分数意义

分数意义（共12篇）

分数意义 篇1

一、问题的提出

2009年厦门市思明区小学数学毕业考试卷的填空题中有这样两道题:

第3小题:一瓶可乐5升, 喝了1/2升, 还剩 () 升。

第12小题:把m平方分米的纸片平均分成5份, 每份占它的 () , 每份的面积是 () 平方分米。

分数概念的教学是分数教学中最基本、最核心的内容。在小学引进分数概念是数的概念的一次重要扩展。从整数到分数, 无论在意义上、读写方法上以及计算方法上, 都有很大的差异, 而学生在生活中遇到分数又比较少, 这部分内容一直是教学中的一大难点。虽然教师在教学中反复强化练习, 但这两道题的错误率仍然很高, 前者达30.2%, 后者达19.4% (不完全统计) 。

为什么学生在建立分数的概念上产生错误呢?如何使学生更好地理解分数的两种意义?

笔者针对这一问题, 选取目前福建省较广泛使用的人民教育出版社 (以下简称人教版) 、北京师范大学出版社 (以下简称北师大版) 、江苏教育出版社 (以下简称苏教版) 三种版本的教材作为依托, 进行比较研读, 试图从教材的编写中寻找原因及对策。

二、概念错误的成因

(一) 小学数学中分数有两种实际含义

第一、分数m/n表示用B度量A的结果。用B度量A时, 把B作为单位“1”, 平均分成n份, 这样的一份叫做B的n分之一, 记作1/n, 再用1/n作为新的度量单位去量A, 量m次正好量尽, A中含有m个1/n, 就是m/n。

在上图中, 把B平均分成6份, 1份就是1/6。用分数单位1/6去量A, 量11次正好量尽, A中含有11个1/6, 就是11/6。

第二、商。即我们可将3/4看成3÷4。应当注意的是, 这里仍有两种不同的理解。 (郑毓信《国际视角下的小学数学教育》)

(1) 分配。分数m/n可以理解为把m个单位平均分成n份, 表示其中一份的数。也就是说, 分数m/n表示m除以n所得的商。例如, 把3个饼平均分给4个人, 求每人分得多少个?算式是3÷4, 商是多少呢?这在整数范围内是无法解决的, 现在我们可以这么办:

如图, 3/4就是3÷4的结果, 即3÷4=3/4。

(2) 商除。分数m/n还可以理解为数m是数n的n分之m (或m是n的m/n倍) 。3/4可以理解为3是4的3/4。

郑毓信教授在《国际视角下的小学数学教育》一书中指出:就有理数的教和学而言, 应当首先强调的一个基本事实是:有理数具有多种不同的解释, 或者说, 即是涉及到了多种不同的心理建构。其次, 就有理数的理解而言, 不能停留于某种特定的解释, 也不能将所说的各种解释看成互不相关、彼此独立的;恰恰相反, 只有将有理数的各种解释 (或者说, 相应的心理建构) 很好地联系起来, 才能达到真正的理解。从这样的角度去分析, 有理数的教学也就可以说突出地表明了“综合”与“转换”的重要性, 即是应当将同一概念的不同解释或方面加以整合, 并能根据需要在不同的解释与方面之间灵活地进行转换。

本文开头提到的学生常常出错的两道题, 学生不能很好地理解分数的两种意义, 不能根据需要在不同的解释之间灵活地进行转换, 究其根源, 笔者认为原因在于教材没有将分数的这两种解释很好地联系起来, 没有将同一概念的不同解释加以整合, 使学生无法真正地理解分数的概念。

(二) 三种版本教材的比较分析

人教版与苏教版教材在“分数的意义”的编写上基本相同, 按照小学生的认知规律, 教材有层次地呈示了本知识, 但是在概念出现的先后顺序和表述上稍有不同。 (1) 人教版教材在直观感知的基础上先概括出分数的意义, 然后再指出:一个整体可以用自然数1来表示, 通常把它叫做单位“1”。苏教版则先概括出单位“1”的概念, 接着由“大象”博士让学生说说:上面的分数分别是把单位“1”平均分成几份, 表示这样的几份?在此基础上总结归纳出分数的意义。 (2) 人教版教材中分数的意义表述为:一个物体或一些物体等都可以看做一个整体, 把这个整体平均分成若干份, 这样的一份或者几份都可以用分数来表示。苏教版教材中分数的意义表述为:把单位“1”平均分成若干份, 表示这样的一份或几份的数, 叫做分数。

北师大版教材编写有两个显著特点:一是突出对分数意义的感悟, 使学生充分认识“整体”与“部分”的关系, 深化对分数本质的理解, 教材没有出现文字表述的概念;二是创设了丰富的情境和活动, 教材中创设了“拿铅笔”“看书”“画图形”等丰富的情境和活动, 渗透分数的相对性。同时渗透“求一个数的几分之一、几分之几是多少”的问题研究, 以此深化对分数意义的理解。

从对三种版本教材编写的比较中可以看出, 三种版本的教材都只是片面地从分物引入, 没有涉及度量活动。在第一学段, 教材唯一地强调了从“部分与整体的关系”这一角度去理解分数, 甚至于在学生的知识结构中, 分数就被想象成圆的一部分。第二学段中, 苏教版教材在认识分数中给分数下的定义是:把单位“1”平均分成若干份, 表示这样的一份或几份的数, 叫做分数。人教版教材在“分数的意义”一节中对分数的概念表述为:一个物体或一些物体等都可以看做一个整体, 把这个整体平均分成若干份, 这样的一份或几份都可以用分数来表示。可以看出教材对于分数这一概念的解释角度比较单一。人教版教材第一节是分数的产生和分数的意义, 在第二节安排分数与除法的关系。苏教版例1是分数的意义和分数单位, 而把分数与除法的关系这一内容编排到例6教学。这种编排方式无形中割裂了分数的两种意义, 使学生把分数的两种解释看成是互不相关的、彼此独立的, 造成学生对分数意义的理解局限于“部分与整体的关系”这一心理图像, 从而必然造成概念错误。

三、对教材编写的一些建议

有理数的概念主要只能通过学校中的教学与学习活动才能得到建立, 特别是, 我们应创立各种情境以帮助学生很好地理解有理数的各种意义, 并能根据需要在各种意义之间灵活变换。

1.增加“测量活动”, 使学生从多个角度理解分数的产生。分数产生的真正根源在于测量。在测量中, 人们发现, 用一个长度单位去测量某个物体的长度时, 往往不能得到整数的结果。用作为标准的量去度量另一个量, 如果量若干次不能正好量尽, 就把作为标准的量平均分成若干份, 用其中的一份去量, 这时可能有两种情况:一是无论把标准量平均分成几份, 用其中的一份来度量, 都不能量尽。在这种情况下, 不能用整数来表示度量结果, 这就需要引进无理数。二是把作为标准的量平均分成若干份, 用其中的一份去度量, 恰好量尽。在这种情况下, 也不能用一个整数表示度量结果, 这就需要引进新的数——分数。

2.在一开始引入分数的概念时, 就同时渗透分数意义的两种解释, 使学生对于分数的认识不至于在早期学习中就局限于“部分与整体的关系”这一个角度。

3.第二学段中对于分数的概念定义不应只局限于“把单位‘1’平均分成若干份, 表示这样的一份或几份的数, 叫做分数”, 正确的定义是:形如m/n (n为大于0的自然数, m为自然数) 的数叫做分数。或者不对分数下明确定义, 而是指出分数m/n可以理解为:把单位“1”平均分成n份, 表示这样的m份的数。在“分数与除法”中指出分数m/n可以表示m除以n的商, 它可以理解为:把m个单位平均分成n份, 表示其中一份的数;或者表示数m是数n的n分之m (即m是n的m/n倍) 。

4.此外, 建议在分数的教学体系中引入“分数墙”这一活动课, 帮助学生将分数概念的不同方面联系起来加以整合, 从而更好地理解分数的意义。

“分数墙”教材编写建议如下:

我们一起来搭建一堵“分数墙”。

准备四条长度相等的纸条。

先将第一条贴在纸上, 设它为一个长度单位。

再将第二条平均分成两份, 并如下图所示涂上颜色。把纸条贴在纸上。

将第三条先分成二等份, 再把每等份又各分成二等份, 并如下图所示涂上颜色。把纸条贴在纸上。

将最后一条先分成二等份, 再把每等份又各分成二等份, 最后再把分成的每等份各分成二等份, 如下图所示涂上颜色。把纸条贴到纸上。

想一想, 你将这根纸条共平均分成了几份?每一份是一个长度单位的几分之几?

现在, 我们就得到了一堵“分数墙” (如下图) 。

请你依据上图, 填齐下列各式的分数。

你有什么发现?在小组里交流。

练一练:下面我们用方格纸来做“分数墙”。

一条12厘米长的纸条, 设它为一个长度单位。

仿照上图画下来, 并涂上颜色。

想一想:图中的A、B、C各是长度单位的几分之几?

