混沌序列（精选7篇）
混沌序列 篇1
摘要：在混沌系统中施加主动扰动是混沌从理论研究向实际应用转化的有效手段。本文利用混沌映射作为扰动信号实现有限精度的混沌序列。扰动后的系统服从均匀分布,具有更为理想的扩散特性和置乱特性。仿真结果表明了该方案的可行性。
关键词：扰动,分段线性混沌,有限精度效应,数字化混沌
0 引 言
近年来,由于混沌系统是非线性的确定系统,却具有初值敏感性,产生貌似随机的运动轨迹,使得其在信息安全领域得到广泛的应用[1,2]。
分段线性函数由于其具有均匀分布函数,用该映射产生的混沌序列具有良好的统计性质,因此得到广泛应用。但该混沌映射定义在实数域,动力学系统均定义在连续域上。在计算机和其他数字系统实际实现时,由于有限精度效应,需要对混沌系统数字化,不可避免地导致混沌系统的动力学特性退化(产生短周期效应、严重不平衡的分布函数和较低的线性复杂度等)。
目前补偿数字化混沌系统动力学特性退化的方式主要有提高精度、使用级联的多个混沌系统、对混沌系统施以主动的扰动3种。文献[6]指出:前两类方式中,提高精度的方式是一种消极的策略,难以保证混沌信号的周期完全达到指定的要求,且精度的提高并不能使混沌信号的平均周期相应地增加;而级联多个混沌系统的方式也不能完全避免短周期的出现。实际应用过程表明,对混沌系统进行扰动是目前所知的最简单有效的一种方式。
文献[3]讨论了基于分段线性tent映射的Hash函数构造,但在数字化实现时,产生不了非周期轨迹,因此,构造的密码系统存在严重的安全隐患。文献[4]对分段线性函数进行了改进,但迭代轨道在经历短暂的瞬态过程后,进入短暂的周期态。文献[5] 通过m序列的扰动实现有限精度的混沌系统,克服了混沌系统的短周期行为,避免了自相关函数上的副峰。但应看到,应用这类策略扰动的数字化混沌系统,其产生的伪随机序列周期上限会受到扰动信号周期的制约。文献[9]提出基于耦合映像格子的双向耦合tent映射,避免了短周期及趋于不动点的问题,但文献[10]利用控制参数与混沌遍历区间的对应关系,通过研究符号序列的禁止字区间与控制参数的对应关系,可以有效估计出tent映射的控制参数和初值。
如果在耦合映像格子系统:
中考虑不同的fi(xn)进行耦合,既可改善混沌系统的短周期效应又可增加破解的难度。本文提出一种基于混沌映射的数字化混沌扰动方案,可以有效地补偿数字化混沌系统动力学特性的退化,大大减小了计算机有限字长效应。并且,由于不同混沌序列的引入,使得生成的序列的安全性大大增强。
1 tent映射的特性分析
tent映射的定义为:
该混沌映射在区间[0,1]上具有如下统计特性:
a) 其Lyapunov指数大于零,系统是混沌的,输出信号满足遍历各态性、混合性和确定性;
b) 具有一致的不变分布密度函数f(x)=1;
c) 输出轨道的近似自相关函数τ(n)=δ(n)。
用该映射产生的混沌序列具有良好的统计特性,但在有限精度实现时,其呈现出一定的周期性,如图1所示。
由图1可见,α取值较小时,混沌序列呈现出一定的周期性。α取值较大时,混沌序列随机性较强,但是,经过有限次迭代以后,混沌序列的输出值为零。这是因为:运用分段线性函数产生混沌映射,所取的初值总是有限精度,经过很短的迭代过程,由于计算机精度的影响,把接近于1的数近似处理为1。因此,根据映射关系,该序列的值一直为0,从而影响了数字混沌序列的生成。并且,α=0.5时受计算机精度影响最严重,下面所有的讨论都基于这种情况。
文献[4]对分段线性tent映射进行了改进,给出扩展tent映射:
式中:α>0,β为常数且β<1,β≠α。
在双精度条件下,x0=0.345 100 031,α=0.5,选取不同的β,对式(2)进行仿真实验,结果如图2所示。
该方法避免了轨道趋于零的情况,但迭代轨道在经历了短暂的瞬态过程后,进入周期态分布。这主要是因为:迭代过程受计算机精度影响,当xi-1=0或1时,每次从β开始,β为一个常数,对应的g(xi-1)初值也是一个常数,导致了周期性的产生。
文献[9]通过耦合方式施加扰动,以此改善tent映射的分布特性。另外,由于采用了耦合映像格子系统x
2 基于混沌映射的数字化混沌扰动方案
为减小有限精度效应对混沌系统的影响,采用混沌序列对混沌系统进行扰动,扰动的结构如图3所示,其中序列d(t)通过如下方法形成扰动向量:
扰动过程为:
文献[5]讨论了基于m序列扰动的数字化混沌序列生成,其用m序列扰动Logistic映射,从而克服Logistic映射在数字化实现时的有限字长效应,但其生成的混沌序列受到m序列的周期限制。下面讨论对tent映射施加m序列扰动,观察其生成序列的特性。
根据tent映射的定义(式(1)),选取α=0.5,初值x0=0.000 1。设m序列的阶数为6,其特征多项式为1+x5+x6,周期是63。构造基于m序列扰动的tent混沌系统并进行仿真实验,如图4所示。输出结果如图5所示。与图2进行比较可知,未改进的系统响应经过一段时间后迭代结果为0,经过m序列扰动改进的系统具有一定的混沌特性,经过更长一段时间后呈现周期化。因为tent终值为0,所以呈现m序列变换后的周期。
再分析基于混沌序列扰动的数字化混沌序列生成。
首先讨论用Logistic混沌序列扰动tent映射。根据图3,将其中的扰动序列y由m序列改为Logistic混沌序列。设定tent映射α=0.5,初值x0=0.000 1,加入Logistic混沌序列扰动:
初值选为x0=0.1,参数μ=3.9。在扰动过程中,c(t)=pt(t)+d(t)可能超出[-1,1]的范围,故需要对其进行比较和处理,即:将c(t)与1比较,若大于1,则进行减1处理,否则不做改变。即:
仿真结果如图6所示,结果表明,系统在较长一段时间内呈现混沌状态。
其次讨论基于tent映射扰动的tent映射。
(1)原tent初值x0=0.000 1,α=0.5;扰动的tent初值x0=0.000 2,α=0.5。
结果如图7所示。从图7可见,由于α=0.5时tent很快趋近于0,所以当α=0.5时,基于tent映射扰动的tent映射也很快趋向于0,但与图1相比较,其周期性有所扩展。
(2)原tent初值x0=0.000 1,α=0.5;扰动的tent初值x0=0.000 2,α=0.3。结果如图8所示。
对图5、图6、图7和图8进行比较可以得到如下结论:扰动的伪随机序列随机性越强,改进后系统的短周期行为越能得到有效改善。
3 混沌伪随机序列的特性分析
下面以Logistic混沌序列扰动tent映射为例,讨论其生成序列的混沌特性。
3.1 Lyapunov指数估计
利用Lagrange中值定理,可以推得Lyapunov指数计算式为:
通过计算可知,所产生序列的Lyapunov指数约为0.67,可见,既没有改变原tent映射的混沌特性,又改善了其短周期效应。
3.2 初值敏感性
任取两个混沌映射的迭代初始值(相差仅10-15),经有限次迭代后,两个序列变得完全不同,这说明该混沌系统仍然保持了类似tent混沌映射的初值高度敏感特性,如图9所示。正因为混沌序列对初始值非常敏感,即使密钥值有微小的变化也会得到完全不同的解密结果,所以,该混沌序列适合于加解密系统。
3.3 序列的自相关及互相关性检验
序列的均值为:
其自相关函数为:
互相关函数为:
式中:{sk}和{s′k}为不同初值的2个二进制混沌序列。
