线性代数习题集

线性代数习题集（精选7篇）

线性代数习题集 篇1

习题一

1.计算下列排列的逆序数

1）9级排列 134782695；

2）n级排列

n(n1)2。1

解：（1）(134782695)04004200010 ；

（2）[n(n1)21](n1)(n2)102.选择i和k，使得：

1）1274i56k9成奇排列；

2）1i25k4897为偶排列。

解：（1）令i3,k8，则排列的逆序数为：(127435689)5，排列为奇排列。从而i3,k8。

（2）令i3,k6，则排列的逆序数为：(132564897)5，排列为奇排列。与题意不符，从而i6,k3。3.由定义计算行列式

n(n1)。2a11a21 a31a41a51 aaaaa1222324252000aa000a53a43000。a5a4444555解：行列式＝j1j2j3j4j5(1)(j1j2j3j4j5)a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5，因为j1,j2,j3至少有一个大于3，所以a1j1a2j2a3j3中至少有一数为0，从而a1j1a2j2a3j3a4j4a5j50（任意j1,j2,j3,j4,j5），于是j1j2j3j4j5(1)(j1j2j3j4j5)a1j1a2j2a3j3a4j4a5j50。

4.计算行列式： 40211）131； 2）

12241141111； 3）

1111011***； 07a213279b24）；5）21284c1512525d2146416(a1)2(b1)2(c1)2(d1)2(a2)2(b2)2(c2)2(d2)2(a3)2(b3)2。2(c3)(d3)2解：（1）－40 ；（2）－16 ；（3）0 ；（4）－1008 ；（5）0。

5.计算n阶行列式：

xy0001230xy0011000x00022 1）； 2）000xy000y000x000n1n0000；

2n0n11n1a1111a2 3）11xy1222122221（ai0）； 4）2232。1an222n00y0000x00xy00解：（1）原式=x(1)n1y0x00（按第一列展00xy000x00xy开）

=xn(1)n1yn。n(n1)232010002（2）行列式=000000n1n0000（后n1列和加到第一列，2n001n再按第一列展开）

n(n1)(1)(2)(1n)

=2(n1)!

=(1)n1。

2111101a11111a21（第一行第一列为添加的部分，注意（3）行列式=00111an此时为n1级行列式）

11101c11c2100a11c1c3a

2r2r1r3r11a111011a1an0001a100101000a2rn1r11c1cn1ana20

0anan

=(111)a1a2an。a1an1222000r2r11r3r10（4）行列式101rnr1100n222210210=1(1)（按第二行展开）00n22(n2)!。提高题

1.已知n级排列j1j2jn1jn的逆序数为k，求排列jnjn1j2j1的逆序数。解：设原排列j1j2jn1jn中1前面比1大的数的个数为k1，则1后面比1大的数的个数为(n1)k1，于是新排列jnjn1j2j1中1前比1大的个数为(n1)k1个；依此类推，原排列j1j2jn1jn中数i前面比i大的数的个数为ki，则新排列jnjn1j2j1中n)1i前比in大的个数为

(ni)ki个记(j1j2njkj1k2k1，k故新排列的逆序数为

n(n1)k。2[(n1)k1][(n2)k2][(n(n1)kn1]12(n1)k2.由行列式定义计算

2xx121x114 f(x)中x与x3的系数，并说明理由。

32x1111x解： 由于行列式定义中的每一项来自于不同行和不同列的n个元素的乘积。而该行列式中每个元素最高含x的一次项，因此x4的项只能由对角线上的元素乘积所得到x4，故x4的系数为(1)(1234)2＝2。

同样的考虑可得x3的系数为(1)(2134)＝－1。

1xx21a1a1223.设P(x)1a2a221an1an1xn1a1n1n1，其中ai互不相同。a2n1an

11）说明P(x)是一个n1次多项式；

2）求P(x)0的根。

解：1)把P(x)按第一行展开得：P(x)A111A12xA1nxn1。11而A1n1a1a2a1n2n2a20，所以P(x)是一个n1次多项式。

n2an1an1根据范德蒙行列式

P(x)(xa1)(xa2)(xan1)(a1a2)(a1an)(a2a3)(a2an1)(an2an1)

2)因为xai（i1,2,,n1）代入P(x)中有两行元素相同，所以行列式为零，从而P(x)0的根为a1,a2,,an1。

习题二解答

1.计算 1）x1x2a11x3a21a31a12a22a32a13x1a23x2 ；

a33x3010；求 A2、A3、A4。2）已知A1010222解：1）a11x1 ； (a12a21)x1x2(a13a31)x1x3a22x2(a23a32)x2x3a33x3000000000 ；A3 ；A4。

