代数方程论文

2024-09-16

代数方程论文（精选12篇）

代数方程论文篇1

0 引言

现代复杂机电产品（如航空航天器、机器人、汽车等）通常是集机、电、液、控、磁等多学科领域于一体的复杂物理系统，经常表现出时间依赖（对时间导数）与空间依赖（对坐标偏导）共存的行为特征，而且可能呈现出多领域之间及时间域与空间域之间的耦合特性[1]。

物理系统行为规律的描述通常有两种主要的形式。系统在单纯时间域的物理行为往往由常微分方程（ordinary differential equation,ODE）描述，如果涉及代数约束，则形成微分代数方程（differential-algebraic equation,DAE),DAE是描述时间域物理规律的普遍形式，如机械多体、电子电路等系统规律的描述；若物理行为涉及空间场，出现对空间变量的偏导，则往往由偏微分方程（partial differential equation,PDE）描述，如位势、传热、波动等相关物理系统的规律描述[1]。

物理系统建模经历了从面向过程建模到面向对象建模、连续域与离散域分散建模到连续-离散混合建模、单一领域独立建模到多领域统一建模的发展阶段。Modelica语言是近年来欧洲仿真界为解决复杂物理系统建模与仿真问题而提出的一种多领域统一建模语言[2,3]，然而，目前Modelica语言只能对时间域的物理系统进行统一建模，还不能对空间域的物理系统进行描述，更无法对其进行仿真优化，这大大限制了Modelica语言的应用范围。为此，国外已有学者着手扩展Modelica语言以支持PDE问题的建模与仿真[4]。周凡利等[1]提出了解决该问题的思路，但没有具体实现。李志华等[5,6]也开展了这方面的研究工作，初步实现了Modelica语言对PDE问题的描述、建模以及仿真求解。然而现有的这些方法都是采用简单的有限差分法或线上法来求解具有规则区域（如矩形）的PDE问题，对于不规则区域的复杂PDE问题则无法求解。

本文在李志华等原有工作[5,6]的基础上，从多领域统一建模与仿真的角度，针对一般性的PDE问题（包括不规则求解区域、复杂边界条件、线性或非线性PDE系统），提出一种PDE与DAE的一致求解方法，为Modelica直接求解复杂工程系统中多领域耦合、时间域与空间域耦合的复杂问题奠定基础。

1 PDE的已有解法

PDE的解法主要分为解析法和数值法。到目前为止，只有有限形式的PDE能够得到解析解，在工程实际中一般采用数值求解。PDE的数值求解技术比较成熟，可用的方法包括有限差分法、有限元法、有限体积法以及线上法等[7]。但有限差分法和线上法只适用于规则的求解区域，而有限元法和有限体积法是基于网格的计算方法，在某些工程问题（如动态裂纹扩展、高速撞击、冲击破坏、流固耦合等）中存在网格的束缚，使得计算遇到很大的困难，因此出现了无网格方法[8]。

无网格方法只需要节点的信息，不需要节点与节点之间相互联系的信息，这样很容易在复杂计算区域内布置节点。无网格方法的构建主要包括近似函数的构建方法和微分方程的离散方法两个部分，根据近似函数构建方法和微分方程离散方法的不同，可以构建出许多不同的无网格方法[8]。目前比较常用的近似函数的构建方法有：核函数近似方法、再生核近似方法、移动最小二乘近似方法、单位分解近似方法、径向基函数近似方法、点插值近似方法等。微分方程的离散方法包括加权残量法、配点法、Galerkin法以及局部Petrov-Galerkin法。

Khattak等[9]运用无网格配点法成功求解了一类非线性PDE;Yao等[10]应用全局和局部径向基函数来求解三维抛物线型PDE，并比较了这两种无网格方法的性能；Kamruzzaman等[11]利用多项式点插值和配点法来构造无网格方法，较好地求解了椭圆形、抛物线型和双曲线型PDE；吴宗敏[12]介绍了散乱数据拟合研究中的径向基函数方法，及其在散乱线性泛函信息插值、无网格PDE数值解中的应用；吴孝钿[13]应用Sobolev splines径向基函数和紧支柱正定径向基函数，得到求解PDE边值问题的无网格算法，并针对散乱数据的特点，给出了计算整体稠密度h的算法及如何通过加密节点使h值缩小的一个可行方法。然而上述无网格方法都是直接对时间变量和空间变量进行离散，只适合求解单纯的PDE问题，不适合求解复杂的PDE与DAE耦合问题。

本文借鉴传统的求解PDE的无网格方法，选用径向基函数和配点法来构建径向基函数配点无网格法，并对其进行改进，即只对空间变量离散而保持时间变量连续，直接将PDE在空间上（即配点处）离散成一系列的DAE，然后利用成熟的DAE求解器进行统一求解。

2 径向基函数配点无网格法

对于d维实空间中定义在域Ω上的PDE问题：

式中，L、B为微分算子；u(X,t）为未知量场函数；f(X,t）、g(X,t）为已知函数。

我们所构建的径向基函数配点无网格法的基本思想是：首先采用径向基函数构造近似函数，将未知量场函数的时-空变量分开，然后运用配点法对空间变量进行离散，而保持时间变量连续，这样就将PDE问题在空间上离散成一系列只含时间变量的DAE问题，具体过程如下。

首先在PDE的不规则求解区域Ω内和边界Ω上选定N=Nu+Nb个离散的节点（即配点），然后应用径向基函数构造u(X,t）的近似函数，并将其构成时间与空间分离的形式：

其中，N为节点总数；Nu为域内节点数；Nb为边界节点数；αi(t）为待定系数；Xi为实空间上的配点；φi（‖X-Xi‖）为径向基函数，φi（‖X-Xi‖）=φ（ri(X));ri(X）为Euclidian范数，ri(X）=‖X-Xi‖。

为确保解的唯一性，（ri(X））必须无条件正定，这种径向基函数包括Gaussian函数e-cr2、逆MQ函数（r2+c2）β（β<0）和紧支正定径向基函数等。本文采用Gaussian函数。

将式（2）代入式（1）中，并使这N个点满足式（1）的微分方程和边界条件，得到

当微分算子L、B为空间变量的偏导时，由于空间变量已与时间变量分离，且径向基函数φi（‖X-Xi‖）对空间变量可求导，在每一节点处，空间坐标已知，因此Lφ（ri(Xk））或Bφ（ri(Xk））就是一个已知值，这样，式（3）中就只剩下时间的导数，即每个节点处对应一个只与时间有关的DAE，这样就将PDE转化为一系列的DAE（具体过程可参见实例部分）。

进一步，PDE问题（式（1））可变为求解一个N×N的线性方程组问题，用矩阵表示为

其中，S为N×N的矩阵，S=(Ski)N×N;a为待求的系数向量，a=（α1(t），α2(t），…，αN(t));b=(b1,b2，…，bN）；且

由式（4）求出未知系数αi(t)(i=1,2，…，N）后，通过式（2）就可以获得域内和边界上任意一点的场函数值u(X,t）。

3 实例及求解过程

通过编程，利用径向基函数配点无网格法对PDE进行空间离散，自动将PDE问题转化成DAE问题。本文采用MATLAB编程，首先将带时间域的PDE问题进行时间与空间分离（若不带时间域则不用分离），然后通过径向基函数配点无网格法对空间变量进行离散，得到一系列离散点处的DAE，并把这些DAE数据用mat格式保存起来，接着将该mat格式文件导入到基于Modelica语言的多领域统一建模与仿真平台MWorks中[14]，并利用其成熟的DAE/ODE求解器进行PDE与DAE的一致求解。整个流程如图1所示。

以下面一个不规则区域的二维热传导问题为例来说明本文所提方法的有效性：

式中，T为某个时间值。

其求解区域由如下边界组成：

对该不规则求解区域用配点法进行不规则离散，得其节点分布如图2所示，其中域内节点数Nu=61，边界上节点数Nb=42。然后对这些节点从左到右、从下到上进行编号。

对该二维热传导PDE问题，运用上述PDE与DAE的一致求解方法和过程进行一致求解，令

对于求解域内的Nu个离散节点（xi,yi)(i=1,2，…，Nu），满足域内的偏微分方程，即

对于求解域边界上的Nb个离散节点（xi,yi)(i=1,2，…，Nb），满足边界条件方程，即

对于域内及边界上的所有离散节点（xi,yi(i=1,2，…，N),N=Nu+Nb，满足初始条件方程，即

本文采用Gaussian径向基函数，在各离散节点处均可计算出它们的值。这样，式（5）～式（7）中就只剩下时间的变量，即利用径向基函数配点无网格法已将PDE在离散节点处转化为一系列的DAE，然后就可以在MWorks环境中利用其自带的DAE求解器进行求解，从而方便地得出场函数在各个离散节点处随时间变化的函数值。图3表示的是场函数在编号为15节点处的仿真结果；图4所示为本文的数值解与其精确解u(x,y,t)=e-2tsin(x+y）之间的比较，此处t=0.5s。

由图4可以看出，本文的数值解uP与精确解uQ非常吻合，达到了较高的求解精度。进一步，定义本文的数值解与精确解之间的误差为，通过计算得到er=7.1×10-5。

4 求解精度影响因素分析

为了更好地应用径向基函数配点无网格法来求解PDE问题，本文研究了不同离散节点数、平均节点间距和径向基函数参数c的取值对求解精度的影响，如表1所示。

由表1可以看出，一般情况下，当参数不变时，离散节点数越大、平均节点间距越小，则求解精度越高。例如，在c=1不变的情况下，当节点数为14、平均节点间距为0.47时，误差为2.2475×10-4；而当节点数为30、平均节点间距为0.28时，误差则为1.7142×10-5。同时还可以看出，随着参数c的不断增大，求解精度并不是呈递增或递减状态，而是有起伏变化，只有当c取适当的值时，误差er才较小。由此可见，恰当确定径向基函数参数c的取值很关键，然而目前还没有规律可循，只能通过多次反复运算来确定一个合适的值。

5 结论

多领域统一建模要求用偏微分方程和微分代数方程来统一描述和统一求解，本文针对一般性的偏微分方程问题，提出了偏微分方程与微分代数方程的一致求解方法，给出了该方法的实现过程，分析了离散节点数和径向基函数参数对求解精度的影响，得到如下结论：

(1）与传统的无网格方法相比，本文采用只对空间变量离散而保持时间变量连续的策略，能方便地将偏微分方程在离散节点处转化为一系列微分代数方程，从而在不改变Modelica语法的前提下，较好地实现偏微分方程与微分代数方程的一致求解，大大简化了复杂的偏微分方程与微分代数方程耦合问题的求解难度。

(2）实例结果表明，本文所提出的方法能较好地解决具有不规则求解区域的偏微分方程问题，且求解精度高，这有利于Modelica直接求解复杂工程系统中多领域耦合、时间域与空间域耦合的复杂问题。

摘要：Modelica语言是一种复杂物理系统多领域统一建模语言,但目前该语言只能解决由微分代数方程(DAE)描述的问题,而不能解决由偏微分方程(PDE)表达的问题。为此,提出一种偏微分方程与微分代数方程的一致求解方法,利用所构建的径向基函数配点无网格法直接将偏微分方程在空间上离散成一系列的微分代数方程,然后采用成熟的微分代数方程求解器进行求解。实例结果表明,该方法在不改变Modelica语法的前提下,能较好地实现偏微分方程与微分代数方程的一致求解,且求解精度高、边界条件处理简单,有利于Modelica直接求解复杂工程系统中多领域耦合、时间域与空间域耦合的复杂问题。

