随机最优控制

随机最优控制（精选3篇）

随机最优控制 篇1

摘要：针对两自由度的车辆模型,应用随机振动和随机最优控制的理论,推导悬架构件随机动载荷的统计规律的计算方法,建立变车速情况下随机动载荷的概率模型,提出基于随机最优控制的主动悬架构件的动态疲劳可靠度的分析方法。仿真结果表明,主动悬架构件随机动载荷明显大于被动悬架构件随机动载荷,主动悬架系统构件的动态疲劳可靠度在整个使用过程中都要低于普通被动悬架构件的动态疲劳可靠度,说明主动悬架构件的可靠性较普通被动悬架有所降低。

关键词：悬架,随机最优控制,随机动载荷,疲劳可靠度

0 引言

随着主动或半主动悬架在汽车上的应用,国内外学者对主动或半主动悬架的研究越来越深入,多方面的研究表明主动或半主动悬架能较好地改善汽车的行驶平顺性[1,2]。由于主动悬架针对路况和车速及时地调整弹簧的刚度或减振器的阻尼,这必定会改变主动悬架上的动载荷[3]。文献[3]将路面谱看作多个正弦函数的叠加,通过拉普拉斯反变换求出主动悬架动载荷的解析解,但没有做可靠性的分析和计算。文献[4,5]综合应用多体动力学仿真软件ADAMS、建模与仿真软件MATLAB/Simulink、有限元分析软件Nastran及疲劳寿命分析软件Nsoft,得到主动悬架某些构件所受动应力的时间历程,并进行了疲劳寿命计算。但文献[3,4,5]均没有从统计学的角度分析主动悬架构件所受的动载荷,也得不到相应可靠性的概率指标。由于可靠性实验非常耗费时间和财力,所以通过仿真计算得到所需的可靠性数据就显得尤为重要。目前国内有关这方面的研究文献很少。

本文针对两自由度的车辆模型,应用随机振动和随机最优控制的理论,推导悬架构件随机动载荷的统计规律的计算方法,建立变车速情况下随机动载荷的概率模型,提出基于随机最优控制的主动悬架构件的动态疲劳可靠度的分析方法。

1 主动悬架随机最优控制模型

以两自由度1/4车辆模型(图1)作为研究对象(设主动悬架可调控制力与原被动悬架阻尼力并联)。图1中,M1为车身质量, M2为非簧载质量, K1为悬架弹簧刚度, K2为轮胎刚度, C为悬架阻尼器阻尼系数, z1、z2分别为车身、车轮垂直位置坐标矢量(坐标原点选在各自的平衡位置),q为路面不平度,u为可调控制力。悬架构件所受的外力包括两个方面,一方面是车辆运动过程中悬架弹簧的弹力、阻尼器的阻尼力和可调控制力,另一部分外力由路面不平引起车轮振动所致,即由于轮胎的刚度较大,车轮振动过程中轮胎的弹力通过车轮与悬架的连接件而作用在悬架的某些构件上所致。

以图1所示的模型为基础建立主动悬架系统运动微分方程:

其中,a=2πf0,f0为下截止频率,ξ为零均值的高斯白噪声。其功率谱密度为[6]

式中,G0为路面不平度系数,由路面等级决定;v0为车速。

主动悬架构件所受动载荷为

将主动悬架模型(图1)中的可调控制力u去掉即变为被动悬架模型,其系统运动微分方程为

被动悬架构件所受动载荷为

由于系统中路面不平度q为一阶滤波白噪声,是一个高斯平稳过程,宜采用LQG控制方法,设状态变量和输出变量为X、Y,则

$\mathit{X}=[\dot{\mathit{z}}{}_2\dot{\mathit{z}}{}_1\mathit{z}{}_2\mathit{z}{}_1\mathit{q}]{}^{\text{Τ}}$

$\mathit{Y}=[\ddot{{\displaystyle \mathit{z}}}{}_1\mathit{z}{}_1-\mathit{z}{}_2\mathit{z}{}_2-\mathit{q}]{}^{\text{Τ}}$

由式(1)建立状态方程:

系数矩阵分别为

$\mathit{A}=\left[\begin{array}{ccccc}-\frac{C}{{\rm M}{}_2}& \frac{C}{{\rm M}{}_2}& \frac{-{\rm K}{}_1-{\rm K}{}_2}{{\rm M}{}_2}& \frac{{\rm K}{}_1}{{\rm M}{}_2}& \frac{{\rm K}{}_2}{{\rm M}{}_2}\\ \frac{C}{{\rm M}{}_1}& -\frac{C}{{\rm M}{}_1}& \frac{{\rm K}{}_1}{{\rm M}{}_1}& \frac{-{\rm K}{}_1}{{\rm M}{}_1}& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& -a\end{array}\right]$

$\mathit{B}=[-\frac{1}{{\rm M}{}_2}\frac{1}{{\rm M}{}_1}000]{}^{\text{Τ}}$

$\mathit{C}{}_2=\left[\begin{array}{ccccc}\frac{C}{{\rm M}{}_1}& -\frac{C}{{\rm M}{}_1}& \frac{{\rm K}{}_1}{{\rm M}{}_1}& \frac{-{\rm K}{}_1}{{\rm M}{}_1}& 0\\ 0& 0& -1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& -1\end{array}\right]\mathit{D}=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{{\rm M}{}_1}\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

L=[0 0 0 0 1]T

设二次型性能指标函数为

式中,Q为权系数矩阵。

LQG最优控制问题就是设计控制输入u,使二次型性能指标函数J最小,通过解黎卡提方程得到最优控制律:

将式(8)代入式(1)和式(2),得

2 悬架构件随机动载荷的统计规律

2.1 车速恒定时随机动载荷的统计规律

由于路面不平度q为滤波白噪声,输入向量的两个分量k5q、(K2-k5)q均为平稳正态随机过程,则式(9)的两个输出量z1、z2也为平稳正态随机过程,悬架构件动载荷是这两个输出量及其一阶导数和路面不平度的线性组合,由平稳正态随机过程的基本性质可知悬架动载荷也是平稳正态随机过程的变量[7]。由式(9)以及式(1)的第3式可知两个输出量z1、z2的均值为零,悬架构件动载荷的均值也为零,只需再确定协方差函数就可以确定悬架动载荷的统计规律。

对于被动悬架,由式(4)得

式(10)中输入向量f(t)的协方差函数矩阵为

对于主动悬架,由式(9)得

$\begin{array}{l}\left[\begin{array}{cc}{\rm M}{}_1& 0\\ 0& {\rm M}{}_2\end{array}\right]\ddot{\mathit{z}}+\left[\begin{array}{cc}C-k{}_2& -(C+k{}_1)\\ k{}_2-C& C+k{}_1\end{array}\right]\dot{\mathit{z}}+\\ \left[\begin{array}{cc}{\rm K}{}_1-k{}_4& -({\rm K}{}_1+k{}_3)\\ k{}_4-{\rm K}{}_1& {\rm K}{}_1+{\rm K}{}_2+k{}_3\end{array}\right]\mathit{z}=\left[\begin{array}{c}k{}_5\mathit{q}\\ ({\rm K}{}_2-k{}_5)\mathit{q}\end{array}\right]=\mathit{f}(t)(12)\end{array}$

