随机共振信号恢复研究（精选4篇）
随机共振信号恢复研究 篇1
Benzi等人[1]在1981 年首次提出随机共振这一概念,对于第四纪全球气象冰川问题,发现在一定强度的噪声作用下,气候的周期响应与外加微弱周期干扰能够实现同步,这种现象从本质上看是信号、噪声和非线性系统之间的协同作用,称之为随机共振。这一理论一经提出便得到广泛关注,在过去的30 多年,学者们对随机共振进行了更多深入的研究,证实了这一理论。
近年来,分数阶微积分理论收到极大关注,在色噪声、黏弹性、混沌、及反常扩散等现象的研究中获得了广泛应用。例如,图像处理、分段PID控制、地震分析、流体力学[2,3]等。此外,自然界中存在大量的复杂系统,如单分子光谱、聚合物系统中的激励动力学、多孔渗水系统、不均匀介质中的湍流扩散等[4],他们在空间上表现出明显的大范围相关性,在时间上表现出对过去状态的记忆性质,这些过程不宜用传统的扩散理论,或者传统的数学方法进行描述。
迄今,绝大部分对于随机共振的研究仍然是基于传统的统计物理理论和整数阶微积分数学模型。然而对于分数阶朗之万( Langevin) 方程模型的研究鲜有涉及,高仕龙等人在文献[5]中推导出了分数阶Langevin方程,讨论了其物理意义,证明了在一定阶数范围内,分数阶Langevin方程可以产生随机共振。因此对分数阶Langevin方程随机共振的继续研究很有必要,本文对过阻尼分数阶Langevin方程的数值解法进行分析,同时也对过阻尼分数阶Langevin方程的随机共振特性进行深入研究,找出了产生随机共振的阈值,仿真结果表明在一定条件下,分数阶随机共振不仅可以实现微弱信号的检测,且其检测效果远远优于整数阶随机共振。
1 过阻尼分数阶Langevin方程
1. 1 RL分数阶微积分定义
若f( t) 是R上的连续函数,则分数阶积分Rieman-Liouville( RL) 被定义为
式( 1) 中 α( α > 0) 是分数阶阶次,a和t分别为积分的下限和上限。
1. 2 Caputo分数阶求导定义
若f( t) 是R上的连续函数,则Caputo分数阶导数被定义为
式( 2) 中分数阶阶次为 α( n - 1 < α < n,n为整数) 。
1. 3 分数阶Langevin方程模型
本文讨论过阻尼分数阶Langevin方程,表达式如下:
在Caputo定义下,0cDαx( t) 表示x( t) 的 α 阶分数阶导数,其中0 < α < 1; a和b为系统结构参数;Acos2πf0t为满足绝热近似理论的低频微弱正弦信号函数; n( t) 是均值为0,自相关函数为〈n( t) n( 0) 〉= 2Dσ( t) 的高斯白噪声,其噪声强度为D 。
2 分数阶求导滤波算法及模块化封装
2. 1 滤波近似算法
分数阶系统的特征方程是一个具有复变量的分数阶指数的伪多项式,无法直接用整数阶系统的一些控制方法。在前人[6,7]的研究中,处理分数阶系统的有效方法是对其有理函数近似化、离散化。本文采用间接近似法中近似效果较好的Oustaloup算法[8—13],设计连续滤波器近似方法对信号进行滤波处理,一般情况下选定的拟合频率段为( wb,wh) ,构造出的连续滤波器传递函数表达式如下:
式( 4) 中wk' 、wk和K分别是传递函数的零点、极点和增益,其表达式分别如下:
式中2N + 1 为滤波器的阶次,α 为分数阶求导阶次。
具体步骤如下:
( 1) 给定滤波器的阶次2N + 1 和拟合频率段( wb,wh) ;
( 2) 根据分数阶求导阶次 α ,分别根据式( 5) 、式( 6) 和式( 7) 得到wk'、wk和K;
( 3) 由式( 4) 可以计算得到Hf( s) 。
由于算法本身的特点,应选取wbwh= 1。从效果上看,若x( t) 通过滤波器进行过滤,则可以认为输出信号是0cDαx( t) 的近似。
2. 2 模块化封装
本文利用模块封装技术先将分数阶传递函数封装成一个模块,外层结构如图1( a) 所示,内部结构如图1( b) 所示; 当结构参数a = 1,b = 1 时,过阻尼分数阶Langevin方程仿真模型搭建成如图2 所示,能够直接求出输出信号的解析解。对图2 分数阶模块可以设置N、( wb,wh) 以及 α,本文选用N = 4; wb=0.001;wh=1 000。
3 分数阶Langevin方程的随机共振分析
过阻尼分数阶Langevin方程( 3) 描述的是一个有外部信号力和势场的欠扩散过程,在忽略这两个力的情况下,方程的解x( t) 满足〈x ( t)2〉∝ tα,0 <α < 1 。因此,用方程( 3) 来刻画非均匀介质中收到黏滞阻尼力的Brown粒子的运动过程和随机共振现象是合理的,在噪声强度D = 0 的情况下,分数阶Langevin方程( 8) 的输出如图3 所示。
当外加正弦信号的幅度A = 0. 3,频率f0=0. 02,系统参数a = 1,b = 1,T0= 1 / f0= 50 时,方程( 8) 在不同阶数下的解如图3 所示,自上而下阶数以步长0. 1 ~ 0. 9 递减到0. 1; 从图中可以看到,随着阶数在 α ∈ ( 0,1) 之间递减,粒子先是以频率f0在平衡点x = 1 处做局部周期运动,当 α 到达一个临界值 αc时,粒子不用外加作用就可以翻越势垒x = 0 产生跃迁,以x = 0 为中心在x = ± 1 间做周期运动。
