代数系统

2024-10-10

代数系统（通用12篇）

代数系统篇1

线性代数是高等院校理工科以及经济管理类学生的基础课, 具有覆盖面广、应用广泛等特点, 对学生的数学素质的培养有较大影响, 因而受到越来越广泛的重视。随着计算机应用的普及, 线性代数的用途比过去任何时候都广泛, 在大学教育中的地位和作用也日益重要。本文选取与线性代数教学内容配套的实验内容, 运用MATLAB的图形用户界面系统GUI研制了线性代数实验演示系统, 并通过理论与实验并行的教学模式改善线性代数课程的教学效果。

一线性代数实验演示系统设计原则

线性代数实验演示系统设计的目的是帮助学生完成从认识到实践, 在实践中将理论知识内化为认知结果的过程。因此, 实验设计要体现学生在不同阶段、不同层面的知识结构特点, 从教学实际需要出发, 充分考虑实验的目的和作用, 同时兼顾实验的可操作性。由于线性代数课程的授课对象多为低年级学生, 计算机操作能力有限。要达到理想的教学效果, 实验演示系统界面应尽量简洁直观, 并易于执行。学生只需要通过简单的参数改变和命令输入, 即可得到预定的结果。演示实验内容要涵盖线性代数课程的基本内容和方法, 同时兼顾基础性、灵活性和应用性。各实验模块之间要易于进行联系、比较和分析。

二线性代数实验内容选择

根据线性代数的主要内容和教学目标, 将实验内容划分为行列式、矩阵、线性方程组、向量组和二次型五个知识模块。每个模块都有相应的主题, 模块之间通过“线性方程组”这条主线连为一体。在选择实验内容时, 根据每一知识模块的基本知识点和相应技能要求, 设计基础理解性实验、基础验证性实验和综合设计性三种类型的实验内容。

基础理解性实验是由理论产生的背景出发, 经过假设和简化而成的问题。通过对问题的分析和演示, 挖掘其中蕴含的数学背景, 抽象出相应的数学概念或计算方法, 使学生的感性认识逐步上升到理论思考。此类实验有助于加深学生对抽象数学概念的理解, 帮助学生初步建立数学知识与实际问题之间的联系。

基础验证性实验是指运用MATLAB强大的矩阵计算功能和丰富的函数命令, 实现线性代数中计算问题的实验。学生在掌握线性代数基本理论和低阶问题手算方法的基础上, 通过实际操作学会应用MATLAB软件实现计算机运算。从而在掌握和巩固课堂知识内容的同时, 进一步提高计算能力, 通过手算与机算的有机结合, 实现复杂、高阶问题的求解。

综合应用性实验的目的是锻炼学生综合运用知识的能力。将科技、工程中的实际问题通过适当简化, 形成容易理解的案例。通过实验, 指导学生从实际问题中建立数学模型, 并结合相应的数学知识解决实际问题。让学生充分体会到线性代数在解决实际问题中的重要作用, 并有效提高学生的实践创新能力。

实验内容结构, 如图1所示。

三线性代数实验演示系统界面设计

线性代数实验演示系统是借助MATLAB的图形用户开发环境实现的。界面中包含一个初始化界面和若干功能界面。实验界面均由按钮、文本框、菜单等图形控件对象构成。控件的布局要以简洁直观、便于操作为原则。初始化界面由演示系统名称、系统使用说明、前进和退出模块构成。学生通过“使用说明”了解系统的主要构成和操作方法, 通过“进入”键进入子界面, 通过“退出”键退出演示系统。子界面由菜单区和实验指导区构成, 内容由每个知识模块决定, 见图2。

在子界面的左侧布置实验名称、实验目的、实验说明等内容, 主要目的是说明当前实验的目的、要求和操作要点。左下侧设置实验数据重置按钮和返回按钮。右侧包括代表变量名称的静态文本框、用于实验参数和命令输入的文本编辑框、用于执行命令的按钮和输出实验结果的文本框。在演示操作时, 在编辑文本框中输入矩阵或变量, 点击运行按钮, 即可在演示界面显示结果。

四线性代数实验教学模式设计

线性代数实验演示系统中, 每个知识模块包含的三类实验, 即基础理解性实验、基础验证性实验和综合设计性实验, 分别对应着线性代数教学过程的三个不同阶段, 即课程基础知识认识阶段、知识扩展提高阶段和实际应用阶段。

在每个教学阶段, 学习内容和对学生能力的要求不同, 选择的实验类型也不同, 教学方法也应有所区别。运用演示系统进行辅助教学过程, 也是学生感受、理解知识的产生和发展的过程。教师要根据教学目的, 选择恰当的教学方法, 因材施教, 为学生提供学习、探索、交流和发展的空间。以“矩阵”演示实验为例, 说明演示系统在线性代数教学中的应用。

1. 基础知识认识阶段教学设计

基础知识认识阶段的教学是学生初步接受基本概念、原理的过程。在矩阵一章中, 选取“商场家电销售量统计”作为基础理解性实验, 见图2。

学生可以通过商场家电每月销售情况的输入了解矩阵结构本身就是一张数表;通过数与销售量矩阵的乘法理解矩阵数乘就是用数乘以矩阵的每一个元素;通过总销量矩阵的生成理解矩阵的加法矩阵就是同型矩阵对应元素之和构成的矩阵;通过销售额矩阵的生成理解两个矩阵相乘的条件、运算规律。

学生通过演示界面, 不仅能够理解矩阵这一新的抽象数学概念在实际中的反映, 而且通过对实例的分析和归纳可以得到矩阵运算的规律, 对涉及的新知识有了初步的认识和把握。教师可以此为基础, 引导学生剖析与矩阵相关的更多内在特征和性质。

2. 知识扩展提高阶段教学设计

在知识扩展阶段, 学生已经掌握了矩阵相关的基本理论, 并且能够手算低阶矩阵的计算问题。教师可以通过基础验证性实验, 教授学生如何使用MATLAB命令进行矩阵加法、数乘、乘法、求逆、求幂等问题的计算机计算。学生通过认识、模仿到设计等一系列的学习过程, 在巩固基础知识的同时, 逐步具备使用软件工具解决计算问题的能力。

3. 实际应用阶段教学设计

在实际应用阶段, 选择“平面图形的几何变换”作为综合设计性实验, 见图4。

实验描述阶段, 由教师引导学生回顾中学阶段解决平面图形几何变换的方法, 并结合矩阵定义和运算, 建立旋转变换和放缩变换的矩阵乘法模型。由于图形平移运算不是线性运算, 不能直接用平面坐标的矩阵乘法来实现, 但可以通过将每个点的平面坐标添加一个元素1, 即变为齐次坐标来实现。学生可以由此建立起齐次坐标下各种变换相应的矩阵乘法模型。

实验分析设计阶段, 教师可以将学生进行分组。学生小组根据前期分析进行讨论、构思, 建立齐次坐标下的平面图形几何变换计算模型, 并运用MATLAB求解, 实现图形变换的演示, 得出结论。