填一填:

5.折纸活动。

皮亚杰理论的倡导者美国数学教育教授柯普兰写了《儿童怎样学习数学》一书。他重视数学概念性知识的作用, 认为数学学习是一种概念及概念之间关系的学习, 教师应鼓励儿童理解数学概念及其关系, 要让学生具有独立思考的机会和发现数学知识的乐趣。根据皮亚杰的理论, 他提出儿童对数学概念的理解必须由他们自己获得, 教师的责任是提供良好的教学环境, 提供适当的问题来引导儿童和少年学习。他认为数学操作活动对于学生学习数学概念具有重要作用。

折纸是儿童普遍喜爱的日常活动之一。在教学中, 为帮助学生更好地理解分数的概念以及分数乘分数的意义, 可以设计如下折一折、画一画的活动。

折一折:

(1) 这个大长方形被分成了五等份, 阴影部分是大长方形的。

(2) 在大长方形被分成五等份以后, 又将每等份平均分成三份。

想一想:

(1) 这个大长方形共被分成了多少份?

(2) 每份是这个大长方形的几分之几?

请试着用折纸的方法求下列各数:

画一画:选择一个适当的尺寸画出长方形图, 并求出下面各题的答案。

分数意义 篇2

(1)使学生进一步掌握通分和分数大小比较方法，进一步理解分数基本性质。

(2)培养学生收集信息的能力，并运用所学的饿知识正确地解决一些实际问题。

教学重点、难点

重点、难点：通分和分数大小比较方法。

教具、学具准备

教 学过程

一、基本训练

1、通分。(口答)

1/2和1/31/5和1/41/6和3/42/3和1/612/7和5/63/8和5/6

2、比较下列每组中分数的大小。

6/11和17/335/14和8/212又7/12和2又8/53/10、7/20和11/30

5又2/3、5又5/6和5又19/20

根据学生的饿错误进行有针对性的饿讲评。

二、运用训练

1、生活中有很多地方也要用到分数大小的比较。你收集了，吗?

2、学生反馈。(课前老师检查并反馈到黑板上)

3、老师也收集了一些：出示第103页第4题。

反馈讲评。

4、课堂作业：练习第103页第5、6题。

讲评作业。

三、深化训练

1、出示：做同样的一批零件，王师傅4分钟做7个，张师傅5分钟做8个，李师傅3分钟做5个。哪一位师傅是老师傅?

反馈：写出具体的比较过程。

引导学生发表不同的意见：速度快的并不一定是老师傅，因为老师傅已经老了;但速度快的一定是老师，因为老师的技术熟练。

2、指导思考题：写出比1/3小但比1/4大的分数。

你是怎样解答的?

四、课堂

五、作业

1、课本第103页第3、4题中剩下的题目。

2、《作业本》

《分数的意义》教学反思 篇3

1、找准认知起点。

《分数的意义》的教学是建立在三年级初步认识分数的基础上的，学生已经初步认识几分之一、几分之几，能进行简单的分数加、减法计算的知识基础和丰富的平均分的生活经验。我在教学《分数的意义》时直接由复习引入新课，课件出示把一个圆平均分成四份，其中一份涂色，可以用一个什么数表示涂色部分呢？引出四分之一以及分数的读法、写法、各部分的名称，四分之一表示什么意义呢？引出了“平均分”、平均分的份数和取出的份数，这样导入新课虽然没有精雕细琢情景渲染那么新颖独特，但很快找到了学生心理接受契合点，为后面的新课教学做好铺垫。

2、追求简约美。

“把复杂的内容教简单，把简单的内容较厚重”是我一直以来的追求。《分数的意义》的课堂教学结构简约：复习引出1/4→理解1/4（→用一个物体表示1/4→用一些物体表示1/4）→揭示单位“1”→理解2/3（用一些物体表示2/3）→揭示分数的意义→点击生活→游戏强化分数意义的理解。结构简约但思维得到有效训练，如在学生明白用一个物体表示1/4的含义后，出示四条金鱼（图片）。

师：你能表示其中的1/4吗？

生：学生指着其中一条鱼，并指出这就是1/4。

师：这是谁的1/4？

生：这是四条金鱼的1/4。

师：为什么呢？

生：可以把四条金鱼看成一个整体，平均分成四份，每份是一条金鱼，也就是1/4。

师：那它的2/4、3/4、4/4呢？

生：它的2/4、3/4、4/4分别是2条、3条、4条啊。

师：课件出示8朵鲜花，你还能找出它的它的1/4吗？说说你的理由。生：如果把8朵花看成一个整体，平均分成4份，每份是2朵花，就是这个整体的1/4。

师：那它的2/4、3/4、4/4呢？

它的2/4、3/4、4/4分别是4朵、6朵、8朵啊。

师：同样是1/4，前面表示1条，而这里却是2朵呢？

生：只要把一个整体平均分成4份，每一份都是整体的1/4，因为整体的数量不一样，所以表示1/4的数量也不一样》

师：真棒！

在这揭示分数意义的重要环节，避开被分物体数量的干扰，始终将分数的本质（“总数量平均分成几份”和“这样的1份或者几份”）作为学习主线；始终围绕“变”（整体表示的数量和每份表示的数量）中之“不变”（这样的份数）强化分数意义的理解。

3、多媒体让课堂增量增效。

我在教学《分数的意义》时采用操作体验与多媒体展示的有效结合，先让学生运用金鱼、鲜花、可乐等图片进行操作表示出1/4、2/3等分数，然后利用多媒体把表示的过程灵动的展示出来，增强了学生理解整体（单位“1”）、平均分的份数、取的份数和对应的数量的直观性和逻辑性。分数产生于测量、分物或者计算方方面面而历经3000多年，要想及其有限的时间讲清楚如此复杂的内容实属不易，教学时有效利用远教资源在短短1分钟就迎刃而解了！

4、偶发事件让课堂掀起波澜。

当把一个长方形平均分成三份，其中两份涂成红色，涂色部分用2/3表示，然后把这个长方形平均分成六份，涂红色部分变成了四份用4/6表示，最后再把这个长方形平均分成九份，涂红色部分变成了六份用6/9表示，非常顺利的得出2/3、4/6、6/9这三个分数。可是，就在这时有同学产生了疑问：为什么这个大长方形没有变，涂色部分也丝毫没有变化，而表示涂色部分的分数发生了变化呢？我没有及时给予解答，也表现出了疑问状。就在这时陆续举起了一双双小手，老师我想试着解释一下：“大长方形没有变表示整体（单位“1”）没有变，虽然涂色部分的大小丝毫没有变，但是把整体平均分成的份数变了，涂色的份数也变了，所以表示的分数变了，2/3表示把长方形平均分成3份，其中的2涂成红色，涂色部分是整个长方形的2/3……”老师我还有补充：“涂色部分虽然用不同分数表示，我发现2/3=4/6=6/9。”顿时响起了热烈的掌声！这些小主人的掌声是会心地祝贺自己学习取得了成功。

5、游戏把课堂推向了高潮。

当学生对分数的意义有全面的理解之后，我没有按常规进行看图填空等巩固练习和分层提高练习，而是理解单位“1” 、平均分、份数与数量的对应关系融入游戏之中：展示台上出示9颗糖，甲同学取9颗的1/3，乙同学取剩下的1/3，甲、乙同学同样取了1/3，为什么取的数量不一样呢？（甲3颗、乙2颗）丙取剩下（剩下4颗）的1/2，乙取走了1/3，丙却取走了1/2，但为什么乙和丙都取走了2颗呢？丁要取走剩下的糖（2颗），可以用什么分数表示呢？学生看到糖果是个个摩拳擦掌，面对接踵而至的赋予挑战的问提更是亢奋不已，难怪学生在数学日记中竟然用“如痴如醉”“恋恋不舍”“流连忘返”等词来形容数学课。

6、情境导入，激起学习欲望。

新课伊始，教师为学生提供了一个生活中所熟悉的、易以操作的情境：测身高，由于某某同学的身高不是整数米，也就不能用整数来表示，怎么办？此时学生就产生了一种心理矛盾，一种渴望解决问题的求知欲，为新课的探究学习提供了一個很好的开端。这一环节情景的创设，正是以学生已有的经验为着力点，既关注了学生已有的知识经验，又关注了学生思维的创造性，也蕴涵了分数就在身边的真正含义。遗憾的是此处情境创设没有让学生真正去感受测量中所遇到的疑问，没能使全体学生激起问题情境所产生的疑惑，以至于过渡到新课探究似乎有些牵强。

7、比较教学，突破教学难点。

分数意义 篇4

一、对“分数的意义”教学现实的追问

笔者听过多节五年级“分数的意义”的课,有常态课,也有观摩课,尽管这些课上教师行为、学生课堂表现有较大差别,但是他们的课堂教学结构却大同小异。笔者新近对某小学五年级数学教师的教学计划决策和课堂交互决策作质性研究,以其中的一节“分数的意义”为例,该教师的课堂情况可以大致归纳如下:学生动手操作学具→用语言(或具体分数)表示结果。即在课堂上,每个学生都有一副学具,有糖果、棋子、圆形纸片和方形纸片等。学生任意“操作”一个分数,教师再抽查学生用语言表述自己分物的过程和具体分数,比如“我有八个棋子,把它们平均分成4份,其中的1份占这个整体的四之一,用表示。”

类似这样的教学过程可以图示

在课前和课后的及时访谈中我们了解到,教师之所以作出这样的教学决策主要基于对教材的认识和解读。教材(人教版)提供了四条信息(图2):(1)言语“你能举例说明的含义吗?”(2)圆纸片、方纸片和线段图;(3)香蕉和面包,并附“每根是这把香蕉的”“每份是这盘面包的”的示范语言;(4)分数意义和单位“1”含义的描述语言。教师由信息(1)(3)(4)决策课堂活动的主要形式是学生动手操作并言语表述;由信息(2)和(3)决策学生的操作活动是“分实物”。也就是说,教师从上述信息中作出了两个推理和决策,一是视纸片和面包为起到等同作用的实物;二是视言语表述为分数意义学习的唯一路径。于是,便产生了图1所示的教学过程。

一个物体、一些物体等都可以看作一个整体,把这个整体平均分成若干份,这样的一份或几份都可以用分数来表示一个整体可以用自然数1来表示,通常把它叫做单位“1”。

基于这种现实教学中并不鲜见的现象,通过对教材资源进行深度挖掘,并对信息的意义及信息之间的关系进行深度剖析,我们不禁要追问:纸片与面包完全等同吗?分数意义学习只有“分实物→言语表述”的单一走向吗?

