随机非线性系统控制

2024-10-03

随机非线性系统控制（共7篇）

随机非线性系统控制篇1

摘要：本文研究了Duffing-Van der Pol算例,放弃了FFT(快速Fourier变换)数值方法,通过函数项级数和Fourier级数展开二次近似,逐步推导逼近了结果,这样可以使结果更具有理论依据.

关键词：随机平均法,Duffing-Van der Pol振子,级数展开

1 理论推导

同时受乘性和加性宽带随机激励的Duffing-Van der Po振子由Zhu[1]研究,作为一个例子,系统模型的方程是

其中ωsβ1β2是常量,F1( t) F2( t) 是稳定的零均值各态历经过程,具有零均值和互功率谱密度如下:

其中ξi,ωi,Di为常数.

β( a,φ) 由Fourier级数展开可得

所以,平均频率为

然后做一个由x,x到a,φ的一个Van-der-Pol变换,可写成2个在变换域内一阶差分方程,对方程中各项系数做Fourier级数展开,所得结果用于求解伊藤方程的漂移和扩散系数.

2. 结果分析

FPK方程的2个边界是a = 0和∞ . 如果ω20> 0,a = 0是一个规则边界. 如果永久激励没有消失,a = ∞是一个异常边界. 在假设2个边界间以零概率循环FPK方程的稳态解是

其中C是正规化常量,一旦p( a) 得到了,和p( x) 就可以由以下关系得出

由此就得到了Duffing-Van del Pol的概率密度,对其响应的性质可以进行进一步研究.

改变ξfωf的数值,功率谱密度函数的形状从窄变化到宽. 对D取合适的值,方程( 1) 的正态激励可以变得非常小.ε由参数ρ度量 ρ = σf/ m,其中σ2f是激励的功率谱密度函数区域的切割,m是系统的质量. ε的度量由于它同样依靠激励频率的带宽和系统频率激励的主要频率将很困难. 就此问题m = 1时,σ2fF( t) 的功率谱密度函数切割下方区域.乘性激励F1( t) 和加性随机激励F2( t) 的功率谱密度函数,其中D = 0. 2,ξf= 5,ωf= 0. 5. 从前文中获得概率密度函数p( a) 和p( x) 和模拟结果见上图左和上图右.

随机非线性系统控制篇2

随机线性系统依概率稳定的若干等价条件

在系统分析与设计时,需要对系统的动态行为有所了解.为此,讨论了It微分方程描述的线性随机系统依概率稳定性问题.借助Cauchy矩阵,利用测度的单调性与连续性,得到了该类系统在概率意义下的稳定性,包括稳定、一致稳定、渐近稳定和全局稳定的`若干充要条件,这些条件只与Cauchy矩阵的有界性和吸引性有关.

作者：廖伍代沈轶廖晓昕作者单位：华中科技大学控制科学与工程系刊名：华中科技大学学报(自然科学版) ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF HUAZHONG UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY(NATURE SCIENCE)年，卷(期)：30(7)分类号：O231.13关键词：It 随机微分方程依概率稳定测度连续与单调

随机非线性系统控制篇3

关键词：最优控制；动态规划；神经网络；自适应算法；汉密尔顿函数

中图分类号：TP273.1文献标识码：A

1 引言

最优控制是最近几年国内外新起的一个研究领域，最优控制就是寻找最节能最经济的控制策略。50年代，美国数学家Bellman为了解决非线性最优控制问题提出了动态规划方法（Dynamic Programming）[1]。动态最优化方法就是将最优化问题分多级讨论，寻求每一级的最优策略，从而达到全局最优。然而在实际问题中对于大量存在的非线性系统，需要求解汉密尔顿函数（HJB），由于维数问题，求解函弥尔顿函数是个很难解决的问题。

强化学习（Reinforcement learning）[2]是基于生物学习的新型理论。通过比强化学习和动态规划，Werbos[3]提出了新的自适应动态规划方法，从而解决了离散系统的动态最优求解的“维数灾难”问题[1， 4]。然而传统的增强学习方法一般用来解决离散系统，实际问题往往是连续的。

