高等代数教学论文

高等代数教学论文（通用8篇）

高等代数教学论文 篇1

高等代数教学论文

高等代数教学中的几点感悟

文/宋雪丽

摘 要：在大学数学课程中，高等代数是其中一门十分重要的科目。结合教学实践，谈了一些感悟。

关键词：内容;概念;方法

高等代数是大学数学课程中一门重要的专业基础课程，为后继课程提供必不可少的数学理论基础知识，一般都在大学一年级开设。由于该课程是学习大学后继相关课程的基石，同时也是研究其他学科的工具，许多高等院校都将高等代数列为研究生招生考试课程，因此，该课程在整个专业课程体系中地位很高。由于该课程的抽象性和枯燥性，许多初学者往往觉得学起来很困难。因此，作为高校教师，如何培养学生对高等代数的学习兴趣，提高高等代数的课堂教学质量显得尤为重要。结合多年的教学实践经验，下面我谈谈在《高等代数》教学中的一些感悟。

一、尽量与中学数学内容相联系

高等代数课程中的许多教学内容与中学数学有着紧密的联系。例如数与数域，中学教材中有整数、有理数、实数及复数。高等代数中介绍了数域的概念;多项式，在中学数学教材中就有多项式的加、减、乘、除四则运算法则。在高等代数中严格定义了多项式的次数及加法、减法、乘法运算，介绍了多项式的整除理论及最大公因式理论;方程，中学教材中有一元一次方程、一元二次方程的求解方法、一元二次方程根与系数的关系。高等代数中介绍一元n次方程根的定义、复数域上一元n次方程根与系数的关系及根的个数、实系数一元n次方程根的特点、有理数一元n次方程根的性质及其求法;方程组，中学教材中有二元一次方程组、三元一次方程组的消元解法。高等代数中有n元一次线性方程组的行列式解法(克拉默法则)和矩阵消元解法、线性方程族解的判定及解与解之间的关系;空间与图形，中学教材中有平面与空间向量的长度与夹角，高等代数中有欧式空间向量的长度和夹角。

通过以上分析，高等代数与中学数学在内容上有很多相关联的地方。不同的是中学数学知识比较浅显，面也比较窄，而高等代数将中学数学的内容拓宽了许多，同时也抽象了许多。因此作为老师，要正确地引导学生以较高的观点去认识中学教学内容。例如，通过线性方程组的矩阵解法、有解判别定理以及解的结构所反映的辨证思想，指导学生对中学数学的加减消元法本质的认识。高等代数中有许多概念，有些概念比较抽象，学生也不明白这个概念有什么用。这种情况下，老师在讲课时，可以先不必马上讲出这个概念，可从学生所熟悉的中学知识出发，由具体到抽象，慢慢地转到主题上。

二、深刻理解概念

高等代数中概念很多，几乎每一章节都涉及到了概念，而且有些概念还很相似，好多题的证明都要通过概念来证明。因此，在教学中，要让学生深刻理解、体会概念。譬如，阶行列式的定义，是由所有位于不同行不同列的n个元素乘积的代数和得到的。(www.fwsir.Com)只有深刻明白了这个定义，才能用行列式的定义来解题。还有多项式中，零多项式与零次多项式的区别，线性空间的同构与欧几里得空间的同构的相似点和区别。

俗话说：“书读百遍，其义自见”，要告诫学生多读几遍书，多思考，思考得多了，自然就理解了。只有理解概念了，才能在解题中熟练、灵活地运用这些概念来证明。

三、课堂上注重教学方法

教师的教学方法是影响学生学习方式的重要因素，在培养学生的创新能力方面起到重要作用。为了上好每一堂课，老师一定要注意教学方法。我曾参加了全国高校教师网络培训课程，听了张贤科老师主讲的高等代数，受益很多。张老师在讲一些高等代数内容时，根本没有按课本思路去讲，有些性质的证明运用其他方法来证。大家都知道高等代数中很多章节内容是彼此相关联的。老师在讲课中，没必要完全照课本来讲，例如，讲一个定理或一条性质的证明，可以运用以前所学的知识证出来，老师可鼓励学生运用不同的方法来证明，激发学生的思维能力，这样学生也会觉得不是太枯燥。

上课时切忌照本宣科，要说课，这节课大家需要掌握什么，教学大纲的要求，考试要考的知识，重点、难点是什么，使学生清楚这节课堂的目的，做到有的放矢。代数学的一些重要内容，例如集合的线性运算、八条运算规则、等价关系等经常出现的内容，我们采用类比的方法进行讲授，使学生能触类旁通，举一反三。对于一些难于理解的定理的证明，则着重介绍证明思想及每个证明阶段的技巧和预备知识，并要求学生课后复习。对于一些较抽象的概念，在讲授之前，应尽可能地介绍它们的应用背景或简单例子，启发学生思维从具体到抽象升华。

针对高等代数这门课程的.特点，应注意传统教学手段与现代化教学手段相结合。概念性知识较多的章节可以应用多媒体技术，而对那些理论证明较多，难以理解的内容，则采用传统的教学手段，一步步引导学生推理验证，更易于让学生接受、掌握。

四、培养学生数学思维的审美性

数学同其他学科一样，蕴含着美，存在着美的价值。代数学这朵奇葩，更以其高度的抽象性，理论的严谨性，应用的广泛性，在数学王国里独领风骚，展现出其多姿多彩的迷人风貌。

高等代数的美是内在的、深沉的、含蓄的，不易被大家所发现、接受。这就要求我们在教学中注意引导学生挖掘数学美，审视数学美，追求数学美，创造数学美。只有如此，我们才能将抽象的概念、空洞的定理、刻板的推导、繁琐的计算、枯燥的理论变换成一种美的享受，美的追求。这对诱发学生的求知欲，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效率起着极大的推动作用。

高等代数中，蕴含着许多数学特有的美，数学的语言美在高等代数中表现得淋漓尽致。数学语言是一种科学的语言，它除具有一般语言文字和艺术共有的特点外，更有“符号化”的特点。例如，用AX=B，其中A=(aij)mn，表示一个有m个方程n个未知量的线性方程组，多么简洁明快。另外，高等代数的美也体现在证明过程的逻辑严密上，许多定理的证明层层递进，严丝合缝，看懂了一个证明，就能给人一种惊叹佩服、赏心悦目的感觉。

总之，高等代数中的数学美无处不在，只要我们教师在教学过程中用心去揭示，从美的角度去挖掘，并积极引导学生去欣赏、体味定能感觉美不胜收，回味无穷，教学质量必将提高。

注：西安科技大学博士启动基金资助项目(QDJ040)。

(作者单位 陕西省西安科技大学理学院)