实验中,选择tent映射α=0.5,初值x0=0.000 1;Logistic混沌序列初值x0=0.1,参数μ=3.9。将函数迭代10 000次,并对生成的序列进行二值化处理,得到长度为10 000的0-1序列{sk},序列{sk}具有如图10所示的类δ(·)的自相关函数和图11所示的互相关特性。
3.4 0-1平衡性分析
对3.3得到的长度为10 000的二进制随机序列{sk}进行统计,{sk}中“0”的个数为4 974,“1”的个数为5 026,两者之比为0.989 7。由此可以得出:该二进制混沌序列{sk}有均衡的0-1比。
4 结束语
本文提出的基于混沌映射的数字化混沌扰动方案能够克服数字化混沌系统的短周期效应,对系统的动力学特性退化进行了有效的补偿。该方法的引入为混沌动力学从理论模型投向实际应用提供了可行的途径。
参考文献
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全光混沌序列发生器设计 篇2
1 Logistic映射及其性质
混沌序列的产生可以通过选择一定的非线性方程f (x) , 设置合理的系统参数使得系统处于混沌区间, 就能够通过非线性方程xk+1=f (xk) 在选取一定初始值的情况下, 反复进行迭代不断地产生出混沌序列。
Logistic映射[13]是一种很重要的混沌映射, 由其产生的混沌序列具有良好的相关性, 非常适合作为CDMA系统的地址码, 可以通过Chebeshev多项式来构造Logistic映射。
Chebeshev多项式具有性质:
2 基于马赫-增德尔干涉仪的混沌序列发生器
马赫-增德尔干涉仪的结构如图1所示。
设输入光的电场强度为
其中, A是输入光电场的振幅, ω是输入光电场的角频率, il是偏振方向上的单位矢量, 输入光功率可表示为
输入光经过第一个耦合器之后, 均匀分成两路, 每一路光功率为
若经过两臂传输后, 两路光的偏振方向不发生变化, 则上下两臂的电场强度可分别表示为
式中, ϕ1和ϕ2分别是干涉仪两臂引起的相移。经过第二个耦合器后, 上下两臂的光的电场强度叠加, 则输出光的总电场强度为
或者ϕ1-ϕ2=2kπ+π (k=1, 2, 3...) (8)
当式 (8) 成立时cosϕ1+cosϕ2=0, 故不考虑此情况。当式 (7) 成立时, 输出光电场强度为
图2是N个马赫-增德尔干涉仪结合光纤延迟线和相移器构成的光混沌序列发生器示意图。入射光经过一个1×N的光分路器后, 光功率均匀分配给各支路, 马赫-增德尔干涉仪的两臂引起的相移满足条件
且每个干涉仪的两个臂分别引起的相移满足
光纤延迟线的作用是将光脉冲传输到相应的位置, 延迟线之后的相移器的作用是抵消光纤延迟线引起的相移。这样, 此混沌序列发生器输出的电场强度E1, E2, ..., EN是按Logistic映射产生的模拟双极性混沌序列。
3 结论
基于混沌序列的数字水印研究 篇3
1数字水印技术的定义及特征
数字水印技术, 就是将文字、音频以及视频等各类信息标识, 通过处理信号模式将这项标识嵌入到原始的数据之中。该标识就是利用照度、空间以及频率等各种匿藏不可见, 仅仅通过初始设定的仪器设备、专业技术或者检测设备等才可以正常提取。将标识信息嵌入到原始作品中, 就必须要具有基本的特征:
首先要具有安全性, 嵌入进去的水印标识进入到原始数据中, 是被隐藏起来的, 这样就防止在计算过程中因格式变化丢失了水印数据。
其次要具有隐蔽性;作品中具有了数字水印必定会降低质量, 同时极难察觉。
最后要具备鲁棒性, 所得水印信息就必定要具备一定的抗干扰或者具有抗攻击能力, 即经过多次攻击之后, 数字水印能够确保完整特性, 还必须要确保能够正确识别。事实上, 许多水印算法均具备了这类特征, 不仅可以抵抗各种攻击与干扰, 有效保障了信号质量, 隐藏大量数据。
事实上, 数字水印技术即将数字、文字、音频、图像以及视频等各种标识信息, 同时把这项信息嵌入到了原始的数据信息, 实现了文件控制、身份识别、数据标识、信息保密传递以及产品防伪等各种作用。通过辨别嵌入信息, 有效识别了原始数据信息且提供了依据。
2基于混沌序列的数字水印技术
2.1混沌概念及Logistic映射
2.1.1混沌概念
混沌主要是出现在确定性的系统中, 似乎处于随机但是又不规则的运动, 从描述角度来看, 这个行为就具有不确定性, 即不可预测以及不重复性, 这类现象就称之为混度现象。深层次研究来看, 混沌属于非线性动力系统的固有属性, 同时也属于非线性系统普遍存在现象, 所以现实生活及实际工程技术的应用中, 混沌现象出处存在。
2.1.2 Logistic映射
这类映射具有典型性, 属于较为广泛的动力系统, 从一维离散时间的非线性动力中进行定义:
xk+1=t (xk) , 其中xk∈v, k=0, 1, 2……, 称之为状态。t:V——V属于一个映射, 当把当前状态xk映射至下一个状态xk+1。将这种映射通过一次次重复就得到了t, 最终结果就成为一个序列{xk;k=0, 1, 2, ……}, 这个序列就属于动力系统的轨迹。假如。t:V——V能够满足三个条件, 那就是要确保初始条件具备敏感的依赖性, 拓扑具有传递特性;周起点处于V中属于稠密的。就可以说所对应动力系统处于V上为混度的。
Logistic映射比较典型, 也属于研究最广泛动力系统。因具备即为复杂动力学行为, 在通信安领域中该系统就得到非常广泛的应用, 方程式为:xk+1=uxk (1-xk)
在该式中, 0≤u≤4为分枝参数, 而xk∈ (0, 1) , k=0, 1, 2……, 即为状态。从混沌动力研究来看, 3.5699456<u 4时, Logistic映射即为混沌态。通过初始条件x0处于Logistic映射作用下, 产生的序列{Xk;k=0, 1, 2……}, 这个序列具备了非周期以及不收敛性质, 对初始值的敏感性不具备相关性。
2.2数字水印嵌入和提取
2.2.1水印嵌入
从一般处理规则看, 需要嵌入的水印图像大小是不能够超过载体图像, 假设载体图像是I (N*N) , 那么水印就是二值图像是W (M*M) , 就需要满足N=2p.M (其中P属于正整数) 。其操作的步骤如下所示:
(1) 针对原始图像实施三级小波变换处理, 从而获取出了细节子图, 但是这些子图的分辨率不同, 还要把这些细节子图分割为不重叠的小图块, 并且子图快的大小以及水印都相同, 比如N=256, 那载体图就可以嵌入图像水印, 其信息为16*16比特。
(2) 获取有意义的水印图像W, 然后采用了Arnold矩阵的置乱技术预处理嵌入图像而获得水印信息W’;
(3) 通过Logistic混沌技术产生出一个混沌序列, 之后加入Arnold置乱后生成的图像水印W’之中, 从而产生出密文W*’。
(4) 把密文W*’中数据分别和每个字图块实施分块组合。
(5) 重新拼装所生成的子图块, 从而就形成了一个完整的图形, 选择小波变换产生出了嵌入后的新图像。嵌入了信息后对新图像实施反变换, 就可以从中获取新的图像, 这个图像也就是嵌入后水印图像I’。
2.2.2提取水印
提取水影过程也就是进行逆向操作。
(1) 对检测图像实施三级小波变换 (检测图像即为含有水印图像) , 从而获取的细节子图, 之后将各细节子图划分为2的n次方, 但是所得到的方块具有独立性, 彼此不能够重叠。
(2) 依照嵌入水印算法规则, 对原始图像与检测图像二者作差运算, 就能够获取出新的嵌入序列, 然后对序列实施二值化, 就能够获取到置乱之后的新水印。从而就获得小波变化域里所提取来的置乱水印。
(3) 就是针对W*’进行Arnold的逆置乱操作, 就能够从中获取到具有有意义的水印W*.
