生活中的一元二次方程论文

生活中的一元二次方程论文（精选12篇）

生活中的一元二次方程论文 篇1

一元一次方程,是初中数学的重要学习内容。方程来源于生产和生活,它是分析问题和解决问题的一种很有用的数学工具。利用一元一次方程,我们可以解决许多实际问题。下面,就如何列一元一次方程解决实际问题进行举例分析,供初中数学教学同仁和专家批评。

在学习一元一次方程的过程中,有的同学有时会产生困惑, 或遇到一些困难。其实,我们只要了解一元一次方程的特点,了解其解题步骤,许多困难会迎刃而解。

列一元一次方程解决实际问题的一般步骤,一般可概括为“审、设、找、列、解、答”六步。即:①第一步,审:审题,分析题中已知什么,要求什么。②第二步,找:找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系,根据实际情况来定,先用语言描述写到一边。③第三步,设:一般求什么就设什么为未知数,有时根据等量关系必须先间接设一个未知数,设时一般带单位。④第四步,列:把等量关系用含有未知数的方程表示,注意单位互化。⑤第五步,解:解所列的方程,求出未知数的值。⑥第六步,答:作答前先检验所求出的解是否合乎实际意义,且是不是方程的解,再写答(包括单位名称)。

一、商品利润问题

在这类问题中,要明确几个概念:进价和标价是不同的,标价往往比进价高许多,商家一般是把进价按一定比例提高后,作为标价。为了吸引顾客购买,他们有时又打“几折”销售,而所谓“几折”就是按标价的百分之几十卖出。如打七折也就是售价变为标价的70%,由于标价往往高于进价(成本价),故打折后一般商家不会赔本。这类问题的等量关系是:商品的售价 = 商品的标价×折扣率;商品的利润 = 商品的售价 - 商品的进价;利润率 = 利润÷成本。

例1:某家电城将某品牌的超级VCD按进价提高35%后,打出“九折酬宾,外送50元”的广告,结果每台仍然盈利208元。那么,每台超级VCD的进价是多少元?

分析:首先要弄清楚标价是按进价提高了35%,即标价 = 进价×(1+35%),售价是标价打九折后减去50元。其方程模型是:超级VCD的售价 - 超级VCD的进价 = 超级VCD的利润。解:设每台超级VCD的进价是x元,则 [0.9 (1+35%)x-50]-x=208,解得x=1200。答:每台超级VCD的进价是1200元。

二、利息问题

这类问题的基本等量关系是:利息 = 本金×利率×期数,其中期数是指存入的时间,本金 + 利息 = 本息和。

例2:某年1年期储蓄年利率为1.98%,所得利息要交纳20% 的利息税。某储户有一笔1年期定期储蓄,到期纳税后得利息396元,问储户有多少本金?

分析:本题中的数学模型是利息减去交纳的税金后得现金是396元,若设储户有本金x元,则年利息为1.98%元,交纳税金为20%×1.98%x元,故根据题意可进行解答。

解:设储户有本金x元,则1.98%x-20%×198‰=396,解得x=25000。答:储户有本金25000元。

三、工程问题

这类问题的基本等量关系是:工作量 = 工作效率×工作时间。一般把总工作量看作“1”,各个工作量之和等于总工作量。

例3:一项工作,甲独立完成要3小时,乙独立完成要5小时, 若两人合作完成这项工作的4/5,需要几小时?

分析:本题中有三个基本量:甲、乙独立完成此项工作的时间和两人合作完成的工作量。甲、乙两人完成的工作量之和等于两人合作完成的工作量,这是解题的关键所在。

解:设合作完成这项工作的4/5需要x小时,由题意,得 (1/3+1/5)x=4/5,解这个方程,得x=1.5。答:需要1.5小时完成。

四、行程问题

这类问题是研究在匀速运动条件下的路程、速度和时间三个量之间的关系。这里有一个固有的相等关系:路程 = 速度×时间。这类问题又分为相向而行(即相遇问题)、同向而行(即追及问题)和反向而行等常见类型。

例4:甲、乙两人在笔直的跑道上练习长跑,两人相距100米, 甲的速度为7米 / 秒,乙的速度为6米 / 秒。①若两人同时出发, 相向而行,经过多长时间相遇?②若两人同时出发,同向而行,经过多长时间甲追上乙?③若两人同时出发,反向而行,经过多长时间两人相距360米?

分析:可画线段图,找等量关系。①画出问题1的线段分析图 (篇幅所限,图略),得等量关系:甲走的路程 + 乙走的路程 =100米。②画出问题2的线段分析图(篇幅所限,图略),得等量关系: 甲走的路程 - 乙走的路程 =100米。③画出问题3的线段分析图 (篇幅所限,图略),得等量关系:甲走的路程 + 乙走的路程 +100米 =360米。

在行程问题中,只要画出了线段分析图,就可以根据图示列出方程解决实际问题了。

总之,只要同学们在解题时,注意分析题意,正确建立相等关系,多思考,多动脑筋,善于从多个角度观察问题,不断地积累解题经验,相互交流,相信同学们一定能够学好列一元一次方程解决实际问题这一重要内容,为后续学习打下坚实的基础。

生活中的一元二次方程论文 篇2

一、目前的现状和存在的问题

经济数学是财经类专业的一门重要基础课程。传统意义上的经济数学教学只是强调知识的传授和掌握。教师占据主导地位，学生完全处于一种被动接受的状态。教师注重的是把概念、结论讲清楚，学生把老师讲的记下来，通过做练习题理解、掌握、巩固，考试也是这些知识的再现。这种教学模式忽视了学生的主体地位，知识的接受过程中，学生体验不到数学的乐趣和精妙，缺乏思考的过程、研究的过程，更重要的是不能形成运用数学知识解决经济问题的能力。近年来，各种教学改革方法、模式也不断出现，如任务驱动法、项目导向法、案例教学法、问题解决式等等，各有所长。现在很多院校经济数学课时大幅压缩，有的只有几十课时，有些院校直接将数学课删除。完整、系统地传授知识已不大可能。我院在广泛调研的基础上，在部分专业试行了研究性教学模式的有益探索。

随着社会经济的迅速发展，数学在其中的作用与价值愈显突出，被越来越广泛运用于经济与管理科学，并正在显著地促进金融业、服务业、制造业、营销业和咨询业的商务运作模式的改变，显示了数学应用的魅力。“高技术的本质，是数学技术”，这是越来越多的人共识。数学教育的重点不止是教给人如何应用科学知识和技术，而是教给人以科学观点和科学方法，也就是塑造人的科学世界观，培养具有实践能力和创新精神的人。

二、研究性教学模式的含义

研究性的教学方法，是培养学生创新精神和实践能力的有效方法。研究性的教学模式，是指在课堂教学过程中，在教师的指导下，精心创设一种研究氛围，启发学生充分参与、主动探究、交流合作、感受数学发现的乐趣，再上升为科学的结论。更为重要的是让学生运用掌握的知识技能，学会动手搜集、分析、判断大量的信息材料，研究并解决经济问题。也就是研究贯穿于知识的接受过程，研究贯穿于能力的形成过程。

