概念代数（共6篇）
概念代数 篇1
一、幂的运算
本章核心内容是幂的运算性质, 运用幂的运算性质进行运算是一般到特殊的过程, 学生要能正确进行计算, 能“以理驭算”, 为后续整式乘法的学习做铺垫.
【内容】对于任意底数a, b, 当m, n为正整数时, 有
am·an=am+n (同底数幂相乘, 底数不变, 指数相加)
(am) n=amn (幂的乘方, 底数不变, 指数相乘)
(ab) n=anan (积的乘方, 把积的每一个因式乘方, 再把所得的幂相乘)
am÷an=am-n (同底数幂相除, 底数不变, 指数相减)
a0=1 (a≠0) (任何不等于0的数的0次幂等于1)
a-n=1/an (a≠0) (任何不等于0 的数的-n次幂等于这个数的n次幂的倒数)
【举例】教材第1节中, 计算“地球与太阳之间的距离”;第2节中, 解决“100个104相乘黑板上写不下”的问题;第3节中“我国人均水资源量”的问题, 通过这些问题引导学生感受生活中处处有数学, 帮助学生更好地感受数学的本质.
二、整式乘法与因式分解
本章核心内容为整式乘法与因式分解, 其中整式乘法中包含:单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的基本法则及完全平方公式和平方差公式的运用.
【内容】1. 单项式与单项式相乘, 把它们的系数、相同字母分别相乘, 只在一个单项式里含有的字母, 则连同它的指数作为积的一个因式.如:ac5bc2= (a·b) · (c5·c2) =abc5+2=abc7.
2. 单项式与多项式相乘, 就是用单项式去乘多项式的每一项, 再把所得的积相加, 书中用不同方法计算长 (b+c+d) 、宽a的长方形的面积得到a (b+c+d) =ab+ac+ad.
【说明】计算过程中要不重不漏, 按照顺序, 注意常数项、负号, 理解单项式与多项式相乘的本质是乘法分配律.
3. 多项式与多项式相乘, 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项, 再把所得的积相乘, 例如: (a+b) (m+n) =am+an+bm+bn.
4. 乘法公式:
(1) 平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积, 等于这两个数的平方差.
字母表示: (a+b) (a-b) =a2-b2.
(2) 完全平方公式:两数和[或差]的平方, 等于它们的平方和加[或减]它们积的2倍.
(a±b) 2=a2±2ab+b2.
5. 因式分解:把一个多项式化成几个整式积的形式, 也叫作把这个多项式分解因式.
【解读】
(1) 提公因式法. 关键:找出公因式.
公因式三部分: (1) 系数 (数字) ———各项系数最大公约数; (2) 字母———各项含有的相同字母; (3) 指数———相同字母的最低次数.步骤:第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意, 提取完公因式后, 另一个因式的项数与原多项式的项数一致, 这一点可用来检验是否漏项.
【说明】注意: (1) 提取公因式后各因式应该是最简形式, 即分解到“底”; (2) 如果多项式的第一项的系数是负的, 一般要提出“-”号, 使括号内的第一项的系数是正的.
(2) 公式法. (1) a2-b2= (a+b) (a-b) , 其中a、b可以是数也可是式子; (2) a2±2ab+b2= (a±b) 2.
因式分解三要素: (1) 分解对象是多项式, 分解结果必须是积的形式, 且积的因式必须是整式; (2) 因式分解必须是恒等变形; (3) 因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.
三、二元一次方程组
本章核心概念有:二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解.概念简单, 但方程是中学数学的一项重要内容, 也是解决问题的重要工具, 因此熟练掌握二元一次方程组尤为重要.
【内容】1. 含有两个未知数, 并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程.
【解读】既要看原始形式, 又要看它的最终形式.
【举例】x+y-1=2x.
2. 含有两个未知数的两个一次方程所组成的方程组叫作二元一次方程组.
3. 二元一次方程组中两个方程的公共解叫作二元一次方程组的解.
4. (1) 代入消元法:把二元一次方程中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来, 再代入另一个方程, 实现消元, 进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫作代入消元法, 简称代入法.
(2) 加减消元法:当方程组中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时, 把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数, 从而将二元一次方程化为一元一次方程, 最后求得方程组的解, 这种解方程组的方法叫作加减消元法, 简称加减法.
四、一元一次不等式
本章核心概念有:不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式、不等式的性质, 生活中处处都有量与量之间的不等关系, 不等式是刻画现实世界不等关系的有效模型.
【内容】
知识点一:不等式的概念
1. 不等式:
用“<” (或“≤”) , “>” (或“≥”) 等不等号表示大小关系的式子, 叫作不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
【解读】 (1) 不等号的类型:
(1) “≠”读作“不等于”, 它说明两个量之间的关系是不等的, 但不能明确两个量哪个大哪个小;
(2) 要正确用不等式表示两个量的不等关系, 就要正确理解“非负数”“、非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义.
2. 不等式的解:
能使不等式成立的未知数的值, 叫作不等式的解.
【解读】由不等式的解的定义可以知道, 当对不等式中的未知数取一个数, 若该数使不等式成立, 则这个数就是不等式的一个解, 我们可以和方程的解进行对比理解, 一般地, 要判断一个数是否为不等式的解, 可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断.
3. 不等式的解集:
一般地, 一个含有未知数的不等式的所有解, 组成这个不等式的解集.求不等式的解集的过程叫作解不等式.如:不等式x-4<1的解集是x<5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围, 是所有解的集合, 而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解, 所有的解组成了解集.