图像经过了几个流程的处理后就能够得到恢复之后的水印图像。最终结果如下图1、2所示。比较原始图像和嵌入水印后图像。
从上面分析来看, 人们通过眼睛是不可能观察到图像中的水印, 一旦峰值的信噪比值较高, 其透明性就越好, 由此可见这种算法具备良好的无法觉察性。
3结束语
在信息化时代, 确保信息的安全以及保密是一项重要的研究项目。而数字水印技术有效弥补了信息安全存在的漏洞。本文对采用小波变化方式处理载体图像, 转换成子图块之后再次使用小波反变换对图像进行加密, 从而实现了基于混沌的数字水印技术的应用。
参考文献
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一种改进的混沌扩频序列研究 篇4
在传统的扩频通信系统中,通常采用PN序列(伪随机序列)作为扩频序列。然而,这种扩频序列具有一定的周期性,所以它的码数量很有限,抗截获性也较差。混沌系统对初始值有着敏感的依赖性,可以提供数量众多的、非相关、类随机而又可再生的信号。因此,混沌序列的研究为选择扩频序列开辟了新途径。近年来,把非线性动态系统的混沌映射用于产生扩频通信中的扩频码,是国内外通信领域研究的热点[1]。目前,文献中研究的混沌扩频通信方案大多基于单一混沌映射进行设计和分析[2,3]。随着混沌理论的深入研究和广泛使用,传统的单一混沌映射产生的序列作为随机序列的局限性逐渐暴露出来。传统的混沌序列生成简单,随着研究传统混沌序列的破译技术逐渐成熟,敌方很可能根据相关信息,得到混沌的结构模型而实现被破译[4,5,6]。这里研究了采用双Logistic映射来产生复合混沌序列,映射的初值由一个变成了两个,使初值空间增加了一倍,提高了破译的难度,同时该序列的各项统计性能良好。
1 Logistic映射混沌序列
Logistic映射是一种典型的混沌映射,它是在实际系统中存在的最简单的非线性差分方程,是一个被广泛研究的动态系统,能够表现出混沌行为[7,8]。其方程定义如下:
式中:μ为分叉参数,其中,Logistic映射的动态过程依μ值的变化而激烈变化。1≤μ≤4,当3.569 9≤μ≤4时,系统处于混沌状态。
混沌运动的基本特点是运动对初值条件极为敏感。两个很靠近的初值所产生的轨道,随时间推移按指数方式分离。这种指数分离现象会导致初始条件中很小的测量误差迅速扩大,使得原本确定性的动力系统完全失去长期预测能力。如图1所示,两条初始状态相差10-4的Logistic映射轨道,迭代100次以后,在相空间中完全分离,成为两条看似毫无关系的轨道。
Logistic序列具有形式简单,对初始条件敏感等特性。初值的微小差异,都会导致一定次数迭代运算以后的结果产生很大差别。只要设定迭代次数、初始值和结构参数,就可以提供数量众多的伪随机码,并且序列具有较理想的相关特性、伪随机性能。
2 一种基于双Logistic映射的复合混沌序列
为改进传统混沌序列的性能,文献[9]提出了一种将移位寄存器产生的m序列与混沌系统生成的混沌二进制序列相异或的方法得到新型混沌序列。该方法对计算机有限精度所带来的短周期行为有一定的改善,但该方法存在着一定的局限性:一是由两种不同体制生成的随机序列,存在着实现复杂的缺点;二是对混沌实值序列量化成二进制信号后与m序列复合,序列的复杂度不高;三是系统分布以及相关性能取决于附加的m序列,而不是混沌系统本身。本文研究一种将Logistic混沌映射复合使用来产生混沌实值序列的新方法,其原理是直接对两个不同初始值的混沌序列求差,生成新的混沌序列。这种新的序列由两个初值决定,初值空间更大,随机性更强,其原理图如图2所示。
具体的实现如下:取两个Logistic映射,参数μ都取4,初始值取不同的值,得到两个混沌实值序列{xn}和{yn},再对得到的两个实值序列求差值,这样便生成一种新的复合混沌序列{zn},即:
根据Logistic映射表达式(1)知,初值选取需满足x0≠y0,否则迭代得到的序列{xn}={yn},序列{zn}将为0。由于Logistic映射的迭代序列{xn}和{yn}都在(0,1)范围中,所以序列{zn}在范围(-1,+1)之间。取μ=4时,由初值为0.400 00和0.400 01两个Logistic映射产生的复合混沌序列{zn}的时序图如图3所示,序列{zn}呈现出了良好的混沌状态。
实值序列是由混沌映射直接产生的序列,但实值序列不利于数字传输和计算机处理,通常对实值序列进行适当的处理,产生二进制序列,采用二值量化序列法对序列进行量化。基于双Logistic映射的实值序列取值区间在(-1,+1),所以进行量化时只需取门限电平0。量化公式为:
序列{z′n}就是量化后的二进制序列。通过以上处理,得到所需要的二进制伪随机序列{z′n},与单一的Logistic映射相比,复合混沌序列由两个初始值决定,输出序列具有更强的随机性和不可预测性,有效地增强了系统的保密性。
3 复合混沌序列性能分析
3.1 初值敏感性分析
初始值的敏感性是混沌系统一个重要的特性。若初始值产生微小的差异,则差异随迭代次数呈指数增长,尽管迭代序列由初值和迭代函数完全决定,但随迭代次数的增加,它与随机序列并无差别。
混沌序列对初始值非常敏感,而双Logistic映射由两个初始值决定,任意一个初值的细微变化,都会使生成的混沌序列几乎完全不一样,所以双Logistic映射比Logistic混沌映射有更大的初值空间、更大的初值敏感性。取μ=4,序列1由初值为0.400 00和0.400 01两个Logistic映射产生,序列2由初值为0.400 02和0.400 03两个Logistic映射产生,两个序列之差如图4所示。大约经30次迭代后,两个序列变得完全不同。这说明双Logistic映射混沌系统具有更大的初值空间、高度的初值敏感性。
3.2 平衡性分析
在直接扩频系统中,应尽量选平衡扩频序列,即序列中“1”码元数目应与“0”码元数目保持大体相当,不平衡序列的载波泄漏很大。表1给出了Logistic混沌映射和双Logistic映射在不同长度下的平衡性。两种序列的μ=4,其中Logistic映射混沌序列的初值为0.400 00,双Logistic映射的初值为0.400 00和0.400 01。从表1可以看出,双Logistic映射产生的混沌扩频序列,正负码元的个数基本趋于平衡,平衡性优越于单一的Logistic映射产生的序列。