高等代数教学论文 篇2

高等代数是国家教委指定的数学系核心专业课程之一, 也是最重要的一门基础专业课程, 不仅关系到数学系其它专业课的学习, 而且对培养大学生思维能力具有不可或缺的作用。要求每个数学系学生都必须学好它, 但是由于高等代数的抽象性和逻辑性让大一数学系的学生望而却步, 再加上高等代数研究问题无论是方法上还是对象上比初等数学都是一个质的飞跃, 使得数学系的学生不容易入门。怎样消除学生的敬畏之心, 培养学生的学习兴趣, 提高学习效率, 培养学生的思维能力, 是每个高等代数教师都面临的重要问题。但从教师自身来说, 重视高等代数的教育, 不断探索高等代数的教学方法, 是可以在一定的程度上解决这个问题。

二、教学法研究

1. 重视概念教学

概念的教学在整个高等代数教学过程中占有重要的地位, 教师应注意引入感性教材, 同时有意识地引导学生对所学概念及时分类整理, 回首返顾, 了解概念之间的关系, 以期达到全面理解, 并能做到综合应用。比如在讲述行列式和矩阵的概念时, 教师应该特别强调行列式和矩阵在表面上看起来差别很小, 但是本质上却差别是很大的。行列式的结果永远是一个数字, 而矩阵是一个数表, 这就是它们本质上的区别。在讲解极大线性无关组这个概念时, 必须强调两点, 第一:要求线性无关;第二:极大。那么这个极大怎么来表现呢?就是要求任意添加一个向量 (如果还有向量的话) , 所得的向量组是线性相关的。这个概念的理解就同形式概念分析里面约简的定义是一样的, 一个集合是约简集, 我们首先必须要求它是协调集, 而约简是最小的协调集, 所以怎么表现这个最小很重要, 就是给它任意删除一个属性, 剩余的集合都不会是协调集, 那么这个集合就是约简集。同构这个概念很重要。在很多数学类的课程上我们都会接触到同构这个概念。我们来看一下什么是两个线性空间与'的同构。首先必须有一个到'的双射;其次, 映射是线性映射且为保运算的, 也就说, 先运算后再求映射的结果要等于先映射后运算的结果。一些深刻的数学思想是在讲课过程中渐渐地让学生体会的, 而不是告诉学生这里有一个重要的数学思想。这些东西是无形的, 是需要老师在潜移默化中让学生理解。

2. 重视培养学生提问题意识

研究表明, 问题研究教学法在发展学生智力与创新能力方面有明显的优势。问题研究教学法是以问题提出为基础, 问题解决为目的, 以类似科学研究的途径, 通过提出问题、分析问题、解决问题等步骤掌握新知识, 培养创造能力。该教学模式从提出问题开始, 到解决问题结束。到目前为止, 常用的有以下三种模式。第一种:老师提出问题, 学生通过自己看书和相互讨论, 最后由老师讲解解决问题。第二种:学生通过自己提前预习所学的内容提出问题, 大家再通过相互讨论, 完善问题, 在老师的引导下帮助学生解决问题。第三种:由老师创设问题情景, 大家共同提出问题, 一起探索来解决问题。例如在讲解n级行列式的性质的时候, 就可以使用第三种问题提出的方法来授课。引导学生提出问题, 行列式的某一行或者某一列有个公倍数, 那么把这个公倍数提出来之后和原来的行列式值之间是什么关系;行列式的某一行可以写成两个数字的和, 那么把他们拆开所形成的行列式和之前的行列式之间会是什么关系;如果行列式的某两行或者某两列相等的话, 那这个行列式的值会等于几呢, 等等。然后大家一起来讨论, 最后给出问题的解决答案。

3. 重视培养学生探究能力

老师通过问题教学来授课的时候, 将问题提供给学生后, 在问题的分析探索过程中, 老师应当以指导者和促进者的身份出现, 具体问题的解决让学生自主探索展开。例如在讲解用消元法求线性方程组解的时候, 老师可以先写出一些简单的线性方程组让学生通过求解来探讨解线性方程组的方法, 最后老师再给出具体的消元法来解决线性方程组的求解过程。

4. 重视学生思维能力的培养

高等代数的教学比较困难, 主要是因为高等代数是数学系大一学生学习的专业课程。此时学生才走出中学, 刚刚迈入大学, 他们的学习习惯, 特别是思维方式很难迅速转变, 因而极不适应, 所以老师带领学生培养数学的思维能力显得尤为重要。我们结合实际的教学, 提出转变学生思维方式和培养学生思维能力的两个主要途径。第一:注重概念教学过程中学生思维深刻性的培养。在概念的教学过程中重视思维的深刻性, 培养学生分析问题实质的能力显得十分重要。因为这种能力表现为能洞察所研究事物的本质及相互联系。例如对子空间这个概念的讲解, 数域P上线性空间V的一个非空子集W称为V的一个线性子空间, 如果W对于V的两种运算也构成数域P上的线性空间。对于这个概念的讲解, 老师应该让学生思考一个非空子集满足什么条件才能成为一个子空间。那么对于这个子集W中的向量应该满足线性空间定义中的八条规则, 这样才能使得W自己构成一线性空间, 那么实质上就是要求W对V上的运算封闭。第二:提高中介思维能力, 使学生的形象思维与抽象思维间的转化达到和谐统一。所谓中介思维是指介于形象思维与抽象逻辑思维之间, 既含有逻辑成分又含有非逻辑成分的思维形式。例如在讲解子空间的交这个问题时, 通过联想前面所学的交是怎么运算的, 运算完了的结果又会怎么样。来论证子空间的交依然是子空间, 举出反例来论证子空间的并不是子空间。

本文探讨了如何提高高等代数课程的教学质量和教学效果, 提出了五种方法。作者在教学过程中抱着:一切为了学生, 为了让学生不仅掌握数学知识而且训练出数学思维能力、逻辑推导能力等, 以教育为本, 处处为学生着想, 想尽一切办法来提高高等代数的教学质量。

摘要：高等代数是高等学校数学系一门重要的专业基础课程。高等代数课程的教学质量对学生素质的培养、能力的提高起着举足轻重的作用。作者根据自己的教学经验和深刻的体会, 对高等代数教学质量的提高和教学方法的改进进行了深刻的探讨, 提出了教学过程中应该注意的四点:重视概念教学、重视培养学生问题意识、重视培养学生探究能力和重视学生思维能力的培养。

关键词：高等代数,教学法,教学质量

参考文献

[1]王健吾.数学思维方法引论[M].合肥:安徽教育出版社, 1996, 34-35.

[2]北京大学.高等代数[M].北京:高等教育出版社, 2003.

高等代数教学论文 篇3

关键词： 线性代数；高等代数；对角矩阵；二次型；标准型

【中图分类号】 O153

Algebra Ideal as Main Line- Dealing with them by the Comparable and Compatible Way in the Process of Teaching of Linear Algebra and Advanced Algebra

（Science college， Civil Aviation University of China， Tianjin 300300， P. R. China）

Abstract： In this paper， we principally discuss the relation of knowledge about Linear Algebra and Advanced Algebra. Dealing with them by the comparable and compatible way in the process of teaching of Linear Algebra and Advanced Algebra， and make student realize and comprehend them better， furthermore learn them better.

