离散数学习题

离散数学习题（共8篇）

离散数学习题 篇1

习题五

1.设个体域D={a,b,c}，在D中消去公式x(F(x)yG(y))的量词。甲乙用了不同的演算过程：

甲的演算过程如下： x(F(x)yG(y))x(F(x)(G(a)G(b)G(c)))(F(a)(G(a)G(b)G(c)))

(F(b)(G(a)G(b)G(c)))(F(c)(G(a)G(b)G(c)))(F(a)F(b)F(c))(G(a)G(b)G(c))乙的演算过程如下：

x(F(x)yG(y))xF(x)yG(y)(F(a)F(b)F(c))(G(a)G(b)G(c))

显然，乙的演算过程简单，试指出乙在演算过程中的关键步骤。

解：乙在演算中的关键步骤是，在演算开始就利用量词辖域收缩与扩张等值式，将量词的辖域缩小，因而演算简单。

2.设个体域D={a,b,c}，消去下列各式的量词：

(1)xy(F(x)G(y))(2)xy(F(x)G(y))(3)xF(x)yG(y)(4)（xF(x,y)yG(y))

解：

（1）(F(a)F(b)F(c))(G(a)G(b)G(c))（2）(F(a)F(b)F(c))(G(a)G(b)G(c))（3）(F(a)F(b)F(c))(G(a)G(b)G(c))（4）(F(a,y)F(b,y)F(c,y))(G(a)G(b)G(c))在（1）（2）（4）中均将量词的辖域缩小，所以演算结果都比较简单

3.设个体域D={1,2}，请给出两种不同的解释I1和I2，使得下面公式在I1下都是真命题，而在I2下都是假命题。（1）x(F(x)G(x))（2）x(F(x)G(x))解：

解释I1为：个体为实数集合R，F(x)：x为自然数，G(x)：x为整数。在I1下，（1）为自然数都是整数，（2）为存在整数为自然数。他们都是真命题

解释I2为：个体域仍为实数集R，F(x)：x是无理数，G(x)：x能表示成分数，在I2下，（1）为无理数都能表示成分数，（2）为存在能表示成分数的无理数，他们都是假命题

4.给定公式AxF(x)xF(x)

（1）在解释I1中，个体域D1={a}，证明公式A在I1下的真值为1.（2）在解释I2中，个体域D2={a1,a2,,an}，n2,A在I2下的真值还一定是1吗？为什么？ 解：

（1）在I1下，xF(x)xF(x)F(a)F(a)F(a)F(a)1（2）在I2下

xF(x)xF(x)(F(a1)F(a2)F(an))(F(a1)F(a2)F(an))

为可满足式，设F(x)：x为奇数，aii,i1,2,n,n2，此时，蕴涵式前件为真，后件为假，故蕴含式为假，若令F(x)；x为整数，则蕴含式前后件均为真，所以（2）中公式在I2下为可满足式

5.给定解释I如下：（a）个体域D={3,4}；（b）f(x)为f(3)4,f(4)3;

（c）F(x,y)为F(3,3)F(4,4)0,F(3,4)F(4,3)1.试求下列公式在I下的真值。

(1)xyF(x,y)(2)xyF(x,y)(3)xyF(x,y)F(f(x),f(y)))

解：

（1）

xyF(x,y)x(F(x,3)F(x,4))(F(3,3)F(3,4))(F(4,3)F(4,4))111（2）

x(F(x,3)F(x,4))(F(3,3)F(3,4))(F(4,3)F(4,4)0（3）

x((F(x,3)F(f(x),f(3)))(F(x,4)F(f(x),f(4))))(((F(3,3)F(f(3),f(3)))(F(3,4)F(f(3),f(4))))(((F(4,3)F(f(4),f(3)))(F(4,4)F(f(4),f(4))))1

6.甲使用量词辖域收缩与扩张等值式进行如下演算

x(F(x)G(x,y))xF(x)G(x,y)

乙说甲错了，乙说的对吗？为什么？

解：乙说的对，甲错了，全称量词的指导变元x，辖域为(F(x)G(x,y))，其中F(x)与G(x,y)都是x的约束变元，因而不能讲量词的辖域变小

7.请指出下面等值运算的两处错误

xy(F(x)(G(y)H(x,y))xy(F(x)(G(y)H(x,y))xy((F(x)G(y))H(x,y))

解：

演算的第一步，应用量词辖域收缩与扩张算值式时丢掉了否定连接词，演算的第二步，在原错的基础上又用错了等值式

(F(x)G(y)H(x,y))和(F(x)G(y)H(x,y))不等值

8.在一阶逻辑中将下列命题符号化，要求用两种不同的等值形式（1）没有小于负数的正数

（2）相等的两个角未必都是对顶角 解：

（1）x(F(x)G(x))x(G(x)F(x))

其中F(x)：x小于负数，G(x)：x是正数

（2）xy(F(x)F(y)H(x,y)L(x,y)xy(F(x)F(y)H(x,y)L(x,y))其中F(x)：x是角，H(x,y)：x=y，L(x,y)：x和y是对顶角

9.设个体域D为实数集合，命题“有的实数既是有理数又是无理数”，这显然是个假命题。可是某人却说这是真命题，其理由如下

设F(x)：x是有理数，G(x）：x是无理数。xF(x),xG(x)都是真命题，于是，xF(x)xG(x)x(F(x)G(x))由于xF(x)xG(x)是真命题，故x(F(x)G(x))也是真命题，即有的实数是有理数，也是无理数这个人的结论对吗？为什么？ 解：存在量词对无分配律

10.在求前束范式时有人说x(F(x)G(x,y))已是前束范式，理由是量词已在公式的前面，他说的对吗？为什么？

解：在前束范式中，否定联结词不能在量词前面出现 11.有人说无法求公式

x(F(x)G(x))xG(x,y)的前束范式，因为公式中的两个量词的指导变元相同。他的理由对吗？为什么？ 换名规则可以使两个指导变元不相同 12.求下列各式的前束范式：(1)xF(x)yG(x,y)(2)x(F(x,y)yG(x,y,z))(3)xF(x,y)xG(x,y)

(4)x1(F(x1)G(x1,x2))(x2H(x2)x3L(x2,x3))(5)x1F(x1,x2)(F(x1)x2G(x1,x2))解：

（1）xy(F(x)G(z,y))（2）xt(F(x,t)G(x,t,z))

（3）x1x2x3x4((F(x1,y)G(x2,y))(G(x3,y)F(x4,y)))（4）y1y2y3((F(y1)G(y1,x2))(H(y2)L(x2,y3)))（5）y1y2(F(y1,x2)(F(x1)G(x1,y2)))

13.将下列命题符号化，要求符号化的公式权威前束范式：（1）有点火车比有的汽车跑的快（2）有的火车比所有的汽车跑的快

（3）说有的火车比所有汽车跑得快是不对的（4）说有的飞机比有的汽车慢也是不对的 解：

（1）xy(F(x)G(y)H(x,y))其中F(x)：x是汽车 G(y):y是 火车 H(x,y)：x比y跑得快（2）xy(F(x)(G(y)H(x,y)))其中F(x)：x是火车 G(y):y是 汽车 H(x,y)：x比y跑得快

（3)xy(F(x)G(y)H(x,y))其中F(x)：x是火车 G(y):y是 汽车H(x,y)：x比y跑得快

（4）xy(F(x)G(y)H(x,y))其中F(x)：x是飞机 G(y):y是 汽车 H(x,y)：x比y跑得慢

14.在自然推理系统F中，指出下面各证明序列中的错误：（1）①F(x)xG(x)前提引入

②F(c)G(c)①EI规则（2）①xF(x)yG(y)前提引入

②F(a)F(b)①EI规则（3）①F(y)G(y)前提引入

②x(F(x)G(x))①EG规则（4）①F(a)F(b)前提引入

②x(F(x)G(x))①EG规则（5）①F(c)G(c)前提引入

②x(F(x)G(x))①UG规则

解：（1）对F(x)xG(x)不能使用EI规则，它不是前束范式，首先化成前束范式F(x)xG(x)x(F(y)G(x))，因为量词辖域(F(y)G(x)中，除了x还有自由出现的y所以不能用EI规则

