二元超越方程组

二元超越方程组（精选3篇）

二元超越方程组 篇1

当今高层建筑乃至超高层建筑, 比较常见的最不利楼层 ( 一般为最高楼层) 多为办公生活区, 即中危险 Ⅰ 级区, 按照GB 50084—2001自动喷水灭火系统设计规范 ( 2005 版) 规定, 其设计喷水强度为6 L/ ( min·m2) , 作用面积为160 m2, 喷头工作压力为0. 10 MPa, 本文仅针对此种常见情况进行分析说明。喷淋系统简图见图1。

以往我们在进行自动喷水灭火系统的水力计算时, 一般采用作用面积法或特性系数法, 为方便计算, 上述两种方法均有其计算假设, 与实际有所出入。下面我们针对几种计算方法做简要分析。

1 喷淋系统水力计算方法概述

1. 1 作用面积法

作用面积法是《自动喷水灭火系统设计规范》推荐的计算方法, 其根本的目的在于抑制一定面积下火灾的蔓延, 保证喷水强度不小于规范规定强度, 此处计算时假设作用面积内每只喷头的喷水量相同且均以最不利前喷头喷水量取值。此假设实际上减小了作用面积内的喷水量, 亦间接减小了喷淋系统的阻力。

1. 2 特性系数法

特性系数法是从系统设计的最不利点喷头开始, 沿程计算各喷头的压力、喷水量、管段累积流量、水头损失直至管段累积流量达到设计流量为止, 之后的管段流量不再累积, 只计算水头损失。此处假设在达到设计流量时, 喷头所保护的面积至少已经满足规范所规定的保护面积。此假设实际上很难满足实际的设计需要, 很大程度上受到建筑布局影响。

1. 3 超越方程组法

超越方程组法是在优先满足保护面积的前提条件下, 不做任何假设, 从系统最不利点喷头开始计算, 采用超越方程组沿程计算各喷头的压力、喷水量、管段累积流量、水头损失直至完成保护面积内所有喷头的计算为止, 保护面积之外的喷头不计算流量, 只计算水头损失。

2 房间布局及管道连接方式分析

2. 1 房间布局

上述三种方法都会受到房间布局及管道连接方式的影响, 但针对常规功能建筑, 常规布局, 中危险 Ⅰ 级所保护的面积为160 m2, 正方形布置喷头间最大间距3. 6 m, 距离墙边1. 8 m。按装修情况下普通石膏板吊顶布置下垂型喷头, 由图2 可知在最大距离布置下, 12 个喷头最大的保护面积为14. 4×10. 8 = 155. 52 m2, 而需要保护160 m2相应的作用面积, 则出现向长方向或向宽方向两个方向加长的变化。由图3 易知, 当宽方向加长时, 作用面积达到160 m2, 喷头数增加到最不利的16 只。且当喷淋系统的最不利点处在图3 的开敞空间时, 按规范要求开放的喷头数达到最不利的16 只。

2. 2 管道连接方式

由于不同的管道连接方式会造成沿程水头损失的不同, 在求解超越方程组的过程中, 每个喷头前后的边界条件不同, 得出的结果便会逐级变化, 影响最终结果。管道的连接方式往往由于主观原因而不同, 以图3 的喷头布置方式来讲, 会有大体上三种连接方式, 如图4 所示。在已知喷淋立管在本区域左侧方向时, 易知连接方式1 和连接方式2 所导致的管道计算当量长度是相同的且都小于连接方式3。管道连接方式3 主观的加长了最不利区域的管道当量长度, 虽然最不利区域后的干管长度有所减少, 但影响小于在最不利区域内产生的阻力。