文献[5]将增强学习方法和动态规划方法结合，提出了自适应动态规划方法（Adaptive dynamic Programming）。Werbos[6]基于增强学习方法，提出评价和执行网对离散系统进行动态最优求解。Lewis[7]提出了一种新的基于神经网络的自适应动态最优方法对离散非线性系统进行离线求解。

本文基于一种新的自适应动态规划算法在线解决了非线性系统的最优控制问题。首先应用HJB对非线性系统进行最优求解，进而基于神经网络方法对最优控制中的性能指标进行估计，即应用评价结构解决了动态最优控制问题，同时省去了传统最优控制求解问题中的执行机构，很大程度上缩短了计算机计算的时间。文中引用了一种新的自适应算法[8， 9]在线求得基于神经网络的评价网的权重参数。最后本文对估计权重做了基于李亚普诺夫的收敛性分析，很大程度上提高了论文所提出理论的使用价值。

5结论

引进一种新的自适应算法对非线性连续系统进行自适应动态最优求解。不同Werbos[6]提出的评价执行结构，本文基于辨识评价结构，在线对连非线性系统进行最优求解。用神经网络逼近性能指标，而且基于自适应估计误差，在线估计神经网络权重。比现有文献所用梯度法和迭代法收敛速度更快，而且收敛效果更加良好。仿真结果更加有力的证明所提出方法的有效性。

参考文献

[1]B. R. E， Dynamic programming， Princeton： Princeton University Press， 1957.

[2]SUTTON R S，BARTO A G.Reinforcement learning： an introduction. Cambridge Univ Press， 1998.

[3]WERBOS P J.Approximate dynamic programming for real-time control and neural modeling， Handbook of intelligent control： Neural[J].fuzzy， and adaptive approaches，1992， 15： 493-525.

[4]DREYFUS S E，LAW A M.Art and theory of dynamic programming[M].New York： Academic Press， 1977，56.

[5]MURRAY J J，COX C J，LENDARIS G G， et al. Adaptive dynamic programming， Systems， Man， and Cybernetics， Part C： Applications and Reviews[J]. IEEE Transactions on， 2002， 32（2）： 140-153.

[6]WERBOS P J.A menu of designs for reinforcement learning over time[J].Neural networks for control， 1990：67-95.

[7]ABUKHALAF M，LEWIS F L.Nearly optimal control laws for nonlinear systems with saturating actuators using a neural network HJB approach[J].Automatica， 2005， 41（5）： 779-791.

[8]NA J，HERRMANN G，REN X.， et al. Robust adaptive finitetime parameter estimation and control of nonlinear systems[J].IEEE International Symposium on in Intelligent Control （ISIC）， 2011： 1014-1019.

[9]Na. Jing， Ren. Xuemei， Zhang. Dongdong， Adaptive control for nonlinear purefeedback systems with highorder sliding mode observer[J]. IEEE transactions on neural networks and learning systems， 2013， 24（3）： 370-382.

[10]VAMVOUDAKIS K G，LEWIS F L.Online actorcritic algorithm to solve the continuoustime infinite horizon optimal control problem[J]. Automatica， 2010，46（5）：878-888.

[11]VRABIE D，LEWIS F.Neural network approach to continuoustime direct adaptive optimal control for partially unknown nonlinear systems[J]. Neural Networks， 2009，22（3）： 237-246.

[12]DIERKS T，THUMATI B T，JAGANNATHAN S.Optimal control of unknown affine nonlinear discretetime systems using offlinetrained neural networks with proof of convergence[J].Neural Networks， 2009，22（5）：851-860.

[13]LIU D，WEI Q.Finite approximation error based optimal control approach for discretetime nonlinear systems[J].IEEE Transactions on Cybernetics，2013，43（2）：779-789.

[14]BHASIN S，KAMALAPURKAR R，JOHNSON M， et al.A novel actorcriticidentifier architecture for approximate optimal control of uncertain nonlinear systems[J].Automatica，2013，49（1）：82-92， .

