近世代数

2024-11-22

近世代数（精选6篇）

近世代数篇1

摘要：本文主要给出了近世代数中几种重要的基本代数思想,即同态与同构思想、等价分类思想、子代数(系统)思想。同时,给出了如何在教学中渗透这几种基本代数思想,强调了近世代数教学的重点之一是代数思想的渗透。

关键词：近世代数,代数思想,渗透

一、近世代数的重要作用

近世代数是大学数学与应用数学专业以及信息与计算机专业的基础课程之一,是以研究抽象代数系统的性质与构造为主的一门课程,故也称之为抽象代数,近世代数也是现代数学各个分支的基础。随着科技的不断发展与实际应用的需要,近世代数的基本理论与基本思想越来越渗透到各个学科领域,特别是电子计算机、信息与编码等领域。因此,近世代数教学中一些基本的代数思想的渗透不论对学生今后的数学学习还是从事其他学科的研究工作都有着重要的指导意义。

二、近世代数中的几种重要基本代数思想

(一)同态与同构思想。

近世代数主要是研究带有运算的集合,也即代数系统。因此,近世代数一般很少考察一般的映射,而是重点考察和运算有关的映射,也就是同态映射和同构映射。同态映射和同构映射主要是研究代数系统之间的关系,由已知的代数系统的性质推得未知的代数系统的性质,特别地,同构映射是比较两个代数系统最有力的工具,因为互相同构的代数系统的运算性质是完全一样的。因此,同态与同构思想是研究代数系统有效的代数思想方法之一。

(二)等价分类思想。

研究代数系统除了同态与同构思想之外,另外一种常用方法就是把代数系统分成若干个子集来加以讨论,也就是集合的分类。所谓集合的分类是把集合的全体元素分成若干互不相交的子集。通常是给出所研究的代数系统上的一个等价关系,利用此等价关系来对代数系统分类。集合的分类与集合的等价关系之间密切相连,即集合的一个分类决定集合上的一个等价关系,反过来,集合上的一个等价关系也决定一个集合的分类。正因为如此,等价分类思想的地位显得尤其重要。

(三)子代数(系统)思想。

研究代数系统另外一种常用方法就是用其子代数系统来研究原代数系统,特别地,要根据子代数系统的特征对原代数系统进行分类,一般是利用子代数系统建立集合上的等价关系,再利用等价等价关系对代数系统进行分类。如群论的全部内容都在不同程度上和子群有联系。

三、如何在教学中渗透上述几种代数思想

(一)同态与同构思想的渗透。

在介绍同态映射与同构映射的定义时,强调:同态映射的本质是保持运算的满射,类似地,同构映射的本质是保持运算的双射(一一映射)。虽然课本中同态映射与同构映射的定义是以带有一个代数运算的代数系统为例给出来的,但经过上述强调后,学生很自然而然地给出带有多个代数运算的代数系统的同态映射的定义与同构映射的定义。如,群是带有一个代数运算的代数结构,学习了群同态与群同构之后,在学习带有两个代数运算的代数结构——环与域的时候,学生便很容易理解环(域)同态与环(域)同构的概念,在介绍定义之前,可以让学生先自己给出环同态与环同构的定义,以加深对同态映射与同构映射概念的理解。

(二)等价分类思想的渗透。

此代数思想的重点是理解等价关系和分类的联系,在介绍等价关系和分类间的联系的定理时,强调:互相等价的元素同在一类,不再同一类的元素是不等价的。特别在后面介绍群的左(右)陪集时,要给学生强调就是利用子群建立群上的等价关系并对群进行分类,这些类就是子群的左(右)陪集。进一步可得到著名的拉格朗日定理,体现了等价分类思想重要应用的一个方面。另外,利用正规子群建立群上的一个等价关系对群进行分类,这些类就是子群的陪集,再与群同态及同构结合起来,得到了群的三大同构定理。类似地,在研究环的时候,利用理想(与不变子群地位相当)建立环上的等价关系并对环进行分类,得到相应的环同构定理。

(三)子代数(系统)思想的渗透。

子代数系统简称为子代数,在近世代数教材中没有提及子代数(系统)这一概念。实际上,在介绍群、环时所涉及到的子群、正规子群、子环、理想等都属于子代数。虽然教材中没有提及,但在介绍子群概念的时候就要把这一代数思想给学生介绍一下。强调:所谓子代数就是代数系统的非空子集关于该代数系统的运算也作成相同的代数系统。这样学生便能理解子群的本质就是群的非空子集关于该群的乘法运算也做成一个群。类似地,在学习后面的代数系统环时便很容易理解子环的概念。进而可以更好地理解特殊的子代数的概念,如正规子群、理想等相关概念。

总之,上述几种代数思想在近世代数中的重要作用是不可替代的。通过对这几种基本代数思想的强调,加深学生对这几种代数思想的理解与把握。不仅达到渗透这几种基本代数思想目的,同时也把近世代数的核心内容前后联系贯穿起来,使得学生对这门课程也有了一个整体把握。