二、分数意义教学中的纸片:由实物走向模式

对问题“纸片与面包是否完全等同”,在了解关于分数及其意义的一些基本原理后便可明确作答。

(一)表达“部分与整体关系”意义的模式

我们知道,分数的重要意义之一就是表示了“部分与整体的关系”,这个看似简单的命题,我们的孩子实际上很难达成认识和理解。除了分数本身比较抽象外,更主要的原因在于教师没有明确引导学生建立一些能更形象、更全面说明分数意义的模式。

关于“部分与整体关系”意义的模式有四个渠道可以建立:范围、长度、集合和面积。范围模式对儿童来说是最具体也最容易操作的,整体(单位“1”)是一个范围,而部分是大小与形状的叠合。教师们通常采用这个模式进行分数学习的后续讲解,教师们最常用到的范围模式有圆形和矩形,其实三角形也是一个不错的选择:

但是,它们各自有些特点需要注意。圆形模式便于儿童发现整体却对部分较难理解,矩形模式易于儿童理解部分却难于理解整体,而三角形模式两方面都比较困难。

集合模式则用一个集合作为整体,如图4所示:

集合模式对于儿童理解分数有一定困难,因为他们连分实物都会产生一些困难,何况这种抽象的模式。不过,教师可以通过操作实物渗透集合均分的思想,也可以渗透一个整体中可以包含不同类别的物体的意义,比如教师可以在提供的学具中既包含糖果,也包含棋子。需要注意的是,即使教师不准备这样做,自己也应该很清楚这一点,因为教师对分数意义全面、完整的理解对学生建构分数的意义具有重要作用。

线段图属于长度模式,小学生比较熟悉,也比较容易理解。面积模式包含了范围模式所涉及的情况,这个模式适合于较大儿童(四年级及其以上),图5可以帮助孩子更好地理解这类模式。

由上可知,分数表达了“部分与整体的关系”,而范围、长度、集合和面积则把这种关系和意义模式化,使孩子们对分数意义的理解更直观、渐进和全面。进一步地,如果能够意识、找到并恰当运用这些模式,我们的教学也许会更有效。

(二)教材中具有“模式”功能的信息源

那么,教材中是哪些信息在提示我们要构建并运用模式作为学生认识和理解分数意义的桥梁呢?

我们回到图2,结合上述的分析便不难理解,教材中呈现的线段图、圆纸片和方纸片,特别是纸片,除了是实物外,更重要的是兼具了“模式”的功能。线段图属于长度模式,圆纸片和方纸片既属于范围模式也属于面积模式。如此的话,教材中的信息源除了“分实物”“言语表述”和“符号”外,又多了一个元素,即“模式”。

相对于以往对教材中纸片的认识,通过今天的讨论,纸片便“返璞归真”,兼具实物与模式的功能,其中,模式的功能似乎更富含教学的意蕴。通过对“分数的意义”教材的重新解读,纸片实现了由实物走向模式的角色转换,并将因此给“分数的意义”的教学带来新的生机和活力。

三、构建“模式主导,双向多维”的教学结构

(一)模式的核心地位

在教材所呈现的四个元素,即实物、模式、言语和符号中,模式是联结其余三个元素的桥梁。

首先,纸片是面包、香蕉等实物平均分的模式化。模式是实物操作的数学转化,从实物走向模式是学生经历数学思维抽象、归纳并建立逻辑关系结构的过程,是数学化的过程,即模式化的过程就是数学化的过程。弗赖登塔尔说“没有数学化就没有数学”,真正的数学知识应当是关于抽象的数学对象的研究,而并非对于真实事物或现象量性属性的直接研究。所谓数学是模式的科学,由实物操作走向模式走出了数学味。

其次,模式与符号和言语之间分别建立了双向逻辑关系,即模式↔符号、模式↔言语、符号↔言语(经模式表象)。这样的关系可图示如下:

在上述图形中,模式元处于中心地位。模式由实物操作数学化而来,形成“分数意义”抽象的研究对象,并为分数意义的学习提供直观材料和意义建构的载体。例如,平均分香蕉为4份(实物操作),将该过程模式化为平均分成4份的长方形纸片,该模式与符号、言语“把香蕉平均分成4份,其中的一份是整体的四分之一”形成双向逻辑关系,而符号与言语之间经由长方形纸片模式建立了双向逻辑关系。这里提到的双向逻辑关系在后面的探讨中,将更详细地予以解释。

据此,通过分析教材、提取信息→解读信息背后的含义→建构信息之间的关系等步骤,纸片的“模式”功能在上述关系图中的核心地位凸显出来,它不仅能使分数意义的教学活动的数学味更加显现,也能使该教学过程显得立体多元。

(二)“模式主导,双向多维”教学结构的操作要义

如果把上面对模式、符号、言语、实物之间的关系的分析和探讨相应地进行教学过程化,那么,“模式主导,双向多维”的教学结构便水到渠成。如图

把这样的双向关系转化为相应的分数意义的学习活动,则至少有六种路径:

(1)由模式写符号;(2)由符号选模式;(3)根据符号进行言语表述(借助模式表象);(4)由表述写符号(借助模式表象);(5)根据模式进行言语表达分实物的过程(结合符号);(6)言语表达分实物过程后再选模式或画模式。

其中,(1)与(2),(3)与(4),(5)与(6),是三组互逆的学习过程,能够培养学生的逆向思维,进而使传统教育中所忽视的发散思维能力得到很好的培养,从而促进学生创造性思维的养成。而实物操作到模式的数学化过程则是分数意义学习的逻辑起点。

以上解析了分数意义的学习过程,对于教师而言,“模式主导,双向多维”教学结构的操作要义如下。

要义一:(1)创设情境,引导学生经历由实物操作走向模式的数学化过程;(2)给模式写符号,同时给符号选模式;(3)借助模式表象,给符号进行言语表述,同时给表述写符号;(4)给模式,儿童言语表达分实物的过程,同时儿童言语表达分实物的过程后再选模式或画模式。

要义二:(1)分实物后引导学生经历实物操作到模式的数学化过程,然后写出分数符号;同时,先给出符号由学生选模式,然后再表述分实物的过程;(2)给符号后要求学生言语表达(或画)模式,再依此描述分实物的过程;同时,言语表述模式后,描述分实物的过程,再写出符号。

前者将实物操作到模式的数学化过程相对独立化,后者则将该过程糅合于各个双向的逻辑关系之中。

(三)两种教学结构的比较

图1和图6分别基于教学现实和理论分析勾勒出两类小学五年级“分数的意义”的教学结构,即“分数的意义”现实教学过程和“模式主导,双向多维”的教学过程。前者呈现断裂性和单向性的特点,学生学习分数意义的活动断裂进行(分实物→言语表述符号或分实物→言语表述分物过程),跨越了“实物到模式”的数学化的过程,并构建了“实物到言语”的单向学习活动,使整个学习活动显得单一和断裂,不利于学生全面、深刻地理解分数的意义,不利于学生体悟和积累数学化的数学经验,其根本是不利于学生数学思维的发展。逆向思维是发散思维的一种重要形式,发散思维又是创造性思维的基础。所以归根结底是不利于学生创造性思维的培养。

后者呈现多维性和双向性的特点,模式元素是整个结构的核心,各个元素之间的关系是双向互动的关系,从多个维度(实物→模式↔符号、实物→模式↔言语或实物→模式、模式↔符号↔言语等维度)实现学生对分数意义的全面理解,有利于学生积累丰富的数学活动经验,更有利于学生数学思维、创造性思维的良好发展,为学生未来的数学学习生活注入活力。

调研中有教师说,在一次小学数学毕业会考中,有一道题目是要求学生根据给出的分数在给出的方格图中用阴影表示出来(即给出符号选择模式),绝大多数学生没有做出来。这实际上就是在教学中没有注意到“模式主导,双向多维”的教学模式所致。

四、“模式主导,双向多维”教学结构的教学意义

我们归结分数意义的教学结构,并非仅仅追求外在教学形式的简单改变,意在深入挖掘其内蕴的教学意义,使教学形式的改变由内至外而发生,而非外力强加的、缺乏灵魂的生硬动作。

“模式主导,双向多维”的分数意义的教学,其内涵的意义至少有以下两点。(1)数学化是数学学习的逻辑起点。数学的研究对象是从现实事件中抽象出来的模式,而不是现实事件本身。从现实事件抽象出模式的过程,是数学化的过程。(2)数学学习过程是各路径双向互动、多路径融会贯通的有机整体。数学学习过程是多路径交错的动态过程,各路径相对独立,又整体关联,相互依存。独立的路径双向互动,并非单一走向;关联的路径融会贯通,以一定的模式相互整合,构成数学知识意义生成的有机载体。

上述教学意义的提炼,期望有助于教师更有效地教学“分数的意义”,进一步地,能把这些教学意义合理迁移到其他的数学教学领域。

《分数的意义》教案 篇5

老师这里有4张便笺想平均分给两名同学怎么分?(一人两张)

还有2张便笺还想平均分给两名同学怎么分?(一人一张)

最后1张便笺还想平均分给两名同学怎么分?(一人一半)也就是每人分得这张卡片的1/2

这是什么数?关于分数，你都知道些什么?