式(11)中输入向量f(t)协方差函数矩阵为

$\begin{array}{l}\mathit{C}{}_f(\tau )=E[\mathit{f}(t)\mathit{f}{}^{\text{Τ}}(t+\tau )]=\\ \left[\begin{array}{cc}k{}_5^{2}S{}_0^2\text{e}{}^{-|a|\tau }& k{}_5({\rm K}{}_2-k{}_5)S{}_0^2\text{e}{}^{-|a|\tau }\\ k{}_5({\rm K}{}_2-k{}_5)S{}_0^2\text{e}{}^{-|a|\tau }& ({\rm K}{}_2-k{}_5){}^{2}S{}_0^2\text{e}{}^{-|a|\tau }\end{array}\right](13)\end{array}$

式(10)、式(12)中系数矩阵不正定,而且式(12) 中系数矩阵不对称,求解状态变量响应必须经过复模态变换。设复模态变换为

式中,U为式(10)或式(12)的右模态矩阵;P2为式(10)或式(12)的特征值矩阵。

式(10)或式(12)解耦成

式中,v为式(10)或式(12)的左模态矩阵;mi为式(10)或式(12)的模态质量分量。

激励F(t)也具有零均值,且其协方差函数矩阵为

$\mathit{C}{}_F(\tau )=\mathit{\mu }\mathit{\nu }{}^{\text{Τ}}\mathit{C}{}_f(\tau )\overline{\mathit{\nu }}\overline{\mathit{\mu }}{}^{\text{Τ}}$

式(15)写成分量形式为

由式(18)可解出模态响应X各分量的脉冲响应函数和频率特性函数:

矢量模态响应X的协方差函数矩阵为

CX2(τ)=∫∞0∫∞0h(ζ)CF(τ+ζ-η)h(η)d ζ d η

其中,h(ζ)为矢量模态响应X2的脉冲响应函数矩阵,且h(ζ)=diag(hi(t))。

由下式得到模态响应速度$\dot{\mathit{X}}{}_2$的协方差函数矩阵$\mathit{C}{}_{\dot{X}{}_2}(\tau )$:

$\begin{array}{l}E[\dot{\mathit{X}}{}_2(t)\overline{\dot{\mathit{X}}}{}_2^{\text{Τ}}(t+\tau )]=\mathit{C}{}_F(\tau )+\mathit{{\rm P}}\mathit{C}{}_{\mathit{X}{}_2}(\tau )\overline{\mathit{{\rm P}}}+\\ \mathit{{\rm P}}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\mathit{h}}(\zeta )\mathit{C}{}_F(\tau +\zeta )\text{d}\zeta +{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\mathit{C}}{}_F(\tau -\zeta )\overline{\mathit{h}}(\zeta )\text{d}\zeta \overline{\mathit{{\rm P}}}(20)\end{array}$

由式(1)和式(4)中的第二个方程可知,主动悬架和被动悬架构件所受动载荷$\mathit{F}{}_{\text{d}}={\rm M}{}_2\ddot{{\displaystyle \mathit{z}}}{}_2$,则$\mathit{C}{}_{F{}_{\text{d}}}(\tau )={\rm M}{}_2^2\mathit{C}{}_{\ddot{{\displaystyle \mathit{z}}}{}_2}(\tau )$。

由式(14)求导得

$\left[\begin{array}{c}\ddot{{\displaystyle \mathit{z}}}\\ \dot{\mathit{z}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathit{u}{}_2\mathit{{\rm P}}{}_2\\ \mathit{u}{}_2\end{array}\right]\dot{\mathit{X}}{}_2$

,则模态响应加速度$\ddot{\mathit{X}}$的协方差函数矩阵为$E[\ddot{{\displaystyle \mathit{z}}}(t)\ddot{{\displaystyle \mathit{z}}}{}^{\text{Τ}}(t+\tau )]=\mathit{u}\mathit{{\rm P}}\mathit{C}{}_{\dot{X}{}_2}(\tau )\overline{\mathit{{\rm P}}}\overline{\mathit{u}}{}^{\text{Τ}}‚\mathit{C}{}_{\ddot{{\displaystyle z}}{}_2}(\tau )$由此式求出。

计算得到随机动载荷的协方差函数为

$B{}_{F{}_{\text{d}}}(\tau )=S{}_{\text{n}0}\text{e}{}^{-a|\tau |}+S{}_{\text{n}1}\text{e}{}^{-\overline{p}{}_1|\tau |}+S{}_{\text{n}2}\text{e}{}^{-\overline{p}{}_2|\tau |}+$

$S{}_{\text{n}3}\text{e}{}^{-\overline{p}{}_3|\tau |}+S{}_{\text{n}4}\text{e}{}^{-\overline{p}{}_4|\tau |}$

其中,系数Sn0、Sn1、Sn2、Sn3、Sn4通过上述求解过程计算所得,p1、p2、p3、p4为式(10)或式(12)的特征值。再令时间变量τ=0就可求出随机动载荷的方差,从而确定其分布函数和概率密度函数。其分布函数为

$F{}_{\text{d}}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\text{π}}\sigma }{\displaystyle \int }{}_{-\infty }^x\text{e}{}^{-\frac{t{}^2}{2\sigma {}^2}}\text{d}t$

概率密度函数为

$f{}_{\text{d}}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\text{π}}\sigma }\text{e}{}^{-\frac{t{}^2}{2\sigma {}^2}}$

式中,σ2为随机动载荷的方差。

针对某微型轿车独立前悬架(表1),取恒定车速v=55km/h,在B级路面上行驶,采用上述方法进行计算,得到主动悬架构件和被动悬架构件随机动载荷的标准差分别为530.5N、320.8N。通过MATLAB/Simulink软件进行仿真,得到动载荷的时间历程如图2所示,与上述方法计算的结果一致,均说明主动悬架构件的动载荷大于被动悬架构件的动载荷。

2.2 车速变化时随机动载荷的概率模型

车辆行驶过程中车速经常变化,由式(2)可知路面位移激励q的功率谱密度S0也会经常发生变化,通过上述求解过程可知随机动载荷的方差会改变,故车速变化时悬架构件所受随机动载荷并不是平稳随机过程。为描述随机动载荷在变车速条件下的时间历程,将随机动载荷划分为若干个工况,每个工况对应一个固定车速时的随机动载荷,在单个工况持续时间内随机动载荷用平稳正态随机过程来描述;对于每个工况的出现,包括其发生时刻和发生几率,假设可用泊松过程模型来描述。则其概率模型,可表示为

其中,Si为随机动载荷第i次的变化值,为一个平稳正态随机过程,其分布函数为正态分布函数;Iτi(t)为示性函数,N(t)为描述在(0,t)内随机动载荷变化次数的泊松过程,λ为泊松过程的发生率,即随机动载荷长期变化的平均次数。各工况出现时的平均持续时间即泊松过程相邻点的时间间隔为λ的倒数。设共有四种工况,各工况占随机动载荷时间历程的平均时间比例分别为r1、r2、r3、r4,且r1+r2+r3+r4=1,则各工况的发生亦为泊松过程,其相应的发生率分别为r1λ、r2λ、r3λ、r4λ。

3 随机动载荷作用下悬架构件的动态疲劳可靠度

3.1 动态疲劳可靠度的计算模型

考虑随机动载荷对构件的疲劳损伤,当累积损伤超过临界损伤时,发生疲劳失效。计算随机疲劳寿命时,通常将随机应力疲劳过程产生的效应用常副疲劳应力过程等效描述,确定了等效疲劳应力和应力循环次数就可以计算疲劳损伤。对于每个工况疲劳损伤增量,计算公式如下:

式中,m、Cm为构件S-N曲线关系的材料参数;Seff为等效疲劳应力;NT为该工况中疲劳应力循环的总数。

等效疲劳应力和应力循环总数计算式为

随机应力幅的分布函数qs(s)和平稳随机载荷平均跨零周期Tw可由平稳随机过程的协方差函数及分布函数等求取,计算公式如下:

将式(24)代入式(22)得

由于Smeff、T、Tw对于某一个固定的工况取值固定,不同的工况取值不同,则每一种工况的出现而产生的疲劳损伤是固定的。由于各种工况的出现符合泊松过程,则疲劳损伤增量ΔDi(T)为泊松方波过程,总的疲劳损伤增量为

可以看出,疲劳损伤Di(t)是一个非负的而且递增的随机变量序列,其随机过程D(T)是一个特殊的标值点过程(广义泊松方波过程),且服从对数正态分布。当Dc-D(T)<0时,发生疲劳失效。Dc为服从对数正态分布的随机变量,由零件疲劳寿命的对数正态分布规律可得到其概率密度函数。则动态疲劳可靠度可由下式进行计算[8]:

3.2 仿真计算

针对某微型轿车独立前悬架(麦弗逊式)的UG模型如图3所示,主要参数见表1,在B级路面上行驶。取四种变化车速分别为10km/h、35km/h、55km/h、80km/h,泊松过程参数λ=2h-1,各种工况占时间比例分别为20%、30%、30%、20%。先采用2.1节的方法得到随机动载荷的标准差,在有限元软件ANSYS中以此标准差大小的载荷施加在悬架重要构件下摆臂(材料为45钢)上,对此运动件采取惯性释放法模拟动态瞬间的完全力平衡状态。对车架连接的前后两点采取约束6个方向自由度的方法,对球头销施加力(其加载的作用点和方向见图4),通过ANSYS求解得到下摆臂最大应力部位及其应力值。忽略最大应力部位截面的微小变化,此最大应力也为一平稳正态过程,标准差即上述得到的最大应力值。然后采用3.1节的方法进行仿真计算,得到下摆臂最大应力处动态疲劳可靠度的变化曲线(图5)。

从图5可以看出,悬架构件的动态疲劳可靠度随着时间的推移逐渐变小,并且主动悬架构件的动态疲劳可靠度在车辆整个行驶过程中都要低于普通被动悬架构件的动态疲劳可靠度。这意味着,在保证同样的可靠度和同样的使用条件下,主动悬架构件的使用寿命必定低于普通被动悬架构件的使用寿命。如果主动悬架构件的使用寿命过多地降低,那么很有必要对悬架系统设计进行改进,如从控制方法或控制参数方面改进,或从悬架构件结构或材料方面改进,以满足悬架构件使用寿命的基本要求。

4 实车台架试验

在1.2t微型轿车上进行了下摆臂的应变信号测试。图6所示为实车道路模拟振动试验现场,道路模拟机产生的激励为滤波白噪声,分别进行主动悬架和普通被动悬架下摆臂最大应力部位的应变信号测试,通过转换得到应力的时间历程,如图7所示。经过雨流计数法统计,得到应力幅值的均值分别为235.4MPa、163.2MPa,均方根值分别为120.1MPa、81.2MPa,均值都很接近于零。试验结果与2.1节的结论是一致的。

5 结语

本文对两自由度的车辆悬架模型进行了研究,推导了悬架构件随机动载荷的统计规律的计算方法,仿真结果表明,基于随机最优控制的主动悬架构件所受的随机动载荷明显大于被动悬架构件所受的随机动载荷。实车台架试验的结果与仿真结果是一致的。另外,本文建立了变车速条件下随机动载荷的概率模型,提出了基于随机最优控制的悬架构件动态疲劳可靠度的分析方法,针对某微型轿车独立前悬架下摆臂,进行了动态疲劳可靠度的仿真计算,结果显示,主动悬架构件的动态疲劳可靠度在车辆整个行驶过程中都要低于普通被动悬架构件的动态疲劳可靠度。

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随机最优潮流及其应用的研究综述 篇2

最优潮流是指当电力系统的结构参数给定的情况下,通过调节系统中的控制变量改变系统的运行状态,使其中的某一或某些性能指标达到最优[1,2,3]。严格数学基础上的最优潮流模型首先由法国学者J.Carpentier于20世纪60年代提出,并在20世纪70年代之后逐渐完善[4,5]。经过国内外学者数十年的研究和发展,最优潮流已在电力系统规划[6,7]、有功调度[8,9,10]、机组组合[11,12]、无功优化[13,14]、电力市场[15,16]等众多领域得到广泛的使用,为保障电力系统的安全、稳定、经济运行做出了巨大的贡献。

随着科技水平的不断提高,电力系统越来越向规模化的方向发展,电压等级越来越高,设备越来越复杂,逐步形成了众多跨区域的大电网,其运行的鲁棒性和安全可靠性均较高,但大规模停电事故却仍时有发生。据不完全统计,自2003年美加大停电以来,国内外共发生21次较大规模的停电事故[17],这些事故不仅给人们日常的生活工作带来巨大影响,也同时伴随着巨大的经济损失。

对大量事故的分析表明,大规模停电的起因往往是由某一不确定因素造成系统某一设备故障,进而引发连锁故障造成大面积停电。这些不确定因素包括自然灾害、恶劣天气、线路过负荷切除、元件故障、绝缘子闪络、误操作、保护设备拒动或误动等。因此,不确定因素在电力系统中广泛存在并与运行相伴而生,对电力系统安全的影响值得关注。与此同时,随着电力系统的市场化改革及可再生能源的持续接入,节点注入功率的不确定性也日益明显。在我国,甘肃、新疆、河北、吉林、内蒙古等7个省区均规划建设千万k W的大型风电场。由于可再生能源的弱可控性和不确定性,其大量接入必将给电力系统的安全稳定运行带来新的挑战[18]。

随着电网的运行环境不断改变,系统运行的不确定性增加,传统基于确定节点注入功率的最优潮流已不能解决目前电力系统所面临的问题[19,20]。为保障系统的安全稳定运行,建立考虑各种不确定因素的最优潮流计算方法已显得日益紧迫。目前,鲁棒优化[21,22]、区间数方法[23,24,25]、可信性理论[26]、机会约束[27]均被用于电力的随机因素建模。鲁棒优化通过不确定集合描述不确定变量,可兼顾安全性和经济性,但所得结果保守,在实际中采用并不经济。求解区间数问题时通常需要将原模型分解为乐观模型和悲观模型以分别求取目标函数的上、下限,而悲观模型已被证明是一个NP(Non-deterministic Polynomial)-难问题[25],目前解法均基于一定假设,如线性模型、求解区域为凸等,且仅能给出系统状态变量的运行范围,因此无法评估系统的运行风险。可信性理论所得结果直接依赖于变量隶属度函数的选取,但实际运行中隶属度函数获得较困难,因而该方法主观性较强。而机会约束计及随机变量的概率信息,所得结果能够准确评价系统运行风险,是目前应用最广泛的随机因素建模方法。严格而言,含机会约束的随机最优潮流方法还可分为2类:随机最优潮流SOPF(Stochastic Optimal Power Flow)和概率最优潮流POPF(Probabilistic Optimal Power Flow)。两者的主要区别在于所得结果是确定性的控制方案(对应SOPF)还是控制变量的分布(对应POPF),但实际两者求解方法类似,并无显著不同,因此本文中将对二者不加区分。