关键词：多领域统一建模,Modelica,偏微分方程(PDE),微分代数方程(DAE)

代数方程论文篇2

知识与技能：学生能根据等式的基本性质解如ax ±b=c的方程，初步学会列方程解决一些简单的实际问题。

过程与方法：培养学生抽象概括的能力，发展学生思维的灵活性，进一步提高学生的分析能力。

情感、态度与价值观：帮助学生感受数学与现实生活的联系，培养学生的数学应用意识与规范书写和自觉检验的习惯。

教学重点：分析稍复杂的两步计算的应用题的数量关系，寻找等量关系式。教学难点：找等量关系式列方程。

教学方法：创设情境；自主探索、合作交流。教学准备：多媒体。教学过程

一、忆旧引新 1．看图列方程。

2．先说说下面各题的数量关系，再列方程，不用求解。(1)公鸡x 只，母鸡30只，比公鸡只数少6只。(2)公鸡x 只，母鸡30只，是公鸡只数的2倍。

二、互动新授 1.出示足球。

师：同学们，你们喜欢足球吗？其实，足球里蕴藏着许多的数学知识。请观察老师手中的足球，你发现白皮和黑皮的形状有什么不同吗？

师：除了形状，白皮、黑皮的块数也不相同哦，有几位男生正在探究这个数学问题，让我们一起来瞧瞧。

2.出示教材第74页例2情境图。

观察图，并说说图中你知道了哪些信息？要解决什么问题？

学生回答：知道的信息：足球上黑色的皮都是五边形的，白色的皮都是六边形的。白色皮共有20块，比黑色皮的2倍少4块。解决的问题：共有多少块黑色皮？

追问：你能根据信息和问题列出题中的等量关系式吗？交流汇报，并根据回答选择板书：黑色皮的块数×2=白色皮的块数－4 黑色皮的块数×2－4=白色皮的块数黑色皮的块数×2=白色皮的块数＋4 引导学生观察第二个等量关系式，说一说这个等量关系式中的已知条件和未知条件分别是什么？已知条件：白色皮共20块，比黑色皮的2倍少4块；未知条件：黑色皮有多少块？

3．引导学生利用例1的经验，自主列方程解答：学生自主解答，教师指导。学生汇报，教师根据汇报板书：解：设共有x 块黑色皮。2x-4=20 2x-4+4=20+4 2x =24 2x ÷2=24÷2 x =12 4．追问：在解方程时，先把什么看成一个整体？（把2x 看成一个整体。）5．检验。

6．小结：刚才我们通过列方程解决了一个稍复杂的问题，你能说说列方程解决问题主要有哪些步骤吗？其中哪一个步骤是最关键的？

学生汇报：教师板书： ①弄清题意，设未知量为x。设

②分析题意，找等量关系。找▲（关键）③根据等量关系列出方程。列 ④解方程。解 ⑤检验答案是不是方程的解。验

三、巩固拓展

1．根据方程列出等量关系式。

粮店运来72吨大米，比运来的面粉的3倍多12吨。运来面粉多少吨？根据()，列方程：3x +12=72 根据()，列方程：72-3x =12 2．先说说下列各题的数量关系，再列方程解决问题。

故宫的面积是72万平方千米，比天安门广场面积的2倍少16万平方千米。天安门广场的面积是多少万平方千米？

四、课堂小结

直线与方程、圆与方程易错点剖析篇3

1.忽视斜率不存在

例1 求经过点[A(2,-1)]，且到点[B(-1,1)]的距离为3的直线方程.

错解由点斜式，设所求直线方程为[y+1=k(x-2)]，即[kx-y-2k-1=0]，由题设，点[B(-1,1)]到此直线的距离为3，即[-k-1-2k-1k2+1=3]，解得[k=512]，于是所求直线的方程为[y+1=512(x-2)]，即[5x-12y-22=0].

剖析求直线方程时，容易认为所求直线的斜率存在，而忽视斜率不存在的情况，从而造成漏解，避免失解的办法首先要有分类讨论的思想，养成严密思考的习惯，其次是数形结合，通过作图分析判断斜率不存在的直线有无可能. 本例中，当直线斜率不存在时，直线方程为[x=2]，也符合题意. 故本题所求直线方程为[x=2]或[5x-12y-22=0].

2. 忽略倾斜角的范围

例2 若[α∈R]，求直线[xcosα+y-1=0]的倾斜角的取值范围.

错解[y=-xcosα+1]，设倾斜角为[θ]，则[tanθ=-cosα]，由[cosα≤1]知[-1≤tanθ≤1]，故[θ∈π4,3π4].

剖析把[x]轴绕着与直线交点逆时针方向旋转到和直线重合时，所转的最小正角，叫做直线的倾斜角，其取值范围是[[0,π)]. 倾斜角不是[π2]时，它的正切值叫做直线的斜率. 已知正切值范围求倾斜角范围，容易忽略正切函数在[[0,π)]不是单调的而出错. 事实上，[y=tanx]在[[0,π2)]，[(π2,π]]上单调递增，[x=π2]为其一条渐近线，故上题中倾斜角为[θ∈0,π4⋃3π4,π].

3. 忽视截距为[0]

例3 求过点[P(2,-1)]，在[x]轴和[y]轴的截距分别为[a]、[b]且满足[a=3b]的直线方程.

错解由题意，可设直线方程为[xa+yb=1][(a、b≠0)]即[x3b+yb=1]. 又因为直线过点[P(2,-1)]，所以[23b+-1b=1]，解得[b=-13]. 所求直线方程为[x-1+y-13=1]，即[x+3y+1=0].

剖析在截距相等（或是倍数关系时），容易漏掉截距为0的情况.

当[a=3b=0]时，直线过原点，也满足题意. 即所求直线方程为[x+3y+1=0]或[y=-12x].

4. 混淆截距与距离

例4 求过点[P(2,-1)]且与两坐标轴围成的三角形的面积是[4]的直线方程.

错解设直线方程为[xa+yb=1]（[ab≠0]），将点[P(2,-1)]代入，有[2a+1b=1]，又[12ab=4]，解得[a=4、b=2]，故所求直线方程是[x+2y-4=0].

剖析错解中混淆了截距与距离的概念，在[x]轴上的截距指的是直线与[x]轴交点的横坐标，在[y]轴上的截距指的是直线与[y]轴交点的纵坐标，截距可以取任意实数，而距离只能是非负数. 直线与坐标轴所围成的三角形面积应是[12][ab]，而不是[12ab]. 由[12][ab]＝4，得[ab]=8或[ab]=-8. 当[ab]=-8时，解得[a=-4-42]，[b=-2+22]或[a=-4+42]，[b=-2-22]. 故所求直线的方程为[x+2y-4=0]或[(2+1)x-2(2-1)y][-4=0]或[(2-1)x-2(2+1)y][+4=0].

5.位置关系考虑不全

例5已知直线[l]过点[P(0,1)]且和点[A(4,0)]、[B(8,-3)]等距离，求直线[l]的方程.

错解由题意，所求直线过点[P(0,1)]且与直线[AB]平行. 而[kAB=-34]，故所求直线方程为[y=-34x+1]，即[3x+4y-4=0].

剖析解析几何是一门关于几何的科学，要重视题目的几何特征，一定注意把所有可能的情况想完整、准确，才能正确地解决问题. 由图可知，过[AB]的中点[M(6,-32)]和点[P(0,1)]的直线也适合题意，其方程为[5x+12y-12=0]，故满足题意的直线方程为[3x+4y-4=0]或[5x+12y-12=0].

6. 将直线位置关系的充分条件、必要条件、充要条件混淆

例6 [a=3]是直线[ax-2y-1=0]与直线[6x-4y+c=0]平行的条件.

错解充要条件.

剖析忽略了斜率存在的两直线平行时，充要条件是斜率相等且截距不等. [a=3]是两直线斜率相等，但[c]的值不确定，两直线可能重合. 当两直线平行且斜率存在时，斜率必须相等，可得到[a=3]，所以应是必要不充分条件.

7. 到角和夹角概念理解不清导致错误

例7等腰三角形一腰所在直线[l1]：[x-2y-2=0]，底边所在直线[l2]：[x+y-1=0]，点(-2,0)在另一腰上，求这腰所在直线[l3]的方程.

解析1利用到角公式. 设直线[l3]的斜率为[k3]，[l1]、[l2]的斜率分别为[k1=12]，[k2=-1].

由题意知[l2]到[l1]的角[α]等于[l3]到[l2]的角[β]，即

[tanα=k1-k21+k1k2=tanβ=k2-k31+k2k3]，

代入解得[k3=2.]

所以直线[l3]的方程为[2x-y+4=0. ]

解析2利用夹角公式.设直线[l3]的斜率为[k3]，[l1]、[l2]的斜率分别为[k1=12]、[k2=-1.]

由题意知[l2]与[l1]的夹角等于[l3]与[l2]的夹角，即

[|k1-k21+k1k2|=|k2-k31+k2k3|]，解得[k3=12]或[k3=2].当[k3=12]时[l3]平行于[l1]，不满足题意，舍去.

故直线[l3]的方程为[2x-y+4=0. ]

剖析直线[l1]到[l2]的角[α]，即直线[l1]绕着与[l2]的交点逆时针方向旋转到同[l2]重合时所转过的最小的正角，[tanα=k2-k11+k1k2](其中[k1]，[k2]是直线[l1]，[l2]的斜率，下同).分子是[k2-k1]，即所到的终边直线斜率减始边直线斜率. 忽略“方向性”是同学们易犯的错误.

直线[l1]与[l2]的夹角[β]，即直线[l1]与[l2]相交所成的四个角中最小的角，[tanβ=|k2-k11+k1k2|].

当已知两条直线之间的夹角和其中一条直线的方程，要求另外一条直线的方程时，常常利用这两类角来处理.如果所求直线不惟一，就利用夹角公式，但有可能利用夹角公式求出也只有一条，那么必然有一条斜率不存在；如果所求直线惟一，就利用到角公式，当然也可利用夹角公式，不过求出的两条直线要舍去一条.所以解答这类问题时，一定要注意结合图形，分析结果的可能个数，再决定取舍.同时还要注意考虑斜率不存在的情况.

二、圆与方程中易错点分析

1. 忽视半径[r>0]，写错圆心坐标

例8已知[λ>0]且[λ≠1]，写出方程[λ2-1x2+][λ2-1y2-4λ2x+4λ2+1=0]所表示的圆的圆心坐标和半径.

错解因为[λ2-1x2+λ2-1y2-4λ2x+4λ2][+1=0]，[λ>0]且[λ≠1]，

所以[x2+y2-4λ2λ2-1x+4λ2+1λ2-1=0]，

[(x-2λ2λ2-1)2+y2=3λ2+1λ2-12].

所以圆心坐标为[(2λ2λ2-1,0)]，半径为[3λ2+1λ2-1].