（2）对xF(x)yG(y)也应该先化成前束范式才能消去量词，其前束范式为xy(F(x)G(y))，要消去量词，既要用UI规则，又要用EI规则（3）这里A(y)=F(y)G(y)满足要求

（4）这里，使F(a)为真的a不一定使G(a)为真，同样的，使G(b)为真的b不一定使F(b)为真

（5）这里，c为个体常项，不能对F(c)G(c)引入全称量词 15.在自然推理系统F中，构造下面推理的证明：（1）前提：xF(x)y((F(y)G(y))R(y)),xF(x)

结论：xR(x)

（2）前提：x(F(x)(G(a)R(x))),xF(x)

结论：x(F(x)R(x))（3）前提：x(F(x)G(x)),xG(x)

结论：xF(x)

（4）前提：x(F(x)G(x)),x(G(x)R(x)),xR(x)

结论：xF(x)

（1）证明：1 xF(x)

前提引入 xF(x)y((F(y)G(y))R(y))

前提引入

y((F(y)G(y))R(y)

2假言推理

F(c)EI(F(c)G(c))R(c)

UI F(c)G(c)

附加

R(c)6假言推理

xR(x)

7EG

（2）证明：1 xF(x)

前提引入

x(H(x)),xF(x)x(F(a)G(a))),G(a)I(y)H(a)x(F(x)(G(a)R(x)))

x(G(a)H(a)I(a))前提引入 F(c)EI F(c)(G(a)R(c))

UI G(a)R(c)4假言推理

R(c)

5化简

F(c)R(c)6合取

x(F(x)R(x))

7EG

（3）证明：1 xF(x)

前提引入xF(x)

1置换F(c)

2UI

x(F(x)G(x))

前提引入F(c)G(c)

4UI

6F(c)5析取三段论xF(x)

6EG(4)证明：1 x(F(x)G(x))

前提引入

F(y)G(y)UI x(G(x)R(X))

前提引入

G(y)R(y)

UI xR(x)

前提引入

R(y)

5UI G(y)

6析取三段论

8F(y)

27析取三段论

xF(x)

UG 16.找一个解释I，在I下，使得xF(x)xG(x)为真，而使得x(F(x)G(x))为假，从而说明xF(x)xG(x)x(F(x)G(x))。解：取个体域为自然数集合N，F(x):x为奇数，G(x):x 为偶数。显然在以上解释下xF(x)xG(x)为真而x(F(x)G(x))为假。

17.给定推理如下：

前提：x(F(x)G(x)),x(H(x)G(x))

结论：x(H(x)F(x))。

有些人给出的证明如下：

证明：

①xH(x)附加前提引入

②H(y)

③x(H(x)G(x))

④H(y)G(y)

⑤G(y)

⑥x(F(x)G(x))

⑦F(y)G(y)

⑧F(y)

⑨xF(x)

解：根据16题可知两公式并不等价。

①UI 前提引入 ③UI ②⑤假言推理 前提引入 ⑥UI ⑤⑦拒取式 ⑧UG 并且说，由附加前提证明法可知，推理正确，请指出以上证明的错误。18.给出上题（17）推理的正确证明（注意，不能使用附加前提证明法）。

证明：1 x(F(x)G(x))

前提引入

x(H(x)G(x))

前提引入

F(y)G(y)UI H(y)G(y)

2UI G(y)F(y)

3置换H(y)F(y)5假言三段论x(H(x)F(x))UG

19.在自然推理系统F中，构造下列推理的证明：

前提：xF(x)xG(x)

结论：x(F(x)G(x))

证明：1xF(x)xG(x)

前提引入 yF(y)xG(x)

换名规则

yx(F(x)G(x))化简

x(F(x)G(x))EI

20.在自然推理系统F中，构造下列推理的证明（可以使用附加前提证明法）：（1）前提：x(F(x)G(x))

结论：xF(x)xG(x)（2）前提：x(F(x)G(x))

结论：xF(x)xG(x)

证明：（1）.1xF(x)

附加前提引入

F(y)UI x(F(x)G(x))

前提引入

F(y)G(y)

3UI G(y)3假言推理

xG(x)

（2）1 xF(x)

附加前提引入xF(x)

置换原则F(c)

2EI

x(F(x)G(x))

前提引入

F(c)G(c)

UI

G(c)

5析取三段论xG(x)

EG 21.在自然推理系统中，构造下面推理的证明：

没有白色的乌鸦，北京鸭都是白色的。因此，北京鸭都不是乌鸦。

设F(x):x是乌鸦，G(x)：x是北京鸭，H(x):x是白色的。前提 x(F(x)H(x)),x(G(x)H(x))结论 x(G(x)F(x))

证明：1 x(F(x)H(x))

前提引入 2 x(F(x)H(x))

置换原则 3 x(F(x)H(x))

置换原则 4 x(H(x)F(x))

H(y)F(y)

4UI 6 x(G(x)H(x))

前提引入 7 G(y)H(y)

5UI 8 G(y)F(y)

7假言三段论 9 x(G(x)F(x))

8UG 22.在自然推理系统F中，构造下面推理的证明：

(1)偶数都能被2整除。6是偶数。所以6能被2整除。

(2)凡大学生都是勤奋的。王晓山不勤奋，所以王晓山不是大学生。

（1）设F(x):x为偶数，G(x)：x能被2整除 前提 x(F(x)G(x)),F(6)结论 G(6)证明：1 x(F(x)G(x))

前提引入

F(6)G(6)

1UI F(6)

前提引入 G(6)

3假言推理

(2)设F(x):x是大学生，G(x)：x是勤奋的，a 王晓山 前提 x(F(x)G(x)),G(a)，结论 F(a)

证明：1 x(F(x)G(x))

前提引入

F(a)G(a)

1UI G(a)

前提引入

F(a)3 据取式

23.在自然推理系统F中，证明下面推理：

（1）每个有理数都是实数。有的有理数是整数。因此，有的实数是整数9（2）有理数，无理数都是实数。虚数不是实数。因此，虚数既不是有理数也不是无理数。

（1）设F(x):x是有理数，G(x)：x实数，H(x):x是整数

前提 x(F(x)G(x))，x(F(x)H(x))

结论 x(G(x)H(x))

(2)设F(x):x是有理数，G(x)：x是无理数，H(x):x是实数，I(x):x是虚数 前提 x((F(x)G(x))H(x)),x(I(x)H(x))结论 x(I(x)(F(x)G(x)))

证明：1 x(I(x)H(x))

前提引入

I(y)H(y)

UI x((F(x)G(x))H(x)), 前提引入

4(F(y)G(y))H(y)UI H(y)(F(y)G(y))

置换 I(y)(F(y)G(y))

5假言三段论

x(I(x)(F(x)G(x))

UG 24.在自然推理系统F中，构造下面推理的证明：

每个喜欢不行的人都不喜欢骑自行车。每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车。有的人不喜欢乘汽车，所以有的人不喜欢步行。（个体域为人类集合）

设F(x):x喜欢步行，G(x)：x喜欢骑自行车，H(x):x喜欢乘汽车 前提 x(F(x)G(x)，x(G(x)H(x)),xH(x)结论 xF(x)

证明：1 xH(x)

前提引入

H(c)

UI x(G(x)H(x))

前提引入

G(c)H(c)UI G(c)

4析取三段论

x(F(x)G(x))

前提引入

F(c)G(c)

UI

F(c)

57拒取式

xF(x)

8UG 25.在自然推理系统F中，构造下列推理的证明（个体域为人类集合）：

每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。王大海是科学工作者，并且是聪明的，所以王大海在他的事业中将获得成功。

设F(x):x是科学工作者，G(x)：x是刻苦钻研的，H(x):x是聪明的，I(x):x在事业中获得成功

前提 x(F(x)G(x))，x(G(x)H(x)I(x))，a:王大海，F(a),H(a)结论 I(a)证明：1 F(a)

前提引入

x(F(x)G(x))