鉴于以上情况,本文对基于机会约束电力系统随机最优潮流分析的模型、求解方法和应用的现有研究成果进行系统梳理。在此基础上展望未来机会约束随机最优潮流的发展方向,并重点分析了大规模可再生能源接入电网后随机最优潮流方法亟待解决的问题,明确后续的研究重点和方向,以期为新环境下电力系统的随机分析实用化技术提供科学依据。

1 随机最优潮流的概念

对于n节点系统,传统基于确定节点注入功率的最优潮流一般具有如式(1)所示的形式:

其中,x=[θT,UT]T∈R2n-2是由除平衡节点外的节点电压相角θT∈Rn-1和幅值UT∈Rn-1构成的列向量;y=[PgT,QgT,PdT,QdT]T∈Rm是由系统发电机、负荷的有功、无功出力构成的列向量,m为y的维度;uT∈Ru是控制变量列向量(包括电容器、静止无功补偿器(SVC)、静止同步补偿器(STATCOM)的出力,有载调压器(OLTC)分接头等);g:R2n+m+u-2→Rl代表衡量系统运行状态的某一或某些指标,l=1时为单目标优化,l>1时为多目标优化,限于篇幅,本文仅讨论l=1的情况,下文均表示为g(x,y,u);f:R2n-2→R2n-1代表系统的节点注入功率方程;S:Rm+u→R2n-1代表系统的节点注入功率;xma x、xmin、yma x、ymin、uma x、umin分别是各自变量的上、下限约束。

当考虑变量随机性后,x、y及节点注入功率S均成为随机变量。由此引出电力系统随机最优潮流这一研究领域,它研究的主要问题为:在系统运行条件随机变化下,通过控制系统的各个参量,保证系统在某一概率意义下最优。一般地,随机最优潮流问题有如式(2)所示的形式:

其中,ρ(·)代表某一概率数字特征,用于衡量概率意义下的目标函数;Pr(·)代表事件(·)发生的概率;pc是概率列向量。实践表明,考虑机会约束的随机最优潮流不仅可有效降低系统运行的风险,增强所得方案的鲁棒性,还可有效分析可再生能源接入对系统的影响,因而日益受到关注。

2 随机最优潮流模型及应用

2.1 目标函数概率评估方法

考虑随机因素后,x、y均为随机变量,g(x,y,u)也变为随机变量,如何衡量随机最优潮流的目标函数值是求解该问题的第一步。目前,期望值、分位数、超分位数是3种主要衡量目标函数值的数字特征。

2.1.1 期望值数字特征

期望值主要反映随机变量取值的集中位置,设随机最优潮流问题的目标函数值g(x,y,u)服从概率密度函数为l(g)的概率分布,则其期望值测度ρE(g)可表示为:

其中,dg代表目标函数值g的微分;E[·]代表[·]的期望值。对大多数分布而言,期望值的邻域是目标函数值取值概率最大的区间,因此以期望值来衡量随机最优潮流的目标函数值具有很强的实际意义,此外,由期望值齐次性易得式(3)可保持原模型凹凸性,不会增加问题求解难度。目前,期望值数值特征是研究中应用最广泛的目标函数建模方法[27,28,29,30,31,32,33,34,35]。

期望值虽然应用广泛,但由于无法给出目标函数值取值的概率,因此无法准确评估优化方案在实际中的效果。文献[36]指出,仅采用期望值的评估方法可能会加大系统运行的风险。

2.1.2 分位数

分位数是指在一定的置信水平下随机变量的最大值,而置信水平可以预先给定,从而使得运行方案的风险可控。其定义为:随机变量取值不超过某阈值的概率不低于给定置信水平时,随机变量取值的上确界。

设随机最优潮流问题目标函数值为g,其置信水平为p下的分位数可定义为如式(4)所示的上确界形式:

其中,ρQ(g)是目标函数值g的分位数;sup{·}代表{·}的上确界;gmax是目标函数值g分布内的某一确定数值;p是某一设定的概率值,又称为置信水平,可根据实际情况取定。相比于期望值的方法,采用分位数度量目标函数值可以有效控制目标函数取值的概率。由于可评估所得方案运行风险,文献[37]采用分位数评估目标函数值。

在求解方法上,除少数特殊情况外,分位数均需采用优化方法求解[38]。不仅如此,将分位数求解纳入原优化模型最大的缺陷在于其约束不具有凸性[38],因此利用该方法评估目标函数后可能使随机最优潮流问题难以求解。这2个缺陷限制了该方法在研究中的使用。

2.1.3 超分位数

针对分位数不具有凸性的缺陷,Rockafellar R.T.于2009年提出超分位数方法[39],其在数学上不仅具有凸性、单调性等良好性质,还能够定量刻画多种随机因素对随机优化问题的影响,计算过程满足单调性、同次正性等特性。

近年来,超分位数方法在随机最优潮流中得到应用[40]。文献[41]将单变量的超分位数推广到多变量,扩展其使用范围。其定义为:随机变量取值不小于其分位数情况下,随机变量的期望值为超分位数。

设随机最优潮流问题目标函数值为g,其超分位数可表示为如式(5)所示的形式:

其中,ρS(g)为目标函数值g的超分位数。由式(5)的定义可知,超分位数定义基于分位数,因而其具有与分位数相似的性质,也能够衡量所得方案的运行风险。文献[38]对超分位数和分位数求解的效果进行比较,指出超分位数的结果略保守于分位数方法。

与分位数的求解相同,超分位数一般也只能采用优化方法进行求解,但由于其具有凸性,一般该求解过程可直接嵌入原随机优化问题中,而不会影响求解效率[41]。

2.1.4 各种数字特征效果比较

前文介绍了目前通常采用的度量目标函数随机性的方法,但对于其各自优缺点及适用范围的分析在文献中却鲜有报道。因此,本节着重分析3种方法之间的关系及适用范围。

本节以正态分布为例,说明3种数字特征之间的关系,如图1所示,3种方法各自特点归纳见表1。

从图中可看出3种定义方式的联系和区别,期望值方法度量得到的目标函数值为其平均值,其邻域是目标函数取值概率最大的区间,从数学定义及图1也可看出,在正态分布情况下,目标函数的期望值即为50%-分位数,因而期望值无法控制所得运行方案的风险。图1中也说明了p-分位数的意义,即图中虚线标示部分面积为p时区间的右边界。而超分位数是非虚线标示部分的期望值,其数值比分位数更大,判断更趋于保守。而随着p的减小,超分位数和分位数的差距变大,当p趋向于0时,超分位数趋向于对应分布的期望值。

图2更直观地体现出3种目标函数评价方法的差别,从图中曲线可知,虽然方案A和方案B对应相同的目标函数期望值,但方案A对应的目标函数概率曲线更加“平坦”,这代表在方案A中,实际运行状态会以较大概率偏离期望运行状态,因而方案B更宜作为运行方案。显然,以期望值方式定义的目标函数无法评估方案A、B的优劣。而分位数和超分位数均由于计及系统的运行风险,因此可方便地评估方案的优劣。

