的关系如表1所示:
这里, 两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.
(Ⅰ) 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物, 求它们恰好“相近”的概率;
(Ⅱ) 从所种作物中随机选取一株, 求它的年收获量的分布列与数学期望.
点评:随机变量各种结果与已知的图形有关, 要充分利用平面图形的特点, 准确求出相应变量概率, 完成分布列.
三、以算法框图为载体求随机变量分布
例3 (2013年高考四川卷 (理) ) 某算法的程序框图如图3所示, 其中输入的变量x在1, 2, 3, …, 24这24个整数中等可能随机产生.
(Ⅰ) 分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi (i=1, 2, 3) .
(Ⅱ) 甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解, 各自编写程序重复运行n次后, 统计记录了输出y的值为i (i=1, 2, 3) 的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.
当n=2100时, 根据表中的数据, 分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i (i=1, 2, 3) 的频率 (用分数表示) , 并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.
(Ⅲ) 按程序框图正确编写的程序运行3次, 求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望.
比较频率趋势与概率, 可得出乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大.
离散变量 篇4
人民教育出版社中数室 田载今
随机变量是因随机试验结果的变化而变化的量．由于随机试验的结果是事先无法确定的，所以表示随机试验结果的量要因结果的不同而变化，这样的量当然属于随机变量．随机变量的本质是定义在样本空间Ω上的一个映射，它把试验结果映为实数，即其中，且对任意实数x，由满足
R，的基本事件所组成的集合也是一个事件．
引入随机变量的概念，其作用不仅是把随机试验的结果数量化从而带来表示方法的简化，更重要的是把对随机现象统计规律的研究数学化，从而可以利用数学方法研究随机现象的规律性，其中对随机变量的概率分布的研究是实现这种转化的关键．
如果样本空间是可数的，即量的取值
或，则随机变也可以一一列出，这样的随机变量即离散型随机变量．离散型随机变量比连续型随机变量更容易理解，它是高中数学学习的主要随机变量类型．
一般地，关于离散型随机变量的教学目标大多规定为：
通过具体实例，归纳概括离散型随机变量的特征，得出离散型随机变量的概念；
体会引入随机变量的作用；
渗透将实际问题转化为数学问题进行随机分析的思想方法．
目前的高中数学教材中，离散型随机变量和离散型随机变量的分布列大都先后出现在两个小节中的内容．从教师教学用书中所附的教学设计案例和一般的实际教学过程看，将这两个内容分在两节课中学习是一般的教学安排．在这部分内容的第一课时中，通常只安排关于离散型随机变量概念的内容，而不涉及离散型随机变量的分布列．笔者认为，这样安排是有一定道理的：第一，离散型随机变量是基础概念，离散型随机变量的分布列是针对离散型随机变量而定义的，从逻辑关系上说两者有先后之分；第二，两个概念的第一次出现分在不同课时内，学习内容单一，目标明确，可以将其分别解决，避免认识不清而产生混淆，从而使基本概念学得更扎实牢固；第三，这样处理与现行教材的课文、练习、习题的安排顺序保持基本一致，便于学生自学和做作业．
