混沌特性

混沌特性（共7篇）

混沌特性 篇1

混沌理论是关于非线性系统在一定参数条件下展现分岔、周期运动与非周期运动相互纠缠, 以至于通向某种非周期有序运动的理论。从20世纪80年代中期到20世纪末, 混沌理论迅速吸引了数学、物理、工程、生态学、经济学、气象学、情报学等诸多领域学者有关注, 产生了全球混沌理论研究探讨的热潮。现代产品的发展过程是一个从上市到不断改进的过程, 由于涉及产品的技术性能、经济效益、市场影响等等因素, 是一个复杂的系统过程, 往往呈现出混沌的特征。本文, 笔者根据目前的研究资料和一些热点议题, 从定性的角度, 探讨了现代产品发展过程的混沌特征。

一、具有复杂性系统的发展模式

线性化发展是一种简单状态, 而非线性发展是复杂状态, 其构成的系统是复杂性系统。复杂系统是由多个简单系统组成。复杂性系统具有秩序与混沌的双重的特点。一个复杂性系统不管表现出如何复杂的行为, 它总是有着潜在的秩序, 尽管有时它们可能不为人知。例如, 把普通花椰菜掰开一小部分, 再把分开的一部分花椰菜经过放大到原来的花椰菜基本大小, 这一小束花椰菜看上去和原来的花椰菜差不多, 这就是花椰菜的自相似性表现, 也表现出一种简单的分形。在复杂性系统中, 由于系统的各单元受多种因素的影响, 导致系统的变化模糊不清, 很难预测。

手机操作系统发展初期有Symbian系统与Windows Mobile系统, 而如今手机行业发展已经不再是一个厂商一个操作系统所能独霸的了。其中, Android系统依靠开源以及极其丰富的手机终端吸引了不少用户, 而苹果i OS系统则凭借着i Phone 4的超高人气一路走高, 对于这2种系统之间的比拼也一直都没有停顿过。而微软公司开发WP平台既具有开放性, 又兼顾可管理性。微软公司还指出, 针对Windows平台进行开发, 开发者还可以将此前的编程技术延续下来, 并使用比较习惯的开发工具。从手机操作系统发展可以看出, 如果仅发展有1种系统, 可以采用线性理论对未来的预期。而目前是多种系统同时发展, 而且其优势各不相同, 它们之间既相互独立又相互影响, 导致一种复杂的发展模式。

二、创新引导的发展方向的分岔

Mandelbrot在他1982年出版《自然界的分形几何》一书中指出, 混沌和有序是相互对立的, 两者的实验和理论也不相同。牛顿定律等经典理论表述的是有序系统, 经典理论甚至复杂法则对混沌都是无效的。换句话说, 混沌不是被当做更高程度的复杂性或者更复杂的有序形式, 而是当做自然界未能服从规律的一种情形。甚至更具挑战性的是这样的观测结果, 自然系统似乎毫无困难地从一种状态切换到另一种状态, 从层流到喘流, 从可预测到无法预测。经济学中的Logestic公式具有一条定义很好的路径, 从一种有序状态进入另一种混沌状态, 而且, 经过验证这个道路是普适的。路径意味着有突然的性质变化——分岔, 它像一张进度表一样标记从有序到混沌的这种转变, 普适意味着这些分岔能在许多自然系统里被定性和定量。

从电视机显示器的发展过程可以看到其具有明显的分岔过程。1923年, 俄裔美国科学家兹沃里金申请到光电显像管、电视发射器及电视接收器的专利, 他首次采用全面性的“电子电视”发收系统, 成为现代电视技术的先驱。最早发展的黑白显示器都是玻璃的电真空管显示器, 采用的是孔状荫罩, 其显像管断面基本上都是球面的, 因此被称作球面显像管。黑白电视显然不能满足人们的需求, 随着电子技术的发展彩色显像管逐渐发展起来, 使得电视机可以表现出绚丽多彩的图像。1994年, 为了减小球面显像管四角的失真和反光, 新一代的“平面直角”显像管诞生了。当然, 它并不是真正意义上的平面, 只是其球面曲率半径大于2 000 mm, 四角为直角。它使反光和四角失真程度都减轻不少, 再加上屏幕涂层技术的应用, 使画面质量有了很大的提高。平面直角电视机逐渐取代了采用球面显像管的电视机。近年来, 由于材料技术的发展, 液晶显示器和等离子显示器异军突起。电真空管显示器受到数字高清晰电视的发展限制, 因为平板显示器比电真空管显示器件更容易数字化和高分辨率化, 而且可以做成很大的尺寸, 因此数字高清晰电视首选平板显示器。电真空管显示器的高耗能, 带有辐射等因素也促使它退出了电视机市场。

从电视机的显示器的发展可以看到, 从最早的球面显像管到不断改进的平面直角显像管, 从黑白显像管到彩色显像管, 这个发展过程基本上都是线性的。而在从电子显像管到液晶显示器的发展则出现了分岔, 这种分岔是在技术、材料等多方面不断地发展而产生的。由于科学技术不断的进步, 新技术的引入会使一些产品发展进入分岔发展阶段。

三、结论

本文, 笔者尝试从一些现代产品在发展过程中寻找出的混沌特性。由于科学技术的快速发展, 许多产品在不断改进, 市场的千变万化使得新产品的发展过程十分复杂, 分岔发展常常出现。笔者认为系统在一些影响因素作用下, 会出现混沌分岔现象。关于定量问题, 可以利用计算机对非线性方程及动力系统作一步研究。在现有的分岔理论中有许多新颖奇妙的结果。例如, 在分形图形中, 理想分形图像可以看成是在任意尺度下都是相似的。但实际上或存在部分相似, 不同程度相似, 再一点的自相似性自仿射性。当前, 奇异吸引子受到科学和经济学家的注意。对于一个Lorenz系统, 可以用计算机演示出吸引子, 动态特性引起的吸引子轻轻的旋涡、回飞镖似的形状具有一种合理的美感。如何控制参数重建吸引子非常有趣。因此, 可以给人们提供一个全新的视角, 去重新认识模糊的事物, 去寻找内部的性质和优美的结构。HK

数控工作台动态特性的混沌特征 篇2

数控工作台是数控机床的主要组成部分,一般由驱动控制单元、驱动元件、机械传动部件、执行件、检测反馈环节和工作台等组成,而且具有多个驱动轴,是一个复杂的系统。各部件之间的间隙、摩擦、弹性变形等引起的动态特性的复杂性已成为提高数控工作台定位精度、跟踪精度和动态性能的瓶颈。

已有的研究用解析方法建立进给伺服系统的数学模型,通过用集中参数代替分布参数,用定量参数代替时变参数,用等效线性特性代替非线性特性,用单自由度力学系统代替多自由度力学系统等手段对数学模型进行简化[1,2,3,4,5,6,7]。这对于研究系统的稳定性、快速性和准确性的影响因素和变化趋势具有一定的指导意义。但是,简化手段扼杀了部分影响系统性能的主要因素,致使实际检测得到的数控工作台的动态表现与理论仿真得到的结果相去甚远。

本文采集数控工作台的动态数据,用动态信号的功率谱、相平面轨迹、关联维数与李雅普诺夫指数等特征量揭示数控工作台动态特性的混沌特征。

1 关联维数与李雅普诺夫指数

1.1 相空间重构

将利用测量得到的有限数据来研究系统的动力学特性称为动力系统的相空间重构或吸引子重构。Tackens认为,系统中任一分量的演化都是由与之相互作用的其他分量所决定的,任意分量的演化过程中隐含了系统的演化信息;为了重构一个等价的状态空间,只需考虑系统中一个分量的变化即可;用延时法提取出固定延时数据作为新的一维数据处理,即把单变量数据映射到多维空间的一个向量点;这样就可由单变量重构一个相空间,重构的相空间上的向量点表现出与真实空间相同的特性;因此,能够利用实验数据来辨识原来的未知系统并进一步确定吸引子的分维数以及运动轨迹的Lyapunov指数等特征量[8]。

1.2 关联维数计算

设{Xk}为观测到的时间序列,其中,k=1,2,…,N,N为采样点数。选取m为重构相空间的嵌入维数,τ为时间延迟量,重构M×m相空间[9]:

$\left[\begin{array}{ccccc}\begin{array}{l}\\ x{}_1\end{array}& \begin{array}{l}\\ x{}_{1+\tau }\end{array}& \begin{array}{l}\\ \cdots \end{array}& \begin{array}{l}\\ x{}_{(m-1)\tau }\end{array}& \begin{array}{l}\\ x{}_{1+(m-1)\tau }\end{array}\\ x{}_2& x{}_{2+\tau }& \cdots & x{}_{2-1+(m-1)\tau }& x{}_{2+(m-1)\tau }\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ x{}_{{\rm M}}& x{}_{{\rm M}+\tau }& \cdots & x{}_{{\rm M}-1+(m-1)\tau }& x{}_{{\rm M}+(m-1)\tau }\end{array}\right](1)$

矩阵(1)中常数M、m、τ有如下关系:

M=N-(m-1)τ

τ=KΔt

式中,Δt为采样间隔;K为任意整数。

则重构相空间吸引子的关联维数为

$D{}_{\text{h}}=\underset{r\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{d}(\text{l}\text{n}C{}_r)}{\text{d}(\text{l}\text{n}r)}(2)$

$C{}_r=\frac{1}{{\rm N}({\rm N}-1)}{\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}-m+1}}{\displaystyle \sum _{j=1}^{{\rm N}-m+1}{\rm H}}(r-|X{}_i-X{}_j|)i\ne j(3)$

${\rm H}(r-|X{}_i-X{}_j|)=\{\begin{array}{l}1r-|X{}_i-X{}_j|\ge 0\\ 0r-|X{}_i-X{}_j|＜0\end{array}(4)$

式中,r为m维超球半径;H为Heaviside函数。

1.3 李雅普诺夫指数计算

在所重构的相空间中任意选取一相空间点X(t),并在该空间中寻求与其距离最近的点X(t0),两点之间的距离记为L(t0);以该对偶点作为初始点,经过一个计算周期后两点之间的距离为L′(t0);经过M次追踪演化,直到时间序列终点,系统的最大李雅普诺夫指数为

$\lambda {}_1=\frac{1}{t{}_{{\rm M}}-t{}_0}{\displaystyle \sum _{k=0}^{{\rm M}}\log }{}_2\frac{L^{\prime }(t{}_k)}{L(t{}_k)}(5)$

迭代计算过程如图1所示[10]。

2 动态测试

以华中数控公司生产的ZJK7532型数控钻铣床的工作台为测试对象,该机床由步进电机驱动、开环控制,燕尾式滑动导轨组成。测试系统如图2所示。BZ1114-101型三向加速度传感器按图2所示坐标方向吸附在工作台面上,激励信号来源于步进电机的进给驱动,采样频率为500Hz,抗混叠滤波转折频率为200Hz,采集X、Y、Z三个方向的加速度信号。针对表1所示的9种测试工况,在不同进给速度下进行测试,用MATLAB7.0软件进行信号辅助处理[11]。

3 混沌特征分析

混沌是非线性系统特有的一种振动形式,是产生于确定性系统、敏感依赖于初始条件的往复性稳态非周期运动,类似于随机振动而具有长期不可预测性。连续的功率谱、不封闭的相平面轨迹、非整数的吸引子维数、李雅普诺夫指数等特征量都可以从实测的时间序列中得到,并借以对所测时间序列的混沌特征进行判断[12]。

3.1 功率谱分析

功率谱表示运动过程在各频率成分上的统计特性。周期运动的功率谱只在其运动频率及其分频和倍频处出现离散的谱线。准周期运动的功率谱在几个不可通约的基频及其叠加处出现离散的谱线。混沌运动为有界的非周期运动,可视为无限多个不同频率的周期运动的叠加,其功率谱为连续谱,即出现噪声背景和宽峰。

图3、图4、图5所示分别为X方向移动(速度为10mm/min)、X-Y直线插补(速度为500mm/min)、X-Y圆弧插补(速度为1500mm/min)三种工况下的三个方向的快速Fourier变换(FFT)功率谱图,上中下三部分分别代表X、Y、Z三个方向。每种工况的功率谱的峰值密集并伴有宽峰,符合混沌运动的功率谱特征,也可能是随机振动。

3.2 相平面分析

混沌振动的往复非周期性可以利用相平面轨迹曲线表示出来。周期运动的相轨迹曲线是闭曲线。混沌不具有周期性,因而混沌振动的相轨迹曲线是不封闭的曲线,而运动的往复性则反映在相轨迹曲线局限于一个有界区域内,不会发散到无穷远。

从各工况下三个方向观测到的加速度时间序列中取1024个数据,设嵌入维数为4,重构相空间如式(1)所示,取其中第1列、第2列向量构成相平面,做相平面轨迹线图。

图6所示为X-Y圆弧插补(速度1500mm/min)工况下X、Y、Z三个方向的相平面轨迹图,可看出,相平面轨迹没有清晰的周期轨道,不动点有两个以上,既不是周期运动也不是准周期运动,符合混沌运动的特征,也可能是随机振动。

(c)Z方向

3.3 关联维数分析

非整数的吸引子维数不仅表征了动力系统时间演变的混沌行为,而且提供了存在奇怪吸引子的证据。各种工况下观测的振动加速度时间序列所计算的关联维数具有非整数特征,这说明动态特性具有分形特征,符合混沌运动的特征。由于篇幅所限,表2仅列出工况1、工况2、工况3的速度在100~1000mm/s之间的关联维数。

3.4 李雅普诺夫指数分析

在李雅普诺夫指数谱中,最小的李雅普诺夫指数决定轨道收敛速度的快慢,最大的李雅普诺夫指数则决定轨道发散即覆盖整个吸引子的快慢。最大李雅普诺夫指数是刻画非线性系统混沌吸引子“奇异”程度的一个十分重要的参数。运动状态与李雅普诺夫指数的关系如表3所示[13]。

工况1、工况2、工况3的速度在100~1000mm/s内的最大李雅普诺夫指数如表4所示。可看出,绝大多数最大李雅普诺夫指数λ1>0,结合表3所示的运动状态与李雅普诺夫指数的关系,数控工作台动态特性呈现混沌特征;同时如表4所示,最大李雅普诺夫指数均为有限值,不存在λ1→∞,说明数控工作台动态特性不是随机运动。

综上所述,数控工作台的动态特性符合混沌运动的特征,而且不是随机运动,因此数控工作台具有混沌运动的特征。

4 结论

(1)由综合功率谱、相平面轨迹、关联维数和最大李雅普诺夫指数等特征量的分析发现:由步进电机驱动的数控工作台,在各种工况下都有确定的激励,而且激励是周期性脉冲信号,但是其响应加速度信号时间序列却具有混沌特征。

(2)从相平面轨迹图可以发现系统由于存在软弹簧特性而形成多不动点特征,同时发现系统由于摩擦、模态耦合而产生自激振动的极限环。

(3)尽管具有非线性特征的动力学系统不一定会产生混沌现象,但混沌时间序列一定是非线性动力学系统产生的。从数控工作台振动加速度时间序列存在的混沌特征,可以断定数控工作台是一个非线性动力学系统。

后续研究需在此基础上,从非线性动力学的观点出发,针对数控工作台弹簧力、摩擦力和反向间隙的非线性对数控工作台的动态特性的影响进行深入研究,得到所对应的非线性模型,并对模型的周期解、非周期解、分岔与混沌作分析。

混沌特性 篇3

关键词：Chebyshev混沌映射,扩频序列,奇、偶相关函数,有限长度效应,平衡性,线性复杂度

在DS/CDMA系统中,扩频序列的选择是关系到整个系统性能优劣的关键技术之一,传统的扩频序列大多是由m序列或Walsh序列变换产生的,其缺点是可用码组的数目少,序列性质不易控制,整个系统的复杂度较高。近几年来,非线性混沌序列成为扩频序列的新选择[1]。由于混沌系统对初值具有敏感依赖性,因此,由混沌映射生成的序列码组非常的多。为了选择合适的混沌扩频序列,必须首先分析它们的统计特性(如相关函数等)。有些映射(如Logistic映射)产生的混沌序列的均值不为零、不太适合用作扩频序列[2,3];有些映射(如Chebyshev映射)产生的混沌序列比由改进型的Logistic映射产生的混沌序列的抗多址性能要好[4],且经过一定的序列优选后[5]可以获得更多的序列组。因此,本文对Chebyshev映射混沌序列的性能进行了分析和讨论。

1 Chebyshev映射的混沌特性

Chebyshev映射的定义:

x(n+1)=f[x(n)]=cos{w·arccos[x(n)]} (1)