Key words： Linear Algebra； Advanced Algebra； Diagonal matrix； Quadratic form； Standard form

資助项目：2014中国民航大学教育教学改革研究课题（项目编号：CAUC-ETRN-2014-54）资助。

1.引言

理工科学生从大一下学期开始一学期的线性代数的学习，数学专业（包括信息与计算科学专业）的学生从大一上或下学期开始为期一年的高等代数的学习。线性代数内容相对高等代数来说简单一些，但一些结论通常不给出证明，而在高等代数中往往会找到相关结论的定理的证明，如果在线性代数课堂适当引入这些证明，学生会有新鲜感和深度感，从而更加认可老师的知识储备，进而更喜欢听老师所讲的内容；高等代数比线性代数多了不少内容，除了多项式之外，还多了 矩阵，欧几里得空间等章节，内容相对线性代数来说要复杂一些，学生会觉得抽象而且无从下手，如果能从线性代数的角度，抓住主要的脉络及代数思想，给学生理清头绪，会让学生觉得轻松很多，从而增加学习高等代数的兴趣。在线性代数和高等代数课程实际教学中，抓住代数思想这根主线，进行二者相通、兼容方面的探索与实践是非常必要和有意义的。

2. 以代数思想为主线-线性代数和高等代数课程教学的相通与兼容

线性代数与高等代数有非常密切的联系，只是线性代数是理工科的公共基础课，而高等代数是数学专业的专业课。本文接下来主要从二次型化标准型方面讨论线性代数和高等代数在教学中相通兼容之处。

2.1二次型化标准型

二次型化标准型，线性代数和高等代数相通的地方就是都涉及了对称阵的对角化问题。在高等代数中，二次型化标准型主要有如下三种方法，设所研究的二次型有如下形式：

（1）配方法：用配方法化二次型为标准型的关键是消去交叉项，分如下两种情形处理：

情形1：如果 ，则集中二次型中含 的所有交叉项，然后与 配方，并作非退化线性替换

对 重复上述方法直到化二次型 为标准型为止。

情形2：如果二次型 不含平方项，即 ，但含某一个 ，则可先作非退化线性替换

把 化为一个含平方项 的二次型，再用情形1的方法化为标准型。

（2）初等变换法：

用非退化线性替换 化二次型 为标准型，相当于对对称阵 找一个可逆矩阵 ，使 为对角阵。由于可逆矩阵 可以写成若干初等矩阵 的乘积，即 ，从而有 ，

。根据初等变换的有关性质（用初等矩阵左（右）乘矩阵 相当于对 作一次初等行（列）变换），由上式可得到用初等变换法化二次型为标准型的步骤如下：

第一步 写出二次型 的矩阵 ，并构造 矩阵 ；

第二步 对矩阵 进行初等行变换和同样的初等列变换，把 化为对角阵 ，并对 施行与 同样的初等列变换化为矩阵 ，此时 ；

第三步 写出非退化线性替换 ，化二次型 。这个方法的示意图如下

（3）正交变换法：

写出二次型 的矩阵 ，求矩阵 的特征值 及相应的特征矢量 ，把特征矢量正交化单位化得 ，把正交化单位化后的特征矢量作为列矢量组成正交矩阵 ，做正交变换 ，则有二次型化为标准型

。

在线性代数中提及了配方法和正交变换法，着重考察正交变换法，对于初等变换法没有涉及，因此在线性代数实际的教学中，可适当引进初等变换法，比起正交变换法，学生更熟悉，简单且易于把握。最后还要从几何的角度告诉学生，正交变换的好处是保持矢量的长度不变，更直观的是，在三维几何空间中，当 时，对应的是坐标轴的旋转变换，进而可把二次曲面的方程化简成标准型，从标准型我们就能判别它是何种曲面了。像这样，在线性代数教学中渗透高等代数和几何的知识，使之相互影响，能更好的激发学生学习线性代数的兴趣和探索代数系统奥秘的动力。

3. 总结

总之，线性代数和高等代数这两门课程在内容上有诸多的相通之处，如果在实际教学中能抓住“代数思想”这根“线”，很好地把二者相结合，相辅相成，必定会对这两门课的教学效果和教学质量起到积极的促进作用。

参考文献

[1] 北京大学数学系几何与高等代数教研室代数小组编. 高等代数（第三.版）[M]. 北京，高等教育出版社，2003

[2] 工程数学-线性代数. 同济大学数学系（第五版）[M]. 北京，高等教育出版社，2007

高等代数学习精选心得 篇4

1。书：课本+习题集(必备)，因为学好数学绝对离不开多做题(跟高中有点像，呵呵);建议习题集最好有本跟考研有关的，这样也有利于你将来可能的考研准备。

2。笔记：尽量有，我说的笔记不是指原封不动的抄板书，那样没意思，而且不必非单独用个小本，可记在书上。关键是在笔记上一定要有自己对每一章知识的总结，类似于一个提纲，(有时老师或参考书上有，可以参考)，最好还有各种题型+方法+易错点。

3。上课：建议最好预习后听听。(其实我是从来不听课的，除非习题课)，听不懂不要紧，很多大学的课程都是靠课下结合老师的笔记自己重新看。但remember，高数千万别搞考前突击，绝对行不通，所以平时你就要跟上，步步尽量别断层。

4。学好高数=基本概念透+基本定理牢+基本网络有+基本常识记+基本题型熟。数学就是一个概念+定理体系(还有推理)，对概念的理解至关重要，比如说极限、导数等，小弟你既要有形象的对它们的理解，也要熟记它们的数学描述，不用硬背，可以自己对着书举例子，画个图看看(形象理解其实很重要)，然后多做题，做题中体会。建议你用一只彩笔专门把所有的概念标出来，这样看书时一目了然(定理用方框框起来)。

基本网络就是上面说的笔记上的总结的知识提纲，也要重视。

基本常识就是高中时老师常说的“准定理”，就是书上没有，在习题中我们总结的可以当定理或推论用的东西，还有一些自己小小的经验。这些东西不正式但很有用的。

题型都明白了，比如各种极限的求法。

好了，这些都做到了，高数应该学得不会差了，至少应付考试没问题。如果你想提高些，可以做些考研的数学题，体会一下，其实也不过如此若时间充裕还可以学习一下数学软件,如matlab、mathematic，比如算积分都有现成的函数，通过练习可以加强对概念的掌握;此外还看些关于高数应用的书，其实数学本来就是从应用中来的，你会知道真的很有用(不知你学的什么专业)

最后再说说怎么提高理解能力的问题(一家之言)

1。举例具体化。如理解导数时，自己也举个例子，如f(x)=X^2+8。

2。比喻形象化。就是打比方,比如把一个二元函数的图形想成邻家女孩的头上的草帽。

3。类比初级化。比如把二元函数跟一元函数类比，泰勒公式想成二次函数，好理解。

4。多书参考法。去你们图书管借几本不是一个作者写的高数教材，虽然讲的内容都一样，但不同的作者往往对同一个问题从不同的角度表述，对你来说，从很多不同的角度、例子理解同一个问题，往往就容易多了。Just have a try!