这一实验环节中, 学生通过主动参与实现了知识向能力的转换过程, 并对学习课程应掌握的数学思维、方法和技巧有了更深刻的认识和把握, 从而更大程度地提高了动手能力和创新能力。

五结束语

基于MATLAB的线性代数实验演示系统, 是线性代数课堂及实验教学的计算机辅助教学系统。通过系统的演示, 能够将抽象的概念形象化, 增加学生的感性认识, 从而帮助学生加深对概念和理论的理解。学生通过实际操作, 不仅掌握了线性代数基本运算的笔算和机算方法, 提高了计算效率, 而且能够更好地实现抽象理论与实际应用之间的结合, 为学生后续课程的学习及应用线性代数理论解决实际问题打下很好的基础, 对培养学生的研究能力和创新能力起到一定的推动作用。

参考文献

[1]张向华.线性代数课程建设和教学改革探讨与实践[J].东北农业大学学报 (社会科学版) , 2010 (6) :99~100

[2]王海明.实验数学对传统演绎数学的挑战与影响[J].青海师范大学学报 (自然科学版) , 2004 (2) :19~23

[3]陈爱萍、黄甫全.问题式学习的内涵、特征与策略[J].教育科学研究, 2008 (1) :38~42

代数系统篇2

Z-代数格和Z-代数交结构

讨论Z-代数格,Z-代数交结构以及Z-代数闭包算子之间的.关系,得到了格L上的Z-代数闭包算子与带顶元的Z-代数交结构之间存在一一对应关系,并且每一个Z-代数格都与带顶元的Z-代数交结构同构.

作者：李庆国李纪波 LI Qing-guo LI Ji-bo 作者单位：湖南大学,数学与计量经济学院,湖南,长沙,410082 刊名：模糊系统与数学 ISTIC PKU英文刊名：FUZZY SYSTEMS AND MATHEMATICS 年，卷(期)：2008 22(3) 分类号：O153 关键词：Z-代数闭包算子 Z-代数交结构 Z-代数格 Z-紧元

代数系统篇3

关键词泛布尔代数；脉冲燃烧；富氧陶瓷窑炉

中图分类号 TP273 文献标识码 A 文章编号 1673-9671-(2012)051-0088-02

富氧陶瓷窑炉采用高浓度氧作为助燃介质的陶瓷窑炉。国内的富氧陶瓷窑炉通常都采用连续燃烧技术，其燃烧器阀门的开度主要通过单点PID控制器进行控制。由于窑炉温度是一个大惯性、纯滞后的环节，加之燃料流量控制的非线性，采用连续燃烧技术的控制系统往往难以实现对温度的精确控制。另外，连续燃烧技术难以实现窑内温度场的均匀分布，容易产生局部热点，会使得陶瓷成品出现缺陷。

本文针对连续燃烧技术的不足之处，给出了一种基于泛布尔代数的富氧陶瓷窑炉脉冲燃烧控制系统的设计，该系统采用新型的脉冲燃烧技术，并通过泛布尔逻辑代数控制脉冲占空比，以减小窑炉温度的超调量，并改善窑内温度场的分布。

1 脉冲燃烧技术的实现

图1所示即为被控富氧陶瓷窑炉窑体上六个烧嘴的分布图（虚线所示为背面的烧嘴）。

图1 富氧陶瓷窑炉的烧嘴分布图

这六个烧嘴从空间位置上被分为三组：烧嘴1和烧嘴6；烧嘴2和烧嘴5；烧嘴3和烧嘴4。工作的时候，每一组的两个烧嘴轮流工作，以此来加剧窑内的热气流紊乱，进一步提高温度的均匀性。各烧嘴工作的时序如图2所示。

每一个烧嘴都由一个电动阀门和一个电磁阀控制，电动阀门用于控制烧嘴的燃烧功率，电磁阀用于控制烧嘴的通断比。设

p（0≤p≤1）为烧嘴的燃烧功率，当p=1时，燃气阀为满开度，烧嘴的输出功率达到最大；k（0≤k≤1）为电磁阀的通断比，表示烧嘴在一个周期内的开通时间。

通常情况下，采用脉冲燃烧技术时，烧嘴的燃烧功率p往往为固定值，仅通过改变通断比k来实现温度的控制。这种方法只需要控制一个参数，控制简单，但对燃烧功率p的选择存在以下两个问题：①若p值较小，则即便保持k≈1，窑炉的升温段都会变得非常缓慢，不满足系统快速性的要求。另外，过小的p值还可能会引起点火方面的问题。②若p值较大，则当窑炉进入恒温控制阶段时，由于此时的温度误差小，所以在较大的燃烧功率p的情况下（对不可调节的烧嘴相当于p≈1），k值将会变得非常小，加之PLC等设备的通信延时，将会很难对温度实现精确控制。所以在此采用功率可调的烧嘴，在升温段增大燃烧功率p以增加系统的快速性，在恒温段适当降低p值，从而使得占空比k更容易实现，温度控制的精确性更高。

对窑炉温度的控制主要是恒温段对通断比k的控制，通断比k的大小由泛布尔逻辑控制器来决定。

2 基于泛布尔逻辑的通断比控制

控制系统的结构图如图3所示。其中，恒温段泛布尔逻辑控制器的输入变量为温度误差E和误差变化率ED，逻辑控制器的输出为烧嘴的通断比k。根据温度误差E和误差变化率ED的范围，结合实验和工程实践的经验，可得逻辑控制规则的符号表，如表1

所示。

根据表1可以得到逻辑控制规则如表2所示。

根据泛布尔逻辑代数的运算法则，可得到关于控制器的泛布尔逻辑代数算法如下：

（1）

考虑到了窑炉的降温相对于升温而言变化相对缓慢，所以在降温时通断比应尽量控制在较小的范围，同时，k值不能太小，否则不宜精确控制，同时也可能造成点火困难；当升温时，k值不能太大，因为当k≈1时，控制系统就相当于一个连续燃烧系统，无法实现脉冲燃烧的优势。

3 控制效果分析

控制算法是在上位机中实现的。通过采样温度值判断系统所处的阶段，然后执行相应的控制算法。当系统进入恒温段控制时，开始采用逻辑控制器，根据式（1）和表1所示的规则对窑炉的温度进行控制。为了分析控制效果，将泛布尔逻辑控制器和单点PID控制进行比较，从最大超调温度、烧结区最大温差和烧结区温差的平方和这三个方面来比较两种控制效果的优劣。

采用泛布尔逻辑控制器和采用单点PID控制时，其控制效果如表3所示。

从表中可以看出，相较于单点PID控制，采用泛布尔代数逻辑控制器后，富氧陶瓷窑炉的动态和稳态性能都有了较大的改善，温度场的分布也更为均匀。

表3 控制效果比较

泛布尔逻辑控制PID控制

最大超调温度5℃12℃

烧结区最大温差2℃6℃

烧结区温差平方和（2 min）110450

4 结束语

富氧陶瓷窑炉具有燃烧充分、火焰温度高、升温快等优点，但也对控制系统提出了更高的要求。采用基于泛布尔代数的脉冲燃烧控制系统，可以在改善系统动态和稳态性能的同时，提高温度场分布的均匀性，减少了陶瓷成品的次品率，提高了效率和

效益。

参考文献

[1]杨钰.基于多传感器数据融合的温度模糊控制系统设计[J].传感器与仪器仪表,2005,21(11):417-418.

