离散型随机变量的期望教学计划

2024-11-16

离散型随机变量的期望教学计划（共5篇）

离散型随机变量的期望教学计划篇1

2011年3月, 在省级课题《中学数学听课与评课案例研究》组长的安排下, 本人执教了一节高三数学复习公开课《离散型随机变量的期望与方差》。课后, 课题组部分老师对本节课作了中肯的点评, 对我启发很大。为此, 本人进行了整理与分析, 借此与大家交流。

二、教学实录

1. 通过实例, 归纳概念

教师:引例:已知随机变量ξ的分布列如下表。

则ξ的数学期望是＿＿＿＿＿＿＿;ξ的方差是＿＿＿＿。

教师:期望、方差的概念是什么?求期望、方差的过程是什么?

学生:求出m=0.5, 通过计算求出ξ的数学期望是2.1;ξ的方差是0.49。

(师生共同总结期望、方差的概念, 及求期望、方差的过程, 教师并在黑板上板书)

2. 讲解例题, 提升能力

例1. (2009年广东高考题) 已知离散型随机变量X的分布列如下表。若EX=0, DX=1, 则a=＿＿＿, b=＿＿＿。

教师:根据那些条件或性质列出有关a, b, c的关系式。

学生:利用分布列的性质、期望和方差的定义得出关于a, b, c的方程组。

教师:请计算出a, b的值。

(对准确、快速得出结果的学生加以表扬, 指出计算能力的重要性, 学生应加以重视)

例2.某地试行高考考试改革:在高三学年中举行5次统一测试, 学生若通过其中2次即可获升入大学资格, 且不用参加其余考试。而学生最多也只能参加5次测试。若某学生每次通过测试的概率都是1/3, 每次测试通过与否相互独立。规定:若前4次都没通过, 则第5次不能参加测试。

(1) 求该生考上大学的概率。 (2) 记该生参加测试的次数为ξ, 求ξ的分布列。 (3) 求ξ的期望。

(2) 记该生参加测试的次数为ξ, 求ξ的分布列。

(3) 求ξ的期望。

教师:在问题 (1) 什么情况表示该生考上大学?

学生:参加k次考试, 在前k-1次通过其中一次的条件下, 第k次也通过。

教师:依此容易写出“该生考上大学的概率”的算式 (学生口述过程) 。但能否找到更简单的算法?

学生:依据“正难则反”的思路, 求出“该生考上大学”这一事件对立事件的概率。

学生:令事件A表示“该生考上大学”。

(教师总结上面的思路, 并利用课件展示完整的计算过程)

教师:在问题 (2) 中。请问ξ可取哪些值, 分别表示什么事件?学生:ξ可取2, 3, 4, 5 (学生很容易得出) 。

学生1:“ξ=2”表示“第一次与第二次考试都通过, 考试过程结束。”

学生2:“ξ=3”表示“前两次考试通过其中的一次, 第三次考试通过, 考试过程结束。”

学生3:“ξ=4”表示“前三次考试通过其中的一次, 第四次考试通过, 考试过程结束。”

学生4: (经过思考讨论) “ξ=5”表示“前四次考试通过其中的一次, 第五次考试无论通过与否, 考试结束。”

(教师对学生的解答过程加以修正, 并且对学生良好的表现予以充分的肯定与表扬)

教师: (课件展示学生计算结果) ξ的分布列为:

例3.某一大学毕业生参加某一公司的笔试, 共有5个问题需要解答, 若该同学答对每个问题的概率均为32, 且每个问题的解答互不影响。

(1) 求该同学答对问题的个数ξ的分布列。

(2) 求ξ的期望与方差。

(3) 设答对一个题目得10分, 否则扣一分, 求该同学得分X的期望与方差。

教师:你求期望与方差的思路是什么?

学生:根据期望与方差的定义, 得出分布列得出:

教师:针对此题, 你能在更短时间求出ξ的期望与方差吗?

学生:由题意知, 答对的个数ξ服从二项分布, 即, 可直接用公式Eξ=np, Dξ=np (1-p) 求出。

教师:解决问题 (3) 的思路如何?