剖析前面的步骤通过配方把圆的方程化为标准方程，其思路过程完全正确，但半径表示不对. 在圆的方程[(x+a)2+(y+b)2=m2]中，圆心应为[(-a,-b)]，半径为[m]且[m≠0]. 在实际做题中，经常有同学把圆心写成[(a,b)]，半径写成[m]，因此在学习中，要注重细节. 本题中[λ>0]且[λ≠1]，不能确定[λ2-1]的符号，也就不能确定表示半径的式子一定大于0，故半径应写为[3λ2+1|λ2-1|].

2. 忽视圆的方程成立的条件

例9若点[O(0,0)]在圆[x2+y2+kx+2ky+2k2][+k-1][=0]外，求[k]的取值范围.

错解因为点[O(0,0)]在圆外，所以[2k2+k-1>0]，解得[k>12]或[k<-1], （1）

所以[k]的取值范围是[-∞,-1⋃12,+∞].

剖析方程是否满足表示圆的条件，这是二元二次方程按圆的方程处理时应首先考虑的问题. 本题忽视了圆的一般方程[x2+y2+Dx+Ey+F=0]表示圆的条件[D2+E2-4F>0]，而导致错误.

因为方程表示圆，所以[k2+(2k)2-4(2k2+][k-1)>0]，即[3k2+4k-4<0].

解得[-2

由（1）（2）得[-2

故[k]的取值范围是[-2,-1⋃12,23].

3. 忽视隐含条件

例10 若动点[(x,y)]在圆[(x-2)2+y2=4]上，求[3x2+4y2]的最大值.

错解由[(x-2)2+y2=4]得，[y2=4x-x2]，

所以[3x2+4y2=3x2+44x-x2=-x2+][16x=][-x-82+64]，所以当[x=8]时取得最大值64.

剖析圆[(x-2)2+y2=4]是一个封闭的图形，表示以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，所以[x]的取值范围不是[R]，而是[0,4]. 这是隐含在圆的方程中的条件，应引起重视. 本题中因为[x∈0,4]，所以当[x=4]时取得最大值48.

4. 概念不清

例11 求过原点及点[A(1,1)]且在[x]轴上截得线段长为3的圆的方程.

错解设所求圆的方程[x2+y2+Dx+Ey+F][=0]. 将点[O(0,0)]和[A(1,1)]的坐标代入方程，得[F=0,D+E+F=-2.]令[y=0]，得[x2+Dx=0]，

所以[x1=0]，[x2=-D].

所以[x2-x1=3]，即[D=-3]，所以[E=1].

故所求圆的方程为[x2+y2-3x+y=0].

剖析以上错误的原因是概念不清，在[x]轴上截得线段长应是[|x2-x1|]，而不是[x2-x1].

所以由[|x2-x1|=3]，即[|D|=3].

所以[D=-3]，[E=1]，或[D=3]，[E=-5].

拉格朗日之前的代数方程的发展篇4

一元代数方程的发展已有四千多年的历史, 从简单的一次方程到今天的群论, 代数方程求解的形式和内涵都发生了巨大的变化.很多伟大的数学家都对一元代数方程的求解作出了重要的贡献, 其中拉格朗日是较为突出的一位.拉格朗日对代数方程求解的主要贡献是提出辅助方程理论和用置换的思想进行方程求解, 拉格朗日提出这些理论是在广泛而深入地研究了前人的工作后才得出的, 所以要想清楚拉格朗日的工作、了解代数方程求解史, 我们必须要知道在这之前的发展史.

二、拉格朗日之前的代数方程的发展

1.一元一次、一元二次代数方程的发展

据记载一元代数方程的历史应该从公元前2000年左右的埃及数学谈起, 在莱茵德纸草书中就已经出现了一次方程, 只是当时的未知数x用“堆”来表示, 提出的问题相当于求解x+ax=b或者x+ax+bx=c类型的一次方程, 埃及人顺利解出了此类方程, 他们采用“假位法”;在纸草书中已经出现了简单的二次方程ax2=b, 一元代数方程的历史从此拉开了序幕.古巴比伦的泥版书则表明, 古巴比伦人已经会解一般的二次方程并给出了方程的求根公式, 但由于古巴比伦人不承认负数, 二次方程有负根是忽略掉的, 所以他们只处理方程根为正数的情况.在欧几里得《原本》中给出了二次方程有实根的判别条件.公元200年～1200年时期的印度人已经认识到二次方程有两个根, 而且可能会出现负根和无理根, 他们已经会使用配方法解二次方程, 但由于不承认负数有平方根 (虚数) , 故他们并不能解所有的二次方程.尤其值得一提的是3世纪时中国著名数学家赵爽得出了x2-bx+c=0型方程的求根公式, 据称这是历史上最早的二次方程求根公式的记录.公元724年左右, 唐代数学家张遂曾利用求根公式求解一元二次方程, 并且还发现了二次方程的根与系数关系, 该成果比法国大数学家韦达对代数方程的研究要早1000年左右.阿拉伯数学家花拉子米对二次方程的求解也作出了突出的贡献, 他第一次给出了二次方程的一般代数解法, 并第一次给出几何证明.

到公元1000年左右人们基本上会解任何形式的一元一次、一元二次代数方程, 从方法上来讲也比较多, 像配方法、公式法、因式分解法等都已被人们所熟知, 但由于数系的发展是缓慢于代数方程求解方法的发展, 虽然当时人们会用各种方法去解方程, 但当方程的根是负根或复数根时, 很多数学家是不承认的.

2.一元三次、一元四次代数方程的发展

三次方程的求解更是举步维艰, 直至现在仍然有很多大一的学生都不太会解三次方程.据记载最早出现三次方程是在美索不达米亚的泥版书中, 他们主要解类似x3=a和x3+x2=a的三次方程, 但大都是采用查表的方法解答, 因为巴比伦人编有专门的立方表和立方根表及m3+n2的数值表.而真正开始尝试求解一般三次代数方程是由阿拉伯人奥马·海亚姆作出的, 他于约1079年出版了《代数学》, 他用圆锥曲线解三次方程, 这是阿拉伯人在代数方程求解上作出的推进性贡献.至于用纯代数的方法进行一元三次代数方程求解则出现的相对较晚, 以至于1494年帕乔利还曾宣称一般的一元三次代数方程不可解, 然而这一宣言在六年后即被打破.1500年波罗尼亚的数学教授费罗宣布解出了x3+mx=n类型的三次方程, 在他之后的塔塔利亚和卡尔达诺几乎可以解任何类型的三次方程, 并且没过多久卡尔达诺的学生费拉里即宣告解答了一元四次代数方程.

到拉格朗日时期一元一次、一元二次、一元三次、一元四次方程的求解已基本上得到解决, 由于一次、二次方程的解法比较固定、简单而且大家都比较熟悉, 在这里就不再叙述了.自从16世纪意大利的数学家们解出了一元三次、一元四次方程, 许多的数学家开始尝试各种技巧进行一元三次、一元四次代数方程求解, 并试图解答五次及五次以上的方程.在这里我们有必要介绍几位数学家求解一元三次、四次方程的方法.

3.一元三次、一元四次代数方程的解法

三次方程求根公式的推广得益于卡尔达诺, 是他最早公开发表三次方程的求解方法、求根公式并且几何验证了这种解法.我们不可能将卡尔达诺的原著再现, 下面的过程只是展现了他解三次方程的内涵.

对于x3+ax2+bx+c=0, 令 $y = x + \frac{a}{3}$ , 得:

y3+py+q=0. (1)

其中 $p = b - \frac{a^{2}}{3} ‚ q = \frac{2 a^{3}}{27} - \frac{a b}{3} + c$ , 考虑等式

(u+v) 3=u3+v3+3 (u+v) uv.

即 (u+v) 3-3 (u+v) uv- (u3+v3) =0. (2)

比较 (1) 和 (2) , 令y=u+v, 则方程 (2) 变为:

易解得 (3) 的根为: $u^{3}, v^{3} = - \frac{q}{2} \pm \sqrt{(\frac{q}{2})^{2} + \frac{p^{3}}{27}} .$

可得到

$y = \sqrt[3]{- (\frac{q}{2}) + \sqrt{\frac{p^{3}}{27} + \frac{q^{2}}{4}}} + \sqrt[3]{- (\frac{q}{2}) - \sqrt{\frac{p^{3}}{27} + \frac{q^{2}}{4}}} .$

进而可得到原方程根x的值.

在卡尔达诺的《大法》之中也包括了费拉里求解四次方程的方法:

对于x4+ax3+bx2+cx+d=0, 令 $y = x + \frac{a}{4}$ , 则原方程可变为:y4+py2+qy+r=0. (4)

(4) 移项, 得:y4+py2=-qy-r. (5)

(5) 等式左边配方, 得: $(y^{2} + \frac{p}{2})^{2} = - q y - r + (\frac{p}{2})^{2} .$

在左端括号内加u得: $(y^{2} + \frac{p}{2} + u)^{2} = - q y - r + (\frac{p}{2})^{2} + 2 u y^{2} + p u + u^{2} . (6)$

则右端应为完全平方数, 故有:

$Δ = 4 \times 2 u (\frac{p^{2}}{4} + p u + u^{2} - r) - q^{2} = 0 .$

即:8u3+8pu2+ (2p2-8r) u-q3=0. (7)

(7) 显然为可解的三次方程, 解答该方程就可得到u的值.

则 (6) 就变为 $(y^{2} + \frac{p}{2} + u)^{2} = [\sqrt{2 u} y - (\frac{q}{2} \sqrt{2 u})]^{2} .$

因此有 $y^{2} + \frac{p}{2} + u = \sqrt{2 u} y - (\frac{q}{2} \sqrt{2 u}) .$

此为二次方程很容易得到y的值, 进而得到原方程的根x的值.

自此许多的数学家开始运用不同的方法进行一元三次、一元四次方程求解, 其中代表人物有韦达、车恩豪斯、欧拉、贝祖等.但真正开始将一元三次、一元四次方程作为一类问题进行处理, 试图寻找一种统一的解法的是车恩豪斯.车恩豪斯认真分析前人解一元三次、一元四次方程的各种方法, 由此提出了自己独特的解代数方程的方法, 他通过消去方程的中间项, 使方程变为只有最高次项和常数项的二项方程, 而此二项方程是很容易得出其根的, 进而原方程的根就可以求得.贝祖和欧拉解三次、四次方程的方法只是车恩豪斯方法的特例而已, 车恩豪斯解三次、四次方程的方法并没有卡尔达诺等人的简单, 但这种方法更直接、更一般, 有利于研究更高次的方程的求解.

三、结语

从细节上来讲解答一元三次、一元四次方程的方法还不止这些, 但正如拉格朗日所说:通过分析我们明白一切方法的基础都是一样的, 因此所达到的结果是必然相同的.因此一元代数方程的求解进入了困境, 一元三次、一元四次方程的求解已经彻底解决, 并且方法也丰富多样, 遗憾的是无论是采用特殊的技巧还是试图用一种一般的、通用的方法都没有能解答出五次及五次以上的方程, 或者说将已知的方法推广到五次及五次以上方程上去, 法国伟大的数学家拉格朗日出场了, 正是因为有前面这些数学家的辛勤工作才使得拉格朗日提出了新的理论进行代数方程求解, 所以研究前人的工作有利于我们深入了解整个代数方程求解历史.

