假分数阶论文（共8篇）
假分数阶论文 篇1
分数阶微积分作为整数阶标准微积分理论的数学推广, 以其重要的理论价值和广泛的应用价值受到了许多著名的科学家和研究学者的关注和研究。分数阶微积分理论在经历了三百多年的丰富和发展后, 它在物理、力学、生物数学、金融数学、地下水模拟、自动控制领域、材料科学等科学领域中有着极其广泛的应用, 特别是从实际问题中抽象出来的分数阶微分方程成为了众多数学工作者研究的热点。
目前对于非线性分数阶微分方程:Dax=f (t, x) 初值问题的研究结果比较丰富, 如Zhang S Q[1]、Mc Rae[2]、Lakshmikantham[3]、Delbosco[4]、苏新卫[5]、Deng J Q[6]等国内外著名学者利用不同的研究方法建立了这一类分数阶微分方程初值问题解的存在性与唯一性的若干准则。值得注意的是, 他们研究的都是阶数:0
其中n-1
1预备知识
定义1[7]令Ω=[a, b] (-∞
其中为Gamma函数, 这两个积分分别称为右侧和左侧分数阶积分。在本文中我们将右侧分数阶积分Ia0+f (x) 简记为I af (x) 。
定义2[7]令Ω=[a, b] (-∞
其中n=[a]+1, [a]为a的整数部分, 这两个导数分别称为右侧和左侧分数阶导数。本文中, 我们将右侧分数阶导数Da0+f (x) 简记为Daf。
引理1[7]若a>0, u∈C (0, 1) ∩L (0, 1) , Da0+u∈C (0, 1) ∩L (0, 1) , 则存在Ci∈R, i=1, 2…, N使得Ia0+Da0+u (t) =u (t) +c1ta-1+c2ta-2+…cNta-N, 其中N为大于或等于a的最小整数。
引理2[7]Riemann-Liouville分数阶积分和导数具有如下性质:
2主要结果
下面我们利用Banach压缩映射原理来建立初值问题 (1) 解的唯一性。
为方便主要结果的证明, 首先, 我们令 为Banach空间。
定理1令0≤r
(H1) 函数trf (t, u (t) ) 为[0, 1]×R上的连续函数, 并且函数f (t, u (t) ) 满足:
其中L为与u, v无关的常数;
则初值问题 (1) 存在唯一解u (t) ∈X。
证明由引理1和引理2可得, 分数阶微分方程Dau=f (t, u) 等价于积分方程
代入初值问题 (1) 的初始条件:
tn-au (k) (t) |t=0=0, k=0, 1, 2…n-1,
可得:ci=0, i=1, 2, …, n, 即
对任意的u (t) ∈X, 定义算子T为:
则算子T在X中的不动点, 即为初值问题 (1) 的解。
下证算子TX→X是的。
对任意的u (t) ∈X, 根据条件 (H1) 中的式 (2) 可得
因此, 有
由条件 (H2) 可知, , 所以, 算子T是的X→X。
下证算子T是压缩映射。
对任意的u, v∈X由式 (2) 可得
由于ξ<1, 因此, 算子T为压缩映射。应用Banach压缩映射原理可知, 算子有唯一不动点, 即为初值问题 (1) 的唯一解。定理得证。
参考文献
[1]ZHANG S Q.The Existence of a Positive Solution for aNonlinear Fractional Differential Equation[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2000, 252 (2) :804-812
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[3]LAKSHMIKANTHAM V, VATSALA A S.Basic Theory of Fractional Differential Equations[J].Nonlinear Analysis, 2008, 69 (8) :2677-2682
[4]DELBSCO D, RODINO L.Existence and Uniqueness for a Nonlinear Fractional Differential Equation[J].1996, 204 (2) :609-625
[5]苏新卫, 刘兰冬.分数阶微分方程解的存在性[J].山西大学学报 (自然科学版) , 2007, 30 (4) :434-436
[6]Deng J Q, Ma L F.Existence and uniqueness of solutions of initial value problems for nonlinear fractional differential equations[J].Applied Mathematics Letters, 2010, 23 (6) :676-680
[7]KILBAS A A, SRIVASTAVA, TRUJILLO J J.Theory and Applications of Fractional Differential Equations[M].Amsterda:Elsevier Science B V, 2006
假分数阶论文 篇2
【摘 要】作为数学的重要组成部分分数阶微积分已经发展了将近5个世纪，所谓分数阶微积分是指微分的阶数或者积分的阶数不再是传统的整数阶，而是任意的一个实数甚至于可以是复数。之所以现在有关分数阶微积分的研究内容非常之多，是因为分数阶微积分方程在混沌理论、高分子解链、非牛顿流体力学等很多领域中得到了广泛应用，而且经过实际检验，分数阶微积分方程对于研究结果的准确性有着很大影响。基于此，本文将对分数阶微分方程边值问题解的存在性进行研究。
【关键词】分数阶微分方程 存在性
分数阶微分方程发展至今已经有300多年的历史，相较于整数阶微积分而言，也已经在很多领域有着较为广泛的应用。如今，分数阶微积分已经成为处理几何与分数维动力学的最佳分析工具。
分数阶微分方程研究的重点是正解的存在性、多重性以及正解的分歧与渐进性等。虽然说整数阶微分方程的很多研究成果，如函数论、积分变换、特殊函数等等，和分数阶微分方程在一定程度上有些联系，而且有些研究成果可以直接用于分析分数阶微分方程。但实际上分数阶微分方程理论体系只能算是刚刚有了雏形，很多研究内容均是将整数阶的分析方法照搬到分数阶微分方程上，如算子演变、组合方法、不定点理论等。不同的边值条件和阶数条件，我们可以使用不同的方法来求解分数阶微分方程，也可用来证明其正解的存在性。就目前的研究情况来看，使用最多的求解方法就是特殊函数法，这里的特殊函数以Green函数使用最多。对于不同的边值条件和阶数条件，求解Green函数的方法以及所得到的Green函数值会有所不同，所以在估计分数阶微分方程正解存在条件以及证明正解存在性的方法上，也会有较大的区别。