[2]曾令可,张明,李明,王慧,尹虹.陶瓷窑炉动态温度场的测试及操作的优化[J].华南理工大学学报，1999,20(3):158-163。

[3]何寿生.脉冲燃烧技术及其在陶瓷窑炉中的应用[J].陶瓷,2005,5(1):35-36.

[4]闵娟,黄之初,王小明,王晓春.Fuzzy-PID控制系统在工业窑炉控制中的应用[J].中国陶瓷工业,2005,12(5):50-53.

[5]边冰.基于PLC硬件系统的隧道窑温度模糊控制方案[J].佛山陶瓷,2004,

14(8):24-25.

作者简介

代数系统篇4

许多公司开发工具包,使数学学习和应用不再抽象枯燥.在CASes帮助下,对数学计算学生不再恐惧.相反,他们发现,使用数学工具非常有效和富有魅力.

1 CASes在力学教学中的应用

CASes可以完成力学教学中繁复的计算过程,得出正确结果.其应用可以贯穿到讲稿准备、教案编写,讲课过程中的演算,课后习题计算等环节.不再强调计算技巧,更强调算法的通用性和灵活性,着重培养解决问题的思路设计和计算步骤,强化抽象和建立物理模型的重要性.学习重点落实到模型建立和算法设计,将具体计算交给CASes.使我们有更多的时间和精力去思考和判断.增强数学工具对问题求解的支持,能培养学生对数学工具的兴趣,提高对数学工具的应用能力.

CASes可以方便地进行模型的解析计算,也可以给出数值解[1].微积分计算功能可以方便地进行诸如截面几何参数计算.特别是CASes强大的二维和三维图形功能,提高了模型和结果的显示效果[2].Maple程序语句短小,易于调试,功能齐全.既可以代数运算,也可以数值计算,还可以图形显示,极大地降低了教学程序编程难度,节约调试时间.

2 应用举例

理论力学中的矢量计算都可以借助Maple矩阵计算功能来完成.高级语言一般只支持对单个元素的操作.而Maple的线性代数软件包linalg提供近100个矩阵运算功能,既支持单个元素操作,也可以对整个矩阵操作,极大地方便了用户的操作,并缩短程序长度.

下面摘录平面力系简化和平衡问题,采用Maple编程实现简化结果计算和未知反力计算.借助微分方程求解功能,解答指定振动问题的初始条件和边界条件并图形显示振动响应.通过弹性力学的深梁模型求解和应力显示,介绍其在弹性力学中的应用.本文给出平面梁和空间梁结构的变形结果,详细内容参见文献.

2.1 理论力学中的应用

力系简化问题中,将输入数据定义为矩阵,合力和合力偶矩的计算就可使用求和Sum完成.平衡问题中,输入数据包含未知力,利用力系简化程序,指定简化结果等于零得到平衡方程.求解方程,就可获得未知力.

例1将图1所示的结构上的载荷向A点简化.

例2计算图1结构A点的支座反力.

在载荷定义中包含A点反力FAx,FAy和MA后,和力系简化过程相同,得到简化结果FRx,FRy和Mo.令其等于零可得平衡方程,求解平衡方程,得未知反力.

程序中省略号为例1程序的第3～5句.以上程序适用于所有平面力系平衡问题求解.含有摩擦的平衡问题,只需要添加补充方程,和平衡问题一样求解.

例3图2长为l,重P=200N的梯子AB靠在墙上,θ=60°.已知接触摩擦系数f0=0.25.重G=650 N的人沿梯爬上,求人能达到的最高点C到A点的距离s.

程序中省略号为例1程序的第3～5句.例2和例3程序适用于各种平面问题的反力求解.

多自由度振动方程求解基本相同:(1)建立振动方程;(2)给定初始条件和边界条件;(3)求解微分方程,获得位移的变化规律,即振动响应.

例4质量分别为m1和m2的振动系统,其位置分别用x1和x2标识(图3).它们之间的弹簧刚度为k12,与固定壁之间的弹簧刚度分别为k1和k2,系统初始时刻静止.设k1=k2=k12=1N/m,m1=m2=1kg,求m2获得向右v=1 m/s的速度激励后,系统的响应.

以上思路适用于多种振动系统的求解和结果显示.

2.2 材料力学中的应用

利用Heaviside(x)函数,及其各阶导数Diract(x,n)实现分布力、集中力和集中力偶等载荷的定义.通过积分可得剪力方程和弯矩方程.无论载荷多复杂,载荷函数均是一个表达式.

(1)剪力图和弯矩图

定义分布力(Heaviside(x)函数),集中力(Dirac(0,x)函数)和集中力偶(Dirac(1,x)函数)的组合可得载荷函数.对其积分得到剪力和弯矩方程,用绘图命令显示剪力图和弯矩图.

例5定义图5外伸梁上的载荷函数,图形显示剪力图和弯矩图.

得到图6所示的剪力图和弯矩图,改变上面代码中的载荷函数定义,可实现任意复杂载荷的内力图绘制.该程序同样适用轴力图和扭矩图的绘制.

(2)静定结构变形图

利用前面定义的载荷函数,积分4次得到挠度函数(设FI=1).利用支座处的挠度边界条件确定积分常数;将积分常数回代可得挠度方程.

例6对例5载荷函数积分,利用边界条件确定图5外伸梁的挠度,显示变形图.

将例5程序的第一句与上面程序组合可以得到该静定梁的挠度函数,并得到变形图(图7).提供不同载荷函数,该程序可以求解任意荷载下梁模型的变形.

(3)静不定结构变形和内力图

包含未知反力的挠度函数在指定支座处须满足位移边界条件,利用和静定结构变形计算相同的思路,求解积分常数和未知反力.

例7假设图5结构的D端有活动支座,求解该静不定梁的挠度和内力.

设D支座有向下未知反力FD,则它引起A,B支座反力分别为0.5FD(向下)和1.5FD(向上).

图8为程序给出的变形图.对挠度求导可得弯矩方程和剪力方程等.改变载荷函数和边界条件可以求解各种梁结构的变形和内力.有了内力图的帮助,就可以方便地进行最大应力计算、强度校核和截面设计等.

2.3 弹性力学中的应用

借助微分方程功能求解弹性力学的控制方程,代入边界条件得到代数方程组.求解代数方程组得积分常数,回代得到位移或应力解答.

例8求解图9所示平面问题深梁的应力分布.

图10是水平正应力和切应力分布.显示出应力上下对称.实际的支座位置存在应力集中,造成应力上下不对称,有限元结果[10]更接近实际.

