分离变量法

分离变量法（共7篇）

分离变量法 篇1

一、引言

数学物理方程是研究物理学以及其他自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程的学科, 它是具有广泛应用背景的一门数学基础理论课程, 不论从事基础研究, 还是工程技术开发工作都离不开它。客观世界的复杂性, 导致描述关系的数学方程的复杂性, 使这些偏微分方程都含有较多的自变量, 其求解相当复杂。如何简化求解方法, 成为求解数理方程的一个重要方面。分离变量法就是一种求解偏微分方程的普遍的重要方法。该方法可将偏微分方程分离为常微分方程使得一些偏微分方程变得可解。先求数学物理方程通解的办法只适用于极少数的某些定解问题, 而分离变量法是定解问题的一种基本解法, 适用于大量的有限域上的初边值问题[1- 2]。文中所用记号和术语均来自[3].

二、分离变量法求解数学物理方程的思想

分离变量法的提出是受“驻波”问题的启示, “驻波”是振动现象中的一种常见形式。描述“驻波”的偏微分方程, 可表示为变量分离状态的形式。虽然我们是从驻波引出解题的线索, 其实整个求解过程跟驻波并没有特殊的关系。简单说来, 分离变量法就是利用方程与边界条件的线性性质和齐次性质, 首先把偏微分方程分离为常微分方程, 找到满足方程和边界条件的特解, 然后将这些特解线性叠加, 使其满足初始条件, 方程则解出。

三、分离变量法求解数学物理方程的应用

( 一) 求解带有齐次边界条件的齐次方程的初边值问题

研究两端固定的均匀弦的自由振动, 即定解问题:

( 二) 分离变量法求解带有齐次边界条件的非齐次方程的初边值问题

首先根据叠加原理将初边值问题分解为两个初边值问题, 一个是带有非齐次初始条件的齐次方程的初边值问题, 求解方法见3. 1。另外一个是带有齐次初始条件的非齐次方程的初边值问题, 该初边值问题的求解利用齐次化原理, 同样可以转化为带有非齐次初始条件的齐次方程的初边值问题。

( 三) 求解带有非齐次边界条件的初边值问题

如果边界条件是非齐次的, 首先将边界条件齐次化。就是选取一个与未知函数u具有相同边界条件的已知函数U, 一般情况下我们取最简单的线性函数。再作变换V = u - U, 带入关于u的初边值问题, 导出新的关于V的初边值问题, 这是V所满足的边界条件就是齐次的了。V的求解见3. 1和3. 2。

四、结论

分离变量法就是把偏微分方程转化为常微分方程进行求解。首先根据所给的初边值问题看是否需要边界条件齐次化, 再者看是否需要方程齐次化。最主要的环节就是求解特征值问题。该法是否有效, 主要是看特征值是否存在, 特征函数族是否正交, 所给的已知函数能否按特征函数族展开。如果是三角函数族的情况, 我们可以用傅里叶级数解决。

参考文献

[1]张健.数学物理方程的分离变量法[J].青海师范大学学报, 2011, (3) :17-19.

[2]智丽丽.分离变量法在数学物理方程中的应用[J].昌吉学院学报, 2013, (1) :68-72

[3]谷超豪, 李大潜.数学物理方程[M].高等教育出版社, 2012.

分离变量法的瞬态高温实验研究 篇2

分离变量法属于外推法理论,所谓外推法,就是已知被测物一个表面的温度,运用传热学原理推导出被测物另一个面的温度.外推法的研究和应用早在20世纪40年代就开始了.当时,联邦德国国防军试验基地在测试武器身管温度分布时,就是用图解法外推出膛壁温度[1].此后,在20世纪50年代、60年代仍在继续研究.到20世纪70年代由于电子计算机的发展和广泛应用,使外推技术有了进一步的发展,采取了有限差分法和分析法外推.于此时期,美国的Hurray Imber 和 Jamal Kuan等人发表多篇论文,阐述了分析外推方法及影响其精度的一些因素[2].美国的Ching Jen Chen 和Darrel Mthomsent发表了由壁内温度变化规律推算出圆筒内表面瞬时热流密度的文章,同样是对分析外推方法的研究.文中根据黑体腔内表面温度,利用分离变量法外推出黑体腔外表面温度,也即被测物温度,在实验条件下对分离变量法进行了可行性验证.

1 光纤温度传感器测试系统组成及工作原理

蓝宝石光纤温度传感器测试系统主要由蓝宝石光纤黑体腔、锥形光纤、耦合模块、传输光纤、窄带低噪声光电探测器、数据处理模块等组成,装置示意图如图1所示.

在实际测温时,将黑体腔置于被测物测温点上,黑体腔发出波长为λ的辐射信号,辐射信号通过锥形光纤传导至耦合模块,耦合模块可以使辐射信号减少衰减,使光信号最大限度地远距离传输.辐射信号经传输光纤进入窄带低噪声光电探测器,将光信号转换为电信号,再通过数据处理模块的相关测温软件绘制出温度时间曲线[4].这里所得出的温度时间曲线是黑体腔内表面的温度时间曲线,黑体腔外表面的温度时间曲线将由分离变量法外推得出.