学生:求X的期望与方差可通过ξ与X的线性关系间接求出。

(教师板书学生计算过程, 并鼓励学生的做法)

教师 (总结并课件展示结论) :

(1) 当求随机变量的期望与方差时, 若ξ服从二项分布, 则用公式求解, 可大大减少运算量。

课堂小结、课堂练习、课后作业 (略)

三、课后反思

本节课是省级课题《中学数学听课与评课案例研究》研究组组织的一堂公开课。课题组成员和高中学科指导组成员参与了评课活动。结合老师们提出的宝贵意见, 反思如下:

1. 紧扣教学目标, 力求课前准备充分

好的课堂教学, 要求对学生的前位知识有足够的了解, 学情分析必须非常细致。因此, 深究教学内容以设计出一个真正符合学生的教学设计是课前准备的首要环节。本节课是复习课, 之前, 学生已会利用期望、方差的知识去处理一些简单的问题。在此基础上, 通过本节课典型例题的设计, 培养学生哪些方面的能力与解题思想, 达到怎样的目的, 我都做了积极认真的思考。

2. 关注学生思维, 力求课堂教学清晰

本节课的主要目标是让学生对这一部分内容作以系统的回顾与总结, 进一步提高学生计算、归纳、分类的能力。在教学过程中, 我始终围绕这一目的, 力求讲述的内容清晰, 由此, 对要教授的内容, 我进行了认真细致的梳理, 力求层次分明:

(1) 引例重点是回顾概念, 学生以口答形式完成。

(2) 例1是为考查与提高学生的计算而设计, 课堂上学生以练为主。例2、例3的处理, 需要学生对数学化归、分类思想有较高的要求。课堂上要积极引导学生讨论, 与学生共同修正发生的错误, 通过得出结论的过程, 培养学生的解题能力, 提高学生的解题思想。

(3) 课堂小结由学生完成, 对学生掌握欠缺的知识点, 在后面的课堂教学中得以再一次的灌输。从最后的教学效果来看, 学生整堂课学得轻松、愉悦, 课堂教学的有效性彰显充分。

3. 创设合理的教学情境, 力求教学过程多彩

我们知道, 课堂效率取决于课堂知识的灌输与当时学生的心境。因此, 教师通过组织与引导, 让学生能在愉悦的心情下, 充分享受学习乐趣的同时, 增长知识点、扩大知识面, 从而不知不觉地理解和掌握教学任务中的知识。这也是关注学生学习过程中的重要策略。

在组织本节课的教学时, 我把较为枯燥的概念复习融于一道简单习题之中, 让学生在享受解题成功感的同时, 对概念的理解更为深刻。设计的典型例题, 都融于学生熟悉的情境中。同样是处理期望与方差的问题, 也培养了学生分类与化归的能力, 学生的参与热情高涨, 接受的效果可想而知。同时, 在每一题的处理过程中, 我都会想好在什么阶段用什么样的语言甚至什么样的语气对学生进行鼓励与表扬。课后听课教师点评, 都提到我与学生关系融洽。而这种良好的师生关系, 与精心设置的课堂情境息息相关。好的课堂情境, 可以使课堂教学变得多彩。教学效果的增强, 应当也在情理之中。

4. 课后认真分析总结, 力求教学能力提升

结合大家的意见与自己的课后思考, 对这节课的一些需要完备之处也加以总结, 主要有以下几个方面:

(1) 教学内容的处理可进一步完善。例如在对例题处理的过程中, 若能互换例2、例3的位置, 先处理例3, 可以先复习二项分布有关基本内容。而例2的解决, 需要应用数学中化归、分类两大思想, 难度较大, 这样处理更有层次感, 也更符合学生的接受方式。

有老师课后指出, 讲解例3时, 因为利用到二项分布的有关公式, 不妨先与学生共同复习一下二项分布成立的条件, 效果应该更佳。

课堂小结中, 主要以学生自己总结为主, 教师加以一定的引导, 会起到良好的效果。但如果教师能与学生一起继续巩固一下本节课所用的解题思想, 会有更好的作用。

(2) 评价方式可进一步提高。在教学过程中, 我在每一次的学生活动之后, 都能及时对学生进行积极评价, 这一点受到各位听课老师的高度认同。但有老师指出, 我对学生的成功点评恰如其分, 却对学生活动过程中解题失败者, 缺少积极、正面的鼓励与认可。在每一堂课中, 如何让每一位学生都能充满热情地参与到教学中来, 这就要求作为课堂的组织者, 教师必须在“评价学生”的技巧与方法上加以提高与改进。只有这样, 才能调动更多学生学习的主动性, 也只有这样, 课堂才能真正地融洽、和谐。

(3) 教学基本功需进一步扎实。如我在上面提到的教学内容处理得不完全恰当, 实际体现了本人理解课程标准和把握教材的基本功尚有欠缺。要想让每一堂课变得精彩, 教师就必须通过不断的再学习, 在备课、运用语言、设计板书和运用现代教育手段、教学评价、组织教学等各方面提高自己的基本功。

离散型随机变量的期望教学计划篇2

有这样一个问题：一名工人要看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照顾的概率对于第一台是0.9,第二台是0.8，第三台是0.85.求在一小时内机床不需要工人照顾的机床的台数ξ的数学期望.