在求解方法上,由表1可见,期望值方法求解不借助于优化方法,无需在原模型中添加约束,因而能够保持原模型的凹凸性,但由于其置信水平始终为50%,因此没有控制运行风险的能力,其最大的优势在于求解方便。由图1中可知,分位数方法评价客观且具有较强的物理意义,能够控制运行风险,最大的缺陷在于必须采用优化方法求解分位数,且纳入原模型时会由于约束的非凸性加大原问题的求解难度。与分位数相同,超分位数也能够控制风险,但评价偏保守,且当分布较复杂或p较小时,可能和分位数差距较大。其优势在于综合期望值和分位数各自的优势,能够在控制运行风险的同时不影响模型的凹凸性,但仍有求解复杂的缺陷。

综上所述,期望值方式定义的目标函数主要应用于对计算时间要求较高的场景中,而分位数和超分位数则主要应用于分析随机变量所带来的运行风险。由于超分位数方法同时计及风险控制和模型凸性,是将来随机最优潮流建模中目标函数评价方式的重点研究方向,本文认为未来其主要研究方向应包括以下两方面:

(1)如何有效求解包含超分位数目标函数的优化,特别是快速求解含超分位数的目标函数是将来研究的重点之一;

(2)由前文所述,随着p的减小,分位数和超分位数差距逐渐变大,因此,如何在p较小时,对超分位数做出保持模型凹凸性的修正以减小风险评估的误差,是接下来亟待解决的问题。

2.2 节点注入功率模型及特点

建设电力系统的目的在于建立发电、输电、用电之间的联系,由于电力不能大规模储存,电力系统中发出的功率和消耗的功率必须时刻平衡,因此节点注入功率模型是电力系统模型的关键部分。针对不同问题,对于节点注入功率主要有3种不同的模型,在研究中已得到广泛应用。

2.2.1 3种节点注入功率模型

第一种是功率平衡模型,认为网络的传输能力无限,因而略去了电力网络直接将发电侧和用电侧联系起来。由于不计网络约束,因此f(x)=0,得到式(2)中节点注入功率S(y,u)=0,此时系统变量仅有发电机有功向量Pg、发电机无功向量Qg、负荷有功向量Pd、负荷无功向量Qd。功率平衡模型又可表示为,主要用于发电机组出力的详细分析中,如机组组合[42]、电源规划[43]等方面。

不计网络对系统潮流的影响会带来很多问题,包括无法计及网络阻塞、线路热极限、系统潮流分布等,但由于电力系统的网络结构较复杂,完整地纳入网络模型会加大问题求解难度。在重点研究系统有功分布的场景中,一般采用节点电压幅值恒定的假设,略去系统无功功率Q和节点电压幅值U这2个变量,将非线性的系统潮流方程化简为线性方程HP=θ,式中P=Pg-Pd代表系统的节点有功注入向量,θ代表系统的节点电压相角向量,H代表直流潮流方程矩阵,该模型称为直流潮流模型。由于将非线性问题转化为线性问题,直流潮流模型极大简化了最优潮流问题的求解过程。在重点关注系统有功潮流分布的电力系统规划问题[27]中得到广泛应用。

直流潮流模型无法计及系统无功功率和节点电压幅值,当需要对电力系统进行较精确的静态分析时直流潮流模型显得无能为力。交流潮流模型计及电力系统的各个状态变量,是目前电力系统静态分析最精确的工具。

2.2.2 3种节点注入功率模型特点

在考虑随机性后,系统的状态变量均为随机变量,3种模型可按线性和非线性分为2类:第一类为功率平衡模型和直流潮流模型,称为线性模型;第二类为交流潮流模型,称为非线性模型。

第一类问题由于其线性性,模型具有凸性,且该类模型下所有随机变量(包括输入变量和输出变量)均满足同类型分布,因此这类模型变量的分布信息均可根据简单代数运算得到,故这类模型下的随机最优潮流问题易于求解,并可以在多项式时间内得到全局最优解,这里不再赘述。

对于第二类模型,由于输入和输出之间的非线性关系,根据在运行点处是否线性化,又可分为线性化交流潮流模型和保留非线性交流潮流模型,这类模型中状态变量通常具有很复杂的分布,一般只能通过模拟法才能精确获得分布信息,而模拟法的计算效率低,极大地增加了随机最优潮流的求解难度,使得随机最优潮流在离线应用时亦存在极大困难,而距离在线应用更是任重道远。近年来,针对该课题,国内外学者进行了较翔实的研究,本文在第3节中详细梳理这部分的研究成果,再详细比较各种求解方法。

3 含交流潮流模型随机最优潮流的求解方法

由于交流潮流模型的非线性,使得随机变量的机会约束通常也具有非凸、非线性[38]等性质,无法直接求解,因此相比于确定型最优潮流,随机最优潮流求解有其自身特点。

3.1 转化法

转化法首先利用随机潮流获得电力系统各状态变量的概率分布,并根据状态变量是否违反式(2)中的机会约束将其转化为不同类型的确定型约束。转化方法包括半不变量法[33]、无迹变换法[44]、点估计法[45]、Monte Carlo法[34,35]等。由于转化过程一般无解析表达式,因此转化法均只能采用智能算法进行求解,这导致转化法的计算效率偏低,也无法保证收敛性。转化法求解随机最优潮流过程如图3所示。转化法的关键在于选择合适的罚函数将机会约束纳入适应值计算中,但其选取却没有确定规则,比较依赖于决策者本身经验,因此在应用中受到限制。

3.2 近似法

近似法的思想是通过少量的确定型优化获得近似的随机最优潮流问题的解。其与转化法的区别在于:转化法在计算过程中将机会约束转化为确定型,整个计算过程仅包含一次确定型优化;而近似法则需计算多次确定型优化,最终得到的是目标函数的矩信息。近似法计算过程如图4所示。

在图4中,根据随机最优潮流解各阶矩估计方法不同近似法可分为点估计法[20,32]和无迹变换法[44,46]。N为样本点规模,三点估计法则N=3,因为近似法强调计算效率,因此N一般不大于7。近似法的优点在于求解低阶矩信息精度高,计算效率高。但其缺点同样明显:无法直接得到目标函数的分布信息,因而无法分析方案的运行风险;且对N的限制阻碍其精度的进一步提高。

3.3 模拟法

模拟法是采用Monte Carlo法的思路,利用采样方法生成输入变量的样本,进行重复的确定型优化从而获得较精确的解。其过程与近似法相似,不同点在于样本点数目较多,即N较大,且直接通过计算所得序列的矩获得最优解的各阶矩而无需计算各点权重。

根据样本生成方法的不同,模拟法可分为简单随机抽样SRS(Simple Random Sampling)、伪随机抽样PRS(Peruso Random Sampling)和准随机抽样QRS(Quasi Random Sampling)。但此方法一般需要大量的重复计算才能获得较精确结果,因此计算效率是制约该方法应用的关键因素,而如何在保证求解精度的同时减小采样规模亦是研究热点。

文献[47]指出,模拟法的误差ε(s)可表示为:

其中,s是模拟法所采用的样本序列;ns是样本规模。以拉丁超立方抽样LHS(Latin Hypercube Sampling)为代表的PRS技术将采样空间根据变量的累积分布函数划分为多个区域,可在较小样本规模情况下扩大抽样范围,减小样本方差σ(s),因而相比于SRS可有效提高模拟法的精度。

进一步,文献[47]指出,模拟法的误差可表示为:

其中,Dn*代表序列的差异性。研究表明,LHS无法保证所产生序列的差异性,仅能达到O(ns-1/2),这成为进一步提高模拟法精度的瓶颈。而以Sobol序列为代表的QRS技术能够产生低差异序列LDSs(Low Discrepancy Sequences),其差异性可达到O(ns-1),因而可以克服模拟法收敛性的瓶颈。但随着问题规模的扩大,采样空间复杂度不断提高,获得Sobol序列的难度也不断提高。文献[48,49]证明,Sobol序列在100节点左右的系统应用时可以拥有较高效率,而大于该规模的系统则必须采用将输入变量分组的方式才能保证序列的差异性。尽管如此,当系统规模扩大时,模拟法仍显得计算复杂度较高。更多时候模拟法仅为其他方法准确性评价提供参考。

3.4 解耦法

解耦法不同于其他方法,其将随机问题和最优问题化为2个独立过程,通过2个过程的迭代获得随机最优问题的解。对于形如式(8)的以期望值作为目标函数测度的随机最优潮流问题:

假设H(X)任一分量Hi(X)的累积分布函数为FH(z)=Pr{Hi(X)<z},由此定义Hi(X)的p-分位数集合为:

则式(8)的优化问题与式(10)等价:

式(10)将含机会约束的优化问题转化为确定型优化问题。确定Zp就是需寻找累积分布函数的松弛因子a,使Hi(X)≤a与Hi(X)∈Zp等价。但因Hi(X)的概率特性未知,确定a的准确数值十分困难,通常采用构造序列逼近的方法逐次地确定Zp的范围。

文献[50,51]提出采用方差区间松弛机会约束,然后采用随机潮流求解变量的方差并修正方差区间。由于松弛后随机最优问题变为确定型优化问题,因此解耦法可以采用经典算法求解,单次计算的效率和收敛性均可得到有效保证。文献[52]提出BP神经网络的方法对方差区间进行修正,进一步提高解耦法的效率,但所需训练样本较难获得。

目前的研究均建立在输出变量为近似正态分布的假设上,因此解耦法有较大局限性。由于并未精确求得输出变量的概率分布,因而解耦法可能获得较保守的解。后续研究中,应当更精确地预估输出变量分布函数以使区间修正更准确,文献[48]采用的非参数核密度估计和文献[53]提出的基于三次样条函数的概率分布重构均是可借鉴的方法,如何将其应用于随机最优潮流求解中尚待进一步研究。

3.5 松弛法

松弛法重点研究随机最优潮流问题的可行域,利用松弛方法将原先不规则的可行域转化为规则的区域,并利用成熟的优化方法进行求解。其与解耦法的区别在于,解耦法通过构造迭代序列逼近可行域,而松弛法则是将机会约束优化可行域直接转化为确定型优化的可行域。

文献[54]采用松弛法根据可行域等价原则将机会约束转化为确定型约束。文献[55]给出这一松弛的严格数学证明。松弛的过程如下。

对于形如式(11)的机会约束优化问题:

其中,x为决策变量;δ为随机变量;α为某一特定概率。易知式(12)与式(11)中约束条件等价[55]:

设ψ为任一非负、非减的凸函数,并对∀za>0,满足ψ(za)>ψ(0)=1。则对任意向量Za和任意t>0,满足:

其中,l[0,+∞](·)为指标函数,即(·)≥0取1,否则取0。令Za=f(x,δ),并将t转化为t-1,得到:

定义Ψ(x,t)=t E[ψ(t-1f(x,δ))],则可得:

因此,式(11)可转化为式(16):

且易知式(16)和式(11)的确定型形式具有相同的凹凸性,因此常用求解确定型优化的方法均可应用于求解式(16)。

但目前松弛法仅能有效转化线性模型[54],即在fi(x,δ)=acTx+b,δ=[acT,b]T,ψ(za)=(1+za)2时,式(16)可转化为式(17):

其中,;cδ为δ的相关系数矩阵;。因此非线性模型在采用松弛法时需采用逐次线性化技术,这样固然能够保证算法的收敛性和效率,但也因此容易陷入局部最优。因而在可行域等价原则下研究非线性机会约束和确定型约束的等价转化方法是松弛法大规模应用的前提。

3.6 各方法特点及研究展望

5种方法的求解过程、计算效率均大相径庭,因此应用场景也有较大区别。本文从能够求解的目标函数类型、算法效率和应用场景3个方面总结各个方法针对的问题。

(1)从目标函数类型上,转化法和模拟法均能够获得目标的概率分布,近似法能够求取目标函数的矩信息,因此这3种方法均可以求解第2.1节中的3种目标函数类型。而到目前为止,解耦法和松弛法仅能求解以期望值为目标函数的随机最优潮流问题。

(2)从算法效率上,转化法和模拟法由于需要循环多次的确定型潮流计算,具有较高的计算负担,很难在规定的时间内求得最优解,当系统维度扩大时,甚至可能陷入维数灾,因此这2种方法均不适合于在线分析。但2种方法均具有较高的适用性,可方便地处理变量之间的相关性。其中,转化法的求解过程主要依赖于各类启发式算法,每一步迭代均具有很强的随机性,求解过程的鲁棒性差,收敛性无法保证,全局寻优能力依赖于参数的选取,因此转化法在离线应用中也受到很大限制,其主要优势在于可直接求解各类含整数变量的优化问题,但随着近年来经典优化算法的发展,转化法的这一优势亦不明显。模拟法以多次确定型计算求解随机最优潮流问题,本质上是牺牲计算效率以换取解的精确性,其鲁棒性高,可移植性强,对各类问题都有很好的适应性。因此一直以来模拟法所得结果都作为参考值用以评价其他算法。随着计算机科技发展、CPU计算速度的不断提升、并行计算策略的逐渐成熟,模拟法在未来的研究中必将受到更多重视,但在可见的未来,模拟法距离在线应用仍存在距离。

由于所获得高阶矩信息的误差,近似法并不能精确获得各状态变量,特别是目标函数的精确分布。但由于近似法过程简单,求解效率和收敛性均能得到较好的保证,且能方便地考虑随机变量的相关性,因此近似法是未来随机最优潮流研究的重点之一。

解耦法和松弛法将随机最优潮流问题转化为经典算法易于求解的形式,因此具有较高的计算效率,并且有应用于电力系统实际运行的潜力,但均很难处理随机变量之间的相关性。

(3)从应用场景上,转化法由于适应性强,且能灵活处理整数变量,因此适用于目标函数不连续甚至不可导、求解区域不规则(如:对偶约束、前后时段耦合约束)等较极端情况。模拟法由于其精确性,一般应用于评价其他方法的准确性,近似法兼具计算效率和适应性,可几乎应用于所有类型随机最优潮流的求解中。而解耦法和松弛法则应用于对计算效率要求较高,且不关注目标函数运行风险的场景中。

本文认为,随机最优潮流求解方法未来研究的重点在于:

(1)提出性质更优秀的低差异序列产生方法,从而进一步提高模拟法效率;

(2)将分布函数重构技术应用于解耦法中,提高解耦法的准确性和效率;

(3)提高近似法所求得高阶矩的精度,并采用合适的分布函数重构方法获得状态的概率分布;

(4)研究非线性机会约束和确定型约束的等价转化方法;

(5)在解耦法和松弛法中研究随机变量相关性的处理方法。

4 随机最优潮流在新能源接入中的应用

由于随机最优潮流可计及各种不确定因素,能够较全面地反映系统状态。可对大规模新能源接入的电力系统进行准确分析。目前,随机最优潮流已在系统安全稳定性分析、运行决策控制、网损优化、网架扩展规划等各个方面取得应用。尽管如此,随机最优潮流距离实用化还有相当长的路。其主要问题包括以下方面。