2）A2100000000100100000003111112.设 1）A212，B210，求 ABBA。

101123abc1ac

2）Acba，B1bb，求 AB。

1111caabca2b2c22222解：1）20 ；2）abc0b2ac4423abc3.设A是n阶实方阵，且AA0。证明A0。

b22ac222abc。abca11a12a21a22证明：设Aan1an2a1na11a21a2na12a22，则Aanna1na2nan1an2。从而。ann2a121a221an1222aaa1222n2AA0。

222a1na2nann222222222所以a11a21an1a12a22an2a1na2nann0。因为aij为实数，故aij0（i,j1,2,,n）。即A0。

a1a2，a,a,,a互不相同。证明与A可交换的矩阵只4.设An12an能为对角矩阵。

b11b12b21b22证明：设与A可交换的矩阵为Bbn1bn2a1b11a1b12a2b21a2b22 anbn1anbn2b1nb2n，由ABBA得： bnnanb1nanb2n。anbnna1b1na1b11a2b12a2b2na1b21a2b22anbnna1bn1a2bn2即 aibijajbij（i,j1,2,,n）。由于a1,a2,,an互不相同，所以ij时，b1100b22bij0。故B0bn200。即B为对角矩阵。05.证明任一方阵可表示成一对称矩阵和一反对矩阵之和。证明：设A为方阵，记B(AA)2，C(AA)2，则可知B为对称矩阵，C为反对称矩阵。且ABC。

6.设f()amma1a0，定义f(A)amAma1Aa0E，其中A211是n阶方阵。已知f()21，A312，计算f(A)。110513解：f(A)A2AE803。2127.已知方阵A满足A2A7E0。证明A及A2E可逆，并求它们的逆矩阵。

证明：由A2A7E0，可得：A(AE)7E。所以A可逆，且A1(AE)。7同理由A2A7E0，可得：(A3E)(A2E)E。所以A2E可逆，且(A2E)1A3E。

8.求下列矩阵的逆阵：

21122313 ；3）110 ； 1） ；2）12121121112111121111121 ；5）。4）1111211111215解：1）2533111435 ；2）1131 ；3）153 ； 41113164511118421842111111。4）；5）

844111116111184229.已知A120，且ABA2B，求B。12301011121，解：由ABA2B，可得B(A2E)A。又(A2E)2131120所以B(A2E)1A152。26110.设A是n阶方阵，如果对任意n1矩阵X均有AX0。证明A0。

a11a12a21a22证明：记Aan1an2a1n1a2n0，取X，由AX0，可得ai10

0ann0（i1,2,,n）。同理可得aij0（i,j1,2,,n）。从而A0。11.已知4阶方阵A的行列式A5，求A*。

解：因为 AAAE，两边取行列式有 AAA。所以 A*53125。

4A12.设A，B分别为m，n阶可逆方阵，证明分块矩阵C证明：因为 A，B可逆，所以 A0，B0。故

0 可逆，并求逆。

BA0AB0，从而CBAC0X11可逆。记BX21X12A是CX220A的逆，则BC0X11BX21X12E，X22AX11EX11A1AX120A0X120于是，解得。故矩阵的逆为11CBX21BCACX11BX2101CX12BX22EX22BA111BCA0。1BA111，其中A，C存在，求X。0013.设XC0解：因为 CA0C10XE，所以0A10CA0C1。的逆为100A14.求下列矩阵的秩：

2241143213113021 ；

1）213 ；2）112111370513122111aa2

3）1bb21cc2a3b3。c3解：1）2。2）4。3）当abc时，秩为1；当a,b,c有某两个相等时，秩为2；当a,b,c互不相等时，秩为3。

提高题

1.秩为r的矩阵可表示为r个秩为1的矩阵之和。

证明：设矩阵A的秩r，由推论1结果可知：存在可逆矩阵P和Q使得EPAQr001Er，即 AP00010Ir1I1 QP[000001其中 ]Q，0Ik（k1,2,,r）表示第k行k列元素为

1、其余元素为0的r阶方阵。记A1[Ik01kP00 ]Q（k1,2,,r），则Ak的秩为1，且AA1Ak。2.设mn矩阵A的秩为1，证明：

a11）A可表示成b1bn； am2）A2kA(k是一个数)。

证明：1）因为A的秩为1，所以存在某元素aij0。记A的第i行元素为b1,,bn，则A的任一行向量可由第i行线性表示（否则与i行向量线性无关，与A的秩为1矛盾）。记a1,,an依次为第1行、、第n行的表示系数，则有Aa1b1bn。

ama12）由1）Ab1bn，所以

amA2[a1ba1](ba11bn][b1bn1a1bnan)b1amamama1

kbb1n（其中kb1a1bnan）。

am1 设A是n阶方阵，X是n1矩阵13.，证明：

1

1）AX的第i个元素等于A的第i行元素之和；

2）如果A可逆，且A的每一行元素之和等于常数a，则A1的每一行元素之和也相等。

bna11a12a21a22证明：1）记Aan1an2a1na11a12a1na2naaa21222n，则AX。

annaaannn1n2aa

2）若A的每一行元素之和等于常数a，由1）AXaX，由于Aa可逆，所以a0。从而A1X11X，即A1的每一行元素之和等于常数。aa4.证明：

1）上（下）三角矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵；

2）可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵。证明：1）记Aaijnn，Bbjknn为上三角矩阵，CAB。则ijk时，aij0，bjk0。对任意s，当is时，ais0，当kis时bsk0，即任意s，aisbsk0。从而ik时，cikai1b1jaisbskainbnk0。故上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵。同理可证明下三角矩阵的情形。