3.3 相关性分析
扩频序列的自相关函数对扩频通信系统的抗多径干扰能力有很大影响,理想的扩频序列的自相关函数是一个冲击函数δ,即其自相关旁瓣应很小,接近于0。对Logistic混沌序列和本文基于双Logistic映射产生的混沌序列分别求自相关函数,如图5和图6所示。两种序列的μ都为4,迭代次数为1 023,其中Logistic映射混沌序列的初值为0.400 00,双Logistic映射的初值为0.400 00和0.400 01。从图6中可以看出,双Logistic映射的自相关性函数更加近似于δ函数,具有更加理想的自相关特性。
3.4 功率谱密度分析
由于混沌序列类似白噪声,故可视为平稳过程。根据维纳-辛钦定理,随机序列的功率谱密度可以利用其自相关函数的傅里叶变换得到。通过对自相关函数做FFT方法实现,给出两种序列的功率谱特性,如图7,图8所示,取值与上文相同。通常利用信号的功率谱密度来研究信号的周期性,检验信号中是否存在明显的周期。如果信号的随机性强,不存在明显的周期性,则其功率谱密度曲线较平坦,不存在明显的尖峰。从图7中可以看出,双Logistic序列的功率谱密度更加平坦,而图8的Logistic功率谱密度具有明显的尖峰。所以双Logistic序列不具有明显的周期性,表现出良好的随机性。
4 结 语
利用不同初值的两个Logistic混沌映射生成一种复合混沌序列,有效扩大了初值空间,使产生的序列更加混乱和不可预测,克服了单一的Logistic映射攻击者对系统状态的预测,相应地增强了系统的安全性,研究结果也显示该混沌序列的各项特性均满足伪随机序列的要求,具有良好的统计特性,适宜作为通信的扩频序列。
摘要：通过对混沌映射的研究,针对单一映射产生的扩频序列其系统复杂度低,容易通过反向逆推估计出系统初值的缺点,以Logistic映射为基础,构造出一种新的映射。该映射容易被数字电路实现,且具有较高的系统复杂度。该序列由两个不同初始值的两个Logistic映射复合而成,具有较高的安全性。在此,对复合混沌序列初值敏感性、平衡性、自相关性、功率谱密度进行了分析。研究结果表明,这种新型的序列具有较高的初值敏感性、优良的平衡性、自相关性和伪随机性,是一种有效和可靠的扩频序列。
关键词：混沌序列,Logistic映射,直接序列扩频,相关性分析
参考文献
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混沌序列 篇5
混沌现象是指在非线性动态系统中出现的确定性和类似随机的过程,这种过程非周期、不收敛,但有界,并且对初始值和外部参数有极其敏感的依赖性,即初始条件的微小差异会随着时间的推移,以李雅普诺夫指数规律相互分离,最终变成运动轨迹或特性完全不同的2条轨迹。混沌是一种复杂的动力学系统,可以提供数量众多、非相关、类随机、易于产生和再生的信号,并且只要一个映射公式和初始值就可以产生混沌序列,不必存储各个序列点的值。混沌之所以能被用于加密技术,是因为其具有如下独特性质:
1)内在随机性:它与外在随机性的不同之处在于,混沌系统是由完全确定性的方程来描述的,无需附加任何随机元素,但系统仍会表现出类似随机性的行为。
2)对初始条件的敏感依赖性:只要初始条件稍有差别或微小扰动就会使系统的最终状态出现巨大的差异。
3)长期不可预测性:由于初始条件的微小差异可能对以后的时间演化产生巨大的影响,因此不能长期预测将来某一时刻的动力学特性。
4)确定性:混沌是由确定性系统产生的,是一个真实的物理系。当我们取相同的初值时,产生的混沌序列是一定的。
5)遍历性:混沌变量能在一定范围内按其自身规律不重复的遍历所有的状态。
混沌是确定系统中出现的类随机现象,混沌系统具有对初始条件和系统参数的极端敏感性,以及混沌序列长期演化结果的不可预测性,这些特性使得混沌系统极具密码学价值,非常适用于序列加密。
2 混沌序列加密思想
混沌序列加密的基本原理是利用混沌系统产生的混沌序列作为加密密钥序列,利用该序列对明文进行加密,密文经信道传输,接收方利用同样的混沌系统产生的解密密钥把明文提取出来,实现解密。也就是说混沌序列加密的关键,就是利用混沌序列做出密钥流生成器,混沌序列加密算法主要研究混沌密钥流的生成算法。
混沌系统是确定性非线性系统产生的类似随机性的行为,它属于确定性系统而又难于预测。混沌系统对初值和系统参数极端敏感,相同的混沌系统在具有微小差别的初始条件下,系统的长期行为将发生巨大的变化;混沌系统的长期行为不可预测;混沌本身是一个确定性非线性系统产生的类似随机性的行为,只要系统参数和初始条件给定,混沌现象本身可以重复;混沌具有伪随机性,类似噪声。
利用混沌系统,可以产生周期无限长、非相关、类似噪声、又确定可以再生的混沌序列,这种序列难于重构和预测,从而使敌方和非法入侵者难于破译,非常适合应用于信息的加密,其随机性、抗破译能力均优于传统的随机序列。这些我使得混沌序列能够成为一种优秀的加密序列,产生非常好的加密效果。
3 混沌序列加密方法设计与实现
3.1 混沌序列加密方法和特点
首先,利用混沌系统产生序列,再对混沌序列进行适当的处理,然后利用处理后得到的序列与明文进行作用,得到密文。密钥为混沌系统的初始值或系统参数。
为了取得更好的加密效果,我们可以利用多种混沌系统对同一明文进行多次加密,还可以利用经典密码学的方法对序列进行加密处理,从而提高加密效果,极大地增加非法入侵者破译的难度。解密是加密的逆过程,我们可以利用密钥产生混沌序列,与密文进行相互作用从而恢复出明文信息。
混沌序列加密方法的特点是:
1)有非常好的随机性,类似噪声,难于和破译,其随机性远远优于传统的随机序列发生器产生的随机序列。
2)密钥空间大,混沌系统一般有多个参数。
3)混沌系统难于重构,因此,混沌序列也难于重构,从而抗破译能力比传统的随机序列发生器产生的随机序列强。
4)混沌序列产生方便,与非线性反馈移位寄存器相比,提供了更大的灵活性。
3.2 混沌序列加密方法设计与实现
Logistic序列的遍历统计特性等同于零均值白噪声,具有良好的随机性、相关性和复杂性,使得对其进行正确的长期预测不可能,可用于信息加密。