4.1 模型中新能源的边缘分布函数

从时间尺度上,随机最优潮流的分析可分为短期和中长期2类。在短期分析中,新能源随机性主要来源于预测误差,学者们通常采用的表征预测误差的概率模型包括正态分布[20]和均匀分布[26]等;而在中长期分析中,新能源出力一般满足某参数未知的分布,表征风速不确定性的概率模型包括Weibull分布、Gamma分布、Lognormal分布和Burr分布[20,22,27]等;为了获得精确的概率分布函数,通常需要大量的历史数据,这对于某些不确定因素是十分困难的。对于已知变量分布函数类型的情况,通常根据历史数据采用极大似然估计法获得分布函数的参数。但在实际系统中,预测误差分布及新能源出力分布均很难获得,但相应变量的矩信息总是易于得到,因此,如何高效利用矩信息重构系统随机变量分布是随机最优潮流实用化的第一个障碍。

半不变量法[33]可以利用Gram-Charlier级数或者Edgeworth级数重构变量分布,但当随机变量的三阶或四阶矩超出一定范围时,其逼近所得概率密度函数可能出现负值,导致结果不满足基本概率公理[56]。文献[57]提出多项式正态分布的方法利用矩信息重构变量分布,已在随机最优潮流中取得应用[34]。但其存在低阶多项式正态变换精度低,而高阶方法计算量大,求解复杂,导致有效利用变量高阶矩的难度大。文献[58]提出三次样条重构的方法通过矩信息获得变量分布,可方便地利用较高阶的矩信息,得到的分布函数光滑性好,且便于积分、微分等运算,已在随机潮流中取得应用[53]。但若变量为多峰分布,该方法可能会由于Runge现象导致拟合精度变低。

本文认为,未来变量随机分布的建模方法应具有以下特点:

(1)可利用高阶矩信息,且问题计算复杂度不会随着矩信息阶数提高而增加太快;

(2)所得分布需要具有较好的数学性质,如可导、可微等,且具有初等形式的原函数;

(3)函数分布的性质,如多峰问题,不会降低方法精度和计算效率。

4.2 模型中新能源的相关性

不确定因素的建模不仅局限于单变量建模,在某些情况下还需要考虑不确定因素间的相关性,即多变量联合建模,例如处在相近位置的可再生能源场出力、负荷预测误差等。在多变量联合建模方面,学者们提出了以下的方法:正交变换[39]、Nataf变换[53]、Copula函数[18]、多项式正态变换[34]。正交变换适用于正态分布变量,对于非正态分布变量模拟精度较低;Nataf变换对于变量分布的类型没有限制,但是需要已知变量的分布函数;Copula函数法不需要知道变量的分布函数,对分布函数类型亦没有要求,但是构造多变量联合分布函数较为复杂,难度较大;多项式正态分布函数法对于函数类型、变量分布函数是否已知均没有要求,但是为了获得足够的精度,需要采用高阶多项式正态变换,计算量较大。

4.3 含新能源随机最优潮流研究展望

目前在解决新能源接入问题时,大多文献的注意力都放在如何获得满足各机会约束的最优解。但却忽视了所得运行点本身所蕴含的能够指导系统安全运行的信息。结合目前最新的研究成果,为进一步发掘随机最优潮流的作用,本文作出以下几点考虑。

(1)随机最优潮流和随机潮流2种方法是分析电力系统随机性的方法,但其侧重点不同,随机最优潮流倾向于获得更优运行点,随机潮流则倾向于分析运行点处系统所具有的性质,但却不能获得更优的运行点。随着计及调度策略随机潮流的研究,两者的界限将日益模糊[59]。本文认为,应当利用随机潮流挖掘出的系统安全信息指导随机最优潮流,并提出一套完善且合理的适合电力系统随机分析的指标体系,将随机最优潮流和随机潮流逐渐融合,形成完整的电力系统随机分析研究体系。

(2)随着研究深入,最优潮流经历了从确定型分析到概率性分析的过渡,但目前随机最优潮流的研究中,大多数模型均只基于期望值的目标函数,忽略了随机场景下目标函数所具有的运行风险,随着电力市场环境下的趋利性,对运行风险的评估将逐步取代概率性分析,如何建立合理的指标体系,将风险评价和风险控制纳入随机最优潮流研究体系,对保障电力系统安全稳定运行具有重要意义,值得深入研究。

(3)为消纳新能源的接入,传统的处理方式是通过增加备用,提高系统运行指标,减小运行风险,但与此同时会使得系统增加很多额外的投入,如各种无功补偿设备的安装费用、为消纳新能源而留出的发电机备用所需支付的补偿费用等,在将来的研究中,可将对空调、冰箱、电动车等含随机性的负荷进行合理建模,从而将需求侧响应也纳入随机最优潮流中,进一步改善新能源接入下系统的安全稳定性。

(4)系统在正常运行情况下,新能源的随机性主要带来运行风险,但直接威胁系统稳定性的可能性不大,而在系统发生故障时,系统本身的裕度降低,系统可能被迫运行在接近临界点的位置,此时新能源的随机性极有可能为系统带来不可挽回的损失,因此考虑包含故障情况下的随机最优潮流,对于保障新能源接入下的安全稳定性具有重要意义。

(5)随着能源互联网的发展,气-电转化可以有效解决电能不能大规模存储的问题,但同时应当注意到,新能源出力的随机性同样会影响到输气管道中天然气的流量,因此研究气-电联合系统的随机最优潮流模型对于构建未来智能电网具有很大的意义。

5 结语

随着大规模新能源的并网,电力系统节点注入功率的随机性日益明显,系统将受到更多的随机扰动,其状态也将更加复杂多变。随机最优潮流计及各随机因素影响,可为电力系统给出更加鲁棒且风险小的规划运行方案。因此,研究适应新能源背景的随机最优潮流分析方法显得日益迫切。本文从目标函数建模方法、节点注入功率模型、求解方法、应用障碍4个方面详细梳理了目前随机最优潮流的研究进展,并分析了各方面下亟待解决的问题,可为新形势下电网分析提供参考。

摘要：随着电网运行环境的改变尤其是大规模新能源的直接并网,节点注入功率的随机性日益明显,这给电力系统调度与运行工作提出了新的挑战。随机最优潮流计及各种随机因素对电力系统的影响,是解决该问题的有力工具。对随机最优潮流的模型进行系统梳理,剖析各类模型的建立方式及应用范围;分类阐述随机最优潮流问题的5种主要解法,并分析各种解法的优劣;总结随机最优潮流在大规模新能源并网中的应用,并探讨后续亟待解决的问题,以期为新环境下电力系统的随机分析实用化技术提供科学依据。

随机最优控制 篇3

关键词：随机规划,经验逼近,ε-最优解集,Hausdorff收敛

上图收敛性[1]在随机规划统计估计分析中有关相合性和稳健性等方面起着非常重要的作用,许多学者利用上图收敛性从不同侧面研究了随机规划的统计估计问题[2,3,4]。最近,作者利用上图收敛性研究了随机规划经验逼近最优解集序列的几乎处处上半收敛性[7]。然而一般非线性随机规划逼近最优解集只具有上半收敛性,而不具有下半收敛性[8]。因此一些学者转向研究ε-最优解集的收敛性,文献[5]研究了样本轨道优化问题的ε-逼近最优解集的上半收敛性,文献[9]给出了随机规划ε-逼近最优解集的Hausdorff收敛性的一个充分条件,但对随机规划经验ε-逼近最优解集的几乎处处Hausdorff收敛性尚未研究。