本文以4阶的Chebyshev模型(即w=4)为例来作介绍。

图1、图2和图3分别给出了Chebyshev映射的吸引子图、分岔图和李雅普诺夫(Lyapunov)指数分布图。

由图2和图3可知,当参数w取整数时,只有其绝对值不小于2时,映射才能进入混沌区,在无限精度条件下可产生无限长度非周期混沌实值序列。

2 Chebyshev映射的统计特性

一般地,只有像抛物线类简单混沌映射x(n+1)=f[x(n)]的概率密度函数ρ(x)可由Perron-Frobenious方程用数值方法来解析求得。Logistic映射[5]在满射条件下与Chebyshev 映射是拓扑共轭的,即从理论上讲,两者可以视为动力性态相同的系统,两者所生成的序列的概率分布函数ρ(x)也是相同的。有文献[6]可知式(1)所产生混沌序列的概率分布密度:

$\rho (x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{\text{π}\sqrt{1-x{}^2}},-1＜x＜1\\ 0,\text{e}\text{l}\text{s}\text{e}\end{array}$

由于ρ(x)不依赖于初始值x(0),所以式(1)表达的混沌系统具有遍历性。根据混沌的遍历理论[7],对于每个可积函数φ(x)和(几乎所有的)初始值x(0),都有:

$\underset{{\rm N}\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{1}{{\rm N}}{\displaystyle \sum _{n=0}^{{\rm N}-1}\phi }\{f{}_{(n)}[x(0)]\}={\displaystyle {\int }_a^b\rho }(x)\phi (x)\text{d}x$

式中:f(n)(x)表示f(x)的n重复合,即:$f{}_{(n)}[x(n)]=\underset{n\text{级}}{{\displaystyle f(\cdots f(x(n))\cdots )}}‚b$、a分别表示定积分的上、下积分限。

设x(n),y(n)分别表示长度为N的两个不同的Chebyshev映射混沌序列,它们分别是通过初值x(0),y(0)迭代而得到的,并且x(0)和y(0)随机独立地选取,则:

式(1)产生混沌序列的平均值$\overline{x}$:

$\overline{x}=\underset{{\rm N}\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{1}{{\rm N}}{\displaystyle \sum _{n=0}^{{\rm N}-1}x}(n)={\displaystyle {\int }_{-1}^{1}x}\rho (x)\text{d}x=0$

式(1)产生混沌序列的自相关函数φxx(m)计算如下:

当m=0时,

$\phi {}_{xx}(0)=\underset{{\rm N}\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{1}{{\rm N}}{\displaystyle \sum _{n=0}^{{\rm N}-1}x}(n){}^2={\displaystyle {\int }_{-1}^{1}x}{}^2\rho (x)\text{d}x=\frac{1}{2}$

当m≠0时,

$\begin{array}{l}\phi {}_{xx}(m)=\underset{{\rm N}\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{1}{{\rm N}}{\displaystyle \sum _{n=0}^{{\rm N}-1}x}(n)x(n+m)\\ ={\displaystyle {\int }_{-1}^{1}x}f{}_{(m)}(x)\rho (x)\text{d}x=0\end{array}$

由此可知,式(1)产生混沌序列的自相关函数φxx(m):

$\phi {}_{xx}(m)=\{\begin{array}{l}1/2,m=0\\ 0,m\ne 0\end{array}$

同理,式(1)产生混沌序列的互相关函数φxy(m)

$\begin{array}{l}\phi {}_{xy}(m)=\underset{{\rm N}\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{1}{{\rm N}}{\displaystyle \sum _{n=0}^{{\rm N}-1}x}(n)y(n+m)\\ ={\displaystyle {\int }_{-1}^1{\displaystyle {\int }_{-1}^{1}x}}f{}_{(m)}(y)\rho (x)\rho (y)\text{d}x\text{d}y=0\end{array}$

由以上定量分析可知,混沌序列的遍历统计特性与零均值白噪声的统计特性一致,从而在理论上说明了混沌序列在扩频通信中作为扩频地址码的可行性。

3Chebyshev映射混沌扩频序列的奇、偶相关特性分析

在DS/CDMA系统中,与扩频序列有关的影响系统性能的因素是序列的奇、偶相关特性[8],则序列x(n),y(n)的非周期互相关函数可定义为:

$C{}_{xy}(m)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{{\rm N}}{\displaystyle \sum _{n=1}^{{\rm N}-m}x}(n)[y(n+m)]{}^{*},0\le m\le {\rm N}-1\\ \frac{1}{{\rm N}}{\displaystyle \sum _{n=1}^{{\rm N}+m}x}(n-m)[y(n)]{}^{*},1-{\rm N}\le m\le 0\\ 0,|m|\ge {\rm N}\end{array}$

式中:星号(*)表示复共轭,下同。

当x(n)=y(n)时,上式表示的是扩频序列的非周期自相关函数。

序列x(n),y(n)的偶互相关函数和奇互相关函数可分别定义为:

$\begin{array}{l}R{}_{xy}(m)=C{}_{xy}(m)+C{}_{xy}(m-{\rm N})(2)\\ \widehat{R}{}_{xy}(m)=C{}_{xy}(m)-C{}_{xy}(m-{\rm N})(3)\end{array}$

当x(n)=y(n)时,式(2)、式(3)分别表示的是扩频序列的偶自相关函数和奇自相关函数。

由式(2)可得:

$\begin{array}{l}\underset{{\rm N}\to \infty }{{\displaystyle \lim }}R{}_{xy}(m)=\underset{{\rm N}\to \infty }{{\displaystyle \lim }}[C{}_{xy}(m)+C{}_{xy}(m-{\rm N})]\\ =\frac{1}{{\rm N}}\underset{{\rm N}\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\{{\displaystyle \sum _{{\rm N}=0}^{{\rm N}-1-m}x}(n)[y(n+m)]{}^{*}+\\ {\displaystyle \sum _{n=0}^{{\rm N}-1+(m-{\rm N})}x}[n-(m-{\rm N})][y(n)]{}^{*}\}\\ =\frac{1}{{\rm N}}\underset{{\rm N}\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left\{{\displaystyle \sum _{{\rm N}=0}^{{\rm N}-1-m}x}(n)[y(n+m)]{}^{*}\right\}\end{array}$

由于x(n),y(n)具有遍历性,根据互相关函数的性质可知:$\underset{{\rm N}\to \infty }{{\displaystyle \lim }}R{}_{xy}(m)=0$。

同理可求出:

$\begin{array}{l}\underset{{\rm N}\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\widehat{R}{}_{xy}(m)=\underset{{\rm N}\to \infty }{{\displaystyle \lim }}[C{}_{xy}(m)-C{}_{xy}(m-{\rm N})]\\ =\text{ϕ}{}_{xy}(m)=0\end{array}$

用上述方法,同样也可推导出偶自相关旁瓣Rxx(m)(m≠0)和奇自相关旁瓣$\widehat{R}{}_{xx}(m)(m\ne 0)$也具有类似的结论,即:

$\begin{array}{l}\underset{{\rm N}\to \infty }{{\displaystyle \lim }}R{}_{xx}(m)=0,(m\ne 0)\\ \underset{{\rm N}\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\widehat{R}{}_{xx}(m)=0,(m\ne 0)\end{array}$

由以上叙述可知,由Chebyshev映射产生的混沌序列具有理想的奇、偶相关特性。

4 有限长度效应对奇、偶互相关特性的影响

理论上,无限长的混沌序列具有理想的奇、偶互相关特性。但在实际的扩频通信系统中,混沌序列必须被截断成有限长度,因而不可能达到上述的理想特性,如图4所示(序列长度N=2 048)。鉴于以上情况,对于一定的扩频序列长度N,定义最大奇互相关绝对值、偶互相关绝对值分别为:

$\begin{array}{l}\widehat{R}{}_{\max }=\underset{0\le m<{\rm N}}{{\displaystyle \max }}\{\left|\widehat{R}{}_{xy}(m)\right|\}\\ R{}_{\max }=\underset{0\le m<{\rm N}}{{\displaystyle \max }}\{\left|R{}_{xy}(m)\right|\}\end{array}$

图5给出了一个典型的最大奇、偶互相关绝对值与序列长度N的关系曲线。由此可得出,序列长度N越长,序列的奇、偶互相关特性越理想。

根据图5的实验数据,用数值分析的方法拟合曲线的数学表达式,可得到最大奇、偶互相关绝对值与序列长度N的近似表达式:

$R{}_{xy}=\widehat{R}{}_{xy}=0.49/\sqrt[3]{{\rm N}}$

5有限长度效应对自相关旁瓣以及互相关均方根的影响

自相关旁瓣均方根δxx和互相关均方根δxy表示了它们各自对零的标准差,分别表征了混沌扩频序列的多径干扰和多址干扰的大小,对它们的定义分别如下:

$\begin{array}{l}\delta {}_{xx}=\sqrt{\frac{1}{{\rm M}}{\displaystyle \sum _{m=1}^{{\rm M}}[}\phi {}_{xx}(m)]{}^2}\\ \delta {}_{xy}=\sqrt{\frac{1}{2{\rm M}+1}{\displaystyle \sum _{m=-{\rm M}}^{{\rm M}}[}\phi {}_{xy}(m)]{}^2}\end{array}$

在实验中,保持相关范围M(M=1 000)的值不变,通过改变混沌序列的长度N来考虑其对标准差的影响。图6给出了均方根δxx,δxy与序列长度N的关系。通过数据拟合,可得到标准差δ与序列长度N的近似关系式为:

$\delta =\frac{1}{1.92\sqrt{{\rm N}}}$

考虑到序列越长,系统的同步越困难,对器件的性能要求也就越高,因此,可以认为把混沌扩频序列的长度选为2 000～3 000比较合适,此时,相关特性标准差在0.01左右,若再增大序列的长度N,相关特性的标准差也降低不了多少。

6 线性复杂度

图7给出了Chebyshev映射混沌序列的线性复杂度。线性复杂度即序列的等效线性长度,当序列被用作密码中的密钥流时,序列的线性复杂度就是评价该序列优劣的重要指标。由图7可知,混沌序列的线性复杂度与序列长度的一半符合得很好,具有理想的复杂度特性。

7 平衡性

考虑到现有的扩频体制,需要把混沌实值序列转化为数字序列,所采用的一种方法是:计算出序列的均值,不小于均值的设为“1”,否则,设为“-1”。

图8给出了Chebyshev映射混沌扩频序列的平衡性能分布曲线。平衡性反映了序列对载波的抑制程度。扩频码不平衡将破坏扩频通信系统的抗干扰以及抗侦破的能力。设混沌扩频序列中“1”的数目与“-1”的数目之差为L,由图8可知,随着周期的增大,混沌扩频序列的平衡性能逐渐得到改善。

8 结 语

分析了Chebyshev模型的混沌产生机制,画出了其吸引子图、分岔图和Lyapunov指数分布图,得出了映射进入混沌区的参数取值。针对该模型产生的混沌序列,推导得到了其均值、自相关以及互相关等统计特性的数学表达式,证实了其适于作扩频地址码。分析了该映射混沌序列的奇、偶相关特性,研究了有限长度效应对奇、偶相关特性的影响,给出了最大奇、偶相关绝对值与序列长度的渐进关系式。研究了有限长度效应对自相关旁瓣及互相关均方根的影响,也给出了自相关旁瓣及互相关的标准差与序列长度的渐进关系式,提出了最合适的序列长度范围。该模型产生的混沌序列具有理想的线性复杂度及良好的平衡特性,是扩频码及最优加密密钥的优选码型之一。本文结果对于混沌扩频序列的应用研究具有良好的指导意义。

参考文献

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两级行星轮系分岔与混沌特性研究 篇4

多级行星齿轮传动系统相比于单级行星齿轮传动系统, 结构更为紧凑, 可增大系统传动比, 提高承载能力, 增加系统功率流的传递路线, 因而在车辆装备、风电设备及大型机械设备中得到了广泛的应用[1]。目前国内外对于单级行星齿轮传动系统的非线性动态特性已进行了大量的研究。Kahraman[2]建立了单级行星齿轮传动的非线性扭转振动模型, 分析了行星齿轮传动的扭转振动特点; 孙涛等[3]在考虑时变啮合刚度、综合啮合误差和齿侧间隙的基础上, 采用谐波平衡法求得了系统的非线性频响特性; al-Shyyab等[4]建立了单级行星轮系非线性扭转振动模型, 运用增量谐波平衡法对系统的动态响应进行求解, 并将解析解结果与数值法结果进行了对比; 孙智民等[5]在忽略各齿轮副啮合刚度波动以及齿轮偏心误差的情况下, 发现行星齿轮扭转振动系统中存在丰富的强非线性动力学行为; Parker等[6]建立了行星齿轮传动的扭转集中参数模型和有限元模型, 分析比较了两种模型下行星齿轮传动的非线性动力学响应。上述文献研究对象均限于单级行星齿轮传动系统, 目前有关多级行星齿轮传动系统动力学特性的研究多侧重于重载机械装备。陈亮等[7]建立了盾构机减速器三级行星齿轮传动系统的动力学模型, 并求解了各构件振动位移的时域响应曲线; 秦大同等[8]采用梯形波表示啮合刚度的时变特性, 分析了行星齿轮啮合过程中的相位关系, 计算了某盾构机三级行星齿轮减速器不同啮合位置的动态响应。以上研究多针对多级行星轮系在重载工况下的应用, 大多忽略了齿侧间隙强非线性因素对其动态特性的影响, 随着现有多级行星齿轮传动系统在车辆装备等高速轻载工况下的广泛应用, 由齿侧间隙引起的多级行星轮系在高速轻载工况下的非线性动态特性研究亟待深入。

本文以某两级行星齿轮传动系统为研究对象, 在综合考虑时变啮合刚度、齿侧间隙和综合啮合误差等强非线性因素的基础上, 推导出该系统在广义坐标下的量纲一动力学方程, 采用数值积分方法对方程组进行求解, 得到了系统的非线性动态响应结果, 综合运用分岔图、相空间轨线和Poincáre截面研究了激励频率和啮合阻尼比对系统分岔与混沌特性的影响。为深入研究多级行星齿轮传动系统非线性动态特性, 降低其振动和噪声影响提供了理论基础。

1 系统非线性动力学模型

图1 为某两级行星齿轮传动系统结构示意图, 该系统由2 个单级2K-H行星轮系串联而成, 其中, 单级行星轮系中, 内齿圈为固定构件, 太阳轮输入, 行星架输出。Tin、Tout分别为系统的输入、输出转矩, 系统两级之间的连接用扭转弹簧表示, 其中K ( 1，2) 表示两级间的耦合刚度。在单级行星齿轮系统中, s为太阳轮, p为行星轮, c为行星架, r为内齿圈。将系统简化为集中参数模型, 并作以下假设: ①系统各构件为刚体; ②每个构件都在垂直于轴线的平面内振动; ③各行星轮在行星架上均匀分布, 且参数相同;④忽略齿面啮合摩擦力的影响。

系统扭转动力学模型如图2 所示。n为行星轮系的级数, Nn为第n级行星轮个数, i为第n级行星轮编号, i = 1, 2, …, Nn。定义 θj ( n) ( j = s, pi, c, r) 为第n级各构件的角位移, 定义角位移时, 以第一级输入端太阳轮顺时针转动时各构件的运动方向为正方向, 齿轮啮合弹性变形受压方向为正。Ij ( n) 为第n级各构件的转动惯量, rbj (n) 为第n级各构件基圆半径。kl (n) 、cl (n) 、2bl (n) 、el (n) ( l = spi, rpi) 分别为太阳轮与行星轮间和内齿圈与行星轮间的时变啮合刚度、阻尼、齿侧间隙和综合啮合误差。

2系统动力学方程

2. 1系统纯扭转原始振动微分方程

根据上述定义的角位移, 可将各构件 ( j = s, p, c, r) 的角位移换算成相应啮合线上的等价线位移:

式中, rc (n) 为第n级行星架半径; α 为渐开线合角。

第n级相互啮合的齿轮沿啮合线方向上的相对位移为

式中, xspi (n) 、xrpi (n) 分别为第n级行星轮与太阳轮和内齿圈沿啮合线方向上的相对位移。

本文根据拉格朗日方程建立的两级行星齿轮传动系统非线性纯扭转动力学方程为

式中, g (xl () l) 为第n级齿侧间隙非线性函数;T (n) s、T (n) c分别为第n级中心构件太阳轮和行星架传递的转矩。

2.2系统激励分析

2.2.1时变啮合刚度

由于行星齿轮传动系统作连续转动, 同级行星轮系各齿轮对之间具有相同的啮合周期。当齿圈固定时, 根据行星齿轮传动关系推导的单级啮合频率为

式中, ω (n) m、ω (n) s、ω (n) c分别为第n级啮合频率、太阳轮转动频率和行星架转动频率;Z (n) s、Z (n) r分别为第n级太阳轮齿数和内齿圈齿数。