兵法曰：兵无常态，水无常势．这就是说解决问题的方法不是一成不变的，应根据实际情况权衡利弊相机行事．同样地，教学有法，教无定法．一种教学设计难以方方面面都能兼顾，往往在保证了一些方面有利的同时，也存在另一些方面的不足．如前所述，引入离散型随机变量的概念，体会引入随机变量的作用，渗透将实际问题转化为数学问题进行随机分析的思想方法，是本部分的教学目标，三者是相互联系的一个整体（三位一体）．如果只是引入离散型随机变量的概念，而不能较明显地体现为什么要引入它，则会影响对其作用和相关思想方法的体会．要体现引入随机变量的作用，渗透将实际问题转化为数学问题进行随机分析的思想方法，显然离不开对离散型随机变量的概率分布的研究，这是把对随机现象统计规律的研究数学化的关键．从这个角度看，如果能在同一课时中引入离散型随机变量后，紧接着出现分布列，使两者更密切地联系起来，可能更有利于教学目标的实现．
笔者考察实际教学发现，在一节课中仅讨论离散型随机变量，内容上显得比较单薄，时间上显得比较宽余，效果上显得比较拖沓，从提高教学效率考虑似还有潜力可挖．更重要的是，如果只引入随机变量而不涉及概率分布，这节课至多只能使人感到随机变量是对试验结果的一种数量化表示，而无法认识这种表示与随机度量（即可能性大小）的密切联系，这使得体会随机变量作用的效果大打折扣．在高中数学教材的向量部分，曾指出“如果没有运算，向量只是一个‘路标’，因为有了运算，向量的力量无限．”与此类似，如果不涉及概率分布，随机变量只是一种“表示”，因为有了概率分布，随机变量才能在研究随机现象时发挥作用．
笔者认为，将离散型随机变量和其分布列更紧密地联系起来，在实际教学中具有可行性．为说明这一点，笔者不揣冒昧地提出如下一种教学过程的设计草案，敬请读者指正．
离散型随机变量及其分布列第一课时的教学过程草案
一、描述随机变量
试验结果经常可以用表示计数或度量的量来表示，例如出现某种现象的次数，某物理量的长度，等等．即使是定性的试验结果，也可以数量化表示．例如掷硬币时，正面向上记为1，反面向上记为0．表示随机试验结果的量，其取值事先不能确定，它随着试验结果随机确定．一般地，随着试验结果的变化而变化的量叫做随机变量（random variable）．随机变量通常用
表示．
二、考虑随机试验案例及相关问题
请看下面的随机试验，并考虑相关问题．
随机试验1 掷一枚质地均匀的骰子．
（1）用X表示掷出的点数，要表示试验的全部可能结果，X应取哪些值？
掷骰子时，掷出的点数可能是1，2，3，4，5，6中的一个，但事先不能确定，结果是随机产生的．用X表示掷出的点数，X的值应随机地取1，2，3，4，5，6中的某个．
（2）X取到每一个值的概率各是多少？
由古典概型可知，X取1，2，3，4，5，6中每一个值的概率都是下：
这可以列表表示如
（3）X<5表示什么？它对应的概率是多少？
X<5表示事件“点数小于5”，即事件“点数为1或2或3或4”．它的概率为
（4）如果多次重复掷一枚骰子，那么掷出点数的平均值最可能是多少？
每次掷出的点数无法事先确定，因此多次掷出的点数的平均值也无法事先确定．但是，我们可以依据“大量重复试验时频率稳定于概率”对此进行估计．由于点数1，2，3，4，5，6出现的频率都会稳定于，所以多次重复掷骰子时点数的平均值最可能是
随机试验2 同时掷两枚质地均匀的硬币．
（1）用X表示掷出正面的个数，要表示试验的全部可能结果，X应取哪些值？
掷两枚硬币时，掷出正面的个数可能是0，1，2中的一个，但事先不能确定，结果是随机产生的．用X表示掷出正面的个数，X的值应随机地取0，1，2中的某个．
（2）X取到每一个值的概率各是多少？
由古典概型可知，X取0，1，2中每一个值的概率可以列表表示如下：
（3）X<2和X>0各表示什么？它们对应的概率各是多少？
X<2表示事件“正面个数小于2”，即事件“正面个数为0或1”； X>0表示事件“正面个数大于0”，即事件“正面个数为1或2”．它扪的概率分别为和．
（4）如果多次重复这个试验，那么掷出正面个数的平均值最可能是多少？
每次掷出的结果无法事先确定，因此多次掷出的正面个数的平均值也无法事先确定．但是，我们可以依据“大量重复试验时频率稳定于概率”对此进行估计．由于点数0，1，2出现的频率分别会稳定于，和，所以多次重复试验时正面个数的平均值最可能是
三、引出离散型随机变量及其分布列
思考1 上面两个X是随机变量吗？它们的取值形式有什么特点？这些取值与试验结果有什么关系？