弹性力学问题中的许多问题,都可以利用该思路获得解答以及图形显示应力分布.

2.4 有限元中的应用

利用矢量和矩阵运算功能,Maple可以实现有限元教学程序编程.这里的教学程序特指编程简单、能说明有限元基本思想和编程步骤,不考虑计算容量、计算速度等对商用程序而言最为重要的环节.作者编制的二维杆单元程序[9]的语句数不到100句,其中包括10多句注释和模型输入数据、图形显示等语句.模型的图形显示程序,核心指令line显示单元,textplot(三维标注用textplot3d)在节点位置和单元中部标注节点号和单元号;给定位移放大比例,还可以显示模型的变形.

作者用Maple编程完成的杆系、梁系和弹性力学二维、三维有限元程序[9]代码长度较高级语言大为缩短.编程难度降低,方便的矩阵运算功能非常直观易用.编程框图和算法设计与高级语言类似,而矩阵的赋值只需一行语句.求解代数方程只需用solve,或者用inverse(KK)&*P获得节点位移解答.可见Maple编程的语句短小是它语句功能强大的体现,减少的只是用户输入代码的长度.这一点对教学程序最为重要.要在非常有限教学课时内调试完成大量代码是不现实的.只要懂得有限元的编程思路和最基本的Maple指令,将交互式计算的指令拼接在一起,加上判断和循环,有限元程序就完成了,详见文献[9].

模型显示程序,可以显示二维或者三维模型和变形图.图11和图12分别是平面刚架和空间刚架模型图和变形图[9].图中单元中部带括号的数字是单元号.

3 结论

(1)Maple可以完成各种力学计算,合理的算法设计可得解决某一类问题的通用程序.

(2)教师应掌握一种CASes,教会学生会用、妙用CASes来解决各类问题,才能更好地培养学生解决复杂问题的能力.如果说数学老师是“授人以鱼”,力学老师更应该强调“授人以渔”.因为我们需要大量的数学计算,不仅是数学概念.

(3)力学计算离不开数学,需要数学计算的人都需要用好计算机代数系统.

摘要：计算机代数系统在力学教学中应用非常普遍.摘录Maple在理论力学、材料力学、弹性力学和有限元中的应用,以简便地完成模型求解和结果处理.并扩展到备课、讲课和课后作业演练等环节,提供最大限度地计算支持.将其引入力学教学,引导和培养学生利用数学工具的习惯和能力,强化算法设计和程序的通用性和灵活性,为处理复杂问题提供帮助.

关键词：计算机代数系统,力学教学,Maple,微分方程

参考文献

[1]叶志明,刘红欣.计算机代数系统(CASes)及其应用.力学与实践,1997,19(1):1-8

[2]叶志明,刘红欣.Matlab和Maple系统在力学教学中的应用.力学与实践,2006,28(2):76-79

[3]宫衍香.Maple在理论力学模拟中的应用.泰山学院学报, 2006,28(6):50-52

[4]赵明波.Maple在连续梁内力图仿真中的应用.山西建筑, 2007,33(7):98-99

[5]杜建成,陈勇.用Maple求解折梁问题.中国水运(学术版), 2006,6(7):81-82

[6]马开平,冯玮,潘申梅等.Maple高级应用和经典实例.北京:国防工业出版社,2002

[7]李银山.Maple理论力学.北京:机械工业出版社,2006

[8]李银山.Maple材料力学.北京:机械工业出版社,2009

[9]邢静忠,王永岗.有限元基础与Ansys入门.北京:机械工业出版社,2005

代数系统篇5

设F是特征数p=3的域,首先证明了A3与A(3;1)是同构的,于是它们的导子代数W3与W(3;1)也是同构的,因此可以将W3的子代数S看作是W(3;1)的子代数;主要讨论了李代数W3的有限维子代数S的导子代数的Z-阶化成分(由于S是有限维的Z-阶化李代数,所以S的`导子代数也是有限维Z-阶化的,并且非零的导子只有有限个.于是存在非负整数r,q,使得Der(S)=(○)qt=rDert(S)),构造了S的一组最简生成元集,并由此确定S的导子代数.

作者：李凤霞张永正 Li Feng-xia Zhang Yong-zheng 作者单位：李凤霞,Li Feng-xia(哈尔滨师范大学,数学系,哈尔滨,150080)

张永正,Zhang Yong-zheng(东北师范大学,数学与统计学院,长春,130024)

刊名：黑龙江大学自然科学学报 ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF NATURAL SCIENCE OF HEILONGJIANG UNIVERSITY 年，卷(期)：2007 24(6) 分类号：O152.5 关键词：有限维李代数导子代数同构

掌握方法巧学代数篇6

代数教学中更要引导学生体验获取知识的过程，引导他们发现问题，分析、解决问题，从而学会学习。在代数教学中，引导学生学习应教会学生三法。

一、转化法

转化法就是把复杂的问题转化为比较简单的问题，这是数学中常用的一種方法。在整式的乘除这一章中就广泛地应用了这一方法。

如教学（a+b+c）2，这是求三项式的完全平方，要启发学生把三项式变成符合公式的形式。先把（a+b）看成一项，这样就变形为［（a+b）+c］2。使一个三项式的完全平方转化为类似二项式的完全平方，然后再依据完全平方公式去计算。

在教学中，因为学生比较多地接触或运用了这种思维方法，教师要试图放手让学生去探索。

二、比较法

比较法是加强知识间的联系与区别的有效方法，为避免知识间混淆，对有可比性的概念、公式、法则、性质、定理的掌握都很有用。

如正负数的比较、方程组的解与不等式组的解集表示方法的比较；不等式的基本性质与等式的基本性质比较；解方程与解不等式的比较；同底数幂的乘法与除法比较；单项式与单项式的乘法同除法计算法则的比较；科学计数法中大数与小数的比较等。通过比较，能使知识的掌握更具条理。

三、图示法

图示法在小学数学中用途非常广泛，尤其是分数应用题，用线段图能准确地判断各种量之间的关系。在初中代数学习中，结合图来学习会使学生增强直观的印象。

如多项式乘多项式（a+b）（m+n）可用图来表示：

大长方形的长是（a+b），宽是（m+n），长×宽就是（a+b）（m+n）。经过进一步划分，这个长方形的面积是由am+an+bm+bn四部分组成。从而揭示了多项式乘多项式的计算法则。