本文所设置仿真时间T = 200 s ,含有4 个T0。为了找出临界值 αc做了大量的实验,发现输出x( t)中这四个T0逐渐从在一个势阱里做局部周期运动变化至以x = 0 为中心在x = ± 1 间做周期运动,如图4 所示。当0. 273 ≤ α < 1 时,四个T0均不能产生跃迁只能在一个势阱里做局部周期运动; 当0. 264 ≤α < 0. 273 时,第一个T0产生跃迁以x = 0为中心在x = ± 1 间做周期运动,后三个T0不能跃迁只能在一个势阱里做局部周期运动; 当0. 258 ≤ α <0. 264 时,前面两个T0产生跃迁以x = 0 为中心在x = ± 1 间做周期运动,后面两个T0不能产生跃迁只能在一个势阱里做局部周期运动; 当0. 254 ≤ α <0. 258 时,前面三个T0产生跃迁以x = 0 为中心在x = ± 1 间做周期运动,最后一个T0不能产生跃迁只能在一个势阱里做局部周期运动; 当0 < α <0. 254 时,四个均能产生跃迁以x = 0 为中心在x = ± 1 间做周期运动。 可见此时临界值 αc=0. 254 。当 α < αc时,Brown粒子不需要外界噪声能量的激励就能完全跃过势垒,因此不会产生随机共振。当 αc≤ α < 1 时,Brown粒子并不能完全跃迁,需要噪声的协同作用才能使Brown粒子完全克服势垒高度到达另一个势阱,从而产生随机共振。因此重点研究 α > 0. 254 情况下分数Langevin方程的随机共振。
4 随机共振系统评价指标
在随机共振系统中,有多种性能指标可以度量随机共振的效应,如功率谱密度、输出信噪比、互信息量、驻留时间等。因为信噪比增益( SNRG) 比信噪比( SNR) 更直观地反映了随机共振系统对输入信号的改善和增强作用,所以本文选择信噪比增益( SNRG) 作为系统主要衡量指标。当随机共振系统对信号具有明显的增强和改善作用时,此时的SNRG大于1,并且SNRG越大,随机共振效果越好。
SNRG定义为输出信噪比与输入信噪比的比值,即
式( 9) 中SNR在信号检测与处理及通信等领域中常用的定义:
式( 10) 中S( f0) 为频率为f0的信号功率; P为系统总功率,P - S( f0) 即为噪声功率。设输入信号是微弱正弦信号,所以SNRin如式( 11) :
式( 11) 中Pn= 2D;
代入式( 9) 即得SNRG。
5 仿真及其分析
本文微弱周期信号的幅值A = 0. 3 和频率f0=0. 02,a = 1,b = 1;
如图5 所示: 系统加入D = 0. 15 的噪声时,激励信号已经无法辨别。经过 α = 0. 9 分数阶随机共振系统后的输出信号波形和对应的频谱如图6( a)所示,Brown粒子以x = 0 为中心在x = ± 1 间做来回运动,形成稳定跃迁,产生了随机共振,在f0=0. 02 时,有一个很明显凸起的尖峰,峰值达到了4 797;
当 α = 0. 8,D = 0. 12 时,输出信号波形和对应的频谱如图6( b) 所示,产生了随机共振,峰值达到3 851; 当 α = 0. 5,D = 0. 06 时,输出信号波形和对应的频谱如图6( c) 所示,产生了随机共振,峰值达到3 876; 在与图5( a) 同等仿真环境下过阻尼整数阶朗之万方程输出频谱如图7 所示,其峰值为3228。分数阶的输出峰值对比整数阶增加了48% 。实验结果表明: 在一定阶数时,分数阶朗之万方程可以产生随机共振,且对微弱信号的检测及放大效果明显好于整数阶。
为了深入分析分数阶朗之万方程的随机共振特性,分别对不同的分数阶阶次 α、噪声强度D和系统参数a、b进行了讨论。其他参数固定,D以0. 05 的步长从0. 1 变化至0. 8,采用式( 9) 、式( 11) 、式( 12) 计算对应的信噪比增益SNRG如图8 所示,SNRG均大于1,说明均产生了随机共振,且SNRG呈现出先增后减的趋势,在D = 0. 15 时,信噪比增益最大值为11. 381 2; 当 α 以0. 05 的步长从0. 35变化至0. 9,也均产生了随机共振,如图9 所示,且随着阶数的增长,SNRG逐渐变大,在 α = 0. 9 时达到最大值11. 381 2; 从图10 中可以看出,SNRG随b先增后减,在b = 1 时最大;
为更直观地分析系统性能,本文采用自适应算法对系统参数a和b进行全局寻优,a ∈ ( 0,2],b ∈( 0,2],得到SNRG三维效果图如图11 所示。当b ∈[0. 8,1. 6]时,SNRG取值较大,且SNRG随b的变化较大,随a的变化相对平稳,从而得知b对系统性能影响较大。以上研究有助于分数阶随机共振参数的合理选取。
6 结论
基于已经广泛研究并应用的整数阶Langevin方程的随机共振,本文研究了分数阶Langevin方程的随机共振,根据Oustaloup算法分析了其数值解法,搭建了模型,使其更加简单直观,只需改变参数设置值就可以得到仿真结果,同时也对过阻尼分数阶Langevin方程的随机共振特性进行分析,得到了以下结论: ①当A = 0. 3,f0= 0. 02,a = 1,b = 1 时,在无噪声情况下,输出x( t) 中这四个T0是逐渐从只能在一个势阱里做局部周期运动变化至以x = 0 为中心在x = ± 1 间做周期运动的,且产生随机共振的阈值 αc= 0. 254 ; ②在加噪时,在阶数 α = 0. 9 时,噪声强度D在0. 1 ~ 0. 8 下均能产生随机共振,且最佳随机共振时的噪声强度D = 0. 15 ; ③分数阶的输出幅度对比同等仿真背景下整数阶的输出幅度增加了48% 。综上,这些结论为分数阶形式的随机共振提供了有力的基础保证,有利于日后对其更深一步的研究。本文研究了其噪声诱导特性,在后续的工作中将集中研究其结构参数诱导规律以及其轴承故障信号检测。