【解读】不等式的解集必须符合两个条件:
(1) 解集中的每一个数值都能使不等式成立;
(2) 能够使不等式成立的所有的数值都在解集中.
知识点二:不等式的基本性质
基本性质1:不等式的两边都加上 (或减去) 同一个整式, 不等号的方向不变;
符号语言表示为:如果a>b, 那么a+c>b+c, a-c>b-c;
基本性质2:不等式的两边都乘上 (或除以) 同一个正数, 不等号的方向不变;
符号语言表示为:如果a>b, 并且c>0, 那么ac>bc (或
基本性质3:不等式的两边都乘上 (或除以) 同一个负数, 不等号的方向改变.
符号语言表示为:如果a>b, 并且c<0, 那么ac<bc (或
【解读】 (1) 不等式的基本性质1的学习与等式的性质的学习类似, 可对比等式的性质掌握;
(2) 要理解不等式的基本性质1中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数, 还有相同的单项式或多项式;
(3) “不等号的方向不变”, 指的是如果原来是“>”, 那么变化后仍是“>”;如果原来是“≤”, 那么变化后仍是“≤”;“不等号的方向改变”指的是如果原来是“>”, 那么变化后将成为“<”;如果原来是“≤”, 那么变化后将成为“≥”;
(4) 运用不等式的性质对不等式进行变形时, 要特别注意性质3, 在乘 (除) 同一个数时, 必须先弄清这个数是正数还是负数, 如果是负数, 要记住不等号的方向一定要改变.
知识点三:一元一次不等式的概念
只含有一个未知数, 且含未知数的式子都是整式, 未知数的次数是1, 系数不为0.这样的不等式, 叫作一元一次不等式.
【解读】 (1) 一元一次不等式的概念可以从以下几方面理解:
(1) 左右两边都是整式 (单项式或多项式) , (2) 只含有一个未知数, (3) 未知数的最高次数为1;
(2) 一元一次不等式和一元一次方程可以对比理解.
相同点:二者都是只含有一个未知数, 未知数的最高次数都是1, 左右两边都是整式;
不同点:一元一次不等式表示不等关系 (用“>”“<”“≥”“≤”连接) , 一元一次方程表示相等关系 (用“=”连接) .
知识点四:一元一次不等式的解法
1.解不等式:
求不等式解的过程叫作解不等式.
2.一元一次不等式的解法:
与一元一次方程的解法类似, 其根据是不等式的基本性质, 解一元一次不等式的一般步骤为: (1) 去分母; (2) 去括号; (3) 移项; (4) 合并同类项; (5) 系数化为1.
【解读】 (1) 在解一元一次不等式时, 每个步骤并不一定都要用到, 可根据具体问题灵活运用.
(2) 解不等式应注意: (1) 去分母时, 每一项都要乘同一个数, 尤其不要漏乘常数项; (2) 移项时不要忘记变号; (3) 去括号时, 若括号前面是负号, 括号里的每一项都要变号; (4) 在不等式两边都乘 (或除以) 同一个负数时, 不等号的方向要改变.
3. 不等式的解集在数轴上表示:
在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来, 能形象地说明不等式有无限多个解, 它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助.
【解读】在用数轴表示不等式的解集时, 要确定边界和方向:
(1) 边界:有等号的是实心圆圈, 无等号的是空心圆圈; (2) 方向:大向右, 小向左.
【说明】1. 不等式的基本性质是解不等式的主要依据 (性质2、3要倍加小心) .
2. 检验一个数值是不是已知不等式的解, 只要把这个数代入不等式, 然后判断不等式是否成立, 若成立, 就是不等式的解, 若不成立, 则就不是不等式的解.
3. 解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式变形, 最终目的是将原不等式变为x>a或x<a的形式, 其一般步骤是: (1) 去分母; (2) 去括号; (3) 移项; (4) 合并同类项; (5) 化未知数的系数为1.这五个步骤根据具体题目, 适当选用, 合理安排顺序.但要注意, 去分母或化未知数的系数为1时, 在不等式两边同乘 (或除以) 同一个非零数时, 如果是个正数, 不等号方向不变, 如果是个负数, 不等号方向改变.
4. 将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来, 是数学中数形结合思想的重要体现, 要注意的是“三定”:一是定边界点, 二是定方向, 三是定空实.
5. 用一元一次不等式解答实际问题, 关键在于寻找问题中的不等关系, 从而列出不等式并求出不等式的解集, 最后解决实际问题.