根据传动比关系, 本文两级轮系的啮合频率可表示为

式中, Λ为第一级行星轮系的传动比。

采用周期矩形波表示啮合刚度的时变特征[9], 可将两级啮合刚度展开成为Fourier级数, 其一次谐波项可表示为

式中, k (n) ml为第n级啮合副平均啮合刚度;k (n) al为第n级啮合副啮合刚度的变化幅值;φ (n) l为第n级啮合副啮合刚度变化幅值的初相位。

2.2.2行星轮系综合啮合误差

行星轮系综合啮合误差函数可简化为正弦函数形式[10], 即

式中, E (n) l为第n级啮合副综合啮合误差幅值;φ (n) el为第n级啮合副综合啮合误差初相位。

2.2.3齿侧间隙函数

齿侧间隙函数[11]可表示为

其中, 2b (n) l为齿侧间隙。

2.3系统在广义坐标下的量纲一动力学方程

式 (3) 为半正定、变参数微分方程组, 存在刚体位移, 无法直接求解, 定义第一级行星架与第二级太阳轮耦合连接间的相对线位移为

根据式 (2) 和式 (9) 对式 (3) 进行线性变换, 引入相邻质量块之间的相对位移作为新的广义坐标, 则有

由式 (10) 得到的系统在广义坐标下的微分方程组中的各物理量数量级相差很大, 需要对方程组进行量纲一处理。引入量纲一时间自变量τ和量纲一频率ωd, 则τ=ωdt;另外, 引入位移标称尺度, 则量纲一位移、速度和加速度可分别表示为

量纲一综合啮合误差为

量纲一间隙非线性函数可表示为

根据上述各式, 可得到本文系统在广义坐标下的量纲一动力学方程表达式:

式中, ξ1、ξ2分别为外、内啮合副的相对阻尼比。

本文系统在广义坐标下的量纲一动力学方程的矩阵表达式为

3系统动态响应求解及其分岔和混沌特性研究

3. 1系统非线性动态响应求解与分析

多级行星轮系结构复杂, 动力学方程自由度数多, 数值解法对于复杂系统动力学求解具有一定优势。本文两级行星齿轮传动系统的结构参数如下: 第一级齿数Zs= 14, Zpi= 25, Zr= 64, 模数m = 5 mm, 压力角 α = 20°, 行星轮个数N1= 3; 第二级齿数Zs= 17, Zpi= 21, Zr= 59, m = 6 mm, α =20°, N2= 4。该系统计算参数如表1 所示。

本文采用变步长gill积分法对式 ( 12) 进行数值求解[12]。图3 所示为通过改变系统第一级行星轮系量纲一激励频率 Ωm (1) 而得到的系统分岔, 图中只显示了第一级行星轮和内齿圈啮合副的仿真结果, 经验证, 其他齿对所处的运动的状态与该齿对一致。为书写简单, 以下均以 Ωm代替Ωm ( 1) 。

图3 展示了系统稳态运动随激励频率变化表现出来的丰富的非线性动力学行为。由图3 可以发现, 系统第一级量纲一激励频率在[0. 5, 0. 552]区间时, 系统经过拟周期运动, 即经锁相、封闭环破裂进入混沌, 之后经由逆倍周期分岔进入短暂的倍周期运动。其中, 当 Ωm= 0. 508 时, 系统处于拟周期状态, 如图4 所示, 其相轨线类似于2 倍周期运动, 但是其内部轨线之间存在一定距离, 总体上为一个具有一定宽度的闭合曲线带, Poincáre截面为两条封闭曲线; 当 Ωm= 0. 538 时, 系统由拟周期运动进入混沌运动, 如图5 所示, 相轨线充满了相空间的一部分, 呈现复杂的相互交叉与缠绕现象, 既不重合又不封闭, Poincáre截面则分布在一定区域内, 并呈现出具有分形结构的2 个分离的云雾状, 为奇怪吸引子, 说明系统此时处于典型的混沌运动状态; 当 Ωm= 0. 55 时, 系统由混沌回归至倍周期亚谐波响应, 其相轨线环绕2 周之后闭合, 而对应的Poincáre截面存在2 个独立的离散点, 如图6 所示。

随着激励频率的增大, 系统第一级量纲一激励频率在[0. 552, 0. 64]区间, 经分岔发生阵发性混沌, 最后进入稳定的倍周期运动, 其间, 存在多个周期窗口。例如, 当 Ωm= 0. 59 时, 系统由不稳定的拟周期运动进入5 倍周期运动, 如图7 所示, 其相轨线在相空间内环绕5 周之后闭合, Poincáre截面存在5 个独立的离散点。

系统第一级量纲一激励频率在[0. 64, 0. 96]区间时, 系统由倍周期运动经分岔进入拟周期运动后, 进入混沌运动, 经逆倍周期分岔, 依次回归为4 倍周期运动、2 倍周期运动, 当系统第一级量纲一激励频率到达0. 81 时, 系统回归为单周期运动。当 Ωm= 0. 85 时, 系统为单周期谐响应, 如图8 所示, 相图为椭圆闭合曲线, Poincáre截面上存在单个离散点。

3. 2 系统分岔与混沌特性研究

图9 为第一级量纲一激励频率从1. 45 向1. 55 变化时的系列Poincáre截面图, 展示了系统的Hopf分岔特性。系统由稳定的倍周期运动发生Hopf分岔, 从2 个稳定的不动点变为2 个不稳定的不动点后扩张生成为2×T ( 1) 不变环面, 从而进入拟周期运动状态, 随着激励频率的继续增大, 2 ×T ( 1) 环面首先失去光滑性, 接着产生环面振荡、扭曲、缠绕和锁相, 最后演化为混沌运动状态。这种由周期运动向拟周期运动并通向混沌的演化路径经常出现, 属于常规路径。传动系统中的混沌运动不断地由某种轨道突跳到另一种轨道上去的变化, 表明其运动状态的不可预测性和轨道的永不重复性, 这种不可预测性和永不重复的突变会严重影响设备的寿命, 引起大的噪声。机械设备在实际工作中, 应避开拟周期和混沌等复杂运动的区域, 以保证系统在稳定的周期运动区域内正常可靠运行。

3. 3 阻尼系统对系统动态特性的影响

根据灵敏度分析, 发现啮合阻尼比对系统动态特性影响较大。通过改变系统的啮合阻尼比, 得到在 ξ1= ξ2= 0. 1 和 ξ1= ξ2= 0. 12 时, 系统随第一级量纲一激励频率变化的分岔图如图10 所示。对比图10、图3 可发现: 啮合阻尼比对系统动态特性的影响十分明显, 增大阻尼比, 可有效地缩小系统的混沌运动区间, 扩大系统的稳定周期运动区间, 从而提升系统的动态性能。

轮齿之间的啮合阻尼比与轮系结构参数和齿轮物理参数有关, 设计时, 可通过调节轮系结构参数和齿轮物理参数来获得合适的阻尼比, 以缩小系统复杂运动响应的区间, 达到在提高系统可靠性和寿命的同时, 降低系统噪声的目的。

4 结论

( 1) 建立了含时变啮合刚度、齿侧间隙与综合啮合误差等强非线性因素的某两级行星齿轮传动系统纯扭转非线性动力学模型, 推导了该系统在相对位移坐标下的量纲一动力学方程, 采用数值积分方法对方程组进行了求解, 得到了系统的非线性动态响应结果。

( 2) 多级行星轮系在高速轻载工况下, 由于齿侧间隙强非线性因素的作用, 系统表现出非常丰富的非线性动力学行为和分岔特性。随着激励频率的变化, 系统会发生简谐单周期运动、非简谐周期运动、拟周期运动和混沌运动。

( 3) 系统通过Hopf分岔由周期运动进入混沌运动, 这种由周期运动向拟周期运动转化最终通向混沌的演化路径属于常规路径。实际设备工作时, 应避开拟周期和混沌等复杂运动的区域, 以保证系统在稳定的周期运动区域内正常可靠运行。