高等代数使用教材及辅导材料 篇5

课程：高等代数

高等代数 北京大学数学系几何与代数教研室 高等教育出版社 1978 高等代数 丘维声 高等教育出版社 1996 高等代数 张禾瑞 郝炳新 高等教育出版社 1983 高等代数习题课教材 钱芳华 黎有高 卜淑云 邓培民 广西师范大学出版社 1997 高等代数解题方法 许甫华 张贤科 清华大学出版社 2001 高等代数习题课参考书 张均本 高等教育出版社 1991 线性代数试题选解 魏宗宣 中南工业大学出版社 1986 用MAPLEV学习线性代数 丘维声（译）高等教育出版社 施普林格出版社 2001

高等代数教学大纲

数学与应用数学专业《高等代数》教学大纲

一、课程说明：《高等代数》是河北师范大学数学与应用数学专业（数学系）的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间等方面的系统知识。它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力等重要作用。

二、教学目的及要求：通过本课程教学的主要环节（讲授与讨论，习题课，作业，辅导等），使学生对多项式理论、线性代数的“解析理论”、与“几何理论”及其思想方法有较深的认识和理解，从而有助于学生正确理解高等代数的基本概念和论证方法及提高分析问题解决问题的能力。

三、教学重点及难点：带余除法、最大公因式的性质、不可约多项式的定义及性质、重因式、多项式的有理根等；计算行列式的一些方法；线性方程组及其相关理论的理解及应用；矩阵理论的灵活应用；正定二次型的等价条件及二次型的标准形；向量空间一些基本概念的理解及相关理论的灵活应用；线性变换与矩阵的联系、矩阵相似、线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特征值、特征向量及子空间理论；一些基本概念(内积空间、欧氏空间、正交矩阵、酉空间)的理解。

四、与其它课程的关系：本课程为一门基础课，是学习习近平世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析等课程的基础。

五、学时、学分：142学时，8学分

六、教学内容：

第1章 多项式（27学时）本章主要教学内容：１．１ 数域 １．２ 一元多项式 １．３ 整除的概念 １． ４ 最大公因式 １． ５ 因式分解定理 １． ６ 重因式 １． ７ 多项式函数

１． ８ 复系数与实系数多项式的因式分解 １． ９ 有理系数多项式 １． １０ 多元多项式 １．１１ 对称多项式 本章教学目的及要求：

1．1 掌握数域的定义,并会判断一个代数系统是否是数域。

1．2 正确理解数域P上一元多项式的定义,多项式相乘,次数,一元多项式环等概念。掌握多项式的运算及运算律。

1．3 正确理解整除的定义,熟练掌握带余除法及整除的性质。

1．4 正确理解和掌握两个(或若干个)多项式的最大公因式,互素等概念及性质。能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。

1．5 正确理解和掌握不可约多项式的定义及性质。深刻理解并掌握因式分解及唯一性定理。掌握标准分解式。

1．6 正确理解和掌握k重因式的定义。

1．7 掌握多项式函数的概念,余数定理,多项式的根及性质。正确理解多项式与多项式函数的关系。1．8 理解代数基本定理。熟练掌握复（实）系数多项式分解定理及标准分解式。

1．9深刻理解有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系。掌握本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein判别法。

1．10 理解多元多项式、对称多项式的定义，掌握对称多项式基本定理。

本章教学重点及难点：整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、k重因式与k重根的关系、复（实）系数多项式分解定理、本原多项式、Eisenstein判别法。第2章 行列式（15学时）本章主要教学内容： ２．１ 引言 ２．２ 排列 ２．３ n级行列式 ２．４ n级行列式的性质 ２．５ 行列式得计算

２．６ 行列是按一行（列）展开 ２．７ 克兰姆法则 本章教学目的及要求：

2．1理解并掌握排列、逆序、逆序数奇偶排列的定义。掌握排列的奇偶性与对换的关系。2．2 深刻理解和掌握n级行列式的定义,能用定义计算一些特殊行列式。2．3 熟练掌握行列式的基本性质。

2．4 正确理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行列式性质计算一些简单行列式。2．5 正确理解元素的余子式、代数余子式等概念。熟练掌握行列式按一行（列）展开的公式。掌握“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计算行列式的技巧。2．6 熟练掌握克莱姆(Cramer)法则。

2．7 正确理解和掌握行列式的一个k级子式的余子式等概念、熟练掌握拉普拉斯(Laplace)定理.理解行列式的乘法规则。

本章教学重点及难点：n级行列式的定义、行列式的基本性质、矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换、行列式按一行（列）展开的公式、克莱姆(Cramer)法则、拉普拉斯(Laplace)定理。第3章 线性方程组（13学时）本章主要教学内容：３．１ 消元法 ３．２ n维向量组 ３．３ 线性相关性 3． 4 矩阵的秩

２． ５ 线性方程组有解判别定理 ３．６ 线性方程组解的结构 本章教学目的及要求：

3．1 正确理解和掌握一般线性方程组,方程组的解,增广矩阵，线性方程组的初等变换等概念及性质。掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求线性方程组的一般解。

3．2 理解和掌握n维向量及两个n维向量相等的定义。熟练掌握向量的运算。深刻理解n维向量空间的概念。

3．3 正确理解和掌握线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。掌握两个向量组等价的定义及等价性质定理。深刻理解向量组的极大无关组、秩的定义，会求向量组的一个极大无关组。3．4 深刻理解和掌握矩阵的行秩、列秩、秩的定义。掌握矩阵的秩与其子式的关系。3．5 熟练掌握线性方程组的有解判别定理。理解和掌握线性方程组的公式解。

3．6 正确理解和掌握齐次线性方程组的基础解系,解空间的维数与概念。熟练掌握基础解系的求法、线性方程组的结构定理。会求一般线性方程组有解的全部解。

本章教学重点及难点：线性方程组的初等变换、求线性方程组的一般解、n维向量、线性组合、线性相关、线性无关、两个向量组等价、极大无关组、向量组的秩、求向量组的一个极大无关组、矩阵的秩、线性方程组的有解判别定理、线性方程组的公式解、齐次线性方程组的基础解系、基础解系的求法、线性方程组的结构定理、求一般线性方程组有解的全部解。第4章 矩阵（15学时）本章主要教学内容：４．１ 矩阵的概念 ４．２ 矩阵的运算

４．３ 矩阵乘积的行列式与秩 ４．４ 矩阵的逆 ４．５ 矩阵得分块 ４．６ 初等矩阵

４．７ 分块矩阵的初等变换及应用举例 本章教学目的及要求：

4．1 了解矩阵概念产生的背景。

4．2 掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算及其计算规律。

4．3 掌握矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。

4．4 正确理解和掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，掌握一个n阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。