假设{Pn}是明文信息序列,{Kn}是密钥信息序列,由Logistic方程迭代产生后进行处理后所得,{Cn}是密文信息序列。
加密算法设计为:{Cn}={Pn}⊕{Kn}
解密算法设计为:{Pn}={Cn}⊕{Kn}
基于Logistic混沌映射的加密原理图如图1所示,解密过程是加密的逆过程。初始值x0和u是Logistic方程的参数,同时是加密系统的密钥参数。
因为混沌系统对初始条件的敏感依赖性,对于仅有微小差别的初值,混沌系统在迭代了一定次数后便会产生截然不同的混沌序列。为了使相近初始值的混沌序列互相间更加不相关,本方案的混沌序列经过1000次以上迭代后取值,可以有效地放大误差使得对初始条件的攻击无效,是加密效果更好,安全性更高。由于加密的是数字量,所以必须使用一种方法将这个由实数构成的序列{Xn}映射成由整数构成的伪随机序列来充当加密密钥。这种映射中最简单的一种莫过于选取Xn小数点后的几位有效数字构成整数。
4 软件仿真结果
以Logistic为例研究用离散混沌系统产生混沌序列,对文本、图像信息进行加密解密仿真。程序界面如图2所示。
4.1 对文本文件加密解密
取密钥参数u=3.8999,x0=0.736,加密解密文本文件仿真结果如图3,a为加密前的明文,b为加密后的密文,c为正确解密的明文。由于混沌系统对初始条件敏感依赖性,所以改变x0=0.7361,解密后的明文如图d)。可见,即使密钥存在细微的差别,也不能够对密文正确地解密。
4.2 对图像文件加密解密
对一幅256×256Lena图像进行加密解密仿真结果如图4所示。a)是原始图像,加密后的结果如图b)所示,采用相同的密钥解密后的结果如图c),当密钥存在微小的差别时,解密后的结果如图d)所示。
5 安全性分析
因为Logistic是最简单的一维混沌映射,实现非常简单,所以该加密方案具有很好的运算速度。因此,在实时性要求高的情况下可以采用Logistic映射的混沌加密方案。与现有的序列密码加密方法相比,基于混沌系统的序列密码加密方法可以说是一种安全性较高、有效的加密方法。
由于有限精度效应造成的短周期现象,低维混沌序列的保密性是不够的。混沌序列的有限精度实现是决定它能否在实际中应用的关键。
摘要：为获得一种基于混沌序列的图像加密算法,提出混沌序列对称加密算法对数字图像进行加密。设计了基于Logistic映射模型的混沌序列对称加密算法,实现对数字图像的混沌加密及解密。实验结果证明,算法简单易行,安全性好。
关键词：图像加密,混沌序列,加密,Logistic映射
参考文献
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[6]关新平.混沌控制及其在保密通信中的应用[M].国防工业出版社,2002:62-63.
时间序列的混沌识别方法研究 篇6
在计算机技术快速发展和应用普及的今天,大量的时间序列数据被存储在计算机上,使得我们拥有海量的时间序列数据。时间序列按其性态可分为:
(1)有确定性规律,即可用某个函数或方程描述的;
(2)完全随机的;
(3)具有一种分数维的无穷嵌套自相似结构的,即混沌的。
对于确定性系统,由于描述它的运动方程是确定性方程,容易建模,因此它的行为是可以预测的。对于完全随机的时间序列,虽然采用概率统计方法从理论上可以对其运动行为进行预测,但由于系统参量数目庞大,因此实际上很难准确对其进行测量。混沌时间序列是由一个低维的具有非线性和确定性的动态系统产生的外表像随机信号但并非是随机信号的的时间序列,这些序列中存在着一些与产生该序列的非线性动力学系统相关的固有的确定性和一些几何拓扑不变性,由于这些相关性使得系统似乎有着某种记忆能力,因而具有一定的可预测性,其可预测时间尺度的长短与系统的复杂性有关。
分析观测时间序列的演变规律是掌握系统动力学特性的重要手段。自从20世纪60年代以来,来自天文、水文、气象等领域如太阳黑子、径流量、降雨量等时间序列都被发现含有混沌特性。事实上,自然界中开放的、远离平衡的系统,非线性相互作用的系统都可能出现混沌现象。
确认时间序列是否来自混沌系统,即是否有混沌吸引子存在,一般从混沌吸引子的两个基本特征来判断[1]:
(1)系统相空间中的吸引子是否具有自相似结构的分形维特征;
(2)系统对于初始条件是否具有敏感性。
如果所研究的吸引子具备这两个特征,那么,我们就可以认为该吸引子是混沌吸引子,系统的行为是混沌的。一般从定性、定量两个途径来进行时间序列性质的鉴别,定性分析方法有:相图法、功率谱法(频谱分析法)、Poincare映象法、替代数据法;定量分析方法有:饱和关联维数法(分数维方法)、lyapunov指数法和K熵法。
1 定性分析方法
实际系统中,常常同时存在随机性成分和确定性成分,所以要绝对区分序列是混沌的、周期的还是随机的不太可能。定性分析方法主要是根据观测序列在时域或频域内表现出的特殊性质对序列的主要特性进行粗略分析。常用的有相图法、功率谱法、庞加莱截面法和代替数据法等。
1.1 相图法
相图可以描述系统状态在全部时间内的变化,反映系统吸引子的空间结构。若系统的相空间轨迹通常表现为在有限空间内不断伸长和折叠形成的回复性永不相交的非周期运动,不同于毫无规律的随机运动,但也不是周期函数的重复性运动,此时可以判断系统可能存在奇怪吸引子,该系统是混沌的。这是观察混沌运动的最简单最直观的方法,但不精确可靠[2]。
1.2 频谱分析法
对于实际测量得到的时间序列B(t)可以求得该变量的功率谱密度函数S(ω)。首先求得变量的频谱为[3]:
相应的功率谱密度函数为
由此可得该变量的功率谱图,各种运动对应的功率谱图是不一样的。当变量为周期运动或拟周期运动时,其相应的功率谱图为一条垂直的直线或一个很窄的尖脉冲;当变量为白噪声时,功率谱为一条连续的曲线;当变量的运动为混沌运动时,功率谱为一条连续的曲线,但不是水平线。因此,可以用功率谱来判断系统是否为混沌系统。周期运动的功率谱是离散的,仅包括基频和其谐波或分频。随机白噪声和混沌的功率谱则是连续的,混沌序列的功率谱具有连续性和宽峰特征。但在实际工作中,对于受到噪声(尤其是有色噪声)影响,或者周期很长但数据有限的序列,很难从谱特征上区分其运动模式。
1.3 庞加莱映象法
庞加莱截面法是法国数学家庞加莱(Poincare)利用几何的观点,对非线性动力学系统进行了深入地研究,总结出了该方法。