前提引入

F(a)G(a)

2UI G(a)3假言推论

H(a)

前提引入 x(G(x)H(x)I(x))

前提引入

G(a)H(a)I(a)

6UI G(a)H(a)5合取

I(a)8假言推论

离散数学习题 篇2

关键词：离散数学,兴趣,课堂教学

离散数学课程与传统的大学数学课程 (如高等数学) 有很大的区别, 高等数学研究的一般是自变量在区间上连续变化的函数, 而离散数学是研究离散变量及其相互关系的学科, 如自然数、真假值等等。这门课程是随着计算机的发展而产生的 (机器语言只有0、1两个离散值) , 因此开设这门课程的专业都是与计算机关系密切的专业, 如信息与计算科学、计算机科学与技术、信息管理、电子商务、物联网等。

众所周知, 高等数学有大家公认的经典和传统的教材, 即使版本不同, 内容也大同小异, 而离散数学一般是学校根据自己专业的培养目标和方向自行定制教材, 内容的侧重点也不尽相同, 但无论哪一种教材, 都会包括四部分内容:数理逻辑、集合论、代数系统和图论, 这其实是数学专业需要分开学习的四门课程, 相对比较枯燥, 离散数学教材将这些放在一起, 每一部分都介绍了与计算机技术相关的内容, 不像数学专业学的深入, 但涉及的面很广, 对学生而言非常困难。和高等数学比较, 由于学生从中学开始就接触函数, 因此高等数学课程的入门相对容易, 课程前后的内容联系紧密, 开始学习时学生感觉不会太困难。但离散数学不同, 学生以前基本没有接触过相关的知识, 并且内容前后之间又没有必然的联系 (充分体现了离散性) , 学习后面的经常忘记前面的, 这就给学生的学习制造了很多的麻烦, 他们普遍认为离散数学不好学, 甚至有个别学生最后只能放弃。俗话说, 兴趣是最好的老师, 鉴于以上这些原因, 本文根据这四部分内容, 谈谈如何在课堂教学中提高学生的学习兴趣。

1 数理逻辑之趣

逻辑学简单地讲, 就是研究推理的学科, 数理逻辑也不例外, 它是运用一套符号体系加上一些规则, 研究我们生活中的一切与推理有关的问题, 这不就让课堂生动起来了吗?比如生活中有这样的叙述:“情况并非如此, 如果他不来, 那么我也不去。”这句话如果说给外国人听, 他们一定会觉得云山雾罩的, 即便是中国人自己, 能够理解清楚也不是很容易吧, 到底是他来或不来, 我去还是不去呢?现在我们用数理逻辑的理论去研究, 看看到底说的什么意思?设P表示“他来”, Q表示“我去”, 这句话翻译成逻辑语言是:┐ (┐P→┐Q) , 利用推理规则得到与之等价的命题┐P∧Q, 再将其还原回生活语言就是“他没来, 但我去了”, 如此之简单, 学生恍然大悟, 马上会兴趣倍增的。再有, 课堂上如果让学生分析下面这段程序, 结果会怎样呢?“If A then if B then X else Y else if B then X else Y”, 就是对计算机专业的学生而言, 理解程序的条件和结论也不容易吧, 但程序肯定是正确的, 计算机也是可以执行的, 现在让我们用数理逻辑理论化简一下吧。执行X的条件: (A∧B) ∨ (┐A∧B) , 化简后等价于B;执行Y的条件: (A∧┐B) ∨ (┐A∧┐B) , 化简后等价于┐B, 结果出乎人们的意料, A在程序中根本没起作用, 纯属捣乱而已, 此程序实际可以简化为:“If B then X else Y”。如此好玩的问题, 与日常生活和学生的专业又有密切的联系, 我们可以想象一下, 学生学习起来会多么高兴, 又怎么会在课堂上睡觉呢?

2 集合关系之趣

在生活中, 存在着各式各样的关系, 如父子关系、夫妻关系、朋友关系、上下级关系等等, 这些关系看起来各不相同, 但很多关系却可以用数学思想抽象出它们共同的性质。离散数学集合论部分涉及到的就是研究各种各样的关系, 如等价关系、序关系等等, 研究这些关系, 也是非常有趣的事情。比如利用“同姓”关系, 可以将人群分类:{张}、{王}、{李}、{欧阳}、{诸葛}……等等, 如果要研究同一姓氏的人有什么共同特征时, 可以分别从不同的姓氏集合中, 任取一个人进行研究, 这个人可以作为每一类姓氏人群的代表, 他有的特征和他同类的人都有;再比如平常说的“家族”关系, 可以理解为集合中的复合关系, 如果R是“父子”关系, S是“兄弟”关系, 那么R○R表示“祖孙”关系、S○R表示“伯侄”关系等等, 只要将条件设计好, 红楼梦中的林黛玉和王熙凤之间的关系也可以用数学语言表示出来。事实上, 生活中的所有关系都是可以用数学符号描绘出来的, 这方面可以引导学生自己去探索, 以便提高他们的学习兴趣。

3 代数系统之趣

代数系统是离散数学中最抽象的一部分, 它在数学学科中属于抽象代数的内容, 怎样用生活中有趣的例子解释、描述抽象的概念, 是课堂教学需要认真研究的问题之一。事实上, 在集合中定义运算, 是构成代数系统的关键, 而运算就是函数, 比如一台自动售货机, 它接受人民币, 吐出各种商品, “两个一元对应一瓶橙汁, 一个一元和一个二元对应一瓶可乐, 两个二元对应一个冰淇淋”等等, 这就是运算, 如果再对运算要求具有封闭性, 就构成了代数系统。再如定义代数系统的幺元和零元时, 可以用“洗衣”的例子说明, 用洗衣机洗衣服时, 浅色和浅色混洗后, 衣服还是浅色;浅色和深色混洗后, 衣服变成了深色;深色和深色混洗后, 衣服还是深色, 可以令S={浅色, 深色}, “*”代表“洗衣”这种运算, 那么对于代数系统<S, *>而言, “浅色”是系统的幺元;、“深色”是系统的零元, 让学生想象浅色和深色的特征, 就可以充分理解幺元和零元的概念了。还有, 群的概念在代数系统中非常典型和重要, 不了解群就等于没有学过代数系统, 那么群到底有什么, 换句话说, 我们熟悉的什么样的事物可以是群呢?从群的概念考虑, 群中对所定义的运算要有幺元, 每一个元素还要有逆元, 假设定义的运算是“加法”, 幺元一定是0, 那么每个元素的逆元应该是其相反数, 也就是说, 它的相反数也必须是集合中的元素, 故集合必须是关于0对称的 (对加法运算) , 由此得到, 整数集合上定义加法运算构成群;实数集合上定义加法运算也构成群;但非负有理数上定义加法运算就不会构成群了, 一句话, 构成群的集合一定是对称的 (关于运算) , 这时可以提问:如果换成乘法运算, 什么样的集合对乘法运算构成群呢?这样的分析一环扣一环, 让学生跟着教师的思路去思考, 既有趣又有成就感, 而且又将概念讲解的非常到位, 学生怎么会不喜欢这样的课堂呢?

4 图论之趣

位于波罗的海海岸的美丽小城———格尼斯堡, 在图论的起源和发展中占有绝对重要的地位, 由著名的“格尼斯堡七桥”问题, 数学家欧拉创立了一个重要的数学分支———图论。“格尼斯堡七桥”问题实际是一个“一笔画”问题, 应用欧拉的理论, 对任何一个图形, 都可以很快知道它是否可以一笔画出, 这是一件多么了不起的工作啊!图论帮我们解决了很多现实问题, 如环游世界问题、匹配问题、最优化问题等等, 尤其是“树”的概念的引进, 在日常生活和计算机理论中, 应用相当的广泛。比如百姓的“家谱”就是一棵“根树”, 树根是“祖宗”, 平行边是“兄弟”, 上下相邻的两个顶点分别表示“父亲”和“儿子”, 看到一颗“家谱树”, 马上就清楚了谁是谁的“祖先”, 谁又是谁的“后裔”, 一目了然。再如“购买接线板的问题”, 寝室有28盏电灯, 要共用一个电源插座, 需要购买多少个具有四孔的接线板?这是图论中“完全四叉树求分支点”的问题, 让学生带着问题去思考, 自己解决, 既生动又实用, 何乐而不为呢?

