连续混沌信号

连续混沌信号（精选7篇）

连续混沌信号 篇1

0 引言

在现代战场上, 敌我双方都要快速并准确地完成对对方目标信息复杂、精确的处理分析, 因此所发射的侦测信号应具有大的时宽带宽积, 从而可以获得较高的距离分辨力和速度分辨力, 并且能够激励出目标的其他特征。这就要求所发射的信号具有复杂多变的波形和良好的隐蔽性。

具有大时宽带宽积是实现信号脉冲“压缩”的必要条件, 而具有宽频带是混沌信号的特征之一, 因此混沌信号具备成为脉冲压缩信号的基本条件。不仅如此, 由于混沌信号本质是确定性和随机性的统一, 即对于信号发射方而言, 混沌信号由确定性系统产生, 而对于敌方而言混沌信号表现得近乎随机, 所以混沌信号作为侦测信号具有更强的生存能力。波形大多具有较为理想的“图钉”形的模糊函数, 主副瓣比较高, 且其ECCM性能也令人满意。文中针对产生连续混沌波形信号的失谐耦合型考必兹宽带混沌电路进行分析, 对比不同耦合方式的混沌电路并仿真出混沌信号的模糊函数图。结果表明, 具有连续混沌波形的信号具有良好的距离和速度分辨率, 同时也提高了侦测信号的LPI性能。

1 连续混沌信号

连续混沌信号具有大时宽带宽积和尖锐的自相关函数, 如果可以直接将连续混沌信号作为雷达载波, 将彻底颠覆目前雷达信号的性质及其产生方式。对敌方而言, 对混沌雷达信号的截获和干扰将遇到极大困难, 从而使我方占据主导战场的优势。目前的雷达信号产生模式是将中频信号经过调制成为高频信号, 再由脉冲调制成发射信号。而混沌雷达载波信号的产生过程为高频宽带混沌振荡器经过带通滤波输出高频信号, 再经过脉冲调制转换成雷达发射信号, 可以明显看到, 这两者的区别是本质性的。

宽带连续混沌信号可以直接通过混沌振荡电路来产生。目前已有多种十分成熟的混沌振荡器, 其中最为著名的是1983年由华裔科学家蔡少堂 (L.O.Chua) 教授提出的Chua电路[1]。Chua电路结构上比较简单, 但具有丰富的混沌特性动力学特性, 所以一直以来都是研究的热点。由于非线性电阻结构上的限制, Chua电路输出信号的频率并不高, 因此不能直接用于雷达信号, 但作为最初的混沌信号发生器, Chua电路仍具有很高的研究价值。

在混沌信号振荡器的研究方面, 蔡少堂的学生, 爱尔兰学者Kenndey研究了考必兹 (Colpitts) 电路的混沌特性并提出改进[2,3]。在国内, 南京理工大学的宋耀良教授提出失谐耦合型考必兹宽带混沌电路[4]。这种电路生成的混沌信号在带宽和频谱的平坦度上都有很大的提高, 为混沌雷达载波信号的实现奠定了良好的基础。

2 Colpitts宽带混沌电路及改进

2.1Colpitts混沌电路

为了提高混沌信号的频率, 爱尔兰学者M.P.Kennedy分析了Colpitts电路的混沌特性。其中的非线性器件是三极管, 比构造Chua电路所用的运算放大器的截至频率要高得多, 因此Colpitts振荡器能产生Chua电路频率高的多的混沌信号。

Colpitts振荡器是一个三阶LC振荡器, 其中的非线性元件是三极管, 在电路中共基极连接, 稳态时三极管状态放大区和截至区之间变化。为了提高Colpitts振荡器的稳定性, 通常在三极管的射极上加上具有负温度系数的恒流器件, 工程上Colpitts电路一般是单电源供电。

Colpitts振荡器的状态方程为:

$\{\begin{array}{l}C{}_1\dot{V}{}_{C1}=-f(V{}_{C2})+{\rm I}{}_L\\ C{}_2\dot{V}{}_{C2}={\rm I}{}_L-{\rm I}{}_0\\ L\dot{{\rm I}}{}_L=-V{}_{C1}-V{}_{C2}-R{\rm I}{}_L+V{}_{CC}\end{array}$

, (1)

式中, f (VC2) =ISexp (-VC2/VT) 为三极管b-e结电阻RE在工作点附近的特性的函数。在Multisim环境下进行电路仿真, 元件参数选择L=100 μH, C1=C2=56 nF三极管选择2N2222, 令电阻R的阻值从0逐渐上升, Colpitts电路的状态变化依次为:单一频率振荡——多谐波振荡——混沌振荡——多谐波振荡——停振。将电路调谐到混沌振荡状态, Colpitts振荡器的频率相对较高, 但频谱的平坦度达不到要求, 实际上不存在实际的利用价值, 但它为真正的可以利用的混沌振荡器的出现提供了一种重要的思路, 所以具有很高的理论价值。

2.2多级耦合的Colpitts振荡器

为达到了拓宽信号频带的目的, 可以将多个不同中心频率的Colpitts振荡电路耦合级联起来, 从而得到真正意义上的宽带混沌振荡电路。由于是以Colpitts振荡电路为基础, 所以级联电路具有高的振荡频率, 而且耦合级数越多, 信号频谱的平滑性越好。多级耦合型Colpitts振荡器原理为第一级Colpitts电路之后经过某种耦合到达第二级Colpitts电路, 以此类推直到第n级Colpitts电路, 实际上, 在不同的耦合方式下, 可以得到性能不同的混沌信号[5]。本文仅给出多级电容耦合的振荡电路的仿真结果, 从而说明该电路的优越性及实际利用价值。

多级耦合的Colpitts电路充分发挥了Colpitts电路振荡频率高的优势, 而且, 由于各级电路间的相互影响, 多级耦合输出信号的频谱不是单纯的频率叠加, 而是有更多的频率分量产生, 从而提高了信号频谱的平坦度。这里以三级电容耦合为例作仿真试验, 目的是展示多级失谐耦合Colpitts电路输出信号的特点, 同时比较不同耦合方式的差异。图1给出了在Multisim环境下实现的三级电容耦合Colpitts电路仿真图, 示波器标志指向的是数据采集的节点, 各级Colpitts电路的中心频率可用式2计算。

$f{}_{0n}=\frac{1}{2\text{π}}\sqrt{\frac{Cn1+Cn2}{LnCn1Cn2}}$。 (2)

将上述电容耦合Colpitts振荡器电路的耦合方式换作二极管, 虽然这两个电路的差别仅仅在于耦合方式不同, 但由于二极管是非线性器件, 因此二极管耦合使电路的非线性成分增加, 相应的输出信号频率分量进一步增加。

3仿真结果分析

图2是三级电容耦合电路输出信号的频谱, 与单级Colpitts电路相比, 三级电路的信号频带展宽增大, 三个峰值对应三级Colpitts电路的中心频率。实际上, 随着级数的增加, 多级耦合Colpitts电路输出的信号会有更宽的频谱, 最高频率由所用三极管的截至频率决定, 选用高频三极管可以实现GHz级的混沌振荡器 (本实验只实现了百兆级) 。通过改变电路参数和耦合方式, 例如换作二极管耦合电路输出信号的频带将会更宽, 更平坦, 从而可以得到满足要求的高频宽带混沌信号。

令振荡器输出信号通过带通滤波器, 可以得到具有脉冲压缩特性的雷达信号。图3是经带通滤波后混沌信号的模糊图。由图3可见, 宽带混沌振荡器能够产生连续混沌的雷达信号, 而且具有图钉形的模糊图。

