工艺变量（精选5篇）
工艺变量 篇1
一、流程概况
在烟用丝束的生产工艺流程中, 使用大量的丙酮作为有机溶剂溶解醋片, 这部分丙酮溶剂并未进入成品, 而是在生产的各环节挥发到车间空气和热风系统中。出于环保以及生产成本的要求, 需建立一套丙酮回收系统。该系统使用大量的活性炭 (装活性炭的设备称为吸附床) 作为分子筛吸附气体中的丙酮, 吸附饱和后活性炭需用大量的蒸汽加热以完成解析脱附过程。解析过程的加热蒸汽为过热蒸汽, 其中部分蒸汽仍以略高于沸点的饱和蒸汽状态与解析出的丙酮蒸汽混合进入后系统, 并被大量的冷却水冷凝成稀丙酮溶液。再经蒸馏凝缩后作为原料丙酮回用。
吸附床的解析蒸汽用量10t/h, 根据热平衡和进蒸馏塔的稀丙酮浓度和总量测算吸附床排出的解析水蒸汽量为3.57t/h, 且这部分热能是非常可贵的高位热能, 该部分热能不但未被利用, 尚需耗费大量的循环水将其冷凝, 之后在丙酮回收蒸馏塔耗费蒸汽将其加热, 最终以塔釜液的形式排放地沟。
二、项目可行性探讨
在燃油锅炉中使用大量的除盐水生产蒸汽, 而除盐水需要加热到105℃除氧, 如果将除盐水引入到吸附床解析系统中加热, 就可以减少除氧器加热蒸汽的消耗量。基于这样的思路, 拟建立一套丙酮解析气的热能回收系统, 用于回收解析气中水蒸汽的相变热 (即3.57t/h水蒸气由100℃的气态变为液态过程的相变热) , 该热能将供锅炉用的36t/h除盐水 (常温) 加热, 达到减少除氧器的蒸汽用量的目的。
三、流程的特殊性
吸附床解析过程有其特殊性, 即每台吸附床解析过程大约为11min, 其中前8min是吸附床炭层加热升温过程, 进入吸附床的蒸汽只能加热床体以及活性炭, 排出解析气温度从35℃升高到80℃, 这段时间热量是较低的, 不考虑回收;在后3min, 进入吸附床的蒸汽穿透活性炭层, 这时会有10t/h流量的高温 (107℃) 蒸汽和丙酮气的混合气排出, 进入后系统冷凝器。要回收的热能就是这后3min (变量) 排放的高位热能。即在1h内规律间断性地回收热能的时间总和是15～18min (五台吸附床轮换解析操作) 。因此必须考虑热能回收流程中介质换热时间的控制问题, 否则在高温时段换出的热将会被低温时段的空气和丙酮的混合气带走。
四、解析气热能回收方案
在前述流程中五台吸附床及其后部附属设备为一个单元, 彼此之间相对独立运行。在五台吸附床后的解析气总管上串联一台换热器。考虑到过程的不连续并变量排热以及换热系统的效率等因素的影响, 设定可回收全部排放热能的1/2。
1.流程简述
吸附床排出的解析气先经过新增加的换热器, 解析气在部分冷凝放出热量后, 送往在用的吸附床冷凝器, 继续向正在使用的后系统推进。经加热后的除盐水进入新增设的蓄水槽, 经循环达到平衡的温度后, 用泵送往热电站锅炉水除氧器, 如图1所示。
2.热能回收的相关数据计算
换热器总传热公式为
Q=K×F×Δt
式中:Q——传热值;
K——传热系数;
F——换热面积;
Δt——温差。
本计算的传热值Q按5 400 000kcal/h计算, 即3min高热段排放的蒸汽瞬时流量的热能 (即10t/h流量) , 如果只按照回收量即系统一半的排热量来计算和设计, 该热能回收系统的能力将大大减少, 因为按一半的排热量来计算, 在短暂的3min高热到来时, 系统只能回收到一半的热能, 为了提高系统能力, 一定要选用排热时的瞬时最高流量值作为计算基数, 这是非连续流程设计的关键注意点之一。对于卧式裂管式换热器, 取传热系数K=525kcal/h·m2·℃, 换热器的蒸汽进出口温度100℃, 水的进口温度是47℃, 出口温度是58℃, 所以Δt= (100-47) + (100-58) /2=47.5℃。因此换热器的换热面积F=5 400 000÷525÷47.5=215.7m2, 该值圆整后取值220m2。
3.解决换热介质的不连续和不稳定
由于吸附床解析过程在时间、气体成分、流量、温度 (从35℃到110℃) 等参数全部是不连续和变化的过程, 解析系统只有380mmHg的负压作为气体流动的动力, 且被加热的除盐水在输送时的流量也是间断和变化的, 这些因素都是对热交换极为不利的。对于解析气不连续的排热过程, 在流程中使用气动开关阀控制除盐水进入换热器的时间, 即在高温解析气到来时水进入换器被加热, 在低温解析气到来时水只作内部循环, 否则取来的热能就会被低温解析气带走。供应给锅炉的除盐水流量是不稳定的 (18～60t/h) , 大部分时候的供水流量约是30t/h, 如果只是简单地将除盐水直接引入到解析系统安装的热交换器内加热, 该系统的热能回收能力将不能达到预期的效果。虽然需加热的除盐水量平均只有36t/h, 但在系统中使用20m3的贮罐作为循环水槽, 并使用两台流量为75m3/h的离心泵作为循环泵, 使进入换热器的水量由原来的30m3/h变为150m3/h, 为的是尽量取走解析气在高温时段的热能。
4.及时取走高温时段的热水
为了提高换热效果, 必须尽可能及时取出高热段的热水, 这样循环系统的水温可以降低, 有利于提高换热效率, 同时可以提高供水系统的温度。为实现该目的, 将循环水槽一分为三, 实现了一槽三种水温, 即刚进入系统的新鲜水在低温区, 中间循环水槽在中温区, 高热时段的热水进入高温区直接送往锅炉的除氧器, 这样的改造可使供出的水温比循环的水温高6～10℃。
5.合理的控制和管道连接
根据流体避开阻力点流动的特性, 在自动控制系统中使用两个开关阀控制四个过程, 控制阀1实际上控制了进换热器管路与循环管的水流向, 控制阀1关闭时, 循环水进入换热器进行热交换;控制阀1开通时, 由于重力的原因, 水不进入安装在高处 (15m) 的换热器, 而是进入水槽 (顶高2.5m) 内自循环;同样的原理控制阀2控制中温水与高温水的流向;通过管路的连接和不同系统压力的设定, 两台循环水泵实际上同时可作供水泵的备用。这样既减少了备用泵, 又保障了锅炉供水的可靠性, 还节约了投资成本。