兴趣是最好的老师, 不论一门课程多么抽象、复杂, 首先要求教师深刻地理解课程内容, 要用通俗易懂的语言讲授给学生, 同时要调动学生学习的积极性, 让学生有“我要学”的冲动, 那么这门课就一定可以学好。S

参考文献

[1]左孝凌, 等.离散数学[M].上海:上海科技文献出版社, 1982.

浅谈《离散数学》的教学 篇3

摘要：为了激发学生的学习热情，培养其思维能力和应用能力，根据离散数学课程教学的特点，笔者结合课程教学经验，对离散数学教学进行了研究.文章提出一些教学方法和手段的改革，在实际教学中起到了一定的作用，提高了教学质量.

关键词： 离散数学，教学方法，教学手段

【中图分类号】O158-4

On the Teaching "Discrete Mathematics" in

Chenxue Gang Zhou Jiquan

（North China Electric Power University Mathematics， Beijing， 102206， China）

Abstract： In order to stimulate students' enthusiasm for learning， develop their thinking skills and ability， according to the characteristics of Discrete Mathematics Instruction， author of Teaching experience， discrete mathematics teaching were studied. This paper presents some of the reform of teaching methods and means， in the actual teaching has played a certain role in enhancing the quality of teaching.

Keywords： discrete mathematics， teaching methods， teaching means

《离散数学》是计算机科学中重要的基础理论课程之一，它不仅是许多计算机专业课的必备基础，而且对培养学生抽象思维能力和逻辑推理能力有着重要的作用.然而采用以往的教学方法，教学效果往往不够理想.一方面，离散数学知识的分散性令许多学生感到无从下手.另一方面，在传统的离散数学教学中，往往采用“纯数学”教学方法，学生不能很好地体会离散数学对计算机科学的重要意义，所以学习积极性不高.因此，通过教学方法和手段的改革来激发和增强学生的学习兴趣，从而培养学生的创新思维和综合能力，是离散数学教学中非常迫切的需求.本文结合作者近年来从事离散数学课程教学的经验，从教学内容、教学方法、教学手段等方面进行了一些初步探讨.

1精选教学内容

《离散数学》教学内容主要包括数理逻辑、集合论、代数结构及图论等几大分支.各分支均有悠久历史.如果这几部分的内容都要详细讲授，时间上来不及，所以在在教学过程中对讲授内容的选择应当有所侧重.比如简单介绍集合论的理论基础，重点是如何利用集台论的方法解决实际应用问题.在二元关系这部分，重点是二元关系的几个与性质相关问题的论证方法的训练.在数理逻辑上通过将一般命题公式和一阶逻辑公式化成范式，达到强化训练学生逻辑演算能力.图论部分重点放在基本概念的理解和实际问题的处理上，通过对相关定理及其证明思路的理解来体会图论的研究方法.代数系统这部分内容重点放在群论上，尤其要在代数系统、群、子群、循环群、变换群、正规子群的概念及相关问题的理解上下功夫.

2 教学方法探讨

2.1 增加讨论课

老师首先选定讨论的课题，学生分组准备查询相关的文献，并形成自己观点.在讨论课上大家共同交流探讨，从而加深对这门课程的认识.最后各小组完成论文的书写.该方法不仅可以提高学生对离散数学重要性的认识，还可以提高学生互相协作的能力以及书写论文的能力.

2.2 增加趣味性，激发学生的学习兴趣.

“兴趣是 最好的老师”，只有激发起学生的学习兴趣，他们才有真正自主学习的欲望.在教学过程中，根据具体的知识点，介绍它的发展史或者引入趣味问题，增加了学生学习离散数学的兴趣，拓宽了学生们的知识面，提高了学生对离散数学课程学习的积极性与主动性.

2.3 注重归纳与小结

离散数学的内容虽然多且散，但通过归纳和小结，可以用一条主线贯穿始终.离散数学讨论的内容主要包含系统中涉及到的静态（基本概念）与动态（运算、操作、推理）.如集合论中是元素（静态）及其上的运算（动态）；代数系统中是集合（静态）及运算（动态）；数理逻辑中是公式（静态）和推理（动态）.通过归纳与小结，学生能够理清头绪，提高学习效率.

3 教学手段改革

3.1 教学网站建设

信息技术对提高教学质量具有重要的影响，必须予以高度重视.为了提高教学质量，我们建设了一个教学支撑网站，一方面大力推进信息技术在教学中的实际运用，促进教学手段和教学方法现代化；另一方面以此提高教与学的效率.

3.2 重视学生作业，定时测验

离散数学的知识不经过学生的独立思考和多做练习是无法牢固掌握的，因此一定要给学生留一定数量的课后习题.但大部分学生不可能把课本上的习题全部做完，教师也不可能完全批阅.这就要求教师布置作业要选其精华，选题必须要有一定的深度和广度，要覆盖所学的内容，尽量选有启发性质的习题.对于学生的作业，要认真仔细批改，将作业中暴露出来的普遍问题，要进行课堂讲评.通过讲评作业，帮助学生澄清模糊和错误的认识.

3.3 新的考核方式

传统的考核方法就是试卷考试，考察学生的基本知识和基本技能，以及解难题的能力.我们尝试做了一些考核方法的改革，把原来的试卷考试和平时的考核两部分，改成了三部分成绩的统一， 即添加了一个新的内容：写离散数学的论文.把它的评定结果作为成绩的一个重要部分.所写论文必须要求观点明确、主题鲜明和论述严谨，并且具有一定的创新.

4 结束语

总之，要把离散数学这一门课教好，教师就要不断研究新的教学方法和手段，认真掌握教学规律，借助于现代化教学手段，提倡“启发”式教学.教师只要具有扎实的理论功底，并具有对学生高度负责的精神，就一定能够达到良好的教学效果.

参考文献：

[1]赵青杉，孟国艳.关于离散数学教学改革的思考[J].忻州師范学院学报，2005，21（5）：6 .

[2]耿素云，屈婉玲.离散数学[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]翁梅，刘倩，冯志慧等.“离散数学”课程教学实践与探索[J].计算机教育，2004（12）：62—63.

[4]钟敏，时念云.改革课程实验提高离散数学教学质量 [J].计算机教育，2008，18.

[5] 张艳华，周雪琴，马新娟，王举辉，张立红. 基于卓越工程师的“离散数学”教学改革探索[J]. 当代教育理论与实践. 2013（12）

离散数学习题与参考答案 篇4

一、填空题

1、设是偏序集,如果_________, 则称是(偏序)格.2、设〈B,∧,∨,′，0，1〉是布尔代数，对任意的a∈B,有a∨a′=____,a∧a′=______.3、一个格称为布尔代数，如果它是______格和______格.4、设<>是有界格，a,bL,若ab=0,则a=b=_____；若ab=1,则a=b=____.二、证明题

1、设是格，a,b,c,dL。试证：若ab且cd，则

a∧cb∧d2、证明：在有补分配格中，每个元素的补元一定唯一。

3、设是一布尔代数，则

R={ | ab=b}是S上的偏序关系

4、若是一个格，则对任意a、b、cA，有若a≤c且b≤c，则a∨b≤c。

5、若是一个格，则对于任意a，bA，证明以下两个公式等价；

（1）a≤b

（2）a∨b =b6、证明：如果格中交对并是分配的，那么并对交也是分配的，反之亦然。

7、如果是有界格，全上界和全下界分别是1和0，则对任意元素aA，证明：

离散数学习题 篇5

1、设下面所有谓词的论域D={a、b、c}。试将下面命题中的量词消除，写成与之等值的命题公式。分析：本题主要是考察对全称量词、存在量词的理解，然后通过合取词、析取词把全称量词和存在量词消去。（1）xRxSx

解：R(a)R(b)R(c)S(a)S(b)S(c)（2）xPxQ(x)