在上述试验及相关问题中，两个X分别表示“点数”和“正面个数”，它们都是表示随机试验的结果的量，都随试验结果的变化而变化，因此都是随机变量．这两个随机变量的所有可能取值都可以一一列出，即分别为1，2，3，4，5，6和0，1，2．每一列数都对应着一个试验的所有可能结果．
一般地，所有可能取值能够一一列出的随机变量，叫做离散型随机变量（discrete random variable）．
思考2 上面两个表格的形式有什么特点？它们表示了什么内容？
上面问题中的表格，分两行列出随机变量X的可取值，以及各值对应的概率．它不仅表示出离散型随机变量X的变化范围，而且表示出各种变化的可能性大小，即从变化内容及其可能性这两方面全面地刻画了离散型随机变量X．
一般地，表示离散型随机变量X的所有可能值及取各个值的概率的表格
叫做X的分布列（distribution series）．X的分布列也可以表示为
容易发现，由于概率的和
思考3 初步体会离散型随机变量及其分布列的作用．
从上面的问题可以看出，对于研究随机试验问题，例如估计多次重复试验结果的平均值，离散型随机变量及其分布列是非常有用的工具．由此可以觉察，引入随机变量给定量地表示和研究随机性问题带来方便；有了离散型随机变量及其分布列，就可以对许多随机试验的结果从变化范围和变化可能性两方面有更清晰的认识．
四、例题
此处例题为巩固与加深对离散型随机变量及其分布列的一般认识而安排,二项分布、超几何分布等内容安排在后续课时．
例 用随机变量X表示掷两枚骰子的试验结果,并写出X的分布列．
解：设X表示两枚骰子的点数之和，则X的分布列为
与随机试验的全部可能结果一一对应，所以它们所对应的，根据X的分布列，可以求出有关事件的概率．例如，五、小结
1.回顾离散型随机变量及其分布列的概念；
2.初步体会离散型随机变量及其分布列在研究随机试验问题时的作用．
前面已经说过，教学有法，教无定法．教材和教学的设计方案具有多样性，不同方案各有长短．选择方案的关键在于从实际出发，在保证重点，突出要实现的主要教学目标的前提下，力求教学效果的最大化．笔者提出上述意见及教学设计，只是一孔之见，意在抛砖引玉，能为改进教材和教学的讨论提供参考．
离散变量 篇5
概念的内涵指的是概念所反映对象的本质特征。
数学概念的教学应从创设概念生长点的问题情境切入探究。“问题是数学的心脏”, 数学活动是由“情景问题”驱动的, “问题解决”是其主要的活动形式, 创设可以连续变式的正多面体的问题情境, 提出从低纬度向高纬度发展的问题是历经数学概念再创造的好的开始。层层递进的过程中, 逐步丰富和建构对概念中位数本质意义的理解, 即将“促进学生理解”始终贯串在整个课堂中。
引入随机变量的概念, 是把对随机现象统计规律的研究数学化, 从而可以利用数学方法研究随机现象的规律性。其中对随机变量的概率分布的研究是实现这种转化的关键。
本节的内容“分布列”是一种列举方式, 是将试验结果整理的过程。在这个表格中, 我们可以直观的找到某一事件所对应的片段, 进而对整个试验有较为完整的认识。
例如:一袋中装有5只球, 编号为1, 2, 3, 4, 5, 在袋中同时取3只, 以ξ表示取出的三只球中的最小号码, 写出随机变量ξ的分布列.
首先, 明确试验结果的可能性, 然后再给予随机变量的取值。其中第一行中每个数字的含义给出更为具体的解释, 如:“4”表示最小号码为4。在此基础上, 根据随机变量相应的取值, 求对应的概率。
对应练习:
判断下列表格是否可以作为分布列:
二、对分布列的应用探究
概念的外延指的是概念所反映的本质属性的对象, 概念的内涵是质的方面, 概念的外延是概念量的方面, 它说明概念所反映的事物有哪些。
离散型随机变量的分布列的性质是概念的外延, 而离散型随机变量的概率分布列的内涵是一个必然事件分解成有限个互斥事件的概率的另一种表示形式, 更主要的是应在概念的生成中形成解决问题的思维方法。
借助于“引导式”教学、采用“剥洋葱皮”的方式从概念的外延出发探寻其内涵。循序渐进, 逐层推进。基于此, 设置问题, 引发学生的思考。
问题1:通过简单的离散型随机变量的分布列, 学生交流归纳并验证分布列具有哪些性质。
其中, 性质2的理解是本节课的一个难点, 结合实例, 设置如下问题串:
例:若某随机变量ξ的分布列如表所示
问题2:性质2的含义是什么?
问题3:每一个分布列有多少个随机事件?