概念代数 篇2
聆听了小学数学《“数与代数”领域相关概念，目标与核心概念》这门课使我懂得了：数与代数部分是小学数学课程的重要内容。在小学数学学习中占的比例是最大的，更重要的是这部分学习内容是整个数学学习和学习其他的学科的基础，可以说它是学习数学的主线。对于课程的10大核心问题，我对“符号意识”有了初步的认识和领悟
所谓符号就是针对具体事物对象而抽象概括出来的一种简略的记号或代号。数字、字母、图形、关系式等等构成了数学的符号系统。教学中，教师要关注学生已有的符号经验，将数学教学设计成看得见、摸得着的物质化实践活动。
如教学“找规律”时，课件出示：路边这排树有什么规律？生：是按照紫色、绿色、紫色、绿色……这样的规律排列的。师：我们能不能想办法把这排小树的规律表示出来呢？这样，老师给了学生自主探索、实现自我的空间，他们有的摆，有的画，有的用数字表示，有的用拼音代替（生1：△□△□△□……；生2：●○●○●○……；生3：□■□■□■……；生4：121212……）多么富有个性的创造！这正是已有的符号观念在起作用，他们惊喜地发现自己也是一个“研究者、探索者、发现者”，体会符号给数学学习带来的无限乐趣。
再例如我们用符号表示运算律、计算公式和数量关系： 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再同第三个数相加；或者先把后两个数相加，再同第一个数相加，它们的和不变。用字母表示：（a＋b）＋c=a＋（b＋c）
由此看出，用字母表示运算定律比用文字叙述运算定律更简明、易记，也便于学生灵活运用
概念代数 篇3
数学概念的内涵非常丰富。有些概念处于核心位置，其他概念或由它生成，或与它有密切的联系；有些概念相互关联、前后承接，需要彼此比较和辨析；有些概念也并不仅仅用文字表征，图形、符号、模型等都可能更贴近本质。概念的教学如果只靠讲授和练习，很容易使学生“依葫芦画瓢”、思维僵化。
在课题研究过程中，我们发现学生对概念的掌握，主要是通过概念形成和概念同化这两个基本途径来建构。需要指出的是：这两种概念形成过程是根据数学概念自身特点进行合理运用的，但概念形成和概念同化都需要内部和外部两方面的条件，具体见下表。
[概念形成和概念同化的基本过程＼&＼&概念形成＼&概念同化＼&基
本
过
程＼&①感知具体对象阶段；
②尝试建立表象阶段；
③抽象本质属性阶段；
④符号表征阶段；
⑤概念的运用介绍。＼&①唤起认知结构中的相关概念；
②进一步抽象形成新概念；
③分离新概念的关键属性。＼&内部
条件＼&学生积极地对概念的正反例证进行辨析。＼&学生具备有意义的意向和相应的认识结构。＼&外部
条件＼&教师必须对学生提出的概念的本质属性作出肯定或否定的反应，学生通过对外界的肯定或否定反应所获得的反馈信息不断进行选择，从而概括出概念的本质属性。＼&新学习的概念必须与学生原有认知结构中的某些概念或表象有着密切的联系。＼&]
小学数学概念教学通常分为引入概念、形成概念、巩固与应用概念三个阶段，但由于概念自身的特点、学生认知特点等许多因素影响，每个阶段的有效教学策略也不尽相同。
一、“数与代数”领域概念有效教学的引入策略
1.在现实的问题情境中，引入概念。
在本领域的概念中，有些概念与现实生活联系密切，我们可以在现实的问题情境中，引入概念。丰富的现实情境不仅能充分激发学生的学习欲望，而且还有助于学生主动的观察和积极思考，还有利于培养学生通过观察和思考，发现并提出问题的能力。如学生在三年级认识分数时，是从整数到分数的数概念的一次扩展，因此要利用学生熟悉的生活情境帮助学生认识分数。教材上提供了一个学生和教师在公园里玩耍、野餐的情境图，图中有许多分数的例子，如苹果一人一半，一个西瓜平均分成了8块，一个月饼平分成了两块等许多“平均分”的生活原型。通过以上素材，可以使学生看到生活中把一个物体平分成若干份的现象到处存在，认识到产生分数的必要性。
2.在学生已有概念的基础上，引入新概念。
数学具有完整的知识结构，许多知识之间有着密切的联系。本领域的概念中，许多概念联系十分密切，如“数的整除”这部分内容中许多概念内在联系密切，而且它们都是基于“整除”的概念而产生的。因此，在学生已有概念的基础上，引入新概念是本领域概念引入的较为常见的策略。如学生在学习《认识质数与合数》时，是通过“找出1-20各数的因数，看看它们的因数的个数有什么规律”的过程，来发现质数与合数的特点的；又如学生在学习《认识乘法》时，是通过发现“加数相同”加法算式来引入的。这样的引入方式，学生已有概念不仅能构成他们进一步学习数学概念的基础，同时也有利于形成数学概念体系。
3.在学生具体计算的基础上，引入概念。
在本领域的概念中，有部分概念是基于具体计算环境产生的概念，如余数、近似数、循环小数以及方程的解等概念。这些概念的引入方式需要结合它们的产生背景，也就是在学生具体计算的基础上，引入概念。如五年级学生认识循环小数时，引导学生分组计算“1÷4、1.7÷1.6、28÷18和78.6÷11”四道计算题，在计算过程中发现“1÷4=0.25、1.7÷1.6=1.0625、28÷18=1.5555……、78.6÷11=7.1454545……”进而借助“28÷18、78.6÷11”理解循环小数的含义。这样有助于让学生在计算的基础上经历相关概念的形成过程，更好认识这些概念的特征。