解：P(a)Q(a))P(b)Q(b)P(c)Q(c)（3）x7P(x)xP(x)

解：7P(a)7P(b)7P(c))P(a)P(b)P(c)

2、指出下列命题的真值：

分析：本题主要是考察合式公式的解释的定义，已经判定给定解释下合式公式的真值。（1）xPQ(x))R(e)

其中，P:“3＞2”,Q(x):“x3”,R(x):“x＞5”,e:5，论域D={-2，3，6} 解：假。

（x为-2时不成立）（2）xP(x)Q(x)

其中，P(x):“x＞3”,Q(x):“x4”，论域D={2}。解：真。

3、在一阶逻辑中，将下列命题符号化：

分析：本题主要是考察存在量词、全称量词已经基本的连接词的运用。（1）凡有理数均可表示为分数。

解：令：P(x)： x是有理数；Q（x）:x可表示为分数。

x(P(x)Q(x))

（2）有些实数是有理数。解：P（x）：:x是实数，Q(x)：x是有理数。

xPxQ(x)

（3）并非所有实数都是有理数。解：P（x）：:x是实数，Q(x)：x是有理数。

x(P(x)Q(x))

（4）如果明天天气好，有一些学生将去公园。

解：P（x）: x去公园

S（x）: x是学生

W：明天天气好

Wx(P(x)S(x))

（5）对任意的正实数，都存在大于该实数的实数。解：P（x）: x是实数；

G（x, y）：:x大于y。

x(P(x)y(P(y)G(y,x)))（6）对任意给＞0，x0a,b，都在存在N，使当n＞N时，有

fx0fnx解：G（x，y）: x＞y, Sx:xa,b

＜

x0G,0Sx0Nn(Gn,NG(,f(x0)fn(x))))

4、指出下列公式中的自由变元和约束变元，并指出各量词的作用域。

分析：本题主要是考察自由边缘、约束变元的定义，以及量词的作用域的概念。（1）xPxQxxRxQz

解；自由变元z, 约束变元x, 第一个x的作用域是PxQx，第二个是R(x)。

（2）x(P(x)y(Q(y))(xP(x)Q(z))

中的Px 解：自由变元z，约束为元：x，y。第一个x的作用域为PxyQy



第二个x的作用域为第二个P(x)； y的作用域为Q(y)。（3）x(P(x)Q(x))yR(y)s(z)

解：自由变元：z，约束变元：x和y；

x的作用域为(P(x)Q(x))，y的作用域为R(y)

（4）x(F(x)yH(x,y))

解：无自由变元

约束变元x，y；

x的作用域：(F(x)yH(x，y))，y的作用域：H(x,y)

（5）xF(x)G(x,y)

解：自由变元：y与G(x，y)中的x，约束变元：F(x)中的x；

x的作用域：F(x)（6）xy(R(x,y)Q(x,z))xH(x,y)

解：自由变元：Z与H(x，y)中的y；

约束变元：x,y, x和y的作用范围：(R(x,y)Q(x,z)，x的作用范围：H(x,y)

5．设谓词公式x(P(x,y)Q(x,z))。判定以下改名是否正确 ：

分析：本题主要是考察改名规则的定义，以及它的适用范围。有兴趣的同学可以顺便了解一下代替规则情形。

（1）u(P(u,y)Q(x,z))

解：错误（2）u(P(u,y)Q(u,z))

解：正确（3）x(P(u,y)Q(u,z))

解：错误（4）u(P(x,y)Q(x,z))

解：错误（5）y(P(y,y)Q(y,z))

解：错误 6．设I是如下一个解释 ：

D:a，b，P(a，a):1，P(a,b):0，P(b,a):0，P(b,b):1。

试确定下列公式在I下的真值：

分析：本题主要考察合式公式在特定解释下的真值。（1）xyP(x,y)

解：真

（2）xyP(x,y)

解：假

（3）xy(P(x,y)P(y,x))解：真（4）xP(x,x)

解：真

7．判断下列公式的恒真性和恒假性

分析：本题主要是根据已知的命题公式、合式公式的基本等值式来进行推导，看该合式公式是与1等值还是与0等值。

（1）xF(x)xF(x)

解：恒真（2）xF(x)(xyG(x,y)xF(x))

解：恒真（3）xF(x)(x(F(x)yG(y))

解：恒真（4）(F(x,y)F(x,y))

解：恒假

8．设G（x）是恰含自由变元x的谓词公式，H是不含变元x的谓词公式，证明：（1）x(G(x)H)xG(x)H（2）x(G(x)H)xG(x)H 分析：本题根据量词作用域的扩张进行证明。证明（1）

x(G(x)H)x(7G(x)H)x7G(x)H7(xG(x))HxG(x)H

证明（2）

x(G(x)H)x(7G(x)H)x7G(x)H7(xG(x))HxG(x)H

9．设G（x，y）是任意一个含x，y自由出现的谓词公式，证明：（1）xyG(x，y)yxG(x，y)

分析：本题主要是根据两个合式公式等值的定义进行证明。证：设D是论域，I是G（x，y）的一个解释。

（a）若xyG(x，y)在I下的为真，则在I下，对任意的x,yD,G(x,y)即yxG(x,y)是真命题，反之亦然。

（b）若xyG(x,y)在I下为假，则在I下必存在x0D或y0D，使得G（x0, y）或G（x, y0）为假，于是，此xo或yo亦弄假yxG(x,y)，反之亦然。

（2）xyG(x，y)yxG(x，y)

分析：本题主要是根据两个合式公式等值的定义进行证明。

证：设D是论域，I是G（x, y）的一个解释。

（a）若xyG(x，y)在I下为真，则在I下存在x0D与y0D,使G（x0,y0）为真命题，于是，yxG(x,y)也是真命题，反之亦然。

（b）若xyG(x，y)在I下为假，则对任意x，yD，G（x, y）均为假，故yxG(x,y)亦为假，反之亦然。

10．将下列公式化成等价的前束范式：

分析：本题主要是根据已知的基本等值式通过消去蕴含连接词、等价连接词，依据改名规则、代替规则进行等值演算化成前束范式。

（1）xF(x)xG(x)

解：xF(x)xG(x)xF(x)xG(x)x(F(x)G(x))（2）xF(x)xG(x)解：

xF(x)xG(x)xF(x)xG(x)x(7F(x))xG(x)x(7F(x)G(x))

（3）(xF(x,y)yG(y))xH(x,y)

解：

(xF(x,y)yG(y))xH(x,y)(7(xF(x,y))yG(y))xH(x,y)(x(7F(x,y))zG(z))xH(x,y)xz(7F(x,y)G(z))xH(x,y)xz(F(x,y)7G(z))uH(u,y)xzu((F(x,y)G(z))H(u,y))

（4）x(P(x)yQ(x,y))

解：x(P(x)yQ(x,y))x(7P(x)yQ(x,y))xy(7P(x)Q(x,y))

11．给出下面公式的skolem范式：

分析：本题主要是根据已知的基本等值式通过消去蕴含连接词、等价连接词，依据改名规则、代替规则进行等值演算化成前束范式，然后根据前束范式写出对应的skolem范式。

（1）7(xP(x)yzQ(y,z))解：

7(xP(x)yzQ(y,z))(xP(x)yzQ(y,z)xyz(P(x)Q(y,z))

∴所求为:xz(P(x)Q(f(x),z))

（2）x(7E(x,o)(y(E(y,g(x))zE(z,g(x))E(y,z)))))解: 原式x(7E(x,o)(yz(E(y),g(x)E(z),g(x)E(y,z))))

x(7E(x,o)7(yz(E(y)g(x))E(y,g(x)E(y,z))))x(7E(x,o)(u7(E(y),g(x))E(,g(x)E(y,z))))

x(7E(x,o)u((7(E(u),g(x)))(7E(1g(x)))E(y,z))

xu(E(x,o)((7E(u,g(x)))(7E(,g(x)))E(y,z))

即为所求

（3）7(xP(x)yP(y))

解：7(xP(x)yP(y))7(7xP(x)yP(y)7(x7P(x)yP(y)