该项目稳定运行1年后, 统计数据显示锅炉除氧器每小时节约蒸汽用量是1.88t, 优于原设计的估算值。
五、投资与收益
1.项目投资额315万元
2.年节约成本及收益
(1) 年节约蒸汽折燃油成本。以1t重油产12.8t蒸汽计算, 1.88×260 (燃油吨蒸汽成本) ×24×360 (一年有效运行天数) =4 223 232元。
(2) 水泵运行电消耗量。11×2×0.73×24×360=138 758.4元。
(3) 总收益。4 223 232-138 758.4=4 084 473.6元。
3.环境效益
按1kg重油燃烧可产生14m3的烟气, 每立方烟气中有350mg的二氧化硫计算, 每年可以减少 (16 243÷12.8) ×14×0.350=6 218kg二氧化硫的排放。
六、结束语
从上述项目的实施情况来看, 在非连续流程中的热能回收工作是大有可为的。在保证生产安全运行的前提下, 首先要根据实际情况设计一个适合的流程, 新流程的功能之一是使得原来非连续流程变得相对稳定, 连续性有所改善;必要时可以考虑中间过渡系统该如何建立, 其中如何设计合适的控制系统是很重要的, 还可使用各种手段提高换热效率, 强化换热效能。
摘要：通过对有机溶剂——丙酮回收流程的分析, 阐述非连续流程中余热回收和利用的流程设计问题, 在流程设计中使用自控阀分时段控制介质进行热交换, 通过建立中间过渡系统的办法使不稳定和不连续的介质连续有效地完成换热, 为非连续、变量流程中余热回收和利用寻求方法。
工艺变量 篇2
在烟用丝束的生产工艺流程中, 使用大量的丙酮作为有机溶剂溶解醋片, 这部分丙酮溶剂并未进入成品, 而是在生产的各环节挥发到车间空气和热风系统中。出于环保以及生产成本的要求, 需建立一套丙酮回收系统。该系统使用大量的活性碳 (装活性碳的设备称为吸附床) 作为分子筛吸附气体中的丙酮, 吸附饱和后活性炭需用大量的蒸汽加热以完成解析脱附过程。解析过程的加热蒸汽为过热蒸汽, 其中部分蒸汽仍以略高于沸点的饱和蒸汽状态与解析出的丙酮蒸汽混合进入后系统, 并被大量的冷却水冷凝成稀丙酮溶液。在经蒸馏凝缩后作为原料丙酮回用。
吸附床的解析蒸汽用量10t/h, 根据热平衡和进蒸馏塔的稀丙酮浓度和总量测算吸附床排出的解析水蒸汽量为3.57t/h (其有效热量Q=1944000 kcal/h*相当于3kg/cm2过热蒸汽2.88t/h) , 且这部分热能是非常可贵的高位热能, 该部分热能不但未被利用, 尚需耗费大量的循环水将其冷凝, 之后在丙酮回收蒸馏塔耗费蒸汽将其加热, 最终以塔釜液的形式排放地沟。
(二) 项目可行性探讨
在燃油锅炉中使用大量的除盐水生产蒸汽, 而除盐水需要加热到1050C除氧, 如果将除盐水引入到吸附床解析系统中加热, 就可以减少除氧器加热蒸汽的消耗量。基于这样的思路, 我们拟建立一套丙酮解析气的热能回收系统, 用于回收解析气中水蒸汽的相变热 (即3.57t/h水蒸汽由1000C的气态变为液态过程的相变热) , 该热能将供锅炉用的36t/h除盐水 (常温) 加热, 达到减少除氧器的蒸汽用量的目的。
(三) 流程的特殊性
吸附床解析过程有其特殊性, 即每台吸附床解析过程大约为11分钟, 其中前8分钟是吸附床碳层加热升温过程, 进入吸附床的蒸汽只能加热床体以及活性碳, 排出解析气温度从350C升高到800C, 这段时间热量是较低的, 不考虑回收;在后3分钟的过程中, 进入吸附床的蒸汽穿透活性碳层, 这时会有10t/h流量的高温 (107℃) 蒸汽和丙酮气的混合气排出, 进入后系统冷凝器。我们要回收的热能就是这后3分钟 (变量) 排放的高位热能。即是说, 我们在一个小时中规律间断性地回收热能的时间总和是15～18分钟 (5台吸附床轮换解析操作) 。因此必须考虑热能回收流程中介质换热时间的控制问题, 否则在高温时段换出的热将会被低温时段的空气堀頄和丙酮的混合气带走。렃
(四) 解析气热能回收方案
在前述流程中5台吸附床及其后部附属设备为一个单元, 彼此之间相对独立运行。在5台吸附床后的解析气总管上串联1台换热器。考虑到过程的不连续并变量排热、以及换热系统的效率等因素的影响, 设定可回收全部排放热能的1/2 (相当于3.kg/m2蒸汽1.44t/h) 。壿
1. 流程简述
吸附床排出的解析气先经过新增加的换热器, 解析气在部分冷凝放出热量后, 送往在用的吸附床冷凝器, 继续向正在使用的后系统推进。经加热后的除盐水进入新增设的蓄水槽, 经循环达到平衡的温度后, 用泵送往热电站锅炉水除氧器。如图1所示:
2. 热能回收的相关数据计算
换热器设备的能力计算:
换热器总传热公式Q=K×F×Δt
本计算的传热值Q按5400000kcal/h计算, 即3分钟高热段排放的蒸汽瞬时流量的热能 (即10T/h流量) , 如果只按照回收量即系统一半的排热量来计算和设计, 该热能回收系统的能力将大大减少, 因为按一半的排热量来计算, 在短暂的3分钟高热到来时系统只能回收到一半的热能, 为了提高系统能力, 一定要选用排热时的瞬时最高流量值作为计算基数, 这是非连续流程设计的关键注意点之一。
对于卧式裂管式换热器, 取传热系数K=525Kcal/h×m2×0C换热器的蒸汽进出口温度100℃, 水的进口温度是47℃, 出口温度是58℃, 所以Δt= (100-47) + (100-58) /2=47.5℃
因此换热器的换热面积F=5400000÷525÷47.5=215.7m2, 该值圆整后取值220m2.