4.在数学文化的传播和介绍中，引入概念。
在本领域的概念中，少数概念在现实生活难以找到原型，还有些概念有一定的文化背景。因此，在数学文化的传播和介绍中引入概念，可以丰富学生对概念的认识。如作为数学概念的因数和倍数，很难在生活实际中找到直接的运用，怎样让学生体会它们产生的必要性呢？教学伊始，教师可以谈话交流有关“哥德巴赫猜想”的知识，引出了因数和倍数，进而揭示课题，让学生体会到因数和倍数是以后学习的基础，感受数学知识学习的必要性，既揭示了数学知识的现实性，又激发了学生的学习兴趣。
二、“数与代数”领域概念有效教学的形成策略
1.在抽象、概括的数学思维活动中，建立概念。
本领域中，有许多概念属于上位概念，并且采用定义的方式来呈现，如方程、比、比例等概念。学生在最初学习这些概念时，并不是从表述概念的意义出发，而是从直观特征出发再通过归纳的方式而获取其意义的表述的。因此，这些概念需要在抽象、概括的数学思维活动中建立概念，基本过程是：提供具体的实例→通过比较、类比等方法发现共同属性→抽象、确定本质属性→形成概念。如学生在六年级学习《比例》时，教学流程如下：
①提出要求：请你任意选择两面国旗写出它们长与宽的比，并算出比值，想一想它们之间有什么关系？
学生回答，教师板书：[5：103]=2.4：1.6
60：40=15：10或[6040=1510]
2.4：1.6=60：40 ……
②启发思考，引导比较：观察这些式子，它们有什么共同的特点？
生1：有两个比。（板书：两个比）
生2：都是等式。（板书：相等）
生3：都是式子。（板书：式子）
③教师评价，引导概括：大家说得真好！像这样的式子，我们叫做比例。请大家议一议：什么是比例呢？
生1：有两个比相等的等式叫比例。
生2：表示两个比用等号连接的式子叫比例。
生3：表示两个比相等的式子叫比例。
④师生归纳，形成概念：通过大家的交流，我们知道了像这样表示两个比相等的式子叫做比例。
在比例概念建立的教学片断中，我们可以发现学生经历了从具体到抽象的概念形成过程，对比例的本质属性“两个相等的比”有了清晰的认识后，能准确地概括比例的概念。
2.在迁移、类推的数学思维活动中，建立概念。
在本领域的概念中，有些概念与其他概念有着密切的联系，属于下位概念，如乘法和倍、分数与百分数等。因此，这些概念只需要在迁移、类推的数学思维活动中，建立概念。如学生认识“倍”时，学生已经认识了乘法，而倍则是根据乘法的意义描述两个数之间的一种关系，其实质还是表示“几个几”。在教学时，在初步认识倍的含义后，需要引导学生迁移、类推出用倍来描述其他数量之间的关系。
①课件展示：几个同学正在用小棒摆图形呢，看，小红摆出了什么图形，用了几根小棒？（4根）可以说成几个几？（1个4）
②接下来，小丽摆出了什么？用了几根小棒？（2个4）
③小明摆出了什么？用了几根小棒？（3个4）3个4也可以说成4的3倍。
④下面物体的个数是几个几？也可以说成是几的几倍？
（3个2，也可以说是2的3倍。）
（5个3，也可以说成是3的5倍。）
⑤让我们回到小棒图，刚才小丽摆出了2个4，也可以说成是几的几倍？（4的2倍）1个4呢？（4的1倍）
在上面的教学片断中，我们提供给学生大量熟悉的“几个几”素材，让学生在新旧知识间找到合理的生长点，顺利从“几个几”过渡到“几的几倍”。
3.在概念间的对比和联系中，建立概念体系。
为了帮助学生有效地建立概念，我们应多次从所学数学概念出发，注重每一阶段该数学概念的扩充和发展，不断强化对其的理解。加强数学概念间的联系，形成概念体系，引导学生分析概念的来龙去脉，有助于学生建立完善的概念体系。在本领域中，有部分概念内在联系十分密切，需要引导学生主动比较概念间的共同点和不同点，帮助学生更好理解概念的本质属性。如六年级学习《比的意义》时，学生已经学习了分数、除法和比这三个不同的概念，我们设计这样的教学流程：
①引导思考：请同学们看看这张表，在15：10=1.5这个比中，这三个数分别是什么？在15÷10=1.5这个算式中，它们又分别是什么？在[1510]=1.5这个分数中呢？请大家将这个表格填写完整。
如图，比、分数和除法之间的关系：
[＼&15＼&10＼&1.5＼&比 15：10=1.5＼&前项＼&后项＼&比值＼&除法 15÷10=1.5＼&被除数＼&除数＼&商＼&分数 [1510]=1.5＼&分子＼&分母＼&分数值＼&]
②沟通关系：通过观察、比较我们可以发现比、分数和除法之间有着怎样的联系和区别呢？
第一次交流：比的前项相当于除法的被除数、分数的分子；比的后项相当于除法的除数、分数的分母；比的比值相当于除法的商、分数的分数值；比号相当于除号和分数线。
过渡：我们知道分数是一个数。而除法和比呢？
第二次交流：分数是一个数，除法是一种运算，比表示两个数量之间的关系。