1819年，Lacroix率先提出了1/2导数的结果：d1/2y / dx1/2=；之后在1832年，Liouville根据级数的概念对分数阶导数进行了重新定义；1853年，Riemann按照定积分的形式对分数阶微分进行了定义。
在整数阶微积分理论的前提下，分数级微积分有着更深入的发展，它对函数的阶数没有任何限制，甚至于是复数都可以进行计算。自然界中很多非线性问题使用整数阶微积分概念来解决有一定的难度，但是分数阶微积分就有着较大的优势。譬如，研究扩散空间理论，假如某一种微利的扩散传播速度与古典布朗运动不一致，我们就可以用分数阶导数来取代空间扩散二阶导数，从而更广泛的解释分析扩散运动。在1974年的国际分数阶微积分会议上，很多专家都认可了分数阶微积分在很多领域中的应用。1982年，B.B.Mandelbrot首次对分数维数在自然界以及很多科技领域中的应用进行了举例分析。分数阶微分方程之所以能够受到很多研究人员的注意，主要是因为其在各个领域中的广泛适用性，相较于整数阶微分方程，它能够更加细致准确的对自然现象进行描述，而且能够全面的模拟自然界物理现象及运动。现在研究人员已经对分数阶初值问题解的存在性理论进行了较为深入的研究，而且基本均是将分数阶问题转化为等价的积分方程来进行的，线性以及非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性是当前国内数学界重点研究的课题。
1988年，A.M.A.El-Sayed对分数阶微分方程Dax=f（t，x），a∈（0，1）进行了深入的研究，而且求出了该方程解的存在唯一解定理。之后这一定理就被广泛应用于其他相关研究中，2005年，俞成和高国柱根据Shauder不动点定理分析了这个方程解的一个存在唯一性定理。
2005年，白占兵和吕海深对非线性分数阶微分方程的边值问题进行了相应研究，从方程Da0+u（t）=f（t，u（t））=0，其中t∈（0，1）。这里定义u（0）=u（1）=0，a∈（0，2]。方程中的Da0+是一个标准的Riemann-Liouville导数，而且f：[0，1]×[0，+∞]→[0，+∞）。根据这一类问题Green函数的性质，结合Guo-Krasnoselskii不动点定理以及Leggett-Williams不动点定理，就可以对该问题正解的存在性以及重数定义。2009年，蒋达清和苑成军对这类问题进行了深入研究，并给出了Green函数的一些新性质以及相应的应用范围。
现在对非线性分数阶微分方程的边值问题主要分析手段有Laplace变换、上下解法、Adomian分解法、各种不动点理论等。而且应用不动点理论研究边值问题时，还可以细分为Schauder不动点定理法、Guo-Krasnoselskii不动点定理法、Leggett-Williams不动点定理法等。2007年，M.EI-Shahed分析了分数阶微分方程边值问题，Da0+u（t）+λa（t）f（u（t））=0，这里的Da0+就是标准Riemann-Liouville分数阶导数。现在分数阶微分方程的主要结论之一就是定理：这里定义f在I×R→R上连续，而且存在非负函数a（t）、h（t），使得|f（t，x）|≤a（t）+ h（t），a（t）∈L[0，1]，h（t）是R上的连续函数。其中，ta-1，ta在[0，1]都一致连续，所以TU是等度连续的，又TUU，故一致有界，因此T是全连续，所以，由Leray-Schaulder不动点定理知，边值问题（1）至少有一个解。
虽然分数阶微积分至今也研究了数年，而且取得了很多较为实用的理论研究成果，但是对于经典微积分理论体系的构建还有一定距离。纵观当前的研究重点，分数阶微分方程的应用研究要比理论研究更为广泛深入。所以在今后的工作中，对分数阶微分方程的基本理论和基本性质进行分析研究更为重要，这对于该方程在实际应用的推广有着更深层次的意义。
【参考文献】
[1]A. Babakhani， V.D. Gejji， Existence of positive solutions of nonlinear fractional differential equations[J]. Math. Anal. Appl.，2003 （278）： 434-442.
假分数阶论文 篇3
混沌现象的本质是对系统初值的高度依赖性与外部扰动的极端敏感性[6]。近年来,在混沌同步研究中,相同阶数的混沌同步占据主导地位[7],不同维数整数阶混沌系统的同步已成为大多数学术论文的核心思想[8,9]。但针对分数阶混沌系统的探讨却很少,尤其是整数阶与分数阶混沌系统之间的同步[10]。而发展分数阶混沌理论的应用领域与范围将会拓宽人们在非线性分数阶系统认知方面的视野[11]。为此,笔者通过对以往混沌系统性质、定义等方面的整理总结,提出了一个新的三维分数阶混沌系统,并基于分数阶稳定性理论特性和追踪控制思想优化了其控制器,使分数阶混沌系统与整数阶混沌系统达到更好的同步效果,最后依据理论推导和Matlab实例仿真证明了系统非线性控制器的可行性和有效性。
1 分数阶混沌系统①
考虑如下分数阶混沌系统:
其中,a、b、c、h为实常数;qi(i=1,2,3)为相应状态变量的阶数,且0<qi≤1。当参数a=20、b=14、c=10.6、h=2.8,初值x0=2、y0=1、z0=3时,式(1)拥有典型的相图和吸引子。不同状态变量阶数下的分数阶混沌系统的状态轨迹和吸引子如图1~3所示。
式(1)在(x,y,z)→(-x,-y,-z)变换下具有不变性,即式(1)关于z轴具有对称性,并且这种系统的对称性对于不同的系统参数都满足。由此可知,z轴本身也是系统的一条轨迹线。
由于因此系统是耗散的,且以指数率收敛,即系统的运动轨迹与时间有关,并且最后会被局限于体积为零的子集上,系统随时间变化的运动轨迹也会随之趋向于一个吸引子[12]。
即:
其中,si(i=0,1,2)为系统的平衡点。则与s0对应的Jacobian矩阵为:
由det(J0-λI)=0可知,其特征值为:
通过Jacobian矩阵求得的Lyapunov指数分别为:
系统的Lyapunov维数为:
通过上述对分数阶混沌系统平衡点的稳定性、耗散性、Lyapunov指数与维数的分析以及改变系统阶数时,系统相图和吸引子的变化情况,可以证明该分数阶系统是混沌的。
2 整数阶混沌系统
考虑如下整数阶混沌系统:
当(a,b,c)=(20,14,10.6)时,式(3)存在混沌。因而式(1)可以改写成:
令同步误差e=y-λx,其中e=(e1,e2,…,en)T,ei=yi-λxi(i=1,2,…,n),λ为比例因子。
引理1[13]若存在一个常数λ(非零)使得
因而式(4)可改写为:
其中,β(x(t))为补偿器,(y(t),x(t))为自适应控制器。
引理2[15]驱动系统为:
响应系统为:
其中,G为任意一个控制器;t为时间;矢量X,Y∈Rn,分别具有n维分量(x1,x2,…,xn)、(y1,y2,…,yn)。令X(t,t0;X0)、Y(t,t0;Y0)分别为式(6)、(7)的解,当存在一个子集D(t0)∈Rn时,则在初值X0,Y0∈D(t0),t→∞时存在的关系为:
需要注意的是,模仿整数阶控制器的原理来实现两个系统的同步,类推于以往所研究的整数阶系统的同步控制方法,在这里笔者按照上文所述将设计在补偿器β(x(t))中。
定理1对式(3)设计控制器可以实现分数阶混沌系统(式(4))与整数阶混沌系统(式(3))之间的投影同步。其中,
证明依据式(3)的输出x(t)=(x1,x2,x3)T,可定义补偿器
则根据同步原理,可以将同步误差定义为:
或:
控制器
对式(8)两边同时进行Laplace变换,如果令Ei(s)=L(ei(t))(i=1,2,3),则利用
通过分析Laplace定理,可以得到:
则因此可以实现分数阶系统按照一定比例跟踪到该整数阶系统。
3 数值模拟
采用向响应系统中加入控制器的方法来观察式(3)、(4)能否实现投影同步,即验证所设计的控制器的可行性。选取式(2)作为驱动系统,为使驱动系统达到混沌状态,选取控制参数a=20,b=14,c=10.6,h=2.8,(q1,q2,q3)=(0.9,0.9,0.8)。初始点x1(0)=1,y1(0)=1,z1(0)=1,x2(0)=2,y2(0)=1,z2(0)=3。时间步长t=0.01,λ=2。选取式(3)作为响应系统。
加入控制器前后的系统同步误差曲线如图4、5所示。比较图4、5能够得出,当同步控制器u开始作用时,系统同步误差很快趋近于零,系统同步误差达到稳定,说明两个系统可以实现投影同步且同步效果良好。
4 结束语
笔者介绍了一种新的三维分数阶混沌系统,该分数阶混沌系统与混沌系统相比,其动力学行为、拓扑结构更为复杂,动态行为更加难以预测、更难被破解。通过解析该三维分数阶混沌系统的理论参数、特性、相图和吸引子,以及分析当改变分数阶混沌系统的阶数时系统运动轨迹的变化情况等,证实了该系统是混沌的。数值模拟仿真结果表明,笔者所提控制器的控制效果较好,能够使系统同步误差稳定于零,拥有广阔的应用前景。
摘要：介绍了一种新的三维分数阶混沌系统,通过理论解析、Lyapunov指数与维数求解以及变换分数阶混沌系统阶数时,系统相图和吸引子的变化情况验证了该系统是混沌的。通过研究追踪信号的理念和模拟整数阶混沌同步控制器的原理,发现了一个新的非线性控制器。理论推导和Matlab实例仿真结果表明:该非线性控制器可使分数阶混沌系统与同维整数阶混沌系统之间具有良好的投影同步效果。
基于分数阶微分的图像增强算法 篇4
图像邻域像素间的灰度值具有一定的相关性, 高度自相似的图像分形信息常以复杂的纹理细节信息表现。传统的Sobel算子、Prewitt算子是一阶边缘锐化算子, 可沿水平方向和垂直方向锐化图像的边缘。Laplacian算子是二阶边缘锐化算子, 对噪声比较敏感。Sobel算子、Prewitt算子、Laplacian算子都是基于空域的整数阶微分运算。整数阶微分运算可以增强图像的高频边缘轮廓信息, 但对图像纹理细零, 导致这部分图像变得模糊不清。节和平滑区域的中低频信息的运算结果约等于分数阶微积分是整数阶微积分的数学推广, 将微积分的阶次从整数阶推广至分数阶。分数阶微积分已经在生物工程、动力学系统、信号处理等领域得到了广泛应用[3,4,5]。在图像处理领域, 分析图像信号的分数阶微积分的拮抗特性与纹理细节提取时, 比较分数阶微分与整数阶微分的仿生Rodieck模型, 并比较两者对应的仿生Rodieck感受野模型的马赫带现象, 可以得出分数阶微分算子比整数阶微分算子更有利于分析和强化图像纹理细节信息的结论[3,4]。
1 Riemann-Liouville分数阶微分理论
目前, 分数阶微积分还没有统一的时域定义的表达式。因为从不同的应用角度分析, 可以得到不同的分数阶微积分定义[3]。比较经典的分数阶微积分定义有:Grünwald-Letnikov定义、Riemann-Liouville定义和Caputo定义等。
其中, Riemann-Liouville定义是对GrünwaldLetnikov定义进行了改进, 使之计算简化, 是目前最常用的分数阶微积分定义。
1.1 Riemann-Liouville分数阶微分定义
信号f (t) ∈[a, t]的v阶分数阶积分的R-L定义为[3,6]
对于任意的正整数n和实数v, 有
当n=1, a=0, 0≤v<1时, 由式 (1) 和式 (2) , 可得信号f (t) 的R-L分数阶微分为
令a=0, 将信号f (t) 在[0, t]区间内N等分, 推导可得
对于二维图像信号f (x, y) , 像素间的最小间隔为1。根据式 (4) , 可得f (x, y) 在x和y方向的分数阶偏微分近似表达式
1.2 分数阶微分增强算子模板构造
设在一定的条件下, 二维图像f (x, y) 在x轴和y轴的分数阶微分可分离, 利用以上Riemann-Liouville分数阶微分表达式的推导结果, 可构造分数阶微分增强算子模板。
构造分数阶微分增强算子模板时, 要考虑中心像素点邻域的x0方向、x45方向、x90方向、x135方向、x180方向、x225方向、x270方向和x315方向等八个方向, 如图1所示。其次, 考虑算子模板的各向旋转不变性, 并将8个方向的分数阶微分模板组合在一起, 可构造如图2所示5×5大小的R-L分数阶微分增强算子模板[4,5,6,7]。采用分数阶微分增强算子模板对图像进行增强处理时, 先要对模板系数进行归一化处理, 再利用模板对图像完成卷积运算。
2 图像增强仿真实验
2.1 灰度图像
对灰度图像pout.tif分别采用Sobel算子 (算子模板系数为[-1-2-1;0 0 0;1 2 1]) 、Prewitt算子 (算子模板系数为[-1-1-1;0 0 0;1 1 1]) 、Laplacian算子 (算子模板系数为[0-1 0;-1 4-1;0-1 0]) 、5×5大小的R-L分数阶微分增强算子进行图像增强的仿真实验, 增强效果如图3所示。
由图3可见, Sobel算子、Prewitt算子锐化了原始图像的边缘, 但对图像的纹理细节信息并没有明显增强。Laplacian算子的图像增强视觉效果比较自然。
相比整数阶微分增强算子, 分数阶微分增强算子能有效保留图像的纹理细节信息, 并且可以根据图像的实际增强效果, 灵活地调节微分阶次。实验中, 微分阶次分别选择为0.35阶、0.48阶、0.59阶、0.79阶。随着分数阶微分阶次的增加, 图像的纹理信息逐渐得到了加强。
2.2 彩色图像