3. 解决换热介质的不连续和不稳定
由于吸附床解析过程在时间、气体成份、流量、温度 (从35℃到110℃) 等参数全部是不连续和变化的过程, 解析系统只有380毫米水柱的负压作为气体流动的动力;且被加热的除盐水在输送时的流量也是间断和变化的, 这些因素都是对热交换极为不利的。对于解析气不连续的排热过程, 我们在流程中使用气动开关阀控制除盐水进入换热器的时间, 也就是说在高温解析气到来时水进入换器被加热, 在低温解析气到来时水只作内部循环, 否则取来的热能就会被低温解析气带走。供应给锅炉的除盐水流量是不稳定的 (18～60t/h) , 大部分时候的供水流量大约是30t/h, 如果只是简单地将除盐水直接引入到解析系统安装的热交换器内加热, 该系统的热能回收能力将不能达到预期的效果。虽然我们需加热的除盐水量平均只有36t/h, 但在系统中使用20m3的贮罐作为循环水槽, 并使用两台流量为75m3/h的离心泵作为循环泵, 使进入换热器的水量由原来的30m3/h变为150m3/h, 为的是尽量取走解析气在高温时段的热能。
4. 及时取走高温时段的热水
为了提高换热效果, 必须尽可能及时取出高热段的热水, 这样循环系统的水温可以降低, 有利于提高换热效率, 同时可以提高供水系统的温度。为实现该目的, 我们将循环水槽一分为三, 实现了一槽三种水温, 即刚进入系统的新鲜水在低温区, 中间循环水槽在中温区, 高热时段的热水进入高温区直接送往锅炉的除氧器, 这样的改造可以使供出的水温比循环的水温高6℃～10℃。
5. 合理的控制和管道联接
根据流体避开阻力点流动的特性, 在自动控制系统中使用两个开关阀控制四个过程, 控制阀1实际上控制了进换热器管路与循环管的水流向, 控制阀1关闭时, 循环水进入换热器进行热交换;控制阀1开通时, 由于重力的原因, 水不进入安装在高处 (15米) 的换热器, 而是进入水槽 (顶高2.5米) 内自循环;同样的原理控制阀2控制中温水与高温水的流向;我们通过管路的连接和不同系统压力的设定, 两台循环水泵实际上同时可作供水泵的备用。这样既减少了备用泵, 又保障了锅炉供水的可靠性, 还节约了投资成本。
该项目稳定运行后一年后, 统计数据显示锅炉除氧器每小时节约蒸汽用量是1.88吨, 优于原设计的估算值。
(五) 投资与收益
1. 项目投资额315万元
2. 年节约蒸汽折燃油成本 (以吨重油产12.8吨蒸汽计算) :
1.88×260 (燃油吨蒸汽成本) ×24×360 (一年有效运行天数) =4, 223, 232 (元)
水泵运行电消耗量:11×2×0.73×24×360=138, 758.4 (元)
总收益:4223232-138758.4=4, 084, 473.6 (元)
3. 环境效益:
按一公斤重油燃烧可产生14立方的烟气, 每立方烟气中有350毫克的二氧化硫计算, 每年可以减少 (16243÷12.8) ×14×0.350=6218公斤二氧化硫的排放。
(六) 结束语
从项目的实施情况来看, 在非连续流程中的热能回收工作是大有可为的。在保证生产安全运行的前提下, 首先要根据实际情况设计一个适合的流程, 新流程的功能之一是使得原来非连续流程变得相对稳定, 连续性有所改善;必要时可以考虑中间过渡系统该如何建立, 其中如何设计合适的控制系统是很重要的;还可以使用各种手段提高换热效率, 强化换热效能。
参考文献
[1]史中美.热交换器原理与设计[M].东南大学出版社, 1996.
