数与代数（共12篇）
数与代数 篇1
考点一:实数
实数这一部分内容是各地中考中作为基础知识考查的重要内容之一，题目难度不大，分数不多，常以填空题、选择题出现，数轴、相反数、近似数、绝对值、倒数、平方、平方根和科学记数法等内容作为考查的知识点频率很高。
例1 (2011·贵州贵阳) 如右图所示，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1, OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是 ( ) 。
A.2.5 B.2 C.3 D.
答案:D。
考点二:代数式
代数式这部分内容，预测今后仍以考查基础知识为主，以填空题、选择题、化简求值的形式来考查，题目难度不会很大，但要注意各个基本概念之间的区别与联系，重在理解，难在细微差别，复习重心应放在化简求值和因式分解上。
例2 (2011·四川广安) 先化简然后从不等组的解集中, 选取一个你认为符合题意的x的值代入求值。
答案:
解不等组得:-5≤x<6。
在解集内选取的数字不为5，-5, 0即可 (答案不唯一) 。
考点三:不等式和不等式组
不等式和不等式组这部分内容，预测今后仍以解不等式 (组) ，解一元一次不等式 (组) 的特殊解，用不等式 (组) 的有关知识解决实际问题为考点，题型以填空、选择和解答题出现，特别关注把不等式 (组) 与方程、函数的有关知识结合在一起的运用，把用不等式 (组) 解决应用题作为重点来抓。
例3 (2011·湖北鄂州) 今年我省干旱灾情严重，甲地急需要抗旱用水15万吨，乙地需13万吨。现有A、B两水库各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱。从A地到甲地50千米，到乙地30千米;从B地到甲地60千米，到乙地45千米。
⑴设从A水库调往甲地的水量为x万吨，完成下表。⑵请设计一个调运方案，使水的调运量尽可能小。
(注:调运量=调运水的重量×调运的距离，单位:万吨·千米)
解题思路:通过读题、审题，发掘信息可知:
(1) 完成表格有2条思路:从供或需的角度考虑，均能完成上表;
(2) 运用公式 (调运水的重量×调运的距离)
总调运量= (A的总调运量+B的总调运量) ×调运的距离。
(注:一次函数的最值要得到自变量的取值范围)
∴y随x的增大而增大，y要最小则x应最小。
由
解得:1≤x≤14。
y=5x+1275中，由于5>0,
可知y随x的增大而增大，y要取最小值，则x应取最小值，y的最小值为1。
∴调运方案为:A往甲调水1吨，往乙调水13吨;B往甲调水14吨，不往乙调水。
答案:⑴从左至右，从上至下分别为:14-x、15-x、x-1;
解不等式，得:1≤x≤14,
所以x=1时，y取得最小值。
∴调运方案为A往甲调1吨，往乙调水13吨;B往甲调14吨，不往乙调水。
点评:这样的“方案决策类”试题，其所考查的内容和思想方法非常重要的，其考查目的也是一般的函数与不等式题目所不能完全体现的，具有一定的独特性和挑战性。在多数情况下，解这种试题要以“不等式”作为解决问题的工具，且由于题中含有由“不确定”中找确定的因素。所以关联了函数与不等式等数学模型的建立与应用。此题中要确定一个量的范围的问题，就要转化为不等式的问题。
考点四:方程和方程组
本章内容是中考的重点内容，从近几年全国各省市的中考试题来看，考查的重点是方程 (组) 的解法及应用，特别关注与函数知识相结合解决实际问题。试题类型呈现多样化，既有填空题、选择题、解答题，又有阅读理解题、分析探索性问题。
例4 (2011·山东日照) 为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度。2011年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同。
(1) 求每年市政府投资的增长率;
(2) 若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房。
答案: (1) 设每年市政府投资的增长率为x,
根据题意，得:2+2 (1+x) +2 (1+x) 2=9.5,
整理，得:x2+3x-1.75=0,
解之，得:
∴x1=0.5, x2=-0.35 (舍去) 。
答:每年市政府投资的增长率为50%;
(2) 到2012年底共建廉租房面积 (万平方米) 。
例5 (2011·江苏盐城) 利民商店经销甲、乙两种商品。现有如下信息:
请根据以上信息，解答下列问题:
(1) 甲、乙两种商品的进货单价各多少元?
(2) 该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件。经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件。为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元。在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大?每天的最大利润是多少?
答案: (1) 设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价是y元。
根据题意，得:
解得:
答:甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元。
(2) 设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元，则有:
即
∴当m=0.55时，s有最大值，最大值为1705。
答:当m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元。
考点五:函数及其图像
本章内容是中考的重点内容，许多省市把它作为中考的压轴题，从近几年全国各省市的中考题来看，考题大致可分为三类: (1) 函数与代数知识、几何知识相联系的综合型考题; (2) 函数应用型考题; (3) 与函数有关的阅读理解题、探索型问题。
例6 (2011·山东日照) 如右图所示，抛物线y=ax2+bx (a>0) 与双曲线相交于A、B两点。已知点B的坐标为 (-2，-2) ，点A在第一象限内，且tan∠AOx=4，过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C。
(1) 求双曲线和抛物线的解析式;
(2) 计算△ABC的面积;
(3) 在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积.若存在，请你写出点D的坐标;若不存在，请你说明理由。
答案: (1) 把点B (-2，-2) 的坐标，代入,
得:
即双曲线的解析式为:。
设A点的坐标为 (m, n) ，
∵A点在双曲线上，
又∵tan∠AOx=4,
即m=4n。 (2)
由 (1) (2) ，得:n2=1,
∵A点在第一象限，
∴A点的坐标为 (1, 4) 。
把A、B点的坐标代入y=ax2+bx, 得:
解得:
∴抛物线的解析式为:y=x2+3x。
(2) ∵AC∥x轴,
∴点C的纵坐标y=4,
代入, 得方程x2+3x-4=0,
解得:x1=-4, x2=1 (舍去) 。
∴C点的坐标为 (-4, 4) , 且AC=5,
又△ABC的高为6,
(3) 存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积。
过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D。
因为直线AB相应的一次函数是:y=2x+2，且C点的坐标为 (-4, 4) ，CD∥AB,
所以直线CD相应的一次函数是:y=2x+12。
解方程组
得:
所以点D的坐标是 (3, 18) 。
数与代数 篇2
【教学目标】
知识技能
1.在具体情境中，能认、读、写亿以内的数，会用数表示物体的个数或事物的顺序和位置;了解十进制计数法，会用万、亿为单位表示大数。
2.结合现实素材感受大数的意义，并能进行估计。了解负数，会用负数表示一些日常生活中的问题。
3.回顾有关因数、倍数、质数、合数、奇数、偶数等概念，巩固求公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的方法。
4.逐步形成知识网络，掌握一定的数学方法、数学思想。
过程与方法
先自己整理，然后全班交流，能用网络图的最好用网络图。
情感态度、价值观
在复习的过程中，让学生再次体会学习的乐趣，体会知识间的联系，培养学生学习数学的兴趣。
【教学重点】
结合具体情境理解数的意义。
【教学难点】
掌握数学方法、体会数学思想。
【教学过程】
一、创设情境、导入复习
师：同学们经过六年的学习，至今天已经学完了小学数学的全部内容。在以后的数学学习中，我们一起来对小学阶段所学过的数学知识进行一个系统的整理和复习。今天这节课我们就开始进行小学阶段的总复习，大家有信心复习好吗?
1.在我们的生活和生产中，都离不开数，请同学们回忆一下，在小学阶段，我们曾经学过哪些数?
(整数、分数、小数)
那么，整数又是怎样分类的?
(学生可能认为：自然数、正整数、负整数)
你认为正整数和自然数一样吗?那区别在哪?
(使学生认识到自然数包括正整数和0，而正整数不包括0。)
在咱们的自然界中有多少个自然数?
(无数个)
是的，自然数和整数的个数是无限的，没有最大的自然数，最小的自然数是0，最小的`正整数是1。
根据学生的汇报，构成了网络图：
正整数
自然数
整数 零
负整数
数
分数(小数)
结合数轴上的数，让学生充分界定数。
2.让生举例在我们的生活中，哪些地方用到了正整数、负整数、零及分数和小数呢?