2 分离变量法外推原理

如图2所示,在蓝宝石端部覆盖高温陶瓷材料构成黑体腔.高温材料能够承受2 000℃以上的高温,当黑体腔外表面温度达到高温Tg时,由于温度作用时间很短,黑体腔没有达到热平衡,黑体腔内表面温度为Tp(Tp <Tg),没有达到蓝宝石光纤的熔点.根据光纤输出端测得的电压信号,可以确定输出温度-时间曲线.此时温度为黑体腔内表面温度Tp(t).选择黑体腔内表面为等温面Xp层,高温陶瓷材料导温系数为α,膜层厚度为δf,将以上数值代入传热学基本方程中,利用分离变量法推导出黑体腔外表面温度Tg(t).

根据传热学原理,黑体腔数学模型基本方程建立如下

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial {\rm T}}{\partial \tau }=\alpha \frac{\partial {}^2{\rm T}}{\partial X{}^2}\\ {\rm T}(X‚0)={\rm T}{}_0\\ {\rm T}(L{}_0‚\tau )={\rm T}{}_0\\ {\rm T}(X{}_p‚\tau )={\rm T}{}_p(\tau )\end{array}(1)$

式(1)中:T为待测温度,α为陶瓷材料的导温系数,L0为黑体腔膜层厚度,T0为初始温度,Tp(t)为Xp处等温面上的实测温度随时间τ的变化.

式(1)边界条件非齐次化,首先对其边界条件齐次化.并引入辅助函数$w(x,\tau )=\frac{x}{l}[{\rm T}{}_0-{\rm T}{}_p(\tau )]+{\rm T}{}_p(\tau )$,令T(x,τ)=u(x,τ)+w(x,τ), 再由叠加原理将u(x,τ)分解为u1(x1,τ)和u2(x1,τ),即u(x,τ)=u1(x,τ)+u2(x,τ),最后对u1(x1,τ)和u2(x1,τ)进行拉普拉斯变换,得到黑体腔膜层温度表达式(2).

${\rm T}(x,\tau )={\displaystyle \sum _{n=1}^{{\rm N}}f}(x,\tau )+g(x,\tau )(2)$

其中

$\begin{array}{l}f(x,\tau )=\frac{2}{n\text{π}}\sin \left(n\text{π}\frac{x-X{}_p}{L{}_0-X{}_p}\right)\\ [{\rm T}{}_{o}e{}^{(-\frac{n\text{π}}{L{}_0-X{}_p}){}^2\frac{a}{2}\tau }-{\rm T}{}_p(\tau )+\frac{(n\text{π}){}^{2}a}{2(L{}_0-X{}_p){}^2}{\displaystyle {\int }_2^{\tau }}\end{array}$

${\rm T}{}_p(\xi )e{}^{-(\frac{n\text{π}}{L{}_0-X{}_p}){}^2\frac{a}{2}(\tau -\xi )}\text{d}\xi ](3)$

$g(x,\tau )=\frac{x-X{}_p}{L{}_0-X{}_p}[{\rm T}{}_0-{\rm T}{}_p(\tau )]+{\rm T}{}_p(\tau )(4)$

当x=0时,

${\rm T}(0,\tau )={\displaystyle \sum _{n=1}^{{\rm N}}f}(0,\tau )+g(0,\tau )(5)$

即为黑体腔外表面温度表达式.经论证,N取278以上时,${\displaystyle \sum _{n=1}^{{\rm N}}f}(x,\tau )$的值的变化范围为±0.1℃,即N=278.

3 实验验证

实验验证示意图如图3所示,瞬态高温的产生和模拟可以通过激光器加热光纤黑体腔探头实现,黑体外表面的真实温度用红外测温仪探测.这样就可以得到两方面的温度变化情况,即黑体腔外表面的瞬态温度T0和由传感器系统测得的黑体腔内表面的温度T1.

T1可以作为传热方程的边界条件来进行外推.

如果外推温度T′0(曲线2)与红外测温仪得到的温度-时间曲线T0(曲线3)在不确定度范围内是一致的,说明外推模型是合理正确的.

由于实验条件限制,采用温度值在1 200 ℃左右进行验证.实验中用CO2激光器给传感头施加瞬态高温,黑体腔发热产生电磁辐射,辐射信号通过光纤传导至窄带低噪声光电探测器,将光信号转换成电信号,由数字存储示波器记录所输出的电信号.电压时间波形如图4所示.

将电压转换成温度,由式(6)计算

V=KR(T) (6)

其中,K为光电探测器灵敏度系数,K的具体值需要静态标定,实验标定结果为K=18.535 7 V/W.