工艺变量 篇3
在我国,货币政策的中介变量和目标变量具有可测性、可控性、相关性。中央银行可以通过汇总统计金融行业的各种报表对M1和M2进行及时的测量,可以运用货币政策调整货币的供应量,达到货币供求平衡。所谓货币政策是指中央银行通过银行体系变动货币供给量来实现其特定经济目标的总称。货币政策包括工具变量、中介变量、目标变量。中央银行利用这三种变量之间的相关性,以货币政策中介变量作为媒介,直接控制工具变量,从而间接影响目标变量。1996年,央行将M1和M2作为货币政策的调控目标,使货币供应量中介变量正式成为中国货币政策体系的一部分。因此,通过对货币政策中介变量和目标变量关系的研究,在中介变量和目标变量可测性、可控性的基础上,可以使央行更好地执行货币政策,从而实现稳定币值和促进国民经济增长的目标 ( 见下图) 。
2 文献综述
何启志、何启粱通过对我国1995年到2012年GDP、M1、M2的年度数据做分析,得出我国的货币供应量与GDP有很强的相关性。董青马、雷洪光、胡正运用VAR模型,研究了我国1978—2009年度货币供应量、价格水平和产出之间的动态关系,从而证明了M2适合做中介目标,而M1则更适合做中央银行的观测目标。而货币主义理论者提出持续的通货膨胀只是单纯的货币现象的观点。
结合我国中央银行货币政策发展执行情况,本文将从货币政策中介变量与目标变量线性相关程度的角度,进一步研究中介变量与目标变量的关系,并提出运用与之相关的货币政策建议。
3 中介变量与目标变量的选择
货币政策中介目标作为一种金融中介变量,是短期经济变化和金融趋势的晴雨表。一国的经济金融条件和货币政策操作能否对经济活动产生最终的影响是选择货币中介目标的重要依据。此外,中央银行选择货币政策中介目标的还应满足如下三个标准: 一是相关性。即作为中介目标的金融指标的变动要与中央银行的货币政策密切相关,能对经济金融的变化发展产生影响。二是可控性。即作为操作指标和中介指标必须是中央银行能够应用货币政策工具对其进行有效控制的金融指标。三是可测性。即中央银行能够迅速获取这些指标的准确数据并进行观察、分析和检测。
按相互间的关系分析,可以分为中介变量、工具变量和目标变量。其中目标变量是指能够实现币值稳定、经济增长、充分就业、国际收支平衡和金融稳定的变量指标;中介变量是指货币政策中介目标的变量指标,主要有利率和货币供应量 ( 包括M0、M1、M2) 等。反映币值稳定状况的目标变量指标是物价指数,可以选择消费者物价指数( CPI) 代替; 体现一国经济增长状况的目标变量指标是真实国内生产总值,可以用国内生产总值 ( GDP) 来代替。可供选择的中介目标主要有贷款量、货币供应量和利率,其中贷款量跟货币供应量具有可替代性,因此,使用比较广泛的、具有典型性的中介变量是货币供应量 ( M0、M1、M2) 和利率 ( R) 。
从实现币值稳定来看,货币供应量M对消费者物价指数的传导,仅通过消费一个变量,并且货币供应量对消费的影响确实很大; 而中介变量利率R对目标变量消费者物价指数的传导,则要经过货币需求的利率弹性和收入弹性,分别对储蓄和投资产生影响,进而传递到物价水平。与利率水平相比,货币供应量对物价水平的传递更直接、弹性力度更强。从实现经济增长来看,货币供应量对国内生产总值的传导仅通过投资一个变量,而利率对投资的传导要由货币供给和货币需求两个方面,进而通过投资实现国内生产总值的增长。可见,货币供应量对国内生产总值变量的传导要比利率对国内生产总值的传导直接得多。
从货币供应量的不同层次来看,主要是如何选择M0、M1、M2的问题。由于与M1、M2相比,M0目前占国内生产总值和货币总量 ( M2) 的比重很小,一般只在11% ~6% ,并且随着信用制度的发展和金融的深化,现金交易的份额将越来越小,所以M0在经济生活中的作用将越来越弱,从而使之独立充当货币政策中介目标的可能性也越来越小。
综上所述,本文选取了货币供应量M1、M2作为中介变量,国内生产总值GDP、消费者物价指数CPI作为目标变量,来研究中介变量与目标变量的关系。
4 目标变量与中介变量相关性分析
本文选取我国1990年至2013年M1、M2、CPI、GDP的年度数据,如表1所示。来分析我国不同层次的货币供应量M1、M2与居民物价消费价格指数、国内生产总值变动关系的密切程度。
数据来源: 中国统计年鉴 ( 2014) 。
分别建立CPI和M1、M2以及GDP和M1、M2的线性回归模型。可以使用双对数模型缩小解释变量与被解释变量变量值之间的差距,运用OLS法估计出参数及模型( 如表2所示) 。
由表2的计量模型分析,我们可以看出所建立的回归模型均通过了t检验,变量系数符合经济意义,模型的拟合优度也很高,解释变量对被解释变量有显著影响,说明目标变量与中介变量之间高度相关。同时我们也可以得出如下两个方面的推论。
第一,由相关性检验指标R2分析,M1 和M2这两个解释变量对消费物价和国内生产总值这两个目标变量都具有很高的显著水平。就M1和M2的相关性显著水平而言,对于消费物价,前者略强于后者; 对于国内生产总值前者与后者接近。这就证明: 就总体而言,M1和M2与目标变量之间都确实存在明显的幂函数相关关系,只是在密切程度上有些微差异。第二,由弹性系数分析,就消费物价和国内生产总值而言,M1每增长1% ,国内生产 总值增长0. 86% 、消费物 价上涨0. 39% ,说明M1的弹性较大; M2对两个变量的弹性要比M1的弱,基本上低将近0. 07和0. 08个百分点。这就意味着相关性检验已达到了较高的显著水平,仅表明M1和M2均基本具备了对目标变量传递的直接性这一作为中介变量的充分条件; 而弹性大小的比较,则更进一步证实了M1对目标变量的传导更直接、效率更高。或者说,尽管M2也基本满足传递的直接性要求,但与M1相比,其对目标变量的弹性要小一些,调控的效果就相对要弱一些。
由此可见,就综合而言,货币供应量M1、M2均具备货币政策中介目标的基本要求,但相比较可以看出,M1的条件更充分一些。因此,在我国社会主义市场经济中,将货币供应量作为货币政策中介变量对于抵御经济波动、维持国民经济的稳定增长是合理有效的。
5 完善我国货币政策中介变量的建议
第一,疏通传导渠道、减少货币供应量调整的阻碍。就中国目前的经济金融发展现状来说,要减少货币政策的时滞效应,疏通从央行到商业银行、企业到居民的传导渠道。第二,积极研究寻找有实质影响和相关关系的新的中介变量,不断完善货币中介变量体系。随着经济全球化的发展,我国金融改革体系的深化,未来利率变动因素对我国货币政策的影响将会加大,因此需要考虑将新的因素引入到货币政策变量中。
摘要：本文运用计量经济学的方法,对我国1990—2013年M1、M2、CPI、GDP的年度数据进行实证分析,并进行相关检验,结果证明M1、M2作为中介变量与目标变量CPI、GDP之间是高度相关的。同时通过理论分析M1、M2的可测性、可控性,进一步说明货币政策中介变量与目标变量的关系,并提出相应的货币政策建议。
关键词：货币政策,中介变量,目标变量,相关性
参考文献
[1]王广谦.中央银行学[M].北京:高等教育出版社,2014.