近世代数篇2

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。A、2阶

B、3 阶 C、4 阶 D、6 阶

2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个 B、5个 C、6个 D、7个

3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。

A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂

4、下列哪个偏序集构成有界格（）

A、（N,）B、（Z,）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、(P(A),)

5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）

A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。

2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f1fa----------。

3、区间[1，2]上的运算ab{mina,b}的单位元是-------。

4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。

5、环Z8的零因子有-----------------------。

6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。

n9、设群G中元素a的阶为m，如果ae，那么m与n存在整除关系为--------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？

2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？

3、设有置换(1345)(1245)，(234)(456)S6。

1．求和1；

2．确定置换和1的奇偶性。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。

近世代数模拟试题三

参考答案

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、C；

2、C；

3、D；

4、D；

5、A；

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、唯

一、唯一；

2、a；

3、2；

4、24；

5、9、mn；

6、相等；

7、商群；

8、特征；；

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。

2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2：

因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2，因而a-b, ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：

1(1243)(56)

3、解： 1．，(16524)；

2．两个都是偶置换。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a0，由理想的定 3

1a义a1，因而R的任意元bb1

这就是说=R，证毕。

2、证必要性：将b代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，所以b=a-1。

—————————————————————————————————————— 一．判断题(每小题2分,共20分)

1.实数集R关于数的乘法成群.（）2.若H是群G的一个非空有限子集，且a,bH都有abH成立，则H是G的一个子群.（）3.循环群一定是交换群.（）4.素数阶循环群是单群.（）

5.设G是有限群，aG，n是a的阶，若ake，则n|k.（）

6.设f是群G到群G的同态映射，H是G的子群，则fH是G的子群.（）7.交换群的子群是正规子群.（）8.设G是有限群，H是G的子群，则GH|G|.（）|H|9.有限域的特征是合数.（）10.整数环Z的全部理想为形如nZ的理想.（）二．选择题(每小题3分,共15分)11.下面的代数系统G,中，（）不是群.A.G为整数集合，为加法； B.G为偶数集合，为加法； C.G为有理数集合，为加法； D.G为整数集合，为乘法.12.设H是G的子群，且G有左陪集分类H,aH,bH,cH.如果H的阶为6，那么G 的阶G（）

A.6；

B.24；

C.10；

D.12.4

13.设S31,12,13,23,123,132,，则S B.2；

C.3；

3中与元123不能交换的元的个数是

A.1；

D.4.14.从同构的观点看，循环群有且只有两种，分别是（）

A.G=（a）与G的子群；

B.整数加法群与模n的剩余类的加法群； C.变换群与置换群；

D.有理数加法群与模n的剩余类的加法群.15.整数环Z中，可逆元的个数是()。

A.1个

B.2个

C.4个

D.无限个三．填空题(每小题3分,共15分)

16.如果G是全体非零有理数的集合，对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是.17.n次对称群Sn的阶是____________.18.整数加法群Z关于子群nZ的陪集为.19.设N是G的正规子群，商群GN中的单位元是。

20.若R是交换环, aR则主理想a____________.四．计算题(第21小题8分, 第22小题12分，共20分)21.令6123456123456，543212315641621354，计算,.123456

22.设H{(1),(123),(132)}是3次对称群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，并说明H是否是S3的正规子群.五．证明题(每题10分,共30分)

23.设G是群，H是G的子群，证明：aG，则aHa1也是子群

24.设G是群，H是G的正规子群.G关于H的陪集的集合为

GH{gH|gG}，证明：G/H对于陪集的乘法成为一个群，称为G对H的商群.25.证明：域F上全体nn矩阵的集合MnF在矩阵的加法和乘法下成为环.一．判断题(每小题2分,共20分)

1-10 ××√√√ √√√×√ 二．选择题(每小题3分,共15分)11.D；12.B；13.C；14.B；15.B.三．填空题(每小题3分,共15分)16.1； 17.n!；18.nZ,nZ1,,nZn1；

19.N；20.aR.四．计算下列各题(第21小题8分, 第22小题12分，共20分)

21.解：123456546213，4分 6

1123456.8分

31264522.解：H的所有左陪集为

H{(1),(123),(132)}，(23)}4分

12H{(12),(13),；H的所有右陪集为

H{(1),(123),(132)}，H12{(12),(13),(23)}.对S3，有HH，即H是正规子群.12分五．证明题(每题10分,共30分)

23.证明：因为H是G的子群，对任意x,yH，有xyH.4分由题意，对任意

1,ax,yH，有ax11ay1aa，a从H而

axaay111aaxy11aaHa1，即aHa1也是子群.10分

24.证明：首先G3分 H对于上述乘法是封闭的，且乘法满足结合律.陪集HeH是它的单位元，eHgHegHgH,gH.7分又任意gH，有gHgHeHgHgH，即gH是gH的逆元.10分

25.证明：MnF关于加法是封闭的，且满足结合律， 3分零元是0nn，对任意AnnMnF，有AnnAnn0nn，即Ann的负元是Ann.111MnF关于乘法是封闭的，且满足结合律，单位元是Enn. 8分