随机非线性系统控制篇4

1 主要定义定理说明

其中状态变量x∈Rn, 控制u∈Rm, ω是一个独立r的维维纳过程, f是连续可微, 并对于u满足局部一致Lipschitz条件, y表示输出变量。

定义1[1]:系统是随机输入到状态稳定的, 简称为SISS, 如果对于任意给定的ε>0, 存在一个KL函数β (⋅, ⋅) , 一个K函数γ使得

定义2[1]:一个函数V (x) 是SISS-Lyapunov函数, 如果对于系统 (1) 存在K∞函数α1, α2, α, χ使得下面两式成立:

引理1[1]:如果系统 (1) 存在一个SISS-Lyapunov函数, 那么此系统是随机输入到状态稳定的, 即SISS的。

定义3:系统 (1) 是SIOS的, 如果对于系统的一个输入输出算子F, 存在一个KL函数β, 一个K函数γ使得对于每一个时间对0≤T≤t下式成立:

2 主要结论

如果系统 (1) 是随机输入到状态稳定的, 那么此系统一定是随机输入输出稳定的。

证明:如果系统 (1) 是随机输入到状态稳定的, 则有定义

当t≥T时, 由uT的定义,

当初始值固定, 存在一个K函数γ1使得x (T) ≤γ1 (uT)

令KL函数β1 (s, t) =β0 (γ1 (s) , t) , 则上述几式可得到

由于y (t) =h (x (t) ) , h是K有界函数, 所以存在一个K函数χ使得h (⋅) ≤χ (⋅) 即

由K函数的性质α (a+b) ≤α (2a) +α (2b)

令β (s, t) =χ (2β1 (s, t) ) , γ (s) =χ (2γ0 (s) ) , 由此我们可知

结论证明完毕。

3 结语

讨论了随机非线性系统中的随机输入到状态稳定与随机输入输出稳定性之间的关系, 这种讨论是十分有用的, 此结果为以后讨论随机非线性系统中有关输出反馈稳定将会带来一定的作用, 也为输出反馈设计起到关键的作用。

参考文献

非线性系统最优控制理论综述篇5

非线性系统,其最优控制求解相当困难,寻求近似的最优控求解方法是当下解决这一问题的.主要途径.目前,比较成熟的最优控制求解方法主要有七类,本文对这七种方法进行了详细的阐述,并对其优缺点进行了客观的对比.

作者：马玲珑付玲芳作者单位：马玲珑(内蒙古科技大学,内蒙古,包头,014010)

付玲芳(中国移动通信集团内蒙古有限公司包头分公司,内蒙古,包头,014010)

随机非线性系统控制篇6

关键词：通信工程专业；线性系统理论；教改

随着信息技术的飞速发展，通信工程专业的学生面临着越来越多的机遇和挑战。扩大知识面，掌握更丰富的相关知识，就会在激烈的竞争中脱颖而出。为了使通信与信息工程的学生有一个完整的关于系统分析的知识，首次将其作为学位课增加在通信专业硕士研究生的课程设置中。《线性系统理论》这门课程的重要性在于它的基础性，与之相关的许多学术分支，诸如最优控制、非线性控制、鲁棒控制、随机控制、智能控制、系统辨识和参数估计、过程控制、数字滤波等等，都是和通信专业学生的信号处理知识完全分不开的。该课程是一门理论性较强、内容较多且抽象的课程。由于是非自动控制专业的学习，其课程的侧重点是不同的，如果不讲求教学方法，学生容易出现厌学、死记硬背等不良学习状况，难以达到课程的预期效果。为此本文从《线性系统理论》这门课程的特点出发，对如何针对非自动控制专业的学生提高教学质量给出以下方面的探析。

一、教学内容的制定和优化

由于课时的不断缩减，在上课时经常会出现老师满堂灌输的方法，希望学生尽快、更多地掌握课程知识，这种教学方法势必使学生处于被动学习的境地，从而使学生只注重记忆，不注重理解，而不能够将所学知识灵活应用到实际问题分析中去。因此，利用有限的课堂时间，以教学大纲为指导，合理优化和安排教学内容，突出重点和难点，这将有利于课堂效率。