每种数举一例子。
3.我们还可以用数轴来表示我们学过的数。
出示：教材63页的数轴图。
生观察，然后独立地把这些数按从大到小的顺序排列。
今天，这节课我们重点来复习整数的有关知识。
二、回顾整理、建构网络
1.自主整理，实施创造
(1)让生先独立思考：在小学阶段，我们都学习了关于整数的哪些知识?并把所学习的知识点进行罗列。教师进行查漏补缺。
(2)同学们对有关整数大体知识考虑地比较全面，下面我们就把以上几部分内容进行细化，详细地对每一个知识点进行整理。你们可查阅课本，也可以小组内的同学共同整理。看哪个小组整理的全面、具体、条理。
让学生独立整理，教师给予指导
2.交流矫正、优化再建
(1)全班交流
交流时，分组进行汇报。如一组的同学汇报“整数的意义”这部分知识，其它小组可以对他们小组的汇报进行补充，也可提出不同的想法。最终目的是让每一位同学把以上几个知识点理清、理顺。交流时为了表达更清楚，可以结合具体的例子。
(2)优化再建
根据刚才各组的汇报，针对这几个知识点的整理，整理不全面的，请大家进行补充。
三、重点复习、强化提高
1.师：在整数这部分知识的复习中，同学们认为哪一部分较难理解。(难理解的地方也就是“数的改写”与“求近似数”的区别，数的整除这两部分内容。)
教师可以对这两个重点也是难点的部分与学生共同探究。
(1)出示“135624506”
这是一个几位数?最高位是什么位?各个数位上的数是几?从而引出数位顺序表。
(让学生正确区分数位和计数单位)
师：这个数的计数单位是什么?(个)把它改写成用“万”来做单位的数，怎样改?(让学生说一说改写的方法。)如果改写成用“亿”来作单位呢?
( 使学生明白改写成不同单位的数，数的大小不变。)
师：如果省略万后面的尾数四舍五入求近似数怎么办呢?
(省略万位后面的数，利用四舍五入的方法，单位应是“万”，是13562万。)
注意：让学生正确区分“数的改写”与“求近似数的方法”。这两种情况学生最易弄混，让学生要具体的例子中去理解，去区分。
(2)关于数的整除这部分内容，概念多，不好理解。可以把涉及的概念让学生读一读、记一记，再举例说明，再把它们之间联系起来，组成一幅结构图。教师边讲解边把它们间的关系联系起来。
2.针对大家易出错的地方，我们进行强化练习。
(1)我国人口总数已达十三亿零六百二十八万人，这个数写作，改写成用“亿”作单位的数是( )亿，省略亿位后面的尾数约是( )亿。
(2)一个八位数，最高位是最小的合数，万位上的数既是质数又是偶数，个位上的数既不是质数也不是合数，其他各位都是最小的自然数，这个数写作( )，改写成用“万”作单位的数是()。
(3)a=2×2×3，b=2×3×3，a、b两个数的最大公因数是()，最小公倍数是( )。
先让学生独立填空，再指生说一说想法。
四、自主检测、完善提高。
(一)自主检测
1.填空
(1)自然数的个数是( )，最小的自然数是( )，最小的正整数是( )。
(2)“神舟”五号载人飞船，绕地球飞行了14圈，共飞行约590200千米，这个数读作( )，改成以“万”作单位的数是()。
(3)在79648000中，7在( )位上，计数单位是( );6在( )位上，计数单位是( );8在( )位上，计数单位是( )。
(4)在10以内的整数中，既不是质数也不是合数的数是( );最小的合数是( )。
(5)7和17的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
(6)有两个数都是质数，这两个数的和是15，两个数的积是26，这两个数是( )和( )。
(7)如果向东100米，记作+100米，那么向西150米，记作( )米。
2.判断。
(1)自然数都是整数。
(2)4的倍数比40的倍数少。
(3)互质的两个数一定都是质数。
(4)如果用N来表示自然数，那么偶数可以用N+2表示。
(5)一个数既是2的倍数，又是5的倍数，这个数个位上一定是0。
(6)5的因数有无数个。
3. 选择。
(1)在数位顺序表中，每相邻两个( )间的进率都是10。
①数位 ②位数 ③计数单位
(2)把19980四舍五入到万位，记作( )。
①1998万 ②19982万 ③19981万
(3)下面每组数都有公因数3和5的是( )
①12和30 ②15和20 ③30和45 ④115和84
(4)10以内最大的质数是( )。
①9 ②7 ③2
4. 算一算
(1)一个自然数的末尾添上两个0，所得的数比原数大396，这个自然数是多少?
(2)第二实验小学进行团体操排练，每行站5人、6人、8人都没有剩余，参加排练的同学最少有多少人?
(二)评价完善
教师公布答案，同桌间交换改。然后，找出自己出错的原因，并订正。
五、教学反思
学生在整理知识网络时，出现了五花八门的情况。因为每个人对知识的理解和记忆不一样，所以要多给学生时间处理，利用小组合作学习模式补充各种遗漏，完善每个人的思维，尤其注意让学生边交流边落实到纸上。如果学生只是交流没有写在纸上，那么这种合作交流学习对于复习是失败的。
六、课堂小结
数与代数 篇3
[关键词] 初中数学；有理数加法；教材比较
基础教育课程教材改革是实施素质教育的核心环节. 课程教材集中体现了国家的教育思想和教育观念，是学校组织学生活动的最主要的依据. 它制约着学校教育的活动方式，影响着学生的身心发展. 综观中外的教育改革，无不把课程教材改革放到突出位置. 近年来，世界许多国家特别是一些发达国家无论是反思本国教育的弊病，还是对教育提出新的目标和要求，都是从课程教材改革入手. 通过改革，调整人才培养目标，改变人才培养模式，提高人才培养质量.
目前，按新课程标准编写的教材，已经出现了多个版本. 教科书是知识的载体，伴随着新课标的到来，初中数学教科书也发生了较大的改变. 无论是教材的编写者还是广大的一线教师，都需要加强对数学教材的研究. 因为，数学教师能否有效地利用数学教材，充分发挥教材在教学中的作用，是其能否保证教学质量的重要方面. 加强对新旧教材的研究，以便创造性地使用教材，是每个一线教师的应尽之责.
研究设计
1. 研究对象
本研究比较的对象为华东师范大学出版社2003年出版的七年级上册数学教科书、北京师范大学出版社2008年及2012年出版的七年级上册数学教科书中的“有理数的加法”这节的内容. 比较的具体内容见表1.
结论1：这三个版本均安排了2课时内容讲解“有理数的加法”，且第1课时均为分析、归纳出有理数加法法则，第2课时均为有理数加法运算律的运用. 但北师大2008年版和2012年版教材均为一节内容，而华师大教材则为2节内容，运用有理数加法法则独立成节.
2. 研究的具体问题
有理数的加法法则是有理数运算的重要法则，三种版本各有哪些栏目？三个版本教科书是如何引入有理数加法法则的？有哪些类型的习题？各种类型习题的数量、比例、探究范围如何？
3. 研究的方法
基于华师大版和北师大版教科书的文本材料，以内容分析法和比较研究为主要研究方法.
研究结果
新课标对本节内容的要求是：理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算；能运用有理数的运算解决简单的问题.
1. 三种版本教材栏目分析（表2）
结论2：华师大版教材和北师大版教材栏目存在很大的差异. 华师大版通过“试验”“探索”“概括”“注意”等栏目探究、归纳有理数加法法则，而北师大版教材则通过“想一想”“做一做”“议一议”等栏目来研究、总结出有理数加法法则. 三种版本教材每课时都有练习题，但华师大版教材的习题安排在第2课时内容之后，而北师大版教材每课时都有练习和习题. 华师大版教材习题没有再分栏目，而北师大版习题又分为4个栏目，分别为“知识技能”“数学理解”“问题解决”“联系拓广”. 可见，北师大版教材栏目更加丰富，版面及栏目设计新颖、富有启发性，且注重创设情境，激发学生的学习兴趣.
2.三种版本教材解释有理数加法法则的方式分析（表3）
结论3：这三种版本教材中均对“有理数加法法则”进行了解释. 这3种版本教材的解释可以分为两种：“运用数轴模型”和“运用现实模型”，但华师大2003年版和北师大2012年版均只有1个解释，华师大2003年版运用数轴解释，北师大2012年版运用方框图解释；北师大2008年版运用方框图和数轴两种方式解释.
北师大版教材基于有理数运算的学习重点是对法则和运算律的理解，所以为了避免因为小数、分数运算的复杂性而冲淡了学习的重点. 为了分散难点，只涉及整数的加法. 而华师大版教材探究的范围更广一些，比北师大版教材多“分数+分数”和“小数+小数”两种类型的有理数加法运算，增加了学习难度.