a11a120a22

2）对可逆的上三角矩阵A00a11a120a22对于AE00变换

a1na2n，aii0（i1,2,,n），anna1na2nann100010，先进行第二类初等行

0011，再作第三类初等行变换把左边变成单位矩阵时，右边ri（i1,2,,n）aii即为上三角矩阵。亦即可逆的上三角矩阵的逆仍是上三角矩阵。5.已知实三阶方阵A满足：1）aijAij；2）a331。求A。解：因为AAAE，所以AAA。由于aijAij，从而有AAA。于是A0或A1。

若A0，则AAAA0，由于A为实三阶方阵，由习题3可得A0。此与a331矛盾。从而A1。

6.设AE，其中是n1非零矩阵。证明：

1）A2A的充分必要条件是1； 2）当1时，A是不可逆矩阵。

证明：1）若A2A，即有E(2)E。又是n1非零矩阵，所以是nn非零矩阵，从而21，即1。以上每步可逆，故命题成立。

2）当1时，由1），A2A。若A可逆，则可得A0，矛盾。故A是不可逆矩阵。

7.设A，B分别是nm、mn矩阵，证明：3EmABEnABEmBA。EnBEnAB；EnEm0Em证明：因为AAEnEm又ABEmEn0BEm，所以EnABABEm0EmBABEm，所以AEnAE0EnnBEmBA。从而命En题成立。

8.A，B如上题，0。证明：EnABnmEmBA。

0EmEm证明：由于0，可得1AAEnEmBEn0B，所以 1EnABEmABEnEm0BmnEnAB； 1EnABEm又ABEm0EmBABEm，故AEnAE0EnnBEmBA。从而EnEnABnmEmBA。

线性代数习题集 篇2

【关键词】习题数量；习题类型；习题选材；习题综合难度

习题是中学数学教科书中的重要组成部分.习题配备得好不好，直接影响到学生学习质量的高低[1].所以，对教科书中的习题进行研究是一项十分有价值的工作.关于习题的研究，以前多是对一道习题进行深入的挖掘，或做变式思考，或做一题多解的处理，或与中考试题联系，而忽视了教科书中习题的比较研究.本文采用定性比较法和定量比较法来探寻两套教科书中“数与代数”领域的习题在数量、类型、选材和难度上的共性和差异，力求从整体上对两套教科书中“数与代数”领域的习题进行量化表征和质性描述.

1习题数量的比较

在统计各章节的题量时，本研究采用了以下原则：人教版和北师大版在习题的编号上是一致的：大题用1、2、3…编号；小题的编号则是（1）、（2）、（3）….我们约定，题量按照小题的个数计算.而在小题的层次上，如果有一题多问的，仍按一题记数.在两套初中数学教科书中，不仅“数与代数”领域的内容在各年级的分配有所不同，而且习题的数量也差异较大.其中，北师大版的习题数量较多，而人教版的习题数量较少.这说明在练习量上，北师大版要多于人教版.

但这仅是一种笼统的说法.为了进一步了解两套教科书中“数与代数”领域习题数量上的差异，本研究根据《课程标准》第三部分内容标准中“数与代数”领域的具体目标对两套教科书的习题进行数量上的分析.在统计各内容习题量时，本文将“数与代数”领域的内容分为“数与式”（包含有理数、实数、整式的加减乘除、因式分解、分式）、“方程与不等式”（包含一元一次方程、不等式和不等式组、二元一次方程组、分式方程和一元二次方程）、“函数”（包含一次函数、反比例函数、二次函数）.具体情况见下表1.

从表3、4中可以看出，两套教科书中的习题类型比较丰富，且在培养学生的能力方面各有千秋.通过统计数据说明两套教科书中“数与代数”领域习题类型的特点：（1）计算题、应用题、简答题在教科书中占主导.（2）较为关注填空题、判断题.（3）分布在作图题上的比重相当.（4）侧重探究性、开放性题目且呈现形式多样.