[2]张鑫鑫.我国货币政策效果的区域差异研究[D].太原:山西财经大学,2014.
[3]贾庆军.改革开放以来中国货币政策理论与实践的演变[D].上海:复旦大学,2005.
[4]侯军强.我国货币中介目标选择的思考[J].甘肃金融,2011(4).
[5]吴俊成.我国货币政策对消费影响的实证分析研究[D].杨凌:西北农林科技大学,2010.
工艺变量 篇4
求二维随机变量函数的密度函数是概率论中的一个重要内容, 由于变量分布的差异性, 如何求又是一个难题, 一般没有统一的公式可循。一般教材中介绍了常用的方法, 即先求分布函数, 然后对分布函数求导就得密度函数, 但计算比较麻烦, 学生掌握困难很大。变量变换法和增补变量法相对于常用方法而言, 计算过程更加简捷。其中变量变换法许多学者都有研究, 而增补变量法甚少提及, 总结多年教学经验发现, 学生难以掌握这部分内容的精髓, 运用起来容易犯错, 特别表现在确定被积函数的积分区域上, 本文针对这个问题理清了一个简单通用的确定方法。
二增补变量法
增补变量法实质上是变量变换法的一种应用:为了求出二维连续随机变量 (X, Y) 的函数Z=g (X, Y) 的密度函数, 增补一个新的随机变量V=h (X, Y) 。先用变量变换法求出 (Z, V) 的联合密度函数pZV (z, v) , 再对pZV (z, v) 关于v积分, 从而得到关于Z的边际密度函数pZ (z) 。
问题: (1) 如何增补新随机变量? (2) 如何确定p (z, v) 中v的积分区域?
第二个问题, (Z, V) 的联合密度函数pZV (z, v) 的解析式中只含有z和v两个量, 对v积分时, 积分上下限一定是关于z的表达式。在二维连续随机变量 (X, Y) 的联合密度函数pXY (x, y) 的非零区域里, 画出函数Z=g (X, Y) 的曲线, 用曲线与非零区域相交点确定积分的上下限。
解:本例题作为示范题, 先记V=Y求出Z=X+Y的密度函数, 再换V=X用同样的方法求出Z=X+Y的密度函数, 如果两次求出的密度函数相同, 即验证方法的正确性。
由例题可以看出, 只要掌握了增补变量和确定积分区域的技巧, 增补变量法是一个极易掌握而且便于计算的方法。
增补变量法将比较难求的多维连续随机变量函数的密度函数, 转化为求变换后的两个变量的联合密度函数, 然后利用联合密度函数与边际密度函数之间的关系, 积分求出要求的变量的密度函数。相对于常用方法, 可简化运算。
摘要：二维连续随机变量函数的密度函数的计算是概率论教学中的一个重点, 更是一个难点, 其中增补变量法是一个简洁明了易掌握的方法, 但学生不能准确确定联合密度函数的积分区域, 本文针对这个问题给出了确定积分区域的方法。
关键词：连续随机变量,密度函数,增补变量法
参考文献
[1]茆诗松、程依明、濮晓龙编著.概率论与数理统计教程 (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2011:169~171
[2]王凡彬、严雳.多维随机变量函数密度的求解方法[J].内江师范学院学报, 2012 (10) :17~19
[3]余本国.一般二维连续型随机变量函数分布的讨论[J].华北工学院学报, 2004 (2) :94~96
[4]李思齐、李昌兴、柳晓燕.二维连续型随机变量函数的分布密度的计算[J].大学数学, 2011 (5) :162~166
工艺变量 篇5
在机械系统可靠性设计过程中,知识、试验条件、时间及经费等因素的限制,使得某些不确定性变量的统计信息不足,这导致不确定性变量的分布类型及分布函数不能被精确给定。这类因信息不足引起的不确定性被称为认知不确定性。不同于随机不确定性,认知不确定性可随信息量或知识的增加而减小甚至消失[1]。因此,在可靠性工程中,认知不确定性和随机不确定性往往共存。研究表明[2],认知不确定性对可靠性分析及设计结果的精度存在较大影响。
为定量描述认知不确定性变量,克服认知不确定性引起的可靠性分析及设计结果精度失真,目前已发展了多种不同类型的建模理论,分为概率建模理论和非概率建模理论,其中,概率建模理论主要为贝叶斯理论[3],非概率建模理论包括可能性理论[4]、证据理论[5]和凸集模型[6]。作为凸集模型特例的区间模型[7]是指在实数轴上规定认知不确定性变量可变区间的上下限。在本文中,基于区间模型描述的认知不确定性变量称为区间变量。在工程应用中,区间变量十分常见。因此,区间变量和随机变量共存条件下的混合型可靠性研究具有重要的学术价值及工程应用价值。