随机共振信号恢复研究 篇2
随机共振的概念是由邦济(R.Benzi)等人在研究古气象冰川问题上提出的:地球的暖气期和冰川期10万年周期交替,地球绕太阳转动偏心率的变化周期10万年,说明太阳对地球施加了周期变化的信号;但是太阳对地球施加的周期信号很小,不足以引起地球气候如此大的变化;同时又注意到地球还受到来自宇宙各种随机力的干扰(如太阳常数的各种无规则变化)。只有将“地球偏心率的周期性变化”、“所受的随机力的干扰”、“地球本身的非线性条件”结合起来,研究它们的协同效应才能解释以上气候现象。因此,随机共振(SR)是指在一定的非线性条件下,由弱周期信号和噪声(随机干扰)合作而导致的系统强周期输出的现象。
1 随机共振的理论研究
1.1 朗之万方程(LE)和福克-普朗克方程(FPE)
爱因斯坦对布朗粒子运动的开创性研究和著名的朗之万方程为随机共振提供了理论研究基础。20世纪初,朗之万在研究布朗运动时,在布朗粒子宏观方程的基础上引入了随机力,用来表示涨落很快、引起粒子无规则运动的力,并根据不同的物理系统赋予它一些合理的统计特性,从而建立了以微分方程为数学模型的理论基础。通常用于研究的随机共振系统都是由非线性朗之万方程描述的双稳态系统所定义的:
x′=μx-x3+AcosΩt+Γ(t)
其中,μ>0,μx-x3是非线性的势阱函数,AcosΩt是正弦信号,Γ(t)是白噪声,可以合理地认为它的统计特性为
〈Γ(t)〉=0,〈Γ(t)Γ(t′)〉=2Dδ(t-t′)
当A=D=0,系统在undefined处有两个稳态。在D=0时存在临界值undefined。当A
由于LE处理的是随机变量的轨道,对于非线性LE,求解随机变量的各阶矩是极其困难的。因此,福克和普朗克在研究布朗粒子的运动时,把注意力从随机变量的轨道转移到研究随机变量取值的分布函数的演化规律上,提出了福克-普朗克方程(FPE)。因此,LE可改写成动力学随机变量x的概率分布函数所遵循的FPE:
undefined
1.2 经典的随机共振理论
目前比较成熟的经典随机共振理论都是基于双稳系统的LE和FPE展开的研究,主要包括绝热近似理论、线性响应理论、本征值理论、驻留时间分布理论等。
绝热近似理论[2]就是假定与信号变化和两定态吸引域之间概率交换所需的时间相比,在各个吸引域内达到概率平衡可以认为是瞬间完成的。因此,FPE的长时间演化行为可以简化为两个吸引域之间进行概率交换的主方程,从而求出近似解的表达式。用绝热近似方法来研究随机共振,方法简单,近似的物理图像清楚,得到了定性和实验很符合的结果。然而,这一近似同时要求A<<1,Ω<<1和D<<1,应用范围相当窄。
为了对随机过程进行更加完整的描述,应用本征函数微扰展开对福克-普朗克方程的随机共振理论研究,求出了一维双势阱的近似解析式,给出了信噪比的近似表达式。通过比较发现,绝热近似只是微扰理论的一级近似,略去了方程展开中的所有高次项,只考虑系统对信号的线性响应,并在求解中做了多次近似处理。实验结果表明,在相对大的噪声强度时,微扰展开中的修正项大大改善了结果,与实验的符合程度也远远好于绝热近似的结果[1]。
线性响应理论[3]是微扰理论的一个特例,该理论认为,在外部微弱周期力的驱动下,系统的输出坐标的总体平均值也含有周期项。线性响应理论在一定的限制条件下,对于随机共振系统的输出非线性性质预测得十分正确。
驻留时间分布理论[4]认为,系统在某个状态的主流时间分布与功率谱一样,对称势阱在信号调制下,每个势阱驻留分布时间也随着改变,其主要峰值对应着信号的周期,并且峰值对应着信号半周期的奇倍数。
1.3 非经典的随机共振理论
随机共振在被提出以后的相当长的时间内,研究都局限于利用双稳系统处理正弦周期信号与白噪声的混合噪声,而实际上工程应用中遇到更多的是非周期信号。美国学者Collins在研究可激发神经模型时,提出了非周期随机共振(Aperiodic Stochastic Resonance,ASR)的概念[5],用来描述FHN(Fitz Hugh-Nagumo)神经模型对于噪声背景下具有一定带宽信号的放大与增强传输作用。
单稳态系统中随机共振的发现进一步拓展了随机共振的范围。Stocks在研究欠阻尼的Dufing振荡方程时首先发现了单稳态随机共振现象。Alfos1等学者认为在双稳系统中相对于阱间跃迁而言存在阱内随机共振现象。文献[6]采用双稳系统的单阱近似模型来研究阱内随机共振在信号处理中的应用,发现利用双稳系统的单阱近似也可以增强微弱信号的传输。
1998年Mitaim等人提出了自适应随机共振的方法和理论,其基本思想是依据信号和噪声的抽样值,以一定的学习规则和收敛算法,使得系统可以增加不同强度的噪声来达到随机共振。因此,即使在不知道动态系统的具体形式下,自适应随机共振可以自动地调节噪声强度来达到共振,对于实际应用具有重要意义。
2 随机共振的实验与应用研究
2.1 随机共振的测度指标
为了在实验与应用中定性定量地描述随机共振,需要有合理的测量方法和度量标准来检测实验的结果。信噪比是弱周期信号检测中最常用的度量指标,信噪比定义为周期信号频率处谱峰值和背景噪声谱值的比值。驻留时间也可以用来表征随机共振。研究表明,驻留时间分布在激励的半周期的奇数倍处有一系列的峰值,这些峰值随着它们的阶数呈指数衰减,形成了多峰值驻留时间分布。利用特定位置的峰值强度可以衡量在周期力、噪声和势阱之间的振荡。另外还有一些基于信息论的度量方法被引入到随机共振的测量中。
2.2 实验研究