看来大家对分数已经有了初步的认识，这节课，就让我们一同来研究分数的意义

二、动手操作建构分数意义

1、独立操作用一样物品做1/4全班交流引出分一群物体

2、小组合作分一分一群物体实物展台学生边操作边汇报分得的分数

3、针对板书揭示单位“1”

4、层递说分数意义深化分母分子含义揭示分数的意义联系班级实际说分数

想不想自己做一个分数?

好，看清要求

独立操作用桌上的材料表示出1/4涂上颜色或作上标记

做得快的同学可以把自己的作品贴到黑板上注意重复的就不要贴了

大家做得都非常好来，先看这个圆纸片想一想你是怎么表示出这个圆纸片的1/4?这个圆纸片上还有分数么?

再看这条线段，它的1/4又是怎么表示出来的?

哦，一个物体一个计量单位分一分都能分得一些分数

那，许多物体组成的一个整体，分一分，你能分出一些分数来么?

别急，老师为每个小组都准备了这样的材料请你们小组合作共同分一分并且把分得的分数记录在纸上

等会儿我们会请操作最棒的小组上台来汇报

好赶紧开始

贴板书

现在让我们总体的看一下这些分数都是用什么办法得到的?

哪些东西被平均分的?对一个物体一个计量单位许多个物体组成的一个整体都可以被平均分获得分数，它们可以用自然数1来表示，在数学里通常叫做单位“1”

现在老师给你一个分数，你能试着说说它的意义么?

再来一个

来点难的?难在哪儿?也就是不知道......?

再来一个难的?

最后一个，还难么?

你们真行，你们不经意间自己就把分数的意义给出来了

请看大屏幕轻声读读是不是和你说得一样好给你一点时间能记住它么?

开始停你来说好极了慢着同学们看好这名同学占这桌人数的......?怎么想的?

这名同学还占这排人数的......?

你自己能说一句么

好第一组把分数的意义再说一遍大家瞧好他们组占全班人数的......?还有答案么?

精彩全体起立说一遍分数的意义预备齐

请问所有站起来的同学占全班人数的......?也就是?

学的真行啊

那，敢不敢接受练习的挑战?

三、分层练习巩固提高

1、练一练

2、想一想

3、试一试

4、说一说

5、画一画

6、玩一玩

好，打开课本独立完成“练一练”

谁来说对么第二个有点小难度谁说?好让我们看看动画演示平均分成三份两只熊猫是一份就是这个整体的?四只熊猫是两份就是这个整体的?

下面请你想一想......

评论别人头头是道那自己做如何呢?请你试一试

看清题目在作业本上写出你的答案

这么会说就请你们来说一说

轻声读题用心考虑

喜欢画画么?那想不想在这节课上画一幅数学画?

哪位同学读题?

想好了再动笔，画出你的理解和个性

大家的表现真的是精彩极了

做了这么多想不想玩儿?

好这是?数数，几个?

谁能上台来拿出这9个球的1/3?对么?

谁能继续来拿出剩下球的1/3?对不对?

怎么都拿1/3却一次拿3个一次拿2个?

猜猜这里装的是什么?哦，2个球。听好，这2个球是袋子里原有球的1/3，你知道袋子里原来有球多少个么?真的么?倒出来看看

再来还是2个球这2个球是袋子里原有球的1/5，你知道这个袋子里原来有球多少个?再次验证一下

四、布置作业留下思考

你看关于分数，有趣的知识真的是太多了

由于时间关系我们这节课的研究只能到这儿

百分数的意义与写法 篇6

人教版小学数学第十一册第77、78页。

【教学目标】

1.从生活的实际出发引导学生经历感知和理解百分数的意义。

2.掌握百分数的读写法以及百分数与分数的区别。

3.通过学生收集、分析、处理信息，培养学生的观察、比较、概括能力以及学会交流与合作的能力。

【教学重点】

理解百分数的意义和读、写方法。

【教学难点】

理解百分数和分数的联系与区别。

【教学准备】

学生：收集生活中的百分数。

教师：多媒体课件。

【教学过程】

一、创设情境，提出问题

师：2007年9月，世界园艺生产者协会第59届大会一致通过，由中国西安——这座享誉世界的历史文化名城，这座在中国内陆崛起的现代化、生态化新城，来举办2011年世界园艺博览会！政府决定，前期工程是植树。消息一传出，许多植树公司都纷纷报名，表示希望承担这项工程。

二、探索问题，形成概念

1.初读信息，形成认知

师：市政工程经过调查，发现有三家公司非常出色，最后一关是确定他们以前植树成活的情况，于是派人对三家公司进行调查，采集回了以下信息。

甲公司（1号路段）：现在成活树苗23棵。

乙公司（2号路段）：现在成活树苗19棵。

丙公司（3号路段）：现在成活树苗47棵。

师：看了这些信息，你会建议市政工程选择哪家公司呢？

学生回答。

（有同意丙公司的，还有学生不同意，说无法选择。）

师：出示以下信息：

甲公司共植树25棵，现在成活树苗23棵。

乙公司共植树20棵，现在成活树苗19棵。

丙公司共植树50棵，现在成活树苗47棵。

师：看了这些信息，你会建议市政工程选择哪家公司呢？请你先独立思考，再进行交流。

学生自主探索，讨论。

师：谁来说说自己的看法。

学生各抒己见。

师：能一眼看出这三个分数的大小吗？

生：不能。

师：有办法吗？请大家动手试试。

学生计算。

师：有结果了吗？用什么办法？

学生汇报。

师：有不同的办法吗？看来大家一致认为通分最简便，是吗？这就很容易看出哪家公司的种植水平更高些。这样用分母是100的分数还有另外一种表示方法：92%、95%、94%这就是今天我们要认识的百分数。

教师板书百分数的认识。

师：谁能用自己的话来说一说92%表示什么意思？

学生回答。

同桌互相说一说95%，94%各表示什么意思？

2.交流信息，进一步体会百分数在生活中的应用

师：借助百分数，咱们解决了选择哪家植树公司来植树的问题，看来百分数是个好助手，大家手中有不少有关百分数的资料，老师建议同学们用手中的资料进行一个小型的“生活中的百分数”信息发布会，发布时你可以和同学们一起讨论以下两个问题：

资料中的百分数表示什么意思？

你从中了解了些什么？

学生小组内热烈地讨论，交流所得。

师：哪位同学愿意把你的发现与大家共同分享？

生：……

师：感谢大家的精彩发言，现在你们能用一句话来说一说百分数的意义吗？

生：……

师：打开课本找一找，看同你的想法一样吗？

师：那我们可以得出结论了：百分数就是表示一个数是另一个数的百分之几。

师：因为百分数表示两个数相比的关系，不能表示具体的数量，所以说百分数又叫百分比或百分率。

师：现在，大家理解百分数的意义了吗？老师来考考大家，请看大屏幕。

（1）衣服成分：100%棉。

（2）酒精含量：38%。

3.百分数的读法和写法

师：你能准确流利地读出这些百分数吗？

教师出示小资料中的百分数。

学生自由读。

师：学习数学要有一双发现的眼睛，谁来说说老师是如何写百分数的？

生：……

师：写百分数先写分子，后写百分号？你们会写吗？

生：会。

师：下面请同学们比赛写。要求在10秒钟内写出10个不同的百分数。

师：开始。倒计时。

数一数你在10秒钟内写出了几个？老师规定10个，你完成了任务的（ ）%，还差任务的（ ）%。

三、实际应用，拓展练习（课件出示）

1.判断

2.选一选

3.看成语联想百分数

4.猜一猜

四、全课小结，畅谈收获

本节课你都学会了什么？你有（ ）%感到兴奋，（ ）%感到紧张，（ ）%感觉到满意。

老师送给大家励志名言（天才=99%的汗水+1%的灵感）

分数意义 篇7

一、巧用手指,帮助学生认识引入分数的必要性

教学分数的产生,绝大部分教师都是通过让学生用米尺量黑板、课桌等物体,发现测量的结果不是整米数,从而引出“分数”的概念。如此教学存在一些不到位:一是学生操作实践的主动性不到位,有的操作是按教师指令而进行的被动性操作;二是学生测量的效果不到位,测量结束后,有的学生用分米或厘米做单位,测量结果仍然可以用整数来表示,教师只好硬把学生拉到预设的“用米做单位”的轨道上。这样的教学忽视了学生的真实体验,使学生缺乏参与活动的热情,主动性得不到充分发挥。