Colpitts混沌振荡器可以输出高频混沌信号, 但不能保证频带足够宽, 而多级耦合Colpitts混沌振荡器可以弥补这一缺点, 仿真实验显示这种方案可以得到频率足够高和频带足够宽的混沌信号, 并且该信号满足雷达脉冲压缩信号所要求的特点——尖锐的自相关函数和大时宽带宽积。另外, 由于混沌雷达信号具有类似噪声的随机性, 所以被截获的概率很低, 同时混沌信号具有对初始值敏感的特点, 所以即使雷达信号被截获也难以对其参数进行估计。

总之失谐耦合型考必兹宽带混沌电路生成的混沌信号在带宽和频谱的平坦度上都有很大的提高, 这为混沌雷达载波信号的实现奠定了良好的基础。

4结束语

通过以上的分析讨论, 可以看出连续混沌波形雷达信号基底分布均匀, 近似于理想的“图钉型”。这种信号除了具有常规脉冲压缩雷达分辨力高的特点外, 还具有更强的杂波抑制能力。本文中的仿真试验显示了这类信号的优越性, 但是理论上和仿真试验上行得通的方案距离真正的工程实现还是有相当的距离。实际上就目前的技术水平而言, 高频宽带混沌振荡器的稳定性难以保证, 参数调节十分复杂, 混沌信号接收机的设计也还是个难题, 这些都是制约混沌雷达实现的瓶颈, 需要进一步深入研究。现今我们做的更多的是理论上的探讨, 显然这种探讨是有意义的, 也是有收获的。混沌信号作为雷达信号的优越性已经开始展现在我们面前, 由于近年来在物理上已经实现混沌, 伴随着混沌理论的不断深入以及信号处理和计算机技术的进一步发展, 要实现混沌振荡器的工程应用也定将成为现实。

参考文献

[1]CHUAL O, LIN G.Canonical realization of Chua’s circuit family[J].IEEE Trans.Circuits Systems-I, 1990, 37:885-902.

[2]KENNEDY MP.Chaos in the Colpitts oscillator[J].IEEE Trans.Circuits Systems-I, 1994, 41:771-774.

[3]ELWAKIL A S, KENNEDY MP.A Family of Coplitts-like Chaotic Oscillator[J].Journal of Franklin Institution, 1999, 336:687-700.

[4]宋耀良.宽频带混沌雷达信号理论与应用研究[D].南京理工大学博士论文, 江苏南京:2000:78-93.

[5]艾名舜.基于混沌理论的雷达信号检测与波形设计方法研究[D].第二炮兵工程学院硕士论文, 陕西西安:2007:65-68.

连续混沌信号 篇2

上个世纪九十年代初, 美国海军实验室研究人员运用了开展了混沌同步电路实验研究, 其所运用到的原理为驱动-响应式, 这一研究成果的获取使得越来越多的相关研究人员对于混沌理论的研究热情得以充分激发出来。此信号的主要优势是其具备宽带性、复杂性及正交性, 因此在社会各领域中均得到了广泛应用, 能够帮助确保保密通信工作的安全性。近些年来, 我国的混沌保密通信研究工作开展中已获取到了极佳的成果, 此类研究方案主要被分为四个部分:混沌掩盖、键控、扩频及参数调制。

1 混沌保密通信简介

混沌保密通信主要被分为三种类型:模-模通信、模-数-模通信及数-数通信[1]。而将其作为基础所研发的三种保密通信设备也相应的被分成了三种类型, 第一种是模拟式保密机, 主要的作用机制是其无论是发送还是接收的信号均为模拟信号而非数字信号。第二种是模-数-模式保密机, 其主要的作用机制是接收信号的发送及接收端信号均为模拟信号。而中间对信号的处理及传输中信号均属于数字信号。第三种则是数字式保密机, 主要的作用机制为其发送及接收端口处的信号均属于数字信号。此种新型数字保密设备能够充分适应及满足现代信息传输需求, 全面确保信号传输的准确及有效性。现今混沌保密通信技术所涉及到的领域较为广阔, 其所包含的技术内涵也更为丰富化, 对其的研究也需进一步的加强。在混沌保密通信技术中, 核心技术为:混沌遮掩, 也就是指混沌隐藏[2]。主要是将混沌信号作为整个信号传输活动中的载体, 并对信号传输中的隐秘信号进行分析研究, 对其实行加密处理。由于混沌信号自身包含着宽带类噪声, 所以, 信息信号能够直接被隐藏至其中, 难以被发现, 能够帮助获取到极佳的保密效果隐秘性较强。

尽管混沌保密通信技术在现今社会发展中得到了较为广泛化的运用, 其发展势头虽极为迅猛化, 但是不可否认的现今依旧处于一个发展阶段中, 另外, 针对混沌通信技术发展不可仅运用单一一种理论实现, 而是需要运用到多种交叉学科相互作用才能够帮助完成最终的成型工作。混沌保密通信技术在现今的发展中依旧存在着的一定程度上的缺陷不足, 针对其抗干扰能力、抗破译能力等相关问题的研究有待进一步的探索研究。混沌遮掩通信属于混沌技术的核心所在。因此在对混沌技术做创新处理时, 需注意配合运用神经网络同步混沌遮掩通信、PCM编码通信等。在运用到数字化的同步处理技术时, 还需注意全面增强其通信灵活敏感性, 确保通信保密的动态性。还应加强注意的是, 混沌通信保密技术的今后发展模式将会逐渐趋于超时空混沌模式其自身具备极佳的保密性, 且存储量与传统混沌通信技术相比, 可以说是实现了翻倍。

2 基于混沌导频信号同步控制的混沌保密通信设计方案

2.1 混沌保密通信设计方案

此次所设计的混沌保密通信方案主要思想为将混沌同步及调制由两个及其两个以上主从关系且相异混沌系统完成, 而且若是只存在单个混沌系统时, 两者则由不同的信号完成, 其中导频信号为混沌同步控制的信号, 并与已完成信息信号调制的信号传输相对独立。虽然同步控制信号与调制信号传输活动是相对独立的, 但这并不表示其并行载波信道需具备两个且为独立化, 而是能够仅在单一的信道上完成信号传输工作, 且无论是何种工作模式均可完成相关工作。由此可见, 此次保密通信设计方案的优越性。

2.2 混沌保密通信设计方案优势

第一, 混沌同步控制信号可被作为导频信号完成独立传输工作, 其收发两端所运用的是同等且与整个系统相符的同步控制信号, 能够为同步控制精准度的提升提供帮助, 而且也能够实现收发端同步控制操作的灵活简便化。如可运用前向或是反向的混沌导频信号同步控制的方式[3]。两种控制方式相对比, 反向的通信系统更为隐秘化。第二, 在整个通信系统之中, 混沌调制及同步控制的信号是相分离的, 混沌的产生及同步也不受到信息及混沌信号之间大小的限制影响, 且能够为实现混沌调制方式的灵活、多样化供助力。第三, 在通信收发两端的调制同步混沌系统两者之间, 可注意采用更为复杂化的同步控制计算法, 从而帮助增强整个通信的安全保密性。此次混沌保密通信设计方案所具有的优势性使得在其应用中, 整体的保密安全性不会出现问题, 可得到较为全面的保障。

3 混沌通信系统

3.1 混沌系统

为了对相关的结论进行科学验证, 因此应构建出一个具备导频信号同步控制的通信系统。为了确保此系统具备通用性, 需选用同一混沌系统的不同状态变量, 而非不同系统中的不同变量在, 而通信收发两端的混沌模型则采用Sprott系统I模型。