7(xy(7P(x)P(y)))xy(P(x)7P(y))即为所求。

12．假设xyM(x，y)是公式G的前束范式，其中M（x, y）是仅仅包含变量x，y的母式，设f是不出现在M（x, y）中的函数符号。证明：G恒真当且仅当xyM(x,f(x))恒真。

分析：本题主要是用反证法，根据解释的定义来证明结论成立。

证：设GxyM(x，y)恒真。若xM(x,f(x))不真，则存在一个解释I, 使得对任意的x0D（论域），M(x0,f(x0))为假。于是，G在I下也为假。此为矛盾。

反之，设xM(x,f(x))恒真。若xyM(x，y)不是恒真，则存在一个解释I’，使得对任意xiD，存在yiD，使M(xi，yi)为假。由于f是不出现在M(x，y)中的函数符号，故可定义函数f:使得f(xi)yi。于是，xM(x,f(x))在I’下为假。矛盾。

故结论成立。13．证明

DD，(x)(P(x)Q(x))(x)(Q(x)R(x))(x)(P(x)R(x))

分析：本题是根据基本的等值式、蕴含式、以及US、UG、ES、EG规则证明结论成立。证：（1）(x)(P(x)Q(x))(x)(Q(x)R(x))前提引入

(2)(x)(P(x)Q(x))

化简（1）

（3）P(y)Q(y)

US规则，根据（2）（4）(x)(Q(x)R(x))

化简（1）

（5）Q(y)R(y)

US规则，根据（4）

（6）P(y)R(y)

假言三段论，根据（3），（5）（7）(x)(P(x)R(x))

ES规则，根据（6）

14．构造下面推理的证明：

分析：本题是根据基本的等值式、蕴含式、以及US、UG、ES、EG规则证明结论成立。前提：x(F(x)H(x)),x(G(x)H(x))结论：xG(x)7F(x)

证：（1）x(F(x)H(x))

前提引入

（2）x(7F(x)7H(x))

等价式（1）（3）x(H(x)7F(x))

等值式（2）（4）H(y)7F(y)

US规则（3）（5）x(G(x))H(x)

前提引入（6）G(y)H(y)

US规则（5）（7）G(y)F(y)

假言三段论（4），（6）

（8）x(G(x)7F(x))

UG规则（7）

15．指出下面两个推理的错误。

分析：本题主要是考察US、UG、ES、EG规则的适用范围，也就是前提条件。（1）x(F(x)G(x))

前提引入

（2）F(y)G(y)

US规则，根据（1）（3）xF(x)

前提引入

（4）F（y）

ES,(3)（5）G（y）

假言推理，（2），（4）（6）xGx

UG,(5）

解：（4）错误。Fy中的变元y与（2）中的变元重名。

（1）xyx，y

前提引入（2）yF(z,y)

US规则，（1）（3）F(z,c)

ES规则，（2）（4）xFx,c

UG，（3）（5）yxF(x,y)

EG，（4）解：（3）错误。在yF(z,y)中变元并非只有y。

16.每个学术会的成员都是知识分子并且是专家，有些成员是青年人。证明：有的成员是青年专家。分析：本题主要是首先把明天符号化，符号化前提，结论。然后根据US、UG、ES、EG规则证明结论成立。

解：P（x）：x是学术会的成员；

E（x）：x是专家；

G（x）：x是知识分子；

Y（x）：x是青年人。

前提：x(P(x)G(x)E(x)),(x)(P(x)Y(x))结论：x(P(x)Y(x)E(x))

证明：（1）x(P(x)G(x)E(x)))

前提引入

（2）P(c)(G(x)E(c))

US,(1)

（3）x(P(x)Y(x))

前提引入（4）P(c)Y(c)

ES,（3）（5）P（c）

化简（4）

（6）G(c)E(c)

假言推理,（2），（5）（7）E（c）

化简,（6）

（8）Y(c)

化简,（4）

（9）P(c)Y(c)E(c)

合取（5）（7）（8）（10）x(P(x)Y(x)E(x))

离散数学的数学论文 篇6

关键词： 离散数学;逻辑;可视化方法

引言

随着社会信息化的发展，《离散数学》逐渐成为信息学科的一门专业基础课。《离散数学》是现代数学的一个重要分支，以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数个元素。离散数学已经在数据结构、算法设计与分析、操作系统、编译系统、人工智能、软件工程、网络与分布式计算、计算机图形学、人机交互、数据库等领域都得到了广泛的应用。除了作为多门课程必须的数学基础之外，离散数学中所体现的现代数学思想对加强学生的素质教育，培养学生的抽象思维和逻辑表达能力，提高发现问题，分析问题，解决问题，也有着不可替代的作用[1]。

但是通过近几年的教学实践，人们对《离散数学》的课程设置和教学效果还不是很满意[2]。主要存在于教学内容取舍上和教学方法的应用上。如果教学内容的选取不当或是教学方法的使用不当，都会使学生对学习《离散数学》产生畏惧或是抵触的情绪，以至不了解学习的目的。如何提高学生对《离散数学》这一课程的认识，并学会用科学的思维方式思考问题，解决问题，进而提高自身的科学修养，这是我们每一个教育工作者应该关注的问题。本文基于笔者自身的教学经历和调查研究，对教学与学习《离散数学》的内容和方法中存在的一些问题加以分析，并且提出了一些相应的解决方案。

1 不同专业课程内容的设置

经典的离散数学内容一般包括数理逻辑、集合理论、图论基础、代数结构这四部分内容。随着信息科学的发展《组合数学》这一学科也逐步的被添加到离散数学的课程之内。但是因为不同专业培养学生的目标各异，所以对离散数学的课程要求也不一样，相应的课时分配亦不尽相同。大多数为36课时，54课时或72课时。对授课内容来说，也因为专业和课时的不同而有所差异，例如对信息与计算科学专业来说，在我校是54课时，又因为代数结构已作为一门单独的课程开设，所以在授课过程中我们主要教授其它几部分内容。而对我校的物理专业的信息课程来说，只有36课时，如何在如此少的课时讲授完四部分内容，确实是一种挑战，经过实践，我们决定讲与练结合起来，就是在课堂讲授主要部分，剩下的作为习题布置给学生，这样的好处是锻炼了学生的读书与自学能力，另外又因为数理逻辑，图论等内容与其电路设计等一些实际应用有关，所以我们加强这一方面的实际应用内容。信息管理类的开课则是54课时，在这一方面，因为学生的数学修养没有理科的好，所以我们则注重与其专业有关的内容，比如实际应用领域比较多的图论等。通过几年的授课，我们觉得，对数学基础比较好的专业，完全可以将《离散数学》分为基本不同的课程进行讲授，这样的好处是可以加深相应部分内容的理论基础以及扩展其应用的知识量，学生通过理论和应用的相互关联，加深了对本门课的认识和理解。对数学基础比较薄弱的专业，我们还是以应用为主，理论为辅。

与其他课程的联系也体现在不同专业需求上。就图论这一内容来说，在我校信息与计算数学专业与《离散数学》同时开课的有《数据结构》，而这两门课程在图的一章里面有内容的重叠，其不同点在于，《离散数学》注重的是理论的研究，而《数据结构》注重的是程序的设计。对于物理类的信息专业，其后续课程有《电路设计》，所以在课堂上，我们会举出一些与其相关的内容，使同学加以理解。

2 注重课堂授课过程的可视化方法

现在计算机辅助教学已经深入到了每一门课程中，《离散数学》也不例外。我们在讲授过程中，对于计算机的辅助教学，主要体现在如下的两个方面：一个是多媒体课件，一个是利用数学软件进行辅助计算。这是因为当学生接触到了《离散数学》这一门课程时，已经完成了从中学逻辑思维到大学逻辑思维的转换，因此，可以借用matlab这一类的辅助计算工具以加深同学们的理解。例如，在关系这一部分中有对极限定义的解释，我们先是应用课件对其进行可视化理解。具体是先复习绝对值“■”是一维坐标轴上两点的距离这一几何意义。那么对于函数极限的标准定义：“对于?坌?着>0，?埚?啄>0，当0