3 最不利管段水力计算

首先在这里确定喷头的流量系数为K = 80, 最不利点处喷头的工作压力为0. 10 MPa, 喷淋系统需要保护的面积为160 m2, 作用面积内至少达到6 L/ ( min·m2) 的喷水强度。忽略各计算节点处由于喷头安装而使用的末端异径弯头和可能出现的延长管对计算结果的影响。据《美国工业防火手册》介绍: “经过实测, 自动喷水系统管道在使用20 年~ 25 年后, 其水头损失接近设计值[1], 及Hazen-Williams ( 海登—威廉) 公式结果”。在此沿程水头损失采取GB 50974—2014 消防给水及消火栓系统技术规范中10. 1. 2. 1 的方法[2]进行计算, 其相应公式如下:

其中, λ 值取自超越方程组的数值解, λ 采用迭代法计算; ε按镀锌钢管取0. 000 15; di为管道内径, 其值取管径减1 mm; ρ 为水的密度, 取999. 7 kg/m3; T为水温, 取10 ℃ 。

喷头的出流量公式为:

其中, K取80, 对于喷头a的P取0. 1 MPa, 得q = 80 L/min, 即4 /3 L/s。

计算过程中, 由于实际安装时使用到的弯头、三通等管件同样会产生相应阻力而影响计算结果, 我们这里采用当量长度法折算管件的影响, 其相应数据取自GB 50974—2014 表10. 1. 6-1。本案例中管段a-f的总当量长度为23. 6, 总水损25. 88 m; 管段a1-f的总当量长度18, 总水损23. 7 m, 无最不利点倒挂现象, 故节点a为最不利点。

由于最不利点压力已知, 管段a-f可以由式 ( 1) ~ 式 ( 6) 逐步计算直至节点f。对管段a1-f来讲, 这时我们已知节点f的压力, 各管段的管径及当量长度, 需要计算转输流量。此处我们需要建立24 元超越方程组 ( 本案例中每个管段和节点的节点流量q, 管段流量Q, 节点压力P, 管道流速v, 沿程损失阻力系数 λ, 水力坡度i均为未知数) , 利用MATLAB计算软件优化求解[3]方程组的数值解。得到转输流量后采用同样计算方法得出相应管段转输流量, 继续完成后续管段f-g, g-h及h-3 的计算得到节点g, h的压力。详细计算数据见表1。

由上述计算列表得出h-3 管段之后, 最不利流量认为恒定, 对应DN80 的i值为0. 590 921 2 m H2O / m; 对应DN100 的i值为0. 182 354 8 m H2O / m; 对应DN150 的i值为0. 022 087 4 m H2O / m。系统设计流量30.85 L/s, 系统的理论设计流量160×6/60=16 L/s, 区域内平均喷水强度30. 84×60 /160 = 11. 565 L/ ( min·m2) , 最不利点附近4 个喷头的平均喷水强度 ( 1. 33+1. 49+1. 47+1. 64) ×60 / ( 6.4×6. 25) = 8. 895 L / ( min·m2) 。

按原喷淋规范计算公式可得最不利点压力为0. 10 MPa时保护区域入口3 处的总流量为31. 44 L/s, 压力为67. 49 m H2O。对比后不难发现, 新公式的流量计算结果略小于原公式, 但水头损失减少10 余米。

4 超越方程组法计算

4. 1 末端压力对算法的影响

无论是作用面积法还是特性系数法, 其最不利点的压力由于其计算方式的限定都是以0. 1 MPa为基准进行计算的, 而实际不难看出, 仅此保护区内所需要的压力就超过了0. 5 MPa, 实际流量超过30 L/s, 平均喷水强度也达到了设计值的近2 倍。