3习题选材的比较

本文按照鲍建生教授对数学题的背景层次的划分[2]对两套教科书中“数与代数”领域习题的背景选材进行分析、整理，具体情况如表5所示：

从表5可以看出，两套教科书均比较重视“数与代数”领域习题的选材，有背景知识的题材分别占189%（人教版）、254%（北师大版）.其中，与学生生活经历相关的题材占的比重较大，分别是123%（人教版）、152%（北师大版）.其次是科学情景的题材占的比重大，公共常识类的题材占的比重均等.相对而言，北师大版中“数与代数”领域习题的背景素材选取更注重与实际生活、科学情景等联系.4习题综合难度的比较

为了更进一步地考察两套教科书中习题的综合难度水平，笔者采用鲍建生教授的习题综合难度模型[2]，对两套教科书中属于各个难度因素的不同水平的习题进行了统计，并利用各水平的等级度量，计算各因素的加权平均.所得的结果汇总成下面的表6：

从图中可以看到，人教版中的习题在“探究”和“知识含量”两个因素上高于北师大版，而在“背景”、“运算”和“推理”因素上低于北师大版；从两个图形的整体态势上看，两套教科书中“数与代数”领域的习题在五个因素上，都比较平衡.当然，这五个因素应当处于一个什么样的“平衡”状态，仍是一个需要进一步研究的问题.

本文所做的初步探索可以为初中数学教科书“数与代数”领域的习题设计提供借鉴，为初中数学教师对本领域的习题教学提供一定的参考.

参考文献

[1]余元庆.谈习题的配置与处理—介绍几本外国中学数学课本中的习题配备[J].数学通报，1980（3）：6.

[2]课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心编著.义务教育课程标准实验教科书—初中数学（七—九年级）（第一版）[M].北京：人民教育出版社，2015（1）.

[3]义务教育数学课程标准研制组编.义务教育课程标准实验教科书—初中数学（七—九年级）（第四版）[M].北京：北京师范大学出版社，2015（6）.

[4]鲍建生.中英两国初中数学课程综合难度的比较研究[D].上海：华东师范大学，2002：25-40.

大学线性代数练习一习题及答案 篇3

一、选择题

1.下列行列式中（C）的值必为零(A)行列式的主对角线上元素全为零(B)行列式中每个元素都是二个数的和(C)行列式中有两列元素对应成比例(D)n阶行列式中零元素的个数多于n个

a11a31a12a32a13a334a114a312a11a122a31a32a13a332.如果Da21a22a231，则D14a212a21a22a23等于（D）（A）8

（B）12

（C）24

（D）4 1a1b1c1dbcdcaddaabbc3.行列式=(A)(A)a+b+c+d

(B)0

(C)abcd

(D)1

二、计算

121．D4=100237161102054911

12.D535036

211743081231696801352n111n(a1)2(b1)2(c1)2(d1)2(a2)2(b2)2(c2)2(d2)2(a3)2(b3)2(c3)2(d3)20 1213．已知n阶行列式11311a114．D41111a211，求其代数余子式之和A11+ A12++A1n

11111a311a21b

袁晖坪线性代数教材习题答案提示 篇4

第一章知识清单 1.行列式定义：

a11a21an1a12a21an2a1na2nannnn12nk1i,ji1i2inj1j2jnaijai112j2ainjn

说明1）iiitktiikk1, ti：在ikk左边比i打的数的个数.k

说明2）：行列式中每行均由不同行不同列的元素之积构成

2.计算方法

n基本方法： 1）化为三角式；2）降阶法：aikAjkk1D0ijij

常用方法：

利用定义或性质，拆解法，升阶法，递推法。特殊行列式：上三角式，对角式，范德蒙行列式。

3.行列式性质（5条）

行列等同；两行互换值相反；数乘行列式；行列式加法；第三种初等行变换不改变行列式的值。

4.克莱姆法则

/ 14 a11x1a12x2a1nxnb1a21x1a22x2a2nx2b2axaxaxbn22nnnnn11DnD1D2x，, 即：Anxb.解：，DAn.DDDT推论：Anxo有非零解An0.基本作业建议 A组：1，4，6（1），7（1），8, 10(1)； B组：一（1），（6）；二（3），（4）

一（A）4（1）：列标：54243，表明第四列有两元素：否;(2): 一（A）5：1234112453145213.a12a23a34a41,1a22143a12a21a34a43.2r32r2r43r2b2c2da2b2c2d2rir1一（A）6(5)：Di2,3,42a14a46a92b14b46b92c14c46c92d14d46d92a1262b1262c1262d1260

一（A）7(1)，(2)：同6（3），见课件例1.15—1.18。四种方法：

ncii1方法一：DD1上三角式；

提公因式rir1rir1i2,3,,n方法二：D箭形行列式

i2,3,,n10方法三：D加边a1a1ba1a1a1a2a2a2ba2a2a3a3a3a3ba3anananananb1a1b000a20b00a300b0an000brir1,i2,3n0001111



a1拆解a2a2ca2a2a3a3a3ca3anananancc000a2a2ca2a2a3a3a3ca3ananananca1a1方法四：Da1略.2 / 14 一（A）7（3，5，6，7）同类型，见课件与课本例题1.9：。