[片段一]

课始,教师要求学生根据屏幕上出现的月饼块数用相应的手指来表示。当屏幕上依次出现10块、9块、8块……月饼时,学生立即伸出相应个数的手指。突然,屏幕上出现了半个月饼。瞬间,教室变得鸦雀无声。“现在又应该怎样表示呢?为什么?”教师若有所思地问。一位学生怯生生地举起了一个成弯曲状的手指。“你的手势表示什么意思?”教师亲切地问道。“一个手指表示一个月饼,半个月饼就用半个手指表示。”学生回答说。这时,又有一位学生站起来,左手伸出一个手指,右手伸出两个手指做剪刀状。“你们知道这位同学的手势又表示什么意思吗?”教师问。“可能是剪手指吧。”“他的意思是把左边的那个手指剪成两半。”……学生纷纷发表自己的看法。“这些同学的表示方法可行吗?为什么?”教师又问。“我认为都不行。因为如果他本人不解释,我们很难理解。”“手指只能表示整数个。”“手指不好表示半个。”……学生越说越兴奋。教师见时机成熟,说:“看来,表示半个月饼单凭手指不行,还得另外再作补充说明。半个月饼既然无法用整数来表示,那又应该用什么数来表示呢?今天这节课,我们一起来认识一位新朋友——分数”(板书)……

教师独具匠心,充分利用学生双手蕴含的教学资源,变传统的动手“测量”为直观的用手指“表示数”,不但保证面向全体学生,人人参与,而且改变数数的方式,不出声只用手势表示,好像做游戏一样,极大地点燃了学生的参与热情。所以,当学生碰到“半个月饼怎样用手指表示”这一问题时,他们便主动地“创造”出了多种手势,求异思维被充分激发。经过一番激烈的讨论,学生一致认为,当物体不能用整数来表示时,通常用分数来表示。这样既使学生切身体验到引入分数学习的必要性,又使学生萌发了“我的问题,我解决”的强烈探究欲望。

二、巧用手指,帮助学生明晰单位“1”的相对性

对于单位“1”的教学,教师一般都是将若干种“数量是1的物体”看成一个整体进行平均分,揭示分数的意义后才进行教学,并且单位“1”往往是由教师告知的,学生对单位“1”内涵的理解比较模糊,特别是对诸如一盒粉笔有许多支,“为什么也可以用单位‘1’来表示”,学生感到困惑不解。这种教材处理的方式显然过于空泛苍白,教学效果不佳。

[片段二]

师:刚才我们知道,一个物体、一条线段等可以用一个手指表示。试想,一个手指仅仅表示数量是1的物体吗?还可以表示什么?

生:一个手指还可以表示一盒8块月饼。

生:也可以表示一篮子12个苹果。

生:还可以表示一个班级45位学生。

……

师:刚才几位同学所提到的一盒8块月饼、一篮子12个苹果、一个班级45位学生……如果用一句话来概括,可以怎么说呢?

生:一个手指不仅仅表示一种物体。

生:一个手指还可以表示多个物体。

生:一个手指不仅可以表示一个物体,而且还可以表示一些物体。

……

师:看来大家都很会动脑筋,老师真为你们感到骄傲!一个手指不仅可以表示一个物体、一个图形、一个计量单位,还可以表示由许多物体组成的一个整体,这个整体可以用自然数1来表示,通常我们就把它叫做单位“1”(板书)。这里的“1”与自然数“1”意思相同吗?

生:自然数“1”只表示一个物体,而单位“1”可以表示一个整体。

生:单位“1”不仅可以表示一个物体,还可以表示一些物体。

……

通过问题“一个手指仅仅表示数量是1的物体吗?还可以表示什么”,引发学生深入思考,继而学生畅所欲言:”一个手指还可以表示一盒8块月饼。”“也可以表示一篮子12个苹果。”……这样变抽象的单位“1”说教为具体的“一个手指”演绎,形象具体,通俗易懂。经历独立思考、相互讨论、互动交流后,学生不知不觉地理解到单位“1”不仅可以表示数量是1的物体,还可以表示由许多物体组成的一个整体。由此深化了学生对单位“1”相对性的深刻理解,在头脑中对单位“1”的内涵有了极为清晰的印象,为分数意义的主动建构做好了必要的充分的经验储备。

分数意义 篇8

在一个小学数学教师的交流群里, 有一个帖子引发了不少小学教师的讨论。这个帖子是“课本上说小数是一种特殊的分数, 既然小学已经系统地学习了分数, 那么, 将小数问题转化为分数问题来处理就行了, 为什么还要学习小数呢?”教师中主要有两种观点:一种观点是, 小数是一种特殊的分数, 在日常生活中有广泛的运用, 系统地学习一下是有必要的;另一种观点是, 小数不是特殊的分数, 它是独立于整数和分数之外的第三种数, 它的意义和运算与整数和分数都有较大差异, 因而需要专门学习。

小数是一种特殊的分数吗?笔者带着疑问查阅了一些相关书籍, 得到比较有代表性的的答案是:人们为了应用上的方便, 把十进分数改写成不带分母的形式, 并且按照十进制的进位原则把个位右边的第1位、第2位、第3位、……分别表示十分位 (计数单位是) 、百分位 (计数单位是) 、千分位 (计数单位是) 、……并在个位和十分位之间加一个标记“.”, 这样十进分数就可以写成与整数相仿的形式。比如, 。像3.24这样不带分母, 按照十进制的位制原则写出来的十进分数叫做十进小数, 简称小数。[1]

同时, 笔者还查阅了现行人教版、北师大版、苏教版和北京版的小学数学教科书。遗憾的是, 这些教科书都没有明确给出小数的定义, 而仅仅是一种描述性说明。有意思的是, 这些说明几乎相同, 其中比较有代表性的是这样的:[2]

首先给出一些具体的生活实例, 把1米平均分成10份, 一份是1分米, 也就是米, 可以表示成0.1米, 三份是3分米, 也就是米, 可以表示成0.3米, ……把1米平均分成100份, 一份是1厘米, 也就是米, 可以表示成0.01米, 三份是3厘米, 也就是米, 可以表示成0.03米, ……

然后给出小数的描述性意义:“分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示。小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、0.01、0.001……相邻计数单位之间的进率是10。”

由此, 似乎可以认为:小数就是不带分母的十进分数, 小数是一种特殊的分数。现行课程标准和各版本的小学数学教科书也正基于此, 在学习小数的意义之前, 简单学习一下分数的意义。课标制定者和教科书编写者们似乎认为, 有了分数的一般意义做基础, 学生似乎更容易理解小数的意义。

然而, 情况果真如此吗?笔者听了一节四年级“小数的意义”的新授课, 发现学生学习的实际情况并非如此。教师将一张纸条平均分成10份, 取出一份用分数表示是, 写成小数是0.1;取出两份用分数表示是, 写成小数是0.2, 学生很容易就认可了这一点。可当教师给学生一张空白纸片, 让学生画出自己喜欢的小数时, 问题就出现了。一些学生将纸片平均分成6份, 选择一份涂上颜色, 用分数表示是, 用小数表示还是0.1或者不写小数。笔者问了一个不写小数的学生, 他回答道:“如果, 就会出现, 这与原来学过的矛盾。”

这个案例在一定程度上说明, 从分数入手认识小数, 教学效果并不理想。原因是多方面的, 除了教师和学生方面的人为因素外, 我们还需要思考知识本身的原因, 即像课本上这样认识小数的意义是否恰当, 是否符合数学逻辑, 是否揭示了小数的真实意义。

不难发现, 按照这种观点描述的仅仅是有限小数, 仅仅是我们观念中的小数的一部分。除了有限小数外, 还有很多无限小数 (高等数学中还可以证明, 无限小数个数远远多于有限小数的个数) , 像0.333…、圆周率π等都是无限小数。而不是由十进分数改写的, 而π是一个无理数, 更不能用分数表示。

由此可见, 小数并非一种特殊的分数。上述资料和教科书对小数的认识是存在缺陷的, 这或许是导致学生学习小数时出现上述问题的原因之一。因此, 为了让学生顺利学习和更深刻地理解小数的意义, 我们需要从数学上真正认识小数的意义, 并由此科学地设计和实施“小数意义”的教学。

二、小数的意义

回顾一下小数的历史, 将有助于我们更好地认识小数的数学本质。

(一) 小数的历史

在人类历史上, 认识和使用小数比分数晚得多, 最早认识小数的是我国魏晋时期的数学家刘徽。公元3世纪, 他在《九章算术注》的《少广章》中的“开方术”中说:“微数无名者以为分子, 其一退以十为母, 其再退以百为母, 退之弥下, 其分弥细, ……”他的意思是说, “在开平方求无理根的近似值时, 得到方根的整数值以后, 继续依法开方求出微数”, 这里的“微数”就是指小数。[3]

按照刘徽的注解, 设被开方数为n, 其平方根的整数部分为a, 剩余部分为r, 那么有。继续求微数, 以a1为第一个数字, 就把它作为分子, 以10做分母 (“一退以十为母”) , 再求一次得到数字a2, 把a2作为分子, 以100做分母 (“再退以百为母”) 。依次求下去, 比如第k次开尽, 这样得到的分数即为开得的小数部分, 进而。