1.结合专业特点，合理选择教材。对于通信专业的研究生，选用的教材要通俗易懂，言简意赅，并且逐渐选取国外优秀教材，不仅提高学生的知识水平，同时又锻炼了学生的专业外语能力。在经过多年教学，时机比较成熟以后，可以在总结教学经验的基础上，编写一本更适合通信专业学生学习的教材。

2.合理选择课程内容，激发学生的学习积极性。《线性系统理论》是一门理论性极强的课程，包含了大量的定理、数学公式以及推导，而对于通信专业的学生而言，他们不做控制专业的专业性的学术研究，因此在选择授课内容时，应该注重结构的完整性、概念的清晰性、结论的明确性，简化数学证明，使学生对系统分析在概念上有清楚的认识，使信号的知识和系统的知识有机地结合在一起。

3.淡化理论推导，强调分析和解决问题的方法、手段。学习这门课需要很深厚的数学功底，而对于通信工程专业的学生来讲，数学知识虽然已经储备了很多，但是还是有很大欠缺的。因此在讲授这门课程的时候，要针对学生的实际需求进行讲解。他们需要的是强化关于系统的概念、对系统进行分析时的思考方法。因此，课堂上教师的着眼点应放在介绍关于系统相关概念的物理意义上，进行系统分析时遇到何种问题，从什么角度分析，如何给出可行的解决办法，尽可能做到“实用”，在授课中尽可能弱化复杂的公式证明和推导，而着重解释证明过程的思想及直观意义和应用价值，给出推导结论和强调应用前提条件。在例题讲解中尽可能结合实例的选取，例如，从国内外优秀论文中选取合适的应用实例或者选取实际工程系统，利用线性系统理论的知识来对其进行建模和控制设计，并通过仿真情况来分析系统性能等，使学生有较好的感性认识，提高学生进行逻辑分析的能力，而又不觉得本门课程的枯燥与繁琐，增加学生对该课程的兴趣。

二、教学方法的灵活性与多样性

教学方法的改进是教学改革的关键。目前我们要培养的是具有创新能力和较好综合素质的人才，利用课堂有限时间，培养出适合时代要求的人才，这就要求我们改变以往的教学方法和手段。随着计算机技术、多媒体技术和网络技术的快速发展，采取形式多样的教学手段和方法进行该课程的授课，是教育发展的时代要求。

1.合理应用多媒体，形象教学。本课程的授课方式尽量采用多媒体课件和黑板板书相结合的方式，力求将计算机技术、多媒体技术应用到该课程的教学过程中，使课堂形式更加灵活、生动，大大加大课程的信息量。对于有些推理性的或者需要细致讲解的内容，通过在黑板上进行板书和分析，有利于学生随着老师的板书不断地去理解所提出的问题。同时，根据课程特点，根据学生特点，教师在教学过程中充分使用各类计算机软件，制作出高水平的多媒体课件，使学生对所学知识能有更好的感性认识与理性认识，有助于学生更好地理解和掌握所学内容，激发学生的学习热情。

比如，在系统的研究中，有很大一部分任务是研究当系统收到输入信号的作用时，系统输出响应应该出现怎样的变化。这时，教师应尽可能地以仿真波形的形式为学生演示输出曲线的直观变化；另外，在系统分析时，还涉及到很多的关于系统分解的知识，这时教师最好以动画的形式演示一个系统是如何改变结构的，改变前后系统性能有何变化，使学生有一个生动形象的感受；特别是，教师可以应用matlab软件中的专门工具simulink针对所研究的问题搭建仿真系统，通过演示信号在系统中的变化过程，让学生对控制问题有看得见摸得着的感受。

2.增强学生的上课互动性和思考主动性。在上课过程中注重学生的自主思维，以启发性提问的形式，提高学生的思考主动性和积极性的同时，对于课程最重要的内容，在上课的过程中采用温故而知新的方式，进行不断的深化理解和强调。适时地对学生进行提问，可以增强学生听课的注意力，增加老师和学生的互动。