三、研究性教学模式的特点

（一）合作性。教师占主导地位，学生占主体地位，双方协调、互动合作。教学任务完成过程，也是师生的思想、情感得到交流和强化的过程。

（二）探究性。无论是已成型的经典的理论，还是老师提出的新的问题，对于学生来说，都具有很强的探究性。学生必须在探究的过程中掌握知识、形成能力、提高素质。

（三）开放性。要打破传统教学的单一性、封闭性和被动性。数学与其他学科的联系，特别是与现实社会经济热点问题的关系，注定它必须是开放性的。

（四）应用性。人类社会的生产实践中，数学无所不在。经济数学的价值在于应用。应用于解决经济问题，体现在培养人、塑造人的完整人格。

四、研究性教学模式实施的条件

（1）各级领导的重视和支持，在人员、资金、场地、时间等方面给予优先考虑安排。

（2）有一支肯干、能干的高素质的师资队伍。

（3）具有现代化的教学设备、网络信息资源和一些必备的材料。

（4）有良好的外部环境，与社会、企业有良好的合作关系。

五、研究性教学模式的实施办法

研究性教学模式主要解决传统意义上的教学模式只强调知识和技能的接受，强调教师的中心地位，只注重学生接受式的学习等问题。教师不能停留在一本书、一块黑板、一支粉笔的水平上，要有扎实的专业知识和先进的教育理念，适度合理使用现代化教学手段，会设计问题，引导、启发学生思考，得出科学的结论，让学生动手搜集、查阅资料，分析探究经济问题，作出预测评判，教师指导点评。师生互动双向交流，学生成为学习的主体。

教师思想上高度重视这项教学改革，精心备课，巧妙设计问题，营造一种探究的氛围，有时提出问题比解决问题更重要，对教师提出了更高的要求。要让学生充分探究，充分发表自己的见解，在教师的指导下得出科学的结论。，教师要引导学生走出课堂、走出校园，积极参与社会实践，培养创新能力和实践能力。教师之间要多交流合作，定期召开教学研讨会，观摩教学，总结经验，不断提高教学水平。

我们组织学生用弹性理论知识研究企业如何对弹性大和弹性小的商品定价；让学生研究如何用定积分的理论知识求出某地区或某单位的基尼系数，供有关部门或单位参考，以调整经济政策；如何用定积分的理论求企业在不同的市场实行差别价格后所获利润，在保证利润最大化的前提下，确定各个市场的商品的销售量；现在企业之间相互持股，风险共担，利益共享是一种发展趋势。我们让学生深入社会和企业，用所学的线性方程组、矩阵的理论知识解决相互持股企业之间的投资收益、利润分配问题等等。学生在教师有趣的、刺激性的、挑战性的问题面前，被激起探究的欲望，学生跃跃欲试进入学习状态，在解决问题的过程中，放飞思维，发挥聪明才智，形成概念，掌握知识；由理论指导实践，兹生创新意识，锻炼实践能力；最终学生的素质得到提高。这种能力和素质将使学生受益终生。

六、研究性教学模式的原则

（一）教师主导、学生主体、师生互动原则。与传统教学模式的.一个关键区别就是研究性教学模式注重学生的主体精神，以合作探究为特点启发学生主动学习、创造新思想新方法新理论，建构新的知识体系。教师的主要责任是指导、帮助学生主动建构新知识，因此，教师的传授要少而精，不要全盘托出教学内容，而要突出重难点顺其自然地让学生融入思考研究的状态中去。在课堂教学中教师要注意巧妙地设计师生互动环节，让整个课堂充满活力和生机，营造一种良好的课堂气氛，激发学生的学习研究兴趣。

（二）独立研究和合作研究相结合的原则。研究性教学模式要求教师和学生均要以研究的心态学习理论知识。学生在高校学习中要摆脱高中依赖教师的习惯性学习方式，要学会独立自主地思考研究学习内容。这种现代教学模式的研究性不仅要求学生自己学习过程中要主动独立思考、分析问题的因果关系，探究问题的解决方法，而且涉及到小组讨论、班级讨论。各种团队讨论方式都是一种合作研究的方式，合作研究能够弥补个人知识能力不足的缺陷，集众人之所长，创造出最新的成果。研究性教学模式要将学生独立研究和师生之间、生生之间合作研究有效地结合，以实现高效研究性教学和学习的最佳状态。

（三）理论与实际相结合原则。传统教学模式不适应当代社会发展的一个重要原因就是传统教学模式单纯注重理论知识的传授，造成高校培养的人才实际应变能力差，满足不了社会对高校毕业生实践技能素质的要求。现代化的研究性教学模式要求教师不仅要发挥教学的主导作用，传授本课程的基本内容，同时要鼓励学生参加丰富多彩的第二课堂活动，深入社会、企业，广泛调查研究，教会学生有效地将理论运用到实际生活中去。

七、研究性教学模式的考核模式

考核方面要改变一张考卷几道练习题定成绩的方法。我们大胆改革，要求学生紧密结合社会经济热点问题，应用所学知识分析、解决问题，提出自己的看法，形成调查报告，占总成绩50%。期末理论考试可以开卷，占50%。此模式深受学生欢迎。

生活中的一元一次不等式 篇3

一、 电梯中的载物问题

例1 有3人携带会议材料乘坐电梯，这3人的体重共210 kg，每捆材料重20 kg，电梯最大负荷为1 050 kg，那么该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载几捆材料？

【分析】本题中的最大负荷为1 050 kg，实际上隐含着：3人的体重+携带会议材料≤1 050，因而可以设该电梯最多还能搭载x捆材料，进而建立关于x的不等式解决问题.

【解答】设该电梯最多还能搭载x捆材料，依题意，得：

20x+210≤1 050，解得x≤42.

所以，x的最大值为42.

答：该电梯最多还能搭载42捆材料.

【点评】乘坐电梯是日常生活中极其平常的事情，乘坐电梯搭载材料千万不要超过最大负荷，否则就会出现超载无法关门的现象.

二、 体育活动中的买球问题

例2 同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元.

（1） 求购买一个足球、一个篮球各需多少元？

（2） 根据同庆中学实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5 720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？

【分析】第（1）题，隐含着两个等量关系式：购买3个足球的费用+2个篮球的费用=310元，购买2个足球的费用+5个篮球的费用=500元，因此，可以建立方程组进行解答；第（2）题，隐含着一个不等关系式：购买足球和篮球的总费用≤5 720元.设购买a个篮球，即可列出不等式加以解决.

【解答】（1） 设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元.根据题意，得：

3x+2y=310，2x+5y=500. 解得：x=50，y=80.

所以，购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元.

（2） 设购买a个篮球，则购买（96-a）个足球，根据题意，列不等式，得：

80a+50（96-a）≤5 720，解得：a≤30■.

因为a为整数，所以a最多是30，所以这所中学最多可以购买30个篮球.

【点评】踢足球和打篮球是同学们喜爱的体育活动.购买足球和篮球前，一定要做好经费预算，才能够确保合理使用经费.

三、 商品购买方案问题

例3 某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案.方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠.已知小敏5月1日前不是该商店的会员.

（1） 若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？

（2） 请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算？

【分析】第（1）题，按方案二直接可以计算；第（2）题，隐含着不等式关系是：方案一的费用<方案二的费用.设购买商品的价格为x元，可得方案一的费用为（0.8x+168）元、方案二的费用为0.95x元，进而建立不等式，求出所购买商品的价格的范围.

【解答】（1） 120×0.95=114（元），所以实际应支付114元；

（2） 设购买商品的价格为x元，由题意得：0.8x+168<0.95x，解得x>1 120，所以当购买商品的价格超过1 120元时，采用方案一更合算.

【点评】促销优惠活动是商家经常采用的方法.不同的商家有不同的方案，既需要我们“货比三家”，也需要我们对相同商品比较不同购买方案时价格大小关系，得到价廉物美的商品.

四、 食物中成分的问题

例4 2012年5月20日是第23个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况.他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）.根据信息，解答下列问题.

（1） 求这份快餐中所含脂肪质量；

（2） 若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；

（3） 若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值.

【分析】（1） 已知百分比和总量，则脂肪质量为400×5%；（2） 已知碳水化合物的百分比，则碳水化合物质量为400×40%=160，故蛋白质与矿物质的质量之和为400-20-160，又知蛋白质的质量是矿物质的质量的4倍，所以设矿物质的含量为x，则有x+4x=400-20-160；（3） 设所含矿物质的质量为y克，则所含碳水化合物的质量为（380-5y）克，根据两者所占百分比的和不超过85%，可得4y+（380-5y）≤400×85%，从而y的取值范围可求出.