由于中国古代的计算依靠算筹来进行, 所以小数只有文字表示。例如, 用寸T=1表示6.21寸。到了13世纪, 元朝数学家刘瑾把小数部分降低一格, 比如将61.62表示为┴1┴=, 这是世界上最早的小数表示法。

1585年, 比利时工程师斯蒂文 (S.Stevin) 出版了小册子《十进小数》, 比较系统地阐述了小数理论, 并创建了一种表示小数的方法。他用小圆圈把整数部分与小数部分隔开, 小数部分后面画一个小圆圈, 在小圆圈内标记小数的位数, 比如将23.86表示成23Θ8 (1) 6 (2) 或者23Θ8 (1) 6 (2) 。[4]

小数点的记号, 也经历了比较复杂的过程。1530年, 德国的数学家鲁尔多夫 (C.Rudolff) 用一根竖线将小数部分与整数部分隔开, 比如他将23.86表示为23|86。1614年, 英国数学家纳皮尔 (J.Napier) 用逗号将小数部分与整数部分分开, 比如23.86表示为23, 86。1593年, 德国数学家克拉维斯 (C.Clavius) 用“.”表示小数点, 他是最早用小圆点表示小数点的人。

到19世纪末, 小数的写法还有很多种形式, 比如, 2.5就可以写成2 5、2’|5、2·5、2’5、2Δ5、2, 5、2.5等。[1]现在, 世界各国关于小数点的使用大体分为两派:欧洲大陆派, 以德国、法国和俄罗斯等为代表, 将小数点用逗号表示, 小圆点作为乘法的符号;英美派, 用小圆点表示小数点, 逗号用作分节号。我国对小数点的记法倾向于后者, 用小圆点表示小数点。

(二) 小数的意义

从刘徽发明小数的思想来看, 是按照整数的计数原则, 将小于1的数也用类似于整数的形式表达出来。对此, 20世纪知名数学家柯朗 (P.Courant) 进行了更深刻的阐述:“把一个单位区间分成10, 然后100, 1000等等个相等的线段, 这样得到的点对应着十进位小数。……一个十进位小数f, 如果在小数点之后还有n个数码, 可以写成f=z+a1×10-1+a2×10-2+…+an×10-n, 这里z是一个整数, 而ai是表示十分之一、百分之一等等的数码——0、1、2、…、9”。[5]

由此可见, 小数的本质是整数的延续, 都是十进制数。也就是说, 以1为基本单位, 向大小两个方向延伸得到整数和小数:单位1向大的方向延伸, 10个1构成十, 10个十构成百, 10个百构成千, ……单位1向小的方向延伸, 把1平均分成10份, 一份就是0.1 (相当于十分之一) , 再把0.1平均分成10份, 一份就是0.01 (相当于百分之一) , ……所以, 一个十进制整数或者小数

其中, ni, mi (i=0, 1, 2…) 为0~9这十数字之一。

小数的这一本质意义, 体现了小数四则运算与整数四则运算的高度相似性和整数与小数表示数目的直观性。

三、小数的教学

“小数意义”的教学需要让学生明白:小数的本质是十进制数, 是整数的延伸, 而不是分数的附庸。因此, 教学的重点就是要让学生理解“小数是自然数的单位1沿着小的方向延伸产生的数, 相邻计数单位之间的进率为10”。

(一) 类比引入小数

师:目前我国使用的人民币中, 最常用的单位是……

生:元。

师 (出示一张1元的人民币) :这是1元, 如果三张这样的人民币就是……

生:3元。

师:10张这样的人民币是……

生:10元。

师 (拿出一张拾元的人民币) :一张拾元的人民币就等于10张1元的。 (拿出10张拾元的人民币) 这是……

生:100元。

师 (拿出一张百元的人民币) :一张百元的相当于10张拾元的, 相当于100张1元的。拾元、百元都是比元更大的面值, 有没有比元更小面值的人民币呢?

生:有, 角和分。

师:角是怎么得来的?角有什么用?

生:把1元平均分成10份, 每份就是1角, 也就是“1元等于10角”。角表示比元更小的单位, 就是不足1元时, 可以用角来支付。

师:一个空矿泉水瓶子的价值为1角, 一个作业本的价格为5角, 用元作单位可以怎么表示?

生:分别是0.1元和0.5元。

师:6个矿泉水瓶的价值为多少元?

生:0.6元。

师:0.5元、0.6元里面有几个0.1元?

生:5个, 6个。

师:有比角更小的货币单位吗?如果有, 它是怎么得来的?

生:有, 分。把1角平均分成10份, 1份就是1分, 也就是1角=10分。

师:一张作业本纸的价值约为1分, 一张A4打印纸的价值约为4分, 一张创可贴的价值约为25分。如果用元作单位, 它们可以表示为多少元呢?

生:分别是0.01元、0.04元和0.25元。

师:0.04元、0.25元里面有几个0.01元?

生:4个, 25个。

(评析:通过生活实例, 学生认识到, 人们在度量物体的时候, 总把容易感知的量作为单位“1”, 然后依据十进制发展出大数目的位置系统。然而社会生活中有时还需要比单位“1”更小的单位, 人们还可以按照十进制的原则产生更小的单位。)

(二) 理解小数的意义

师 (出示一把米尺, 没有刻度) :这把尺子的长度为1米, 用它来测量课本的长度, 行吗?

生:不行, 课本长度远不够一米, 看不出长度。师:怎么办呢?

生:把它平均分成10段, 每一段是0.1米, 看看能不能测量?

师: (换了一把已经平均分成10份的尺子, 并测量课本的长度为两格) 那么课本的长度是多少呢?

生:两个0.1米, 即0.2米。

师:现在用这把尺子来测量课本的宽度, 可以吗?

生 (量一量, 一格多一些) :不行。

师:那怎么办呢?

生:把每一格分成10个小格, 再来测量。

师:现在这把尺子每小格的长度是多少?课本的长度是多少?

生:0.01和0.15, 0.15里面有15个0.01。

师:测量一下课桌的长度和宽度, 看看结果是多少?并说明里面有几个0.1和0.01?

生:长0.6米, 里面有6个0.1, 60个0.01。宽0.45米, 里面有45个0.01, 它里面有4个0.1还多一些。

师:根据前面这些例子, 请你说一说, 0.1和0.01是怎么从1得到的?

生:把1平均分成10份, 每份就是0.1;把1平均分成100份, 每份就是0.01, 而且0.1等于10个0.01。

师:假如我想要表示0.001呢?

生:那就把1平均分成1000份, 一份就是0.001。

(评析:根据实际需要, 创造小数来度量物体的长度, 以解决相关问题;通过现实体验, 启发学生体味到小数是在已有数学概念不够用的基础上自然引进的, 由此产生内在的学习需求, 进而抽象概括出小数的意义。)

四、结束语:重视对数学概念的真正理解

由于种种原因, 小学数学教科书和教学参考书不可能把每个数学概念都表述得非常清楚和准确。当按照教科书上描述的概念进行教学时, 如果发现学生在一些关键内容的理解上出现偏差, 教师需要考虑一下教科书对该概念的表述是否准确。这时, 教师可以查阅一下相关的权威书籍, 或者了解一下该数学概念的发展历史, 以便准确了解所教数学概念的本质意义。如果发现教科书上对概念的表述不是十分准确, 教师需要修正教科书上的错误, 用适当的方式将准确的数学概念教授给学生。因此, 无论是教师的教, 还是学生的学, 都需要对数学概念有真正的理解。否则, 教和学的效果将会大打折扣。

参考文献

[1]顾汝佐, 叶季明, 王明欢.小学数学全书[M].上海:上海教育出版社, 1995.

[2]课程教材研究所.数学 (四年级下册) [M].北京:人民教育出版社, 2005.

[3]张奠宙.数学史选讲[M].上海:上海科学技术出版社, 1997.

[4]范立瓅, 高荆.小学数学中最容易误解的概念[M].北京:地质出版社, 2008.

分数意义 篇9

1.大家知道, 我们今天上的是数学课, 数学课就是和数打交道, 这些数大家认识吗? (出示1, 2, 3, 4, 5)

2.不要小看了1, 生活中好多事都可以归到1的上面, 如:一张桌子、一块黑板、一个人。3张桌子怎样用1来表示?50个苹果呢?

3.你还能举这样的例子吗?

4.像一个人、一箱苹果、一排桌子等, 我们在数学上可以看做一个整体。 (出示一个整体的概念, 并齐读)

5.这里的“1”为什么要加双引号?

6.如果要把4个苹果看成一个整体, 我们要在圆的外面套1个圈 (叫集令圈) , 这样圈起来它就表示一个整体了。生活中可以把什么看做一个整体?

(这个教学环节里的问题, 我们可以发现两个特点:一是非常简洁明白, 到底要问什么, 老师交待得非常清楚, 二是层层收拢, 为最后引出单位“1”做了充分的铺垫, 所有的问题都最后指向同一个教学知识点)

【教学片段二】

1.把1个圆看做一个整体, 我把这个圆对折, 你能用一个分数来描述吗?