3.提倡开放式教学，建立课程网站。为了辅助课堂教学，建立相应的课堂网站，在网站上补充一些课堂上没有太多时间讲解的内容，使学生能够更加深入理解课堂内容。同时，课程网站上还将课程简介、教学大纲要求等内容显示出来，使学生更系统地了解整个课程的概貌，有利于学生从整体角度上理解整个课程，将上课时使用的课件作为学习资源，允许学生下载。在网站上还提供一些优秀网站的链接地址，方便学生扩大知识面。如有条件可利用这一强有力的数学分析工具进行实际问题在线仿真和分析。

三、重视实践环节，加强学生解决实际问题的能力

理论学习的目的是为了指导实践，因此必须让学生有一种学以致用的感受。在进行作业练习的时候，不仅结合课程重点内容，布置一些理论探讨的问题，让学生加强逻辑思维训练，从理论层面提高学生的水平。同时还引入一些现实生活中的实际经典控制系统，当这些系统遇到了实际控制当中的这些或那些问题时，让学生自己设计控制律，并且用matlab仿真软件自己编程设计，将所学理论与实际应用真正结合起来。

四、考核制度的改革

研究生课程的考核制度应该区别于本科教学的考核特点，研究生更应该注重学生的科研素养和科研能力，因此，在考核时，不仅根据基本的卷面理论成绩，同时还应结合平时的多样性的作业完成情况，同时期末的时候要求学生在学习的过程中，通过网络、书本读物等就其中的一个研究方向完成一篇文献综述，以考核学生综合科技文献的能力。这样几方面结合起来，给学生一个综合的评价。

五、结束语

本文从如何让通信工程专业的学生更好地学习《线性系统理论》这门课出发，从教材建设、教学内容、教学方法等方面，结合课程特点以及通信工程专业的学生特点，给出了切合实际的分析，希望这套教改方案会为这门课教学效果的提高起到一定的作用。随着教学过程中教学经验逐步的积累和丰富，教改方案会有进一步的创新与完善。

参考文献：

[1]张海林，杜忠友，孙晓燕.计算机专业中的C语言教改方案探讨[J].中国校外教育，2010，（8）：168.

随机非线性系统控制篇7

含未知输入、干扰或偏差的随机系统的状态估计问题广泛出现在控制、通信、信号处理和故障诊断中。对带有系统偏差系统的估计问题,文献[1,2]在假设噪声独立的条件下,设计了含未知输入系统的状态滤波器,所提出的状态滤波器不依赖未知输入。文献[3,4]给出了系统和传感器都带有未知输入情况下的状态估计方法。但现有文献多为基于单传感器进行研究。当有多个传感器对系统进行观测时,我们可以将所有的观测方程合并成一个观测方程,然后采用集中式滤波方法进行处理,但是这种集中式方法将会给融合中心带来较大的计算负担,实时性较差,且不具有容错性。由于分布式滤波器具有并行结构,易于故障的检测与分离,且具有可靠性等特点,近几年已得到了广泛而深入的研究。1990年,Carlson[5]提出了著名的联邦Kalman滤波器,但假设任两传感器的初始局部估计误差不相关。1994年,Kim[6]提出了考虑局部估计误差相关情形的极大似然最优信息融合准则。但假设局部估计误差服从联合正态分布。Li[7]等基于统一的线性模型对集中式、分布式和混合式估计,给出了统一的加权最小二乘和最好线性无偏估计准则。文献[8]在线性最小方差意义下提出了通用的矩阵加权、对角矩阵加权和标量加权三种融合算法。并应用到了状态、白噪声和广义系统的分布式估计中[9,10,11]。其中矩阵加权融合算法与文献[6]的极大似然融合算法以及文献[7]的分布式最好线性无偏估计,除不同的准则和推导方法外具有相同的结果。文献[12,13,14]分别应用文献[8]的加权融合算法处理了多传感器分离常偏差和随机偏差的分布式融合估计问题。