③明确特性：比的后项可以是0吗？
第三次交流：比的后项不能为0，这与除数不能为0和分母不能为0是一个道理！
三、“数与代数”领域概念有效教学的巩固与应用策略
1.在概念的正、反例证辨析中，理解概念内涵。
在数学概念建立后，及时运用正、反例证的辨析，有助于促进学生思考，加深对数学概念内涵的理解。这也是概念教学的重要策略。如在学生初步建立因数和倍数概念后，可以出示一组判断题：
①5×0.8=4，所以5和0.8是4的因数，4是5和0.8的倍数。 （ ）
②4是因数，5也是因数，20是倍数。 （ ）
③72是8的倍数。 （ ）
④18的因数只有2和9。 （ ）
通过引导学生思考，对其本质属性进行变化，在与正例的比较中，以正激反，从反面突出内涵。通过质疑，学生发现因数和倍数之间是一种相互依存的关系，强调因数和倍数的研究范围是“整数（一般不包括0）”。
2.在概念的变式训练中，凸显概念内涵。
变式训练就是改变概念在最初学习时的呈现状态，目的就是进一步凸显对象的本质属性和概念内涵。当学生面对讨论对象的多种不同呈现状态时，通过判断训练来加深对概念的认识，巩固对概念的掌握。在上面的判断题中“72是8的倍数”，改变了教材中根据乘法算式，描述因数和倍数关系的“标准”说法，直接让学生思考72和8之间的关系。引导学生从乘法和除法两个角度去思考，发现乘法和除法之间是一种互逆的关系，但都可以研究因数和倍数的关系。究其原因是因为8能整除72，这种“整除”的意识又一次得到了渗透。
3.在概念的运用和反思中，丰富概念外延。
概念教学中，不仅要重视由具体到抽象的思维过程，更要重视由抽象到具体的运用过程，即将抽象的概念在思维中具体化。这也是激发学生深入思考、综合运用、培养思维能力的重要手段。
例如，五年级教材在教学“因数”和“倍数”的概念后，安排了例1（找因数）和例2（找倍数）两题，不仅帮助学生加深了对因数和倍数的理解，还探索了找因数和倍数的方法，而且引导学生观察、思考、归纳出因数和倍数的特点，丰富了数学概念的外延。
“数与代数”领域中概念教学策略的研究，还有很多值得我们去探索、总结和反思的地方。我们将为此作更多探索和实践为数学其他领域的教学策略研究提供可借鉴的研究方法和操作策略。
高中代数概念的教学方法探析 篇4
一、温故而知新
高中许多代数知识和概念都是初中代数的延展和深化, 在讲解高中代数概念之前, 可以先复习初中的代数概念.初中的概念, 学生已经学过而且相对来说要简单点, 学生的掌握能力要强一些, 教师在对旧的概念进行介绍、思考、研究的情况下, 引入新的相近或相反的概念, 学生接受起来更容易, 有了初中知识的铺垫, 也更易消化和接受.例如, 在讲解“向量”这一概念时, 由于学生首次接触这一概念, 很可能在初学的过程中, 难以掌握, 产生陌生感和抵制心理.教师可以充分利用向量和标量的关系, 通过与已学的概念——标量的对比, 找出二者的关联加以转化, 来介绍向量的知识点, 这样既不会让学生感到陌生, 又能加深学生对向量和运算的理解, 还能开发学生的对比、联想、转化的思考能力.又如, 在介绍“任意角三角函数的定义”的概念时, 教师可以充分利用学生的初中知识作为突破口, 因为, 学生在初中已经了解和掌握了正弦、余弦、正切、余切这些基本的三角函数, 只不过这些函数的定义不是针对三角形的任意角作出的, 而仅仅是针对锐角.教师可以利用学生的已学知识, 将角的概念进行推广, 鼓励学生回忆学过的三角函数有哪些, 让学生积极思考对任意角的三角函数应当如何定义.由锐角到任意角, 循序渐进, 此举不但能够增加学生对概念认识的亲切感, 更能培养学生的类比思想.最后, 教师在学生掌握新概念的基础上, 引导学生将新旧概念和这一知识点进行新旧对比, 加深新知识的理解和记忆.
二、概念引入的技巧
代数概念的抽象、晦涩决定了学生首次接受程度的偏低和兴趣的不浓厚, 因此, 在引入数学概念时, 要注重技巧, 关键是引发学生接受和学习的兴趣, 在有了强烈的学习兴趣和欲望之后, 学生才能更好地理解这些概念.要想引起学生的共鸣使学生产生探知的欲望, 就应创造一些学生日常生活熟知的或有趣的情景或例子, 主要是既要能贴近学生的阅历和认识, 又要能反映此概念的本质特点.例如, 在介绍数列极限的概念时, 极限逼近的数学思想对学生来说较为艰涩, 如果是直接向学生灌输这一理论, 学生接受和理解难度很大, 怎样将抽象化为形象, 那就需要相关的趣味实例来引导学生入门.此时, 教师可尝试用学生较为感兴趣的极限悖论来导入“数列的极限”这一概念:子弹从点a射到靶子上的b点, 需要的时间为1秒, 有人提出:“子弹要从a点到达b点, 必须先通过这两点的中点m1, 然后子弹从点m1到达b点, 同样得先通过m1和b点的中点m2, …, 以此类推, 子弹会无穷无尽的运行, 永远也到不了靶子上.”这一说法, 看以合理, 其实是不合实际的, 很明显是一个悖论.这样, 以事例引入概念的讲解, 能够使教学更直观化, 学生学起来更容易, 也更有兴趣.