3. 三种版本教材课时安排及设计意图
结论4：北师大2008年版教科书从足球比赛中的净胜球数入手，使学生首先理解（+1）+（-1）=0和（-1）+（+1）=0；然后利用“正负抵消”的思想，讨论整数加法的几种情形，并借助数轴加深理解；最后再由特例归纳出有理数的加法法则. 利用方框图形象地表示有理数加法的意义，便于学生总结运算法则. （如果学生对净胜球数不了解的话，教师可以创设其他的情境）
北师大2012年版教材本节安排了2课时. 第1课时借助“竞赛得分”和“框图”的情境使学生理解算理（目的：①使学生首先理解（+1）+（-1）=0和（-1）+（+1）=0；然后利用“正负抵消”的思想，讨论整数加法的几种情形；最后再由特例归纳出有理数的加法法则. ②运用方框图中的“正负抵消”的方式表示加法运算过程，形象直观，学生容易接受和理解）. 通过对两个有理数相加可能出现的不同情况进行分类，探索和归纳有理数的加法法则. 第2课时在学生能熟练进行整数加法运算的基础上，探索和归纳数系扩张后的运算律. 运用方框中的“正负抵消”的方式表示运算过程，形象直观，学生容易接受和理解. 虽然4个算式中的运算对象都是整数，但可以将方法和规律迁移到分数运算中. 教学过程中，可以结合比赛的情境设置算式，如“小明答错4题，答对2题，他得到多少分？用怎样的算式表示？你是怎样计算结果的？”……给学生思考算法的时间和主动表述的机会. 通过方框图中“正负抵消”的计算结果，观察和的符号及其绝对值的关系，鼓励学生用自己的语言叙述，培养学生分类、归纳、概括的能力.
4. 三种版本教材中习题总量的分析（表4）
结论5：华师大版教材中习题总量最多，“习题”所占习题总量比重最少，不到一半，“练习题”大约占习题总量的五分之二；北师大2008年和2012年版教材习题总量相当，例题、练习题、习题比例基本一致，北师大版教材中“习题”所占比重最大，约为习题总量的70%，数量是华师大版教材“习题”数量的1.4倍. 且从具体习题内容来说，北师大版选材源于自然、社会，贴近学生的生活，注重联系实际应用.
5. 三种版本教材习题类型数量、所占比例分析（表5）
结论6：三种版本只有华师大版教材中有“法则的识记”和“绝对值、相反数”类习题，分别占习题总量的7.5%和3.8%，华师大版教材“利用法则进行计算”类的习题所占比例最重，占习题总量的一半以上，却没有“解释法则”的习题；北师大2008年版和2012年版教材各类习题比例基本一致，“利用加法交换律、结合律”类的习题均比华师大版教材所占比例多一些.
研究结果
1. 注重对“有理数加法法则”的解释是教材所秉持的基本理念
三种版本的教材都通过各种方式与角度阐明了“有理数加法法则”的合理性，华师大2003年版和北师大2008年版教材都呈现了2个解释，北师大2012年版教材呈现了1个解释. 呈现多个解释的目的是为了让具有不同认知特点的学生更好地理解法则的合理性.
2. 各版本教材解释法则的目的各有侧重
从对习题的研究发现，华师大版教材中没有编排“解释方式”应用的习题，这些教材解释法则的主要目的在于让学生理解法则并能在练习中熟练应用法则；而北师大2个版本教材中均编排了“解释方式”应用的习题，它们对于法则的解释除了上述目标外，还注重利用对法则的解释方式作为思维的工具去解决问题.
如果教材中没有编排“解释方式”应用的习题，学生只要熟练记忆法则本身，就可以顺利完成教材中的习题，教学中不涉及法则合理性的解释，似乎对学生的学习不会产生什么影响. 但从长远来说，这样做会影响学生对教材深层次内容的理解和应用，同时不利于培养学生的创新意识和实践能力. 教材应该同时关注“过程性目标”与“结果性目标”，在设计求解方法的教学内容时，应当关注对通性通法内涵与价值的介绍，而不应当舍本求末，过于关注特定的技巧.
教材编写及教学建议
1. 数学教材及教学一定要说理
对“有理数加法法则”合理性的解释是培养学生理性精神的良好载体，我们在教材编写及教学中应充分利用这一载体.
2. 数学教材及教学要设置“解释方式”应用的习题
数学教材及教学要设置“解释方式”应用的习题. 如北师大2008年版及2012年版教材习题中均有1题：“教科书中为加法运算提供了实际背景，你能设计一种新的情境来表示加法算式（-4）+3吗？”
3. 数学教材栏目设置
（1）版面及栏目设计应该更丰富些，应该新颖、富有启发性，导入应设置与现实生活十分贴近、有趣味的例子和与此相关的历史文化知识，帮助学生理解本节内容，拓展学生的知识面.
（2）在举例子的时候，例子要图文并茂、生动形象，并让学生自己多动手体验，便于学生通过例子来理解其中的核心内容.
（3）习题编写要少而精，练习与例题应联系紧凑，且相互穿插，习题涉及的面要覆盖本节课的重点，让习题真正起到评价学生，考察学习状况的目的.
（4）选材应源于自然、社会，贴近学生的生活，注重联系实际应用.
4. 数学教材应注意知识内容的衔接
北师大2012版应该沿用2008版对有理数加法法则的解释，增加用“数轴模型”的解释方式，这样既与前面所学的数轴前后衔接，可加深学生利用数轴解决问题的认识和理解，又拓展了学生对有理数加法法则理解的知识面，同时也利于学生构建知识网.
5. 教学建议
（1）备课：备课时多参考不同版本的教材，取其精华，再从学生实际出发，下足功夫，必定能备出好课来.
（2）课堂导入：《课标（2011版）》指出，义务教育阶段数学课程标准的设计，充分考虑本阶段学生数学学习的特点，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考；充分考虑数学本身的特点，体现数学的本质；在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程. 用学生的眼光审视教材的教学策略，引入情境应更贴近学生个人生活，利用一些生动形象的例子，也可借助游戏模型，让数学学习贴近生活，调动学生的积极性，激发学生的学习兴趣，更好地理解学习内容.
（3）授课过程：
①要强调学生的“学”与教师的“教”相结合；敢于“创新与整合”教材，改进课堂教学.
②应注重自主探究活动学习，通过做、反思、交流、讨论去构建知识.
③对于定理、法则应做原理性的说明或证明，要加强学生对其的理解，不能只局限于会代公式.
数与代数 篇4
一、新教材编写的长处
第一, 实数及其运算部分, 新课标降低了实数运算的要求, 运算强调“以三部为主”, 二次根式只要求了解概念及其加、减、乘、除运算法则, 会用它们进行有关实数的简单运算, 不要求分母有理化, 采取了够用即可的方法, 但加强了对运算意义的理解.强化了根据问题的需要选择恰当运算方法和运算工具能力的培养, 所以从素养和能力的培养来看, 不是降低了难度, 而是提高了要求.
第二, 整式加减内容放在七年级方程内容前, 整式乘除放在七年级下册, 这样的编排得到广大教师的拥护, 教材对每个知识点的编排, 都是从几个具体的、简单的题目运算出发, 最后归纳出运算性质, 再进一步用于解决实际问题, 这种从具体到抽象, 再由抽象到具体的编排方式, 符合现阶段学生的认知水平.对整式的乘除法, 运算公式减少了, 从而降低了记忆的要求, 给学生留有充分的自主活动的时间和空间, 让学生自己去探索、去发现、去体验, 从而真正理解公式的来源、本质和用途.这部分内容的编排摆脱了过去“从概念到概念, 从公式到计算”的枯燥无味的模式, 有利于提高学生的学习兴趣和学习的主动性, 确保学生扎扎实实地学好代数式最基本、最有价值的主干内容, 也就是“有所为, 有所不为”的辩证法.
二、存在的不足
第一, 常言道, “良好开端是成功的一半”, 七年级《有理数》一章设计对学生学好初中数学在心理上至关重要, 一次次失败的打击无法树立学习的信心, 我在教学中碰到下面例子.
课例一:习题1.4第11题, 一架直升机从高度为450米的位置开始, 以20米/秒的速度上升60秒, 后以12米/秒的速度下降120秒, 这时直升飞机所在高度是多少?该题所要计算的式子 (450+20×60-12×120) 并不难, 但如何正确理解题意, 列出正确式子, 就要求有较强的能力.涉及到数形结合、正负数意义、路程时间速度公式等, 对刚进入初中的学生而言, 困难不小.
课例二:1.5例4 (略)
学生的困难:一是负号的变化影响学生判断, 学生没有信心做出正确选择;二是题目呈现大量数据, 学生有畏难心理;三是教材解题文字说明与式子表达学生不易读懂.