【解答】（1） 400×5%=20，答：这份快餐中所含脂肪质量为20克；

（2） 设所含矿物质的质量为x克，由题意得：x+4x+20+400×40%=400，所以x=44，所以 4x=176.

答：所含蛋白质的质量为176克；

（3） 设所含矿物质的质量为y克，则所含碳水化合物的质量为（380-5y）克，所以4y+（380-5y）≤400×85%，y≥40，380-5y≤180，所以所含碳水化合物质量的最大值为180克.

【点评】本题设计新颖，以快餐中的营养成分信息为背景，考查了同学们从信息表中获取相关数据的能力.同学们应学会建立不等式模型加以解答.

五、 商品销售利润问题

例5 某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%.假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价基础上应至少提高（ ）.

A. 40% B. 33.4% C. 33.3% D. 30%

【分析】设购进一批水果有a kg，进价为m元，这种水果的售价在进价基础上提高原价的x倍，则有：■≥20%，解得x≥■，所以x的最小值为33.4%，即这种水果的售价在进价基础上应至少提高33.4%.

【解答】B.

【点评】商家买卖商品过程中总是没有赔本的，尽管在销售过程中有损耗，往往通过提高售价来达到所要获取的利润率.

例6 某商场用36 000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6 000元.其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元.

（1） 该商场购进甲、乙两种商品各多少件？

（2） 商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售.若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8 160元，乙种商品最低售价为每件多少元？

【分析】第（1）题，隐含着两个相等关系式：购进甲种商品的费用+购进乙种商品的费用=36 000元，销售甲种商品的获利+销售乙种商品的获利=6 000元，因而可以列出方程组进行解答；第（2）题，第二次购进甲种商品的件数的利润为2×200×（138-120）=7 200元，如果设最低售价为x元，则第二次购进乙种商品销售后的利润为120×（x-100）元，从而可以应用不等式进行解决问题.

【解答】（1） 设第一次购进甲、乙两种商品件数分别为x、y件，依题意，得：

120x+100y=36 000，（138-120）x+（120-100）y=6 000.

所以x=200，y=120.

所以第一次购进甲、乙两种商品件数分别为200、120件.

（2） 第二次购进甲种商品的件数是第一次的2倍，仍按原价销售后的利润为：2×200×（138-120）=7 200元，所以设乙种商品最低售价为x元，第二次购进乙种商品销售后的利润为120×（x-100）元，得：7 200+120×（x-100）≥8 160，解得x≥108，所以x有最小值为108元，所以乙种商品在第一次售价的基础上最低售价为每件108元.

【点评】本题着重考查了同学们把实际问题转化为数学问题的能力，要求应用二元一次方程组和一元一次不等式解决生活中销售利润问题.

六、 生活用水问题

例7 为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费.如表是该市居民“一户一表”生活用水计费价格表的部分信息：

（说明：① 每户产生的污水量等于该户自来水用水量；② 水费=自来水费用+污水处理费用）

已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元.

（1） 求a、b的值；

（2） 随着夏天的到来，用水量将增加.为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%.若小王家的月收入为9 200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？

【分析】第（1）题，根据两次付费，可得一个关于a、b的二元一次方程组，解方程即可；第（2）题，根据第（1）题的计算结果可以求得用水30吨时的费用，再确定6月份用水量是否超过30吨，并建立不等式解决问题.

【解答】（1） 由题意，得：17（a+0.8）+3（b+0.8）=66，17（a+0.8）+8（b+0.8）=91.解得a=2.2，b=4.2.

（2） 当用水量为30吨时，水费为：17×3+13×5=116元，9 200×2%=184元.

因为116<184，所以小王家6月份的用水量超过30吨.

设小王家6月份用水量为x吨，由题意，得：17×3+13×5+6.8（x-30）≤184，解得x≤40，所以，x的最大值为40.

答：小王家6月份最多能用水40吨.

【点评】“节约用水，人人有责”，使用不同水量，其每吨的交费也不相同.本题既渗透了节约用水的意识，也考查了从表格中获取相关信息的能力.

七、 方案设计问题

例8 （2012·益阳）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元.

（1） 若购进A、B两种树苗刚好用去1 220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？

（2） 若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用.

【分析】第（1）题，可用一元一次方程求解；第（2）题，由“购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量”建立不等式，再结合树苗的棵数是整数求解.

【解答】（1） 设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17-x）棵，根据题意得：

80x+60（17-x）=1 220，解得x=10，所以17-x=7.

答：购进A种树苗10棵，B种树苗7棵.

（2） 设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17-x）棵，根据题意得：

17-x8■，购进A、B两种树苗所需费用为80x+60（17-x）=20x+1 020，则费用最省需x取最小整数9，此时17-x=8，这时所需费用为20×9+1 020=1 200（元）.

答：费用最省方案为：购进A种树苗9棵，B种树苗8棵. 这时所需费用为1 200元.

【点评】最优化或方案设计问题，常常要借助于不等式和不等式的相关性质进行解答.

趣谈生活中的二元一次方程组 篇4

一、怎样计算水费?

例1为了强化公民的节水意识,合理利用水资源. 某市采用价格调控手段达到节约用水的目的.规定:每户居民每月用水不超过6 m3时,按基本价格收费;超过6 m3时,不超过的部分,仍然按基本价格收费,超过的部分要加价收费. 该市某户居民今年4、5月份的用水量和水费如下表所示,试求用水收费的两种价格.

【分析】解决问题的关键是找到能反映该问题全部含义的相等关系,本题的相等关系有两个:

(1)不超过6 m3的水费+超过6 m3的水费=21元;

(2)不超过6 m3的水费+超过6 m3的水费=27元

若设基本水价为x元/m3,超过6 m3的部分的水价是y元/m3,可列表如下:

解:设基本水价为x元/m3,超过6 m3的部分的水价是y元/m3,根据题意列方程组:

解这个方程组,得:

答:基本水价为1.5元/m3,超过6 m3的部分6元/m3 .

聪明的你能接着解决下列问题吗?

1. 上述问题中,如果某居民1月份用水4 m3,那么需要交水费______元,如果某居民6月份用水11 m3,那么需要交水费______元.

2. 在上面的问题中,如果某居民某月交水费45元,那么用水量为______m3.

二、如何确定成本?

例2甲、乙两件服装的成本共500元,商店老板为获取利润,决定将甲服装按50%的利润定价,乙服装按40%的利润定价. 在实际出售时,应顾客要求,两件服装均按九折出售,这样商店共获利157元.求甲、乙两件服装的成本各是多少元?

【分析】本题是销售问题,涉及成本、利润、利润率、定价、售价等基本概念.它们之间有如下关系:

(1)利润=售价- 成本;

(2)利润率=利润/成本;

(3)定价=成本×(1+利润率);

(4)售价=定价×90%.

能反映本题全部含义的相等关系有两个:

(1)甲服装的成本 +乙服装的成本=500元;

(2)甲服装的利润 +乙服装的利润=157元.

解:设甲服装的成本为x元,乙服装的成本是y元,根据题意,得

解这个方程组,得

答:甲服装的成本每件300元,乙服装的成本每件200元.

三、怎样分配?

例3某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨,准备加工上市销售.该公司的加工能力是:每天可以精加工6吨或粗加工16吨.现计划用15天完成加工任务,该公司应安排几天精加工,几天粗加工?

【分析】这是一个工程问题,涉及工作量、工作时间、工作效率三个基本量,它们之间的关系是:

(1)工作效率=工作量/工作时间;

(2)工作时间×工作效率=工作量;

(3)工作时间=工作量/工作效率.

能反映本题全部含义的相等关系有两个:

(1)精加工的天数+粗加工的天数=15天;

(2)精加工的蔬菜量+粗加工的蔬菜量=140吨.

解:设应安排x天精加工,y天粗加工,根据题意,得

解这个方程组,得

答:应安排10天精加工,5天粗加工.