一般解法如下：设三台机床在一小时内不需要照顾分别为事件A、B、C，则P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85. 可计算出：P（ξ=0)=0.003,P（ξ=1)=0.056,P（ξ=2)=0.329,P（ξ=3)=0.612,所以Eξ=0·P(ξ=0)+1·P(ξ=1)+2·P(ξ=2)+3·P(ξ=3)=2.55

我们发现：0.9+0.8+0.85=2.55,即随机变量ξ的数学期望等于每个事件单独发生的概率之和！这是一种巧合，还是一种必然？

为了探求一般性结论，我们设P（A）=a,P(B)=b,P(C)=c. 分别可求：

P（ξ=0）=P（）·P（）·P（）=（1-a)(1-b)(1-c)

P（ξ=1）=P（A）·P（）·P（）+P（）·P(B)·P（）+P（）·P（）·P（C）=a（1-b)(1-c)+b(1-a)(1-c)+c(1-a)(1-b)

P（ξ=2）=P（A）·P（B）·P（）+P（A）·P()·P（C）+P（）·P（B）·P（C）=ab（1-c)+ac(1-b)+bc(1-a)

P（ξ=3）=P（A）·P（B）·P（C）=abc

进而求得Eξ=0·P(ξ=0)+1·P(ξ=1)+2·P(ξ=2)+3·P(ξ=3)=a+b+c.

从以上推导的结论可看出，前述“随机变量ξ的数学期望等于每个事件单独发生的概率之和”是一种必然结果！

2 期望公式及证明

通过进一步的研究，我们可以得到更一般的结论，下面以定理的形式给出：

3 本文定理与服从二项分布的随机变量的期望的关系

可见，n次独立重复试验是本文定理中所述试验的特例，那么，服从二项分布的随机变量的期望公式是本文定理中所述期望公式的特例，反过来，本文定理中所述期望公式是服从二项分布的随机变量的期望公式更一般的情形.

4 定理的应用举例

本文定理内容所述试验是一类常见试验，故定理的结论具有广泛的应用性.下面举几例.

例1 若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为23，乙解出该题的概率为45，设解出该题的人数为ξ，求Eξ.

例3 （2005年高考福建卷）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与25，投中得1分，投不中得0分.甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望.

解因为投中得1分，投不中得0分，所以两人得分之和ξ就是投中的次数.根据本文定理，Eξ=12+25=910=0.9（次）

例4 （2003年高考辽宁卷）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3.按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：

对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率A1对B12313A2对B22535A3对B32535现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后总分分别为ξ、η.

（1）求ξ、η的概率分布；

（2）求Eξ、Eη.

解（1）略；（2）因为每场胜队得1分，负队得0分，所以A队最后总分ξ即为A队胜的次数.根据本文定理，Eξ=23+25+25=2215（分）；同理可求Eη=13+35+35=2315(分).

作者简介曾令刚，男，37岁，中学数学高级教师.曾主讲研究课《高考创新试题探究》，并有多篇论文在省级刊物上发表.

感受离散型随机变量问题新题型篇3

一、以函数图象为载体求随机变量分布

例1 (2013年高考北京卷 (理) ) 图1是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图, 空气质量指数小于100表示空气质量优良, 空气质量指数大于200表示空气重度污染, 某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市, 并停留2天.

(Ⅰ) 求此人到达当日空气重度污染的概率;

(Ⅱ) 设X是此人停留期间空气质量优良的天数, 求X的分布列与数学期望;

(Ⅲ) 由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大? (结论不要求证明)

(Ⅰ) 设B为事件“此人到达当日空气重度污染”, 则B=A5∪A8, 所以

(Ⅲ) 从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.

点评:借助函数图象 (散点图) , 求出事件的概率, 把随机变量用事件表示出来, 求出随机变量相应的概率, 完成分布列.

二、以平面图形为载体求随机变量分布

例2 (2013年高考湖南卷 (理) ) 某人在如图2所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点 (指纵、横的交叉点以及三角形的顶点) 处都种了一株相同品种的作物, 根据历年的种植经验, 一株该种作物的年收获量Y (单位:kg) 与它的“相近”作物株数X之间的关系如表1所示:

这里, 两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.

(Ⅰ) 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物, 求它们恰好“相近”的概率;

(Ⅱ) 从所种作物中随机选取一株, 求它的年收获量的分布列与数学期望.

点评:随机变量各种结果与已知的图形有关, 要充分利用平面图形的特点, 准确求出相应变量概率, 完成分布列.