实现随机共振的第一个实验是1983年由Fauve等人在斯密特(Schmitt)触发器电路系统中完成的。Schmitt触发器的基本特点是有两个稳态输出,而某一时刻系统处于哪一稳态取决于输入和系统的初条件。随机共振的第二个实验是由Mc Namara等在光学系统中完成的。双向环形氦氖激光器的两个相反方向运动的激光模成为系统的双稳态,用声频信号调制模的方向再加上噪声,固定信号强度,由小到大改变噪声强度,实现随机共振现象。
90年代初,胡岗等人利用模拟LE方程的电子线路作为实验研究的基础[7],其中使用积分器、反相器、乘法器等搭建与LE非线性微分方程符合的电路系统,两个输入端口,输入信号分别为正弦信号和白噪声。输出信号通过模数转换接口转换为数字信号输入计算机,再通过快速傅里叶变换得到输出信号时间序列的谱,最后测量输出信噪比。该电子线路的模拟实验的优点是:电路方程与理论研究紧密联系,既检验理论的正确性,又帮助探索理论尚未到达的领域;另外,作为实验,它建立了实现理论语言的装置。
随着计算机技术的发展,很多学者采用计算机仿真和数值分析方法研究随机共振[8,9,10]。大多数的分析方法都是通过调节噪声或改变系统参数来观察相互影响的情况,比如利用simulink模拟实际的电路系统,设置不同的电路参数或逐渐增大噪声强度,观察和分析输出数据。由于传统的非线性微分方程很难或者不可能求出精确解,近似解也需要通过复杂的方法计算得到,而利用Matlab编写相关的数值迭代算法可以很好地解决这一问题。例如龙格-库塔等数值迭代方法可以有效地逼近真实值,作为辅助检验理论分析的结果或实验研究的基础[11]。
2.3 应用研究
弱信号在实际生活及各类科研活动中是大量存在的,如生物学中的生物电和生物磁的测量,地质勘探中地下油田的油层和岩层的反射波,化学领域中元素成分的提取。这类信号非常微弱,排除环境噪声,传感设备和测量仪器的噪声就足以将其淹没,常规的检测手段已无法检测出待测信号。目前弱信号提取的研究目标都是在抑制噪声这一点上,而在抑制噪声的同时有用信号也不可避免地丢失。以非线性动力学为基础的随机共振为解决上述问题提供了途径。
美国密苏里大学的Moss等人,首先成功地利用随机共振提高了鼠脑组织中弱信号的传输率。1996年Levin和Miller也发现在蟋蟀的毛发细胞中同样存在着随机共振现象,它能够帮助蟋蟀机械敏感器官探测到来自食肉动物的小幅值低频率空气信号。1999年,Rubinstein等的研究认为耳听觉神经的随机共振现象是伪随机自发行为,并设计了针对耳蜗助听器的信号处理方案等等。
文献[12,13]描述了一个生理实验,测试在不同的噪声水平时听力正常的若干受试者感知听阈附近纯音的能力。结果表明:当纯音强度远高于或低于被试者的听阈时,增加噪声并不能改善被试者的检测能力;当纯音强度等于或略低于被测试的听阈时,某种水平的噪声能提高感知能力。对于所有受试者,噪声都显示了对接近听阈的弱小纯音信号的听力有增强效应。
文献[14]通过对海洋噪声特性的研究,将其理想化为一个加性作用的Lorentz色噪声和若干拟周期干扰成分的混合,继而基于参数调节随机共振理论的结果对系统参数进行优化。对系统输出应用后,形成一套完整的信号处理方法。数值仿真表明,随机共振处理结果优于低通滤波器的处理结果,随机共振系统处理宽带随机干扰情况有优势。
文献[15,16]提出一种只利用测量信号本身所包含噪声的协作效应来检测化学弱信号的新方法,根据随机共振原理利用噪声与信号、非线性系统三者之间的最佳匹配来提高信噪比;通过加噪声强度或者调节非线性系统本身的参数,达到检测弱信号的目的。例如文献[15]将随机共振用于液体CC1样品中喇曼光谱图的解析,并获得了令人满意的检测结果。
文献[17]以几个数学模型中的随机共振现象为基础,在研究乘性和加性噪声作用下单稳系统随机共振的基础上,提出了基于单稳系统随机共振原理的自适应微弱信号检测方法,并将该方法应用在开关电源故障诊断和含噪声PCM信号增强实例中,取得了很好的效果。在开关电源故障诊断中,利用包含电子设备故障特征的电磁波为载体的随机共振故障诊断方法:用电子设备发出的电磁波综合信号,通过研究随机共振系统输出信号的频谱来诊断电子设备的故障。由于电子设备在故障时发出的电磁波包含相应的故障信息,而这些故障信息又被掩埋在背景噪声之中,因此故障信息是一个微弱信号,利用随机共振来提高微弱信号的输出信噪比,从而提取出电子设备的故障特征。在含噪声PCM信号增强的应用中,利用随机共振原理,系统只要参数选择合适,就能提高被噪声干扰信号的传输能力,从而提高通信中的传输质量。
文献[18]以机电系统典型微弱特征信号检测为目标,研究基于随机共振原理微弱特征信号检测的方法及其应用。针对微弱周期信号、微弱非周期冲击信号以及微弱数字脉冲信号等三类特征信号的检测,通过数值仿真,系统研究了各参数对检测性能的影响规律,给出了基于双稳系统随机共振模型的检测算法,构建了随机共振实验模拟系统,并将检测算法与实验系统应用于机电系统微弱特征信号的检测与处理之中。
3 结束语
事实上,现实生活中的大多数现象都是非线性的,传统的线性滤波的方式很难解决实际问题,因此利用随机共振的相关原理解决强噪声背景下的弱信号提取问题具有极大的应用潜力,并已引起国内外学者的广泛关注。
近年来,随机共振在理论上及各领域的实验研究上取得了显著的成绩。然而,由于大多数的研究仍处于实验论证阶段,并且都是在假定理想状态下完成的,距离实际的工程应用还有很大的距离。
随机共振是作为一门新兴的技术,有很多待研究的问题等待人们去探索。一旦发展成熟,将会对生物学、化学、物理学等其他的工程领域带来巨大的应用价值。