ncii1c1（3）：方法一：DD1下三角式cjcj1，方法二：Dnb1Dn1+下三角式递推式c1，方法三：Dn下三角式

j2,3,,ncjc1ajbj1cj1（5）：方法一：Dnb1Dn1+下三角式递推式，方法二：Dn下三角式

j2,3,,n（6）：方法一：DnA+对角式，A对角式.方法二：Dn次下三角式

j2,3,,nc1rn1c1cnba（7）：课本例题1.12 一（A）7（4）：拆解。

一（A）7（8）：见课本例题1.15.一（A）10：系数行列式=0.要求：耐心，细致！

4cii1rir1i2,3,4r2r3一（B）1（3）：DD1D2上三角式

4ci，i1D1三角式 一（B）1（4）：D1rrxc1412r131r,rr一（B）1（5），类一（A）5：

r12r4r2r4r3r4c1定义DD1D21其中:1132132x2x12x+=2x3

132x2x12x1a11a23a32.一（B）1（6）（7）（10）同课本例题1.15： 一（B）1（11）类同 一A(10)

1一（B）2（1）特例法：取aijij,即aij0一（B）2（2）类一（B）1（5），由定义：

ijijm0,

324113142112211221

一（B）2（3）：排除法。请记忆结论（D）一（B）2（4），同一（A）10 3 / 14 一（B）3（1），参见课件例1.18。类一（A）7（1），（2）：方法一：D箭形行列式；

各列提公因式rir1,i2,3,,n方法二：加边；方法三：拆解.cjcj1一（B）3（2）：

DnAnBn1Cn1对角式jn,n1,,2,1i2,3,,nc1rir1cn1。

第二章 矩阵

第二章知识清单

1.矩阵的线性运算（加法与数乘）与矩阵的乘法

注意：矩阵乘法无交换律与消去律.2.矩阵的逆与线性方程组的矩阵解法

1）有关公式：

AAAEA*1A；(AB)1B1A1;(kA)A1*11kA1

AAA1mnmn,AmZmnnAkmnm,nZ，由此得：

1APP,f(A)kmakA,f(A)Pf()Pkkk.diag(1,2,,n)f(A)Pf()P1diag(1,2,,n),kZ

kdiag(f1,f2,,fn).2）有关方法：

求逆矩阵：直接用定义（例：待定系数法）；伴随阵法；初等变换法。

/ 14 解矩阵方程：

逆矩阵法:AnXBXAB.初等变换法：1）A2）AXBn1XB1E,AB,XAn,BrAB.BEXA.11行最简形,选择自由未知量，给出方程的解（最佳形式）.A,Br3.转置阵的性质

基本作业建议 A组：4，6，9，10（4），14，15，17，18，19，24，28，29（4），（5）；B组：一（2），（6），（7）；二（1）——（9）

a二（A）7：Bcba,ABBABdc0,a,c可任取.a二（A）10 ：方法一，归纳；方法二，二项式定理.10例：10（4）0310002n100010000020300000nABn2BO

二（A）16 ：akbkabak1ak2bak3b2abk2bk1

EAEAEAkk1Ak2AE

二（A）17：问：A？EAA2EE4E.二（A）18：AAAE**A*11AA

二（A）19：AA5A13A1111*1*AA3AAA3AA AA5531AA311282E3AE5E5E.A55255二（A）20：AB2ABAEB2A2AE2EAEB2E2E(略）.5 / 14 c2c3c1c2c1二（A）23(1): 原式3A13c132c22c1c23.(2):

原式2A12c1.c1c2c3c3c1(3):原式25c1A1,A23A3,2A3A1A.3c22c31二（A）26:AXA2XXA2EA,XA2E二（A）28:A1BA6ABAE,A2EA2E,ArE,A2EA,A2E,Ar11A.1A1EBA6AB6AA,A1E可逆E1，A.3二（A）30:由一（A）7（1）:Ak3k1，检验知：k3M140，合题意.1r2r1A0二（A）31:类30：r3kr1022k22k2r3r23k3233k3k100r22k202003k3.233k3k330rA1;03k12233k3k33kk23k2k1k1A~001k2A~00r260r69rA2;01k1且k2A~00二（B）1（1）：B二（B）1（2）：122k20；

T3k3rA3.233k3k33kB1T2TTT3T3T Tn3n1.T二（B）1（3）：分块对角阵。

二（B）1（4）：BAE2E.6 / 14

30203a101210.1二（B）1（5）：A可逆,0100110二（B）1（6）：B可逆，于是：rBArA.二（B）1（7）：AAAE*A*11A1AA

二（B）1（7）：AAAE二（B）1（8）：方法一，归纳； *A*1A

方法二：，AEE1,3A2E22EE1,3E1,32EE1,32A

即A22A，An2n1A，An2An1An2A22AAn2OO。二（B）1（9）：类二（B）（2）： Aa2aEAnn122T322T2AA2nn1A，0a02n120n10a2n1aa2.n二（B）1（10）：设a,b,cT二（B）2（1）：排除法 二（B）2（2）：方法与答案同上 二（B）2（3）：利用对称阵的定义与性质 二（B）2（4）：排除法 二（B）2（5）：ABC.二（B）2（6）: AB1Ta2bacaabb2cbac1bc12c11111T2221，abc3 11A1B1?