第二, 八年级是初中生身体、心理走向成熟的关键一年, 虽有一定独立能力, 但仍没有摆脱儿童的依赖心理, 八年级上册的内容整体难度比较大, 只有实数一章能让学生感觉轻松些, 但教材在编写中, 把实数的概念和运算都与实际问题紧密联系联系起来, 加强知识间的纵向和横向的联系, 所以学生学习也碰到了不少困难.如:
课例三:《实数》第一节平方根例 (3) , “小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片, …裁出一块面积为300cm2的长方形, …长宽之比为3∶2, 不知能否裁出”.习题第9题“平面内有四个点, 它们的坐标分别是… (2) 求四边形面积; (3) 将四边形向下平移…”.复习题第8至第14题共7小题.
第三, 分式的运算编排在八年级下册, 课程标准提出三方面要求:一是借助分数知识学习分数的运算;二是以描述实际问题中的数量关系为背景, 抽象出分式的概念, 体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式;三是结合分式运算将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数, 构建和发展相互联系的知识体系.要求, 在体会数学实际应用中学习分式的运算, 在运算中体会分式的应用, 把两个难点交融在每节课里, 对学生的要求提高了, 我们在实际教学中处理两者关系时感觉困难.分式的许多例题和习题, 教师在教学实践中感觉处理难度大, 变换了多种方式, 但效果不佳, 学生总是在许多关键点理解不透, 学生感觉学习压力大, 如“我真笨”“我怎么总想不到”“数学怎么这么难”.
数与代数复习方案 篇5
复习内容
整数、小数、分数、百分数的含义等。
复习目标
1、使学生系统地掌握整数、小数、分数、百分数的意义。
2、使学生熟练的掌握十进制计数法和整数、小数数位顺序表，并能正确的熟练的读、写整数与小数，会比较数的大小。
3、能熟练地进行小数、分数与百分数的互化。
复习过程
一、回顾与交流
1、复习数的意义。
（1）你学过哪些数？说一说它们在生活中的应用。
①学生说出自己的认识和理解。
如：整数、小数、分数、百分数、负数等等。
②联系课文情境图，说出各种数的具体含义。
如：1722是自然数。这里表示词典页码的数量：有1722个1页。
8844.43是小数。表示八千八百四十四又百分之四十三。
是分数。这里表示把全年天数平均分成5份，空气质量良好的占其中的3份。
40%、60%是百分数。这里分别表示羊毛和化纤成分占总成分的.百分率。
-25℃是负数。它表示比0℃还低的气温度数。
（2）什么是整数？
①学生说一说什么是整数，整数包括哪些数。
②师生共同概括说明。
像，-3，-2，-1，0，1，2，3，这样的数统称整数。整数的个数是无限的。自然数是整数的一部分。1是自然数的单位。
③做一做
是正数，（）是负数。
（）是自然数，（）是整数。
2、数的读、写
（1）数位顺序表。
整数部分小数点小数部分
亿级万级个级
数位个位十分位
①填一填，读一读。
②什么是数位？数位与位数相同吗？
③什么是计数单位？相邻的计数单位之间的进率是多少？
④做一做。
27046=2（）+7（）+4（）+6（）
（2）读法和写法。
①读出下面各数。
1060000000.00625.08
a、读一读。
b、说一说读数的方法、要点。
②写出下面各数。
九十万三千二十亿五千零十八零点二零零八
a、写一写
b、说一说你是怎么做的。
（3）改写。
①把540000改写成以万作单位的数。
②把24940000000改写成以亿作单位的近似数。
过程要求：
a、学生改写。
b、说一说改写的方法、要点。
3、数的大小。
（1）怎样比较两个数的大小？
（2）完成练习十三第6题。
4、分数、小数、百分数的互化。
（1）填一填。
小数分数百分数
0.25
12.5%
（2）说一说你是怎么做的。
二、巩固练习
完成课文联系十三第1～5题。
过程要求：
（1）学生独立完成，教师巡视，了解情况，进行个别指导
（2）同学之间互相交流。
（3）提问：说一说你是怎么做的，发现问题及时纠正。
三、课堂小结
数与代数 篇6
[关键词]初中数学 数与代数 教学价值 教学理念 教学方法
一、初中数学“数与代数”的教学价值
（一）培养学生现实应用的能力
通过“数与代数”的学习，学生能够体会到数学与现实生活的联系，认识到数、符号是刻画现实世界数量关系的重要语言，方程、不等式与函数是现实世界的数学模型，从而认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，从中感受到数学的价值，初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活和其他学科学习中的问题，增强应用意识，培养初步的应用能力。
（二）提高学生创新及发现问题的能力
在“數与代数”的学习过程中，通过对现实世界中数量关系及其变化规律的探索，数的概念的建立、扩充以及数的运算，公式的建立和推导，方程的建立和求解，函数关系的探究等活动，激发学生学习数学的兴趣，提高学生解决问题的能力和自信心，初步形成创新意识和发现能力。
（三）帮助学生形成辩证科学的数学观念
在“数与代数”中，不仅知识中存在着正数与负数、加法与减法、乘方与开方、变量与常量、精确与近似等对立和统一，而且在研究过程中也充满已知与未知、特殊与一般、具体与抽象等对立与统一。同时，在变量和函数的研究中，还充满着运动、变化的思想。因此，学习“数与代数”，有助于培养学生的辩证唯物主义观点，有利于学生用科学的观点认识现实世界。
（四）陶冶学生情操，形成良好品质
“数与代数”的学习过程，是学生在教师指导下合作交流、自主探究的过程，在这个过程中，可以培养学生的合作意识和团队精神；“数与代数”的学习还可以培养学生细心严谨、一丝不苟的态度和知难而进、坚忍不拔的品质；“数与代数”内容中蕴含着丰富的数学美，可以培养学生发现美、欣赏美、创造美的能力，陶冶学生的情操。
二、新课标下“数与代数”的教学理念
传统的数学教学，教师是课堂的主宰者、知识的传递者，学生则是知识的接受者。在新课标理念下，教师的角色和教学方式、学生的学习方式都发生了很大变化。
（一）教师角色的转变
在新课标理念下，教师不再是单一的数学知识的传授者，而是学习的组织者、引导者、合作者；不再是课程的被动实施者、执行者，而是课程的开发者、建设者；不再是习题和试题的编制者，而是拥有先进理念、懂得现代教育技术、善于学习和合作的教育理论和实践的研究者。
（二）教师教学方式的变化
教师角色的转变，必将带来教学方式的改变。教学方式改变集中体现在使学生成为学习的主人。这要求教师以学生为中心进行教学设计，教学评价要以学生发展为核心。教师要善于激发学生学习动机，使学生经历数学知识的形成过程，鼓励学生自主探索与合作交流，满足学生的个性化学习需要。
（三）学生学习方式的改变
数学学习活动不能单纯依赖模仿和记忆，应当是一个生动活泼、主动和富有个性的过程。学生应当有充分的时间和空间从事观察、实验、验证等活动，应当独立思考、合作交流。在新课程理念下，学生的学习方式将由单一的接受式学习方式向多样化学习方式转变，自主学习、合作学习、探究学习将成为主要的学习方式。
三、新课程标准下“数与代数”的教学方法
（一）培养学生数感
数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法表示数；能在具体情境中把握数的相对大小关系；能用数表达和交流信息；能为解决问题选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性做出解释。在教学过程中，教师要创造条件，帮助学生在对现实背景的感受和体验中建立数的概念，使学生具体地理解数的意义。
（二）创设情境，培养学生符号感
符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。应创设空间，逐步渗透，帮助学生建立符号感。培养学生的符号感，必须有目的、有意识、有计划、有步骤地渗透于数学教学的始终。
（三）主动探究，培养学生的应用意识
学生只有不拘泥于教师提供的案例，而能主动地寻求数学知识的实际背景，才能为知识的应用找到生长点，也才有可能进一步探索其应用，体会数学的应用价值。可以说，主动寻求新知识的实际背景，是增强应用意识的重要一环。尤其是在强调努力把科技成果转化为生产力的今天，主动寻求知识的应用领域，开辟更广阔的应用空间，显得格外重要。
浅谈数与代数模块的中小衔接教学 篇7
一、教学内容的衔接
义务教育数学课程内容总共分为了四大部分,它们基本分布在每一个学段的每一册中。在小学教学时有意识地进行拓展和渗透可以帮助学生在下一步学习时更容易,但这要视学生的认知情况而灵活对待,切不可单纯为了拓展知识面而超出课程标准中对于学段教学的要求。同时注意知识间的联系,让学生进行自主的总结与发现,从而培养起学生良好的探究欲望,这样才能使中小学数学的衔接更顺畅,也才能使学生在初中接触到新的知识时有一种熟悉感,从而提高学生学习的兴趣,让学生更好地投入到数学学习活动中来。