其中

R(T)=∫${}_{\lambda {}_0+△\lambda /2}^{\lambda {}_0+△\lambda /2}$ψ(λ,T)dλ

$\psi (\lambda ‚{\rm T})=\frac{ac{}_1}{\lambda {}^5[\exp (c{}_2/\lambda {\rm T})-1]}$

其中,a为黑体腔出口进入光纤的面积,λ为辐射光波长,T是绝对温度,c1=3.741 83×10-16(W·m2)为第一辐射常数,c2=1.438 79×102(m·K)为第二辐射常数,λ0为干涉滤光片中心波长,△λ为带宽.

根据图4和式(6)可计算出黑体腔内表面温度值Tp,如表1、表2所示.

根据表1、表2,用Matlab拟合黑体腔内表面温度值,拟合结果如图5所示.黑体腔内表面温度最高值出现在53.5 ms处,大小为964℃.

当x=0时,T(0,τ)=${\displaystyle \sum _{n=1}^{{\rm N}}}$f(0,τ)+g(0,τ),T(0,τ)即为所求的黑体腔外表面温度.N取278,黑体腔长度L0=8 mm,黑体腔膜层厚度Xp=50 μm,黑体腔材料导热系数α=3.144×10-6m2/s.在上述条件下可求出黑体腔外表面温度值Tg的各样点值,如表3、表4.

根据表3、表4,用Matlab拟合黑体腔外表面温度值,拟合结果如图6所示.图6中带*的曲线表示黑体腔内表面温度,不带*的曲线表示黑体腔外表面温度.黑体腔外表面温度最高值出现在49.7 ms处,大小为1 127℃.

在此实验条件下,采用红外测温仪测得的黑体腔外表面温度最高值出现在49.7 ms,为1 174 ℃.把外推结果(表3、表4中的Tg和图6中不带*的曲线)和红外测温仪测得的黑体腔外表面温度值对比可得出:在最高温度相差47℃,而黑体腔内表面的最高温度(出现在53.5 ms处,大小为964℃)与Modline5-5R红外测温仪测得的黑体腔外表面温度最高值相差210℃,可见,外推以后的结果更为合理.

4 误差分析

建模过程中引入了误差.一方面,在建模过程中假设黑体腔导热程是一个半无限大物体导热,但现实中并不存在这样的半无限大物体;另一方面,只考虑了垂直于黑体腔表面方向的传热,而忽略了平行于黑体腔表面的传热(也即黑体腔轴向传热),这给传热分析带来了一定误差.

5 结 论

在传热学和黑体辐射定律的基础上,将蓝宝石光纤黑体腔传感器与外推方法相结合,拓展了蓝宝石光纤黑体腔温度传感器的测温上限,在温度测试中降低了对传感器的性能要求,可以将该方法推广到更高的温度测试当中,具有一定的实用意义.

参考文献

[1]Rumsey C B.Techniques and Instrumentation Associatedwith Rocket Model Heat-Transfer Investigation.ReportAGARD[R],1997,8.

[2]F Kreith,MS Bohn.Principles of Heat Transfer[M].4thEd.Harper&Row,1986:136-137.

[3]王瑞.蓝宝石光纤黑体腔传感器外推测试技术研究[D].太原:中北大学,2009:30-34.

变量分离法解高考题 篇3

例1 (2013年全国高考新课标卷 (Ⅰ) 理科数学第21题) 设函数f (x) =x2+ax+b, g (x) =ex (cx+d) , 若曲线y=f (x) 和曲线y=g (x) 通过P (0, 2) , 且在点P处有相同的切线y=4x+2.

(Ⅰ) 求a、b、c、d的值;

(Ⅱ) 若x≥-2时, f (x) ≤kg (x) , 求k的取值范围.

解: (Ⅰ) 略.

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, f (x) =x2+4x+2, g (x) =2ex (x+1) .

下面分三种情况进行讨论:

⑴当x=-1时, f (x) =-1, kg (x) =0, 不等式成立, k∈R.

当-2≤x<-1时, G′ (x) ≥0, G (x) 在 (-2, -1) 上是增函数, 所以G (x) 的最小值为G (-2) , G (-2) =e2, 可知k≤e2.

对上述三种情况求交集, 得k的取值范围为[1, e2].

评析:显然, 解答该题可以从g (x) 小于0, 等于0, 大于0入手进行变量分离, 且变量分离后讨论最值求k的取值范围时运算简捷, 容易得到正确的答案.

综上所述, a=4.

评析:在例2的求解过程中, 欲对参变量a进行分离, 根据不等式性质, 需将a的系数x3分为等于0, 大于0, 小于0, 然后再分类进行讨论, 想法易得, 水到渠成.

例谈变量分离解决恒成立问题 篇4

一、函数问题

例1 已知函数 ( x≠0) , 常数a∈R. 若函数f ( x) 在x∈[2, + ∞ ) 上为增函数, 求a的取值范围.