4．5 理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。

4．6 正确理解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系，熟练掌握一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件；会用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵。

4．7 理解分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系，会求分块矩阵的逆。本章教学重点及难点：矩阵的运算、矩阵乘积的行列式定理、矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系、可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵、n阶方阵可逆的充要条件、用公式法逆矩阵、分块矩阵的意义及运算、初等矩阵、用初等变换的方法逆矩阵、分块矩阵的逆。第5章 二次型（12学时）

本章主要教学内容：５．１ 二次型的矩阵表示 ５．２ 标准形 ５．３ 唯一性 ５．４ 正定二次型 本章教学目的及要求：

5．1 正确理解二次形和非退化线性替换的概念；掌握二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的一一对应关系；掌握矩阵的合同概念及性质。

5．2 理解二次型的标准形，掌握化二次型为标准型的方法（配方法、初等变换法）。5．3 正确理解复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性；掌握惯性定理。

5．4 正确理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念；熟练掌握正定二次型及半正定二次型的等价条件。

本章教学重点及难点：非退化线性替换、二次型的矩阵、二次型与其矩阵的一一对应关系、矩阵的合同、化二次型为标准型、复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性、惯性定理、正定二次型的判别条件、半正定二次型的等价条件。第6章 线性空间（16学时）本章主要教学内容：６．１ 集合 映射 ６．２ 线性空间的定义与简单性质 ６．３ 维数，基与坐标 ６．４ 基变换与坐标变换 ６．５ 线性子空间 ６．６ 子空间的交与和 ６．７ 子空间的直和 ６．８ 线性空间的同构 本章教学目的及要求：

6．1 掌握映射、单射、满射（映上的映射）、一一映射、逆映射等概念。

6．2 正确理解和掌握线性空间的定义及性质；会判断一个代数系统是否是线性空间。

6．3 理解线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念；正确理解和掌握n维线性空间及的概念及性质。

6．4 正确理解和掌握基变换与坐标变换的关系。

6．5 正确理解线性子空间的定义及判别定理；掌握向量组生成子空间的定义及等价条件。6．6 掌握子空间的交与和的定义及性质；熟练掌握维数公式。6．7 深刻理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。

6．8 理解和掌握线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。

本章教学重点及难点：线性空间、判断一个代数系统是否是线性空间、n维线性空间及的概念及性质、基变换与坐标变换的关系、线性子空间的定义及判别定理、向量组生成子空间的定义及等价条件、子空间的交与和、维数公式、子空间的直和、线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。第7章 线性变换（23学时）

本章主要教学内容：７．１ 线性变换的定义 ７．２ 线性变换的运算 ７．３ 线性变换的矩阵 ７．４ 特征值与特征向量 ７．５ 对角矩阵

７．６ 线性变换的值域与核 ７．７ 不变子空间 ７．８ 若当标准形介绍 ７．９ 最小多项式

本章教学目的及要求：

7．1 理解和掌握线性变换的定义及性质。

7．2 掌握线性变换的运算及运算规律，理解线性变换的多项式。

7．3 深刻理解和掌握线性变换与矩阵的联系；掌握矩阵相似的概念和线性变换在不同基下的矩阵相似等性质。

7．4 理解和掌握矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质；会求一个矩阵的特征值和特征向量；掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系及哈密尔顿-凯莱定理。

7．5 掌握n 维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件。

7．6 掌握线性变换的值域、核、秩、零度等概念；深刻理解和掌握线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系。

7．7 掌握不变子空间的定义；会判定一个子空间是否是A-子空间；深刻理解不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系；掌握将空间V按特征值分解成不变子空间的直和表达式。7．8 掌握标准型的定义。

7．9 正确理解最小多项式的概念；掌握一个矩阵相似于一个对角阵与它的最小多项式的关系。本章教学重点及难点：线性变换的定义及性质、线性变换的运算、线性变换与矩阵的联系、矩阵相似、线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特征值、特征向量、特征多项式、求矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵与它们的特征多项式的关系、哈密尔顿-凯莱定理、线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件、线性变换的值域、核、秩、零度、线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系、不变子空间的定义、判定一个子空间是否是A-子空间、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系、将空间V按特征值分解成不变子空间的直和表达式、标准型的定义、最小多项式。第8章 －矩阵（3学时）本章主要教学内容：8.1 矩阵

8.2 矩阵在初等变换下的标准形不变因子 8.3 不变因子 8.4 矩阵相似的条件 8.5 初等因子

本章教学目的及要求：只介绍一些基本概念,一些简单结论，对定理的证明不作要求。本章教学重点及难点： 矩阵及其标准形、行列式因子、不变因子、初等因子及其之间关系。第9章 欧几里得空间（18学时）本章主要教学内容：９．１ 定义与基本概念

９．２ 标准正交基

９．３ 同构

９．４ 正交变换

９．５ 子空间

９．６ 对称矩阵的标准形

９．７ 向量刀子空间的距离，最小二乘法

９．８ 酉空间介绍 本章教学目的及要求： 9．1 深刻理解欧氏空间的定义及性质；掌握向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质，使学生掌握各种概念之间的联系和区别。

9．2 正确理解正交向量组、标准正交基的概念，掌握施密特正交化过程，并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。

9．3 深刻理解两个欧氏空间同构的定义。掌握两个欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系。9．4 正确理解和掌握正交变换的概念及几个等价关系，让学生掌握正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系。

9．5 正确理解和掌握两个子空间正交的概念，掌握正交与直和的关系，及欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质。

9．6 深刻理解并掌握任一个对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，并掌握求正交阵的方法。能用正交变换化实二次型为标准型。

9．7、9．8 简单介绍，只让学生了解。

本章教学重点及难点：欧氏空间的定义及性质向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质、正交向量组、标准正交基的概念、施密特正交化、欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系、正交变换的概念及几个等价关系、正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系、两个子空间正交的概念、正交与直和的关系、正交阵、用正交变换化实二次型为标准形。

七、教材及参考书

1、教材：《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室小组 编，高等教育出版社，８８年３月。

2、教学参考书： 《高等代数》，张禾瑞，郝炳新 编，高等教育出版社，84年3月。

《高等代数》，丘维声 编，高等教育出版社，96年12月。

高等代数考试大纲

数学与应用数学专业《高等代数》考试大纲

一、课程说明：《高等代数》是河北师范大学数学系的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间等方面的系统知识。它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力等重要作用。

二、与其它课程的关系：本课程作为一门基础课，是学习习近平世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析等课程的基础。

三、学时、学分：142学时，8学分

四、考核内容及要求： 第1章 多项式（27学时）本章考核内容： １．１ 数域 １．２一元多项式 １．３ 整除的概念 １． ４最大公因式 １． ５因式分解定理 １． ６重因式 １． ７多项式函数