近世代数篇3

关键词：近世代数数学美和谐美

近世代数是以研究代数系统的性质与构造为中心的一门学科，它不仅是现代数学的重要基础，也是许多其他现代科学的基础，已成为数学专业成人高等教育学生的重要专业必修课程之一。近世代数中的等价、划分、同态、同构等思想方法，不仅是最重要的数学方法之一，而且也是观察和研究自然和社会的普遍采用的方法。随着科技的不断发展与实际应用的需要，近世代数的基本理论与基本思想逐渐渗透到编码与信息安全等领域。本文将以近世代数中几个重要而又典型的代数系统为切入点，探讨近世代数中蕴涵的数学美，从而揭示其臻美取向和人文底蕴。

一、代数结构的简单美

在最基本的逻辑层次——集合和映射基础上抽象而成的各大代数系统，由于其抽象出的概念不再是客观事物原本的形象，从抽象概念逐级演绎出的推理论证的方法，排除了自由、价值、人文等生活中的终极意义的信念，完全置身于抽象的世界之中。要还原抽象系统的物理及其本质属性，需要利用多种方法对其本身结构加以认识，找出系统间的结构关系，实现系统的同构、同态等等。下面仅通过同构进行研究和分析上面所提到的代数系统。

同构也称同构映射，是现代数学一个很重要的基本概念。同构关系是一种等价关系，等价的两个代数系统具有完全相同的代数性质和数学构造，在代数性质上可以视为同等的。继群之后逐步建立的其他代数系统结构研究，常常也会使用同构和同态等工具。比如，向量空间的扩展就是模。又如，对于很多域的研究可以转化为本身的同构群，进而使研究变得更清晰易懂。竭力找出系统间的结构关系，实现同构、同态等意义下的简单形态，这是研究代数系统的方法论准则。

二、代数理论的结构美

无论系统结构在深度和广度上如何扩展，系统最基本的属性就是集合，而由代数运算和公理条件所限定的结构，将本来彼此独立的各元素密切的联系起来，使得元素之间有了远近关系、大小之分及运算，使得系统有了架构。因此，代数系统的逻辑起点是一致的，集合和映射以及必要的公理条件是所有系统都具备的要素。不同的系统有着统一的逻辑起点，统一的系统又会有差异，差异中有统一、统一中又存在差异，这正是近世代数建构美的本质所在。代数系统的建立都是希望用统一的、抽象的方法来整体考察，并不去考虑独立的元素。近世代数建立的理性美体现在：逻辑一致、统一协调、整体把握。

.我们认识近世代数建立与扩展中逻辑基础的简单一致，以及为了研究系统之间的结构关系，实现同态、同构等意义下的简单形态的理性思维，就是从共性上把握对象间的本质，品味数学表达与分析中的质朴、和谐、涵盖美的数学内在美，体验数学的联系带来的深刻美学价值。.

三、代数理论的现实美

数学和其他任何学科都面临着同一个问题：它能派在什么用场？就是说它的实实际意义或价值是什么。数学能发展到高度抽象的近现代数学时期，使得逻辑抽象实现的纯数学领域更渴望找到其本身存在的直接或间接的实际意义，尽管数学家纯粹的思维实现的只是数学体系内部逻辑发展的必然性，这样必然走向理论先行的、超验的道路上，而现代物理学在寻求本身发展的同时找到了其必需的工具——数学，意外的为数学找到了存在的意义，回归了价值美。

比如，群论的产生最初是在探讨高次方程的求解时，发现了方程的根的对称性和平等性是解决全部问题的关键。随着科学的发展，近世代数的研究成果和方法已逐步被应用到工程技术中，如代数编码学、语言代数学、代数自动化理论等领域，并对组合数学的突起和发展产生了重要影响。

四、代数系统的和谐美

数学美之根源在于统一和和谐统一性，源于对事物的本质认识和科学抽象，如在解决五次或者五次以上代数方程的根式解问题时，阿贝尔和伽罗华引入了置换群的理论之后，人们慢慢发现，对于这一理论中大多数的本质问题来说，用以构成群的特殊材料——置换并不是最主要的，重要的只是在于对任意集合里所规定的代数性质的研究，这样就把置换群的研究推进到了更一般的抽象群的研究上去，把群的研究建立在公理化的基础上，使他的理论变得更加严谨和清晰。这种和谐统一将特殊问题化为一般讨论，是科学抽象的典型应用。

在近世代数中，除了研究某种代数系统如群环域等自身的内部结构之外，考虑代数系统间的联系也是具有重大的意义，这种联系往往以某种代数系统在另一种代数系统上的作用来实现。譬如模就是具有环作用的交换群。许多在表面上看来差异很大的代数系统，如交换群环理想线性空间，在模的语言下都统一了起来。

五、近世代数的抽象美和自由美

从初等数学的基本概念到现代数学的各种原理都具有普遍的抽象性与一般性。从伽罗瓦和阿贝尔开创以来，近世代数以绝对抽象的代数系统的结构为研究中心，实体化的公理转变成了形式化的公理，数学的公理化方法所體现的理论简单性更加复杂了。近世代数中所处理的概念，比如，群、环、域、模等及其理论是抽象的，脱离了具体事物内容，它们当中都蕴含着抽象美和自由美。

总之，近世代数的教学是一个伴随着研究和创新的过程，它需要掌握一定的数学方法。在近世代数的教学中，通过挖掘其中所蕴涵的数学美和数学思想方法，有助于揭示数学知识的精神实质，可以让学生掌握近世代数的精髓，有利于培养学生的抽象思维能力和审美能力，有利于培养学生的综合素质和创新意识。

参考文献：

[1] 数学辞海（第二卷） [ Z]. 北京：中国科学技术出版社，2002.