代数方程论文篇5

教学目标

一、知识与技能

1、通过对具体实际生活问题的分析，让学生初步感受方程是刻画现实世界的有效模型。

2、感受从算式方法到方程方法解决实际问题的优越性。

二、数学思考

在经历把实际问题抽象成数学问题的过程中培养学生初步的观察分析问题和解决问题的能力。

三、解决问题

能够找到实际问题中的相等关系，将实际问题数学化，体会方程模型在解题中的作用。

四、情感态度价值观

1、通过对多种实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义。

2、体验在生活中学数学、用数学的价值，感受学习数学的乐趣。

重点难点

重点：分析问题，探寻等量关系列方程。

难点：感受从算式方法到方程方法解决实际问题的优越性；准确找到实际问题中的相等关系。教学过程

【导入】一、【创设情境提出问题】：

1、爸爸的年龄减去10再除以2就是小明的年龄15 岁。你能求出小明爸爸的年龄吗？

2、小明今年15岁，爸爸今年40岁。请问几年后小明的年龄是爸爸年龄的二分之一呢？

师生活动：引导学生将贴近他们生活的实际问题转化为数学问题，以实际生活问题为切入点引入新课。学生观察初步感知第1、2小题用算式方法解决难易情况的不同、从而积极探求新方法，得出进一步学习的必要性。

设计意图：问题1用算术解法较容易解决，但问题2却不容易解决，这样产生新旧知识上矛盾冲突，使学生认识到进一步学习的必要性，引导学生走进实际生活,感受数学的魅力。

【活动】二、【解析问题建立模型】

问题1：学校足球队参加足球联赛，得分规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。

（1）若全胜得了30分，你知道该队比赛多少场吗？

（2）若该队平了3场，共得了30分，你知道该队胜了多少场吗？

（3）若该队共赛了12场，没有负场，共得了30分。该队胜了多少场？

练习：判断下列式子是不是方程，是的打“√”，不是的打“x ”．

(1)１+2=3()(2)1+2a=4()(3)x+y=2()

(4)x+1-3()(5) $x = 0$ () (6) $3 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ () $（ 7 ） x + 2 \neq 3$ ()(8) $\frac{1}{x} + 1 = 3$ ()

判断是不是方程的关键①______________________ ②________________________

请你再写出2----3个方程,并与同伴交流是否正确________________________________________________________________________________________________________

师生活动：教师引导点拨，让学生通过对实际问题的分析初步感受从算式方法到方程方法解决实际问题的优越性。学生自主探索，同伴互助，自己进一步感受从算式方法到方程方法解决实际问题的优越性。

设计意图：让学生经历由算式到方程的过程，体会用列算式方法解题时，列出的算式只能用已知数，而列方程时，方程中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数.这就是说，在方程中未知数（字母）可以和已知数一起表示问题中的数量关系，增加了解题条件，有利于问题的解决，并引出方程的概念，找出相等关系是列方程的关键所在。

【活动】三、【探究问题感悟本质】

问题2：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一条公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h,客车比卡车早1h经过B地.A，B两地间的路程是多少？

师生归纳总结:

由实际问题到方程要经历哪些过程

（1）审：审题、确定相等关系

（2）设：设未知数

（3）列：根据相等关系列出方程

分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，找出相等关系是关键.师生活动：教师引导学生分析问题。学生口答结论，说明理由。

设计意图：引导学生体验建立方程模型的必要性，本质是未知数参与运算。掌握列方程的基本步骤，体会设未知数的基本方法，通过列表，渗透分析形成问题的基本方法，培养分析问题、解决问题的能力。

【活动】四、【学以致用解决问题】

列方程解答下列问题

（1）

用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少?

（2）

某校女生占全体学生的52%，女生比男生多80人，这个学校有多少学生？

师生活动：教师引导学生分析解决问题。学生按照列方程步骤解答问题。

设计意图：针对个体差异分层练习，每人都有收获。.及时巩固所学知识，强化本节重点内容。

【活动】五、【畅谈收获感悟课堂】

谈一谈这节课你有什么收获？

师生活动：对所学内容、方法进行归纳。（注意评价的多元化）

设计意图：培养学生反思自己学习过程的意识和习惯，有利于学生掌握、巩固新知，提高学习数学的能力。

【作业】六、【分层作业巩固新知】

必做作业：1.课本P80练习1、2、3

选做作业：列方程解决问题

组织方程式篇6

经验告诉我们，组织结构因时而异，将伴随企业的不断进化而进化。

在小企业阶段，企业规模的影响尚不突出，这时通常以加强控制和关注结果为导向，因此，直线职能制就成为必然的组织结构形式。

但是，随着企业的成长，产品线和产品种类的增多，对管理者的要求和压力也越来越大，当超越其能力范围时，这种以控制为导向的管理手段就成为组织绩效的限制因素。企业管理者必须采取分权或者授权的方式展开经营活动，组织内开始出现了专业分工，这种形态的演化结果就是事业部制。

企业进一步成长，原本母公司的事业部会逐渐进化为新的公司，形成一个企业部落，在集团公司的领导之下相互协作。这时组织的管理方式是通过监督、协作、参与的方式完成，矩阵就是主要的组织形式。

企业进化到集团阶段，总部通过对子单元的人事任免、合理监控、资金调度、战略制定发挥管理职能，而各单元有决策自主权和独立的利润中心，在市场的竞争也表现为协同的海陆空全方位作战。

借助图１，可以了解到企业成长过程中一般要经过四种管理模式变化的过程，从纵坐标看，越往下走越来越强调灵活程度，体现了管理的柔性；越往上走控制力度越大，体现了管理的刚性。从横坐标看，越往右走就越强调管理的开放程度，往左走更偏重于内部管理。

控制

理解了管理方式与组织的关系，我们就很清晰组织裂变的进化方向，即可控性（或者是安全性，组织围绕一个管理中心发展）、灵活性（与环境的相容性，确保组织与环境的变化相适应）两个纬度。

所以，组织裂变的前提就是，首先要明确总部最基本的三大权力——重大决策权、合理监控权、高层人事权，然后再最大程度增加各单元经营的独立性和自主性。因此在我们看来，组织裂变能否取得成功取决于３个核心内容：组织结构、权限划分、控制体系。

我们用企业通常采取的事业部制结构来说明组织裂变中控制的关键点。

事业部制结构最早起源于美国的通用汽车公司，是指按照企业所经营的事业，包括按产品、按地区、按顾客(市场)等来划分部门，各部门实行严格的独立核算，并在内部的经营管理上拥有自主性和独立性。事业部既是受公司控制的利润中心，又是产品责任单位或市场责任单位。这种组织结构形式最突出的特点是“集中决策、分散经营”。

在作业层面充分分权，保持灵活性，同时在服务参谋部门集中化，确保管理的可控性和实现规模效应。为了保证“协调控制下的分权运营模式”的实现，首先明确总部必须拥有哪些基本权力：

1.重大决策权：即总部对各个事业部在战略方向、重大战略性项目等重大经营管理问题上的决策权力。

2.合理监控权：即总部对各个事业部合理的监控权，主要体现在财务监控与业务监控（业务监控权，指对业务经营状况的知情权、整体经营业绩的考核权等）。

3.高层人事权：即总部对各个事业部高层管理人员（包括事业部的财务人员）的任免权、奖惩激励权等。

该3种权力不仅是总部所拥有的核心权力，而且是总部所拥有的最底线的权力。在这样的前提条件下，总部对事业部的管理就不会出现失控的问题。同样，为了保证事业部制管理的有效运营，也须从三大核心模块——组织结构、权限划分、控制体系——上清晰界定，这是管理权的组织基础。

组织结构是设计管理模式的基础工作，它不仅是权限实现的载体，而且是控制体系得以顺畅执行的平台；管理模式本质上界定清楚总部与事业部之间的权限划分，因此权限划分是整个管理模式得以成功的保障；控制体系则是管理模式内容的核心。

通过这样界定，各部分可以各司其职，由此保证了组织在裂变过程中的平稳过渡。

时机

组织裂变需要选择恰当的时机，过早则使新单元无法正常开展业务，过迟则影响了企业快速长大，甚至错失发展机遇。一般而言，组织裂变的时机需要观察以下几个指标：

1.领导成员精疲力竭

在企业创业时期，整体上没有强有力的职能部门和组织权威；企业不断扩张后，形成了旗下多企业运营的局面，如果企业仍然沿用以前的单一企业的直线职能式管理方式，必将形成管理方式的错位，导致领导成员精疲力竭。在这样的背景下，组织变革时机比较成熟。

2.管理阶层职责不清

企业在不断扩展过程中，职能部门的也随之增多，但这种自然产生的职能单元缺乏合理规划，集中统筹。所以难免产生职责不清，运行不畅，影响速度和效率的问题。

3.经营规模高速成长

社会化大生产必然改变独立企业的自身形态和独立企业之间的相互关系，使得单体企业走向大型化和股份化。这时单体企业的发展就必须通过组织模式调整得以贯彻。

如果发现企业具有以上特征，则表明企业的组织结构与发展不相符合，必须进行组织裂变。但是，要保证组织变革成功，应具备一定的条件，如公司治理相对稳定、监控流程同步强化等，否则就会导致裂变的失败。

形态

与传统产业完全不同，知识经济时代使环境具有极大的弹性和混沌的特点，因此，组织结构的发展也必然是与之相适应。目前，在新经济领域探索的组织变革方向有：

1.战略联盟：企业组织外部结构重组，是企业之间介于传统的合约关系和紧密的股权关系之间的一种形态。

除了技术互换和共同研发外，战略联盟也是低成本进入国际市场的模式。随着跨国公司全球竞争的加剧，销售网络也成为核心竞争力的关键因素之一。因此，互相提供进入对方销售网络权利的战略联盟，使每一个伙伴都避免了一大笔沉没成本支出。

2.网络组织：企业内部组织结构重组，主要表现在管理结构的扁平化与多元化，组织形式的外部科层化与内部市场化。

3.大森林型组织结构

代数方程论文篇7

众所周知, 对于实系数的一元高次代数方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0, 其中a0≠0, ai∈R (i=0, 1, 2, …, n) , 当n≥3时, 方程无一般的求根公式.数值分析[1]上著名的秦九韶算法、Newton法、劈因子法在处理这类问题时, 总存在着具有尝试性、近似性和运算复杂等不足, 并且无法求出方程的全部根, 计算效果往往难以令人满意.因此, 如何直接求得方程在复数域C上的全部根, 无论在理论分析上还是数值计算上, 至今是一个棘手的问题.这类问题在工程技术特别是控制理论[2]学科中有重要的应用.

本文以矩阵为工具, 将上述一元高次代数方程求根问题转化成求矩阵

$(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n} & b_{n - 1} & b_{n - 2} & \dots & b_{2} & b_{1} \end{matrix})$

的全部特征值问题, 既然矩阵特征值的计算已经有许多成熟的方法[3]可行, 因此这种转化为数值求解一元高次代数方程起到了桥梁的作用, 同时也间接的为一元多项式进行因式分解提供了一种方法.

2 预备知识

引理1 行列式

$| \begin{matrix} x & - 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & x & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n} & b_{n - 1} & \dots & b_{2} & x + b_{1} \end{matrix} |$

的值等于一个关于x的多项式

g (x) =xn+b1xn-1+…+bn-1x+bn.