根据设计要求, 我们应该满足保护区域内的平均喷水强度不低于设计喷水强度, 最不利点周围4 个喷头的平均喷水强度不低于设计喷水强度的85%[4]。又有GB 50084—2001 ( 2005 年版) 表5. 0. 1 内备注“系统最不利点处喷头的工作压力不应低于0. 05 MPa”的规定。此处取最不利点喷头保护半径1. 6 m计, 则最小压力值为[ ( 1. 6×2) 2× 6 /80]2/10 = 0. 058 98 MPa, 再进行计算, 计算结果见表2。

h-3 管段之后, 最不利流量认为恒定, 对应DN80 的i值为0. 352 318 1 m H2O / m; 对应DN100 的i值为0. 109 040 4 m H2O / m;对应DN150 的i值为0. 013 313 1 m H2O / m。实际喷水强度23. 75 ×6 /160 = 8. 9 L / ( min·m2) , 大于设计值。最不利点附近4 个喷头的平均喷水强度 ( 1. 02+1. 14+1. 13+1. 26) ×60/ ( 6. 4×6. 25) = 6. 825L / ( min·m2) , 满足设计要求。

按原喷淋规范计算公式可得最不利点压力为0. 589 8 MPa时保护区域入口3 处的总流量为24. 68 L/s, 压力为40. 92 m H2O。对比后仍然不难发现, 新公式的流量计算结果略小于原公式, 但水头损失减少约7 m。

故对于本文中的案例, 假设采取喷淋水泵直接从消防水池吸水的给水方式时, 则应选取的喷淋泵理论扬程为: Hb= Z + ∑hx+L150× 0. 013 313 1 + L100× 0. 109 040 4 + L80× 0. 352 318 1 +32. 28。 其中, Hb为水泵扬程; Z为喷淋最不利点高度与消防水池最低有效水位高度间的几何高差; ∑hx为水泵吸水口到最不利层水流指示器后的总水头损失 ( 包括信号阀及水流指示器) ; L150为最不利层水流指示器后到节点3 前DN150 的喷淋干管长度;L100为最不利层水流指示器后到节点3 前DN100 的喷淋干管长度; L80为最不利层水流指示器后到节点3 前DN80 的喷淋干管长度。水泵理论流量为23. 75 L/s。

4. 2 计算流程

对于超越方程组法, 有以下计算流程:

1) 确定实际工程的危险等级, 以及其对应所需要保护的面积和形状。

2) 明确保护区域内喷头位置和管道连接方式, 列出每段管道当量长度详表。

3) 确定最不利作用点, 根据其实际保护半径计算其最小所需压力, 但不小于0. 05 MPa。

4) 用顺序方法求解各管段参数至第一分叉点。

5) 列出超越方程组, 并利用计算工具求解第一分叉点另外一端的各管段参数。

6) 顺序计算至下一分叉点。

7) 重复第5) 步, 第6) 步直至完成保护区域内所有管段参数的计算。

8) 验证喷淋系统最不利点喷头开始作用时 ( 此处假定节点h之后到水流指示器的水头损失因流量变化而减小的部分忽略不计) , 其工作压力是否满足0. 1 MPa。

对于本文中讨论的情况, 有验证结果, 当火灾开始时, 最不利点处喷头工作压力为0. 206 MPa, 流量为1. 91 L/s, 满足喷淋试水要求。

5 实际工程设计中的相关问题及建议

5. 1 实际开放喷头数的影响

由于房屋造型多种多样, 最不利保护区域内开放喷头的数量受到房屋构型的影响可能出现最少需要13 个喷头的情况, 此时设计流量和喷水强度则会小于本文中所讨论的情况, 在设计计算过程中要注意喷水强度是否可以满足要求。

5. 2 非最不利层消防时的影响

非最不利层消防时, 由于减压孔板 ( 或减压阀组) 的局限性, 一般会使得压力比最不利层稍大, 此时实际喷水强度和喷水流量会大于设计值, 导致实际消防时间变小。此情况也与发生在最不利层的非最不利区域等效。

5. 3 末端压力选取对设计的影响

直接按0. 05 MPa计算及0. 10 MPa校核虽能满足火灾初期的喷水要求, 但其中在火灾末期其0. 05 MPa的工作压力并不一定能保证喷头的布置间距内水膜的全覆盖。当然, 此问题还与喷头布置高度、障碍物遮挡以及火灾发生位置有关。所以最佳办法是按喷头布置最不利间距先计算出末端所需压力, 再以此压力为基准完成计算和校验。