还有正负数在数轴上表示，不等式组的解集用数轴来表示，单项式与多项式相乘的计算方法都可以用图示法来说明。

学习代数的方法还有很多种，转化法、比较法和图示法是最基本的方法。只要正确的引导，学生还会发现很多可行的办法，从而使教师从教知识逐步转向教方法，使学生终生受益。

（作者单位甘肃省张家川县川王中学）

代数系统篇7

一、辅助生产费用代数分配法的原理

代数分配法, 是指运用代数中多元一次联立方程的原理进行辅助生产费用分配的方法。采用这种方法, 首先根据辅助生产车间之间相互提供产品或劳务的关系, 建立多元一次方程组;其次求解方程组, 确定辅助生产车间产品或劳务的单位成本 (分配率) ;然后根据单位成本及各受益单位 (包括辅助生产车间和辅助生产车间以外的全部受益对象) 耗用的产品或劳务数量分配辅助生产费用。因此, 采用代数分配法的关键是如何正确计算各辅助生产车间所提供产品或劳务的实际单位成本, 即分配率。假定某企业辅助生产车间有供电车间、供水车间和机修车间;基本生产车间有两个, 各辅助生产车间提供的劳务和各部门消耗的劳务情况见表1。

表1中所列示Mα (α=1, 2, 3) 为本期待分配辅助生产费用, Xβ (β=1, 2, 3) 为实际单位成本 (即分配率) , Aαβ (α、β=1, 2, 3) 为第α个辅助生产车间应负担第β个辅助生产车间的劳务数量, 当α=β时表示第α个辅助生产车间供应劳务数量总和。根据代数分配法的原理, 对照表1中关系可建立如下线性方程组:

对方程组移项整理后得到:

由克莱姆 (Crammer) 法则解线性方程组得知:若系数行列式

即:。即可以得到单位成本 (分配率) Xβ。

其中Dβ (β=1, 2, 3) 是将系数行列式中第β列元素对应地换为方程组的常数项后得到的行列式, 即:

上述行列式D、D1、D2、D3中各元素的值都是已知数, 存于事先建好的表1中, 只要能求出各行列式的值, 就可以计算出实际单位成本 (分配率) X1、X2、X3。

二、UFO报表系统在代数分配法上的应用

根据上述原理, 可以利用UFO报表系统实现辅助生产费用代数分配法, 假定账套代码为001, 其他资料见表1, 具体操作步骤如下。

1. 在UFO报表系统中设置辅助生产费用代数分配表分配表格式见图1。

2. 设置运算公式

首先依据代数分配法原理, 利用克莱姆法则解线性方程的思路设置行列式单元格公式, 具体公式如下:

设置上述单元公式主要目的是为了让UFO报表系统能够自动计算实际单位成本 (分配率) X1、X2、X3。

其次设置其他单元公式, 如下:

D3=QM (41010201, 月, , 001, 年, , )

E3=QM (41010202, 月, , 001, 年, , )

F3=QM (41010203, 月, , 001, 年, , )

取辅助生产成本账户各辅助车间的期末余额 (其中41010201、41010202和41010203分别表示供电车间、供水车间、机修车间的科目代码) , 001表示上述余额来自账套代码为001的单位。

通过上述步骤的设置, 在UFO报表系统的数据处理状态下, 只要输入各车间各部门本期所耗用辅助生产车间的劳务数量, 计算机就会自动得出计算实际单位成本 (分配率) 的行列式, 见图2。

由于用友软件UFO报表系统中没有计算行列式值的函数, 可以借助Excel的“MDETERM”函数来计算得到行列式的值, 从而进一步由计算机自动计算得到实际单位成本 (分配率) 。具体操作步骤:首先, 在UFO报表系统数据处理状态, “点击编辑菜单—插入新对象—新建—Microsof Office Excel工作表”, 见图3。

其次, 将UFO报表中“A22:E36”区域即行列式“D、D1、D2、D3”复制到刚插入的Excel工作表的“A1:E16”区域中, 并在该工作表中的“F2、F6、F10、F14”单元中输入公式“F2=MDETERM (B1:D3) 、F6=MDETERM (B5:D7) 、F10=MDETERM (B9:D11) 、F14=MDETERM (B13:D15) ”, 这样即可得到行列式“D、D1、D2、D3”的值。最后将由Excel工作表计算到的行列式的值即“F1:F15”的数据复制到UFO报表的“F22:F36”单元中, 报表就会自动计算得出辅助生产车间的实际单位成本 (分配率) X1、X2、X3, 见图4。

3. 设置辅助生产费用分配的自动转账凭证

用友软件所提供的自动转账凭证功能, 其数据来源可以从报表系统取数, 从而实现电算化后的账表一体化, 见图5。

定义自动转账凭证从报表系统中取数时要确定3个要素:报表、表页、单元 (行列) 。这里需要注意的是UFO报表系统中确定单元位置的要素是行和列, 列用英文字母表示, 行用阿拉伯数字表示, 但在自定义转账凭证取数公式这里, 行和列都用阿拉伯数字表示, 见图6。

图7设置的是辅助生产费用分配的自定义转账凭证的分录。其金额公式中第一个公式的含义是指取D盘根目录下报表名称为“代数分配法”的第一页第7行第7列的数据, 即供电车间应负担的供水车间及机修车间的费用;第二个公式中的“9”是指取第9行的数据, 即供水车间应负担的供电车间及机修车间的费用;第四个公式中的“13”是指取第13行的数据, 即一车间产品应负担的供电车间、供水车间及机修车间的费用;其他公式的含义以此类推。

三、应注意的问题

若辅助生产车间及其提供的劳务在3个以上, 则要建立多元一次方程组, 相应地在UFO报表中增加行列区域即可。另外应用UFO报表系统进行辅助生产费用分配时, 应首先编制分配表, 然后根据分配表由计算机编制辅助生产费用分配的记账凭证, 不能颠倒次序。

摘要：辅助生产费用采用代数分配法分配的结果最准确, 但企业辅助生产车间较多时, 这种方法计算过程就显得比较复杂, 对会计人员的素质要求比较高, 因此, 该方法在实际工作中应用比较少。为了提高会计核算的准确性, 应该推广使用代数分配法分配辅助生产费用, 但推广的前提条件是必须解决代数分配法计算过程比较复杂的问题。笔者根据自己多年的教学实践, 依托用友UFO报表系统强大的数据处理功能, 对利用报表系统解决代数分配法的复杂计算过程进行了有益的尝试, 取得较好的效果。

关键词：UFO报表,克莱姆法则,代数分配法,函数

参考文献

[1]申屠新飞.报表系统在辅助生产费用分配上的应用[J].中国会计电算化, 2003 (11) .