[2] 张禾瑞. 近世代数基础 [M]. 北京：高等教育出版社，1985.

[3] M. 克莱茵. 数学与知识的探求 [M]. 刘志勇译. 上海：复旦大学出版社， 2005.

[4] 吴品三.近世代数[M].北京：高等教育出版社， 1979： 61-63.

[5] 郭华光，徐祥，裴定一. 近世代数课程教学内容的改革与实践[J]. 广州大学学报（自然科学版）， 2003，（6） .

近世代数课程教学刍议篇4

代数最初主要研究的是数, 高等代数虽然引入了行列式、矩阵等概念, 但还是离不开数.人们发现, 许多抽象的对象也都具有类似于数的这一特征, 于是对它们的结构和性质进行了研究, 并且应用它们解决了许多重大的数学问题和实际问题, 这就导致了近世代数的产生和发展.随着现代科技的飞速发展, 特别是信息、电子科学研究的不断深化, 近世代数的基本思想、理论和方法的重要作用越来越明显, 而且它已经渗透到科学领域的各个方面与部门.尤其是近世代数在编码和信息安全方面的应用更被认为是基础数学应用的一个成功典范.另外, 近世代数中的等价、划分、同构等思想方法对于提高学生的数学修养、培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力有着重要的作用.它需要学习者具有敏锐的直觉思维和严谨的逻辑思维, 同时也需要构造性的思路和精练的抽象思维.

二、近世代数课程的教学研究与实践

由于近世代数的高度抽象性不同于其他数学学科, 初学者很难掌握用近世代数的基本思想和理论来处理或解决具体问题的方法, 从而直接影响了后继课程学习的热情.这给教师提出了严峻的挑战, 究竟如何组织教学, 才能使学生轻松愉快地学习并掌握该课程内容?通过实践, 我们觉得可从以下几个方面尝试.

1. 教学内容的组织.

教学内容的组织是教学工作的重要环节, 它直接影响学生的学习兴趣与学习效果.近世代数的教材是代数学已发展成熟、理论完善之中的最重要的基础.由于教材的篇幅所限, 大多以一种简化理想的、服从数学演绎推理的逻辑结构形式呈现, 比较注意知识的科学性、系统性和逻辑体系, 而对知识的发生与发展过程, 对蕴含于知识之中的思维价值与智力价值则较少反映;对蕴含于数学问题中的数学思想和方法也较少予以明确的揭示.所以必须领会教材内容的精神实质, 考虑学生学习过程的心理活动规律, 改变教材的形式化表述顺序, 立足于代数学知识产生的背景, 对所选的材料按教育科学的原理加工、改编, 用多种形式来呈现教学内容, 将数学知识学术形态转化为教育形态, 恢复原始的思考过程, 注重分析各概念的来龙去脉, 强化代数学中最基本的思想和方法, 让学生逐步感悟到研究各种代数运算系统的作用和好处.这样不仅符合学生的认知规律, 易于他们进入实质性的理解, 也便于学生主动建构知识.

2. 教学策略的实施.