问题4:随机事件之间是什么关系?
问题5:这些随机事件构成的复杂事件又表示什么事件?
通过以上对问题的探究, 使学生感受和体验如何学会数学思考方式, 体会归纳和类比这两种重要的合情推理在猜测和发现结论、探索和提供思路方面的作用。避免学生在没有对数学概念和思想方法有基本了解的情况下就盲目进行大运动量的变式解题操练, 导致教学缺乏必要的根基。
对应练习:
1. 随机变量ξ的分布列为
(1) 求常数a;
(2) 求P (1<ξ<4)
2. 抛掷两枚骰子, 点数之和为X, 请列出变量分布表, 并求点数之和为3的倍数的概率。
3.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点, 一位客人游览这3个景点的概率分别是0.4, 0.5, 0.6, 且客人是否游览哪个景点互不影响.设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.
(1) 求ξ的分布列及数学期望;
三、教学上要做整体的把握, 应该从基本点出发, 形成交汇点, 进而达到制高点
教学的基本点就是“双基”:数学基础知识和基本技能。从双基出发, 使得基础知识形成网络、基本技能形成规律。制高点是重点, 是可以达到必要深度的部分, 但又不仅仅是重点。重点只是数学的结果, 不指向如何应对;而制高点致力于探寻问题解决的基本思路, 形成解决问题的方法和规律。站在制高点上进行教学设计, 就是首先要准备贯彻什么样的教学理念、采用什么样的教学方法为支撑下的教学设计。所以在教学时应重视情境预设、更重视思维的发展历程, 关注知识的内化、更关注形成知识的方法的理性建构, 努力对课堂教学不断地进行积极的、有意义的开发与探索。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S].北京:人民教育出版社, 2003.
[2]廖金祥, 朱晴晴.“直线的一般式方程”的教学分析及教学思考[J].中学数学教学参考, 2015, 19:29-31+34.
[3]方厚良, 罗灿.泰勒的思维“六步骤”范式及其应用[J].中学数学教学参考, 2015, 28:29-31.
离散变量 篇6
(1) 分布列的概念。
设离散型随机变量ξ可能取到的值为x1, x2, …, (有限个或无限可列个) , ξ取xi的概率为Pi (i=1, 2, …) , 则称P{ξ=xi}=Pi (i=1, 2, …) 为随机变量ξ的分布列, 简称为ξ的分布。分布列也可用如下表所示的形式给出。
(2) 分布列具有如下性质:
①Pk≥0 (k=1, 2, …) ;undefined。
分布列描述了随机变量所有可能的取值, 以及总和等于1的概率是如何分配给随机变量的可取值的, 所以我们说随机变量的分布列能够全面地描述随机变量的变化规律。
2 常用的离散型分布
(1) 两点分布。
如果随机变量ξ的分布列为:
其中p+q=1, 0
(2) 二项分布。
设随机变量ξ的分布列为P{ξ=k}=cknpkqn-k (q=1-p, 0
(3) 泊松分布。
如果随机变量ξ的分布列为undefined则称ξ服从参数为λ的泊松分布, 记作λ—P (λ) 。
(4) 超几何分布。
设N件产品中有M件为次品, 从中任取n件产品, 设其中的次品数为ξ, 则称ξ服从超几何分布。ξ的分布列为undefined, 其中, M≤N, n≤n, n, M, N均为正整数, 且t=min (M, n) 。
(5) 几何分布。
在一系列独立重复的伯努利试验中, 每一次试验中事件A发生的概率为p, 记ξ为A首次发生似的试验次数, 则ξ服从几何分布。ξ的分布列为P (ξ=k) =qk-1p, k=1, 2, …, 其中p+q=1, 0
3 离散型随机变量的分布列的求法
(1) 利用古典概率、条件概率的的计算方法。
利用这一方法必须要指明两点, 首先要确定ξ可能取哪些值, 然后再求出每个取值的概率是多少。
例1:一汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均设有红绿信号灯的路口, 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种信号灯显示的时间相等。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数, 求X的概率分布。
解:首先, 由题设可知, x的可能值为0, 1, 2, 3.设Ai={汽车在第i个路口首次遇到红灯}, 则事件A1, A2, A3相互独立, 且undefined,
undefined
所以, X的分布列为:
例2:某篮球运动员投中篮圈的概率是0.9, 求他两次独立投篮投中次数X的概率分布。