四、怎样设计才能配套?

例4一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成.如果1立方米木料可制作方桌的桌面50个或制作桌腿300条,现有5立方米木料,请你设计一下,用多少木料制作桌面,多少木料制作桌腿,恰好配套?求出配成的方桌的张数.

【分析】本题隐含两个相等关系:

(1)桌腿数=4×桌面数;

(2)用于做桌腿的木料+用于做桌面的木料=5立方米.

解:设用x立方米的木料制桌腿,用y立方米的木料制作桌面,根据题意,得

解这个方程组,得

当y=3时,50y=150.

答:用3立方米的木料制桌面,用2立方米的木料制桌腿,恰好配套. 共配成150张桌子.

五、怎样测量火车速度?

例5某铁路桥长1 000 m,现有一列火车从桥上通过,测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1 min,整列火车完全在桥上的时间共40 s.求火车的速度和长度.

【分析】这是行程问题,涉及路程、速度、时间三个基本量之间的关系:

(1)路程=速度×时间;

(2)速度=路程/时间;

(3)时间=路程/速度.

能反映本题全部含义的相等关系有两个:

(1)火车从上桥到完全过桥用1 min(图1).

(2)整列火车完全在桥上的时间是40 s(图2).

解:设火车的速度为x m/s,火车的长为y m,根据题意,得:

解这个方程组得:

生活中的一元二次方程论文 篇5

一、教材分析

《数学课程标准》对本节的要求是：能够找出实际问题中的已知量和未知量，分析他们之间的关系，找出问题中的相等关系，体会建立数学模型的思想。通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决实际问题的过程，感受数学的应用价值，提高分析问题解决问题的能力。

本节课在全章中的地位：一元一次方程的实际应用问题是本章的重点难点，蕴涵了一种十分重要的数学思想——建模思想，也体现了一种关键的数学技能---翻译，通过列一元一次方程来解决实际问题中的数量关系。

本节选择了“销售中的盈亏”，这是在有理数、整式加减之后，设置了盈亏问题的探究点，具有承上启下的作用。

盈亏问题贴近人们的生活，这类题目的解决能大大提高学生的学习积极性，使学生能在更加贴近实际生活的问题情境中运用所学数学知识，激发学生学习数学的兴趣，提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、设计思想

对于七年级的学生来说，往往比较畏惧应用题，首先题目长，文字多，学生容易产生厌倦情绪，其社会经验少，盈亏问题中的专业名词不熟悉，甚至不理解，难以找出相应的等量关系，加之将应用题的语言文字转化成数学式子的翻译能力较差。因此更应选择贴近生活，易于理解的问题情境层层深入探究。让学生通过审题，根据应用题的实际意义，找出等量关系，列出相关的一元一次方程。进而提高解决实际问题的能力，培养他们对数学的兴趣，为后续的学习准备了必要的知识和能力条件。在教材分析和学情分析的基础上，结合预设的教学方法，确定了本节课的教学目标如下：

1、学会分析盈亏问题中的数量关系，并列方程。

2、学生估算盈亏，然后再通过列方程计算，从而验证自己的判断。

3、让学生分析问题中的数量关系，在不可直接设未知数的情况下，讨论如何设未知数，如何找相等关系，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。

4、通过对盈亏问题的探索，让学生体验数学源于生活，服务于生活，从而提高学习的积极性。

基于对教材的分析，我确定了本节课的教学重点是：建立实际问题的方程模型，让学生知道商品销售中的盈亏的算法。通过探究活动，加强数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力。

基于对学情的分析，我确定了本节课的教学难点是：找盈亏问题中的等量关系，在探究中正确的建立方程。

整个教学环节设计落实我校提出的“四步五学”教学模式，体现目标导学、独立自学、质疑探学、以练促学思想，组织学生自学、对学、合学、练学，教师适时追问，点拨，评价，构建生本、生生、师生多维互动，主动积极交流，展示的高效课堂。

三、教学环节

一、目标导学

先来欣赏一组图片：然后思考回答下列问题：（1）这些图片中涉及的场景是什么？（2）在这种场景中涉及到哪些销售方面的基本的概念？（3）这些概念的基本关系如何？

意图 教师通过从学生比较熟悉的身边问题开始，激发学生的探究欲望，能给学生一种轻松的心理氛围，易于学生学习新知识，为本节课的继续探索做好准备。也让学生注重观察生活，知道数学来源于生活。从而引出本节课题目。

二、独立自学（基础知识）

问题1：一件衣服进价为50元，如果你是商家(1)你起码售价定为多少元？

（2）如果售价为60元，利润为 元.利润率为。

如果售价为80元，利润为 元.利润率为。（3）如果售价为40元，利润为 元.利润率为。公式：利润= 公式：利润率=（4）定价为80元，打8折出售，售价为 元.公式：打x折后的售价＝

问题2：

1、某商店以每件60元的价格卖出一件衣服，盈利25%，则该衣服的进价为多少元？

2、某商店以每件60元的价格卖出一件衣服，亏损25%，则该衣服的进价为多少元？ 公式：售价= 意图：我这样设计的目的是：遵循学生的认知规律，注意新旧知识的联系，设置的这一组题。因为学生社会经验少，对盈亏问题中的专业名词，如“利润率”、“盈利率”、“亏损率”等词不熟悉，甚至不理解，通过简单易懂的例子可以让学生更容易地掌握这些专业名词的概念和有关的计算公式；同时，也为解决探究1——销售中的盈亏做铺垫。

三、质疑探学（变式训练）

探究1：某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25％，另一件亏损25％，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或者不盈不亏？

师生互动：你能否猜想一下是亏还是盈？还是不盈不亏？ 引导学生带着下列问题讨论，合作交流（1）看盈利还是亏损的

主要依据是什么？（2）两件衣服的相同量和不同量分别是什么？（3）你能否设一件衣服进价，找出等量关系进而列出方程求解呢？

引导学生总结：结论是盈还是亏主要看这家商店两件衣服的进价与售价的大小。如果进价大于售价则亏损，反之就盈利。

意图：这一环节由浅入深，通过分解练习使例题难度降低，通过让学生猜想，激发学生的积极性，将实际问题转化为数学问题。逐步放手，让学生自己解决，验证自己的猜想是否正确，培养学生用数学的意识，体会到数学的使用价值。

探究2：假如你是服装店老板，你能否设计一种方案，适当调整售价，使得销售这两件衣服时不亏本呢？(这两件衣服的进价分别是48元和80元。)意图：提高学生应用所学知识解决实际问题的能力，并养成用数学思维和方法去解决生活中遇到的实际问题的能力。

四、以练促学（巩固练习）

1、某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%.这次交易中的盈亏情况？

2、某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍获利10%, 则该商品的标价为多少元？

意图： 学生对一元一次方程实际应用——盈亏问题的巩固，加深对专业名词的理解与有关公式的运用，从而形成基本技能。

总结反思：

1、通过本节课的学习，你学到了什么？你自己体会最深刻的是什么？

2、对一元一次方程实际应用问题的盈亏问题进行反思 意图：一方面让学生再次回顾本节课的学习过程，是对一元一次方程实际应用的再认识，是对数学思想方法的升华；另一方面，让学生深化知识理解，完善认知结构。

以练促学：

1、一件羊毛衫地进价为150元，销售价为180元，则该商品的利润为 元。利润率为。

2、某商店以每个书包96元的价格卖出两个书包，其中一个盈利20%，另一个亏损20 元，问这两个书包总的是盈利还是亏损？

3、某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率为5%,那么商店最多可打几折出售此商品？

意图：及时反馈教学效果，查漏补缺，对学有困难的学生给予鼓励和帮助。

作业：

生活无限组建方程式车队 篇6

此前，生活无限还组建过两支车队生活无限，青岛钢铁越野车队和生活无限拉力车队，吕总既是车队组建的发起人也亲自担任车队车手南征北战。

生活无限-青岛钢铁越野车队由中国车王卢宁军和生活无限总经理吕亦瑜于2005年4月创建，车队首次亮相于2005年全国汽车场地越野锦标赛临沂站比赛，最后取得无限改装组冠军的好成绩。

生活无限拉力车队是生活无限携手万宇拉力车队于2006年组建的，还邀请到世界级车手麦克雷和全国著名两栖车手黄威龙加盟车队。生活无限拉力车队首次亮相干当年全国汽车拉力锦标赛六盘水站，一度被认为是夺冠大热门，受到众多媒体的关注。

生活中的一元二次方程论文 篇7

【教学过程】

一、实践操作, 引入新课

[天平实际操作]

教师展示天平并提问:这是什么?