解.问题转化为2x3-a≥0在[2, +∞) 恒成立, 变量分离得a≤2x3在[2, +∞) 恒成立, 令g (x) =2x3, 则g (x) 在[2, +∞) 上为增函数, 其最小值为g (2) =16.∴a的取值范围是 (-∞, 16].

二、不等式问题

例2 已知函数f ( x) = ax4lnx + bx4- c ( x > 0 ) 在x = 1处取得极值- 3 - c, a, b, c为常数.

( 1) 讨论函数f ( x) 的单调区间;

( 2) 对任意x > 0, 不等式f ( x) ≥ - 2c2恒成立, 求c的取值范围.

解 ( 1) 略. ( 2) 由 ( 1) 知f ( x) 在x = 1 处取得的极小值f ( 1) = - 3 - c也是最小值, 要使f ( x) ≥ - 2c2恒成立, 只需-3- c≥ - 2c2, 解得c的取值范围是.

三、数列问题

例3设是否存在实数a, 使不等式对于一切大于1的自然数n都恒成立?若存在, 试确定a的取值范围, 否则说明理由.

解∵, ∴数列{an}为递增数列, 其最小值为.问题转化为, 解这个不等式, 得.所以符合题意的实数a存在, 其取值范围是.

四、方程问题

例4 已知a∈ ( 0, 1) , 且logax + 3 logxa - logxy = 3, 若y有最大值时, 求x与a的值.

解利用换底公式, 题设等式可化为, 以y为主变量分离得:.∵a∈ (0, 1) , ∴当y取大值时, logay取最小值, 又logax∈R∴, 解得.∴.综上, 当y取最小值时

五、主次变量问题

例5 对于| p| ≤2 的所有实数P, 求使不等式x2+ px -1 > 2x + p恒成立的x的取值范围.

解将变量分离, 有x2-2x-1>p (1-x) .当1-x>0时, 由p∈[-2, 2], 得, 即x2-2x-1>2-2x.又x<1, ∴同理当1-x<0时, 有, 这时由-2≤p≤2, 有, 解得:

综上, 所求x的取值范围是或

小结1. 恒成立问题, 往往通过变量分离后可达到如下形式: a≥f ( x) 恒成立 a≥f ( x) max; a≤f ( x) 恒成立 a≤f ( x) min.

2. 解决这问题的步骤是:

( 1) 从F ( x, p) > 0 出发, 将x与p分离, 写成g ( p) <φ ( x) 或g ( p) > φ ( x) 的形式;

( 2) 在x∈[a, b]上求 φ ( x) 的最大值M或最小值m;

分离变量法 篇5

丙烯精馏塔是炼油厂气体分馏装置和化工厂气体分馏装置中重要的操作单元, 其主要目的就是分离出高纯度的聚合级丙烯供聚丙烯装置使用。由于丙烯的纯度将直接影响其产品——各种牌号聚丙烯的质量, 所以丙烯精馏塔的过程控制显得尤为重要。

由于丙烯的相对挥发度很小, 实际操作很复杂, 故不易分离。而且丙烯的实际生产过程与其他石油化工生产过程一样, 存在以下特点

(1) 大规模连续生产, 各变量之间存在着不同程度的耦合。

(2) 过程存在非线性、时变性与不确定性。

(3) 系统的动态响应复杂及存在大纯滞后过程

(4) 产品量大, 能量消耗也大, 对控制系统进行较小改进, 就可以获得可观的经济效益。

针对这些特点, 采用常规控制, 难以达到理想的控制效果, 而采用预测控制可以在很大程度上解决上述问题, 改善或进一步优化常规控制。

预测控制方法最早是由Richalet和Cutler等在1978年提出的基于非参数化模型的模型预测控制 (ModelPredictiveControl, 简称MPC) 。经过几十年的发展, 无论在理论上还是工业应用上都有了很大进展, 已成为工业过程控制中, 尤其是石油化工生产过程控制中一个炙手可热的领域。在多变量模型预测诸多方法中, 一类是基于实测被控对象的输入输出模型, 如Mehra等提出的基于离散时间卷积模型和在线校正的模型算法控制 (MAC) 及相应的软件IDCOM, Culter等提出的动态矩阵控制 (DMC) 及相应的软件DMCplus和Honeywell的RMPCT, Clarke等提出的广义预测控制 (GPC) , Garcia等提出的内模控制 (IMC) 。另一类是基于离散状态空间模型, 如袁璞等提出的状态反馈预测控制

2丙烯精馏基本工艺流程

图1为气分装置中丙烯精馏塔的流程简图。加氢的C3混合物从第79块塔板进入丙烯精馏塔, 该塔采用双再沸器作为热源, 其中一台用82℃的急冷水作加热介质, 另一台用0.35MPa的低压蒸汽。塔顶用三台并联的循环水换热器作冷凝器, 冷凝液液相丙烯一小部分作为产品送入丙烯罐区, 另外一大部分作为回流回到塔内[1]。