*二（B）2（7）: rA3Aij0又rA3AAAE0

rArA4,综上得：rA1, **二（B）2（8）: A*A**AEA*n1***EAAAAn1A.二（B）2（9）: 初等变换不改变矩阵的秩A0B0.二（B）2（10）: EAEAE矩阵多项式EA不可逆.33 7 / 14

O二（B）2（11）: CBA11**1CCCCC.OCC1行,列交换各n次2nAOOBAB,C1O1AO1BO1*AA*BB. O1O*CAB1*AA*BBOBA*O1*AB.O二（B）2（12）: PE1,21,P

二（B）3(1): 二（B）3(2): T1E1,21CE1,21AE1,21PAP1.262T

AEBE,BAE1A2EBAE检验知：AE可逆.二（B）3():(略)

二（B）3(4)，第一小题:A1,2,,nTTTT1,2,,n

AAAi2TjOijii0i0AO.二（B）3(4)，第二小题: 二（B）3(4)，第三小题:

XBA2n1TA2n1A2n1A2n1TA2n112n1A2n1A2n10.A1TAT1A.1二（B）3(5)：A1OC11X1CBX1O待定系数法.1C1二（B）3(6)：EABE,CEAABEABCEA1,CAEA

1EA1E.1A.二（B）3(7)：2AB*1AB1A2AB*1A2AB*11A2AB12AnAB.另解：2AB*12nA*2An11B 8 / 14 二（B）3(8)：A1EXA2AX2A1E.二（B）3(9)：AAEA2EEA1?EA二（B）3(10)：第一小题:AEEBE.二（B）3(10)：，第二小题 AEBBABBE.111111AE1?

11111二（B）3(11)：AABBABABAABBBAB二（B）3(12)：EABET1ET1E1T1T2

aaa111T0a1.。aaT二（B）3(13)：CT2EA1B1A1A2EA11B2AB1.c7c312c11二（B）3(14)：2c22c3cc232原式7721,12,223

21,2,23722A.二（B）3(15)：更正：PEOTA*A.证：APQTAEAA*AbTA* AATA.ObTA*AbTA1 AOP可逆，于是:Q可逆PQ可逆AbTA10bTA1.二（B）3(16)：B0rArAB=2A=0a2./ 14 A.第三章 向量与线性方程组

基本作业建议 A组： 5，7（奇数），8，12，14，17，21，22；B组：一（2），（6），（8），9；二（1）——（11），其中（8）题以去掉“不”。

1三（A）2(2)：B1312213a1340r2r1,r33r11b10011112a31210r3r21b10011012a11230 1b11a1B~00r1101201230r1r21b11000101201231 1b111k,k可任取.10b1b2b2x1kk1x11x3x4333x212x32x42b112b12bkx212k,x3x3x333xkb103x4b1b13x433 10 / 14

1a1时，B~00r11012a1123x11x3x40x212x32x4 1xb13x43b1a1a1x4x43kb12aba4x1k1a1a1a1a13a2b82a3kb12k x212,xka1,k可任取.a1a1a1b13b13kx3a1a1a1a101xk4三（A）5(1)方法一（初等变换不改变列向量组的线性相关性）：

11B1,2,3,=1231010213242r1,r3r1rr42r13710003235021326 51110r4r2r3r2r3,r33r200rBrA,3100014021r3,r2r314r1r280100001000010112

03123,表达式是唯一的。

方法二（线性表出的等价命题）：设A1,2,3,xk1,k2,k3,则k11k22k33Ax，11BA,=12310102132140~3070010000101k111xk1，即有：2，得唯一解： 2k130T123,表达式唯一存在。

1B,,,=1三（A）5(2)： 1232 11 / 14

1232352r2r1,r32r13r3r2110011021025 01r1r20001011075,712, rBrA,23,表达式不唯一.01017证明如下：设k11k22k33,则k1k2k3.0115k1解得：k2k37k5k,7k1k2k3,k可任取.k三（A）6（1）： rARA,3，三（A）6（2）： rARA,, 三（A）6（3）： rARA,3，? 三（A）7: RAn(向量的个数）三（A）8(1): B12,23,34,421~A1,2,3,4.CrBrA4,B:12,23,34,421线性无关.1243o,23,34,41, 三（A）8(2): B12,23,34,41ccccrB4B:12,23,34,41线性相关.三（A）9：类同 三（A）8(1)。