三、以算法框图为载体求随机变量分布

例3 (2013年高考四川卷 (理) ) 某算法的程序框图如图3所示, 其中输入的变量x在1, 2, 3, …, 24这24个整数中等可能随机产生.

(Ⅰ) 分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi (i=1, 2, 3) .

(Ⅱ) 甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解, 各自编写程序重复运行n次后, 统计记录了输出y的值为i (i=1, 2, 3) 的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.

当n=2100时, 根据表中的数据, 分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i (i=1, 2, 3) 的频率 (用分数表示) , 并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.

(Ⅲ) 按程序框图正确编写的程序运行3次, 求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望.

比较频率趋势与概率, 可得出乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大.

离散型随机变量的期望教学计划篇4

方案一:利用均值不等式

例1 设一次试验成功的概率为p,现进行100次独立重复试验,则当p=______时,成功次数ξ的标准差最大,其最大值为______.

解析由题意,Dξ=100p(1-p)≤1002

=25,等号当且仅当p=1-p,即p=时成立.

故当p=时,标准差最大,为5.

说明 n次独立重复试验中某事件发生的次数ξ的方差Dξ=np(1-p),p为一次该试验中该事件发生概率.这就为运用均值不等式创造了条件,实际上,np(1-p)≤n2=.

方案二:利用二次函数的性质

例2 A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析,X1和X2的分布列分别为:

(1) 在A,B两个项目上各投资100万元,用Y1,Y2分别表示投资项目A,B所获得的利润,求DY1,DY2;

(2) 将x(0≤x≤100)万元投资A项目,100-x万元投资B项目,用f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和,求f(x)的最小值,并指出x为何值时,f(x)取到最小值.

解析 (1) 由题意,可知Y1和Y2的分布列分别为:

于是EY1=5×0.8+10×0.2=6,DY1=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4;

EY2=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,DY2=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12.

(2) f(x)=DY1+DY2=2DY1

+2DY2=[x2+3(100-x)2]=(4x2-600x+3×1002),0≤x≤100,

故当x==75∈[0,100]时,f(x)=3为最小值.

说明当我们要解决最值问题时,首先想到的应该是构造函数;而当函数被构造出来时,就要会利用函数性质求最值.求二次函数的最值时(其他函数也一样)一定要注意一个细节,那就是自变量的取值范围.就像这里要注意0≤x≤100一样,尽管这一条件在解题过程中没有起到约束作用,但是不考虑这一约束条件是错误的.

方案三:利用函数的单调性

例3 (1) 如果ξ~B20,,求使P(ξ=k)取最大值的k的值;

(2) 一般地,如果ξ~B(n,p),其中0

解析 (1) 由ξ~B20,,考察不等式==×>1,得k<6,所以当k<6时,P(ξ=k+1)>P(ξ=k);当k>6时,P(ξ=k+1)

所以当k=6或7时,P(ξ=k)取最大值.

(2) 一般地,如果ξ~B(n,p),其中0

① 如果(n+1)p是正整数,那么(n+1)p-1也是正整数,可令k=(n+1)p-1,k+1=(n+1)p,则P(ξ=k+1)=P(ξ=k),即当k取(n+1)p或(n+1)p-1时,P(ξ=k)取最大值.

② 如果(n+1)p不是正整数,那么k≤[(n+1)p]-1,k+1≤[(n+1)p],其中[(n+1)p]为小于(n+1)p的最大整数,即当k=[(n+1)p]时,P(ξ=k)取得最大值.

说明由≥1,得出P(ξ=k+1)≥P(ξ=k),然后求最值.这实际上就是一种利用单调性求最值的思想.很显然,k+1>k,而若P(ξ=k+1)>P(ξ=k),则不就相当于函数中的单调递增吗!

1. 设随机变量X的概率分布列为PX==ak(k=1,2,3,4,5).

(1) 求常数a的值;

(2) 求Px≥的值;

(3) 求P

2. 某城市交通部门规定:自2009年起,出租汽车的起步价为10元,若行驶路程不超出4 km,则按10元的标准收出租车费;若行驶路程超出4 km,则按每超出1 km加收2元计费(超出不足1 km的部分按1 km计).某司机常驾车在这个城市的民航机场与某宾馆之间接送旅客,由于行驶路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定,每停车5分钟按1 km路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程X是一个随机变量,显然他收旅客的租车费也是一个随机变量.

(1) 求租车费Y关于行车路程X的关系式;

(2) 已知某旅客实付租车费38元,而出租汽车实际行驶了15 km,问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?

1. (1) a=;(2) PX≥=PX=+PX=+P(X=1)=++=;(3) P