摘要：随机共振(SR)是指在一定的非线性条件下,由弱周期信号和噪声(随机干扰)合作而导致的系统强周期输出的现象。介绍了随机共振的起源和绝热近似理论、本征值理论、非周期理论、自适应理论等随机共振理论;提出了实验研究中常用的测度方法及指标,并介绍了近年来国内外各个领域利用随机共振检测弱信号的应用研究实例。最后对随机共振的研究进展做了概括分析。
随机共振信号恢复研究 篇3
针对待测信号是大参数条件，冷永刚、赖志慧等人提出了利用二次采样的方法来实现大参数随机共振[6,7]，林敏、夏均忠等人提出了调制随机共振[8,9]。在研究以上方法的基础上本文提出了系统参数调整法，不需要对待测微弱信号进行预处理，通过对系统参数的调整直接将待测大参数信号输入非线性系统就能实现随机共振。
1 双稳系统随机共振模型
在随机共振的研究中，采用二阶Duffing振子非线性系统，其Langevin方程[10]如下:
式(1)中，k为阻尼比系数，U(x)为非线性系统势函数，s(t)表示外加微弱信号且s(t)=Acos(2πft),x表示系统输出信号;n(t)是均值为0，噪声强度为D的高斯白噪声，满足
白噪声可以表示为
式(3)中，σ2表示噪声方差，ξ(t)表示均值为0，方差为1的高斯白噪声。方程(1)描述了双势阱粒子收到驱动信号s(t)，随机力n(t)共同作用时，在过阻尼条件下的运动。令系统势函数为计算可知系统势函数存在一个势垒点(x=0)和两个势阱点()，当非线性系统中只收到周期驱动力s(t)作用的时候存在系统临界值当A<Ac时，粒子只能在单个势阱中运动而不能越过势垒完成跃迁;当A≥Ac时，粒子将越过势垒做大范围的跃迁运动。这是由于足够大周期驱动力引入，使得粒子能够越过势垒，从而打破系统的平衡。然而，将驱动信号噪声同时加入非线性系统时，即使A<Ac时，只要系统、信号和噪声达到最佳匹配，随着周期驱动力和噪声的系统作用，将噪声部分能量转移到信号能量，从而放大信号，实现随机共振，并且在系统输出功率谱中出现谱峰值特征。
当输入信号满足绝热近似理论的小参数条件时，设输入正弦信号幅值A=0.1，频率f0=0.01 Hz，采用频率fs=5 Hz，噪声强度D=0.4，系统参数a=b=1。将以上参数带入方程(1)，采用四阶RungeKutta算法进行数值求解，采样点数为4 096，图1(a)和(b)为未加入噪声系统输入波形和输出功率谱图，图1(c)和(d)为加入适量噪声的系统输出波形和功率谱图，由图1分析可知，即使输入信号幅值小于临界值，只有加入适当的噪声使得系统产生协同效应，系统就能达到随机共振。
2 大参数随机共振
2.1 信号频率为大参数
基于绝热近似理论的随机共振产生条件中，输入信号频率必须满足其中rk为Kramers逃逸率[11,12]，其表达式为
当参数a=b=1时，由式(4)可以计算出Kramers逃逸率极限值因此，双稳Duffing系统随机共振只能在频率为小参数条件下实现，理论上输入信号频率必须满足0<f0<0.112 Hz。将双稳系统势垒ΔU=a2/4b代入式(4)得
从Kramers逃逸率极限值可以看出，增大参数a可以使极限值rklim增大，由式(5)可知，随着参数a的增大，rk将更快的减小并趋于0，因此只调整参数a并不实现大频率信号的随机共振。增大参数b可以使rk增大趋近于极限值rklim，但是并不能改变极限值rklim的大小，因而只调整参数b也不能实现大频率信号的随机共振。由此可知，只有同时对参数a、b进行调整，使得rk、rklim能够同时增大，即rklim增大，ΔU变小，这样才能实现大频率信号随机共振。令a2=Ra,b2=R3b(R≥1)，代入式(1)得
经过参数调整，rklim 1=Rrklim，ΔU2=ΔU/R。因此只需要调整适当的R就能实现大频率随机共振。
2.2 噪声强度为大参数
当输入信号中包含高强度噪声[13](即噪声强度D>>1)，双稳系统将会产生过共振，使得微弱信号特征难以被检测。大量的仿真数据表明，调整阻尼比k能够改变系统输出功率谱的形状特征。当阻尼比k越小，功率谱中高频成分越多，低频成分越少然而当阻尼比k越大，功率谱中高频成分越少，低频成分越多，说明了阻尼比k决定了噪声能量的转移特性。由此可知，只有选择适当的阻尼比k才能使得系统在某一特定噪声强度下达到最佳随机共振输出。
3 数值仿真分析
3.1 输入微弱信号频率为大参数
设输入正弦信号幅值A=0.1 V，频率f0=5Hz，采样频率fs=100 Hz，噪声强度D=0.4，取Duffing方程系统参数k=0.5,a=b=1。系统输出信号波形及功率谱如图2(a)和(b)，由图2(a)、(b)可以看出，大频率信号经过未经调整的双稳系统之后，输出信号中仍然包含较多的噪声信号，所以波形也较为混乱，从功率谱图中可以看出，在频率f0=5 Hz处也没有出现谱峰值，由此可知系统未能产生随机共振。令R=100，即理论上最大可以满足频率为1.12 Hz<f0<11.2 Hz的信号产生随机共振。调整参数后系统输出信号波形及频率如图2(c)和(d)，由图2(c)和(d)可以看出，系统输出信号中只包含少部分噪声信号且波形较为整洁，输出信号频谱中f0=5 Hz也出现了谱峰值特征。由以上分析可以得出结论，通过调整系统参数，能够实现大频率信号随机共振。
3.2 输入微弱信号噪声强度为大参数