2.1动态机理模型的建立及线性化

对分离过程而言, 在建立机理模型的过程中, 主要基于物料平衡、能量平衡、相平衡、动量平衡四大平衡[2]。板式精馏塔是由一些相似的塔板及附属设备构成的多极系统, 在一定假设基础上, 围绕塔中每一级均能建立组分物料衡算 (M) , 相平衡关联 (E) , 物流中各摩尔分率加和归一 (S) 和热量衡算 (H) 四组方程, 对整个塔而言, 就是由一组维数很高的微分方程组和代数方程组构成的多级参数模型, 模型的求解可以利用序贯模块法, 如图2, 从而对动态特性进行模拟和分析。

由上述方法得到丙烯精馏塔的模型为非线性模型, 非线性微分方程在求解方面有困难。为了便于分析和设计, 对于模型中所包含的非线性特性需要在其平衡状态的某个邻域中进行线性化处理, 以获得描述工作点附近系统特性的线性数学模型。这是因为在定值控制系统中, 控制系统各变量的值都不会偏离平衡状态太远。但这种近似仅仅在平衡状态的某个邻域内成立。

线性化的方法通常是将非线性函数y=f (x) 在平衡点 (x0, y0) 的某个邻域内展开为泰勒级数, 再忽略二次项和高次项即得

运用该方法对得到的非线性模型在稳态点线性化可得丙烯精馏塔线性化状态空间模型:

得到模型后需要注意以上各变量都表示在稳态点的增量, 而非绝对量。原则上在一个工作点附近展开得到的线性化模型并不能反映非线性系统在大范围内的动、静态特性, 只能用于线性化的工作点附近。

2.2丙烯精馏塔辨识模型的建立

应用图2所示的机理模型仿真平台进行辨识。

(1) 数据采集。

先将系统所有输入 (包括操作变量和扰动) 设定稳态值, 观察系统输出, 设所有输出在t1时刻稳定, 着选择其中一个输入A在稳态值基础上增加一个阶跃值, 观察其中一个输出A′, 当输出A′在t2时刻再次稳定后, 记录下t1至t2时刻之间输入A和输出A′的数据, 将其作为通道A-A′模型辨识的依据。

应用上述方法采集好各个输入输出通道之间的数据, 为下一步辨识做准备。

(2) 模型辨识

Matlab提供了功能强大的模型辨识工具箱, 在命令窗中键入“ident”命令, 即可进入系统辨识工具箱的图形用户界面[4], 如图3所示。

运用该图形界面工具能够方便地实现数据处理、模型类型的选择、参数估计以及模型验证和比较等功能, 是比较简单、直观的辨识方法。

在辨识过程中需要注意的是辨识模型的阶次一般选择为一阶或二阶, 当开环动态响应过程较平稳, 输出曲线较平滑, 则选一阶模型, 否则选二阶模型。

(3) 模型检验。

生成模型后, 可以比较模型输出曲线与原始输出曲线, 从而检验模型的准确度, 若模型准确度较差则可转换模型阶次或相关参数重新进行辨识

利用上述三个步骤和采集到的数据[5], 对不同通道进行模型辨识, 再结合Simulink的子系统封装模块, 得到被控对象的模型, 如图4所示。

3基于状态空间模型的预测控制算法

基于状态空间模型的预测控制算法和其他算法有相同的要素, 即模型预测, 反馈校正和滚动优化其闭环系统如图5所示。

3.1算法的基本原理

(1) 模型预测。

设实际丙烯精馏塔被控过程的预测模型可用以下离散状态空间模型描述:

:X∈R, Y∈R, U∈R;A, B, C———阵、输入矩阵、输出矩阵。

利用状态空间模型可以较容易地处理多输入多输出系统。因此, 对多输入多输出系统, 每个输出都有一个预测时域pj, j∈1, 2, 3, …, r, 即预测时域是一个向量, 即p= (p1, p2, pj, …, pr) 。所以, 对第j个输出在未来第pj采样时刻的预测值为:

对于单步预测控制算法, 控制时域为:

(2) 反馈修正。

对得到的预测值进行修正:

式中:Yc (k+j) ———修正后的预测值;Y (k) ———实测输出;Yp (k) ———用相同预估步数时, 由历史输入和状态对当前输出的预测值,

(3) 滚动优化。

对于单步预测控制就是使反馈修正后的输出预测值等于给定值, 即:

式中:ysj (k+pj) ———给定值, 可设其为常数。

所以当r=m时有:

以上计算出的U (k) 作为当前控制的操作量, 在接下来各采样周期重新进行以上步骤计算U (k+1) , U (k+2) , U (k+3) …, 从而形成滚动优化[6]。

现通过Matlab运用该算法对上一章中得到的丙烯精馏塔线性化模型进行多变量预测控制仿真其中, 操作变量为塔顶回流量、塔底再沸蒸汽量1塔底再沸蒸汽量2, 被控变量为塔顶产品的丙烯含量、塔顶温度、塔底温度。由于有三个输出量, 故预测时域P和控制时域M均为三维向量。现假设控制目标为:将塔顶产品丙烯含量在稳态值上再提高0.05%, 塔顶温度、塔底温度相应减小0.071K和0.3K (下同) 。