三（A）10理解：A:1,2,,s1,s线性相关；B:2,,s,s1线性无关。

三（A）10（1）：由已知，A:1,2,,s1,s线性相关；C:2,,s线性无关，由此得证。

A三（A）10（2）：rs1srB，故不能.三（A）11：A:1,2,,n线性无关rAn.C:B1,B2,,Bn线性无关rCrB1,B2,,Bnn，rBAnrBnB0.rAn方法二：C:B1,B2,,Bn线性无关Cx0只有零解，即BAx0只有零解，12 / 14

由已知Ax0只有零解，yAx,则By0只有零解，即rBn,即B0.三（A）12：依据：初等行变换不改变列向量组的线性相关性.A:1,2,,nA1,2,,n~行最简形，观察立得结论.1r0例如：A1,2,3,4,5~0001001200001032,观察得结论:

10rrA3,最大无关组：1，2，4.3122,531223.三（A）13：化为行阶梯型。

三（A）14：设向量组A与B所含向量个数相同，则：A~BRARBRA,B.操作如下：A,B~行阶梯型，再观察之。

三（A）15：At:1,2,,t是A：1,2,,s中的一个线性无关组，则A中任何一个向量均可由

At线性表出（否则，设A中的不能由At线性表出，于是：At1:1,2,,t，线性无关，这与rrAt矛盾），故At:1,2,,t是A中的一个极大无关组.另证：rAt=rAAt与A等价，即：At是A的一个极大无关组.三（A）16-19: 基本题型.略。

三（A）20: rA3,Ax0的解空间的维数=431，312222331323A0,即Ax0的基础解系

所求xk22312.三（A）21，22：典型习题，务必重视！

三（B）1（1）：对应分量成比例。三（B）1（2）：rA4,即A0.三（B）1（3）：rArA,.三（B）1（4）：rArA,1rA,2.三（B）1（5）：rArA,BrB.13 / 14 B0三（B）1（6）：rABrA2

三（B）1（7）：rArB3,B0rA2A0

三（B）1（8）：AxO有非零解A0,Axb由无穷多个解rArA,3.三（B）1（9）： 类同三（A）20.三（B）1（10）：rA3.三（B）1（11）：设A:1,2,,nA，1,2~A,o,2rA，1,2rA,o,2s1.三（B）1（12）：rA3Mij0rA*0.三（B）1（13）：类同三（B）7.A0，rB2B0

三（B）1（14）：rA2rA*1A*x0解空间的维数为312.由此推出： Ax0*CA11,A21,A31x0，解之即可。

三（B）1（15）：21o,rA2rA=2,基础解系只含有一个自由向量，故通解为：xk211.ATABBTBATTTABTATABBTABT四（A）26：ATABBTABAABBAB,A2

初中一年级数学代数练习题 篇5

A组

1.写出正方、长方体、圆柱的体积公式。

2.如果圆锥的底面积半径是R，高是h，那么它的体积V是多少?设R=15cm，h=16cm，求V。(体积单位是cm3,即立方厘米，取3. 14)。

3.教室的墙上贴有长方形的壁纸，每张壁纸长am，宽bm.如果教室的墙面积是Sm2,那么所贴的壁纸数n是多少?设a=1.2,b=0.8,S=72,求n.

4.一辆汽车从A地出发，行驶了So米之后，又以V米/秒的速度行驶了t秒，这辆汽车所行驶的全部路程S是多少?设So=800,V=12,t=50,求S.

5.一个纸箱，它的长是a，宽与高都是b，这个纸箱的表面积S是多少?设a=60cm,b=40cm,求S.

6.一个塑料三角板，形状与尺寸如下图，如果中间圆孔的半径为R，三角板的厚度为h,这个三角板的体积V是多少?设a=6cm,R=0.5cm,h=0.2cm,求V(取3. 14，结果小数点以后保留1位)。

7.商店进了一批货，出售时要在进价(进货的价钱)的基础上加上一定的`利润，其数量x与售价c如下表：

数量x(千克)售价c(元)

14+0.2

28+0.4

312+0.6

416+0.8

520+1

(1)写出用数量x表示售价c的公式;

(2)计算3.5千克货的售价;

B组

1.梯形的上底是a，下底是b,高是h，面积是S,如果a=2cm,h=6cm,S=15cm2，求下底b。

2.青山镇水泥厂以每年产量增长10%的速度发展，如果第一年的产量是a，那么第二年的产量是多少?第三年的产量是多少?