如在学习五年级下册《方程》时,现在的教材已经改变了原来用加减乘除倒推来解方程的方法,这是与初中衔接的一个很好素材,在教学时我们要充分用好这一点,让学生体会到方程对于解决问题的优势之所在。在每一步的教学中都要让学生认识到用了等式的哪一条性质,这样为下一步七年级学习解方程的步骤做好了准备。如移项就是两边同加或同减,系数化为1 就是两边同乘或同除,这样就能将知识进行有效的衔接,为学生的学习打下良好的基础。同时在解决问题时好多学生受一直以来列算式习惯的影响,往往对于给出的应用题还是用列算式的方式来求解,这显然与以后初中解决问题所用的方法不同。
因此,在教学时教师要有意识地引导学生用方程的方法来解决实际问题,让学生在不断地学习中感受到用方程的直观与简便,这样也就在潜移默化中培养了学生用方程的意识,使学生能够更加顺利地实现中小学的衔接。
二、教学方法的衔接
小学低年级的教学可以说是保姆式的,更直白一些就是手拉手的教学,而对于高年级学生来说,教学方法就必须要改变,不仅要让学生学会,更重要的是要让学生会学。因此,在教学时教师要改变传统的教学观念,要突出学生的主体地位,要让学生在活动中发现,在动手中提高,在总结反思中升华。这不仅是对教师的要求,更是为学生下一步成长奠基所必需的基础。当学生一进入初中,随着课程的增多和知识难度的提升,如果还是指望着教师去教得面面俱到显然是不可能的,这就要求教师在小学高年级就要改变教学策略,让学生尽快实现与初中的对接,让学生适应新的教学方法,从而做好衔接的心理准备。
如在学习五年级上册《小数的乘法和除法》时,教师完全可以放手给学生,让学生通过自己已有的经验去发现和总结,由此将小数的乘除法转化为整数的乘除法来进行计算,渗透转化的思想。在这一过程中要体现出学生是学习主体的理念,让学生在解决问题时说出自己的解题思路与方法。如15.8×12,有的同学放到了具体的情境中,举例为一支钢笔15.8 元,买了12 支,15.8 元就是15 元8 角,这样都化为整数后进行计算,最后合计得出结果;也有的同学将15.8 扩大了10 倍转化为整数,在计算出积后,再将积缩小10 倍得出结果。这样学生在展示各自不同方法的过程中体现出了教师教法的转变,不再是直接教学生怎么去做,而是让学生去探究、发现,从而展现自己的思维过程,并在不断的思维碰撞中得到最有效的解决问题的思路。这样的教学不仅让学生更好地掌握了知识,还能从根本上提高学生自主学习的能力。
三、学习方法的衔接
小学生由于年龄和习惯等方面的原因,在学习过程中只是注重了上课时的认真听讲和课下按时完成作业,而忽视了课前预习这一重要环节。在教学时为了与初中进行衔接就需要从学习方法上进行指导与培养,让学生养成自主学习的习惯,从而便于学生适应初中的学习生活。结合当前教育的新思想与新方法,教师可以利用微课来吸引学生自学的兴趣,让学生在观看视频中把握所要学习内容的重难点,并在相关的链接中拓展自己的知识面,从而使学生会用更多的途径来进行学习,这样才能使学生更好地适应不同的学习环境,从而提高学习的实效性。
如在学习六年级上册《分数四则混合运算》时,教师针对学生的认知水平和已有经验做了一个关于运算顺序的微课,让学生在课前通过点播来把握将要学习知识的重点,从而实现学生学习方法上的转变。学生在观看微课时能够很好地将所要学习的知识掌握,这样就能够让学生感受到自学的重要性,从而更加乐于在微课的指导下学习与探究。同时微课方便了学生多次播放和速度调整,适合不同层面的学生进行自主学习,显然也就提高了学生的学习兴趣,不再为课堂上教师讲完了还不会而苦恼,增强了学生学习的信心,慢慢培养了学生自学的习惯,为以后初中阶段自学和查阅相关资料做好了必要的准备。
总之,重视中小学数学教学的衔接,就是为了学生的成长奠基,在小学学习中为初中数学学习埋下伏笔,让学生在进入初中后尽快地适应新的学习环境和学习方式,摆脱依赖性,增强自觉性,从而更快更好地提高自己的学习成绩,实现数学学习的健康、可持续发展。因此,在教学时教师不仅要教会学生知识,更要教会学生学习的方法,让学生在进入新的学习环境后第一时间就能适应起来,从而赢在起跑线上。
摘要：中小学数学的衔接,需要实现教学内容、教学方法与学习方法上的衔接,而要想实现中小学数学的无缝衔接,就需要夯实学习的知识基础,培养学生的自主学习能力,为学生的成长奠基。
数与代数 篇8
一、练习课教学中存在的问题
练习课长期以来被定位为“ 教的补充”和“ 教的强化”, 因此, 出现了“ 练习课教学不用备课”的误区, 表现如下:
1.练习课=作业课
许多教师认为, 练习练习, 就是布置作业让学生练, 练完便就题论题, 很少有知识拓展和学法指导, 学生分析和解决问题能力的培养没有得到重视, 整堂课完全是在“ 教练习”。 小学四年级数学“ 数与代数”的练习多以计算为主, 因此, 大量的独立计算任务使课堂气氛更压抑。
2.练习课无层次性
首先, 练习未分层。 许多教师在小学数学教学过程中没有根据学生的认知规律遵循由易到难、由浅入深的原则, 直接按教材编排顺序给学生布置练习, 因此, 在“ 数的运算”教学中出现先练竖式计算, 后练文字题, 再练竖式计算的情况, 让学生觉得重复无序。
其次, 学生未分层。 学生是个体, 个体与个体之间存在差异性。在练习课中对他们“ 一视同仁”, 则会导致基础较好的学生练习课轻松化, 而得不到更深层次的发展;基础较差的学生感到吃力, 仍旧一无所获。
3.练习课形式单一
单一的形式使得练习课枯燥无味, 在课堂中, 如果学生自始至终仅依照教材和练习册独立完成其中的练习, 练习的生活性和趣味性得不到重视, 学生便会对练习课毫无兴趣, 导致课堂效率不高。
4.忽略小结的重要性
在练习课中, 部分教师更重视学生多写多算以达到掌握知识的目的, 而忽略了小结的重要性。在小学四年级数学“ 数与代数”练习课中, 学生一堂课下来一直在计算, 期间或最后教师没有注意引导其总结和归纳方法, 导致学生为练而练, 分析解决实际问题的能力得不到提高。
二、练习课教学策略
针对以上问题, 我将从以下几方面阐述小学四年级数学“ 数与代数”练习课教学的策略。
1.练习课应体现“ 用练习教”的理念
练习课应该围绕练习目标组织内容, 针对学生学习中的薄弱环节进行练习设计, 使学生牢固地掌握知识和方法。 其中, 练习的设计应当精练、得当, 过多或重复的练习会使学生失去学习兴趣, 降低效率;过少的练习不足以使学生巩固知识技能。 练习课上, 教师不可以布置学生反复练习后就题论题, 完全不理会学法的指导和知识的拓展。
2.练习课要突出层次性
首先, 练习分层。 教师在设计练习时应遵循由易到难、由浅入深的原则将练习分层。 例如“: 数的运算”教学中, 教师的设计应从单纯的竖式题目开始, 再到简单的文字题, 最后到开放题。
其次, 学生分层。 观察学生平时在课堂中的表现和课内外作业, 将学生动态分层, 并随时注意学生的变化。 针对学生的分层, 教师在练习的布置方面也要分层, 这有利于不同层次的学生或掌握基础, 或巩固知识, 或得到更好的发展。 教师偶尔也可以“ 用B级人做A级事”, 以激励其奋发进取。
3.练习方式多样化
“ 兴趣是最好的老师”, 针对小学四年级“ 数的认识”枯燥的练习内容, 教师应对各练习设计多种形式的练习方式, 寻找丰富的素材, 合理组织, 使练习课生动有趣。
在重视练习的生活性和趣味性的同时, 对练习的方式作出一些调整, 以激发学生的兴趣。小学四年级数学“ 数与代数”的练习并非都必须以书面化的形式“ 算”, 读数、口算、估算等练习都可以让学生口头练习, 更能训练学生的口算、估算能力及思维能力。 小学四年级学生已开始有自己的“ 想法”, 把自己当做“ 大人”, 幼稚的教学设计只会让他们更反感。 但争强好胜仍是这一年龄段学生的特点, 教师可以以竞赛的方式设计练习, 比正确率和速度。这样, 既节约了课堂时间, 又训练了学生的思维能力。 在组织形式上, 可以让学生独立练习和合作练习。
4.重视小结的作用
在练习分层的情况下, 课堂中的小结显得很有必要。 尤其是在运算中, 不能让学生盲目不停地演算, 在一类或一层题演算结束后, 教师应当分析学生在练习中存在的问题并加以纠正。 另外, 小结的重点是总结由例及类的解题规律和方法。 一类问题得到解决后, 组织学生总结归纳解题规律和方法能更好地巩固和强化知识, 形成技能技巧。
总之, 新课程改革背景下, 小学四年级数学“ 数与代数”的练习课教学应当关注学生原有的认知水平和生活经验, 发展学生的数学思维能力, 增强数感。 教师在教学中应特别注意教学的方式方法, 以取得较高的课堂教学效率为目的, 从而提高小学四年级数学“ 数与代数”课堂教学质量。
参考文献
数与代数 篇9
《全日制义务教育数学课程标准》 (实验稿) (以下简称《标准》) 在“数与代数”的教学中提出发展学生推理能力的要求.“数与代数”是《标准》安排的4个学习领域的课程内容之一, 包括数与代数式的认识及运算、方程与不等式、探索规律等内容.推理是从一个或几个已经知道的判断推出另一个新判断的思维过程.推理分为两大类:合情推理、演绎推理.具备推理能力是每个公民所必需的基本素养, 也是提高学生创新意识、培养创造性人才的关键.在传统的认识中, 人们往往忽视“数与代数”对培养学生推理能力的作用和价值, 常常把推理能力的培养任务交给几何, 而几何证明中的演绎推理, 并不是数学推理的全部.事实上, 数与代数中的运算本身就是严格的演绎推理, 而且在数与代数中, 合情推理的运用比几何中更自然.