仿真结果如下:

(1) P=[1 1 1]′, M=[1 1 1]′, 预测模型准确, [A, B, C, D]=[A0, B0, C0, D0]。

[A, B, C, D]为预测模型, [A0, B0, C0, D0]为被控过程模型。由图6可知, 当模型准确, 预测时域为1时, 可以实现理想控制。

(2) P=[6 6 6]′, M=[1 1 1]′, 预测模型不准确 (模型不准确, 可以通过以下方法实现:若丙烯精馏塔被控过程状态空间模型为[A0, B0, C0, D0], 可令预测模型[A, B, C, D]=[1.05A0, B0, C0, D0]) 。

由图7看出, 当预测模型不准确时, 输出能够基本达到给定值, 说明算法的鲁棒性较好。

3.2算法对可测干扰的抑制

当系统有可测干扰时, 预测模型可描述成:

式中:V———阶越扰动。由于扰动可测, 可将其纳入模型, 推导过程与无扰动时相同, 则计算得到操作变量为:

相比之下, 式 (12) 与式 (10) 有两点不同:

(1) 由历史输入和状态对当前输出的预测值YP (k) 变为:

(2) 赠加了Yf项, 且:

可以看出式 (13) 、式 (14) 中都包含了可测扰动的信息。现用该算法对施加扰动的丙烯精馏塔进行控制, 设在仿真150步时, 进料温度增加0.5 K (下同) , 仿真结果如下:

(1) P=[1 1 1]′, M=[1 1 1]′, 假设预测模型准确 (A=A0) 。

由图8可知, 当对被控过程施加可测扰动时, 若预测模型准确, 且预测时域为1, 能实现对可测扰动的理想控制。可见预测控制算法能将可测扰动纳入模型予以消除

(2) P=[6 6 6]′, M=[1 1 1]′, 设预测模型不准确 (A=1.05A0) 。

由图9可知, 当预测模型不准确, 并对被控过程施加可测干扰时, 预测控制算法仍能使系统较快克服扰动, 但由于模型不准确, 系统最终存在稳态误差。

3.3算法对不可测干扰的抑制

由于扰动不可测, 预测模型便不能反映其信息, 这样, 与式 (11) 相比, 此时预测模型将不再包含“FV (k) ”项, 因此预测控制算法对不可测扰动的抑制, 与反馈控制没有多大不同。

为比较预测控制算法对可测、不可测扰动的不同抑制作用, 现假设进料温度变化引起的扰动不可测。

对丙烯精馏塔进行预测控制的仿真结果如下:

(1) P=[1 1 1]′, M=[1 1 1]′, 设预测模型准确 (A=A0) 。

由图10可知, 当扰动不可测时, 无法实现理想控制

(2) P=[6 6 6]′, M=[1 1 1]′, 预测模型不准确 (A=1.05A0) 。

由图11可知, 对被控对象施加不可测扰动时, 输出的超调量、调节时间、稳态误差都增大了。

将控制结果图11与图9比较可得:虽然扰动都是进料温度, 且大小相同, 若扰动可测, 则可纳入预测模型, 这样, 扰动的影响也可用模型预测, 从而有效抑制了干扰。若扰动不可测, 则只能通过反馈修正抑制, 预测控制的效果与反馈控制没有多大不同。

4总结

本文通过编写基于状态空间模型的单步预测控制算法和状态反馈单步预测控制算法对丙烯精馏塔在施加可测、不可测扰动情况下的控制仿真结果进行了分析, 可以看出预测控制的基本思想是模型预测、反馈修正和滚动优化, 由于该种控制方案是先预测未来输出的变化, 后采取控制作用, 故具有较好的控制效果对干扰具有较强的抑制作用尤其是状态反馈预测控制, 不仅能够抑制可测干扰, 对不可测干扰也有很好的抑制作用。

参考文献

[1]王志魁.化工原理[M].北京:化学工业出版社, 1998:217-255.

[2]李国峰, 关庆涛, 关庆生.聚合物配置浓度控制中的灰色预测控制[J].化工自动化及仪表, 2007, 34 (3) :16-19.

[3]袁璞.生产过程动态数学模型及其在线应用[M].北京:中国石化出版社, 1994:252-275.

[4]张志涌, 徐彦琴.MATLAB教程[M].北京:北京航空航天大学出版社, 2001:1-257.

[5]胡玉臣, 战淑玲.常压蒸馏与催化裂化联合装置接口控制方案的改进设计[J].化工自动化及仪表, 2000, 27 (3) :19-22.