证明令

$D_{n} = | \begin{matrix} x & - 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & x & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n} & b_{n - 1} & \dots & b_{2} & x + b_{1} \end{matrix} |$

将其按第1列展开计算

$\begin{array}{l} D_{n} = x | \begin{matrix} x & - 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & x & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n - 1} & b_{n - 2} & \dots & b_{2} & x + b_{1} \end{matrix} | \\ + (- 1)^{n + 1} b_{n} (- 1)^{n - 1} \\ = x D_{n - 1} + b_{n} . \\ D_{1} = x + b_{1} ‚ \\ D_{2} = x D_{1} + b_{2} = x^{2} + b_{1} x + b_{2} ‚ \end{array}$

依此类推, 得

Dn=xn+b1xn-1+…+bn-1x+bn=g (x) .

下面给出著名的代数学基本定理:

引理2[4] 一元n次实系数多项式

f (x) =a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an

在复数域C上至多有n个根.

3 问题的转化

首先, 将f (x) 转化成首项系数取1的多项式

g (x) =a $_{0}^{- 1}$ f (x) =xn+b1xn-1+…

+bn-1x+bn,

其中 $b_{i} = \frac{a_{i}}{a_{0}} (i = 1 ‚ 2 ‚ \dots ‚ n) .$

显然, g (x) 与f (x) 在复数域C上同根.

其次, 利用引理1, 将g (x) 用行列式表示

$g (x) = | \begin{matrix} x & - 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & x & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n} & b_{n - 1} & \dots & b_{2} & x + b_{1} \end{matrix} | .$

再次, 由n阶矩阵A特征多项式的表达式

g (x) =|xIn-A|.

通过比较唯一确定

$A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ - b_{n} & - b_{n - 1} & - b_{n - 2} & \dots & - b_{2} & - b_{1} \end{matrix}) .$

既然矩阵A的特征多项式为g (x) , 那么A的特征值就是多项式g (x) 的根.

最后, 利用经典的方法求出矩阵A的全体特征值, 即可得到原多项式f (x) 在复数域C上全部根.

4 例子

例1 求方程f (x) =2x5+3x4-15x3-26x2-27x-9=0在复数域C中的解集.

解f (x) 与 $g (x) = x^{5} + \frac{3}{2} x^{4} - \frac{15}{2} x^{3} - 13 x^{2} - \frac{27}{2} x - \frac{9}{2}$ 同根, 根据本文的方法g (x) 正是矩阵

$A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \frac{9}{2} & \frac{27}{2} & 13 & \frac{15}{2} & - \frac{3}{2} \end{matrix})$

的特征多项式.利用Matlab[5]计算知矩阵A的全体特征值如下:

$\begin{array}{l} x_{1} = 3 ‚ x_{2} = - 3 ‚ x_{3} = - \frac{1}{2} ‚ \\ x_{4} = \frac{1 + \sqrt{3} i}{2} ‚ x_{5} = \frac{1 - \sqrt{3} i}{2} . \end{array}$

从而得到原多项式f (x) 在复数域C中的解集为

${3 ‚ - 3 ‚ - \frac{1}{2} ‚ \frac{1 + \sqrt{3} i}{2} ‚ \frac{1 - \sqrt{3} i}{2}} .$

例2 把多项式f (x) =2x4-x3-13x2-x-5在复数域内分解因式.

解与例1同法, 考虑到矩阵

$A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & \frac{13}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix})$

的特征值为: $x_{1} = 3 ‚ x_{2} = - \frac{5}{2} ‚ x_{3} = i ‚ x_{4} = - i .$

容易得到

$\begin{array}{l} f (x) = 2 x^{4} - x^{3} - 13 x^{2} - x - 5 \\ = 2 (x - 3) (x + \frac{5}{2}) (x + i) (x - i) . \end{array}$

参考文献

[1]李庆扬, 王能超, 易大义.数值分析[M].北京:清华大学出版社, Springer出版社:143-165.

[2]段广仁.线性系统理论[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社, 2004:22-55.

[3]张贤达.矩阵理论与应用[M].北京:清华大学出版社, Springer出版社, 453-513.

[4]刘仲奎, 陈祥恩, 等.高等代数[M].北京:高等教育出版社, 2003, 56-88.

代数方程论文篇8

教学目标

1.使学生在解决实际问题的过程中, 理解并掌握形如ax±b=c方程的解法, 会列上述方程解决两步计算的实际问题。

2.使学生在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中, 经历将现实问题抽象为方程的过程, 进一步体会方程的思想方法及价值。

3.使学生在积极参与数学活动的过程中, 养成独立思考、主动与他人合作交流、自觉检验等习惯。

教学重点:理解并掌握形如ax±b=c方程的解法, 会列方程解决两步计算的实际问题。

教学难点:如何指导学生在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中, 将现实问题抽象为方程。

教学过程

课前谈话导入:同学们, 经调查, 我们班大部分同学的年龄是12岁 (虚岁) , 也可以通过推理推算出来, 7岁入学, 在学校学了五年, 正好是12岁。老师今年是39岁, 师在黑板上板书39和12。下面请同学比较一下老师和你的年龄, 并用一句话把比较的结果说出来, 注意启发引导学生说出:“老师的年龄比我年龄的3倍还多3岁”, “老师的年龄比我年龄的4倍少9岁”。两种说法都可以。接着问, 明年呢?“老师的年龄比我年龄的3倍还多1岁”。

【设计意图】通过学生熟悉的年龄话题引入, 并训练学生对两数大小比较, 为新课分析数量关系作理解铺垫。把抽象的数量关系分析生活化, 利于学生进入学习情境。

一、在现实问题情境中分析数量关系, 列出方程, 探索解方程的方法——教学例1

(一) 在情境中分析数量关系, 提出问题

1.师谈话进入情境:孙悟空跟随师父历尽千辛万苦从西天取来大量经书, 藏在古城西安的大雁塔中。大雁塔和小雁塔是著名的古代建筑。 (出示大雁塔和小雁塔的图片) 这节课, 我们先来研究一个与这两处建筑高度有关的数学问题。 (出示例1的一部分“西安大雁塔的高度比小雁塔高度的2倍少22米”, 暂不出示所求的问题)

2.师让生读出这段文字并提问:谁比谁少22米?让学生明白“大雁塔高度和小雁塔高度的2倍比, 少22米, 可以把小雁塔高度的2倍看做一个整体。”

师进一步启发:这句话清楚地说明了大雁塔和小雁塔高度之间的关系, 请同学们用数量关系式表示出大雁塔和小雁塔高度之间的相等关系。

出示学生可能想到的等量关系式: (1) 小雁塔的高度×2-22=大雁塔的高度; (2) 小雁塔的高度×2=大雁塔的高度+22; (3) 小雁塔的高度×2-大雁塔的高度=22。

3.引导学生观察第一个等量关系式。师:经测量小雁塔高度是43米, 你能利用这个关系式口答出大雁塔的高度吗?学生口答, 师板书:2×43-22=64 (米) 。

【设计意图】运用数量关系直接求出高度, 体会顺向思维。既感受数量关系的价值, 又为下面的逆向思维作出对比准备, 更重要的是让学生在下面列方程时也要像这样顺向思维进行思考。

4.师:如果知道大雁塔的高度是64米, 你能提出什么问题?

生:小雁塔的高度是多少米? (出示“大雁塔高度是64米”和“小雁塔高度是多少米?”把例1补充完整。)

【设计意图】在清楚数量关系的基础上, 学生已经把问题迁移到需要用逆向思维考虑解决的问题上。让学生自己提出问题, 突出解决问题是学生自己的学习需求, 也为他们探索解答作出心理准备。

(二) 根据等量关系布列方程, 同时唤起有关方程的旧知

1.生观察第一个等量关系式, 师提问:在这个等量关系式中, 这时哪个数量是已知的?哪个数量是我们去求的?

追问:让你求小雁塔的高度怎么办呢?我们可以用什么方法来解决这个问题?

生:可以列方程解答。如果学生列出正确的算式进行解答, 师给予肯定, 再引导学生用方程的方法解决问题。

师明确方法, 并提示课题:这样的问题可以列方程来解答。今天我们继续学习列方程解决实际问题。 (板书课题:列方程解决实际问题)

2.师谈话:我们在五年级已经学过列方程解决简单的实际问题, 结合今天我们学习的内容, 谁来说一说列方程解决实际问题一般要经过哪几个步骤?

生能大概说出“写设句、列方程、解方程和检验等即可。

3.让学生先自主尝试设未知数, 并根据第一个等量关系式列出方程。

解:设小雁塔高x米。

2x-22=64

【设计意图】经历由现实问题抽象为方程的过程。在建构数学模型的过程中, 先由情境抽象成数量关系式, 再根据数量关系式列出方程, 实现了学生在逐步抽象的过程中学习数学的方法, 体现了数学的简洁性和学习数学的必要性。

(三) 自主探索解方程的方法, 体会转化的思想

提问:这样的方程, 你以前解过没有?运用以前学过的知识, 你能解出这个方程吗?

交流中明确:首先要应用等式的性质将方程两边同时加上22, 使方程变形为2x=?, 即把用两步计算的方程转化为一步计算, 变新知为旧知, 再用以前学过的方法继续求解。

要求学生接着例题呈现的第一步继续解出这个方程。学生完成后, 组织交流解方程的完整过程, 核对求出的解, 并提示学生进行检验, 最后让学生写出答句。

【设计意图】让学生在自主探索方程解法的过程中, 体会运用转化策略, 把两步转化成一步、复杂转化成简单、新知转化成旧知。

(四) 思考其他方法, 感受解法的多样化

1.提问:还可以怎样列方程?

学生列出方程后, 要求他们在小组内交流各自列出的方程, 并说说列方程的根据, 以及可以怎样解列出的方程。如果学生不能列出其他方程, 师不能作硬性要求。

2.引导小结:刚才我们通过列方程解决了一个实际问题。你能说说列方程解决问题的大致步骤吗?其中哪些环节很重要?

引导学生关注:⑴要根据题目中的信息寻找等量关系, 而且一般要找出最容易发现的等量关系;⑵分清等量关系中的已知量和未知量, 用字母表示未知量并列方程;⑶解出方程后要及时进行检验。 (师板书:找等量关系;用字母表示未知数并列方程;解方程, 检验。)

【设计意图】通过解法的多样化, 使学生明白可以根据自己学习实际和思维习惯分析数量关系, 列方程解决问题, 同时训练学生思维, 拓展学生解决问题的思路。

二、自主尝试列方程解决实际问题, 注意比较例题, 进一步形成解决问题模式——自主合作学习“练一练”

“杭州湾大桥是目前世界上最长的跨海大桥, 全长大约36千米, 比香港青马大桥的16倍还长0.8千米。香港青马大桥全长大约多少千米?”