对彩色图像proxy.jpg分别采用Sobel算子 (模板系数[-1-2-1;0 0 0;1 2 1]) 、Prewitt算子 (模板系数[-1-1-1;0 0 0;1 1 1]) 、Laplacian算子 (模板系数[0-1 0;-1 4-1;0-1 0]) 、5×5大小的R-L分数阶微分增强算子进行图像增强的仿真实验, 增强效果如图4所示。
由于彩色图像的R、G、B分量具有相关性, 因此在进行图像增强处理时, 要先将RGB彩色图像转换到HSI色彩空间。
由图4可见, Sobel算子、Prewitt算子显著加强了图像的上下垂直边缘。Laplacian算子锐化了中心像素点上下左右4个方向的边缘, 增强效果从视觉效果上看优于Sobel算子与Prewitt算子。
实验中, 分数阶微分的微分阶次从小到大, 依次选择为0.48阶, 0.55阶, 0.62阶, 0.79阶。随着微分阶次的增加, 图像的纹理信息得到了加强。
3 图像增强效果熵的计算
图像增强效果除了主观评价, 还可以引入熵的概念进行定量分析。熵是信息论中, 对于不确定信息的度量。熵值越大, 表示信息量越大, 反之则越小。对于图像信号而言, 代表图像信息的就是图像的纹理和边缘。如果图像的熵越大, 则表示图像的纹理和边缘信息越丰富。
若一幅图像的灰度等级是{r1, r2, …, rm}, 其概率分别是{p (r1) , p (r2) , …, p (rm) }, 则图像熵的计算公式为
3.1 整数阶图像增强熵的计算
采用Sobel算子、Prewitt算子及Laplacian算子等整数阶图像增强算子, 对灰度图像pout.tif和彩色图像proxy.jpg进行图像增强处理的实验结果, 如图3和图4所示。表1是各种整数阶图像增强算子处理后, 图像熵的计算结果。
由表1可见, 对于灰度图像pout.tif和彩色图像proxy.jpg而言, Sobel算子的熵值最大。从图3和图4的图像增强效果可见, Sobel增强算子对原始图像的边缘轮廓锐化效果最明显。
3.2 分数阶图像增强熵的计算
分数阶微分阶次不同时, 用分数阶微分增强算子对灰度图像pout.tif和彩色图像proxy.jpg进行的图像增强处理的实验结果, 如图3和图4所示。表2和表3是分数阶微分增强算子对图像进行增强处理后, 图像熵的计算结果。
由表2和表3可见, 随着分数阶微分阶次的增加, 分数阶微分增强算子处理后的图像熵值呈上升趋势, 说明图像的纹理细节信息得到了加强。
4 结束语
本文构造了基于Riemann-Liouville定义的5×5大小的分数阶微分增强算子模板, 并采用传统的Sobel、Prewitt、Laplacian等整数阶微分增强算子, 分别对灰度图像和彩色图像进行了图像增强的仿真实验。最后, 引入图像增强效果熵的计算, 给出各种增强算子处理后图像的熵值。
仿真实验结果表明, 分数阶微分增强算子的微分阶次灵活可调, 图像增强的视觉效果明显优于整数阶微分增强算子。但是微分阶次的选择及熵值的大小与图像的纹理信息等密切相关, 还需要进行进一步的研究。
参考文献
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[2]WILLIAM K PRATt.数字图像处理[M].北京:机械工业出版社, 2010.
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[4]蒲亦非.将分数阶微分演算引入数字图像处理[J].四川大学学报:工程科学版, 2007 (5) :124-132.
[5]黄果, 许黎, 蒲亦非.分数阶微积分在图像处理中的研究综述[J].计算机应用研究, 2012 (2) :414-420.
[6]陈庆利, 蒲亦非, 黄果, 等.数字图像的0~1阶RiemannLiouville分数阶微分增强模板[J].电子科技大学学报, 2011 (9) :772-776.
假分数阶论文 篇5
分数阶微积分有三百多年的发展历史,它是传统的微积分的推广。由于数学基础的限制, 它在实际中的应用还是最近几十年的事情。实际上许多系统都具有分数阶的特征, 所以分数阶微积分已经应用到各个领域, 如控制理论、分形理论、粘弹性阻尼器、机器人以及混沌系统的研究中。分数阶微积分在控制和混沌中的应用越来越受到学者的重视, 逐渐地成为了一个热点的研究问题。如文献[1]研究了分数维的PIλDμ控制, 文献[2]研究了分数阶的自适应控制, 文献[3]研究了分数阶的蔡系统, 文献[4]研究了分数阶的Duffing系统, 文献[5]研究了分数阶的Lorenz系统的分数阶控制算法, 文献[6]研究了分数阶的陈氏系统, 文献[7]研究了分数阶的Lorenz系统。
虽然分数阶的混沌系统得到了较多的研究, 但是其控制方法的研究还比较少。本文首先研究了分数维Lorenz系统的平衡点的问题, 然后利用线性反馈的方法控制系统到平衡点, 并给出了使系统稳定的反馈系数的选取方法。最后通过仿真实例验证了此方法的有效性。
1 分数阶微积分的定义
分数维微积分有多种定义方式[8],主要有Riemann-Liouville(R-L)定义(1840年)、Grunwald-Letnikov定义、Caputo定义(1970年)、Fourier定义等。经常用到的是R-L定义和Caputo定义。Caputo定义有传统的易于物理上解释和实现的初始条件, 并且对常数的分数阶微分为0, 所以在实际的应用中用到较多的是Caputo定义。本文采用Caputo定义。
定义1:一元函数f(t)的α阶积分定义为[8]:
undefined
(t>a,α>0)
其中,a,t分别为积分的下界和上界,f(t)为被积函数,α为积分次数,Γ(α)是Γ函数。
定义2:一元函数f(t)的α阶维微分定义为[8]:
undefined
其中,m-1<α
定义3: 一元函数f(t)分数维微积分f(α)(t)的拉普拉斯变换定义为[8]:
undefined
其中,undefined为任意实数。
当初始条件为0时, 有undefined
2 分数阶系统稳定的充分条件
分数阶系统的稳定性问题在文献[9]中得到较多的研究:对于α阶的系统, 它的不稳定的区域是一个楔形区域, 顶点在原点, 以x轴为对称轴。当系统的极点落在此区域, 系统是不稳定的, 当系统的极点落在此区域以外的区域,系统是稳定的区域。如图所示, 容易知道整数阶系统的稳定区域包含在分数阶系统的稳定区域内(α<1)。从而, 利用整数阶系统的极点配置的方法,把系统的极点配置到左半平面, 所得到的系统是稳定的。当系统的各个状态用不同阶的微分方程来描述时, 如
undefined
, 则此系统的极点应该在由θ≤qπ/2;q=max{α,β,γ}描述的楔形区域之外。
3 分数阶的Lorenz系统
文献[10]研究了分数阶的Lorenz系统:
undefined