在相空间中适当选取一截面(要有利于观察系统的运动特征和变化,如截面不能和轨线相切,更不能包含轨线),称此截面为Poincare截面,相空间的连续轨迹与Poincare截面的交点称为截点。设记录得到的庞加莱点为:B0,B1,…Bn,…。这样,就在Poincare截面上让系统连续运动,降为低维的离散点之间的映射
上述T称为庞加莱映射[4]。
当系统的运动为周期运动时,在Poincare截面上简化为n个点(称为周期n运动);当系统的运动为准周期运动时,在Poincare截面上是一条闭曲线;当系统的运动为非周期的混沌运动时,在Poincare截面上是一些成片的具有分形结构的密集点。
因此Poincare映射可用来判断一个系统是否为混沌系统。显然,它是一种比较直观的方法。庞加莱映射常常在已知动力学系统的条件下,作为区分周期、准周期与混沌的判据;但在不知动力学系统的条件下,由于吸引子的相空间重构较困难且时间序列的嵌入维也难以确定,因此,仅由单一时间序列只能绘制出吸引子的二维庞加莱截面。此时,庞加莱映射一般只能给出时间序列相空间轨道的某一截面的直观描述,而不能区别混沌和完全随机的运动。
1.4 代替数据法
假设(称虚假设,Null hypothesis)测得的时间序列数据是线性的,以适当的方式把此数据打乱(随机化),但又保持与原有数据有相同的一些性质,我们称这样经过随机化得到的数据是原数据的代替数据(surrogate data)。如果虚假设成立,由于两数据有相同的一些性质,它们的特征量取值应很接近。如果原数据服从确定性的非线性规律,则虚假设不成立,由两数据算得特征量的值应该有较大的差别。所以只要比较原数据与代替数据特征量取值的差别大小,即可判断原数据是否服从确定性的非线性规律。如果特征量是分维,而且原数据的分维值是较小(如小于3)的非整数,由代替数据计算出来的分维值却与之相差很大,则可认为原数据是低维混沌。反之,若两者分维值都较大而且相差不多,则原数据很可能就是噪声[4]。
2 定量分析方法
描述混沌系统的重要特性指标包括最大Lyapunov指数、Kolmogorov熵、关联维数等。系统是否发生混沌运动,则可用这些特性指标定量分析,从而进行混沌识别。
2.1 lya punov指数法
混沌运动的基本特点是运动对初始条件极为敏感,即从两个相邻点出发的轨道,经过一段时间后,系统按指数级迅速分离,Lyapunov指数就是定量描述这一现象的量。Lyapunov指数的定义如下[5]:
对n维相空间中的连续动力学系统,考虑一个为xn为中心,ε(xn)为半径的n维无穷小超球面的长时间演变行为,其中ε(x0)≠0。随着时间的变化,由于流形的局部变形的本质,球面会逐渐演化成为一个超椭球面。按椭球第i个主轴的长度εi(t)可定义系统的第i个李雅普诺夫指数为或定义为
当Lyapunov指数为正,则相邻轨道随着时间演化分离,长时间行为对初始条件敏感,运动呈混沌状态;当Lyapunov指数为负,相邻轨道随着时间演化靠拢,相体积收缩,运动稳定,且对初始条件不敏感;当Lyapunov指数为零,则随着时间演化相邻轨道距离保持不变,对应于稳定边界,属于一种临界情况。
混沌系统相邻的轨道是以指数形式分离的,而Lyapunov指数的个数一般与重构相空间的维数相同。但混沌系统的维数是未知的,因此计算Lyapunov指数是基于相空间的重构的。在实际应用中,一般是计算最大Lyapunov指数。然而单一时间序列计算Lyapunov指数却较困难,一般的方法有小数据量法[5]、Wolf方法[6]、jacobian法[7]等。由于最大Lyapunov指数的计算结果并不是直接得到的,而是从曲线图形中拟合直线部分得到,这种分析结果往往具有很大的变化幅度。
2.2 Kolmogorov熵
Kolmogrov熵(简称K熵)是刻画混沌系统的一个重要量。K熵代表了系统信息产生的频率,描述了系统运动的混乱或无规则的程度,可以用于混沌特征的识别及混沌程度的整体度量。K熵定义如下[8]:
设动力系统奇怪吸引子在d维相空间上轨道为x(t)={x1(t),x2(t),…xd(t)},把相空间划分为n个尺寸为ε的单元,则有单元序列b1*…bi*…bn*。以在时间间隔τ观察系统的状态,设pi是x(iτ)落在第i个单元bi中的概率,根据香农公式:
它正比于以精度ε确定系统在特殊轨道b1*…bi*…bn*所需要的信息。因此,如果已知系统先前处于b1*…bi*…bn*,则(Kn+1-Kn+1)表示要预报系统将会处于单元b*n+1中所需要的附加信息,这意味着(Kn+1-Kn+1)度量了系统从时间(n-1)ε到nε的信息损失。
K熵定义为信息的平均损失率:
由于信息是描述系统不确定程度的物理量,信息量越大则信息的损失速率越大,其不确定程度也就越大。所以,在不同类型的动力学系统中,K熵的数值是不同的。K熵的数值可以用来区分规则运动、混沌运动和随机运动。对于确定性系统规则运动(包括不动点、极限环、环面),系统表现周期性,不产生新的信息,K熵为0;对于随机运动,其K熵趋于无穷;在混沌运动系统中,K为正常数,且K熵越大,那么信息的损失速率越大,系统的混沌程度越大或者说系统越复杂。
目前,有关从时间序列来计算K熵数值的文献很少,已经报导的计算方法主要有两种:一种是Schouten等人提出的最大似然算法[9];另一种是关联积分算法[10]。
2.3 关联维数法
关联维数法考察关联维数随嵌入维数增加的关联积分图形。混沌时间序列的关联积分是呈指数衰减的,其关联维数作为关联积分的幂指数,随嵌入维数的增加逐渐趋于一个定值,当达到某个特定的嵌入维数后,基本不再增大。而噪声时间序列不是指数衰减的,所以可以通过考察关联积分的图形来判断是混沌或是噪声序列。
考察m维相空间中的一对相点:
设它们之间的距离,即欧氏模为rij(m),显然rij(m)是相空间维数m的函数,即:
给定一临界距离r,距离小于r的点对数在所有点对中所占比例记为关联积分C(r,m):
式中,N为总相点数,H(.)为Heaviside函数,定义如下:
关联维数的定义为[11]:
关联维数是对相空间中吸引子复杂程度的度量,同时也是混沌识别的一种方法。对于随机序列,随着嵌入维数的升高,关联维数沿对角线不断增大;而对于混沌序列,随着嵌入维数的升高,关联维数会出现饱和现象。因而可以根据关联维数是否具有饱和现象来区分混沌与随机序列,此方法即为饱和关联维数法。