谈话:我们已经初步掌握列方程解决稍复杂的实际问题的方法和步骤, 下面就请同学们试着解决一个实际问题。做“练一练”。

1.先让学生读题, 并设想解决这一问题的方法和步骤, 然后让学生独立完成。

2.小组合作交流。交流前要出示交流顺序提示:⑴说说找出了怎样的等量关系;⑵根据等量关系列出了怎样的方程;⑶是怎样解列出的方程的;⑷对求出的解有没有检验。

3.最后让学生核对自己的答案, 检查自己的解题过程。

针对学生不同的思路和方法 (包括用算术方法) , 教师在提出主导意见的基础上要予以肯定。

4.启发思考:这个问题与例1有什么相同的地方?有什么不同的地方?提炼出列方程解决稍复杂的实际问题的基本思路和解形如ax±b=c方程的一般方法。

【设计意图】让学生在独自解决问题的过程中学会解决问题, 在探究中学会合作。

三、运用方程策略独立解决实际问题, 牢固形成解决问题模式 (建构牢固的数学模型) ——做“练习一”的第1～5题

谈话:在列方程解决问题的过程中, 有两个方面要引起我们重视, 一个是寻找等量关系, 能用含有字母的式子表示具体数量;另一个就是解方程。下面我们就对这两个方面进行进一步的学习和训练。

1.做“练习一”第1题

“解方程。4x+20=56 1.8+7x=3.9 5x-8.3=10.7”

先让学生说说解这些方程时, 第一步要怎样做, 依据是什么, 然后让学生独立完成。交流反馈时, 要在关注结果是否正确的同时, 了解学生是否进行了检验。 (三个同学到黑板上板演, 其他同学选做一题。)

2.做“练习一”第2题

“在括号里填上含有字母的式子。

(1) 张村果园有桃树x棵, 梨树比桃树的3倍多15棵。梨树有 () 棵。

(2) 王叔叔在鱼池里放养鲫鱼x尾, 放养的鳊鱼比鲫鱼的4倍少80尾。放养鳊鱼 () 尾。

学生独立完成后, 再要求学生说说写出的每个含有字母的式子分别表示哪个数量, 是怎样想到写这样的式子的? (把题目中的多、少改成少、多让学生再表示)

3.做“练习一”第3题

“猎豹是世界上跑得最快的动物, 时速能达到110千米, 比猫最快时速的2倍还多20千米。猫的最快时速是多少千米?”

谈话:同学们, 我们既能准确地找到等量关系, 又能正确解方程, 那么我们就具备了解决实际问题的能力了。就请同学们独立解决一个问题。

学生独立完成后, 指名说说自己的思考过程, 进一步突出要根据题中数量之间的相等关系列方程。

4.课堂作业:做“练习一”的第4题和第5题。

“北京故宫占地大约72公顷, 比天安门广场的2倍少8公顷。天安门广场大约占地多少公顷?”

“世界上最小的鸟是蜂鸟, 最大的鸟是鸵鸟。一个鸵鸟蛋长17.8厘米, 比一只蜂鸟体长的3倍还多1厘米。这只蜂鸟体长多少厘米?”

【设计意图】在巩固训练和应用策略阶段采用先部分后整体的练习步骤, 进一步深化认识, 并在体验中达到知识和技能的内化。

四、总结列方程解决问题的思路、方法, 体会方程的思想和价值——学生拓展设计

1.学生拓展设计

师:请同学们回到课前, 我们师生关于年龄的对话中, 看39岁和12岁, 你能设计一个用今天所学的策略和方法解答的实际问题吗?

师要多听学生的发言, 考虑学生所说数量之间的关系以及提出问题的贴切性并作出评价和概括。

2.今天这节课我们学习了什么内容?你有哪些收获?还有没有疑惑的地方?教师同时总结, 方程是我们解决问题很重要的一个策略, 正确地运用方程, 能帮助我们解决很多实际问题, 尤其是用算术方法不容易解决的一些问题。我相信同学们经过今天的学习, 对方程会有更深的认识, 并在以后的学习和运用中进一步学好和用好方程。

线性代数的一些代数式的改写技巧篇9

在讲授线性代数的过程中, 经常要处理一些代数式, 对于同一个代数式, 它的形式有可能是多样的。教师选择不同的形式, 有可能影响学生的学习效率。实际情况表明, 多数学生对长串的代数式心生畏惧, 写出这样的代数式, 还没有往下处理, 他们就放弃了。这给线性代数的课堂教学提出了要求, 面对一些难处理的代数式, 不能照搬教材, 但又不能脱离教材, 要把握住其中的“度”, 通常就是要理解、认识这些代数式的多张面孔, 即是掌握改写它们的技巧。下面总结了线性代数的一些常见的代数式的改写方法。

二、矩阵乘法的改写技巧

矩阵乘法满足行乘列规则, 通常用行向量乘列向量的方法计算两个矩阵的乘积。设F是一个数域, A∈Fm×n, B∈Fn×p, 且α1, α2, …, αn是A的n个列向量, β1, β2, …, βn

是B的个行向量。则A与B的乘积可以改写成

(1) 式联合下面的引理可得到矩阵转置运算律 (AB) T=BTAT的一个新证明。

三、线性方程组的表示式的改写技巧

线性方程组的理论和方法是学习线性代数的切入点, 学习线性方程组的理论和方法相当于训练线性代数的基本功, 这一基本功过关了, 才能为后继学习提供保障。线性方程组的表现形式有三种, 学习了矩阵乘法之后, 一般的线性方程组表示式:

学习了初等矩阵和矩阵的初等变换的关系后, 可以更深刻地认识线性方程组的初等变换是同解变换。对线性方程组 (2) 施行一次线性方程组的初等变换后所得的线性方程组是 (PA) X=PB, 其中, P是相应的初等变换对应的初等矩阵, 因为初等矩阵可逆, 所以AX=b和 (PA) X=PB同解, 也即线性方程组的初等变换是同解变换, 这是高斯消元法的理论基础。

另外, 如果学习了向量空间Fn, (2) 式又可以改写为

其中, α1, α2, …, αn是A矩阵的N个列向量, 用 (3) 式可以简洁证明线性方程组解的结构相关定理, 快捷地从线性方程组的一般解得到线性方程组的通解。具体操作是在一般解表示式的左边按未知量的先后顺序添加自由未知量, 令自由未知量等于它自己, 等式右边的常数项和带自由未知量的项分别对齐书写, 最后依照 (3) 式将一般解改写成列向量的线性组合表达式即得通解[1]。

例1设A是一个已知的n阶矩阵, I是n阶单位矩阵, Y为一个未知的n阶矩阵。若矩阵方程AY=I有解, 则A满秩。

证明:设A的n个列向量分别为α1, α2, …, αn, I的n个列向量分别为ε1, ε2, …, εn。因为X=I有解, 不妨设其解为C= (cij) , 则有T

由 (3) 式可得

四、两向量组的线性表示式的改写技巧

(4) 式改写成 (5) 式, 体现了{α1, α2, …, αs}和{β1, β2, …, βt}的整体关系, 使用 (5) 和 (6) 式有便利之处。在学习两向量组的等价性、过渡矩阵、坐标变换公式、线性变换等内容时, (5) 和 (6) 起到非常重要的作用, 可以说, 若不能熟练掌握该技巧, 那么在学习这些内容时将会碰到极大的困难。

五、欧氏空间Rn的内积计算的改写技巧

(7) 式可改写为或

可用这一改写技巧简明证明定理“对称矩阵在规范正交基下对应的线性变换是对称变换”[2], 证明过程避免了处理两个求和符号。下面给出证明。

参考文献

[1]彭玉芳, 尹福源.线性代数 (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2005.

代数方程论文篇10

具体通过以下几个例子来分析.

例1求与直线3x+4y-7=0垂直, 且在y轴上的截距为-2的直线.

解法一因为和直线3x+4y-7=0垂直, 所以所求的直线方程是4x-3y+m=0 (其中m是参数) .

因为直线过点 (0, -2) , 将 (0, -2) 代入4x-3y+m=0,

所以直线方程是4x-3y-6=0.

分析此解法先利用垂直的直线系方程设出方程, 再将 (0, -2) 代入, 使这道题变得简单易于理解, 计算量也小.

解法二因为“在y轴上截距为-2”, 所以设直线方程为y=kx-2.

因为所求直线垂直于3x+4y-7=0, 所以得

代入得所求的方程为4x-3y-6=0.

分析此解法从平行的直线系入手, 先得到直线方程为y=kx-2, 再根据垂直条件得到这样做思维简单易于入手.

解法三因为此直线过点 (-2, 0) , 用点斜式设直线方程为y+2=k (x-0) , 即y=kx-2, (斜率k是参数) .

因为直线垂直于直线3x+4y-7=0, 所以

代入得到所求的方程为4x-3y-6=0.

分析此解法先利用过已知点 (-2, 0) 的直线系方程得y+2=k (x-0) , 再根据垂直条件得到此法也是一个不错的选择.

例2求和直线3x+4y+2=0平行, 且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程.

解因为直线平行于直线3x+4y+2=0, 所以设所求直线方程为3x+4y+λ=0 (λ为参数) , 所以在x轴、y轴的截距分别为解得λ=±24.

所求直线l的方程为3x+4y±24=0.

分析此题是用了平行的直线系方程先设出方程, 再根据三角形面积的计算得出参数的值, 从而解决了问题, 此法不但思路清晰, 而且便于计算.

例3对于任意的实数k, 直线 (3k+2) x-ky-2=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是________.

解直线方程可化为k (3x-y) +2x-2=0, 由3x-y=0且2x-2=0得直线恒过定点 (1, 3) , 而点 (1, 3) 在圆上, 所以直线与圆相交或相切.

分析利用过交点的直线系方程可得直线恒过点 (1, 3) , 使这个题目变得简单.

通过上面的例子, 我们可以看出给直线方程引入参数, 可以勾画出满足某些特点的一组直线, 数学上称之为直线系, 利用已知直线系可以使我们理清思维, 简化做题过程, 并能大量地减少计算量.经总结发现直线系常见的有以下几种形式:

(1) 与已知直线Ax+By+C=0平行的直线系方程Ax+By+λ=0 (λ是参数)

(2) 与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程BxAy+λ=0 (λ为参数)

(3) 过已知点P (x0, y0) 的直线系方程y-y0=k (x-x0) 和x=x0 (k为参数)

(4) 斜率为k的直线系方程y=kx+b (b是参数)

(5) 过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2) =0 (λ为参数)

在曲线方程中也有和直线系方程类似的曲线系方程的思想, 我们以圆和双曲线为例来分析.