解:X可取0, 1, 2为值,
P{X=0}= (0.1) (0.1) =0.01
P{X=1}=2 (0.9) (0.1) =0.18
P{X=2}={0.9} (0.9) =0.81且F{X=0}+F{X=1}+P{X=2}=1
于是, X 的概率分布可表示为:
【技巧】利用分布列的性质:undefined, 是检查离散型随机变量分布正确与否的一种方法。同时, 若在问题中, X的某一个取值xi的概率较难计算, 而其他所有取值的概率容易算出时, 则也可利用上述性质得到:undefined。
(2) 直接用常见的分布的计算方法。
例3:某人进行射击, 设每次射击的命中率为0.02, 独立射击400次, 试求至少击中两次的概率。
解 将一次射击看成是一次试验。设击中的次数为X, 则X—b (400, 0.02) ,
X的分布律为
于是所求概率为:
P (X≥2) =1-P{X=0}-P{X=1}=1- (0.98) 400-400 (0.02) (0.98) 399=0.9972。
例4:某一城市每天发生火灾的次数X服从参数λ=0.8的泊松分布, 求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率。
解:由概率的性质, 得:
undefined
(3) 分布函数法。
已知离散型随机变量X的分布函数为F (x) 时, F (x) 的各个间断点xi就是X的可能取值, 且P{X=xi}=F (xi) -F (xi-0) 。
例5:设随机变量X的分布函数为:
undefined
求X的概率分布。
解:显然F (x) 的间断点, 即X的可能取值为-1, 1, 3。从而:
P{X=-1}=F (-1) -F (-1-0) =0.4-0=0.4
P{X=1}=F (1) -F (1-0) =0.8-0.4=0.4
p{X=3}=F (3) -F (3-0) =1-0.8=0.2
从而X的概率分布为:
【技巧】其实, 如果能把F (x) 的图形画出来, 那么, X在F (x) 的间断点xi处的概率, 恰好为F (x) 的图形在F (X) 点处跳跃的跨度。
摘要：离散型随机变量是概率论中一种基本的、重要的随机变量, 通过对主要研究定离散型随机变量的分布列及其求法的研究了解相关知识。
关键词：离散型,随机变量,分布列,求法
参考文献
[1]聂洪珍朱玉芳.高等数学 (一) 微积分[M].北京:中国对外经济贸易出版社, 2003, (6) .
离散变量 篇7
离散型随机变量的期望、方差与概率值中的最值问题, 主要与函数、不等式等知识相联系, 因此在解答时, 要善于把有关期望与方差的最值问题转化为相关的函数、不等式等知识的最值问题进行求解.解答此类最值问题的途径主要是:①利用均值不等式;②利用二次函数的最值;③利用函数的单调性.下面举例说明.
方案一:利用均值不等式求离散型随机变量方差的最大值
例1 设一次试验成功的概率为p, 进行100次独立重复试验, 当p=时, 成功次数的标准差的值最大, 其最大值为.
解析:由于满足n次独立重复试验的离散型随机变量的方差为Dξ=npq, 于是
说明:对于满足n次独立重复试验的离散型随机变量来说, 如果要求其方差的最大值, 那均值不等式就是当仁不让的工具.n次独立重复试验的离散型随机变量的方差公式为Dξ=npq, 且p+q=1, 这就为运用均值不等式创造了条件.只要其中的n是一个确定的数值, 那么, 就可以通过
方案二:利用二次函数求离散型随机变量方差的最大值
例2 A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析, X1和X2的分布列分别为
(Ⅰ) 在A、B两个项目上各投资100万元, Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润, 求方差DY1, DY2;
(Ⅱ) 将x (0≤x≤100) 万元投资A项目, 100-x万元投资B项目, f (x) 表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f (x) 的最小值, 并指出x为何值时, f (x) 取到最小值. (注D (aX+b) =a2DX)
解析: (Ⅰ) 由题设可知Y1和Y2的分布列分别为
, 当
说明:当我们要解决最值问题时, 首先想到的应该是构造函数, 而当函数被构造出来时, 许多函数就是二次函数.利用二次函数求最值一定要注意一个细节, 那就是自变量的取值范围.就像该题中要求0≤x≤100一样, 尽管这一条件在解题过程中没有起到约束作用, 但是, 不考虑或者漏掉这一约束条件那是错误的.