假设混沌通信系统发送端混沌系统为:

其中, x1、x2、x3均代表的是通信发送端混沌系统的三个状态变量, 那么, 将接收端混沌系统设为:

其中, y1、y2、y3均代表的是通信接收端混沌系统的三个状态变量。

3.2 仿真系统构建

仿真系统主要采用的是反向同步控制, 也就是指运用收端混沌系统y2去对发送端混沌系统中的y1进行控制。而x1及y1则被分别运用于发送、接收端信号的调制及解调工作。

4 仿真数据分析

在混沌通信中, 混沌同步是其基本所在。仿真结果表明, 运用混沌导频信号同步控制的方式能够帮助实现通信接收发系统的混沌同步, 而一些有效信号也不会对收发系统之间的混沌同步活动造成什么干扰、阻碍。因为采用了混沌同步控制信号及混沌调制信号隔离的方式, 因此, 混沌调制及被调制的信号之间所存在着的大小关系也不会对混沌同步活动造成什么不利影响。仿真实验结果表明, 混沌调制及被调制信号的大小关系仅仅会受到电路性能的限制, 尤其是一些运算放大器的性能[4]。

5 结束语

现今社会经济及科技的迅速发展使得社会各个领域中现代信息技术被广泛应用, 而在信息技术发展中, 安全问题是重中之重, 因此, 对于混沌保密通信技术的研究也越发引人关注。对基于混沌导频同步控制的混沌保密通信技术方案进行科学设计, 能够帮助进一步增强其信息数据传输活动中的安全保密性, 进一步增强对于外界盗窃行为的抵抗力, 对混沌通信技术的全面化分析探究, 新型方案的设计实践, 能够帮助增强信息安全的更新应用, 从而使得我国社会的经济、科技探究安全性及稳定性均能够得到全面保障, 进一步促进我国社会的良好及健康发展。

摘要：随着现今社会经济与科技的迅速发展, 混沌保密通信已成为社会发展所关注的热点问题, 对此问题展开全面化的分析研究, 能够为保密通信工作的安全性提供强大的助力, 为社会的和谐安定提供坚实的保障。文章首先对混沌保密通信的主要内容进行了阐述说明并且着重对基于混沌导频信号同步控制的混沌保密通信设计方案进行了分析研究, 以此帮助促进其良好发展。

关键词：混沌导频信号,同步控制,混沌保密通信

参考文献

[1]李国华.基于混沌导频信号同步控制的混沌保密通信[J].计算机应用研究, 2014, 31 (9) :2788-2790.

[2]刘乐柱, 张季谦, 许贵霞, 等.一种基于混沌系统部分序列参数辨识的混沌保密通信方法[J].物理学报, 2014 (1) :63.

[3]庞晶, 苏双臣, 刘金河, 等.混沌保密通信系统设计[J].河北工业大学学报, 2011, 40 (5) :17-21.

连续混沌信号 篇3

在信号处理中, 将混合在混沌信号中的其他信号分离出来是混沌信号处理领域中的重要课题, 对于混沌在通信、雷达、生物医学等方面的应用有十分重要的意义。在这类分离中, 常规的处理方法是应用小波变换等方法, 利用信号与噪声频谱的差别进行滤波, 以达到分离目的, 但是当信号与噪声的能量分布在同一频带时, 该方法就不再适用。现有的此类信号分离方法一般都要利用各个混沌信号的内在性质以及一定约束。文献[1]利用各个混沌信号之间的互不相关性, 依据重构理论, 重构出源信号, 但只假设信号间互不相关, 且只涉及到数据的二阶统计特性, 并未充分利用包含有实际信号中大部分重要信息的高阶统计特性。本文假设各信号间为更符合实际的相互独立模型, 提出应用独立分量分析法, 利用高阶统计量方法对混合混沌信号进行分离, 实现此类混合信号的盲分离。此处“盲”是指源信号不能被观测;源信号如何混合是未知的[2]。通过仿真实验证实该方法有效可行。

1 基本原理

设X= (x1, x2, …, xm) T为m维零均值混沌信号与其他信号的观测混合信号, 它由源信号向量S= (s1, s2, …, sn) T中相互独立的混沌信号、其他信号sj (j=1, 2, …, n) 线性加权组合而成, 此线性混合模型可表示为:

$\mathit{X}=\mathit{A}\mathit{S}={\displaystyle \sum _{j=1}^n\mathit{a}}{}_{j}s{}_j,j=1,2,\cdots ,n(1)$

式中:A= (a1, a2, …, an) 是m×n满秩矩阵, 称为混合矩阵;aj为混合矩阵的基向量。

混合混沌信号分离基本原理图如图1所示。

为确保上述模型可被估计, 需做以下假设和约束:

(1) 源信号中各分量即混沌信号与其他信号是相互统计独立的。

(2) 源信号中各分量sj具有非高斯分布, 且最多只允许一个具有高斯分布。

(3) 混合矩阵A为方阵, 即假设传感器数与混合混沌信号的源信号分量数相等, 即m=n, 此时A为非奇异矩阵, 逆矩阵A-1存在。

利用观测混合信号X和上述条件构建解混矩阵W= (wij) n×n后, 经过W变换后得到n维源信号估计值Y=[y1, y2, …, yn]T, 则ICA的解混模型可表示如下:

$\mathit{Y}=\mathit{W}\mathit{X}=\mathit{W}\mathit{A}\mathit{S}=\mathit{G}\mathit{S}(2)$

式中:G称为全局 (系统) 矩阵, 若通过学习得G=In×n (n×n 单位阵) , 则y (t) =s (t) , 从而达到分离目的。实际上, 只要G的各行各列只要有一个元素接近1而其他接近零, 则可认为分离成功。由ICA分离得到的各源信号存在两种内在的不确定性:排列顺序不确定;复幅值不确定[3,4,5], 但这并不影响最终对信号的识别。

2 分离方法

分离过程可分为三个部分:

(1) 观测混合信号的中心化;

(2) 观测混合信号的白化;

(3) 提取源信号。

在分离过程中假设观测混合信号已经过中心化, 其均值为零。

2.1 观测混合信号的白化

白化 (Whitening) 定义为对于观测的混合混沌信号x寻找线性变换V, 使得变换后的信号z:z=Vx是白的。“白的”是指变换后各源信号分量zi是不相关的且具有单位方差。

线性变换V一般可利用协方差矩阵的特征值法 (EVD) 来求得。混合信号的协方差为:

$\mathit{E}\{\mathit{x}\mathit{x}{}^{\text{Τ}}\}=\mathit{E}\mathit{D}\mathit{E}{}^{\text{Τ}}(3)$

式中:E是E{xxT}的特征向量的正交矩阵;D是相应的特征向量的对角矩阵, D=diag (d1, d2, …, dn) , 则可令线性白化矩阵为:

$\mathit{V}=\mathit{E}\mathit{D}{}^{-\frac{1}{2}}\mathit{E}{}^{\text{Τ}}(4)$

可以证明此时z为白化的:

$\begin{array}{l}\mathit{E}\{\mathit{z}\mathit{z}{}^{\text{Τ}}\}=\mathit{V}\mathit{E}\{\mathit{x}\mathit{x}{}^{\text{Τ}}\}\mathit{V}{}^{\text{Τ}}=\mathit{E}\mathit{D}{}^{-\frac{1}{2}}\mathit{E}{}^{\text{Τ}}\mathit{E}\mathit{D}\mathit{E}{}^{\text{Τ}}\mathit{E}\mathit{D}{}^{-\frac{1}{2}}\mathit{E}{}^{\text{Τ}}\\ =\mathit{{\rm I}}(5)\end{array}$