代数系统篇8

目前,混沌的应用在信号加密、故障诊断等领域越来越普遍,结构简单的混沌系统大部分物理实现起来相对较容易。然而,在另外一些场合,却又需要对系统混沌进行抑制,因此,有必要探索抑制方程 ( 1) 系统产生混沌的方法。以抑制混沌为目的的控制方法有很多,常见的控制方法有OGY法[5]、非线性和线性反馈控制法[6,7]、最优控制法[8]、延迟反馈控制法[9]、微分几何控制法[10]等。文中讨论的非线性混沌系统含有3个参数,且3个参数是未知的,本文考虑采用一种自适应控制律来抑制该系统产生的混沌。

1对象的混沌行为

1.1混沌存在的证实与展示

方程( 1) 的状态方程形式如下:

式( 2) 中,x1、x2和x3为状态变量,a、b和c为未知参数。

观察状态方程( 2) 可发现,其右端有6项代数项,其中仅含有1项非线性项,该非线性项为x1x2,既非平方项也非立方项。就代数项个数而言,它比Rssler系统结构更为简单,而且结构形式上不同于Sprott发现的任何一个混沌系统,也不同于三阶典型混沌系统Genesio-Tesi混沌系统[11]与Coullet混沌系统[12]。由于存在非线性项仅仅是混沌产生的必要条件,故有必要对该系统进行探讨。

对状态方程( 2) ,初值取( 2,2,2) ,当系统参数a = 1,b = 0. 51,c = 1时,系统产生的相图如图1和图2所示。

当系统参数取另一组值a = 1. 2,b = 0. 62,c = 1时,系统产生的相图如图3和图4所示。

由以上两组参数取不同值得到的相图可知,该系统皆疑似出现混沌现象。为了确定是否为混沌,需要进一步作出判断。Lyapunov指数谱图能清晰地判断系统是否出现混沌,对于三阶自治系统,若3个Lyapunov指数只要有一个指数大于0,则系统处于混沌状态。系统分岔图能直观地反映非线性动力系统随参数变化的动态特性。

分别给出当参数a = 1、c = 1时系统随参数b变化的Lyapunov指数图和系统分岔图,以及当b = 0. 62、c = 1时系统随参数a变化的Lyapunov指数图和系统分岔图。

由图5和图7指数谱可知,当b = 0. 51,a = 1. 2时,系统Lyapunov指数均存在一个大于0,说明当参数取a = 1,b = 0. 51,c = 1时与参数取a = 1. 2,b = 0. 62,c = 1时系统皆是混沌状态。图6和图8分岔图分别展示了系统随不同参数变化走向混沌的道路。由分岔图可知,当参数取其他值时,系统也可能出现混沌。

1.2系统平衡点的讨论

通过简单计算,容易知道方程( 1) 系统平衡点仅有一个,为( 0,0,0) 。被讨论对象结构形式与已经发现的Genesio-Tesi混沌系统[11]与Coullet混沌系统[12]类似,但由于该系统平衡点只有一个,而Genesio-Tesi与Coullet混沌系统平衡点不只一个, 故方程( 1) 系统与这两种混沌系统有不同的拓扑结构。因此,方程( 1) 系统属于不同于Genesio-Tesi与Coullet混沌系统的另外一种新的三阶混沌系统。

状态方程( 2) 在平衡点的雅克比矩阵为:

该雅克比矩阵特征方程为

式( 4) 中,若特征值 λ 的所有值均具有负实部分,则系统在平衡点是渐近稳定的,根据Routh-Hurwtz理论有: c > 0,b > 0,a > 0,bc > a。上述参数是方程 ( 1) 系统在平衡点稳定的一个充分条件。

1.3系统吸引子的讨论

系统散度为:

当c > 0,即▽V < 0,系统是耗散的,系统以指数形式e- c收敛。即体积元V0在t时刻收缩为体积元V0e- ct,这意味着,当t→∞ 时,包含系统轨迹的每个体积元以指数速率 - c收缩到零。因此,系统轨迹最终会被限制在一个体积为零的集合上,其渐近运动趋向于一个吸引子。

2对象混沌行为的抑制

由于方程( 1) 系统参数未知,由前面的指数谱和分岔图可知,当系统参数取多组值时,系统都可能处于混沌状态。因此为了抑制所有可能出现的混沌现象需要选择一种合适的控制方法。自适应的控制方法能避开参数a、b和c取值不同造成的影响。该方法的原理是在系统中加入一种自适应控制律,使加入了控制律后的系统满足Lyapunov稳定性定理。对于方程( 1) 系统,加入什么样的自适应控制律,选择什么样的Lyapunov函数来证明加入了控制律后的系统满足Lyapunov稳定性定理,这两点存在着较大的难度。Wang Guangming[13]在文中提出了一种自适应控制律,并证明加入了该自适应控制律后的系统满足Lyapunov稳定性定理,它能使参数未知的Genesio-Tesi系统始终回到平衡点。

本文考虑在系统( 1) 中加入控制律u1、u2,其中u1= x1x2+ x12,加入u1的目的是使状态方程( 2) 转化为人们所熟知的Genesio-Tesi系统。然后,根据文献[13]的方法取u2= k x1,其中k符合的自适应控制律如下:

加入了u1、u2后,状态方程( 2) 变化为如下:

状态方程( 2) 加入了u1、u2后,系统控制框图如图9所示,其中虚线内为原方程( 1) 系统。

令输入U为0,初始值取( 2,2,2) ,运行加入了u1、u2后的程序,出现的相图如图10 ~ 图13所示。

由图10到图13可以看出,系统中加入了u1与u2后,系统均能回到平衡点,因此,方程( 1) 系统采用加入u1与u2的控制方法来抑制混沌是有效的。

3结束语

代数系统篇9

关键词：近世代数,代数思想,渗透

一、近世代数的重要作用

近世代数是大学数学与应用数学专业以及信息与计算机专业的基础课程之一,是以研究抽象代数系统的性质与构造为主的一门课程,故也称之为抽象代数,近世代数也是现代数学各个分支的基础。随着科技的不断发展与实际应用的需要,近世代数的基本理论与基本思想越来越渗透到各个学科领域,特别是电子计算机、信息与编码等领域。因此,近世代数教学中一些基本的代数思想的渗透不论对学生今后的数学学习还是从事其他学科的研究工作都有着重要的指导意义。

二、近世代数中的几种重要基本代数思想

(一)同态与同构思想。

近世代数主要是研究带有运算的集合,也即代数系统。因此,近世代数一般很少考察一般的映射,而是重点考察和运算有关的映射,也就是同态映射和同构映射。同态映射和同构映射主要是研究代数系统之间的关系,由已知的代数系统的性质推得未知的代数系统的性质,特别地,同构映射是比较两个代数系统最有力的工具,因为互相同构的代数系统的运算性质是完全一样的。因此,同态与同构思想是研究代数系统有效的代数思想方法之一。

(二)等价分类思想。

研究代数系统除了同态与同构思想之外,另外一种常用方法就是把代数系统分成若干个子集来加以讨论,也就是集合的分类。所谓集合的分类是把集合的全体元素分成若干互不相交的子集。通常是给出所研究的代数系统上的一个等价关系,利用此等价关系来对代数系统分类。集合的分类与集合的等价关系之间密切相连,即集合的一个分类决定集合上的一个等价关系,反过来,集合上的一个等价关系也决定一个集合的分类。正因为如此,等价分类思想的地位显得尤其重要。

(三)子代数(系统)思想。

研究代数系统另外一种常用方法就是用其子代数系统来研究原代数系统,特别地,要根据子代数系统的特征对原代数系统进行分类,一般是利用子代数系统建立集合上的等价关系,再利用等价等价关系对代数系统进行分类。如群论的全部内容都在不同程度上和子群有联系。