以往对含未知输入的系统,最普遍采用的方法一般是把未知输入看成是常偏差或随机过程[12,13,14]。然而,当这些假设不正确时,将会严重影响到滤波器的性能。本文针对传感器含未知输入的带多传感器的随机系统,在没有未知输入的任何先验信息的情况下,考虑了噪声之间的相关性,对每个单传感器子系统提出了线性最小方差状态滤波器。对带有多个传感器的系统,推导了任两个局部估计的滤波误差互协方差阵。进而,基于通用的线性最小方差加权融合算法[8],给出了标量加权分布式融合滤波器。由于所给出的分布式状态滤波器具有并行结构,因而它具有较好的可靠性[11]。

1 问题阐述

考虑带多个传感器的系统

x(t+1)=Φ(t)x(t)+Γ(t)w(t) (1)

yi(t)=Hi(t)x(t)+Di(t)θi(t)+vi(t),i=1,2,…,L (2)

其中状态x(t)∈Rn,观测yi(t)∈Rmi,且Φ(t)∈Rn×n,Γ(t)∈Rn×r,Hi(t)∈Rmi×n,Di(t)∈Rmi×pi是时变矩阵,θi(t)∈Rpi为未知输入,下标i表示第i个传感器,L表示传感器的个数。

假设1w(t)∈Rr和vi(t)∈Rmi,i=1,2,…,L是零均值的相关白噪声,即

(3)式中Rii(t)=Ri(t),E为均值号,T为转置号,δtk是Kronecker delta函数。

假设2 初始状态x(0)独立于w(t)和vi(t),i=1,2,…,L,且均值为μ0,方差为P0。

假设3 rank[Di(t)]=pi,pi≤n,pi≤mi,i=1,2,…,L。

我们的目的是:基于每个传感器的观测(yi(t),…,yi(1)),i=1,2,…,L,设计如下形式的局部滤波器:

$\hat{x}_{i} (t + 1) = F_{i} (t) \hat{x}_{i} (t) + L_{i} (t + 1) y_{i} (t + 1)$ (4)

(4)式中滤波增益Li(t+1)为n×mi矩阵。然后,推导任两个局部估计之间的互协方差阵Pij(t),基于所获得的局部估计 $\hat{x}$ i(t),i=1,2,…,L和协方差阵Pij(t),i,j=1,2,…,L,应用线性最小方差最优标量加权信息融合估计算法[8],给出分布式最优标量加权信息融合滤波器 $\hat{x}$ $_{o}^{}$ (t),它将满足:

(a) 无偏性,即 $E [\hat{x}_{o}^{} (t)] = E [x (t)]$ 。

(b) 最优性,即极小化融合滤波误差方差阵的迹,trPo(t)=min{trP(t)},其中P(t)为任意标量加权信息融合滤波器的滤波误差方差阵,Po(t)为最优标量加权信息融合滤波器的滤波误差方差阵。

2 局部单传感器滤波器

定理1 在假设1—3下,带多传感器系统(1)式和(2)式基于每个传感器有局部状态滤波器(4)式,其中增益阵Fi(t)和Li(t+1)计算如下:

Fi(t)=Φ(t)-Li(t+1)Hi(t+1)Φ(t) (5)

$\begin{array}{l} L_{i} (t + 1) = [\bar{Ρ}_{i} (t + 1) Η_{i}^{Τ} (t + 1) + \\ Λ_{i} (t) D_{i}^{Τ} (t + 1)] C_{i}^{- 1} (t + 1) (6) \end{array}$

$C_{i} (t + 1) = Η_{i} (t + 1) \bar{Ρ}_{i} (t + 1) Η_{i}^{Τ} (t + 1) + R_{i} (t + 1)$ (8)

且滤波误差方差阵Pi(t+1)计算如下:

$\begin{array}{l} Ρ_{i} (t + 1) = [Ι_{n} - L_{i} (t + 1) Η_{i} (t + 1)] \bar{Ρ}_{i} (t + 1) [Ι_{n} - \\ L_{i} (t + 1) Η_{i} (t + 1)]^{Τ} + L_{i} (t + 1) R_{i} (t + 1) L_{i}^{Τ} (t + 1) (10) \end{array}$

证明考虑第i个传感器的局部状态滤波器(4)式,令估计误差 $\tilde{x}_{i} (t) = x (t) - \hat{x}_{i} (t)$ ,则由(1)式,(2)式和(4)式有滤波误差方程为

$\tilde{x}_{i} (t + 1) = Φ (t) x (t) + Γ (t) w (t) - F_{i} (t) \hat{x}_{i} (t) - L_{i} (t + 1) [Η_{i} (t + 1) x (t + 1) + D_{i} (t + 1) θ_{i} (t + 1) + v_{i} (t + 1)] = [Φ (t) - F_{i} (t) - L_{i} (t + 1) Η_{i} (t + 1) Φ (t)] x (t) + F_{i} (t) \tilde{x}_{i} (t) + Γ (t) w (t) - L_{i} (t + 1) Η_{i} (t + 1) Γ (t) w (t) - L_{i} (t + 1) D_{i} (t + 1) θ_{i} (t + 1) - L_{i} (t + 1) v_{i} (t + 1) (11)$

为了保证无偏性,必须要求 $\tilde{x} (0) = 0$ ,并且

Fi(t)=Φ(t)-Li(t+1)Hi(t+1)Φ(t) (12)

Li(t+1)Di(t+1)=0 (13)

由假设3可知方程(13)有解。把(12)式和(13)式代入(11)式,则误差方程(11)变为如下形式

由误差方程(14)可以得到滤波误差方差阵为

$Ρ_{i} (t + 1) = E [\tilde{x}_{i} (t + 1) \tilde{x}_{i}^{Τ} (t + 1)] =$

(15)式中 $\bar{Ρ}_{i} (t + 1) = E {[Φ (t) \tilde{x}_{i} (t) + Γ (t) w (t)] [Φ (t) \tilde{x}_{i} (t) + Γ (t) w (t)]^{Τ}}$ 由(9)式计算。

为了在约束条件(13)式下极小化估计误差方差(15)式,我们引进如下辅助函数

Ji(t)=tr[Pi(t+1)]+2tr[Li(t+1)Di(t+1)ΛTi(t)] (16)

令 $\frac{\partial J_{i} (t)}{\partial L_{i}^{Τ} (t + 1)} = 0$ ,得

$\begin{array}{l} C_{i} (t + 1) L_{i}^{Τ} (t + 1) + D_{i} (t + 1) Λ_{i}^{Τ} (t) = \\ Η_{i} (t + 1) \bar{Ρ}_{i} (t + 1) (17) \end{array}$

(17)式中Ci(t+1)由(8)式计算。由(13)式和(17)式可构成如下矩阵方程

$\begin{array}{l} [\begin{matrix} C_{i} (t + 1) & D_{i} (t + 1) \\ D_{i}^{Τ} (t + 1) & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} L_{i}^{Τ} (t + 1) \\ Λ_{i}^{Τ} (t) \end{matrix}] = \\ [\begin{matrix} Η_{i} (t + 1) \bar{Ρ}_{i} (t + 1) \\ 0 \end{matrix}] (18) \end{array}$

由假设1和假设3,易知矩阵方程(18)式左边的系数矩阵是可逆的。由矩阵求逆公式,可求得(6)式和(7)式。证毕。

到目前为止,我们已求得了传感器带未知输入和相关噪声多传感器离散随机线性系统的局部滤波器 $\hat{x}$ i(t)及其方差阵Pi(t),i=1,2,…,L。为了应用多传感器线性最小方差标量加权融合算法求得融合估计,我们还需要求得任两个局部估计之间的互协方差阵。下面的定理2给出了这个结果。

定理2 在假设1—3下,带多传感器系统(1)式和(2)式的第i与第j局部估计之间的滤波误差互协方差阵可如下递推计算:

Pij(t+1)=[In-Li(t+1)Hi(t+1)]×[Φ(t)Pij(t)ΦT(t)-Γ(t)Sj(t)LTj(t)ΦT(t)-Φ(t)Li(t)STi(t)ΓT(t)+Γ(t)Qw(t)ΓT(t)]×[In-Lj(t+1)Hj(t+1)]T+Li(t+1)Rij(t+1)LTj(t+1) (19)

(19)式中Pij(t),i,j=1,…,L;i≠j为第i个与第j个传感器子系统的局部滤波误差互协方差阵,且初值Pij(0)=P0。

证明由(14)式有第i个传感器与第j个传感器子系统的局部滤波误差互协方差阵为

又由(14)式,我们有

$\begin{array}{l} E [\tilde{x}_{i} (t) w^{Τ} (t)] = - L_{i} (t) E [v_{i} (t) w^{Τ} (t)] = \\ - L_{i} (t) S_{i}^{Τ} (t) (21) \end{array}$

同理,有

$E [w (t) \tilde{x}_{j}^{Τ} (t)] = - S_{j} (t) L_{j}^{Τ} (t)$ (22)

将(21)式和(22)式代入(20)式可得(19)式。证毕。

3 最优融合滤波器

基于以上定理1计算的局部估计和定理2计算的互协方差阵,应用最优标量加权信息融合估计算法[8,9],可获得系统(1)式和(2)式的分布式标量加权最优信息融合滤波器如下:

$\hat{x}_{o} (t) = \sum_{i = 1}^{L} a_{i} (t) \hat{x}_{i} (t)$ (23)

最优融合系数计算为

$a (t) = \frac{Σ^{- 1} (t) e}{e^{Τ} Σ^{- 1} (t) e}$ (24)

(24)式中L×L的矩阵Σ(t)=(trPij(t))L×L,i,j=1,2,…,L, $a (t) = [a_{1} (t), a_{2} (t), \dots, a_{L} (t)]^{Τ}$ 和e=[1,1,…,1]T均为L维列向量。相应的最优信息融合估计误差方差阵为

$Ρ_{o} (t) = \sum_{i, j = 1}^{L} a_{i} (t) a_{j} (t) Ρ_{i j} (t)$ (25)

且有结论trPo(t)≤trPi(t),i=1,2,…,L。

4 仿真实例

考虑传感器含未知输入的带三个传感器的离散随机线性系统(1)式—(2)式,各变量如部分1定义,其中观测噪声vi(t)与过程噪声w(t)相关,且满足:

vi(t)=αiw(t)+ξi(t),i=1,2,3 (26)

ξi(t)是带零均值、方差为Qξi,i=1,2,3的高斯白噪声,αi,i=1,2,3为相关系数。求分布式最优标量加权信息融合状态估计 $\hat{x}$ o(t)。

在仿真中取

图1—图3是基于每个传感器的局部滤波器 $\hat{x}$ i(t),图4为标量加权分布式融合滤波器 $\hat{x}$ o(t)。其中(a)为第一个状态分量的滤波,(b)为第二个状态分量的滤波,其中实线为真值,虚线为估值。图5为局部滤波器与标量加权分布式融合估计的误差方差比较,其中实线为分布式融合滤波的方差,虚线为各局部单传感器滤波的方差。由图1—图5可见每个分量的分布式标量加权融合估计比各局部估计具有更高的精度。

5 结论

在实践中,系统模型往往是不精确的,而具有已知的或未知的系统或传感器偏差。本文针对传感器含未知输入的带相关噪声的离散随机线性系统,在不知道未知输入的任何先验信息的情况下,给出了独立于未知输入的无偏状态滤波器。当系统带有多个传感器时,推导了任两个局部估计之间的估计误差互协方差阵的计算公式。进而基于线性最小方差标量加权融合估计算法,给出了分布式标量加权融合滤波器。

【随机非线性系统控制】推荐阅读：

随机最优控制05-31

汽车线性控制09-16

线性系统07-29

>> 查看更多相关文档