方案三:利用概率的性质 (单调性) 求离散型随机变量概率的最大值
例3 (1) 如果
(2) 一般地, 如果ξ～B (n, p) , 其中0<p<1, 讨论当k由0增加到n时, P (ξ=k) 的变化情况, k取什么值时, P (ξ=k) 取得最大值?
解析: (1) 设
当k>6时, P (ξ=k+1) <P (ξ=k) .
其中当k=6时, P (ξ=k+1) =P (ξ=k) , 所以当ξ=6, 7时, P (ξ=k) 取最大值.
(2) 一般地, 如果ξ～B (n, p) , 其中0<p<1, 考查不等式
如果
①如果 (n+1) p是正整数, 那么 (n+1) p-1也是正整数, 此时, 可以使k= (n+1) p-1, k+1= (n+1) p, 且P (ξ=k+1) =P (ξ=k) , 即当k取 (n+1) p或 (n+1) p-1时, P (ξ=k) 取最大值.
②如果 (n+1) p不是正整数, 那么不等式
所以, 对任何k, P (ξ=k+1) ≠P (ξ=k) ,
所以, 当k+1< (n+1) p的最大整数为[ (n+1) ·p],
所以当k=[ (n+1) p]时, P (ξ=k) 取得最大值.
说明:由
山东省利津县第一中学
离散变量 篇8
金属结构作为U型门式起重机的骨架,起着承受和传递起重机自重载荷和外部载荷的作用,采用优化设计方法[1~3]可降低金属结构的自重,降低产品成本,并可降低大车轮压,从而减小基础的基建投资。以前门式起重机金属结构优化设计存在的不足[4~6]是:1)一般仅进行主梁的优化,而实际上主梁、支腿和下横梁都是相互联系相关的,分别予以考虑显然与实际有较大的差异;2)优化变量采用连续变量优化,而板厚、梁高、梁宽等均为离散整数值,连续变量取整可能造成结果远离最优点;3)没有考虑影响结构设计的各种因素所存在的模糊性。本文考虑各部分的相互影响,把集装箱门式起重机整个金属结构作为一个系统考虑,充分考虑自然存在的模糊性和变量的离散性[7~10],一次完成主梁、支腿和下横梁的优化。
1 设计变量与目标函数
设计变量是能够影响设计质量和结果的可变参数,目标函数是以设计变量表示设计所要追求的某种性能指标的解析表达式。在门式起重机金属结构系统的优化设计中,以主要部件的截面尺寸为设计变量,以金属结构系统的重量最轻为目标函数。
在U型门式起重机金属结构设计中,上横梁的截面尺寸一般由结构要求所决定,因此,主梁、支腿、下横梁的截面尺寸为控制参数,它们决定了金属结构的合理与否,也直接决定了金属结构的重量。结合U型集装箱门式起重机金属结构的特点,选取以下参数作为设计变量:主梁高度x1、主梁宽度(亦是在支腿平面内支腿上端截面宽度)x2、主梁上、下盖板厚度x3、主梁主腹板厚度x4、主梁副腹板厚度x5、支腿上端截面在龙门架平面宽度x6、支腿下端截面在支腿平面宽度x7、支腿下端截面在龙门架平面宽度(亦是下横梁的宽度)x8、支腿板厚(支腿平面内)x9、支腿板厚(龙门架平面内)x10、下横梁截面高度x11、下横梁盖板厚度x12、下横梁腹板厚度x13。以上13个变量均为离散整数变量。
U型门式起重机金属结构的重量约占起重机总重量的70%,且对起重机零部件尺寸和重量、能耗、轨道基础、整机造价和安装费用等都有很大影响。金属结构的总成本由材料成本和制造成本两部分组成,制造成本与生产工艺、管理水平等因素有关,而材料成本一般由材料重量反映,因此优化设计一般取其结构总重为目标函数。U型门式起重机金属结构的重量由主梁、支腿、下横梁和上横梁的重量组成,即主梁重量F1(X)、支腿重量F2(X)、下横梁重量F3(X)、上横梁重量F4(X),则目标函数为:
