函数自变量的取值范围

函数自变量的取值范围（通用4篇）

函数自变量的取值范围 篇1

例1已知△ABC中, a=k, b=2, B=45°, 若三角形有两解, 则实数k的取值范围为 ()

解法1: (几何意义法) 如图1, AC=b=NC=2, 是圆周角为45°的点的轨迹, 要使三角形有两解, 只需B1与B2关于CM对称,

所以有2<k<2, 故选 (C) .

方法2: (函数法) 因为在△ABC中, a=k, b=2, B=45°,

因为B=45°, 所以0<A<135°,

解法3: (不等式法) 由余弦定理可得:4=c2+k2-2ckcos45°, 即

因为解此三角形有两解, 所以方程有两个不等的正根.所以Δ=2k2-4 (k2-4) >0, 且k2-4>0, 且所以故选 (C)

例2已知点A (1, 0) 和B (1, 2) 是圆x2+y2-2x-2y+1=0上的两点, 若在直线y=kx-1上存在点P使得, 则k的取值范围是 ()

(A) k≥1 (B) k≥3/4

(C) k≤1 (D) k≤3/4

解法1: (几何意义法) 由知, 点P在圆x2+y2-2x-2y=0上, 又点P在直线y=kx-1上, 故直线与圆有交点, 由图像知, 选 (B) .

解法2: (不等式法) 由知, 点P在圆x2+y2-2x-2y+1=0上, 又点P在直线y=kx-1上, 故直线与圆有交点, 则方程组

消y得: (k2+1) x2- (4k+2) x+4=0, 则此方程有解, 故 (4k+2) 2-16 (k2+1) ≥0, 解得:

解: (函数法) 画出函数f (x) 的图象, 如图3所示, 则1<x2<e2, 由f (x1) =f (x2) 得|lnx1|=|lnx2|, 所以-lnx1=lnx2,

函数自变量的取值范围 篇2

一、判别式法

例1 已知函数f (x) =ax2+ax+1, 若f (x) >0在R上恒成立, 求实数a的取值范围.

解析 当a=0时, f (x) =1>0恒成立, 当a≠0时, 应有

undefined

综上, 所求a的取值范围是0≤a<4.

上面的解法就是判别式法, 它利用二次方程的判别式通过三个二次方程、不等式、函数之间的关系来解题, 在遇到有关二次不等式的恒成立问题时应用这种方法有时很简单.

大家可以考虑下面几个问题:

1.若f (x) =x2+ax+1<0恒成立, 求a的取值范围.

2.若f (x) =x2+ax+1≥0恒成立, 求a的取值范围.

注意:当二次项系数含有参数时, 要考虑它为0时的情况.

二、改变主元法

例2 已知undefined, 若对任意的a∈ (0, +∞) , f′ (x) >x2-x-a+1恒成立, 求实数x的取值范围.

解析f′ (x) >x2-x-a+1, 即a (x2+2) -x2-2x>0, 因此, a (x2+2) -x2-2x>0在a∈ (0, +∞) 时恒成立, 这时若令g (a) =a (x2+2) -x2-2x, (a>0) , g (a) >0应恒成立, 考虑到g (a) 是单调增函数, 因此只需g (0) ≥0即可.由-x2-2x≥0, 得到-2≤x≤0.故所求x的取值范围是[-2, 0].

我们的学生拿到这个问题时, 大都受到原题的影响, 只把x当成是自变量, 在二次函数上思考, 但发现所给定的是a的范围, 我们不妨把a看成是主元, 把x看成参数, 问题就迎刃而解了.这种解题的方法通常叫改变主元法, 同学们解题时若能利用好这种方法, 可能会达到事半功倍的效果.

三、分离参数法

例3 已知f (x) =2x-2-x, 若2tf (2t) +mf (t) ≥0对于t∈[1, 2]恒成立, 求实数m的取值范围.

解析 2tf (2t) +mf (t) ≥0,

即2t (22t-2-2t) +m (2t-2-t) ≥0,

即m (22t-1) ≥- (24t-1) .

∵t∈[1, 2],

∴2t-1>0,

∴m≥- (22t+1) .

∵t∈[1, 2], [- (22t+1) ]max=-5,

∴m≥-5.

这题的解法中由m (22t-1) ≥- (24t-1) , 得m≥- (22t+1) , 就是分离出了我们要求的参数m, 从而求出了它的范围.这种方法就叫做分离参数法, 分离时一定要注意参数的系数, 有时可能要讨论符号.

再如:已知undefined, 若f (x) >0恒成立, 求实数k的取值范围.

解析f (x) >0, 即x2+kx+1>0.

当x=0时, k∈R;

undefined

因此我们得到k的范围是k>-2.

这题我们分离参数时如果不考虑x=0的情况, 就要失分.

四、数形结合法

例4 已知:当x∈ (1, 2) 时, 不等式 (x-1) 2

解析 设y1= (x-1) 2, y2=logax, 作出它们的图像如图.

由图像可知, a>1, 且当x=2时, y2的值要大于等于y1的值, 所以loga2≥1, 因此得到要求的a的范围是1

这种方法就是数形结合法, 要想用好这种方法, 不仅要能熟练地画出所学的几种常见的函数的图像, 而且要能搞清数与形的关系, 既要充分发挥形的直观性, 又要注重数的严谨性.