Grassberger和Procaccia利用嵌入理论和重构相空间技术,提出了从时间序列直接计算关联维数的算法[11]。关联维数也是一种分形维,它具有保守性、计算简洁性和稳定性等特点。但是G-P算法也存在一些缺点,如要求数据量很大且数据不含有噪声,而实验数据或多或少都含有噪声,因此利用G-P算法得到的关联维数存在较大的误差。到目前为止,研究者们已经达成共识:混沌动力系统的分形维数越大,所需要的数据量就越多。对于高维系统,G-P算法受计算代价的限制将难以实际应用[12]。
3 结论
判断给定的时间序列是混沌还是随机信号,对于正确认识事物的规律性具有重要的意义。但是由于观测方法和观测手段等不可避免的误差,使得噪声与混沌往往并存,一个时间序列中既有确定性成分也有随机性成分。因此,时间序列性质的鉴别或混沌性识别主要指在某一置信度下判断时间序列以何种成分为主或研究时间序列是否为混沌序列。
围绕混沌系统可以由混沌吸引子的存在诊断的特点,从定量和定性两个方面讨论了一些时间序列的混沌识别方法。从文中简要介绍中可看出,上述方法基本都是从某一个方面判别时间序列是否为混沌序列的必要条件,而非充分条件,因此需要采用尽可能多的方法相互补充和印证,从不同方面进行鉴别。此外还有一些基本方法,如主分量分析(PCA)法、局部可变神经网络法、C-C方法、频闪法等,这里不做介绍,具体可参见文献[3,4,13,14]。
摘要：对于貌似无规则变化的复杂的时间序列,要鉴别它究竟是混沌的还是随机的,是一件非常有意义的工作。混沌系统通常可以由混沌吸引子的存在诊断,围绕这个特点,讨论了一些时间序列的混沌识别方法。
跳频码序列混沌预测的性能研究 篇7
关键词：电子战,跳频码序列,混沌预测,性能
0 引 言
作为一种有效的抗干扰通信手段,跳频通信已经在军事领域得到了广泛的应用。跳频通信的跳频码序列(跳频图案)是随时间一直伪随机变化的,所以具有很强的抗干扰能力。为了产生最佳干扰信号,对于目标跳频通信网如何快速又准确地测量跳频码,一直是现代电子战理论研究工作的重点之一。
文献[1,2]通过证明跳频通信的跳频码序列具有混沌特性,提出了利用混沌时间序列的短期可预测性来对跳频码序列进行预测的算法模型。
这些文献的研究工作有一个假设前提,即跳频码是由m序列、RS序列或者混沌序列等直接生成的。因此只要证明了m序列、RS序列生成的跳频码序列是混沌的,就可以利用混沌时间序列预测领域的成果来构造跳频码序列预测的模型了。然而,与这个假设前提有偏差的是,现代主流的军用跳频通信系统事实上大都采用的是信息跳片段结合同步跳片段的模式来构成完整的跳频码序列。其中,信息跳确实是由m序列、RS序列或者混沌序列直接生成的。但不幸的是,出于跳频同步的功能需要,每个同步跳片段中的跳频码序列都必须具有周期性,如图1所示。
图1中,跳频频率集点数共32点,跳频同步频率集频率点数共4点。样本中共包含2个跳频同步。跳频同步系统工作时,在当前的同步频率集中按照一定的顺序,遍历每个频率点2次。下次同步系统工作时,按照一定规律,先改变同步频率集中的一个频点值,然后再对新同步频率集执行顺序遍历2次。 以此类推,同步将贯穿整个跳频通信过程。
因为,实际跳频通信的跳频码序列和假设的模型存在着差别,所以,迫切需要重新对跳频码序列预测技术进行分析和评估。
1 跳频通信和实际跳频码序列模型
跳频通信是扩频通信方式之一,通信中使用的载波频率受伪随机码的控制而随机跳变。从通信技术的实现方式来说,跳频是一种用码序列进行多频频移键控的通信方式。
跳频通信能正常工作的前提是,收发双方必须首先建立和保持跳频同步。同步主要指频率同步,即跳频接收机和跳频发射机在相同的时刻使用相同的频率。历史上出现过多种多样的跳频同步方式。
由于不需要专门的同步信息信道,同时同步信息的传送较隐蔽,而且系统同步建立迅速,现代军用跳频通信,一般采用同步字头[3]的跳频同步方式。
文献[4]指出,在同步字头方式下,同步信息用跳频同步跳发射。同步频率的产生,可由TOD(Time of the Day)的高位值、网号及跳频密钥,按照预定的算法,伪随机地从跳频频率表中确定。为了提高同步的可靠性,通常采用多个频率作为一组同步频率,即跳频同步频率集。在跳频通信过程中,同步频率随着TOD不断变化,每隔一定时间自动更换其中一个,这样有利于增强同步的抗侦察和抗干扰能力。经过一段时间后,多个同步频率就全部更换一遍。一个一个地更换同步频率,可确保接收机和发射机在同步的最大时差范围内,接收机产生的同步频率与发射机产生的同步频率大部分相同,从而确保接收机能够接收到初始同步信息。
所以,完整的跳频码序列包括两个部分,其一是用于同步的同步跳序列,剩下的是用于业务的信息跳序列。从时间轴上观察,跳频码序列是由同步跳开始,完成同步后,接着信息跳,然后又是下一次同步跳,再接着信息跳,不断地循环,直到通信结束。
2 混沌短期预测理论基础
2.1 混沌和相空间重构[5]
混沌是确定性系统所产生的不确定性行为,对初值的敏感性是混沌的一个显著特征。微小的初始差别会随时间的推移不断扩大,以至于无法把握,但混沌最终会落入特定轨迹之中。这个特定轨迹就是混沌吸引子,反映了混沌系统的确定性。
相空间重构的思想是Farmer等人在研究时间序列时提出来的一种分析方法。其基本思想是,系统中的任一分量的演化是由与之相互作用的其它分量所决定的,因此这些相关分量的信息通常隐藏在任一分量的发展过程中。这样,就可以从某一分量的一批时间序列数据中提取和恢复出系统原来的规律,这种规律是高维空间下的一种轨迹。由于混沌系统的策动因素是相互影响的,因而在时间上先后产生的数据点也是相关的。Packard等人建议用原始系统中的某变量的延迟坐标来重构相空间,Takens证明了可以找到一个合适的嵌入维,在这个嵌入维空间里可以把有规律的轨迹(吸引子)恢复出来。即在重构的空间中轨线上原动力系统保持微分同胚,从而为混沌时间序列预测奠定了理论基础。
相空间是指反映系统嵌入维的矢量空间,将时间序列中的点序列,根据嵌入维转化成相空间中的点,这些点组成的轨迹就是反映系统规律的吸引子。一般嵌入维M可以由M≥2d+1来确定,d为系统的关联维。