目前已有较多的处理独立区间变量的可靠性分析方法[7,8,9,10,11],但在实际工程中,某些区间变量存在一定的相关性,是非独立的。例如描述结构几何尺寸的区间变量和结构质量的区间变量一般存在相关性,较大的几何尺寸区间变量意味着较大结构质量区间变量,反之亦然。为此,Du[12]针对机构运动副,基于物理关系式推导获得非独立区间变量描述模型———等式与不等式约束条件,提出了一种随机变量和非独立区间变量的混合型可靠性设计方法。Jiang等[13]采用多维度平行六面体区间模型,考虑了区间变量为独立或非独立的情况,提出了一种新的非线性区间规划方法,但该规划方法未考虑系统中同时存在随机变量和区间变量的混合情况。Jiang等[14]引入样本相关系数,考虑非独立概率-区间混合情况,利用矩阵变换将非独立变量转换为独立变量,提出了一种双层迭代算法。姜潮等[15]通过引入相关角的概念定量描述了任意两个变量之间的相关性,将不同变量之间的相关性在一个统一的框架下度量,并构建了一高效求解方法。但上述的可靠性分析方法仍为双层优化问题,影响计算效率。故在非独立区间变量下,提出一种单层可靠性计算方法,提高可靠性分析的计算效率仍是当前可靠性分析方法研究的一大挑战。
为此,本文针对系统输入变量存在随机变量和非独立区间变量的混合情况,基于条件概率法和椭球模型,建立了混合型可靠性分析模型,提出了一种高效的单步可靠性模型及单步可靠性计算算法。利用高维模型表示方法[16](HDMR)解耦随机变量和非独立区间变量,将混合型可靠性分析模型转换为单步求解的可靠性分析模型;基于提出的采样方案,利用二次多项式近似HDMR展式,降低极限状态函数的调用次数,提高计算效率。
1 椭球模型
为描述非独立区间变量,Ben-Haim等[6,17]提出了椭球模型。设为区间变量的矢量,其中NY为区间变量的数量。在复杂机械系统中,区间变量的维度一般较高,非独立关系也不尽相同,如某些区间变量服从正相关关系,某些满足负相关关系,而某些是相互独立的。椭球模型根据不同的非独立关系,将区间变量归入不同的组。
经分组后,Y可表示为,其中,Ng为组的数量,Yi为第i组区间变量矢量,则椭球模型为
其中,S为区间变量可行域;Yic为第i组区间变量矢量的均值矢量,计算式为Yic=(YiL+YiU)/2,YiL和YiU分别为Yi的上下限矢量;Wi为第i个椭球模型的特征矩阵,为正定对称矩阵,它描述了第i个椭球的方向和长宽比。因可行域S由Ng个椭球组成,故该模型也称之为多椭球模型,单个椭球模型的变量不超过3个。
多椭球模型可描述不同非独立关系的区间变量:如当某区间变量是独立的,则椭球模型可退化为区间模型;当两个区间变量存在相关性,则椭球模型可退化为椭圆模型。图1给出了3个区间变量构成的不同几何形状的可行域S:在图1a中,3个变量是相互独立的;在图1b中,Y3是独立的变量,Y1和Y2存在相关性,是非独立的;在图1c中,3个变量存在相关性,是非独立的。
由于各个区间变量的单位不同,区间大小不同,不利于数值计算的稳定性,因此将区间变量Yi转换为量纲一变量Vi,转换关系式为
则分组后的区间变量矢量转换为,多椭球模型相应地表示为
其中,(矩阵Ci为对角矩阵,对角线元素为相应的区间变量均值),为量纲一特征矩阵。
式(3)给出的椭球模型主轴与坐标轴存在角度偏移,为使样本点尽可能多地落在椭球模型可行域内,提高二次多项式近似精度,引入线性变换
其中,Qi为正交矩阵,其列向量为的单位特征向量;Λi为对角矩阵,其对角线元素为相应的的特征值,满足,将椭球模型变换为中心位于坐标原点半径为1的球模型,然后将式(4)代入式(3),则椭球模型可描述为
2 混合型可靠性计算模型
设系统极限状态函数为
其中,为随机变量矢量,随机变量的个数为NX;为区间变量矢量,区间变量的个数为NY。将区间变量的变换关系式代入式(6),则极限状态函数可写为G=g(X,E)。
设G<0时系统失效,则系统失效概率pf可表示为pf=Pr{g(X,E)<0},其中Pr{·}表示概率。因未知区间变量E的概率分布,不能获得准确的失效概率。利用条件概率公式,可得失效概率的最小值pf,min和最大值pf,max的计算公式:
其中,gmax(X,E)和gmin(X,E)分别表示在可行域S内极限状态函数的全局最大值和最小值。
由式(7)和式(8)可见,系统失效概率的最小值和最大值分别为最大极限状态函数和最小极限状态函数的失效概率。这本质上为一个双层循环求解问题:内循环为区间分析,在可行域S内搜寻极限状态函数的极限值;外循环为概率分析,求解最大极限状态函数或最小极限状态函数的失效概率。
双层循环增加了可靠性分析问题的复杂性,会大幅度增加极限状态函数的调用次数。对于复杂机械系统,极限状态函数一般由计算机数值仿真模型(如有限元模型、流体动力学模型等)隐式表述,极限状态函数调用次数的增加,会导致计算效率低下,增大可靠性分析及设计的难度。
为提高随机变量和非独立区间变量混合情况下的可靠性计算效率,本文采用高维模型表示方法,将双层循环问题转化为单步问题,提出了一种单步快速的可靠性计算方法。
2.1 高维模型表示方法(HDMR)