3 带有问题启发式的教与学

带有启发式的教与学主要体现在以下两个方面，一是对学生逻辑思维的培养，一是对所学知识在实际生活中的应用。逻辑思维主要体现在对同学的各种数学语言的理解和应用上，例如反证法一直是一种重要的逻辑思维方法，但是有的学生很难理解其内在本质，于是在数理逻辑这一部分，我们通过逻辑运算，给出这一方法的数学语言的表述。还有，对1=0.■这一在中学已接触到的知识，我们在函数这一部分应用极限的概念给予说明。很多学生在学完这些内容后纷纷表示对以前只知道机械运用的数学语言有了一个更加深刻的认识和理解。在教学生《离散数学》之前，我们通常会做一个小型的调查。最终的结果是很多学生都会问离散数学的应用。对于这一问题我们早有准备，授课过程中，尽量做到理论联系实际，而不是老生常谈式的对同学们解释，大学数学是伴随实际的应用而发展起来的，学习他可以提高学生的逻辑分析能力和处理问题的能力等等。例如，在讲授数理逻辑这一部分，我们会给学生解释，如果把一个人的所有特点都归结为前因，那么通过逻辑推理，可以得到这个人的命运结果。思维活跃的学生对这一解释很感兴趣，当场就算了起来。以致后来选择了逻辑推理作为自己的博士方向，以至于毕业留校。在讲授函数关系的时候，我们会以数据库access软件来说明。

4 结束语

通过讲授和与学生交流，我们深刻地认识到了《离散数学》开设的必要性和重要性。对如何在教学实践中进一步完善这将是我们今后重要的研究课题之一。

参考文献：

[1]屈婉玲，耿素云，张立昂.离散数学[M].清华大学出版社，.

[2]肖红，王辉，潘俊辉.案例教学在“离散数学”课程中的应用[J].价值工程，(6)：271-272.

[3]石茂，张若为.数学在培养经济类文科生逻辑思维中的作用[J].价值工程，(18)：247-248.

[4]赵军云，张璐璐，朱国春.离散数学课程教学中的探索与思考[J].电脑开发与应用，(10).

[5]文海英，廖瑞华，魏大宽.离散数学课程教学改革探索与实践[J].计算机教育，2010(06).

离散数学课程教学探讨 篇7

离散数学常作为各高校计算机科学与技术专业的专业基础课开设。但学生经常感到离散数学的内容很难理解, 对离散数学的实际用途提出疑问, 学习兴趣不高, 达不到学习的目的。

2. 课程内容和特点

采用的教材是屈婉玲等编著的《离散数学》[1]。本人主讲离散数学已经5年, 本校的授课学时是72学时。主要内容有数理逻辑、集合论、代数结构、图论四部分。本课程内容相关联的科目有人工智能, 数据库原理, 数据结构, 近世代数, 计算机网络, 算法设计与分析等等。涉及内容较多并且比较抽象和分散。各部分联系不够紧密, 学生掌握起来很困难。由于离散数学是计算机科学若干学科的基础, 书中的内容又包含了大量的定理。如果严格按照内容讲授课程, 很可能使学生感到像学习高等数学一样。教学效果必将大打折扣。因此根据课程的特点和内容, 进行教学方法和内容的改革, 提高学生的学习兴趣, 是急需要解决的问题。

3. 几种教学模式的应用

3.1 多媒体教学的应用

离散数学的教学中, 很多数院校只重视理论教学, 一直以来都延续着数学课的教学手段, 大多数老师采取“黑板和粉笔”的讲授方法。由于采用方法单一, 学生感到课堂教学比较单调, 并且不能收到很好的教学效果。随着多媒体技术引入教学, 多媒体教学课堂的增多, 不妨将上课地点设在多媒体教室。在多媒体教室上课要准备课程的幻灯片ppt, 但是并不是上课的老师完全按照ppt上的内容讲课。多媒体教学课件转换快, 学生不能很快捕获知识和不能仔细思考的缺点显现出来。本人认为ppt的内容主要是定理和概念。把一些不好讲解和难以理解的内容如果能做成ppt动画等效果, 这样学生学习会收到较好的效果。由于离散数学推理和证明较多, 这些过程的推导还是采用以黑板板书为主和幻灯片为辅助的教学方式为好。在黑板书写定理推论等内容不仅占用了课堂教学部分时间, 还消耗了教师的体力, 占用了黑板书写的面积。采用幻灯片播放定理和推论等内容很好地解决了上述问题。

3.2 采用实验教学的方法

在以前的离散数学教学中, 根本不开设实验课。但是, 本人认为实验课有必要开设。开设实验课有助于增进学生对定义定理的理解, 为抽象思维提供直观的思维背景, 使抽象的内容直观化、具体化, 为学生进行数学论证提供感性直觉的材料, 帮助学生更好地理解离散数学课程。作为课程内容的离散数学实验, 既要注重揭示概念、定理的形成和发展过程, 展示数学问题的解决过程, 又要与基本的离散数学思想挂钩, 有机地和教学相互结合、相互促进。离散数学最重要的应用就是在计算机方面, 如数据结构、算法分析与设计。教师可以结合数据结构, 精选某些算法, 让学生用程序语言实现, 然后体会所学定义定理的应用, 使抽象的理论具体化。比如欧拉图的判定、汉密尔顿图的判定以及最优二叉树等都可以通过小程序实现。由于离散数学内容多, 总授课学时较少。所以, 实验学时不宜多, 可以安排两次实验课, 实验内容为验证性实验, 还可以在理论教学中通过多媒体演示的方法供大家学习。

3.3 课堂教学多种方式的应用

在本人授课过程中, 不断有学生问到学习离散数学知识的作用。在开始讲解每章内容时候, 教师要先介绍本章的内容要点, 本章内容和其他计算机学科的知识联系和作用。这样学生不但有了初步印象, 而且学习时更具有目的性并且激发学习兴趣。

从教学内容上也可以引入一些趣味实例。比如在数理逻辑部分可以讲解逻辑学家的故事, 讲解命题逻辑知识用于电路设计的实际例子。对离散数学的内容做一些知识的扩展, 比如讲解图论内容的货郎担问题, 可以结合当前的研究热点, 可以介绍计算智能中的用于解决这个NP问题的一些算法和研究进展。这样不但丰富了学生的知识, 也增加了学生的学习兴趣。另外多多参考同类离散数学教材也是必要的方式。每个教材的编写都不是完美的, 各章节各有所长, 正好可以相互补充。例如屈婉玲[1]等编著的离散数学书75页第三组的推理定律, 书上没有详细的推导, 学生比较难以理解。左孝凌编著的离散数学[3]和相应的习题配套书给出了很好的解答。

采用图示法在教学过程中会收到很好的教学效果[4]。俗话说“千言万语不及一张图”。在离散数学教学中, 充分应用数形结合的思想方法, 对于发展学生的创造性思维, 培养学生的思维方式都有重要的作用。例如本人所用教材中的函数章节可以对函数的单射、满射、双射、复合映射很方便地用图来表示出来。代数系统章节中代数系统、半群、独异点、群的关系可以用集合论中的文氏图很好地表示出来。代数系统的同态和同构也可以画图形象化地表示。如果利用板书和绘制的简单图形相结合, 使学生更容易理解, 事半功倍。

对教材内容多进行归纳和总结, 相当于是把书读“薄”的一个过程。离散数学这样的理论性课程, 几乎每章节都有大量的新术语或定理, 晦涩难懂, 学生很容易产生畏难情绪。教师应该先把定理推导过程讲明白, 学生带着理解去记忆和应用, 效果才能更好。提炼相关内容的核心才能使内容变得“少”一点。例如本人对教材的46页数理逻辑的9个推理定律仔细推敲之后可以发现定律3可以推出定律4和5, 由定律6可以推导出定律7, 8, 9。在第六章集合代数中, 公式 (6.27) 是较重要的核心公式。它可以推出公式 (6.17) 和公式 (6.18) 等, 并且在很多的集合等式证明中起着重要的作用。

4. 结束语

随着计算机科学与技术的发展, 离散数学作为一门基础课程, 其教学方式需要教师不断地研究、总结和创新。在教学中不断地深入实践, 不断改进教学方法和手段, 才能收到越来越好的教学效果。

参考文献

[1]屈婉玲, 耿素云, 张立昂.离散数学[M].北京:清华大学出版社, 2008.