色彩方程式篇11

仅重1.14kg，有着血色的玫瑰红上盖和银色的金属底盘。最薄18mm，有着镁铝合金坚固的外壳，实现了“刀锋”式的外形，游走在缝隙与空隙之间。它的轻、它的薄和它那极度诱惑的红，使得三星Q40非同一般，它成为时尚圈的新宠，是所有追求色彩与简约人士的最爱。它不拘泥于单调，每一点细节都让人叹为观止。它是“家族”级产品，早在几年前，三星Q30就造就了“家族”的辉煌。只能这么说，如今摆在我们面前的三星Q40，拥有难以琢磨的气质，时而乐观活跃，时而兴奋热情，时而性感刺激，使它犹如天生丽质的尤物，诱惑你的眼，诱惑你的心。

迷情魅惑

优点：轻薄时尚，红色的顶盖散发着女性的柔美

缺点：配置相对较低，光驱采用外置设计

殷红绚彩

我们已经不是第一次报道三星Q40了，实在是因为它的外形太过华丽，其表面采用了最新的烤漆工艺，使它的红艳而不腻，与法拉利的红色跑车相映成趣。如果你是男士，希望能拥有它，但又羞于红色，希望回归阳刚，那么同样有一款银色顶盖的三星Q40供你选择。它同样轻，同样薄，但是与红色的款式相比，就有些黯然失色了。

如果你是一位对性能和功能要求苛刻的用户，我们只能遗憾地告诉你，三星Q40不适合你。它没有其他笔记本电脑那些花哨的功能，而是回归简单，追求极简的设计。或许对于设计师而言，这也是无奈之举，因为18mm的厚度除了主板，实在放不下其他配件，就连光驱也采用了外置式设计。在如今超轻薄笔记本电脑中，这样的设计的确是有点落伍了，但却“歪打正着”地造就了新的亮点——一款与三星Q40造型相得益彰的超轻薄红色光驱。它是主机的完美拍档，两个产品的组合让人一见钟情。

值得称道的是，在机身的转轴处，设计师巧妙地将电源开关按钮设计在此，这样会让整个机身看起来更简洁清爽。一旦合上屏幕，电源开关按钮会自动被锁定，有效地防止用户在移动时误开机。一旦打开电源，开关便会发出蓝色幽光，甚至还有一定的立体感，但看上去会有些刺眼。

轻薄之间

工娱两相宜，这句话用在三星Q40上并不过分。它能尽力为你提供工作上所需的所有帮助，12.1英寸宽屏幕极大地扩展了可视角度。USB 2.0、VGA接口、网卡、PC卡和读卡器接口等样样俱全，一台超轻薄笔记本能做到这份儿上，你还想要什么？其配备三芯电池，电池巡航时间长达3.5小时，如果采用双倍6芯电池，那么电池的使用时间甚至能长达10小时，这样在繁忙的一天中，你甚至不需要再携带笨重的电源适配器了。此外，虽然三星Q40的机身相对来说较坚固，但是我们不得不强调，在川流不息的人群中，请注意保护你的机器。

论娱乐，它时尚的造型本身就是一件娱乐品，带着它出入任何公众场合，都会吸引众人的目光。升级后的它，在性能上更胜一筹，无论是娱乐还是工作，都能给你提供尽可能多的帮助。其采用Intel Core Solo U1400处理器，主频为1.2GHz，由于该处理器为超低电压版，所以散热量也相对较小，为此，设计师破天荒地对它采用了无风扇设计，使用户在使用时免受噪音的干扰。其采用集成Intel GMA950显卡，显存最大支持256MB，对于这么小巧轻薄的机器而言足够了。

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SONY VAIO TX

严格地说，它应该算是橙色而并非红色，因为颜色相近，所以我们选择了它，此外这也说明现在的纯红色笔记本的确是凤毛麟角。它的屏幕是真正16∶9的1366×768分辨率宽屏幕，屏幕采用White LED背光金属，实现了真正的薄如刀锋，不用打磨就可以轻松把豆腐切成两半。它带有指纹识别系统和硬盘保护，比起弱不禁风的三星Q40来说，用起来要踏实很多。

联想天逸 F20

近年来少有的红色笔记本。它是联想近年来最出色的产品之一，它轻薄、美观，且大方，前不久还推出了限量可口可乐版。它的设计获得了多项国外设计大奖，重量也不过1.4kg。吸引人眼球的红色天梭键使得娱乐生活更加惬意，最重要的是，它的价格并不贵。

粉酷时尚

粉色是温柔的，是性感的；数码是冰冷的，是死板的。你有没有想过，当粉色入侵数码，会是怎样的结果？细数市面上的数码产品，不乏一些粉色之作：索尼的PSP游戏机、任天堂的NDLS游戏机、富士的FinePix Z3……女人由此自豪地高呼：“粉色只属于我们！”现如今，粉色与ASUS S6F笔记本电脑亲密接触。ASUS的设计师用最精纯的手工工艺将独特金贵的皮革材料与冰冷的金属表面完美地贴合在一起，造就了非比寻常的ASUS S6F粉色皮革版。

优点：高雅奢侈，粉色的皮革配上皮革质感的鼠标，绝对是一道亮丽的风景

缺点：由于限量版的原因，价格相对昂贵，机身稍厚

粉时尚

任何事物的出现并非偶然，一向深谋远虑的ASUS早在一年多前就有了推出皮革笔记本的想法，并立即让设计团队付诸于实际。设计皮革笔记本的最初想法来源于欧洲的复古风潮，从一些经典的皮具奢侈品中发掘出设计的灵感，ASUS的设计团队敏锐地察觉到科技产品下一轮的潮流便在此。虽然早在几年前，其他厂商就有类似的产品发布，但是由于在设计和做工上并未完全体现出皮革制品的内涵，所以也只是“来也匆匆，去也匆匆”，并未掀起多大的波澜。随着棕色、黄色等皮革S6F的相继发布，2007年伊始，一款粉色的ASUS S6F笔记本也在圣诞节里随着圣诞老人的降临来到了人间。

粉色ASUS S6F珍贵是因为它稀少，全国限量100台足以证明这一切。有人会问它还是笔记本电脑吗？当然是，而且是全球第一款真皮笔记本电脑。它的制作工艺复杂，一头牛身上只能选出制作十台机器的纯牛皮原料，一张牛皮包裹在S6F皮革版的顶盖和腕托处，看似简单的设计，实则内藏玄机。

时尚也实用

有些人总喜欢把时尚的产品冠以“花瓶”的恶名，但对于我们面前的这台S6F粉色皮革版而言并不适合。除了设计独特的时尚造型，它外在的设计和内在的功能令我们不由得夸奖它的表里如一。由于机身小巧，因此，S6F粉色皮革版没有足够的空间设计多余按键，于是，设计师巧妙地把电源开关、指示灯和PowerGear＋按键设计在屏幕的转轴上。

此外，还有一点设计值得我们注意，那就是它类似苹果笔记本的单鼠标按键的设计。事实并非如我们所见，其所采用的双压力区的设计只是取消了左右按键的过渡，我们依然可以把它当做左右键来使用。

别看S6F皮革版的外形弱不禁风，其内在性能与其他同类甚至更大的机型比也毫不示弱。其采用最高Intel Core Duo 1.66GHz双核心处理器、512MB内存和最高120GB硬盘，虽然显卡为主板集成式设计，但是对于散热空间较小的S6F皮革版而言，也未免不是件好事。据悉日后很有可能会推出采用独立nVIDIA显卡的版本，届时相信它会受到更多用户的青睐。

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三星Q40

又是它，没错。除了我们刚才介绍的红色款式外，三星还将在海外发布一款身披粉色外衣的三星Q40。它和红色版在内在配置和设计上完全一样，惟一不同的就是颜色。随着2007年粉色在数码时尚圈日益火爆，相信还会有更多粉色的数码产品面世，值得让可爱的小女生期待一下。

SONY VAIO C系列

粉色SONY VAIO C是该系列五款产品中颜色最受女性欢迎的一款，此外还有黑色、银色、白色、绿色，五种亮丽的颜色，组成了一组夺人眼球的风景线。其采用时下流行的13.3英寸屏幕设计，既拥有了更宽广的视野，又兼备了12英寸笔记本的轻薄便携。更重要的是，多彩的颜色才能衬托出时下年轻人活力四射的性格。

“芯”苹果

你想要的所有东西，都在这里被完美地融为一体，一切只能用“酷”来形容，最酷的外形、最酷的配置、最酷的刻录机，还有最酷的功能。Apple到底用了什么魔法把这些东西压进这个扁扁的白色盒子中，答案只有用过才知道。一旦拥有了它，你不用再厌恶地面对死板的电脑和恶梦般的Windows菜单，因此，那些喜欢简单舒适的LOHAS派们都欣喜地来拥抱它。说了半天，它到底是什么？它是Apple MacBook，Apple最炙手可热的产品。在保留了原有iBook系列核心元素的基础上，MacBook变得更修长，且富有线条，可爱的白色小家伙现在很是夺人眼球。

优点：设计简约时尚，价格合理，是初级苹果爱好者的最佳选择

缺点：对于未曾使用过Mac OS系统的用户而言，系统的使用将是个问题

性能便携两不误

13英寸宽屏幕领域几乎是全世界笔记本市场上竞争最惨烈的，而Apple MacBook的参与，又使得这场“战争”变得更加残酷和激烈。虽然MacBook并非第一款13英寸笔记本电脑，但是Apple吸取了其他厂商的设计经验，使得它的设计更加成熟。介于12英寸和14英寸间的13.3英寸屏幕曾经被视为极度尴尬的尺寸，而事实否定了这一切。13英寸笔记本一经上市，便受到了消费者的一致青睐。采用该尺寸的MacBook既拥有12英寸笔记本的轻薄（MacBook为2.36kg），又拥有14英寸产品的性能，并且13.3英寸屏幕（1280×800）比普通14英寸（1024×768）屏幕可以显示更大的面积，而MacBook的镜面屏幕又很好地解决了以前iBook在阳光直射的情况下无法正常观看的问题。

你是否曾经遇到过这样的情景：一个箭步不小心趟过电源线，导致电脑坠地。MacBook新的MagSafe接口有效地避免了悲惨一幕的发生，它采用磁性接口的设计，通过磁性将电源接口和主机接口紧密贴合。在光线昏暗的情况下，你不需苦苦摸索电源接口的位置，只要距离接近，带有磁性的接头便会自动贴合上去。而且这种可随时脱离的接口设计，帮助所有MacBook笔记本的使用者免除了因不小心绊到电源线而令整个电脑坠落地面的危险。

细节决定成败

细节决定成败，一个产品的设计是否出色，细节设计起到了至关重要的作用。Apple的产品之所以成功，很大程度上是因为他们看重细节。MacBook内置了130万像素iSight摄像头，虽然目前内置摄像头的笔记本比比皆是，但是Apple巧妙地设计了名为Photo Booth的娱乐软件，它提供了多种特效滤镜，点击拍摄，屏幕闪了一下白光后，一张效果丰富的照片便呈现在你面前。比起其他厂商的同类产品，虽然MacBook算不上是最出色的，但绝对算是最能吸引人的，我们还从来没见过有哪家的产品能让人长久停留在摄像头面前嘻嘻哈哈，乐此不疲。

除了外形的改进，内在配置的升级也不容忽视。新的MacBook已经从最开始的Core Duo处理器升级到了Core 2 Duo处理器，支持64位软件，在性能上有了更大幅度的提升。并且新的构架同样允许你安装Windows XP操作系统，这样对于不习惯使用Mac OS系统的用户来说，也可以先通过Windows系统进行过渡。

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SONY VAIO N系列

VAIO N系列秉承了索尼设计元素中最为质朴却能打动人心的东方美学元素，把“极简主义”这一建筑学理念用在了自己的产品中。VAIO N的外形回归了简单、朴实的状态，仔细观看，会发现它与Apple早期的产品有类似的地方。VAIO N的设计代表了一种生活方式，干净利落中，有风格上的统一，有色调上的和谐。

BenQ

JoyBook S31

它拥有纯洁无瑕的外形，身着雪白的公主衣，人们习惯爱称它为“公主机”。“公主”有很多吸引人的地方，它是一台很漂亮的机器，有着漂亮的珍珠白外壳，13英寸的宽屏幕，轻薄便携与时尚兼具，既娱乐，又商务，功能上也绝对适合任何家庭使用。