设时间序列S为:
由时间序列S到相空间的转化可以表示为:
其中τ为时延宽度。
那么时间序列S的动力学差分方程为:
所谓预测,就是找到一个以任意精度逼近非线性映射f的模型F,满足:
也即:
为了方便,工程上有时候也保留一些冗余信息,而采用预测模型:
2.2 基于神经网络的混沌时间序列预测[6]
为了完成混沌时间序列预测,要解决两个问题,一是构造一个用于嵌入的短期记忆结构,来产生Yn;二是构造一个多输入单输出的非线性系统模型作一步预测用,模型的参数可以由样本学习得到。根据著名的Kolmogorov连续性定理,神经网络可以在数学上保证混沌时间序列预测的可行性。
资料显示,RBF和BP等前馈神经网络在时间序列预测方面取得了很多成果。然而,BP网络是基于梯度下降的误差反向传播的学习算法,网络的收敛速度较慢,而且易于陷入局部极小。与之相比,RBF网络的学习速度较快,且函数逼近能力、模式识别能力都比BP网络优越得多。本文将选择RBF神经网络做预测机。
RBF神经网络,是一种三层前馈神经网络,其输入层到隐含层的变换是非线性的,而从隐含层到输出层的变换是线性的。
设RBF神经网络的输入层有I个节点,隐含层有H个节点,输出层有1个节点,Y(t)为网络的输入,W=(w1,w2,…,wH)为网络权值,R为径向基函数,Rj为第j个隐层节点的输出,
那么,输出层的输出
隐层的输出Rj为:
cj为第j个隐层节点的中心,δj为第j个隐层节点的半径。
本文的径向基函数选高斯型函数:
R(x)=exp(-0.5x2) (9)
3 跳频码序列预测模型
设跳频码序列为:
S={yi} i=1,2,…N (10)
其中,N为序列长度。
跳频码序列预测模型分为以下几个步骤:
① 利用标准G-P算法和自相关函数法求出跳频码序列S的嵌入维M和时延宽度τ;
② 对S在Mτ维空间向量重构:
YR(n)=[y(n),y(n-1),…,y(n-Mτ+1)]T (11)
③ RBF神经网络的输入层节点数确定:
确定输入层节点数I=Mτ;
④ RBF神经网络的隐层节点数选择:
隐层节点数H的选择也是RBF神经网络构造的关键。通常,采用互验证算法选取最优隐层节点数,即逐渐增大隐层节点数H,经过多次训练后在某一个门限时误差达到最小,认为此时的H就是最优隐层节点数;
⑤ 把YR(n)和y(n+1),送入RBF神经网络训练,使得到的预测值
按上述步骤训练好后,就得到了一个预测模型,可以对跳频码序列预测。
4 仿真实验
4.1 跳频码序列的仿真
跳频码中的信息跳序列选用常见的混沌跳频序列产生方法,即以Logistic映射:
yn+1=1-2y
其为基础构造。
对于任意一个在区间(-1,1)内的初值,数学上可以证明所产生序列中的任意一个元素都处于该区间。所以,只要通过某种变换使序列中每一个元素与一个特定的跳频频率号对应,从而得到跳频序列。
设跳频频率集频点数为m。
映射:
把区间(-1,1)变换到区间(0,1)。
设信息跳序列为{fn},n=1,2,…
那么:
fn=「Q(yn)m⎤ n=1,2,… (14)
注意到,每个同步跳序列都由当前的同步频率集中的频率点按照一定次序循环遍历得到的。设跳频同步频率集的频点数为k,xj为频率点在频率表中的编号,则某时刻的同步频率集可表达为:
X={x1,x2,...,xk} (15)
又,同步频率集会随时间一次一个地更新其中的每个频率点,即不同时刻的同步频率集构成了一个时间序列。那么,跳频同步频率集序列表达为:
S1={Xi} i=1,2,… (16)
根据同步字头同步模型,跳频同步频率集序列中连续两个点之间,即同步频率集Xi和Xi+1之间,存在着一个频点的差异。
所以,总可以通过集合运算得到包含在Xi+1中但不在Xi中的频点,设为yi。
现在,得到了新的时间序列:
S2={yi} i=1,2,… (17)
和信息跳产生的方法一样,用式(12)和式(14)生成S2,然后用式(15)～式(17)和同步字头同步模型反向构造出同步跳序列。
组合信息跳序列和同步跳序列,得到完整的跳频码序列。
4.2 跳频码序列预测的评价标准
一般的跳频码序列预测的误差大都直接采用理论上的混沌时间序列预测的评价标准,比如(共预测N次,xi是真实值,
其中E1i是单次预测绝对误差,PE1是整体预测误差。
这类评价标准往往片面地强调了统计意义,而忽略了应用性。
由于跳频码预测应用中,工程上很容易通过同时监视左、中、右三个信道来减小预测误差对应用的影响,即如果预测值与真实值之间的差小于等于1,不影响应用。
所以本文给出了更客观的适用于应用层面的评价标准:
其中E0i是单次预测绝对误差,PE0是整体预测误差。根据定义,PE0 的值分布在区间[0,1]内,PE0值越小,预测性能越好。
4.3 跳频码序列预测实验
实验分别构造无同步的跳频码序列和有同步的跳频码序列,然后用基于RBF神经网络的混沌时间序列预测的方法做预测实验。
仿真构造无同步的跳频码序列,取m为32,共仿真1100点,前1000点用来训练,后100点用来预测实验。
仿真构造有同步的跳频码序列,取m为32,k为4,同时每70跳同步一次,包括同步跳共仿真1100点。同样的,前1000点用来训练,后100点用来预测实验。
图2是无同步的跳频码序列做的预测实验的结果,图3是E0和E1两种单次预测误差。
计算得到PE1=0.5581,PE0=0.0309。
PE1说明,预测值与真实值之间平均相差0.5581个信道。PE0说明,96.91%概率预测命中真实值。
因此,在无跳频同步的情况下,跳频码序列预测有很高的性能。
图4是有同步的跳频码序列做的预测实验的结果,图5是E0和E1两种单次预测误差。
计算得到PE1=5.7536,PE0=0.3505。
PE1说明,预测值与真实值之间平均相差5.7536个信道。PE0说明,64.95%概率预测命中真实值。
实验说明,在有跳频同步的情况下,跳频码序列预测的性能将快速恶化。
5 结 语
通过文本的分析,得到如下结论:由于实际的跳频码序列中包含有同步跳,基于混沌理论的跳频码序列预测技术在应用中并不能取得理想的预测命中率。因此,在选用这种技术时,必须要先全盘考虑工程项目的总体指标。
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