( 4) 在耗散系统中, 啮合阻尼比对于系统的动态特定影响很大, 适当增大阻尼比, 可有效压缩系统的混沌运动区间, 增大周期运动的区间, 从而提高系统的动态特性。在设计时, 可考虑通过调整系统的结构参数和设计参数, 选择合适的啮合阻尼比来提高设备的可靠性和寿命。

参考文献

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混沌特性 篇5

随着化工行业的飞速发展,化学品的种类和生产量以惊人的速度不断增长。在化学品极大地改善和丰富人们生活的同时,各种化学品事故也层出不穷,给国家和人民群众生命财产以及生态环境都造成了极大的危害。其中危险化学品泄漏事故尤甚,例如:1984年的印度博帕尔农药厂毒气泄漏事故、2003年的重庆开县井喷事故等。如何有效地预防和控制危险化学品泄漏事故,一直以来都是安全管理所面临的重大课题。

危险化学品泄漏事故是诸多事故中的一种,与其他事故有着许多共同的特性:他们看似是随机发生的,其实存在着特有的内部规律性——非线性特性。混沌理论是解决非线性问题的一种非常好的理论工具,本文运用混沌理论中的时间序列分析和R/S分析方法,对焦作市某化工厂泄漏事故统计数据进行了分析,数据分析结果表明危险化学品泄漏事故具有明显的混沌特性,由此根据混沌理论方法对后续短期内可能发生的事故进行了预测。希望本文能为丰富和发展危险化学品泄漏事故研究以及危险化学品泄漏事故的有效预防和控制做出贡献。

2 焦作市某化工厂泄漏事故的时间序列分析

焦作市某化工厂2005-2008年每月发生的泄露事故统计如表1所示。

表1中的数据基本没有规律可循,这表明泄漏事故的发生具有随机性。对表1中的数据进行一次累加处理,得出时间序列数据如表2所示。

根据重构相空间理论,假设嵌入维数m=1,构造f0:RmRm,使得达到最小,由于表2中的数据值单调递增,不妨设:f(x)=ax+b(a>0)。

记A=B=C=

利用最小二乘法可得:C=(BTB)-1BTA,求解得:a=1.0337,b=1.2390,从而时间序列的预测模型可以表示为:

X(t+1)=X(t)*1.0337+1.2390

于是得到X(49)=80*1.0337+1.2390=83.935≈84,由此可以推测出2009年一月该化工厂发生事故的次数为4次。

3 焦作市某化工厂泄漏事故的R/S分析

仍然以表1中的数据为例,对表1中的数据进行4个数据做一次累加,得到表3。

按照R/S分析的数据处理过程,对数据进行分形处理后,得到表4:

其中R(t)为时间序列的极差,S(t)为标准差。

以ln(R/S)为纵轴,ln(T/2)为横轴,建立坐标系,得出图1。

根据R/S分析的基本原理可以得出,直线的斜率就是赫斯特指数,从图1中可以得出时间序列存在两个赫斯特指数:H1=1.6624,H2=3.8128。赫斯特指数描述了时间序列的自相关关系,特别地,当H>0.5时,说明危险化学品泄漏事故的时间序列具有明显的混沌特性。

4 危险化学品泄漏事故的混沌特性分析

通过前面对焦作市某化工厂泄漏事故统计数据的R/S分析表明,危险化学品泄漏事故的发展过程是一个混沌系统,具有混沌系统的特性。系统的混沌特性即,确定的系统在一定条件下具有的内随机性,这种内随机性对系统的初始条件具有敏感依赖性。因此,预防事故的发生必须从源头上控制,防微杜渐,防止“蝴蝶效应”和“多米诺骨牌效应”的发生。

另一方面,由于对系统初始状态的把握不可能完全准确加之运算过程中存在误差,使得对混沌系统长期预测不可能。但是,由于混沌系统貌似随机的运动可能遵循一条确定的简单规则,这又说明了貌似随机的现象具有可预测性。许多混沌理论专家的研究也表明,混沌系统的短期预测是可能的。

5 结论

危险化学品泄漏事故的发生具有不确定性,通过对看似随机的事故统计数据的R/S分析表明,危险化学品泄漏事故具有明显的混沌特性,属于非线性混沌动力系统范畴。可以利用混沌理论方法加以分析、解决和控制。

泄漏事故统计数据的时间序列分析结果能够有效地反映事故的发展趋势,利用混沌理论对危险化学品泄漏事故进行短期的预测是完全可行的。这为化工企业有效的预防和控制危险化学品泄漏事故的发生提供了可靠的科学依据。

笔者相信,对危险化学品泄漏事故的混沌特性作进一步研究,从混沌系统的无序中寻找有序的解决方案,定能够在本质上预防和控制危险化学品泄漏事故的发生。

摘要：为探讨如何有效地预防和控制危险化学品泄漏事故,运用混沌理论方法对焦作市某化工厂泄漏事故统计数据进行了时间序列分析和R/S分析,指出危险化学品泄漏事故具有明显的混沌特性。分析和讨论了危险化学品泄漏事故的混沌特性,并对后续短期内可能发生的事故进行了预测。

关键词：危险化学品泄漏事故,混沌特性分析,时间序列分析,R/S分析

参考文献

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苗东升.系统科学精要[M].北京:中国人民大学出版社,2010.

李士勇等.非线性科学与复杂性科学[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2006.5.

混沌特性 篇6

从20世纪90年代以来，混沌保密通信一直受到广泛关注。确定性混沌系统所产生的混沌信号具有高度不可预测性和貌似随机的特性，对于保密通信工程应用，极具吸引力。为此，国内外已经提出了利用混沌加密进行数字通信方法和装置，并取得了许多有价值的重要进展[1,2,3,4]。本文介绍的PSTN链路数据密码机是我们获得的国家发明专利产品，它是基于混沌保密通信原理研制的异步数据终端密码设备，特别适用于利用电话网组网的计算机数据通信网络。它能够对计算机终端间数据信息进行实时加密传输。利用电话线路组建计算机通信网络是一种简单易行的方式，由于电话网络覆盖面较大，扩充新用户容易，目前各大部委，证券、保险等部门均采用这种组网方式。但是由于电话网是一种公共设施，在传输过程中信息的安全得不到保障。数据密码机能对线路上传输的数据信息进行实时加密，确保普密级或商密用户信息在电话网上的安全传输。线路密码机为国家信息的安全传输提供保障，是数据终端用户理想的密码设备。体积小，标准线路接口，安装简单方便适用于公用或专用电话网数据传输环境，支持数据、图象等modem所能传输的所有业务，应用于政府部门、金融机构及大型企业，异步数据密码机用来对点对点异步拨号通信的微机或者其他设备进行通信加解密，用在公网中需要进行保密拨号通信的场合。还可用于国防领域诸如核实验基地、重要数据现场的加密传送，具有广阔的市场前景。

1 混沌密码机实验系统框图

异步数据密码机是对计算机终端传输数据进行加解密的数据密码机，应用在公用或专用电话网数据传输环境。密码机接在终端设备 (如计算机、服务器、DTE) 和线路设备 (如调制解调器、DCE) 之间，为用户提供加密服务。该实验系统由计算机、混沌数据密码机、调制解调器，公共电话网（PSTN）组成，如图1所示。

计算机与密码机之间使用RS-232C 25芯标准电缆连接，密码机与调制解调器之间也使用RS-232C电缆连接。由调制解调器将加密后的数据送入公共电话网。

2 混沌数据密码机的工作原理

混沌数据密码机的工作原理框图如图2和图3所示。来自计算机（或带RS-232C接口的现场测控设备）的控制信息经RS-232C电平转换器1，送给主CPU，主CPU通过RS-232C电平转换器2控制调制解调器完成拨号和建链。同时主CPU将来自混沌随机数发生器的模拟信号转换成数字信号，形成工作密钥，送给混沌密码算法CPU，并将此工作密钥加密通过调制解调器发送给对方。然后，主CPU通知本方计算机（或带RS-232C接口的现场测控设备）可以发送数据。来自计算机（或带RS-232C接口的现场测控设备）的数据经RS-232C接口，送给主CPU，主CPU将数据送给混沌密码算法CPU，算法CPU将此数据加密，回送给主CPU，主CPU将此加密后数据通过RS-232C接口2送给调制解调器，由调制解调器发送到PSTN。接收方与此过程相反。与普通链路密码机不同的另一个特点是该密码机可直接连接最多15路模拟信号，由发送方的CPU转换成数据信号，然后加密发送。