当a=10,b=8/3,c=28时,分数阶Lorenz系统有一个混沌吸引子。文献[7]通过仿真实验验证了分数阶的Lorenz系统在系统的阶次(α+β+γ)小于3的情况下, 也可以产生混沌的现象。由于本文中用的是分数阶微积分的Caputo定义, 它对于常数的微分为0, 由x(α)=0,y(β)=0,z(γ)=0不难得到系统的三个平衡点:
undefined
系统(1)在S0邻域线性化方程的系数矩阵为:
undefined
显然J1的特征值为
undefined
因此平衡点S0是不稳定的。系统(1)在S±邻域线性化方程的系数矩阵为:
undefined
易求得系统有正实根, 从而落在了图1所示的不稳定的楔形区域内, 故平衡点S±也是不稳定的。
4 控制方法
本文旨在设计一简单的反馈控制器u,使得所构成的闭环系统稳定。本文就采用线性状态反馈的方法, 将混沌系统控制到上述的任意的平衡点。传统的线性反馈控制方法是
undefined
的形式。其中X=(x,y,z)是系统的状态,A是线性化后的系数矩阵,undefined为控制目标, 即上述3个平衡点中的一个,K=(k1,k2,k3)为正反馈系数。此时系统只有一个平衡点undefined。
4.1 控制混沌系统到平衡点
一个简单的反馈控制器应该仅仅是状态的线性函数, 如果控制器仅仅是状态某一变量的线性函数, 则控制器的结构会更加简单。本节只对状态的变量y施加控制作用,且控制器受控系统变为
undefined
其中k为待定的正反馈系数,undefined为平衡点S0(0,0,0)中所对应的y的值。下面将系统式(3)控制到此稳定点。系统在S0的邻域线性化方程的系数矩阵为:
undefined
把a=10,b=8/3,c=28代入得
undefined
显然undefined1的特征方程为(λ+8/3)[λ2+(k+1)λ+10(k+1)-280]。其中一个特征根λ1=-8/3<0另外两个特征根满足λ2+(k+1)λ+10(k+1)-280。由一元二次方程的知识得出当k+1>0且10(k+1)-280>0时,系统的两个特征根具有负实部。此时, 可求得k>27。故k>27系统式(2)在平衡点S0附近的线性化系统的特征根都具有负实部。从而系统是稳定的。
4.2 控制混沌系统到平衡点
系统式(2)在S±的线性化方程的系数矩阵为
undefined
相应的特征值多项式为
undefined
(k1k2+k1k3+k2k3+ak2+ak3+
bk1+bk2+k1+k3+ab+bc)λ+
(k1k2k3+bk1k2+ak2k3+k1k3-
bck1+abk2+2abc)
为了简化运算,取k1=0,k2=3。当k3=1时, 由Routh-Hurwitz准则知, 系统的所有特征根具有负实部, 即特征根落在了图1所示的楔形区域外, 从而可以将混沌系统控制到平衡点S±。
5 仿真实例
选取α=0.95,β=γ=1, 初始条件为(10,0,10),在不加入控制时, 系统的周期性轨道如图2。当加入控制时, 选取k=28, 此时, 系统的极点都具有负实部, 它们都落在图1所示的楔形区域之外, 系统逐渐的稳定到其平衡点, 如图3所示。
6 结束语
讨论了分数阶的Lorenz系统的平衡点及其稳定性, 利用状态反馈的方法, 控制分数阶的Lorenz系统稳定到其平衡点。仿真试验验证了此方法的有效性。
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磁流变液动态性能分数阶建模研究 篇6
关键词：磁流变液,黏弹性流体,分数阶导数,系统建模
0 引言
磁流变液(magnetorheological fluid,MRF)是一种在外加磁场作用下流变特性发生急剧变化的智能材料,其流变特性可控,在工程中得到了广泛应用。在力学上,它既具有流体的黏性,又具有弹簧的弹性,因此也称为黏弹性流体。近几年,对黏弹性流体应力-应变关系的研究,主要是引入分数阶导数流变模型代替整数阶模型来描述黏弹性体的本构关系,如分数阶微积分型的Maxwell模型[1]、分数阶Jeffreys模型[2]及分数阶导数的Maxwell体和Kelvin体[3]。分数阶导数流变模型理论克服了经典流变模型理论与实验结果不一致的缺点,更接近客观事物的本质。本文研究的磁流变液是本实验室自制的,为研究其可控的阻尼特性,将分数阶导数引入磁流变液测试系统的建模中。
1 分数阶导数(微积分)
分数阶微积分的概念几乎是和整数阶微积分的概念同时出现的,但由于缺乏分数阶导数的解法,因此很难得到应用而发展缓慢[4,5]。最常用的分数阶微积分有3种,即Riemann-Liouville(R-L)、Caputo和Grünwald-Letnikov(G-L)。这3种定义都可描述实际应用模型的分数阶微分方程的计算方法[6]。相比3种方法而言,R-L定义虽被很多人接纳,但由于其分数导数解的物理意义不是很明确[7,8],因此工程应用较少;Caputo由于其初始值具有明确的物理意义,因此工程应用较多;G-L定义是求解分数阶微积分最直接的方法[9]。G-L定义为
式中,h为计算步长,越小精度越高;x0为计算初值,一般设为0;Γ(·)为伽玛函数;α为微分阶数;t为函数变量;[·]为取整符号,k=0,1,…,(t-x0)/h。
分数阶系统(fractional order system)是用分数阶微分方程描述的系统。分数阶线性定常微分方程的一般形式为
式中,ai为常系数,i=0,1,…,n;βi为导数阶数;u(t)为系统输入函数;y(t)为系统输出响应。
设函数y(t)具有零初始条件,式(2)经Laplace变换得[10]
式中,G(s)为分数阶系统的传递函数。
当βi∈Z时,G(s)为传统整数阶系统的传递函数。显然,分数阶系统是整数阶系统的推广。
2 MRF测试系统的分数阶模型
本文自制的磁流变仪如图1所示,主动盘与固定盘的间隙H可调,实验中设置H=1.4mm。当主动盘以角速度ω旋转时,具有黏弹性的磁流变液在主动盘的拖动下呈现扭转剪切拖拽流动,通过虚拟扭矩仪测量转动轴的转速和扭矩,即可推算出相应的剪切速率和剪切应力。
(b)三维图
为研究磁流变液的剪切流动情况,也即其阻尼效果,实验配置了3种磁流变液:MRF-1、MRF-2和MRF-3(其成分主要有羟基铁粉、异丙醇、硅烷偶联剂、硅油、SiO2等),且其羟基铁粉的质量分数分别为66%、70%和74%;采用的5种转速分别为30r/min、60r/min、90r/min、120r/min和150r/min;设置的工作电流为0.1A。在实验中,利用NI软件LabVIEW构建测试平台,使用NI控制卡、转速扭矩传感器、放大器、磁流变仪等,记录不同工况下转动轴的转速和扭矩信号。
在零磁场(未通电流)转速为n的稳态条件下,由于磁流变液黏性阻力的作用,会产生初始转矩T0;加入磁场后(接通电流),磁流变仪的转矩随磁场的增大而增大,即转矩随电流增大而增大。因此,可将电流I作为系统输入信号i(t),转矩增加量Tt作为系统输出信号,建立如下模型:
式中,a2、aβ1和a0分别为二阶导数项、分数阶导数项和零阶导数项的系数,a2和a1的单位分别为s2和s。
β取值范围与系统黏弹性的关系如下:
(1)当β=0或β=2时,黏弹性项退化为弹性项或惯性项,但系统一般具有黏性阻尼作用。
(2)当β=1时,系统为典型的二阶系统。
(3)当0<β<1时,系统具有黏弹性,β→1时,系统更趋于黏性,β→0时,系统更趋于弹性。
(4)当1<β<2时,有两种可能的情形:①系统的惯性增强,导致惯性与黏性的耦合;②系统弹性增强,导致弹性和黏性的耦合,产生黏弹性效果。
3 分数阶模型的数值解
文献[11]证明了非线性分数导数方程的数值解和解析解几乎相同。由G-L分数导数的定义[12]求解式(4)得到
式中,aj和βj分别为式(4)a0、a1、a2的系数和0、β、2的阶数,j=1,2。
w(βj)k可由下面的递推公式得到
4 实验分析
将采集到的转矩信号Tt进行归一化和滤波等预处理后,采用式(5)和最小二乘法拟合曲线方程。解得的分数阶微分方程(式(4))的各项参数值如表1和表2所示。图2为MRF-1在转速n=60r/min时的实测转矩和拟合转矩的比较图。由图2可以看出,分数阶的拟合更接近实测值,拐点处较明显,且分数阶拟合的残差平方和∑D(e)较小(表1)。实测转矩在达到平稳后仍存在周期波动,是由于磁流变仪扭矩轴稍有偏心导致的。
1.整数阶拟合转矩 2.分数阶拟合转矩 3.实测转矩
图3为MRF-2在不同转速(n=30r/min,60r/min,90r/min,120r/min,150r/min),输入电流为0.1A的工况下,剪切力矩随时间变化的曲线拟合图。由图3可以看出,磁流变液的剪切屈服力矩随转速的提高有增大的趋势,也即说明磁流变的阻尼特性随剪切速率的增大而增强;由图3还可以看出,相应转速下,磁流变液羟基铁粉质量分数的提高也会增大其剪切屈服力矩,如表3所示。另外,初始剪切屈服力矩T0也有相应的增大,如表4所示。总之,随着转速(剪切速率)和羟基铁粉质量分数的提高,其阻尼特性明显增强。
1.n=30r/min 2.n=60r/min 3.n=90r/min 4.n=120r/min 5.n=150r/min
在表1、表2中,出现β>1的情况,这并非巧合,由表中的aβ1/a2和a0/a2系数比值可知,分数阶模型与整数阶模型相比,当分数阶的系数aβ1/a2和a0/a2大于整数阶的系数aβ1/a2和a0/a2时,β>1,但两者之间主要取决于系数a0/a2的大小,即当分数阶的系数a0/a2突然大幅度增大,且大于整数阶的系数a0/a2时,其阶数β必大于1。同理,若分数阶的系数aβ1/a2和a0/a2小于整数阶的系数aβ1/a2和a0/a2时,β<1。仔细观察可知,相同条件下,分数阶的系数值大于或小于整数阶的系数值的程度可由β值的大小体现,如表5所示,假设P为分数阶系数a0/a2与整数阶系数a0/a2的比值。由表5可知,P值和β值的变化趋势一致。这说明β值在一定程度上能反映系统黏弹性的大小,即分数阶模型与整数阶模型相比,若β>1,则说明分数阶模型描述的系统黏弹性更强,反之,则说明分数阶模型描述的系统黏弹性稍弱,整数阶模型无法如此细微地描述系统的黏弹特性。
分析表1和表2可知:
(1)由于测试系统的传动链短,分数阶模型和整数阶模型的残差平方和都较小,但分数阶模型的拟合精度更高些,说明分数阶模型能更准确地描述黏弹性体的动态性能。
(2)系数aβ1/a2、a0/a2的值都很大,说明系统模型的黏性项和弹性项远大于惯性项,因此可以把测试系统看成是β阶系统。
(3)相同转速下,随着羟基铁粉质量分数的提高,系数a0/a2和β都有增大的趋势;同种磁流变液,随着转速的变化,系数a0/a2和β的变化趋势基本一致,说明β在一定程度上可以反映系统黏弹性的大小,同时也说明羟基铁粉质量分数和转速对磁流变液的黏弹特性有较大影响。
5 结论
(1)分数阶模型能更细微、更准确地描述磁流变液的黏弹性和系统的动态性能。
(2)随着转速和羟基铁粉质量分数的提高,MRF的剪切屈服转矩明显增大,即阻尼特性随转速和羟基铁粉质量分数的提高而增强。若将其应用于减振系统,则会大大提高减振能力。
(3)在相应转速下,分数阶模型的阶数β随羟基铁粉质量分数的提高而有增大的趋势,说明羟基铁粉质量分数的大小对磁流变液的黏弹性性能影响较大。
(4)阶数β是否大于1与弹性项和惯性项的系数a0/a2有关,当分数阶模型的系数a0/a2大于整数阶的模型的系数a0/a2时,其阶数β必大于1,说明分数阶模型描述的系统黏弹性更强;反之,当β<1时,则表示分数阶模型描述的系统黏弹性稍弱。
(5)当测试系统所建模型的阶数范围为0<β<2时,表明系统具有黏弹特性,也即说明磁流变液具有黏弹特性。
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假分数阶论文 篇7
随着世界通信技术的发展, 既需要在有效利用频带传输多种信息, 更需要保证通信安全, 为了保证信息安全, 有混沌加密, RSA加密等多种加密方式。
而基于分数阶Hilbert变换的单边带通信, 更是将传统Hilbert的解析信号抑制负频谱推广到了分数阶Fourier域。这种方法最大的优点是, 在传输信号的同时可以利用分数阶Hilbert变换阶数作为加密密钥, 保证通信安全。但是加密信号的信号只有单加密密钥, 即密钥空间较小[1]。
基于多抽样速率滤波器可以在频谱分析中将信号分为几个互不重叠的子带, 分别进行编码, 压缩等处理, 可以起到节省计算工作量及存储空间的目的。
本文利用多抽样速率滤波器组, 提出了一种可以将信号进行多路传输, 各路独立加密的对称密钥加密方案。
1分数阶Hilbert变换原理
1.1 分数阶Fourier变换
分数阶Fourier变换的定义为[2]:
式中:undefined为整数, p为分数阶Fourier的变换阶数。
虽然实信号的分数阶Fourier变换不满足共轭对称性, 但是任意信号f (t) 的分数阶Fourier变换可以看成是信号undefined的Fourier变换。如果r (t) 为实信号, 可以用指数信号undefined调制, 调制后为undefined, 调制后信号的分数阶Fourier变换为:
式中:Fπ/2表示传统Fourier变换 (看做是旋转角度为π/2的分数阶Fourier变换) , Aα与u无关, undefined关于u为偶对称, 而实信号r (t) 的Fourier变换满足共轭对称性。因此保留f (t) 的分数阶Fourier正谱Fα[f] (u) (u≥0) , 就能得到实信号r (t) 的正频谱, 从而恢复实信号[3]。
1.2 分数阶Hilbert变换