生:天平.

师:天平有什么用处?

生:称量物体的质量.

师:这里有一只玩具鲸鱼, 哪位同学能用天平称出它的质量?

[在学生称量的同时, 指导学生正确的使用天平 (包括游码) ]

师:玩具鲸鱼的质量是多少?

生:45克.

师:为什么可以用天平称出物体的质量?

[引导学生将天平看成一个等式:物体的质量=砝码的质量 (读数) ]

师:再加上两只玩具鲨鱼, 哪位同学能用天平称出它们的质量?

生操作后说:120克.

师:在这种情况下, 哪位同学能求出一只鲨鱼的质量?

生: (120-41) ÷2=32.5.

师:还有其他方法吗?[提示:利用天平可以看成一个等式去想]

生:利用方程做.设一只鲨鱼的质量为x克, 可得:2x+45=120, x=32.5.

教师在右托盘中再加20克的砝码, 使天平不平衡.

师:这时可以求出一只鲨鱼的质量吗?

生:不行.

师:为什么?

生:缺少相等关系.

师:这说明用方程解决应用题的关键是什么?

生:找到问题中的相等关系.

【设计意图】:通过实践操作体会方程是表达数量之间相等关系的“天平”, 通过活动引入新课.

二、创设情境, 共同探究

在北京奥运会上, 中国女子排球队参加排球比赛, 共赛了12场, 总得分为20分, 如果设她们胜了x场 (胜一场得两分, 负一场得一分) , 请列出方程.

解决方法: (设置问题, 提供阶梯)

(1) 你能用语言表达出题中隐藏的相等关系吗?胜场得分+负场得分=20

(2) 她们胜了x场, 那么负了多少场?

12-x

(3) 你能用方程表达刚才找到的相等关系吗?

2x+ (12-x) =20

课堂反馈:[你来试一试]

中国篮球巨星姚明在一场比赛中24投14中, 拿下28分, 其中三分球三投全中, 那么姚明两分球投中多少球? (罚球投中一个得一分)

相等关系:三分球得分+二分球得分+罚球得分=总得分

解:设姚明两分球投中x球

根据题意可得方程:

3×3+2x+ (14-3-x) ×1=28

三、运用知识, 提高能力

【例1】军军今年5岁, 爸爸今年32岁, 几年后军军的年龄是爸爸的?

错解:5+x=×32[爸爸的年龄不增长]

正确答案:5+x=× (32+x)

利用表格分析, 找到相等关系

[学生活动].请用你和爷爷、奶奶、爸爸、妈妈中任意一个的年龄编一道符合实际意义的应用题.

同桌的两人为一组, 互相点评, 在教师的指导下改正不足.

【设计意图】通过开放式的自主活动, 让学生感受现实生活与数学的联系, 体验在生活中学数学、用数学的价值, 感受学习数学的乐趣.

课堂反馈:[你来试一试]课本P93.练一练1、2、3题.

[特别关注]3.据资料, 海拔每升高100米, 气温下降0.6℃, 现测得某山脚下的气温为15.2℃, 山顶的气温为12.4℃.如果设这座山高为x米, 请你列出方程.

错解:0.6x=15.2-12.4

正确答案:×0.6=15.2-12.4

【例2】学校春游, 王平负责购买饮料.要购买的矿泉水比茶饮料多5瓶, 其中矿泉水1.5元一瓶, 茶饮料2元一瓶.王平计划花费60元购买这些饮料, 那么两种饮料应各买多少瓶?

解:设茶饮料买x瓶, 则矿泉水买 (x+5) 瓶.

根据题意可得方程:2x+1.5 (x+5) =60

四、课堂小结, 自我归纳

由实际问题抽象得出方程, 要经历哪些过程?

1. 读懂题意, 找出相等关系; (审)

2. 设未知数, (设) [若题目已设好, 就不必再设]

3. 根据相等关系列出方程. (列)

五、布置作业, 拓展思考

课本94页1、2、3、4、5、6、7题.

思考题:根据方程2x+3 (x-4) =28编一道符合现实生活的应用题.

【设计意图】通过由方程编应用题, 培养学生的逆向思维能力.

【教学反思】

一、教学目标的确定

本节课的教学目标是从知识与能力、过程与方法、情感态度与价值观三个方面, 根据《全日制义务教育数学课程标准》中关于“从问题到方程”的教学要求, 结合学生的实际情况确定的.

学生在小学时, 已能较为熟练地运用算术法解决问题, 列出的算式只能用已知数;而方程是根据问题中的相等关系列出等式, 其中既有已知数, 又有未知数.通过比较, 让学生感受方程所刻画的现实模型的意义, 明确列方程的关键是找到合适的“相等关系”.

通过对实际问题的研究, 学生可以初步认识到日常生活中的许多问题可以用数学方法解决.

二、教学过程的设计

1. 通过实践操作, 让学生体会方程是表达数量之间相等关系的“天平”, 在活动中引入新课.

2. 设置的例题与练习为学生提供了丰富多彩的、贴近学生生活实际的问题情境, 引导学生应用数学知识解决实际问题, 引导学生从不同的角度分析问题.

3. 通过师生共同小结, 发挥学生的主体作用, 有利于学生巩固所学知识, 培养学生归纳、概括的能力.

4. 采用启发式教学法.

生活中的一元二次方程论文 篇8

一、增长率问题

例1(2016·湖南永州)某种商品的标价为400元/件,经过两次降价后的价格为324元/件,并且两次降价的百分率相同.

(1)求该种商品每次降价的百分率;

(2)若该种商品进价为300元/件,两次降价共售出此种商品100件,为使两次降价销售的总利润不少于3 120元,问第一次降价后至少要售出该种商品多少件?

【思路分析】(1)本题隐含的等量关系是“标价×(1-降价百分率)2=售价”,将售价、标价和降价百分率代入等量关系,即可得到解决问题所需的一元二次方程;(2)本题包含一个不等关系“第一次降价时销售总利润+第二次降价时销售总利润≥3 120”,而销售利润=销售件数×每件利润.将销售件数和每件的利润分别代入不等关系,即可得到一个不等式.

解:(1)设该种商品每次降价的百分率为x,根据题意得:

400(1-x)2=324.

解得x=0.1=10%或x=1.9(不合题意,舍去).

答:该种商品每次降价的百分率为10%.

(2)设第一次降价后至少要售出该种商品m件,根据题意得:

[400(1-10%)-300]m+(324-300)(100-m)≥3 120.

解得m≥20.

答:第一次降价后至少要售出该种商品20件.

【方法点拨】增长率问题中,若增长的基数为a,每次增长的平均增长率为x,则第一次增长后的数量为a(1+x),第二次增长是以a(1+x)为基数的,两次增长后的数量为a(1+x)2;基数是a,两次平均降低率为x,则第一次降低的数量为a(1-x),第二次降低后的数量为a(1-x)2.

常用的等量关系为a(1±x)2=b.

二、病毒传播问题

例2某种电脑病毒传播速度非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?