函数自变量的取值范围 篇3

函数题中求参数的取值范围是高考中经常出现的问题, 常用的解题方法是分离参数法, 转化为求新函数的最值;但如果解析式中含ex、lnx或sinx等, 则新函数的最值可能难以计算, 导致无法做下去.下里例谈几种确定参数取值范围的方法.

二、问题的解决

1.普遍方法———分离参数法

2如果g (x) 单调递减, 同理可求得a≥0.

综上:a的取值范围是[0, +∞) .

点评:通法容易理解掌握, 若新函数的最值易求, 则此通法为上策.

2.结构变形———运用整合思想法

点评:数学是研究结构式的一门科学, 善于利用数学表达式的结构解决问题是具备较高数学素养的表现之一.

3.移项转化———画基本函数的图像解决

点评:数学家华罗庚说:“数缺形时少直观, 形缺数时难入微.”在解题中应结合图像通过移项、重组等方式将问题转化为常见的、熟悉的函数 (一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等) .通过图像研究函数问题是具备较高数学素养的表现之一.

4.图像转化

解析:函数y=f (x) 图像如图3所示, 令f (x) -m=0得f (x) =m有三个零点, 即y=f (x) 与y=m两个图像有三个交点, 由图知0<m<1.

点评:遇到与抽象函数、超越函数、超越方程、超越不等式、分段函数等有关的问题, 应尽量由题意转化为图像进行解决, 类似的问题如2012年高考题:当, 则a的取值范围是.

5.猜想转化———得到目标再试证

下略.

点评:先猜再证, 目标明确就有证题方向了.

6.放缩转化———丢ex、lnx或sinx

三、结束语

函数自变量的取值范围 篇4

例1对于满足|p|≤2的所有实数p, 求使不等式x2+px+1>2x+p恒成立的x的取值范围.

解析:不等式x2+px+1>2x+p转化为 (x-1) p+x2-2x+1>0

则原题转化为f (p) = (x-1) p+x2-2x+1>0在[-2, 2]上恒成立,

所以x<-1或x>3.

评析:本题根据所给条件将不等式移项, 构造关于p的一次函数f (p) , 问题就转化为f (p) min>0.若函数f (p) 单调递增, 则最小值为f (-2) , 所以f (-2) >0, 此时f (2) >0也成立.若函数f (p) 单调递减, 则最小值为f (2) , 所以f (2) >0也成立, 此时f (-2) >0.所以不论函数f (p) 的单调性如何, 只要通过不等式组 (*) 就可以求出参数范围.

例2 (2009江西卷文) 设函数.若对于任意实数x, f' (x) ≥m恒成立, 求m的最大值.

解析: (1) f' (x) =3x2-9x+6=3 (x-1) (x-2) ,

因为x∈ (-∞, +∞) , f' (x) ≥m恒成立, 即3x2-9x+ (6-m) ≥0恒成立,

所以Δ=81-12 (6-m) ≤0,

解得, 即m的最大值为

评析:本题是将f' (x) ≥m恒成立转化为f' (x) -m≥0恒成立, 利用二次函数判别式求解.

例3已知定义在R上函数f (x) 为奇函数, 且在[0, +∞) 上是增函数, 对于任意x∈R, f (cos2θ-3) +f (4m-2mcosθ) >0恒成立, 求实数m的取值范围.

解析:因为f (x) 在R上为奇函数, 且在[0, +∞) 上是增函数, 所以f (x) 在 (-∞, +∞) 上为增函数.

又因为f (cos2θ-3) +f (4m-2mcosθ) >0,

即f (cos2θ-3) >-f (4m-2mcosθ) =f (2mcosθ-4m) ,

所以cos2θ-3>2mcosθ-4m,

即2m (2-cosθ) >3-cos2θ (*)

方法一:cos2θ-mcosθ+2m-2>0, 令cosθ=t,

则g (t) =t2-mt+2m-2>0在[-1, 1]上恒成立,

1.当<-1, 即m<-2时,

综合1、2、3可得

评析:第一种方法是将问题转化为研究二次函数在指定区间上的最值, 是常规解法, 关键要讨论对称轴与区间的相对位置关系;第二种方法则是通过对变量m分离, 通过换元, 进而研究函数h (t) 的最大值, 问题就迎刃而解了.以上两种方法的实质都是通过研究函数的最值, 只是后者通过变量分离之后研究函数最值, 可以避免复杂的讨论, 这种解题思想在解题中经常遇到.但是, 需注意若参数m既有一次式, 也有二次式, 就无法分离, 还得通过讨论研究函数最值.

关键词：函数最值,参数,取值范围

参考文献

[1]霍庆元、徐广卫.两类不等式恒成立问题的解法[J].高中数学教与学.2009. (06) .45~46

[2]马运春、石磊.恒成立问题求解策略[J].数理化解题研究 (高中版) .2009. (07) .14~16

[3]高小娟.浅谈不等式中恒成立问题的处理[J].考试 (高考数学版) .2009 (.Z4) .111~112.110