5. 4 工程设计计算时要注意的事项

超越方程组法虽能准确反映火灾时各喷头和管段的动作情况, 但是不可否认此方法的计算难度明显大于其他两种计算方法, 实际工程中还需要结合工程实际, 参照工程的性质及设计标准来选择较为合适的计算方法。

摘要：介绍了几种喷淋系统水力计算的方法, 对房间布局及管道连接方式进行了分析, 采用超越方程组法, 按最不利情况求解喷淋系统阻力, 研究了末端压力对算法的影响, 并阐述了超越方程组法的计算流程, 针对实际工程设计中存在的问题, 提出了相应的处理建议。

关键词：喷淋系统,水力计算,超越方程组

参考文献

[1]GB 50084—2001, 自动喷水灭火系统设计规范 (2005年版) [S].

[2]GB 50974—2014, 消防给水及消火栓系统技术规范[S].

[3]徐艳东, 孟晓刚.MATLAB函数库查询词典[M].北京:中国铁道出版社, 2005:429.

[4]王增长.建筑给排水工程[M].第5版.北京:中国建筑工业出版社, 2005:86.

“二元一次方程组”易错题辨析 篇2

一、基本概念理解出现偏差

例1下列各式, 属于二元一次方程的个数有 () .

A.1 B.2 C.3 D.4

【错解】答案选B.

【辨析】根据二元一次方程的定义, ②、④毫无疑义属于二元一次方程;①中含有xy项, xy项的次数不为1;③为分式方程;⑤是二次方程;⑥是多项式, 不是方程;⑦是三元一次方程;⑧表面上是含有二次项, 实际上, 化简后未知数y的次数为1, 因此也是二元一次方程.正确答案应该选C.

【点评】本例重点考查了对于二元一次方程概念的理解, 其重点是: (1) 含有2个未知数; (2) 未知数的次数为1次; (3) 必须是整式方程.

例2已知方程为二元一次方程, 则m的值是 () .

A.1 B.-1 C.±1 D.无解

【错解】答案选B.

【辨析】根据定义, 未知数的次数应该为1, 第一项的次数为m2, 我们知道, 平方为1的数有2个即±1, 易见m=1时, 未知数y系数为0, 而m=-1时, 化简后未知数x的系数也为0, 故正确答案D.

例3下列方程组中, 是二元一次方程组的是 () .

【错解】答案选D.

【辨析】二元一次方程组的定义是:如果方程组中含有两个未知数, 且含未知数的项的次数都是一次, 那么这样的方程组叫作二元一次方程组.显然答案A有三个未知数, 答案B中第一个方程不是整式方程, 答案D中第二个方程是二次方程, 所以它们都不是二元一次方程组, 答案C中第二个方程虽然只含有一个未知数, 但定义中并没有要求组成方程组的两个方程都必须是二元一次方程, 事实上, 解的形式也是一个二元一次方程组, 如, 等, 正确答案应该选C.

【点评】例2、例3主要考查了对于二元一次方程组概念的正确理解.

例4已知方程3x+5y-3=0, 用含x的代数式表示y, 则有________.

【错解】

【辨析】本题要求用含x的代数式表示y, 也就是表示出的式子中应该含有x的代数式.错解实际上是用含y的代数式表示x, 正确答案应为

二、以偏概全, 用特殊代替一般

例5已知满足方程组的x、y值之和为2, 求k的值.

【错解】根据题意x+y=2, 设x=2, 则y=0.将它们带入方程3x+5y=k+1, 解得k=1.

【辨析】本题错解没有注意到x、y值还应该满足方程组中的第二个方程, 这样x、y值就唯一确定了.

解题时需要联立方程组解得, 代入方程3x+5y=k+1, 解得k=7.

例6若是关于a, b的二元一次方程ax+ay-b=3的一个解, 求代数式x2+2xy+y2-1的值.