【思路分析】设平均一台电脑会感染x台电脑,经过第一轮感染后,中毒电脑台数为(1+x)台,在第二轮传播中,每台电脑传染给x台,又有x(1+x)台电脑中毒,两轮传播后,一共有1+x+x(1+x)台电脑中毒.

解:设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑,依题意得:

1+x+(1+x)x=81,

(1+x)2=81,

x+1=9或x+1=-9,

解得x1=8或x2=-10(舍去),

则(1+x)3=(1+8)3=729>700.

答:每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑,3轮感染后,被感染的电脑会超过700台.

【方法点拨】在计算电脑传播台数的时候,不能忘记统计最初的一台电脑以及一轮传播过程中被感染的电脑,病毒传播问题常用的相等关系是“最初的传染源+每轮被感染数目之和=被感染总数”.

三、聚会握手问题

例3在某次同学聚会上,每两人都握了一次手,所有人共握手45次,有多少人参加这次聚会?

【思路分析】设x人参加聚会,用含x的代数式表示握手的次数,即可得到一个一元二次方程.

解:设有x人参加这次聚会,

根据题意可得:x(x-1)÷2=45,

x2-x-90=0,

(x-10)(x+9)=0,

x-10=0或x+9=0,

x=10或x=-9(舍去).

答:共有10名学生参加聚会.

四、票价问题

例4某旅游景点为了吸引游客,推出的团体票收费标准如下:如果团体人数不超过25人,每张票价150元,如果超过25人,每增加1人,每张票价降低2元,但每张票价不得低于100元,阳光旅行社共支付团体票价4 800元,则阳光旅行社共购买多少张团体票?

【思路分析】由于票价与人数多少有关,所以需先判断团体人数是不是超过25人,由150×25=3 750<4 800,所以团体人数超过25人.设共购买了x张团体票,则每张票的价格为150-2(x-25)元,根据总票价为4 800,可得方程x×[150-2(x-25)]=4 800.

解:∵150×25=3 750<4 800,∴购买的团体票超过25张.

设共购买了x张团体票.

由题意列方程得x×[150-2(x-25)]=4 800,

x2-100x+2 400=0,

解得x1=60,x2=40,

当x1=60时,不符题意,舍去,

x2=40符合题意,∴x=40.

答:共购买了40张团体票.

【方法点拨】本题的等量关系实际上就是表示出总票价4 800,而“总票价=每张票价×门票总数”,所以这类问题只需按照游客人数,确定出门票的单价和购买门票总数,即可列出一元二次方程.

五、不规则图形面积问题

例5(2016·江苏徐州)下图是由三个边长分别为6、9和x的正方形所组成的图形,若直线AB将它分成面积相等的两部分,则x的值是().

A.1或9 B.3或5 C.4或6 D.3或6

【思路分析】解决本题的关键是如何将不规则的图形转化为规则图形.AB将这个图形分成面积相等的两部分,但这两部分是不规则的图形,面积不容易表示,我们可以考虑将其补全为一个矩形,那么AB将矩形分成面积相等的两个直角三角形,再根据题意可知,AB两旁补上的矩形面积也相等.据此列出方程,进而求出x的值.

解:将此图形按如图方式补全为矩形,根据题意得:x(9-x)=6×3,

x2-9x+18=0,

解得:x1=3,x2=6,故选择D.

【方法点拨】在解决不规则图形的面积计算时,通常是通过分割或补全的方法,转化为规则图形,再使用规则图形的面积公式进行计算.等量关系常与图形之间的面积关系有关.

六、铁丝围矩形问题

例6(2015·四川广元)李明准备进行如下操作实验:把一根长40 cm的铁丝剪成两段,并把每段首尾相连各围成一个正方形.

(1)要使这两个正方形的面积和等于58 cm2,李明应该怎么剪这根铁丝?

(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.你认为他的说法正确吗?请说明理由.

【思路分析】(1)设其中一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形的边长为(10-x)cm,就可以表示出这两个正方形的面积,根据“两个正方形的面积之和等于58 cm2”建立方程求出其解即可;

(2)设其中一个正方形的边长为y cm,则另一个正方形的边长为(10-y)cm,就可以表示出这两个正方形的面积,根据“两个正方形的面积之和等于48 cm2”建立方程,如果方程有解就说明李明的说法错误,否则正确.

解:(1)设其中一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形的边长为(10-x)cm,

由题意得x2+(10-x)2=58.

解得x1=3,x2=7,

∴这两个正方形的周长分别为4×3=12(cm),4×7=28(cm),

∴李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段.

(2)李明的说法正确.

设其中一个正方形的边长为y cm,则另一个正方形的边长为(10-y)cm,

由题意得y2+(10-y)2=48,整理得y2-10y+26=0,

∵Δ=(-10)2-4×1×26=-4<0,

∴此方程无实数根,即这两个正方形的面积之和不能等于48 cm2.

∴李明的说法是正确的.

一元二次方程在二次函数中的应用 篇9

一、一元二次方程的建立及其在二次函数中的应用

1. 在二次函数中建立一元二次方程的常见类型

通过建立一元二次方程解决抛物线y=ax2+bx+c相关问题,是解决二次函数的问题的常用方法之一.常见类型有:建立一元二次方程ax2+bx+c=0解决抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点问题;建立一元二次方程解决抛物线y=ax2+bx+c与其他函数的交点问题;建立一元二次方程解决其他与二次函数相关的问题等等.

2. 一元二次方程的建立在二次函数中的应用

通常解答二次函数的问题时,一元二次方程的建立及其求解是解决二次函数的问题不可缺少的工具.

例1如图1,抛物线交x轴的正半轴于A点,交x轴的负半轴于B点,交y轴的负半轴于C点,O为坐标原点,这条抛物线的对称轴为.求A、B两点坐标.

略解:由,可求.故由一元二次方程易求B(-4,0),A(1,0).

例2当x=2时,抛物线y=ax2+bx+c取得最小值-1,并且抛物线与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A、B.D为线段AC的中点,E为线段AC上的一动点(A、C两端点除外),过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F.

问:是否存在△DEF与△AOC相似?若存在,求出点E的坐标;若不存在,说明理由.

略解:抛物线的解析式为y=x2-4x+3,令y=0即x2-4x+3=0,得点A(3,0)、B(1,0),线段AC的中点为D,直线AC的解析式为y=-x+3,因为△OAC是等腰直角三角形,所以要使△DEF与△O△C相似,△DEF也必须是等腰直角三角形,又由EF∥OC,因此∠DEF=45°,所以△DEF中只可能以点D、F为直角的顶点.(1)当F为直角的顶点时,EF⊥DF,这时△DEF～△ACO,DF所在直线为,由x2-4x+3=,解得(舍去),易求点.(2)当D为直角的顶点时,AC⊥DF,这时△DEF～△OAC,D为线段AC中点,DF所在直线为y=x,由x2-4x+3=x,解得(舍去),易求点.故点E的坐标为:

注:本题通过多次建立一元二次方程以达到解题的目的.

二、一元二次方程根的判别式与二次函数的关系及其二次函数中的应用

1. 一元二次方程根的判别式与二次函数的关系

由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式可知,①当△>0时,方程有两个不相等的实数根;②△=0时,方程有两个相等的实数根;③当△<0时,方程无实根.由函数图象可知,抛物线y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式有如下关系:①△>0时,抛物线与x轴有两个交点;②当△=0时,抛物线与x轴只有一个交点;③当△<0时,抛物线与x轴无交点.

2. 一元二次方程根的判别式在二次函数中的应用

(1)利用一元二次方程根的判别式解决二次函数与x轴相交相关的问题

例3已知抛物线y=x2-(m2+4)x-2m2-12,求证:不论m为何值时,抛物线与x轴一定有两个交点,且其中一交点为(-2,0).

略证:因为△=m4+16m2+64=(m2+8)2>0,所以抛物线与x轴一定有两个交点,又由求根公式可求x2-(m2+4)x-2m2-12=0的两根分别为x1=m2+6,x2=-2.因而抛物线与x轴两个交点中的其中一交点为(-2,0).