类似于传统Hilbert变换, 定义信号x (t) 的分数阶Hilbert变换为[4]:
式中:undefined;undefined为传统Hilbert变换的核函数, 即h (t) =1/πt (t≠0) , α为分数阶Fourier变换的旋转角度。
相应的解析信号:
式中:undefined为信号x (t) 的分数阶Hilbert变换。此解析信号undefined只包含信号x (t) 的分数阶Fourier正谱分量[5]。
设信号x (t) 是实信号r (t) 经过指数信号调制后得到的信号, 即:undefined, 则解析信号undefined和r (t) 的关系为:
1.3 基于分数阶Hilbert变换的单边带通信
信号发射前必须经过调制, 根据式 (3) , 式 (4) 生成解析信号, 此解析信号只包含原信号的分数阶Fourier域的正频谱部分[6]。如图1所示。
接收端接收到解析信号后, 利用式 (5) 恢复, 然后解调即可恢复x (t) 。如图2所示。
设正确角度为α, 若接收端不按照α为角度进行恢复, 假设以角度β解调, 可将β代入式 (5) 进行整理, 则生成的实信号r′ (t) 为:
由此可以看出, 信号不但节省了频带, 同时还保持了一个加密密钥, 接收端只有满足角度α=β时, 才能精确重构原信号。
2基于分数阶Hilbert变换的多速率信号处理多路加密方法及性能分析
2.1 基于分数阶Hilbert变换的加密原理
多路分数阶Hilbert变换加密通信框图如图3所示。
在图3中, 待发送信号首先使用多抽样速率滤波器组分为N路。N通道滤波器组如图4[7]所示。
实际应用中, 为了高效计算, 常采用滤波器组的多相结构。设E (z) 和R (z) 分别是H (z) 和G (z) 的多相分解形式, 定义为:
式中:Q=M/N (M为滤波器长度) ;k=0, 1, 2, …, N-1;hl为H0～HN-1中第l个滤波器。
式中:undefined为滤波器长度) ;k=0, 1, 2, …, N-1;gl为G0～GN-1中第l个滤波器[8]。
若满足:
则系统为完全重建系统。式中:c和λ为常数;I为单位矩阵。
经过多抽样速率滤波器组分为N路后, 分别进行各路加密, 各路使用式 (3) , 式 (4) 加密, 分别设定独立的旋转角度。
在接收端, 各路根据式 (5) , 按照双方约定的密钥进行解密。
2.2 基于多抽样速率滤波器组的多加密密钥系统的实现
综上所述, 提出一种可以将单路信号使用多个加密密钥进行加密的系统, 如图5所示。
图5中, x0 (n) ～xN-1 (n) 为图4中原信号x (n) 经过N通道滤波器组经过分析滤波器H0 (z) ～HN-1 (z) 分成不同的子带信号。使用式 (3) , 式 (4) 加密后进行传输。接收端利用式 (5) , 对加密信号undefined进行解密得到xα0 (n) ～xαN-1 (n) , 将这些信号进行插值恢复原采样率和经过综合滤波器组处理, 最后归并各路信号可以恢复原信号。恢复信号和原信号的关系为:
式中:c和n0为常数。
由图5可以看出, 加密密钥由一个拓展为N个, 即密钥空间增大了。
2.3 性能分析
单路加密算法的计算复杂度分别是复杂度为O (n) 的乘法, O (nlog n) 的卷积运算。当n足够大时, 后者支配前者。所以系统总的计算复杂度为O (nlog n) 。其中, n为数据长度[9]。
多加密密钥系统中, 应采用高效算法, 即使用多相结构, 并且将分析滤波器组的多相分量与抽取器、插值器和综合滤波器组的多相分量分别进行等价变换。这样可以使得卷积和乘法运算在低抽样率的一端, 使得卷积和乘法的计算复杂度减少。设采用N个加密算子, 即多抽样速率滤波器组共N路。
根据以上讨论。则原信号x (n) 经过抽取后分别与分析滤波器组的多相分量进行卷积运算, 每路卷积运算的计算复杂度为undefined, N路总的计算复杂度为undefined;加密和解密的计算复杂度占支配地位的是卷积运算。进行各路加密, 此时各路数据长度为n/N, 每路加密和传输后解密的复杂度为undefined, N路总的加密解密计算复杂度为undefined;同理, 最后和综合滤波器组的各多相分量进行卷积运算后插值恢复, 总的计算复杂度也为undefined。所以, 系统总的计算复杂度为undefined。因此, 与单路加密系统相比, 多加密系统不但使得系统总的计算复杂度降低, 并且增大了密钥空间[10]。
3仿真实验
仿真实验系统为2通道分数阶Hilbert变换加密系统, 输入信号为方波, 分析滤波器组的多相分量为, 综合滤波器组的多相分量为, 分别以π/6和π/5作为第1路和第2路的加密密钥, 经传输后, 分别以正确密钥 (π/6和π/5) 和错误密钥 (π/6.5和π/5) 进行解密。仿真实验结果如图6所示。
由图6 (b) 可见, 当密钥正确时, 可以重建原信号;若某一路解密, 设第一路角度变为π/6.5, 第二路保持不变, 则经过综合滤波器后两路信号和合并重建的信号如图6 (c) 所示。因此, 只有知道N个通道独有的加密密钥, 才能解密重建原信号。
4结语
根据分数阶Hilbert变换理论, 可以得到分数阶域信号的解析表示, 并且可以使用分数阶相位参数作为单边带通信的加密密钥。基于多通道滤波器组的多路加密系统不但使计算复杂度更小, 同时还可以将单路信号的加密密钥拓展为N个, 从而增大了密钥空间, 因此通信的安全性更高。该系统可用于存在多发射端, 多接收端的系统, 有一定的实用价值。
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假分数阶论文 篇8
分数阶微分是整数阶微积分运算的推广，其在信号处理中的应用目前在国内外还都是一个研究甚少的新兴科学分支。尤其在图像处理中，最近两年才陆续出现相关的研究论文。在数字图像中，邻域内像素与像素之间的灰度值具有很大的相关性，这种高度自相似的信息通常是以复杂的纹理细节信息表现的，而将分数阶微分引入图像处理有非常好的增强复杂纹理细节的效果[2]。所以将分数阶微分引入对岩石裂隙细节进行分析是非常有必要的尝试。
目前使用分数阶微分算子的方法是参考sobel等整数阶算子构造合适的微分算子模板，然后用构造出的算子模板和图像做卷积处理[2]。这种方法目前在图像边缘检测[3,4]和图像增强[5,6]应用中有较好的实现。
为了能优化微分算子的强化高频信息的优势和提高信噪比，本文设计了一种小阶数模板迭代卷积的算法。这种算法在岩石裂隙细节提取试验中相比单一掩模和传统算法有非常好的提取信号细节的能力。该算法的基础是对现有的微分算子模板做一些改进。
1 微分算子模板的改进
1.1 图像分数阶微分算子定义式
对于坌ν∈R，令其整数部分为[ν]，若信号s(t)∈[a,t](a
其中C-rv=.