三、如何在教学中渗透上述几种代数思想

(一)同态与同构思想的渗透。

在介绍同态映射与同构映射的定义时,强调:同态映射的本质是保持运算的满射,类似地,同构映射的本质是保持运算的双射(一一映射)。虽然课本中同态映射与同构映射的定义是以带有一个代数运算的代数系统为例给出来的,但经过上述强调后,学生很自然而然地给出带有多个代数运算的代数系统的同态映射的定义与同构映射的定义。如,群是带有一个代数运算的代数结构,学习了群同态与群同构之后,在学习带有两个代数运算的代数结构——环与域的时候,学生便很容易理解环(域)同态与环(域)同构的概念,在介绍定义之前,可以让学生先自己给出环同态与环同构的定义,以加深对同态映射与同构映射概念的理解。

(二)等价分类思想的渗透。

此代数思想的重点是理解等价关系和分类的联系,在介绍等价关系和分类间的联系的定理时,强调:互相等价的元素同在一类,不再同一类的元素是不等价的。特别在后面介绍群的左(右)陪集时,要给学生强调就是利用子群建立群上的等价关系并对群进行分类,这些类就是子群的左(右)陪集。进一步可得到著名的拉格朗日定理,体现了等价分类思想重要应用的一个方面。另外,利用正规子群建立群上的一个等价关系对群进行分类,这些类就是子群的陪集,再与群同态及同构结合起来,得到了群的三大同构定理。类似地,在研究环的时候,利用理想(与不变子群地位相当)建立环上的等价关系并对环进行分类,得到相应的环同构定理。

(三)子代数(系统)思想的渗透。

子代数系统简称为子代数,在近世代数教材中没有提及子代数(系统)这一概念。实际上,在介绍群、环时所涉及到的子群、正规子群、子环、理想等都属于子代数。虽然教材中没有提及,但在介绍子群概念的时候就要把这一代数思想给学生介绍一下。强调:所谓子代数就是代数系统的非空子集关于该代数系统的运算也作成相同的代数系统。这样学生便能理解子群的本质就是群的非空子集关于该群的乘法运算也做成一个群。类似地,在学习后面的代数系统环时便很容易理解子环的概念。进而可以更好地理解特殊的子代数的概念,如正规子群、理想等相关概念。

线性代数的一些代数式的改写技巧篇10

在讲授线性代数的过程中, 经常要处理一些代数式, 对于同一个代数式, 它的形式有可能是多样的。教师选择不同的形式, 有可能影响学生的学习效率。实际情况表明, 多数学生对长串的代数式心生畏惧, 写出这样的代数式, 还没有往下处理, 他们就放弃了。这给线性代数的课堂教学提出了要求, 面对一些难处理的代数式, 不能照搬教材, 但又不能脱离教材, 要把握住其中的“度”, 通常就是要理解、认识这些代数式的多张面孔, 即是掌握改写它们的技巧。下面总结了线性代数的一些常见的代数式的改写方法。

二、矩阵乘法的改写技巧

矩阵乘法满足行乘列规则, 通常用行向量乘列向量的方法计算两个矩阵的乘积。设F是一个数域, A∈Fm×n, B∈Fn×p, 且α1, α2, …, αn是A的n个列向量, β1, β2, …, βn

是B的个行向量。则A与B的乘积可以改写成

(1) 式联合下面的引理可得到矩阵转置运算律 (AB) T=BTAT的一个新证明。

三、线性方程组的表示式的改写技巧

线性方程组的理论和方法是学习线性代数的切入点, 学习线性方程组的理论和方法相当于训练线性代数的基本功, 这一基本功过关了, 才能为后继学习提供保障。线性方程组的表现形式有三种, 学习了矩阵乘法之后, 一般的线性方程组表示式:

学习了初等矩阵和矩阵的初等变换的关系后, 可以更深刻地认识线性方程组的初等变换是同解变换。对线性方程组 (2) 施行一次线性方程组的初等变换后所得的线性方程组是 (PA) X=PB, 其中, P是相应的初等变换对应的初等矩阵, 因为初等矩阵可逆, 所以AX=b和 (PA) X=PB同解, 也即线性方程组的初等变换是同解变换, 这是高斯消元法的理论基础。

另外, 如果学习了向量空间Fn, (2) 式又可以改写为

其中, α1, α2, …, αn是A矩阵的N个列向量, 用 (3) 式可以简洁证明线性方程组解的结构相关定理, 快捷地从线性方程组的一般解得到线性方程组的通解。具体操作是在一般解表示式的左边按未知量的先后顺序添加自由未知量, 令自由未知量等于它自己, 等式右边的常数项和带自由未知量的项分别对齐书写, 最后依照 (3) 式将一般解改写成列向量的线性组合表达式即得通解[1]。

例1设A是一个已知的n阶矩阵, I是n阶单位矩阵, Y为一个未知的n阶矩阵。若矩阵方程AY=I有解, 则A满秩。

证明:设A的n个列向量分别为α1, α2, …, αn, I的n个列向量分别为ε1, ε2, …, εn。因为X=I有解, 不妨设其解为C= (cij) , 则有T

由 (3) 式可得

四、两向量组的线性表示式的改写技巧

(4) 式改写成 (5) 式, 体现了{α1, α2, …, αs}和{β1, β2, …, βt}的整体关系, 使用 (5) 和 (6) 式有便利之处。在学习两向量组的等价性、过渡矩阵、坐标变换公式、线性变换等内容时, (5) 和 (6) 起到非常重要的作用, 可以说, 若不能熟练掌握该技巧, 那么在学习这些内容时将会碰到极大的困难。

五、欧氏空间Rn的内积计算的改写技巧

(7) 式可改写为或

可用这一改写技巧简明证明定理“对称矩阵在规范正交基下对应的线性变换是对称变换”[2], 证明过程避免了处理两个求和符号。下面给出证明。

参考文献

[1]彭玉芳, 尹福源.线性代数 (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2005.

利用代数式表示规律篇11

例1 观察右表，根据表中数的排列规律，求出B+D的值.

解析从所给的数据和表格中寻求规律进行解题.找规律的问题，首先要从最基本的几个数字或图形中求出数值（特殊情况），并进一步观察具体的变化情况，从中找出一般规律（一般情况）.B所在行的规律是每个数等于前两个数的和，所以A=3，B=8；D所在行的规律是关于数20左右对称，即D=15.所以B+D=23.

不同的观察角度，可有不同的规律寻求途径.

例2 如图，用同样大小的小正方形纸片拼大正方形.

第①个图形中有1个小正方形；

第②个图形比第①个图形多________个小正方形；

第③个图形比第②个图形多________个小正方形.

回答下列问题：

（1）第⑩个图形比第⑨个图形多几个小正方形？

（2）第{100}个图形比第{99}个图形多几个小正方形？

（3）第■个图形比第■个图形多几个小正方形？

解析（1）第⑩个图形比第⑨个图形多19个；（2）199个；（3）（2n-1）个.