三、注重概念的巩固
代数概念的抽象导致学生学过后很容易遗忘或难以理解, 更谈不上反思, 从而使得在解题过程中, 阻碍解题技巧的提高和思维的发散, 因此, 教师在代数概念的教学过程中, 除了重视概念的引入和讲解, 还应注重概念的巩固, 加强学生对概念的理解和思考.教师要在巩固概念的过程中, 积极培养学生从特殊到一般建立概念的思维习惯, 使得概念的形象更加具体化, 同时还要让学生举一反三, 鼓励学生根据已学概念的知识说明新概念的要点, 通过相关的问题, 要求学生思考新旧概念的联系和区别, 条件允许时, 还可引导学生将概念延展和深化, 引发对新的解题技巧的思考.例如, 在函数概念的提出和学习后, 教师可设置一系列问题来巩固概念和延伸知识.如可向学生提出:y=1与y=sin2x+cos2x是同一个关于x的函数吗?为什么?再引导画出y=1与y=sin2x+cos2x的图像, 进行查看和比较.在上述基础上加宽知识面, 来分析函数y=m2, m∈{-1, 0, 1}和函数y=|m|, m∈{-1, 0, 1}是不是两个相同的函数?鼓励学生对这两个问题进行思考、谈论和探究, 进而谈谈对函数的理解和函数图像在函数的认识和理解上发挥的作用, 最后由教师进行回答和总结.这种一系列的巩固过程, 通过对问题的质疑、回答和辨析, 引发学生的积极思考, 使他们能更好地掌握函数的概念、表示和函数图像的知识, 既加深了原有概念的理解, 又拓展了思考的维度.
高中代数的教学不可忽视概念的教学作用, 代数概念不如几何概念那么形象、直观, 它的自身特点决定了在代数概念的教学上要采取不同于几何概念教学的方法.只有在学生吃透代数概念的基础上才能更好地理解代数知识, 提高解题技巧, 激发数学思考和运用能力.
参考文献
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概念代数 篇5
一、转化与化归思想
转化与化归思想是指把待解决或未解决的问题, 在一定条件下通过近似、等价、变换等方法转化为已经解决或容易解决的问题, 化难为易, 化繁为简, 从而使得问题得以解决, 它是解决数学问题的基本思想, 是解决很多疑难问题的钥匙, 几乎渗透到了数学的所有内容中。常见的转化与化归方法有换元法、类比法、数形结合法、正与反的转化、整体与局部的转化等, 转化与化归的关键有三个:明确化归对象、寻找化归方法、确定化归目标。线性代数中的很多概念都体现了转化与化归思想。在行列式内容中, 行列式定义为一个特定结构的和式, 行列式的计算最终转化为了求和问题, 求元素的余子式、代数余子式的问题转化为求行列式的问题。在向量和向量组内容中, 向量的线性运算转化为相应的分量 (数) 的运算, 向量组的线性相关性转化为是否存在一组不全为零的常数使得成立, 两个向量组是否等价转化为两个向量组能否互相线性表示。在矩阵内容中, 矩阵的秩转化为向量组的秩, 矩阵幂的定义则是先定义低阶幂, 然后通过低阶幂来定义高阶幂, 分块矩阵是借助了将高阶矩阵降为低阶矩阵的技巧来处理的, 求线性空间中两组不同基之间的过渡矩阵的问题转化为求矩阵方程的问题, 将可以相似对角化的矩阵转化为简单的对角矩阵, 从而降低了计算难度。除此之外, 线性方程组与其向量形式和矩阵形式之间的互化、基变换与过渡矩阵之间的互化、线性变换与其矩阵之间的互化、二次型与其矩阵之间的互化都体现了转化思想, 而化二次型为标准形所做的可逆线性替换则是将一组变元转化为了另一组变元, 这更是转化与化归思想的直接体现。在课堂教学中要时刻渗透转化与化归思想, 向学生清楚地指明哪些概念中蕴含着转化与化归思想, 重点讲解转化的方法和转化的目标。这就需要教师对教材进行深入地分析和研究, 结合具体内容和学生实际, 在教学中突出转化与化归思想的教学, 并通过小结和复习, 不断加强数学思想的教学。
二、数学建模思想
数学建模思想是指针对实际问题, 通过建立相应的数学模型, 运用恰当的数学语言和数学方法加以解决的数学思想, 它是沟通数学与实际问题之间的桥梁, 旨在培养分析和解决实际问题的能力。现在很多高等院校都已开设了数学建模课程, 也有越来越多的人在关注数学建模竞赛。把数学建模思想融入高校数学主干课程中去已是大势所趋。线性代数的许多概念都非常抽象, 如果离开了实例或应用背景而单纯地向学生传授抽象概念的话, 学生会感觉枯燥无味, 学习起来也很吃力。将抽象的数学概念和数学建模思想结合起来, 让学生明白抽象概念背后的实际意义, 既能提高学生的学习兴趣, 对教学效果的提高也能起到事半功倍的效果。为此在将数学建模思想融入到线性代数的概念教学的过程中, 应根据学生的实际接受能力, 尽可能选取恰当的应用实例, 将抽象问题生活化, 从实际问题入手引入基本概念。例如在学习二、三阶行列式时, 用二、三元线性方程组的求解引入;在学习矩阵的乘法概念时, 可以选取总进货额和总销售额问题作为引例;学习矩阵的特征值、特征向量概念时可以选取人口流动模型来引入。教师也可以结合学生的专业特点, 针对不同专业的学生采用不同的应用实例, 以激发学生的学习兴趣。例如, 在引入矩阵的概念时, 对经济类的学生, 可以结合投入产出问题来讲, 对计算机专业的学生, 可以结合通讯网络问题来引入, 对偏文科的学生, 可以结合航空公司航班图问题来讲。同时教师还可以选择一些日常生活中的实际问题, 让学生尝试着建立数学模型进行求解, 加强学生的数学建模意识。通过课内外针对实际问题的数学建模, 使学生体会到课本中的概念都是与实际生活紧密联系的, 加深了对基本概念的理解, 提高了学生学习线性代数的兴趣, 而且让学生体会到了学以致用的妙处和数学建模思想的强大威力, 激发了学生应用数学知识分析和解决实际问题的积极性和主动性。这里需要注意的是, 数学建模是一个很复杂的过程, 但由于学时的限制, 在引入应用实例时不需要详细讲解数学建模的各个步骤, 重点在于模型的建立以及整个过程中数学思想的体现, 提升学生的数学思维能力。