根据Letnikov微分定义表达式(1)，若一元信号s(t)的持续期为t∈[a,t]，将信号持续期[a,t]按单位等分间隔h=1进行等分，可以推导出一元信号s(t)v阶分数阶微分差值表达式为[7,8,9]：
由差分表达式，便可以得到分数阶微分的差分系数为：
1.2 分数阶微分掩模模板的改进
考虑到算子误差和卷积计算量，针对分数阶微分的差分系数一般采用前三个系数构造模板。这种情况下被提出的各向同性模板是被称为Tiansi模板的微分算子模板[4,5](见图1)。图2是改造后的算子模块。
这种模板最大的缺陷在于不同分数阶数的模板卷积结果存在阶数不均衡的现象。由于算子采用的是以(a0+a1+a2)×8系数做相除修正，而这个修正系数在阶数为1取值为零，这会导致算子在接近零时系数突变增大，使得卷积后的结果由于数值过大无法再显示于图像值域范围内。
为了实现模板阶数的均衡化，本文将Tiansi算子模板加以改进，令模板中间系数减去一个修正系数m，使得模板由商修正转变为差修正。改造后的算子模板如图2所示，其中：
这种算子对于0～1的阶数变化具有非常好的均衡性。当阶数选取近似为1时，算子亦蜕化为强化拉普拉斯算子，算子对图像的影响最大;而当阶数选取近似为0时，算子对图像的影响慢慢趋于最小。下面是两个算子模板在0.3阶数时的处理效果直方图对比：
对于图3的原始岩石裂隙图像，其直方图(图4)灰度能量绝大部分都集中在低灰度区域，而感兴趣的目标区域分布在较高灰度区域。对比图5 Tiansi模板处理效果直方图和图6修正模板处理效果直方图后不难发现：修正模板可以使得较低频信号迅速向0灰度收敛，同时使较高频信号向255灰度收敛，修正模板对于岩石裂隙图像的较低灰度细节强化显著优越于Tiansi模板。
2 小阶数模板迭代算法
2.1 迭代思想的引入
目前分数阶微分图像算子的应用都是针对图像做预处理，如同使用sobel、Roberts等算子那样将边缘细节显示出来后再引用其它图像算法做进一步的提取，比如阈值分割算法和平滑去噪等等。这样，微分算子效果处理的好坏不仅仅取决于算子本身，还需要辅助算法的支持。本文结合分数阶微分和图像的特点，将迭代思想引入到图像算法中，使新算法可以更多更好的把高频细节保留下来。
分数阶微分算子使得岩石裂隙图像中的较低灰度高频细节强化并显示出来，而其中高频细节强化程度的多少却取决于选取的阶数大小。这里面最主要的矛盾在于大量噪声是以高频细节信号存在的。当微分阶数选取较小时，裂隙细节和噪声被强化的效果都很小;当微分阶数选取较大时，虽然欣慰地得到了较多裂隙细节，但同样也会得到大量噪声点。在实验中，针对Tiansi模板的应用，不同微分阶数的卷积结果信噪比分析有着比较明显的类似高斯分布的特点，当阶数选取在0.2左右时信噪比最高，而阶数偏离0.2之后信噪比会按一定的曲线一直衰减[5]。
如此可以推断：若引用迭代微分思想做图像处理，在小阶数处选取一个适当的模板作迭代微分算子，就可以使每一次迭代卷积结果皆能得到较高的信噪比，这样同比一高阶微分，数次低阶微分的效果要优化于前者;同时，如果根据图像本身的特点针对每一次微分做不同程度的细节提取，那么随着迭代次数的增多，大量的细节会显示并被提取出来，这时候即使大量细节伴随着噪声点出现，我们也可以根据每次迭代处理的结果和其相关性进行去噪和筛选。
2.2 算法的提出及效果
基于刚刚提出的微分算子修正模板，本文提出一种针对于岩石裂隙图像处理的迭代算法。
根据岩石裂隙图像的直方图(图4～图6)，我们可以知道此类微分图像有以下特点：图像中的裂隙信息大部分处于高灰度值区域，而背景和噪声较多分布于低灰度值区域;两种微分算子对此类图像的细节强化非常突出之处是在255灰度值的增加上，而非255灰度值的高灰度区域并无明显变化。
通过对裂隙图像的直方图(图4)进行分析，裂隙图像的背景噪声在灰度值8附近达到了极大值，因为只有当噪声点为2邻域孤立像素点时算子模板对其强化的影响最大，所以本文采取以假设孤立点的思路来确定修正模板的阶数。因为岩石裂隙图像中孤立点极少，针对岩石裂隙图像直方图的特点，本文采取最小风险的做法，取灰度值8为假设孤立噪声分界点，这样对于模板中间系数的迭代乘积空间就是255/8。为了既能得到迭代微分的效果且节省迭代成本，本文选择5次迭代为有效迭代。这样可以得到修正模板的中间系数约为2，计算得出我们需要的阶数为0.0858，构造模板如图7所示：
这个小阶数模板的特殊之处在于中间系数2的选择。在由迭代乘积空间计算中间系数时，实际计算的中间系数为1.9984，但中间系数选取为2会使得最终计算的模板更加完整，而且也有利于进行对图像孤立点的分析。
为了能够得到较好的结果，本文选取的迭代次数为6次。在实验中，对比每次迭代后的取样结果，迭代前三次取样时随机噪声还没有出现，而第四次迭代取样也只是出现了为数不多的几个噪声点。所以为了更好的保留细节，本文采取了如下的去噪思路：
保留前四次迭代取样的结果，以第四次取样后的图像做基本信号图;以第五次和第六次迭代取样后的图像为参考对第四次骨架图做细节弥补;以第四次取样图为参考，对第五次取样图中增加的点做2邻域判断，2邻域内若无已存在像素点则按噪声点去掉，得到五次迭代取样修正图;以上一过程中得到的第五次迭代取样修正图为参考，对第六次取样图中增加的点做1邻域判断，1邻域内若无已存在像素点则按噪声点去掉，得到六次迭代取样修正图。
去噪后的图像保留了第四次递归取样时被认同的噪声，但在第五次和第六次出现的噪声点大部分都被去除了。最后，通过对初步去噪后的图像进行弥补和孤立点排除后，最终得到图像(图8)。为了和目前采用分数阶微分算子处理效果[5]作比较，本文选取了0.55阶数构造微分模板做卷积后，用迭代阈值二值化分割的方法得到Tiansi算子最后效果(图9)。
通过图8和图9比较，图8中所提取出来的细节相对更饱满，尤其是裂隙较低灰度部分。虽然在显示低灰度高频细节上tiansi算子较经典算子有较好的表现[4,5],但相对修正算子迭代卷积处理的结果，tiansi算子在低灰度较高频细节上的处理便稍逊一筹。在裂隙灰度值较低的部分，新算法通过迭代卷积之间的关系把更多细节保留下来，这是一次算子卷积二值化处理不可能做到的。
3 总结
本文首先针对现使用的tiansi模板提出了一种修正模板方法，通过和tiansi模板卷积结果作比较，可知修正后的模板可较好地提高图像中的高频细节。然后本文根据岩石裂隙图像的特点和分数阶微分的特性，基于修正后的模板又提出了迭代微分取样的方法运用于岩石裂隙图像提取，在和现有的微分算子tiansi模板的卷积二值化处理结果比较中得到了较好的效果。
由于迭代算法确定模板算子时采用了对孤立点噪声的最低风险预测分析，而更多图像采用孤立点表示微分结果时效果并不好。如何针对图像的特点有效精确地确定迭代算法的迭代次数和模板算子仍然需要进一步研究。
参考文献
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