2.这里我听到了一个词, 很重要。 (平均分) 分数都要平均分 (并板书) 。

4.小结并揭题:分母表示平均分的份数, 分子表示取的份数。今天我们进一步地来揭开分数的神秘面纱 (揭示课题) 。

(这个部分的问题呈现, 和前面又有不同, 第一个特点是根据学生的认知能力, 在思维深度和广度上有了一定的提升, 此外, 教师善于倾听学生的回答, 能根据学生的回答及时追问)

【教学片段三】

2.把8个圆看成一个整体, 平均分成4份, 这里再一次验证了一个整体, 可以是多个物体。 (出示“一个物体, 一些物体等都可以看作一个整体”, 并齐读)

4.你能把这些作品中的空白部分用一个分数来表示吗?

7.把谁平均分成若干份? (形成板书:把这个整体平均分成若干份)

(这部分的内容是教学重点和难点, 为了突破重难点, 我们看到, 老师在设问时是层层推进和展开, 用了“对比式”、“刨根式”、“求同式”等不同的提问方式, 引领学生在分析、比较、归纳概括中找出分数的共同特征, 概括出分数的意义)

【教学片段四】

1.带着对分数更多的认识, 在小组内任意写一分数, 并描述它的含义。

3.想接受更高的挑战吗?用12个磁扣, 创造出不同的分数, 你们可以用O来表示磁扣, 在草稿纸上画一画。

(学生动手画, 指名学生在黑板上摆一摆, 摆完后汇报)

师:对了, 一个是平均分成6份, 一个是平均分成12份, 这是它们在意义上的不同。

(教师面向全体学生提出创造分数的问题, 接着让学生自主介绍, 为了帮助学生更深刻地理解分数的意义, 老师又适时的提出“1/6可否用2/12来表示”这个问题, 从数量看, 1/6也是两个磁扣, 2/12也是两个磁扣, 但从分数的意义来分析, 这两个分数又是不一样的, 这两个分数到底有什么不一样?老师“自成靶子式”的提问, 激发了学生的求知欲, 收到了预期的效果)

【教学反思】

纵观本课教学提问, 可以发现以下特点:

1.目的明确, 问题指向性强。本节课的问题, 方向清楚, 表述清晰, 较好地做到了课堂提问为教学要求服务。

2.情境创设与课堂问题伴生, 课堂提问在通过具体生动的操作活动中生成和显现, 把抽象的分数意义教学变得直观形象, 让学生的数学学习变成了一个快乐的旅程。

3.问题呈现由易到难, 渐渐深入。《学记》曰:“善问者, 如攻坚木, 先其易者, 而后其节目。”本节课, 老师在问题的设计上由易到难, 层层递进, 使学生的理解层次不断深入, 逐步实现由知识向技能再到能力的转化。

分数意义 篇10

《数学课程标准 (实验稿) 》中有六个核心的概念, 分别是:数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力, 其中, 数感被摆在了首要的位置。数感, 顾名思义就是对数的感觉, 是一个人对数与运算的一般理解。这种理解可以帮助人们用灵活的方法做出数学判断, 并为解决复杂问题提出有用的策略。由此可见, 让学生在数学学习过程中建立数感, 是十分值得我们重视的问题。

“什么是分数?”学生在三年级《分数的初步认识》这一单元的学习中已获得深刻的体验, 形成一定的感受, 而且学生具有丰富的关于“均分物体”的生活经验。鉴于这样的知识经验水平, 笔者把本节课教学的重难点定位为:进一步理解分数的意义, 初步生成数感, 能用分数来表达和交流信息。笔者试图通过对教材进行大胆的加工和创造, 在培养学生的分数数感上做出有意义的尝试。

【案例片断及分析】

【片断一】动手“创造”一个分数, 通过亲身体验进一步形成和强化分数的“心像”

师:同学们, 我们在以前的学习中已经认识了“分数”这个朋友, 你们想不想自己动手“创造”一个分数?

生 (大声齐答) :想。

师:好, 请利用老师提供的材料动手试试吧!

(动手操作后, 交流汇报)

生1:我把一张正方形纸对折再对折, 然后把其中一份涂上红色, 用分数表示就是41。

生2:我拿了一张长方形纸, 也是对折再对折, 然后展开, 把其中3份涂上黄色, 黄色部分就是这张纸的。

师:很好, “黄色部分就是这张纸的”这句话说得很完整!

生3:我把长方形的纸对折对折再对折, 然后把其中

2份涂上绿色, 绿色部分就是这张长方形纸的。

师:请你示范一下“对折对折再对折”就是把纸平均分成几份, 好吗? (生示范)

生4:我把这张圆形的纸也平均分成了8份, 然后把其中1份涂上绿色, 得到了, 再把另外7份涂上红色, 得到了。

师:嗯, 有创意, 一下子就得到了两个分数!

生5:我把正方形纸平均分成4份, 把这4份都涂上红色, 红色部分就是这张纸的。

生6 (激动地) :那你就是把整张纸都涂上了红色。

……

师: (有意识地筛选出表示的“作品”张贴于黑板上) 仔细观察这几个分数, 和小组里的同学说一说:它们有什么相同点?有什么不同点?你发现了什么?

小组1:我们小组发现, 它们都是把纸平均分成4份, 所以分母都是4, 但是涂上颜色的份数不一样, 所以分子就不相同。

小组2:把纸平均分成4份分母就是4, 涂色部分有这样的几份, 分子就是几。

……

【分析】

“纸上得来终觉浅, 绝知此事要躬行”, 教学中, 笔者有意淡化了“什么叫分数”这一数学概念的字面传授, 而更多地让学生通过与学习材料间的交互作用, 获得对定义本身所代表实际意义的亲身体验。

在学生初步感知某一特定分数的基础上, 继续创设自主探索的机会, 让他们动手“创造”一个分数, 经历知识的发生、发现过程, 经历数学思维逐渐形成的过程, 并引导学生通过观察、比较和归纳等方法主动理解分母与分子的含义, 还允许他们用自己的语言表达出来, 从而在心中深深地刻下分数的影像。

【片断二】创作“想像画”, 在逆向思维中滋生“模糊”的数感

师 (出示一个图形, 只露出一个部分:) :露出的部分是整个图形的, 请想像一下整个图形, 并把它画下来。

(学生展示自己的“作品”, 并交流想法)

……

【分析】

根据分数意义的心像, 发挥想象, 大胆创作, 学生的思维在“运动”, 在“碰撞”。通过亲历, 孩子们慢慢地、不知不觉地把分数纳入到自己原有的认知结构中, 与此同时, 他们的学习也具有了鲜明的个性与创造性。在这个逆向思考的过程中, 他们需要应用分数的意义去感觉部分在整体中的地位 (即部分与整体的关系) , 从而加深对“数的意义”的理解, 以逐步生成数感。

【片断三】联系生活实际, 用分数来表达和交流信息

师:我们一起来玩个游戏, 好吗?

(生很兴奋)

师:请在作业纸上写出8个分数, (在学生书写的过程中突然叫停)

师:请默默地数一数, 你写了几个? (小手齐刷刷地举起来, 争着说)

师:不用说出你写了几个, 但是请用一句话让我一听就明白你完成任务的情况, 行吗? (都愣住了)

生1 (惊喜地) :我写完了。

师:嗯, 你完成了任务的 (加重语气) , 同学们知道他写了几个分数吗?

生齐答:5个。

生2:我完成了任务的。

生3:我完成了任务的。

生4:嘻嘻, 我还剩任务的没有完成。

师:咦!他的表达方式与众不同, 很有特色。你们知道他到底写了几个分数吗?

(三位同学同时站起来, “他写了6个, 因为还剩2个没写。”)

……

师:能联系生活实际, 用分数说一句话吗?

生5:把一个苹果平均分给爸爸、妈妈和我, 我分到这个苹果的。

生6:把一块红布平均分成6份, 分别做成红领巾, 5块红领巾的面积就是这块布的。

生7:我们组有10个人, 我占我们组人数的。

……

【分析】

“能用数来表达和交流信息”是《数学课程标准 (实验稿) 》提出衧的�数感的六个具体体现之一。为了较好地落实这一能力目标, 笔者进一步引导学生将学习建立在生动、丰富的生活背景中, 通过学生所喜闻乐见的游戏形式, 提供机会, 让学生利用语言这一思维的物质外壳把初步生成的数感“外显”出来, 并回归生活感受知识的应用价值。

【思考】

本案例通过创造性地使用教材, 针对“如何让孩子在体验中、在创造中强化分数的心像, 生成数感”进行实践与研究, 取得了一定的教学效果恦。但�反思整个过程, “怎样让学生的感知和创造更充分些”仍是一个值得深深思索的问题……�{�

“分数的意义”教学设计和反思 篇11

[摘 要]“分数”的概念比较抽象，只有联系生活，才能让学生感受到数学与生活的联系，只有通过观察、比较、猜测、操作等活动，才能培养学生的应用意识和分析、比较、抽象、概括的逻辑思维能力。