1 “数与代数”在培养推理能力方面的价值和作用分析
推理是从一个或几个已经知道的判断推出另一个新判断的思维过程.在实践中, 推理有两方面的作用, 首先推理是“寻求新结果的方法, 由已知进入到未知的方法” (恩格斯《反杜林论》) ;其次推理是证明的工具.任何推理都包含前提和结论两个部分, 前提是推理所根据的判断, 它告诉我们已知的知识是什么;结论是根据前提所推出的判断, 它告诉我们推出的知识是什么, 并且在推理的过程中要合乎逻辑, 即在进行推理时要遵循推理的规则.推理可以分为两大类:合情推理和论证推理.在解决问题过程中, 合情推理主要用于探索解决问题的思路, 发现结论;演绎推理主要用于证明结论的正确性.
1.1 “数与代数”具有培养学生合情推理能力的作用
合情推理是从已有的事实出发, 凭借经验和直觉, 通过归纳和类比推测某些结果, 换句话说就是探求给定事物隐含的规律或变化趋势, 所以在解决问题的过程中, 它有助于探索解决问题的思路, 发现结论.合情推理包括类比推理和归纳推理.类比推理就是根据两个事物 (或两类事物) 的某些相同的性质, 以推测它们在别的性质上也可能相同的推理形式;归纳推理是通过对某类事物的特殊、个别对象的研究, 以概括出该类事物的一般性结论的推理形式.
“数与代数”中设置的数与式、方程与不等式等内容在概念、性质、运算法则及解法之间有很多相似之处, 可以运用类比推理将一类问题的研究方法推广到另一类问题, 从而发现代数中的通性通法.例如, 学习了解一元一次方程之后, 通过类比我们可以将解一元一次方程的方法类推到解一元一次不等式, 从而认识到解方程与解不等式的一致性 (其步骤都需要去括号、去分母、移项、合并同类项) .
探索规律则更是为培养学生合情推理能力量身定制的学习内容, 不论是探索简单的变化规律还是探求给定事物中隐含的规律或变化趋势, 都是一个展开合情推理的过程.探索规律型的问题在给学生提供探索素材和探索空间的基础上, 启发学生积极思考, 让学生经历观察、猜想、分析、寻找内在联系和变化趋势以及归纳推理的思维过程, 从而培养学生的合情推理能力.
1.2 “数与代数”具有培养学生演绎推理能力的作用
演绎推理是从已有的事实 (包括定义、公理、定理) 出发, 按照规定的法则 (包括逻辑和运算) 推出结论.演绎推理的结果是一定的、必然的.运算是“数与代数”的主要内容和主线, 运算本身是严格的演绎推理, 它的每一步都是根据运算律或运算法则进行的.“数与代数”中的运算结果实际上也是从不加证明的公理 (基本运算律) 和基本对象出发, 按照逻辑规则推导出的.“数与代数”中的证明就是根据运算律所进行的运算.
例如, 对于“数与代数”中的数、字母、式来讲, 其运算满足基本运算律 (公理) :
①加法结合律, (a+b) +c=a+ (b+c) .
②存在加法单位元0, 使得
a+0=0+a=a.
③对于每个a, 存在加法逆元-a (通常称为加法负元) , 使得
a+ (-a) =-a+a=0.
④加法交换律, a+b=b+a.
⑤乘法结合律, (ab) c=a (bc) .
⑥存在乘法单位元1, 使得
a·1=1·a=a.
⑦对于每个非零的a, 存在a-1, 使得
a·a-1=a-1·a=1.
⑧乘法交换律, ab=ba.
⑨加法对乘法满足分配律,
(a+b) c=ac+bc.
这9条公理 (基本运算律) 是运算的依据.数与代数中的运算法则也是通过基本运算律推演出来的.例如, 我们习惯的有理数乘法法则“负负得正”, 实际上就是 (-1) · (-1) =1, 是由前面的运算律 (公理) 推导出来的.事实上, 要证明 (-1) · (-1) =1, 只要证明 (-1) · (-1) 是-1的加法逆元 (负元) 即可, 根据负元定义, 即证明 (-1) · (-1) + (-1) =0.证明如下.
(-1) · (-1) + (-1)
= (-1) · (-1) +1· (-1) (根据⑥)
= (-1+1) · (-1) (根据⑨)
=0· (-1) (根据③)
=0. (根据0是乘法零因子 (可以由前面的运算律推出) )
除了上述基本运算律外, 其它有关数的运算法则都可以由基本运算律推演出来.
2 “数与代数”教学中培养推理能力的途经探讨
培养学生的推理能力, 既要重视演绎推理也要重视合情推理, 利用合情推理做出合情的猜想, 再借助演绎推理加以证明, 这才是数学推理的全过程.在中学数学中, 教师要充分认识“数与代数”对培养学生推理能力的作用与价值, 寻找和发现培养学生推理能力的途径.在概念、性质等的教学过程中、数学知识的应用过程中、探究性数学活动中都可以融入推理能力的培养.
2.1 在概念、性质等的教学中培养学生的推理能力
“数与代数”部分的概念、性质、法则之间都有很多相似之处, 如分数与分式、数的运算性质与多项式的运算性质等等.这也就给合情推理提供了一个平台, 在教学中可以根据不同对象之间属性的相似进行类比推理, 以帮助学生更好的理解和记忆, 还可以在已掌握的知识基础上对概念、法则等尝试运用归纳推理来加以概括.
例如, 将分数与分式进行类比.
形如
分数的基本性质,
分数的运算,
类比结果:形如
分式的基本性质,
(M为不等于零的整式) ;
分式的运算
数与代数中的基本运算律 (如, 前面提到的9条运算律) 都可以通过对实例的操作和分析归纳得出.对有理数加法、乘法法则, 以及加法、乘法运算法则也都可以采用归纳推理形式提出.例如, 对于有理数乘法法则的归纳, 两个有理数相乘, 有这样几种情况:①正数乘以正数;②负数乘以负数;③正数乘以负数;④负数乘以正数;⑤正数乘以0;⑥负数乘以0;⑦0乘以正数;⑧0乘以负数;⑨0乘以0.通过对以上这几种特殊情况的考察可以归纳出有理数乘法法则:两数相乘, 同号得正, 异号得负, 并把绝对值相乘;任何数与0相乘仍得0.归纳出的这些运算法则就可以进一步用运算律来证明.当然在中小学不要求证明, 只要归纳出来会用就可以了.
2.2 在运用知识的过程中培养学生的推理能力
在“数与代数”这部分内容的解题过程中灵活运用概念、性质、运算律等知识, 可以培养学生的演绎推理能力.数与式的运算本身就是严格的演绎推理, 在推理过程中要重视前提的真实, 遵循推理的规则, 每一个“=”都有理由.解决问题的过程中不仅仅要会算, 而且要明确每一步是依据什么, 即要知道算理, 从而提高学生思维的严密性和逻辑性, 培养演绎推理能力.