2.2 基于峭度的快速不动点分离法 (FastICA法) [3,6]

极大非高斯性分离定理指出, 混合混沌信号的各源信号是极大非高斯性分量。在对混合混沌信号分离中, 极大化y=wTz的峭度 (z为预处理中经白化后的零均值观测混合信号) , 可以得到混合混沌信号中各分量的估计值。当采用梯度算法极大化峭度的绝对值时有:

$\begin{array}{l}\frac{\partial \left|\text{k}\text{u}\text{r}\text{t}(\mathit{w}{}^{\text{Τ}}\mathit{z})\right|}{\partial \mathit{w}}=4\text{s}\text{i}\text{g}\text{n}[\text{k}\text{u}\text{r}\text{t}(\mathit{w}{}^{\text{Τ}}\mathit{z})]\cdot \\ \{\mathit{E}[\mathit{z}(\mathit{w}{}^{\text{Τ}}\mathit{z}){}^3-3\mathit{w}\parallel \mathit{w}\parallel {}^2\}(6)\end{array}$

当令式 (6) 中, 峭度的梯度与w相等, 即可得到:

w∝{E[z (wTz) 3]-3‖w‖2w}, (‖w‖2=1) (7)

由式 (7) 可得不动点迭代算法, 此时可以先计算右面的项, 并将其赋给w作为新值。

$\mathit{w}\leftarrow \mathit{E}[\mathit{z}(\mathit{w}{}^{\text{Τ}}\mathit{z}){}^3]-3\mathit{w}(8)$

由此可得不动点的两步迭代算式:

$\{\begin{array}{l}\mathit{w}{}_i^{\text{Τ}}(k+1)=\mathit{E}[\mathit{z}(\mathit{w}{}_i^{\text{Τ}}(k)\mathit{z}){}^3]-3\mathit{w}{}_i\\ \mathit{w}{}_i^{\text{Τ}}(k+1)\leftarrow \frac{\mathit{w}{}_i(k+1)}{\parallel \mathit{w}{}_i(k+1)\parallel }\end{array}(9)$

该算法也被称为FastICA。实际应用时, E[z (wTi (k) z) 3]需用各时刻的统计均值代替, 收敛后得到的wTi是矩阵中的一行, 所以yi (t) =wTiz (t) 就是分离出的混合混沌信号中某一个源信号si (t) 。原理上, 可以多次运行算法而获得多个源信号, 但这并不可靠。要应用极大化非高斯原理, 以估计更多的源信号时利用:在白化空间中, 不同的源信号对应向量wi是正交的。因此, 当估计多个源信号时, 需将上述一元算法运行多遍, 而为了避免不同的向量收敛至同一个极值点, 必须在每次迭代后将w1, w2, …, wm进行正交化。

在正交化时一般采用并行正交化, 其可以使源信号能够并行估计, 同时被分离出来。W的对称正交化可以通过矩阵平方根的方法来实现。

$\mathit{W}\leftarrow (\mathit{W}\mathit{W}{}^{\text{Τ}}){}^{-\frac{1}{2}}\mathit{W}(10)$

式中:$(\mathit{W}\mathit{W}{}^{\text{Τ}}){}^{-\frac{1}{2}}$可通过对WWT进行特征值分解得到。

$(\mathit{W}\mathit{W}{}^{\text{Τ}}){}^{-\frac{1}{2}}=\mathit{E}\mathit{D}{}^{-\frac{1}{2}}\mathit{E}(11)$

式中:E为WWT的特征向量的正交矩阵, D是相应的特征向量的对角矩阵, $\mathit{D}{}^{-\frac{1}{2}}=\text{d}\text{i}\text{a}\text{g}$$(d{}_1^{-\frac{1}{2}},d{}_2^{-\frac{1}{2}},\cdots ,d{}_m^{-\frac{1}{2}})$。

3 仿真实验

下面, 应用基于峭度的FastICA分离法对混合混沌信号的分离进行仿真实验。仿真中定义分离性能指标为:

$\begin{array}{l}\text{Ρ}\text{Ι}=\frac{1}{n(n-1)}{\displaystyle \sum _{i=1}^n[\left({\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{\left|g{}_{ik}\right|}{\max {}_j\left|g{}_{ij}\right|}}-1\right)}+\\ \left({\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{\left|g{}_{ki}\right|}{\max {}_j\left|g{}_{ij}\right|}}-1\right)](12)\end{array}$

分离出的估计信号y (t) 与源信号s (t) 波形完全相同时, PI=0;实际上当PI=10-2时说明算法分离性能已经相当好。

实验1:两个不同模型的混沌信号混合的分离 两个混沌信号分别为logistic map与henon map, 其中:logistic map 映射方程为x (n) =μx (n-1) [1-x (n-1) ], 式中μ=4, 初始值为0.2。henon map 映射方程为x (n) =y (n-1) +1-ax (n-1) 2, y (n) =bx (n-1) ;式中a=1.4, b=0.3。取10 000个观测点, 舍去前3 000个点 (确保系统进入混沌状态) 再取其后连续的150个点进行分离仿真。混合信号中一路观测信号与源信号明显不同, 另一路波形与logistic map相似, 但幅值有明显变化。经11次迭代后收敛, 分离后不影响对信号的最终识别 (见图2) 。该实验分离指数为PI=0.063 4。

实验2:logistic map与均方差为1的高斯白噪声 (GWN) 的混合 在仿真中logistic map采用实验1的映射方程, 式中μ=4, 初始值为0.2, 高斯白噪声的能量为1。同样, 当确保进入混沌状态后, 再取150个连续的点进行仿真。一路混合信号形似噪声, 此时混沌信号被“淹没”在噪声中, 经FastICA法分离, 11次迭代后, 将混沌信号从噪声中“抽取”出来 (见图3) 。分离性能指数为PI=0.050 4, 表明很好地将信号分离出来。

实验3:混沌信号与谐波信号混合的分离 混沌信号为logistic map, 其映射方程为 x (n) =μx (n-1) [1-x (n-1) ], 式中μ=4, 初始值为0.2。谐波信号为Asin (2πft+φ) , 式中A=0.02, 归一化频率f=0.3, 初相位φ=1。混沌信号与谐波信号混合时, 微弱的谐波信号“隐藏”在强混沌信号中, 应用本文的方法可快速有效地将其从中分离出来。此外在强谐波信号背景中, 混沌信号“淹没”在其中时, 也可很好地将混沌信号从中分离出来。同样, 在本实验中经11次迭代后收敛 (见图4) , 分离性能指数为PI=0.074 5, 同样表明, 可以很好地将混合混沌信号分离开来。

将上述实验时FastICA法分离性能列表, 见表1。

4 结 语

本文提出基于独立分量分析的方法对混合混沌信号进行分离, 利用各源信号独立, 基于极大非高斯性原理, 应用FastICA法对此类信号进行分离, 在未知混合情况时, 实现此类信号的盲分离, 通过实验仿真, 分离性能指数均可达10-2, 表明该方法可以很好地将此类信号分离开来。

摘要：现有的混合混沌信号分离方法一般都要利用各个混沌信号的内在性质以及一定的约束。利用混合混沌信号中各源信号的独立性, 依据基本ICA估计原理中的极大非高斯性原理, 采用基于峭度的不动点分离法对此类混合信号进行分离, 实现了此类信号的盲分离。对多种此类混合信号进行分离仿真的结果表明, 该方法可以快速有效地分离出混合混沌信号中的各个源信号。

关键词：混合混沌信号,独立分量分析,盲分离,噪声频谱

参考文献

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[5]杨福生, 洪波.独立分量分析的原理与应用[M].北京:清华大学出版社, 2006.