设输入正弦信号幅值A=0.1 V，频率f0=0.01Hz，采样频率fs=5 Hz，噪声强度D=5,Duffing方程系统参数k=0.5，α=β=1。系统输出信号功率谱如图3(a)，由图可知噪声强度过大使得系统不能产生随机共振，微弱特征信号湮没在噪声中不能被识别。调整阻尼比参数分别为1.2,1.9和2.6，其系统输出功率谱如图3(b)、(c)和(d)。从功率谱图中可以看出对于噪声强度D=5的输入信号，在k=1.9即图3(c)的时候达到最佳系统输出，从而产生随机共振。在特征频率f0=0.01 Hz处出现了明显的谱峰值特征，由图3(b)可以看出，当阻尼比较小的时候系统输出功率谱包含大量的高频成分，然而由图3(d)可以看出，当阻尼比较大的时候系统输出功率谱中又包含过多的低频成分，由此可见在阻尼比k=0.5,1.2,2.6的时候系统都不能实现最佳系统输出，使得特征信号难以识别。
4 结论
随机共振信号恢复研究 篇4
关键词：级联分段线性系统,随机共振,降噪,故障诊断
0 引言
随机共振 (stochastic resonance, SR) 的概念是意大利学者Benzi等[1]在1981年研究古气象冰川问题时提出的, 其独特的微弱信号检测机制使它成为近年来弱信号检测领域的研究热点之一。SR的基本思想如下:在一个非线性双稳系统中, 当仅在小信号的周期驱动下时, 不足以使系统响应在两个稳态间进行跃迁, 但当有噪声协助时, 系统响应会按小信号的频率在两稳态间进行切换, 最终达到强化周期信号的效果。
现有的信号降噪方法如经验模态分解 (empirical mode decomposition, EMD) [2]、奇异值分解降噪[3]等, 其主要思想大都是立足于抑制噪声以增大信号的信噪比。但这些方法在降低噪声的同时, 也削弱了微弱信号。与传统的弱信号检测机制相比, SR的不同之处在于它是利用噪声甚至只有增大噪声才能检测到微弱信号, 通过调节双稳系统结构参数和噪声强度来实现微弱信号的检测。经典SR理论只适用于小参数信号 (幅值、频率和噪声强度远小于1) 。这极大地限制了SR在工程领域中的应用, 近年来, 对于大参数信号发生随机共振的研究已取得了一定成果, 研究者们相继采用了归一化变换随机共振[4]、调制随机共振[5]、变尺度随机共振[6]、变尺度频移随机共振[7]等方法, 使大参数信号实现了随机共振, 这些方法的使用极大地拓宽了随机共振在工程实际中的应用领域。以上研究大多是以经典的双稳态模型展开的。文献[8]提出了一种分段线性双稳态模型, 并证明了该模型相对于连续双稳态模型的优越性, 最后通过硬件电路进行了微弱信号检测的实验研究。文献[9]对大参数信号的分段线性随机共振进行了仿真分析。分段线性模型的提出进一步提前了随机共振处理强背景噪声下微弱信号的能力。当噪声强度更大时, 可以通过分段线性系统级联的形式, 将高频噪声能量不断向低频部分转移, 达到降噪目的。文献[10]验证了级联双稳系统的低通滤波特性, 并成功应用于轴承的故障诊断。文献[11]研究了级联双稳随机共振下的EMD分解, 级联双稳系统在去除高频噪声的同时, 减少了EMD的层数。
结合利用分段线性模型随机共振方法处理强噪声下弱信号的优点, 本文提出一种基于级联分段线性系统检测微弱信号的方法。仿真分析和实验结果表明, 该方法可以提高信噪比, 实现滚动轴承微弱信号的检测。
1 随机共振理论
1.1 双稳系统随机共振模型
随机共振利用输入信号和噪声的非线性系统中的协同作用, 将噪声能量部分转移到有用信号, 产生共振输出, 使信号能量增强, 从而达到识别微弱信号的目的。随机共振产生的三个条件是:非线性系统、输入周期信号和噪声。且三者达到最佳匹配时, 随机共振对信号的放大作用最明显。在研究中最常用的随机共振模型是双稳态系统, 双稳态系统的郎之万方程[4]为
式中, s (t) 为输入信号;U (x) 为势函数;a、b为双稳系统大于0的结构参数;n (t) 为噪声信号;D为噪声强度;ξ (t) 为高斯分布白噪声。
n (t) 满足如下条件:
式中, σ (τ) 为信号的统计特性。
双稳系统U (x) 在信号s (t) 和噪声n (t) 的协同作用下, 输出随机共振响应x (t) 。双稳系统描述了一个过阻尼质点的布朗运动。在没有噪声和调制作用时, 质点处于两个势阱中的任意一个势阱, 由系统的初始状态决定。如图1所示, 势函数在处有极小值U (x) =-a2/4b, 在x=0处有极大值U (x) =0, 势垒高度ΔU=-a2/4b, 左右两外侧曲线与轴U (x) =0相交于。当外部输入为0时, 势能最小, 系统响应x (t) 处于势阱的最低点。当给系统输入一个微弱信号s (t) 时, 输出响应x (t) 只能在一个势阱内运动;当同时输入微弱信号和噪声时, 噪声部分能量将会转移给信号能量, 造成两双稳态势阱位置之间的差值ΔU远大于输入信号的幅值, 使得输出信号幅值被有效放大, 从而提高了输出信号的信噪比。
1.2 分段线性随机共振模型
分段线性随机共振数学模型[8]的势函数为
其中, a1>b1>0, c1>0, 均为实参数。势函数U1 (x) 的图形如图1所示, 曲线由一条分段线性函数组成, 左右外侧与横坐标轴交x=a1, 在x=±b1处, 系统有极小值U1 (x) =-c1, 在x=0处, U1 (x) =0。势阱底部位于x=±b1处, 仅与参数b1有关。势垒高度ΔU=c1, 仅与参数c1有关。
根据式 (1) , 系统模型可以写为如下形式:
其中, H (t) =K (s (t) +n (t) ) , s (t) 和n (t) 同式 (1) , K为系数。对于大频率信号, 分段线性模型也可以处理。当频率大于1的信号被输入模型时, 通过增大系统参数c1来达到加深势阱深度的目的, 同时, 加大信号幅值放大倍数K使其发生随机共振[9]。然后采用四阶Runge-Kutta法对双稳系统的微分方程进行求解即可。