[关键词]分数 单位“1” 反思

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）02-075

【教学内容】人教版课程标准实验教科书小学数学五年级下册第60～64页的内容。

【教学重点】分数的意义与单位“1”的含义。

【教学难点】把多个物体组成的一个整体看作单位“1”。

【教学准备】多媒体课件、练习纸、圆片、水彩笔等。

【教学过程】

二、尊重学生认知规律，联系生活，逐步抽象分数意义

因为五年级学生正处于由具体形象思维向抽象思维过渡的阶段，但还是以形象思维为主，他们形成数学概念，一般都要有相应的感性经验为基础，而且还把感性材料放在脑子里来回比较，因此对于他们来说，理解分数意义有一定困难。教学中，我借助生活中非常熟悉的分香蕉、面包现象，以及常见的茶杯、跳棋，引导学生先认识各个分数的具体含义，再逐步抽象到五角星图。最后让学生结合这些具体分数的含义，在想一想、议一议的活动中，不断提炼对分数的认识，抽象概括分数的意义。整个学习过程遵循了学生“感知——表象——抽象”的认知规律，学生比较容易接受和理解。

三、体现学生个性化学习需要，动手操作，深化理解分数意义

数学课程标准指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的、富有个性的过程。”教学中，让学生用圆片摆一摆，表示自己想要表示的分数这个活动，用圆片当学具操作，看得见、摸得着，便于小组交流，也便于教师了解学生的想法。本环节不仅满足了学生手脑并用的学习需要，更体现了学生学习的个性化和创造性，不同的学生选择的圆片数量以及表示的分数可能不同，选择相同数量圆片的学生表示的分数也可能不同。他们在摆一摆、分一分、说一说的活动中，进一步加深了对分数意义和单位“1”的理解。

四、关注学生情感发展，激发兴趣，体验学习数学的乐趣

为了调动学生学习的积极性，激发他们的探究欲望，我将分数表示方法的演变过程用猜数的形式引入，一下就激发了学生的好奇心，为后面新知的建构做好了积极准备。在课尾练习环节，以拿糖果游戏的形式进行练习，再一次将学生的学习兴趣推到顶点，使他们在轻松、愉悦的氛围中进一步拓展了对分数的认识，取得了非常好的教学效果。在回顾总结环节，也能使学生感受到收获的快乐，从而进一步增进学好数学的积极情感。

分数意义 篇12

人教版六上第77～79页“百分数的意义和写法”。

[教学目的]

1.使学生理解百分数的意义,能够正确地读、写百分数,了解百分数在实际生活中的应用。

2.通过创设情境,培养学生抽象、概括、分析、比较的能力。

3.激发学生的学习兴趣,使学生感到数学与生活密不可分。

【教学过程】

一、创设情境,引出百分数

师:同学们,虽然我们是初次见面,但我却了解你们的一些信息,信吗?

教师课件出示:(1)我们班约有76%的同学住校。

(2)双休日我们约有30%的同学参加课外兴趣小组活动。

(3)我们班同学的近视率是59.5%。

师:这三个数叫百分数。你见过百分数吗?在什么地方见过?

生:在衣服的商标上、牛奶的包装盒上、电脑上、书本……

师:从刚才同学们的发言中,我们可以知道百分数在生活中应用非常广泛。那么百分数有什么用呢?什么是百分数呢?今天孙老师就带大家一起学习百分数。(教师板书课题)

(评析:上课一开始,教师提供有关学生的数学信息,既可以拉近师生之间的距离,又让学生初步接触百分数,引导说出在哪里见过百分数,从而在学生头脑中形成表象,积累感性材料。接着提出师生共同探究什么叫百分数,学生非常乐意,兴趣盎然。)

二、交流信息,理解百分数的意义

师:首先请看一条信息,这是在课间大活动时我班一个学生“定点投篮”的成绩。

教师课件出示:

师:根据这条信息,你能解决什么数学问题?

(生可能回答:徐涛投中数和投球总数的比是13:20,或徐涛的投球总数和投中数的比是20:13,或徐涛投中数占投球总数的13/20)

教师选择板书:投中数占投球总数的几分之几。

师:算式呢?

师:我还摘录了另一个学生的成绩。

教师课件出示:

师:你认为谁的成绩好?

生(讨论):无法确定。

师:现在能比较吗?

生:求张华的投中数占投球总数的几分之几?然后通分成分母是100比较大小,很清楚地就能看出由谁上场最合适。

师:像这几个分母是100的分数,我们也可以这样来表示(板书65%),说明:这样的数叫百分数,“%”叫作百分号,读作“百分之六十五”。师生一起书写练习百分号。第二个百分数请学生板演,其余学生一起写,写后学生点评)

师:谁能用自己的话来说说56%、55%、54%表示什么意思?

教师板书:投中数是投球总数的百分之几。

师:现在知道谁的投球成绩好吗?

(评析:一切新的有意义的学习都是在原有的学习基础上产生的,不受学习者原有认知结构影响的学习几乎是不存在的。百分数是一种特殊的分数,学生在熟练地掌握分数的意义后,对百分数意义的理解能起到触类旁通的作用,同时新知识就会完全纳入原有的知识结构中去。)

师:上课一开始,我们就列举了很多的百分数。谁来说说这几个百分数的意义?

(为了照顾后30%的同学,教师把第一、三小题的百分数意义完整地表示出来)

师:同学们手中也有不少的百分数,也请你把你的百分数和大家一起分享一下。(学生交流、讨论,教师适当指点)

师:通过刚才同学们的精彩发言,使我们对百分数有了更丰富的认识,对百分数有了更多的理解和感悟。现在谁能用一句话来说说什么是百分数呢?

(评析:在初步感悟意义后,教师出示课前的三个例子,让学生读出百分数,说出意义,既充分利用了素材,又使课堂首尾呼应。在交流百分数素材这一环节,虽然学生只是举了一两例,但将生活和知识关联了起来,建立意义的联系,使学生明白知识来自于生活,帮助他们在生活中发现意义和丰满意义。学生学习的不只是“文本课程”,更是“体验课程”。)

师:百分数概念中提到几个数(指板书的投中数这一行字),你能说说这个数是指什么?另一个数呢?这题呢?(指课件的第一、三小题)

师:看来同学们对百分数的理解非常到位。那是不是所有的分数都可以用百分数来表示呢?

教师课件出示:下面这几个分数可以用百分数来表示吗?为什么?

(1)鸡的只数是鸭的。

(2)绳子的长度是铁丝的。

(3)一堆煤重吨。

生:这两句话中的可以用百分数表示,而剩下的第三个不行。

师:为什么?

生:百分数只能表示两个数的关系,不能表示一个具体的数量。

师:那你们能总结一下百分数和分数在意义上有什么区别吗?

生:分数的意义是既可以表示一个具体数量,也可以表示两个数的倍比关系;而百分数的意义却只能表示两个数的倍比关系。

师:从刚才的比较中我们知道百分数只能表示两个数的倍比关系,而分数不仅能表示具体的数量,也能表示两个数的倍比关系,那为什么还要有百分数的存在呢?百分数在实际应用中有什么好处呢?

生:分母都是100,便于比较。

(评析:通过师生的共同讨论,揭示百分数的本质意义,使学生完成了一个对百分数由感性认识到理性认识的飞跃,并将相比的一个数与另一个数分离出来,赋予具体内容,深刻感知百分数的本质属性。同时通过比较,突出了百分数与分数的联系和区别,引起新旧知识的矛盾,促进学生的注意力指向新的知识点。)

三、看书质疑,完善概念

师:请同学们打开书本阅读,回顾一下我们这节课学习了哪些内容?(补充完整板书)你还有什么疑问吗?(学生可能会问:什么叫百分率、百分比?)

师(指板书):像这几个投中数占投球总数百分之几的数,我们也可以叫它为命中率。还有我们刚才所说的近视率,这些比率都可以用百分数来表示,生活中这样的例子还有许多,如出勤率、发芽率、出油率、成活率……这些比率都可以用百分数来表示,所以,你说百分数还应该叫什么?

生:还应该叫百分率。

师:你的想法很准确。(板书百分率)

师(指板书):这个56%还可以说成投中数和投球总数的比是56比100,所以百分数又可以称作百分比。(板书百分比)

四、多层练习,拓展提高

师:让我们通过进一步的练习,争取100%地掌握这一节的内容。好吗?

1.写出下面的10个百分数。

(1)请一位学生板演,并说说写百分数时要注意什么。

(2)请学生用百分数来表示完成的任务,让其他学生猜写几个。

(3)能换种说法让同学猜猜你写了几个?

2.选择练习。

(1)会读吗?请听要求,读出第一个数,你能用1%说一句话吗?1%是最小的百分数吗?有比这组百分数更小的百分数吗?有比0.5%更小的百分数吗?读出这组中最大的百分数,比它更大的有吗?读出两个最接近的百分数?读出表示“一半”的百分数,你能用50%说句话吗?

(2)选择合适的百分数填空。

①今天的课上,由于同学们认真思考,学会的同学占全班人数的()。

②城关小学学生每月零花钱占学校买图书钱数的50%,开展节约活动后,只占()。

③小汽车的速度是卡车速度的()。

④由于全班同学互相帮助,共同进步,这个单元考试的及格率能达到()。

(评析:在练习设计时,教师把练习的素材做到“简约而丰满”。通过简单10个百分数串起写法、读法、意义的练习,既巩固了读写,培养学生良好的书写习惯,而且围绕这一练习进行了意义的感悟和理解,使学生的思维得到了进一步的发展。)

3.师:这节课快要结束了,老师想了解一下同学们这节课的学习情绪如何,特别是愉快、紧张、遗憾这三种情绪,你能用百分数告诉大家你这节课的各种学习情绪占的比率吗?

愉快()%

紧张()%

遗憾()%