例如, 有理数四则运算2+ (-3) ·4=2+ (-12) =-10, 要让学生思考每一步“为什么”, 要让学生清楚“=”的理由.本例是根据有理数混合运算法则:先算乘法再算加法, 乘法法则中异号两数相乘得负, 并把绝对值相乘, 还有用到加法法则.这些法则的正确运用使得运算过程正确无误, 有理有据.
2.3 在探究性数学活动中培养学生的推理能力
通过数学活动来培养学生的推理能力.适当的展开探究性的数学活动可以提供给学生从“预测”到“探究”的机会, 激起学生的兴趣, 让他们自己“悟”出道理、规律和思考方法.所以教学过程中, 教师应当选择适当的内容组织合理的数学活动, 给学生提供探索交流的空间, 引导他们经历观察、实验、类比、猜想、证明等过程, 以培养学生的推理能力.
例如, 指导学生独立的发现日历的规律.表1是某个月的日历.
①日历中阴影部分的9个数字之和与9个数字中间的数有什么关系?
②这个关系对其他这样的方框成立吗?你能用代数式表示这个关系吗?
③这个关系对于任何一个月的日历都成立吗?为什么?
④你还能发现这样的9个数字之间的其它关系吗?用代数式表示.
可以指导学生先从观察开始去探索发现各个问题的结果, 也可能学生会发现其它的关系, 总之, 找几个这样的方框检验一下得到的规律.如果用字母a表示阴影部分数字最中间的数, 9个数的和为9a, 那么9个数可以表示为表2.
教师还可以指导学生去发现多种关系并加以检验, 通过这种情境化、生活化的问题, 不仅使学生产生学习兴趣并主动探究, 从中体会到探索规律的价值, 逐步学会用数学来解决实际问题, 而且还能将归纳推理思想渗透到具体学习过程之中, 并使得学生合情推理能力得到很好的锻炼.
参考文献
[1]孙名符, 吕世虎, 等.数学.逻辑与教育[M].北京:高等教育出版社, 1994.
[2]王瑾, 史宁中.中小学数学中的归纳推理:教育价值、教材设计与教学实施[J].课程.教材.教法, 2011, (2) .
[3]史宁中, 郭民.中学数学证明的教育价值[J].课程.教材.教法, 2007, (7) .
[4]G.波利亚.数学与猜想-数学中的归纳和类比[M].北京:科学出版社, 2002.
[5]赵振威.中学数学与逻辑[M].南京:江苏人民出版社, 1978.
数与代数 篇10
关键词：积聚梳理,内化提升,小学,数学,总复习
一、课时划分 (共16课时)
1.数的认识 (3课时)
重点复习小学阶段所学数学的概念:整数、小数、分数、百分数、负数等, 主要涵盖五方面内容:数的意义、数的读写法、数的大小比较、数的性质、数的改写。
第一课时:课本第76页练习十三1、4题。
预设目标:比较系统地掌握整数、小数、分数的意义、计数单位和性质以及百分数、负数的意义;在经历数的整理过程中, 使学生掌握一些知识整理的方法。
第二课时:课本第77页练习十三第2、3、5、6、7题。
预设目标:进一步理解掌握小数、分数、百分数之间的联系, 能正确熟练地进行数的改写和大小的比较, 在感受数学知识之间相互联系的过程中体会数学的作用。
第三课时:练习十三第8、9题, 前2课时中反映出的薄弱处的针对性练习。
预设目标:进一步理解掌握因数、倍数、质数和合数的含义, 掌握2, 3, 5的倍数的特征, 能熟练地找出两个数的最大公因数和最小公倍数, 提高学生对各类数的理解。
2.数的运算 (3课时)
第一课时:课本第80页练习十四第1、2题。
预设目标:进一步系统地理解加、减、乘、除四则运算的意义和计算方法, 并能正确熟练地计算;沟通口算、估算、笔算之间的联系, 促使学生养成良好的计算习惯。
第二课时:课本第81页练习十四第3、4题。
预设目标:理解掌握有关运算定律和性质, 并能灵活运用知识, 使计算简便;进一步提高学生四则混合运算的能力。
第三课时:课本第82页 练习十四第5~7题。
预设目标:进一步理解掌握用算术法解决问题的一般步骤和策略, 提高学生应用知识解决实际问题的能力。
3.式与方程 (2课时)
第一课时:第84练习十五第1、2题。
预设目标:进一步理解用字母表示数的意义和方法, 能用字母表示常见的数量关系、运算定律、几何形体的周长、面积、体积等公式;理解方程的含义, 能正确熟练地解简易方程。
第二课时:第85页例3练习十五第3~5题。
预设目标:进一步体会运用方程解决问题的优越性, 提高学生运用方程解决实际问题的能力。
4.常见的量 (1课时)
复习内容:课本第87页练习十六。
预设目标:理解并掌握常用的计量单位、质量单位和时间单位等, 能正确运用进率进行单位换算与改写, 并能正确使用学过的计量单位来解决实际问题。
5.比和比例 (2课时)
第一课时:课本第89页练习十七第1、2题。
预设目标:进一步理解比和比例的意义与性质, 比和分数、除法之间的关系, 能正确地求比值和化简比。
第二课时:课本第89页练习十七第3~5题。
预设目标:进一步理解正反比例的意义, 能正确判断两种量是否成正比例或反比例, 并能熟练地运用比例知识解决有关实际问题。
6.数学思考 (3课时)
第一课时:课本91页练习十八第1~3题。
预设目标:学会通过动手操作来寻找规律, 巩固发展学生以简驭繁找规律的能力。
第二课时:课本第92页练习十八第4、5题。
预设目标:进一步发展学生分步枚举组合的能力, 初步感悟乘法原理。
第三课时:课本第93页练习十八6、7题。
预设目标:学会借助列表进行推理, 进一步发展学生的逻辑推理能力。
这部分知识重在数学思想方法的渗透和数学思维能力的提升, 学生掌握有一定的难度, 可根据学生实情, 分层预设目标。
7.综合素质测试与评析 (2课时)
二、教学建议
1.重视课前复习
课前复习, 既“承上”, 又“启下”。“数的认识”这部分知识复习时概念多、法则多、定律多, 所以课前要有目的地布置相应的问题让学生进行复习。如:第一课时, 课前可布置以下问题:小学阶段, 我们学习了哪些数?你知道这些数的意义吗?这些数的计数单位、基本性质分别是什么?你还知道这些数的哪些知识?这样既有利于提高学生复习的主动性, 减小遗忘的几率, 也有利于提高课堂复习效率。
2.重视情景创设
这部分内容的核心是数、量与计算, 学生难免会感到枯燥乏味, 因此教师要创设情境, 包括现实情境与数学情境, 着力引导学生联系实际或数学实例来加深理解。如复习“常见的量”, 教师课前可收集一些图片让学生欣赏。如:杭州湾跨海大桥全长36 km;一个鸭蛋约重60 g;数学书封面大小约为3 dm2;一部手机所占空间约是65 cm3;刘翔110米栏的成绩约是13 s;买“肯德基全家桶”需要72元等。欣赏后让学生解读:从这些信息中, 你了解到了什么?随机引出“长度”、“质量”、“面积”、“体积”、“时间”、“人民币”等生活中常见的“量”, 学生学得情趣盎然。
3.重视归纳整理
课堂上, 复习不再仅仅是旧知识的回忆和再现的过程, 而是引导学生自主整理归纳, 织成线串成网, 促使知识系统化的过程。如:教材没有安排“因数和倍数”专题复习, 只在第77页“你还知道哪些关于数的知识时”设计了一个问题:因数、倍数、质数、合数的含义是什么?并在练习中安排了一题填一填。但是, “因数和倍数”这单元概念多易混淆。为此, 我们增设了一节“数的认识”的复习课, 在布置课前复习的基础上, 课中通过举例引出各种概念后, 放手让学生用网络图来表示各个概念之间的关系, 引导学生自主归纳整理, 促进了学生认知结构的拓展与延伸。
4重视补充拓展
如有关数的认识、起源, 有关新的计量单位 (计算机存储空间G, kB) 等, 教师均可适度补充拓展, 让文化浸润数学课堂。又如有关估算、求比值和化简比等知识教材很少有相关的练习, 教师要适当补充;再如有些综合性的练习或针对性的练习, 教师也要跟进补充, 适度拓展。
5.重视良好习惯的强化
(1) 计算习惯:新课改后, 学生的计算能力下降了, 其原因之一是学生计算习惯差。所以教师一定要注重学生认真审题、认真计算、认真检查和验算的习惯的强化。
(2) 自我查漏:毕业班学生已经有一定的自我纠错能力, 所以教师要引导学生自我“查漏”, 收集自己的错题, 并做好简要记录。这样既可防止类似错误的发生, 又能提高学生的自我评价能力。