１． ８复系数与实系数多项式的因式分解 １． ９有理系数多项式 １． １０多元多项式 １．１１对称多项式

二、本章考核要求：考核要求：

1.1识记：数域定义，一元多项式定义，整除定义，最大公因式定义，互素定义，不可约多项式定义，k重因式定义，本原多项式定义。

1.2理解：数域P上一元多项式的定义、多项式相乘、次数、一元多项式环等概念，整除的定义，两个(或若干个)多项式的最大公因式,互素等概念及性质，不可约多项式的定义及性质，k重因式的定义，多项式与多项式函数的关系，代数基本定理，有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系，多元多项式、对称多项式的定义。

1.3简单应用：判断一个代数系统是否是数域，多项式的运算及运算律，用辗转相除法求两个多项式的最大公因式，不可约多项式的定义及性质，标准分解式，k重因式，多项式函数的概念、余数定理、多项式的根及性质，对称多项式基本定理。

1.4综合应用：带余除法及整除的性质，因式分解及唯一性定理，复（实）系数多项式分解定理及标准分解式，本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein判别法。第2章 行列式（15学时）本章考核内容： ２．１引言 ２．２排列 ２．３n级行列式 ２．４n级行列式的性质 ２．５行列式得计算

２．６行列是按一行（列）展开 ２．７克兰姆法则 本章考核要求：

2.1识记：排列、逆序、逆序数奇偶排列的定义，n级行列式的定义，矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，元素的余子式、代数余子式等概念。

2.2理解：排列的奇偶性与对换的关系，n级行列式的定义，矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，元素的余子式、代数余子式等概念，行列式的一个k级子式的余子式等概念，行列式的乘法规则。2.3简单应用：用定义计算一些特殊行列式，利用行列式性质计算一些简单行列式，行列式按一行（列）展开的公式。掌握“化三角形法”、“递推降阶法”、“数学归纳法”等计算行列式的技巧。2.4综合应用：克莱姆(Cramer)法则。第3章 线性方程组（13学时）本章考核内容： ３．１消元法 ３．２n维向量组 ３．３线性相关性 3． 4 矩阵的秩

3.５线性方程组有解判别定理 ３．６线性方程组解的结构 本章考核要求：

3.1 识记：n维向量及两个n维向量相等的定义。

3.2 理解：一般线性方程组,方程组的解,增广矩阵，线性方程组的初等变换等概念及性质，阶梯形方程组的特征及作用，线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质，两个向量组等价的定义及等价性质定理，向量组的极大无关组、秩的定义，矩阵的行秩、列秩、秩的定义。

3.3 简单应用：线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质，两个向量组等价的定义及等价性质定理，求向量组的一个极大无关组，求矩阵的秩，求齐次线性方程组的基础解系。3.4 综合应用：求一般线性方程组有解的全部解。

第4章 矩阵（15学时）本章考核内容：

４．１矩阵的概念 ４．２矩阵的运算

４．３矩阵乘积的行列式与秩 ４．４矩阵的逆 ４．５矩阵得分块 ４．６初等矩阵

４．７分块矩阵的初等变换及应用举例

本章考核要求：

4.1识记：矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算及其计算规律，可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念。4.2理解：矩阵乘积的行列式定理，分块矩阵的意义，分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系。4.3简单应用：矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系，n阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵，分块矩阵的加法、乘法的运算及性质，4.4综合应用：一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件，会用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵，求分块矩阵的逆。

第5章 二次型（12学时）

本章考核内容： ５．１二次型的矩阵表示 ５．２标准形 ５．３唯一性 ５．４正定二次型 本章考核要求：

5.1识记：二次型的矩阵表示,正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念。

5.2理解：二次形和非退化线性替换的概念, 二次型与对称矩阵的一一对应关系,合同概念及性质, 复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性。

5.3简单应用：化二次型为标准型的方法（配方法、初等变换法）, 5.4综合应用：正定二次型及半正定二次型的等价条件。第6章 向量空间（16学时）本章考核内容： ６．１集合 映射 ６．２线性空间的定义与简单性质 ６．３维数，基与坐标 ６．４基变换与坐标变换 ６．５线性子空间 ６．６子空间的交与和 ６．７子空间的直和 ６．８线性空间的同构 本章考核要求：

6.1识记：映射、单射、满射（映上的映射）、一一映射、逆映射等概念，线性空间的定义，子空间的定义，6.2理解：线性空间的定义及性质，线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念，基变换与坐标变换的关系，子空间的交与和的定义及性质，子空间的直和的概念，线性空间同构的定义。

6.3简单应用：判断一个代数系统是否是线性空间，基变换与坐标变换的关系，向量组生成子空间的定义及等价条件，维数公式。

6.4综合应用：子空间为直和的充要条件，两个有限维空间同构的充要条件。第7章 线性变换（23学时）本章考核内容：７．１线性变换的定义 ７．２线性变换的运算 ７．３线性变换的矩阵 ７．４特征值与特征向量 ７．５对角矩阵

７．６线性变换的值域与核 ７．７不变子空间 ７．８若当标准形介绍 ７．９最小多项式

本章考核要求：

7.1识记：线性变换的定义及性质，矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念，线性变换的值域、核、秩、零度等概念，不变子空间的定义，最小多项式的概念。

7.2理解：线性变换与矩阵的联系，矩阵相似的概念和线性变换在不同基下的矩阵相似等性质，矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质，不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系，掌握标准型的定义，最小多项式的概念。

7.3简单应用：求一个矩阵的特征值和特征向量，相似矩阵与它们的特征多项式的关系及哈密尔顿-凯莱定理，n 维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件，线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系，判定一个子空间是否是A-子空间。

7.4综合应用：不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系，一个矩阵相似于一个对角阵与它的最小多项式的关系。

第8章 －矩阵（3学时）本章考核内容： 8.1 矩阵

8.2 矩阵在初等变换下的标准形不变因子 8.3不变因子 8.4矩阵相似的条件 8.5初等因子 本章考核要求：

2.1识记： 矩阵，行列式因子、不变因子、初等因子。

2.2理解： 矩阵的标准形、行列式因子、不变因子、初等因子及其之间关系。第9章 欧氏空间（18学时）

本章考核内容： ９．１定义与基本概念

９．２标准正交基

９．３同构

９．４正交变换

９．５子空间

９．６对称矩阵的标准形

９．７向量刀子空间的距离，最小二乘法

９．８酉空间介绍 本章考核要求： 2.1识记：欧氏空间的定义，两个欧氏空间同构的定义，向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念，正交变换的概念。

2.2理解：欧氏空间的性质，向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵的基本性质，正交向量组、标准正交基的概念，正交变换的概念及几个等价关系，正交与直和的关系。

2.3简单应用：施密特正交化过程，把一组线性无关的向量化为单位正交的向量，两个欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系，正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系，欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质。