例3 用火柴棒按下图的方式搭正方形：

（1）搭6个这样的正方形需要________根火柴棒；

（2）搭n个这样的正方形需要________根火柴棒；

（3）搭117个这样的正方形需要________根火柴棒.

解析研究变化有限个且个数较少的情况，我们可以采用列举法，逐个研究.但当数量巨大时，我们不能一一列举了，就要通过研究有限种情况来发现事物变化所隐含的规律，然后用代数式把这种规律表示出来，最后再代入求值就可以得到任何特殊情况下的答案.

（1）分解图形如下：

可得搭6个需要19根.

（2）解题关键在于如何寻找规律，主要是把前面已算的图作为整体，后面依次在前面的基础上增加.第一个图需要4根，那么第2个图在第1个基础上增加了3根，即4+3；第3个图在第2个图的基础上增加3根，即4+3×2.依次类推，那么，如何归纳出搭n个正方形所需的火柴棒呢？可以把有限个结果按如下方式对齐排列：

正方形个数火柴棒数目

1 4

2 4+3

3 4+3×2

4 4+3×3

然后，我们要抓不变的量和变化的量.通过观察，发现火柴棒数目表达式中，不变的量是4和3，而且式子结构为加法和乘法运算，即可写成4+3×（）的形式，关键是括号中填什么.接下来，我们观察变量与个数之间的关系，相差为1，即括号中填的量是对应的正方形数减1.可得搭n个正方形所需的火柴棒根数为：4+3×（n-1）=3n+1.

（3）当n=117，3n+1=3×117+1=352.

代数系统篇12

1 让线性代数的研究对象和思想生动起来

每一门课程都有它的主要研究对象, 线性代数的研究对象是向量空间及线性变换的理论。线性代数以代数的方法在解决几何问题, 体现了代数与几何的结合。而将代数与几何互相转换的方式融入教学中去, 就使得教学过程生动、形象而又直观。

(1) 在学习矩阵的运算时, 矩阵乘法相对来说, 会使学生觉得非常“不自然”, 如果适当融入一些与空间相关的例子, 会产生意想不到的效果!

例1计算

通过计算, 我们得到:

事实上, 我们知道, 矩阵可以表示二维空间, 即平面上的旋转变换, 指空间中的向量都旋转φ (弧度) , 是线性变换的一种。而可以理解为空间做了n次这样的旋转变换, 得到旋转nφ的变换, 对应表示矩阵恰好为:

这样, 我们就从几何空间的直观例子使矩阵乘法变得生动、形象。

(2) 初等矩阵的理解也可以借助几何方法:如初等矩阵可以理解为一个拉伸或压缩变换;可以看做是一个投影平移变换等。

(3) 利用正交变换使二次型化标准形, 这是线性代数课程的一个难点, 很多学生不理解为什么要化标准形?为什么要使用正交变换法?这样做有什么实际意义?下面我们举例说明。

例2用正交变换法将二次型化为标准型:f=2x12+3x22+3x32+4x1x2.

我们可以通过正交变换, 使二次型化为标准形:f=2y21+5y22+y23.

从几何角度理解, 2x12+3x22+3x32+4x1x2=1在三维线性空间中, 表示什么样的曲面呢?我们知道正交变换保持正交性不变, 即在变换后, 在仍为空间直角坐标系的新坐标下, 方程化为2y12+5y22+y32=1, 即表示的曲面是一个椭球!

二次型标准化问题是矩阵理论的一个应用, 是将一个有中心的二次曲线 (面) 方程化为标准方程, 从而对其进行分类, 线性代数中将它推广到n维空间中, 并给予了解决。如果将这种方法用到解析几何中, 它可以解决有心曲线 (面) 的分类问题.这充分反映了利用矩阵这个线性代数的重要工具, 去研究问题的价值体现。也使得线性代数研究对象和思想的应用灵活起来。

2 让线性代数的概念和方法生动起来

在线性代数的教学中, 教师大多以矩阵和行列式为中心展开教学, 很多概念和方法直接给出, 对学生来说都感觉非常“突兀”, 降低了学生的学习兴趣, 影响了教学效果。经过几年的线性代数的教学, 笔者发现如果以“一条主线”展开教学, 就会使整个教学过程变得完整而生动。这条主线就是“线性方程组”, 以之为线索将主要的概念和方法紧密的联系起来。下面以几个具体例子来说明。

我们通常给出矩阵定义的时候是通过线性方程组的形式引出的, 例如线性方程组:

通过对这个齐次线性方程组这个“主线”的讨论, 我们引出下面几个看起来“莫名其妙”的概念和方法。

(1) 矩阵

这个方程组解的情况如何?完全由数组决定, 就是决定这个齐次方程组解情形的本质:系数矩阵。因此我们通过方程组引出了“矩阵”的概念

(2) 矩阵的秩

0当我们在解这个方程组之前, 比较容易观察到:方程 (2.3) 为方程 (2.1) 和 (2.2) 作和得到, 通过三个方程的关系, 得出结论:这个线性方程组的“有用方程”的个数为“2”, 这个“有用方程的个数”与决定方程组解的本质的矩阵之间是什么关系呢?当然, 它就是这个矩阵的“秩”!这个问题的提出就使得矩阵的“秩”的概念自然的提出来了。

通常如果直接提出矩阵的秩的概念, 学生会觉得“莫名其妙”, “不知所谓”。如果通过线性方程组这个主线引出这个定义, 矩阵的秩的定义就变得“生动”起来, 学生不仅容易理解, 还能把线性代数的知识内容贯穿起来, 增强了学习兴趣。

(3) 矩阵的初等变换

下面我们用高斯消元法解这个方程组, 由此引入矩阵的“初等变换”的方法。

解交换方程 (2.1) 和 (2.2) 的位置得到

方程 (2.1) 和 (2.2) 两端各乘-1, 加到方程 (2.3) 上, 使得方程 (2.3) 系数均为零, 得到

其中我们对方程组实施了如下变换:

1) 交换两个方程的位置;

2) 一个方程两端同时乘以一个非零的数;

3) 一个方程两端乘以同一个数后加至另一个方程上。

在这些变换下得到的新的方程组与原方程组同解。而方程组的系数矩阵也发生了变化, 但是它所决定的解的情况没有发生改变, 也就是说, 这个矩阵的某些“本质”没变。由此引出的矩阵的变换就是矩阵的“初等变换”。

以方程组这一“主线”将初等变换直观生动地展现在学生面前, 这就使学生不会觉得“初等变换”的方法是“凭空想象”的, 而是非常有意义的。

通过上面几点讨论, 我们认识到, 线性代数的教学也可以不枯燥无味, 可以是很生动的。一些现代化的教学手段, 例如多媒体教学等, 也可以应用到线性代数教学当中, 使教学方式更加灵活。通过这些激发学生的学习兴趣, 能使学生更好地学习和理解线性代数的知识和思想, 提高他们的数学素质。