(1) 重视概念教学.概念是判断、推理和论证的基础, 准确地理解和掌握概念, 才能做出正确的判断、推理和论证.近世代数本身是一种“概念的游戏”, 其内容比较抽象.而且近世代数的教材编排一般是“定义→定理→性质”的模式, 单调枯燥, 进一步影响了学生学习这门课程的情绪.教学中可以尽量调动学生已有的各种数学知识, 举出丰富多彩的具体实例, 揭示概念的本质特征, 在形象与抽象之间架起一座桥梁, 使学生主动地构建这些概念, 即促进学生知识的正向迁移.例如, 近世代数中“关系”的定义[1]:设M是一个集合, 如果有一个法则R, 它对M中的任二元素a, b可以确定“是”或“不是”符合这个法则, 则称此法则R为M的元素间的一个关系, 当元素a与b符合这一法则时, 记为a Rb, 否则记为.在讲授时, 可先从现实生活中举一个容易理解的例子, 之后再举和理论有关的例子就不觉得“抽象”了.譬如, 设M为南阳师院数学与应用数学专业的全体同学的集合, 规定a Rb圳a与b来自一个省, 则从该专业中任意抽出两个同学, 他们如果来自一个省, 则他们两个就有这种关系, 如果不是来自一个省, 则他们两个就没有这种关系.之后跟学生讲清楚, “关系”是需要自己去定义的, 接着再举一些理论上的例子就好理解了.又如, 等价关系的定义[1]:如果集合M的元素间的一个关系R满足以下条件:10对M中任意元素a, 都有a Ra; (反身性) 20如果a Rb, 必有b Ra; (对称性) 30如果a Rb, bRc, 必有a Rc (传递性) , 则称这个关系是M的一个等价关系.可以让学生验证前面定义的那个“关系”就是一个“等价关系”, 这样把两个定义都形象地刻画了.接下来再向学生介绍学过的矩阵的等价、相似与合同都是矩阵间的等价关系, 可带着学生验证其中的一个, 其余让学生自己验证, 便于他们掌握验证等价关系的方法. (2) 化抽象为具体.学生感到近世代数生涩难懂, 原因之一在于它的概念和定理具有高度的抽象性和概括性.如果不把概念产生的背景讲清楚, 学生就只是死记概念本身.这就要求教师授课时多举例子、多讲历史起源.例如, 在讲“整环里的因子分解”时, 先讲最初是数学家高斯为了解决n次方程是否有整数解这一问题才研究整数环的唯一分解性的, 再以整数环为例进行讲解.这样学生心中就有了实实在在的例子, 而不会感到抽象. (3) 注重反例的作用.对于数学命题, 证明与构造反例是两种不同的“论证”方法, 具有同样的说服力, 前者肯定命题, 后者否定命题.近世代数理论性强、内容抽象, 学生对一些概念的理解、性质的运用容易出现偏差.而构造反例能帮助学生理解概念、掌握性质, 下面是教学中的几个具体例子. (1) 同构映射准的定义中隐含着三个条件:ɸ是满射, ɸ是单射, ɸ保持运算, 缺一不可为了让学生更好地理解概念, 除了举一些同构映射的例子, 还可以举一些非同构映射的例子.例1 G1={非零有理数}, , 运算都是普通乘法.映射ɸ1 (a) =a. (a∈G1) , 则ɸ1是G1到的单射且保持运算, 但不是满射;G2{整数}, G2的运算是普通加法.的代数运算是普通乘法.映射ɸ2 (a) =1 (a∈G2) , 则ɸ2是G2到的满射且保持运算, 但不是单射;, 运算都是普通乘法.映射ɸ3 (a) =-a (a∈G3) , 则ɸ3是G3到的双射, 但是不保持运算.可见ɸ1、ɸ2、ɸ3都不是同构映射. (2) 无限群中存在有限阶的元.例2在非零有理数乘群中, 1的阶是1, -1的阶是2, 其余元的阶均无限. (3) 有零因子环R的子环S未必有零因子.例3数域P上的n级矩阵环Pn×n是有零因子环, 全体n级数量矩阵作成Pn×n的一个子环, 而这个子环是没有零因子的. (4) 理想没有传递性.例4都是整数环上2阶全矩阵环的子环, 易见环A是环B的理想, 环B是环C的理想, 而环A不是环C的理想. (5) 强化知识的应用.近世代数的强大生命力不仅在于其深刻的理论, 还在于其广泛的应用.教学中教师一般从教学的目的出发, 强调理论较多, 涉及应用较少.所以会经常遇到学生询问, 学这门数学课有什么用?为激发学生的学习兴趣, 教师在讲完概念和理论后, 要举一些实际应用.例如, 在讲授群的概念时可举例:设V是域P上n维线性空间, 则V的所有可逆的线性变换对乘法组成群, 它同构于P上全体n阶可逆方阵组成的乘法群, 这是群论在高等代数中的应用;考虑平面上正n (n≥3) 边形的全体对称的集合, 它包含n个旋转和n个反射 (沿n条不同的对称轴) , 很容易看出这个集合对于变换的乘法, 即变换的连续施加来说组成一个群, 这是群论在几何学中的应用;而物理学中在讨论晶体类型的对称性变换过程中, 晶体学家就是把晶体的全体对称性变换作为群来进行研究的, 这又是群论在物理学中的应用等等.二元域 (有限域) 在纠错码和线性移位寄存器序列中的应用, 更产生了相当优美的结果.这是更深层次地反映了近世代数在当代数字化信息时代中的作用.

3. 教学方法的改进.

在近世代数的教学中, 要突破传统的讲授法教学模式, 探索多元化教学模式和方法, 我们提出了近世代数课堂开拓思维的方法, 利用多媒体进行多彩的图形演示, 体现数学美, 不仅如此, 还要根据教学内容增加引导自学法、讨论法和问题法等.在学法上, 引导学生进行分析归纳提炼方法, 类比联想沟通知识间的关系, 猜测探索寻求问题解决的途径, 安排形式多样的习题课, 开展讨论课, 布置近世代数的学期论文等等.实践证明, 多种方法的应用既活跃了课堂气氛, 增加了学生学习数学的浓厚兴趣, 变被动学习为主动学习, 又给学生留以独立思考的空间, 促进学生思维的发展, 使得学生能够初步具备用近世代数的基本思想和理论来处理或解决具体问题的能力.