本文在文献[7,9]研究的基础上,依据上图收敛性研究了随机规划经验逼近最优值序列的几乎处处收敛性,并给出了随机规划经验逼近ε-最优解集序列的几乎处处Hausdorff收敛性的一个充分条件。

考虑下列随机规划问题

式(1)中x=(x1,x2,…,xN)T∈RN,ξ(ω)为定义在完备概率空间(Ω,P)上的m维连续型随机向量,紧集DRN是所有的确定约束集。f:RN×Rm→R,g:RN×Rm→Rd,E表示随机变量函数的期望泛函。

(Rm)表示Rm中的Borel子集全体,(Rm)表示定义在(Rm)上的概率测度全体。令μ0=P。ξ-1,则μ0为定义在(Rm)上的概率测度。即μ0∈P(Rm)。于是问题(1)可改写为

问题(2)的可行集、最优值和ε-最优解集分别记为S0、Z0和,则

在许多实际问题中,概率测度μ0是未知的,而只有n个样本点(ξ1(ω),ξ2(ω),…,ξn(ω))是已知的。而ξ1(ω),ξ2(ω),…,ξn(ω)是随机独立取得的样本。因此,可以认为随机变量ξ1,ξ2,…,ξn是独立的且与ξ有相同的分布。对每一个固定的ω∈Ω,观测值(ξ1(ω),ξ2(ω),…,ξn(ω))可以确定一个经验概率测度,A∈(Rm)。即ω∈Ω,μn(ω,·)∈(Rm)。用经验概率测度μn(ω,·)替代问题(2)中的μ0(·),这样得到问题(2)的经验逼近模型

问题(3)的可行集、最优值和ε-最优解集分别记为Sn(ω)、Zn(ω)和,则

问题(2)和问题(3)又可以分别等价地转化为下列问题(4)和问题(5)

这里

问题(4)和问题(5)的最优值、ε-最优解集分别记为

其中

因此,研究随机规划(3)的ε-最优解集序列几乎处处Hausdorff收敛于随机规划(2)的ε-最优解集的问题等价转化为研究无约束规划(5)的ε-最优解集序列几乎处处Huasdorff收敛于无约束规划(4)的ε-最优解集的问题。

本文的记号及基本概念与文献[7,8]一致。

1 最优值的几乎处处收敛性

首先给出随机规划问题(2)的逼近最优值序列的几乎处处收敛性。

引理1.1若随机规划问题(2)满足下列两个条件:

(1)f(x,u)关于(RN)×(Rm)可测,对任意固定的u关于x连续,且存在关于μ0可积的函数β(u),使得|f(x,u)|≤β(u);

(2) gi(x,u)(i=1,2,…,d)关于(RN)×(Rm)可测,对任意固定的u关于x下半连续,存在关于μ0可积的函数γ(u),使得gi(x,u)≥γ(u),且S0为正则的。

则有

证明参见文献[7]定理3的证明。

定理1.1若随机规划问题(2)满足下列两个条件:

(1)f(x,u)关于(RN)×(Rm)可测,对任意固定的u关于x连续,且存在关于μ0可积的函数β(u),使得|f(x,u)|≤β(u);

(2) gi(x,u)(i=1,2,…,d)关于(RN)×(Rm)可测,对任意固定的u关于x下半连续,存在关于μ0可积的函数γ(u),使得gi(x,u)≥γ(u),且S0为正则的。

则有

证明由引理1.1知,存在零测集Ω。使得对任意固定的ω∈ΩN,有

对任意固定的ω∈ΩN,有。从而由D的紧致性及文献[10]中定理7,有

注意到,故

2 逼近问题ε-最优解集序列的几乎处处Hausdorff收敛性

本节给出随机规划问题(2)的ε-逼近最优解集序列的几乎处处Hausdorff收敛性。

设RN为N维欧氏空间,集合ARN到集合BRN的Hausdorff距离定义为

这里

其中

定义2.1称随机集合序列{Sn(ω)}n∈N几乎处处Hausdorff收敛于S0,记为a.s.如果存在零测集Ω,使得对任意固定的ω∈ΩN,满足:

定义2.2对固定的ε>0,称ε-最优解集为正则的是:,这里cl表示集合的闭包,其中

定理2.2若随机规划问题(2)满足下列两个条件:

(1)f(x,u)关于(RN)×(Rm)可测,对任意固定的u关于x连续,且存在关于μ0可积的函数β(u),使得|f(x,u)|≤β(u);

(2) gi(x,u)(i=1,2,…,d)关于(RN)×(Rm)可测,对任意固定的u关于x下半连续,存在关于μ0可积的函数γ(u),使得gi(x,u)≥γ(u),且S0和为正则的。

则有

证明由引理1.1知,存在零测集Ω,使得对任意固定的ω∈ΩN,有

为了证明对任意固定的ω∈ΩN,有只须证明对任意固定的

首先证明对任意固定的ω∈ΩN。有即需证明:对任意固定的ω∈ΩN,且对任意的ε0>0,存在N0(ω)。当n≥N(ω)时,有。这里Bs0(0)={x∈RN:||x||<ε0}。下面我们证明:对任意固定的ω∈ΩN,且对任意包含的开集V,存在N0(ω),当n≥N0(ω)时,有。反设此结论不成立,则存在某个ω0∈ΩN和,使得,但。注意到的紧致性,则必存在聚点x0。又由于V为开集,故。另一方面,注意到式(6)、式(7)和式(8),由文献[7]定理1(3)和定理2知,对任意固定的ω∈ΩN,有。其中

故矛盾。特别地,取

其次证明对任意固定的ω∈ΩN,有即需证明:对任意固定的ω∈ΩN,且对任意的ε0>0,存在N0(ω),当n≥N(ω)时,有也即需证明:对任意固定的ω∈ΩN,且对任意的存在{xn(ω)}且xn(ω)→x0,使得当n≥N0(ω)时,设的正则性,则存在{yn}且yn→x0,使得即yn∈S0且故由引理1.1及式(8),我们有

即存在零测集Ω,使得对任意固定的ω∈ΩN1,有

对每个固定的{yn},令

则δ>0。取γ,使得0<γ<δ,由文献[9]定义2(2)知,对任意固定的ω∈ΩN1,存在{yn,k(ω)}且yn,k(ω)→yn,使得当k≥Nn(ω)时,有

于是

注意到是有限的,则yn,k(ω)∈Sk(ω)且故即对任意固定的ω∈ΩN1,且对每个yn,存在Nn(ω),当k≥Nn(ω)时,有。构造下列序列{xn(ω)}:

由序列{xn(ω)}的构造,对所有的n≥N0(ω):=N1(ω),有。又由yn→x0,则有xn(ω)→x0。这就完成了证明。

推论2.1若随机规划问题(2)满足下列两个条件:

(1)f(x,u)关于(RN)×(Rm)可测,对任意固定的u关于x连续,且存在关于μ0可积的函数β(u),使得|f(x,u)|≤β(u);

(2) gi(x,u)(i=1,2,…,d)关于(RN)×B(Rm)可测,对任意固定的u关于x下半连续,存在关于μ0可积的函数γ(u),使得gi(x,u)≥γ(u),且S0和为正则的。

则有

2证明注意到由定理2.1知推论2.1成立。

参考文献

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