6.重视学困生的个别辅导
数与代数 篇11
关键词：“数与代数”教学 实际操作 应用 实践探求
在传统教学中，“数与代数”教学最突出的问题是教学缺少实践性，与生活实际联系不紧密，使学生既无法理解数学问题的本质，又无法了解数学学科的实际应用价值。结合多年教学实践，笔者阐述了“数与代数”教学中的实践应用。
一、通过创设实际情境给学生提供实际操作的机会
《新课程标准》对数学教学提出了三维目标，更强调过程与方法目标。在“数与代数”的教学过程中，教师应注重创设实际情境，让学生在实际情境中慢慢理解数学知识，逐渐加深对“数与代数”的认识。如教师可以设计贴近生活的问题：“在某次水灾后，有约20万民众的正常生活受到影响。现在救援组面临一个问题，据推测灾情仍将持续一个月左右，那么他们需要运来多少帐篷和粮食（每个家庭按4人计算；每人一天口粮按0.5千克计算）？”引导学生在解决实际问题中加深对数的理解和认识；又如在教学“概率”时，教师可向学生展示几幅景物图片，让学生投票选出自己喜欢的图片。待学生投票结果出来后，教师再进一步引导学生算出相应的概率，从而使学生更深刻地理解概率的涵义和实际应用。
二、在教学中适当引入游戏教学，带动学生参与到实际教学活动当中
不论是处于哪个阶段的学生，相较于枯燥无味的模式化教学，游戏教学更能激发学生的学习兴趣，所以在教学“数与代数”时，教师应适当引入有趣，且与“数与代数”内容相关的游戏，让学生在轻松愉快的游戏教学中掌握知识，提升能力。如在教学“自然数”时，教师可以开展“开宝箱”“猜电话号码”等游戏；在教学“分数”时，教师可通过折纸构造分数的方法，让学生对分数形成初步的认识，或通过“相反意义对口令”游戏，让学生熟练掌握负数的概念等；在探索规律时，教师可引入“数字阶梯”或“数字键盘”等游戏。
在“数与代数”教学中，教师可采用的教学模式有三种：第一，带领学生开展数学活动，由活动引出问题，引导学生自主思考和合作探究，在培养学生思维能力的同时，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力；第二，围绕教学内容与学习情境引导学生发现问题，提出合理假设，组织开展与教学内容、教学目标紧密联系的游戏活动，让学生在实践活动中进行实际操作、相互交流，在“再创造”过程中历经问题的解决过程；第三，针对学生的计算能力开展游戏教学，改变计算练习的机械枯燥，让学生乐于参与教学活动，在游戏中巩固知识。
三、开展探究式教学活动，引导学生自主进行实际操作
探究式教学能为学生提供更多实际操作的机会，因为探究活动是围绕问题而展开的，所以在运用探究式教学方法开展教学活动时，教师要注意创设问题情境，把数学问题蕴含于情境中，逐步挖掘问题。如教师可以把教学情境与生活实际紧密联系起来，鼓励学生在发现问题的基础上大胆猜想，从多角度进行求证，充分发挥学生的主体性，锻炼学生的创新思维。另外，教师可引导学生进行小组合作探究式学习。如让学生给“已知小明步行速度为每小时5千米，骑自行车速度为每小时12千米”这个题目补充条件，续写问题，并计算出结果。
四、结语
“数与代数”教学涉及的内容属于研究数量关系、变化规律的数学模型，是对现实世界的一种刻画。通过“数与代数”的教学，教师能帮助学生从数量关系的角度出发，认识、描述和把握现实世界。为此，在“数与代数”的实际教学中，教师应创设实际情境，引入游戏教学或者开展探究式教学，给学生提供更多实际操作的机会，让学生通过实践操作提升自主探究、解决实际数学问题的能力。
参考文献：
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[2]钟远红，张赛花.解读“数与代数领域”的有效教法[J].E动时尚（教育科研论坛），2013，（1）.
[3]徐斌.重视过程，积累数学基本活动经验——以“数与代数”教学为例[J].教育研究与评论：小学教育教学，2012，（6）.
数与代数 篇12
一、现实中抽象出数的概念, 培养学生数感
初中数学课程的“数与代数”简单地说主要由两部分构成, 即“数”和“代数”, 其中“数”就是一连串的阿拉伯数字。因此, 教师首先应该联系生活实际培养学生的数感, 让学生对一些常规的数值有一定的感知能力, 这是培养数学思维的开端。所谓数感主要表现在:理解某个数值在具体情境中的意义, 能用数解决生活实际问题, 能用数证明某一种结论, 能对某一种情形进行数值估计并进行相关计算, 能够用不同的方式表达数, 等等。由此可见, 数感的范围比较广泛, 对学生有着很高的能力要求。因此, 教师应该改变以往的说教式教学, 而应转向更加生动性、实用性的教学, 深入浅出, 化难为易, 将抽象的数字放置在具体的情境中, 使学生能够从自身的生活经验理解数的含义, 这样学生学习起来将变得非常轻松, 然后整个课堂的学习效率就会大大提升。
如对一个非常小的数值的理解———1克, 如何让学生更加准确地理解这个数字的含义?教师可以从生活实际出发, 列举身边的例子加深学生们的印象, 教师可以告知同学们1克是非常小的重量单位, 我们平常使用的一角硬币的重量就是1克。再如对一个非常大的数值的理解———3亿, 教师同样可以用生活中的事实出发:如果一个人一天节约一度电, 我国13.3亿人口, 一年能节约多少度电?合计多少钱?设1度电0.5元, 13.3×365×0.5=2427.3亿元, 发一度电约产生0.8千克二氧化碳, 按上述算法将减少多少吨二氧化碳的排放?4854.5×0.8=3883.6亿千克=3.8836亿吨。这样教师在具体的事实中让同学们感知到了数字的力量, 增加了数感。
二、创设情境, 培养学生符号感
“数与代数”第二个重要方面的学习就是“代数”, “代数”就是抽象的数字, 一般用字母符号来表示。初中数学涉及到的主要是初等代数, 包括方程式的求解和函数的运用等。代数本来是可以用来解决普遍的数量问题, 这在一定程度上简化了运算过程, 但在实际教学中学生可能对于抽象的概念不好理解, 于是从具体到抽象的过程, 学生更是不可能通过实例能够结合理解的, 因此教师在教学的时候就应该努力创设情境, 培养学生的符号感。符号感主要表现在:能够转化思维, 用某一符号代表一个变量;能够发现规律, 完成从个别到一般的推理;能够根据题意设置合理的变量代数, 并列出方程或者函数, 等等。在教学中, 教师应该注重传授给学生解题思路和技巧, 培养“大格局”的意识, 逐步帮助学生建立符号感。
如给出下列一组算式:1+3=?1+3+5=?1+3+5+7=……教师首先应该让学生思考:从上面这些算式中你能发现什么?让学生经历观察、比较、归纳、提出猜想等一系列的过程, 重在培养学生发现问题、分析问题的能力, 只有这样学生才能学会举一反三, 真正学到方法。
三、主动探究, 培养学生的应用意识
兴趣是最好的老师。学生有了兴趣后就能具有自主探究的意识, 就能在数学领域进行深层次的拓展与开阔。而学生也只有不拘泥于课堂学习的内容, 不拘泥一种思维定势, 敢于打破陈规, 敢于标新立异, 才能取得创新性进步, 这也是数学学习最应具备的精神。而数学学习, 尤其是“数与代数”的学习目的不仅仅在于解决书本上的答案, 更重要在于能够与实际紧密联系起来, 并解决实际中出现的问题, 甚至借助数学改变社会, 让生活变得越来越美好。因此, 教师在实际教学过程中, 应该给学生制造更多的想象空间, 尊重学生思想观点的自由表达, 精心设置教学课程, 提高学生们对数学学习的兴趣, 适当采用课堂小组学习的方式, 激发学生们讨论问题的热情, 等等, 只有这样才能培养学生主动学习的能力。更为重要的是, 教师应该多以实际问题切入, 注重增强学生学以致用的意识。
如苏教版初一教材有关于“合并同类项”的学习, 教师可以拿出一袋硬币, 让学生数一下多少钱, 学生在数钱的过程中肯定会将硬币分成三堆:一堆1元, 一堆5角, 还有一堆是1角, 然后分别数出每一堆的数量, 最后分类汇总。在最后学习了“合并同类型”课程后, 学生们会发现合并同类项与数钱是一个道理, 这样不仅引导了学生自主探索, 也让学生明白学习数学可以简化生活。