总之, 近世代数课堂教学中的策略可以有效地培养学生思维, 提高学生的数学素养, 不断完善学生的知识结构, 并为进一步学习数学专业后继课程打下良好的基础.

摘要：从近世代数的课程意义和课程特点出发, 结合教学实践, 阐述了教师如何通过教学内容的组织、教学策略的实施和教学方法的改进三个方面来提高近世代数的教学质量。

关键词：近世代数,教学,抽象,反例

参考文献

近世代数篇5

关键词：实例教学,半群,群,单位元

引言

近世代数课程一方面由于概念多、理论性强、内容抽象等,学生往往感到抽象难懂;另一方面,老师在教学中也存在直接用“定义—命题—定理—证明”的模式讲解.这种传统的近世代数课程教学模式单纯地追求概念的抽象性、逻辑的严密性、结论的明确性和体系的完整性,势必导致一些学生感到近世代数枯燥乏味、无用,从而直接影响学生对近世代数课程和后继课程的学习热情.所以,近世代数课程的教学改革势在必行.

近年来,国内众多学者都对近世代数这门课程的教学改革提出了自己的设想.详尽而细致的举例将让学生体会从特殊到一般,再进行抽象这样一个过程.应该通过具体例子引出概念,由浅入深,这样更有助于学生对概念的理解.从教学实际出发考虑改革教学方法,加强实例教学,将几个重要实例渗透到教学的全过程.通过典型例子理解概念,举一反三达到效果.强调要讲好近世代数这门课程,就必须重视由具体到抽象原则的讲课方法.所谓由具体到抽象的原则是指先举出具体实例,由具体实例得出性质、结论,进而猜想抽象到一般情况是否成立,再利用逻辑推演证明其正确性,若能按照这样的思路来处理每一个问题,势必会使学生感觉到近世代数也不是那么难理解.希望教师采用从实例中引出相关概念,然后再由概念举出新的案例的教学方法.具体来讲,就是先举出具体实例,给学生一个直观的理解,然后再介绍相关概念,最后采用正例反例并举的方法,揭示概念的本质.通过以上学者的观点可以看出,实例教学这种教学方式,有助于学生对概念的理解,提高学生学习的兴趣,优化教学效果.本文以近世代数课程中群概念及环与其子环的单位元的讲授处理为例具体阐述这一观点.

一、通过实例逐步阐述群的概念

群是近世代数中的一个最基本的概念,是近世代数的基石.因而正确理解其概念是学好近世代数的关键.郭聿琦、王正攀、刘国新探讨了群概念的一个讲授处理,他们主要给出群与几类相关半群的等价刻画,以及建立群与诸多类型半群之间的联系.这里,我们主要通过具体实例让学生理解由半群到幺半群再到群的过程.下面,我们先引进半群,半群的左幺元、右幺元和幺半群等的概念,再结合实例理清楚它们之间的关系.

定义1令为非空集S上的一个代数运算,记a·b为ab,其中a,b∈S.如果S中的运算满足结合律,即:

则称S为一半群.

例1在非空集合I上定义一个二元运算:(∀a,b∈I)ab=a.易证,I构成一个半群,称之为左零半群.对偶地,可定义右零半群Λ.

定义4若半群S满足条件:

则称e为S的一个左幺元.对偶地,可定义半群S的右幺元.若e既是S的左幺元,又是S的右幺元,则称e为S的幺元,称含幺元的半群为幺半群.

自然地,在课堂教学中,我们可以引导学生思考这样的问题:若半群S中既存在左幺元,又存在右幺元,左右幺元相等吗?对于这一问题,我们很容易给出肯定的回答.这是因为,如果e,f分别为半群S的左,右幺元,那么f=ef=e.由此我们得到如下结论:若半群S中既存在左幺元,又存在右幺元,则左幺元和右幺元相等,且它们都是半群的幺元.进一步,若半群含幺元,则幺元唯一.

定义5设e半群S的幺元.如果对任意a∈S,存在b∈S,使得ab=ba=e,则称b为a的逆元,称S为群.

一般地,(幺)半群未必是群.例如,整数集Z关于通常的数的乘法构成一个幺半群,但不是群.那么,什么时候半群会成为一个群呢?下面定理给出了半群为群的几个充分必要条件.

定理6令S为一半群,则下列各款等价:

(1)S为一群.

(2)S中存在左幺元,且S中每一元素关于这一左幺元存在左逆元,即(∃e∈S)(∀a∈S)ea=a,且(∀a∈S)(∃b∈S)ba=e.

(3)S中存在右幺元,且S中每一元素关于这一右幺元存在右逆元,即(∃e∈S)(∀a∈S)ae=a,且(∀a∈S)(∃b∈S)ab=e.

(4)对任意a,b∈S,方程ax=b和ya=b在S中有解.

定理6的证明可在文献[7]-[9]中找到,在这里我们略去其证明.根据定理6自然地,在课堂教学中,我们可以引导学生思考如下问题:

①若半群S中有左(右)幺元,且S中每一元素关于这一左(右)幺元存在右(左)逆元,即

S是否构成群?