图1所示两种势函数具有相同的势垒高度和势底位置。对比两曲线可知, 分段线性模型要想改变势垒高度ΔU大小, 调节系统参数c1即可, 要想改变势底位置调节b1即可, 单独调节b1和c1互不影响。而对于双稳系统模型要达到同样的目的则需同时调节a和b。另外, 前者可通过调节单个参数a1来改变势函数左右外侧线与横坐标的交点, 而后者则无法改变势函数的局部形状。显然, 在调节参数个数增加的前提下, 前者参数调节更容易和灵活。
1.3 级联分段线性随机共振
将若干个分段线性系统串联, 就形成了级联分段线性系统, 其结构如图2所示, 其中x1 (t) 、x2 (t) 、…分别为第一级分段线性系统Uα (t) 、第二级双稳系统Uβ (t) 、…的输出信号。分段线性系统的级联用来将高频能量不断地向低频转移, 这样高频成分逐渐被滤除, 低频成分凸显, 达到良好的降噪效果。
2 仿真信号分析
为了验证级联分段线性模型检测信号的能力, 对仿真信号x (t) =0.3cos (2π×0.01t) 进行分析, 采样频率fs=10Hz, 采样点数N=8000。图3为叠加噪声 (强度D=0.5) 后的时域波形和频域图。对于分段线性模型参数, 取参数a1=1.5, b1=1, c1=0.25 (势函数如图1所示) , 得到的第一级级联分段线性随机共振系统输出信号和频谱图见图4, 第二级级联分段线性随机共振系统输出信号和谱图见图5, 从这3个图中可以看到, 高频噪声随着级联次数的增加而减少, 时域波形越来越光滑, 频谱能量越来越集中在低频成分上, 说明分段线性系统和级联分段线性系统均具有良好的降噪性能。在模型的势垒高度、势阱位置相同, 输入信号和噪声完全相同情况下, 得到如图6和图7所示的第一级和第二级级联双稳随机共振系统 (参数为a=b=1) 输出信号波形和频谱, 可以看出, 虽然双稳系统及其级联也达到了较好的降噪效果, 但仔细观察图5和图7, 发现图5第二级分段线性系统输出信号振幅变大, 而图7所示第二级双稳系统输出信号振幅相对平稳, 这是由于双稳模型的响应一旦越过势垒就趋于饱和, 振幅不再增大, 而分段线性模型随着输入信号的增强, 输出信号振幅成倍增强。也正是由于分段线性模型的这种特性, 使它比双稳模型具有更强的在强背景噪声下检测信号的能力。
3 应用实例
滚动轴承的故障信号具有典型的非平稳性、调制性和微弱性。本文采用级联分段线性随机共振对这种微弱故障进行检测分析。选用美国Case Western Reserve University[12]电气实验室滚动轴承故障实验数据。实验装置中轴承采用6205-2RS SKF深沟球轴承, 轴承转速为1772r/min, 计算得转频fr=29.53Hz, 轴承结构参数如表1所示。
滚动轴承的内圈故障特征频率按下式计算:
式中, n为滚子个数;Dz为轴承节径;d为滚子直径;α为轴承压力角。
采样频率为12kHz, 采样点数为4800, 由式 (6) 计算得内圈故障频率fi=159.93Hz。内圈故障信号波形如图8所示。时域波形存在较为明显的周期性冲击成分, 而在频域图中看不到明显的低频故障特征, 只能看到频谱能量分布在一个很宽的频率范围内。对图8所示的故障信号依次进行第一级 (参数a1=1.05, b1=1, c1=100, K=50 000) 和第二级 (参数a1=1.05, b1=1, c1=800, K=20 000) 分段线性随机共振处理, 输出信号波形和频谱如图9、图10所示。由图9中频谱可以得知, 通过第一级分段线性系统后, 频率成分高于3kHz的被滤掉, 同时, 低于500Hz的频率成分出现了, 这一现象说明分段线性系统可以滤掉高频成分, 把能量转移到低频区域, 这时故障频率fi出现, 大小为159.7Hz。然而, 在故障频率fi附近仍然存在一些幅值较大的干扰成分, 对故障识别造成一定影响。为此, 对信号进行第二级分段线性随机共振, 由图10中频谱看出, 高频成分被进一步滤掉, 低频特征得到凸显, 并且159.7Hz的频率非常明显。对比图8中的频谱, 图10中fi清晰可见, 从而确定了故障频率。由于分段线性模型不存在饱和现象, 使得图10输出信号振幅随着输入信号幅值的增大而成倍增大。
图11和图12分别为采用二次采样小参数化得到的第一级和第二级双稳随机共振系统 (参数a=0.001, b=1) 输出信号及频谱, 双稳系统的级联取得了较好的降噪效果, 但是对于双稳系统, 为了达到最优效果, 需要同时调节相互关联的参数a和b, 而对于分段线性系统, 参数a1、b1和c1是不关联的, 调节起来更为灵活方便。
4 结论
本文在研究典型非线性系统———双稳系统的随机共振发生机理和条件要求的基础上, 提出了一种基于级联分段线性随机共振系统的滚动轴承微弱故障检测方法。对分段线性模型和双稳模型的势函数进行了对比分析, 通过数值计算, 考察了相同条件下两种模型分别进行一级和二级级联时在强噪声背景下提取微弱周期信号的效果。分段线性模型随着输入信号的增大振幅不断加大, 可以适应更低信噪比信号检测。利用该模型的级联, 可以逐步消除高频噪声, 加强低频信号能量。滚动轴承内圈故障信号的验证结果表明, 该方法可以提高信噪比并有效检测出强噪声背景下的微弱信号, 准确提取出故障信息。
参考文献