三、几何思想
几何思想是指在解决代数问题时, 利用问题的几何图形, 将抽象的问题形象化、直观化, 启发思维, 从而解决问题。将抽象的数学语言转化成直观的几何图形, 借助几何解释, 可以帮助我们理解抽象的数学概念和数学理论, 并且可以锻炼空间想象能力和形象思维、抽象思维能力。几何思想与代数思想之间相互渗透, 就是常说的数形结合思想。线性代数中的几乎所有重要概念都有其几何意义。作为最基本的二、三阶行列式都有它们的几何意义, 可以用来求定向面积和体积:以二维列向量为邻边的平行四边形的面积是由它们构成的二阶行列式的绝对值;以三维列向量为相邻棱的平面六面体的体积是由它们构成的三阶行列式的绝对值。对二元线性方程组而言, 如果将方程组中的每一个方程看作是一个平面的话, 则线性方程组有没有解的问题就相当于这两个平面有没有交点的问题:当两个平面重合或者不平行时一定有交点, 此时线性方程组一定是有解的;当两个平面平行但不重合时没有交点, 此时线性方程组无解。若空间中的两个向量共线, 则这两个向量是线性相关的, 否则是线性无关的;空间中的三个向量共面, 则这三个向量是线性相关的, 否则是线性无关的。矩阵的特征向量是指被矩阵变换后能够和自身共线的向量, 而矩阵的特征值则说明了新向量的方向及扩大缩小的倍数。两个相似矩阵表示了相同的线性变换。令二元正定二次型等于任意大于零的常数, 则其图形是以原点为中心的椭圆。在课堂教学中, 教师要根据概念的特点和学生的实际情况, 将线性代数与解析几何结合起来, 利用解析几何形象直观的特点, 给出概念的几何背景, 淡化概念的抽象性, 训练学生从几何角度分析问题、解决问题的能力, 加强学生的数形结合意识, 同时还可以借助多媒体等教学工具帮助学生加深对知识的理解。
四、类比思想
所谓类比思想是指, 通过比较两个不同对象的某些相同或相似属性, 根据其中一个具有的其他属性来推断另一对象也具有相似的其他属性。运用类比思想解决问题的过程是:将原问题利用类比得到类比问题, 通过对类比问题的求解得到原问题类似的解法。而运用类比的关键是要寻找到合适的类比对象。类比是利用旧知识来认识新知识的过程, 通过类比, 加强了不同知识之间的联系, 可以培养学生的创造性思维。在线性代数的概念教学中, 很多概念都可以利用类比思想进行教学。主要有两类:一类是线性代数课程本身内容之间的类比。例如, 由二、三阶行列式的定义类比得到了阶行列式的定义, 由二、三阶行列式求解线性方程组的结论类比得到了克莱姆法则;将平面上的二维向量和空间中的三维向量的概念推广得到了一般的维向量的概念;由线性方程组的初等变换类比给出了矩阵的初等变换的概念;通过类比, 可以很好地区分余子式、子式、主子式和顺序主子式等概念, 能清楚地理解矩阵的等价、相似和合同等关系之间的区别和联系;类比普通矩阵, 进行分块矩阵的运算。另一类是其他数学知识和线性代数知识之间的类比。例如, 将矩阵的运算与数的运算类比, 将单位矩阵的作用与数1的作用类比, 将数量矩阵与数的作用类比, 类比倒数的运算得到了逆矩阵的概念, 将矩阵方程与函数方程类比, 向量内积、长度等内容与学生已知的解析几何知识进行类比, 将二次曲面化标准形问题与二次型化标准形问题对比。在教学过程中, 如果能够将新知识和学生已有的数学知识进行类比, 学生会更容易接受新知识, 还可以达到温故知新的效果。
五、小结
在线性代数的概念教学中, 要把让学生理解、掌握并学会运用数学思想放在和传授知识同等的位置上, 要不断加强数学思想的教学, 提高学生的数学思维能力。同时也应该要注意, 数学思想的教学必须遵循循序渐进、由浅入深、反复渗透等原则, 要有计划、有步骤地进行数学思想的教学, 不能急功近利。
摘要：线性代数中的概念是教学的重点和难点。本文主要介绍了在线性代数的概念教学中如何渗透转化与化归思想、建模思想、几何思想和类比思想等数学思想。通过数学思想的渗透, 学生更深入地理解了概念, 提升了数学思维能力。
关键词：线性代数,概念教学,数学思想
参考文献
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概念代数 篇6
线性代数植根于古老的欧式空间、解析几何和线性方程组理论, 三者构成了线性代数学科的历史根源。我国现行主流的线性代数课程的内容是:从行列式到矩阵, 再到线性方程组, 然而再深入, 研讨特征值、特征向量、二次型, 最后, 是线性空间与线性变换, 仔细看, 整个线性代数实质就是围绕矩阵来讲的, 前面, 行列式的内容实质就是学习矩阵的准备知识.后面的线性方程组、二次型等内容, 实质都是矩阵的另一种表现形式。这一课程结构其实是一种块与块的拼接, 忽略了线性代数学科的基本理论核心:线性空间与线性变换。以线性空间和线性变换为主线展开的课程理论体系, 可以清晰的看到线性代数的脉络, 有助于大家深刻理解线性代数几个核心概念及其内部联系和知识内涵。
第一个核心概念是线性空间。首先谈空间, 这个概念是数学的重要基本概念, 从拓扑空间开始, 一步步往上加定义, 可以形成很多空间, 线形空间其实还是比较初级的, 如果在里面定义了范数, 就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性, 就成了巴那赫空间;赋范线性空间中定义角度, 就有了内积空间, 内积空间再满足完备性, 就得到希尔伯特空间。事实上, 不管是什么空间, 都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的变换。在某种空间中往往会存在一种相对应的变换, 比如拓扑空间中有拓扑变换, 线性空间中有线性变换, 仿射空间中有仿射变换, 其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。