分离变量法 篇6

例题1 (2010年全国卷Ⅱ第22题) 设函数f (x) =l-e-x。 (Ⅱ) 当x≥0时 求a的取值范围。

分析:当x≥0时 恒成立, 由于a∈R, 需要对a进行分类讨论, 方可变量分离。若a<0, 则 于是 而f (x) =1-e-x为增函数, 所以当x∈ (-∞, +∞) 时 所以 这与当x≥0时恒 成立矛盾, 故a<0不合题意。

于是a≥0时x≥0, ax+1>0, 又因为函数f (x) =1-e-x (x>0) 的值域为 (0, +∞) , 变量分离易得: 然而函数 的值域为 (1/2, 1) , 运用高中知识不易求出, 故而 特别地, 当x=0, a∈R时, 恒成立;a=0时, 恒成立。综上所述

例题2 (2010年新课标全国卷第21题) 设函数f (x) =ex-1-x-ax2。 (Ⅱ) 若当x≥0时, f (x) ≥0, 求a的取值范围。

分析:变量分离易得 , 但是函数 的值域为 由高中现有知识难以求解, 从而得出 理由不充分。

以上例题充分说明, 变量分离法仅是求解这类问题的重要方法之一, 有时还会使思路走入死胡同, 欲解决此类问题还需另辟蹊径。

研究函数f (x) =ex-1-x-ax2 (x≥0) , 注意到f (0) =0, 所以当x≥0时, 欲使f (x) ≥0, 只要能说明函数f (x) =ex-1-x-ax2在[0, +∞]上单调递增即可。于是f' (x) =ex-1-2ax, 只要f' (x) =ex-1-2ax≥0对x≥0恒成立即可。又因为f' (0) =0, 则只要f' (x) 在[0, +∞]上单调递增即可。亦即f'' (x) =ex-2a≥0 (x≥0) 恒成立。而函数f'' (x) =ex-2a≥0 (x≥0) 在[0, +∞]上单调递增, 故只需f'' (x) min=f'' (0) =1-2a≥0即可, 故此时, 函数f (x) =ex-1-x-ax2≥0 (x≥0) 恒成立。12,

从解题过程可知, 仅是符合题意的充分条件, 是否充分必要呢?

当 时, 由f'' (x) =ex-2a≥0, 解得x=ln (2a) >0, 于是函数f' (x) 有极小值点, 且f' (x) =ex-1-ax2在[0, ln (2a) ]单调递减, [ln (2a) , +∞]单调递增。所以x∈[0, ln (2a) ]时, f' (x) 0时, f (x) ≥0成立的必要条件。

综上所述, a的取值范围是[-∞, 1/2]。

有上述例题可见, 此法是运用比较法思想, 作差与零比较, 构造函数h (x) , 判断h (x) 的单调性, 特别是注意h (0) =0是否成立。由导函数h' (x) 探究h (x) ≤0或h (x) ≥0恒成立的充分条件, (有时还需要“用二次”的思路求h'' (x) 用以判断h' (x) 的符号) , 求出参数的取值范围, 然后再检验该取值范围是否必要?进而求出h (x) ≤0或h (x) ≥0恒成立的充分必要条件——参数的取值范围。

下面运用此法求解2012年相关高考题。

例题3 (2012年高考湖南卷22题) 已知函数f (x) =eax-x, 其中a≠0。

(Ⅰ) 若对一切x∈R, f (x) ≥1恒成立, 求a的取值集合;

(Ⅱ) 在函数f (x) 的图象上取定两点A (x1, f (x1) ) , B (x2, f (x2) ) , 其中x1k成立?若存在, 求x0的取值范围;若不存在, 请说明理由。

解: (Ⅰ) 令h (x) =eax-x-1 (a≠0) , 依题意对任意x∈R, h (x) ≥0恒成立, 只要h (x) min>0即可。研究其单调性, h' (x) =eax·a-1。当a<0时, h' (x) <0恒成立, h (x) =eax-x-1在 (-∞, +∞) 上递减, 与对任意x∈R, h (x) ≥0恒成立矛盾, 故而a>0。

于是 满足h (x) min≥0恒成立, 所以1+lna-a≥0恒成立, 令g (a) =1+lna-a, a>0, 则 所以函数g (a) 在[0, 1]递增, 在[1, +∞]递减, 所以g (x) max=g (1) =0, 综上1+lna-a≥0, 且1+lna-a≤0, 当且仅当a=1。对任意x∈R, h (x) ≥0恒成立, a取值集合{1}。

(Ⅱ) 依题意假设存在x0∈ (x1, x2) , 使f (x0) >k成立,

令 即存在x0∈ (x1, x2) , 使φ (x0) >0成立, 因为φ' (x) =a2·eax>0, 所以φ (x) 是单调递增函数, 于是对于给定的x1, x2, 只要存在ξ∈ (x1, x2) 使得φ (ξ) =0, 必有x0∈ (ξ, x2) , 使得φ (x0) >0成立, 其中ξ唯一存在。由于 构造函数φ (x) =x+1-e x, x∈R, 则φ' (x) =1-e x, φ' (x) 在 (-∞, 0) 单调递增, 在 (0, +∞) 单调递减, 所以φ (x) 的值域为 (-∞, 0) 。由于x10, t2<0, 令x3=at1, x4=at2, 其中a≠0, 则x3, x4异号;于是φ (x3) ·φ (x4) >0恒成立, 所以有 又因为φ (x) 在R上连续、单调递增, 所以必存在唯一ξ∈ (x1, x2) , 使得φ (ξ) =0, 即 所以 综上所述, 存在x0∈ (ξ, x2) , 使得φ (x0) >0, 即f' (x0) >k恒成立。