2.4综合应用：任一个对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，求正交阵的方法，用正交变换化实二次型为标准型。

五、教材及参考书

1、教材：《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室小组编，高等教育出版社，８８年３月。

高等代数教学论文 篇6

课程编号：836课程名称：高等代数（含解析几何）

一、考试的总体要求

要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，掌握代数的基本方法，要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力、综合运用所学的知识分析和解决问题的能力。

二、考试的内容及比例

1．多项式：数域，二元多项式、整除、最大公因式、互素、不可约多项式、因式分解定理、重因式、多项式、函数、复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式，多元多项式。

2．行列式：排列，n阶行列式的定义，n阶行列式的性质及计算，行列式展开（按一行(一列)展开，拉普拉斯定理）克莱姆法则。

3．矩阵：矩阵的概念，矩阵的运算，逆矩阵、矩阵乘积的行列式、分块矩阵、初等矩阵、初等变换，分块矩阵和初等变换及其应用，矩阵的秩。

4．线性方程组：n维向量空间，n维向量的线性相关性，向量组的极大线性无关组，向量组的秩和线性方程组的解法、有解的判别原理、解的结构。

5．二次型：二次型及其矩阵表示，二次型的标准型、唯一性、化二次型为标准型，正定二次型。

6．线性空间：集合、映射、线性空间的定义与性质。基、维数与坐标、基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，直和，线性空间的同构。

7．线性变换的定义及其运算，线性变交换的矩阵，特征值与特征向量，对角矩阵，线性变换的值域与核、不变子空间。

8．λ-矩阵：λ-矩阵的概念，λ的矩阵在初等变换下的标准型，行列式因子，不变因子，及初等因子，矩阵相似的条件，矩阵的若当标准型及理论推导。

9．欧几里德空间：欧几里德空间的定义与基本性质，标准正交基，欧氏空间的同构和正交变换，子空间及其正交系，正交补，对称矩阵的标准形。向量到子空间的距离，最小二乘法，酉空间。

各部分占10%左右。

三、考试的题型及比例

1．填空题15%。2．计算题40%。3．证明题45%。

四、考试形式及时间

关于高等代数中行列式教学的认识 篇7

为改善这种状况，提高学生学习高等代数的兴趣和质量，我们有必要在教学内容和教学方法上进行改革。由于普通高师的教育目标主要是培养中学数学教师，因此课程内容在坚持够用、实用与可接受原则基础上进行适度取舍、增删;优化教学过程，沿着激疑、设疑和释疑这一线索开展课堂探索;在教学中要返璞归真，从源头讲起，讲清问题的来龙去脉，将丰富的数学思想过程暴露出来，再讲推理，最后抽象化和形式化。我将以行列式一章的教学为例谈点认识。

一、概念的引入

行列式是在寻求线性方程组公式解的过程中产生的，是从大量的具体问题中抽象出来的，体现了数学的由特殊到一般的辩证思想。本章的教学从二、三元线性方程组的公式解入手，激发学生探求元线性方程组的公式解的好奇心。

首先，用中学数学中常用的消元法求解二元线性方程组为例引进二阶行列式的定义，并明确地告诉学生：行列式只不过是一个为简化书写而用的符号，并引导学生探求三元线性方程组的公式解，给出三阶行列式的定义。其次，组织课堂讨论，分析出二、三阶行列式的特点，以三阶为例： (1) 三阶共6项，即3!项，其中都是一半带正号，一半带负号; (2) 每项都是位于不同行不同列的3个元素之积; (3) 每项的行下标依123自然排列，列下标恰是1～3的全排列。提出问题：哪些项带正号?哪些带负号?与列下标的排列是否有关?由此引出排列的反序数与奇偶排列的概念及相关结论。

利用排列的奇偶性回头分析二、三阶行列式的各项符号与列下标排列的奇偶性之间的关系，并由它们的结构规律来定义n阶行列式。

定义1:

类似地，引导学生给出列下标依自然顺序排列的另一定义方式(为讨论行列式性质做好准备)。

定义2:

利用行列式定义计算几个特殊行列式，既巩固对定义的理解与掌握，又为学习行列式计算技巧打好基础： (1) 对角形行列式; (2) 上(下)三角形行列式。

二、行列式的性质研究

行列式作为一种数学工具，具有哪些“性能”、特点?引导学生一起探索行列式的基本性质： (1) 转置运算; (2) 换法运算; (3) 倍法运算; (4) 和分解法运算; (5) 消法运算。

由于教材中要运用引理3.3.1[1]去证明转置运算和换法运算，而引理3.3.1[1]的证明对多数学生而言显得较为抽象，讲解下来花较多时间影响进度，且效果也往往不太理想，所以，我们放弃了引理3.3.1[1](让学生作为课后自习材料)，而是运用以上两个定义与换元法给出了转置运算和换法运算性质的证明。以转置运算性质的证明为例：

记D=|aij|n×n的转置行列式为D′=|bij|n×n，这里bij=aji, i, j=1, 2，…，n.依定义1有：

另依定义2, 我们有故D=D′.

这样既照顾了学生的既有的中学数学基础，降低了难度，又达成了新知识的建构的目的。

三、补充行列式的一个重要性质

在行列式的计算中，三角形法是最基本的方法，学生善不善于将一个行列式化为三角形，不仅影响本章书的学习，而且影响到后面矩阵，以及利用矩阵讨论方程组这些理论的学习。因此，我们补充了如下性质。

性质：行(列)的消法运算可化行列式为三角形行列式。

性质的证明过程实际上也给出了化行列式(包括矩阵)为三角形的一种最基本的方法，为后面的继续学习打点基础，减轻后边相关章节的教学负担。应用上述性质证明：

例1(实际课堂教学中不采用分块写法)

例1既巩固了对补充性质的学习，又为论证依行依列展开定理奠定基础。

四、依行依列展开定理的证明

教材中定理3.4.1[1]的证明篇幅太长，在乘积项的符号的确定上，学生在课堂上须花较多的时间思考与想象，讲解花时过多，但如果应用上述例1则能较轻松解决，学生接受也快，效果较好。

五、几种计算技巧的介绍

行列式有许多种计算技巧，课堂教学上不可能介绍很多，但有几种却是必须作为教学任务去努力完成的： (1) 化为三角形等熟知型法; (2) 递推法与归纳法; (3) 分离因子法; (4) 降阶法与升阶法。

其中，前两种是基本的，后两种则各有其应用与教育意义。分离因子法不仅对简化文字行列式的计算与讨论有实际意义，而且对中学因式分解有应用价值，更能直接运用到后面矩阵特征根的计算上去;另外，学生学习了依行依列展开定理之后，常常是看到一个行列式动不动就降阶展开计算，通过介绍升阶法让学生接受一次辩证唯物主义教育，同时，也能与线性变换一章中线性变换与矩阵的转换，抽象与具体的辩证转换形成呼应。

例2计算行列式

解:

六、应用与现实背景

研究行列式的一点应用，通过学习克拉默法则呼应开始激疑的“元线性方程组是否也如二、三元线性方程组一样有公式解呢?”，克拉默法则的证明可在课时较紧情况下安排学生课外自习，在第五章学习完可逆矩阵后，也可用矩阵方法回头给予证明。另外，课堂上引导学生认识：二阶行列式就是平行四边形的面积，且其值可以通过代表它的一组邻边的向量按乘法法则展开得来;三阶行列式是平行六面体的体积;已知顶点坐标或三边方程，就可以用行列式来表示三角形面积等。

高等代数与中学数学不是两个相互断裂的层面。在教学上，要使学生在高等代数的学习中，体会到高等代数之于中学数学的居高临下指导意义。

例3若a, b, c∈R， (c-a) 2=4 (a-b) (b-c).则a, b, c成等差数列.