高维模型表示方法是一种用于模型近似的处理方法,它常用于近似高维度输入系统的响应函数。研究表明,低阶的高维模型表示方法可精确描述大部分工程中的极限状态函数[18]。
本节主要介绍如何采用HDMR描述极限状态函数g(X,E)。设Z=(X,E)T,则g(X,E)可写为g(Z)。基于高维模型表示方法,g(Z)可表示为
其中,NZ为Z向量的元素个数,NZ=NX+NY;g0为0阶分量函数,为常量;gi(Zi)为1阶分量函数,表示输入变量Zi单独作用时对输出响应g(Z)的影响;gij(Zi,Zj)为2阶分量函数,表示输入变量Zi和Zj共同作用时对输出响应g(Z)的影响;更高阶的分量函数表示多个输入变量共同作用时对输出响应g(Z)的影响;最后一项表示所有残余的耦合输入变量对输出响应的影响。
切割法(cut-HDMR)是一种确定高维模型各个分量函数的常用方法。在切割法中,首先选定参考点c,再计算经过参考点c的线、平面、体积等切割几何上的响应值,分别确定各个分量函数。实际使用中,参考点c一般选定为输入变量可行空间内最感兴趣的点。
利用切割法,各分量函数可表示为
其中,g(Zi,ci)=g(c1,c2,…,ci-1,Zi,ci+1,…,cl),表示除了分量Zi,其余所有输入变量均固定在参考点c处,它是一个一元函数;类似地,g(Zi,Zj,cij)为二元函数;最后项g12…l(Z1,Z2,…,Zl)由真实响应值和基于高维模型表示方法的预测值的残差确定。
在高维模型表示方法中,1阶、2阶、3阶等分量函数与泰勒级数展开式中相应的分量函数有着本质区别。经证明,高维模型表示方法中的1阶分量函数gi(Zi)是泰勒级数展开式中仅含有变量Zi分量函数的集合;类似地,2阶分量函数gij(Zi,Zj)是泰勒级数展开式中仅含有变量Zi和Zj分量函数的集合。1阶分量函数gi(Zi)可以是非线性的。因此,较截断的泰勒级数展式,任意相应截断的高维模型表示方法的展式具有较高的精度。
2.2 单步可靠性计算模型
若极限状态函数可描述为关于随机变量和区间变量相互分离的两部分函数,则双层循环问题可变为单层问题,提高计算效率。
利用1阶HDMR展式,极限状态函数可近似为
如前所述,1阶HDMR展式gi(Xi)和gi(Ei)分别是泰勒展式内仅含有变量Xi和Yi所有分量函数的集合,因此,相对于1阶泰勒展式,1阶HDMR展式没有限定近似表达式的非线性。这提高了1阶HDMR展式的近似精度。
基于1阶HDMR展式的近似表达式,失效概率的最小值和最大值的计算模型可写为
其中,GGmin和GGmax分别表示在可行域S内极限状态函数的全局最小值和最大值,计算式分别为
由此可见,基于1阶HDMR展式,随机变量和区间变量下的混合型可靠性计算模型已转化为单步可靠性计算模型:首先使用非线性约束优化法求得GGmin和GGmax,再使用常规可靠性分析方法,如蒙特卡罗法(MCS)、一次二阶矩法(FORM)等,求得失效概率上下限。
3 计算失效概率
使用单步可靠性计算模型计算失效概率上下限时,需确定参考点c和各个一元函数表达式。参考点c对可靠性计算结果的精度具有一定的影响。为提高精度,参考点c一般选定为输入变量可行空间内最感兴趣的点。区间变量的可行区间往往较小,区间变量可行区间内的中点可兼顾两个边界点,为此,将区间变量可行区间内的中点及区间变量固定在中点时的最大概率点(MPP)对应的随机变量值设定为参考点c。
最大概率点u*的数学计算模型为
其中,为独立的随机变量矢量,服从标准正态分布,由随机矢量X经Rosenblatt变换获得。
一旦求得MPP,则参考点c为
其中,Φ(·)为标准正态分布函数;为随机变量Xi的分布函数的逆函数。
基于求得的参考点c,使用二次多项式近似表达各个一元函数表达式。设gi(Xi,ci)和gi(Ei,cn+i)的近似式分别为
其中,ai0、ai1、ai2、bi0、bi1和bi2分别为二次多项式的待定系数。
采用最小二乘法求解各个二次多项式的待定系数。在最小二乘法中,对于随机变量Xi,沿过参考点c的Xi轴,在[μi-3σi,μi+3σi]区间内均匀分布k(k=5,7,9)个样本点,如图2所示,其中μi和σi分别为随机变量Xi的均值和标准差。各个样本点的坐标值为μi-3σi,μi-3σi+6σi/(k-1),…,μi,μi+6σi/(k-1),…,μi+3σi。对于变换后的区间变量Ei,沿过参考点c的Ei轴,在[-1,1]区间内均匀分布k(k=5,7,9)个样本点,如图2所示。各个样本点的坐标值为-1,-1+2/(k-1),…,0,2/(k-1),…,1。
将式(20)和式(21)代入式(14)~式(17),可得失效概率的最小值和最大值的计算式分别为
其中,GGmin和GGmax的计算式分别为
因均为显式表达式,则GGmin和GGmax可由现有的非线性优化算法快速求解获得,如二次序列规划算法(SQP);代入求得的GGmin和GGmax,使用蒙特卡罗法(MCS)求解失效概率的最小值和最大值。