例4已知直线y=(m+1)x-2与抛物线y=-(m+1)x2+(m-5)x+6有两交点,求m的取值范围.

略解:由抛物线y=-(m+1):x2+(m-5)x+6可知,m≠-1.由直线y=(m+1)x-2与抛物线y=-(m+1)x2+(m-5)x+6有两交点,三列关于x的一元二次方程(m+1)x2+6x-8=0中,△>0即36+32(m+1)>0,所以,所以且m≠-1.

(2)利用根的判别式求二次函数的解析式

例5已知:y、q为正整数,m≠n,关于x的一元二次方程-x2+2(p+1)x-(p2+4p-3)=0有两个不相等的实数根,抛物线y=(m2+n2-3)x2-6px+2mn+q与y轴的交点到原点的距离为2,且m2-2m-1=0,n2-2n-1=0,求抛物线的解析式.

解:因为-x2+2(p+1)x-(p2+4p-3)=0有两个不相等的实数根.

所以△>0,所以p<2,又由p为正整数,所以p=1.

因为m2-2m-1=0,n2-2n-1=0,所以m、n是x2-2x-1=0的两根,所以mn=-1,m2+n2=6.

因为抛物线y=(m2+n2-3) x2-6px+2mn+q与y轴的交点到原点的距离为2,q为正整数,所以q=4.易求抛物线为:y=3x2-6x+2.

三、一元二次方程根与系数关系及其在二次函数中的应用

1. 一元二次方程根与系数关系及其与二次函数的内在联系(利用一元二次方程的根求二次函数的解析式)

如果方程的两根是x1、x2,那么,易知两根为x1、x2的一元二次方程可化为x2-(x1+x2)x+x1x2=0或者化为(x-x1)(x-x2)=0,也就是说一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)可化为a[x2-(x1+x2)x=x1x2)]0或者化为a(x-x1)(x-x2)=0.根据这一点,当抛物线经过x轴上两点(如果存在)A(x1、0)、B(x2、0)时,就不必分别将此两点代人入般式,再与第三点坐标代入一般式联立方程组去求a、b、c,只须令其解析式为:y=a(x-x1)(x-x2),再将第三坐标代入中去求a.这样求解二次函数的解O式就显得简洁方便.

2. 一元二次方程根与系数关系的应用

(1)利用一元二次方程根与系数关系解决二次函数图象与x轴的交点位置相关的问题

例6函数y=ax2+bx+c,若a>0,b<0,c<0,则这个函数与x轴的交点情况是()

(A)没有交点

(B)有两个且都在x轴的正半轴

(C)有两个且都在x轴的负半轴

(D)有两个,一个在x轴的正半轴,另一个在x轴的负半轴

分析:(1)△=b2-4ac>0可知该函数与x轴有两个交点;(2)由根与系数关系x1+x2=易得x1、x1异号两数,即一个大于0、而另一个小于0,因而二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两交点,一个在x轴的正半轴,另一个在x轴的负半轴.故选(D).

(2)求二次函数的解析式

例7已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(6,0)、(-2,0),顶点的纵坐标为求这个二次函数的解析式·

略解:令该二次函数的解析式为:y=a(x-6)(x+2),由顶点的纵坐标为,易求,所以可求出该二次函数的解析式.

生活中的一元二次方程论文 篇10

一、基础知识

1. 公式的演变过程

对于一元二次方程ax2+ bx + c = 0 (a≠0) , 当判别式Δ = b2- 4ac≥0时 , 其求根公式为 :若两根为x1, x2, 当Δ≥0时 , 则两根的关系为 :x1+ x2=-b/a , x1·x2=c/a , 根与系数的这种关系又称为韦达定理, 它的逆定理也是成立的.

2. 知识的使用方法

(1) 先把所给的一元二次方程化为一般形式;

(2) 注意二次项系数不等于0这个隐含条件;

(3) 公式的运用要满足Δ≥0这个隐含条件. 使Δ≥0这个条件成立的方法有两种, 一是先解出字母的值后代入原方程检验, 然后舍去不合题意的值. 二是先由Δ≥0确定出字母的取值范围, 然后再做取舍.

3. 三个常用结论

(1) 若系数ac < 0, 方程ax2+ bx + c = 0 (a≠0) 必有一对异号根;

(2) 若系数a + b + c = 0, 方程ax2+ bx + c = 0 (a≠0) 必有一根为1;

(3) 若系数a - b + c = 0, 方程ax2+ bx + c = 0 (a≠0) 必有一根为-1.

二、综合运用

1. 不解方程, 求与根有关的代数式的值

例1已知:α4 + α2- 1 = 0, β2+ β - 1 = 0, 求β - α2 的值.

解由题意可得 (α2) 2 + (α2) - 1 = 0, β2 + β - 1 = 0, 所以α2, β可以看作是方程x2+ x - 1 = 0的两根, 则有α2 + β = -1, α2β = -1, 有 (β - α2) 2 = β2 - 2βα2 + α4 = (β + α2) 2 - 4α2β = (-1) 2- 4× (-1) = 5, 所以

在解题时经常要运用方程根的概念, 将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.

2. 利用常用结论解决问题

例2已知:关于x的一元二次方程mx2 - (3m + 2) x + 2m + 2 = 0 (其中m > 0) . 设方程的两个实数根分别为x1, x2 (x1< x2) .若y是关于m的函数 , 且y = x2- 2x1, 求这个函数的解析式.

解因为m + [- (3m + 2) ]+ (2m + 2) = 0, 运用“②若系数a + b + c = 0, 方程ax2+ bx + c = 0 (a≠0) 必有一根为1”可得原方程的一根为1, 根据根与系数关系定理得x1·x2= (2m + 2) /m , 所以另一根为 (2m + 2) /m . 因为x1< x2且m > 0, 得 (2m + 2) / m> 1, 所以得x1= 1, x2= (2m + 2) / m= 2 +2/m , 代入y =x2- 2x1可得y = 2 +2/m- 2×1 =2/m. 即这个函数的解析式为y =2/m.

此题也可利用求根公式求出两根x1, x2, 再代入y = x2- 2x1, 也可得到结果, 但这种方法稍显烦琐且计算容易出错.

3. 利用根与系数的关系构造一元二次方程来解方程

例 3 解方程 (x2+ 3y2 - 7) 2+ |xy - 2| = 0.

解根据非负数性质得x2 + 3y2 = 7且xy = 2, 可得x2·3y2= 12, 故可以构造以x2 和3y2 为根的一元二次方程z2- 7z + 12 = 0, 解得z1= 3, z2= 4, 得, x3 = 2, x4= -2.

所以原方程的解为

巧用根与系数的关系解方程, 关键是将方程变形为“x1+ x2= -p, x1·x2= q”这种模型, 再构造相应的一元二次方程 , 从而求出原方程的解, 达到事半功倍之效.

4. 已知一根求另一根及未知数的值

例4已知一元二次方程x2 - 4x + k = 0的一根为, 求另一根x2 及k的值.

解由根与系数关系得x1+ x2= 4, x1x2= k, 即

此题还有一种方法是将已知的解代入方程之中, 求出未知数k, 然后再把k值代回原方程, 再求解这个方程的两个解, 显然这一方法计算量大, 而且容易出错. 然而运用根与系数的关系来求解, 情况就会截然不同, 很容易得出结果.

5. 由根与系数的关系求待定系数的值

例5已知x1和x2是关于x的方程kx2 + 4x - 3 = 0的两根, 若△ABC的两条边长是该方程的两根, 且这两边长的差为2, 求k的值.

本题除了要考虑未知系数的取值是否使根的判别式为非负数, 还要考虑未知系数的取值是否符合实际问题的意义.

点击中考中的一元二次方程 篇11

形式一：求解方程的根

例1 （2014·江苏泰州）2x2-4x-1=0.