【错解】将代入方程得, x+y=5, 设x=2, 则y=3.代入x2+2xy+y2-1=24.

【辨析】本题错解答案虽然正确, 但是计算过程有误, “特殊值法”常常被广泛地应用于选择题与填空题中.作为解答题, 此法不能使用.由于x2+2xy+y2-1= (x+y) 2-1, 本题实际上可以使用“整体代入法”的思路, 将x+y作为一个整体代入到上式求出结果;也可以将x=5-y或y=5-x代入x2+2xy+y2-1中化简, 这样也能得出正确答案.

【点评】例5、例6错解都想用特殊值来求解, 对于选择题和填空题来说, 这的确不失为一种好方法, 然而对于解答题来说, 不仅要注意到特殊值, 还要考虑到所有的可能性, 千万不能“挂一漏万”, 以偏概全.

三、解方程组中的错误

例7解方程组

【错解】将①×3-②得, 10x=-20, x=-2, 将x=-2代入①得y=-1/3, 方程组解为

【辨析】本题错在第一步常数项之差, 应该为 (-5) ×3- (-5) =-10, 这样x=-1, 将x=-1代入①得y=-1, 方程组解为

例8甲、乙两人同解方程组时, 甲看错了方程①中的a, 解得乙看错了②中的b, 解得试求的值.

【错解】将代入原方程组得, 求出, 于是有

【辨析】本题错在没有理解题意, 题目中清楚说明甲看错了方程①中的a, 由甲的解求出的a不能用, b是正确的, a的值只能由乙的解求出;通过计算得a=-1, b=10, 从而正确答案是

【点评】解方程组最重要的是结果正确, 这就需要每一步的计算都不能出现差错, 解题时一要细心, 二要多练习, 不断提高计算能力;例8以错题为背景, 要求学生“去伪存真”, 找出题中正确可用的信息, 为解题铺平道路.

四、应用问题中的错误

例9一张方桌由1个桌面, 4条桌腿组成, 如果1 m3木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条, 现有10 m3木料, 那么用多少立方米的木料做桌面, 多少立方米的木料做桌腿, 做出的桌面与桌腿, 恰好能配成方桌?

【错解】设用x m3的木料做桌面, y m3的木料做桌腿.

根据题意, 得方程组解得

答:用0.4 m3的木料做桌面, 9.6 m3的木料做桌腿.

【辨析】上述错解中所列方程组第一个方程是正确的, 问题在第二个方程, 根据题意“1个桌面、4条桌腿组成一张方桌”, 也就是说桌腿的数量应该是桌面的4倍, 列方程时相等关系应该是“桌面数×4=桌腿数”, 正确答案应该是:用6 m3的木料做桌面, 4m3的木料做桌腿.

二元一次方程组的灵活解法 篇3

例1

解方程组

分析方程 (1) 中的未知数y的系数绝对值为1, 故用“代入消元法”.

解由 (1) 得:y=2x-2. (3)

将 (3) 代入 (2) , 得3x+2 (2x-2) =3,

解得x=1.

将x=1代入 (3) , 得y=0.

例2

解方程组

分析方程组中x, y的系数分别相反和相同, 故用“加减消元法”.

解 (1) + (2) , 得6y=12, y=2.

(1) - (2) , 得4x=-8, x=-2.

∴原方程组的解为

例3

解方程组

分析方程 (1) 中左边为5 (x+1) , 而方程 (2) 中右边也含有5 (x+1) 这一项, 故用“整体代入消元法”.

解将 (1) 代入 (2) , 得3 (y-1) =5+y+2.

解得y=5.

将y=5代入 (1) , 得5 (x+1) =5+5,

解得x=1.

∴原方程组的解为

例4

解方程组

分析本例虽具有例3的特征, 但将方程 (2) 代入 (1) 达不到消元的目的, 故不能用整体代入消元法, 应先将它化简再解之.

解原方程组化简为

(4) - (3) , 得3y=3, y=1.