2 模糊约束条件
U型门式起重机金属结构系统的优化以《起重机设计规范(GB3811-83)》为依据,将金属结构作为一个整体来建立计算模型,采用最新计算理论和方法,满足强度、刚度、稳定性以及制造工艺方面的要求。对于应力、刚度等性能约束考虑从完全许用到完全不许用的过程;对于几何及尺寸约束考虑边界的模糊性。这些约束均视为设计空间上的模糊子集。
2.1 主梁的约束条件
根据U型门式起重机和工作特点确定主梁的约束条件包括:起重小车位于跨中时,主跨中的强度和刚度条件;起重小车位于悬臂端时,支座处的强度和悬臂端的刚度条件;以及主梁的整体稳定性约束条件和局部稳定性约束条件等等。
1)跨中截面的正应力约束条件
主梁在各种外载荷的作用下,通过主梁的截面设计参数,求得主梁跨中最大正应力,即
式中:Mx中,My中为计算所得的水平及垂直方向梁跨内最大弯矩;Wx中,Wy中为相应的抗弯截面模量;为材料在Ⅱ类载荷下具有模糊性的许用正应力上限。
2)主腹板上方局部挤压应力约束条件
式中:hy为小车轨道高度与上翼缘板厚度之和;50为考虑焊接时焊缝实际长度与有效焊缝长度的差值;P为一个车轮的轮压,不计动力系数和冲击系数;为具有模糊性的材料许用挤压应力上限。
3)跨中腹板最大剪应力约束条件
式中Mn为最大扭矩;QZ为最大剪切力(N);Ix为主梁横截面的惯性矩;A0,Sx分别为主梁横截面的面积和静矩。
[-]为具有模糊性的材料许用剪应力上限。
4)跨中主腹板与翼缘焊缝处的复合应力约束条件
跨中主腹板与翼缘焊缝处的正应力s和剪应力及小车轮压引起的挤压应力求得后,复合应力为:
5)小车位于悬臂端时支座处截面的正应力约束条件
式中Mx支,My支为计算所得的水平及垂直方向梁支座处最大弯矩;Wx支,Wy支为相应截面的抗弯模量。
6)小车位于悬臂端时支座处截面的剪应力约束条件
式中QX为小车位于悬臂端时支座处的最大剪切力。
7)小车位于悬臂端时支座处截面的复合应力r支约束条件
式中τ支为计算截面腹板与上翼缘板连接处的剪应力;σ支为计算截面腹板与上翼缘板连接处的正应力。
8)满载小车位于跨中时的静刚度f中约束条件
式中L为主梁跨度;E为杨氏弹性模量,E=210×103MPa;R为一根主梁上的小车总轮压,计入动力系数和冲击系数;b为小车轴距;为具有模糊性的跨中许用刚度上限值。
9)满载小车位于悬臂端时有效悬臂端的静刚度f悬约束条件
式中L1为主梁悬臂的有效长度;C3为将小车轮压作用_于有效悬臂端的合力计算挠度的换算系数;为具有模糊性的悬臂许用刚度上限值。
10)主梁的整体稳定性条件
主梁的整体稳定性通过限制梁的高宽比来达到目的。当箱形截面组合梁的高宽比值不大于3时,可不验算主梁的整体稳定性,这样有:
2.2 支腿约束条件
1)支腿上端截面强度约束条件
式中M1龙为龙门架平面内支腿上端截面的弯矩;M1支为支腿平面内支腿上端截面的弯矩;N1为起重机运行一侧大车的支承反力(N);N2为起重机运行另一侧大车的支承反力。
2)支腿下端截面强度约束条件
式中M2支为支腿平面内支腿下端截面的弯矩。
3)支腿中间截面强度约束条件
式中M3支为支腿平面内支腿中间截面的弯矩。
4)支腿上端截面双向压弯稳定性约束条件
式中Ф龙为龙门架平面内许用应力折减系数。
5)支腿下端截面双向压弯稳定性约束条件:
式中Ф支为支腿平面内许用应力折减系数。
6)支腿中间截面双向压弯稳定性约束条件
2.3 下横梁强度约束条件
下横梁强度约束条件为
式中xhl为下横梁中最大正应力;MSLV,MSLH为下横梁弯矩最大截面的垂直及水平弯矩;WJHLX,WJHLY为相应截面的抗弯模量。