【分析】观察方程的特点，寻找解决问题的方法，本题没有较为简单的方法，所以选择用公式法，在用公式法时要注意把方程首先转化为一般式以便确定系数，而且在使用公式前应先计算出判别式的值，以便判断方程是否有解.

解：∵a=2，b=-4，c=-1，

∴b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0，

∴x==，

x1=，x2=.

【点评】求一元二次方程的解作为初中数学的一种基本技能是中考中常考的知识点之一，初中阶段求一元二次方程解的方法有四种，分别是直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，希望同学们加以掌握.

形式二：判断方程是否有根

例2 （2014·江苏苏州）下列关于x的方程有实数根的是（ ）.

A. x2-x+1=0 B. x2+x+1=0

C. （x-1）（x+2）=0 D. （x-1）2+1=0

【分析】关于x的方程有实数根一般情况下是把方程转化为一般形式，然后计算判别式b2-4ac的值.当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac<0时，方程无实数根. 而方程有实数根只需验证b2-4ac≥0即可.

解：对于A、B选项，方程是一般形式，只需直接判断b2-4ac即可，很明显都不符合要求；对于C，它左边是两个一次因式的积的形式，右边为0，可以直接得出方程的两根为x1=1，x2=-2，满足要求；D选项移项后左边是完全平方，右边是-1，很明显无实数根.

例3 （2014·江苏扬州）已知关于x的方程（k-1）x2-（k-1）x+=0有两个相等的实数根，求k的值.

【分析】因为关于x的方程有两个相等的实数根，说明方程是一元二次方程，首先要满足二次项系数k-1≠0，其次要满足b2-4ac=0，这里要特别注意k-1≠0这个条件.

解：∵方程有两个相等的实数根，

∴b2-4ac=（k-1）2-4××（k-1）

=k2-3k+2=0.

∴k1=1，k2=2. 又k-1≠0，∴k≠1，故k=2.

【点评】已知方程根的情况求参数的值是中考中常出的习题，要特别注意，应用根的判别式的前提是方程为一元二次方程，这就要求二次项系数不能为0.

形式三：一元二次方程解应用题

例4 （2014·江苏南京）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第一年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.

（1） 用含x的代数式表示第3年的可变成本为______万元；

（2） 如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年的增长百分率.

【分析】对于增长率的关系式，后来数=原数×（1+增长率）n.

（1） 如果平均每年增长的百分率为x，连续增长2年后为：增长前的量×（1+x）2.

（2） 第三年的养殖成本=不变成本+可变成本，可变成本=2.6（1+x）2.

解：（1） 2.6（1+x）2.

（2） 根据题意可得：4+2.6（1+x）2=7.146.

解这个方程，得x1=0.1，x2=-2.1（不合题意，舍去）.

符合题目要求的是x=0.1=10%.

答：可变成本平均每年的增长百分率为10%.

【点评】关于增长率的问题，一般有三个常用量：原产量，增长率（降低率），增长后的产量（降低后的产量）.如果把原产量叫做基数（也叫做始数）用A表示，把增长后的产量叫做末数用B表示，增长率（下降率）用x表示，时间间隔用n表示，则增长率问题的数量关系为A（1±x）n=B，在初中阶段，n通常取2.

例5 （2014·贵州毕节）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元. 每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.

（1） 若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；

（2） 若生产第x档次的产品一天的总利润为1 120元，求该产品的质量档次.

【分析】本题属于经营预算型问题：销售利润=每件的利润×销售量. 第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元. 每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件，所以，第x档次，提高的档次是（x-1），每件的利润可以表示为6+2（x-1），销售量为95-5（x-1），所以销售利润y=[6+2（x-1）][95-5（x-1）]，由“若生产第x档次的产品一天的总利润为1 120元”，可得出方程.

解：（1） 由题意可知：

第x档次，提高的档次是（x-1）.

∴y=[6+2（x-1）][95-5（x-1）]=-10x2+180x+400（其中x是正整数，且1≤x≤10）.

（2） 由题意可得：-10x2+180x+400=1 120，

整理得：x2-18x+72=0，

解得：x1=6，x2=12（舍去）.

答：该产品的质量档次为第6档.

【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程在实际生活中的应用. 最大销售利润的问题是生活中常遇到的问题，也是和一元二次方程联系较密切的一类问题，要解决这类问题我们首先要吃透题意，确定变量，建立方程，然后结合实际选择最优方案.

一元二次方程应用题的常见题型有平均增长率型、方案设计型、经营预算型、动点运动型、分类讨论型等，但列方程解应用题的本质就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决. 应用题是中考试卷中的一种题型，而一元二次方程应用题又是常见的题型，希望同学们加以重视.

从上面的三种类型中我们可以看出一元二次方程在中考中的重要性，而作为中考考题它主要以这样三种形式出现，同学们需要逐一加以练习加强.

一元一次方程在中考中的身影 篇12

1. (2012·重庆) 已知关于x的方程2x+a-9=0的解是x=2, 则a的值为 () .

【考点】一元一次方程的解.

【分析】根据方程的解的定义, 把x=2代入方程, 解关于a的一元一次方程即可.

解:∵方程2x+a-9=0的解是x=2, ∴2×2+a-9=0, 解得a=5.

【点评】本题考查了一元一次方程的解, 把解代入方程求a的值即可, 比较简单.

【考点】一元一次方程的解法.

【分析】观察一元一次方程的解法并思考每一步骤的变形依据, 准确填写即可.

去分母, 得3 (3x+5) =2 (2x-1) . (等式性质2)

去括号, 得9x+15=4x-2. (去括号法则或乘法分配律)

(移项) , 得9x-4x=-15-2. (等式性质1)

合并, 得5x=-17. (合并同类项)

【点评】本题考查了一元一次方程的解法, 注意每一步骤的依据及易错点.

3. (2012·湘潭) 湖南省2011年赴台旅游人数达7.6万人.我市某九年级学生家长准备中考后全家3人去台湾旅游, 计划花费20 000元.设每人向旅行社交纳x元费用后, 共剩5 000元用于购物和品尝台湾美食.根据题意, 列出方程为______.

【考点】由实际问题抽象出一元一次方程.

【分析】根据每人向旅行社交纳x元费用后, 共剩5 000元用于购物和品尝台湾美食, 可得出等式方程.

解:设每人向旅行社交纳x元费用, 根据题意得出:20 000-3x=5 000, 故答案为:20 000-3x=5 000.

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程, 根据全家3人去台湾旅游, 计划花费20 000元得出等式方程是解题关键.

4. (2012·无锡) 某开发商进行商铺促销, 广告上写着如下条款:

投资者购买商铺后, 必须由开发商代为租赁5年, 5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购, 投资者可在以下两种购铺方案中做出选择:

方案一:投资者按商铺标价一次性付清铺款, 每年可以获得的租金为商铺标价的10%.

方案二:投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款, 2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%, 但要缴纳租金的10%作为管理费用.

(1) 请问:投资者选择哪种购铺方案, 5年后所获得的投资收益率更高?为什么?

(2) 对同一标价的商铺, 甲选择了购铺方案一, 乙选择了购铺方案二, 那么5年后两人获得的收益将相差5万元.问:甲、乙两人各投资了多少万元?

【考点】一元一次方程的应用;列代数式.

【分析】 (1) 利用方案的叙述, 可以得到投资的收益, 即可得到收益率并进行比较;

(2) 利用 (1) 的结论, 根据二者的差是5万元, 即可列方程求解.

(2) 由题意得0.7x-0.62x=5, 解得x=62.5.∴甲投资了62.5万元, 乙投资了53.125万元.

【点评】本题考查了列方程解应用题, 正确表示出两种方案的收益率是解题的关键.

5. (2010·南通) 关于x的方程mx-1=2x的解为正实数, 则m的取值范围是 () .

【考点】一元一次方程的解的定义及不等式的简单应用.