男人皮革和咖啡

一位男士坐在那里，用手端起一杯咖啡，他在看着什么？仔细看看，喔，是一台笔记本电脑，或者再准确一些，是一部皮革笔记本电脑。男人、皮革、咖啡，三者之间是不是有某种内在的联系？我们不得而知，但是可以肯定的是，男人对科技与皮革的追求，绝对不亚于女人对服装的依赖。男人对科技产品情有独钟，而复古又让皮革再现，两者的结合造就了联想天逸F30皮革版。它的出现不是偶然，而是必然。它是今年科技产品的流行方向，它使得成熟男人终于有了符合身份的产品。

优点：黑色的皮革表面, 沉稳成熟，适合男士使用，天梭键的设计让娱乐更简单

缺点：机身的发热量稍大

成熟的皮革

如果现在一提到商务笔记本，你还只会想到ThinkPad的话，那么我们只能很遗憾地说，你孤陋寡闻了。十几年前，ThinkPad开创了商务笔记本电脑的新纪元，而如今，该领域已经被后起之秀发扬光大，而联想正是其中之一。联想天逸F30同样是一款13.3英寸的产品，兼顾了便携与屏幕的视野，最大限度地提升了它的使用舒适度。而在设计上最吸引人眼球的就要算是顶盖上的皮革表面了。相对于ASUS S6F的皮革顶盖而言，联想天逸F30的皮革材料要细腻很多，如果不是近距离观看或者触摸，我们很难分辨出它的真实材质。纹理细腻的皮革表面给联想天逸F30平添了几分稳重和高贵，由于是黑色的皮革材料，所以我们不用太过担心清洁问题，一旦发现有污染，只要拿干净的湿毛巾擦拭一下即可，相当方便。

工娱两相宜

翻开屏幕，我们见到了熟悉的红色天梭键，它被称为联想天逸笔记本最明显的设计特色。其外形类似贝壳，以红色作为点缀，翻开屏幕后会第一时间抓住使用者的视线。按下红色的圆形按钮即可进入Shuttle Center多媒体中心，通过该平台，我们可以方便地浏览图片，播放和刻录影片。其实这些功能与其他同类产品相近，并没有独特的功能设计。此外，通过红色天梭键上的“<”和“>”按钮，我们可以很轻松地调整音量。

此外，值得称道的是，联想天逸F30的人脸识别功能对于喜欢视频聊天或者喜欢玩视频vlog的人来说太适合了。内置130万像素摄像头可以根据你的面部移动随时跟踪确认，使你的脸永远保持在屏幕的中间位置，保证不会错过你的任何一个经典表情。

实用的接口

配置方面，联想天逸F30的某些配置值得一提。其机身前端采用吸入式光驱设计，这种光驱能有效地保护光头不被侵犯，同时也能很好地防止灰尘侵入。机身的左右两侧集中了大部分的接口，USB 2.0只有三个，这一点略显不够人性化，要知道在数码设备广泛普及的今天，连四个USB接口都已经是勉强应付了。此外，它的网卡和Modem接口被隐藏在一个小仓里面，平时有一个盖子盖着。

同类佳作

NEC VERSA E62

尊贵、典雅、雍容、华贵，这些词用来形容NEC VERSA E62系列毫不为过。它的外形与联想天逸F30皮革版同样精彩，且非常相似。黑色的皮革表面尽显雍容和风度，经过特殊处理的皮革表面，更加耐磨、防尘、防污、防腐蚀，让魅力永不打折。

Lenovo ThinkPad T60

代数方程论文篇12

高中阶段会遇到一些简单的指数方程和对数方程, 教材对这类方程的解法并不展开, 问题主要设置在这类简单的超越方程的解的个数、解的近似值以及已知解的情况求参数的取值范围等方面.这类问题的解决往往可以把方程、函数、曲线三者非常密切的联系到一起, 其中蕴涵着丰富的数学思想、方法和数学美学价值, 同时这类问题的解决过程也易于用计算机或图形计算器加以演示, 运用恰当的方法进行求解, 不仅可以扩大学生知识视野, 丰富学生的数学解题思想和方法, 而且有助于培养学生数学知识的应用意识.本文就简单的指数方程和对数方程的根的相关问题的解法做以探究.

一、运用函数思想, 将方程问题转化为函数问题, 利用函数图象的交点和函数的相关性质 (定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等) 加以解决, 解题过程中主要运用数形结合思想和分类讨论思想.

1.图像法

例1 关于x的方程ax+1=-x2+2x+2a (a>0, a≠1) 的解的个数为 ( )

(A) 1个 (B) 2个

思路分析:将已知方程转化为方程组:

${\begin{cases} y = a^{x} \\ y = - x^{2} + 2 x + 2 a - 1 \end{cases}$

的解的问题, 通过对参数a的分类讨论, 分别作出函数y=ax与y=- (x-1) 2+2a的图像, 如图1所示:

因为x=1时, y1=a, y2=2a, a<2a.所以选 (B) .

例2 k为何值时, 关于x的方程|3x-1|=k无解, 一解, 二解?

思路分析:作出函数y=|3x-1|的图像如图2所示, 结合图像可知, 当k∈ (-∞, 0) 时, 方程|3x-1|=k无解;当k∈[1, +∞) 或 k=0时, 方程|3x-1|=k恰有一解;当k∈ (0, 1) 时, 方程|3x-1|=k恰有二解.

用图象法求解方程解的个数问题较多, 一般解法是将方程转化为两个基本初等函数, 从而将方程根的问题转化为方程组的解的问题, 进而通过两条曲线的交点情况作出结论.其中确定两个基本函数是解题的关键, 一般情况下是使两个函数均为基本初等函数或与基本初等函数有关.如方程2|x|+x=2可化为两个函数y=2|x|和y=2-x, 若直接设则难以求解.

例3 已知方程2x-1+2x2-a=0有两解, 则a的取值范围是__.

思路分析:将方程有两解转化为曲线y=2x-1和y=-2x2+a有两个交点, 由图3可知, 前者经过 $(0 ‚ \frac{1}{2})$ , 而后者经过 (0, a) , 曲线有两个交点应满足 $a \in (\frac{1}{2}, + \infty) .$

类似地, 以下方程①sinx=lg|x|; $② a^{x} = \log_{\frac{1}{a}} x (a > 0$ 且a≠1) ; $③ \log_{2} (x + 2) = \sqrt{- x}$ ;④a-x=logax (a>0且a≠1) ;⑤2x=x2等解的个数问题也适宜用图像法求解 (解的个数分别为六解、一解、一解、一解、三解) .

2.单调性法

将方程转化为左边为一个单调函数, 右边为一个常数的形式, 通过利用函数的单调性确定函数的值域, 进而确定方程的解的个数.

例4 方程3x+4x=5x的解为 ( )

(A) 有且只有2

(B) 有2还有其他解

(D) 有2和一负根

思路分析:由于5x>0, 则原方程可化为 $(\frac{3}{5})^{x} + (\frac{4}{5})^{x} = 1$ , 易知函数 $f (x) = (\frac{3}{5})^{x} + (\frac{4}{5})^{x}$ 在R上是减函数, 而且y∈ (0, +∞) , 由于函数 $f (x) = (\frac{3}{5}) + (\frac{4}{5})^{x}$ 为单调函数, 因而y=1时, 相应的x有唯一解, 故选 (A) , 如图4所示.

又如方程x2+lnx=a解的情况, 可知x∈ (0, +∞) , 此时函数y=x2+lnx为单调增函数, 且其值域为R, 无论a取任何值, 原方程均有唯一正数解, 当然此方程也适合用方法一求解.

3.导数法

例5 ax=logax (a>1) 的解的个数为 ( )

(A) 0 (B) 2

思路分析:方程有两解和无解的情况学生易于理解, 但多数对一解的情形持怀疑态度, 我们不妨利用导数求出曲线y=ax与y=logax (a>1) 相切时交点的坐标.

设两曲线的交点为M (x0, y0) , 由于两函数互为反函数, 可知x0=y0, 又函数y=ax在M点的导数y'|x=x0=ax0lna, 函数y=logax在点M的导数 $y' |_{x = x_{0}} = \frac{1}{x_{0} l n a}$ , 二曲线相切时, 有 $a^{x_{0}} \ln a = \frac{1}{x_{0} l n a} = 1$ , 则得 $x_{0} = \log_{a} \frac{1}{l n a} = \frac{1}{l n a}$ , 从而 $\log_{a} e = e, a = e^{\frac{1}{e}}$ .所以x0=e, 交点M (e, e) , 此时两函数分别为 $y = e^{\frac{x}{e}}$ 和y=elnx, 如图5所示.

即当 $a = e^{\frac{1}{e}}$ 时, y=ax与y=logax有唯一交点M (e, e) , 此时方程ax=logax (a>1) 有唯一解, 结合函数图像可知, 当 $a \in (1, e^{\frac{1}{e}})$ 时方程有两解, 当 $a \in (e^{\frac{1}{e}}, + \infty)$ 时方程无解, 故选 (D) .

利用导数的几何意义, 结合函数图象的变化趋势, 以方程有唯一解为界限, 确定方程无解及多解的条件.运用导数知识求解, 可以使学生不仅从直观图象认识方程的解的情况, 更重要的是使学生增强理性认识, 提高学生运用知识解决问题的能力, 培养应用意识.

4.反函数法

利用互为反函数的图象关于直线y=x的对称关系, 求解指数方程和对数方程的相关问题.

例6 已知α是方程x+lgx=3的根, β是方程x+10x=3的根, 则α+β=__.

思想分析:构造三个函数y=lgx、y=10x、y=3-x, 分别作出它们的图像如图6, 知点M (α, 3-α) 为曲线y=lgx与y=3-x的交点, 点M' (β, 3-β) 为曲线y=10x与y=3-x的交点, 由y=lgx与y=10x互为反函数, 二者图像关于直线y=x对称, 又直线y=3-x与y=x互相垂直, 因此点M (α, 3-α) 与M' (β, 3-β) 关于直线y=x对称, 故3-α=β, 即α+β=3.

二、运用化归思想, 通过换元将指数方程和对数方程转化有理方程的相关问题加以解决.

例7 若关于x的方程lg2x+ (lg2+lg3) lgx+lg2lg3=0的两根x1, x2, 则x1x2的值为__.

思路分析:令lgx=t, 则原方程化为t2+ (lg2+lg3) t+lg2lg3=0, 解得t1=-lg2, t2=-lg3, 进而求出 $x_{1} = \frac{1}{2}, x_{2} = \frac{1}{3}$ (或t1+t2=-lg6=lg (x1x2) ) , 因而得: $x_{1} x_{2} = \frac{1}{6} .$

换元法适合于出现关于ax或logax 二次三项式或可化为此形式的指数方程或对数方程, 但须注意检验有理方程的根是否使ax或logax有意义.

又如解方程:lg9x+logx23=1化简得, $\frac{1}{2} \log_{3} x + \frac{1}{2} \lg_{x} 3 = 1$ , 令lg3x=t, 则 $\lg_{x} 3 = \frac{1}{t}$ , 原方程化为: $\frac{1}{2} t + \frac{1}{2 t} = 1$ , 解得t=1, 则x=3.