例题4 (2012年高考安徽卷21题) 数列{xn}满足x1=0, xn+1=-xn+xn+c, n∈N, 2

(Ⅰ) 证明:{xn}是递减数列的充分必要条件是c<0;

(Ⅱ) 求c的取值范围, 使{xn}是递增数列。

分析:此题 (Ⅱ) 并非不等式恒成立求参数取值范围问题, 但是{xn}是递增数列时, 即xn

解: (Ⅰ) 略。

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 可知{xn}是递增数列的充分必要条件是0x2=c, 所以-c2+c>0, 即0

分离变量法 篇7

对照实验这种实验方法, 是从两个或两个以上有相互联系的对象中观察到的现象、数据出发, 通过比较, 确定实验对象之间的差异点和共同点, 从而把实验对象的某一本质特征抽象出来的一种逻辑的实验方法, 具有实验对象的多元性、关联性, 实验过程的同时性与前后性的特点。在对照实验中, 通过对两个或两个以上相关联的实验对象中观察到的现象或测得的数据的比较, 往往很容易在表面上差异极大的实验对象之间看出它们在本质上的共同点, 或者在极为相似的实验对象之间看出它们本质上的差异点, 因此, 对照实验在科学教学中也得到了广泛的应用。

控制变量法是指为了研究某个量同影响它的多个因素中的一个因素的关系, 可将除了这个因素以外的其他因素人为地控制起来, 使其保持不变, 再比较、研究该某个量与该因素之间的关系, 得出结论, 然后再综合起来得出规律的方法。

在对照实验中一定运用了控制变量法, 因此它们往往是同时出现的。通过设置实验对照对比, 既可排除无关变量的影响, 又可增加实验结果的可信度和说服力。在初中物理实验中一些实验可采用对比法、控制变量法来设计。如:

例一:探究“二力平衡”的条件实验可设计如下:

实验步骤:

(1) 用手按住木块不动, 两边各加不同的砝码, 放手后可看到:木块向砝码多的一方运动。 (2) 用手按住木块不动, 两边各加相等的砝码, 放手后可看到:木块静止不动。 (3) 用手按住木块不动, 把二个吊盘放在同一侧, 两盘加入相等的砝码, 放手后可看到:物体向受力方向运动。 (4) 在二盘中加相等的砝码, 使木块静止, 用手旋转木块至某一角度, 使二个力不作用在同一直线上, 放手后可看到:木块转动, 不能平衡。 (5) 用两个相同的木块分别系住一个吊盘, 用手按住, 保证二个力大小相等, 方向相反, 作用在同一直线上。放手后可看到:两木块都不能静止。

比较 (2) (5) , 可知二力平衡说的是同一个物体上的两个力。比较 (1) (2) , 可知二力平衡的条件之一是物体受到的二个力大小必须相等。比较 (2) (3) , 可知二力平衡的条件之一是物体受到的二个力方向必须相反。比较 (2) (4) , 可知二力平衡的条件之一是物体受到的二个力必须作用在同一直线上。

例二:探究“磁生电”的条件实验可设计如下:

实验步骤:

(1) 电路闭合, 导体在磁场中不运动, 电流计指针不偏转; (2) 电路闭合, 部分导体在磁场中沿磁场线运动, 电流计指针不偏转; (3) 电路闭合, 部分导体在磁场中做切割磁场线运动, 电流计指针偏转; (4) 在第 (3) 的实验中, 只将磁场线反向, 不改变导体运动方向, 电流计指针反向偏转; (5) 在第 (3) 的实验中, 只将导体运动方向反向, 不改变磁场线方向, 电流计指针反向偏转; (6) 在第 (3) 的实验中, 只将电路断开, 导体运动时电流计指针不偏转。

比较 (3) (6) , 可知产生感应电流的条件之一是电路要闭合。比较 (1) (2) (3) , 可知产生感应电流的条件之一是部分导体切割磁场线。比较 (3) (4) (5) , 可知感应电流的方向与磁场线方向、导体运动方向有关。

在初中物理中, 探究动能、重力势能大小与哪些因素有关、导体的电阻与哪些因素有关等等实验都运用了控制变量法, 但同时也是对照实验。

摘要：在初中物理中, 许多实验都运用了控制变量法, 但同时也是对照实验。通过设置实验对照对比, 既可排除无关变量的影响, 又可增加实验结果的可信度和说服力。