证明：由(c-a) 2=4 (a-b) (b-c)得：

故有a-2b+c=0，从而a, b, c成等差数列.

对于中学数学的一些典型问题比如求函数的解析式，多项式的因式分解等问题，如果能构造适当的行列式，也能起到事半功倍的效果。这就要我们在习题课上通过一些例子让学生多了解。

在高等代数教学中，我们要重视讲清楚数学事实的“来龙去脉”，要善于把相关问题“返璞归真”，对教材要有“整局观念”，重视“瞻前顾后”。如行列式这章书的教学，我们要讲清楚其来源与应用背景;既瞻前———中学数学，又顾后———矩阵、线性变换等各章的联系，注意利用教学内容对学生进行辩证唯物主义思想教育。整章书的教学循着激疑、设疑和释疑、解疑这一线索开展课堂探索，学生的科学探索的素养也能得到培养。

摘要：在学时较紧, 学生数学基础相对薄弱的情况下, 如何有效地对高等代数教学内容进行适度取舍、增删, 优化教学过程以提高学生学习兴趣和质量呢?文章以行列式一章的教学为例展开讨论, 给出了一套行之有效的改进方案。

关键词：高等代数,行列式,教学

参考文献

[1]张禾瑞, 郝鈵新.高等代数 (第五版) [M].北京:高等教育出版社, 2007.

高等代数教学论文 篇8

关键词：高等代数；数学建模思想；课堂教学

一、高等代数与数学建模

高等代数课程作为数学专业的一门重要的专业基础课，它的应用领域非常广泛，但由于高等代数课程的抽象性和理论性较强，学生不知如何用所学的理论知识来解决实际问题。数学建模是一种数学思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化，建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。其思想是将知识由抽象转化为形象，由理论转化为应用的思想。在高等代数教学中渗透代数的应用内容，将数学建模思想融入课堂教学，有利于提高学生的应用能力，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力和运用知识解决问题的实际动手能力等。数学建模融入教学已成为当前数学教学改革的重要内容。

二、在高等代数教学中融入数学建模思想的必要性

首先，在以往的高等代数教学中，教学过程偏重理论的推导，知识的实践与应用不够，而数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学向科学技术转化的主要途径。在教学中融入数学建模思想对提高学生分析和解决实际问题的能力，提高应用数学的意识与能力起着重要作用。

其次，以往的高等代数教学基本上采用“满堂灌”的教学模式，学生缺乏学习主动性，而数学建模是以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学，教学过程的重点是创造一个环境去诱导学生的学习欲望，培养自学能力，增强他们的数学素质和创新能力。因此，在教学中融入数学建模思想开辟了教学模式改革的新途径。

再次，将数学建模教学案例引入课堂教学，不仅需要课堂上师生的共同探讨，更需要学生课后主动查阅文献资料。在此过程中，学生不仅提高了数学素质，同时也培养了团队协作精神，为今后的学习及工作奠定良好基础。

三、在高等代数教学中融入数学建模思想的可行性

首先，多媒体教学与传统教学相结合，利用多媒体“声、图、动画”合一的优势，将知识由抽象转化为形象，由理论转化为应用的过程变得更加便利。在丰富教学手段的同时，节约了课时，提高了教学效率，为数学建模教学案例引入课堂教学提供了可能。

其次，计算机快速计算的特点及有关数学软件（如MATLAB软件）的应用，使复杂的计算过程快速实现。如行列式计算、矩阵计算、解线性方程组等，在学生掌握了基础理论知识后，这些复杂的计算过程都可以由计算机来完成，这使数学建模思想融入课堂教学成为现实。

再次，在高等代数各章节的教学内容中均存在相应的实际问题，如在多项式、行列式、线性方程组、矩阵、线性空间等都可以找到具体的应用问题，这使得在高等代数课堂教学中融入数学建模思想是完全可行的。

四、在高等代数教学中融入数学建模思想的现实意义

1.数学建模融入教学可实现快乐教学。现在的高等教育已从“精英教育”向“大众教育”发展。由于高等代数其概念性强、内容高度抽象、逻辑推理严密、实际应用的少、趣味性少等特点，很多学生在学习过程中不适应，兴趣下降，耐性和毅力在减少，最终产生厌学甚至弃学的思想。把数学建模思想融入高等代数教学中，不仅可以激发学生学习的兴趣，而且可使沉闷的课堂气氛变得轻松愉悦，从而创造快乐的教学环境，使学生对知识的理解达到事半功倍的效果。

2.数学建模思想融入教学可促进高等代数教学方法的改革。课堂教学时间是有限的，数学建模案例短时间又是不能解决的。教师可将事先设计好的教学案例任务布置给学生，以问题为驱动，促使学生课后主动查阅文献资料和学习新知识，积极开展课外讨论和辩论，主动地去分析问题、解决问题。教师坚持“以任务为导向，以学生为中心”为指导进行教学。这样的教学环节有效地实现了从以教为主向以学为主转变、从以课堂教学为主向课内外结合转变。

3.数学建模思想融入教学可促进高等代数教学模式的改革。由于高等代数课程的抽象性强、概念多、命题多、定理多等特点，以往的教学基本是“以教师为中心、以教材为中心、以课堂为中心”的教学模式，学生在被动接受知识的过程中丧失了学习的兴趣。将数学建模案例引入课堂教学，不仅可以使学生主动参与教学过程，而且在教师的启发引导下，学生经过独立思考、探究、讨论等环节，显著提高了自主学习能力和探究创新能力，这也为传统的教学模式改革开辟了新途径。

总之，在高等代数中融入数学建模思想有很多作用。其中，要注意以下几点：案例选择要做到案例简单、直观又能反映课本知识内容且在知识的应用上有典型例子；案例应该与高等代数内容紧密联系，应贴近实际问题；教学案例应具有实用性、可参与性，注意与课堂教学内容密切联系。

参考文献：

[1]徐为坚，周明发.普通高师数学专业高等代数课程改革的研究[J].玉林师范学院学报，2006（81）：35-37.