连续混沌信号 篇4

至今为止, 混沌理论已被广泛应用于众多的学科之中, 其中在信息处理领域的应用是信息处理发展的主要方向之一。Duffing振子系统对微弱周期信号有极强的敏感性, 而且对噪声具有很强免疫性, 因此人们常利用Duffing振子这个特点来检测微弱信号[2]~[4]。Duffing振子系统检测微弱信号的核心是判断系统相轨迹状态的变化;多年来, 学者已提出了很多判断相轨迹变化的方法, 但是其中最常用, 最直观, 同时也是应用最为广泛的就是视图法, 也就是通过观察系统的相轨迹判断其的变化。淹没在噪声中的被测微弱信号被Duffing振子系统检测, 将被测信号作为混沌系统周期策动力的摄动, 由于混沌系统对噪声的免疫力和对周期小信号的敏感性[5], 即使被测信号的幅值非常之小, 只要输入Duffing系统之中, 系统的相轨迹状态都会发生巨大的相变, 通过模式识别或取包络识别等方法判断系统状态的变换, 从而可判定被信号是否存在, 若需要检测更多的被测信号更多的参数只需作进一步处理即可。

本文将混沌理论中的Duffing振子检测信号的方法引入到井下信号处理之中, 将良好的抗噪性能的Duffing系统在检测法用于对瓦斯浓度信号的检测当中, 井下瓦斯信号的强的背景噪声能得到有效抑制[6], 从而提取目标被测信号。本文详细研究了Duffing混沌系统检测信号的原理, 并把其应用于井下瓦斯信号的检测之中。最后, 进行了数值仿真, 仿真验证了基于混沌理论的微弱信号检测法在复杂的井下环境的瓦斯信号检测中依然有效[7]。

1、混沌理论的检测技术

混沌检测系统中, 应用最多最为广泛的混沌振子是Holmes型Duffing振子, 其数学模型如下:

(1) 式可转化为:

式 (1) 与 (2) 方程描述的系统对微弱周期信号的检测时有极强的敏感性, 而却噪声具有免疫性, 这是Duffing系统检测微弱信号的基础。

固定k, 增大r, 系统依次历经状态:当x较小时, 相轨迹表现为庞加莱映射意义下的吸引子;当r超过rc时, 系统便从同宿轨道状态进入分叉状态;r继续增大, 系统逐渐进入混沌状态 (如图1) ;直到r大于阈值rd时, 系统摆脱混沌态, 进入大周期状态 (如图2) [8]~[9];这些状态中, 在混沌到大周期的转变中, 系统状态变化巨大, 因此, 现在一般用此作为Duffing振子检测信号的依据[10]。

2、数据仿真

瓦斯信号是比较复杂, 而且是多变的, 数学模型不易表达, 而由傅里叶级数的普适性可以知, 瓦斯信号可以变换为多个正弦或者余弦信号之和的形式。所以, 本实验以微弱正弦信号作为被测信号, 从而来使基于混沌理论的瓦斯信号检测法的原理与性能得到验证。

实验1

分别向Duffing振子系统之中输入高斯白噪声和与系统策动力信号频率相同的正弦信号, 通过计算机观察Duffing系统状态轨迹的变化。这个分组实验的目的是证明混沌系统能有效的检测微弱目标信号。仿真实验具体步骤如下:

本实验中取混沌振子参数分别为:。首先调节系统策动力的幅度值r, 迫使混沌系统处于混沌到大周期的临界状态, 则r=0.8247, 即rd=0.8247;首先将均值为零, 方差为δ=1的随机噪声作为待测信号输入混沌振子系统之中, 其系统的时域与相轨迹图, 如图3;其次, 将本文采用的被测信号s=0.0001cos (t) 输入到Duffing振子系统之中, 此时系统的时域与相图都发生了重大变化, 即混沌状态进入了大周期状态, 如图4。

域图以及其对应的相图

系统时, 系统时域图及其对应相图

此组对比实验结果验证了Duffing振子系统具有对井下噪声具有极强的免疫力, 而对与其策动力频率相同的微弱正弦信号瓦斯信号却极其敏感的性质;所以Duffing振子能有效的检测微弱信号, 即可验证混沌振子系统检测瓦斯信号的有效性。

实验2

设混沌系统的输入信号为:

式中, r为目标微弱信号的幅值, n (t) 为背景噪声。

将被淹没在背景噪声之中的被测小信号信号s (t) 输入进Duffing振子系统之中, 则系统的输入变成。基于Duffing振子检测微弱信号原理基本可以总结为:首先以一定步长调节策动力幅值r, 混沌到大周期的临界状态出现在系统, 此时策动力幅值记为rd (rd表示Duffing振子在混沌到大周期的临界状态时内置频率的幅值) ;然后输入淹没在背景噪声中的目标小信号信号, 系统状态发生了变化, 然后策动力的幅度值r以一定的步长被减小, 直到混沌状态再次出现系统相轨迹当中为止, 此时策动力幅值记为r。则待检测信号的幅值为:rx=rd-r。

本实验的具体实验步骤为:首先调节策动力幅值r, 使混沌到大周期的临界状态出现在Duffing振子系统之中, 此时rd=r=0.8247;然后向Duffing振子系统之中输入淹没在背景噪声中的目标信号s (t) , 此时无论是时域还是频域的Duffing振子系统均发生了巨大的变化, 相图如图6;然后再次改变策动力幅度值r, 系统再次出现混沌为止, 如图5, 此时策动力幅值为0.8246;则待检测信号的幅值为:rx=rd-r=0.0001。

由本实验可以看出, 强噪声背景下的微弱瓦斯信号可以被混沌振子系统有效的检测, 所以为了瓦斯信号被有效检测乃至井下安全作业, 提出了基于Duffing振子的微弱瓦斯信号检测法,

3、结语

由于瓦斯信号的微弱性以及井下自然环境的恶劣, 本文在井下瓦斯浓度信号检测之中引入了最新的基于混沌技术微弱信号检测法。通过建立Duffing振子系统, 其初值敏感性以及检测微弱信号的原理得到了深入的分析, 并给出了计算机仿真图。最后进行了数据仿真, 仿真结果证明了瓦斯信号能被基于混沌理论的井下瓦斯浓度信号检测法有效的检测。

参考文献

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[8]李月, 杨宝俊, 石要武等.混沌振子用于强噪声下微弱正弦信号的检测[J].吉林大学自然科学学报, 2001, 1 (1) :75-77.

[9]梁倩.微弱信号的混沌检测方法[C].西北工业大学硕士毕业论文, 2007.3.