3 混沌的密码“一次一算法”

在分析了混沌映射和密码编码算法之间的异同基础上，我们解决了混沌理论在密码机中如何使用的问题。

混沌用于密码主要二种模式：一种是利用混沌本身来构造密码；另一种是将混沌理论与已有密码构造方法相结合来构造密码。前者的复杂性、安全性分析工具目前尚有待研究和获得公认;后者是我们研究和设计的一种实用的密码算法。与传统密码思想结合的好处在于将密码分析工具的研究工作量降到一个可以被接受的程度，从而使其可行性得到保证。研究表明：利用混沌的随机性理论可创新性地实现密码学界一直力求达到的“一次一算法”的设计思想。同时，我们将密码算法的混沌运算置于每次通信的密钥传递后，密文通信前的链路建立时间间歇，此时CPU处于空闲时间，既减少了密文通信中的运算时间，提高了密文通信速度；又实现了一次一算法（指一次通信）的思想，从保密的角度讲，增强了安全性。同时也符合所有秘密归于密钥这一现代密码设计思想。虽然在目前的各种通信场合，基本上都能实现“一次一密钥”的思想，而我们这里的“一次一密钥”非传统意义上的每个字节或每小段信息一个密钥，而是一次通信过程一个密钥，这为保证“一次一算法”的设计提供了保证，而混沌理论为设计这样的算法提供了理论基础。这也是密码学界多年欲解决的一个问题。我们设计的“一次一算法”具体结构如图2所示。该密码算法设计的优点体现在既可保证安全性，又可保证高速性。而且与现代密码学的保密思想“一切秘密隐藏于密钥之中”相合。

我们提出的混沌算法密码具有以下优点：

安全性：其一，混沌运算是基于实数域上的算术运算，比逻辑运算有更为复杂的时间运算复杂度，由于基本密码模块的S盒或替换表是由混沌运算产生的，攻击者在穷举攻击中必然要通过混沌运算，才能真正找到实际的运算算法。如采用128位密钥，这在时间上是不可行的，耗时比传统的逻辑运算密码耗时更长。其二，如果直接攻击基本算法模块，穷举S盒时，将需要海量子密钥，这些子密钥来源于混沌运算。传统的基本密码模块S盒是公开的或是固定的，子密钥通过逻辑运算获得，因此“一次一算法”结构更难受到攻击。其三、如果直接穷举攻击替换表，如果替换表足够大，其组合模式是海量的，本文算法有255！个，

其攻击难度甚至比直接攻击密钥更不可行。如果采用已知明文攻击替换表，也面临攻击基本算法模块的难度。

高速性：其一、由于混沌运算是在每次通信之前，密钥传送以后完成的，因此不占用正常通信时时间，提高了算法的复杂度，而又不增加正常通信密码产生时间，这也是混沌应用的一大优势。其二、由于引入混沌运算大大增加了算法复杂度，从而可降低基本运算模块的开销，与传统的密码算法相比，同样的算法复杂度下，基本运算模块可作得极其简单，为设计超高速密码算法提供了可能。

4 混沌密钥源

根据现代密码学的理论思想，一切秘密源于密钥，那么密钥源的选取就显得很重要，噪声源作为密钥源是密码设备的一个重要组成部分，通常用物理噪声源生成随机的密钥。但是物理噪声源产生的随机序列特性较难以保证，导致密码体系潜在的危险性，而且随机序列的速率难以保证，难以适合高速的场合。

我们利用著名的Chua电路来产生混沌信号，通过A/D转换器转换成数字信号，在理论上确定了保证安全性和速度的采样频率。为了和现有噪声源实现兼容性，作了并/串转换，为保证随机性和高速性，进一步用m序列扰动，组成了一个基于混沌的随机数信号发生器，来提供每次通信时的会话密钥。采用混沌噪声源是对现有噪声源的一种有效补充，具有高速和可信的安全性理论保障，今后可以作成集成电路芯片。

5 混沌密码机的主要特点

我们设计和研制的数据链路密码机是异步数据终端密码设备，如图4所示。我们解决了混沌密码机的三个技术关键：基于混沌的密码算法设计，达到高安全性、高速性；“一次一算法”密码设计；高速、高安全性的混沌密钥源设计。

混沌密码机有以下主要特点：

迄今国内外混沌保密通信的关键技术处于保密状态。我们研制的密码机与国内外比较，主要不同点表现在：

首次提出基于混沌复杂性的“一次一算法”的混沌分组密码新算法和设计思想，并在实际密码机中得以实现，从而极大地增强了穷举攻击的难度。

首次研制了数据链路混沌密码机，采用异步数据混沌通信方式，而不是采用国内外通常所用的混沌同步方法与技术，后者近年来已经被证明易被攻击破译。

采用软件与硬件相结合方法，而不是国内外目前大部分分别采用单独的软件加密或硬件加密法，单独加密技术上虽然易于实现，但已经被证明不够安全。

将混沌密码和传统密码相结合，应用上述分组混沌密码新算法和混沌LOGISTIC映射生成动态的混沌映射生成密码替换表，大大强化了AES算法中的S盒的作用，并能用现代密码安全理论来分析混沌密码新算法的安全性。目前国内外大多数采用单独的混沌算法，则无法进行安全性分析。

首次在国内研制了可以作为密钥发生器的混沌噪声源，可以适合于速率较高的通信场合。

提出了实施计算机终端间数据信息进行加密传输的完整方案，这样容易实现国防系统等领域中重要现场保密数据的实时安全双向传输方式，而目前现代卫星通信还因为安全性不得不采用单向双向传输方式。

另外与国内外比较，我们研制的混沌密码试验样机，体积小, 连接方便，可嵌套式使用，不改变原来通信装备，灵活性大, 整个设备成本低, 适用于专用及公共电话网的计算机数据通信网络，保密或公开通信方式还可以容易相互转换，凡是地球上有线电话网的地方均可应用.比较美国三所大（UCLA、UCSD和Stanford）组成的MURI联合体建立的激光混沌脉冲定位调制数字通讯演示系统, 在空中就架起高达215 fit激光反射塔, 整个体积庞大, 耗资巨大, 又不能嵌套使用, 与现代通信系统不能有机接轨, 目前虽然完成2.5公里的通信试验。虽然项目已经结实，但是至今美国没有关于这方面的实用报道。估计远距离的保密通信仍存在没有完全解决的技术难关；而欧盟试制的扩频混沌收发机还处于初步试验阶段；加拿大UWO的混沌通信虽曾经报道过，但是据悉没有真正实现，仍然以软件加密为主。我国该领域有很好的研究工作，与国际上处于同步进展。香港城市大学在国际上发表了不少有关混沌保密通信的论文，目前他们主要建立了混沌语音演示系统、光纤混沌通信初步试验和在Internet上试验了混沌保密谈话系统，都有待进一步实验和进入实用技术研究。由于保密关系，仅据我们所知，国内外迄今还没有公开有实用价值的混沌保密通信设备。

6 应用前景

从国防现场或工业现场等适时采集的情报，应用上述研制的数字链路混沌密码机进行加解密，再经过适配器与计算机连接通信，在公共电话网或专网上实现保密通信，这种软硬兼施的保密手段具有比通常更高的保密和抗破译能力。

由于该混沌密码机体积小，标准线路接口，安装简单方便适用于公用或专用电话网数据传输环境，可以支持网数据、图象等modem所能传输的所有业务，全球凡是有电话任何地方都可以实现保密通信。因此，它不仅能可应用于国民经济领域众多部门, 而且能够适合于我国国防领域实验现场的数据加密传送。这是数据终端用户比较理想的密码设备。还可以扩广到在互联网上的保密通讯。

总之，这一混沌信息技术，可能为进一步设计和实施电子信息对抗的方案提供一种新手段，而数字链路混沌密码机可能在未来信息对抗中发挥应有的作用。因此，本专利成果具有军民两用的潜力和市场开发前景。

摘要：在研究混沌复杂性的基础上, 探索了一种混沌密码新算法, 并成功地用于研制文件传输数字链路混沌密码样机, 本文简要介绍了我们获得的国家发明专利:PSTN链路数据密码机, 它是基于混沌保密通信原理研制的异步数据终端密码设备, 特别适用于利用电话网组网的计算机数据通信网络, 该机在专用和公共电话网具有较大的应用潜力和发展前景。还可以扩广到在互联网上的保密通讯。