“空间”是容纳运动的一个对象集合, 而变换则规定了对应空间的运动。下面我们来看线性空间。线性空间中的任何一个对象, 通过选取基和坐标的办法, 都可以表达为向量的形式。只要找到合适的基, 用向量可以表示线性空间里任何一个对象。向量是一列数, 这些数是有序的, 本身携带的信息, 同时还在每个数的对应位置上携带信息。线性空间中的变换, 被称为线性变换。也就是说, 从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点, 都可以通过一个线性变化来完成。那么, 线性变换如何表示呢?在线性空间中, 当选定一组基之后, 不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象, 而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个变换。而使某个对象发生对应变换的方法, 就是用代表那个变换的矩阵, 乘以代表那个对象的向量。简而言之, 在线性空间中选定基之后, 向量刻画对象, 矩阵刻画对象的变换, 用矩阵与向量的乘法施加变换。一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点, 而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。不管你怎么变, 只要变换前后都是线性空间中的对象, 这个变换就一定是线性变换, 也就一定可以用一个非奇异矩阵来描述。
矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中, 只要我们选定一组基, 那么对于任何一个线性变换, 都能够用一个确定的矩阵来加以描述。同样的, 对于一个线性变换, 只要你选定一组基, 那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基, 就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述, 但又都不是线性变换本身。那么对于两个矩阵, 我怎么知道这两个矩阵是描述的同一个线性变换呢?关于同一个线性变换的不同的矩阵描述, 我们可以找到同一个线性变换的矩阵的一个性质。那就是相似矩阵, 矩阵A与矩阵B为相似矩阵是指若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述, 之所以会不同, 是因为选定了不同的基, 也就是选定了不同的坐标系, 则一定能找到一个非奇异矩阵P, 使得A、B之间满足这样的关系:A=P-1BP (1) 。所谓相似矩阵就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。而在 (1) 式子里的矩阵P, 其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关系。由此可看到一族相似矩阵都是同一个线性变换的描述。工科研究生课程中有矩阵论、矩阵分析等课程, 其中讲了各种各样的相似变换, 比如什么相似标准型, 对角化之类的内容, 都要求变换以后得到的矩阵与先前的那个矩阵式是相似的, 为什么这么要求?因为只有这样要求, 才能保证变换前后的两个矩阵是描述同一个线性变换的。当然, 同一个线性变换的不同矩阵描述, 从实际运算性质来看并不是不分好坏的, 对于描述同一线性变换的矩阵, 我们可以利用相似变换, 把矩阵变换成一个运算性质更好的矩阵。提及相似矩阵, 在此顺便说一下特征值和特征向量, 关于特征值和特征向量, 从对角形方阵表示的线性变化引进变换的特征值和特征向量, 转换为矩阵问题, 讨论其计算。
矩阵不仅可以作为线性变换的描述, 而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵, 不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去, 而且也能够把线性空间中的一个坐标系 (基) 表换到另一个坐标系 (基) 去。而且, 变换点与变换坐标系, 具有异曲同工的效果。
从线性变换的观点来讨论线性方程组, 方便地解决了线性方程组结的存在性和结的结构, 通过实例介绍方程组求解的高斯消去法和高斯-若当消去法, 进而介绍初等矩阵, 从而给出矩阵标准型和秩的初等变换方法。
最后说一下行列式, 行列式是刚刚接触线性代数就要学习的一个概念。行列式是一个重要的数学工具, 在求解方程、矩阵计算、正定判别、系统的稳定等方面有广泛的应用。初学很多同学都认为行列式的定义是不容易理解的, 尤其是要利用行列式的定义计算行列式, 就觉得更难了, 学习行列式及其计算的比较好的方法是利用空间解析几何的知识来讲解, 此方法在很多文献中都有专门的讨论, 在此不做探讨。
经过认真处理的按照公理化结构的教材, 从课程一开始就着意直指线性空间和线性变换这两个核心概念, 并以之为主线展开课程理论, 这时一切都显得顺理成章。线性代数课程以线性空间及其上的线性变换为一主线, 贯穿始终来展开, 不仅脉络分明。而且简洁明了。理解了这些内容, 线性代数里最有趣的奥妙, 就蕴含在其中。
摘要：线性代数是研究有限维线性空间的线性理论与方法的一门学科, 线性空间与线性变换是线性代数学科的基本理论核心。以线性空间和线性变换为主线展开的课程理论体系, 可以清晰的看到线性代数的脉络, 更有助于大家深刻理解线性代数的核心概念及其内部联系和知识内涵。
关键词：线性空间,线性变换,矩阵,相似矩阵,线性方程组
参考文献
[1]同济大学数学教研室.线性代数[M].北京:高等教育出版社, 2007, 5.
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