2.4 疲劳强度约束条件疲劳强度约束条件为
式中σp1,σp2为主梁跨中和支座处危险截面的疲劳应力;为具有模糊性的对称循环许用疲劳应力上限;为具有模糊性的脉动循环许用疲劳应力上限。
2.5 门架水平刚度约束条件
门架水平刚度约束条件为:
式中f A腿为主梁和支腿在它们连接处的最大水平变位;为具有模糊性的门架许用最大水平变位上限。
2.6 几何约束条件
1)主梁为偏轨箱形梁,一般主腹板厚度不小于副腹板厚度,即。
2)支腿平面内支腿上端截面宽度应不大于下端截面宽度,即
3)门架平面内支腿上端截面宽度应不小于下端截面宽度,即
4)主梁与支腿连接处宽度与梁高的关系为
3 模糊约束的隶属函数
各模糊约束的隶属函数根据约束的性质和设计要求决定。对于性能约束和几何约束两类模糊子集均采用线性隶属函数。过渡区间的上、下界等采用扩增系数法确定。
1)对性能(强度、刚度)约束(如图1所示):
(2)对尺寸或变量等几何约束(如图2所示):
4 模糊优化模型及求解
从以上可看出,U型集装箱门式起重机金属结构的优化为具有确定设计变量和确定目标函数,而具有普通模糊约束的离散变量模糊优化问题,可表达为:
性能约束:
尺寸约束:
变量约束:
采用最优水平截集法将其转化为非模糊优化问题。由于设计变量均为离散整数变量,因此采用经实践检验可靠的非线性混合离散变量优化解法MDOD求解。
5 优化实例
对30m跨度、7.5m有效悬臂、40t U型集装箱专用门式起重机进行优化,其结果如表1所示。
经过优化后,起重机金属结构的许多参数都有不同程度的减小,其自重减幅达到了19.3%,显著减低了材料成本。
6 结论
针对U型门式起重机的金属结构优化设计中传统方法的不足,提出一种新的优化计算方法,将U型门式起重机的金属结构中的主梁、支腿和下横梁作为一个整体,采用离散变量模糊优化方法进行计算和分析,取得了良好的效果。该方法也可推广至U型门式起重机的其他结构的优化设计中。下一步研究的重点是将U型门架结构离散变量模糊优化设计技术和有限元智能分析方法编制成实用的一体参数化软件,从而达到通过输入少量的数据即可完成U型门架结构的优化设计。
摘要：针对目前U型门式起重机的金属结构优化设计中存在的一些不足,提出采用离散变量模糊优化方法,将U型门式起重机的金属结构中的主梁、支腿和下横梁作为一个整体进行优化设计,从而有效得减轻了金属结构得重量和车轮压力。最后通过实例计算证明该方法具有良好的效果,为门式起重机的设计提供具有参考价值的理论依据。
关键词：U型门式起重机,金属结构,优化设计,离散变量
参考文献
[1]S.S雷欧,著,祁载康,等,译.工程优化原理及应用[M].北京理工大学出版社,1990.
[2]杨旭华,王金诺.多目标决策及其在起重机变幅机构优化中的应用[J].起重运输机械,1991,(8):3-8.
[3]李欣.杆系结构优化设计及其在塔机结构设计中的应用[J].建筑机械,1996,(1):2-6.
[4]邹珏,邹力生.塔式起重机平衡臂的优化设计[J].建筑机械,1990,(3):11-12.
[5]陈荣波.塔式起重机双吊点水平臂结构分析与吊点位置的优化设计方法研究[J].建筑机械,1990,(5):2-7.
[6]黄洪钟.机械设计模糊优化原理及应用[M].北京:科学出版社,1997.
[7]孙焕纯,柴山,王跃方.离散变量结构优化设计[M].北京:机械工业出版社,1995.
[8]杨旭华,王金诺.大吨位全液压伸缩臂铁路起重机吊臂截面参数的离散变量优化设计[J].建筑机械,1991,(11):12-15.
[9]周培德,刘军.离散变量法用于箱形伸缩臂优化设计[J].工程机械,1990,(1):12-16.