关键词：PSTN链路数据密码机,原理,特性

参考文献

[1]方锦清, 驾驭混沌与发展高新技术, 北京:原子能出版社, 2002。

[2]赵耿, 混沌密码在计算机网络通信中的应用研究, 中国原子能科学研究院博士后出站研究报告, 2004年5月。

[3]方锦清, 混沌数字链路密码机总结报告, 部级鉴定会, 2004年12月, 北京。

[4]赵耿, 方锦清, 现代信息安全与混沌保密通信应用研究的进展, 物理学进展, 2003, 23 (2) :212-255。

混沌特性 篇7

混沌信号的生成是由不同的混沌系统产生的, 自Lorenz混沌系统发现以来, 混沌理论及其应用研究得到了国内外技术人员的极大关注[1,2,3]。在此基础上, Chen系统[2], Lü系统[4,5]和Liu系统[6]先后被发现, 近年来, 新的混沌系统不断被研究人员发现[7,8,9], Li等[7]在Colpitts电路的基础上提出了一类具有恒Lyapunov指数谱的混沌系统。现今, 混沌理论的研究内容主要包括:混沌信号的产生与处理、混沌同步及混沌电路的设计与应用等。不过, 对于现有混沌系统动力学特性的分析与研究也一直是混沌理论研究的热点之一。

本文在混沌Liu系统已有研究基础上, 着重研究了Liu系统的恒Lyapunov指数特性以及与其相关的输出信号幅度调节特性。具体来说, 就是采用混沌系统的Lyapunov指数谱及分岔图研究了Liu系统的恒Lyapunov指数特性, 并研究了系统参数对输出信号幅度变化特征的影响。研究表明混沌Liu系统具有恒Lyapunov指数特征, 同时, 其输出信号幅度也具有调幅特性。

1 混沌Liu系统的动力学分析

文献[6]提出的混沌Liu系统是一个含有平方项的三维自治混沌系统[6], 其模型可描述为:

当a=12、b=40、c=5.5和h=4时, 系统的动力学状态处于混沌状态[6], 其吸引子相图如图1所示。为便于后面的讨论与分析, 下面对混沌Liu系统平衡点及其稳定性给出必要的理论分析。令Liu系统 (式 (1) ) 的右边等于零, 可解得系统的三个平衡点为s0= (0, 0, ) 0、, 因为Liu系统参数满足bc>h0, hLiu系统三个平衡点均存在。如Liu系统在各平衡点处线性化的特征多项式可统一表示为

另外, 在平衡点处对Liu系统进行线性化, 得其Jacobi矩阵J0和特征多项式f (λ) 分别为

由 (2) 和 (3) 式可得

根据Routh-Hurwitz系统稳定性判断条件[5], 当且仅当A>0、B>0、C>0和AABB-C>0时, 系统的特征值都具有负实部, 平衡点才为稳定点。所以, 当a=12、b=40、c=5.5和h=4时, Liu系统在三个平衡点处的特征值都不具有负实部, 平衡点均不稳定, 系统为混沌状态, 混沌吸引子相图如图1所示。

2 Liu系统参数的影响

为了直观地描述出系统参数变化时系统动力学行为变化特征, 根据混沌系统具有对系统参数变化敏感这一特点, 采用Lyapunov指数谱图 (LE谱) 和分岔图等方法来研究混沌系统的动力学行为特征。下面在文献[6]基础上, 主要研究参数h变化时, 系统混沌动力学行为变化特点。因此, 令a=12、b=40和c=5.5固定, 使h∈[0.5, 100]。通过数值仿真得系统的LE谱以及关于x、y和z的分岔图如图2所示。由图2 (a) 可见, 当h变化时, 系统的LE维持不变, 此时的正LE实质就是系统参数a=12、b=40、c=5.5和h=4时的最大LE, 而系统信号x, y的幅度却随着h的增大而减小, 呈一种曲线的变化趋势, 系统z的幅度的最大值几乎保持在一个固定值不变, 图2 (b) 、 (c) 和 (d) 的x、y、z分岔图表明这一变化特点。由上述的研究不难发现, 参数h的变化对系统混沌动力学行为有着独特的影响, 下面对其进行进一步地分析与研究。

Liu系统恒Lyapunov指数及调幅特性研究

1) Liu系统恒Lyapunov指数特性分析

根据混沌理论, 分析Liu系统Lyapunov指数特性, 应根据混沌系统在平衡点处线性化所得到的Jacobi矩阵对应的特征多项式。Liu系统所对应的特征多项式 (式 (3) ) 和 (式 (4) ) 中的参数C均含有系统参数h, 但当把平衡点s0、s1和s2分别代入上述各式后就可消除h, 因此h对系统在各平衡点上的动力学特征不产生影响。实际上, 运用上述方法, Liu系统在任意相点处线性化所得的Jacobi矩阵所对应的特征多项式中均不含有h, 因而h对整个系统的动力学特征不产生影响, 即参数h变化时, Liu系统的Lyapunov指数维持不变, Liu系统具有恒Lyapunov指数谱特性。但在数值计算时, 因受到计算精度的影响, 恒Lyapunov指数值往往会发生微小的波动。结合文献[6]可以发现, 在系统的所有参数中, 除h外, 其他系统参数的变化都会改变系统的Lyapunov指数, 如参数b, 系统的最大Lyapunov指数随着b增大而增大[6]。当保持a=12、c=5.5不变, 分别取b=20、30和40, 如h∈[0.5, 100]变化时, 系统的Lyapunov指数谱如图3所示, 这也说明系统的混沌特性随着b的增大而增强。

2) 系统输出信号调幅特性研究

由图2的x、y、z分岔图不难发现, 在保持系统其他参数不变的情况下, 调节h时, 系统输出的三维信号的幅度大小呈现如下变化规律:系统x、y信号幅度随着h增大而减小, 而z的幅度则保持不变。因此, 可以说调节h可实现对系统输出信号的调幅功能, 但仅对x、y信号调幅, 因此称部分调幅。结合系统平衡点表达式, 进一步地仿真研究还发现, 系统输出信号x、y幅度随 (K为一常数) 关系, 这一结果也可由图4、图5看出, 同时, 由图2 (b) 、 (c) 的x、y分岔图也不难看出这一变化趋势。

3 结论

本文通过理论分析和数值仿真研究了混沌Liu系统的恒Lyapunov指数特征和调幅特性, 重点分析了Liu系统参数h对系统的混沌动力学特性影响。由系统参数h变化时所得的LE谱和分岔图可以发现, 混沌Liu系统的参数h对于其动力学行为的影响较为特殊, 当系统处于混沌状态时, 调节h时不会影响系统的混沌状态, 即系统的Lyapunov指数谱保持不变, 但系统的两个输出信号的幅值与h之间却表现为 (K为常数) 关系变化, 而另一维信号幅值保持在恒定的数值区间, 因此, 混沌Liu系统输出信号具有部分调幅功能。通过研究, 进一步地揭示了Liu系统的动力学特性, 为Liu系统的的实际应用提供了必要的理论支持, 研究具有重要的理论意义和实际价值。

参考文献

[1]Lorenz E N.Deterministic nonperiodic flow[J].J.Atmos.Sci., 1963, 20:130-141.

[2]Chen G R, Ueta T.Yet another chaotic attracror[J].Int.J.Bifur.Chaos, 1999, 9:1465-1466.

[3]Celikovsky S, Chen G R.On a generalized Lorenz canonical form of chaotic systems[J].Int.J.Bifur.Chaos, 2002 12:1789-1812.

[4]LüJ, Chen G.A new chaotic attractor coined[J].Int.J.Bifur.Chaos, 2002, 12 (3) :659-661.

[5]陈关荣, 吕金虎.Lorenz系统族的动力学分析、控制与同步[M].北京:科学出版社, 2003.

[6]Liu C X, Liu T, Liu L, et al.A new chaotic attractor[J].Chaos, Solitons and Fractals, 2004, 22:1031-038.

[7]李春彪, 王翰康, 陈谡.一个新的恒Lyapunov指数谱混沌吸引子与电路实现[J].物理学报, 2010, 59 (2) :783-791.

[8]周小勇.一种具有恒Lyapunov指数谱的混沌系统及其电路仿真[J].物理学报, 2011, 60 (10) :100503-1~100503-12.