基于五维混沌系统的信号加密研究 篇5

关键词：五维混沌,通信加密,密码

0 引言

随着人们不断对非线性混沌系统现象的深入研究, 混沌系统在现代技术领域中的应用已经引起了广泛关注。混沌信号作为加密信号源, 可以应用于图像加密, 文本加密, 语音加密, 系统加密等诸多领域, 因此关于混沌信号的研究也就引起了人们的兴趣[1,2,3]。本文提出了基于五维混沌系统用来实现通信加密的方法, 利用五维混沌源信号, 对原始方波信号实现掩盖加密, 利用迭代次数和混沌信号的加减手段设置密码, 研究说明该方法不仅可以实现对各类信号进行加密, 而且与其它加密方法相比较, 该方法具有良好的保密性能。这一方法也只有在多维混沌系统中才能实现。

1 混沌系统及其MATLAB仿真

五维混沌系统的方程为[4]:

undefined

式中, a=30, b=-25, c=-40, d=35, e=-2, f=45, g=55, h=-2, i=-50。

MATLAB仿真结果如图1所示。

2 基于五维混沌系统的信号加密

对于信号的加密采用的是混沌掩盖技术, 用此技术可传递模拟和数字信息, 其思想是以混沌同步为基础, 把混沌信号叠加在被加密的信号上, 利用混沌信号的伪随机性特点, 这样就可以把要加密的信号隐藏在混沌信号中, 在信息传递的过程中就不易被人发现原有的信息内容[5]。如果在接收端用一个与发射端相同步的混沌信号解调装置就能还原出原有的信号, 以此实现保密通信的目的。本文将采用多次迭代及相加减的方式对方波信号进行混沌掩盖信号加密, 如图2所示。

在信息传递的过程中为确保原信号不被第三方察觉到, 可以在发射信号端与接收信号端双方约定把混沌信号的相加减的方式和迭代次数设定为密码, 更有利于保密[6,7,8]。如图3所示, 被加密的方波信号经过了5次的迭代加密, 且随着迭代次数的增加, 相应地加密效果也越好, 也越不易被人破解, 从图中也可以看出已经无法识别出原有信号了, 同时也就确保了信息传递的安全性。解密信号就是加密信号的逆过程, 必须知道原混沌源以及加密的加减的方式和迭代的次数, 否则将无法解密出原有的信号, 如图3 (h) 所示。

3 结束语

随着Internet技术与多媒体技术的飞速发展和广泛应用, 越来越多的信息能够在网络上迅速的传输, 与此同时信息传递的安全隐患也日趋严峻, 因此本文首先对一个五维的混沌系统对其进行仿真, 验证了系统的混沌性。然后利用该五维混沌系统对信号进行加密处理, 通过混沌信号的相加减的手段和迭代的次数设置为密码, 更提高了解密难度, 进一步说明了该方法的实用性。另外随着混沌研究的不断深入, 混沌系统维数的将不断提高, 也将为信息加密提供更加宽广的应用前景, 这些都有待于进一步的探讨和研究。

参考文献

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[2]Hassan Khani, Paeiz Azmi A novel multi-access scheme for UWB-PPM communication systems[J].European Transactions on Tele-communication, 2006:389-401.

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[7]戴建华, 尹华伟, 张洪军.混沌在加密信息中的应用[J].科学通报, 1996, 20 (3) :22-26.

连续混沌信号 篇6

本文通过实验观察噪声对输出量的影响,阐述了噪声对混沌振子检测信号影响程度的大小,提出了基于集合经验模式分解(EEMD) 的降噪方法; 针对相位差影响问题, 通过理论计算检测相位角范围, 得出正反导入法最简单的解决方法, 最后通过对仿真信号检测, 给出混沌振子结合EEMD降噪对信号进行检测的方法和步骤,并验证了方法的有效性。

1 混沌振子检测周期信号的原理

构造Holmes型混沌振子方程[3]:

其中k为阻尼系数;-x+x3为非线性恢复力,由双稳系统S(x)=-0.5x2+0.25x4求导得到;Fcos(t)为周期策动力。双稳系统S(x)具有两个势阱点x=±1和一个势垒点x=0,因此式(1)可以理解为:一个质量为1 kg的粒子,在周期策动力Fcos(t)和阻尼力 作用下运动在双稳系统S(x)中,解值x(t)就代表该粒子不同时刻的位置。

由于非线性项的存在,Holmes型混沌振子方程表现出丰富的动力学特性。 相轨迹随F有规律地发生相变,使得混沌振子方程检测周期信号成为可能。 设置F为相变临界值, 将待测信号加载到式(1) 右边, 若加载前后发生相变,据此判断待测信号含有与周期策动力同频的分量,达到检测周期信号的目的。

2 噪声对检测的影响

根据噪声对输出量的影响机理, 考察混沌振子方程在加白噪声前后的变化,加噪前对应的状态方程为:

式中Φ(t,u)是其状态转移矩阵,满足: 。加噪后C(t)变成 ,对应的解表达为: 。

令 ,则。 用△X表示加噪前后系统输出的改变量,则

其中 △X(t0) 表示加噪前后系统初始值的差, 在实际中初始值取值相同,所以 △X(t0) = 0 , 故式( 3 ) 可简化为:

由参考文献[4]可知,白噪声的自相关函数与方差和计算步长成正比,即:Rn(τ)=σ2h×δτ,所以式(4)最终可以表示为:

由式(5)可以得出结论:噪声引起的混沌系统输出的改变量方差与噪声方差和计算步长成正比。 当噪声强度或计算步长太大时,会对系统的输出和相图产生一定的影响, 所以需要先对含强噪声的信号进行降噪, 再用混沌振子方程进行检测。

3 基于EEMD的信号降噪方法

EEMD是由Huang等人于2008 年提出的一种处理平稳及非平稳信号的新方法,它将信号分解为多个固有模式函数分量IMF(Intrinsic Mode Function) , 这些IMF的频率由高到低依次分布, 具有很强的频率选层性能,是一种完全自适应的分解方法, 并且能克服模式混叠现象、端点效应等问题[5]。 关于EEMD的分解原理及步骤,参考文献[4]给出了详细的阐述,这里不再说明。

用EEMD实现降噪的步骤[6,7]如下:

( 1 ) 对含噪信号x ( t ) 进行EEMD分解, 得到M个IMF分量。

( 2 ) 求取每个IMF分量的归一化自相关函数 ρj( t1, t2) ,其中 。 Rx( 0 ) 为同一点的自相关函数值。

( 3 ) 求取 ρj( t1, t2) 在零点附近区间的能量集中比 ηj( △n ) ,并计算对应Pj( j = 1 … M ) , 其中:

取P1= η1( △n ) 。

( 4 ) 判断Pj( j = 1 … M ) ≥ 1 是否成立, 若成立, 则噪声分量的分界点K=j。

( 5 ) 对前K = 1 个IMF进行软阈值[8]处理得到IMF ′ ,其中:

取 , σj为第j个IMF的标准差。

( 6 ) 重构信号x ′ ( t ) 如下式:

4 混沌振子结合EEMD降噪的检测方法

考虑混沌振子方程 ω≠1 的情况:

4 . 1 确定检测方程的计算步长和相变阈值

用式(6) 检测 ω≠1 的周期信号, 首先要确定相轨迹由混沌态变为大尺度周期态的阈值。 大量仿真实验表明, 随着角频率 ω 的改变, 需要调整计算步长和周期策动力的幅值F, 才能使相轨迹处于混沌的临界态, 数据如表1 所示。 由此可以初步确定已知频率处的相变阈值和计算步长。

4 . 2 用正反导入法克服相位差的影响

假设待测信号含有角频率为 ω、 幅度为f、 相位为 φ的周期成分, 振子方程右边变成:Fcos (ωt) +fcos (ωt +φ)。调整幅值F为发生相变的阈值F0, 则发生相变时, 必满足 。 得到相位差 φ 的检测范围[9]:

这就意味着, 相位差 φ 只有在此区间内才能检测出来。在此区间外,即使待测信号中存在与周期策动力同频的周期成分也检测不出来,造成漏检。

采用简单的正反导入法可以避免相位差造成的漏检。 因为待测信号取反后,振子方程右边变为Fcos(ωt)-fcos ( ωt + φ ) , 发生相变时, 满足 , 得到相位差 φ 的检测范围:

由于式(7)、式(8)检测范围角的并集覆盖了整个0~2π,所以正反导入法能有效避免相位差造成的漏检。

5 检测实例

5 . 1 仿真信号的检测

假设待测信号x(t)=0.3cos(t)+n(t), 其中n(t) 是均值为0、标准差为0.3 的高斯白噪声,将其导入到混沌振子式(1) 的右边进行检测( 令F =0.527,k =0.5,x (0) = x觶( 0 ) =0 ) , 取计算步长h = 0 . 04 s , 采用四阶Runge - Kutta法求解,得到其相轨迹如图1 所示。 由此看出,混沌振子的相图没有进入大尺度周期状态,这是由于较强噪声的存在破坏了原本稳定的大尺度周期状态。

用EEMD方法对x(t) 进行降噪处理, 得到降噪后的信号,如图2 所示。 x(t)经EEMD降噪处理后,噪声大大减小,验证了EEMD降噪方法的有效性。

将降噪后的信号再次导入到混沌振子式(1)的右边,得到其输出信号波形和相轨迹如图3 所示。 由此看出,先用EEMD抑制强噪声,再用混沌振子检测能有效克服噪声的影响。

5 . 2 故障轴承振动信号的检测

用混沌振子检测某故障轴承的振动信号。 已知故障轴承型号为N205EM,外径为52 mm、内径为25 mm、滚动体数12、滚动体直径为7.5 mm、接触角为0°。 将该轴承放在旋转机械振动故障试验平台上做测试,设置转速为600 r / min , 采样频率为20 k Hz , 采集其振动信号时域波形如图4 所示。 由图看出此轴承的振动信号含有较强的噪声,对其用EEMD方法进行降噪处理,降噪后波形如图5所示。

理论上可以计算出该故障轴承的各特征频率[10]。 建立三个混沌检测方程, 设置对应的频率值, 调整对应的相变阈值和计算步长,使其相轨迹处于混沌态与大尺度周期态的临界,对应的数据如表2 所示。 将降噪后的故障轴承信号导入到三个检测方程中,ω =303.54 的检测结果如图6 所示。 可以看出,此时混沌振子的相轨迹进入大尺度周期状态, 而其余的相轨迹仍处于混沌状态,由此可以判断轴承的振动信号含有频率为48.31 Hz的周期成分, 进而判断轴承外环故障, 这与轴承的实际故障情况一致。

通过实验观察说明混沌振子对噪声的免疫力是相对的,理论推导出噪声对输出的影响量噪声方差和计算步长成正比。 因此用混沌振子检测信号时,不能忽视强噪声对检测结果的影响。

连续混沌信号 篇7

强噪声背景下微弱信号的检测广泛应用于工业故障诊断及通信信号接收等领域,对新技术研究及相关领域的发展具有重要的意义[1,2]。噪声对弱信号检测实现的影响是该领域中的一个重要课题。文献[3]讨论了高斯白噪声对弱信号混沌检测的影响,文献[4]主要研究了色噪声背景下微弱正弦信号的混沌检测方法,文献[5]研究了基于混沌相平面变化的微弱信号检测算法,实现了信噪比为-48 dB条件下微弱信号的检测。

应用混沌相平面检测算法对各种噪声条件下系统的检测性能进行了研究,对基于Duffing方程的混沌系统在白噪声、色噪声及脉冲噪声等各种噪声背景下的免疫性进行了仿真分析,为进一步探究混沌系统优良抗噪性能的机理,降低强噪声背景下可检测信号的信噪比门限提供了一定的依据和借鉴。

1 基于Duffing振子的正弦信号检测

混沌动力学系统主要有Duffing模型和Lorenz模型和Vanderpol模型等,其中Duffing方程研究的比较充分,在微弱信号检测领域应用广泛[6]。Holmes型Duffing方程标准形式如下:

$\ddot{{\displaystyle x}}(t)+k\stackrel{\cdot }{{\displaystyle x}}(t)-x(t)+x{}^3(t)=\gamma \cos (\omega t)$, (1)

式中,γcos(ωt)为系统内置周期策动力,k为阻尼比,-x+x3为非线性恢复力。

基于Duffing方程构成的混沌系统对周期策动力的强度γ有强烈的敏感性,在阻尼比固定的情况下,随着周期性策动力的强度变化,系统将历经同宿轨道、分叉轨迹、混沌状态、临界状态以及大尺度周期状态等,表现出丰富的非线性动力学特性[7]。其中,系统在混沌态对应的相图为一定区域内永不封闭的轨迹,在大尺度周期态对应的相图为封闭曲线,二者截然不同,因此,常将系统由混沌状态到大尺度周期状态的转变作为微弱信号检测的依据,如图1所示(图2均略去了过渡状态点)。

弱信号检测原理:将待测信号作为作为Duffing方程周期策动力的摄动,当系统周期策动力γ=γd时,系统处于临界状态。但是此时若有满足特定条件的信号加入到系统中,即使信号的幅值极小,系统也将发生相变由混沌状态进入大尺度周期状态,然后根据系统是否发生相变来判定信号的存在与否及被测信号幅度、频率等物理量。

2 噪声影响分析

如果在微弱信号检测中不考虑噪声的影响,系统在混沌态和大尺度周期态下的相平面轨道都是平滑的。但是,事实上在任何信号检测过程中,检测过程中的噪声都是不可避免的。

假设n(t)为检测过程中的噪声,添加噪声n(t)后,系统检测方程为:

$\ddot{{\displaystyle x}}(t)+k\stackrel{\cdot }{{\displaystyle x}}(t)-x(t)+x{}^3(t)=\gamma \cos (\omega t)+n(t)$。 (2)

分析表明,Duffing系统在外加周期驱动力时的平衡态为双曲平衡态。假设系统检测方程在临界状态下的解为x,用Δx(t)表示噪声对系统检测输出x(t)的微小扰动,其中,假设噪声的均值为0,方差为σ2,经整理得出噪声存在的情况下系统的随机微分方程形式[8]:

$\begin{array}{c}(\ddot{{\displaystyle x}}(t)+\text{Δ}\ddot{{\displaystyle x}}(t))+k(\stackrel{\cdot }{{\displaystyle x}}(t)+\text{Δ}\stackrel{\cdot }{{\displaystyle x}}(t))-(x(t)+\text{Δ}x(t))+\hfill \\ (x(t)+\text{Δ}x(t)){}^3=\gamma \cos (\omega t)+n(t)。\hfill \end{array}(3)$

相比系统检测输出x(t),Δx(t)的值很小,所以略去Δx(t)的高阶量,得到式(3)的矢量微分方程形式:

$\stackrel{\cdot }{{\displaystyle X}}(t)={\rm H}(t)X(t)+{\rm N}(t)$。 (4)

其中,主要矢量分别表示为:

$X(t)=\left|\begin{array}{c}x{}_1\hfill \\ x{}_2\hfill \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\text{Δ}x(t)\hfill \\ \text{Δ}\stackrel{\cdot }{{\displaystyle x}}(t)\hfill \end{array}\right|$

, (5)

${\rm H}(t)=\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1-3x{}^2(t)& -k\end{array}\right|$

, (6)

${\rm N}(t)=\left|\begin{array}{l}0\\ n(t)\end{array}\right|$

。 (7)

该矢量微分方程存在一个满足某个初始条件的唯一的解,可以表示为:

X(t)=Φ(t,t0)X0+∫${}_{t{}_0}^t$Φ(t,u)N(u)du, (8)

式中,Φ为系统的状态矩阵。由于主要对系统稳态时的性能进行分析,而式(10)第1项为暂态解,将很快衰减为0,对于第2项,考虑其统计特性,有:

E[X(t)]=∫tt0Φ(t,u)E[N(u)]du=0, (9)

ΓXX(u,v)=∫${}_{t{}_0}^s$Φ(t,u)ΓYY(u,v)ΦT(s,v)dudv, (10)

其中,

$\Gamma {}_{\text{Y}\text{Y}}(u,v)=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& \sigma {}^2\delta (u-v)\end{array}\right]$

。 (11)

ΓYY(u,v),ΓXX(t,s)分别表示输入噪声在时刻u和v,输出噪声在时刻t和s的相关函数矩阵。在式(11)中,令u=v,t=s,t0=-∞,可以得到噪声在某时刻的均方值:

$\begin{array}{l}\Gamma {}_{\text{X}\text{X}}(t,t)={\displaystyle \int }\begin{array}{l}t\\ -\infty \end{array}\mathit{\Phi }(t,u)\mathit{\Gamma }{}_{\text{Y}\text{Y}}(u,u)\mathit{\Phi }{}^{\text{Τ}}(t,u)\text{d}u=\\ \sigma {}^2{\displaystyle \int }\begin{array}{l}t\\ -\infty \end{array}\mathit{\Phi }(t,u)\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\mathit{\Phi }{}^{\text{Τ}}(t,u)\text{d}u。(12)\end{array}$

由上可以得出结论:噪声并没有对系统原轨迹产生根本的影响,只是使系统的运行轨迹变得不再光滑,在理想轨迹附近有波动,即噪声使系统输出相轨道上布满了“毛刺”,其粗糙程度的大小由方差决定,但总体均值为零。另外,由于上述推导过程中对噪声分布的问题并没有进行限定,因而理论上,对于任意分布的平稳随机噪声,基于Duffing方程的混沌系统都具有良好的免疫性能。

3 仿真实验分析

(1)实验1 混有白噪声的正弦信号检测

调整系统的内置周期策动力强度为γ=0.80,使系统处于临界状态,加入高斯白噪声并逐渐增加噪声强度,发现系统仍将处于混沌状态,如图2(a)所示;加入混有高斯白噪声的正弦信号,待测信号强度为0.01 V,系统将跃变到大尺度周期状态,如图2(b)所示;由于噪声方差较小,系统相轨迹比较平滑,“毛刺”几乎看不到;继续增大白噪声强度,系统轨道将变粗,“毛刺”增多,如图2(c)所示;当噪声增加到一定强度时,噪声干扰将占据主导地位,由系统相图将无法判别系统是否发生相变进入了大尺度周期状态,如图2(d)所示。

系统可检测信号的信噪比为:

$S{\rm N}R=10\lg \frac{\text{待}\text{测}\text{信}\text{号}\text{功}\text{率}}{\text{噪}\text{声}\text{功}\text{率}}$。 (13)

其中,图2(b),图2(c),图2(d)的信噪比分别为:-26 dB,-36 dB和-46 dB。进一步的仿真实验表明,基于Duffing方程的混沌检测系统的检测门限可达-42 dB。

(2)实验2 混有色噪声的正弦信号检测

采用高斯白噪声通过低通滤波器的方法产生色噪声,其中滤波器为四阶低通滤波器。系统传递函数为:

${\rm H}(z)=\frac{k(0.02+0.08z{}^{-1}+0.12z{}^{-2}+0.08z{}^{-3}+0.02z{}^{-4})}{1-1.53z{}^{-1}+1.24z{}^{-2}-0.47z{}^{-3}+0.07z{}^{-4}}$。 (14)

其中,通过调节滤波器参数k,可以实现对噪声功率的控制。归一化的通带截止频率为ωp=0.15 Hz,阻带起始频率为ωs=0.2 Hz,调整滤波器参数k,使得噪声功率变为2.115×10-4 W,待测正弦信号强度为0.01 V,加入正弦信号后系统的相轨迹跃变到大尺度周期状态,此时系统实现检测信号的信噪比为SNR=-29.633 0 dB。

(3)实验3 混有脉冲噪声的正弦信号检测

该节对混有脉冲噪声的正弦信号进行检测实验,噪声的脉冲峰值分别为Vp=0.4,0.6,0.8,1.0,1.2,1.4,对受到不同强度噪声污染的正弦信号进行检测实验,待测信号强度为B=0.01 V。检测结果表明,Vp=1.0时,系统相轨迹仍然非常平滑,Vp=1.2时,系统相轨迹在脉冲噪声峰值处有相应的大幅度冲击相应。故系统可检测信号的最大信噪比表示为:

$S{\rm N}R=20\lg \frac{B}{V{}_{\text{p}}}=20\lg \frac{0.01}{1.0}=-40.0$dB。 (15)

(4)实验4 混有复杂噪声的正弦信号检测

对复杂噪声条件下混沌检测系统的抗噪性能进行实验分析。这种噪声在低振幅部分具有高斯特性,在高振幅部分具有近似于指数正态分布特性,总体可以表示为背景高斯白噪声和脉冲噪声的叠加,噪声模型为:

n(t)=Aem(t)sin[w0t+θ(t)], (16)

式中,m(t)为零均值实平稳高斯过程,方差为σ${}_n^2$,A为由噪声功率确定的常量,θ(t)为一个均匀分布于[0,2π]上的随机相位过程,独立于高斯过程m(t)。

定义偏差Vd为:

Vd=10σ${}_n^2$log10e。 (17)

通过控制Vd的大小来模拟噪声成分的变化。Vd较小时,噪声中的脉冲成分所占的比例较小,噪声主要表现高斯特性;而当Vd的值增大时,噪声中的脉冲成分所占的比例也会随之变大,此时,脉冲成分集中了噪声的大部分能量,将对检测系统的性能产生显著的影响。

Vd=2和Vd=10时的噪声分布分别如图3和图4所示,由仿真可以明显地看出2种情况下噪声分布的差别(仿真实验中固定常量A=1)。

仿真实验结果表明,Vd较小时(Vd=2),噪声主要表现高斯特性,只有极少脉冲成分。采用式(15)的信噪比计算公式,系统可实现的信号检测门限为SNR=-41.693 3 dB;Vd较大时(Vd=4.5),噪声中的脉冲成分将继续增加,系统可实现的信号检测门限为-39.385 1 dB;继续增大Vd值(Vd=7),噪声中的脉冲成分增加,系统可实现的信号检测门限为-25.342 2 dB;

Vd非常大时(Vd=10),噪声将以脉冲成分为主,系统可实现的信号检测门限为-17.605 5 dB。

4 结束语

研究了基于Duffing方程的微弱信号检测方法,采用混沌相平面检测算法对不同噪声条件下算法的抗噪性能进行了分析,理论分析和仿真实验均表明基于Duffing方程的混沌检测算法对白噪声、色噪声、脉冲噪声及混叠噪声等都具有较强的免疫性和较低的信噪比工作下限,相对于传统的时域信号处理方法具有很大的优势。对基于Duffing方程的微弱信号检测方法的抗噪性能进行分析,为进一步探究混沌系统优良抗噪性能的机理, 降低强噪声背景可检测信号的信噪比门限提供了一定的理论依据和借鉴。混沌检测方法优异的抗噪性能,使得它在弱信号检测及相关领域极具发展前景。

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