一旦最大概率点(MPP)和各个二次多项式系数确定,基于HDMR的混合型可靠性计算方法就无须再调用原始的状态极限函数。这可大幅度提高计算效率,尤其当极限状态函数以隐式的计算机仿真模型表述时,调用一次状态极限函数的用时一般较长。为高效求得最大概率点,已有学者提出了较多的数值算法,如HLRF法[19,20]、iHLRF法[21]等。作为HLRF法的改进,iHLRF法引入了价值函数,在处理非线性度较高的极限状态函数时仍具较好的收敛性,故被广泛应用。为此,采用iHLRF法求解最大概率点。
4 算例
在MATLAB下,编写了提出的单步可靠性算法可执行程序,计算了两个混合型可靠性分析算例,其中第一个算例的非线性较低,输入变量的维度较低,相比于第一个算例,第二个算例的非线性度较高,输入变量的维度也较高,用于验证提出的单步可靠性算法在处理较高非线性和高维度时的计算效率及精度。在算例中,使用调用原始极限状态函数的次数Nc评定计算效率。尽管两个算例的极限状态函数均以显式表达式给出,但都编写成了可执行程序,故对于调用函数,极限状态函数是隐式的。在用于求解最大概率的iHLRF算法中采用向前有限差分法计算极限状态函数关于随机变量的梯度。
4.1 悬臂梁
某悬臂梁末端受外部载荷,其中,水平方向分量为Px,垂直方向分量为Py,如图3所示。当梁末端位移大于末端许用位移D0时,认为刚度失效,则极限状态函数为
其中,L为悬臂梁长度;b和h分别为矩形梁截面的宽度和高度;E为材料弹性模量。
已知,末端许用位移D0=65mm。表1给出了各个随机变量的分布参数及区间变量的特征矩阵,其中,L、b和h均服从正态分布;弹性模量E为独立区间变量,载荷分量Px和Py为非独立区间变量。
为研究不同样本数量对计算结果精度的影响,在使用提出的可靠性计算方法计算失效概率时,令k值分别为5、7和9。表2给出了不同k值时的失效概率结果。为验证计算结果的精度,同时使用了蒙特卡罗法计算失效概率。因蒙特卡罗法仅能计算系统中不确定性都为随机变量的工况,故在使用蒙特卡罗法时,将各个区间变量在可行域内均布取样30个点,对满足多椭球模型约束条件的区间样本点,调用107次原始极限状态函数,计算失效概率,最后挑选出失效概率的最小值和最大值,作为失效概率的上下限。由表2可见,当k值等于9时,计算结果与蒙特卡罗法获得的结果较接近,具有较高的计算精度;根据Nc可知,提出的基于HDMR的单步可靠性计算方法可较少地调用原始极限状态函数,求得较高精度的失效概率上下限值。
4.2 悬臂圆筒
某悬臂圆筒受外部载荷如图4所示:集中力F1、F2,P和扭矩T。当最大等效von-Mises应力σmax超出材料屈服极限σs时,认为悬臂圆筒强度失效,极限状态函数可写为
最大等效von-Mises应力位于悬臂圆筒根部截面上端点,其计算式为
其中,σx为该点处的正应力,表达式为
其中,M为该截面处弯矩,A为截面面积,I为截面惯性矩,τzx为该点的切应力。
表3给出了各个随机变量的分布参数及区间变量的特征矩阵,其中θ1和θ2为独立区间变量,其余不确定性变量均为随机变量。
比较研究了k值对计算结果精度的影响,表4给出了基于提出的方法,令k值分别为5、7和9时的计算结果。为验证计算结果的正确性,在蒙特卡洛法中,将两个区间变量在可行域内均布取样50个点,对满足多椭球模型约束条件的区间样本点,调用106次原始极限状态函数,计算失效概率,最后挑选出失效概率的最小值和最大值,作为失效概率的上下限。由表4可见,k值对该算例的计算结果几乎没有影响,并在k值较小时,失效概率上下限已接近基于蒙特卡罗法获得的值;根据Nc可得提出的基于HDMR的单步可靠性计算方法计算效率高。
5 结语
针对机械系统中随机变量和非独立区间变量共存的常见工况,基于椭球模型,利用HDMR法,提出了单步可靠性计算模型;使用多项式近似,提出了一种快速可靠性计算算法。由算例结果表明:该算法仅利用少量的原始极限状态函数的响应信息,或较少的调用次数,即可快速地计算获得较高精度的失效概率上下限。
在处理极限状态方程关于输入变量在可行区间内高度非线性情况时,基于二次多项式函数近似的高维模型的一阶分量函数可能会存在较大的误差,影响计算精度,提出多项式函数阶数自适应极限状态方程非线性的近似方法是一种可行的改进方法。
摘要：随机变量和非独立区间变量往往共存,两种变量共存不仅导致出现双层优化问题,而且会降低可靠性的计算效率。为解决双层优化问题和提高可靠性计算效率,基于椭球模型描述的非独立区间变量,利用高维模型表示方法(HDMR)解耦随机变量和非独立区间变量,转换双层优化问题为简单的单步求解问题,基于提出的采样方法,利用二次多项式近似HDMR展式,将隐式的单步求解问题转化为显式问题,提出了一种混合型单步可靠性计算方法。算例结果表明,所提出的单步可靠性计算方法具有较高的计算效率和精度;该方法仅需少量的极限状态函数调用次数,即可获得较高精度的计算结果。