线性代数习题集 篇6

关键词：常系数线性递推数列组;线性代数;通项公式

在实际生活中经常会出现各种各样的递推关系，有些递推关系可以用迭代或者其他的方法和技巧求解，有一类重要的递推关系则需要用一种系统的方法明确地求解。在这类递推关系中，数列的某项由它前项的线性组合来表示。

一、定义和定理

定义2：设A是数域K上的n级矩阵，如果Kn中有非零列向量α，使得Aα=λ0α，且λ0∈K

则称λ0是A的一个特征值，称α是A的属于特征值λ0的一个特征向量。|λI-A|称为矩阵特征多项式。

定理1：数域K上n级矩阵A可对角化的充要条件是：A中有n个线性无关的特征向量，α1，α2，…，αn，此时令P=（α1，α2，…，αn），则P-1AP=diag{λ1，λ2，…，λn}。

二、常系数线性递推数列组的解法步骤

通过迭代可以把方程组（1）An+1=A·An=A2·An-1=…An·A1。

第一步：利用定理1判断矩阵是否可以对角化。

第二步：若矩阵A可以对角化，则An=（P·diag{λ1，λ2，…，λn}·P-1）n=P·diag{λ1n，λ2n，…，λnn}·P-1，将其代入An+1=An·A1得方程组（1）的解。

若矩阵不可以对角化，则方程组（1）有无穷个解。

三、应用举例

例1递推数列组xn+1=xn+2ynyn+1=4xn+3yn（其中x1=4，y1=11）的通项公式。

解：特征方程f（λ）=|λI-A|=λ-1 -2-4  λ-3=0，特征根为λ1=5，λ2=-1。对于λ1=5对应的特征向量α1=12，对于λ2=-1对应的特征向量α2=1-1。则A中有2个线性无关的特征向量：α1，α2，因此可对角化。令P=1 12 -1，则：xn+1yn+1=An+1=An·A1

=1 12 -1·5n  00 （-1）n·1 12 -1 ·411=5n+1+（-1）n+12.5n+1-（-1）n+1。

解：特征方程f（λ）=|λE-A|=λ-1   2   4 2  λ-4   2 4   2  λ-1=0，特征根为λ1=5（二重），λ2=-4。

对于λ1=5对应的特征向量α1=1-20，α2=10-1，对于λ2=-4对应的特征向量α3=212。则A中有3个线性无关的特征向量：α1，α2，α3，因此A可对角化。令P= 1 1 2-2 0 10 -1 2，则xn+1yn+1zn+1=An+1=An·A1= 1 1 2-2 0 10 -1 2·5n 0 00 5n 00 0 （-4）n· 1 1 2-2 0 10 -1 2-1

参考文献：

[1]邱维声.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]同济大学应用数学系.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]宋立温.用特征根法求常系数线性递推数列的通项[J].山东电子学报，2007（2）：67-68.

线性代数习题集 篇7

一、填空题

1.若O是ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2++=0，那么=________.[解析] 因为D为BC边的中点，+=2，又2++=0，2+2=0，即=.因此=2，故=.[答案]

2.(2014镇江质检)若a+c与b都是非零向量，则a+b+c=0是b(a+c)的________条件.[解析] 若a+b+c=0，则b=-(a+c)，b∥(a+c);

若b(a+c)，则b=(a+c)，当-1时，a+b+c0.因此a+b+c=0是b(a+c)的充分不必要条件.[答案] 充分不必要

3.如果=e1+e2，=2e1-3e2，=3e1-ke2，且A，C，F三点共线，则k=________.[解析] =e1+e2，=2e1-3e2，=+=3e1-2e2.A，C，F三点共线，∥，从而存在实数，使得=.3e1-2e2=3e1-ke2，又e1，e2是不共线的非零向量，因此k=2.[答案]

24.(2014南京调研)在ABC中，点D是BC边上的点，=+(，R)，则的最大值为________.[解析] D在边BC上，且=+，0，0，且+=1，2=，当且仅当==时，取=号.[答案]

5.(2014泰州市期末考试)在ABC中，=2，若=1+2，则12的值为________.[解析] =+=+，而=-，所以=+，所以1=，2=，则12=.[答案]

6.(2014南京市调研)如图43所示，在ABC中，D，E分别为边BC，AC的中点，F为边AB上的点，且=3，若=x+y，x，yR，则x+y的值为________.图

43[解析] D为BC的中点，=(+)=(3+2)=+，故x=，y=1，x+y=.[答案]

7.(2014宿迁质检)若点M是ABC所在平面内的一点，且满足5=+3，则ABM与ABC的面积比为________.[解析] 设AB的中点为D，如图所示，由5=+3得

3-3=2-2，即3=2.故C，M，D三点共线，且=.所以===.[答案]

8.(2014扬州质检)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||=4，|+|=|-|，则||=________.[解析] 延长AM至点D，连结BD、CD，则ABDC为平行四边形，+=，-=，|+|=|-|，||=||=4，||=||=2.[答案]

2二、解答题

9.设两个非零向量a与b不共线.(1)若=a+b，=2a+8b，=3(a-b)，求证：A，B，D三点共线;

(2)试确定实数k，使ka+b和a+kb共线.[解](1)=a+b，=2a+8b，=3(a-b).=+=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线.(2)假设ka+b与a+kb共线，则存在实数，使ka+b=(a+kb)，即(k-)a=(k-1)b.又a，b是两不共线的非零向量，k-=k-1=0.k2-1=0，k=1.10.在ABC中，=，DEBC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设=a，=b，用a、b表示向量、、、、、.图44