[1]Benzi R, Sutera A, Vulpiana A.The Mechanism of Stochastic Resonance[J].Journal of Physics A:Mathematical and General, 1981, 14:453-257.
[2]Huang N E, Shen Z, Long S R.The Empirical Mode Decomposition and the Hilbert Spectrum for Nonlinear and Non-stationary Time Series Analysis[J].Proceedings of the Royal Society of London, 1998, 454 (1) :903-995.
[3]赵学智, 叶邦彦, 陈统坚.基于小波奇异值分解差分谱的弱故障特征提取方法[J].机械工程学报, 2012, 48 (7) :37-47.Zhao Xuezhi, Ye Bangyan, Chen Tongjian.Extraction Method of Faint Fault Feature Based on Wavelet-SVD Difference Spectrum[J].Journal of Mechanical Engineering, 2012, 48 (7) :37-47.
[4]陈敏, 胡茑庆, 秦国军.参数调节随机共振在机械系统早期故障检测中的应用[J].机械工程学报, 2009, 45 (4) :131-135.Chen Mi, Hu Niaoqing, Qin Guojun.Application of Parameter-tuning Stochastic Resonance for Detecting Early Mechanical Faults[J].Journal of Mechanical Engineering.2009, 45 (4) :131-135.
[5]林敏, 黄咏梅.调制与解调用于随机共振的微弱周期信号检测[J].物理学报, 2006, 55 (7) :3277-3282.Lin Min, Huang Yongmei.Modulation and Demodulation for Detecting Weak Periodic Signal of Stochastic Resonance[J].Acta Physica Sinica, 2006, 55 (7) :3277-3282.
[6]Leng Yonggang, Wang Taiyong, Guo Y, et al.Engineering Signal Processing Based on Bistable Stochastic Resonance[J].Mechanical Systems and Signal Processing, 2007, 21:138-150.
[7]Tan Jiyong, Chen Xuefeng, Wang Junying, et al.Study of Frequency-shifted and Re-scaling Stochastic Resonance and Its Application to Fault Diagnosis[J].Mechanical Systems and Signal Processing, 2009, 23 (3) :811-822.
[8]王林泽, 赵文礼, 陈旋.基于随机共振原理的分段线性模型的理论分析与实验研究[J].物理学报, 2012, 61 (16) :1-7.Wang Linze, Zhao Wenli, Chen Xuan.Theory and Experiment Research on a Piecewise-linear Model Based on Stochastic Resonance[J].Acta Physica Sinica, 2012, 61 (16) :1-7.
[9]Wang Linze, Zhao Wenli.A New Piecewise-linear Stochastic Resonance Model[C]//IEEE International Conference on Systems, Man and Cybernetics.San Antonio, Texas, 2009:5209-5214.
[10]He Huilong, Wang Taiyong, Leng Yonggang, et al.Study on Non-linear Filter Characteristic and Engineering Application of Cascaded Bistable Stochastic Resonance System[J].Mechanical Systems and Signal Processing, 2007, 21 (3) :2740-2749.
[11]赵艳菊, 王太勇, 冷永刚, 等.级联双稳随机共振降噪下的经验模式分解[J].天津大学学报, 2009, 42 (2) :123-128.Zhao Yanju, Wang Taiyong, Leng Yonggang, et al.Empirical Mode Decomposition Based on Cascaded Bistable Stochastic Resonance Denoising[J].Journal of Tianjin University, 2009, 42 (2) :123-128.