[2]郭晓姝.离散数学教学模式改进探讨[J].计算机教育, 2012 (5) :69-72.

[3]左孝凌, 李为继, 刘永才.离散数学[M].上海:上海科学技术文献出版社, 1982.

《离散数学》课程教学改革与实践 篇8

摘 要： 《离散数学》是针对网络和软件专业的学生所开设的专业必修课，该课程的学习有助于培养计算机方面的高科技人才的数学素养，培养学生应用《离散数学》的相关知识解决实际问题的能力。作者主要结合学生的学习反馈、学校的发展及教学实践，对《离散数学》这门课程的教学方法及改革提出了心得体会。

关键词： 教学改革 《离散数学》 现代化教学 讨论组

一、引言

《离散数学》是各高等院校理工科专业（尤其是网络和软件专业）的一门非常重要的必修课，它是现代数学的一个重要分支，该课程的核心内容主要是围绕离散量的有关数据及其的逻辑关系展开的。随着社会的发展及各个学科的不断进步，离散数学这门学科不仅仅为学生提供基础知识，更应该借助这门课程培养学生的逻辑推理能力、自主学习能力和抽象概括能力。从理论知识的角度分析，对于计算机科学与网络技术专业的学生来说，学好离散数学这门课程，可以为往后的专业课学习做铺垫、打基础。因为计算机科学与网络技术专业的学生的专业课程里包括算法与分析、数据库理论、操作系统、数据结构和自动化理论等，而对这些课程的学习理解都要以离散数学为基础。从培养能力的角度分析，学好离散数学这门学科，可以培养学生的逻辑推理能力和缜密概括能力，培养学生发现问题、思考问题和解决问题的能力。随着这些年教学工作的发展，《离散数学》这门学科有所变化，但是很多学生反映这门课程概念太多、内容过于抽象，而且理论性非常强。为了让学生更好地学习这门课程，作者将结合学生的学习反馈、学校的培养方案及教学经验，对《离散数学》这门课程的教学方法及改革给出心得体会。

二、内容体系

结合本校对学生的培养方案，《离散数学》这门学科所讲授的内容主要分为五大部分：数理逻辑、集合论、代数系统、图论和计算机科学中的应用。展开来说，主要讲解的内容有命题逻辑、谓词逻辑、集合与关系、代数结构及图论等。学习这门学科，一方面为软件、网络的学生学习专业课做铺垫，另一方面为了培养计算机方面的高技术人才所必备的基本数学素养。那么对于高校教师而言，如何找到一种有效的教学方法，使学生对《离散数学》这门学科感兴趣并高效学习，对于独立院校来说变得尤为重要。

三、《离散数学》在教育教学工作中存在的问题及相应的改革措施

1.《离散数学》在教育教学工作中存在的问题

《离散数学》的发展已有多年，它不仅在数学领域发挥着非常重要的作用，而且在计算机领域中起着不可替代的作用。近几年来，随着科学技术的发展，《离散数学》在教育教学工作中随之出现一些问题。相关的教学内容、教学计划、教学方法等都存在一些不足有待弥补。（1）传统的教学体制对于现代的学生来讲并不是很适用，它的弊端在于过去的教学主要以课本为主，把知识内容讲授给学生是老师的主要任务，教师的作用更突出一些。但与此同时传统教学也有独特的优点，传统教学主要利用课本、粉笔、黑板等手段将知识讲授给学生，突出言传身教的特点。这种教学方式可以拉近教师和学生之间的距离，教师引导学生学习，启发学生的思维创造力，这些行为不仅有助于促进师生感情，更有利于为学生的身心发展提供有利的条件。（2）随着社会的发展，现代化教学越来越普遍，以多媒体的出现为主要代表，让教学内容更丰富多彩，尤其对于数学这门学科，图画和动画的辅助能够达到非常好的效果。多媒体的出现，不仅让本学科的内容更丰富，而且让学生接触更多与之相关的其他内容。另外，使用多媒体讲课还可以有效地提高教学质量，PPT的使用既可以让丰富的教育教学资源得以共享，又可以促进师生互动。但是，多媒体教学有着局限性，由于多媒体放映过快，很容易使得课程推进过快，学生独立思考的时间减少，这就降低了学生的学习效率。另一方面，多媒体的使用会使得老师的注意力大多在多媒体上，而减少和学生的交流。我校采取的是现代化教学模式（多媒体教学），教材用的是上海科技文献出版的《离散数学》，这本书相对来说比较适合本校学生的基础及教学课时的安排。但是，离散数学这门学科对于大部分高校（尤其是独立学院）的学生来说免不了理论偏重和内容抽象。对于刚走进大学生活的孩子们，遇到理论性较强、内容有比较抽象的学科可能会不知所措，甚至学生都不知道这些跟自己的专业有何联系，经调查发现70%的学生缺乏学习兴趣，几乎50%的学生上课注意力不集中，玩手机现象严重。通过这两年的教学实践，发现对于独立学院要想完成培养应用型人才的任务，单纯地采取多媒体教学还是远远不够的，下面围绕《离散数学》在教育教学工作中存在的问题，谈谈对这些问题采取的改革措施.

2.《离散数学》课程教学改革措施

2.1注重基础教学。对于计算机专业的学生而言，离散数学主要是一门工具课，所以我校在教学的过程中适度淡化理论的推导，尽量将繁难及复杂的问题简单化，多突出基本的概念、技能、方法，涉及的性质和定理，最好以图形或简单的例题加以说明解释。这样既可以提高学生的学习积极性，又可以增强学生应用离散数学的知识解决实际问题的能力。

2.2采取多媒体板书相结合的教学手段。结合计算机专业学生的特点，在具体实施《离散数学》的教学过程中，主要采取多媒体和板书相结合的授课方法。由于讲解这门课程时需要大量的推导和计算，学生需要动手练习和独立思考，为了避免学生对学科细节和环节掌握得不够清晰、明白，不能单一地使用多媒体教学，否则很容易加快推进课程内容，黑板的使用有助于加强对学生的启发。教师使用黑板，既能够吸引学生的注意力，又能够留出时间让学生思考问题、分析问题，甚至解决问题，从而达到预期的教学目的。理论知识（主要是概念、性质和定理）以解释为主，重点放在其应用上。讲解知识和例题的时候，以多媒体为辅助工具，主要借助黑板进行讲解，习题课全部采用黑板教学。

2.3借助网络平台，建立离散数学讨论群。信息时代，手机成为学生们生活当中必不可少的一部分，从最开始只是接听电话到现在非常先进的智能化。让学生迷失了方向。他们把大部分时间和精力留给手机，却忽略他们来到大学校园的初衷。信息化的出现，对人们来说，既有利又有弊，结合学生的特点和心理，在这两个学期里，建立离散数学讨论群，为了提高学生的学习积极性，在群里设立奖惩措施，同时建立这个群不只是为了解决学习上的问题，还可以解决其他生活方面遇到的问题。这样不仅拉近我和学生之间的距离，更重要的是让学生充分利用时间学习。同学之间相互讨论，相互帮助，让他们既学到知识又学会做人。

3.实践成果

（1）教师教学能力和水平提高显著。项目组的教师能将教学当做人生事业追求，在教学各环节中严格要求自己，认真上好每堂课，起到为人师表的典范作用。项目组有青年教师教学竞赛三等奖1人。（2）学生的学习效果。实践表明，通过教学改革极大地调动了学生对离散数学的积极性。学生的出勤率、听课率明显提高，更愿意在老师的带领下好好学习。但由于时间紧张，项目的研究仍有不足之处。

参考文献：

[1]左孝凌.离散数学.上海科学技术文献出版社，1981.

[2]耿素云.离散数学.清华大学出版社.