②若半群S满足:对任意a,b∈S,方程ax=b或者ya=b在S中有解.

S能否构成一个群?

二、通过实例逐步阐述环与其子环的单位元的关系

众所周知,环中有两个代数运算+(称为加法)和·(称为乘法),环对乘法运算构成一个半群,从而环的乘法幺元(称之为环的单位元)未必存在.但是含单位元的环是普遍存在的,因为根据文献[9]152页例题9可知,任意一个没有单位元的环都可看成一个有单位元的环的子环.在教学中,为了让学生理清环与其子环的单位元的关系,我们可以通过具体实例让学生掌握以下事实.

(一)环R含单位元,而其子环未必含单位元

例如整数环Z有单位元1,而其子环偶数环2Z不含单位元.

(二)环R不含单位元,但其子环可能含单位元

(三)环R含单位元,其子环也含单位元,但环R的单位元与其子环的单位元未必相等

三、结束语

综上可以看出:通过认识实例、运用实例、构造实例来帮助学生理解和掌握抽象的概念和结论,可以提高学生对该课程的学习兴趣,培养学生的逻辑思维、抽象思维能力,使学生掌握基本的代数方法,掌握具体与抽象、一般与特殊的辩证关系,培养学生自主学习的能力以及发现问题的能力,为以后的学习工作打下牢固的基础.

参考文献

[1]俞小祥.近世代数教学改革的初步探索与体会[J].淮阴师范学院学报(自然科学版),2014,13(4):344-345.

[2]赵康,游兴中,赵坚.近世代数教学改革的探讨[J].湘南学院学报,2015,36(2):65-67.

[3]杨月婷,姜晓威.剩余类——群、环、域的精灵,谈近世代数课程中的实例教学[J].数学学习与研究,2013(9).

[4]倪岚,蔡吉花.近世代数课程教学改革[J].科教导刊(中旬刊),2015(6):58-59.

[5]官欢欢.《近世代数》课程教学改革与探索[J].读与写杂志,2013(10):21-22.

[6]张杨,臧睿,王莹.$1+1$考试模式下近世代数教学改革[J].林区教学,2015(8):86-87.

[7]郭聿琦,王正攀,刘国新.群与若干类型的半群——关于“近世代数”课程中群概念的一个讲授处理[J].大学数学,2013,29(4):132-136.

[8]张禾瑞.近世代数基础[M].北京:高等教育出版社,1978.

近世代数篇6

关键词：素数,互素,近世代数

一、初等数论中的素数素数及其相关概念

对于素数, 初等数论中是这样定义的:一个大于1的正整数, 只能被1和它本身整除, 不能被其他正整数整除, 这样的正整数叫做素数.根据素数的这一定义, 我们知道对于任意素数p, 若存在整数a, 使得a|p, 则a=1或者a=p.

另外, 初等数论中定义比1大但不是素数的数为合数.1和0既非素数也非合数.合数是由若干个素数相乘而得到的.所以, 素数是合数的基础, 没有素数就没有合数, 这也说明了素数在数论中有着重要地位.关于素数与合数有以下结论:

(1) 如果a是一个大于1的合数, 则它必有一个≤槡a的素约数

证明:若a=d1d2, 其中d1>1是最小素约数, 则d12≤a, 故结论成立.

(2) 素数的个数是无限的

素数的个数是无限的.最经典的证明由欧几里得证明在他的《几何原本》中就有记载.它使用了现在证明常用的方法:反证法, 具体证明过程如下:

证明假设正整数中只有有限个质数, 共有n个, 就是p1, p2, p3, …, pn, 其中p1=2, p2=3, p3=5, …, 令a=p1p2p3…pn+1, 若a是素数, 则a不等于p1, p2, p3, …pn中的任何一个, 故素数的个数最少有n+1个, 这与假设素数的个数n矛盾, 如果a不是素数, 则知a的大于1的最小因数b是素数, 由于p1p2p3…pn被p1, p2, p3, …, pn中的任何一个素数都除尽, 但1被p1, p2, p3, …, pn中的任何一个素数都除不尽, 所以a被p1, p2, p3, …, pn中的任何一个素数都除不尽, 因此b不等于p1, p2, p3, …, pn中的任何一个素数, 故在p1, p2, p3, …, pn以外还有素数.

由于在初等数论中给出的这些素数的重要性质, 才使得其在近世代数的相关结论中发挥了重要的作用.

二、近世代数中有关素数的重点结论及其证明

1. 阶为素数的群为循环群

证明设G为阶为素数的群, 即|G|=p为素数, 对任意非单位元a∈G, 令H= (a) , 则|H|||G|, 而|G|=p为素数, 则|H|=1或|H|=p, 又a≠e, 故|H|≠1, 从而|H|=p, 由此G=H, 即G为循环群, 且以每一个非单位元的元素作为它的生成元.

2. pm (m为自然数) 阶群必含有p阶元, 且p阶元的个数是p-1的倍数, 其中p为素数

证明设该群为G, 任取e≠a∈G, 由于|G|=pm, 故由lagrange定理知:| (a) |即|a|是|G|=pm的因数.因p是素数, 故必有|a|=ps (0≤s≤m) , 从而|aps-1|=p, 即G有p阶元.若|b|=p, 则 (b) ={e, b, b2, …, bp-1}中的p-1个元素b, b2, …, bp-1都是G的p阶元.另外, 若|b|=|c|=p且 (b) ≠ (c) 时, 必有 (b) ∩ (c) =e, 从而此时p阶元b, b2, …, bp-1与p阶元c, c2, …, cp-1中没有相等的.因此可知G的p阶元的个数是p-1的倍数, 其中p为素数, 原结论得证.

3. 设G为群, 且|G|=pkm, p为素数, 且 (p, m) =1, 若存在H, K≤G, KH且|H|=pk, |K|=pd, 0

证明因为|H|=pk, |K|=pd, |G|=pkm以及故|HK|·|H∩K|=pk+d (1) .又由于|H∩K||H∩K|p是素数, 故|HK|必为p的方幂, 设|HK|=pr, (0

4. 设G是一个pn阶有限交换群, 其中p为素数, 则G有p阶元素, 从而有p阶子群

证明对n用数学归纳法.当n=1时, G是p阶循环群, 则G的生成元就是一个p阶元, 结论成立.假定对一切阶为pk (1≤k≤n) 的交换群结论成立, 下证对阶为pn的交换群G结论成立.在G中任取a≠e, 若p||a|, 令|a|=ps, 则as=p, 结论成立.若p不整除|a|, 令|a|=m, 则 (m, p) =1.由于m|pn, 故m|n, 令|H|= (a) , 由于G是交换群, 故于是由归纳假设, 群G/H有p阶元, 任取其一, 设为b H, 且|b|=r, 则 (b H) r=brH=H, 从而p|r, 令r=pt, 则|bt|=p.

5. (第一Sylow定理——存在性和包含性) 设G是有限群, 且|G|=psm, 其中p是素数, s是正整数, p不整除m, 则对G的每个pi (i=0, 1, …s-1) 阶子群H, 总存在G的pi+1阶子群K使H≤K

证明设G关于pi阶子群H的重陪集分解为G=Hx1H∪Hx2H∪…∪HxrH (1) , 且HxjH是由tj个H的右陪集所组成, 于是由引理2知tj= (H:H∩xj-1Hxj) , j=1, 2, …, r (2) .由于|H|=pi, 故tj|pi, 且由 (1) 可得 (G:H) =t1+t2+…+tr (3) .由 (2) 知, 若某个tj=1, 则H=H∩xj-1Hxjxj-1Hxj.但是|H|=xj-1Hxj=pi, 故H=xj-1Hxj, 从而xjH=Hxj, xj∈N (H) 反之, 对任意HaN (H) , 则令HaHxjH (1≤j≤r) , 但由于a∈Ha, 从而a∈N (H) ∩HxjH, Ha=a H.令a=h1xjh2 (h1, h2∈H) , 则xj=h1-1ah2-1, 于是由此易知Ha=Hxj=xjH, xj-1Hxj=H, 因此又有tj= (H∩xj-1Hxj) =1.以上表明, 在t1, t2, …, tr中tj=1的个数就是x1, x2, …, xr在N (H) 中的个数 (N (H) :H) .由于|G|=psm=|H| (G:H) =pi (G:H) , (i=0, 1, …, s-1) .故p| (G:H) , 从而由 (3) 知, p| (N (H) :H) , p|N (H) /H, 于是知N (H) /H有p阶子群K/H, 其中H≤K, 且k=K/H·|H|=p·pi=pi+1, 故结论成立.

6. 若环G是交换环, 特征是素数p, 则对G中任意元素a1, a2, …, am有 (a1+a2+…+am) p=a1p+a2p+…+amp

证明因为对 (a1+a2+…+am) p展开后除去项a1p, a2p, …, amp外, 其余各项的系数都是p的倍数, 而p是G的特征, 这些项都是零, 故得证.

7. 模p的剩余类环, 当p为素数时, 该环中非零元可逆, 没有零因子

8. 模p的剩余类环, 当p为素数时, 该环构成域;如果p是合数, 则环Zp有零因子, 从而不是域

证明因为Zp所有非零元素都同p互素, 于是由上述结论知非零元均有逆元, 故Zp是一个域.当p是合数时, 设p=p1p2, 1

9. 如果无零因子环G (|G|>1) 的特征数是正整数p, 则p是一个素数

证明若不然, 设p=p1p2, 1

上面这些近世代数中有关素数的结论也充分体现了初等数论中素数的相关特性在近世代数中的重要作用.

参考文献

[1]张禾瑞.近世代数基础[M].北京:高等教育出版社, 2010.

[2]杨子胥.近世代数[M].北京:高等教育出版社, 2000.

[3]邢伟.近世代数[M].北京:科学出版社, 2010.